江苏省苏锡常镇四市2017届高三教学情况调研(二)(5月)数学Word版含答案

江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研（二)数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡．．．相应位置上．．．．．． 1． 若复数z 满足(1+i)z=2(i 是虚数单位),则z 的虚部为 ．2． 设集合{24}A =，，2{2}(B a =，其中0)a <，若A B =,则实数a = ． 3． 在平面直角坐标系xOy 中，点(24)P -，到抛物线28y x =-的准线的距离为 ． 4． 一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如右图所示,则这五人成绩的方差为 ．5． 下图是一个算法流程图，若输入值[02]x ∈，,则输出值S 的取值范围是 ．6． 欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之,自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计）,则油恰好落入孔中的概率是 ．7．已知函数()sin(π)(02π)f x x x ϕ=+<<在2x =时取得最大值,则ϕ= ．S ←2x −x 2S ←1输出S 结束 开始 输入xx ＜1Y N 7 88 2 4 4 9 28．已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1054S S =，则14a d = ．9．在棱长为2的正四面体P ABC -中，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，点D 是线段PN 上一点，且2PD DN =，则三棱锥D MBC -的体积为 ．10．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a b c ，，，且满足3cos cos 5a B b A c -=，则tan tan AB= ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)2C x y ++=，点(20)A ，，若圆C 上存在点M ,满足2210MA MO +≤，则点M 的纵坐标的取值范围是 ．12．如图,扇形AOB 的圆心角为90°,半径为1，点P 是圆弧AB 上的动点,作点P 关于弦AB 的对称点Q ,则OP OQ ⋅的取值范围为 ．13．已知函数1(|3|1)0()2ln 0x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩，，， ，若存在实数a b c <<，满足()()()f a f b f c ==,则()()()af a bf b cf c ++的最大值是 ．14．已知a b ，为正实数，且()234()a b ab -=，则11a b+的最小值为 ． 二、填空题（每题4分,满分20分，将答案填在答题纸上）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在四棱锥P ABCD -中，90ADB ∠=，CB CD =，点E 为棱PB 的中点．（1)若PB PD =，求证：PC BD ⊥；ABCDP E（2）求证：CE //平面PAD ．16．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，,设△ABC 的面积为S ，且22243()S a c b =+-。

11．在 中，角 ， ， 对边分别是 ， ， ，若满足 ，则角 的大小为__________．
12．在 中， ， ， ， 是 所在平面内一点，若 ，则 面积的最小值为__________．
13．已知函数 若函数 有三个零点，则实数 的取值范围为__________．
14．已知 ， 均为正数，且 ，则 的最小值为________．
一、填空题
1．已知集合 ， ，则 __________．
2．已知 为虚数单位，复数 ，且 ，则 ______．
3．下表是一个容量为10的样本数据分组后的频数分布.若利用组中值近似计算本组数据的平均数 ，则 的值为__________．
4．已知直线 为双曲线 （ ， ）的一条渐近线，则该双曲线的离心率的值为__________．
（1）求在一局游戏中得3分的概率；
（2）求游戏结束时局数 的分布列和数学期望 .
26．已知
其中 ， ， ， .
（1）试求 ， ， 的值；
（2）试猜测 关于 的表达式，并证明你的结论.
（1）求利润函数 的函数关系式，并写出定义域；
（2）当投入的肥料费用为多少时，该， ， 为自然对数的底数， .
（1）当 ， 时，设函数 的最小值为 ，求 的最大值；
（2）若关于 的方程 在区间 上有两个不同实数解，求 的取值范围.
如图，直线 切圆 于点 ，直线 交圆 于 ， 两点， 于点 ，且 ，求证： .
22．B.选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵 的一个特征值 及对应的特征向量 .
求矩阵 的逆矩阵.
23．C.选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系 中，以 为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系.已知曲线 的参数方程为 （ ， 为参数），曲线 的极坐标方程为 （ ）.若曲线 与曲线 有且仅有一个公共点，求实数 的值.

