2020届湖北省荆门市龙泉中学高三高考适应性考试(二)理科数学试卷及答案

2020-2021学年湖北省恩施市荆门龙泉中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 使复数为实数的充分而不必要条件是由 ( )A． B． C．为实数D．为实数参考答案：B 解析：；，反之不行，例如；为实数不能推出，例如；对于任何，都是实数2. 已知直线过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直。

与C交于A,B两点，=12，P 为C的准线上一点，则ABP的面积为（A）18 （B）24 （C）36 （D）48参考答案：C3. 已知，是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，下列命题正确的是A.若，，，，则B.若，，，则C.若，，，则D.若，，，则参考答案：B4. 在△ABC中，∠C=，AB=2，AC=，则cosB的值为（）A．B．C．或 D．或参考答案：D【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理和内角和定理可得答案：【解答】解：由题意：，c=AB=2，b=，由正弦定理=，则有：sinB==．∵0＜B＜π∴B=或．当B=时，则cosB=当B=时，则cosB=．故选D5. 已知函数（，，），则“是奇函数”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B考点：1、充分条件与必要条件；2、三角函数性质.6. 如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则A．BM=EN，且直线BM、EN是相交直线B．BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C．BM=EN，且直线BM、EN是异面直线D．BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线参考答案：B，为中点为中点，，共面相交，选项C，D为错．作于，连接，过作于．连，平面平面．平面，平面，平面，与均为直角三角形．设正方形边长为2，易知，．，故选B．7. 已知，则（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】将角表示为，再利用诱导公式可得出结果.【详解】，故选C.【点睛】本题考查利用诱导公式求值，解题的关键就是弄清所求角与已知角之间的关系，考查计算能力，属于中等题.8. 已知Ｐ为空间中任意一点，Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且，则实数的值为（）Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．参考答案：A9. 网格纸的各小格都是边长为1的正方形，图中粗实线画出的是一个几何体的三视图，其中正视图是正三角形，则该几何体的外接球表面积为（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】由三视图求面积、体积．【分析】该几何体是有一个侧面PAC垂直于底面，高为，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心，由此能求出这个几何体的外接球的半径R，从而能求出这个几何体的外接球的表面积．【解答】解：由已知中正视图是一个正三角形，侧视图和俯视图均为三角形，可得该几何体是有一个侧面PAC垂直于底面，高为，底面是一个等腰直角三角形的三棱锥，如图．则这个几何体的外接球的球心O在高线PD上，且是等边三角形PAC的中心，这个几何体的外接球的半径R=PD=．则这个几何体的外接球的表面积为S=4πR2=4π×（）2=．故选：D．10. 将函数的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若，则实数t的最小值为（）A．B．C．D．参考答案：B 二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知直四棱柱底面是边长为2的菱形，侧面对角线的长为，则该直四棱柱的侧面积为．参考答案：16【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．【分析】根据题意画出图形，结合图形求出侧棱长，再计算四棱柱的侧面积．【解答】解：如图所示，直四棱柱底面ABCD 是边长为2的菱形，侧面对角线的长为，∴侧棱长为CC1==2；∴该直四棱柱的侧面积为S=4×2×2=16．故答案为：16．12. （几何证明选讲选做题）如图，为⊙的直径，，弦交于点．若，，则的长为．参考答案：【知识点】相交弦定理的应用.N1【答案解析】1 解析：由已知得:,根据相交弦定理得：,【思路点拨】先有已知条件求得线段的长，再根据相交弦定理得：,.13. 如图，一个树形图依据下列规律不断生长：1个空心圆点到下一行仅生长出1个实心圆点，1个实心圆点到下一行生长出1个实心圆点和1个空心圆点．则第11行的实心圆点的个数是．参考答案：5514. （5分）定义：如果函数y=f（x）在定义域内给定区间上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）=，则称函数y=f（x）是上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点．例如y=|x|是上的“平均值函数”，0就是它的均值点．给出以下命题：①函数f（x）=cosx﹣1是上的“平均值函数”；②若y=f（x）是上的“平均值函数”，则它的均值点x0≥；③若函数f（x）=x2﹣mx﹣1是上的“平均值函数”，则实数m的取值范围是m∈（0，2）；④若f（x）=lnx是区间（b＞a≥1）上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点，则lnx0＜．其中的真命题有．（写出所有真命题的序号）参考答案：①③④【考点】：命题的真假判断与应用．【专题】：简易逻辑．【分析】：直接利用定义判断①的正误；利用反例判断②的正误；利用定义推出m的范围判断③的正误；利用分析法直接证明结合函数的导数即可证明④的正误．解：①容易证明正确．函数f（x）=cosx﹣1是上的“平均值函数”；﹣1就是它的均值点．②不正确．反例：f（x）=x在区间上．③正确．由定义：得，又x0∈（﹣1，1）所以实数m的取值范围是m∈（0，2）．④正确．理由如下：由题知．要证明，即证明：，令，原式等价于．令，则，所以得证．故答案为：①③④．【点评】：本题考查新定义的应用，函数的导数以及分析法的应用，考查分析问题解决问题的能力．15. 已知方程x2+（1+a）x+4+a=0的两根为x1，x2，且0＜x1＜1＜x2，则a的取值范围是．参考答案：（﹣4，﹣3）【考点】7H：一元二次方程的根的分布与系数的关系；3W：二次函数的性质．【分析】根据方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x1＜1＜x2，结合对应二次函数性质得到，得到关于a的不等式组，解不等式组即可．【解答】解：由程x2+（1+a）x+4+a=0，知对应的函数f（x）=x2+（1+a）x+4+a图象开口方向朝上又∵方程x2+（1+a）x+4+a=0的两根满足0＜x1＜1＜x2，则即即，∴﹣4＜a＜﹣3故答案为（﹣4，﹣3）【点评】本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，三个二次之间的关系，本题解题的关键是由方程x2+（1+a）x+1+a+b=0的两根满足0＜x1＜1＜x2，结合二次函数图象得到．16. 函数的定义域为▲．参考答案：由，得，函数的定义域为.故答案为：.17. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．参考答案：4+1【考点】由三视图求面积、体积．【分析】首先根据三视图把平面图转换成立体图形，进一步利用几何体的体积公式求出结果．【解答】解：根据几何体的三视图可知，该几何体是一个三棱柱和一个三棱锥所组成的，如图所示，且其底面均为高为的等边三角形，其面积为×2×=，三棱柱的高为4，三棱锥的高为，故几何体的体积为×4+××=4+1，故答案为：4+1三、解答题：本大题共5小题，共72分。

2020届高三理科数学1月份特供卷二（湖北省荆门市）附解析 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分． （一）单选题 1．设集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．2．已知是的共轭复数，则（ ）A ．B ．C ．D ．3．边长为2的正方形ABCD 中，，，则（ ） A ． B ． C ． D ．4．已知三棱锥中，，，，，，则三棱锥的体积是（ ）A ．4B ．6C ．．5．满足条件，的面积的最大值是（ ） A． B ． C ． D ． 6．已知为等比数列，下面结论中正确的是（ ）A ．B ．C ．若，则D ．若，则{}(,)6A x y x y =+={}2(,)B x y y x ==A B =I {}(2,4){}(3,9)-{}(2,4),(3,9)-∅i (,)a b a b +∈R 1i1i +-a b +=1-12-12112DE EC =u u u r u u u r 35AF AD=u u u r u u u rAE BF ⋅=u u u r u u u r 13156516151415S ABC -π2SAB ABC ∠=∠=4SB =SC =2AB =6BC =S ABC -2AB =AC =ABC △3+3+{}n a 1322a a a +≥2221322a a a +≥13a a =12a a =31a a >42a a >7．设定义域为R 的函数满足下列条件：①对任意，；②对任意，当时，有，下列不等式不一定成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．若且，则（ ） A ． B ． C ．D ．（二）多选题9．若函数的图象关于直线对称，则（ ）A ．B ．函数的最大值为C ．为函数的一个对称中心D ．函数在上单调递增10．已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（ ）A ．的方程为B ．C ．曲线经过的一个焦点 D ．直线与有两个公共点 11．正方体的棱长为2，分别为的中点，则（ ）()f x x ∈R ()()0f x f x +-=[]12,1,x x a ∈21x x >()()210f x f x >>()()0f a f >12a f f +⎛⎫> ⎪⎝⎭()1331a f f a -⎛⎫>- ⎪+⎝⎭()131a f f a a -⎛⎫>- ⎪+⎝⎭1a b c >>>2ac b <log log log a b c b c a >>log log log c b a b a c >>log log log b a c c b a>>log log log b c a a b c>>sin 2cos 2y x m x =+π6x =-3m =-37π(,0)12ππ[,]63C (3y x=±C 2213x y -=C 21x y e -=-C 10x -=C 1111ABCD A B C D -,,E F G 11,,BC CC BBA ．直线与直线垂直B ．直线与平面平行C ．平面截正方体所得的截面面积为D ．点与点到平面的距离相等12．已知函数，下列命题为真命题的是（ ）A ．函数是周期函数B ．函数既有最大值又有最小值C ．函数的定义域是，且其图象有对称轴D ．