高三数学章节专题基础梳理导学案41(十二.参数方程与极坐标系)

高三数学《参数方程与极坐标系》高级数学方法教案引言：《参数方程与极坐标系》是高中数学中的一个重要内容，是数学建模及解决实际问题的重要工具。

通过学习参数方程和极坐标系，我们可以更全面地理解平面上的曲线及其性质，为解决实际问题提供更广阔的思路和方法。

本教案旨在通过合理安排教学内容和方法，培养学生的数学建模能力和问题解决能力。

一、教学目标1. 理解参数方程与极坐标系的概念及其应用；2. 掌握参数方程与极坐标系的转化方法；3. 能够运用参数方程和极坐标系解决实际问题。

二、教学重点和难点1. 参数方程与极坐标系的转化方法；2. 实际问题的建模和求解。

三、教学内容及安排1. 参数方程的引入与概念解释（20分钟）- 通过示例引导学生理解参数方程的概念及作用；- 介绍参数方程与直角坐标系之间的关系。

2. 参数方程的画图与性质（30分钟）- 通过实例演示如何使用参数方程绘制平面曲线；- 引导学生观察与分析参数方程对曲线形状的影响；- 讲解参数方程下函数的周期性、对称性等性质。

3. 参数方程与直角坐标系的转化（30分钟）- 介绍参数方程向直角坐标系的转化方法；- 讲解常见曲线如直线、圆、椭圆等的参数方程与直角坐标系方程的转化。

4. 极坐标系的引入与概念解释（20分钟）- 通过实例引导学生理解极坐标系的概念及作用；- 介绍极坐标系与直角坐标系之间的转化关系。

5. 极坐标系的画图与性质（30分钟）- 通过实例演示如何使用极坐标系绘制平面曲线；- 引导学生观察与分析极坐标方程对曲线形状的影响；- 讲解极坐标方程下函数的周期性、对称性等性质。

6. 参数方程与极坐标系的联系与应用（30分钟）- 引导学生理解参数方程与极坐标系的关系及其应用场景；- 通过实例讲解参数方程与极坐标系在工程、物理等领域的具体应用。

四、教学方法与手段1. 讲授与演示相结合：通过具体实例讲解参数方程与极坐标系的相关概念和性质，以提高学生的直观理解能力。

高三数学：极坐标和参数方程的关系引言在高中数学中，极坐标和参数方程都是描述二维平面上几何图形的一种常见方式。

它们在几何图形的表示、求解与分析中都具有重要的作用。

本文将探讨极坐标和参数方程之间的关系，以及它们各自的特点和应用。

极坐标极坐标是一种与直角坐标系不同的坐标系统，它使用极径和极角来确定平面上的点的位置。

在极坐标系中，每个点都由一个正数和一个角度对唯一确定。

极坐标的形式可表示为：P(r,θ)其中，r表示点到原点的距离，称为极径；θ表示点与极轴的夹角，称为极角。

极坐标系中的点可以用极坐标转换为直角坐标形式：P(x,y) = (r*cosθ, r*sinθ)极坐标几何图形的方程通常由极径和极角之间的关系来表示。

例如，圆的方程可以表示为：r = a其中a是圆的半径。

通过极坐标系，我们可以更方便地描述圆的特征。

参数方程参数方程是一种用参数变量表示坐标的方法，通过变化参数的取值来描述二维平面上的点的运动轨迹。

参数方程由一个或多个参数变量和一个或多个关系式组成。

以平面曲线为例，通常可以使用以下形式的参数方程表示：x = f(t)y = g(t)其中，x和y是平面上的点的坐标，t是参数变量。

参数方程可以用来表示各种复杂的图形，如椭圆、双曲线和抛物线等。

通过变换参数的取值范围，我们可以产生不同形状的曲线。

参数方程的优势在于可以简洁地表达复杂的几何图形。

极坐标与参数方程的关系极坐标和参数方程之间存在一定的关系。

事实上，我们可以将极坐标转换为参数方程的形式，以便更好地描述曲线的特性。

对于极坐标P(r,θ)，我们可以将其转换为参数方程x = f(t)和y = g(t)的形式，其中参数变量t的取值范围是[θ1,θ2]。

通过极坐标转换为参数方程的公式如下：x = r*cosθy = r*sinθ上述公式说明，任意一个极坐标点可以表示为一个参数方程，参数方程描述了该点在平面上的运动轨迹。

应用和例子极坐标和参数方程在数学和物理学等领域中有广泛的应用。

、教学过程设计一、复习、检查函数与方程重点知识二、梳理本节课重要知识1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)x xy yλλϕμμ'=>⎧⎨'=>⎩的作用下,点P(x,y)对应到点(,)P x y''',称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建立一、教学过程设计 一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离|OM|叫做点M 的极径,记为ρ;以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角xOM ∠叫做点M 的极角,记为θ.有序数对(,)ρθ叫做点M 的极坐标,记作(,)M ρθ.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,ρ≥θ可取任意实数. 特别地,当点M 在极点时,它的极坐标为(0, θ)(θ∈R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示;同时,极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M 是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y ,极坐标是(,)ρθ(0ρ≥),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:在一般情况下,由tan θ确定角时,可根据点M 所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程点M 直角坐标(,)x y极坐标(,)ρθ互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 222tan (0)x y yx xρθ=+=≠极径为, r为, r,为的直线○θ○θ点,垂点,平＜0；当点。