【全国市级联考】江苏省苏锡常镇四市2017-2018学年度高三教学情况调研（二）数学试题数学试题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡．．．相应位置上．．．．．． 1．若复数z 满足(1+i)z=2(i 是虚数单位)，则z 的虚部为 ．2．设集合{24}A =，，2{2}(B a =，其中0)a <，若A B =，则实数a = ． 3．在平面直角坐标系xOy 中，点(24)P -，到抛物线28y x =-的准线的距离为 ．4．一次考试后，从高三（1）班抽取5人进行成绩统计，其茎叶图如右图所示，则这五人成绩的方差为 ．5．下图是一个算法流程图，若输入值[02]x ∈，，则输出值S 的取值范围是 ．6．欧阳修在《卖油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油翁的技艺之高超，若铜钱直径4厘米，中间有边长为1厘米的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是 ．7．已知函数()sin(π)(02π)f x x x ϕ=+<<在2x =时取得最大值，则ϕ= ． 8．已知公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1054S S =，则14ad= ． 9．在棱长为2的正四面体P ABC -中，M ，N 分别为PA ，BC 的中点，点D 是线段PN 上一点，且2PD DN =，则三棱锥D MBC -的体积为 ．10．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a b c ，，，且满足3cos cos 5a B b A c -=，则t a n t a n AB= ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆22:(1)2C x y ++=，点(20)A ，，若圆C 上存在点M ，满足2210MA MO +≤，则点M 的纵坐标的取值范围是 ．12．如图，扇形AOB 的圆心角为90°，半径为1，点P 是圆弧AB 上的动点，作点P 关于弦AB 的对称点Q ，则OP OQ ⋅的取值范围为 ．13．已知函数1(|3|1)0()2ln 0x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩，，， ，若存在实数a b c <<，满足()()()f a f b f c ==，则()()()af a bf b cf c ++的最大值是 ． 14．已知a b ，为正实数，且()234()a b ab -=，则11a b+的最小值为 ． 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15．如图，在四棱锥P ABCD -中，90ADB ∠=，CB CD =，点E 为棱PB 的中点．（1）若PB PD =，求证：PC BD ⊥； （2）求证：CE //平面PAD ．ABCDP E16．在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a b c ，，，设△ABC 的面积为S ，且2224()S a c b =+-.（1）求B ∠的大小；（2）设向量(sin 23cos )A A =，m ，(32cos )A =-，n ，求⋅m n 的取值范围． 17．（本小题满分14分）下图（I ）是一斜拉桥的航拍图，为了分析大桥的承重情况，研究小组将其抽象成图（II ）所示的数学模型．索塔AB ，CD 与桥面AC 均垂直，通过测量知两索塔的高度均为60m ，桥面AC 上一点P 到索塔AB ，CD 距离之比为21:4，且P 对两塔顶的视角为135． （1）求两索塔之间桥面AC 的长度；（2）研究表明索塔对桥面上某处的“承重强度”与多种因素有关，可简单抽象为：某索塔对桥面上某处的“承重强度”与索塔的高度成正比（比例系数为正数a ），且与该处到索塔的距离的平方成反比（比例系数为正数b ）．问两索塔对桥面何处的“承重强度”之和最小？并求出最小值．18．如图，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，焦点到相应准线的距离为1，点A ，B ，C 分别为椭圆的左顶点、右顶点和上顶点，过点C 的直线l 交椭圆于点D ，交x 轴于点1(0)M x ，，直线AC 与直线BD 交于点22()N x y ，．（1）求椭圆的标准方程；（2）若2CM MD =，求直线l 的方程；（3）求证：12x x ⋅为定值．19．已知函数32()1f x x ax bx a b =+++∈，，R ． （1）若20a b +=，①当0a >时，求函数()f x 的极值（用a 表示）；②若()f x 有三个相异零点，问是否存在实数a 使得这三个零点成等差数列？若存在，试求出a 的值；若不存在，请说明理由；（2）函数()f x 图象上点A 处的切线1l 与()f x 的图象相交于另一点B ，在点B 处的切线为2l ，直线12l l ，的斜率分别为12k k ，，且21=4k k ，求a b ，满足的关系式． 20．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为d ，数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意的*n ∈N ，692n n n S b a =--恒成立．（1）如果数列{}n S 是等差数列，证明数列{}n b 也是等差数列； （2）如果数列12n b ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列，求d 的值； （3）如果3d =，数列{}n c 的首项为1，1(2)n n n c b b n -=-≥，证明数列{}n a 中存在无穷多项可表示为数列{}n c 中的两项之和．