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中外数学史第16章

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浅谈中外数学史概论

浅谈中外数学史概论

浅谈《中外数学史概论》冷月无声摘要：这本书《中外数学史概论》是由傅海伦编著的，北京科学出版社出版，书号是ISBN 978—7—03—018477—1.这本书的主要内容分为两部分：前半部分是中国数学史概论，后半部分是世界数学史概论。

在中国数学史方面，作者将中国数学史分为以下几个阶段来讲解，分别是：远古至春秋的萌芽、战国至秦汉框架的确立、三国至唐初理论的奠基、唐中叶至宋元的高潮、明中至清末中西数学的河流以及中国近代数学的奠基与发展，分别讲了这些时期的数学家和他们的主要成就。

世界数学史部分，作者主要是分别对古希腊、古埃及、巴比伦、印度等国家的历史概述、数学名家和数学主要成就来进行分析与讲述的。

正文：刚开始看这本书的时候，真的觉得很无聊，看不下去，很多古文，虽然作者有讲解，但看起来确实很乏味。

但是我还是耐着性子坚持读，当我读到12页关于二进制的思想的时候，我震惊了。

我国古代的“八卦”竟然与二进制有联系，这是德国伟大的数学家莱布尼兹发现的，他将八卦中的阴爻与阳爻分别用1和0代替，八卦就转换成了二进制的数码：000（坤）001（震）010（坎）011（兑）100（艮）101（离）110（巽）111（乾）。

虽然我不懂八卦，但是看到这里我真的相当佩服古人的聪明才智。

而且八卦不仅与二进制有关，尽然与现在我们学习的组合数学，还有幻方都有关系。

以前我一直觉得八卦就是伪科学的，就是宗教思想，看了这本书我才知道这其实是古人的科学的发现，是他们经过苦心研究得到的成果。

正如莱布尼兹所说的“八卦是流传于宇宙的科学中最古老的纪念物”，这项发明“对于中国人来说实在是是值得庆幸的事情”。

另一个让意外惊的是我国古代无理数的发现，我们都知道世界史中说无理数是毕达哥拉斯学派发现的。

他们刚发现的时候是惊慌失措，怕接受这样的现实。

而我国古代的数学家在开方运算中接触到了无理数，他们当时的态度，《九章算术》里是这样描述的：“若开方不尽者，为不可开”。

中外数学史第3章综述

中外数学史第3章综述

四、《九章算术》的历史地位及其影响
1.在中国数学史上的地位和影响 （1）为中国古代数学著作提供了数学著作的范例和样板；
（2）建立了中国古代数学的基本框架；
（3）奠定了中国古代数学教育体系的基础； 2.在世界数学史上的地位 （1）决定了世界数学研究重心由地中海沿岸的希腊地区转换到了太平洋沿岸 的华夏大地。 （2）标着着数学研究的对象和成果形态的重要转变，即由以空间形式的性质 为主，以几何学研究重心，以严密的公理化体系为理论系统的数学向以数量关系 为研究对象，以计算为中心，以术文统帅应用问题为体例的数学转换。
三、通分和最小公倍数算法程序
少广章第7题：
1 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 840 420 180 210 168 140 120 105 2283 840 840 1
少广章推演的算法程序： 全步 1 1. 置全步及分、母子； 1 2 2. 以最下分母遍乘诸分 8 8 子及全步； 2 3. 各以其母除其子； 8 4 4. 又以分母遍乘诸分子 及已通者； 56 28 5. 皆通而同之。
合分术：母互乘子，并以为实，母相乘为法，实如法而一。
a c ad bc b d bd
a c ad bc b d bd
减分术：母互乘子，以少减多，余为实，母相乘为法，实如法而一。
乘分术：母相乘为法，子相乘为实，实如法而一。
a c ac b d bd
经分术：以人数为法，钱数为实，实如法而一。 有三人三分人之一，分六钱三分钱之一，四分钱之三，问人得几何？ 答曰：人得二钱八分钱之一
168 84
最下
1 3 8 3 8 3 56 3 56 1 4 8 4 2 14 42 210 1 1 5 6 8 8 5 6 8 8 5 6 56 56 5 6 168 28 5 168 140 1 7 8 7 8 7 8 24 1 8 1 1 7 21

中外数学史第16章

中外数学史第16章

塔塔利亚发现的一元三次方程的解法。 费拉里发现的一元四次方程的解法。 费拉里（1522-1565），卡尔达诺的家仆和学生，后来成为助手。 费拉里的主要贡献是得到了4次代数方程的一般解法，记载于《大术》 中。（由于这种解法只是化归的原则，并不是公式解，所以在此不做 介绍。） 需要指出的是，虚数产生于解三次方程的需要，而不像中学数学 教材中所说的那样处于解二次方程的需要。
第五节
韦达与符号代数
韦达（1540-1603），法国16世纪影响最大的数学家，研究领域主 要包括方程理论、符号代数、三角学及几何学等，他的著作主要有： 《三角学的数学基础》（1579）、《分析方法引论》（1591）、《几何 补编》（1615）。 一、符号代数 符号代数的发展历史，可分为三个阶段： 第一阶段，公元3世纪之前，对问题的解不用缩写和符号，而是写 成一篇论文，称为文字叙述代数。 第二阶段，3世纪-16世纪，对某些较常见的量和运算采用了所写的 方法，称为简化代数。 第三阶段，16世纪以后，对问题的解多半表现为由符号组成的数学 速记，这些符号与所表现的内容没有什么明显的联系，称为符号代数。 16世纪末，由韦达开创的符号代数，经笛卡尔改进后成为现代的形 式。用字母表示数标志着代数从算术脱胎而出，成为一门独立学科。