极坐标与参数方程导学案坐标系课前双基巩固1．平面直角坐标系中的伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ＞0，y ′＝μy ，μ＞0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.2．极坐标系(1)设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫作点M 的________，记为ρ.以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫作点M 的________，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ).(2)极坐标与直角坐标的关系：把直角坐标系的原点作为极点，x 轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x ＝________，y ＝ρsin θ，由此得ρ2＝________，tan θ＝________(x ≠0).3．常用简单曲线的极坐标方程课堂考点探究探究点一平面直角坐标系中的伸缩变换1 (1)在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，则点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2经过φ变换所得的点A ′的坐标为________．(2)双曲线C ：x 2－y 264＝1经过伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x 2y ′＝y 后所得曲线C ′的焦点坐标为____________．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________[总结反思] (1)平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0的作用下的方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程．平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，λ>0，y ′＝μy ，μ>0下，直线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．(2)在进行平移或伸缩变换时，不需要刻意记忆变换公式，只要根据变换前后的方程形式就可以写出变换关系(即变换公式)．另外还要注意两种变换的先后顺序，顺序不同，变换公式也不同．探究点二 极坐标与直角坐标的互化2 [2017·新疆生产建设兵团二中月考]在极坐标系中，已知曲线C ：ρ＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4，P 为曲线C 上的动点，定点Q ⎝⎛⎭⎪⎫1，π4. (1)将曲线C 的极坐标方程化成直角坐标方程；(2)求P ，Q 两点间的最短距离．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ [总结反思] (1)直角坐标方程化为极坐标方程时，只要运用公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；(2)极坐标方程化为直角坐标方程时常先通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再进行整体代换．其中方程的两边同乘(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验．式题 [2016·郑州二模] 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1.直线l 经过点P (m ，0)，且倾斜角为π6.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．(1)写出曲线C 的极坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|PA |·|PB |＝1，求实数m 的值．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________探究点三 简单曲线的极坐标方程及应用3 [2016·陕西安康三联] 在极坐标中，直线l 的方程为ρ(3cos θ－4sin θ)＝2，曲线C 的方程为ρ＝m (m >0)．(1)求直线l 与极轴的交点到极点的距离；(2)若曲线C 上恰好有两个点到直线l 的距离为15，求实数m 的取值范围．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ [总结反思] 曲线的极坐标方程问题通常可先利用互化公式转化为直角坐标系中的相关问题再求解，然后再次利用互化公式即可转化为极坐标方程．熟练掌握互化公式是解决问题的关键．式题 已知极坐标的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的正半轴重合，且长度单位相同，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝5，点P (2cos α，2sin α＋2)，参数α∈[]0，2π.(1)求点P轨迹的直角坐标方程；(2)求点P到直线l的距离的最大值．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________参数方程课前双基巩固1．参数方程的定义一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）(*)，并且对于t 的每一个允许值，由方程组(*)所确定的点M (x ，y )都在这条曲线上，那么方程(*)就叫作这条曲线的________，联系变数x ，y 的变数t 叫作参变数，简称________.2．直线、圆、椭圆的参数方程(θ过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 是参数).若M 1，M 2是l 上的两点，其对应的参数分别为t 1，t 2，则 (1)M 1，M 2两点的坐标分别是(x 0＋t 1cos α，y 0＋t 1sin α)，(x 0＋t 2cos α，y 0＋t 2sin α)； (2)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|；(3)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝t 1＋t 22，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝|t 1＋t 2|2； (4)若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0.课堂考点探究探究点一曲线的参数方程1 [2016·辽宁丹东二模] 在平面直角坐标系xOy中，将曲线C1：x2＋y2＝1上的所有点的横坐标伸长为原来的3倍，纵坐标伸长为原来的2倍后，得到曲线C2；在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程是ρ(2cos θ－sin θ)＝6.(1)写出曲线C2的参数方程和直线l的直角坐标方程；(2)在曲线C2上求一点P，使点P到直线l的距离d最大，并求出此最大值．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ [总结反思] 几种常见曲线的参数方程：(1)直线的参数方程．过点P (x 0，y 0)且倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)． (2)圆的参数方程．若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为r ，则圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数)．(3)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)． (4)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b tan θ(θ为参数)． (5)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (t 为参数)． 式题 在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 和直线l 的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，5ρcos(θ＋α)＝2其中 tan α＝2，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2. (1)求圆C 和直线l 的直角坐标方程；(2)设圆C 和直线l 相交于点A 和点B ，求以AB 为直径的圆D 的参数方程.________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________探究点二 参数方程与普通方程的互化2 [2016·广东中山模拟] 在直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线：⎩⎨⎧x ＝2＋t cos αy ＝3＋t sin α(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ(φ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)当α＝π3时，若以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程；(2)若直线AB 的斜率为54，点P (2，3)，求|PA |·|PB |的值． ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________________________________________________________________________________[总结反思] (1)消去参数的方法一般有三种：①利用解方程的技巧求出参数的表达式，然后代入消去参数；②利用三角恒等式消去参数；③根据参数方程本身的结构特征，选用一些灵活的方法从整体上消去参数．(2)在参数方程与普通方程的互化中，必须使两种方程中的x ，y 的取值范围保持一致．式题 [2016·河南许昌、新乡、平顶山三调] 已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． (1)当α＝π3时，求C 1被C 2截得的线段的长； (2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，当α变化时，求A 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________探究点三 直线的参数方程3 [2016·江西新余一中调研] 以平面直角坐标系xOy 的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t ，圆C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4. (1)求直线l 的普通方程与圆C 的直角坐标方程；(2)设曲线C 与直线l 交于A ，B 两点，若P 点的直角坐标为(2，1)，求||PA |－|PB ||的值．