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A ，B ，C ，D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲如图所示，AB 为⊙O 的直径，AE 平分BAC ∠交⊙O 于E 点，过E 作⊙O 的切线交AC 于点D ，求证AC DE ⊥．B ．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵214x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦M =的一个特征值为3，求1-M ． C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos (22sin x t t y t =+⎧⎨=-+⎩，为参数)．以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos()()4a a πθ-=∈R ，已知圆心C 到直线l，求a 的值．D ．选修4—5：不等式选讲已知实数a b c ，，满足21a b c ++=，2221a b c ++=，求证：213c -≤≤． 【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．甲、乙、丙三位学生各自独立地解同一道题，已知甲做对该题的概率为13，乙、丙做对该题的概率分别为()m n m n >，，且三位学生能否做对相互独立，设X 为这三位学生中做对该题的人数，其分布列为：（1）求m n ，的值； （2）求X 的数学期望．23．已知函数21()((R)n f x x n x +*=∈∈N ，．（1）当2n =时，若(2)(2)f f +-=，求实数A 的值；（2）若(2)(01)f m m αα*=+∈<<N ，，求证：()1m αα+=． 2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）参考答案一、填空题：1．1-2．2-3．44．20.85．[]01，6．14π7．π28．29．910．411．22⎡-⎢⎣⎦，12．11⎤⎦，13．22e 12-14． 二、解答题15．证明：（1）取BD 的中点O ，连结CO PO ，，因为CD CB =，所以△CBD 为等腰三角形，所以BD CO ⊥． 因为PB PD =，所以△PBD 为等腰三角形，所以BD PO ⊥． 又PO CO O =，所以BD ⊥平面PCO ． 因为PC ⊂平面PCO ，所以PC BD ⊥． （2）由E 为PB 中点，连EO ，则EO PD ∥， 又EO ⊄平面PAD ，所以EO ∥平面PAD ． 由90ADB ∠=︒，以及BD CO ⊥，所以CO AD ∥，又CO ⊄平面PAD ，所以CO ∥平面PAD ． 又=COEO O ，所以平面CEO ∥平面PAD ，而CE ⊂平面CEO ，所以CE ∥平面PAD ．16．解（1）由题意，有22214sin )2ac B a c b ⨯=+-，则sin B =，所以sin B B =．因为sin 0B ≠，所以cos 0B ≠，所以tan B = 又0πB <<，所以π3B =． （2）由向量(sin 23cos )A A =，m ，(32cos )A =-，n ，得2π3sin 26cos 3sin 23cos 23)34A A A A A -=--=--m n =．由（1）知π3B =，所以2π3A C +=，所以2π03A <<．所以ππ13π2()4412A -∈-，．所以πsin(2)142A ⎛⎤-∈-⎥ ⎝⎦．所以( 63⎤∈-⎦m n．即取值范围是(63⎤-⎦． 17．解（1）设21AP t =，4(0)BP t t =>，，记==APB CPD αβ∠∠，，则60206015tan =tan 2174t t t tαβ===，， 由22015tan tan 7tan()tan 4513001tan tan 17t t t αβαβαβ+++=︒===--， 化简得271253000t t --=，解得20t =或157t =-（舍去）， 所以，2520500AC AP PC =+=⨯=． 答：两索塔之间的距离AC =500米．（2）设AP=x ，点P 处的承重强度之和为()L x . 则22()60[](500)ab ab L x x x =+-，且(0,500)x ∈， 即2211()60[],(0,500)(500)L x ab x x x =+∈-记2211(),(0,500)(500)l x x x x =+∈-，则3322'()(500)l x x x -=+-， 令()0l x '=，解得250x =，当(0,250)x ∈，()0l x '<，()l x 单调递减； 当(250,500)x ∈，()0l x '>，()l x 单调递增； 所以250x =时，()l x 取到最小值，()L x 也取到最小值63125ab. 答：两索塔对桥面AC 中点处的“承重强度”之和最小，且最小值为63125ab. 18.解（11.得221c a a c c⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1a c ⎧⎪⎨=⎪⎩， 所以，椭圆的标准方程为2212x y +=.（2）由（1）知(0,1)C ，设00(,)D x y ，因为2CM MD =，得021y =-，所以012y =-，代入椭圆方程得02x =或2，所以1()22D -或1()22D --， 所以l的方程为：1y =+或1y =+. （3）设D 坐标为(x 3，y 3）,由(0,1)C ，M (x 1，0)可得直线CM 的方程111y x x =-+， 联立椭圆方程得：1221112y x x x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，解得132142x x x =+,2132122x y x -=+.