对于任意，单调递减第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设，，，，则数列的通项公式．14．已知定义在上的奇函数满足当时，，则曲线在点处的切线斜率为______．1D D AF 1A GAEF AEF 92C G AEF ()()()22sin π122xf x x x x =+-+()f x ()f x ()f x R (1,0)x ∈-()f x 12a =121n n a a +=+21n n n a b a +=-n ∈*N {}n b n b =R ()f x 0x >()3ln f x x x =-()y f x =()()1,1f --15．在等腰直角三角形中，点是边异于、的一点．光线从点出发，经过、反射后又回到点(如图)．若光线经过的重心，且，则_________．16．半径为2的球面上有四点，且两两垂直，则，与面积之和的最大值为______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在中，角、、所对的边分别为、、，且．（1）求的值；（2）若，且的面积，求的值．18．（12分）数列的前项和为，已知，，．ABC P AB A B P BC CA P QR ABC △4AB AC ==AP=,,,A B C D ,,AB AC AD ABC △ACD △ADB △ABC △A B C a b c ()2223sin sin sin 3sin B C B C A+=+tanA 3sin cB aA =ABC△ABC S =△c {}n a n nS 112a =2(1)n n S n a n n =--1,2,3,n =L（1）写出与的递推关系式；（2）求关于的表达式．19．（12分）如图，已知三棱柱，平面平面，，，分别是的中点．（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的余弦值．nS 1n S -(2)n ≥nS n 111ABC A B C -11A ACC ⊥ABC 90ABC ∠=︒30BAC ∠=︒11,,A A AC AC E F ==11,AC A B EF BC ⊥EF 1ABC20．（12分）已知过原点的动直线l与圆C1:x2+y2−6x+5=0相交于不同的两点A，B．（1）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；（2）是否存在实数k，使得直线L:y=k(x−4)与曲线C只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数，，．（1）若，且存在单调递减区间，求实数的取值范围；（2）设函数的图象与函数的图象交于点，，过线段的中点作轴的垂线分别交，于点，，证明：在点处的切线与在点处的切线不平行．()ln f x x =21()2g x ax bx =+0a ≠2b =()()()h x f x g x =-a ()f x 1C()g x 2C P Q PQ x 1C 2C M N 1CM 2C N22．（12分）设均为正数，且． 求：（1）的最大值；（2）的最小值．,,m n p 1m n p ++=mn np pm ++222m n p n p m ++2020届高三理科数学1月份特供卷二（湖北省荆门市）解析 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分． （一）单选题 1．设集合，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】，或，则，故选C ．2．已知是的共轭复数，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A{}(,)6A x y x y =+={}2(,)B x y y x ==A B =I {}(2,4){}(3,9)-{}(2,4),(3,9)-∅26x y y x +=⎧⎨=⎩24x y =⎧∴⎨=⎩39x y =-⎧⎨=⎩{}(2,4),(3,9)A B -=I i (,)a b a b +∈R 1i1i +-a b +=1-12-121【解析】，∴，∴，，∴，故选A ．3．边长为2的正方形ABCD 中，，，则（ ） A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】以A 为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，，故，，则，故选C ． 4．已知三棱锥中，，，，，，则三棱锥的体积是（ ）A ．4B ．6C ．．【答案】C【解析】由，，且，得；又由，，且，得因为，从而知，即，所以．()()21i (1i)2ii 1i 1i 1i 2++===-+-i i a b +=-0a =1b =-1a b +=-12DE EC =u u u r u u u r 35AF AD=u u u r u u u rAE BF ⋅=u u u r u u u r 13156516151415(0,0)A 2,23E ⎛⎫ ⎪⎝⎭(2,0)B 60,5F ⎛⎫ ⎪⎝⎭2,23AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 62,5BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r 412163515AE BF ⋅=-+=u u u r u u u r S ABC -π2SAB ABC ∠=∠=4SB =SC =2AB =6BC =S ABC -4SB =2AB =π2SAB ∠=SA =2AB =6BC =π2ABC ∠=AC =222SA AC SC +=π2SAC ∠=SA AC ⊥SA ABC ⊥平面又由于，从而故选C ．5．满足条件，的面积的最大值是（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】B 【解析】设，，，因为，所以，所以，所以的轨迹是以为圆心，半径等于，两点，所以B ．6．已知为等比数列，下面结论中正确的是（ ）A ．B ．C ．若，则D ．若，则【答案】B【解析】设{an}的首项为a1，公比为q ，当a1<0，q<0时，可知a1<0，a3<0，a2>0，所以A 不正确； 当时，C 选项错误；当q<0时，a3>a1⇒a3q<a1q ⇒a4<a2，与D 选项矛盾， 因此根据基本不等式可知B 选项正确．12662ABC S =⨯⨯=△11633S ABC ABC V S SA -=⋅=⨯⨯=△2AB =AC =ABC △3+3+(),C x y ()1,0A ()1,0B -AC =()()()22221210x y x y y ⎡⎤-+=++≠⎣⎦()()22380x y y ++=≠C ()3,0-()3--()3,0()max 12ABC S r AB =⨯⨯=△{}n a 1322a a a +≥2221322a a a +≥13a a =12a a =31a a >42a a >1q =-7．设定义域为R 的函数满足下列条件：①对任意，；②对任意，当时，有，下列不等式不一定成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】∵①对任意x ∈R ，()()0f x f x +-=，∴函数()f x 是奇函数， ∵②对任意，当时，有，∴函数()f x 在区间[]1,a 上是单调增函数．∵1a >，故选项A ，()()0f a f >一定成立；∵12a+>B ，()12a f f a +⎛⎫> ⎪⎝⎭一定成立；∵()()2113011a aa a a ----=>++，∴131a a a ->-+，∴311a a a ->+， ∴()311a f a f a -⎛⎫> ⎪+⎝⎭，两边同时乘以1-，可得()311a f a f a -⎛⎫-<- ⎪+⎝⎭， 即()131a f f a a -⎛⎫>- ⎪+⎝⎭，故选项D 一定成立；()1343011a a a ---=>++，∴1331a a ->-+，3131a a ->+， 但不能确定3和311a a -+是否在区间[]1,a 上，故()3f 和311a f a -⎛⎫ ⎪+⎝⎭的大小关系不确定，故131a f a -⎛⎫⎪+⎝⎭与()3f -的大小关系不确定，()f x x ∈R ()()0f x f x +-=[]12,1,x x a ∈21x x >()()210f x f x >>()()0f a f>12a f f +⎛⎫> ⎪⎝⎭()1331a f f a -⎛⎫>- ⎪+⎝⎭()131a f f a a -⎛⎫>- ⎪+⎝⎭[]12,1,x x a ∈21x x >()()210f x f x >>故选项C 不一定正确， 故答案选C ．8．若且，则（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】B【解析】（方法一） 对选项A ：由，从而，，，从而选项A 错误；对选项B ：首先，，，从而知最小，下只需比较与的大小即可，采用差值比较法：，从而，选项B 正确；对于选项C ：由，，知C 错误；对于选项D ：可知，从而选项D 错误，故选B ．（方法二）取，，代入验证知选项B 正确． （二）多选题1a b c >>>2ac b <log log log a b c b c a >>log log log c b a b a c >>log log log b a c c b a>>log log log b c a a b c>>a b c >>log log 1a ab a <=log log 1b bc b <=log log 1c c a c >=log log 1c c b c >=log log 1b b a b >=log log 1a a c a <=log a clog c b log b a222lg lg (lg )lg lg (lg )lg lg 2log log lg lg lg lg lg lg c b a c b b a b a c b a c b c b c b +⎛⎫- ⎪-⋅⎝⎭-=-=≥⋅⋅222lg (lg )20lg lg b b c b ⎛⎫- ⎪⎝⎭>=⋅log log c b b a>log log 1a a b a <=log log 1c c a c >=log log c b b a>5a =4b =3c =9．若函数的图象关于直线对称，则（ ）A ．B ．函数的最大值为C ．为函数的一个对称中心D ．函数在上单调递增【答案】ABCD 【解析】（其中），因为函数的图象关于直线对称，则，，则，， A 正确；又，则函数的最大值为，B 正确； 令，，当，， 则为函数的一个对称中心，C 正确； 令，，当，为增区间，即函数在上单调递增，D 正确．故选ABCD ．10．已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（ ）A ．的方程为sin 2cos 2y x m x =+π6x =-m =7π(,0)12ππ[,]63()sin 2cos 22y x m x x ϕ=+=+tan m ϕ=sin 2cos 2y x m x =+π6x =-ππ2π62k ϕ⎛⎫⨯-+=+ ⎪⎝⎭()5ππ6k k ϕ∴=+∈Z tan 3m ϕ==-3m ∴=-πsin 2226y x x x ⎛⎫==- ⎪⎝⎭3π2π6x k -=ππ,212k x k ∴=+∈Z 1k =7π12x =7π(,0)12πππ2π22π262k x k -≤-≤+ππππ63k x k ∴-≤≤+0k =ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ππ[,]63C (3y x=±C 2213x y -=B ．C ．曲线经过的一个焦点 D ．