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第六章 单元测试一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．每小题中只有一项符合题目要求)1．若{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝ ( )A ．－2B ．－12C.12 D ．2答案 B解析 由等差中项的定义结合已知条件可知2a 4＝a 5＋a 3，∴2d ＝a 7－a 5＝－1，即d ＝－12.故选B. 2．在等比数列{a n }中，若a 3a 5a 7a 9a 11＝243，则a 29a 11的值为( )A ．9B ．1C ．2D ．3答案 D解析 由等比数列性质可知a 3a 5a 7a 9a 11＝a 57＝243，所以得a 7＝3，又a 29a 11＝a 7a 11a 11＝a 7，故选D.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 5＝12S 5，且a 9＝20，则S 11＝( )A ．260B ．220C ．130D ．110答案 D 解析 ∵S 5＝a 1＋a 52×5，又∵12S 5＝a 1＋a 5，∴a 1＋a 5＝0.∴a 3＝0，∴S 11＝a 1＋a 112×11＝a 3＋a 92×11＝0＋202×11＝110，故选D.4．各项均不为零的等差数列{a n }中，若a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，则S 2 009等于 A ．0 B ．2 C ．2 009 D ．4 018答案 D解析 各项均不为零的等差数列{a n }，由于a 2n －a n －1－a n ＋1＝0(n ∈N *，n ≥2)，则a 2n －2a n＝0，a n ＝2，S 2 009＝4 018，故选D.5．数列{a n }是等比数列且a n >0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5的值等于 A ．5 B ．10 C ．15 D ．20答案 A解析 由于a 2a 4＝a 23，a 4a 6＝a 25，所以a 2·a 4＋2a 3·a 5＋a 4·a 6＝a 23＋2a 3a 5＋a 25＝(a 3＋a 5)2＝25.所以a 3＋a 5＝±5.又a n >0，所以a 3＋a 5＝5.所以选A.6．首项为1，公差不为0的等差数列{a n }中，a 3，a 4，a 6是一个等比数列的前三项，则这个等比数列的第四项是( )A ．8B ．－8C ．－6D ．不确定答案 B解析 a 24＝a 3·a 6⇒(1＋3d )2＝(1＋2d )·(1＋5d ) ⇒d (d ＋1)＝0⇒d ＝－1，∴a 3＝－1，a 4＝－2，∴q ＝2. ∴a 6＝a 4·q ＝－4，第四项为a 6·q ＝－8.7．设函数f (x )满足f (n ＋1)＝2f n ＋n 2(n ∈N *)，且f (1)＝2，则f (20)＝( )A ．95B ．97C ．105D ．192答案 B解析 f (n ＋1)＝f (n )＋n 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧f 20＝f 19＋192，f 19＝f 18＋182，……f 2＝f 1＋12.累加，得f (20)＝f (1)＋(12＋22＋…＋192)＝f (1)＋19×204＝97.8．若a x －1，a y，a－x ＋1(a >0，且a ≠1)成等比数列，则点(x ，y )在平面直角坐标系内的轨迹位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D解析 ∵成等比，∴(a y )2＝ax －1·a－x ＋1.即2y ＝x －1－x ＋1，x －1>0，∴x >1.x －1<x ＋1，∴y <0，∴位于第四象限．9．已知等比数列{a n }的公比q <0，其前n 项的和为S n ，则a 9S 8与a 8S 9的大小关系是 A ．a 9S 8>a 8S 9 B ．a 9S 8<a 8S 9 C ．a 9S 8≥a 8S 9 D ．a 9S 8≤a 8S 9答案 A解析 a 9S 8－a 8S 9＝a 9a 11－q 81－q －a 8a 11－q 91－q ＝a 8a 1q －q 9－1＋q 91－q＝－a 1a 8＝－a 21q 7，因为a 21>0，q <0，所以－a 21q 7>0，即a 9S 8>a 8S 9，故选A.10．在等差数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S 2 011＝－2 011，a 1 007＝3，则S 2 012的值为 A ．1 006 B ．－2 012 C ．2 012 D ．－1 006答案 C解析 方法一 设等差数列的首项为a 1，公差为d ，根据题意可得， ⎩⎪⎨⎪⎧S 2 011＝2 011a 1＋2 011× 2 011－12d ＝－2 011，a 1 007＝a 1＋1 006d ＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋1 005d ＝－1，a 1＋1 006d ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4 021，d ＝4.所以，S 2 012＝2 012a 1＋2 012× 2 012－12d＝2 012×(－4 021)＋2 012×2 011×2 ＝2 012×(4 022－4 021)＝2012. 方法二 由S 2 011＝2 011a 1＋a 2 0112＝2 011a 1 006＝－2 011， 解得a 1 006＝－1，则S 2 012＝2 012a 1＋a 2 0122＝2 012a 1 006＋a 1 0072＝2 012×－1＋32＝2 012.二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上)11．若m ，n ，m ＋n 成等差数列，m ，n ，m ·n 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2n＝1的离心率为________．答案22解析 由题意知2n ＝m ＋m ＋n ，∴n ＝2m .又n 2＝m ·m ·n ，∴n ＝m 2，∴m 2＝2m . ∴m ＝2，∴n ＝4，∴a 2＝4，b 2＝2，c 2＝2. ∴e ＝c a ＝22. 12．数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，则a 100b 100＝________.答案199299解析a 100b 100＝a 1＋a 1992b 1＋b 1992＝S 199T 199＝199299. 13．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于________． 答案 2 解析 ∵S 3＝a 1＋a 3×32＝6，而a 3＝4，∴a 1＝0.∴d ＝a 3－a 12＝2.14．某人从2012年1月份开始，每月存入银行100元，月利率是3‰(不计复利)，到2012年12月底取出的本利和应是________元．答案 1 223.4解析 应为1 200＋0.3×12＋0.3×11＋…＋0.3＝1 200＋0.3×12×132＝1 223.4(元)．15．已知各项都为正数的等比数列{a n }中，a 2·a 4＝4，a 1＋a 2＋a 3＝14，则满足a n ·a n ＋1·a n＋2>19的最大正整数n 的值为________． 答案 4解析 设等比数列{a n }的公比为q ，其中q >0，依题意得a 23＝a 2·a 4＝4.又a 3>0，因此a 3＝a 1q 2＝2，a 1＋a 2＝a 1＋a 1q ＝12，由此解得q ＝12，a 1＝8，a n ＝8×(12)n －1＝24－n ，a n ·a n ＋1·a n＋2＝29－3n.由于2－3＝18>19，因此要使29－3n >19，只要9－3n ≥－3，即n ≤4，于是满足a n ·a n ＋1·a n＋2>19的最大正整数n 的值为4. 16．等比数列{a n }的首项为a 1＝1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q 等于________．答案 －12解析 因为S 10S 5＝3132，所以S 10－S 5S 5＝31－3232＝－132，即q 5＝(－12)5，所以q ＝－12. 三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)数列{a n }中，a 1＝1，a n ，a n ＋1是方程x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两个根，求数列{b n }的前n 项和S n .答案 S n ＝nn ＋1解析 ∵a n ，a n ＋1是x 2－(2n ＋1)x ＋1b n＝0的两根，∴a n ＋a n ＋1＝2n ＋1，a n ·a n ＋1＝1b n.∴a n ＋1＋a n ＋2＝2n ＋3. ∴a n ＋2－a n ＝2. ∴a 3－a 1＝2，a 5－a 3＝2，……a 2n －1－a 2n －3＝2.∴a 2n －1－a 1＝2(n －1)．∴a 2n －1＝2n －1，∴当n 为奇数时，a n ＝n . 同理可得当n 为偶数时a n ＝n . ∴a n ＝n . ∴b n ＝1a n ·a n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1. ∴S n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1. 18．(本小题满分12分)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n }中的b 3、b 4、b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n ＋54}是等比数列．答案 (1)b n ＝54·2n －1＝5·2n －3(2)略解析 (1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d . 依题意，有(7－d )(18＋d )＝100， 解得d ＝2或d ＝－13(舍去)． 故{b n }的第3项为5，公比为2.由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)数列{b n }的前n 项和S n ＝541－2n1－2＝5·2n －2－54， 即S n ＋54＝5·2n －2.所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2.因此{S n ＋54}是以52为首项，公比为2的等比数列．19．(本小题满分12分)已知数列{x n }的首项x 1＝3，通项x n ＝2n p ＋nq (n ∈N *，p ，q 为常数)，且x 1，x 4，x 5成等差数列，求：(1)p ，q 的值；(2)数列{x n }的前n 项的和S n 的公式．解析 (1)由x 1＝3，得2p ＋q ＝3，又x 4＝24p ＋4q ，x 5＝25p ＋5q ，且x 1＋x 5＝2x 4，得3＋25p ＋5q ＝25p ＋8q ，解得p ＝1，q ＝1. (2)S n ＝(2＋22＋…＋2n )＋(1＋2＋…＋n )＝2n ＋1－2＋n n ＋12.20．(本小题满分12分)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1＋a 2＝2(1a 1＋1a 2)，a 3＋a 4＋a 5＝64(1a 3＋1a 4＋1a 5)．(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1a n)2，求数列{b n }的前n 项和T n .解析 (1)设{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1q n －1.由已知，有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋1a 1q ，a 1q 2＋a 1q 3＋a 1q 4＝64⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1q 2＋1a 1q 3＋1a 1q 4，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧a 21q ＝2，a 21q 6＝64.又a 1>0，故q ＝2，a 1＝1. 所以a n ＝2n －1.(2)由(1)知，b n ＝⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋1a n 2＝a 2n ＋1a 2n ＋2＝4n －1＋14n －1＋2.因此，T n ＝(1＋4＋…＋4n －1)＋(1＋14＋…＋14n －1)＋2n ＝1－4n1－4＋1－14n 1－14＋2n ＝13(4n －41－n)＋2n ＋1.21．(本小题满分12分)某企业2010年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不进行技术改造，预测从2011年起每年比上一年纯利润减少20万元，2011年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n 年(2011年为第一年)的利润为500(1＋12n )万元(n 为正整数)．(1)设从2011年起的前n 年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为A n 万元，进行技术改造后的累计纯利润为B n 万元(须扣除技术改造资金)，求A n ，B n 的表达式；(2)依上述预测，从2011年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？思路 (1)A n 是一个等差数列的前n 项和，B n 是一个常数数列和一个等比数列的组合的前n 项和，根据数列的求和公式，就可以求出A n ，B n 的表达式．(2)建模B n >A n ，解这个关于n 的不等式．解析 (1)依题意知，A n 是一个以480为首项，－20为公差的等差数列的前n 项和，所以A n ＝480n ＋n n －12×(－20)＝490n －10n 2，B n ＝500(1＋12)＋500(1＋122)＋…＋500(1＋12n )－600＝500n ＋500(12＋122＋…＋12n )－600＝500n ＋500×12[1－12n]1－12－600＝500n －5002n －100.(2)依题意得，B n >A n ，即500n －5002n －100>490n －10n 2，可化简得502n <n 2＋n －10.∴可设f (n )＝502n ，g (n )＝n 2＋n －10.又∵n ∈N *，∴可知f (n )是减函数，g (n )是增函数． 又f (3)＝508>g (3)＝2，f (4)＝5016<g (4)＝10.则当n ＝4时不等式成立，即4年．22．(本小题满分12分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＋n ＝2a n (n ∈N *)． (1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n .求满足不等式T n －22n －1>2 010的n的最小值．解析 (1)因为S n ＋n ＝2a n ，所以S n －1＝2a n －1－(n －1)(n ≥2，n ∈N *)．两式相减，得a n＝2a n －1＋1.所以a n ＋1＝2(a n －1＋1)(n ≥2，n ∈N *)，所以数列{a n ＋1}为等比数列． 因为S n ＋n ＝2a n ，令n ＝1得a 1＝1.a 1＋1＝2，所以a n ＋1＝2n ，所以a n ＝2n －1.(2)因为b n ＝(2n ＋1)a n ＋2n ＋1，所以b n ＝(2n ＋1)·2n. 所以T n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n －1)·2n －1＋(2n ＋1)·2n，① 2T n ＝3×22＋5×23＋…＋(2n －1)·2n＋(2n ＋1)·2n ＋1，②①－②，得－T n ＝3×2＋2(22＋23＋ (2))－(2n ＋1)·2n ＋1＝6＋2×22－2n ＋11－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝－2＋2n ＋2－(2n ＋1)·2n ＋1＝－2－(2n －1)·2n ＋1.所以T n ＝2＋(2n －1)·2n ＋1.若T n －22n －1>2 010， 则2＋2n －1·2n ＋12n －1>2 010，即2n ＋1>2 010.由于210＝1 024,211＝2 048，所以n ＋1≥11，即n ≥10.所以满足不等式T n －22n －1>2 010的n 的最小值是10.1．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，数列{b n }是等差数列，且a 6＝b 7，则有 A ．a 3＋a 9≤b 4＋b 10 B ．a 3＋a 9≥b 4＋b 10 C ．a 3＋a 9≠b 4＋b 10D ．a 3＋a 9与b 4＋b 10的大小关系不确定 答案 B解析 记等比数列{a n }的公比为q ，由数列{b n }为等差数列可知b 4＋b 10＝2b 7.又数列{a n }是各项均为正数的等比数列，∴a 3＋a 9＝a 3(1＋q 6)＝a 6(1＋q6q3)＝b 7(1＋q6q3)，又1＋q6q3＝1q3＋q 3≥2，当且仅当q ＝1时，等号成立，∴a 3＋a 9≥b 4＋b 10.故选B.2．已知a n ＝32n －11(n ∈N ＋)，数列{a n }的前n 项和为S n ，则使S n >0的n 的最小值是A ．5B ．6C ．10D ．11答案 D解析 令f (x )＝32x －11知f (x )关于(112，0)对称，∴a 1＋a 10＝a 2＋a 9＝a 3＋a 8＝a 5＋a 6＝0， 且a 6>a 7>a 8>a 9>a 10>…>0. ∴S 10＝0，S 11>0，选D.3．数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 1＝1，S 2＝2，且S n ＋1－3S n ＋2S n －1＝0(n ∈N *且n ≥2)，则此数列为( )A ．等差数列B ．等比数列C ．从第二项起为等差数列D ．从第二项起为等比数列 答案 D解析 S n ＋1－3S n ＋2S n －1＝0， ∴S n ＋1－S n ＝2S n －2S n －1，∴a n ＋1＝2a n . 又a 1＝1，a 2＝1，∴从第二项起为等比数列．4．已知数列{a n }满足a 1＝23，且对任意的正整数m ，n ，都有a m ＋n ＝a m ＋a n ，则a nn 等于A.12 B.23 C.32 D ．2答案 B解析 令m ＝1，得a n ＋1＝a 1＋a n ，即a n ＋1－a n ＝a 1＝23，可知数列{a n }是首项为a 1＝23，公差为d ＝23的等差数列，于是a n ＝23＋(n －1)·23＝23n ，即a n n ＝23.故选B.5．设a 1，a 2，…，a 50是以－1,0,1这三个整数中取值的数列，若a 1＋a 2＋…＋a 50＝9且(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝107，则a 1，a 2，…，a 50当中取零的项共有A ．11个B ．12个C ．15个D ．25个答案 A解析 (a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 50＋1)2＝a 21＋a 22＋…＋a 250＋2(a 1＋a 2＋…＋a 50)＋50＝107，∴a 21＋a 22＋…＋a 250＝39，∴a 1，a 2，…，a 50中取零的项应为50－39＝11个，故选A.6．已知等差数列{a n }满足a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 101＝0，则有 ( )A ．a 1＋a 101>0B ．a 2＋a 100<0C ．a 3＋a 99＝0D ．a 51＝51答案 C解析 由题意，得a 1＋a 2＋…＋a 101＝a 1＋a 1012×101＝0.所以a 1＋a 101＝a 2＋a 100＝a 3＋a 99＝0.7．已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n ，a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n的两个零点，则b 10＝________.答案 64解析 a n ＋a n ＋1＝b n ，a n ·a n ＋1＝2n， ∴a n ＋1·a n ＋2＝2n ＋1.∴a n ＋2＝2a n .又∵a 1＝1，a 1·a 2＝2，∴a 2＝2. ∴a 2n ＝2n，a 2n －1＝2n －1(n ∈N *)．∴b 10＝a 10＋a 11＝64.8．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 10>0并且S 11＝0，若S n ≤S k 对n ∈N *恒成立，则正整数k 构成的集合为________．答案 {5,6}解析 等差数列中由S 10>0，S 11＝0，得S 10＝10a 1＋a 102>0⇒a 1＋a 10>0⇒a 5＋a 6>0，S 11＝11a 1＋a 112＝0⇒a 1＋a 11＝2a 6＝0，故可知，等差数列{a n }是递减数列且a 6＝0，所以S 5＝S 6≥S n ，即k ＝5或6.∴集合为{5,6}．9．(2013·衡水调研)已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，函数f (x )＝12px2－(p ＋q )x ＋q ln x (其中p 、q 均为常数，且p >q >0)，当x ＝a 1时，函数f (x )取得极小值，点(a n,2S n )(n ∈N *)均在函数y ＝2px 2－q x＋f ′(x )＋q 的图像上．(其中f ′(x )是函数f (x )的导函数)(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)记b n ＝4S n n ＋3·q n，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析 (1)由题易得f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝px －(p ＋q )＋q x ＝px 2－p ＋q x ＋q x ＝x －1px －qx.令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝qp. ∵p >q >0，∴0<q p<1.当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下表：(0，q p ) q p(q p，1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋f (x )极大值极小值1(2)依题意，y ＝2px 2－q x＋f ′(x )＋q ＝2px 2＋px －p ， 2S n ＝2p ·a 2n ＋p ·a n －p (n ∈N *)．∴2a 1＝2p ·a 21＋pa 1－p . 由a 1＝1，得p ＝1. ∴2S n ＝2a 2n ＋a n －1.①∴当n ≥2时，2S n －1＝2a 2n －1＋a n －1－1. ②①－②得2a n ＝2(a 2n －a 2n －1)＋a n －a n －1. ∴2(a 2n －a 2n －1)－(a n ＋a n －1)＝0. ∴(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－12)＝0.由于a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝12(n ≥2)．∴{a n }是以a 1＝1为首项，12为公差的等差数列．∴a n ＝1＋(n －1)×12＝n ＋12.(3)S n ＝n ＋n n －12·12＝n 2＋3n 4，∴b n ＝4S n n ＋3·q n ＝nq n .∴T n ＝q ＋2q 2＋3q 3＋…＋(n －1)qn －1＋nq n.③已知p >q >0，而由(2)知p ＝1，则q ≠1. ∴qT n ＝q 2＋2q 3＋3q 4＋…＋(n －1)q n ＋nqn ＋1.④由③－④，得(1－q )T n ＝q ＋q 2＋q 3＋…＋q n －1＋q n－nq n ＋1＝q 1－q n 1－q－nq n ＋1.∴T n ＝q 1－q n 1－q 2－nq n ＋11－q. 10．将数列{a n }中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：a 1a 2 a 3 a 4a 5 a 6 a 7 a 8 a 9…已知表中的第一列数a 1，a 2，a 5，…构成一个等差数列，记为{b n }，且b 2＝4，b 5＝12.表中每一行正中间一个数a 1，a 3，a 7，…构成数列{c n }，其前n 项和为S n .(1)求数列{b n }的通项公式；(2)若上表中，从第二行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且a 13＝1.①求S n ；②记M ＝{n |(n ＋1)c n ≥λ，n ∈N *}，若集合M 的元素个数为3，求实数λ的取值范围． 解析 (1)设数列{b n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧b 1＋d ＝4，b 1＋4d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝2，d ＝2，所以b n ＝2n .(2)①设每一行组成的等比数列的公比为q .由于前n 行共有1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2个数，且 32<13<42，所以a 10＝b 4＝8.所以a 13＝a 10q 3＝8q 3，又a 13＝1，解得q ＝12.由已知可得c n ＝b n qn －1，因此c n ＝2n ·(12)n －1＝n2n －2.所以S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝12－1＋220＋321＋…＋n2n －2. 12S n ＝120＋221＋…＋n －12n －2＋n2n －1. 因此12S n ＝12－1＋120＋121＋…＋12n －2－n 2n －1＝4－12n －2－n 2n －1＝4－n ＋22n －1.解得S n ＝8－n ＋22n －2.②由①知，c n ＝n2n －2，不等式(n ＋1)c n ≥λ，可化为n n ＋12n －2≥λ.设f (n )＝n n ＋12n －2，因为f (n ＋1)－f (n )＝n ＋12－n2n －1，所以当n ≥3时，f (n ＋1)<f (n )．计算得f (1)＝4，f (2)＝f (3)＝6，f (4)＝5，f (5)＝154.因为集合M 的元素个数为3，所以λ的取值范围是(4,5]． 11．已知数列{a n }，a 1＝1，a n ＝λa n －1＋λ－2(n ≥2)．(1)当λ为何值时，数列{a n }可以构成公差不为零的等差数列，并求其通项公式； (2)若λ＝3，令b n ＝a n ＋12，求数列{b n }的前n 项和S n .解析 (1)a 2＝λa 1＋λ－2＝2λ－2，a 3＝λa 2＋λ－2＝2λ2－2λ＋λ－2＝2λ2－λ－2.∵a 1＋a 3＝2a 2，∴1＋2λ2－λ－2＝2(2λ－2)， 得2λ2－5λ＋3＝0，解得λ＝1或λ＝32.当λ＝32时，a 2＝2×32－2＝1，a 1＝a 2，故λ＝32不合题意舍去；当λ＝1时，代入a n ＝λa n －1＋λ－2可得a n －a n －1＝－1. ∴数列{a n }构成首项为a 1＝1，d ＝－1的等差数列． ∴a n ＝2－n .(2)当λ＝3时，a n ＝3a n －1＋1， 即a n ＋12＝3(a n －1＋12)，即b n ＝3b n －1.∴数列{b n }构成首项为b 1＝32，公比为3的等比数列．