第2章 控制系统的状态方程求解
要点：
① 线性定常状态方程的解 ② 状态转移矩阵的求法 ③ 离散系统状态方程的解 难点：
① 状态转移矩阵的求法 ② 非齐次状态方程的解
一 线性定常系统状态方程的解
1 齐次状态方程的解
考虑n 阶线性定常齐次方程
⎩
⎨
⎧==0)0()()(x x t Ax t x
（2-1）
的解。
先复习标量微分方程的解。设标量微分方程为
⎩⎨
⎧==0
)0(x x ax x （2-2）
对式（2-2）取拉氏变换得
)()(0s aX X s sX =-
移项 0)()(x s X a s =-
则
a
s x s X -=
0)(
取拉氏反变换，得
00
0!
)()(x k at x e t x k k
at
∑
∞
==
=
标量微分方程可以认为是矩阵微分方程当n=1时的特征，因此矩阵微分方程的解与标量微分方程应具有形式的不变性，由此得如下定理：
定理2-1 n 阶线性定常齐次状态方程（2-1）的解为 00
0!
)()(x k At x e
t x k k
At
∑
∞
==
=
（2-3）
式中，∑
∞
==
!
)(k k
At
k At e
推论2-1 n 阶线性定常齐次状态方程 ⎩⎨
⎧==00)()()(x t x t Ax t x
（2-4） 的解为
0)
(0)(x e
t x t t A -=
（2-5）
齐次状态方程解的物理意义是)(0
t t A e -将系统从初始时刻0t 的初始状态0x 转移到t 时刻的状态)(t x 。故)(0
t t A e -又称为定常系统的状态转移
矩阵。
(状态转移矩阵有四种求法：即定义（矩阵指数定义）法、拉氏反变换法、特征向量法和凯来-哈密顿（Cayly-Hamilton ）法)
从上面得到两个等式
∑
∞
==
!
)(k k
At
k At e
])
[(1
1
---=A sI L e
At
其中，第一式为矩阵指数定义式，第二式可为At e 的频域求法或拉氏反变换法
2 非齐次状态方程的解
设n 阶非齐次方程
⎩⎨
⎧=+=0
)()()()(x t x t Bu t Ax t x (2-6)
将状态方程左乘At e -，有
)()()(t Bu e t Ax e t x
e
At At At
---+=
移项 积分，再移项左乘At e ，得
⎰
--+
=t
t t A t t A d Bu e
x e
t x 0
0)()()
(0)
(τ
ττ
定理2-2 n 阶线性定常非齐次方程（2-6）的解为
⎰
--+
=t
t t A t t A d Bu e
x e
t x 0
0)()()
(0)
(τ
ττ
从非齐次状态方程解的表达式可以看出其解是由齐次方程的解与控制u （t ）的作用两部分结合而成。
二 矩阵指数At
e 的性质
1. ])[(1
1---=A sI L e At
2. I e =0
3. )
(ττ
+=t A A At
e
e
e
4.
At
At
e
e
--=1
)
(
5. 若矩阵A ，B 满足交换律，即AB=BA ，则有
t
B A Bt
At
e
e
e
)(+=⋅
6.
kAt
k
At
e
e =)
(
7. 设P 是与A 同阶的非奇异矩阵，则有
P
e
P e
At
APt
P
11
-=-
8.
A
e
Ae
e
dt
d At
At
At
==
9. 传递性。对任意012,,t t t ，且012
t t t >>，
有)
()
1()
(02012t t A t t A t t A e
e
e ---=
三 At
e 的计算方法
1. 定义法
∑
∞
==
!
)(k k
At
k At e
（2-6）
2. 拉氏变换法
])
[(1
1---=A sI L e
At
（2-7）
3. 特征值法
这种方法分两种情况计算。
首先，考虑A 的特征值不重时（互异），设A 的特征值为i λ
),2,1(n i =
则可经过非奇异变换把A 化成对角标准形。
即：AP
P
A
1
ˆ-=
根据t A e ˆ
的性质7写出
⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=t t
t
t A
n e e
e e
λλλ00
21ˆ
（2-8）
根据定义，得
++
+
+=++++=---3
1
2
1
1
3322ˆ)(!
31)(!
21ˆ!31ˆ!21ˆAPt P
APt P
AP P
I t A t A t A
I e
t A
P
A P
AP P AP P AP P AP P m
m
m
1
1
1
1
1
)
(-----=⋅=