直线与有两个公共点 【答案】AC【解析】对于选项A ：由已知，可得，从而设所求双曲线方程为，又由双曲线过点，从而，即，从而选项A正确；对于选项B ：由双曲线方程可知，，从而离心率为，所以B 选项错误； 对于选项C ：双曲线的右焦点坐标为，满足，从而选项C正确； 对于选项D ：联立，整理得， 由，知直线与双曲线只有一个交点，选项D 错误． 故选AC ．11．正方体的棱长为2，分别为的中点，则（ ）C 21x y e -=-C 10x -=C 3y x=±2213y x =2213x y λ-=C (22133λ⨯-=1λ=a =1b =2c =3c e a ===()2,021x y e -=-221013x x y ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩220y +=-2420Δ=-⨯=C 1111ABCD A B C D -,,E F G 11,,BC CC BBA ．直线与直线垂直B ．直线与平面平行C ．平面截正方体所得的截面面积为D ．点与点到平面的距离相等 【答案】BC 【解析】A ．若，又因为且，所以平面，所以，所以，显然不成立，故结论错误；B ．如图所示，取的中点，连接，，由条件可知：，，且1GQ AQ Q =I ，，所以平面平面，又因为平面，所以平面，故结论正确；1D D AF 1A GAEF AEF 92C G AEF 1D D AF⊥1D D AE⊥AE AF A =I 1DD ⊥AEF 1DD EF⊥1CC EF⊥11B C Q 1A QGQ GQ EF ∥1AQ AE∥EF AE E =I 1AGQ ∥AEF 1AG ⊂1A GQ1A G ∥AEFC ．如图所示，连接，，延长，交于点，因为为的中点，所以1EF AD ∥，所以四点共面，所以截面即为梯形，又因为1AD = 所以，所以，故结论正确；D ．记点与点到平面的距离分别为，，因为，又因为21122333G AEF AEF A GEF V S h V --=⋅⋅===， 所以，故结论错误．故选BC ．12．已知函数，下列命题为真命题的是（ ）A ．函数是周期函数B ．函数既有最大值又有最小值1D F1D A1D FAE S ,E F 1,C C BC1,,,A E F D 1AEFD 1D S AS ===1162AD S S =⨯=△139=6=42AEFD S ⨯梯形C G AEF 1h 2h11111123323C AEF AEF A CEF V S h V --⨯=⋅⋅==⋅⋅=12h h ≠()()()22sin π122xf x x x x =+-+()f x ()f xC ．函数的定义域是，且其图象有对称轴D ．对于任意，单调递减【答案】BC【解析】由函数()()()()2222sin πsin π122(1)(1)1x xf x x x x x x ==+-++-+，A ．函数是周期函数不正确，因为分母随着自变量的远离原点，趋向于正穷大，所以函数图象无限靠近于x 轴，故不是周期函数； B ．令，，，单调递增，又且对称轴是，故在取得最小值， 又在取得最大值，故函数有最大值；另一方面，当，恒成立，且因为在，恒成立，故的最小值在取得，由，，，单增，又，单调递减，同理，在，，单调递减，，使得，在单调递减，在单增，故， 故f （x ）有最大值又有最小值；B 正确．()f x R (1,0)x ∈-()f x ()f x ()()()22122g x x x x =+-+()324662g x x x x '=-+-()()262210g x x x ''=-+>()g x '∴102g ⎛⎫> ⎪⎝⎭()g x 12x =()g x 12x =()sin πh x x=12x =()f x 0x ≥()0g x >sin 0y x =π<()1,2()3,4,L ()f x ()1,2x ∈()1πh '=-()12g '=π12>()f x ∴()0f x <()f x ∴32x =302g ⎛⎫'> ⎪⎝⎭302h ⎛⎫'= ⎪⎝⎭()f x ∴0x ∃()()00h x g x ''=() f x ∴()01,x 03,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭()()0min f x f x =C ．函数f （x ）的定义域是R ，且，故其对称轴是，此命题正确；D ．由于自变量从1-变化到0，分母变小，而分子由0减小到1-，再由1-增大到0， 所以函数值的变化是先减小后增大，故D 不正确， 综上，BC 正确，故选BC ． 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设，，，，则数列的通项公式．【答案】12n +【解析】由条件得111222122221111n n n n nn n n a a a b b a a a +++++++====---+，且，所以数列是首项为4，公比为2的等比数列，则．14．已知定义在上的奇函数满足当时，，则曲线在点处的切线斜率为______．【答案】【解析】当时，，由于函数为奇函数，当时，，则，此时，，．()()1f x f x =-12x =12a =121n n a a +=+21n n n a b a +=-n ∈*N {}n b n b =14b ={}n b 11422n n n b -+=⋅=R ()f x 0x >()3ln f x x x =-()y f x =()()1,1f --40x >()3ln f x x x =-()y f x =0x <0x ->()()()()()33ln ln f x f x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎢⎥-⎢⎥⎣⎦()()()2231311f x x x x x'=-⋅-=--()11341f '∴-=-=-因此，曲线在点处的切线斜率为．故答案为．15．在等腰直角三角形中，点是边异于、的一点．光线从点出发，经过、反射后又回到点(如图)．若光线经过的重心，且，则_________．【答案】【解析】建立平面直角坐标如图，作关于的对称点，作关于轴的对称点，设，因为，，所以，解得，由光的反射原理可知：四点共线，所以，()y f x =()()1,1f --44ABC P AB A B P BC CA P QR ABC △4AB AC ==AP=43P BC 1PP y 2P AP a=:40BC l x y +-=()()12,,,0P m n P a -402201m a nn m a +⎧+-=⎪⎪⎨-⎪=⎪-⎩()14,4P a -12,,,P P R Q1244RQ P P ak k a -==+所以，代入重心坐标，即， 所以，解得或(舍)． 故答案为．16．半径为2的球面上有四点，且两两垂直，则，与面积之和的最大值为______．【答案】8【解析】如图所示，将四面体置于一个长方体模型中，则该长方体外接球的半径为2．不妨设，，，则有，即． 记．从而有，即，从而．当且仅当，即该长方体为正方体时等号成立．从而最大值为8．三、解答题：本大题共6个大题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在中，角、、所对的边分别为、、，且．()4:4RQ a l y x a a -=++400040,33++++⎛⎫ ⎪⎝⎭44,33⎛⎫ ⎪⎝⎭444343a a a -⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭43a =0a =43,,,A B C D ,,AB AC AD ABC △ACD △ADB △A BCD-AC x =AD y =AB z=2=22216x y z ++=111222ABC ACD ADB S S S S yz xy zx =++=++△△△()()()()222222240x y z S x y y z z x ++-=-+-+-≥432S ≤8S ≤x y z ==ABC △A B C a b c ()2223sin sin sin 3sin B C B C A+=+（1）求的值；（2）若，且的面积，求的值． 【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，故，，故，因此，． （2）因为，故，即， 的面积为，故，解得18．（12分）数列的前项和为，已知，，．（1）写出与的递推关系式；（2）求关于的表达式．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1），，．（2），，tan A 3c a=ABC △ABC S =△c tan 4A =c =()2223sin sin sin 3sin B C B C A+=+2223b c a +-=222cos 23b c a A bc +-∴==1sin 3A ===sin 1tan cos 34A A A ===3sin c B aA =3c a a =2b c =ABC Q △1sin 2ABCS bc A ==△21123=28c =c ={}n a n nS 112a =2(1)n n S n a n n =--1,2,3,n =L nS 1n S -(2)n ≥nS n 21211n n n n S S n n -=++-21n n S n =+21()(1)(2)n n n S n S S n n n -=---≥Q 221(1)(1)n n n S n n n S -∴-=-+21211n n n n S S n n -∴=++-111(2)1n n n n S S n n n -+=+≥-Q1191n n n nS S n n +∴-=-L故数列是以为首项、1为公差的等差数列， ．19．（12分）如图，已知三棱柱，平面11A ACC ⊥平面，，，分别是的中点．（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）．【解析】（1）如图所示，连结，等边1AAC △中，AE EC =，则1A E AC⊥，平面ABC ⊥平面，且平面ABC ∩平面，由面面垂直的性质定理可得：平面，故，1n n S n+⎧⎫⎨⎬⎩⎭121S =211n n n n S n S n n +∴=⇒=+111ABC A B C -ABC 90ABC ∠=︒30BAC ∠=︒11,,A A AC AC E F ==11,AC AB EF BC ⊥EF 1A BC 3511,A E BE11A ACC 11A ACC AC=1A E ⊥ABC 1A E BC⊥由三棱柱的性质可知，而，故，且，由线面垂直的判定定理可得：平面， 结合平面，故．（2）在底面ABC 内作EH ⊥AC ，以点E 为坐标原点，EH ，EC ，方向分别为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系．设1EH =，则，，，据此可得：，，，，由，可得点的坐标为， 利用中点坐标公式可得， 由于，故直线EF的方向向量为， 设平面的法向量为，则，11A B AB∥AB BC ⊥11A BBC ⊥1111A B A E A =I BC ⊥11A B EEF ⊆11A B EEF BC ⊥1EA E xyz -AE EC ==11AACA ==BC =3AB =()0,A 3,22B ⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭()10,0,3A ()C 11AB A B =u u u r u u u u r 1B 132B ⎛⎫ ⎪⎝⎭34F ⎛⎫⎪⎝⎭()0,0,0E 34EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r 1A BC(),,x y z =m ()()133,,3302233,,022A B x y z x y z BC x y z x y ⎧⎛⎫⋅=⋅-=-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅=⋅-=-+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩u u u r u u u r m m据此可得平面的一个法向量为，此时，设直线EF 与平面所成角为，则，． 