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第六讲简算与巧算(3)除法里的巧算在整数除法中，有许多题目我们可以利用除法的意义及各部分间的关系进行简便运算，提高计算的速度与正确率，这儿给同学们介绍几种常见的速算方法。
一、除变连除。
当除数可以拆成两个因数相乘的形式时，可以变除法为连除，达到口算的目的。
如：560÷35＝560÷7÷5＝80÷5＝161476÷18＝1476÷2÷9＝738÷9＝8213156÷26＝13156÷13÷2＝1012÷2＝506二、带号移动。
没有括号的连除或乘除混合运算，可以通过带符号移动，改变运算顺序，实现速算的目的。
如：7500÷4÷15＝7500÷15÷4＝500÷4＝1252107×12÷7＝2107÷7×12＝301×12＝3612三、添去号变号。
有括号的乘除混合运算，如果括号前面是除号，添、去括号，括号里的符号都要改变，从而达到局部凑整进行速算的目的。
如：4500÷25÷4＝4500÷(25×4)＝4500÷100＝45(添括号)4500÷(9×4)＝4500÷9÷4＝500÷4＝125(去括号)需要说明的是，这种乘除混合运算，如果括号前是乘号，添括号或者去括号都不需要改变运算符号。
如：324×36÷9＝324×(36÷9)＝324×4＝1296(添括号)48×(2700÷12)＝48×2700÷12＝48÷12×2700＝4×2700＝10800四、双扩或双缩。
也就是利用商不变的性质，当除数是15、25、35、45、125等数时，我们把被除数和除数同时扩大或同时缩小相同的倍数，达到速算的效果。
第六讲简单几何体的表面积与体积的计算一、四种常见几何体的平面展开图1.正方体沿正方体的某些棱将正方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图，这一展开图是由六个全等的正方形组成的，见图6—1。
图6─l只是正方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。
2.长方体沿长方体的某些棱将长方体剪开铺平，就可以得到它的平面展开图。
这一展开图是六个两两彼此全等的长方形组成的，见图6—2。
图6—2只是长方体平面展开图的一种画法，还有别的画法（从略）。
3.（直）圆柱体沿圆柱的一条母线和侧面与上、下底面的交线将圆柱剪开铺平，就得到圆柱体的平面展开图。
它由一个长方形和两个全等的圆组成，这个长方形的长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱体的高。
这个长方形又叫圆柱的侧面展开图。
图6—3就是圆柱的平面展开图。
4.（直）圆锥体沿圆锥体的一条母线和侧面与下底面圆的交线将圆锥体剪开铺平，就得到圆锥的平面展开图。
它是由一个半径为圆锥体的母线长，弧长等于圆锥体底面圆的周长的扇形和一个圆组成的，这个扇形又叫圆锥的侧面展开图。
具体图形见图6—4。
二、四种常见几何体表面积与体积公式1.长方体长方体的表面积=2×（a×b+b×c+c×a）长方体的体积=a×b×c（这里a、b、c分别表示长方体的长、宽、高）。
2.正方体正方体的表面积=6×a2正方体的体积=a3（这里a为正方体的棱长）。
3.圆柱体圆柱体的侧面积=2πRh圆柱体的全面积=2πRh+2πR2=2πR（h+R）圆柱体的体积=πR2h（这里R表示圆柱体底面圆的半径，h表示圆柱的高）。
4.圆锥体圆锥体的侧面积=πRl圆锥体的全面积=πRl+πR2母线长与高）。
三、例题选讲例1 图6—5中的几何体是一个正方体，图6—6是这个正方体的一个平面展开图，图6—7（a）、（b）、（c）也是这个正方体的平面展开图，但每一展开图上都有四个面上的图案没画出来，请你给补上。
第六讲猜猜他几岁课前复习1. 妈妈今年32岁，小明今年7岁，小明出世的时候，妈妈多少岁？【答案】32-7=25（岁）小明出世的时候，妈妈25岁。
2. 爸爸10年前22岁，今年爸爸多少岁？【答案】22+10=32（岁）今年爸爸32岁。
3. 小红今年10岁，比哥哥小7岁，哥哥去年多少岁？【答案】哥哥今年的年龄：10+7=17（岁），哥哥去年的年龄：17-1=16（岁）同学们，你知道吗?今年你7岁，明年你几岁?妈妈今年32岁，比你大25岁，明年妈妈比你大多少岁呢?这些都是关于年龄的问题，在解答这类题时要记住：每过一年，每人年龄都要长大一岁。
