2015学年高一数学上学期期末复习及答案 第3讲 函数的单调性与最值

高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.（1）若在上单调递减,求的取值范围．（2）若使函数和都在上单调递增,求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据题意知，函数的定义域满足：在上恒成立，且函数在上单调递减，分别运用变量分离法和二次函数的单调性求出参数所满足的取值范围，取交集即可得出答案；（2）分别根据一次函数的图像和反比例函数图像知，当时，函数为单调递增的；当时，在上单调递增．试题解析：（1）由题意在上单调递减且在上恒成立．若在上单调递减，则,即；由在上恒成立得，当时显然成立；时可得：在上恒成立．因为，所以，故的取值范围是．（2）由函数在单调递增得: ，所以．又因为在上单调递增,所以．综上所述：的取值范围是．【考点】二次函数的单调性；一次函数的单调性；反比例函数的单调性．2.已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，设，，，则的大小关系是（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】因为是定义在上的偶函数，且在上是增函数，所以在上为减函数，且；且，；又因为在上为减函数，所以.【考点】函数的单调性与奇偶性.3.已知函数是定义在的奇函数，当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当时，，∵函数是奇函数∴当x＞0时，，∴∴f（x）在R上是单调递减函数，且满足9f（x+t）=f（3x+3t），不等式f（x）≤9f（x+t）在[t，t+1]恒成立，x≥3x+3t在[t，t+1]恒成立，即：在[t，t+1]恒成立，∴，解得，故实数t的最大值是．故选：A．【考点】函数恒成立问题, 函数的单调性与奇偶性．4.若函数f(x)＝sin2ax－sinaxcosax(a>0)的图象与直线y＝m相切，相邻切点之间的距离为.(1)求m和a的值；(2)若点A(x0，y)是y＝f(x)图象的对称中心，且x∈，求点A的坐标．【答案】(1)m＝－或m＝，a＝2(2)或.【解析】（1）先通过二倍角公式、两角和与差的正弦公式将函数f（x）化简为的形式，根据T=可求出a，函数f（x）的最大值等于m等于A+b 可求m的值．（2）若点A（x0，y）是y=f（x）图象的对称中心，且x∈，求出x＝,利用0≤≤，求出点A的坐标．.试题解析：解：.(1)f(x)＝sin2ax－sinaxcosax＝sin2ax＝，由题意知，m为f(x)的最大值或最小值，所以m＝－或m＝；由题设知，函数f(x)的周期为，∴a＝2，所以m＝－或m＝，a＝2.(2)∵f(x)＝，∴令＝0，得4x＋＝kπ(k∈Z)，∴x＝(k∈Z)，由0≤≤(k∈Z)，得k＝1或k＝2，因此点A的坐标为或.【考点】1.由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；2.正弦函数的对称性．5.已知函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】要使在区间上具有单调性，只需对称轴不在该区间即可，所以或即得的范围.【考点】二次函数的单调性.6.已知函数定义在(―1，1)上，对于任意的，有，且当时，。

高一数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.下列函数中,既是奇函数又是增函数的为A．B．C．D．【答案】D【解析】为非奇非偶函数，为偶函数，是奇函数，但在定义域内不是增函数。