cos
n 1
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2

2

2 2

2

2 2

2 2Βιβλιοθήκη 四、韦达数学研究中的奇闻趣事
聊城大学数学科学学院 房元霞 2012.11
第十六章 《九章算术》及其突出成就
第一节 概述
从5世纪中叶到15世纪文艺复兴的开始之前 ，在科学史和哲学史上 称为欧洲的中世纪。 从罗马帝国灭亡（476年）到11世纪这个时期称为欧洲的黑暗时代， 数学史没有什么成就。 12世纪，在数学史上是翻译者的世纪，是知识广泛传播的重要时期。 希腊和印度等地的数学，通过阿拉伯向西欧传播。 13世纪前期，欧洲各地兴建了一些历史上著名的大学，这个时期最 出色的数学家是意大利的斐波那契。 14世纪，数学少有建树，布雷德沃丁研究三角学，开始运用正切和 余切；奥雷斯姆第一次使用分数指数，还用坐标确定位置。 15世纪，欧洲开始了文艺复兴。在数学上最先发展起来的是透视法， 为射影几何的产生与发展奠定了基础。三角学获得了快速发展；1450年 前的三角学一般是指球面三角学，15世纪末到16世纪初建立起来的。穆 勒的名著《三角全书》是欧洲传播三角学的源泉；雷提库斯把三角函数 定义为直角三角形的边与边之比的第一人，并编制了正弦、正切、正割 三角函数表。

数学史-精品文档资料

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数学史五上:早在三千六百多年前，埃及人就会用方程解决数学问题了。

在我国古代，大约两千年前成书的（九章算术）中，就记载了用一组方程解决实际问题的史料。

一直到三百年前，法国的数学家笛卡儿第一个提倡用x、y、z等字母代表未知数，才构成了如今的方程。

大约在两千年前，我国数学名著（九章算术）中的“方田章〞就论述了平面图形面积的算法。

书中讲：“方田术曰，广从步数相乘得积步。

〞其中“方田〞是指长方形田地，“广〞和“从〞是指长和宽，也就是讲：长方形面积=长×宽。

还讲：“圭田术曰，半广以乘正从。

〞就是讲：三角形面积=底×高÷2。

我国古代数学家刘徽利用出入相补原理来计算平面图形的面积。

出入相补原理就是把一个图形经过分割、移补，而面积保持不变，来计算出它的面积。

如下列图所示，它们显示了平面图形的转化。

五下：1、6的因数有1、2、3、6，这几个因数的关系是：1+2+3=6。

像6这样的数，叫做完全数〔也叫做完美数〕。

28也是完全数，而8则不是，由于1+2+4≠8。

完全数非常稀少，到2004年，人们在无穷无尽的自然数里，一共找出了40个完全数，其中较小的有6、28、496、8128等。

2、为什么判定一个数是不是2或5的倍数，只要看个位数？为什么判定一个数是不是3的倍数，要看各位上数的和？24=20+〔〕2485=2480+〔〕20、2480都是2或5的倍数，所以一个数是不是2或5的倍数，只要看?24=2×10+4=2×〔9+1〕+4=2×9+〔2〕+〔4〕2485=2×1000+4×100+8×10+5=2×〔999+1〕+4×〔99+1〕+8×〔9+1〕+5=2×999+4×99+8×9+〔〕+〔〕+〔〕+〔〕3、哥德巴赫猜测从上面的游戏我们看到：4=2+2，6=3+3，8=5+3，10=7+3，12=7+5，14=11+3??那么，是不是所有大于2的偶数，都能够表示为两个质数的和呢？这个问题是德国数学家哥德巴赫最先提出的，所以被称作哥德巴赫猜测。