20．（12分）已知过原点的动直线l 与圆C 1:x 2+y 2−6x +5=0相交于不同的两点A ，B ．（1）求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；（2）是否存在实数k ，使得直线L:y =k(x −4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）设(),M x y ，则1C M AB⊥，当直线l 的斜率不为0时，由11C M ABK K ⋅=-，得13y yx x ⋅=--，即223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当直线l 的斜率为0时，()3,0M 也适合上述方程，∴线段EF 的中点M 的轨迹的方程为223953243x y x ⎛⎫⎛⎫-+=<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． （2）由（1）知点M 的轨迹是以为圆心，为半径的部分圆弧（如下图所示，不包括两端点），且，，又直线l ：y =k(x −4)过定点()4,0D ，1ABC()m=4cos ,5EF EF EF ⋅===⨯u u u ru u u r u u u rm m m1A BC θ4sin cos ,5EF θ==u u u r m 3cos 5θ=22393,3245x y x ⎛⎫⎛⎤-+=∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦．33,44k ⎡⎧⎫∈-⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦U当直线l 与圆C32=，得34k =±，又，结合上图可知当33,44k ⎡⎧⎫∈-⎨⎬⎢⎩⎭⎣⎦U 时，直线l ：y =k(x −4)曲线C 只有一个交点．21．（12分）已知函数，，．（1）若，且存在单调递减区间，求实数的取值范围；（2）设函数()f x 的图象与函数的图象交于点，，过线段的中点作轴的垂线分别交，于点，，证明：在点处的切线与在点处的切线不平行．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）时，，则，因为函数存在单调递减区间，所以有解，()ln f x x =21()2g x ax bx =+0a ≠2b =()()()h x f x g x =-a 1C()g x 2C P Q PQ x 1C 2C M N 1CM 2C N(1,0)(0,)-+∞U 2b =()21ln 22h x x ax x=--()21212ax x h x ax x x +-'=--=-()h x ()0h x '<又因为，则有的解，所以，所以的取值范围为．（2）设点、的坐标分别为，，，则点，的横坐标为，在点处的切线斜率为，在点处的切线斜率为，假设在点处的切线与在点处的切线平行，则，即，则()()()212222212122112121122ln ln 222x x a a a x x b x x x bx x bx y y x x x x -⎛⎫⎛⎫=-+-=+-+=-=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，所以，设，则，，①令，，则，因为时，，所以在上单调递增，故，0x >2210ax x +->0x >22121111a x x x ⎛⎫>-=--≥- ⎪⎝⎭a (1,0)(0,)-+∞U P Q ()11,x y ()22,x y 120x x <<M N 122x x x +=1C M 12112212|x x x k x x x +===+2C N ()121222|2x x x a x x k ax b b+=+=+=+1C M 2C N 12k k =()121222a x x bx x +=++21221121ln 1x x xx x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+21x t x =()21ln 1t t t-=+1t >()()21ln 1t r t t t-=-+1t >()()()()22211411t r t t t t t -'=-=++1t >()0r t '>()r t ()1,+∞()()10r t r >=则，这与①矛盾，假设不成立，故在点处的切线与在点处的切线不平行．22．（12分）设均为正数，且． 求：（1）的最大值；（2）的最小值． 【答案】（1）；（2）1．【解析】（1）由，，， 得． 由已知得， 即， 当且仅当等号成立，，的最大值为．（2）因为，，，当且仅当等号成立，所以， 即，的最小值为1．()21ln 1t t t->+1C M 2CN ,,m n p 1m n p ++=mn np pm ++222m n p n p m ++13222m n mn +≥222n p np +≥222p m pm +≥222m n p mn np pm ++≥++2()1m n p ++=2222221333m n p mn np pm mn np pm +++++=≥++13m n p ===13mn np pm ∴++≤mn np pm ∴++1322m n m n +≥22n p n p +≥22p m pm +≥13m n p ===222()2()m n p m n p m n p n p m +++++≥++2221m n p n p m ++≥222m n p np m ++。

2020年高考数学模拟试卷（理科）（6月份）一、选择题（共12小题）. 1.已知a 是实数，1a iz i-=+是纯虚数，则z 的虚部为（ ） A. 1 B. 1-C. iD. i -【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简，且结合纯虚数定义求得a ，进而得z 的虚部. 【详解】由复数的除法运算化简可得()()()()11111122a i i a i a a z i i i i ----+===-++-， 由纯虚数的定义可知满足102102a a -⎧=⎪⎪⎨+⎪-≠⎪⎩，解得1a =， 所以z i =-， z 的虚部为1-，故选：B.【点睛】本题考查了复数的除法运算，复数的定义简单应用，属于基础题.2.已知集合{}220A x x x =+-<，集合11B x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ）A. ∅B. {}1x x <C. {}01x x << D. {}20x x -<<【答案】D 【解析】 【分析】先利用一元二次不等式的解法化简集合A ，B ，再用交集的定义求解. 【详解】{}21A x x =-<<，{0B x x =<或}1x >， 所以{}20A B x x ⋂=-<<，故选：D .【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的不等式的解法，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3.“ln ln x y >”是“1132xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C . 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】利用对数函数，指数函数和幂函数的单调性，根据逻辑条件的定义判断.【详解】由ln ln x y >，得0x y >>，此时111332x y y⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 反之1132xy⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立时，可以取1x =-，2y =-，不能推出ln ln x y >.故选：A .【点睛】本题主要考查逻辑条件的判断，还考查了运算求解的能力，属于基础题.4.斐波拉契数列，指的是这样一个数列：1，1，2，3，5，8，13，21，…，在数学上，斐波拉契数列{a n }定义如下：a 1＝a 2＝1，a n ＝a n ﹣1+a n ﹣2（n ≥3，n ∈N ），随着n 的增大，1nn a a +越来越≈0.618，故此数列也称黄金分割数列，而以a n +1、a n 为长和宽的长方形称为“最美长方形”，已知某“最美长方形”的面积约为200平方厘米，则该长方形的长大约是（ ） A. 20厘米 B. 19厘米C. 18厘米D. 17厘米【答案】C 【解析】 【分析】因为由已知有112n n a a +=≈0.618，又1200n n a a +⋅＝，得0.61821n a +≈200，进而解得1n a +.【详解】解：由已知有112n n a a +=≈0.618， 得：10.618n n a a +≈， 由1200n n a a +⋅＝， 得0.61821n a +≈200，即21323.62n a +≈，由于172＝289，182＝324， 所以a n +1≈18（厘米）， 故选：C.【点睛】本题考查了数学文化及数列新定义的应用，属于基础题.5.设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若2413S S =，则36S S 等于（ ）A.316B.13C.516D.716【答案】C 【解析】 【分析】设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由2413S S =得到首项与公差的关系，再把S 3，S 6用含有d 的代数式表示，则答案可求.【详解】设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由2413S S =，得3（2a 1+d ）＝4a 1+6d ，即132a d =. ∴3191533322S a d d d d =+=+=， 616518304862222d dS a d d ⨯=+=+=.∴36155248162dS S d==. 故选：C.【点睛】本题主要考查等差数列前n 项和公式的性质应用，考查了运算求解的能力，属于中档题.6.函数()2e 2xf x x x =--的图象大致为（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】求导分析导函数的单调性与零点可得原函数存在两个极值点,再代入1x =求值判断即可.【详解】解法一：因为()e 22x f x x '=--，设2()(),()e xg x f x g x =''=-，令()e 20xg x '=-=,得ln 2x =,当ln 2x ＜时()0g x '＜,()g x 为减函数，即()f x '为减函数； 当ln 2x ＞时,()0g x '＞，()g x 为增函数，即()f x '为增函数, 而()ln 222ln 222ln 20f '=--=-＜,所以原函数存在两个极值点,故淘汰选项C 和D.将1x =代入原函数,求得()1e 120f =--＜,淘汰选项A. 解法二：()1e 210f =--＜,淘汰选项A,D ；当x →-∞时,()e xf x =-()2x x +→-∞,淘汰选项C.故选：B.【点睛】本小题考查函数的图象与性质等基础知识；考查运算求解能力；考查数形结合思想,考查直观想象、数学运算等核心素养,属于中档题.7.