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第14讲解三角形中周长最大值及取值范围问题【考点分析】考点一：解三角形中角的最值及范围问题①利用锐角三角形，⎪⎩⎪⎨⎧<<<<<<πππC B A 000，求出角的范围②利用余弦定理及基本不等式求角的最值：bca bc bc a cb A 222cos 2222-≥-+=考点一：解三角形中周长的最值及范围问题①利用基本不等式：()bca bc cb bc a c b A 222cos 22222--+=-+=，再利用bc c b 2≥+及a c b >+，求出c b +的取值范围②利用三角函数思想：()B A R B R C R B R c b ++=+=+sin 2sin 2sin 2sin 2，结合辅助角公式及三角函数求最值【题型目录】题型一：三角形角的最值及范围问题题型二：三角形边周长的最值问题题型三：三角形边周长的最值范围问题【典型例题】题型一：三角形角的最值及范围问题【例1】在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin sin 2sin B C A +=，则A 的最大值为（）A ．2π3B ．π6C ．π2D ．π3【例2】在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos 0a B c +=，则tan C 的最大值是（）A ．1BCD【例3】锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2cos b a a C -=，则（）A ．2C A =B ．A 的取值范围是(,)64ππC ．2A C=D ．2ca的取值范围是【例4】已知在锐角ABC 中，sin tan 1cos BA B=+.(1)证明：2B A =；(2)求tan tan 1tan tan B AA B-+⋅的取值范围.【题型专练】1．在锐角三角形ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若cos cos b b A a B +=，则（）A ．2AB =B ．64B ππ<<C ．(ab∈D ．22a b bc=+2．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，若222sin()SA C b a +=-，则1tan 3tan()A B A +-的取值范围为（）A ．,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．4,33⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．433⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭题型二：三角形边周长的最值问题【例1】已知ABC 的内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，6c =，60B =︒，则b 的最小值为（）A ．3B ．C ．D ．6【例2】设ABC 边a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，若ABC 的面积为212c ，则以下结论中正确的是（）A ．b aa b+取不到最小值2B ．b aa b+的最大值为4C ．角C 的最大值为2π3D ．23b a ca b ab+-的最小值为-【例3】已知ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，且()()()2sin sin 2sin sin a A B c b B C -=-+，若2AD DB =，1CD = ，求：(1)求()cos A B +的值；(2)求2b a +的最大值.【例4】△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知cos2A +cos2B +2sin A sin B ＝1+cos2C ．(1)求角C ；(2)设D 为边AB 的中点，△ABC 的面积为CD 的最小值.【例5】ABC 三角形的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C -+-=(1)求C ∠；(2)已知6c =，求ABC 周长的最大值．【题型专练】1．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足sin 2sin sin A B C =，则c bb c+的最大值为______，此时内角A 的值为______2.在平面四边形ABCD 中，20AB AD ==，π3BAD ∠=，2π3BCD ∠=．(1)若5π12ABC ∠=，求BC 的长；(2)求四边形ABCD 周长的最大值．3．在条件：①2sin 30b A =，②3sin cos a b A a B =-，③22cos a b C c =+中任选一个，补充在下列问题中，然后解答补充完整的题目．已知a ，b ，c 分别为锐角ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，3b =，而且__________；(1)求角B 的大小；(2)求ABC 周长的最大值．4.ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.5.已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，(cos 3)a C C b c +=+．（1）求角A ；（2）若5a =，求ABC △的周长的最大值．题型三：三角形边周长的最值范围问题【例1】在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若1c =，π3B =，则a 的取值范围为_____________；sin sin AC 的最大值为__________．【例2】设ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，.c 已知6a =，2b =，要使ABC 为钝角三角形，则c 的大小可取__________(取整数值，答案不唯一)．【例3】在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且2cos 2a cC b-=.(1)求角B 的大小；(2)求ac的取值范围.【例4】平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠= ，AB =2，则AD 长度的取值范围________.【例5】某公园有一块等腰直角三角形的空地ABC ，其中斜边BC 的长度为400米，现欲在边界BC 上选择一点P ，修建观赏小径PM ，PN ，其中M ，N 分别在边界AB ，AC 上，小径PM ，PN 与边界BC 的夹角都是60︒，区域PMB 和区域PNC 内部种郁金香，区域AMPN 内种植月季花．(1)探究：观赏小径PM ，PN 的长度之和是否为定值？请说明理由；(2)为深度体验观赏，准备在月季花区城内修建小径MN ，当点P 在何处时，三条小径（PM ，PN ，MN ）的长度之和最少？【例6】请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．①()()()sin sin sin 0a c A C b a B +-+-=；②2cos 12cos C C C =+；③2sin sin 2sin cos B A C A -=．