今年妈妈比你大几岁，再过些年，妈妈还是比你大几岁，因此不管过多少年，两个人相差的年龄都不会变，抓住这个不变量，解决问题时就方便多了。
下面我们就一起来解决生活中常见的一些年龄问题吧！实践应用【例1】小峰今年10岁，他比爸爸小28岁，去年，他比爸爸小多少岁?【例2】妹妹今年4岁，姐姐今年12岁，10年后，姐姐比妹妹大几岁?【分析】今年姐姐12岁，妹妹4岁，姐姐比妹妹大12-4=8(岁)10年后，姐姐的岁数是12+10=22(岁)10年后，妹妹的岁数是4+10=14(岁)因此10年后，姐姐比妹妹大22-14=8(岁)。
总结：不管过多少年，两个人相差的年龄是不变的。
拓展训练1、小亮今年7岁，爸爸比他大30岁，三年前，小亮比爸爸小多少岁?【分析】今年小亮比爸爸小30-7=23（岁），三年前，小亮和爸爸相差的年龄是不变的，因此三年前，小亮比爸爸还是小23岁。
2、小红今年8岁，姐姐今年12岁。
5年后，姐姐比小红大多少岁?【分析】今年姐姐比小红大12-8=4（岁），5年后，姐姐比小红还是大4岁。
【例3】小芳今年10岁，妈妈比她大28岁，当小芳15岁时，妈妈多少岁?【分析】方法一：今年，小芳10岁，妈妈的年龄是10+28=38(岁)当小芳15岁时，也就是过了5年，妈妈也大了5岁。
所以，小芳15岁时，妈妈是38+5=43(岁)方法二：当小芳15岁时，妈妈还是比她大28岁，所以也可直接用28+15=43(岁)来算。
第六讲：应用题系列—连连剪剪【有话要说】最近的二年级数学报中，考到了一个根绳子剪4次被剪成5段，住7层楼要走6层楼梯......这是日常生活中比较特殊的问题。
想做好这类题就要多动脑筋想想，多动笔画画，才能找到正确的答案。
【经典例题】例1：一根绳子长8米,把它剪成2米长的小段，可剪多少段？要剪多少次？思维训练：（1）8米长的绳子，剪成每段2米长，要求可以剪多少段，就是求8里面有几个2,8÷2=4（段），可以剪4段。
（2）要求剪几次，可以用线段图分析：2米8米从图中可以看出剪的次数比剪的段数少1。
即剪的次数=段数-1。
列式如下：8÷2=4（段）4-1=3（次）答：可剪4段，要剪3次。
练习1：一根木料长10米，木工把它锯成2米长的小段，可以锯成多少段？要锯几次？练习2：一根25厘米长的铁丝，把它剪成5厘米长的小段，可剪几段？要剪几次?练习3：一根6米长的电线，电工把它剪成2米长的小段，可剪几段？要剪几次？例2：一根8米长的绳子，剪了三次，平均每段长多少米？思维训练：8米长的绳子，剪了3次，应该剪成了4段。
求平均每段长多少米，也就是把8平均分成4份，求每份是多少，8÷4=2（米），因此平均每段长2米。
列式如下：3+1=4（段）8÷4=2（米）答：平均每段长2米。
练习1：一根9米长的绳子，剪了2次，平均每段长多少米？练习2：一根12分米长的铁丝，剪了3次，平均每段长多少分米？练习3：一根20厘米长的绳子，剪了4次，平均每段长多少厘米？例3：一根绳子被剪了4次，平均每段长4厘米，这根绳子原来总长多少厘米？思维训练：（一根绳子被剪4次，剪成了几段？）练习1：一根绳子被剪了3次后，平均每段长8厘米，这根绳子原来总长多少厘米？练习2：一根铁丝被剪了5次后，平均每段长6米，这根铁丝原来长多少米？练习3：两根同样长的绳子重叠在一起，被剪了3次后，平均每段长2米，这两根绳子总长多少米？例4：小明家住六楼，他从一楼走到二楼要用1分钟，那么他从一楼走到六楼要用几分钟？思维训练：从一楼到二楼有一层楼梯，那么从一楼到六楼应该有6-1=5（层）楼梯。
小学奥林匹克数学第一集：第六讲：简单推理一、简单推理（一）小朋友，你知道怎样用天平称东西吗？有这样一道题：1个梨等于2个苹果，1个苹果等于3个香蕉，那么1个梨等于几个香蕉？这是一个简单的推理题，需要小朋友根据已知条件，有条理，有次序地思考；要充分利用每次得出的结论，作为后一步推理的依据。
我们常用推理来解数学题。
例1：已知：+ =12，= + +求：=？，=？分析：因为+ =12，而= + + ，所以+ + + =12。
4个是12，所以=12÷4=3。
因为+ =12，=3，所以=12-3=9（或者= + + =3+3+3=9）解：=9，=3。
例2：如图，已知=6千克，求=？千克分析：因为一个是6千克，所以2个就是6×2＝12（千克）。
因为3个等于2 个，所以3个是12千克，1个是12÷3＝4（千克）。
又因为1个等于4 个，所以的重量是4×4=16（千克）解：=16（千克）例3：已知+ =3。