数学简史各章概括总结思想

数学简史各章概括总结思想

数学简史各章概括总结思想数学简史是一部介绍数学发展历程的经典著作，通过以时间顺序描述不同数学领域的发展和突破，展现了数学思想的演变和数学家们的贡献。

以下是对数学简史各章的概括总结：1. 古代数学思想：这一章主要介绍古代数学的发展，包括巴比伦人、古埃及人和古希腊人的贡献。

巴比伦人在商业交易中使用了简单的算术运算，而古埃及人则应用几何来解决土地测量的问题。

古希腊人的贡献更为深远，他们从形式逻辑的角度提出了严谨的证明方法，开创了数学公理化的思想。

2. 希腊数学：希腊数学是古代数学的巅峰，欧几里得的《几何原本》被誉为数学的经典之作。

他的几何思想基于公理化推理，提出了许多重要的几何定理。

此外，阿基米德也是希腊数学的杰出代表，他运用无穷小和无穷大的概念解决了许多机械学问题。

3. 阿拉伯数学：阿拉伯数学在中世纪时期兴盛起来，阿拉伯学者翻译了希腊数学著作，并且对几何学进行了改进。

他们引入了代数学的思想，如二次方程的解法和方程组的求解方法。

同时，阿拉伯人还在三角学和球面几何方面做出了重要贡献，为航海和天文学提供了基础。

4. 文艺复兴与数学的新发展：文艺复兴时期是数学重新焕发活力的时期。

伽利略的实验思想和数学模拟为物理学和力学的发展提供了基础。

同时，克尔克里尼在代数学方面进行了重要的研究，开创了现代代数的奠基。

此外，笛卡尔的坐标系和解析几何方法为几何学提供了新的视角。

5. 微积分的诞生：微积分的发展是数学史上的重大突破。

牛顿和莱布尼兹几乎同时独立提出了微积分的基本原理和方法，为数学的应用提供了强大的工具。

微积分的诞生不仅推动了物理学的发展，还为概率论和统计学等分支学科的产生奠定了基础。

6. 数学的抽象化和公理化：19世纪是数学抽象化和公理化思想的兴起时期。

高斯在数论方面做出了重要贡献，提出了剩余类和二次互反定理。

同时，数学家们开始对几何学进行严格的公理化处理，如黎曼几何和非欧几何的发展。

这一时期还见证了群论和代数学的发展，为数学的抽象化奠定了基础。

数学史课件精华版

数学史课件精华版
2n 1, 2n2 2n, 2n2 2n 1
• 一般形式之一： ( x2 y 2 z 2 , x, y, z两两互素）
x 2ab, y a2 b2 , z a2 b2 , a b o,(a, b) 1, a, b一奇一偶
无理数的发现
• 毕达哥拉斯学派的信条是“万物皆数”，这里 的数实际上是指正的有理数。传说，毕达哥拉 斯学派成员希帕苏斯（Hippasus，公元前470 年左右）发现了“不可公度比”的现象，并在 一次航海时公布了他的想法，结果被恐慌的毕 达哥拉斯学派的其他成员抛进了大海。 • 项武义教授的一项研究认为，希帕苏斯首先发 现的是正五边形边长与对角线长不可公度。
• 从刻划记数，人类很自然地过渡到刻出 数的符号，并进而创造出第一批数字。 古代中国、古埃及、巴比伦等民族，均 在公元前5000年前后就有了记数符号。 由于古人用手指作为计数的参照物十分 方便，因而许多民族都不约而同地使用 了十进制计数法。当然也存在着少量的 其它进位制，如5进制、12进制、16进制、 20进制、60进制等。
纸草书
纸草书是研究古埃及数学的主要来源 • 莱因德纸草书：最初发现于埃及底比斯古都废 墟，1858年为苏格兰收藏家莱因德购得，现藏 于伦敦大英博物馆．又称阿姆士纸草书，阿姆 士在公元前1650年左右用僧侣文抄录了这部纸 草书，据他加的前言知，所抄录的是一部已经 流传了两个世纪的著作．含84个数学问题． • 莫斯科纸草书：又称戈列尼雪夫纸草书，1893 年由俄国贵族戈列尼雪夫在埃及购得，现存于 莫斯科博物馆．产生于公元前1850年前后，含 有25个数学问题．
• 古希腊数学表现出很强的理性精神，追 求哲学意义上的真理．在公元前3、4百 年的时候，他们的数学思想中就已经涉 及到了无限性、连续性等深刻的概念． • 经过古埃及和巴比伦人长期积累数学知 识的萌芽时期以后，古希腊人把数学推 进到了一个崭新的时代．古希腊数学不 仅有十分辉煌的研究成果，而且提出了 数学的基本观点，建立数学理论的方法， 给以后的数学发展提供了坚实的基础．

《数学史》周髀算经》与《九章算术》(课堂PPT)

《数学史》周髀算经》与《九章算术》(课堂PPT)
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古代数学家赵爽
▪ 赵爽自称负薪余日，研究《周髀》，遂为 之作注，可见是一个未脱离体力劳动的天 算学家。
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3.1.3《九章算术》
《九章算术》是中国古典数学最重要的著作。成书年代至迟 在公元前1世纪，其中的数学内容，有些也可以追溯到周代。
《周礼》记载,西周贵族子弟必学的六门课程（“六艺”）中 有一门是“九数”，刘徽《九章算术注》“序”中就称《九章算 术》是由“九数”发展而来，并经过西汉张苍（?-公元前152）、 耿寿昌等人删补。
5
中国古代数学的萌芽
▪ 中国古代数学的萌芽原始公社末期，私有制和货物交换产生以后，数 与形的概念有了进一步的发展，仰韶文化时期出土的陶器，上面已刻 有表示1234的符号。到原始公社末期，已开始用文字符号取代结绳 记事了。
6
中国古代数学的萌芽
▪ 西安半坡出土的陶器有用1～8个圆点组成的等边三角形和分正方形 为100个小正方形的图案，半坡遗址的房屋基址都是圆形和方形。为 了画圆作方，确定平直，人们还创造了规、矩、准、绳等作图与测量 工具。据《史记·夏本纪》记载，夏禹治水时已使用了这些工具。
9
八两易 卦仪有 。生太 ”四极
象， ，是 四生 象两 生仪
，
“
太极八卦图
图中每个阳、阴爻分别代表数9与 数6，其中数字的配置依照“九六”说， 是一种均衡的数字配置。在八卦中，相对 称的卦象，如乾与坤，其象数之和均为45。 它与洛书中1至9的数字之和相同
10
周(约公元前11世纪～公元前 256年)：奴隶制经济获得进一步 的发展. “数”作为六艺之一，开 始形成一个学科。
纵式用来表示个位、百位、万位，……数字；横式用来表示
十位、千位、十万位、……数字。纵、横相间，零则以空位表示。

中外数学史讲稿

中外数学史讲稿

中外数学史与数学家小故事数学，我们几乎从小学一年就开始接触。

然而，学了这么多年的数学，有谁知道数学史是怎样发展起来的，数学家又有着怎样的小故事呢？今天，让我带领大家一起进入数学的殿堂。

一、中国古代数学，世界数学史上璀璨的明珠根据中国古代数学发展的特点，可以分为五个时期：1.先秦萌芽时期（筹算、珠算夏禹治水时早已发现「勾三股四弦五」这个勾股定理的特例。

此外，讲述阴阳八卦，预言吉凶的《易经》已有了组合数学的萌芽，并反映出二进制的思想。

）2.汉唐初创时期（《周髀算经》《九章算术》主要内容包括分数四则和比例算法、各种面积和体积的计算、关于勾股测量的计算等。

赵爽第一次提出勾股定理、刘徽割圆术、祖冲之、祖暅父子在数学上主要有三项成就：⑴计算圆周率精确到小数点后第六位，得到3.1415926<π<3.1415927，并求得π的约率为22/7，密率为355/113；⑵得到祖暅定理并得到球体积公式；⑶发展了二次与三次方程的解法。