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________[总结反思] (1)直线的参数方程有多种形式，只有标准形式中的参数才具有几何意义，即参数t 的绝对值表示对应的点到定点的距离．(2)根据直线的参数方程的标准形式中t 的几何意义，有如下常用结论：①若直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为t 1，t 2，则弦长l ＝|t 1－t 2|； ②若定点M 0是线段M 1M 2(点M 1，M 2对应的参数分别为t 1，t 2，下同)的中点，则t 1＋t 2＝0； ③设线段M 1M 2的中点为M ，则点M 对应的参数值t M ＝t 1＋t 22.式题 在直角坐标系xOy 中，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)与曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B ，求线段AB 的长度．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________探究点四 圆、圆锥曲线的参数方程及应用4 [2016·山西长治二中、临汾一中、康杰中学、晋城一中一联] 在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ.(1)写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |.________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________[总结反思] 解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的最值、范围等问题．式题 [2016·陕西汉中二模] 已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝ 2. (1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设M 是直线l 上任意一点，过M 作圆C 的切线，切点为A ，B ，求四边形AMBC 面积的最小值．________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________答案 坐标系考试说明1. 了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2. 了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3. 能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.教学参考【课前双基巩固】知识聚焦2. (1)极径 极角 (2)ρcos θ x 2＋y 2 y x【课堂考点探究】例1 (1)(1，－1) (2)(－5，0)，(5，0) [解析] (1)设A ′(x ′，y ′)，由伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y ，得到⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，y ′＝12y .由于点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，－2，于是x ′＝3×13＝1，y ′＝12×(－2)＝－1，∴A ′(1，－1)为所求． (2)设曲线C ′上任意一点P ′(x ′，y ′)，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即为曲线C ′的方程，可见仍是双曲线，则焦点坐标分别为(－5，0)，(5，0)．例2 [思路点拨] (1)首先按两角差的正弦公式展开，然后两边同时乘ρ，利用转化公式ρ2＝x 2＋y 2, x ＝ρcos θ， y ＝ρsin θ，转化为直角坐标方程；(2)圆外一点与圆上一点距离的最小值为圆心与圆外这点的距离减半径．解：(1)在极坐标系中，曲线C ：ρ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2sin θ－2cos θ， ∴ρ2＝2ρsin θ－2ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y －2x ，即(x ＋1)2＋(y －1)2＝2.(2)在直角坐标系中，易知Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，又曲线C 的圆心为(－1，1)，半径为2， ∴|PQ |min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22－12－2＝3－ 2. 变式题 解：(1)曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，即x 2＋y 2＝2x ，所以曲线C的极坐标方程为ρ2＝2ρcos θ，即ρ＝2cos θ.(2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋32t ，y ＝12t (t 为参数)，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 的参数方程代入x 2＋y 2＝2x 中，得t 2＋(3m －3)t ＋m 2－2m ＝0，所以t 1t 2＝m 2－2m ，由题意得|m 2－2m |＝1，得m ＝1，1＋2或1－ 2.例3 解：(1)令θ＝0，可得ρ(3cos 0－4sin 0)＝2，∴直线l 与极轴的交点到极点的距离为ρ＝23. (2)直线l 的直角坐标方程为3x －4y －2＝0，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝m 2，曲线C 表示以原点为圆心，m 为半径的圆，且原点到直线l 的距离为25.若曲线C 上恰好存在两个点到直线l 的距离为15，则15<m <35. 变式题 解：(1)设点P (x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝2sin α＋2，且参数α∈[0，2π]， ∴点P 的轨迹的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4.(2)∵ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝5， ∴12ρsin θ－32ρcos θ＝5，即ρsin θ－3ρcos θ＝10， ∴直线l 的直角坐标方程为3x －y ＋10＝0.由(1)知点P 的轨迹方程为x 2＋(y －2)2＝4，是圆心为(0，2)，半径为2的圆，∴圆心到直线l 的距离d ＝|－2＋10|（3）2＋12＝4，∴点P 到直线l 的距离的最大值为4＋2＝6.教师备用例题[备选理由] 例1主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，意在考查基本运算能力，转化与化归思想、方程思想与数形结合思想．例2主要考查参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的应用等基础知识，综合性较强．例1 [配例2使用] 以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6. (1)求圆C 的直角坐标方程；(2)O 为极点，A ，B 为圆C 上的两点，且∠AOB ＝π3，求||OA ＋||OB 的最大值． 解：(1)∵圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，∴ρ2＝4ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝4ρ⎝⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ，又∵ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝23y －2x ，即x 2＋y 2＋2x －23y ＝0.(2)不妨设点A 的极角为θ，则点B 的极角为θ＋π3，则||OA ＋||OB ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝43sin θ，∴当θ＝π2时，||OA ＋||OB 取得最大值4 3.例2 [配例3使用] 在直角坐标系xOy 中，点M (0，4)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ－4cos θ＝0，直线l 过点M 且斜率为－2.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，写出直线l 的标准参数方程； (2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|AB |的值．解：(1)由ρsin 2θ－4cos θ＝0得，(ρsin θ)2＝4ρcos θ，∵y ＝ρsin θ，x ＝ρcos θ，∴曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x .设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝－2，∴α为钝角，由平方关系可解得，cos α＝－55，sin α＝255，∴直线l 的标准参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－55t ，y ＝4＋255t (t 为参数)．(2)由(1)知直线l 的标准参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－55t ，y ＝4＋255t(t 为参数)，代入y 2＝4x 整理得t2＋55t ＋20＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－55，t 1t 2＝20，则|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝（－55）2－4×20＝3 5.参数方程考试说明1. 了解参数方程，了解参数的意义.2. 能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.教学参考【课前双基巩固】 知识聚焦1. 参数方程 参数 【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)利用坐标变换写出C 2的直角坐标方程，再写出其参数方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式写出l 的直角坐标方程；(2)设出所求点的坐标，利用点到直线的距离公式将问题转化为三角函数的最值问题求解．解：(1)由题意知，曲线C 2的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝1，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)．直线l 的直角坐标方程为2x －y －6＝0.(2)设P (3cos φ，2sin φ)，则点P 到直线l 的距离d ＝|23cos φ－2sin φ－6|5＝|4sin （60°－φ）－6|5，当sin(60°－φ)＝－1时，d 取最大值25，此时取φ＝150°，则点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1. 