∴b n ＝32×3n －1＝3n2.∴S n ＝321－3n1－3＝34(3n－1)． 12．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＋a 2＝2S 3，等比数列{b n }满足b 1＝a 2，b 2＝a 4.(1)求证：{b n }中的每一项均为{a n }中的项；(2)若a 1＝12，数列{c n }满足：b n ＋1·c n ＝(－1)n(1＋2log 2b n )，求数列{c n }的前n 项和T n .解析 (1)证明：设等差数列{a n }的公差为d ，由S 4＋a 2＝2S 3得4a 1＋6d ＋a 1＋d ＝6a 1＋6d ，∴a 1＝d .则a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1.∴b 1＝2a 1，b 2＝4a 1，等比数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝2. 则b n ＝2a 1·2n －1＝2na 1.∵2n∈N *，∴{b n }中的每一项均为{a n }中的项． (2)解析：∵a 1＝12，∴b n ＝2n×12＝2n －1.由b n ＋1·c n ＝(－1)n(1＋2log 2b n )，得2n·c n ＝(－1)n[1＋2(n －1)]＝(－1)n(2n －1)． ∴c n ＝－1n2n －12n＝(2n －1)(－12)n.T n ＝(－12)＋3(－12)2＋5(－12)3＋…＋(2n －1)(－12)n ，－2T n ＝1＋3(－12)＋5(－12)2＋…＋(2n －1)(－12)n －1.两式相减，得－3T n ＝1＋2(－12)＋2(－12)2＋…＋2(－12)n －1－(2n －1)(－12)n＝1－2＋2·[1＋(－12)＋(－12)2＋…＋(－12)n －1]－(2n －1)(－12)n＝－1＋2·1－－12n1－－12－(2n －1)(－12)n＝－1＋43－43(－12)n －(2n －1)(－12)n＝13－6n ＋13(－12)n ，∴T n ＝6n ＋19(－12)n －19. 13．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－a n －2n －2＝0，(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝1a n ＋1＋1a n ＋2＋1a n ＋3＋…＋1a 2n，若对任意的正整数n ，当m ∈[－1,1]时，不等式t 2－2mt ＋16>b n 恒成立，求实数t 的取值范围．解析 (1)由题意得a n －a n －1＝2n (n ≥2)， 累差叠加，得a n ＝n (n ＋1)(n ≥2)． 又a 1＝2，所以a n ＝n (n ＋1)，(n ∈N *)． (2)b n ＝1n ＋1n ＋2＋1n ＋2n ＋3＋…＋12n2n ＋1＝1n ＋1－12n ＋1＝nn ＋12n ＋1＝n2n 2＋3n ＋1，b n ＝12n ＋1n＋3，b n 的最大值为b 1＝16， 所以t 2－2mt ＋16>16恒成立，m ∈[－1,1]．构造g (m )＝－2tm ＋t 2，即g (m )>0恒成立m ∈[－1,1]． 当t ＝0，不成立； 当t ≠0，g (m )是一次函数，⎩⎪⎨⎪⎧g －1>0，g1>0，解得t ∈(－∞，－2)∪(2，＋∞)．14．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26.{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ； (2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .答案 (1)a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2) (2)T n ＝n4n ＋1解析 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由于a 3＝7，a 5＋a 7＝26， 所以a 1＋2d ＝7,2a 1＋10d ＝26， 解得a 1＝3，d ＝2. 由于a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝n a 1＋a n2，所以a n ＝2n ＋1，S n ＝n (n ＋2)．(2)因为a n ＝2n ＋1，所以a 2n －1＝4n (n ＋1)． 因此b n ＝14nn ＋1＝14(1n －1n ＋1)． 故T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝14(1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1) ＝14(1－1n ＋1)＝n4n ＋1. 所以数列{b n }的前n 项和T n ＝n4n ＋1. 15．设数列{a n }是等差数列，其前n 项和S n ，若S 4≥10，S 5≤15，求a 4的最大值． 解析 方法一 a 5＝S 5－S 4≤5，S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝5a 3≤15，a 3≤3，则a 4＝a 3＋a 52≤4，a 4的最大值为4.方法二 ∵⎩⎪⎨⎪⎧S 4＝4a 1＋6d ≥10，S 5＝5a 1＋10d ≤15⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2a 1－3d ≤－5，a 1＋2d ≤3⇒d ≤1.又∵S 5＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝5a 3≤15，∴a 3≤3. ∴a 4≤4.故a 4的最大值为4.方法三 本题也可利用线性规划知识求解．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ≥10，5a 1＋10d ≤15⇒⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3.a 4＝a 1＋3d .画出可行域⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ≥5，a 1＋2d ≤3，求目标函数a 4＝a 1＋3d 的最大值，即当直线a 4＝a 1＋3d 过可行域内(1,1)点时截距最大，此时a 4＝4.16．(2012·天津)已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，{b n }是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)记T n ＝a n b 1＋a n －1b 2＋…＋a 1b n ，n ∈N *，证明：T n ＋12＝－2a n ＋10b n (n ∈N *)． 解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q .由a 1＝b 1＝2，得a 4＝2＋3d ，b 4＝2q 3，S 4＝8＋6d .由条件，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧2＋3d ＋2q 3＝27，8＋6d －2q 3＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝2.所以a n ＝3n －1，b n ＝2n，n ∈N *. (2)方法一 由(1)得T n ＝2a n ＋22a n －1＋23a n －2＋…＋2n a 1，① 2T n ＝22a n ＋23a n －1＋…＋2n a 2＋2n －1a 1.②由②－①，得T n ＝－2(3n －1)＋3×22＋3×23＋…＋3×2n ＋2n ＋2＝121－2n －11－2＋2n ＋2－6n ＋2＝10×2n－6n －10.而－2a n ＋10b n －12＝－2(3n －1)＋10×2n －12＝10×2n－6n －10，故T n ＋12＝－2a n ＋10b n ，n ∈N *.方法二 (1)当n ＝1时，T 1＋12＝a 1b 1＋12＝16，－2a 1＋10b 1＝16，故等式成立； (2)假设当n ＝k 时等式成立，即T n ＋12＝－2a k ＋10b k ，则当n ＝k ＋1时，有T k ＋1＝a k ＋1b 1＋a k b 2＋a k －1b 3＋…＋a 1b k ＋1＝a k ＋1b 1＋q (a k b 1＋a k －1b 2＋…＋a 1b k ) ＝a k ＋1b 1＋qT k＝a k ＋1b 1＋q (－2a k ＋10b k －12) ＝2a k ＋1－4(a k ＋1－3)＋10b k ＋1－24 ＝－2a k ＋1＋10b k ＋1－12. 即T k ＋1＋12＝－2a k ＋1＋10b k ＋1. 因此n ＝k ＋1时等式也成立．由(1)和(2)，可知对任意n ∈N *，T n ＋12＝－2a n ＋10b n 成立．17．(2012·陕西)设{a n }是公比不为1的等比数列，其前n 项和为S n ，且a 5，a 3，a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的公比；(2)证明：对任意k ∈N ＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列． 解析 (1)设数列{a n }的公比为q (q ≠0，q ≠1)， 由a 5，a 3，a 4成等差数列，得2a 3＝a 5＋a 4. 即2a 1q 2＝a 1q 4＋a 1q 3.由a 1≠0，q ≠0，得q 2＋q －2＝0，解得q 1＝－2，q 2＝1(舍去)，所以q ＝－2.(2)方法一 对任意k ∈N ＋，S k ＋2＋S k ＋1－2S k ＝(S k ＋2－S k )＋(S k ＋1－S k )＝a k ＋1＋a k ＋2＋a k ＋1 ＝2a k ＋1＋a k ＋1·(－2) ＝0，所以，对任意k ∈N ＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列． 方法二 对任意k ∈N ＋，2S k ＝2a 11－q k1－q，S k ＋2＋S k ＋1＝a 11－q k ＋21－q ＋a 11－q k ＋11－q＝a 12－q k ＋2－q k ＋11－q，2S k －(S k ＋2＋S k ＋1)＝2a 11－q k1－q－a 12－q k ＋2－q k ＋11－q＝a 11－q[2(1－q k)－(2－qk ＋2－q k ＋1)]＝a 1q k 1－q(q 2＋q －2)＝0， 因此，对任意k ∈N ＋，S k ＋2，S k ，S k ＋1成等差数列．18．(2012·广东)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N *，且a 1，a 2＋5，a 3成等差数列．(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <32.解析 (1)∵a 1，a 2＋5，a 3成等差数列， ∴2(a 2＋5)＝a 1＋a 3.又∵2a 1＝2S 1＝a 2－22＋1,2(a 1＋a 2)＝2S 2＝a 3－23＋1， ∴a 2＝2a 1＋3，a 3＝6a 1＋13.因此4a 1＋16＝7a 1＋13，从而a 1＝1.(2)由题设条件知，n ≥2时，2S n －1＝a n －2n＋1， 2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1.∴2a n ＝a n ＋1－a n －2n，于是a n ＋1＝3a n ＋2n (n ≥2)．而由(1)知，a 2＝2a 1＋3＝5＝3a 1＋2， 因此对一切正整数n ，有a n ＋1＝3a n ＋2n. 所以a n ＋1＋2n ＋1＝3(a n ＋2n)．又∵a 1＋21＝3，∴{a n ＋2n}是以3为首项，3为公比的等比数列． 故a n ＋2n＝3n，即a n ＝3n－2n. (3)∵a n ＝3n－2n＝3·3n －1－2n ＝3n －1＋2(3n －1－2n －1)≥3n －1，∴1a n ≤13n －1. ∴1a 1＋1a 2＋…＋1a n ≤1＋13＋132＋…＋13n －1＝1－13n1－13<32. 19．(2012·湖北)已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和． 解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1a 1＋d a 1＋2d ＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列的通项公式可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7.故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列； 当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n .当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5；当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7)＝5＋n －2[2＋3n －7]2＝32n 2－112n ＋10.当n ＝2时，满足此式． 综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，32n 2－112n ＋10，n >1.20．(2012·江西)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝kc n－k (其中c ，k 为常数)，且a 2＝4，a 6＝8a 3.(1)求a n ；(2)求数列{na n }的前n 项和T n .解析 (1)由S n ＝kc n －k ，得a n ＝S n －S n －1＝kc n －kcn －1(n ≥2)．由a 2＝4，a 6＝8a 3，得kc (c －1)＝4，kc 5(c －1)＝8kc 2(c －1)．解得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，k ＝2，所以a 1＝S 1＝2，a n ＝kc n －kcn －1＝2n (n ≥2)，于是a n ＝2n.(2)T n ＝∑i ＝1nia i ＝∑i ＝1ni ·2i，即T n ＝2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n ，T n ＝2T n －T n ＝－2－22－23－24－…－2n ＋n ·2n ＋1＝－2n ＋1＋2＋n ·2n ＋1＝(n －1)2n ＋1＋2.21．(2012·安徽)数列{x n }满足x 1＝0，x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c (n ∈N *)． (1)证明：{x n }是递减数列的充分必要条件是c <0； (2)求c 的取值范围，使{x n }是递增数列．解析 (1)先证充分性，若c <0，由于x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c ≤x n ＋c <x n ，故{x n }是递减数列； 再证必要性，若{x n }是递减数列，则由x 2<x 1，可得c <0. (2)(ⅰ)假设{x n }是递增数列． 由x 1＝0，得x 2＝c ，x 3＝－c 2＋2c . 由x 1<x 2<x 3，得0<c <1. 由x n <x n ＋1＝－x 2n ＋x n ＋c 知， 对任意n ≥1都有x n <c ，①注意到c －x n ＋1＝x 2n －x n －c ＋c ＝(1－c －x n )(c －x n )，②由①式和②式可得1－c －x n >0，即x n <1－c . 由②式和x n ≥0还可得，对任意n ≥1都有c －x n ＋1≤(1－c )(c －x n )．③21 反复运用③式，得c －x n ≤(1－c )n －1(c －x 1)<(1－c )n －1.x n <1－c 和c －x n <(1－c )n －1两式相加，知 2c －1<(1－c )n －1对任意n ≥1成立．根据指数函数y ＝(1－c )n 的性质，得2c －1≤0，c ≤14.故0<c ≤14. (ⅱ)若0<c ≤14，要证数列{x n }为递增数列，即 x n ＋1－x n ＝－x 2n ＋c >0，即证x n <c 对任意n ≥1成立．下面用数学归纳法证明：当0<c ≤14时，x n <c 对任意n ≥1成立． (1)当n ＝1时，x 1＝0<c ≤12，结论成立． (2)假设当n ＝k (k ∈N *)时结论成立，即x k <c .因为函数f (x )＝－x 2＋x ＋c 在区间(－∞，12]内单调递增，所以x k ＋1＝f (x k )<f (c )＝c ，这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立． 故x n <c 对任意n ≥1成立．因此，x n ＋1＝x n －x 2n ＋c >x n ，即{x n }是递增数列．由(ⅰ)(ⅱ)知，使得数列{x n }单调递增的c 的范围是(0，14]．。
专题突破练(4) 数列中的典型题型与创新题型一、选择题1．如果等差数列{a n }中，a 3＋a 4＋a 5＝12，那么a 1＋a 2＋…＋a 7等于( )A ．14B ．21C ．28D ．35答案 C解析 ∵a 3＋a 4＋a 5＝12，∴3a 4＝12，a 4＝4．∴a 1＋a 2＋…＋a 7＝(a 1＋a 7)＋(a 2＋a 6)＋(a 3＋a 5)＋a 4＝7a 4＝28．故选C ．2．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1．若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12答案 C解析 a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)·(a 2a 4)·a 3＝a 23·a 23·a 3＝a 53＝a 51·q 10．因为a 1＝1，|q |≠1， 所以a m ＝a 51·q 10＝a 1q 10，所以m ＝11．故选C ． 3．在递减等差数列{a n }中，若a 1＋a 5＝0，则S n 取最大值时n 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．2或3答案 D解析 ∵a 1＋a 5＝2a 3＝0，∴a 3＝0．∵d <0，∴{a n }的第一项和第二项为正值，从第四项开始为负值，故S n 取最大值时n 等于2或3．故选D ．4．在等差数列{a n }中，首项a 1＝0，公差d ≠0，若a k ＝a 10＋a 11＋…＋a 100，则k ＝( )A ．496B ．469C ．4914D ．4915答案 D解析 因为数列{a n }是等差数列，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝(n －1)d ，因为a k＝a 10＋a 11＋…＋a 100，所以a k ＝100a 1＋100×992d －9a 1＋9×82d ＝4914d ，又a k ＝(k－1)d，所以(k－1)d＝4914d，所以k＝4915．故选D．5．已知数列{a n}的通项为a n＝log n＋1(n＋2)(n∈N*)，我们把使乘积a1·a2·a3·…·a n为整数的n叫做“优数”，则在(0，2018]内的所有“优数”的和为()A．1024 B．2012 C．2026 D．2036答案C解析设a1·a2·a3·…·a n＝log23·log34·log45·…·log n＋1(n＋2)＝log2(n＋2)＝k，k ∈Z，则0<n＝2k－2≤2018，2<2k≤2020，1<k≤10，∴所有“优数”之和为(22－2)＋(23－2)＋…＋(210－2)＝22(1－29)1－2－18＝211－22＝2026．故选C．6．约瑟夫规则：将1，2，3，…，n按逆时针方向依次放置在一个单位圆上，然后从1开始，按逆时针方向，每隔一个数删除一个数，直至剩余一个数为止，删除的数依次为1，3，5，7，…．当n＝65时，剩余的一个数为() A．1 B．2 C．4 D．8答案B解析将1，2，3，…，65按逆时针方向依次放置在一个单位圆上，然后从1开始，按逆时针方向，每隔一个数删除一个数，首先删除的数为1，3，5，7，…，65(删除33个，剩余32个)；然后循环，删除的数的个数分别为16，8，4，2，1，最后剩余2．故选B．7．已知数列{a n}中，a n＋1＝3S n，则下列关于{a n}的说法正确的是()A．一定为等差数列B．一定为等比数列C．可能为等差数列，但不会为等比数列D．可能为等比数列，但不会为等差数列答案C解析若数列{a n}中所有的项都为0，则满足a n＋1＝3S n，所以数列{a n}可能为等差数列，故B，D不正确；由a n＋1＝3S n，得a n＋2＝3S n＋1，则a n＋2－a n＋1＝3(S n ＋1－S n )＝3a n ＋1，所以a n ＋2＝4a n ＋1，当a 1≠0时，易知a n ＋1≠0，所以a n ＋2a n ＋1＝4，由a n ＋1＝3S n ，得a 2＝3a 1，即a 2a 1＝3，此时数列{a n }既不是等比数列又不是等差数列，故A 不正确，C 正确．故选C ．8．(2018·江西南昌测试二)已知各项均为正数的递增数列{a n }的前n 项和为S n 满足2S n ＝a n ＋1，b n ＝a n a n ＋t，若b 1，b 2，b m 成等差数列，则t m 的最大值为( ) A ．27 B ．35 C ．38 D ．54答案 D解析 由题2S n ＝a n ＋1，则4S n ＝(a n ＋1)2，4S n ＋1＝(a n ＋1＋1)2，作差得a n ＋1－a n ＝2，2S 1＝a 1＋1⇒a 1＝1，a n ＝2n －1，由b 1，b 2，b m 成等差数列，可得b m＝2b 2－b 1，2m －12m －1＋t ＝63＋t －11＋t ，分离m 化简得m ＝3＋4t －1，故(t ，m )＝(2，7)，(3，5)，(5，4)，t m max ＝54．故选D ．9．(2018·河南信阳高级中学模拟)给定函数y ＝f (x )的图象在下列四个选项中，并且对任意a 1∈(0，1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1<a n ．则该函数的图象可能是( )答案 A解析 由题对于给定函数y ＝f (x )的图象在下列四个选项中，并且对任意a 1∈(0，1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1<a n ．则可得到f (a n )＜a n ，所以f (a 1)＜a 1在∀a 1∈(0，1)上都成立，即∀x ∈(0，1)，f (x )＜x ，所以函数图象都在y ＝x 的下方．故选A ．10．杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形．帕斯卡(1623～1662)是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年．右图的表在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就出现了，这又是我国数学史上的一个伟大成就．如图所示，在“杨辉三角”中，从1开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…，则此数列前16项和为( )A ．120B ．163C ．164D ．165答案 C解析 考查每行第二个数组成的数列：2，3，4，5，…，归纳推理可知其通项公式为b n ＝n ＋1，其前8项和S 8＝8×2＋8×72×1＝44；每行第三个数组成的数列：1，3，6，10，…，归纳推理可知其通项公式为c n ＝n (n ＋1)2＝12(n 2＋n )，其前8项和T 8＝12×8×(8＋1)×(2×8＋1)6＋(8＋1)×82＝120，据此可得题中数列前16项和为120＋44＝164．故选C ．11．(2018·河南林州调研)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 17>0，S 18<0，则S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中最大的项为( )A ．S 7a 7B ．S 8a 8C ．S 9a 9D ．S 10a 10答案 C解析 ∵等差数列{a n }中，S 17>0，且S 18<0，即S 17＝17a 9>0，S 18＝9(a 9＋a 10)<0，∴a 9＋a 10<0，a 9>0，∴a 10<0，∴等差数列{a n }为递减数列，故可知a 1，a 2，…，a 9为正，a 10，a 11，…为负；∴S 1，S 2，…，S 17为正，S 18，S 19，…为负，则S 1a 1>0，S 2a 2>0，…，S 9a 9>0，S 10a 10<0，S 11a 11<0，…，S 15a 15<0，又∵S 1<S 2<…<S 9，a 1>a 2>…>a 9，则S 9a 9最大．故选C ．12．已知数列{a n }为等比数列，a 1∈(0，1)，a 2∈(1，2)，a 3∈(2，3)，则a 4的取值范围是( )A ．(3，4)B ．(22，4)C ．(2，9)D ．(22，9)答案 D解析 设等比数列{a n }的公比为q ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 0<a 1<1， ①1<a 1q <2， ②2<a 1q 2<3. ③由①②得q ＝a 1q a 1>11＝1；由①③得q 2＝a 1q 2a 1>21＝2；由②③得q ＝a 1q 2a 1q >1且q ＝a 1q 2a 1q <3，故2<q <3．因为a 4＝a 1q 3＝(a 1q 2)·q ，所以22<a 4<9．故选D ． 二、填空题13．(2018·湖南张家界模拟)定义“等积数列”，在一个数列中，如果每一项与它后一项的积都为同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积．已知数列{a n }是等积数列且a 1＝2，公积为10，则a 2018＝________．答案 5解析 已知数列{a n }是等积数列且a 1＝2，公积为10，可得a 2＝5，a 3＝2，a 4＝5，a 5＝2，…，由此奇数项为2，偶数项为5，所以a 2018＝5．14．设数列{a n }满足a 2＋a 4＝10，点P n (n ，a n )对任意的n ∈N *，都有向量P n P n ＋1＝(1，2)，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．答案 n 2解析 ∵P n (n ，a n )，∴P n ＋1(n ＋1，a n ＋1)，∴P n P n ＋1＝(1，a n ＋1－a n )＝(1，2)，∴a n ＋1－a n ＝2，∴{a n }是公差d 为2的等差数列．又由a 2＋a 4＝2a 1＋4d ＝2a 1＋4×2＝10，解得a 1＝1，∴S n ＝n ＋n (n －1)2×2＝n 2．15．(2018·湖北荆州中学模拟一)“斐波那契”数列由十三世纪意大利数学家斐波那契发现．数列中的一系列数字常被人们称之为神奇数．具体数列为：1，1，2，3，5，8，…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和．已知数列{a n }为“斐波那契”数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，若a 2020＝M ，则S 2018＝________．(用M 表示)答案 M －1解析 ∵数列为：1，1，2，3，5，8，…，即从该数列的第三项数字开始，每个数字等于前两个相邻数字之和，∴a n ＋2＝a n ＋a n ＋1＝a n ＋a n －1＋a n ＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －1＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＋a n －2＝…＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＋…＋a 2＋a 1＋1，则S 2018＝a 2020－1＝M －1．