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2019_2020学年高中数学第三章函数的应用单元测试题新人教A版必修1

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第三章函数的应用能力检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，满分60分)1．已知下列四个函数图象，其中能用“二分法”求出函数零点的是( )【答案】A【解析】由二分法的定义与原理知A选项正确．2．给出下列四个命题：①函数f(x)＝3x－6的零点是2；②函数f(x)＝x2＋4x＋4的零点是－2；③函数f(x)＝log3(x－1)的零点是1；④函数f(x)＝2x－1的零点是0．其中正确的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】当log3(x－1)＝0时，x－1＝1，∴x＝2，故③错，其余都对．3．(2019年北京模拟)函数f(x)＝2x＋log2|x|的零点个数为( )A．3 B．2C．1 D．0【答案】B【解析】函数f(x)＝2x＋log2|x|的零点个数，即为函数y＝－2x的图象和函数y＝log2|x|的图象的交点个数．如图所示．数形结合可得，函数y＝－2x的图象和函数y＝log2|x|的图象的交点个数为2．故选B．4．函数f(x)＝e x＋x－2的零点所在的一个区间是( )A．(－2，－1) B．(－1,0)C．(0,1) D．(1,2)【答案】C【解析】由于f(－2)＝e－2－2－2<0，f(－1)＝e－1－1－2<0，f(0)＝e0＋0－2<0，f(1)＝e1＋1－2>0，故在(0,1)内f(x)存在零点．5(2019年湖北武汉期中)某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4．1x －0．1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )A ．10．5万元B ．11万元C ．43万元D ．43．025万元【答案】C【解析】设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y ＝4．1x －0．1x 2＋2(16－x )＝－0．1x 2＋2．1x ＋32，对称轴为x ＝－2.12×－0.1＝212．因为x ∈[0,16]且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元． 6．如图表示人的体重与年龄的关系，则( )A ．体重随年龄的增长而增加B ．25岁之后体重不变C ．体重增加最快的是15岁至25岁D ．体重增加最快的是15岁之前 【答案】D【解析】函数不是增函数，故A 错；[0,50]上为增函数，故B 错；[0,15]上线段增长比[15,25]上线段增长快，故C 错，D 对．7．用二分法求函数f (x )＝x 3＋5的零点可以取的初始区间是( ) A ．[－2，－1] B ．[－1,0] C ．[0,1] D ．[1,2]【答案】A【解析】易知函数f (x )＝x 3＋5是单调增函数，只有f (－2)·f (－1)<0．8．某商人购货，进价已按原价a 扣去25%．他希望对货物订一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系式为( )A ．y ＝4ax (x ∈N *) B ．y ＝2ax (x ∈N *) C ．y ＝a2x (x ∈N *)D ．y ＝a4x (x ∈N *)【答案】D【解析】设新价为b ，依题意有b (1－20%)－a (1－25%)＝b (1－20%)·25%，化简得b ＝54a ．∴y ＝b ·20%·x ＝54a ·20%·x ，即y ＝a4x (x ∈N *)．9．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表：x －3 －2 －1 0 1 2 3 4 y6m －4－6－6－4n6不求a ，b ，c 的值，可以判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根所在的区间是( ) A ．(－3，－1)和(2,4) B ．(－3，－1)和(－1,1) C ．(－1,1)和(1,2) D ．(－∞，－3)和(4，＋∞)【答案】A【解析】由于f (－3)＝6>0，f (－1)＝－4<0，f (2)＝－4<0，f (4)＝6>0，则f (－3)·f (－1)<0，f (2)·f (4)<0．故方程的两根分别在区间(－3，－1)和(2,4)内．10．利用一根长6米的木料，做一个如图的矩形窗框(包括中间两条横档)，则窗框的高和宽的比值为多少时透过的光线最多(即矩形窗框围成的面积最大)( )A ．1．5B ．2C ．0．5D ．1【答案】B【解析】设窗框的宽为x ，高为h ，则2h ＋4x ＝6，即h ＋2x ＝3，∴h ＝3－2x ．由h >0，得0<x <32，∴矩形窗框围成的面积S ＝x (3－2x )＝－2x 2＋3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<x <32．当x ＝－32×－2＝34＝0．75时，S 有最大值，此时h ＝3－2x ＝1．5，高与宽之比为2．11．在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：x －2．0 －1．0 0 1．00 2．00 3．00 y0．240．5112．023．988．02则x ，A ．y ＝a ＋b xB ．y ＝a ＋bxC ．y ＝a ＋log b xD ．y ＝a ＋b x【答案】A【解析】B 为匀速递增，在C 中，x 要求大于0，D 是成反比，又因为函数值增长速度越来越快，只有A 项中指数型函数最接近．12．(2019年河南开封模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，－2≤x ≤0，f x －1，0＜x ≤2，则方程5[x －f (x )]＝1在[－2,2]上的根的个数为( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个【答案】D【解析】因为5[x －f (x )]＝1，故f (x )＝x －15．在同一直角坐标系中分别作出函数y ＝f (x )，y ＝x －15的图象如图所示．观察可知，两个函数的图象在[－2,2]上有6个交点，故方程5[x－f (x )]＝1在[－2,2]上有6个根．故选D ．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)13．用二分法求方程x 3＋4＝6x 2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0,1)内，则下一步可断定该根所在的区间为__________．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 【解析】设f (x )＝x 3－6x 2＋4，显然f (0)>0，f (1)<0，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋4>0，∴下一步可断定方程的根所在的区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1．14．已知函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，其零点为x 1，x 2，…，x 2 019，则x 1＋x 2＋…＋x 2 019＝________．