）3.宋元全盛时期（宋元数学在很多领域都达到了中国古代数学，甚至是当时世界数学的巅峰。

其中主要的工作有：⑴高次方程数值解法；⑵天元术与四元术，即高次方程的立法与解法，是中国数学史上首次引入符号，并用符号运算来解决建立高次方程的问题；⑶中国剩余定理；⑷招差术和垛积术，即高次内插法和高阶等差级数求和。

另外，其它成就包括勾股形解法新的发展、解球面直角三角形的研究、纵横图(幻方)的研究、小数(十进分数)具体的应用、珠算的出现等等。

）4.近现代数学发展时期（1978年11月中国数学会召开第三次代表大会，标志着中国数学的复苏。

出现里一批大数学家，如：解决哥德巴赫猜想中1+2的陈景润，获沃尔夫奖的陈省身，以及华罗庚、丘成桐、吴文俊、苏步青等。

好，下面我们来分享一下数学家的几个小故事。

二、数学家的几个小故事1.天才高斯与1+---+100的妙解在世界上享有“数学王子”之称的你们知道是谁吗？那就是高斯啦，1777年他出生于德国的一个贫苦家庭。

数学史话：数学史话(1)概述

数学史话：数学史话(1)概述

1、概述数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。

简单地说，就是研究数和形的科学。

由于生活和劳动上的需求，即使是最原始的民族，也知道简单的计数，并由用手指或实物计数发展到用数字计数。

在中国，最迟在商代，即已出现用十进制数字表示大数的方法；至秦汉之际，即已出现完满的十进位制。

在不晚于公元一世纪的《九章算术》中，已载了只有位值制才有可能进行的开平方、开立方的计算法则，并载有分数的各种运算以及解线性联立方程组的方法，还引入了负数概念。

刘徽在他注解的《九章算术》中，还提出过用十进制小数表示无理数平方根的奇零部分，但直至唐宋时期(欧洲则在16世纪斯蒂文以后)十进制小数才获通用。

在这本著作中，刘徽又用圆内接正多边形的周长逼近圆周长，成为后世求圆周率的一般方法。

虽然中国从来没有过无理数或实数的一般概念，但在实质上，那时中国已完成了实数系统的一切运算法则与方法，这不仅在应用上不可缺，也为数学初期教育所不可少。

至于继承了巴比伦、埃及、希腊文化的欧洲地区，则偏重于数的性质及这些性质间的逻辑关系的研究。

早在欧几里得的《几何原本》中，即有素数的概念和素数个数无穷及整数惟一分解等论断。

古希腊发现了有非分数的数，即现称的无理数。

16世纪以来，由于解高次方程又出现了复数。

在近代，数的概念更进一步抽象化，并依据数的不同运算规律，对一般的数系统进行了独立的理论探讨，形成数学中的若干不同分支。

开平方和开立方是解最简单的高次方程所必须用到的运算。

在《九章算术》中，已出现解某种特殊形式的二次方程。

发展至宋元时代，引进了“天元”(即未知数)的明确观念，出现了求高次方程数值解与求多至四个未知数的高次代数联立方程组的解的方法，通称为天元术与四元术。

与之相伴出现的多项式的表达、运算法则以及消去方法，已接近于近世的代数学。

在中国以外，九世纪阿拉伯的花拉米子的著作阐述了二次方程的解法，通常被视为代数学的鼻祖，其解法实质上与中国古代依赖于切割术的几何方法具有同一风格。

(完整版)数学史(第2章古希腊数学)

(完整版)数学史(第2章古希腊数学)

第2章古代希腊数学主题：希腊文化与理论数学的起源人类理性思维的形成在唯理的社会气氛中，希腊人将埃及和美索不达米亚的数学经验算术和几何法则加工成具有初步逻辑结构的论证数学体系。

概述：希腊数学分为三个阶段：一是从公元前6C到约公元前3C，这一时期以雅典为中心，形成了论证几何数学的思想基础和有关方法上的基础；二是从约公元前3C到约公元前30年，这一时期主要以亚历山大为中心，形成的系统的论证几何体系，建立理论方法，为数学的发展提供了一种基本的观点和方法。

三是从约公元前30年到公元6C，这是希腊数学发展后期，主要发展带有实用特点的数学。

同时也有对前人进行评述和整理工作。

主要成就：1 论证数学的鼻祖及主要贡献：泰勒斯（前625－前547）泰勒斯领导的爱奥尼亚学派据说开了希腊命题论证之先河，并证明了四条定理和“泰勒斯定理”。

毕达哥拉斯（前580－前500）毕达哥拉斯创立了毕达哥拉斯学派，从事哲学和数学研究。

普鲁克鲁斯在《评注》中论述了毕达哥拉斯学派的主要成就有：（1）证明了毕达哥拉斯定理，即勾股定理。

其方法最著名的猜测是“面积剖分法”。

（2）正多面体作图（包括正四、六、八、十二、二十面体）。

以正十二面体的作图最为著名，它的每个面都是正五边形，并且和“黄金分割”相关（注：黄金分割这一名字并不是来源该学派，见书36页注）。

（3）关于数的研究，毕达哥拉斯学派的基本信条是“万物皆数”（这里指整数），并讨论了许多数论的性质，如偶数与奇数，完全数等。

该学派还有关于“形数”的研究，他们把数作为几何思维元素的精神，“形数”体现了数与形的结合。

（4）发现了不可公度量。

评论：毕达哥拉斯学派把数看成是世界的基础，客观上形成对世界数量关系的认识，是人类认识上的一大进步。

加强了数概念中的理论倾向，推动了几何学的抽象化倾向，这些研究使人类抽象思维能力达到了一个高的水平。

不可公度量的发现，由此产生了“第一次数学危机”，这一问题的根本解决是人们对连续性有更精确的定义后才完全解决。

《数学史》朱家生版课后题目参考答案第一章

《数学史》朱家生版课后题目参考答案第一章

1.数学的起源于世界古老文明产生的关系11数本（1）班郭奇 2011041047 “数学”这个词在我们的生活中可谓是无处不在，他作为人类思维的表达形式，反映了人们的积极进取的意志、缜密周详的推理及对完美境界的追求。