那么=？=？分析：因为1个是3，所以4个12。
而4个等于1个加1个，所以=12。
因为= + + =12=12÷3=4，=4+4=8。
解：=4，=8。
练习：4．已知×=54，÷=3，=9。
求：=？解：×=54，=9，可以求出=54÷9=6。
又根据÷=3，可以求出=6÷3=2。
5．1只兔子的重量是2只松鼠的重量，又是4只小鸡的重量。
1只松鼠等于几只小鸡的重量？解：因为1只兔子的重量=2只松鼠的重量=4只小鸡的重量。
也就是说2只松鼠的重量=4只小鸡的重量。
所以1只松鼠的重量=2只小鸡的重量。
6．已知：=6，+ = + + ，+ = 。
求：=？解：由=6得+ =12。
因为+ = + + ，所以12= ++ 。
即3个是12；=12÷3=4。
又因为1个= + ，所以=4+4=8。
7．在图中，已知1只鸭子重1千克。
第六讲有趣的除法前续知识点：二年级第一讲；XX模块第X讲后续知识点：X年级第X讲；XX模块第X讲把里面的人物换成相应红字标明的人物．萱萱墨莫小高阿呆墨莫小高阿呆萱萱墨莫小高阿瓜卡莉娅阿呆【提示】除法和乘法是逆运算。
用乘法口诀求商是数学计算中一块重要的基石，它在整个计算领域中起着举足轻重的作用。
要求我们在熟练掌握乘法口诀的基础上，理解两个数量之间的倍数关系，会用乘法口诀求商的技能解决实际问题。
计算：例题2 （1）6÷2＝（ ） （2）8÷4＝（ ）（3）9÷（ ）＝3 （4）40÷5＝（ ）（5）56÷（ ）＝7 （6）63÷9＝（ ）（7）（ ）÷9＝2 （8）（ ）÷4＝ 4练习1 填空：（1）一（ ）得九 （2）（ ）三得六 （3）（ ）五二十五（4）七（ ）五十六 （5）二（ ）一十四 （6）六（ ）四十二（7）三（ ）二十四 （8）（ ）八四十八 （9）（ ）九三十六填空：例题1 （1）一（ ）得四 （2）（ ）五一十（3）（ ）六三十 （4）八（ ）六十四（5）七（ ）六十三 （6）三（ ）二十一（7）五（ ）三十五 （8）（ ）七二十八【提示】将除法转化为乘法来运算。
认识除法中的所有元素：被除数÷除数＝商。
10÷2＝5，其中，10是 ，2是 ，5是 。
平均分，就说分成数量相等的几份。
那么想一想，如果给你一堆的糖果，怎么分才能保证每个人分到的数量是一样多的？平均分就是除法。
把总数平均分成几份，就是把总数除以几，得到的数应该是每一份的数量。
做一做下面的题目，尝试一下用除法来解答。
【提示】几个4等于8？ 把8支铅笔平均分成4份，每一份有几支铅笔？请列出除法算式。
例题3练习2 计算：（1）3÷3＝（ ） （2）10÷5＝（ ） （3）12÷（ ）＝2（4）20÷5＝（ ） （5）36÷（ ）＝4 （6）45÷9＝（ ）（7）（ ）÷9＝1 （8）（ ）÷8＝4 （9）（ ）÷7＝3【提示】用平均分的思想去理解除法。
第六讲连环算式课前复习1、将1～9这9个数字分别填入下面算式的方格中，并在○里填上适当的运算符号，使每个等式都成立.2、请在下面的方框内填上适当的运算符号，使算式成立.3、在下图中填入1或3若干个，使每条边上三个数的和都是5，四边总和为16.在趣味数学中，一些数学算式出现环环相扣的现象，有些形成连环，即上下左右都有算式存在；有些则形成相互关联的链条，其中一个算式中的数又是另一个算式中的数，一环套一环.填连环算式有助于发展计算能力、估算能力和联想能力.在这节课中，我们就引导学生来学习这种连环算式，在解题的过程中找到一些填连环算式的技巧和方法.1+9-8+7=91×9×8÷8=9 1×9+8-8=9 1×9-8+8=91×9-8+7=81×9-8÷8=8在趣味数学中，一些数学算式出现环环相扣的现象，有些形成连环，即上下左右都有算式存在；有些则形成相互关联的链条，其中一个算式中的数又是另一个算式中的数，一环套一环.在连环算式的空格内填数，关键是找到解决问题的突破口.这个突破口一般是指处在特殊位置上的数.这种练习可以开拓思维，发展能力，提高学习数学的兴趣.同学们，现在我们就一起来学习这种有趣的问题吧！巧填算式【例1】把“+”“-”“×”“÷”这四个符号分别填入下面等式的“○”中，使等式成立.7○2○4=10○2○5【分析】我们先从7○2和10○2入手，这两个方框可能填“×”或“÷” .经过试算：一种答案：7×2=14，14-4=10；10÷2=5，5+5=10，左边等于右边.拓展练习把“+” “-”“×”“÷”分别填入下面等式的○中，使等式成立.