【答案】0【解析】由于奇函数图象关于原点对称，因此零点是对称的，所以x 1＋x 2＋…＋x 2 019＝0． 15．(2019年河南郑州期末)某化工厂打算投入一条新的生产线，但需要经环保部门审批同意方可投入生产．已知该生产线连续生产n 年的累计产量为f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)吨，但如果年产量超过150吨，会给环境造成危害，为保护环境，环保部门应给该厂这条生产线拟定最长的生产期限是________年．【答案】7【解析】由已知可得第n年的年产量y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f1，n ＝1，f n －f n －1，n ∈N ，n ≥2.f (n )＝12n (n ＋1)(2n ＋1)，所以f (1)＝3．当n ≥2时，f (n －1)＝12n (n －1)(2n －1)，所以f (n )－f (n－1)＝3n 2，n ＝1时，也满足上式．所以第n 年的年产量为y ＝3n 2．令3n 2≤150，得n 2≤50．因为n ∈N ，n ≥1，所以1≤n ≤7，所以n max ＝7．16．已知y ＝x (x －1)(x ＋1)的图象如图所示．令f (x )＝x (x －1)(x ＋1)＋0．01，则下列关于f (x )＝0的解叙述正确的是________．①有三个实根； ②x ＞1时恰有一实根； ③当0＜x ＜1时恰有一实根； ④当－1＜x ＜0时恰有一实根； ⑤当x ＜－1时恰有一实根． 【答案】①⑤【解析】f (x )的图象是将函数y ＝x (x －1)(x ＋1)的图象向上平移0．01个单位长度得到．故f (x )的图象与x 轴有三个交点，它们分别在区间(－∞，－1)，⎝⎛⎭⎪⎫0，12和⎝⎛⎭⎪⎫12，1内，故只有①⑤正确．三、解答题(本大题共6小题，满分70分)17．(10分)方程x 2－1x＝0在区间(－∞，0)内是否存在实数解？并说明理由．【解析】不存在，因为当x ＜0时，－1x＞0，∴x 2－1x ＞0恒成立，故不存在x ∈(－∞，0)，使x 2－1x＝0．18．(12分)铁路运输托运行李，从甲地到乙地，规定每张客票托运费计算方法是：行李质量不超过50 kg 时，按0．25元/kg 计算；超过50 kg 而不超过100 kg 时，其超过部分按0．35元/kg 计算；超过100 kg 时，其超过部分按0．45元/kg 计算．(1)计算出托运费用；(2)若行李质量为56 kg ，托运费用为多少？【解析】(1)设行李质量为x kg ，托运费用为y 元，则 若0＜x ≤50，则y ＝0．25x ；若50＜x ≤100，由y ＝12．5＋0．35(x －50)； 若x ＞100，则y ＝30＋0．45(x －100)． 所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0.25x ，0＜x ≤50，0.35x －5，50＜x ≤100，0.45x －15，x ＞100.(2)[JP 2]因为50 kg ＜56 kg ＜100 kg ，所以y ＝12．5＋6×0．35＝14．6元．19．(12分)为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －a(a 为常数)，如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：(1)求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式；(2)据测定，当空气中每立方米的含药量不超过0．25毫克时，学生方可进教室．那从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回到教室？【解析】(1)由题意和图示，当0≤t ≤0．1时，可设y ＝kt (k 为待定系数)，由于点(0．1,1)在直线上，∴k ＝10．同理，当t ＞0．1时，可得1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1160．1－a ，解得a ＝0．1． 所以从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10t ，0≤t ≤0.1，⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0.1，t >0.1.(2)令⎝ ⎛⎭⎪⎫116t －0．1≤0．25，解得t ≥0．6， 由题意得至少需要经过0．6小时后，学生才能回到教室．20(12分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab 的两个零点分别是－3和2． (1)求f (x )；(2)当函数f (x )的定义域是[0,1]时，求函数f (x )的值域． 【解析】(1)∵f (x )的两个零点是－3和2， ∴函数图象过点(－3,0)，(2,0)．∴9a －3(b －8)－a －ab ＝0，① 4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0．② 由①－②，得b ＝a ＋8．③③代入②，得4a ＋2a －a －a (a ＋8)＝0，即a 2＋3a ＝0． ∵a ≠0，∴a ＝－3．∴b ＝a ＋8＝5． ∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18．(2)由(1)，得f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34＋18，图象的对称轴方程是x ＝－12．又0≤x ≤1，∴f (x )min ＝f (1)＝12，f (x )max ＝f (0)＝18． ∴函数f (x )的值域是[12,18]．21(12分)经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足f (t )＝20－12|t－10| (元)．(1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式； (2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．【解析】(1)y ＝g (t )·f (t )＝(80－2t )·⎝ ⎛⎭⎪⎫20－12|t －10|＝(40－t )(40－|t －10|) ＝⎩⎪⎨⎪⎧30＋t 40－t ，0≤t <10，40－t50－t ，10≤t ≤20.(2)当0≤t <10时，y 的取值范围是[1 200,1 225]， 所以当t ＝5时，y 取得最大值为1 225； 当10≤t ≤20时，y 的取值范围是[600,1 200]， 所以当t ＝20时，y 取得最小值为600．22(12分)已知函数f (x )＝－x 2－2x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋54，x ＞0，x ＋1，x ≤0.(1)求g [f (1)]的值；(2)若方程g [f (x )]－a ＝0有4个实数根，求实数a 的取值范围． 【解析】(1)∵f (1)＝－12－2×1＝－3， ∴g [f (1)]＝g (－3)＝－3＋1＝－2．(2)令f (x )＝t ，则原方程化为g (t )＝a ，易知方程f (x )＝t 在t ∈(－∞，1)内有2个不同的解，则原方程有4个解等价于函数y ＝g (t )(t ＜1)与y ＝a 的图象有2个不同的交点．作出函数y ＝g (t )(t ＜1)的图象如图所示．由图象可知，当1≤a ＜54时，函数y ＝g (t )(t ＜1)与y ＝a 有2个不同的交点，所以所求a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，54．。