16．(2018·衡水金卷压轴卷二)已知曲线C 1的方程为(x －1)2＋(y －2)2＝1，过平面上一点P 1作C 1的两条切线，切点分别为A 1，B 1，且满足∠A 1P 1B 1＝π3．记P 1的轨迹为C 2，过平面上一点P 2作C 2的两条切线，切点分别为A 2，B 2，且满足∠A 2P 2B 2＝π3．记P 2的轨迹为C 3，按上述规律一直进行下去，…，记a n ＝|A n A n＋1|min ，且S n 为数列{a n }的前n 项和，则满足S n －5n >0的最小正整数n 为________．答案 5解析 由题设可知轨迹C 1，C 2，C 3，…，C n 分别是半径为1，2，4，8，16，32，…，2n 的圆．因为a n ＝|A n A n ＋1|min ，所以a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，a 4＝8，…，a n ＝2n －1，所以S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝1＋2＋4＋…＋2n －1＝2n －12－1＝2n －1．由S n －5n >0，得2n －1－5n >0⇒2n >5n ＋1，故最小的正整数n 为5．三、解答题17．(2018·山西考前适应训练)已知等比数列{a n }中，a n >0，a 1＝164，1a n －1a n ＋1＝2a n ＋2，n ∈N *． (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n ·(log 2a n )2，求数列{b n }的前2n 项和T 2n ．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则q >0，因为1a n －1a n ＋1＝2a n ＋2，所以1a 1q n －1－1a 1q n ＝2a 1q n ＋1， 因为q >0，解得q ＝2，所以a n ＝164×2n －1＝2n －7，n ∈N *．(2)b n ＝(－1)n ·(log 2a n )2＝(－1)n ·(log 22n －7)2＝(－1)n ·(n －7)2，设c n ＝n －7，则b n ＝(－1)n ·(c n )2．T 2n ＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＋…＋b 2n －1＋b 2n＝－c 21＋c 22＋(－c 23)＋c 24＋…＋(－c 22n －1)＋c 22n＝(－c 1＋c 2)(c 1＋c 2)＋(－c 3＋c 4)(c 3＋c 4)＋…＋(－c 2n －1＋c 2n )(c 2n －1＋c 2n ) ＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c 2n －1＋c 2n＝2n [－6＋(2n －7)]2＝n (2n －13)＝2n 2－13n ．18．(2018·山东青岛统测)已知等差数列{a n }的公差为2，等比数列{b n }的公比为2，且a n b n ＝n ·2n ．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)令c n ＝1a n ·log 2b n ＋3，记数列{c n }的前n 项和为T n ，试比较T n 与38的大小． 解 (1)∵a n b n ＝n ·2n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1b 1＝2，a 2b 2＝8⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1b 1＝2，(a 1＋2)·2b 1＝8， 解得a 1＝2，b 1＝1，∴a n ＝2＋2(n －1)＝2n ，b n ＝2n －1．(2)∵a n ＝2n ，b n ＝2n －1，∴c n ＝1a n ·log 2b n ＋3＝12n (n ＋2)＝141n －1n ＋2， ∴T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋c 4＋…＋c n －1＋c n＝141－13＋12－14＋13－15＋14－16＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2＝141＋12－1n ＋1－1n ＋2＝38－141n ＋1＋1n ＋2<38， ∴T n <38．19．(2018·广东三校联考二)设数列{a n }的前n 项和为S n ，点(a n ，S n )(n ∈N *)在直线2x －y －2＝0上．(1)求证：数列{a n }是等比数列，并求其通项公式；(2)设直线x ＝a n 与函数f (x )＝x 2的图象交于点A n ，与函数g (x )＝log 2x 的图象交于点B n ，记b n ＝OA n →·OB n →(其中O 为坐标原点)，求数列{b n }的前n 项和T n ．解 (1)证明：∵点(a n ，S n )在直线2x －y －2＝0上，∴2a n －S n －2＝0．①当n ＝1时，2a 1－a 1－2＝0，∴a 1＝2．当n ≥2时，2a n －1－S n －1－2＝0，②①－②，得a n ＝2a n －1．∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，则a n ＝2n ．(2)由(1)及已知易得A n (2n ，4n )，B n (2n ，n )，∴b n ＝OA n →·OB n →，∴b n ＝(n ＋1)·4n ． 则T n ＝2×41 ＋3×42＋4×43＋…＋(n ＋1)·4n ，③4T n ＝2×42＋3×43＋4×44＋…＋(n ＋1)·4n ＋1，④③－④，得－3T n ＝8＋42＋43＋…＋4n －(n ＋1)·4n ＋1＝8＋16(1－4n －1)1－4－(n ＋1)·4n ＋1， ∴T n ＝n 3＋29·4n ＋1－89．20．(2018·湖南六校联考)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋c (c 为常数)，且x ∈－12，0时，f (x )的最大值为－14，数列{a n }的首项a 1＝32，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )的图象上，其中n ≥1，n ∈Z ．(1)证明：数列lg a n ＋12是等比数列；(2)记R n ＝a 1＋12·a 2＋12·…·a n ＋12，求R n ．解 (1)证明：依题意，f (x )＝x 2＋x ＋c ，c 为常数，当x∈－12，0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，所以f(x)max＝f(0)＝c＝－14，所以f(x)＝x2＋x－14．又点(a n，a n＋1)在函数f(x)的图象上，所以a n＋1＝a2n＋a n－14，即a n＋1＋12＝a n＋122，由于a1＝32，易知a n ＋12>0，所以lg a n＋1＋12＝2lg a n＋12，又lg a1＋12＝lg 2≠0，所以数列lg a n＋12是首项为lg 2，公比为2的等比数列．(2)由(1)知lg a n＋12＝2n－1·lg 2＝lg 22n－1，所以a n＋12＝22n－1，所以R n＝220·221·222·…·22n－1＝220＋21＋22＋…＋2n－1＝22n－1．21．(2019·宁夏六盘山高级中学模拟)已知函数y＝f(x)．对任意x∈R，都有f(x)＋f(1－x)＝2．(1)求f 12和f1n＋fn－1n(n∈N*)的值；(2)数列{a n}满足a n＝f(0)＋f 1n＋f2n＋…＋fn－1n＋f(1)(n∈N*)，求证：数列{an}是等差数列．解(1)由题设条件知f 12＋f12＝2，故f12＝1．而1n＋n－1n＝1，故f1n＋fn－1n＝2．(2)证明：依题有a n＝f(0)＋f 1n＋…＋fn－1n＋f(1)，n∈N*，同理有a n＝f(1)＋f n－1n＋…＋f1n＋f(0)，n∈N*，上述两式对应相加得2a n＝[f(0)＋f(1)]＋f1n ＋fn－1n＋…＋f1n＋fn－1n＋[f(0)＋f(1)]＝2(n＋1)，从而a n＝n＋1，n∈N*，而a n＋1－a n＝1，故{a n}为等差数列．。
数列（8）数列的综合应用B1、等比数列{}n a 的前n 项和11·3(2n n S c c +=+为常数)，若23n n a S λ≤+恒成立，则实数λ的最大值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62、等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若37101145,7,a a a a a +-=-=则13S =( ) A.152 B.154 C.156 D.1583、数列{}n a 满足1211,2a a ==并且1111()2(2)n n n n n a a a a a n -+-++=≥,则数列的第2012项为( ) A.10012 B. 201212 C. 12012 D. 11004、数列{}n a 满足:11n n a a λ+=-(N ,R n λ*∈∈且0)λ≠,若数列{}1n a -是等比数列,则λ的值等于( )A.1B.-1C.12D.25、设等比数列{}n a 的公比为q ，其前项之积为n T ，并且满足条件：11a >，201520152016201611,01a a a a -⋅><-.给出下列结论：（1）01q <<； （2）2015201710a a ⋅-> （3）2016T 的值是n T 中最大的；（4）使1n T >成立的最大自然数等于4030.其中正确的结论为( ) A.（1）,（3） B.（2）,（3）C.（2）,（4）D.（1）,（4）6、已知数列1111,,,,,12123123n+++++++，则其前n 项和等于( )A ．1n n +B ．21nn +C ．11n +D ．21n + 7、在等差数列{}n a 中，12012a =-，其前n 项和为n S ，2012102002201210S S -=，则 2019S =（ ） A ．8068B ．2019C ．-8027D ．-20178、数列11111,2,3,4,24816的前n 项和为( )A.211(2)22n n n ++- B. 111(1)122n n n +++- C.211(2)22n n n -+- D.11(1)2(1)22n n n ++- 9、如图,点列{}{},n n A B 分别在某锐角的两边上,且*1122,,N n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈,112,n n n n B B B B +++=*2,N n n B B n +≠∈ (P Q ≠表示点P与 Q 不重合).若,n n n n d A B S =为△1n n n A B B +的面积,则()A. {}n S 是等差数列B. {}2n S 是等差数列 C. {}n d 是等差数列 D. {}2n d 是等差数列10、数列{}n a 的前n 项和2233n S n n =-+，则4510a a a +++等于( )A.171B.21C.10D.16111、数列{}n a 满足132nn n a a +=-，若n N +∈时，1n n a a +>，则1a 的取值范围是__________12、已知数列{}n a ，111,21(2,N )n n a a a n n n -+==+-≥∈，求数列{}n a 的通项公式n a =__________13、已知数列{}n a 的首项为7,且212n n n a a a +-=,若1112n n n b a a +=++,则数列{}n b 的前n 项和n S 为___________14、已知数列{}n a 中，111,,(2,N )n n a a a n n n +-=-=≥∈，设12321111...n n n n nb a a a a +++=++++，若对任意的正整数n ，当[]1,2m ∈时，不等式213n m mt b -+>恒成立，则实数t 的取值范围是______.15、已知数列{}n a 满足121111(1)(1)(1)n na a a a ---=*N ,n n S ∈是数列{}n a 的前n 项和. 1. 求数列{}n a 的通项公式;2. 若,30,p q a S 成等差数列,,18,p q a S 成等比数列,求正整数p ,q 的值; 3. 是否存在*N k ∈,{}n a 中的项?若存在,求出所有满足条件的k的值;若不存在,请说明理由.答案以及解析1答案及解析： 答案：C解析：由题意可知32c =-且3nn a =,可得211333223n nλ++⋅-≤,化简为31323n n λ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭,由于均值不等式等号不成立,所以由钩型函数可知,当1n =时, max 5λ=.选C.2答案及解析： 答案：C 解析：3答案及解析： 答案：C解析：等差中项判断数列是否为等差数列4答案及解析： 答案：D解析：由11n n a a λ+=-,得1212n n n a a a λλλ+⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭.由于数列{}1n a -是等比数列，所以21λ=，得2λ=.5答案及解析： 答案：D解析：由已知推得20151a <或20161a <．然后分析若20151a <，那么20161a >，若20150a <，则0q <结合等比数列的通项公式可得0q >．再由等比数列的性质逐一核对四个命题得答案．2015201610,1a a -<∴-可知：20151a <或20161a <．如果20151a <，那么20161a >，若20150a <，则0q <；又∵201520161a a q =，∴2016a 应与1a 异号，即20160a <，这假设矛盾，故0q >．若1q ≥，则20151a >且20161a >，与推出的结论矛盾，故01q <<，故（1）正确；又22015201720161a a a =<，故（2）错误；由结论（1）可知201520161,1,a a ><故数列从2016项开始小于1，则2015T 最大，故（3）错误；由结论（1）可知数列从2016项开始小于1，而123n n T a a a a =⋯，故当()22015n T a =时，求得1n T >对应的自然数为4030，故（4）正确．故选：D.6答案及解析： 答案：B 解析：7答案及解析： 答案：B 解析：8答案及解析： 答案：A 解析：9答案及解析： 答案：A解析：由题意,过点1231,,,...,,,...n n A A A A A +分别作直线11n B B +的垂线, 高分别记为1231,,,...,,,...,n n h h h h h +根据平行线的性质, 得1231,,,...,,,...n n h h h h h +成等差数列, 又111,2n n n n n n S B B h B B ++=⨯⨯为定值,所以{}n S 是等差数列. 故选A.10答案及解析： 答案：D 解析：11答案及解析： 答案：[2,)+∞ 解析：12答案及解析： 答案：2n 解析：13答案及解析：答案：2781n -- 解析：14答案及解析： 答案：1t < 解析：15答案及解析： 答案：1.因为*121111(1)(1)(1),N n nn a a a a ---=∈, 所以当1n =时,11111a a -=, 解得12a =,当2n ≥时, 将121111(1)(1)(1)n n a a a a ---=和121111(1)(1)(1)11n n a a a a ---=-- 两式相除可得,111n n na a a --=, 即()112n n a a n --=≥,所以数列{}n a 是首项为2,公差为1的等差数列,所以1n a n =+.2.因为,30,p q a S 成等差数列,,18,p q a S 成等比数列,所以26018p q p q a s a s +=⎧⎪⎨=⎪⎩ 于是46q p a S S =⎧⎪⎨=⎪⎩或546qp S a =⎧⎪⎨=⎪⎩当46q p a S S =⎧⎪⎨=⎪⎩时,16(3)542p q q +=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得9q ⎨=⎩当546p q a S =⎧⎪⎨=⎪⎩时,154(3)62p a q +=⎧⎪⎨+=⎪⎩无正整数解,所以5,9p q ==.3. 假设存在满足条件的正整数k ,()*N ,m a m =∈1m =+,平方并化简得()()22222363m k +-+=,则()()22522163m k m k ++--=,所以225632211m k m k ++=⎧⎨--=⎩或225212213m k m k ++=⎧⎨--=⎩或22592217m k m k ++=⎧⎨--=⎩解得15,14m k ==或5,3m k ==或3,1m k ==-(舍去). 综上所述,3k =或14. 解析：。
数列11 数列的通项（ 叠加法、累乘法求通项）一、具体目标：掌握用不同的数学方法求不同形式数列的通项公式.通过数列通项公式的求解过程,利用数列的变化规律,恰当选择方法,是数列的研究和探索奠定基础. 二、知识概述： 1.数列的通项公式：（1）如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．即()n a f n =,不是每一个数列都有通项公式,也不是每一个数列都有一个个通项公式. （2）数列{}n a 的前n 项和n S 和通项n a 的关系：11(1)(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩.2.求数列的通项公式的注意事项：（1）根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n 之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用()1n-或()11n +-来调整．（2）根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．由不完全归纳法得出的结果是不可靠，要注意代值验证.（3）对于数列的通项公式要掌握：①已知数列的通项公式，就可以求出数列的各项；②根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式，这是一个难点，在学习中要注意观察数列中各项与其序号的变化情况，分解所给数列的前几项，看看这几项的分解中．哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序【考点讲解】号的联系，从而归纳出构成数列的规律，写出通项公式.3.数列通项一般有三种类型：（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：公式法或待定系数法；（2）已知S n ，求通项，破解方法：利用S n -S n -1= a n ，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值 得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：猜想证明法或构造法。
4. 已知数列{}n a 的前n 项和n S ，求数列的通项公式，其求解过程分为三步： (1)先利用11a S =求出1a ；(2)用1n -替换n S 中的n 得到一个新的关系，利用=n a 1n n S S -- (2)n ≥便可求出当2n ≥时n a 的表达式； (3)对1n =时的结果进行检验，看是否符合2n ≥时n a 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分1n =与2n ≥两段来写．【注】该公式主要是用来求数列的通项，求数列通项时，一定要分两步讨论，结果能并则并，不并则分. 5. 递推公式推导通项公式方法： （1）叠加法：1()n n a a f n +-=叠加法（或累加法）：已知()⎩⎨⎧=-=+n f a a a a n n 11，求数列通项公式常用叠加法（或累加法）即112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---Λ.（2）累乘法：已知()⎪⎩⎪⎨⎧==+n f a a a a nn 11求数列通项公式用累乘法. （3）待定系数法：1n n a pa q +=+（其中,p q 均为常数，)0)1((≠-p pq ） 解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pqt -=1，再利用换元法转化为等比数列求解. （4）待定系数法： nn n q pa a +=+1（其中,p q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）. （或1nn n a pa rq +=+,其中,,p q r 均为常数）.解法：在原递推公式两边同除以1+n q ，得：111n n n n a a p q q q q++=⋅+，令n n n q a b =，得：q b q p b nn 11+=+，再按 第（3）种情况求解.（5）待定系数法：b an pa a n n ++=+1(100)p a ≠≠，， 1122332211a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-----Λ解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令)()1(1y xn a p y n x a n n ++=++++，与已知递推式比较， 解出y x ,,从而转化为{}y xn a n ++是公比为p 的等比数列. （6）待定系数法：21(0,1,0)n n a pa an bn c p a +=+++≠≠解法：一般利用待定系数法构造等比数列，即令221(1)(1)()n n a x n y n z p a xn yn z ++++++=+++，与已知递推式比较，解出y x ,,从而转化为{}2n a xn yn z +++是公比为p 的等比数列. （7）待定系数法：n n n qa pa a +=++12（其中,p q 均为常数）.解法：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++其中,s t 满足s t pst q+=⎧⎨=-⎩，再按第（4）种情况求解.（8）取倒数法：1()()()nn n g n a a f n a t n +=+解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解.（11()()()0n n n n g n a t n a f n a a +++-=，解法：等式两边同时除以1n n a a +⋅后换元转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解.）.（9）取对数rn n pa a =+1)0,0(>>n a p解法：这种类型一般是等式两边取以p 为底的对数，后转化为q pa a n n +=+1，按第（3）种情况求解. 6. 以数列为背景的新定义问题是高考中的一个热点题型，考查频率较高，一般会结合归纳推理综合命题．常见的命题形式有新法则、新定义、新背景、新运算等．(1)准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要 求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆．(2)方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法． 类型1 )(1n f a a n n +=+解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用叠加法求解例1.设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a = .【解析】法一：由题意可知：112,1n n a a a n +==++ 所以有()111n n a a n -=+-+，()1221n n a a n --=+-+，()2331n n a a n --=+-+，K ，3221a a =++，2111a a =++，1211a ==+将以上各式相加得：()()()123211n a n n n n =-+-+-+++++⎡⎤⎣⎦L()()()()11111111222n n n n n n n n --+⎡⎤-+⎣⎦=++=++=+ 故应填()112n n ++.法二：由题意11n n a a n +=++可得：11n n a a n +-=+， ()111n n a a n --=-+，()1221n n a a n ---=-+，()2331n n a a n ---=-+，K ，3221a a -=+，2111a a -=+，1211a ==+.将以上各式相加得：()()()123211n a n n n n =-+-+-+++++⎡⎤⎣⎦L()()()()11111111222n n n n n n n n --+⎡⎤-+⎣⎦=++=++=+ 故应填()112n n ++. 【答案】()112n n ++ 类型2 n n a n f a )(1=+ .解法：把原递推公式转化为)(1n f a a nn =+，利用叠乘法求解。