“数学”与我们身边的其他学科也有着密切联系。

例如在天文学方面、医学方面、经济学方面等等。

大到天文地理，小到生活琐事，数学的魅力可谓是发挥的淋漓尽致。

然而关于数学的起源，却有着一个古老而神奇的传说。

相传在非常非常遥远的古代，有一天在黄河的波涛中突然跳出一匹“龙马”来，马背上驮着一幅图，图上画着许多神秘的数学符号，后来，从波澜不惊的河水中又爬出一只“神龟”来，龟背上也驮着一卷书，书中则阐述了数的排列方法。

马背上的图叫“河图”，乌龟背上的书叫做“洛书”，当“河图洛书”出现后，数学也就诞生了。

当然，这个也只不过是个传说罢了。

数学作为最古老的一门学科，他的起源可以上溯到一万多年以前。

但是，公元1000年以前的资料留存下来的极少，迄今所知，只有在古代埃及和巴比伦发现了比较系统的数学文献。

远在一万五千年以前，人类就可以相当逼真的描绘出人和动物的形象，这是萌发图形意识的最早证据。

后来就开始逐渐对圆形和直线型的追求，从而成为数学图形的最早的原型。

在日常的生活实践中又逐渐产生了记数的意识和系统。

人类摸索过许多种记数的方法，例如用石块记数，结绳记数等，最后逐步发展到现在我们所用的数字。

图形意识和记数意识发展到一定阶段，又产生了度量的意识。

从人类社会的发展史来看，人们对数学本质特征的认识也在不断变化和深化着。

欧几里得说过“数学的根源在于普通的常识，最显著的例子是非负整数。

”他的算术来自于普通常识中的非负整数。

而且直到十九世纪中叶，对于数的科学探索还停留在普通的常识。

因此，十九世纪以前，人们普遍认为数学是一门自然学科，经验学科，因为那时的数学与现实之间的联系非常密切。

随着数学研究的不断深入，从十九世纪中叶以后，数学是一门演绎科学的观点逐渐占据主导地位。

《数学史》印度与阿拉伯的数学(上)

《数学史》印度与阿拉伯的数学(上)
人起初也是用空位表示零，后记成点号，最后发展为圈号. • 后来，印度人又把零作为一个独立的数。 • 摩诃毗罗说：“一个数乘以零得零，加上零、减去零或除以零这个数都
不变.”
关于0的发明
• 婆什迦罗在《算法本源》指出：“被除数为3、除数为0，得 商 ，这个分母为0的分数，称为无限大量。”
• 婆罗摩笈多在《婆罗摩笈多修正体系》中比较完整地叙述了零 的运算法则：“负数减去零是负数；正数减去零是正数；零减 去零什么也没有；零乘负数、正数或零都是零.”
有一块公元76年的石碑，因存于印度中央邦西北地区的瓜 廖尔(GwMior)城而以瓜廖尔石碑著称，上面已记有明白无疑的 数“0”．瓜廖尔数系为：
古代印度数学
• 印度－数码阿拉伯数码 • 阿拉伯数字0，1，2，3，4，5，6，7，8，9由印度人
创造的.
关于0的发明
• 印度,0较早出现在巴克沙利手稿中，这是印度数学的一大发明. • 最早的零用来表示记数法中的空位，而没有看作是一个独立的数.印度
《莉拉沃蒂》
第11章为测量问题； 第12章是代数问题，包括不定方程； 第13章是一些组合问题．
●能够熟地使用诸如和差与半角等三角公式 ●能够认识并广泛使用无理数
婆什迦罗《天文系统之冠》
• 著于1150年，分 “应用问题”、“代数”、 “天球”和“行星数学”四篇。书中，他全 面系统地介绍了算术、代数和几何知识，反 映了印度12世纪的记数法，记载了有关自然 数、分数和负数的8种基本运算，收集了有关 利息、商品交换、合金成分、土方、仓库容 积、水利建设等各种与社会、经济活动有关 的数学问题，给出了有关代数、几何、三角 方面的一些成果。
用圆圈符号“0”表示零，可以说是印度数学的一大发 明．在数学上，“0”的意义是多方面的，它既表示“无”的概 念，又表示位值记数中的空位，而且是数域中的一个基本元素， 可以与其他数一起运算．