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高中数学人教A版(2019)必修一 第三章 第一节 函数的解析式的求法

高中数学人教A版(2019)必修一 第三章 第一节 函数的解析式的求法

高中数学人教A 版（2019）必修一 第三章 第一节 函数的解析式的求法一、单选题(共4题；共8分)1．（2分）若函数f(x−1x )=1x 2−2x+1，则函数g(x)=f(x)−4x 的最小值为（ ）A ．-1B ．-2C ．-3D ．-42．（2分）若f(1x )=x+1x2，则有（ ）A ．f(x)=x 2+1B ．f(x)=x 2+xC ．f(x)=x 2+x(x ≠0)D ．f(x)=x 2+1(x ≠0)3．（2分）已知f(x −1)=x 2+4x −5，则f(x)的解析式是（ ）A ．f(x)=x 2+6xB ．f(x)=x 2+8x +7C ．f(x)=x 2+2x −3D ．f(x)=x 2+6x −104．（2分）已知 f(x)+2f(−x)=3x 2−x ，则 f(x)= （ ）A ．x 2+xB ．x 2C ．3x 2+xD ．x 2+3x二、多选题(共2题；共6分)5．（3分）已知函数f(√x −1)=2x +√x −3，则（ ）A ．f(1)=7B ．f(x)=2x 2+5xC ．f(x)的最小值为−258D ．f(x)的图象与x 轴只有1个交点6．（3分）已知f(x-1)=x 2，则下列结论正确的是（ ）A ．f(−3)=4B ．f(x)=(x +1)2C ．f(x)=x 2D ．f （3）=16三、填空题(共3题；共3分)7．（1分）若函数 f(√x +1)=x −1 ，则 f(x)= ．8．（1分）已知函数 f(x) 满足 f(2x +1)=x 2−2x ，则 f(2) 的值为 ． 9．（1分）若函数f(2x +1)=x +1，则f(1−x)= .四、解答题(共9题；共85分)10．（10分）求下列函数的解析式：（1）（5分）已知二次函数f(x)满足f(0)=1，且f(x +1)−f(x)=2x ； （2）（5分）已知函数f(x)满足：f(√x +1)=x −2√x ；11．（10分）已知函数g(√x +2)=x +2√x +1（1）（5分）求函数g(x)的解析式；（2）（5分）设f(x)=g(x)−2x x，若存在x ∈[2，3]使f(x)−kx ≤0成立，求实数k 的取值范围．12．（10分）已知二次函数f(x)=ax 2+bx +c .（1）（5分）若函数满足f(x +1)−f(x)=2x +2，且f(0)=1.求f(x)的解析式；（2）（5分）若对任意x ∈R ，不等式f(x)≥2ax +b 恒成立，求b 24(a 2+c 2)的最大值.13．（10分）求下列函数的解析式（1）（5分）已知f(x)是一次函数，且满足3f(x +1)−2f(x −1)=2x +17，求f(x)； （2）（5分）若函数f(√x +1)=x −1，求f(x)．14．（10分）已知二次函数f(x)=ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于点(1，0)和(2，0)，与y 轴交于点(0，2).（1）（5分）求二次函数f(x)的解析式；（2）（5分）若关于x 的不等式f(x)≤tx 2−(t +3)x +3对一切实数x 恒成立，求实数t 的取值范围.15．（10分）已知函数 f(x) 满足 f(x)+2f(1x)=3x .（1）（5分）求函数 f(x) 的解析式；（2）（5分）判断函数 f(x) 在 (0，+∞) 上的单调性，并用定义证明.16．（10分）若 f(x) 是定义在 R 上的二次函数，对称轴 x =−12，且 f(1)=3 ， f(0)=1 .（1）（5分）求函数 f(x) 的解析式；（2）（5分）设函数 g(x)=kx 2+2kx +1(k ≠0) ，若对 ∀x 1∈[−2，2] ， ∃x 2∈[−1，2] ， f(x 1)=g(x 2) ，求实数 k 的取值范围.17．（5分）若 f(x) 是二次函数，且满足 f(0)=3 ， f(x −1)−f(x)=−4x ，求 f(x) 的解析式.18．（10分）（1）（5分）已知f(x)是一次函数，且满足3f(x +1)−2f(x −1)=2x +17，求f(x)的解析式； （2）（5分）已知函数f(x)={x +2(x ≤1)x 2(1<x <2)2x(x ≥2)①求f(2)，f(12)，f[f(−1)]；②若f(a)=3，求a的值．答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】因为f(x−1x )=1x 2−2x +1=x 2−2x+1x 2=(x−1x )2， 所以f(x)=x 2(x ≠1).从而g(x)=x 2−4x =(x −2)2−4， 当x =2时，g(x)取得最小值，且最小值为-4. 故答案为：D【分析】由配方法求得f(x)=x 2(x ≠1)，进而得到g(x)=x 2−4x ，即可求解。

高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.4 函数的应用(一)一课一练(含解析)新人教A版必修第一册-

高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.4 函数的应用(一)一课一练(含解析)新人教A版必修第一册-