2020年高考数学（理）总复习：数列的求和及综合应用题型一 数列求和 【题型要点】(1)分组求和法：分组求和法是解决通项公式可以写成c n ＝a n ＋b n 形式的数列求和问题的方法，其中{a n }与{b n }是等差(比)数列或一些可以直接求和的数列．(2)裂项相消法：将数列的通项分成两个代数式子的差，即a n ＝f (n ＋1)－f (n )的形式，然后通过累加抵消中间若干项的求和方法．形如1+n n a a c(其中{a n }是各项均不为0的等差数列，c 为常数)的数列等．(3)错位相减法：形如{a n ·b n }(其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列)的数列求和，一般分三步：①巧拆分；②构差式；③求和．(4)倒序求和法：距首尾两端等距离的两项和相等，可以用此法，一般步骤：①求通项公式；②定和值；③倒序相加；④求和；⑤回顾反思．(5)并项求和法：先将某些项放在一起求和，然后再求S n .(6)归纳猜想法：通过对S 1，S 2，S 3，…的计算进行归纳分析，寻求规律，猜想出S n ，然后用数学归纳法给出证明．【例1】已知各项为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{b n }的通项公式b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数，n ＋1，n 为奇数(n ∈N *)，若S 3＝b 5＋1，b 4是a 2和a 4的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .【解析】 (1)∵数列{b n }的通项公式b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，n 为偶数，n ＋1，n 为奇数(n ∈N *)，∴b 5＝6，b 4＝4，设各项为正数的等比数列{a n }的公比为q ，q >0， ∵S 3＝b 5＋1＝7，∴a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝7，① ∵b 4是a 2和a 4的等比中项，∴a 2·a 4＝a 23＝16，解得a 3＝a 1q 2＝4，②由①②得3q 2－4q －4＝0，解得q ＝2，或q ＝－23(舍)，∴a 1＝1，a n ＝2n －1.(2)当n 为偶数时，T n ＝(1＋1)·20＋2·2＋(3＋1)·22＋4·23＋(5＋1)·24＋…＋[[(n －1)＋1]·2n－2＋n ·2n －1＝(20＋2·2＋3·22＋4·23＋…＋n ·2n －1)＋(20＋22＋…＋2n －2)，设H n ＝20＋2·2＋3·22＋4·23＋…＋n ·2n －1，①2H n ＝2＋2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n ，② ①－②，得－H n ＝20＋2＋22＋23＋…＋2n －1－n ·2n＝1－2n 1－2－n ·2n ＝(1－n )·2n －1，∴H n ＝(n －1)·2n ＋1，∴T n ＝(n －1)·2n＋1＋1－4·2n 1－4＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-32n ·2n ＋23.当n 为奇数，且n ≥3时，T n ＝T n －1＋(n ＋1)·2n －1＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-35n ·2n －1＋23＋(n ＋1)·2n －1＝⎪⎭⎫ ⎝⎛-322n ·2n －1＋23，经检验，T 1＝2符合上式， ∴T n ＝⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛--为偶数为奇数n n n n n n ,32232,3223221【反思总结】(1)错位相减法适用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }为等差数列，{b n }为等比数列． (2)所谓“错位”，就是要找“同类项”相减．要注意的是相减后所得部分，求等比数列的和，此时一定要查清其项数．(3)为保证结果正确，可对得到的和取n ＝1,2进行验证．题组训练一 数列求和已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S n ＝3n ＋1＋a (a ∈N *)．(1)求a 的值及数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)n －1(2n 2＋2n ＋1)(log 3a n ＋2)2(log 3a n ＋1)2，求{b n }的前n 项和T n .【解析】 (1)∵等比数列{a n }满足6S n ＝3n ＋1＋a (a ∈N *)，n ＝1时，6a 1＝9＋a ；n ≥2时，6a n ＝6(S n －S n －1)＝3n ＋1＋a －(3n ＋a )＝2×3n .∴a n ＝3n －1，n ＝1时也成立，∴1×6＝9＋a ，解得a ＝－3，∴a n ＝3n －1.(2)b n ＝(－1)n －1(2n 2＋2n ＋1)(log 3a n ＋2)2(log 3a n ＋1)2＝(－1)n －1(2n 2＋2n ＋1)n 2(n ＋1)2＝(－1)n －1()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++22111n n当n 为奇数时，T n ＝+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+222231212111()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++22111n n ＝1＋1(n ＋1)2； 当n 为偶数时，T n ＝+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+222231212111()⎥⎦⎤⎢⎣⎡++22111n n ＝1－1(n ＋1)2. 综上，T n ＝1＋(－1)n－11(n ＋1)2. 题型二 数列与函数的综合问题 【题型要点】数列与函数的综合问题主要有以下两类：(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题； (2)已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．【例2】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋2n . (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若点(b n ，a n )在函数y ＝log 2x 的图象上，求数列{b n }的前n 项和T n . 【解】 (1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋2n －[2(n －1)2＋2(n －1)]＝4n ， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝4＝4×1， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝4n .(2)由点{b n ，a n }在函数y ＝log 2x 的图象上得a n ＝log 2b n ，且a n ＝4n ，∴b n ＝2an ＝24n ＝16n ，故数列{b n }是以16为首项，公比为16的等比数列．T n ＝16(1－16n )1－16＝16n ＋1－1615.题组训练二 数列与函数的综合问题已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图象过点(－4n,0)，且f ′(0)＝2n (n ∈N *)． (1)求f (x )的解析式；(2)若数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛na 1，且a 1＝4，求数列{a n }的通项公式． 【解】 (1)由f ′(x )＝2ax ＋b ，f ′(0)＝2n ，得b ＝2n ，又f (x )的图象过点(－4n,0)，所以16n 2a －4nb ＝0，解得a ＝12.所以f (x )＝12x 2＋2nx (n ∈N *)．(2)由(1)知f ′(x )＝x ＋2n (n ∈N *)， 所以1a n ＋1＝1a n ＋2n ，即1a n ＋1－1a n＝2n .所以1a n －1a n －1＝2(n －1), 1a n －1－1a n －2＝2(n －2)，…1a 2－1a 1＝2，以上各式相加得1a n －14＝n 2－n ，所以a n ＝1n 2－n ＋14，即a n ＝4(2n －1)2(n ∈N *)． 题型三 数列与不等式的综合问题 【题型要点】(1)以数列为背景的不等式恒成立问题，多与数列求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性求解．(2)以数列为背景的不等式证明问题，多与数列求和有关，常利用放缩法或单调性法证明．(3)当已知数列关系时，需要知道其范围时，可借助数列的单调性，即比较相邻两项的大小即可．【例3】设f n (x )＝x ＋x 2＋…＋x n －1，x ≥0，n ∈N ，n ≥2. (1)求f n ′(2)；(2)证明：f n (x )在⎪⎭⎫⎝⎛32,0内有且仅有一个零点(记为a n )，且0＜a n －12＜13n⎪⎭⎫ ⎝⎛32.(1)【解】 方法一 由题设f n ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1，所以f n ′(2)＝1＋2×2＋…＋(n －1)2n －2＋n ·2n －1，①则2f n ′(2)＝2＋2×22＋…＋(n －1)2n －1＋n ·2n ，②由①－②得，－f n ′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n －1－n ·2n＝1－2n1－2－n ·2n ＝(1－n )2n －1， 所以f n ′(2)＝(n －1)2n ＋1.方法二 当x ≠1时，f n (x )＝x －x n ＋11－x－1，则f n ′(x )＝[1－(n ＋1)x n ](1－x )＋(x －x n ＋1)(1－x )2，可得f n ′(2)＝－[1－(n ＋1)2n ]＋2－2n ＋1(1－2)2＝(n －1)2n ＋1.(2)[证明] 因为f n (0)＝－1＜0，f n ⎪⎭⎫ ⎝⎛32＝32132132-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-n－1＝1－2×n ⎪⎭⎫ ⎝⎛32≥1－2×232⎪⎭⎫ ⎝⎛＞0，所以f n (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0内至少存在一个零点，又f ′n (x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1＞0，所以f n (x )在⎪⎭⎫ ⎝⎛32,0内单调递增，因此f n (x )在⎪⎭⎫⎝⎛32,0内有且仅有一个零点a n ，由于f n (x )＝x －x n ＋11－x －1，所以0＝f n (a n )＝a n －a n ＋1n1－a n－1，由此可得a n ＝12＋12a n ＋1n ＞12，故12＜a n ＜23，所以0＜a n －12＝12a n ＋1n ＜12×132+⎪⎭⎫ ⎝⎛n ＝13n⎪⎭⎫ ⎝⎛32. 题组训练三 数列与不等式的综合问题1.已知等比数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝10·4n －1(n ∈N *)，数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ＝log 2a n .(1)求b n ，S n ；(2)设c n ＝b n ＋12，证明：c 1·c 2＋c 2·c 3＋…＋c n ·c n ＋1<12S n ＋1(n ∈N *)．【解】 (1)解 由题意知a 2＋a 1＝10，a 2＋a 3＝40，设{a n }的公比为q ，则a 2＋a 3a 1＋a 2＝q (a 1＋a 2)a 1＋a 2＝4，∴q ＝4.则a 1＋a 2＝a 1＋4a 1＝10，解得a 1＝2，∴a n ＝2·4n －1＝22n －1.∴b n ＝log 222n －1＝2n －1.∴S n ＝n (b 1＋b n )2＝n (1＋2n －1)2＝n 2.(2)证明 法一∵c n ＝b n ＋12＝2n －1＋12＝n ，∴S n ＋1＝(n ＋1)2.要证明c 1·c 2＋c 2·c 3＋…＋c n ·c n ＋1<12S n ＋1，即证1×2＋2×3＋…＋n ×(n ＋1)<12(n ＋1)2，①当n ＝1时，1×2<12×(1＋1)2＝2成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立， 即1×2＋2×3＋…＋k ×(k ＋1)<12(k ＋1)2，则当n ＝k ＋1(k ∈N *)时，要证1×2＋2×3＋…＋k ×(k ＋1)＋(k ＋1)(k ＋2)<12(k ＋2)2，即证(k ＋1)(k ＋2)<12(k ＋2)2－12(k ＋1)2，即(k ＋1)(k ＋2)<k ＋32，两边平方得k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋94显然成立，∴当n ＝k ＋1(k ∈N *)时，不等式成立． 综上，不等式成立．法二 ∵c n ＝b n ＋12＝2n －1＋12＝n ，S n ＋1＝(n ＋1)2，由基本不等式可知n (n ＋1)≤n ＋n ＋12＝n ＋12，故1×2<1＋12，2×3<2＋12，…，n (n ＋1)≤n ＋12，∴1×2＋2×3＋3×4＋…＋n (n ＋1)<(1＋2＋3＋…＋n )＋n 2＝n 2＋2n 2<n 2＋2n ＋12＝(n ＋1)22，即不等式c 1·c 2＋c 2·c 3＋…＋c n ·c n ＋1<12S n ＋1(n ∈N *)成立．2.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a 2n，n ∈N *，记S n ，T n 分别是数列{a n }，{a 2n }的前n 项和．证明：当n ∈N *时，(1)a n ＋1<a n ； (2)T n ＝1a 2n ＋1－2n －1；(3)2n －1<S n <2n .【证明】 (1)由a 1＝1及a n ＋1＝a n1＋a 2n 知，a n >0，故a n ＋1－a n ＝a n 1＋a 2n －a n ＝－a 3n1＋a 2n <0， ∴a n ＋1<a n ，n ∈N *. (2)由1a n ＋1＝1a n ＋a n ，得1a 2n ＋1＝1a 2n ＋a 2n ＋2，从而1a 2n ＋1＝1a 2n ＋a 2n ＋2＝1a 2n －1＋a 2n －1＋a 2n ＋2×2＝…＝1a 21＋a 21＋a 22＋…＋a 2n ＋2n ，又∵a 1＝1，∴T n ＝1a 2n ＋1－2n －1，n ∈N *. (3)由(2)知，a n ＋1＝1T n ＋2n ＋1，由T n ≥a 21＝1，得a n ＋1≤12n ＋2，∴当n ≥2时，a n ≤12n ＝22n <2n ＋n －1＝2(n －n －1)，由此S n <a 1＋2[(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)]＝1＋2(n －1)<2n ，n ≥2，又∵a 1＝1，∴S n <2n .另一方面，由a n ＝1a n ＋1－1a n ，得S n ＝1a n ＋1－1a 1≥2n ＋2－1>2n －1.综上，2n －1<S n <2n .【专题训练】1．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝8, S n ＝a n ＋12－n －1.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫2×3na n a n ＋1的前n 项和T n .【解】 (1)因为S n ＝a n ＋12－n －1，故当n ＝1时，a 1＝a 22－1－1＝2；当n ≥2时，2S n ＝a n ＋1－2n －2,2S n －1＝a n －2(n －1)－2，两式相减可得a n ＋1＝3a n ＋2； 经检验，当n ＝1时也满足a n ＋1＝3a n ＋2，故a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，故数列{a n ＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列，故a n ＋1＝3n ，即a n ＝3n －1.(2)由(1)可知，2×3n a n a n ＋1＝2×3n(3n －1)(3n ＋1－1) ＝13n－1－13n ＋1－1， 故T n ＝131－1－132－1＋132－1－133－1＋…＋13n －1－13n ＋1－1＝12－13n ＋1－1.2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，a n ＋1＝S n ＋2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知b n ＝log 2a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n .【解析】 (1)∵a n ＋1＝S n ＋2，∴当n ≥2时，a n ＝S n －1＋2，两式相减得，a n ＋1－a n ＝S n －S n －1＝a n ，则a n ＋1＝2a n ，所以a n ＋1a n ＝2(n ≥2)，∵a 1＝2，∴a 2＝S 1＋2＝4，满足a 2a 1＝2，∴数列{a n }是以2为公比、首项为2的等比数列，则a n ＝2·2n －1＝2n ；(2)由(1)得，b n ＝log 2a n ＝log 22n ＝n ， ∴1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1， ∴T n ＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-1113121211n n ＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 3．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2,4S n ＝a n ·a n ＋1，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n 的前n 项和为T n ，求证：n 4n ＋4<T n <12.【解析】 (1)∵4S n ＝a n ·a n ＋1，n ∈N *， ∴4a 1＝a 1·a 2，又a 1＝2，∴a 2＝4.当n ≥2时，4S n －1＝a n －1·a n ，得4a n ＝a n ·a n ＋1－a n －1·a n .由题意知a n ≠0，∴a n ＋1－a n －1＝4. ①当n ＝2k ＋1，k ∈N *时，a 2k ＋2－a 2k ＝4，即a 2，a 4，…，a 2k 是首项为4，公差为4的等差数列， ∴a 2k ＝4＋(k －1)×4＝4k ＝2×2k ； ②当n ＝2k ，k ∈N *时，a 2k ＋1－a 2k －1＝4，即a 1，a 3，…，a 2k －1是首项为2，公差为4的等差数列， ∴a 2k －1＝2＋(k －1)×4＝4k －2＝2(2k －1)． 综上可知，a n ＝2n ，n ∈N *.(2)证明：∵1a 2n ＝14n 2>14n (n ＋1)＝14⎪⎭⎫ ⎝⎛+-111n n ，∴T n ＝1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n>14⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-1113121211n n ＝141－1n ＋1＝n 4n ＋4. 又∵1a 2n ＝14n 2<14n 2－1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎪⎭⎫ ⎝⎛+--121121n n ，∴T n ＝1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n <12⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+-+-+-12112171515131311n n ＝12⎪⎭⎫ ⎝⎛+-1211n <12. 即得n 4n ＋4<T n <12.4．已知数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且对任意n ∈N *，a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )恒成立．(1)若A n ＝n 2，b 1＝2，求B n ；(2)若对任意n ∈N *，都有a n ＝B n 及b 2a 1a 2＋b 3a 2a 3＋b 4a 3a 4＋…＋b n ＋1a n a n ＋1＜13成立，求正实数b 1的取值范围；(3)若a 1＝2，b n ＝2n ，是否存在两个互不相等的整数s ，t (1＜s ＜t )，使A 1B 1，A s B s ，A t B t成等差数列？若存在，求出s ，t 的值；若不存在，请说明理由． 【解】 (1)因为A n ＝n 2，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n 2－(n －1)2，n ≥2， 即a n ＝2n －1，故b n ＋1－b n ＝12(a n ＋1－a n )＝1，所以数列{b n }是以2为首项，1为公差的等差数列，所以B n ＝n ·2＋12·n ·(n －1)·1＝12n 2＋32n . (2)依题意B n ＋1－B n ＝2(b n ＋1－b n )，即b n ＋1＝2(b n ＋1－b n )，即b n ＋1b n＝2， 所以数列{b n }是以b 1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝B n ＝1－2n1－2×b 1＝b 1(2n －1)， 所以b n ＋1a n a n ＋1＝2nb 1(2n －1)·(2n ＋1－1)， 因为b n ＋1a n a n ＋1＝1b 1⎪⎭⎫ ⎝⎛---+1211211n n 所以b 2a 1a 2＋b 3a 2a 3＋b 4a 3a 4＋…＋b n ＋1a n a n ＋1＝1b 1⎪⎭⎫ ⎝⎛---+12112111n ，所以1b 1⎪⎭⎫ ⎝⎛---+12112111n ＜13恒成立，即b 1＞3⎪⎭⎫ ⎝⎛--+12111n ，所以b 1≥3.(3)由a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )得：a n ＋1－a n ＝2n ＋1，所以当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n ＋2n －1＋…＋23＋22＋2＝2n ＋1－2， 当n ＝1时，上式也成立，所以A n ＝2n ＋2－4－2n ， 又B n ＝2n ＋1－2，所以A n B n ＝2n ＋2－4－2n 2n ＋1－2＝2－n 2n －1， 假设存在两个互不相等的整数s ，t (1＜s ＜t )，使A 1B 1，A s B s ，A t B t 成等差数列，等价于121－1，s 2s －1，t 2t －1成等差数列， 即2s 2s－1＝121－1＋t 2t －1，即2s 2s －1＝1＋t 2t －1，因为1＋t 2t －1＞1，所以2s 2s －1＞1，即2s ＜2s ＋1，令h (s )＝2s －2s －1(s ≥2，s ∈N *)，则h (s ＋1)－h (s )＝2s －2＞0所以h (s )递增， 若s ≥3，则h (s )≥h (3)＝1＞0，不满足2s ＜2s ＋1，所以s ＝2，代入2s 2s －1＝121－1＋t 2t －1得2t －3t －1＝0(t ≥3)，当t ＝3时，显然不符合要求； 当t ≥4时，令φ(t )＝2t －3t －1(t ≥4，t ∈N *)，则同理可证φ(t )递增，所以φ(t )≥φ(4)＝3＞0，所以不符合要求．所以，不存在正整数s ，t (1＜s ＜t )，使A 1B 1，A s B s ，A t B t成等差数列．。
第2课时 数列的综合问题题型一 数列与函数例1 数列{a n }的前n 项和为S n ，2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N ＋，且a 1，a 2＋5,19成等差数列.(1)求a 1的值；(2)证明⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (3)设b n ＝log 3(a n ＋2n )，若对任意的n ∈N ＋，不等式b n (1＋n )－λn (b n ＋2)－6<0恒成立，试求实数λ的取值范围.解 (1)在2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1，n ∈N ＋中， 令n ＝1，得2S 1＝a 2－22＋1，即a 2＝2a 1＋3，①又2(a 2＋5)＝a 1＋19，②则由①②解得a 1＝1.(2)当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝a n ＋1－2n ＋1＋1， ③2S n －1＝a n －2n ＋1， ④ ③－④得2a n ＝a n ＋1－a n －2n ，则a n ＋12n ＋1＋1＝32⎝⎛⎭⎫a n 2n ＋1， 又a 2＝5，则a 222＋1＝32⎝⎛⎭⎫a 121＋1. ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n ＋1是以32为首项，32为公比的等比数列， ∴a n 2n ＋1＝32×⎝⎛⎭⎫32n －1，即a n ＝3n －2n . (3)由(2)可知，b n ＝log 3(a n ＋2n )＝n .当b n (1＋n )－λn (b n ＋2)－6<0恒成立时，即(1－λ)n 2＋(1－2λ)n －6<0(n ∈N ＋)恒成立.设f (n )＝(1－λ)n 2＋(1－2λ)n －6(n ∈N ＋)，当λ＝1时，f (n )＝－n －6<0恒成立，则λ＝1满足条件；当λ<1时，由二次函数性质知不恒成立；当λ>1时，由于对称轴n ＝－1－2λ2(1－λ)<0， 则f (n )在[1，＋∞)上单调递减，f (n )≤f (1)＝－3λ－4<0恒成立，则λ>1满足条件，综上所述，实数λ的取值范围是[1，＋∞).思维升华 数列与函数的交汇问题(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；(2)已知数列条件，解决函数问题，解题时要注意数列与函数的内在联系，掌握递推数列的常见解法.跟踪训练1 (2018·葫芦岛模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1,2a n ＋1＝a n ，数列{b n }满足b n ＝2－log 2a 2n ＋1.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，求使得2T n ≤4n 2＋m 对任意正整数n 都成立的实数m 的取值范围.解 (1)由a 1＝1，a n ＋1a n ＝12，a n ≠0， ∴{a n }是首项为1，公比为12的等比数列， ∴a n ＝⎝⎛⎭⎫12n －1.∴b n ＝2－log 2⎝⎛⎭⎫122n ＝2n ＋2.(2)由(1)得，T n ＝n 2＋3n ，∴m ≥－2n 2＋6n 对任意正整数n 都成立.设f (n )＝－2n 2＋6n ，∵f (n )＝－2n 2＋6n ＝－2⎝⎛⎭⎫n －322＋92， ∴当n ＝1或2时，f (n )的最大值为4，∴m ≥4.即m 的取值范围是[4，＋∞).题型二 数列与不等式例2 已知数列{a n }中，a 1＝12，其前n 项的和为S n ，且满足a n ＝2S 2n 2S n －1(n ≥2). (1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列； (2)证明：S 1＋12S 2＋13S 3＋ (1)S n <1. 证明 (1)当n ≥2时，S n －S n －1＝2S 2n 2S n －1，整理得S n －1－S n ＝2S n ·S n －1(n ≥2)， ∴1S n －1S n －1＝2，从而⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 构成以2为首项，2为公差的等差数列. (2)由(1)可知，1S n ＝1S 1＋(n －1)×2＝2n ，∴S n ＝12n. ∴当n ＝1时，1n S n ＝12<1， 方法一 当n ≥2时，1n S n ＝12n 2<12·1n (n －1)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ，∴S 1＋12S 2＋13S 3＋…＋1n S n <12＋12⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＝1－12n <1. ∴原不等式得证.方法二 当n ≥2时，12n 2<12(n 2－1)＝14⎝⎛⎭⎫1n －1－1n ＋1， ∴S 1＋12S 2＋13S 3＋ (1)S n <12＋14⎝⎛1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －2－1n ＋ ⎭⎫1n －1－1n ＋1＝12＋14⎝⎛⎭⎫1＋12－1n －1n ＋1， <12＋14⎝⎛⎭⎫1＋12＝78<1. ∴原命题得证.思维升华 数列与不等式的交汇问题(1)函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；(2)放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到.跟踪训练2 已知数列{a n }为等比数列，数列{b n }为等差数列，且b 1＝a 1＝1，b 2＝a 1＋a 2，a 3＝2b 3－6.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝1b n b n ＋2，数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：15≤T n <13. (1)解 设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ，由题意得1＋d ＝1＋q ，q 2＝2(1＋2d )－6，解得d ＝q ＝2，所以a n ＝2n －1，b n ＝2n －1. (2)证明 因为c n ＝1b n b n ＋2＝1(2n －1)(2n ＋3)＝14⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋3， 所以T n ＝14⎣⎡⎝⎛⎭⎫1－15＋⎝⎛⎭⎫13－17＋…＋ ⎦⎤⎝⎛⎭⎫12n －3－12n ＋1＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋3 ＝14⎝⎛⎭⎫1＋13－12n ＋1－12n ＋3＝13－14⎝⎛⎭⎫12n ＋1＋12n ＋3， 因为14⎝⎛⎭⎫12n ＋1＋12n ＋3>0，所以T n <13. 