变式题 解：(1)圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，转化成直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，由于tan α＝2，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos α＝55，sin α＝255，极坐标方程5ρcos(θ＋α)＝2转化成直角坐标方程为x －2y －2＝0.(2)由(1)得⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）2＋y 2＝1，x －2y －2＝0，解得A (2，0)，B 25，－45，设点M (x ，y )是圆D 上的任意一点，则＝(x －2，y )，＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －25，y ＋45，·＝0.所以(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －25＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋45＝0，整理得5x 2＋5y 2－12x ＋4y ＋4＝0，转化成标准形式为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －652＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋252＝45，转化成参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65＋255cos θ，y ＝－25＋255sin θ(θ为参数). 例2 [思路点拨] (1)先求直线的普通方程，再化为极坐标方程；(2)将直线的参数方程代入曲线C 的普通方程中，利用参数t 的几何意义求解．解：(1)当α＝π3时，直线AB 的普通方程为3x －y －3＝0，即直线AB 的直角坐标方程为3x －y －3＝0，∴直线AB 的极坐标方程为3ρcos θ－ρsin θ＝3，即2ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π6＝ 3. (2)曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos φ，y ＝sin φ的普通方程是x 24＋y 2＝1，将⎩⎨⎧x ＝2＋t cos α，y ＝3＋t sin α代入曲线C 的普通方程，整理得 (cos 2α＋4sin 2α)t 2＋(83sin α＋4cos α)t ＋12＝0.∴|PA |·|PB |＝|t 1·t 2|＝12cos 2α＋4sin 2α＝12（cos 2α＋sin 2α）cos 2α＋4sin 2α＝12（1＋tan 2α）1＋4tan 2α，又直线的斜率为54，即tan α＝54，代入上式可求得|PA |·|PB |＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋5161＋4×516＝7.变式题 解：(1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y2＝1.联立方程组⎩⎨⎧y ＝3（x －1），x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点为(1，0)与⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.所以C 1被C 2截得的线段的长为⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＝1. (2)将C 1的参数方程代入C 2的普通方程得t 2＋2t cos α＝0， ∴A 点对应的参数t ＝t 1＋t 22＝－cos α，∴A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)．故当α变化时，A 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin 2α，y ＝－sin αcos α(α为参数)．因此，A 点轨迹的普通方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14.故A 点的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0为圆心，12为半径的圆．例3 [思路点拨] (1)利用互化公式进行两种方程之间的转化；(2)将直线的参数方程代入曲线C 的普通方程中，利用参数t 的几何意义和韦达定理求解．解：(1)易得直线l 的普通方程为y ＝x －1.因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝42sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝4sin θ＋4cos θ，即ρ2＝4ρsin θ＋4ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x －4y ＝0(或写成(x －2)2＋(y －2)2＝8)．(2)点P (2，1)在直线l 上，且在圆C 内，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t 代入x 2＋y 2－4x －4y ＝0，得t 2－2t －7＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝－7<0，即t 1，t 2异号． 所以||PA |－|PB ||＝||t 1|－|t 2||＝|t 1＋t 2|＝ 2.变式题 解：由曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ，得C 的普通方程是x 24＋y 2＝1.将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)，代入曲线C 的普通方程x 24＋y 2＝1，得13t 2＋56t ＋48＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则线段AB 的长度|AB |＝|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－56132－4×4813＝81013. 例4 [思路点拨] (1)由代入消元或加减消元，将直线l 的参数方程化为普通方程，由ρsin θ＝y ，ρ2＝x 2＋y 2将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程．(2)求直线被圆所截得的弦长，可利用垂径定理，即|AB |＝2r 2－d 2，先根据圆心到直线的距离公式求得d ，再代入计算|AB |.解：(1)直线l 的普通方程为x －y ＋1＝0，曲线C 的直角坐标方程为x 2＋(y －2)2＝4.(2)方法一：曲线C ：x 2＋(y －2)2＝4是以点(0，2)为圆心，2为半径的圆，易得圆心(0，2)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝22，则|AB |＝24－12＝14. 方法二：设A ，B 两点所对应的参数分别为t A ，t B .将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)代入x 2＋y 2－4y ＝0并化简整理可得t 2＋2t －3＝0，从而⎩⎨⎧t A ＋t B ＝－2，t A t B ＝－3，因此|AB |＝（t A ＋t B ）2－4t A t B ＝14. 变式题 解：(1)∵圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)，∴圆C 的普通方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝4，由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，得ρcos θ＋ρsin θ＝2，∵ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，∴直线l 的直角坐标方程为x ＋y －2＝0.(2)圆心C (3，－4)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|3－4－2|2＝322＞2，即直线与圆C 相离． 由于M 是直线上任意一点，则|MC |≥d ＝322. ∴四边形AMBC 的面积S ＝2×12·|AC |·|MA |＝|AC |·|MC |2－|AC |2＝2|MC |2－4≥2d 2－4＝ 2.∴四边形AMBC 面积的最小值为 2.教师备用例题例1 [配例2使用] [2017·广东海珠区调研] 已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴)中，直线l 的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.(1)求曲线C 在极坐标方程；(2)求直线l 被曲线C 截得的弦长．解：(1)曲线C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4， 即x2＋y 2－4x ＝0，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入方程x 2＋y 2－4x ＝0，化简得ρ＝4cos θ.∴曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.(2)∵直线l 的直角坐标方程为x ＋y －4＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x ＝0，x ＋y －4＝0，得直线l 与曲线C 的交点坐标为(2，2)，(4，0)， ∴弦长为（2－4）2＋（2－0）2＝2 2.例2 [配例4使用] 在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：ρ2＝151＋2cos 2θ，直线l ：2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3＝ 3. (1)判断曲线C 与直线l 的位置关系，写出直线l 的参数方程；(2)设直线l 与曲线C 的两个交点分别为A ，B ，求|AB |的值．解：(1)曲线C 的直角坐标方程为x 25＋y 215＝1，直线l 的直角坐标方程为3x ＋y ＝3，与y 轴的交点为P (0，3)，将P (0，3)代入椭圆方程左边得0＋15<1，故点P (0，3)在椭圆的内部，所以直线l 与曲线C 相交．直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)．(2)由(1)知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12t ，y ＝3＋32t(t 为参数)，曲线C 的直角坐标方程为x25＋y 215＝1，将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，有3⎝ ⎛⎭⎪⎫－12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋32t 2＝15，即t 2＋2t －8＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 2＋t 1＝－2，t 2t 1＝－8. ∴|AB |＝（t 2＋t 1）2－4t 2t 1＝（－2）2－4×（－8）＝6。