第三章函数的概念与性质3.4函数的应用(一)考点1一次、二次函数模型的应用1.(2019·某某某某中学高一期中考试)一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份2元,卖出的价格是每份3元,卖不完的还可以以每份0.8元的价格退回报社。

在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份,其余10天每天只能卖出250份,且每天从报社买进报纸的份数都相同,要使推销员每月所获得的利润最大,则应该每天从报社买进报纸()。

A.215份B.350份C.400份D.520份答案：C解析：设每天从报社买进x(250≤x≤400,x∈N)份报纸时,每月所获利润为y元,具体情况如下表:数量/份单价/元金额/元买进30x 2 60x卖出20x+10×250 3 60x+7500退回10(x-250) 0.8 8x-2000y=[(60x+7500)+(8x-2000)]-60x=8x+5500(250≤x≤400,x∈N)。

∵y=8x+5500在[250,400]上是增函数,∴当x=400时,y取得最大值8700。

即每天从报社买进400份报纸时,每月获得的利润最大,最大利润为8700元。

故选C。

2.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销量m(件)与售价x(元/件)之间的关系满足一次函数:m=162-3x。

若要使每天获得最大的销售利润,则该商品的售价应定为()。

A.40元/件B.42元/件C.54元/件D.60元/件答案：B解析：设每天获得的销售利润为y元,则y=(x-30)(162-3x)=-3(x-42)2+432,所以当x=42时,获得的销售利润最大,故该商品的售价应定为42元/件。

3.某厂日产手套的总成本y(元)与日产量x(双)之间的关系式为y=5x+40000。

而手套出厂价格为每双10元,要使该厂不亏本至少日产手套()。

A.2000双B.4000双C.6000双D.8000双答案：D解析：由5x +40000≤10x ,得x ≥8000,即至少日产手套8000双才不亏本。

2019_2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.2.1.1函数的单调性讲义新人教A版必修第一册