又因为T n 在[1，＋∞)上单调递增，所以当n ＝1时，T n 取最小值T 1＝15， 所以15≤T n <13. 题型三 数列与数学文化 例3 我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何.”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤.”( )A.6斤B.7斤C.8斤D.9斤答案 D解析 原问题等价于等差数列中，已知a 1＝4，a 5＝2，求a 2＋a 3＋a 4的值.由等差数列的性质可知a 2＋a 4＝a 1＋a 5＝6，a 3＝a 1＋a 52＝3， 则a 2＋a 3＋a 4＝9，即中间三尺共重9斤.思维升华 我国古代数学涉及等差、等比数列的问题很多，解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，掌握等差、等比数列的概念、通项公式和前n 项和公式.跟踪训练3 中国人在很早就开始研究数列，中国古代数学著作《九章算术》、《算法统宗》中都有大量古人研究数列的记载.现有数列题目如下：数列{a n }的前n 项和S n ＝14n 2，n ∈N ＋，等比数列{b n }满足b 1＝a 1＋a 2，b 2＝a 3＋a 4，则b 3等于( )A.4B.5C.9D.16答案 C解析 由题意可得b 1＝a 1＋a 2＝S 2＝14×22＝1， b 2＝a 3＋a 4＝S 4－S 2＝14×42－14×22＝3， 则等比数列{b n }的公比q ＝b 2b 1＝31＝3， 故b 3＝b 2q ＝3×3＝9.1.(2018·包头模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝－a n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若f (x )＝12log x ，设b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和T n .解 (1)由S n ＝－a n ＋1得S n ＋1＝－a n ＋1＋1，两式相减得，S n ＋1－S n ＝－a n ＋1＋a n ，即 a n ＋1＝－a n ＋1＋a n ，即 a n ＋1a n ＝12(n ≥1)， 所以数列{a n }是公比为12的等比数列， 又由a 1＝－a 1＋1得a 1＝12， 所以a n ＝a 1q n －1＝⎝⎛⎭⎫12n .(2)因为b n ＝f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a n )＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2， 所以1b n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1， 所以T n ＝2⎝⎛⎭⎫11－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1 ＝2⎝⎛⎭⎫1－1n ＋1＝2n n ＋1.2.已知等差数列{a n }的公差d ≠0，a 1＝0，其前n 项和为S n ，且a 2＋2，S 3，S 4成等比数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(2n ＋2)22n ＋S n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n －2n <32. (1)解 由a 1＝0得a n ＝(n －1)d ，S n ＝n (n －1)d 2， 因为a 2＋2，S 3，S 4成等比数列，所以S 23＝(a 2＋2)S 4，即(3d )2＝(d ＋2)·6d ，整理得3d 2－12d ＝0，即d 2－4d ＝0，因为d ≠0，所以d ＝4，所以a n ＝(n －1)d ＝4(n －1)＝4n －4.(2)证明 由(1)可得S n ＋1＝2n (n ＋1)，所以b n ＝(2n ＋2)22n ＋2n (n ＋1)＝4(n ＋1)22n (n ＋2)＝2＋2n (n ＋2)＝2＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2， 所以T n ＝2n ＋⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫12－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2 ＝2n ＋1＋12－1n ＋1－1n ＋2， 所以T n －2n <32. 3.已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx 的图象过点(－4n ，0)，且f ′(0)＝2n ，n ∈N ＋，数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′⎝⎛⎭⎫1a n ，且a 1＝4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)f ′(x )＝2ax ＋b ，由题意知b ＝2n ，16n 2a －4nb ＝0，∴a ＝12，则f (x )＝12x 2＋2nx ，n ∈N ＋.数列{a n }满足1a n ＋1＝f ′⎝⎛⎭⎫1a n ，又f ′(x )＝x ＋2n ，∴1a n ＋1＝1a n ＋2n ，∴1a n ＋1－1a n＝2n ，由累加法可得1a n －14＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝n 2－n ， 化简可得a n ＝4(2n －1)2(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝4也符合，∴a n ＝4(2n －1)2(n ∈N ＋).(2)∵b n ＝a n a n ＋1＝4(2n －1)(2n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝2⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1＝2⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝4n 2n ＋1. 4.已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2.(1)求数列{x n }的通项公式；(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1,1)，P 2(x 2,2)，…，P n ＋1(x n ＋1，n ＋1)得到折线P 1P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T n . 解 (1)设数列{x n }的公比为q .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 1q ＝3，x 1q 2－x 1q ＝2. 所以3q 2－5q －2＝0，由已知得q >0，所以q ＝2，x 1＝1.因此数列{x n }的通项公式为x n ＝2n －1. (2)过P 1，P 2，…，P n ＋1向x 轴作垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1. 由(1)得x n ＋1－x n ＝2n －2n －1＝2n －1， 记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n ，由题意得b n ＝(n ＋n ＋1)2×2n －1＝(2n ＋1)×2n －2， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝3×2－1＋5×20＋7×21＋…＋(2n －1)×2n －3＋(2n ＋1)×2n －2，① 则2T n ＝3×20＋5×21＋7×22＋…＋(2n －1)×2n －2＋(2n ＋1)×2n －1，② 由①－②，得－T n ＝3×2－1＋(2＋22＋…＋2n －1)－(2n ＋1)×2n －1 ＝32＋2(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)×2n －1. 所以T n ＝(2n －1)×2n ＋12.5.(2019·盘锦模拟)若正项数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1＝1，点P (S n ，S n ＋1)在曲线y ＝(x ＋1)2上.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)设b n ＝1a n ·a n ＋1，T n 表示数列{b n }的前n 项和，若T n ≥a 恒成立，求T n 及实数a 的取值范围.解 (1)由S n ＋1＝(S n ＋1)2，得S n ＋1－S n ＝1， 所以数列{S n }是以S 1为首项，1为公差的等差数列， 所以S n ＝S 1＋(n －1)×1，即S n ＝n 2，由公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2， 得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －1，n ≥2，所以a n ＝2n －1. (2)因为b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1， 所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1， 显然T n 是关于n 的增函数，所以T n 有最小值(T n )min ＝T 1＝12×⎝⎛⎭⎫1－13＝13. 由于T n ≥a 恒成立，所以a ≤13， 于是a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，13.6.已知各项均不相等的等差数列{a n }的前三项和为9，且a 1，a 3，a 7恰为等比数列{b n }的前三项.(1)分别求数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为K n ，设c n ＝S n T n K n，求证：c n ＋1>c n (n ∈N ＋). (1)解 设数列{a n }的公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝9，(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝0(舍去)， 所以a n ＝n ＋1，S n ＝n (n ＋3)2. 又b 1＝a 1＝2，b 2＝a 3＝4，所以b n ＝2n ，T n ＝2n ＋1－2. (2)证明 因为a n ·b n ＝(n ＋1)·2n ，所以K n ＝2·21＋3·22＋…＋(n ＋1)·2n ，① 所以2K n ＝2·22＋3·23＋…＋n ·2n ＋(n ＋1)·2n ＋1，② ①－②得－K n ＝2·21＋22＋23＋…＋2n －(n ＋1)·2n ＋1， 所以K n ＝n ·2n ＋1. 则c n ＝Sn T n K n ＝(n ＋3)(2n －1)2n ＋1，c n ＋1－c n ＝(n ＋4)(2n ＋1－1)2n ＋2－(n ＋3)(2n －1)2n ＋1 ＝2n ＋1＋n ＋22n ＋2>0，所以c n ＋1>c n (n ∈N ＋).。
考点32 数列的综合问题1．（北京市房山区2019年高考第一次模拟测试理）《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间为（）（结果精确到0.1．参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771．）A．天B．天C．天D．天【答案】C【解析】设蒲的长度组成等比数列{a n}，其a1=3，公比为，其前n项和为A n，则A n=.莞的长度组成等比数列{b n}，其b1=1，公比为2，其前n项和为B n．则B n，由题意可得：，整理得：2n+=7，解得2n=6，或2n=1（舍去）．∴n=≈2.6．∴估计2.6日蒲、莞长度相等.故选：C．2．（新疆乌鲁木齐市2018届高三第三次诊断性测验）已知数列，满足，，，则数列的前10项的和为A．B．C．D．【答案】D【解析】由a n+1﹣a n2，所以数列{a n}是等差数列，且公差是2，{b n}是等比数列，且公比是2．又因为＝1，所以a n ＝+（n ﹣1）d ＝2n ﹣1． 所以b 2n ﹣1＝•22n ﹣2＝22n ﹣2．设，所以＝22n ﹣2，所以4，所以数列{∁n }是等比数列，且公比为4，首项为1．由等比数列的前n 项和的公式得：其前10项的和为（410﹣1）．故选：D ．3．（安徽省“皖南八校”2018届高三第三次（4月)联考）删去正整数数列 中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2018项是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】由题意可得，这些数可以写为：，第个平方数与第个平方数之间有个正整数，而数列共有项，去掉个平方数后，还剩余个数，所以去掉平方数后第项应在后的第个数，即是原来数列的第项，即为，故选B.4．（华大新高考联盟2018届高三上学期11月教学质量测评理）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,3123S a a =+，则42S S =（ ） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B 【解析】由3123S a a =+可得312a a =，所以22q =，又因为2123434421212113a a a a a a S q S a a a a ++++==+=+=++，所以选B.5．（湖南省2017届高三高考冲刺预测卷六理）最近各大城市美食街火爆热开，某美食店特定在2017年元旦期间举行特大优惠活动，凡消费达到88元以上者，可获得一次抽奖机会.已知抽奖工具是一个圆面转盘，被分为6个扇形块，分别记为1，2，3，4，5，6，其面积成公比为3的等比数列（即扇形块2是扇形块1面积的3倍），指针箭头指在最小的1区域内时，就中“一等奖”，则一次抽奖抽中一等奖的概率是（ ） A ．140B ．1121C ．1364D ．11093【答案】C 【解析】由题意，可设1,2,3,4,5,6 扇形区域的面积分别为,3,9,27,81,243x x x x x x ，则由几何概型得，消费88 元以上者抽中一等奖的概率1392781243364x P x x x x x x ==+++++ ，故选C. 6．（湖北省钟祥市2019届高三高考第一次模拟考试理）对于实数x ，[x]表示不超过x 的最大整数，已知正数列{a n }满足S n =12（a n n 1a +），n ∈N*，其中S n 为数列{a n }的前n 项的和，则[12121111S S S ++⋯+]=______．【答案】20 【解析】由题可知0n S >，当1n >时，1111[()]2n n n n n S S S S S --=-+-化简可得2211n n S S --=，当22111,1n S a === 所以数列2{}n S 是以首项和公差都是1的等差数列，即2n n S n S =∴=又1n >时，22nS =<<=记12121111S S S S =++一方面21]1)20S >-=>另一方面1(21)]11)21S <+++-=+=所以2021S << 即[]20S = 故答案为207．（北京市朝阳区2019届高三第一次（3月)综合练习一模）天坛公园是明、清两代皇帝“祭天”“祈谷”的场所．天坛公园中的圜丘台共有三层（如图1所示），上层坛的中心是一块呈圆形的大理石板，从中心向外围以扇面形石（如图2所示）．上层坛从第一环至第九环共有九环，中层坛从第十环至第十八环共有九环，下层坛从第十九环至第二十七环共有九环；第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块，则第二十七环的扇面形石块数是______；上、中、下三层坛所有的扇面形石块数是_______．【答案】243 3402 【解析】第一环的扇面形石有9块，从第二环起，每环的扇面形石块数比前一环多9块， 则依题意得：每环的扇面形石块数是一个以9为首项，9为公差的等差数列， 所以，a n ＝9＋（n －1）×9＝9n ， 所以，a 27＝9×27＝243， 前27项和为：1272727()27(9243)22a a S ++==＝3402.格谦教育收集整理，更多优惠资料请搜索淘宝店铺：格谦教育 https://8．（江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试）在数列{a n }中，若a 4＝1，a 12＝5，且任意连续三项的和都是15，则a 2018＝______． 【答案】9【解析】分析：将a n +a n+1+a n+2=15中n 换为n+1，可得数列{a n }是周期为3的数列．求出a 2，a 1，即可得到a 2018详解：由题意可得a n +a n+1+a n+2=15，将n 换为a n+1+a n+2+a n+3=15，可得a n+3=a n ，可得数列{a n 是周期为3的数列．故，由a n +a n+1+a n+2=15，n 取1可得，故，故答案为9.9．（湖北省武昌2018届元月调研考试）对任一实数序列，定义新序列，它的第项为，假设序列的所有项都是，且，则__________．【答案】100. 【解析】 设序列的首项为，则序列，则它的第n 项为，因此序列A 的第项，则是关于的二次多项式，其中的系数为，因为，所以必有，故。
第二章 数列与不等式专题 数列与不等式的综合问题纵观近几年的高考命题，考查常以数列的相关项以及关系式，或数列的前n 项和与第n 项的关系入手，结合数列的递推关系式与等差数列或等比数列的定义展开，求解数列的通项、前n 项和，有时与参数的求解、数列不等式的证明等加以综合．数列与不等式的结合,一般有两类题:一是利用基本不等式求解数列中的最值;二是与数列中的求和问题相联系,证明不等式或求解参数的取值范围,此类问题通常是抓住数列通项公式的特征,多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式,求解参数的取值范围. 本专题通过例题说明此类问题解答规律与方法.①函数方法：即构造函数，通过函数的单调性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；②放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到； ③比较方法：作差或者作商比较．【压轴典例】例1.（2013·全国高考真题（理））设△A n B n C n 的三边长分别为a n ,b n ,c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n=1,2,3,… 若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝2n n c a +，c n ＋1＝2n nb a +，则( ) A ．{S n }为递减数列 B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列 【答案】B 【解析】因为11b c >，不妨设111142,33a a b c ==，13()22p a b c a =++=；故211S ==； 21a a =，112125326a ab a +==，112147326a a c a +==，2216S a ==； 显然21S S >；同理，31a a =，112159428a a b a +==，113137428a a c a +==，231S ==，显然32S S >.例2. （2018·江苏高考真题）已知集合*{|21,}A x x n n N ==-∈，*{|2,}n B x x n N ==∈．将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为________． 【答案】27 【解析】设=2kn a ，则12[(211)+(221)+(221)][222]k k n S -=⨯-⨯-+⋅-++++()11221212212(12)222212k k kk k ---++⨯--=+=+--由112n n S a +>得2211211522212(21),(2)20(2)140,22,6k k k k k k k -+---+->+-->≥≥ 所以只需研究5622n a <<是否有满足条件的解，此时25[(211)+(221)+(21)][222]n S m =⨯-⨯-+-++++25122m +=+-，+121n a m =+，m 为等差数列项数，且16m >. 由25122212(21),2450022,527m m m m m n m ++->+-+>∴≥=+≥，得满足条件的n 最小值为27. 例3.（2018·浙江高考模拟）设数列的前项和分别为，其中，使成立的最大正整数__________,__________．【答案】 6. 114. 【解析】根据题意，数列{a n }中，a n =-3n+20，则数列{a n }为首项为17，公差为-3的等差数列，且当n≤6时，a n ＞0，当n ＞7时，a n ＜0，又由b n =|a n |，当n≤6时，b n =a n ，当n ＞7时，b n =-a n ， 则使T n =S n 成立的最大正整数为6，T 2018+S 2018=（a 1+a 2+……+a 6+a 7+a 8+……+a 2018）+（b 1+b 2+……+b 6+b 7+b 8+……+b 2018）=（a 1+a 2+……+a 6+a 7+a 8+……+a 2018）+（a 1+a 2+……+a 6-a 7-a 8-……-a 2018） =2（a 1+a 2+……+a 6）=，故答案为：6，114 例4.（2019·江西师大附中高考模拟（文））数列{}n a 中的项按顺序可以排成如图的形式，第一行1项，排1a ；第二行2项，从左到右分别排2a ，3a ；第三行3项，……依此类推，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，则满足2019n S >的最小正整数n 的值为（ ）A ．20B ．21C ．26D ．27【答案】B 【解析】第一行为4，其和为4，可以变形为：1232T =⨯-；第二行为首项为4，公比为3的等比数列，共2项，其和为：()22241323213T -==⨯--；第三行为首项为4，公比为3的等比数列，共3项，其和为()33341323213T -==⨯--；依此类推：第n 行的和：232nn T =⨯-；则前6行共：12345621+++++=个数 前6行和为：()()()()26267212322322322333123152172S =⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-=⨯++⋅⋅⋅+-=-=满足2019n S >而第六行的第6个数为：543972⨯=，则202197212002019S S =-=<∴满足2019n S >的最小正整数n 的值为：21本题正确选项：B例5.（2019·内蒙古高考模拟（理））数列()11n a n n =+的前n 项和为n S ，若1S ，m S ，n S 成等比数列()1m >，则正整数n 值为______. 【答案】8 【解析】∵()11111n a n n n n ==-++，∴11111122311n nS n n n =-+-++-=++， 又1S ，m S ，n S 成等比数列()1m >，∴()21m n S S S =⋅， 即()221211m n n m =⋅++，()22211m n n m =++， ∴()2221m m <+，即2210m m --<，解得1212m -<<+，结合1m 可得2m =， ∴8n =，故答案为8.例6.（2016·天津高考真题（理））已知{}是各项均为正数的等差数列，公差为d ，对任意的，是和的等比中项.（Ⅰ）设求证：数列{}是等差数列；（Ⅱ）设求证：【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）详见解析 【解析】（Ⅰ）证明：由题意得，有，因此，所以是等差数列.（Ⅱ）证明：所以.例7.（2016·四川高考真题（理））已知数列{}的首项为1，为数列{}的前n 项和，，其中q>0，.（Ⅰ）若成等差数列，求数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设双曲线的离心率为，且，证明：.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）由已知，两式相减得到.又由得到，故对所有都成立.所以，数列是首项为1，公比为q的等比数列.从而.由成等差数列，可得，即，则，由已知,，故.所以.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，.所以双曲线的离心率.由解得.因为，所以.于是，故.例8.（2016·浙江高考真题（理））设数列满足，．（Ⅰ）证明：，；（Ⅱ）若，，证明：，．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析．【解析】（Ⅰ）由得，故，，所以，因此．（Ⅱ）任取，由（Ⅰ）知，对于任意，，故．从而对于任意，均有．由的任意性得．①否则，存在，有，取正整数且，则，与①式矛盾．综上，对于任意，均有．【压轴训练】1.（2019·安徽高考模拟（理））设是等差数列，下列结论一定正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C【解析】若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3＝2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；对于B选项，当，分别为-4，-1，2时，满足a1+a3＜0，但a2+a3＝1>0，故B不正确；又{a n }是等差数列，0＜a 1＜a 2，2a 2＝a 1+a 3＞2，∴a 2，即C 正确；若a 1＜0，则（a 2﹣a 1）（a 2﹣a 3）＝﹣d 2≤0，即D 不正确． 故选：C ．2．（2018·浙江高考模拟）已知等差数列的前项和是，公差不等于零，若成等比数列，则A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 由成等比数列．可得，可得（，即，∵公差不等于零，故选：C ．3．（2019·山东高考模拟（文））已知正项等比数列{}n a 满足5432a a a +=，若存在两项m a ，n a ，使得18m n a a a =，则91m n+的最小值为__________． 【答案】2 【解析】正项等比数列{}n a 满足5432a a a +=， 432111=+2a q a q a q ∴，整理，得210+2q q -=，又0q >，解得，12q =， 存在两项m a ，n a 使得18m n a a a =， 2221164m n a q a +-∴=，整理，得8m n +=，∴9119119()()(10)88m n m n m n m n n m +=++=++ 19(102)28m n n m+=， 则91m n+的最小值为2． 当且仅当9m n n m=取等号，又m ，*n N ∈．8m n +=， 所以只有当6m =，2n =时，取得最小值是2． 故答案为：24．（2019·湖南师大附中高考模拟（理））已知等比数列{a n }的前n 项积为T n ，若124a =-，489a =-，则当T n 取最大值时，n 的值为_____. 【答案】4 【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，因为124a =-，489a =-，可得341127a q a ==，解得13q =，则()()()1112312(2131)(32424)n n nnn n n T a a a a q-+++⋅⋅⋅+-=⋅⋅⋅=-=-， 当T n 取最大值时，可得n 为偶数，函数13xy =（）在R 上递减， 又由2192T =，4489T =，66983T =，可得246T T T <>，当6n >，且n 为偶数时，6n T T <， 故当4n =时，T n 取最大值.5．