第2章 离散系统的振动微分方程讲解
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机械振动与噪声学
Ⅰ 畅 机 … Ⅱ 畅 赵 … Ⅲ 畅 ① 机械振动 高等学校 教材 ② 噪声 高等学校 教材 Ⅳ 畅 ① TH１１３畅１ ② TB５３
中国版本图书馆 CIP 数据核字（２００４）第 ０８８８１９ 号
责任编辑 ： 段博原 贾瑞娜／责任校对 ： 鲁 素 责任印制 ： 钱玉芬／封面设计 ： 陈 敬
本书是在部分作者和课程组的任课教师总结教学经验的成果 ， 改进原教材的 部分内容和讲述方式的基础上完成的 。 书中振动部分坚持了紧凑的振动微分方程 唱自由振动唱受迫振动唱应用结构体系 ， 在某些章的第 １ 节简述相关力学与数学基础 知识的特色时 ， 增加了振动控制的基本概念 ； 噪声部分首先强调了机械噪声控制 的声学基础 ， 然后介绍了机械噪声的测量 、 评价与控制 。 总体上 ， 全书突出了振 动与噪声基本概念的阐述 ， 注重对学生分析解决问题能力的培养 ， 精简了练习 题 ， 以引导学生进行创新的思维 。
蒋伟康教授在百忙之中为本书审稿 ， 在此表示真诚的谢意 。 本书由上海交通大学赵玫 （第 １ ～ ３ 章） 、 周海亭 （第 ４ ～ ６ 章） 、 朱蓓丽和陈 光冶 （第 ７ ～ ９ 章） 编著 。 全书由赵玫统稿 。 由于编者水平有限 ， 书中错误之处在所难免 ， 敬请读者批评指正 。
编 者
２００４ 年 ５ 月
· iv · 机械振动与噪声学
３畅２ 单自由度系统 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ４９ ３畅２畅１ 无阻尼系统的振动特性 … … … … … … … … … … … … … … … … ４９ ３畅２畅２ 具有黏性阻尼系统的振动特性 … … … … … … … … … … … … … ５２ ３畅２畅３ 带摩擦 （库仑） 阻尼的系统 … … … … … … … … … … … … … … ５６ ３畅３ 二自由度系统 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ５９ ３畅３畅１ 无阻尼系统振动微分方程组的解 … … … … … … … … … … … … ６０ ３畅３畅２ 无阻尼系统振动特性 … … … … … … … … … … … … … … … … … ６２ ３畅３畅３ 坐标的耦合和主坐标 … … … … … … … … … … … … … … … … … ６６ ３畅３畅４ 特殊系统 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ６９ ３畅３畅５ 有阻尼系统 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ７３ ３畅４ 多自由度系统 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ７６ ３畅４畅１ 无阻尼系统振动微分方程组的解 … … … … … … … … … … … … ７６ ３畅４畅２ 无阻尼系统振动特性 … … … … … … … … … … … … … … … … … ７９ ３畅４畅３ 基频估算 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ８０ 习题 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ８３ 第 4 章 线性离散系统的受迫振动 … … … … … … … … … … … … … … … … … … ８６ ４畅１ 数学基础 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ８６ ４畅１畅１ 二阶非齐次常系数线性微分方程的解 … … … … … … … … … … ８６ ４畅１畅２ 二阶非齐次常系数线性微分方程组的解 … … … … … … … … … ８８ ４畅１畅３ 拉普拉斯变换 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ８９ ４畅２ 单自由度系统 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ９２ ４畅２畅１ 简谐激励的响应 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ９２ ４畅２畅２ 实际系统的阻尼 … … … … … … … … … … … … … … … … … … １０１ ４畅２畅３ 周期激励的响应 … … … … … … … … … … … … … … … … … … １０４ ４畅２畅４ 瞬态激励的响应 … … … … … … … … … … … … … … … … … … １０７ ４畅２畅５ 拉普拉斯变换法 … … … … … … … … … … … … … … … … … … １１２ ４畅３ 二自由度系统 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … １１４ ４畅３畅１ 无阻尼系统对简谐激励的响应 … … … … … … … … … … … … １１５ ４畅３畅２ 无阻尼系统振动特性 … … … … … … … … … … … … … … … … １１６ ４畅４ 多自由度系统 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … １１７ ４畅４畅１ 无阻尼系统对简谐激励的响应 （直接法） … … … … … … … １１７ ４畅４畅２ 阻尼系统对简谐激励的响应 （模态法） … … … … … … … … １１９ 习题 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … １２１ 第 5 章 线性离散系统振动理论的应用 … … … … … … … … … … … … … … … … １２４ ５畅１ 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定 … … … … … … … … … … … １２４
中国版本图书馆 CIP 数据核字（２００４）第 ０８８８１９ 号
责任编辑 ： 段博原 贾瑞娜／责任校对 ： 鲁 素 责任印制 ： 钱玉芬／封面设计 ： 陈 敬