极坐标与参数方程环节１ 明晰高考要求高考对极坐标与参数方程考查主要突出其工具性的作用,突出极坐标以及参数方程的几何用法,考查学生能根据实际问题的几何背景选择恰当的方法解决问题的能力,命题考查形式以极坐标与直角坐标的互化，参数方程的消参以及极坐标的几何意义与参数方程的参数的几何意义的综合应用。

主要考查四类题型：① 极坐标系中,极坐标的几何意义的应用真题示例题１ (２01７年全国Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.(1) M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上,且满足16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程; (2） 设点A 的极坐标为2,3π⎛⎫⎪⎝⎭,点B 在曲线2C 上,求OAB ∆面积的最大值. 【解析】(１)设()00,M ρθ,(),P ρθ，则0OM ρ=,OP ρ=，依题意016ρρ=，00cos 4ρθ=,0θθ=, 解得4cos ρθ=，化为直角坐标系方程为()2224x y -+=()0x ≠.常规方法：曲线1C :4x =,设(),P x y ,()4,M t ，则4tx y =16=, 将224x y x +=(0x ≠),即点P 的轨迹2C 的直角坐标方程为()2224x y -+=()0x ≠．（2）连接2AC ,易知2AOC ∆为正三角形,OA 为定值. 所以当边AO 上的高最大时,AOB S △面积最大,如图，过圆心2C 作AO 垂线,交AO 于H 点,交圆C 于B 点,此时AOB S △最大max 12S AO HB =⋅()12AO HC BC =+2= 别解：设(),B ρθ(0ρ>),由题意知2OA =,4cos ρθ=,所以OAB ∆的面积1sin 2S OA AOB ρ=⋅∠4cos sin 3πθθ⎛⎫=⋅- ⎪⎝⎭2sin 223πθ⎛⎫=-≤+ ⎪⎝⎭当12πθ=-时,S取得最大值2, 所以OAB ∆面积的最大值为2+．题2 (２０15年课标Ⅱ文理）选修44-：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1C ：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩，(t 是参数，0t ≠），其中0απ≤<，在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2C :2sin ρθ=，3C:ρθ=． (Ⅰ) 求2C 与3C 的交点的直角坐标；(Ⅱ) 若1C 与2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ，求AB 的最大值.【解析】(Ⅰ)曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=,曲线3C的直角坐标方程为220x y +-=.联立222220x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩或32x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以2C 与3C 的交点的直角坐标为()0,0和322⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. (Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为θα=（ρ∈R ，0ρ≠）,其中0απ≤<. 因为A 的极坐标为()2sin ,αα,B的极坐标为(),αα,所以2sin 4sin 3AB πααα⎛⎫=-=-⎪⎝⎭,当56πα=时,AB 取得最大值,且最大值为4． ② 直角坐标系中，曲线参数方程的直接应用真题示例题1 (2０１7年全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),直线l 的参数方程为4,1,x a t y t =+⎧⎨=-⎩ (t 为参数）.(1） 若1a =-,求C 与l 的交点坐标；（2） 若C 上的点到l求a .【解析】（１)1a =-时，直线l 的方程为430x y +-=,曲线C 的标准方程是2219x y +=, 联立方程2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩,解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,则C 与l 交点坐标是()3,0和2124,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭． （２）直线l 一般式方程是440x y a +--=,设曲线C 上点()3cos ,sin P θθ， 则P 到l距离d ==，其中3tan 4ϕ=. 当40a +≥即4a ≥-时,max d ==即917a +=,解得8a =． 当40a +<即4a <-时,maxd ==解得16a =-． 综上,16a =-或8a =．题2 (2017年江苏）在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参考方程为82x t ty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数),曲线C 的参数方程为22x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值.【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=，因为P 在曲线C上，设()22,P s ,故点P 到直线l 的距离224s d -+==,当s=,min 5d =， 因此当P 的坐标为()4,4时,曲线C 上的点P 到直线l 的距离取得最小值5. ③ 直角坐标系中，直线参数方程的参数t 几何意义的应用真题示例题１ 【2018全国二卷２2】在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数)，直线的参数方程为(为参数). （1)求和的直角坐标方程；(2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率.(1)曲线C 的直角坐标方程为116422=+y x ． 当时,的直角坐标方程为, 当时，的直角坐标方程为．(2）将的参数方程代入的直角坐标方程，整理得关于的方程.①因为曲线截直线所得线段的中点在内，所以①有两个解，设为，,则．又由①得ααα221cos 31)sin cos 2(4++-=+t t ,故, 于是直线的斜率xOy C 2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩，θl 1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩，t C l C l (1,2)l cos 0α≠l tan 2tan y x αα=⋅+-cos 0α=l 1x =l C t 22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=C l (1,2)C 1t 2t 120t t +=2cos sin 0αα+=l tan 2k α==-题2【20１8全国三卷22】在平面直角坐标系中,的参数方程为（为参数）,过点且倾斜角为的直线与交于两点．（１）求的取值范围;(2)求中点的轨迹的参数方程. (1)的直角坐标方程为．当时，与交于两点. 当时，记,则的方程为与交于两点当且仅当,解得或，即或． 综上，的取值范围是. （2)的参数方程为为参数，.设，,对应的参数分别为，,，则,且,满足. 于是，．又点的坐标满足所以点的轨迹的参数方程是为参数，. ④ 通过互化或消参呈现几何背景，利用相关的几何法解决真题示例题5 【2018全国一卷22】在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=. （1）求2C 的直角坐标方程；xOy O ⊙cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，θ(0，αl O ⊙A B ，αAB P O 221x y +=2απ=l O 2απ≠tan k α=l y kx =lO ||1<1k <-1k >(,)42αππ∈(,)24απ3π∈α(,)44π3πl cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩44απ3π<<)A B P A t B t P t 2A BP t t t +=A tB t 2sin 10t α-+=A B t t α+=P t α=P (,)x y cos ,sin .P Px t y t αα=⎧⎪⎨=⎪⎩P 2,2cos 222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α44απ3π<<)(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点,求1C 的方程.（1)由cos x ρθ=,sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=.（２)由(1)知2C 是圆心为(1,0)A -,半径为2的圆．由题设知，1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为1l ，y 轴左边的射线为2l .由于B 在圆2C 的外面,故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点,或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点．当1l 与2C 只有一个公共点时，A 到1l 所在直线的距离为22=,故43k =-或0k =．经检验,当0k =时,1l 与2C 没有公共点;当43k =-时,1l 与2C 只有一个公共点,2l 与2C 有两个公共点． 当2l 与2C 只有一个公共点时,A 到2l 所在直线的距离为22=,故0k =或43k =.经检验，当0k =时,1l 与2C 没有公共点;当43k =时,2l 与2C 没有公共点． 综上,所求1C 的方程为4||23y x =-+． 题6 (2017年深圳二模）已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==，圆Ｃ的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=.(1）求圆心C 的直角坐标;（2)由直线l 上的点向圆C 引切线,求切线长的最小值． 解析:(I ）θθρsin 2cos 2-= ,θρθρρsin 2cos 22-=∴, …………(2分) 02222=+-+∴y x y x C 的直角坐标方程为圆， …………（3分）即1)22()22(22=++-y x ,)22,22(-∴圆心直角坐标为．…………(５分） (II ）方法１:直线l 上的点向圆C 引切线长是6224)4(4081)242222()2222(2222≥++=++=-+++-t t t t t , …………(８分) ∴直线l 上的点向圆Ｃ引的切线长的最小值是62 …………(１0分)方法2：024=+-∴y x l 的普通方程为直线, …………(８分）圆心Ｃ到l 直线距离是52|242222|=++，∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是621522=-环节2 问题自主解决 1回归教材题组１ 人教A 版选修4－4 P12 课本习题编选：题1 在极坐标系中,132511(4,),(4,),(4,),(4,)6666ππππ-表示的点有什么关系？你是如何刻画这些点的位置的？题２已知点的极坐标分别为2(3,),(2,),(4,),()4322ππππ，求它们的直角坐标题3已知点的直角坐标分别为7),(,0),(2,2--,求它们的极坐标 问题自主探索：① 极坐标与直角坐标之间的区别与联系是什么? ② 极坐标的几何意义是什么?题组2人教A 版选修4-4 P15 课本习题编选：题1 说明下列极坐标方程表示什么曲线？ (1)5ρ= （2)5()6R πθρ=∈ （３）2sin ρθ=（４）sin()124πρθ-= （５)2sin cos ρθθ= （6）2cos 24ρθ= 题２ 将下列直角坐标方程化成极坐标方程(1）4x = (2）2320x y +-= （3）22(1)(4x y -+= （4）22148x y += 题3 在极坐标系中，求适合下列条件的曲线的极坐标方程（1）过极点,倾斜角是3π的直线 (2)圆心在(1,)4π，半径为1的圆(3)过点(2,)3π，且和极轴垂直的直线 (4）过点)4π，且与2320x y +-=垂直的直线题4 设点P 的极坐标为11(,)ρθ,直线l 过点P 且与极轴所成的角为α，求直线l 的极坐标方程题 5 已知椭圆的中心为O ,长轴、短轴的长分别2,2(0)a b a b >>,,A B 分别为椭圆上的两点，并且OA OB ⊥,求证：2211OAOB+为定值问题自主探索:① 实现曲线极坐标方程与直角坐标方程互化的桥梁是什么？② 求解曲线极坐标方程,你是怎么处理的?它跟直角坐标求点轨迹方程的思路一样吗? ③ 极坐标的几何意义是如何应用的?题组3 人教A 版选修４-４ Ｐ２5-３4 课本例题编选 题１把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线(1）11x y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩t 为参数) （２） sin cos 1sin 2x y θθθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）题2把下列普通方程化为参数方程，并说明它们各表示什么曲线(１）22(1)(2)4x y -+-= （2)221169x y +=题3 在椭圆22194x y +=上求一点M ,使点M 到2100x y +-=的距离最小,并求出最小距离。