数学史概论（第三版）

数学史概论（第三版）

数学史概论（第三版）•目录：•0 数学史——人类文明史的重要篇章0.1 数学史的意义0.2 什么是数学——历史的理解0.3 关于数学史的分期1 数学的起源与早期发展1.1 数与形概念的产生1.2 河谷文明与早期数学1.2.1 埃及数学1.2.2 美索不达米亚数学2 古代希腊数学2.1 论证数学的发端2.1.1 泰勒斯与毕达哥拉斯2.1.2 雅典时期的希腊数学2.2 黄金时代——亚历山大学派2.2.1 欧几里得与《原本》2.2.2 阿基米德的数学成就2.2.3 阿波罗尼奥斯与圆锥曲线论2.3 亚历山大后期和希腊数学的衰落3 中世纪的中国数学3.1 《周髀算经》与《九章算术》3.1.1 古代背景3.1.2 《周髀算经》3.1.3 《九章算术》3.2 从刘徽到祖冲之3.2.1 刘徽的数学成就3.2.2 祖冲之与祖咂3.2.3 《算经十书》3.3 宋元数学3.3.1 从“贾宪三角”到“正负开方”术3.3.2 中国剩余定理3.3.3 内插法与垛积术3.3.4 “天元术”与“四元术”4 印度与阿拉伯的数学4.1 印度数学4.1.1 古代《绳法经》4.1.2 “巴克沙利手稿”与零号4.1.3 “悉檀多”时期的印度数学4.2 阿拉伯数学4.2.1 阿拉伯的代数4.2.2 阿拉伯的三角学与几何学5 近代数学的兴起5.1 中世纪的欧洲5.2 向近代数学的过渡5.2.1 代数学5.2.2 三角学5.2.3 从透视学到射影几何5.2.4 计算技术与对数5.3 解析几何的诞生……6 微积分的创立7 分析时代8 代数学的新生9 几何的变革10 分析的严格化11 20世纪数学概观（1）纯粹学的主要趋势12 20世纪数学概观（2）纯粹学的主要趋势13 20世纪数学概观（3）现代数学成果十例14 数学与社会15 中国现代数学的开拓参考文献人名索引术语索引。

中外数学史第12章

中外数学史第12章
中外数学史第12章
第二章 中国早期的数学知识和数学思想
第一节 中国早期的数学工具—算筹与规、矩
一、计算工具——算筹 算筹即用于计算的小竹棍，他是中国人创造的计 算工具。珠算产生前，我们的祖先用算筹来计算。
西汉的象牙算筹
西汉的金属算筹
中外数学史第12章
算筹计算的缺点： 1.算筹较长，计算时占用的地方大； 2.截面呈圆形，容易滚动造成错乱； 3.中间计算步骤不能保留，因此不便于检验。 中国古代用算筹进行计算，称作算筹。
《周易》又称《易经》，成书于春秋时期，被认为 是中国文化的源头。包括《经》、《传》。“易”为 变、变换之意。“穷则变，变则通，通则久”。 《周易》的宇宙变换模式“易生太极，是生两仪，两 仪生四象，四象生八卦。”
中外数学史第12章
1.组合数学的萌 芽
四象、八卦等的排列，相当于组合数学中的重排列 。
中外数学史第12章
中外数学史第12章
二、算筹计数依据十进位置值制
甲骨文：
中外数学史第12章
二、算筹计数依据十进位置值制
中国最晚春秋末年人们已经掌握了完备的十进位置值，普遍使用了算筹这种 先进的计算工具。人们已经谙熟九九乘法表、整数四则运算，并使用了分数。
算筹计数的方法见于公元前400年左右的《孙子算经》： “凡算之法，先识其位。一纵十横，百立千僵，千、十相望，万、百相当。”
中外数学史第12章
三、中国数学史的分期
第一时期： 中国数学的萌芽——远古至春秋； 第二时期： 中国传统数学框架的形成——战国至两汉； 第三时期： 中国传统数学理论的奠基——魏晋至南北朝； 第四时期： 中国数学专科教育的诞生——隋唐； 第五时期： 中国传统数学的高潮——唐中叶至宋元时期； 第六时期： 中国数学的衰落——明初至清中（1840年）； 第七时期： 中西数学的合流——清中至清末（1911年）； 第八时期： 中国近代数学的奠基与发展——清末至今。

