2019-2020学年XXX学校高一(下)期末数学模拟试卷 (43)-0713(解析版)
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2019-2020学年XXX 学校高一（下）期末数学模拟试卷 (43)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 等差数列{a n }中，a 4=1，a 8=8，则a 12的值是( )A. 15B. 30C. 31D. 64 2. 已知a >b >1，0<c <1，下列不等式成立的是( )A. c a >c bB. ac <bcC. log c a >log c bD. ba c <ab c3. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 5=4a 4，且a 3与2a 6的等差中项为52，则S 5=( )A. 29B. 31C. 33D. 36 4. 在△ABC 中，A = 60°，B = 45°，a = 10，则b 的值( )A. 5√2B. 10√63C. 10√2D. 5√65. 设实数x ，y 满足约束条件{3x +y ≥5x −4y ≥−7x ≤2，则z =x +4y 的最大值为( )A. −2B. 9C. 11D. 4146. 当a <0时，不等式42x 2+ax −a 2<0的解集( )A. {x|−a6<x <a7} B. {x|a7<x <−a6} C. {x|a6<x <−a7}D. {x|−a7<x <a6}7. 已知正数a ，b 满足a +b =3，则1a +4b+1的最小值为( )A. 94B. 3415C. 73D. 928. 把100个面包分给五个人，使每个人所得的面包个数成等差数列，最大的三份之和的17是最小的两份之和，则最小的一份的量是多少？”这是世界上最古老的数学著作之一《莱因德纸草书》中的一道题，则在该问题中的公差为( )A. 53B. 52C. 356D. 5569. 记数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1a 2⋯a n =3n 2−2n ，则a 5=( )A. 34B. 35C. 36D. 3710. △ABC 中，若(CA⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =35|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，则tanAtanB 的值为( ) A. 2 B. 4C. √3D. 2√311. 若不等式4x 2−log a x <0对任意x ∈(0,14)恒成立，则实数a 的取值范围为( )A. [1256,1)B. (1256,1)C. (0,1256)D. (0,1256]12. 已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n +S m =S n+m ，其中m ，n 为正整数，且a 1=1，则a 10等于( )A. 1B. 9C. 10D. 55二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在△ABC 中，已知a =8，∠B =60°，∠C =75°，则b 等于______ ． 14. 已知函数f(x)={x 2+2x,x ≥0,−x 2+2x,x <0.若f(a)≤3，则a 的取值范围是________．15. 已知正数x ，y 满足x +y =1，则4x+1+9y+1的最小值是 ______． 16. 在△ABC 中，边a 、b 、c 所对角分别为A 、B 、C ，若∣∣∣asin(π2+B)bcosA∣∣∣=0，则△ABC 的形状为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. (Ⅰ)若函数f(x)=√x 2−kx −k 定义域为R ，求k 的取值范围；(Ⅱ)解关于x 的不等式(x −a)(x +a −1)>0．18. 如图，在四边形ABCD 中，cos∠DAB =−14，ADAB =23，BD =4，AB ⊥BC ．(1)求sin∠ABD 的值;(2)若∠BCD =π4，求CD 的长．19. 在制定投资计划时，不仅要考虑能获得的盈利，而且还要考虑可能出现的亏损，现有甲、乙两个项目进 行招商，要求两个项目投资总额不能低于8万元，根据预测，甲、乙项目可能最大盈利率分别为80%和 50%，可能最大亏损率分别为40%和20%.张某现有资金10万元准备投资这两个项目，且要求可能的资金亏损不超过2.6万元.设张某对甲、乙两个项目投资金额分别为x 万元和y 万元，可能最大盈利为S 万元.问：张某对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？并求出盈利的最大值．20. 等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1+3a 2=1，a 32=9a 2a 6．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n =log 3a 1+log 3a 2+⋯+log 3a n ，求数列{1b n}的前n 项和T n ．21. 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且角A ，B ，C 成等差数列(1)若a =2c =2，求b 的值；(2)若△ABC 的面积为√3，且b =2，求△ABC 的周长．22. 