(1) 2○8○4=12○4○9(2) 12○6○2=4○2○4【分析】(1)2×8-4=12÷4+9 (2)12÷6×2=4×2-4【例2】将1～8这几个数字分别填入到空格中，使正方形的四边恰好组成加、减、乘、除四个算式，且数字不得重复.【分析】由于填的数仅有l～8这8个，每一空填一个，共8个空，所以可以先考虑乘除法.根据九九表，排除1乘几得几的几句，只剩下2的乘法，且有3句在1～8的范围内：“二二得四”、“二三得六”、“二四得八”.第一句显然不合题意，由剩下的两句口诀立即得到图中乘、除两式.2既是除式的得数，又是乘式的一个因数.但此时仍有两种填法，即乘积可以是6，也可以是8.剩下的3个数为1、5、7，与8、6均可组成连环算式：8-7=1，1+5=6或6-5=1，1+7=8，从而得出本题的两种解法，如右上图.【例3】将2、3、4、5、6、8、11、12这8个数分别填入下面的空格中，使图中四边组成加、减、乘、除四个算式.【分析】通过观察，图中右上角□里的数不但是乘法算式里的积也是除法算式里的被除数，它必须等于两组不同数的乘积.在已知的8个数中，符合上述要求的只有12，即2×6=12．3×4=12．因此右上角的□里填12.左下角□里的数，既是减法算式的被减数，又是加法算式的和．所以它必须等于两组不同数的和.在已知的8个数中，符合上述要求的只有11，即3+8=11，5+6=1l，所以左下角的口里就填11.这样其他的数就容易确定了.拓展练习把1、2、3、4、5、6、11、12这八个数分别填入图中8个空格中，组成加、减、乘、除四道算式.【答案】【例4】把1，2，2，3，4，5，6，7，8这九个数字填入下图的空格中，使图中四个等式都成立.【分析】图中有＋、－、×、÷四道算式，九个空格，1～8是八个数字，把2再用一次，正好是九个数字，其中有三个空格中的数字在三道算式中共用.左上角空格里的数字是被减数，也是被除数，只能从6和8这两个数字去考虑；右上角的数是差，也是一个乘数，应从较小数2、3去考虑，拐弯处空格里的数应是中间的几个数中的一个.还要注意“2”可以用两次，答案如右上：【例5】加法连连转游戏.魔法大师QQ出了一道题：你能将1～8这8个数字填入魔圈中，使其中的4个算式的和都相等吗?【分析】你只要设想一下，四个加法算式的和要相等，只需知道这个和是多少就好办了.由于1+2+3+4+5+6+7+8=36，36÷4=9，这个和数应该是9.而9=8+1=7+2=6+3=5+4.请同学们自己把数字填在合适的位置.【例6】在下图的空格里填入“+” “-”“×”“÷”和等号，使上、下、左、右四个算式都成立.【分析】我们可以把6做为突破口，先向右思考：6-5=1，1+7=8，8÷4=2，2×3=6，正好符合条件.我们还可以从下开始考虑：6÷3=2，2×4=8，8-7=1，1+5=6，也正好符合条件.答案有以下两种：【例7】根据左下图所给的数字和符号，在右边连环圈里列出计算等式．【分析】首先要弄清题意，根据所给条件，就是要你列两个加法算式和两个减法算式.这当中最大的数是8，8必须是两个数的和，且一定是被减数.因此这一题的突破口就是确定8为被减数，而且为两个数的和.考虑到有两个加法算式，所以还要找一个大数“7”为两数和，且为另一减法算式的被减数.这样就可填出算式.利用加数+加数=和，被减数一减数=差，列出可供选择的算式：3+5=8，8-2=6，3+4=7，7-1=6，得出第一种填法.然后经试算得出下面几种填法，答案不唯一.拓展练习根据左下图所给的数字和符号，在右边连环圈里列出计算等式．【分析】思路与上题相同，答案不唯一：【例8】请你在图中空格内填上适当的数，使上下左右四个算式成立.【分析】这道题每边都是两步计算，不过左上角和右下角都写好了8.我们从第一行起向右向下分析，8÷2=4，减去的数只能是1，2，3，一一试算，如果减去1，第一行得数是3，3×5-7=8.再从左上角8起向下向右分析，8×1÷4=2，但2-3不够减，8×2÷4=4-3+7=8，正好和右下角填好的8相等.答案不唯一：拓展练习在下图空格里填上适当的数，使上、下、左、右四个算式均成立.【分析】答案不唯一：【例9】如图，在下面的正方形方格中，横竖各有3道算式，其中的空格处都“丢失”了一些数字，请你将它们“找”回来，使等式全成立.(注：这6道算式的运算顺序：对横式从左向右依次进行，对竖式，从上向下依次进行.)【分析】第一行中的9是突破口，因为9=3×3，所以，第一行两个空格从左到右依次填和3 (而8-5=3，3×3=9)．