由B ，得直线BD的方程：2y x =-，①直线AC方程为12y x =+，② 联立①②得212x x =， 从而12x x =2为定值.解法2：设D 坐标为(x 3，y 3）， 由C ,M ,D 三点共线得31311y x x x =--，所以3131x x y =-，①由B,D,N2212y x=+代入可得2x=，②①和②相乘得，231231xx xy=-2333323333222)2x y xxx y x+-==-+-+.19.解：（1）①由2()32f x x ax b'=++及02=+ba，得22()32f x x ax a'=+-，令()0f x'=，解得3ax=或ax-=.由0>a知，(,)()0x a f x'∈-∞->，，)(xf单调递增，(,)()03ax a f x'∈-<，，)(xf单调递减，(,)()03ax f x'∈+∞>，，)(xf单调递增，因此，)(xf的极大值为3()1f a a-=+，)(xf的极小值为35()1327a af=-.②当0a=时，0b=，此时3()1f x x=+不存在三个相异零点；当0a<时，与①同理可得)(xf的极小值为3()1f a a-=+，)(xf的极大值为35()1327a af=-.要使)(xf有三个不同零点，则必须有335(1)(1)027a a+-<，即332715a a<->或.不妨设)(xf的三个零点为321,,xxx，且321xxx<<，则123()()()0f x f x f x===，3221111()10f x x ax a x=+-+=，①3222222()10f x x ax a x=+-+=，②3223333()10f x x ax a x=+-+=，③②-①得222212121212121()()()()()0x x x x x x a x x x x a x x-+++-+--=，因为21x x->，所以222212121()0x x x x a x x a++++-=，④同理222332232()0x x x x a x x a++++-=，⑤⑤-④得231313131()()()()0x x x x x x x a x x-+-++-=，因为31x x->，所以231x x x a+++=，又1322x x x+=，所以23ax=-.所以()03af-=，即22239a aa+=-，即327111a=-<-，因此，存在这样实数a =满足条件.（2）设A （m ，f (m )）,B (n ，f (n ))，则b am m k ++=2321，b an n k ++=2322，又b n m a n mn m nm n m b n m a n m n m n f m f k +++++=--+-+-=--=)()()()()()(2222331，由此可得b n m a n mn m b am m +++++=++)(23222，化简得m a n 2--=， 因此，b a am m b m a a m a k +++=+--+--=2222812)2(2)2(3， 所以，2221284(32)m am b a m am b +++=++， 所以b a 32=.20.解：（1）设数列{}n S 的公差为d '，由692n n n S b a =--，①111692(2)n n n S b a n ---=--≥，②①-②得1116()9()()n n n n n n S S b b a a ----=---，③ 即169()n n d b b d -'=--，所以169n n d db b -'+-=为常数， 所以{}n b 为等差数列．（2）由③得1699n n n b b b d -=--，即139n n b b d -=+，所以11111111133()11322332*********n n n n n n n d d d b b b b b b b ------++++--+===+++++是与n 无关的常数，所以103d -=或112n b -+为常数． ①当103d-=时，3d =，符合题意； ②当112n b -+为常数时，在692n n n S b a =--中令1n =，则111692a b a =--，又11a =，解得11b =，…8分所以11113222n b b -+=+=， 此时111333311322n d d b ---+=+=+，解得6d =-． 综上，3d =或6d =-． （3）当3d =时，32n a n =-，由（2）得数列1{}2n b +是以32为首项，公比为3的等比数列，所以11313=3222n n n b -+=⋅⋅，即1=(31)2n n b -． 当2n ≥时，11111(31)(31)322n n n n n n c b b ---=-=---=，当1n =时，也满足上式，所以13(1)n n c n -=≥．设(1)n i j a c c i j =+<≤，则113233i j n ---=+，即133(31)2i j i n ---+=， 如果2i ≥，因为3n 为3的倍数，13(31)i j i --+为3的倍数， 所以2也为3的倍数，矛盾．所以1i =，则1333j n -=+，即213(2,3,4,)j n j -=+=． 所以数列{}n a 中存在无穷多项可表示为数列{}n c 中的两项之和．2017-2018学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）附加题参考答案21.A 解 连接OE ，因为ED 是⊙O 切线，所以OE ⊥ED . 因为OA ＝OE ，所以∠1＝∠OEA . 又因为∠1＝∠2，所以2＝∠OEA ， 所以OE ∥AC ，∴AC ⊥DE ．