本书是在部分作者和课程组的任课教师总结教学经验的成果 ， 改进原教材的 部分内容和讲述方式的基础上完成的 。 书中振动部分坚持了紧凑的振动微分方程 唱自由振动唱受迫振动唱应用结构体系 ， 在某些章的第 １ 节简述相关力学与数学基础 知识的特色时 ， 增加了振动控制的基本概念 ； 噪声部分首先强调了机械噪声控制 的声学基础 ， 然后介绍了机械噪声的测量 、 评价与控制 。 总体上 ， 全书突出了振 动与噪声基本概念的阐述 ， 注重对学生分析解决问题能力的培养 ， 精简了练习 题 ， 以引导学生进行创新的思维 。
蒋伟康教授在百忙之中为本书审稿 ， 在此表示真诚的谢意 。 本书由上海交通大学赵玫 （第 １ ～ ３ 章） 、 周海亭 （第 ４ ～ ６ 章） 、 朱蓓丽和陈 光冶 （第 ７ ～ ９ 章） 编著 。 全书由赵玫统稿 。 由于编者水平有限 ， 书中错误之处在所难免 ， 敬请读者批评指正 。
编 者
２００４ 年 ５ 月
· iv · 机械振动与噪声学
３畅２ 单自由度系统 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ４９ ３畅２畅１ 无阻尼系统的振动特性 … … … … … … … … … … … … … … … … ４９ ３畅２畅２ 具有黏性阻尼系统的振动特性 … … … … … … … … … … … … … ５２ ３畅２畅３ 带摩擦 （库仑） 阻尼的系统 … … … … … … … … … … … … … … ５６ ３畅３ 二自由度系统 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ５９ ３畅３畅１ 无阻尼系统振动微分方程组的解 … … … … … … … … … … … … ６０ ３畅３畅２ 无阻尼系统振动特性 … … … … … … … … … … … … … … … … … ６２ ３畅３畅３ 坐标的耦合和主坐标 … … … … … … … … … … … … … … … … … ６６ ３畅３畅４ 特殊系统 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ６９ ３畅３畅５ 有阻尼系统 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ７３ ３畅４ 多自由度系统 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ７６ ３畅４畅１ 无阻尼系统振动微分方程组的解 … … … … … … … … … … … … ７６ ３畅４畅２ 无阻尼系统振动特性 … … … … … … … … … … … … … … … … … ７９ ３畅４畅３ 基频估算 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ８０ 习题 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ８３ 第 4 章 线性离散系统的受迫振动 … … … … … … … … … … … … … … … … … … ８６ ４畅１ 数学基础 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ８６ ４畅１畅１ 二阶非齐次常系数线性微分方程的解 … … … … … … … … … … ８６ ４畅１畅２ 二阶非齐次常系数线性微分方程组的解 … … … … … … … … … ８８ ４畅１畅３ 拉普拉斯变换 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ８９ ４畅２ 单自由度系统 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ９２ ４畅２畅１ 简谐激励的响应 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … ９２ ４畅２畅２ 实际系统的阻尼 … … … … … … … … … … … … … … … … … … １０１ ４畅２畅３ 周期激励的响应 … … … … … … … … … … … … … … … … … … １０４ ４畅２畅４ 瞬态激励的响应 … … … … … … … … … … … … … … … … … … １０７ ４畅２畅５ 拉普拉斯变换法 … … … … … … … … … … … … … … … … … … １１２ ４畅３ 二自由度系统 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … １１４ ４畅３畅１ 无阻尼系统对简谐激励的响应 … … … … … … … … … … … … １１５ ４畅３畅２ 无阻尼系统振动特性 … … … … … … … … … … … … … … … … １１６ ４畅４ 多自由度系统 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … １１７ ４畅４畅１ 无阻尼系统对简谐激励的响应 （直接法） … … … … … … … １１７ ４畅４畅２ 阻尼系统对简谐激励的响应 （模态法） … … … … … … … … １１９ 习题 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … １２１ 第 5 章 线性离散系统振动理论的应用 … … … … … … … … … … … … … … … … １２４ ５畅１ 单自由度系统阻尼比和固有频率的确定 … … … … … … … … … … … １２４
第3章 线性离散系统的自由振动
n t
cos( d t )
可见上式表示的运动为振动，频率为常值 d ，相角 为 ，而幅值为 Ae t ，以指数形式衰减。常数 A 、 由 初始条件决定。 1 称为弱阻尼或欠阻尼情况。 0
n
第3章 线性离散系统的自由振动
第3章 线性离散系统的自由振动
第3章 线性离散系统的自由振动
有阻尼自由振动方程 当系统存在阻尼时，自由振动方程也可以写 为如下形式: c
2 ( t ) 2 n x ( t ) n x ( t ) 0 x
2
m
n
其中， c / 2m n 称为粘性阻尼因子。设上式的解有如 下形式:
A v0 x0 n
2 2
tan
1
v0 x 0 n
第3章 线性离散系统的自由振动
第3章 线性离散系统的自由振动
第3章 线性离散系统的自由振动
第3章 线性离散系统的自由振动