进而可知，第三行第5格只能填3，第五行的第5格只能填8.于是，余下的第三行的第1、3格及第五行的第1、3空格的填数的积只能都为12，因12=2×6，3×4=12×1，周全安排得到的结果如上图所示：附加题（老师可根据自己的课堂进度灵活处理讲义内容，附加题仅供老师参考使用.）把0～9这10个数字填入下面连环算式的圈内，每个圈内只许填一个数字，且不能重复，怎样填连环算式才能成立？○＋○=○＋○=○＋○<○＋○=○＋○【分析】首先我们把“<”暂时看成“=”来思考，最后再来做调整.因为0＋1＋2＋3＋……＋8＋9=45，所以每组式子的和必然是45÷5=9，这样暂时可以填0、9，1、8，2、7，3、6，4、5.为使右边两组和增大而且相等，必须要进行调整.显然调整出来的数要平均分给右边两组，故左边三组中必然要取出偶数.若取2，则左边三组和都要变为7（即9－2），右边两组和各变为12 （即9＋2×3÷2），所以可得到如下填法：0＋7=1＋6=2＋5<3＋9=4＋8.若取4，则左边三组和各为5，右边两组和各为15，填法如下：0＋5=1＋4=2＋3<6＋9=7＋8.若再增加，则无法再填了，故只有以上两种填法.2+2=2×2，这是一个两个整数的和等于积的例子.请你先写出三个整数的和等于积的例子，再写出四个整数的和等于积的例子.【分析】（1）1+2+3=1×2×3=6（2）1+1+2+4=1×1×2×4=8将1～9这九个数字，填入下面的算式内，使等式成立，题目已填好了一些数，把剩下的填完整．【分析】此题应从已知的48想起，48÷3-9=7，剩余1、2、5、6不能满足下面的算式；48÷6-3=5，剩余1、2、7、9四个数字，而符号又为一乘一加，不难想出，即l×2+7=9．练习六1. 下面式子中，等号的左边和右边是不相等的.请你改变其中一个运算符号，使等号两边相等.1+2+3+4+5+6+7+8+9=100【答案】1+2+3+4+5+6+7+8×9=1002. 在下面的○里分别填上加号或减号，使各个等式成立.【答案】① 123-45-67+89=100② 123+45-67+8-9=100③ 123+4-5+67-89=100④ 12+3-4+5+67+8+9=1003.请你把1，2，3，4，5，6，7，8分别填在下面两圈的空格里，使图中四个相关联的算式都成立.【答案】4. 2、3、5、6、9、12、13、15这八个数分别填入图中的8个空格中组成加、减、乘、除四道算式.【答案】5.在括号内填上1～9中任意一个数（每个数只能填一次），使得横行、竖行的所有等式成立.【答案】有一群朋友去郊游，走到一半的时候，却发现迷路了，折腾了大半天的时间，大伙又饿又累，终于看到了一个小山丘，走在前面的人很高兴地登上了山顶，向山下眺望时，隐约地看到远处有一个招牌，上面写着一个大大的“骨”字，于是他大声吆喝着：『伙伴们，前面有我们的希望，大家赶快冲啊！我看到远处有一家排骨饭的店，我们有排骨饭可以吃了！』大伙一听有排骨饭可吃，卯足了劲往前冲. 到了距离招牌约五十米之处时，全部的人都瘫在地上，露出失望的表情，原来招牌上写着是『接骨馆』三个字.。
[二年级数学]二年级奥数上册1二年级奥数上册:第一讲速算与巧算一、“凑整”先算1.计算:(1)24+44+56(2)53+36+47解:(1)24+44+56=24+(44+56)=24+100=124这样想:因为44+56=100是个整百的数，所以先把它们的和算出来.(2)53+36+47=53+47+36=(53+47)+36=100+36=136这样想:因为53+47=100是个整百的数，所以先把+47带着符号搬家，搬到+36前面;然后再把53+47的和算出来.2.计算:(1)96+15(2)52+69解:(1)96+15=96+(4+11)=(96+4)+11=100+11=1112这样想:把15分拆成15=4+11，这是因为96+4=100，可凑整先算.(2)52+69=(21+31)+69=21+(31+69)=21+100=121这样想:因为69+31=100，所以把52分拆成21与31之和，再把31+69=100凑整先算.3.计算:(1)63+18+19(2)28+28+28解:(1)63+18+19=60+2+1+18+19=60+(2+18)+(1+19)=60+20+20=100这样想:将63分拆成63=60+2+1就是因为2+18和1+19可以凑整先算.