2019_2020学年新教材高中数学第三章函数的概念与性质3.2.1.1函数的单调性讲义新人教A版必修第一册

3.2.1 单调性与最大(小)值最新课程标准：借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义．第1课时 函数的单调性知识点一 定义域为I 的函数f (x )的单调性状元随笔 定义中的x 1，x 2有以下3个特征(1)任意性，即“任意取x 1，x 2”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；(2)有大小，通常规定x 1<x 2； (3)属于同一个单调区间． 知识点二 单调性与单调区间如果函数y ＝f (x )在区间D 上是单调递增或单调递减，那么就说函数y ＝f (x )在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做y ＝f (x )的单调区间．状元随笔 一个函数出现两个或者两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接，而应该用“和”连接. 如函数y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，却不能表述为：函数y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上单调递减． [教材解难]1．教材P 77思考f (x )＝|x |在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增； f (x )＝－x 2在(－∞，0]上单调递增，在[0，＋∞)上单调递减．2．教材P 77思考(1)不能 例如反比例函数f (x )＝－1x，在(－∞，0)，(0，＋∞)上是单调递增的，在整个定义域上不是单调递增的．(2)函数f (x )＝x 在(－∞，＋∞)上是单调递增的．f (x )＝x 2在(－∞，0]上是单调递减，在[0，＋∞)上是单调递增的．[基础自测]1．下列说法中正确的有( )①若x 1，x 2∈I ，当x 1<x 2时，f (x 1)<f (x 2)，则y ＝f (x )在I 上是增函数； ②函数y ＝x 2在R 上是增函数； ③函数y ＝－1x在定义域上是增函数；④y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：由于①中的x 1，x 2不是任意的，因此①不正确；②③④显然不正确． 答案：A2．函数y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则( ) A ．m >12 B ．m <12C ．m >－12D ．m <－12解析：使y ＝(2m －1)x ＋b 在R 上是减函数，则2m －1<0，即m <12.答案：B3．函数y ＝－2x 2＋3x 的单调减区间是( ) A ．[0，＋∞) B．(－∞，0) C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 解析：借助图象得y ＝－2x 2＋3x 的单调减区间是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞，故选D.答案：D4．若f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，则x1，x2的大小关系为________．解析：∵f(x)在R上是增函数，且f(x1)>f(x2)，∴x1>x2.答案：x1>x2题型一利用函数图象求单调区间[经典例题]例1 已知函数y＝f(x)的图象如图所示，则该函数的减区间为( )A．(－3,1)∪(1,4) B．(－5，－3)∪(－1,1)C．(－3，－1)，(1,4) D．(－5，－3)，(－1,1)【解析】在某个区间上，若函数y＝f(x)的图象是上升的，则该区间为增区间，若是下降的，则该区间为减区间，故该函数的减区间为(－3，－1)，(1,4)．【答案】 C观察图象，若图象呈上升(下降)趋势时为增(减)函数，对应的区间是增(减)区间．跟踪训练1 函数f(x)的图象如图所示，则( )A．函数f(x)在[－1,2]上是增函数B．函数f(x)在[－1,2]上是减函数C．函数f(x)在[－1,4]上是减函数D．函数f(x)在[2,4]上是增函数解析：函数单调性反映在函数图象上就是图象上升对应增函数，图象下降对应减函数，故选A.答案：A根据图象上升或下降趋势判断．题型二函数的单调性判断与证明[教材P79例3]例2 根据定义证明函数y ＝x ＋1x在区间(1，＋∞)上单调递增．【证明】 ∀x 1，x 2∈(1，＋∞)， 且x 1<x 2，有y 1－y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 1x 1x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)． 由x 1，x 2∈(1，＋∞)，得x 1>1，x 2>1. 所以x 1x 2>1，x 1x 2－1>0. 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0. 于是x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－1)<0， 即y 1<y 2.所以，函数y ＝x ＋1x在区间(1，＋∞)上单调递增.先根据单调性的定义任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，再判断f(x 1)－f(x 2)的符号． 教材反思利用定义证明函数单调性的步骤注：作差变形是解题关键．跟踪训练2 利用单调性的定义，证明函数y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 证明：设x 1，x 2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)， ∵－1<x 1<x 2，∴x 2－x 1>0，x 1＋1>0，x 2＋1>0. ∴x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)>0.