已知函数()()sin 0f x x x =≥，方程()f x kx =恰有三个根，记最大的根为θ，则()21sin 2θθθ+=（ ）A. 2-B.12C. 1D. 2【答案】D 【解析】 【分析】依题意，函数()y f x =在x θ=处的切线为y kx =，且3,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，利用导数的几何意义可得cos sin k k θθθ=-⎧⎨=-⎩，再化简所求式子即可得解.【详解】如图，要使方程()f x kx =恰有三个根，且最大的根为θ，则函数()y f x =在x θ=处的切线为y kx =，显然3,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，当3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin f x x =-，()cos f x x =-'，cos sin k k θθθ=-⎧∴⎨=-⎩，可得tan θθ=，()()()()()()22222221sin 212sin cos 12sin cos 21tan sin cos tan 1θθθθθθθθθθθθθθθθθ++⋅+⋅+⋅∴===⋅+⋅+()()222121θθθθ+⋅==⋅+. 故选：D.【点睛】本题考查利用导数研究方程的根，解答的关键就是利用tan θθ=化简计算，考查计算能力，属于中等题.8.为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心.某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾.某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，其余三个宣传小组各有2位同学.现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人的概率为（ ） A. 27B.37C.821D.1021【答案】D 【解析】 【分析】利用组合计数原理计算出基本事件的总数以及事件“从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派1人”所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可计算出所求事件的概率.【详解】某市将垃圾分为四类：可回收物、餐厨垃圾、有害垃圾和其他垃圾. 某班按此四类由9位同学组成四个宣传小组，其中可回收物宣传小组有3位同学，其余三个宣传小组各有2位同学.现从这9位同学中选派5人到某小区进行宣传活动，基本事件总数59126n C ==，每个宣传小组至少选派1人包含的基本事件个数为()()3221112132332260m C C C C C C =+=，则每个宣传小组至少选派1人的概率为601012621m P n ===. 故选：D.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，涉及组合计数原理的应用，考查计算能力，属于中等题.9.设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线相交于A ，B ，点A 在第一象限，且|AF |﹣|BF |32=，则AF BF =（ ） A.32B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】过A，B分别作准线的垂线，再过B作AA'的垂线，由抛物线的性质及三角形相似可得对应边成比例，求出|AF|，|BF|的值，进而求出比值.【详解】解：设|BF|＝m，则由|AF|﹣|BF|32=可得|AF|32=+m，由抛物线的方程可得：F（1，0），过A，B分别作准线的垂线交于A'，B'，过B作AA'的垂线交AA'，OF分别于C，D点，则△BFD∽△BAC，所以BF DFAB AC=，即233222m mm-=+，解得：m32=，所以332232AFBF+==2，故选：B.【点睛】本题考查了抛物线的定义、抛物线的标准方程，考查了基本运算能力，属于基础题.10.某几何体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的外接球的表面积为（）．A. 8πB. 9πC. 12πD. 16π【答案】B 【解析】 【分析】首项根据几何体的三视图换元得到几何体，进一步求出三棱锥的外接球的半径，利用球的表面积公式，即可求解.【详解】根据几何体的三视图可得：该几何体是底面为等腰直角三角形，高为2SD =的三棱锥， 如图所示：设该三棱锥的外接球的球心为O ，则外接球的半径为OA r =， 则222OA OD AD =+，即222(2)(2)r r =-+，解得32r =， 所以外接球的表面积为22344()92S r πππ==⨯=. 故选：B.【点睛】本题主要考查了空间几何体的三视图的转换，以及几何体的外接球的半径的求法和表面积的计算，着重考查运算能力，以及空间想象能力，属于中档试题.11.已知函数f （x ）满足2()2()1ln x f x xf x x '+=+，1()f e e=，当x ＞0时，下列说法正确的是（ ）①()f x 只有一个零点； ②()f x 有两个零点； ③()f x 有一个极小值点； ④()f x 有一个极大值点 A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④【答案】B 【解析】 【分析】令2()()g x x f x =，则'()1+ln g x x =，所以()ln +g x x x C =⋅，即()2xlnx Cf x x+=，由21()e C f e e e +==，解得0C =，所以()lnx f x x=，求导得()'21x lnx f x -=，利用导数可求出函数()f x 的单调区间，进而得()f x 在x e =处取得极大值1()f e e=，而这也是最大值，从而可对③和④作出判断；又(1)0f =，且当>x e 时，()0f x >恒成立，所以()f x 只有一个零点为1x =，从而可对①和②作出判断.【详解】令2()()g x x f x =，则'2()()2()1+ln g x x f x x x x '=+=，()ln +g x x x C =⋅，即2()ln x f x x x C =⋅+，∴()2xlnx Cf x x +=， ∵()f e 21e C e e +==，∴0C =，∴()lnx f x x=，()'21x lnx f x -=， 当0x e <<时，()0f x '>，()f x 单调递增；当x e >时，()0f x '<，()f x 单调递减，()f x ∴在x e =处取得极大值1()f e e=，而这也是最大值，即③错误，④正确；又0()1f =，且当 x e >时，()0f x >恒成立，()f x ∴只有一个零点为1x =，即①正确，②错误.∴正确的有①④， 故选：B .【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查利用导数研究函数的单调性，利用导数求函数的最值，属于难度题．12.已知梯形ABCD满足AB∥CD，∠BAD＝45°，以A，D为焦点的双曲线Γ经过B，C两点.若CD＝7AB，则双曲线Γ的离心率为（）A. 324B.334C. 35D.35+【答案】A【解析】【分析】先画出大致图象，结合双曲线的定义以及余弦定理求得a，c之间的关系即可得到结论. 【详解】如图：连接AC，BD，设双曲线的焦距AD＝2c，实轴长为2a，则BD﹣AB＝AC﹣CD＝2a，设AB＝m，则CD＝7m，BD＝2a+m，AC＝2a+7m，∠BAD＝45°，∠ADC＝135°，在△ABD中，由余弦定理及题设可得：（2a+m）2＝m2+4c2﹣2mc，在△ACD中，由余弦定理及题设可得：（2a+7m）2＝49m2+4c22mc，2c2﹣a2）＝m2a+c）2（c2﹣a2）＝7m2a﹣c），2a+c＝72a﹣c），故2a＝8c，∴双曲线Γ的离心率为e32ca==.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，画出图像是解题的关键.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.在三角形ABC中，|AB|＝5，AB AC⋅=8，则AB BC⋅=_____.【答案】﹣17. 【解析】 【分析】直接利用向量的数量积转化求解即可.【详解】在三角形ABC 中，因为|AB |＝5，AB AC ⋅=8， 所以()2AB AB BC AB AB BC ⋅+=+⋅=25AB BC +⋅=8， 所以AB BC ⋅=-17. 故答案为：﹣17.【点睛】本题主要考查平面整理的数量积运算以及向量的加法运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 14.若(3)nx x-的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为 ． 【答案】- 540 【解析】 【详解】若的展开式中各项系数之和为，解得，则展开式的常数项为，故答案为.15.在数列{}n a ，{}n b 中， ()22122n n n n n a a b a b +++=+，()22122n n n n n b a b a b +++=-，111a b ==，设数列{}n c 满足11n n nc a b =+，则数列{}n c 的前10项和10S =_____. 【答案】1023256. 【解析】 【分析】首先根据递推公式求出n n a b +和n n a b ，代入11n n nc a b =+中求出数列{}n c 的通项公式，最后由等比数列求和公式即可求出数列的前10项和.【详解】数列{}n a ，{}n b 中，()12n n n a a b ++=+()12n n n b a b ++=-，②所以①+②得：()114n n n n a b a b ++=++，整理得114n n n na b a b +++=+（常数），所以数列{}n n a b +是以112a b +=为首项，4为公比的等比数列.所以121242n n n n a b --+=⨯=.①×②得：222114()4()8n n n n n n n n a b a b a b a b ++=+-+=，所以118n n n na b a b ++=（常数）， 故数列{}n n a b 是以111a b =为首项，8为公比的等比数列，所以11188n n n n a b --=⨯=，由于数列{}n c 满足212111228n n n n n n n n n n a b c a b a b ---=+===+， 所以101012110232125612S ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-， 故答案为：1023256. 【点睛】本题考查了由递推公式求通项公式的应用，由递推公式证明数列为等比数列，等比数列前n 项和公式的应用，属于中档题. 16.四面体P ﹣ABC 中，PA =PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝2，BC ＝，动点Q 在△ABC 的内部（含边界），设∠PAQ ＝α，二面角P ﹣BC ﹣A 的平面角的大小为β，△APQ 和△BCQ 的面积分别为S 1和S 2，且满足124S S sin αβ=，则S 2的最大值为_____. 【答案】4﹣. 【解析】 【分析】取BC 的中点M ，由题意可得AM ＝PM ＝PA 2=，则β＝∠PMA ＝60°，作QH ⊥BC于H ，则1213312142342AP AQ sin S sin sin S sin BC QH αααβ⋅⋅====⋅⋅sinα，再由BC ＝2PA ＝22，可得AQ ＝QH ，即Q 为三角形ABC 内的一条抛物线，当Q 在AB 或AC 上时，S 2最大，求出S 2的最大值. 