(2)28+28+28=(28+2)+(28+2)+(28+2)-63=30+30+30-6=90-6=84这样想:因为28+2=30可凑整，但最后要把多加的三个2减去.二、改变运算顺序:在只有“+”、“-”号的混合算式中，运算顺序可改变计算:(1)45-18+19(2)45+18-19解:(1)45-18+19=45+19-18=45+(19-18)=45+1=46这样想:把+19带着符号搬家，搬到-18的前面.然后先算19-18=1.(2)45+18-19=45+(18-19)=45-1=44这样想:加18减19的结果就等于减 1.三、计算等差连续数的和相邻的两个数的差都相等的一串数就叫等差连续数，又叫等差数列，如: 41，2，3，4，5，6，7，8，91，3，5，7，92，4，6，8，103，6，9，12，154，8，12，16，20等等都是等差连续数.1. 等差连续数的个数是奇数时，它们的和等于中间数乘以个数，简记成:(1)计算:1+2+3+4+5+6+7+8+9=5×9 中间数是 5=45 共9个数(2)计算:1+3+5+7+9=5×5 中间数是 5=25 共有5个数(3)计算:2+4+6+8+10=6×5 中间数是 6=30 共有5个数5(4)计算:3+6+9+12+15=9×5 中间数是9=45 共有5个数(5)计算:4+8+12+16+20=12×5 中间数是12=60 共有5个数2. 等差连续数的个数是偶数时，它们的和等于首数与末数之和乘以个数的一半，简记成:(1)计算:1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=(1+10)×5=11×5=55共10个数，个数的一半是5，首数是1，末数是10.(2)计算:3+5+7+9+11+13+15+17=(3+17)×4=20×4=806共8个数，个数的一半是4，首数是3，末数是17.(3)计算:2+4+6+8+10+12+14+16+18+20=(2+20)×5=110共10个数，个数的一半是5，首数是2，末数是20.四、基准数法(1)计算:23+20+19+22+18+21解:仔细观察，各个加数的大小都接近20，所以可以把每个加数先按20相加，然后再把少算的加上，把多算的减去.23+20+19+22+18+21=20×6+3+0-1+2-2+1=120+3=1236个加数都按20相加，其和=20×6=120.23按20计算就少加了“3”，所以再加上“3”;19按20计算多加了“1”，所以再减去“1”，以此类推.(2)计算:102+100+99+101+987解:方法1:仔细观察，可知各个加数都接近100，所以选100为基准数，采用基准数法进行巧算.102+100+99+101+98=100×5+2+0-1+1-2=500方法2:仔细观察，可将5个数重新排列如下:(实际上就是把有的加数带有符号搬家)102+100+99+101+98=98+99+100+101+102=100×5=500可发现这是一个等差连续数的求和问题，中间数是100，个数是 5.习题一1.计算:(1)18+28+72=(2)87+15+13=(3)43+56+17+24=8(4)28+44+39+62+56+21=2.计算:(1)98+67=(2)43+28=(3)75+26=3.计算:(1)82-49+18=(2)82-50+49(3)41-64+294.计算:(1)99+98+97+96+95(2)9+99+9995.计算:(1)5+6+7+8+9(2)5+10+15+20+25+30+359(3)9+18+27+36+45+54(4)12+14+16+18+20+22+24+266.计算:(1)53+49+51+48+52+50(2)87+74+85+83+75+77+80+78+81+847.计算:1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5+6+1+2+3+4+5 10二年级奥数上册:第一讲速算与巧算习题解答111213141516171819第一层 1个第二层 2个第三层 3个第四层 4个第五层 5个20第六层 6个第七层 7个第八层 8个第九层 9个第十层 8个第十一层7个第十二层6个第十三层 5个第十四层 4个第十五层 3个第十六层 2个第十七层 1个总数1+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1 =(1+2+3+4+5+6+7+8+9)+(8+7+6+5+4+3+2+1) =45+36=81(利用已学过的知识计算).21第一层 1个第二层 3个第三层 5个第四层 7个第五层 9个第六层 11个第七层 13个第八层 15个第九层 17个总数:1+3+5+7+9+11+13+15+17=81(利用已学过的知识计算).22×101+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10即等号左边这样的一串数之和等于中间数的自乘积.