（2019·安徽高考模拟（理））已知数列的各项均为正数，记为的前项和，若，，则使不等式成立的的最小值是________.【答案】11 【解析】由可得，则（）（）=0，又数列的各项均为正数，∴，即，可得数列{a n }是首项为公比为q ＝2的等比数列，∴,则n>10，又，∴n 的最小值是11，故答案为11.6．（2019·甘肃天水一中高考模拟（文））已知数列{}n a 满足11a =，0n a >，11n n a a +=，那么32n a <成立的n 的最大值为______ 【答案】5 【解析】11n n a a +=， 所有{}na 11a =，公差d 1=n n a =，2n a n = 解232n a n =<，得n 42<所以32n a <成立的n 的最大值为5 故答案为：57．（2019·河北高考模拟（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2119*2n n n nS S n N +-+=∈，若24a <-，则n S 取最小值时n =__________.【答案】10 【解析】由21192n n n nS S +-+=，()21(1)1912n n n n S S ----+=，两式作差可得：1110(2)n n S S n n +--=-≥，即110(2)n n a a n n ++=-≥，由110n na a n ++=-，219n n a a n +++=-，两式作差可得：21(2)n n a a n +-=≥，则328a a +=-，24a <-，故234a a <-<，进一步可得：4567891011,,,a a a a a a a a <<<<，又10110a a +=，则10110a a <<，且111212130a a a a <+<+<，则n S 取最小值时10n =.8．（2019·河南高考模拟（理））记首项为11(0)a a >，公差为d 的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1212a d =-，且1n n n S a S λ+≤+，则实数λ的取值范围为__________． 【答案】19,121⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】由1n n n S a S λ+≤+，得11n n n n S S a a λ++-=≤. 因为10a >，所以0d <，()12312n a a n d n d ⎛⎫=+-=-⎪⎝⎭. 所以当111n ≤≤时，0n a >，当12n ≥时，0n a <. （1）当111n ≤≤时，由1n n a a λ+≥得1211223n n n n n a a d d a a a n λ++≥==+=+-. 因为221911223212321n +≤+=-⨯-，所以1921λ≥.（2）当12n ≥时，由1n n a a λ+≥得121223n n a a n λ+≤=+-. 因为211223n +>-，所以1λ≤.综上所述，λ的取值范围是19,121⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 9．（2019·四川重庆南开中学高考模拟（理））在正项递增等比数列{}n a 中，51a =，记12...n n S a a a =+++，12111...n nT a a a =+++，则使得n n S T ≤成立的最大正整数n 为__________． 【答案】9【解析】由题得11111(1)(1)(1)11(1)1n nn nq q a q a q q q a q q--⋅-≤=---，因为数列是正项递增等比数,所以10,1a q >>，所以2111n a q -≤.因为51a =，所以44281111,,a q a q a q --=∴=∴=，所以81901,,9n n q qq q n ---⋅≤∴≤∴≤.所以使得n n S T ≤成立的最大正整数n 为9. 故答案为：910．（2017·吉林高考模拟（理））已知数列{}n a 满足()113,31.2n n a a a n N *+==-∈ （1）若数列{}n b 满足12n n b a =-，求证：{}n b 是等比数列； （2）若数列{}n c 满足312log ,n n n n c a T c c c ==+++，求证：()1.2n n n T ->【答案】(1) 见解析；(2)见解析. 【解析】(1) 由题可知()*n N∈，从而有13n n b b +=，11112b a =-=，所以{}n b 是以1为首项，3为公比的等比数列.(2) 由(1)知13n n b -=，从而1132n n a -=+，11331log 3log 312n n n c n --⎛⎫=+>=- ⎪⎝⎭，有()12101212n n n n T c c c n -=+++>+++-=，所以()12n n n T ->.11．（2019·江苏金陵中学高考模拟）已知各项均为正整数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：S n ﹣1+ka n ＝ta n 2﹣1，n≥2，n∈N *（其中k ，t 为常数）．（1）若k ＝12，t ＝14，数列{a n }是等差数列，求a 1的值； （2）若数列{a n }是等比数列，求证：k ＜t ． 【答案】（1）a 1＝（2）见解析 【解析】（1）∵k＝12，t ＝14，∴2111124n n n S a a -+=-（n≥2），设等差数列{a n }的公差为d ，令n ＝2，则212211a a a 124+=-，令n ＝3，则2123311124a a a a ++=-，两式相减可得：()()()2332321124a a a a a a +=+-，∵a n ＞0，∴a 3﹣a 2＝2＝d ．由212211124a a a +=-，且d ＝2，化为2112a a -﹣4＝0，a 1＞0．解得a 1＝（2）∵S n ﹣1+ka n ＝ta n 2﹣1①，n≥2，n∈N *，所以S n +ka n+1＝2n 1ta +﹣1②， ②-①得a n +ka n+1﹣ka n ＝2n 1ta +﹣2n ta ，∴a n ＝（a n+1﹣a n ）[t （a n+1+a n ）﹣k]， 令公比为q ＞0，则a n+1＝a n q ，∴（q ﹣1）k+1＝ta n （q 2﹣1）， ∴1＝（q ﹣1）[ta n （q+1）﹣k]；∵对任意n≥2，n∈N *， 1＝（q ﹣1）[ta n （q+1）﹣k]成立；∴q≠1，∴a n 不是一个常数； ∴t＝0，∴S n ﹣1+ka n ＝﹣1，且{a n }是各项均为正整数的数列，∴k＜0， 故k ＜t ．12．（2019·天津高考模拟（理））已知单调等比数列{}n a ，首项为12，其前n 项和是n S ，且3312a S +，5S ，44a S +成等差数列，数列{}n b 满足条件1231(2)n b na a a a =（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设1n n nc a b =-，记数列{}n c 的前n 项和是n T . ①求n T ；②求正整数k ，使得对任意*n N ∈，均有k n T T ≥.【答案】(1)12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(1)n b n n =+；(2)①.1112n n T n =-+；②.4k =. 【解析】(1)设11n n a a q -=.由已知得53344122S a S a S =+++，即5341222S a S =+， 进而有()543122S S a -=.所以53122a a =，即214q =，则12q =±.由已知数列{}n a 是单调等比数列，且112a =，所以取12q =.数列{}n a 的通项公式为12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 1231(2)n b na a a a =，(1)2322222222n b n nn+∴⨯⨯⨯⨯==，则(1)n b n n =+.即数列{}n b 的通项公式为(1)n b n n =+. (2)①.由(1)可得：1111112(1)21n n n n n c a b n n n n ⎛⎫=-=-=-- ⎪++⎝⎭， 分组求和可得：1111112112n n nT n n ⎛⎫=---=- ⎪++⎝⎭. ②由于11111111(1)(2)222122(1)(2)n n n n n n n n T T n n n n ++++++--=--+=++++， 由于12n +比()()12n n ++变化快，所以令10n n T T +->得4n <. 即1234,,,T T T T 递增，而456,,n T T T T 递减.所以，4T 最大.即当4k =时，k n T T ≥.13．（2019·安徽高考模拟（文））已知数列为等差数列，且公差，其前项和为，，且，，成等比数列. （1）求等差数列的通项公式；（2）设，记数列的前项和为，求证.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】 （1）由题意得： ，解得：，∴（2）由（1）得，∴ ∴14．（2019·广东高考模拟（理））已知数列{}n a 满足11*121(22)2()n n n a a a n N n-++++=∈.（1）求12,a a 和{}n a 的通项公式；（2）记数列{}n a kn -的前n 项和为n S ，若4n S S ≤对任意的正整数n 恒成立，求实数k 的取值范围． 【答案】(1) 1a 4= 26;a = 22n a n =+ (2) 125[,].52【解析】(1)由题意得111222?2n n n a a a n -++++=，所以23112124,222,a a a =⨯=+=⨯得26;a =由111222?2n n n a a a n -++++=,所以()2121221?2n n n a a a n --+++=-（2n ≥），相减得()1+12?21?2n n n n a n n -=--，得22,1n a n n =+=当也满足上式. 所以{}n a 的通项公式为22n a n =+.(2)数列{}n a kn -的通项公式为()2222,n a kn n kn k n -=+-=-+ 是以4k -为首项,公差为2k -的等差数列,若4n S S ≤对任意的正整数n 恒成立，等价于当4n =时,n S 取得最大值,所以()()4544220,55220.a k k a k k ⎧-=-+≥⎪⎨-=-+≤⎪⎩解得125.52k ≤≤ 所以实数k 的取值范围是125,.52⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 15.（2017·浙江高考模拟）已知无穷数列{}n a 的首项112a =，*1111,2n n n a n N a a +⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭. （Ⅰ）证明： 01n a <<；（Ⅱ） 记()211n n nn n a a b a a ++-=， n T 为数列{}n b 的前n 项和，证明：对任意正整数n ， 310n T <. 【答案】(Ⅰ)见解析；(Ⅱ)见解析. 【解析】（Ⅰ）证明：①当1n =时显然成立；②假设当n k = ()*k N ∈时不等式成立，即01k a <<， 那么当1n k =+时，11112k k k a a a +⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ > 1·12=，所以101k a +<<， 即1n k =+时不等式也成立.综合①②可知， 01n a <<对任意*n N ∈成立. （Ⅱ）12211n n n a a a +=>+，即1n n a a +>，所以数列{}n a 为递增数列. 又1111112n n n n n a a a a a +⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭ 112n n a a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，易知1n n a a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为递减数列， 所以111nn a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭也为递减数列， 所以当2n ≥时，111n n a a +-22112a a ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭154245⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 940= 所以当2n ≥时， ()211n n nn n a a b a a ++-== ()()11111940n n n n n n a a a a a a +++⎛⎫--<- ⎪⎝⎭当1n =时， 11934010n T T b ===<，成立； 当2n ≥时， 12n n T b b b =+++ < ()()()32431994040n n a a a a a a +⎡⎤+-+-++-⎣⎦()12994040n a a +=+- ()2999942731140404040510010a ⎛⎫<+-=+-=< ⎪⎝⎭ 综上，对任意正整数n ， 310n T <16.（2017·浙江高考模拟）已知数列{}n a 满足： 11p ap +=， 1p >， 11ln n n na a a +-=.（1）证明： 11n n a a +>>； （2）证明：12112n nn n a a a a ++<<+； （3）证明：()1211121121ln 122n n n n n a a a p p ----⨯<⋯<⨯+. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析. 【解析】（1）先用数学归纳法证明1n a >. ①当1n =时，∵1p >，∴111p a p+=>； ②假设当n k =时， 1k a >，则当1n k =+时， 1111ln 1k k k k k a a a a a +--=>=-. 由①②可知1n a >. 再证1n n a a +>.111ln ln ln n nn nn n n n na a a a a a a a a +----=-=， 令()1ln f x x x x =--， 1x >，则()'ln 0f x x =-<， 所以()f x 在()1,+∞上单调递减，所以()()10f x f <=，所以1ln 0ln n n nna a a a --<，即1n n a a +>.（2）要证12112n nn n a a a a ++<<+，只需证2111ln 2n n n n n a a a a a -+<<+， 只需证()2210,{1220,n n n n n na lna a a lna a -+<+-+>其中1n a >， 先证22ln 10n n n a a a -+<，令()22ln 1f x x x x =-+， 1x >，只需证()0f x <. 因为()()'2ln 2221220f x x x x x =+-<-+-=， 所以()f x 在()1,+∞上单调递减，所以()()10f x f <=. 再证()1ln 220n n n a a a +-+>，令()()1ln 22g x x x x =+-+， 1x >，只需证()0g x >，()11'ln 2ln 1x g x x x x x +=+-=+-， 令()1ln 1h x x x =+-， 1x >，则()22111'0x h x x x x -=-=>，所以()h x 在()1,+∞上单调递增，所以()()10h x h >=，从而()'0g x >，所以()g x 在()1,+∞上单调递增，所以()()10g x g >=， 综上可得12112n nn n a a a a ++<<+. （3）由（2）知，一方面， 1112n n a a ---<，由迭代可得()1111111122n n n a a p --⎛⎫⎛⎫-<-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，因为ln 1x x ≤-，所以111ln 12n n n a a p -⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，所以()1212ln ln ln ln n n a a a a a a ⋯=++⋯+ 0111111222n p -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<++⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 111112121212nn n p p -⎛⎫- ⎪-⎝⎭=⨯=⨯-；另一方面，即11112n n n na a a a ++-->， 由迭代可得111111111212n n nn a a a a p ----⎛⎫⎛⎫>⨯= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭.因为1ln 1x x ≥-，所以1ln 1n n a a ≥- 11112n p -⎛⎫> ⎪+⎝⎭，所以()01112121111ln ln ln ln 1222n n n a a a a a a p -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋯=++⋯+>⨯++⋯+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦112112n n p --=⨯+；综上，()1211121121ln 122n n n n n a a a p p ----⨯<⋯<⨯+.。
专项强化练(九) 数 列A 组题型一 等差、等比数列的基本运算1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＝7，S 7＝－7，则a 7的值为________． 解析：因为等差数列{a n }满足a 2＝7，S 7＝－7，所以S 7＝7a 4＝－7，a 4＝－1，所以d ＝a 4－a 24－2＝－4，所以a 7＝a 2＋5d ＝－13.答案：－132．(2018·盐城高三模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n ＋n (n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.解析：S n ＝2a n ＋n (n ∈N *) ①，当n ＝1时，得a 1＝－1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋n －1 ②，①－②，得a n ＝2a n －2a n －1＋1(n ≥2)，即a n －1＝2(a n －1－1)(n ≥2)，则数列{a n －1}是以－2为首项，2为公比的等比数列，则a n －1＝－2×2n －1＝－2n，a 1＝－1符合上式．所以数列{a n }的通项公式为a n ＝1－2n.答案：1－2n3．已知等比数列{a n }的各项均为正数，若a 4＝a 22，a 2＋a 4＝516，则a 5＝________.解析：法一：设等比数列{a n }的首项为a 1(a 1>0)，公比为q (q >0)，由题意⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝a 1q2，a 1q ＋a 1q 3＝516，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，q ＝12，所以a 5＝a 1q 4＝132.法二：(整体思想)依题意由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 22，a 2＋a 4＝516，得16a 22＋16a 2－5＝0，即(4a 2＋5)(4a 2－1)＝0，又等比数列{a n }各项均为正数，所以a 2＝14，从而a 4＝116，从而由q 2＝a 4a 2＝14，又q >0，所以q ＝12，a 5＝a 4q ＝116×12＝132.答案：132[临门一脚]1．等差、等比数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．2．在等差、等比混合后考查基本量的计算容易造成公式和性质混淆，从而造成计算失误．3．等差、等比数列的通项公式：等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝a m ＋(n －m )d ；等比数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1qn －1＝a m qn －m(a 1≠0，q ≠0)．4．等差、等比数列的前n 项和： (1)等差数列的前n 项和为：S n ＝n a 1＋a n2＝na 1＋n n －12d ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n (二次函数)．特别地，当d ≠0时，S n 是关于n 的二次函数，且常数项为0，即可设S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数)．(2)等比数列的前n 项和为：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 11－q n 1－q＝a 1－a n q1－q ，q ≠1，特别地，若q ≠1，设a ＝a 11－q，则S n ＝a －aq n，要注意对q 是否等于1讨论．题型二 等差、等比数列的性质1．(2019·东台中学模拟)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 3＋a 6＋a 12＝2 019，则S 13＝________.解析：法一：设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＋a 6＋a 12＝2 019，所以(a 1＋2d )＋(a 1＋5d )＋(a 1＋11d )＝2 019，即a 1＋6d ＝673，所以S 13＝13a 1＋a 132＝13[a 1＋a 1＋12d ]2＝13(a 1＋6d )＝8 749.法二：因为a 3＋a 6＋a 12＝2 019，所以3a 7＝2 019，所以a 7＝673，所以S 13＝13a 1＋a 132＝13a 7＝8 749.答案：8 7492．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝________.解析：设S 2＝k ，S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，∴S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73. 答案：733．若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.解析：因为a 10a 11＋a 9a 12＝2a 10a 11＝2e 5，所以a 10a 11＝e 5.所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1a 2…a 20)＝ln[(a 1a 20)·(a 2a 19)·…·(a 10a 11)]＝ln(a 10a 11)10＝10ln(a 10a 11)＝10ln e 5＝50ln e ＝50.答案：504．已知数列{a n }是等差数列，且a n >0，若a 1＋a 2＋…＋a 100＝500，则a 50·a 51的最大值为________．解析：法一：设等差数列{a n }的公差为d (d ≥0)，由题意得，100a 1＋4 950d ＝500，所以a 1＝5－49.5d ，所以a 50·a 51＝(a 1＋49d )·(a 1＋50d )＝(5－0.5d )·(5＋0.5d )＝－0.25d 2＋25.又d ≥0，所以当d ＝0时，a 50·a 51有最大值25.法二：由等差数列的性质知，50(a 50＋a 51)＝500，即a 50＋a 51＝10，所以由基本不等式得a 50·a 51≤⎝⎛⎭⎪⎫a 50＋a 5122＝25，当且仅当a 50＝a 51＝5时取等号，所以a 50·a 51有最大值25.答案：255．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，若A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是________．解析：由a n b n ＝na n nb n ＝n a 1＋a 2n －12n b 1＋b 2n －12＝A 2n －1B 2n －1＝72n －1＋452n －1＋3＝7n ＋19n ＋1＝7n ＋1＋12n ＋1＝7＋12n ＋1.因此n ∈N *，a n b n∈N *，故n ＋1＝2,3,4,6,12，即n 共有5个． 答案：5 [临门一脚]1．若序号m ＋n ＝p ＋q ，在等差数列中，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ；特别的，若序号m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p ；在等比数列中，则有a m ·a n ＝a p ·a q ；特别的，若序号m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2p ；该性质还可以运用于更多项之间的关系．2．在等差数列{a n }中，S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等差数列，其公差为kd ；其中S n 为前n 项的和，且S n ≠0(n ∈N *)；在等比数列{a n }中，当q ≠－1或k 不为偶数时S k ，S 2k －S k ，S 3k －S 2k ，…成等比数列，其中S n 为前n 项的和(n ∈N *)．题型三 数列的综合问题1．已知等比数列{a n }的前4项和为5，且4a 1，32a 2，a 2成等差数列，若b n ＝1log 23a n ＋1，则数列{b n b n ＋1}的前10项和为________．解析：由4a 1，32a 2，a 2成等差数列，可得4a 1＋a 2＝3a 2，则2a 1＝a 2，则等比数列{a n }的公比q ＝a 2a 1＝2，则数列{a n }的前4项和为a 11－241－2＝5，解得a 1＝13，所以a n ＝13×2n －1，b n＝1log 23a n ＋1＝1n ，则b n b n ＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1，其前10项和为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫110－111＝1011.答案：10112．(2019·苏州中学模拟)对于无穷数列{a n }与{b n }，记A ＝{x |x ＝a n ，n ∈N *}，B ＝{x |x＝b n ，n ∈N *}，若满足条件A ∩B ＝∅且A ∪B ＝N *，则称数列{a n }与{b n }是无穷互补数列．已知数列{a n }满足a 1＝3，且对任意的i ，j ∈N *，都有a i ＋j ＝a i a j ，数列{b n }满足对任意的n ∈N *，都有b n <b n ＋1.若数列{a n }与{b n }是无穷互补数列，则b 2 020＝________.解析：在数列{a n }中，对任意的i ，j ∈N *，都有a i ＋j ＝a i a j ，令i ＝n ，j ＝1，则a n ＋1＝a 1a n .因为a 1＝3，所以a n ＋1＝3a n ，所以数列{a n }是首项为3，公比为3的等比数列，所以a n＝3n .因为36＝729<2 020,37＝2 187>2 020，所以小于等于2 020的正整数中有6个是数列{a n }中的项，所以由无穷互补数列的定义可知b 2 020＝2 020＋6＝2 026.答案：2 0263．(2018·南京四校联考)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝8n －n 2，令b n ＝a n a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，设数列{b n }的前n 项和为T n ，当T n 取得最大值时，n ＝________.