即f (x 1)－f (x 2)>0，f (x 1)>f (x 2)．∴y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． 利用四步证明函数的单调性．题型三 由函数的单调性求参数的取值范围[经典例题]例3 已知函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，求实数a 的取值范围．【解析】 ∵f (x )＝x 2－2(1－a )x ＋2＝[x －(1－a )]2＋2－(1－a )2， ∴f (x )的减区间是(－∞，1－a ]． ∵f (x )在(－∞，4]上是减函数，∴对称轴x ＝1－a 必须在直线x ＝4的右侧或与其重合． ∴1－a ≥4，解得a ≤－3. 故a 的取值范围为(－∞，－3]．状元随笔 首先求出f(x)的单调减区间，求出f(x)的对称轴为x ＝1－a ，利用对称轴应在直线x ＝4的右侧或与其重合求解.方法归纳“函数的单调区间为I ”与“函数在区间I 上单调”的区别单调区间是一个整体概念，说函数的单调递减区间是I ，指的是函数递减的最大范围为区间I ，而函数在某一区间上单调，则指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题时，一定要仔细读题，明确条件含义．跟踪训练3 例3中，若将“函数在区间(－∞，4]上是减函数”改为“函数的单调递减区间为(－∞，4]”，则a 为何值？解析：由例3知函数f (x )的单调递减区间为(－∞，1－a ]， ∴1－a ＝4，a ＝－3.求出函数的减区间，用端点值相等求出a.一、选择题1．定义在R 上的函数f (x )对任意两个不相等的实数a ，b ，总有f (a )－f (b )a －b>0，则必有( )A ．函数f (x )先增后减B ．f (x )是R 上的增函数C ．函数f (x )先减后增D ．函数f (x )是R 上的减函数 解析：由f (a )－f (b )a －b>0知，当a >b 时，f (a )>f (b )；当a <b 时，f (a )<f (b )，所以函数f (x )是R 上的增函数．答案：B2．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是( ) A ．y ＝－3x ＋2 B ．y ＝3xC ．y ＝x 2－4x ＋5D ．y ＝3x 2＋8x －10解析：显然A 、B 两项在(0,2)上为减函数，排除；对C 项，函数在(－∞，2)上为减函数，也不符合题意；对D 项，函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，＋∞上为增函数，所以在(0,2)上也为增函数，故选D.答案：D3．函数f (x )＝x |x －2|的增区间是( ) A ．(－∞，1] B ．[2，＋∞) C ．(－∞，1]，[2，＋∞) D．(－∞，＋∞)解析：f (x )＝x |x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥2，2x －x 2，x <2，作出f (x )简图如下：由图象可知f (x )的增区间是(－∞，1]，[2，＋∞)． 答案：C4．函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(0，＋∞)C ．(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)解析：因为函数y ＝f (x )在R 上为增函数，且f (2m )>f (－m ＋9)，所以2m >－m ＋9，即m >3.答案：C 二、填空题5．如图所示为函数y ＝f (x )，x ∈[－4,7]的图象，则函数f (x )的单调递增区间是____________．解析：由图象知单调递增区间为[－1.5,3]和[5,6]． 答案：[－1.5,3]和[5,6]6．若f (x )在R 上是单调递减的，且f (x －2)<f (3)，则x 的取值范围是________． 解析：函数的定义域为R .由条件可知，x －2>3，解得x >5. 答案：(5，＋∞)7．函数y ＝|x 2－4x |的单调减区间为________．解析：画出函数y ＝|x 2－4x |的图象，由图象得单调减区间为：(－∞，0]，[2,4]．答案：(－∞，0]，[2,4] 三、解答题8．判断并证明函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上的单调性．解析：函数f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．证明如下：设x 1，x 2是(0，＋∞)上的任意两个实数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋1＝x 1－x 2x 1x 2，由x 1，x 2∈(0，＋∞)，得x 1x 2>0， 又由x 1<x 2，得x 1－x 2<0， 于是f (x 1)－f (x 2)<0， 即f (x 1)<f (x 2)，∴f (x )＝－1x＋1在(0，＋∞)上是增函数．9．作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图象，并指出函数的单调区间．解析：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －3，x ≤1，(x －2)2＋3，x >1的图象如图所示．由图象可知：函数的单调减区间为(－∞，1]和(1,2]；单调递增区间为(2，＋∞)．[尖子生题库]10．已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，求x 的取值范围． 解析：∵f (x )是定义在[－1,1]上的增函数， 且f (x －2)<f (1－x )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x －2≤1，－1≤1－x ≤1，x －2<1－x ，解得1≤x <32，所以x 的取值范围为1≤x <32.。