碰撞过程中物体往往会发生形变， 还会发热、发声。因此在一般情况 下，碰撞过程中会有动能损失，即 动能不守恒，动量守恒，碰后两物 体分离，这类碰撞称为非弹性碰撞 (inelastic collision)。碰撞后物体结合 在一起，动能损失最大，这种碰撞 叫做完全非弹性碰撞。
船舶振动与噪声控制
第3章 线性离散系统的自由振动
船舶振动与噪声控制
第3章 线性离散系统的自由振动
江苏科技大学
振动噪声研究所
2012年9月4日10时5分
第2章 单自由度系统的振动
机械振动基础
3.1 无阻尼单自由度系统的特性 3.2 有阻尼单自由度系统的特性 3.3 无阻尼二自由度系统的特性
2012年9月4日10时5分
cos( d t )
可见上式表示的运动为振动，频率为常值 d ，相角 为 ，而幅值为 Ae t ，以指数形式衰减。常数 A 、 由 初始条件决定。 1 称为弱阻尼或欠阻尼情况。 0
n
第3章 线性离散系统的自由振动
第3章 线性离散系统的自由振动
第3章 线性离散系统的自由振动
有阻尼自由振动方程 当系统存在阻尼时，自由振动方程也可以写 为如下形式: c
2 ( t ) 2 n x ( t ) n x ( t ) 0 x
2
m
n
其中， c / 2m n 称为粘性阻尼因子。设上式的解有如 下形式:
A v0 x0 n
2 2
tan
1
v0 x 0 n
第3章 线性离散系统的自由振动
第3章 线性离散系统的自由振动
第3章 线性离散系统的自由振动
第3章 线性离散系统的自由振动
碰撞过程中物体往往会发生形变， 还会发热、发声。因此在一般情况 下，碰撞过程中会有动能损失，即 动能不守恒，动量守恒，碰后两物 体分离，这类碰撞称为非弹性碰撞 (inelastic collision)。碰撞后物体结合 在一起，动能损失最大，这种碰撞 叫做完全非弹性碰撞。
船舶振动与噪声控制
第3章 线性离散系统的自由振动
船舶振动与噪声控制
第3章 线性离散系统的自由振动
江苏科技大学
振动噪声研究所
2012年9月4日10时5分
第2章 单自由度系统的振动
机械振动基础
3.1 无阻尼单自由度系统的特性 3.2 有阻尼单自由度系统的特性 3.3 无阻尼二自由度系统的特性
2012年9月4日10时5分
第2章 离散系统的振动微分方程
θ (R-r) R
转动时，圆柱体绕质心轴转动，由 于无滑动，角速度为：
ω = v = 1 (R − r)θ&
rr
r φ
0
第2章 离散系统的振动微分方程
任一瞬时位置，圆柱体动能为
：T = 1 mv2 + 1 Iω 2 = 1 w [(R − r)θ&]2 + 1 w r 2 [1 (R − r)θ&]2 = 3 w (R − r)2θ&2
第2章 离散系统的振动微分方程
解：振动微分方程为：
[M ]{&x&} + [C]{x&} + [K ]{x} = 0
⎡m1 0 0 ⎤
[M
]
=
⎢ ⎢
0
m2
0
⎥ ⎥
⎢⎣ 0 0 m3 ⎥⎦
第2章 离散系统的振动微分方程
⎡k1 + k2
[
K
]
=
⎢ ⎢
−k2
⎢⎣ 0
−k2 k2 + k3
−k3
0⎤
−k3
第2章 离散系统的振动微分方程
(2). 汽车前轮横梁，具有一定的质量和转动惯量， 在垂直方向，具有两自由度。
方法一：建立垂直方向和绕质心旋转方向的坐标
图1.2-8 汽车前轮的横梁
第2章 离散系统的振动微分方程
方法二：在两个前轮位置分别建立垂直方向的坐标
图1.2-9 汽车前轮的横梁
第2章 离散系统的振动微分方程
=
0
——常系数齐次微分方程
设 ωn2
=
g l
，则可以整理标准形式：
θ&& + ωn2 ⋅θ = 0
第2章-2.2系统的微分方程描述
信号与系统分 系统的微分方程描述
一、描述连续时间系统激励与响应关系的数学模型。 一般，对于一个线性系统，其输入与输出之间关系， 总可以用下列形式的微分方程来描述：
d n y (t ) dy(t ) d m x(t ) dx(t ) an a1 a0 y (t ) bm b1 b0 x(t ) n m dt dt dt dt
ˆ ˆ y(t ) y(t ) 6 y(t )
y (t ) e
2 t
2e2t e3t 1 (t )
1 2t 1 3t 1 e (t ) 6 e e (t ) 3 6 2
3t
作业
习题2（P53） 2-16；2-18；
d n y (t ) dy(t ) d m x(t ) dx(t ) an a1 a0 y (t ) bm b1 b0 x(t ) n m dt dt dt dt
n阶常系数微分方程，一般有n>m（实际的系统）
d n y (t ) dy(t ) an a1 a0 y (t ) b0 x(t ) n dt dt
i t
c fi e
i 1
n
i t
自由响应
零输入响应
零状态响应 的齐次解
两种分解方式的区别：
1、 自由响应与零输入响应的系数各不相同
ci
ci
与
c xi
不相同
由初始状态和激励共同确定 由初始状态确定
c xi
2、 自由响应包含了零输入响应和零状态响应中的齐次解
对于系统响应还有一种分解方式，即瞬态响应和稳态响应。所谓瞬态响应指
yb (t ) e 2t e 3t (t )
一、描述连续时间系统激励与响应关系的数学模型。 一般，对于一个线性系统，其输入与输出之间关系， 总可以用下列形式的微分方程来描述：
d n y (t ) dy(t ) d m x(t ) dx(t ) an a1 a0 y (t ) bm b1 b0 x(t ) n m dt dt dt dt
ˆ ˆ y(t ) y(t ) 6 y(t )
y (t ) e
2 t
2e2t e3t 1 (t )
1 2t 1 3t 1 e (t ) 6 e e (t ) 3 6 2
3t
作业
习题2（P53） 2-16；2-18；
d n y (t ) dy(t ) d m x(t ) dx(t ) an a1 a0 y (t ) bm b1 b0 x(t ) n m dt dt dt dt
n阶常系数微分方程，一般有n>m（实际的系统）
d n y (t ) dy(t ) an a1 a0 y (t ) b0 x(t ) n dt dt
i t
c fi e
i 1
n
i t
自由响应
零输入响应
零状态响应 的齐次解
两种分解方式的区别：
1、 自由响应与零输入响应的系数各不相同
ci
ci
与
c xi
不相同
由初始状态和激励共同确定 由初始状态确定
c xi
2、 自由响应包含了零输入响应和零状态响应中的齐次解
对于系统响应还有一种分解方式，即瞬态响应和稳态响应。所谓瞬态响应指
yb (t ) e 2t e 3t (t )
第2章 多自由度系统振动
2 M K )u 0 ( n