中外数学史第8章

中外数学史第8章
现已证明：三阶幻方只有一种构造方法。南宋数学家杨辉，在他著的 《续古摘奇算法》里介绍了这种方法：只要将九个自然数按照从小到大的递 增次序斜排，然后把上、下两数对调，左、右两数也对调；最后再把中部四 数各向外面挺出，幻方就出现了。这条规律总结成四句话：九子斜排，上下 对易，左右相更，四维挺出”。
4阶幻方
3.秦九韶一次同余组完整解法的程序的建立
(1)一次同余式组的解法
用现代的符号表示，设 ai (i 1,2, , n是) 两两互素的正整数，
M a1 a2 ， an则同余方程组
有唯一解，且
N r1(moda1)
N
r2
(
moda2
)
N rn (modan )
N
k1
M a1
r1
k2
M a2
在估算出 后a 作减法 A， a然n 后以 试C除n1an后1 得到 。“立b成
释锁’即由开方作法本原图所提供的诸
C
i n
(i
1,2,
,n
1)
来
确定诸廉，然后“以廉乘商方”（即C
i n
a
n
）ibi ，再“名实以除
之”，若x 为3位数或3位以上的数，则可依照固有程序再求
出第二位数后继续开方。
二、增乘开方法——类乘累加的机械化算法 其基本思想是：开方求得根的第一位得数后，求减根方程时，以 商得数自下而上随乘随加，每次低一位而止；商得次一位后，仍以随 乘随加减实，如是机械反复，直至求出最后的答案。例如“令有积一 百八十六万八百六十七尺，问为立方几何？”此题相当于求方x3程 1860867 的正根。按贾宪方法：(1)实上商置第一位得数；(2)以上商乘下法置廉， 乘廉为方，除实讫；(3)复以上商乘下法入廉，乘廉入方，又乘下法入 廉；(4)其方一、廉二、下三退；(5)再于第一位商数之次，复商第二位 得数，以乘下法入廉，乘廉入方，命上商除实讫；(6)复以次商乘下法 入廉，乘廉入方，又乘下法入廉；(7)其方一、廉二、下三退，如前； (8)上商第三位得数，乘下法入廉，乘廉入方，命上商除实适尽，得立 方一面之数。 很明显，求得方根第一位后，求下面每一位的步骤都相同， (3)(4)(5)是求第二位的步骤，(6)(7)(8)是求第三位的步骤，依此类推。 如果是开平方，则开方式无廉；如果是开四次方或四次双方以上，则 在方和下法间加廉，称一廉、二廉……，开方步骤与开立方一致。
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第五节
韦达与符号代数
韦达（1540-1603），法国16世纪影响最大的数学家，研究领域主 要包括方程理论、符号代数、三角学及几何学等，他的著作主要有： 《三角学的数学基础》（1579）、《分析方法引论》（1591）、《几何 补编》（1615）。 一、符号代数 符号代数的发展历史，可分为三个阶段： 第一阶段，公元3世纪之前，对问题的解不用缩写和符号，而是写 成一篇论文，称为文字叙述代数。 第二阶段，3世纪-16世纪，对某些较常见的量和运算采用了所写的 方法，称为简化代数。 第三阶段，16世纪以后，对问题的解多半表现为由符号组成的数学 速记，这些符号与所表现的内容没有什么明显的联系，称为符号代数。 16世纪末，由韦达开创的符号代数，经笛卡尔改进后成为现代的形 式。用字母表示数标志着代数从算术脱胎而出，成为一门独立学科。
《分析方法引论》被公认是一部最早使用符号的代数著作。在这部著 作中，韦达不仅用字母来表示未知量和未知量的幂，而且还用来表示 一般的系数。通常用辅音字母表示已知量，用元音字母表示未知量， 用拉丁字母表示各次方幂。韦达把他的符号化代数称为“类算术”以 区别于其他算术。然而当时的大多数数学家并没有体会到符号体系对 代数发展的作用，随着数学面临的问题日益复杂，才使得他们对韦达 的工作有了深刻的认识，经由后来数学家的完善，特别是解析几何的 创始人笛卡尔（1596-1650）对韦达使用字母的方法进行了改进，用排 在英文字母表前面的字母表示已知量，用表末的字母表示未知量等， 与现在写法基本相同。 韦达有意识的引入了代数符号，使得代数成为研究对象更具有广 泛意义的独立数学分支，真正的符号代数才应运而生，韦达无愧于 “符号代数之父”的称呼。
意大利修道士帕西奥利（1454-1514）1494年的著作《算术、几何及 比例性质摘要》里认为：求解方程 x 3 mx n 与 x 3 n mx 与化圆为方一样 是不可解的。 1515年，波伦大学的教授费罗（1465-1526）用代数方法求出了三次 方程 x 3 mx n 的解，他的这个秘密透露给他的学生菲奥。 威尼斯数学教授塔塔利亚（1499-1557）自夸他也发现了一种3次方程 x 3 bx2 d 的解法，在1535年，菲奥向塔塔利亚发起挑战，他提交的30个
1202年，他撰写了《算盘书》共15章，主要介绍算术和代数，内容 非常丰富，包括印度-阿拉伯数码的读法与写法；整数与分数的计算； 平方根与立方根的求法；线性方程组和二次方程的解法。数学在实物交 易、合股、比例法和测量几何中的应用等。该书的流传为印度-阿拉伯 数码在欧洲的传播起了重要作用。 他的著作还有《实用几何》（1220），几何学和三角学问题；《平 方数书》（1225）二次丟番图方程等，是当时数论的名作。 一、“生兔子问题”——斐波那契数列的由来 假設一对小 兔子（雌雄各一），过一个月就成长为一对大兔子， 大兔子又过一个月就要生出一对雌雄各一的小兔子，小兔子过一个月又 长成一对大兔子，大兔子每过一个月都要生出一对雌雄各一的小兔子， 若照此生下去，且无死亡，问一年后应有多少对兔子？
方程全部属于那种类型的方程。例如，其中的一个问题是：一块蓝宝石 买了500金币，所得利润是其成本的立方根，求其利润是多少？在1535 年2月12日塔塔利亚发现了其解法，而菲奥却不能解出后一种类型的方 程，塔塔利亚大获全胜。竞赛的消息及3次方程的新解法不久传到了米 兰，其时，数学家卡尔达诺（1501-1576）写信给塔塔利亚请求告知解 法，卡尔达诺保守秘密的誓言打动了塔塔利亚，塔塔利亚用诗歌的形式 向卡尔达诺泄露了3种不同形式的3次方程的秘密。起初卡尔达诺保持了 自己的承诺，后来，卡尔达诺查阅了费罗当初的手稿，核实费罗是最早 的发现者，卡尔达诺便觉得不再对塔塔利亚有义务，于是在1545年，出 版了他的学术巨著《大术》，其中包括塔塔利亚教给他的方法，这激怒 了塔塔利亚，为了恢复自己的威望，他进行了另一场公开竞赛，这次是 和卡尔达诺的学生费拉里，但是他失败了。直到现在，3次方程的求解 公式仍被称为卡尔达诺公式。
三、三角学和几何学 韦达在三角学方面也有许多创造性的工作，《三角学的数学基础》 是早期论述三角学的著作之一。书中给出了许多三角函数表和造表方法， 首次给出了正切定律、钝角球面三角形的余弦定理，也给出了如何利用 6种三角函数解平面和球面三角形。由于文字比较晦涩，由后人整理汇 集编成《韦达文集》（1646）。 有积化和差、和差化积公式，半角公式等；提出了单角的正弦与n 倍角正弦的关系式等 a 《几何补编》中创造性地提出了无穷递缩等比数列的求和公式S 1 ; 1 q 求出π的近似值为：3.1415926535<π<3.1215926536 ；给出了π的首个 解析式。 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
二、方程论和韦达定理 韦达改进了意大利数学家塔塔利亚、卡尔达诺和费拉里等人关于3、 4次方程的解法，利用变换消去方程的次高项，将2、3、4次方程的解 都用一般表达式给出，这就是所谓的公式解。在《有效的数值解法》 中，韦达给出了一种用逐步逼近求任意次幂代数方程近似根的方法。 1.关于三次方程 a y2 （1） x 3 3ax b 的独特解法，做代换 x 。 y （2）不可约三次方程y 3 py q 0 的解。 2.关于四次方程：x 4 px 2 qx r 0 。 韦达提出了四个揭示正是方程的根与系数关系之间的著名定理— —韦达定理。不过应当指出，韦达仅就2，3等几种特殊情况得出了结 论，并没有给出一般证明。事实上，这个定理的证明是笛卡尔在1637 年得出因式定理，高斯1797年证明了代数基本定理以后才给出的。
塔塔利亚发现的一元三次方程的解法。 费拉里发现的一元四次方程的解法。 费拉里（1522-1565），卡尔达诺的家仆和学生，后来成为助手。 费拉里的主要贡献是得到了4次代数方程的一般解法，记载于《大术》 中。（由于这种解法只是化归的原则，并不是公式解，所以在此不做 介绍。） 需要指出的是，虚数产生于解三次方程的需要，而不像中学数学 教材中所说的那样处于解二次方程的需要。
前12个月兔子数列表：
为了纪念提出兔子繁殖问题的斐波那契，将这个数列称为斐波那 契数列，斐波那契数列的各项，满足 F1 1, F2 1, Fn Fn1 Fn2 (n 2) 。 这个数列的每一项都叫斐波那契数。 二、斐波那契数列的性质（见教本214-216页）
第三节
穆勒与《三角全书》
16世纪里，代数学得到了发展。数学家发现了三次、四次方程的代 数解法，接受了负数并使用了虚数，得到推动了代数方程的研究和发展。 韦达的《分析方法引论》建立了抽象代数的符号，发现了“韦达定理”； 斯蒂文创设了小数改进了代数运算。
第二节
斐波那契与《算盘书》
斐波那契（约1170-约1250），13 世纪意大利著名的数学家，生于比萨， 他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为 外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔 及利亚地区，他因此得以在一个阿拉伯 老师的指导下研究数学。他还曾在埃及、 叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究 数学，掌握了不同地区的商业算术体系。 他是第一个研究了印度和阿拉伯数学理 论的欧洲人。
1 月
1对
1月 1对 2月 1对
1月 1对 2月 1对 3月 2对
1月 2月 3月 4月
1对 1对 2对 3对
1月 2月 3月 4月 5月
1对 1对 2对 3对 5对
1月 2月 3月 4月 5月 6月
1对 1对 2对 3对 5对 8对
1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月
1对 1对 2对 3对 5对 8对 13对
中外数学史
聊城大学数学科学学院 房元霞 2012.11
第十六章 《九章算术》及其突出成就
第一节 概述
从5世纪中叶到15世纪文艺复兴的开始之前 ，在科学史和哲学史上 称为欧洲的中世纪。 从罗马帝国灭亡（476年）到11世纪这个时期称为欧洲的黑暗时代， 数学史没有什么成就。 12世纪，在数学史上是翻译者的世纪，是知识广泛传播的重要时期。 希腊和印度等地的数学，通过阿拉伯向西欧传播。 13世纪前期，欧洲各地兴建了一些历史上著名的大学，这个时期最 出色的数学家是意大利的斐波那契。 14世纪，数学少有建树，布雷德沃丁研究三角学，开始运用正切和 余切；奥雷斯姆第一次使用分数指数，还用坐标确定位置。 15世纪，欧洲开始了文艺复兴。在数学上最先发展起来的是透视法， 为射影几何的产生与发展奠定了基础。三角学获得了快速发展；1450年 前的三角学一般是指球面三角学，15世纪末到16世纪初建立起来的。穆 勒的名著《三角全书》是欧洲传播三角学的源泉；雷提库斯把三角函数 定义为直角三角形的边与边之比的第一人，并编制了正弦、正切、正割 三角函数表。