【考点】奇函数与增（减）函数的定义。

2.定义在上的偶函数满足：对任意的，有则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由对任意的，有可知在为减函数，，又为偶函数，故，.故选B.【考点】函数的性质的应用.3.已知函数，则下列结论正确的是（）．A．是偶函数，递增区间是B．是偶函数，递减区间是C．是奇函数，递减区间是D．是奇函数，递增区间是【答案】C【解析】，其图像如图所示，由图像得是奇函数，递减区间是.【考点】分段函数的图像与性质.4.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，并根据图象：（1）写出函数的增区间；（2）写出函数的解析式；（3）若函数，求函数的最小值.【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】解题思路：（1）利用偶函数的图像关于轴对称，得到在轴右侧的图像，再利用图像写出单调递增区间；（2）设，则，求，再利用偶函数求的解析式；（3）讨论对称轴与区间的关系，求出最小值.规律总结：1.奇函数的图像关系原点对称，偶函数的图像关系轴对称；2.二次函数的图像开口向上时，离对称轴越近的点对应的函数值越小，离对称轴越远的点对应的函数值越大.试题解析:（1）在区间，上单调递增.（2）设，则.函数是定义在上的偶函数，且当时，（3），对称轴方程为：，当时，为最小；当时，为最小当时，为最小.综上，有：的最小值为．【考点】1.函数的图像；2.函数的单调性；3.函数的解析式；4.函数的最值.5.函数，使是增函数的的区间是________．【答案】【解析】令在R上是减函数,又因为函数在(-,1]是减函数,由复合函数的单调性可知的增区间为: (-,1]【考点】复合函数的单调性.6.已知奇函数 f (x) 在 (－¥,0)∪(0,+¥) 上有意义，且在 (0,+¥) 上是增函数，f (1) = 0，又函数 g(q) = sin 2q+ m cos q－2m，若集合M =" {m" | g(q) < 0}，集合 N =" {m" | f [g(q)] < 0}，求M∩N.【答案】 .【解析】根据条件中是奇函数的这一条件可以求得使的的范围，再根据与的表达式，可以得到与的交集即是使恒成立的所有的全体，通过参变分离可以将问题转化为求使恒成立的的取值范围，通过求函数最大值，进而可以求出的范围.依题意，，又在上是增函数，∴在上也是增函数， 1分∴由得或 2分∴或 3分4分由得 5分即 6分∴ 7分设， 9分∵， 10分∴， 11分且 12分∴的最大值为 13分∴ 14分另解：本题也可用下面解法：1. 用单调性定义证明单调性∵对任意，，，∴，即在上为减函数，同理在上为增函数，得 5分∴.2. 二次函数最值讨论解：依题意，，又在上是增函数，∴在上也是增函数，∴由得或∴或，4分由得恒成立，5分设， 6分∵，的对称轴为 7分1°当，即时，在为减函数，∴ 9分2°当，即时，∴ 11分3°当，即时，在为增函数，∴无解 13分综上， 14分3. 二次方程根的分布解：依题意，，又在上是增函数，∴在上也是增函数，∴由得或∴或，，由得恒成立，，设，∵，的对称轴为，， 7分1°当，即时，恒成立。

2函数的单调性与最值准提复习（附答案）一．高考要求：1. 了解函数单调性的概念；2. 掌握判断一些简单函数单调性的方法；3. 了解函数最值的定义，掌握求函数最值的基本方法。

二．双基梳理1.函数的单调性定义：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆，如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间。

如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间如果用导数的语言来，那就是：设函数)(x f y =，如果在某区间I 上0)(>'x f ，那么)(x f 为区间I 上的增函数；如果在某区间I 上0)(<'x f ，那么)(x f 为区间I 上的减函数；2.判断函数的单调性方法：定义法；图像法；导数法；利用已知函数法；复合函数法：同增异减。

3.函数的最大（小）值：设函数)(x f y =的定义域为A ，如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≤恒成立，那么称)(0x f 为)(x f y =的最大值；如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≥恒成立，那么称)(0x f 为)(x f y =的最小值。

4．函数的最值的求法（1）若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。

（2）利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。

（3）基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得）。

（4）导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法（5）数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。