由此我们猜想: 1=1×11+2+1=2×21+2+3+2+1=3×31+2+3+4+3+2+1=4×41+2+3+4+5+4+3+2+1=5×5231+2+3+4+5+6+5+4+3+2+1=6×61+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=7×71+2+3+4+5+6+7+8+7+6+5+4+3+2+1=8×8×91+2+3+4+5+6+7+8+9+8+7+6+5+4+3+2+1=9×101+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=10这样的等式还可以一直写下去，能写出很多很多.同学们可以自己检验一下，看是否正确，如果正确我们就发现了一条规律.?由方法2和方法3也可以得出下式:1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10.即从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的自乘积.由此我们猜想:1+3=2×21+3+5=3×31+3+5+7=4×41+3+5+7+9=5×5241+3+5+7+9+11=6×61+3+5+7+9+11+13=7×71+3+5+7+9+11+13+15=8×81+3+5+7+9+11+13+15+17=9×91+3+5+7+9+11+13+15+17+19=10×10还可往下一直写下去，同学们自己检验一下，看是否正确，如果正确，我们就又发现了一条规律.解:(1)我们已知，两点间的直线部分是一条线段.以A点为共同端点的线段有: AB AC AD AE AF 5条.以B点为共同左端点的线段有:BC BD BE BF 4条.以C点为共同左端点的线段有:CD CE CF 3条.25以D点为共同左端点的线段有:DE DF 2条.以E点为共同左端点的线段有:EF1条.总数5+4+3+2+1=15条.26272829二年级奥数上册:第三讲数数与计数(二)习题3031323334二年级奥数上册:第四讲认识简单数列35363738二年级奥数上册:第四讲认识简单数列习题39二年级奥数上册:第四讲认识简单数列习题解答404142二年级奥数上册:第五讲自然数列趣题第五讲自然数列趣题本讲的习题，大都是关于自然数列方面的计数问题，解题的思维方法一般是运用枚举法及分类统计方法，望同学们能很好地掌握它.例1 小明从1写到100，他共写了多少个数字“1”,解:分类计算:“1”出现在个位上的数有:1，11，21，31，41，51，61，71，81，91共10个;“1”出现在十位上的数有:10，11，12，13，14，15，16，17，18，19共10个;“1”出现在百位上的数有:100共1个;共计10+10+1=21个.43例2 一本小人书共100页，排版时一个铅字只能排一位数字，请你算一下，排这本书的页码共用了多少个铅字,解:分类计算:从第1页到第9页，共9页，每页用1个铅字，共用1×9=9(个);从第10页到第99页，共90页，每页用2个铅字，共用2×90=180(个);第100页，只1页共用3个铅字，所以排100页书的页码共用铅字的总数是: 9+180+3=192(个).44解:(见图5—1)先按题要求，把1到100的一百个自然数全部写出来，再分类进行计算:如图5—1所示，宽竖条带中都是个位数字，共有10条，数字之和是: (1+2+3+4+5+6+7+8+9)×10=45×10=450.窄竖条带中，每条都包含有一种十位数字，共有9条，数字之和是:1×10+2×10+3×10+4×10+5×10+6×10+7×10+8×10+9×10=(1+2+3+4+5+6+7+8+9)×10=45×10,450.另外100这个数的数字和是1+0+0=1.所以，这一百个自然数的数字总和是:45450+450+1=901.