“坐标系与参数方程”导学案【学习目标】（1）理解引入极坐标系、参数方程的意义以及它们的几何意义和运用条件；（2）会进行极坐标和直角坐标的互化、参数方程和普通方程的互化并会初步运用极坐标 系、参数方程解决有关问题；（3）体会事物间的相互联系及数学来源于生活服务于生活的思想.【知识回顾】1、直角坐标),(00y x M 化为极坐标),(θρM ：=2ρ ；=θtan ；2、极坐标),(θρM 化为直角坐标),(00y x M ：=x ；=y ；3、圆222)()(r b y a x =-+-的参数方程为： ； 4、椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的参数方程为： ； 5、过点),(00y x P ，倾斜角为α的直线的参数方程为： ．【合作探究】1、（2015高考全国卷Ⅱ）在直角坐标系xoy 中，曲线1C ：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数， 0≠t ）， 其中πα<≤0，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：2sin ρθ=，3C ：ρθ=．（Ⅰ）求2C 与3C 交点的直角坐标；（Ⅱ）若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 的最大值．2、（2015高考全国卷Ⅰ）在直角坐标系xoy 中，直线21-=x C ：,圆2C ： 1)2()1(22=-+-y x ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建 立极坐标系．（Ⅰ）求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线3C 的极坐标方程为)(4R ∈=ρπθ,设2C 与3C 的交点为,,N M求MN C 2∆的面积．【随堂检测】1、（2015年昆一中第三次双基检测）在直角坐标系xoy 中，已知曲线C 的参数方 程为： )(442为参数t ty t x ⎩⎨⎧==，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为23)3sin(-=-πθρ． （Ⅰ）求曲线C 的普通方程及直线l 的直角坐标方程；（Ⅱ）若射线OM 的极坐标方程为)0(4≥=ρπθ，设射线OM 与曲线C 在第一象限的交点为M ,求点M 到直线l 的距离.2、（2015年昆一中第七次双基检测）在直角坐标系xoy 中，已知直线l 的参数方程为： )(121为参数t ty t x ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为2=ρ．（Ⅰ）求圆心C 到直线l 的距离；（Ⅱ）将圆C 上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）后得到 曲线M ,设),(y x N 为曲线M 上一点，求xy x 22+的最大值.。