解析：法一：当n ＝1时，a 1＝7；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝9－2n ，经检验，n ＝1时也符合，故a n ＝9－2n ，则b n ＝a n a n ＋1a n ＋2＝(9－2n )(7－2n )(5－2n )，当T n 取得最大值时，应满足{b n }的前n 项均为非负项．令b n ≥0得，n ≤2.5或3.5≤n ≤4.5，又n ∈N *，所以n ＝1,2,4，而T 1＝105，T 2＝120，T 4＝120，故当T n 取得最大值时，n ＝2或4.法二：由S n ＝8n －n 2知，数列{a n }为等差数列，且a n ＝9－2n ，即7,5,3,1，－1，－3，－5，－7，…，枚举知，T 1＝105，T 2＝120，T 3＝117，T 4＝120，T 5＝105，…，故当T n 取得最大值时，n ＝2或4.答案：2或44．在等差数列{a n }中，首项a 1＝3，公差d ＝2，若某学生对其中连续10项进行求和，在漏掉一项的前提下，求得余下9项的和为185，则此连续10项的和为________．解析：由已知条件可得数列{a n }的通项公式a n ＝2n ＋1，设连续10项为a i ＋1，a i ＋2，a i ＋3，…，a i ＋10，i ∈N ，设漏掉的一项为a i ＋k,1≤k ≤10，由a i ＋1＋a i ＋10×102－a i ＋k ＝185，得(2i ＋3＋2i ＋21)×5－2i －2k －1＝185，即18i －2k ＝66，即9i －k ＝33，所以34≤9i ＝k ＋33≤43,3<349≤i ≤439<5，所以i ＝4，此时，由36＝33＋k 得k ＝3，所以a i ＋k ＝a 7＝15，故此连续10项的和为200.答案：200 [临门一脚]1．数列求和的方法主要有错位相减法、倒序相加法、公式法、拆项并项法、裂项相消法等．2．根据递推关系式求通项公式的方法有累加法，累积法，待定系数法，取倒数、取对数等．3．数列单调性可以用定义研究，也可以构造函数进行研究，要注意数列和所构造函数的定义域的差别．B 组1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 2＝1，a 4＝5，则S 5＝________.解析：法一：由等差数列的通项公式，得5＝1＋2d ，则d ＝2，a 1＝－1，S 5＝5×(－1)＋5×42×2＝15.法二：S 5＝5a 1＋a 52＝5a 2＋a 42＝5×62＝15. 答案：152．(2019·连云港模拟)已知数列{a n }中，a 1＝a ，a 2＝2－a ，a n ＋2－a n ＝2，若数列{a n }单调递增，则实数a 的取值范围为________．解析：由a n ＋2－a n ＝2可知数列{a n }的奇数项、偶数项分别递增，若数列{a n }单调递增，则必有a 2－a 1＝(2－a )－a ＞0且a 2－a 1＝(2－a )－a ＜a n ＋2－a n ＝2，可得0＜a ＜1，故实数a 的取值范围为(0,1)．答案：(0,1)3．在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 7＝________.解析：法一：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 1＝1，a 3a 5＝4(a 4－1)，所以q 2·q 4＝4(q 3－1)，即q 6－4q 3＋4＝0，q 3＝2，所以a 7＝q 6＝4.法二：设等比数列{a n }的公比为q, 由a 3a 5＝4(a 4－1)得a 24＝4(a 4－1)，即a 24－4a 4＋4＝0，所以a 4＝2，因为a 1＝1，所以q 3＝2，a 7＝q 6＝4.答案：44．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为________． 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4.答案：45．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，公比q ＝3，S 3＋S 4＝533，则a 3＝________.解析：因为等比数列{a n }的公比q ＝3，所以S 3＋S 4＝2S 3＋a 4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13＋19a 3＋3a 3＝539a 3＝533，所以a 3＝3. 答案：36．设公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 10＝________.解析：设等差数列{a n }的公差为d (d ≠0)，由S 3＝a 22得3a 2＝a 22，解得a 2＝0或a 2＝3.又由S 1，S 2，S 4成等比数列可得S 22＝S 1S 4.若a 2＝0，则S 1＝S 2＝a 1≠0，S 2＝S 4＝a 1，a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝0，a 3＝0，则d ＝0，故a 2＝0舍去；若a 2＝3，则S 1＝3－d ，S 2＝6－d ，S 4＝12＋2d ，有(6－d )2＝(3－d )(12＋2d )(d ≠0)，得d ＝2，此时a 10＝a 2＋8d ＝19.答案：197．在等差数列{a n }中，满足3a 4＝7a 7，且a 1>0，S n 是数列{a n }的前n 项和，若S n 取得最大值，则n ＝________.解析：因为3a 4＝7a 7，所以3(a 1＋3d )＝7(a 1＋6d )， 所以a 1＝－334d >0，所以d <0，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝d4(4n －37)，当n ≤9时，a n >0，当n ≥10时，a n <0， 所以使S n 取得最大值的n ＝9. 答案：98．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯________盏．解析：每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n }，则前7项的和S 7＝381，公比q ＝2，依题意，得S 7＝a 11－271－2＝381，解得a 1＝3.答案：39．(2019·泰州中学模拟)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6，则S 2 019＝________. 解析：由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也为等差数列．设其公差为d ，则S 2 0142 014－S 2 0082 008＝6d＝6，∴d ＝1.故S 2 0192 019＝S 11＋2 018d ＝－2 014＋2 018＝4，∴S 2 019＝4×2 019＝8 076.答案：8 07610．设数列{}a n 满足a 1＝1，(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1(n ∈N *)，则∑k ＝1100(a k a k ＋1)的值为________．解析：因为(1－a n ＋1)(1＋a n )＝1，所以a n －a n ＋1－a n a n ＋1＝0，从而1a n ＋1－1a n＝1，1a 1＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以1a n ＝1＋n －1＝n ，所以a n ＝1n，故a n a n＋1＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1，因此∑k ＝1100(a k a k ＋1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1100－1101＝1－1101＝100101. 答案：10010111．已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为________．解析：设数列{a n }的公比为q ，若q ＝1，则S 2m S m ＝2，与题中条件矛盾，故q ≠1.因为S 2mS m＝a 11－q 2m1－q a 11－q m1－q＝q m ＋1＝9，所以q m ＝8.所以a 2m a m ＝a 1q 2m －1a 1q m －1＝q m ＝8＝5m ＋1m －1，所以m ＝3，所以q 3＝8，所以q ＝2.答案：212．(2019·金陵中学模拟)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2 0192 019－S 99＝2 010.若S m ＋S p ＋S r ＝504(正整数m ，p ，r 互不相等)，对于满足条件的m ，p ，r ，m ＋p ＋r 的值构成的集合为________．解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n n －12d ，S n n ＝a 1＋n －12d .因为S 2 0192 019－S 99＝2 010，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋2 019－12d －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1＋9－12d ＝1 005d ＝2 010，所以d ＝2，所以a n ＝2n －1，S n ＝n 2.因为S m ＋S p ＋S r ＝504为偶数，所以m ，p ，r 中有两个奇数、一个偶数或m ，p ，r 均为偶数．①若m ，p ，r 中有两个奇数、一个偶数，不妨设m ＝2x ＋1，p ＝2y ＋1，r＝2z ，其中x ，y ∈N ，z∈N *，则(2x ＋1)2＋(2y ＋1)2＋4z 2＝504，所以2(x 2＋x ＋y 2＋y ＋z 2)＝251，等式左边为偶数，右边为奇数，矛盾．②若m ，p ，r 均为偶数，不妨设m ＝2m 1，p ＝2p 1，r ＝2r 1，其中m 1，p 1，r 1∈N *，则m 21＋p 21＋r 21＝126，继续奇偶分析知m 1，p 1，r 1中有两个奇数、一个偶数或m 1，p 1，r 1均为偶数．易得当m 1，p 1，r 1均为偶数时，不成立．当m 1，p 1，r 1中有两个奇数、一个偶数时，不妨设m 1＝2m 2＋1，p 1＝2p 2＋1，r 1＝2r 2，其中m 2，p 2∈N ，r 2∈N *，则m 22＋m 2＋p 22＋p 2＋r 22＝31，因为m 2(m 2＋1)＋p 2(p 2＋1)为偶数，所以r 2为奇数，且r 2的所有可能取值为1,3,5.不妨设0≤m 2<p 2，当r 2＝1时，m 22＋m 2＋p 22＋p 2＝30，得m 2＝0，p 2＝5；当r 2＝3时，m 22＋m 2＋p 22＋p 2＝22，得m 2＝1，p 2＝4；当r 2＝5时，m 22＋m 2＋p 22＋p 2＝6，得m 2＝0，p 2＝2.综上所述，S 2＋S 4＋S 22＝504，S 6＋S 12＋S 18＝504，S 2＋S 10＋S 20＝504.所以对于满足条件的m ，p ，r ，m ＋p ＋r 的值构成的集合为{28,32,36}．答案：{28,32,36}13．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a n >0，若S 6－2S 3＝5，则S 9－S 6的最小值为________． 解析：法一：当q ＝1时，S 6－2S 3＝0，不合题意，所以q ≠1，从而由S 6－2S 3＝5得a 11－q 61－q －2a 11－q 31－q ＝5，从而得a 11－q ＝5－q 6＋2q 3－1＝5－q 3－12<0，故1－q <0，即q >1，故S 9－S 6＝a 11－q 91－q －a 11－q 61－q ＝5－q 3－12·(q 6－q 9)＝5q 6q 3－1，令q 3－1＝t >0，则S 9－S 6＝5t ＋12t＝5⎝⎛⎭⎪⎫t ＋1t＋2≥20，当且仅当t ＝1，即q 3＝2时等号成立． 法二：因为S 6＝S 3(1＋q 3)，所以由S 6－2S 3＝5得S 3＝5q 3－1>0，从而q >1，故S 9－S 6＝S 3(q 6＋q 3＋1)－S 3(q 3＋1)＝S 3q 6＝5q6q 3－1，以下同法一．答案：2014．已知数列{b n }的每一项都是正整数，且b 1＝5，b 2＝7<b 3，数列{a n }是公差为d (d ∈N *)的等差数列，且有a 7＝6，则使得数列{ab n }是等比数列的d 的值为________．解析：法一：ab 1＝a 5＝6－2d ，ab 2＝a 7＝6，易知d ≠3，等比数列{ab n }的公比q ＝66－2d＝33－d ，ab n ＝(6－2d )·⎝ ⎛⎭⎪⎫33－d n －1，又ab n ＝6＋(b n －7)d ，所以6＋(b n －7)d ＝(6－2d )⎝ ⎛⎭⎪⎫33－dn －1，所以6＋(b 3－7)d ＝(6－2d )·⎝⎛⎭⎪⎫33－d 2，即6＋(b 3－7)d ＝183－d ，由b 3>7，得3－d >0，由d ∈N *得d ＝1或2，当d ＝1时，b n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＋1，不合题意，当d ＝2时，b n ＝3n －1＋4，符合题意，所以所求d 的值为2.法二：由数列{ab n }是等比数列得ab 1ab 3＝a 2b 2，而ab n ＝a 7＋(b n －7)d ，所以，由b 1＝5，b 2＝7得，(6－2d )·[6＋(b 3－7)d ]＝36，易知d ≠3，解得b 3－7＝63－d>0，由d ∈N *得，d ＝1或2，当d ＝1时，b n ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1＋1，不合题意，当d ＝2时，b n ＝3n －1＋4，符合题意，所以所求d 的值为2.答案：2。
一、数列多选题1．已知数列0,2,0,2,0,2,，则前六项适合的通项公式为（ ） A ．1(1)n n a =+- B ．2cos 2n n a π= C ．(1)2sin 2n n a π+= D ．1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+-- 答案：AC【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案．【详解】对于选项A ，取前六项得：，满足条件；对于选项B ，取前六项得：，不满足条件；对于选项C ，取前六项得：，解析：AC【分析】对四个选项中的数列通项公式分别取前六项，看是否满足题意，得出答案．【详解】对于选项A ，1(1)n n a =+-取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件；对于选项B ，2cos2n n a π=取前六项得：0,2,0,2,0,2--，不满足条件； 对于选项C ，(1)2sin 2n n a π+=取前六项得：0,2,0,2,0,2，满足条件； 对于选项D ，1cos(1)(1)(2)n a n n n π=--+--取前六项得：0,2,2,8,12,22，不满足条件；故选：AC2．设数列{}n a 满足1102a <<，()1ln 2n n n a a a +=+-对任意的*n N ∈恒成立，则下列说法正确的是（ ）A ．2112a <<B ．{}n a 是递增数列C ．2020312a <<D ．2020314a << 答案：ABD【分析】构造函数，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解.【详解】由，设，则，所以当时，，即在上为单调递增函数，所以函数在为单调递增函数，即，即，所以 ，解析：ABD【分析】构造函数()()ln 2f x x x =+-，再利用导数判断出函数的单调性，利用单调性即可求解.【详解】由()1ln 2n n n a a a +=+-，1102a <<设()()ln 2f x x x =+-，则()11122x f x x x-'=-=--， 所以当01x <<时，0f x ，即()f x 在0,1上为单调递增函数， 所以函数在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为单调递增函数，即()()102f f x f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即()131ln 2ln ln 1222f x <<<+<+=， 所以()112f x << ， 即11(2)2n a n <<≥， 所以2112a <<，2020112a <<，故A 正确；C 不正确； 由()f x 在0,1上为单调递增函数，112n a <<，所以{}n a 是递增数列，故B 正确；2112a <<,所以 23132131113ln(2)ln ln 222234a a a e =+->+>+=+> 因此20202020333144a a a ∴<><>，故D 正确 故选：ABD【点睛】 本题考查了数列性质的综合应用，属于难题.3．已知S n 是等差数列{}n a (n ∈N *)的前n 项和，且S 5>S 6>S 4，以下有四个命题，其中正确的有（ ）A ．数列{}n a 的公差d <0B ．数列{}n a 中S n 的最大项为S 10C ．S 10>0D ．S 11>0答案：AC【分析】由，可得，且，然后逐个分析判断即可得答案【详解】解：因为，所以，且，所以数列的公差，且数列中Sn 的最大项为S5，所以A 正确，B 错误，所以，，所以C 正确，D 错误，故选：AC解析：AC【分析】由564S S S >>，可得650,0a a ，且650a a +>，然后逐个分析判断即可得答案【详解】解：因为564S S S >>，所以650,0a a ，且650a a +>，所以数列的公差0d <，且数列{}n a 中S n 的最大项为S 5，所以A 正确，B 错误，所以110105610()5()02a a S a a +==+>，11111611()1102a a S a +==<， 所以C 正确，D 错误，故选：AC4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，则下列结论一定正确的是（ ） A ．100a =B ．911a a =C ．当9n =或10时，n S 取得最大值D ．613S S = 答案：ABD【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论．【详解】∵等差数列的前项和为，，∴，解得，故，故A 正确；∵，，故有，故B 正确；该数解析：ABD【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式可得19a d =-，结合等差数列的性质，逐一判断即可得出结论．【详解】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1385a a S +=，∴()111875282a a d a d ⨯++=+，解得19a d =-， 故10190a a d =+=，故A 正确； ∵918a a d d d =+=-=，11110a a d d =+=，故有911a a =，故B 正确； 该数列的前n 项和()21119222n n n n S na d d d n -=+=-⋅ ，它的最值，还跟d 的值有关，故C 错误； 由于61656392S a d d ⨯=+=-，131131213392S a d d ⨯=+=-，故613S S =，故D 正确，故选：ABD.【点睛】思路点睛：利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式进行化简，直接根据性质判断结果.5．朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作.《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题.现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是（ ）A ．4B ．5C ．7D ．8 答案：BD【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为，公差即每一层比上一层多的根数为，设一共放层，利用等差数列求和公式，分析即可得解.【详解】依据题意，根数从上至下构成等差解析：BD【分析】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差即每一层比上一层多的根数为1d =，设一共放()2n n ≥层，利用等差数列求和公式，分析即可得解.【详解】依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为1a ，公差为1d =，设一共放()2n n ≥层，则总得根数为：()()111110022n n n d n n S na na --=+=+= 整理得120021a n n=+-， 因为1a *∈N ，所以n 为200的因数，()20012n n +-≥且为偶数， 验证可知5,8n =满足题意.故选：BD.【点睛】关键点睛：本题考查等差数列的求和公式，解题的关键是分析题意，把题目信息转化为等差数列，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于基础题.6．已知无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，67S S <，且78S S >，则（ ） A ．在数列{}n a 中，1a 最大B ．在数列{}n a 中，3a 或4a 最大C ．310S S =D ．当8n ≥时，0n a <答案：AD【分析】由已知得到,进而得到,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为，可知不一定成立，从而判定C 错误.【详解】由已知得：,结合等差数列的性质可知，,该等差解析：AD【分析】由已知得到780,0a a ><,进而得到0d <,从而对ABD 作出判定.对于C,利用等差数列的和与项的关系可等价转化为160a d +=，可知不一定成立，从而判定C 错误.【详解】由已知得：780,0a a ><,结合等差数列的性质可知，0d <,该等差数列是单调递减的数列，∴A 正确，B 错误，D 正确，310S S =,等价于1030S S -=,即45100a a a ++⋯+=,等价于4100a a +=，即160a d +=, 这在已知条件中是没有的，故C 错误.故选:AD.【点睛】本题考查等差数列的性质和前n 项和，属基础题,关键在于掌握和与项的关系.7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，47a =，则（ ）A ．2n S n =B ．223n S n n =-C ．21n a n =-D ．35n a n =-答案：AC【分析】利用等差数列的前项和公式、通项公式列出方程组，求出，，由此能求出与．【详解】等差数列的前项和为．，，，解得，，．故选：AC ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公解析：AC【分析】利用等差数列{}n a 的前n 项和公式、通项公式列出方程组，求出11a =，2d =，由此能求出n a 与n S ．【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．39S =，47a =， ∴31413239237S a d a a d ⨯⎧=+=⎪⎨⎪=+=⎩， 解得11a =，2d =，1(1)221n a n n ∴+-⨯=-=．()21212n n n S n +-== 故选：AC ．【点睛】本题考查等差数列的通项公式求和公式的应用，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n （n ∈N *），公差d ≠0，S 6=90，a 7是a 3与a 9的等比中项，则下列选项正确的是（ ）A ．a 1=22B ．d =－2C ．当n =10或n =11时，S n 取得最大值D ．当S n >0时，n 的最大值为21 答案：BC【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由Sn>0解不等式可判断D ．【详解】由公差，可得，即，①由a7是a解析：BC【分析】分别运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ，B ；由配方法，结合n 为正整数，可判断C ；由S n >0解不等式可判断D ．【详解】由公差60,90d S ≠=，可得161590a d +=，即12530a d +=，①由a 7是a 3与a 9的等比中项，可得2739a a a =，即()()()2111628a d a d a d +=++，化简得110a d =-，②由①②解得120,2a d ==-，故A 错，B 对； 由()()22121441201221224n S n n n n n n ⎛⎫=+-⨯-=-=--+ ⎪⎝⎭ *n N ∈，可得10n =或11时，n S 取最大值110，C 对；由S n >0，解得021n <<，可得n 的最大值为20，D 错；故选：BC【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．9．已知数列{}n a 满足：13a =，当2n ≥时，)211n a =-，则关于数列{}n a 说法正确的是（ ）A ．28a =B ．数列{}n a 为递增数列C ．数列{}n a 为周期数列D ．22n a n n =+答案：ABD【分析】由已知递推式可得数列是首项为，公差为1的等差数列，结合选项可得结果.【详解】得，∴，即数列是首项为，公差为1的等差数列，∴，∴，得，由二次函数的性质得数列为递增数列，解析：ABD【分析】由已知递推式可得数列2=，公差为1的等差数列，结合选项可得结果.【详解】 )211n a =-得)211n a +=，1=，即数列2=，公差为1的等差数列，2(1)11n n =+-⨯=+，∴22n a n n =+，得28a =，由二次函数的性质得数列{}n a 为递增数列，所以易知ABD 正确，故选：ABD.【点睛】本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属于中档题.10．无穷数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）A ．{}n a 可能为等差数列B ．{}n a 可能为等比数列C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列答案：ABC【分析】由可求得的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当时，．当时，．当时，上式＝．所以若是等差数列，则所以当时，是等差数列， 时是等比数列；当时，从第二项开始是等差数列． 解析：ABC【分析】由2n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案．【详解】当1n =时，11a S a b c ==++．当2n ≥时，()()221112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+． 当1n =时，上式＝+a b ．所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴=所以当0c 时，{}n a 是等差数列， 00a cb ==⎧⎨≠⎩时是等比数列；当0c ≠时，{}n a 从第二项开始是等差数列．故选：A B C【点睛】本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题．。