顺便提请同学们注意的是:一道数学题的解法往往不只一种，谁能寻找并发现出更简洁的解法来，往往标志着谁有更强的数学能力.比如说这道题就还有更简洁的解法，试试看，你能不能找出来,二年级奥数上册:第五讲自然数列趣题习题1.有一本书共200页，页码依次为1、2、3、,,、199、200，问数字“1”在页码中共出现了多少次,2.在1至100的奇数中，数字“3”共出现了多少次,3.在10至100的自然数中，个位数字是2或是7的数共有多少个,4.一本书共200页，如果页码的每个数字都得用一个单独的铅字排版(比如，“150”这个页码就需要三个铅字“1”、“5”和“0”)，问排这本书的页码一共需要多少个铅字,5.像“21”这个两位数，它的十位数字“2”大于个位数字“1”，问从1至100的所有自然数中有多少个这样的两位数,6.像“101”这个三位数，它的个位数字与百位数字调换以后，数的大小并不改变，问从100至200之间有多少个这样的三位数,467.像11、12、13这三个数，它们的数位上的各个数字相加之和是(1+1)+(1+2)+(1+3)=9.问自然数列的前20个数的数字之和是多少,8.把1到100的一百个自然数全部写出来，用到的所有数字的和是多少,9.从1到1000的一千个自然数的所有数字的和是多少,习题五解答1.解:分类计算，并将有数字“1”的数枚举出来.“1”出现在个位上的数有:1，11，21，31，41，51，61，71，81，91，101，111，121，131，141，151，161，171，181，191 共20个;“1”出现在十位上的数有:10，11，12，13，14，15，16，17，18，19110，111，112，113，114，115，116，117，118，119 共20个;47“1”出现在百位上的数有:100，101，102，103，104，105，106，107，108，109，110，111，112，113，114，115，116，117，118，119，120，121，122，123，124，125，126，127，128，129，130，131，132，133，134，135，136，137，138，139，140，141，142，143，144，145，146，147，148，149，150，151，152，153，154，155，156，157，158，159，160，161，162，163，164，165，166，167，168，169，170，171，172，173，174，175，176，177，178，179，180，181，182，183，184，185，186，187，188，189，190，191，192，193，194，195，196，197，198，199 共100个;数字“1”在1至200中出现的总次数是:20+20+100=140(次).2.解:采用枚举法，并分类计算:48“3”在个位上:3，13，23，33，43，53，63，73，83，93共10个;“3”在十位上:31，33，35，37，39共5个;数字“3”在1至100的奇数中出现的总次数:10+5=15(次).3.解:枚举法:12，17，22，27，32，37，42，47，52，57，62，67，72，77，82，87，92，97共18个.4.解:分段统计，再总计.页数铅字个数1,9共9页1×9=9(个)(每个页码用1个铅字)10,90共90页2×90=180(个)(每个页码用2个铅字)100,199共100页3×100=300(个)(每个页码用3个铅字)第200页共1页3×1=3(个)(这页用3个铅字)总数:9+180+300+3=492(个).5.解:列表枚举，分类统计:10 1个4920 21 2个30 31 32 3个40 41 42 43 4个50 51 52 53 54 5个60 61 62 63 64 65 6个70 71 72 73 74 75 76 7个80 81 82 83 84 85 86 87 8个90 91 92 93 94 95 96 97 98 9个总数1+2+3+4+5+6+7+8+9=45(个).6.解:枚举法，再总计:101，111，121，131，141，151，161，171，181，191共10个.5051二年级奥数上册:第六讲找规律(一)525354二年级奥数上册:第六讲找规律(一)习题5556二年级奥数上册:第六讲找规律(一)习题解答575859二年级奥数上册:第七讲找规律(二) 60。