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2 2

2

2 2

2 2

四、韦达数学研究中的奇闻趣事
第四节
代数方程论及公式解法
16世纪最重要的数学成就要数意大利的数学家们关于3、4次方程解法 的研究。
16世纪，意大利的学术环境与现在不同。当时没有著作权，大学职位很不稳 定，由校方评议会定期更换。教授使评议会相信他值得继续保持他的职位的手段 之一是，赢取公开挑战。某一职位的两个竞争者需要互相解答对方的问题，除了 大学职位本身，可观的奖金通常也依赖于这种挑战的结果。这样一来，如果某一 教授对解决某些问题发现了新方法的话，保密便对他有利。他然后便可在定能胜 出的领域中向对方有把握地发问。
穆勒（1436-1476），德国数学家，出生于哥尼斯堡，在协助老师 翻译希腊数学著作的过程中对数学产生了浓厚的兴趣。穆勒在许多领域 都有建树，其中对三角学的贡献最为杰出。在1461-1464年间完成了 《三角全书》，并于1533年发表，成为欧洲第一部使三角学获得独立地 位的系统理论研究的著作。 《三角全书》共5卷，其中包括平面三角和球面三角。前2卷讲平面 三角学，其中讨论了确定三角形的问题；后3卷讲球面三角学，对球面 三角与平面三角的关系以及球面三角形的边角关系进行了系统的阐述。 穆勒编制了7位数的正弦表，后来还编制了一个5位数的正切函数表， 对三角函数表的编制工作推动很大。 穆勒通过自己的努力使三角学脱离了天文学而成为一个独立的数学 分支。