21.B 解由2104xl l --=--，得(2)()40x l l ---=的一个解为3，代入得1x =-，因为⎥⎦⎤-⎢⎣⎡=1142M ，所以⎥⎥⎥⎥⎦⎤-⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-316132611M . 21.C 解消去参数t ，得到圆的普通方程为()()22324x y -++=,由a =-)4cos(2πθρ，得0sin cos =-+a θρθρ,所以直线l 的直角坐标方程为0x y a +-=. 依题意，圆心C 到直线l解得13a 或=-.21.D 证明：因为a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1， 所以a ＋2b ＝1－c ，a 2＋b 2＝1－c 2.由柯西不等式：(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b )2， 5(1－c 2)≥(1－c )2，整理得，3c 2－c －2≤0，解得－23≤c ≤1.所以－23≤c ≤1.22.解（1）由题意，得11(1)(1)(1),3311.336m n mn ⎧---=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 又m n >，解得13m =，1.4n = （2）由题意，1232132214.3343343349a =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯= 14171(0)(1)(3)1.393636b P X P X P X =-=-=-==---= ()E X =1471110123.39363612⨯+⨯+⨯+⨯= 23.解（1）当2n =时，50512323234455555555()(f x x C x C x C x C x C x C ==++++，所以55114332550555(2)(2)(2+(22[22+2]f f C C C +-=+-+=+=2(54⨯⨯⨯所以610A =.（2）因为21021122212212121212121()(n n n n n n n n n f x x C x C x C xC ++-++++++=+=++++，所以021122212212121212121(2)222n n n n n n n n f C C C C +-++++++=+++，由题意21(2)2) (*,01)n f m m αα+==+∈<<N ，首先证明对于固定的*n ∈N ，满足条件的,m α是唯一的.假设21112212121212(2)(2(,*,0,1,,)n f m m m m m m αααααα+==+=+∈<<≠≠N ，则12210m m αα-=-≠，而12m m -∈Z ，21(1,0)(0,1)αα-∈-，矛盾.所以满足条件的,m α是唯一的.下面我们求m 及α的值：因为21212121(2)(2)(2(2(2(2n n n n f f ++++--=--+=++02122124234112212121212[222++2]n n n n n n n n C C C C +--++++=++，显然(2)(2)f f --∈N*.2(0,1)-∈，故212)(0,1)n +∈，即2121(2)(22)(0,1)n n f ++-=-+=∈.所以令02122124234112212121212[222++2]n n n n n n n n m C C C C +--++++=++，21(2n α+=-，则(2)(2),(2)m f f f α=--=-，又(2)m f α+=，所以212121()(2)(2)(2(2(54)1n n n m f f αα++++=-⋅=+⋅-+=-=.龙岩市2018年高中毕业班教学质量检查数学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．414．215．98π16．()1(,]221e e - 三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当2n ≥时，2221n n n S a S =-，即21221n n n n S S S S --=-， 整理得112?n n n n S S S S ---=，所以1112n n S S --=………2分 所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是一个公差为2的等差数列， 又111a S ==，所以121n n S =-，所以121n S n =-，………4分 此时10,2n n S S ≠≠符合题意 所以1121n n n a S S n -=-=-－321-n ＝2(2)2123n n n -≥--()()． 当1n =时，上式不成立， 所以1,12,2(21)(23)n n a n n n =⎧⎪=-⎨≥⎪--⎩………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，112121n n S S n n +⋅=-+（）（）111()22121n n =--+，………8分 所以111111[(1)()()]23352121n T n n =-+-++-=-+12+n n ．………12分 18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设一位顾客进店购物结算时间为T ，根据统计图表可知，T 的可能值为10，20，40，60，……………2分所以(10)0.4,(20)0.2,(40)0.3,(60)0.1,P T P T P T P T ========4分所以该顾客进店购物结算时所用时间的期望为100.4200.2400.3600.12⨯+⨯+⨯+⨯=（秒）．