数学函数的单调性与最值试题答案及解析1.已知实数，函数.（1）当时，求的最小值;（2）当时,判断的单调性,并说明理由；（3）求实数的范围，使得对于区间上的任意三个实数，都存在以为边长的三角形.【答案】（1）2（2）时，递增（3）【解析】易知的定义域为，且为偶函数.（1）时, 2分时最小值为2. 4分（2）时,时，递增；时，递减； 6分为偶函数.所以只对时，说明递增.设，所以，得所以时，递增； 10分（3），，从而原问题等价于求实数的范围，使得在区间上，恒有. 11分①当时，在上单调递增，由得，从而； 12分②当时，在上单调递减，在上单调递增，，由得，从而； 13分③当时，在上单调递减，在上单调递增，，由得，从而； 14分④当时，在上单调递减，由得，从而； 15分综上，. 16分【考点】本题考查函数的性质、函数的图象和函数的最值等知识，意在考查学生的运用函数解题的意识和数形结合、分类讨论的能力.2.下列函数中，在内单调递增，并且是偶函数的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由二次函数的图象和余弦函数的图象知，和在无单调性，故A，B错；在单调递增，但无奇偶性，故D错；由的图象知，C正确．【命题意图】本题考查函数的单调性和奇偶性等基础知识，意在考查运用数形结合思想的能力．3.已知，函数的零点分别为，函数的零点分别为，则的最小值为（）A．B．2C．D．1【答案】D【解析】由题知，，，，.，又，，从而，故选D.【考点】本题考查函数的零点、指数运算、函数的最值等知识，意在考查综合运用所学知识解决问题的能力.4.已知定义在实数集上的偶函数满足，且当时，，则关于的方程在上实根的个数是（）A．B．C．D．【答案】【解析】由题意可得，.即函数为周期为的周期函数，又是偶函数，所以，可在同一坐标系内，可画出函数，的图象，观察它们在区间的交点个数，就是方程在上实根的个数.结合函数图象可知，共有个交点，故选.【考点】本题主要考查函数的奇偶性、周期性，函数的图象，函数的零点等基础知识，意在考查考生对数学知识掌握的熟练程度及转化与化归思想、数形结合思想的应用.5.已知A，B，C是平面上任意三点，BC＝a，CA＝b，AB＝c，则y＝＋的最小值是．【答案】－．【解析】相对固定b,c，即把b,c视为常数，代数式y＝＋随着正数a的变大而变小，要使y最小，只要a最大，因为A，B，C是平面上任意三点，且BC＝a，CA＝b，AB＝c，故a的最大值是b＋c，所以y＝＋≥＋＝＋－≥－，即最小值是－．【命题意图】本题考查函数概念及性质等知识，意在考查灵活运用有关的基础知识解决问题的能力.6.函数的单调增区间为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，解得；而函数的定义域为，所以函数的单调递增区间为.7.已知偶函数在区间上满足，则满足的的取值范围是A．B．C．D．【答案】D【解析】∵在区间上满足，∴在区间上是增函数，∵是偶函数，∴，∴，解不等式即可．8.设函数，则函数的零点个数为个．【答案】3【解析】将的图象向上平移个单位得的图象，由图象可知，有3个零点.9.函数，的值域是 .【答案】【解析】∵，∴，∴，∴，令，是增函数，又，故当时，取得最大值为1，∴函数值域为.10.已知关于x的函数（1）当时，求函数的极值；（2）若函数没有零点，求实数a取值范围.【答案】（1）函数的极小值为；（2）.【解析】解：（1），. 2分当时，,的情况如下表：↘↗（2）. 7分当时，的情况如下表：↘↗因为F(1)=1＞0, 8分若使函数F(x)没有零点，需且仅需，解得, 9分所以此时；10分当时，的情况如下表：↗↘因为,且，所以此时函数总存在零点. 12分（或：当时，当时，令即由于令得，即时，即时存在零点.）综上所述，所求实数a的取值范围是.13分11.已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，讨论的单调性.【答案】（1）（2）当时，在,单调递减，在,单调递增；当时,在单调递减当时，在单调递减，在单调递增；【解析】（1）当时，，此时， 2分，又，所以切线方程为：，整理得：；分（2）， 6分当时，，此时，在,单调递减，在,单调递增； 8分当时，，当即时在恒成立，所以在单调递减； 10分当时，，此时在,单调递减，在单调递增； 12分综上所述：当时，在单调递减，在单调递增；当时，在单调递减，在单调递增；当时在单调递减. 13分12.已知是自然对数的底数，函数。