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若．(1)求角C ；(2)若4c =，求△ABC 周长的取值范围．【例7】在ABC 中,,a b c 为角,,A B C 所对的边，且cos cos 2B bC a c=-.(1)求角B 的值；(2)若b ，求2a c -的取值范围.【例8】在ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()sin sin 2sin sin sin a A c C B b C B =-++．(1)求角A ；(2)若ABC 为锐角三角形，求)2b c a-的取值范围．【题型专练】1．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos cos 2B bC a c=-，则下列说法正确的有（）A ．3B π=B ．若sin 2sinC A =，且ABC 的面积为ABC 的最小边长为2C ．若b =时，ABC 是唯一的，则a ≤D ．若b =ABC 周长的范围为2．锐角ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若2cos b a a C -=，则（）A ．2C A =B ．A 的取值范围是(,)64ππC ．2A C=D ．2ca的取值范围是3．已知三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，且(2)cos cos 0a c B b C --=．(1)求角B ；(2)若b ＝2，求a c +的取值范围．4．在锐角ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足()22sin sin sin sin A B B A B -=+.(1)证明：2A B =.(2)求bc 的取值范围.5．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()2sin 2sin 2sin a c A c a C b B -+-=.(1)求B ；(2)若ABC 为锐角三角形，且2b =，求ABC 周长的取值范围.6．如图：某公园改建一个三角形池塘，90C ∠=︒，2AB =（百米），1BC =（百米），现准备养一批观赏鱼供游客观赏．(1)若在ABC 内部取一点P ，建造APC 连廊供游客观赏，如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且2π3CPB ∠=，求连廊AP PC PB ++的长（单位为百米）；(2)若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，并建行连廊，使得DEF 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏．如图②，当DEF 为正三角形时，求DEF 的面积的最小值．7.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若sin sin cos cos 3sin B C A CA a c=+，且222sin sin sin sin sin A B C A B +-=⋅，则ba c +2的取值范围是（）A ．B ．(6,C ．D ．2)。
解三角形中的最值(范围)问题解三角形中的最值问题1.锐角三角形ABC满足$2B=A+C$，设最大边与最小边之比为$m$，求$m$的取值范围。
分析：由题意可知$\angle B=60^\circ$，且$A\leq B\leqC<90^\circ$。
不妨令$m=\dfrac{c}{a}$，则有：m=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sin C}{\sin A}\leq\dfrac{\sinC}{\sin B}\leq\dfrac{\sin C}{\sin(\pi/3)}=2\sin C$$又因为$\sin A\geq\dfrac{1}{2}$，$\tanA\geq\dfrac{\sqrt{3}}{3}$，所以：dfrac{1}{2}\leq\sin A\leq 1,\quad \dfrac{\sqrt{3}}{3}\leq\tan A\leq\sqrt{3}$$从而有：1\leq m=\dfrac{c}{a}\leq 2$$2.锐角三角形ABC的面积为$S$，角C既不是最大角，也不是最小角。
若$k=\dfrac{a+b}{c}$，求$k$的取值范围。
分析：由正弦定理得：dfrac{c^2-a^2-b^2+2ab\cos C}{2ab}= \dfrac{\sin C}{\sinA\sin B}=\dfrac{2S}{ab\sin C}$$又因为$\cos C<1$，所以：dfrac{2S}{ab\sin C}<\dfrac{c^2-a^2-b^2+2ab}{2ab}=\dfrac{(c-a+b)(c+a-b)}{2ab}=\dfrac{(c-a+b)}{2}\cdot\dfrac{(c+a-b)}{2ab}\leq\dfrac{1}{4}$$又因为$\sin C\geq\dfrac{1}{2}$，所以：k=\dfrac{a+b}{c}\geq\dfrac{2\sqrt{ab}}{c}\geq 2\sqrt{\sinA\sin B}\geq\sqrt{2\sin A}\geq\sqrt{2}\sin\dfrac{A}{2}$$ 又因为$A0$，所以$k>0$。
专题三角形中的最值与取值范围问题(总2页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--专题 三角形中的最值与取值范围问题三角形中的边与角的最值与取值范围问题，是复习过程中的难点，在高考中考查形式灵活，常常在知识的交汇点处命题，与函数、几何、不等式等知识结合在一起。
我们知道三角形只要满足三个条件，那么这个三角形就基本唯一确定了，而少于三个条件时，有些边角周长面积就可以变化，从而就有了求这些量的取值范围问题。
这类问题的实质是将几何问题转化为代数问题，求解主要是充分运用三角形的内角和定理，正余弦定理，面积公式，基本不等式，三角恒等变形，三角函数的图像和性质来进行解题，非常综合，是解三角形中的难点问题。
下面对这类问题的解法做下探讨。
类型一：已知一角+对边例题1：在?ABC 中，A=60°，，求（1）ABC ∆面积的最大值；（2）b c +的取值范围；（3）2b c +的最大值；（4）BC 边上高的最大值。
类型二：已知一角+边的等量关系例题2：在?ABC 中，A=60°，1b c +=，求（1）ABC S ∆的最大值；（2）a 的取值范围；（3）周长的取值范围。
类型三：已知一角+面积例题3：在?ABC 中，A=60°，ABC S ∆=（1）b c +的最小值；（2）a 的最小值。
（3）周长的最小值。
（4）112b c +的最小值。
类型四：已知角的等量关系例题4：在?ABC 中，A=2B ，则c b的取值范围为 变式：在锐角?ABC 中，A=2B ，则c b的取值范围为 类型五：已知两边，求面积的最值例题5：在?ABC 中，已知1,2AB BC ==，求（1）ABC S ∆的最大值；（2）角C 的取值范围。
类型六：已知一边+另两边的等量关系例题6：在?ABC 中，已知6,10BC AB AC =+=，求ABC S ∆的最大值。
变式：在?ABC 中，已知6,BC AC ==，求ABC S ∆的最大值。