…………6分（Ⅱ）依题意可知，每个顾客各自的付款时间是相互独立的，若3位顾客付款时间总计不少于2分钟，则3人的付款时间可能有如下情况：①3个60秒；②2个60秒和另一个可以是10秒，20秒，40秒中任意一个；③一个60秒，另外两个付款时间可以是20秒，40秒或40秒，40秒；④三40秒．………9分所以对应的概率为 3221133320.10.1(0.40.20.3)0.1(0.20.30.30.3)0.3P c c c =+⨯⨯+++⨯⨯⨯⨯+⨯+0.118=．答：该顾客等候时间不少于2分钟的概率为0.118．……12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）证明：过点D 在平面ABCD 内作//DN BC ，交AB 于点N ，因为2AB CD =，ABC BCD ∠=∠，所以四边形DNBC 为一个底角是60°的等腰梯形，……………3分所以BN AN CD ==，所以N 为AB 中点，由题知90BAD ∠=︒，在Rt NAD ∆中，2DN AN =，又60ABC BCD ∠=∠=︒， 所以32BC ND =， 而23BF CE BC ==， 所以,E F 为BC 的三等分点， 连接EN ，所以////NE AF DC ， 又在DEC ∆中，2EC DC =，60BCD ∠=︒，所以30DEC ∠=︒，所以DE CD ⊥，所以DE AF ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，所以PA DE ⊥，因为PAAF A =，所以DE ⊥平面PAF ．……………6分（Ⅱ）以A 为坐标原点，分别以,,AB AD AP 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，所以平面ACD 的一个法向量为(0,0,1)m =，……………7分又由（Ⅰ）知60,90ABC AND BAD ∠=∠=︒∠=︒，所以在AND ∆中，AD ==所以D ，150ADC ∠=︒，1(,22C ，(0,0,1)P ，所以1331(,,1),(,2222PC DC ==， 设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，所以00PC n CDn ⎧=⎪⎨=⎪⎩即102102x y z x y ⎧+-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 令x =(3,1,n =-，……………10分设二面角P CD A --的平面角为θ，且θ为锐角，所以21cos =7||||n m n m θ=12分 20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知得：1c =，221a b -=，2c = 所以22a =220a -=，解得a b ==椭圆的方程22132x y +=………4分 A N B E F D P（Ⅱ）①当直线的斜率为0时，显然不成立．②设直线:1l x my =+，1122(,),(,)A x y B x y ，………5分联立222361x y x my ⎧+=⎨=+⎩得22(23)440m y my ++-= 则12122244,2323m y y y y m m --+=⋅=++………6分 1ABF ∆中AB 边上的中线长为11112FA FB +=====8分 令223t m =+则223m t=- 得1112F A F B+===由22F A F B λ=，得1122,y y y y λλ=--=， 22121222112()142223y y y y m y y y y m λλ+---+=++==+………10分 12λ≤≤，22142(3)12[0,]232m t m t λλ-+-==∈+………11分 11134,43t t ∴≤≤≤≤，1112F A F B+2]∈ 1ABF ∆中AB 边上中线长的取值范围是2]………12分 21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意，2()(1)(2)x g x x e a x =+-+， 得()(2)2(2)(2)2)x xg x x e a x x e a '=+-+=+-（ （i ）当0a ≤时，在(,2)-∞-上，()0g x '<，在(2,)-+∞上，()0g x '>2分 （ii ）当0a >时，令()0g x '=，解得2x =-或ln(2)x a =．①若212a e=，ln(2)2a =-，()0g x '≥恒成立； ②若212a e>，ln(2)2a >-， 在(2,ln(2))a -上，()0g x '<；在(,2)-∞-，(ln(2),)a +∞，()0g x '>………4分③若212a e<，ln(2)2a <-，在(ln(2),2)a -上，()0g x '<； 在（(,ln(2))a -∞,与(2,)-+∞上，()0g x '>． 综上，当0a ≤时，()g x 极小值点为2-，无极大值点；当2102a e<<时，()g x 极小值点为2-，极大值点为ln(2)a ；当212a e >时，()g x 极小值点为ln(2)a ，极 大值点为2-；当212a e=时，()g x 无极值点………6分 （Ⅱ）设22()(22)(22)42x h x x e a x a =--+++,因为2()(42)88x h x x e ax a '=---，得2()88x h x xe a ''=-(0)x ≥,且函数()h x ''在[0,)+∞上单调递增（i ）当80a -≥时，有()0h x ''≥，此时函数()h x '在[0,)+∞上单调递增， 则()(0)28h x h a ''≥=--，①若280a --≥即14a ≤-时，有函数()h x 在[0,)+∞上单调递增， 则()(0)0h x h ≥=，符合题意；…………8分②若280a --<即104a -<<时，存在00x >满足()h x '=０0，0(0,),'()0x x h x ∈<，此时函数()h x 在00,)x （上单调递减，()(0)0h x h <=不符合题意； （ii ）当80a -<时，有()80h a ''=-<0，存在10x >满足()h x ''=101(0,),x x ∈ 1h'(x )0<，此时()h x '在10,)x （上单调递减，()(0)820h x h a ''<=--<，此时函数()h x 在10,)x （上单调递减，不符合题意． 