（2-6） 特征方程
振幅列阵
u
A1 A 2
即为振型
求解二自由度系统的固有频率与主振型
二自由度系统特征矩阵方程的展开式为
2 2 (k11 m11 n ) A1 (k12 m12 n ) A2 0 2 2 (k 21 m21 n ) A1 (k 22 m22 n ) A2 0
ml 2 k l 2 k l 2 T sint c J ml3 x c 3 c 14 c 2 5 c
写出矩阵
m m l 3
c k1 k 2 m l3 x 2 J m l3 c 0
可以证明，柔度影响系数矩阵与刚度影响系数矩阵互为逆阵，即
K 1 , K 1
三自由度铅垂方向振动微分方程为
1
[ ] X 0 M X
讨论：（1）如果直接用牛顿定律，可否列出上述方程？！难度多大？ （2）上述方程为什么不用刚度影响系数法？难度多大？用拉格朗日方程方法？ （3）什么时候用柔度影响系数法？什么时候用刚度影响系数法？（P28） 结论：（1）对于质量弹簧系统，应用刚度影响系数法较容易 （2）对于梁、多重摆系统则用柔度影响系数法容易 （3）对于杆件机构，应用拉格朗日方程方法较容易
（2-7）
该方程具有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零
2 k11 m11 n 2 k11 m11 n
k 21 m21
也可表示为 易解出
2 n
k 22 m22
2 n
0
（2-8）
K n2 M 0
b b 2 4ac n1,2 2a a m11m22 b (m11k22 m22 k11 )
（2-6） 特征方程
振幅列阵
u
A1 A 2
即为振型
求解二自由度系统的固有频率与主振型
二自由度系统特征矩阵方程的展开式为
2 2 (k11 m11 n ) A1 (k12 m12 n ) A2 0 2 2 (k 21 m21 n ) A1 (k 22 m22 n ) A2 0
ml 2 k l 2 k l 2 T sint c J ml3 x c 3 c 14 c 2 5 c
写出矩阵
m m l 3
c k1 k 2 m l3 x 2 J m l3 c 0
可以证明，柔度影响系数矩阵与刚度影响系数矩阵互为逆阵，即
K 1 , K 1
三自由度铅垂方向振动微分方程为
1
[ ] X 0 M X
讨论：（1）如果直接用牛顿定律，可否列出上述方程？！难度多大？ （2）上述方程为什么不用刚度影响系数法？难度多大？用拉格朗日方程方法？ （3）什么时候用柔度影响系数法？什么时候用刚度影响系数法？（P28） 结论：（1）对于质量弹簧系统，应用刚度影响系数法较容易 （2）对于梁、多重摆系统则用柔度影响系数法容易 （3）对于杆件机构，应用拉格朗日方程方法较容易
（2-7）
该方程具有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零
2 k11 m11 n 2 k11 m11 n
k 21 m21
也可表示为 易解出
2 n
k 22 m22
2 n
0
（2-8）
K n2 M 0
b b 2 4ac n1,2 2a a m11m22 b (m11k22 m22 k11 )
《离散系统理论》课件
Hale Waihona Puke 状态方程0102
03
状态方程是描述离散时间动态系 统的一种方式，它包含了系统的 当前状态和未来状态之间的关系 。
状态方程通常表示为 x(n+1) = Ax(n) + Bu(n), 其中 x(n) 表示系 统在时刻 n 的状态向量，A 和 B 是系统的状态矩阵和控制矩阵， u(n) 是系统在时刻 n 的输入向 量。
对于能控性和能观性的判定，通常采用Gramian矩阵方法 ，通过计算系统的Gramian矩阵来判断系统的能控性和能 观性。
03
离散控制系统
离散控制系统的基本概念
离散控制系统
由离散输入信号和离散输出信号组成的控制系统，通 常由离散状态变量描述。
离散时间
离散控制系统中状态变量随时间变化的步长，通常以 时间间隔表示。
离散系统理论的最新研究进展
01
离散系统理论的数学基础研究
深入探讨离散系统的数学性质，包括离散函数的性质、离散微积分、离
散概率论等。
02
离散系统在计算机科学中的应用
研究离散系统在计算机科学中的实际应用，如离散算法设计、离散数据
结构、离散概率计算等。
03
离散系统在物理和工程领域的应用
探讨离散系统在物理、工程、生物等领域的应用，如离散物理模型、离
3
如果一个离散系统是稳定的，那么它的所有解都 是有界的，并且随着时间的推移，系统的状态会 逐渐收敛到平衡状态。
离散系统的能控性和能观性
能控性和能观性是离散系统理论中的两个重要概念，它们 决定了系统是否可以通过控制输入和观测输出实现特定的 控制目标。
能控性是指系统是否可以通过控制输入将状态从任意初始 状态转移到任意目标状态，能观性是指系统是否可以通过 观测输出准确地估计系统的初始状态。
4二自由度系统振动
)
)
0
0
sin( t ) 0
( a 2 )A1 bA2 0
cA1
(
d
2
)A2
0
这是关于 A1 和 A2 的线性齐次代数方程组。显然，A1 A2 0 是它的解， 对应于系统处于静平衡的情况。若要使 A1 与 A2 具有非零解，此方程组
的系数行列式必须等于零，即：
2
F1(t ) F2 (t )
2.1 两自由度系统的振动微分方程
写为矩阵形式：
m1
0
0 m2
x1 x2
c1 c2
c2
其中定义：
c2 c2 c3
x1 x2
k1 k2
k2
k2 k2 k3
x1 x2
F1 F2
(t (t
) )
M
m1
0
0
m2
,
C
c1 c2
但是必须指出并非任何情况下系统都可能作主振动。
x1 ax1 bx2 0 x2 cx1 dx2 0
此方程组的通解是振系的两个主振动的叠加
x1 x2
x1(1) x2(1)
x1(2) x2(2)
x1 r (1) A2(1) sin(1t 1) r (2) A2(2) sin(2t 2 )
x1 x2
F1 F2
(t (t
) )
扭转振动系统
两者坐标形式相同
2.1 两自由度系统的振动微分方程
运动微分方程的矩阵形式
定义：x x1 x2 T x x1 x2 T
x x1 x2 T
F(t) F1(t) F2 (t)T
位移向量； 速度向量； 加速度向量； 激励向量；
矩阵形式的运动微分方程Mx Cx Kx F(t)
机械振动 第二章(多自由度系统的运动微分方程)
为零时，需要在第 i 自由度处施加的力。
用影响系数法建立系统的运动微分方程
6.思考
此系统用刚度法方便还是柔度法方便？
m1
m2
m3
能否对此系统实施柔度法？