精编人教A版高中数学必修一第三章《函数的应用》综合提高测试题

精编人教A版高中数学必修一第三章《函数的应用》综合提高测试题

精编人教A 版高中数学必修一第三章《函数的应用》综合提高测试题一、选择题1. 函数223y x x =--的零点是（ ）A ．1,3- B ．3,1- C ．1,2 D ．不存在2. 方程1lg x x -=必有一个根的区间是（ ）A ．(0.1,0.2)B ．(0.2,0.3) C ．(0.3,0.4) D ．(0.4,0.5) ３．下列函数中增长速度最快的是（ ） Ａ．1100x y e = B ．y=100ln x C ．y=100x D ．y=1002x ⋅4．已知函数2212341,2,21,2,x y y x y x y x==--=-=其中能用二分法求出零点的函数个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45. 若函数()f x 唯一的零点一定在三个区间(2,16)2824、（，）、（，）内，那么下列命题中正确的是（ ） A ．函数()f x 在区间(2,3)内有零点B ．函数()f x 在区间(2,3(3,4)）或内有零点C ．函数()f x 在区间(3,16)内有零点D ．函数()f x 在区间(4,16)内无零点6. 如图表示人的体重与年龄的关系，则（ ）A ．体重随年龄的增长而增加B ．25岁之后体重不变C ．体重增加最快的是15~25岁D ．体重增加最快的是15岁之前 7. 世界人口已超过60亿，若按千分之一的年增长率计算，则两年增长的人口约为（ ）A ．120万B ．1100万C ．1200万D ．12000万8. 已知函数()24f x mx =+，若在[]2,1-上存在0x 使0()0f x =，则实数m 的取值范围是（ ）A ．5,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.(][),21,-∞-+∞ C. []1,2- D. []2,1-9. 若商品进价每件40元，当售价为50元/件时，一个月能卖出500件，通过市场调查发现，若每件商品 的单价每提高1元，则商品一个月的销售量会减少10件。