综上，实数a 的取值范围是14a ≤-．…………12分 22．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）将222cos ,sin ,x y x yρθρθρ===+ 代入圆C 的极坐标方程212cos 110ρρθ++=，得2212110x y x +++=，化为圆的标准方程为22(6)25x y ++=.………4分（Ⅱ）将直线l 的参数方程1cos ,sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数） 代入圆C 的直角坐标方程22(6)25x y ++=中，化简得214cos 240t t α++=，设,A B 两点所对应的参数分别为12,t t ，由韦达定理知121214cos ,24t t t t α+=-=①………7分∴12,t t 同号又∵3||||4PA PB =，∴1234t t =②由①②可知12t t ⎧⎪⎨⎪⎩或12==t t ⎧-⎪⎨-⎪⎩∴14cos α-=-解得cos 2α=±，∴tan 1k α==±，9分 ∴l 的普通方程为(1)y x =±-.……10分23．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵()5f x ≥，即|1|2|2|5x x -++≥，…………1分∴当2x <-时，1245x x -+--≥，解得83x ≤-，∴83x ≤-………2分当21x -≤<时，1245x x -++≥， 解得0x ≥，∴01x ≤<………3分当1x ≥时，1245x x -++≥， 解得23x ≥，∴1x ≥.………4分 综上所述，不等式()5f x ≥的解集为8|03x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或.……5分（Ⅱ）由题意知|1||2|x m x x -++>恒成立，………6分∴当2x <-时，12x mx m x -+-->， 变形得125222x m x x ->=-+++恒成立， ∴2m ≥-………7分当2x =-时，m 可以取任意实数；当21x -<<时，12x mx m x -++>， 变形得215222x m x x ->=-++恒成立， ∴512123m ≥-=+………8分 当1x ≥时，12x mx m x -++>，变形得12m x >+， ∴11123m >=+………9分 综上所述，实数m 的取值范围为1(,)3+∞.……10分。

2016—2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅰ试卷2017.5一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1. 已知集合{}{}|13,|2A x x B x x =-<<=<，则A B = .2. 已知i 是虚数单位，复数()123,2z yi y R z i =+∈=-，且121z i z =+，则y = .3.下表是一个容量为10的样本数据分组后的频率分布，若利用组中中近似计算本组数据的平均数x ，则x 的值为 .4.已知直线20x =为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线，则该双曲线的离心率为 .5．据记载，在公元前3世纪，阿基米德已经得出了前n 个自然数平方和的一般公式.右图是一个求前n 个自然数平方和的算法流程图，若输入x 的值为1，则输出的S 的值为 .6.已知1Ω是集合(){}22,|1x y x y +≤所表示的区域，2Ω是集合(){},|x y y x ≤所表示的区域，向区域1Ω内随机投一个点，则该点落在区域2Ω内的概率为 .7.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比34533,3q S S =+=，则3a = .8.已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为的侧面积为 .9.已知α是第二象限角，且()sin tan 2ααβ=+=-，则tan β= . 10.已知直线:210l mx y m +--=，圆22:240C x y x y +--=，当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，实数m = .11.在ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别为,,a b c，若满足2cos 2b A c =，则角B 的大小为 .12.在ABC ∆中，1,,,AB AC AB AC t P t⊥==是ABC ∆所在平面内的一点，若4AB AC AP AB AC=+ ，则PBC ∆的面积的最小值为 .13.已知函数()24,03,0x x x f x x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，若函数()()3g x f x x b =-+有三个零点，则实数b 的取值范围为 .14.已知,a b 均为正数，且20ab a b --=，则22214a b a b-+-的最小值为 .二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.15.