m1 0
0 u1 ( t ) k m 2 u 2 (t ) k
k u1 ( t ) k 0 K k u 2 (t ) k
k11
u2 0
k2
k2
k 21
m1
k11 k1 k 2
k 21
k11 K k2 k 21
m2
k12 k 22
用影响系数法建立系统的运动微分方程
u1 k1
m1 k2
m2
u2
k3
令
u1 0, u 2 1
u1 0
u2 1
k12 m1
k2
k2
k 22
见理论力学范钦珊主编lagrange方程的产生背景隔离体3的受力分析lagrange方程的产生背景隔离体的受力分析将未知约束力引入到动力学方程中导致动力学方程中未知变量急剧增加lagrange方程的产生背景法国科学家法国科学家lagrangelagrange1736173618131813返回返回lagrange方程的产生背景2lagrange方程的产生背景18世纪机器工业的发展迫切需要对受约束的机械系统进行动力学分析1788年在分析力学中对力学提出了全新的叙述方式lagrange力学lagrange方程避开了处理系统内部的约束反力lagrange方程的产生背景利用lagrange方程建立系统的运动微分方程约束方程不包含质点的速度或者包含质点的速度但约束方程是可以积分的约束称为完整约束
微分方程的双曲型方程与振动系统的特殊解法与应用
交叉研究的未来发展方向：分析当前交叉研究存 在的问题和不足，提出未来发展的方向和重点领 域，为相关领域的研究提供参考和借鉴。
微分方程的双曲型方程与振动系统的交叉研究将进一步深化对复杂系统的理解。
未来研究将面临如何将理论应用于实际复杂系统的挑战。 交叉研究将促进数学、物理和工程学科的进一步融合。 新的研究方法和技术的发展将为交叉研究提供更多可能性。
微分方程的双曲型方程与振动系统的交叉研究： 探讨双曲型方程在振动系统中的应用，以及如何 利用双曲型方程的性质解决振动系统的相关问题。
交叉研究在控制工程中的应用：研究如何将双曲 型方程与振动系统的交叉研究成果应用于控制工 程中，提高系统的稳定性和性能。
交叉研究在信号处理领域的应用：探讨如 何利用双曲型方程和振动系统的交叉研究 成果进行信号处理，例如在通信、雷达、 声呐等领域的应用。
XX,a click to unlimited possibilities
汇报人：XX
01
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05
06
描述物理现象的数学模型 形式为 dy/dx = f(x,y) 的方程 特征在于解的形状和性质 在振动系统中有广泛应用
定义：双曲型方 程是微分方程的 一种，其解具有 双曲函数形式的 解
优势：双曲型微分方程能够准确描述振动系统的行为，提供有效的解决方案 优势：双曲型微分方程具有明确的应用场景和实际意义，能够解决实际问题 局限性：双曲型微分方程的求解过程较为复杂，需要较高的数学水平和计算能力 局限性：双曲型微分方程的应用范围相对较窄，仅适用于某些特定类型的振动系统
微分方程的双曲型方程在振动系统中的应 用具有广泛的实际意义，如机械、航空航 天、电力等领域。
随着科学技术的不断发展，微分方程的双 曲型方程在振动系统中的应用将会更加深 入和广泛。
振动微分方程
2
yk ln iTr 2i yk i
2i
8.4单自由度体系的受迫振动
一、运动微分方程
体系在振动过程中有动力荷载P(t)或支座运动等外部干扰作用时，其振动称为 受迫（或强迫）振动。
P(t )
m
y(t)
S (t )
R(t )
P(t )
m
I (t )
（2）位移、加速度和惯性力同步变化，利用这一性质，可在质点振幅位置建立运动方程，所得 运动方程是代数方程而不是微分方程 （3）弹性力指向永与位移方向相反，而惯性力永与位移方向相同
例： 求图示梁频率
m1
EI=∞
m2
B
0 I2
A
a
k
a
A1
A
A2
B
2ak
2a
I10
此梁为一个自由度体系，振动达到幅值时，两质点的振幅为 A1 A2,惯性力幅值为
周期
T
2
频率
k 1 g g m mf mgf y jw
1）结构的周期、频率只与结构自身的质量、刚度（柔度）系数有关，与外 因无关，是结构自身的固有的特性，称为固有周期、固有频率； 2）结构的频率与质量的平方根成反比，与结构刚度系数的平方根成正比； 3）结构的固有周期和频率是结构动力性能的重要标志。
振幅
表示合成运动仍为简谐运动，其中A和φ 为：
初相位
v A y2 y tg 1 v
2
y
y y
v
y A t
0 -y
t
0
v
0
t -A T
振动力学 第二章 两自由度系统.
显然，方程组 (3.2) 中的两个方程相互关联的。因为第x 2 (t ) ，第二式中包含了 x 1 (t ) 和 x 1 (t ) 。 我们这里把由联立的方程所表示的系统运动称为是“耦合” 耦合项分别为 、 c2 x 2 (t )
k2、 x2 (t ) c2、 x1 (t ) k2 。 x1 (t )
而常数 u1 和 u2 表示位移的幅值。
x2(t) u2 f (t)
(3.8)
其中， f (t ) 表示两个位移 x1(t) 和 x2 (t) 对时间的依赖部分，
将假设的同步解(3.8)式代入运动微分方程组(3.7)，得：
m1u1 f (t ) k11u1 k12u2 f (t ) 0 m2u2 f (t ) k12u1 k 22u2 f (t ) 0
k1 1 m1 u1 k1 2u 2 0 k1 2u1 k 2 2 m 2 u 2 0
将 2 代入上式，写出：
k m u k u 0 k u k m u 0
11 2 1 1 12 2 12 1 22 2 2 2
而如果方程(3.9)有解，则需有：
(3.9)
f (t) k11u1 k12u2 k12u1 k 22u2 f (t) m1u1 m2u2
(3.10)
f (t) k11u1 k12u2 k12u1 k 22u2 f (t) m1u1 m2u2
因为上式右端各量均为实常数，所以 只要由方程(3.10)所确定的两个方程：
则解(3.16)成为：
2
(3.17)
it f (t) Ae A2e it 1
(3.18)
第2章振动分析基础第1节
Harbin Institute of Technology
哈尔滨工业大学机电工程学院
机械动力学
若系统有阻尼，振动位移与激振 力之间的相位差随频率比的增加 而逐渐增大，不会发生突然的变 化，但在共振点前后变化较大。 系统阻尼越小，共振点附近相位 差随频率的变化越大。 振动测试中，常应用共振点前 后响应与激振力之间的相 位差发生较大变化这个事实作为 确定共振点的一个指标。