极坐标与参数方程复习教案教案：极坐标与参数方程的复习（1200字以上）一、教学目标：1.复习极坐标及参数方程的基本概念和表示法。

2.复习极坐标与参数方程之间的转换关系。

3.复习极坐标和参数方程表示的图形特征。

4.进一步理解和掌握极坐标和参数方程在解决几何问题中的应用。

二、教学内容：1.极坐标表示法的复习1.极坐标系的定义和坐标表示2.极坐标与直角坐标之间的转换关系3.极坐标方程的表示和解析几何意义4.极坐标方程的图形特征2.参数方程表示法的复习1.参数方程的定义和表示方法2.参数方程的图形特征和解析几何意义3.参数方程与直角坐标之间的转换关系3.极坐标与参数方程的相互转换1.极坐标转换为参数方程2.参数方程转换为极坐标4.极坐标和参数方程在几何问题中的应用1.利用极坐标方程和参数方程求曲线的方程2.利用极坐标和参数方程求曲线的长度、面积等几何量3.利用极坐标和参数方程解决几何问题的应用实例三、教学重点和难点：1.极坐标与直角坐标系之间的转换关系及其应用。

2.参数方程与直角坐标系之间的转换关系及其应用。

3.极坐标和参数方程在解决几何问题中的应用实例。

四、教学方法：1.讲授结合演示：通过讲解和示例演示，引导学生理解极坐标与参数方程的基本概念和表示法。

2.练习巩固：通过给予学生一定数量和难度的练习题，巩固学生对极坐标和参数方程的掌握程度。

3.解题指导：针对应用题和难题，给予学生相应的解题指导，帮助学生理解问题的解题思路和方法。

五、教学流程：1.复习极坐标的基本概念和表示法。

2.复习参数方程的基本概念和表示法。

3.复习极坐标与参数方程的相互转换关系。

4.复习极坐标和参数方程表示的图形特征。

5.进一步理解和掌握极坐标和参数方程在解决几何问题中的应用。

6.练习巩固和解题指导。

六、教学资源准备：1.教材教辅资料：教材、习题册、参考书等。

2.多媒体设备：电脑、投影仪等。

3.白板、黑板、彩色粉笔等。

七、教学评价方式：1.观察学生学习的积极程度和参与度。

圆锥曲线------ 极坐标系与参数方程【目标】:1、掌握点的极坐标与直角坐标的互化；2、掌握曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；3、会把极坐标系的问题转化为直角坐标系的问题解决；4、掌握曲线的参数方程与普通（直角坐标）方程的互化；5、会参数方程解决曲线的交点与最值问题。