（本题满分14分）已知向量)()2,1,sin ,cos .m x n x x =-=（1）当3x π=时，求m n ⋅的值；（2）若0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，且132m n ⋅=- ，求cos 2x 的值.16.（本题满分14分）如图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，,,E F G 分别为,,AB AD AC 的中点，,90.AC BC ACD =∠=（1）求证：AB ⊥平面EDC ；（2）若P 为FG 上任一点，证明：//EP 平面BCD .17.（本题满分14分）某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量ω（单位：千克）与肥料费用x （单位：百元）满足如下关系：341x ω=-+，且投入的肥料费用不超过5百元.此外，还需要投入其他成本2x （如是非的人工费用等）百元.已知这种水蜜桃的市场价格为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求.记该棵水蜜桃树获得的利润为()L x （单位：百元）.（1）求利润函数()L x 的关系式，并写出定义域；（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？18.（本题满分16分）已知函数()3ln ,,f x a x bx a b =-为实数，0,b e ≠为自然对数的底数， 2.71828e =. （1）当0,1a b <=-时，设函数()f x 的最小值为()g a ，求()g a 的最大值； （2）若关于x 的方程()0f x =在区间(]1,e 上有两个不同的实数解，求ab的取值范围.19.（本题满分16分）已知椭圆()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左焦点为()1,0F -，左准线为2x =-.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知直线l 交椭圆C 于A,B 两点.①若直线l 经过椭圆C 的左焦点F,交y 轴于点P,且满足PA AF λ= PB BF μ=，求证：λμ+为常数；②若OA OB ⊥（O 为原点），求AOB ∆的面积的取值范围.20.（本题满分16分） 已知数列{}n a 满足21141,2n n n n a a a a a λμ+++==+，其中,,n N λμ*∈为非零常数.（1）若3,8λμ==，求证：{}1n a +为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n a 是公差不等于零的等差数列. ①求实数,λμ的值；②数列{}n a 的前n 项和n S 构成数列{}n S ，从{}n S 中取不同的四项按从小到大的顺序组成四项子数列.试问：是否存在首项为1S 的四项子数列，使得该子数列中点所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由.2016—2017学年度苏锡常镇四市高三教学情况调研（二）数学Ⅱ试卷21.【选做题】在A,B,C,D 四个小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分.请在答题纸的指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. A.选修4-1：几何证明选讲如图，直线DE 切圆O 于点D,直线EO 交圆O 于A,B 两点，DC ⊥OB 于点C,且DE=2BE ，求证：2OC=3BC.B.选修4-2：矩阵与变换已知矩阵13a M b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值11λ=-，及对应的特征向量11e ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 求矩阵M 的逆矩阵.C.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐标系.已知曲线1C的参数方程为2cos 32sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩，（[]0,2,απα∈为参数），曲线2C 的极坐标方程为()sin 3a a R πρθ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭，若曲线1C 与曲线2C 有且仅有一个公共点，求实数a 的值.D.选修4-5：不等式选讲已知,,a b c 为正实数，求证：222.b c a a b c a b c++≥++【必做题】第22题、第23题，每题10分共计20分.请答题卡的指定区域内作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22.（本小题满分10分）已知袋中装有大小相同的2个白球，2个红球和1个黄球.一项游戏规定：每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中.当出现第n 局得()n n N *∈分的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束.（1）求在一局游戏中得3分的概率；（2）求游戏结束时局数X 的分布列和数学期望()E X .23.（本小题满分10分）已知()()()()()()01111nkknnn k n n n n n n f x C x C x C x k C x n =--++--++-- ，其中,,,.x R n N k N k n *∈∈∈≤（1）试求()()()123,,f x f x f x 的值；（2）试猜测()n f x 关于n 的表达式，并证明你的结论.。