已知等比数列{a n }，a 1a 2=−12，a 3=14．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明：对任意k ∈N ∗，a k ，a k+2，a k+1成等差数列．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查了等差数列的性质，属于基础题．利用等差数列{a n}的性质：2a8=a4+a12，即可得出．【解答】解：由等差数列{a n}的性质可得：2a8=a4+a12，∴2×8=1+a12，解得a12=15．故选：A．2.答案：D解析：【分析】本题主要考查了不等式的性质以及指数、对数函数以及幂函数的性质，对选项依次分析比较大小即可．【解答】解：A、由a>b>1，0<c<1知，函数y=c x为减函数，则c a<c b，故本选项错误．B、由a>b>1，0<c<1知，ac>bc，故本选项错误．C、由a>b>1，0<c<1知，函数y=log c x为减函数，则log c a<log c b，故本选项错误．D、由a>b>1，0<c<1知，则c−1<0，故函数y=x c−1为减函数，则a c−1<b c−1，则ab⋅a c−1< ab⋅b c−1，即ba c<ab c.故本选项正确．故选：D．3.答案：B解析：解：等比数列{a n}的公比设为q，前n项和为S n，a2a5=4a4，且a3与2a6的等差中项为52，可得a12q5=4a1q3，5=a3+2a6=a1q2+2a1q5，解得a1=16，q=12，则S5=a1(1−q5)1−q =16(1−125)1−12=31．故选：B．设等比数列的公比为q，运用等差数列中项性质和等比数列的通项公式，可得首项和公比的方程，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，计算可得所求值．本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4.答案：B解析：【分析】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，属于基础题．由A 与B 的度数求出sin A 与sin B 的值，再由a 的值，利用正弦定理即可求出b 的值． 【解答】解：△ABC 中，∵a =10，A =60°，B =45°， ∴根据正弦定理得：b =asinB sinA =10×√22√32=10√63．故选B ．5.答案：C解析：【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合即可求解． 本题考查线性规划问题，考查数形结合的数学思想以及运算求解能力，是中档题． 【解答】解：作出约束条件表示的可行域如图，化目标函数z =x +4y 为y =−x 4+z4， 联立{x =2x −4y =−7，解得A(2,94)，由图可知，当直线z =x +4y 过点(2,94)时，z 取得最大值11． 故选C ． 6.答案：B解析：解：∵42x 2+ax −a 2=0， ∴x 1=a7，x 2=−a6．又a <0，∴不等式的解集为{x|a7<x <−a6}故选B ．令不等式左边的多项式等于0，列出关于x 的一元二次方程，求出方程的解，根据a 小于0判断出两解的大小，即可写出原不等式的解集．此题考查了一元二次不等式的应用、一元二次不等式求解集的方法，是一道综合题．解析：【分析】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．正数a，b满足a+b=3，则a+b+1=4.利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：正数a，b满足a+b=3，则a+b+1=4．则1a +4b+1=14[a+(b+1)](1a+4b+1)=14(1+b+1a+4ab+1+4)=14(5+b+1a+4ab+1)≥14(5+2√b+1a·4ab+1)=14(5+4)=94，当且仅当b+1a =4ab+1即a=43，b=53时原式有最小值．故选：A．8.答案：D解析：【分析】本题考查了等差数列的性质的应用，设五人分得面包分别为a−2d,a−d,a,a+d,a+2d，利用条件即可得解．【解答】解：∵设五个人所分得的面包a−2d,a−d,a,a+d,a+2d，其中d>0，∴(a−2d)+(a−d)+a+(a+d)+(a+2d)=100，∴a=20，∵17(a+a+d+a+2d)=a−2d+a−d，∴24d=11a，∴d=556，故选D．9.答案：D解析：【分析】本题考查数列的递推关系式的应用，是基础题．通过n=5，n=4，结合数列的递推关系式，求解即可．【解答】解：当n=5时，a1a2a3a4a5=315，当n=4时，a1a2a3a4=38，所以a5=37，10.答案：B解析：解：△ABC 中，∵(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =35|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，即CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =35AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2， ∴bc ⋅cos(π−A)+ac ⋅cosB =35c 2， ∴a ⋅cosB −b ⋅cosA =35c ， ∴a ⋅a 2+c 2−b 22ac−b ⋅b 2+c 2−a 22bc =35c ，即a 2−b 2=35c 2．