考点28 数列的概念与简单表示法1、数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，a 2＝2，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21为( )A ．5B ．72C ．92D ．132【答案】B【解析】∵a n ＋a n ＋1＝12，a 2＝2，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32，n 为奇数，2，n 为偶数.∴S 21＝11×⎝⎛⎭⎫－32＋10×2＝72. 2、给定数列1,2+3+4,5+6+7+8+9,10+11+12+13+14+15+16,…,则这个数列的一个通项公式是( ) A.a n =2n 2+3n-1 B.a n =n 2+5n-5 C.a n =2n 3-3n 2+3n-1 D.a n =2n 3-n 2+n-2【答案】C【解析】当n=1时,a 1=1,代入四个选项,排除A 、D;当n=2时,a 2=9,代入B 、C 选项,B 、C 都正确;当n=3时,a 3=35,代入B 、C 选项,B 错误,C 正确,所以选C .3、在数列{a n }中，a 1＝1，a n a n －1＝a n －1＋(－1)n (n ≥2，n ∈N *)，则a 3a 5的值是( )A.1516 B ．158C ．34D ．38【答案】C【解析】由已知得a 2＝1＋(－1)2＝2，∴2a 3＝2＋(－1)3，a 3＝12，∴12a 4＝12＋(－1)4，a 4＝3，∴3a 5＝3＋(－1)5，∴a 5＝23，∴a 3a 5＝12×32＝34.4、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一列数:1,1,2,3,5,8, 13,….该数列的特点是:前两个数都是1,从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数所组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”,则(a 1a 3-)(a 2a 4-)(a 3a 5-)…(a 2 015a 2 017-)=( ) A.1 B.-1 C.2 017 D.-2 017【答案】B【解析】∵a 1a 3-=1×2-12=1,a 2a 4-=1×3-22=-1,a 3a 5-=2×5-32=1,…,a 2 015a 2 017-=1.∴(a 1a 3-)(a 2a 4-)(a 3a 5-)·…·(a 2 015a 2 017-)=11 008×(-1)1 007=-1. 5、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n －1，则满足a nn ≤2的正整数n 的集合为( )A ．{1,2,3}B ．{2,3,4}C ．{1,2,3,4}D ．{1,2,3,4,5}【答案】C【解析】因为S n ＝2a n －1，所以当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－1，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1，整理得a n ＝2a n －1.又a 1＝2a 1－1，所以a 1＝1，故a n ＝2n －1.又a n n ≤2，即2n －1≤2n ，所以有n ∈{1,2,3,4}．6、已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n1－a n (n ∈N *)，则a 2 018的值为( )A ．－8B ．－3C ．－4D ．13【答案】B【解析】由a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n (n ∈N *)得，a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，可见数列{a n }的周期为4，所以a 2 018＝a 504×4＋2＝a 2＝－3.7、已知数列{a n }的前n 项和为S n ,若3S n =2a n -3n ,则a 2 018= ( )A.22 018-1B.32 018-6C. 2 018-D. 2 018-【答案】A【解析】由题意可得3S n =2a n -3n ,3S n+1=2a n+1-3 (n+1), 两式作差可得3a n+1=2a n+1-2a n -3, 即a n+1=-2a n -3,则a n+1+1=-2(a n +1), 结合3S 1=2a 1-3=3a 1可得a 1=-3,a 1+1=-2, 则数列{a n +1}是首项为-2,公比为-2的等比数列, 据此有a 2 018+1=(-2)×(-2)2 017=22 018,∴a 2 018=22 018-1.故选A .8、已知数列{a n }与{b n }的通项公式分别为a n ＝－n 2＋4n ＋5，b n ＝n 2＋(2－a )n －2a .若对任意正整数n ，a n ＜0或b n ＜0，则a 的取值范围为( )A ．(5，＋∞)B ．(－∞，5)C ．(6，＋∞)D ．(－∞，6)【答案】A【解析】由a n ＝－n 2＋4n ＋5＝－(n ＋1)(n －5)可知，当n ＞5时，a n ＜0.由b n ＝n 2＋(2－a )n －2a ＝(n ＋2)(n －a )＜0及已知易知－2＜n ＜a ，为使当0＜n ≤5时，b n ＜0，只需a ＞5.故选A. 9、在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1，则其通项公式a n ＝( ) A ．2n －1 B ．2n －1＋1C ．2n －1D ．2(n －1)【答案】A【解析】由a n ＋1＝2a n ＋1，可求a 2＝3，a 3＝7，a 4＝15，…，验证可知a n ＝2n －1.10、若数列{a n }满足(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1(n ≥2)且a 1＝2，则满足不等式a n ＜462的最大正整数n 为( ) A ．19 B ．20 C ．21 D ．22【答案】B【解析】由(n －1)a n ＝(n ＋1)a n －1得，a n a n －1＝n ＋1n －1，则a n ＝a 1×⎝⎛⎭⎫a 2a 1×⎝⎛⎭⎫a 3a 2×…×⎝⎛⎭⎫a n a n －1＝2×31×42×…×n ＋1n －1＝n (n ＋1)．又a n ＜462，即n (n ＋1)＜462，所以n 2＋n －462＜0，即(n －21)(n ＋22)＜0，因为n ＞0，所以n ＜21.故所求的最大正整数n ＝20.11、数列{a n }满足a 1=,a n+1-1=a n (a n -1)(n ∈N +),且S n =+…+,则S n 的整数部分的所有可能值构成的集合是( ) A.{0,1,2} B.{0,1,2,3} C.{1,2} D.{0,2}【答案】A【解析】对a n+1-1=a n (a n -1)两边取倒数,得-=, S n =++…+=-+-+…+-=3-,由a n+1-a n =≥0,a n+1≥a n ,a n 为递增数列,a 1=,a 2=,a 3=,其中S 1=,整数部分为0,S 2=3-=,整数部分为0,S 3=,整数部分为1,由于S n <3,故选A .12、在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和,已知数列{a n }是等和数列,且a 1=2,公和为5,那么a 18= . 【答案】3【解析】由题意得a n +a n+1=5⇒a n+2+a n+1=5⇒a n =a n+2,所以a 18=a 2=5-a 1=3.13、已知数列{a n }的通项公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2·3n －1n 为偶数，2n －n 为奇数，则a 3a 4＝________.【答案】 54【解析】由题意知，a 3＝2×3－5＝1，a 4＝2×34－1＝54，∴a 3a 4＝54.14、数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4,a n+1=2S n +1,n ∈N +,则S 5= . 【答案】121【解析】由于解得a 1=1.由a n+1=S n+1-S n =2S n +1,得S n+1=3S n +1, 所以S n+1+=3S n +,所以是以为首项,3为公比的等比数列,所以S n +=×3n-1,即S n =,所以S 5=121.15、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝13a n ＋23，则{a n }的通项公式a n ＝________.【答案】⎝⎛⎭⎫－12n －1 【解析】当n ＝1时，a 1＝S 1＝13a 1＋23，∴a 1＝1; 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13a n －13a n －1，∴a n a n －1＝－12.∴数列{a n }是首项a 1＝1，公比q ＝－12的等比数列，故a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －1. 16、在数列{a n }中,a 1=0,a n+1=,则S 2 019= . 【答案】0【解析】∵a 1=0,a n+1=,∴a 2==,a 3===-, a 4==0,即数列{a n }的取值具有周期性,周期为3,且a 1+a 2+a 3=0,则S 2 019=S 3×673=0. 17、已知数列{a n }的前n 项和为S n ,S n =2a n -n ,则a n = .【答案】2n-1【解析】当n ≥2时,a n =S n -S n-1=2a n -n-2a n-1+(n-1), 即a n =2a n-1+1,∴a n +1=2(a n-1+1).又a 1=S 1=2a 1-1,∴a 1=1.∴数列{a n +1}是以首项为a 1+1=2,公比为2的等比数列,∴a n +1=2·2n-1=2n , ∴a n =2n -1.18、已知数列{a n }，{b n }，S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足a 2＝4b 1，S n ＝2a n －2，nb n ＋1－(n ＋1)b n ＝n 3＋n 2(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的通项公式．【答案】(1) 2n (2) n 3－n 2＋2n 2，n ∈N *【解析】(1)当n ＝1时，S 1＝2a 1－2，则a 1＝2.当n ≥2时，由⎩⎪⎨⎪⎧S n ＝2a n －2，S n －1＝2a n －1－2得a n ＝2a n －2a n －1，则a n ＝2a n －1，n ≥2.综上，数列{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，故a n ＝2n ，n ∈N *. (2)∵a 2＝4b 1＝4，∴b 1＝1.∵nb n ＋1－(n ＋1)b n ＝n 3＋n 2，∴b n ＋1n ＋1－b nn ＝n ，故b n n －b n －1n －1＝n －1，…，b 33－b 22＝2，b 22－b 11＝1，n ≥2， 将上面各式累加得b n n －b 11＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＝n n －2，∴b n ＝n 3－n 2＋2n2，n ∈N *.19、设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ∈R 且a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *. (1)设b n ＝S n －3n ，求数列{b n }的通项公式； (2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围． 【答案】(1) (a －3)2n －1 (2) [－9,3)∪(3，＋∞)【解析】(1)由题意知，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ，即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋1＝2S n ＋3n －3n ＋1＝2(S n －3n )，又S 1－31＝a －3(a ≠3)，故数列{S n －3n }是首项为a －3，公比为2的等比数列，因此，所求通项公式为b n ＝S n －3n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *.(2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －1－3n －1－(a －3)2n －2＝2×3n －1＋(a －3)2n －2，所以a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2⎣⎡⎦⎤12·⎝⎛⎭⎫32n －2＋a －3， 当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇔12·⎝⎛⎭⎫32n －2＋a －3≥0⇔a ≥－9. 又a 2＝a 1＋3＞a 1.综上，所求的a 的取值范围是[－9,3)∪(3，＋∞)．20、已知{a n }是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为S n ，S 4＝2S 2＋4，数列{b n }中，b n ＝1＋a na n .(1)求公差d 的值；(2)若a 1＝－52，求数列{b n }中的最大项和最小项的值；(3)若对任意的n ∈N *，都有b n ≤b 8成立，求a 1的取值范围． 【答案】(1) 1 (2) 3 －1 (3) (－7，－6)【解析】(1)∵S 4＝2S 2＋4，∴4a 1＋3×42d ＝2(2a 1＋d )＋4，解得d ＝1.(2)∵a 1＝－52，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－52＋(n －1)＝n －72，∴b n ＝1＋1a n ＝1＋1n －72.∵函数f (x )＝1＋1x －72在⎝⎛⎭⎫－∞，72和⎝⎛⎭⎫72，＋∞上分别是单调减函数， ∴b 3＜b 2＜b 1＜1，当n ≥4时，1＜b n ≤b 4，∴数列{b n }中的最大项是b 4＝3，最小项是b 3＝－1. (3)由b n ＝1＋1a n ，得b n ＝1＋1n ＋a 1－1.又函数f (x )＝1＋1x ＋a 1－1在(－∞，1－a 1)和(1－a 1，＋∞)上分别是单调减函数，且x ＜1－a 1时，y ＜1；当x ＞1－a 1时，y ＞1.∵对任意的n ∈N *，都有b n ≤b 8， ∴7＜1－a 1＜8，∴－7＜a 1＜－6， ∴a 1的取值范围是(－7，－6)．。
专题强化训练(十七) 数 列1．[2019·唐山摸底]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝3a n －12. (1)求a n ；(2)若b n ＝(n －1)a n ，且数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n . 解：(1)由已知可得，2S n ＝3a n －1，① 所以2S n －1＝3a n －1－1(n ≥2)，② ①－②得，2(S n －S n －1)＝3a n －3a n －1， 化简得a n ＝3a n －1(n ≥2)， 在①中，令n ＝1可得，a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列， 从而有a n ＝3n －1. (2)b n ＝(n －1)3n －1，T n ＝0×30＋1×31＋2×32＋…＋(n －1)×3n －1，③ 则3T n ＝0×31＋1×32＋2×33＋…＋(n －1)×3n .④ ③－④得，－2T n ＝31＋32＋33＋…＋3n －1－(n －1)×3n ＝3－3n 1－3－(n －1)×3n ＝(3－2n )×3n －32. 所以T n ＝(2n －3)×3n ＋34. 2．[2019·安徽示范高中]设数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n＝2－a n ，n ＝1,2,3，….数列{b n }满足b 1＝1，且b n ＋1＝b n ＋a n .(1)求数列{b n }的通项公式；(2)设c n ＝n (3－b n )，数列{c n }的前n 项和为T n ，求T n . 解：(1)∵n ＝1时，a 1＋S 1＝a 1＋a 1＝2，∴a 1＝1.∵S n ＝2－a n ，即a n ＋S n ＝2，∴a n ＋1＋S n ＋1＝2.两式相减得a n ＋1－a n ＋S n ＋1－S n ＝0，即a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝0，故有2a n ＋1＝a n ，由S n ＝2－a n ，知a n ≠0， ∴a n ＋1a n＝12(n ∈N *)．∴{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，其通项公式为a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.∵b n ＋1＝b n ＋a n (n ＝1,2,3，…)，∴b n ＋1－b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴b 2－b 1＝1，b 3－b 2＝12，b 4－b 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122，…，b n －b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2(n ＝2,3，…)．将这n －1个等式相加得，b n －b 1＝1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12＝2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2. 又b 1＝1，∴b n ＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2(n ＝2,3，…)，当n ＝1时也满足上式，∴b n ＝3－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2(n ∈N *)．(2)∵c n ＝n (3－b n )＝2n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴T n ＝2[⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1]．①12T n ＝2[⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ]．② ①－②得，12T n ＝2[⎝ ⎛⎭⎪⎫120＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1]－2×n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n (n ∈N *)，T n ＝4×1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12－4×n ×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝8－(8＋4n )×12n (n ＝1,2,3，…)．3．[2019·洛阳统考]已知等差数列{a n }的公差d ≠0，若a 3＋a 9＝22，且a 5，a 8，a 13成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1)2a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设数列{a n }的首项为a 1，依题意，⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋10d ＝22(a 1＋7d )2＝(a 1＋4d )(a 1＋12d )， 解得a 1＝1，d ＝2，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1.(2)b n ＝(a n ＋1)2a n a n ＋1＝4n 2(2n －1)(2n ＋1)＝4n 24n 2－1＝1＋1(2n －1)(2n ＋1)＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴S n ＝1＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋1＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝2n 2＋2n 2n ＋1.4．[2019·石家庄质检]已知{a n }是首项为1的等比数列，各项均为正数，且a 2＋a 3＝12.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1(n ＋2)log 3a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设{a n }的公比为q ，由a 2＋a 3＝12及a 1＝1，得q ＋q 2＝12， 解得q ＝3或q ＝－4. 因为{a n }的各项均为正数，所以q >0，所以q ＝3，所以a n ＝3n －1. (2)b n ＝1(n ＋2)log 3a n ＋1＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2， 所以S n ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋…＋1n －1－1n ＋1＋1n －1n ＋2 ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2).5．[2019·济南质量评估]已知数列{a n }是递增的等差数列，满足a 2＋a 3＋a 4＝15，a 2是a 1和a 5的等比中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由a 2＋a 3＋a 4＝15得a 3＝5，由a 2是a 1和a 5的等比中项，得a 22＝a 1·a 5， 所以(5－d )2＝(5－2d )(5＋2d )，解得d ＝0或d ＝2， 因为数列{a n }为递增数列，所以d ＝2. 又a 3＝5，所以a 1＝1，所以a n ＝2n －1.(2)b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以S n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1. 6．[2019·郑州质量预测一]已知数列{a n }为等比数列，首项a 1＝4，数列{b n }满足b n ＝log 2a n ，且b 1＋b 2＋b 3＝12.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令c n ＝4b n ·b n ＋1＋a n ，求数列{c n }的前n 项和S n .解：(1)由b n ＝log 2a n 和b 1＋b 2＋b 3＝12得 log 2(a 1a 2a 3)＝12， ∴a 1a 2a 3＝212.设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 1＝4，∴a 1a 2a 3＝4·4q ·4q 2＝26·q 3＝212， 计算得q ＝4.∴a n ＝4·4n －1＝4n .(2)由(1)得b n ＝log 24n ＝2n ，c n ＝42n ·2(n ＋1)＋4n ＝1n (n ＋1)＋4n ＝1n －1n ＋1＋4n .设数列{1n (n ＋1)}的前n 项和为A n ，则A n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝nn ＋1，设数列{4n }的前n 项和为B n ，则 B n ＝4－4n ·41－4＝43(4n－1)，∴S n ＝n n ＋1＋43(4n －1)．7．[2019·长沙四校一模]已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，a 3＝12，S 3＝32.(1)求数列{a n }的公比；(2)对于数列{S n }中任意连续的三项，按照某种顺序排列，是否成等差数列？解：(1)设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)， 由a 3＝12，得a 1＝a 3q 2＝12q 2，a 2＝a 3q ＝12q . 由S 3＝32，得a 1＋a 2＋a 3＝32，所以12q 2＋12q ＋12＝32，解得q ＝1或q ＝－12.(2)当q ＝1时，a 1＝12，S n ＝12n ，S n ＋1＝12(n ＋1)，S n ＋2＝12(n ＋2)，2S n ＋1＝S n ＋S n ＋2，即S n ，S n ＋1，S n ＋2成等差数列，所以当q ＝1时，数列{S n }中任意连续的三项S n ，S n ＋1，S n ＋2成等差数列．当q ＝－12时，a 1＝2，S n ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n 1＋12＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ， S n ＋1＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎪⎫－12n ＋1＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋12×⎝⎛⎭⎪⎫－12n ，S n ＋2＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋2＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－14×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，S n ＋S n ＋1＝43⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋ 43⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＝83－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ，2S n ＋2＝83⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－14×⎝⎛⎭⎪⎫－12n ＝83－23×⎝⎛⎭⎪⎫－12n ，所以2S n ＋2＝S n ＋S n ＋1，即S n ，S n ＋2，S n ＋1成等差数列，所以当q ＝－12时，数列{S n }中任意连续的三项S n ，S n ＋1，S n ＋2，按照顺序S n ，S n ＋2，S n ＋1排列，成等差数列．8．[2019·河北九校联考]已知{a n }是各项都为正数的数列，其前n 项和为S n ，且S n 为a n 与1a n的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(－1)na n，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由题意知，2S n ＝a n ＋1a n，即2S n a n －a 2n ＝1，①当n ＝1时，由①式可得S 1＝1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1，代入①式，得 2S n (S n －S n －1)－(S n －S n －1)2＝1，整理得S 2n －S 2n －1＝1.所以{S 2n }是首项为1，公差为1的等差数列， S 2n ＝1＋n －1＝n .因为{a n}的各项都为正数，所以S n＝n，所以a n＝S n－S n－1＝n－n－1(n≥2)，又a1＝S1＝1，所以a n＝n－n－1.(2)b n＝(－1)na n＝(－1)nn－n－1＝(－1)n(n＋n－1)，当n为奇数时，T n＝－1＋(2＋1)－(3＋2)＋…＋(n－1＋n－2)－(n＋n－1)＝－n；当n为偶数时，T n＝－1＋(2＋1)－(3＋2)＋…－(n－1＋n－2)＋(n＋n－1)＝n.所以{b n}的前n项和T n＝(－1)n n.。