【详解】如图所示：取BC 的中点M ，连接AM ，PM ， 因为PB ＝PC ＝AB ＝AC ，AM ⊥BC ，PM ⊥BC ，且PA 2=PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝2，BC ＝2，所以AM ＝PM ＝PA 2=所以β＝∠PMA ＝60°， 作QH ⊥BC 于H ，所以1213312142342AP AQ sin S sin sin S sin BC QH ααβ⋅⋅====⋅⋅sinα， 所以12⋅=⋅AP AQ BC QH 而BC ＝2PA ＝2， 所以AQ ＝QH ，所以Q 的轨迹是△ABC 内的一条抛物线， 当Q 在AB 或AC 上时，S 2最大，不妨设在AB 上，此时()cos 45AB AQ QH -=，即()222AQAQ -⋅=， 解得AQ ＝QH ＝2（2-1）， 所以S 2＝4﹣22. 故答案为：4﹣22【点睛】本题主要考查二面角的求法以及面积比与相似比的应用，抛物线的定义，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于难题.三、解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2,2cos 2a c A b a ==-.（1）求C ；（2）如图，若点D 在边AC 上，,AD DB DE AB =⊥,E 为垂足，且2DE =，求BD 的长.【答案】（1）3π；（2）55. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将方程中2cos 2c A b a =-的边化成角，再利用诱导公式，可求得cos C 的值，即可得答案；（2）在BCD 中，由正弦定理得sin sin BD BCC BDC =∠，22sin sin 23A A =，求出sin A 的值，即可得答案；【详解】（1）2cos 2c A b a =-，∴由正弦定理得2sin cos 2sin sin C A B A =-，2sin cos 2sin()sin C A A C A ∴=+-，2sin cos 2sin cos 2cos sin sin C A A C A C A =+-∴， 2sin cos sin A C A ∴=.(0,),sin 0A A π∈∴≠.1cos 2C ∴=. (0,),3C C ππ∈∴=.（2）,sin DE AB DE AD A⊥=∴=， sin BD AD A∴==. ,2A ABD BDC A ABD A ∴∠=∠∴∠=∠+∠=∠.在BCD 中，由正弦定理得sin sin BD BCC BDC=∠，2sin 22A =，整理得cos A =sin 45A BD AD ∴=∴==. 【点睛】本题考查诱导公式、正余弦定理解三角形，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意边角关系的互相转化.18.如图，在矩形ABCD 中，将ACD 沿对角线AC 折起，使点D 到达点P 的位置，且平面ABP ⊥平面ABC .（1）求证：AP PB ⊥；（2）若直线PC 与平面ABP 所成角的正弦值为34，求二面角P AC B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）916. 【解析】 【分析】（1）由四边形ABCD 是矩形，得AB BC ⊥，推导出BC ⊥平面ABP ，可得出BC AP ⊥，再由AP PC ⊥，可得出AP ⊥平面PBC ，由此能证明AP PB ⊥；（2）过P 作PO AB ⊥于点O ，则PO ⊥平面ABC ，以OB 所在直线为x 轴，过O 作y 轴平行于BC ，OP 为z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -，由BC ⊥平面ABP ，得出直线PC 与平面ABP 所成角为CPB ∠，设3BC =，可得4PC =，然后利用空间向量法能求出二面角P AC B --的余弦值.【详解】（1）由四边形ABCD 是矩形，得AB BC ⊥， 平面ABP ⊥平面ABC ，平面ABP平面ABC AB =，BC ⊂平面ABC ，BC ∴⊥平面ABP ，AP ⊂平面ABP ，则BC AP ⊥，又AP PC ⊥，BC PC C ⋂=，AP ∴⊥平面PBC ，PB ⊂平面PBC ，AP PB ∴⊥；（2）过P 作PO AB ⊥，垂足为点O ， 平面ABP ⊥平面ABC ，平面ABP平面ABC AB =，PO ⊂平面ABP ，PO ∴⊥平面ABC ，以点O 为坐标原点，以OB 所在直线为x 轴，过O 作y 轴平行于BC ，以OP 所在直线为z 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系O xyz -，由（1）知BC ⊥平面ABP ，CPB ∴∠是直线PC 与平面ABP 所成角，即3sin 4CPB ∠=， 在Rt PBC 中，3sin 4CB CPB CP ∠==， 设3CB =，则4CP =，227PB CP CB ∴-，PO ⊥平面ABC ，可取平面ABC 的一个法向量()0,0,1m =，由（1）知，AP BP ⊥，在Rt APB △中，PO AB ⊥，3AP =，4AB =，7PB =374AP BP PO AB ⋅∴==，2294AO AP PO =-=，74BO AB AO =-=， 37P ⎛∴ ⎝⎭，9,0,04A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，7,3,04C ⎛⎫⎪⎝⎭， ()4,3,0AC ∴=，937,0,4AP ⎛= ⎝⎭，设平面PAC 的法向量(),,n x y z =，由43093704n AC x y n AP x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取37x =7y =-9z =-， 所以，平面PAC 的一个法向量为()37,47,9n =--，99cos ,11616m n m n m n ⋅==-=-⋅⨯. 由图形可知，二面角P AC B --的平面角为锐角，它的余弦值为916. 【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直，同时也考查了利用线面角的定义求长度，以及利用空间向量法求二面角，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19.已知圆O ：x 2+y 2＝3，直线PA 与圆O 相切于点A ，直线PB 垂直y 轴于点B ，且|PB |＝2|PA |. （1）求点P 的轨迹E 的方程；（2）过点（1，0）且与x 轴不重合的直线与轨迹E 相交于P ，Q 两点，在x 轴上是否存在定点D ，使得x 轴是∠PDQ 的角平分线，若存在，求出D 点坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）()224310x y x +=≠（2）存在；定点D （4，0）【解析】 【分析】（1）设P （x ，y ），根据直线PA 与圆O 相切于点A ，利用切线长公式得到|PA |2＝x 2+y 2﹣3，|再根据直线PB 垂直y 轴于点B ，得到|PB |2＝x 2，然后由|PB |＝2|PA |求解. （2）设直线l 的方程为：x ＝my +1，与椭圆方程联立，利用韦达定理得到122643my y m+=-+，122943y y m ⋅=-+，代入k PD +k QD＝0，化简整理得()022611804343---=++m x mm m ，解得x 0即可. 【详解】（1）设P （x ，y ），因为直线PA 与圆O 相切于点A ， 所以|PA |2＝|PO |2﹣3＝x 2+y 2﹣3，| 又因为直线PB 垂直y 轴于点B ， 所以|PB |2＝x 2， 又因为|PB |＝2|PA | 所以x 2+y 2﹣3＝x 2， 即x 2＝4（x 2+y 2﹣3），化简得()224310x y x +=≠，∴点P 的轨迹E 的方程为：()224310x y x +=≠；（2）设直线l 的方程为：x ＝my +1，P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），联立方程221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得：（4+3m 2）y 2+6my ﹣9＝0，∴122643m y y m +=-+，122943y y m ⋅=-+， 假设存在定点D （x 0，0），使得x 轴是∠PDQ 的角平分线，则k PD +k QD ＝0，∴1210200y y x x x x +=--， ∴121020011y y my x my x +=+-+-， ∴()()()()120210102011011y my x y my x my x my x +-++-=+-+-，∴()()()()12012102021011my y x y y my x my x +-+=+-+-，即()()()0120122261182104343m x m my y x y y m m-+-+=--=++， 解得：x 0＝4，所以存在定点D （4，0），使得x 轴是∠PDQ 的角平分线.【点睛】本题主要考查椭圆方程的求法以及直线的对称问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20.某工厂的一台某型号机器有2种工作状态：正常状态和故障状态.若机器处于故障状态，则停机检修.为了检查机器工作状态是否正常，工厂随机统计了该机器以往正常工作状态下生产的1000个产品的质量指标值，得出如图1所示频率分布直方图.由统计结果可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为这1000个产品的质量指标值的平均数x ，2σ近似为这1000个产品的质量指标值的方差2s （同一组中的数据用该组区间中点值为代表）.若产品的质量指标值全部在()3,3μσμσ-+之内，就认为机器处于正常状态，否则，认为机器处于故障状态.（1）下面是检验员在一天内从该机器生产的产品中随机抽取10件测得的质量指标值： 29 45 55 63 67 73 78 87 93 113 请判断该机器是否出现故障？（2）若机器出现故障，有2种检修方案可供选择：方案一：加急检修，检修公司会在当天排除故障，费用为700元；方案二：常规检修，检修公司会在七天内的任意一天来排除故障，费用为200元. 现需决策在机器出现故障时，该工厂选择何种方案进行检修，为此搜集检修公司对该型号机器近100单常规检修在第i （1i =，2，…，7）天检修的单数，得到如图2所示柱状图，将第i 天常规检修单数的频率代替概率.已知该机器正常工作一天可收益200元，故障机器检修当天不工作，若机器出现故障，该选择哪种检修方案？ 18813.71≈，20814.42≈22815.10≈.【答案】（1）可判断该机器处于故障状态；（2）选择加急检修更为适合 【解析】 【分析】（1）由图1可估计1000个产品的质量指标值的平均数70x =和方差2188s =，所以70μ=，18813.71σ=≈，从而得到产品的质量指标值允许落在的范围为（28.87，111.13），由于抽取产品质量指标值出现了113，不在（28.87，111.13）之内，故机器处于故障状态； （2）方案一：工厂需要支付检修费和损失收益之和为700＋200＝900元；方案二：设损失收益为X 元，求出X 的可能值，然后由图2可得出每个X 的取值所对应的概率，求出数学期望，可得工厂需要支付检修费和损失收益之和，与900对比，即可得出结论.