∴tanA tanB=sinA⋅cosB sinBcosA=a⋅ a 2+c 2−b 22ac b⋅ b 2+c 2−a 22bc=a 2−b 2+c 2b 2−a 2+c 2=35⋅ c 2+c 2−35⋅ c 2+c 2=4，故选：B ．由条件利用两个向量的数量积的运算法则求得a ⋅cosB −b ⋅cosA =35c ，再由余弦定理可得a 2−b 2=35c 2.根据tanA tanB=sinA⋅cosB sinBcosA，把余弦定理、正弦定理代入运算可得结果．本题主要考查余弦定理、正弦定理，同角三角函数的基本关系，两个向量的数量积的运算，属于中档题． 11.答案：A解析：解：∵不等式4x 2−log a x <0对任意x ∈(0,14)恒成立，∴x ∈(0,14)时，函数y =4x 2的图象在函数y =log a x 的图象的下方，∴0<a <1．再根据它们的单调性可得4×(14)2≤log a 14，即log a a 14≤log a 14，∴a 14≥14，∴a ≥1256．综上可得，1256≤a <1， 故选：A ．由题意可得，x ∈(0,14)时，函数y =4x 2的图象在函数y =log a x 的图象的下方，可得0<a <1.再根据它们的单调性可得4×(14)2≤log a 14，解此对数不等式求得a 的范围． 本题主要考查对数不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题． 12.答案：A解析：【分析】本题考查数列的前n 项和的性质，对于本题，赋值法是比较简单、直接的方法．根据题意，用赋值法，令n =1,m =9可得：S 1+S 9=S 10，即S 10−S 9=S 1=a 1=1，进而由数列的前n 项和的性质，【解答】解：根据题意，在S n+S m=S n+m中，令n=1,m=9可得：S1+S9=S10，即S10−S9=S1=a1=1，根据数列的性质，有a10=S10−S9，即a10=1，故选A．13.答案：4√6解析：解：∵a=8，B=60°，C=75°，即A=45°，∴由正弦定理asinA =bsinB，得：b=asinBsinA =8×sin60°sin45°=4√6．故答案为：4√6由B与C的度数求出A的度数，确定出sin A与sin B的值，再由a的值，利用正弦定理即可求出b 的值．此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．14.答案：(−∞,1]解析：【分析】本题考查分段函数的应用，考查解不等式，考查学生的计算能力，比较基础．【解答】解：因为函数f(x)={x2+2x,x≥0,−x2+2x,x<0.若f(a)≤3；∴{a≥0a2+2a≤3或{a<0−a2+2a≤3;解的a≤1;故答案为(−∞,1]．15.答案：253解析：【分析】本题考查了基本不等式及其应用，关键掌握“1“的代换，属基础题．由条件可得4x+1+9y+1=13(4x+1+9y+1)(x+1+y+1)，化简后利用基本不等式可得最大值．【解答】解：∵正数x，y满足x+y=1，∴4x+1+9y+1=13(4x+1+9y+1)(x+1+y+1)=13[13+4(y+1)x+1+9(x+1)y+1]≥13[13+2√4(y+1)x+1⋅9(x+1)y+1]=253，当且仅当4(y+1)x+1=9(x+1)y+1，即x =15,y =45时取等号，∴4x+1+9y+1的最小值为253．故答案为：253．16.答案：等腰三角形或直角三角形解析：解：由∣∣∣asin(π2+B)bcosA ∣∣∣=0，得a ⋅cosA −b ⋅sin(π2+B)=0，即acosA −bcosB =0，由正弦定理可得：sinAcosA −sinBcosB =0， ∴sin2A =sin2B ．∵A ，B 为三角形的两个内角， ∴2A =2B 或2A +2B =π． 即A =B 或A +B =π2，∴△ABC 的形状为等腰三角形或直角三角形． 故答案为：等腰三角形或直角三角形．由题意可得acosA −bcosB =0，利用正弦定理化边为角，得到sin2A =sin2B.再由A ，B 为三角形的两个内角，可得A =B 或A +B =π2，得到三角形为等腰三角形或直角三角形． 本题考查二阶矩阵的应用，考查了利用正弦定理判断三角形的形状，是基础题． 17.答案：解：(Ⅰ)∵f(x)=√x 2−kx −k 定义域为R ，∴x 2−kx −k ≥0恒成立， ∴△=k −4(−k)≤0，∴−4≤k ≤0，(Ⅱ)解不等式(x −a)(x +a −1)>0对应方程的实数根为a 和1−a ； ①当1−a =a ，即a =12时，不等式化为(x −12)2>0，∴x ≠12， ∴不等式的解集为{x|x ≠12}；②当1−a >a ，即a <12时，解得x >1−a 或x <a ， ∴不等式的解集为{x|x >1−a 或x <a}；③当1−a <a ，即a >12时，解得x >a 或x <1−a ， ∴不等式的解集为{x|x >a 或x <1−a}． 综上，当a =12时，不等式的解集为{x|x ≠12}； 当a <12时，不等式的解集为{x|x >1−a 或x <a}；当a >12时，不等式的解集为{x|x >a 或x <1−a}．解析：本题考查了不等式的解法，对a 正确分类讨论和熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键，属于基础题．(Ⅰ)由题意可得x 2−kx −k ≥0恒成立，根据判别式即可求出． (Ⅱ)对a 分类讨论，求出其解集即可．18.