哈尔滨工业大学机电工程学院
机械动力学
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哈尔滨工业大学机电工程学院
机械动力学
由于阻尼耗散的能量与振幅的平方成正比， 故P点常称为半功率点，半功率点公式提供了一 种确定系统阻尼比的实用方法， 由以上分析可见，当阻尼大时，带宽△。就 宽，过共振时振辐变化平缓，振幅较小，反之 ，阻尼小时，带宽就窄，过共振时振幅变化较 陡，振幅就大。所以，品质因数Q反映了系统阻 尼的强弱性质和共振峰的陡峭程度。在机床系 统中，为了过共振时比较平稳，希望Q值小些。
2
固有频率 有阻尼固有角频率 Harbin Institute of Technology
哈尔滨工业大学机电工程学院
机械动力学
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机械动力学
1、临界阻尼振动系统
临界阻尼
阻尼比
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机械动力学
例： 实验观察到一有阻尼单自由度系统的振动幅值在5个完整 的周期后衰减了50%，设系统阻尼为粘性阻尼，试计算系统的 阻尼。
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第二章离散系统的振动微分方程课件
等效后系统的动能
Ve
1 2me
x2
∵ Ve V
m em a4m b
2.3 振动微分方程的建立
例2-8 求把轴Ⅰ等效到轴Ⅱ时盘1的等效惯量J1e
解： 等效前系统的动能
V 1 2 J 11 2 1 2 J 22 2 1 2 J 1i 2 2 2 1 2 J 22 2
等效后系统的动能
Ve1 2J1e221 2J222
2) 阻尼矩阵[C]是对称矩阵，对角元cii为所有与第i个质量元 件相连接的阻尼元件阻尼系数之和（等效阻尼），非对 角元cij = cji ，连接第i个质量元件和第j个质量元件的阻尼 元件阻尼系数之和是cij 。
3) 刚度矩阵[K] 是对称矩阵，对角元kii为所有与第i个质量元 件相连接的弹性元件刚度之和（等效刚度），非对角元 kij = kji ，连接第i个质量元件和第j个质量元件的弹性元件 刚度之和是kij 。
得到的方程经整理，线性化后就能得到系统的振动 微分方程。
2.3 振动微分方程的建立
例2-6 建立图示系统作微振动 的微分方程。 解：
建立广义坐标。 选θ为 广义坐标，逆时为负， OB静止时θ 为零，则 x1=a θ ，x2=2a θ 。
图2-6 多质量系统
2.3 振动微分方程的建立
系统的动能V 势能U
kt1
22
i2
kt222
等效后势能
传动系统
U ekt1e 2 2/2kt2 2 2/2
等效刚度
kt1e kt1/i2
2.3 振动微分方程的建立
2. 等效阻尼
计算方法：（类似于等效刚度）
n
❖并联阻尼： c e c i
i 1
❖串联阻尼： 1 n 1 ce i 1 ci
【推荐】理论力学：ch17离散系统的震动.ppt
相位差为 ;
振幅: 为等振幅的振动，有阻尼也不 会衰减。
下面重点讨论受迫振动的振幅和相位差。
56
受迫振动振幅:
相位差：
可以看出，振幅和相位差均与系统特性和激振 力的特性有关，而与初始条件无关。
振幅和相位差的无量纲形式 引入无量纲参数:
频率比:
阻尼比:
57
振幅和相位差的无量纲形式 引入无量纲参数: 则有:
其中，n 为阻尼系数。 将方程化为标准形式:
阻尼自由振动微分方程的通解 设解的形式为:
32
有阻尼自由振动微分方程的标准形式:
阻尼自由振动微分方程的通解 设解的形式为: 代入方程得到特征方程为:
解出特征根: 则方程的通解为:
33
特征根: 通解为: 解的特性取决于特征根的性质，下面分别讨论。 3. 小阻尼情况
以质量-弹簧系统为例建立振动微分方程。
设已知 m, k, c 以及简谐激振
力： F = H sint 。
以静平衡位置为x的坐标原 l0
点，向下为x轴正向。 取 m 为研究对象，在一般
st
O
x
Fk
Fc
位置x处，受力如图。 则运动微分方程为:
v mg x
49
运动微分方程为: 所以:
l0
st
O
x
Fk
当 n n 时，特征根为一对共轭复数:
通解可写为:
其中，A和为积分常数，由初始条件决定。 34
通解为:
其中，A和为积分常数，由初始条件决定。
有阻尼振动时的圆频率为: 则通解可写为: 设初始条件为: 则有:
35
通解为:
它的运动曲线如图。 由图可以看出，其运动 已不是等振幅的简谐运 动，而是衰减运动。 阻尼自由振动的参数 振幅 圆频率
振幅: 为等振幅的振动，有阻尼也不 会衰减。
下面重点讨论受迫振动的振幅和相位差。
56
受迫振动振幅:
相位差：
可以看出，振幅和相位差均与系统特性和激振 力的特性有关，而与初始条件无关。
振幅和相位差的无量纲形式 引入无量纲参数:
频率比:
阻尼比:
57
振幅和相位差的无量纲形式 引入无量纲参数: 则有:
其中，n 为阻尼系数。 将方程化为标准形式:
阻尼自由振动微分方程的通解 设解的形式为:
32
有阻尼自由振动微分方程的标准形式:
阻尼自由振动微分方程的通解 设解的形式为: 代入方程得到特征方程为:
解出特征根: 则方程的通解为:
33
特征根: 通解为: 解的特性取决于特征根的性质，下面分别讨论。 3. 小阻尼情况
以质量-弹簧系统为例建立振动微分方程。
设已知 m, k, c 以及简谐激振
力： F = H sint 。
以静平衡位置为x的坐标原 l0
点，向下为x轴正向。 取 m 为研究对象，在一般
st
O
x
Fk
Fc
位置x处，受力如图。 则运动微分方程为:
v mg x
49
运动微分方程为: 所以:
l0
st
O
x
Fk
当 n n 时，特征根为一对共轭复数:
通解可写为:
其中，A和为积分常数，由初始条件决定。 34
通解为:
其中，A和为积分常数，由初始条件决定。
有阻尼振动时的圆频率为: 则通解可写为: 设初始条件为: 则有:
35
通解为:
它的运动曲线如图。 由图可以看出，其运动 已不是等振幅的简谐运 动，而是衰减运动。 阻尼自由振动的参数 振幅 圆频率
第2讲 离散事件系统基本概念ppt课件
47
课堂仿真练习（1）
计算全部顾客平均等待时间、服务员空的概率、
顾客
1 2 3 4 5
到达间隔随 机数字 －
259 3 493 4 67 1 789 7
顾客
1 2 3 4 5
最新版整理ppt
服务时间随 机数字 67 4 12 2 90 5 34 3 78 4