【详解】（1）由图1可估计1000个产品质量指标值的平均数x 和方差2s 分别为400.04500.08600.24700.30800.20900.101000.0470x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，()()()22222300.04200.08100.2400.30s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+ 222100.20200.10300.04188⨯+⨯+⨯=，依题意知，70μ=，13.71σ=≈，所以328.87μσ-≈，3111.3μσ+≈，所以产品质量指标值允许落在的范围为()28.87,111.13，又抽取产品质量指标值出现了113，不在()28.87,111.13之内，故可判断该机器处于故障状态；（2）方案一：若安排加急检修，工厂需要支付检修费和损失收益之和为700200900+=元； 方案二：若安排常规检修，工厂需要要支付检修费为200元，设损失收益为X 元，则X 的可能取值为200，400，600，800，1000，1200，1400， X 的分布列为：2000.074000.186000.258000.2010000.15EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯12000.1214000.03147215016015014442732+⨯+⨯=++++++=元；故需要支付检修费和损失收益之和为200732932+=元，因为900932<，所以当机器出现故障，选择加急检修更为适合.【点睛】本题考查频率分布直方图中的数字特征、离散型随机变量的分布列和数学期望，及期望的实际应用，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题.21.已知函数f （x ）＝（x ﹣1）2﹣alnx （a ＜0）.（1）讨论f （x ）的单调性；（2）若f （x ）存在两个极值点x 1，x 2（x 1＜x 2），且关于x 的方程f （x ）＝b （b ∈R ）恰有三个实数根x 3，x 4，x 5（x 3＜x 4＜x 5），求证：2（x 2﹣x 1）＞x 5﹣x 3.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）求导得f ′(x )222x x a x--=，令f ′(x )＝0，即2x 2﹣2x ﹣a ＝0，∆＝4+8a ，分两种情况①∆≤0，②∆＞0，讨论f (x )单调性；（2）由题意得12-＜a ＜0，画出草图，知0＜x 3＜x 1＜x 4＜x 2＜x 5，0＜x 1＜x 2＜1，要证：2(x 2﹣x 1)＞x 5﹣x 3，即证：2(x 2﹣x 1)＞(x 5+x 4)﹣(x 3+x 4)，只需证：54234122x x x x x x +⎧⎨+⎩＜＞，先证：x 3+x 4＞2x 1.即证x 4＞2x 1﹣x 3，由（1）f (x )单调递减，只需证f (x 4)＜f (2x 1﹣x 3)，即证：f (x 3)＜f (2x 1﹣x 3)，令g (x )＝f (x )﹣f (2x 1﹣x )，0＜x ＜x 1，求导数，分析单调性，可得g (x )＜g (x 1)＝0，故f (x )＜f (2x 1﹣x )，在(0，x 1)恒成立，f (x 3)＜f (2x 1﹣x 3)得证，同理可以证明：x 3+x 4＜2x 2，综上，2(x 2﹣x 1)＞x 5﹣x 3，得证.【详解】（1）由题意得()f x '＝2(x ﹣1)222a x x a x x ---=， 令()f x '＝0，即2x 2﹣2x ﹣a ＝0，∆＝4+8a ，①当a 12≤-时，∆≤0，()f x '≥0，函数f (x )在(0，+∞)上单调递增， ②当12-＜a ＜0时，∆＞0，2x 2﹣2x ﹣a ＝0的两根为x1=，x2=且0＜x1=x 2， 当x)，()f x '＞0，f (x )单调递增， 当x)时，()f x '＜0，f (x )单调递减， 综上，当a 12≤-时，函数f (x )在(0，+∞)上单调递增， 当12-＜a ＜0时，f （x ）在(0）上单调递增，在上单调递减，在(121a ++，+∞)上单调递增. （2）证明：由题意得12-＜a ＜0，0＜x 3＜x 1＜x 4＜x 2＜x 5，0＜x 1＜x 2＜1，如图，要证：2(x 2﹣x 1)＞x 5﹣x 3，即证：2(x 2﹣x 1)＞(x 5+x 4)﹣(x 3+x 4)；只需证：54234122x x x x x x +⎧⎨+⎩＜＞ 先证：x 3+x 4＞2x 1.即证x 4＞2x 1﹣x 3，又由（1）知f (x )在(x 1，x 2)上单调递减，只需证f (x 4)＜f (2x 1﹣x 3)，而f (x 4)＝f (x 3)，即证：f (x 3)＜f (2x 1﹣x 3)，令g (x )＝f (x )﹣f (2x 1﹣x )，0＜x ＜x 1，()g x '＝()f x '+1()2x x f '﹣＝2x ﹣2a x -+2(2x 1﹣x )﹣212a x x --， ＝4(x 1﹣1)12a a x x x--- ()()()2111141222x x x x ax x x x ---=-又2(x 1﹣1)1a x -=0，即x 1﹣112a x =，那么，()g x '()()()221121111122()222a x x x x x x x a x x x x x x x ---==---，而0＜x ＜x 1，且102a -＜＜， 则()g x '＞0，故g (x )在(0，x 1)单调递增，则g (x )＜g (x 1)＝0，故f (x )＜f (2x 1﹣x )，在(0，x 1)恒成立，又0＜x 3＜x 1，则f (x 3)＜f (2x 1﹣x 3)得证，同理可以证明：x 3+x 4＜2x 2，综上，2(x 2﹣x 1)＞x 5﹣x 3，得证.【点睛】本题主要考查了利用导数讨论函数的单调区间，利用导数研究函数的单调性、最值，证明不等式，考查了分类讨论的思想，转化思想，属于难题.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为x m t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+. （1）求l 的普通方程和C 的直角坐标方程；（2）直线l 上的点(,0)P m 为曲线C 内的点，且直线l 与曲线C 交于,A B ，且2PA PB ⋅=，求m 的值.【答案】（10y --=，22142x y +=（2）m 2=± 【解析】【分析】（1）把曲线C 的极坐标方程变形，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的直角坐标方程，直接把直线参数方程中的参数消去，可得直线的普通方程.（2）化直线的参数方程为标准形式，代入曲线C 的直角坐标方程，得到关于t 的一元二次方程，由根与系数的关系结合参数t 的几何意义求解m 值.【详解】（1）∵曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+，∴222sin 4ρρθ+=， 即2224x y +=，得22142x y +=.∴曲线C 的直角坐标方程为22142x y +=. 直线l的参数方程为x m t y =+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），消去参数t ， 可得直线l0y -=；（2）设直线l的标准参数方程为122x m t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入椭圆方程， 得227404t mt m ++-=. 设,A B 对应的参数分别为12,t t ，则()212447m t t -=.又点(,0)P m 为曲线C 内的点，∴24m <，即22m -<<. 由2124427m PA PB t t -⋅=⋅==，解得2m =±. 【点睛】本题第一问考查了直线的参数方程和椭圆的极坐标方程，第二问考查了直线参数方程的几何意义，属于中档题.[选修4-5：不等式选讲]23.若对于实数x ，y 有|12|4x -≤，|31|3y +≤． （Ⅰ）求16x y +-的最大值M ； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若正实数a ，b 满足12M a b +=，证明：50(1)(2)9a b ++≥． 【答案】（Ⅰ）3；（Ⅱ）证明见解析.【解析】分析】 （Ⅰ）111(21)(31)623x y x y +-=-++，然后再由绝对值三角不等式求得最大值即可； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，123a b +=，即23a b ab +=，又2a b +≥ab 的最小值，进而可得出50(1)(2)9a b ++≥. 【详解】（Ⅰ）因为111(21)(31)623x y x y +-=-++ 1111|21||31|4332323x y ≤-++≤⨯+⨯=， 当5223x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或3243x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩时等号成立，所以16x y +-的最大值M 为3； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，123a b +=，所以23a b ab +=≥89ab ≥． 所以850(1)(2)22424299a b a b ab ab ++=+++=+≥⨯+=． 【点睛】本题考查绝对值不等式的性质以及基本不等式在证明中的应用，考查逻辑思维能力和运算能力，属于常考题．。

2020届湖北省荆州中学、宜昌一中、龙泉中学三校高三联考数学（理）试题一、单选题1．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是 A ．M N N =B ．()UMN =∅ðC ．MN U =D ．()U M N ⊆ð【答案】A【解析】求函数定义域得集合M ，N 后，再判断． 【详解】由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =．故选A ． 【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．2．复数z 满足：(2)i z z -⋅=（i 为虚数单位），z 为复数z 的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A ．22i z = B ．2z z ⋅=C ．||2z =D ．0z z +=【答案】B【解析】由已知求得z ，然后逐一核对四个选项得答案． 【详解】由（z ﹣2）•i ＝z ，得zi ﹣2i ＝z ， ∴z ()()()2121111i i ii i i i -+-===---+，∴z 2＝（1﹣i ）2＝﹣2i ，2||2z z z ⋅==，z =，2z z +=． 故选：B ． 【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．下列函数中，其定义域和值域与函数ln x y e =的定义域和值域相同的是（ ） A ．y x = B ．ln y x =C ．y=D ．10x y =【答案】C【解析】函数ln x y e =的定义域和值域均为()0,+?，y x =定义域值域都是R ，不合题意；函数ln y x =的定义域为()0,+?，值域为R ，不满足要求；函数10xy =的定义域为R ，值域为()0,+?，不满足要求；函数y=的定义域和值域均为()0,+?，满足要求，故选C.4．三个数0.20.40.44,3,log 0.5的大小顺序是 （ ） A ．0.40.20.43<4log 0.5<B ．0.40.20.43<log 0.5<4C ．0.40.20.4log 0.534<<D ．