答案：解：(Ⅰ)因为AD AB =23，所以设AD =2k ，AB =3k ，其中k >0，在△ABD 中，由余弦定理，BD 2=AB 2+AD 2−2AB ⋅AD ⋅cos∠DAB ， 所以16=4k 2+9k 2−2×2k ×3k ×(−14)，解得k =1，则AD =2， 而sin∠DAB =√1−(−14)2=√154，在△ABD 中，由正弦定理，sin∠ABD =AD BDsin∠DAB =24×√154=√158． (Ⅱ)由(Ⅰ)可知，sin∠ABD =√158，而AB ⊥BC ，则sin∠CBD =sin(π2−∠ABD)=cos∠ABD =√1−(√158)2=78，在△BCD 中，∠BCD =π4，由正弦定理，CD =sin∠CBDsin∠BCD BD =78√22×4=7√22．解析：本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，诱导公式在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，考查了运算求解能力，属于中档题． (Ⅰ)设AD =2k ，AB =3k ，其中k >0，在△ABD 中，由余弦定理解得k =1，则AD =2，可求cos∠DAB ，利用同角三角函数基本关系式可求sin∠DAB ，利用正弦定理可求sin∠ABD 的值．(Ⅱ)由(Ⅰ)可知，sin∠ABD =√158，利用诱导公式可求sin∠CBD ，由∠BCD =π4，根据正弦定理可求CD 的值．19.答案：对甲项目投资为3万元，对乙项目投资为7万元，可能最大盈利为5.9万元．解析：设张某对甲项目投资为x 万元，对乙项目投资为y 万元，可能最大盈利为S 万元，由题意可知，约束条件为{8≤x +y ≤100.4x +0.2y ≤2.6x ≥0y ≥0，可能最大盈利的目标函数为S =0.8x +0.5y.画出约束条件的可行域(如图)将目标函数S=0.8x+0.5y变形为y=−1.6x+2S，这是斜率为−1.6，随S变化的一簇直线，2S是直线在y轴的截距，当截距2S最大时候，S也最大，但直线要与可行域相交，要使S最大的点是直线x+y=10与0.4x+0.2y=2.6的交点M(3,7)，此时S= 0.8×3+0.5×7=5.9答：张某对甲项目投资为万元，对乙项目投资为万元，可能盈利为最大，最大值为万元...20.答案：解：(1)设数列{an}的公比为q，由a32=9a2a6．得a32=9a42．所以q2=19．由条件可知q>0，故q=13．由2a1+3a2=1，得2a1+3a1q=1，所以a1=13．故数列{a n}的通项式为a n=13n．(2)b n=log3a1+log3a2+⋯+log3a n=log3(a1a2…a n)=log3(3−(1+2+3+⋯+n))=−(1+2+3+⋯+n)=−n(n+1)2．故1b n=−2n(n+1)=−2(1n−1n+1)，数列{1bn }的前n项和：T n=1b1+1b2+⋯+1b n=−2[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1n+1)]=−2nn+1．所以数列{1bn }的前n项和为：T n=−2nn+1．解析：本题考查数列求和以及通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，为中档题．(1)利用已知条件求出数列的公比与首项，然后求数列{a n}的通项公式．(2)利用对数运算法则化简b n=log3a1+log3a2+⋯+log3a n，然后化简数列{1b n}的通项公式，利用裂项相消法求和即可．21.答案：解：(1)∵角A ，B ，C 成等差数列，∴B =60°，∵a =2c =2，∴a =2，c =1，∴b =√4+1−2×2×1×12=√3；(2)S =12acsinB =√3，∴ac =4，∵b =2，∴(a +c)2−3ac =4，∴a +c =4，∴△ABC 的周长为6．解析：(1)利用角A ，B ，C 成等差数列，求出B ，再利用余弦定理求b 的值；(2)利用三角形的面积公式求出ac =4，再利用余弦定理，求出a +c ，即可求△ABC 的周长． 本题考查等差数列的性质，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题． 22.答案：解：(1)根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，则a n =a 1q n−1，若a 1a 2=−12，则a 12q =−12， 若a 3=14，则a 1q 2=14，变形可得a 1q =−2解可得：a 13=1，则a 1=1， 则有q =−12；故a n =(−12)n−1(2)证明：根据题意，a n =(−12)n−1，则a k =(−12)k−1，a k+1=(−12)k ，a k+2=(−12)k+1；则有a k +a k+1−2a k+2=(−12)k−1+(−12)k −2(−12)k+1=(−12)k [−2+1−2x(−12)]=0 则有a k +a k+1=2a k+2故a k ，a k+2，a k+1成等差数列．解析：(1)根据题意，设等比数列{a n }的公比为q ，结合题意可得a 12q =−12和a 1q 2=14，进而变形可得a1q =−2，联立解可得a 1与q 的值，代入等比数列的通项公式即可得答案； (2)根据题意，由等比数列的通项公式可得a k =(−12)k−1，a k+1=(−12)k ，a k+2=(−12)k+1，据此可得a k +a k+1−2a k+2=(−12)k−1+(−12)k −2(−12)k+1=(−12)k [−2+1−2x(−12)]=0，由等差数列的性质分析可得答案．本题考查等比数列的通项公式以及等差数列的判定，关键是求出数列{a n}的通项公式，属于基础题．。