48
仿真工具软件
AUTOMOD 上机实验软件 DASH EXPRESS ANYLOGIC EMPLANT FLEXIM ……
最新版整理ppt
21
手工仿真步骤
1、确定仿真的每个输入的特征。 2，构造一个仿真表。 3、对每一重复运行i，为每一组由p个输入产生一
个值，并评价其功能，计算响应yi的值。
最新版整理ppt
22
例1：排队系统
仿真方法：手工仿真 仿真初始条件：系统中没有顾客，即：排队的队列中没有顾客等待，服务台 无服务对象。 仿真开始：以第一个顾客到达时刻为仿真的起始点。
N
Y 是否是系统 模型问题
N
Y
仿真实验设计
仿真运行研究 Y
继续运行否
设计新的实
Y
验否
仿真结果分析处理
最新版整理ppt
结束
14
计算机仿真的三个阶段
实际环境
建模方法学 数学模型
仿真算法 仿真模型
仿真软件 仿真实验结果
模型建立阶段 模型交换阶段 仿真实验阶段
最新版整理ppt
15
离散事件系统仿真策略
面向事件的仿真：事件表 面向活动的仿真：活动扫描 面向进程的仿真：为每个实体建立一个进程，反
最新版整理ppt
27
到达事件－统计特性
• 假定：到达事件：顾客到达间隔时间为1-8分钟的均匀分布 到达。
3.天津大学机械振动课件-振动系统的运动微分方程
11
22 表示在m
l ( )3 l3 2 3EI 24 EI
2处施加单位力(沿y2方向)并在m2处产生的位移。有
22
Mechanical and Structural Vibration
l3 3EI
3.4 柔度影响系数 位移方程
12 21 表示在m2 处施加单位力在
Mechanical and Structural Vibration
3.4 柔度影响系数 位移方程
写成矩阵形式
x1 11 12 x 2 21 22 x 3 31 32
13 m1 0 23 0 m2 33 0 0
Mechanical and Structural Vibration
3.4 柔度影响系数 位移方程
现分析求出图所示的三自由度系统的柔度影响系数。
F1
首先施加单位力 F1 1 F2 F3 0 ， 这时三物块所产生的静位移分别是 11、 21、 31
1 当受到F1作用后，第一个弹簧的变形为 k ，第二和第三个 1
Mechanical and Structural Vibration
3.4 柔度影响系数 位移方程
例 试写出图所示刚体AB的 刚度矩阵并建立系统的运动 微分方程。
解：刚体AB在图面内的位置可以由其质心C的坐标yC(以水 平位置O为坐标原点，且水平运动不计)和绕C转角 确定。
Mechanical and Structural Vibration
3.4 柔度影响系数 位移方程
在单自由度的弹簧—质量系统中，若弹簧常数是k，则
1 k
就是物
块上作用单位力时弹簧的变形，称柔度影响系数，用 表示。 n自由度系统的柔度矩阵 Δ 为n阶方阵，其元素 ij 称为柔度影 响系数，表示单位力产生的位移。 具体地说，仅在第j个质量的坐标方向上受到单位力作用时相 应于在第i个质量的坐标方向上产生的位移，即定义为 ij 。
22 表示在m
l ( )3 l3 2 3EI 24 EI
2处施加单位力(沿y2方向)并在m2处产生的位移。有
22
Mechanical and Structural Vibration
l3 3EI
3.4 柔度影响系数 位移方程
12 21 表示在m2 处施加单位力在
Mechanical and Structural Vibration
3.4 柔度影响系数 位移方程
写成矩阵形式
x1 11 12 x 2 21 22 x 3 31 32
13 m1 0 23 0 m2 33 0 0
Mechanical and Structural Vibration
3.4 柔度影响系数 位移方程
现分析求出图所示的三自由度系统的柔度影响系数。
F1
首先施加单位力 F1 1 F2 F3 0 ， 这时三物块所产生的静位移分别是 11、 21、 31
1 当受到F1作用后，第一个弹簧的变形为 k ，第二和第三个 1
Mechanical and Structural Vibration
3.4 柔度影响系数 位移方程
例 试写出图所示刚体AB的 刚度矩阵并建立系统的运动 微分方程。
解：刚体AB在图面内的位置可以由其质心C的坐标yC(以水 平位置O为坐标原点，且水平运动不计)和绕C转角 确定。
Mechanical and Structural Vibration
3.4 柔度影响系数 位移方程
在单自由度的弹簧—质量系统中，若弹簧常数是k，则
1 k
就是物
块上作用单位力时弹簧的变形，称柔度影响系数，用 表示。 n自由度系统的柔度矩阵 Δ 为n阶方阵，其元素 ij 称为柔度影 响系数，表示单位力产生的位移。 具体地说，仅在第j个质量的坐标方向上受到单位力作用时相 应于在第i个质量的坐标方向上产生的位移，即定义为 ij 。
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单自由度系统
1 力法 例2-8
建立单摆作微小振动的微分方程。
建立广义坐标。单摆偏离平衡位置
的转角θ，坐标零位在铅垂位置，
逆时针方向为正。
隔离体受力分析
由动量矩原理得到
单摆
m l 2 m g l sin 0
sin
（ g l ） 0
第2章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
单自由度系统
2 能量法 例2-12 建立系统在铅垂方向振动的微分方程。
系统的动能V 势能U
耗散能P
V
1 2
m1
a2
2
2
m
2
a
2
2
1 2
m3
a
2
2
U
1 2
k
1
a
2
2
1 2 k2
4a 2
2
1 2 k3
9 a 2
4
2
P0
由能量守恒原理得到
[（ m 1 a 2 4 m 2 a 2 m 3 a 2 ）
n
ki
i 1
第2章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
等效系统
1 等效刚度
计算方法：1 从刚度的定义。
2 等效前后系统势能不变。
串联弹簧
等效弹簧刚度
k
e
Fx x
1 n1
x
n
n
xi
i 1
i 1
Fx ki
n
Fx
i 1
1 ki
k i 1 i
串联弹簧
平动： Fm m x
转动： Tm J
力、质量和加速度的单位分 别为N、kg和m / s 2。
力矩、转动惯量和角加速度 的单位分别为Nm、kg m 2和 rad / s 2
第2章 离散系统的振动微分方程