坐标系一、知识要点1. 对于极坐标系内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长度，用θ表示从Ox 到OM 的角度，则ρ叫做点M 的 ，θ叫做点M 的 ，点M 的极坐标是 。

2. 极坐标与直角坐标的互化公式：x = ，y = ，2ρ = ， θtan = 。

3. 特殊的圆的极坐标方程: r,2cos ,2sin ,cos sin a a a b ρρθρθρθθ====+4. 特殊的直线的极坐标方程：sin ,cos ,(R),a a ρθρθθαρ===∈ 二、例题与练习1. 点M 的直角坐标是 (1-，则M 点的极坐标为（ ）2.(2,).(2,).(2,).(2,2),()3333A B C D k k Z πππππ-+∈2. 曲线的极坐标方程θρsin 4=化为直角坐标方程为 .3. 在极坐标系中，过点4π⎛⎫⎪⎝⎭作圆4sin ρθ=的切线，则切线的极坐标方程是 ．4. 在极坐标系中，已知直线过点（1，0），且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为3π，则直线的极坐标方程为______________.5. 在极坐标系中，圆C 的极坐标方程是π4cos 6ρθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭。

现以极点为原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则圆C 的半径是 ，圆心的直角坐标是 。

6.极坐标内曲线2sin ρθ=的中心O 与点D ()1,π的距离为 ．7. 在极坐标系中，点A (1,)4π到直线sin 2ρθ=-的距离是__ _ _.8. 已知圆的极坐标方程2cos ρθ=，直线的极坐标方程为cos 2sin 70ρθρθ-+=,则圆心到直线距离为 ．9. 极坐标系中，曲线4sin ρθ=-和cos 1ρθ=相交于点,A B ，则AB ＝ ；10. 在极坐标系中，直线π3θ=（ρ∈R ）与圆4cos ρθ=+θ交于A 、B 两点，则AB = ．11. 设Ｍ、Ｎ分别是曲线2sin 0ρθ+=和s ()4in πρθ+=上的动点，则Ｍ、Ｎ的最小距离是12. 在极坐标系中，圆2cos ρθ=的圆心的极坐标是 ，它与方程π4θ=（0ρ>）所表示的图形的交点的极坐标是 ．13. 已知曲线21,C C 的极坐标方程分别为θρθρcos 4,3cos ==（20,0πθρ<≤≥），则曲线1C 与2C 交点的极坐标为__ ___.14. 极坐标系下，直线2)4cos(=-πθρ 与圆2=ρ的公共点个数是_____．15. 在极坐标系中，过点π4,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭引圆4sin ρθ=的一条切线，则切线长为 ．参数方程一、知识要点1． 在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t 的函数 x f (t),y g(t),=⎧⎨=⎩,并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y 的变数t 叫做参变数，简称参数。

参数方程与极坐标教学案一、引言参数方程与极坐标是高中数学教学中的重要内容，它们在解决几何问题和计算问题中具有广泛的应用。

本教学案主要介绍参数方程与极坐标的概念、性质和应用，旨在帮助学生深入理解和掌握这两种坐标系的特点和使用方法。

二、参数方程的概念与性质1.1 参数方程的定义参数方程是以参数为自变量，通过参数与变量之间的对应关系描述曲线的一种坐标系表示方法。

1.2 参数方程的性质（1）参数方程可以表示平面曲线上的任意一点。

（2）参数方程描述的曲线不一定是函数图像。

（3）参数方程能够简化一些复杂的曲线方程的求解过程。

三、参数方程与几何图形2.1 直线的参数方程（1）斜率存在时的参数方程：设直线的斜率为k，过点P(x₁, y₁)，则直线的参数方程为：x = x₁ + ty = y₁ + kt其中t为参数，表示直线上任意一点的坐标。

（2）斜率不存在时的参数方程：设直线垂直于x轴，交点为(x₀, y₁)，则直线的参数方程为：x = x₀y = y₁ + t其中t为参数，表示直线上任意一点的坐标。

2.2 曲线的参数方程（1）椭圆的参数方程：椭圆的参数方程可以表示为：x = a*cos(t)y = b*sin(t)其中a和b分别为椭圆的两个半轴长度。

（2）抛物线的参数方程：抛物线的参数方程可以表示为：x = at²y = 2at其中a为抛物线的参数和焦点到准线的距离。

四、极坐标的概念与性质3.1 极坐标的定义极坐标是以极径和极角为坐标的一种表示方法，其中极径表示点到原点的距离，极角表示点与正半轴的夹角。

3.2 极坐标的性质（1）极坐标中的极径和极角是有序对，唯一确定一点的。

（2）同一点在极坐标和直角坐标系中的表示不同。

五、极坐标的转化与应用4.1 直角坐标转极坐标已知点P(x, y)，其极坐标就可以表示为：r = √(x² + y²)θ = arctan(y/x)4.2 极坐标转直角坐标已知点P(r, θ)，其直角坐标可以表示为：x = r*cos(θ)y = r*sin(θ)六、参数方程与极坐标的应用5.1 参数方程在运动学中的应用通过用参数方程描述物体的运动轨迹，可以更方便地计算物体的位置、速度和加速度等运动学问题。