2.1 实际系统离散化的力学模型
离散化的力学模型 弹性元件
无质量、不耗能，储存势能的元件
得到的方程经整理，线性化后就能得到系统的振 动微分方程。
第2章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
单自由度系统 2 能量法 例2-12 建立系统在铅垂方向振
动的微分方程。
建立广义坐标。 选θ为 广义坐标，逆时为负， OB静止时θ 为零，则
x1=a θ ，x2=2a θ 。
多质量系统
第2章 离散系统的振动微分方程
平动： Fs k x
转动： Ts kt
力、刚度和位移的单位分别 为N、N / m和m 。
力矩、扭转刚度和角位移的 单位分别为Nm、 Nm / rad和 rad
第2章 离散系统的振动微分方程
2.1 实际系统离散化的力学模型
离散化的力学模型 阻尼元件
无质量、无弹性、线性耗能元件
平动： Fd c x
ct1e=ct1 / i 2
第2章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
等效系统
3 等效质量 等效前后系统动能不变
例2-15
弹簧-杠杆-质量系统
求图示系统对A点的等效质量
等效前系统的动能
V
1 2
m a x 2
1 2
m
b
x l
2
l 2
1 2
ma
4
mb
x 2
等效后系统的动能
Ve
1 2
m
e
x 2
∵ Ve V
me ma 4mb
第2章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
等效系统
3 等效质量 等效前后系统动能不变
例2-16 把轴Ⅰ等效到轴Ⅱ时盘1的等效惯量J1e
等效前系统的动能
V
1 2
J1
2 1
1 2
J2
2 2
1 2
建立广义坐标。取质量元件沿铅垂 方向的位移作为广义坐标x。原点 在系统的静平衡位置，向下为正。
有阻尼单自由度系统
隔离体受力分析
k(x ) cx mg F(t) mx
由力学原理得到
mx cx kx F(t)
第2章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
原则
•弹性较小而质量较大的构件 → 质量元件
•质量较小而弹性较大的构件 → 弹性元件
•阻尼较大的部分
→ 阻尼元件
•质量、弹性和阻尼均布 → 质量、弹性、阻尼均有的单元
第2章 离散系统的振动微分方程
2.1 实际系统离散化的力学模型
例2-1
机组质量集中 为一个质量元 件，弹性支承 简化成并联的 弹簧和阻尼器。
机械振动噪声学
第2章 离散系统的振动微分方程
2.1 实际系统离散化的力学模型 2.2 力学基础 2.3 振动微分方程的建立 2.4 振动微分方程的一般形式
第2章 离散系统的振动微分方程
2.1 实际系统离散化的力学模型
实际系统的离散化
依据
简化的程度取决于系统本身的复杂程度、外界对它的作用形式和 分析结果的精度要求等
多个质量（弹性、阻尼）元件等效为一个质量（刚度、阻尼）元件。 连续系统的质量和弹性等效成一个质量元件和一个弹性元件。
第2章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
等效系统
1 等效刚度
计算方法：1 从刚度的定义。 2 等效前后系统势能不变。
斜向布置的弹簧
等效弹簧刚度
Fx F cos
x方向的力 k x e x方向的位移
情况 1 m>>ms：
等效前
xs xs
/
x
l
y y
(0 yl) dV Ad y
dU dV /2 E2 dV /2
U
l 0
1
x2
EA
2
l2
dy
1 E A x 2 2 l
弹性杆系统
V
1 mx 2 2
l 0
1 2
ms l
d y x y 2 l
1 2
m
ms 3
x 2
第2章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
等效系统
3 等效质量 等效前后系统动能不变
例2-17 求弹性杆简化成单自由度弹
簧质量系统时的等效刚度和等效质量
情况 1
m>>ms：
xs
x l
y
(0 yl)
等效后
Ve
1 2
m
e
x 2
Ue ke x2 / 2
Ve
1 2
m
e
x 2
Ue ke x2 / 2
Ve V
∵
Ue U
me m ms / 2
ke
2
8
k
弹性杆系统
第2章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
多自由度系统 1 力法 牛顿第二定律和质系动量矩定理
例 2-18
n个自由度的系统
（1）建立广义坐标。 质量mi 的位移xi，质 量mi静平衡位置为原 点，方向向右为正。
( i 2, 3, , n 1)
Fn (t) c n (x n x n1 ) c n1 x n k n (x n x n1 ) k n1 x n m n xn
整理后用矩阵形式表示为 M x Cx Kx F t
图 2.1 弹性安装的柴油发电机组
第2章 离散系统的振动微分方程
2.1 实际系统离散化的力学模型
例2-3
图2.3 柴油机推进轴系 1. 活塞 2. 连杆 3. 曲轴 4. 飞轮 5. 中间轴 6. 螺旋桨
第2章 离散系统的振动微分方程
2.1 实际系统离散化的力学模型
离散化的力学模型 质量元件
无弹性、不耗能的刚体，储存动能的元件
J1
i
2 2
2
1 2
J
2
2 2
等效后系统的动能
Ve
1 2
J1e
2 2
1 2
J2
2 2
∵ Ve V
J1e J1 / i 2
传动系统
第2章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
等效系统
3 等效质量 等效前后系统动能不变
例2-17 求弹性杆简化成单自由度弹
簧质量系统时的等效刚度和等效质量
Ve V
∵
Ue U
me m ms / 3 ke k
弹性杆系统
第2章 离散系统的振动微分方程
2.3 振动微分方程的建立
等效系统
3 等效质量 等效前后系统动能不变
例2-17 求弹性杆简化成单自由度弹
簧质量系统时的等效刚度和等效质量
情况 2 m<<ms： xs
等效前
x sin
y
2l
转动： Td ct
力、阻尼系数和速度的单位 分别为N、N s/ m和m/s。
力矩、扭转阻尼系数和角速 度的单位分别为Nm、 Nms / rad和rad/s
第2章 离散系统的振动微分方程
2.2 力学基础 (自学）
自由度和广义坐标 动力学的基本原理
•牛顿第二定律 •质系动量矩定理 •机械能守恒定律 •D’Alembert原理 •Lagrange方程