0.20.40.4log 0.543<<【答案】D【解析】由题意得，120.20.4550.40log0.514433<<<==<== D.5．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则“10a >”是“20190S >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的前n 项和公式进行判断即可． 【详解】若公比q ＝1，则当a 1＞0时，则S 2019＞0成立， 若q ≠1，则S 2019()2019111a q q-=-，∵1﹣q 与1﹣q 2019符号相同， ∴a 1与S 2019的符号相同， 则“a 1＞0”⇔“S 2019＞0”， 即“a 1＞0”是“S 2019＞0”充要条件， 故选：C ．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列前n项和公式是解决本题的关键．6．在边长为2的等边三角形ABC中，若1,3AE AC BF FC==，则BE AF⋅=（）A．23-B．43-C．83-D．2-【答案】D【解析】运用向量的加减运算和向量数量积的定义计算可得所求值．【详解】在边长为2的等边三角形ABC中，若13AE AC=，则BE AF⋅=（AE AB-）•12（AC AB+）＝（13AC AB-）•12（AC AB+）11 23AC=（2AB-223AB-•AC=）142142222332⎛⎫--⨯⨯⨯=-⎪⎝⎭故选：D【点睛】本题考查向量的加减运算和向量数量积的定义和性质，向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．7．《九章算术·均输》中有如下问题：“今有五人分十钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何．”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分10钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．这个问题中，甲所得为（）A．43钱B．73钱C．83钱D．103钱【答案】C【解析】依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，由题意求得a＝﹣6d，结合a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝10求得a＝2，则答案可求．【详解】解：依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a﹣2d+a﹣d＝a+a+d+a+2d，即a＝﹣6d，又a﹣2d+a﹣d+a+a+d+a+2d＝5a＝10，∴a＝2，则a﹣2d＝a48 333aa+==．故选：C．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查实际应用，正确设出等差数列是计算关键，是基础的计算题．8．2019年1月1日起我国实施了个人所得税的新政策，其政策的主要内容包括：(1)个税起征点为5000元；(2)每月应纳税所得额(含税)=收入-个税起征点-专项附加扣除；(3)专项附加扣除包括①赡养老人费用②子女教育费用③继续教育费用④大病医疗费用等，其中前两项的扣除标准为：①赡养老人费用：每月共扣除2000元②子女教育费用：每个子女每月扣除1000元．新个税政策的税率表部分内容如下：现有李某月收入18000元，膝下有两名子女，需要赡养老人，(除此之外，无其它专项附加扣除，专项附加扣除均按标准的100%扣除)，则李某月应缴纳的个税金额为（）A．590元B．690元C．790元D．890元【答案】B【解析】由题意分段计算李某的个人所得税额；【详解】李某月应纳税所得额（含税）为：18000﹣5000﹣2000﹣2000＝9000元，不超过3000的部分税额为3000×3%＝90元，超过3000元至12000元的部分税额为6000×10%＝600元，所以李某月应缴纳的个税金额为90+600＝690元．故选：B．【点睛】本题考查了分段函数的应用与函数值计算，准确理解题意是关键，属于中档题．9．已知函数2()ln 1f x x a x =-+在(1,2)内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()2,8 B ．[]2,8C ．(][),28,-∞+∞ D ．[)2,8【答案】A【解析】求导f ′（x ）＝2x a x -，转化为f ′（x ）＝2x 0ax-=在()1,2有变号零点，再分离参数求值域即可求解 【详解】 ∵f ′（x ）＝2x a x-，()2ln 1f x x a x =-+在()1,2内不是单调函数， 故2x 0ax-=在()1,2存在变号零点，即22a x =在()1,2存在有变号零点， ∴2<a 8＜， 故选：A 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，依题转化为导函数存在变号零点是关键，也是难点所在，属于中档题． 10．已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若方程()23f x =的解为12,x x (120x x π<<<)，则()21sin x x -=（ ）A ．23B ．49C ．3D ．9【答案】C【解析】由已知可得2123x x π=-，结合x 1＜x 2求出x 1的范围，再由()121122236sin x x sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求解即可．【详解】因为0＜x π＜，∴112666x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，， 又因为方程()23f x =的解为x 1，x 2（0＜x 1＜x 2＜π）， ∴1223x x π+=，∴2123x x π=-，∴()121122236sin x x sin x cos x ππ⎛⎫⎛⎫-=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为122123x x x x π=-＜，，∴0＜x 13π＜，∴12662x πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，，∴由()112263f x sin x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，得126cos x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，∴()12sin x x -=，故()21sin x x -故选：C ． 【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换及化简求值和三角函数的图象与性质，属中档题．11．若函数32,1()3,1x e a x f x x x x ⎧->=⎨-+≤⎩有最小值，则实数的取值范围为（ ） A ．(],1-∞ B ．(],e -∞ C ．(]0,1 D ．(]0,e【答案】B【解析】利用分段函数的表达式，分别求出x >1和x ≤1时，对应的函数的值域，结合最小值之间的关系进行求解即可． 【详解】当x >1时，函数f （x ）为增函数，则f （x ）＝e x﹣a ∈（e ﹣a,+∞）当x ≤1时，f （x ）＝323,x x -+则f ′（x ）＝-3x 2+6x ＝-3x （x ﹣2），则由f ′（x ）<0得或x ＜0或x ＞2（舍去），此时函数为减函数，由f ′（x ）>0 得0＜x ＜2，此时0<x ＜1，函数为增函数，即当x ＝0时，函数取得极小值同时也是在x ≤1时的最小值，最小值为f （0）＝0 要使函数f （x ）有最小值，则e ﹣a ≥0， 即a ≤e ，即实数a 的取值范围是（﹣∞，e]， 故选：B 【点睛】本题主要考查函数最值的应用，利用分段函数的解析式分别求出对应的取值范围是解决本题的关键．12．{}n a 为等差数列，公差为d ，且01d <<，5()2k a k Z π≠∈，223557sin 2sin cos sin a a a a +⋅=，函数()sin(4)(0)f x d wx d w =+>在20,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调且存在020,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()f x 关于0(,0)x 对称，则w 的取值范围是（ ） A ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ B ．30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．24,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．33,42⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【解析】推导出sin4d ＝1，由此能求出d ，可得函数解析式，利用在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调且存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，，即可得出结论． 【详解】∵{a n }为等差数列，公差为d ，且0＜d ＜1，a 52k π≠（k ∈Z ）， sin 2a 3+2sin a 5•cos a 5＝sin 2a 7， ∴2sin a 5cos a 5＝sin 2a 7﹣sin 2a 3＝2sin372a a +cos 732a a -•2cos 372a a +sin 732a a -=2sin a 5cos2d •2cos a 5sin2d ， ∴sin4d ＝1， ∴d 8π=．∴f （x ）8π=cosωx ，∵在203x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上单调∴23ππω≥， ∴ω32≤； 又存在()()0020203x f x f x x π⎛⎫∈+-= ⎪⎝⎭，，， 所以f （x ）在（0，23π）上存在零点， 即223ππω＜，得到ω34＞．故答案为 33,42⎛⎤ ⎥⎝⎦故选：D 【点睛】本题考查等差数列的公差的求法，考查三角函数的图象与性质，准确求解数列的公差是本题关键，考查推理能力，是中档题．二、填空题13．已知1(0,π),sin cos ,5ααα∈+=则tan α=_______. 【答案】43-【解析】因为1sin cos 5αα+=， 所以12434sin cos (0,)sin ,cos tan 25553αααπααα=-∈∴==-∴=- 14．已知命题0:p x ∃∈R ，2010mx +≤，命题:q x ∀∈R ，210x mx ++>，若p q ∨为假命题，则实数m 的取值范围为_______________． 【答案】2m ≥ 【解析】【详解】若p q ∨为假命题，则p 、q 均为假命题，则:p x ⌝∀∈R ，210mx +>与:q x ⌝∃∈R ，210x mx ++≤均为真命题．根据:p x ⌝∀∈R ，210mx +>为真命题可得0m ≥，根据:q x ⌝∃∈R ，210x mx ++≤为真命题可得240m ∆=-≥， 解得2m ≥或2m ≤-． 综上，2m ≥．15．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别,,a b c ，满足2(sin cos )40,2a B B b -++==，则ABC ∆的面积为_____．【答案】2【解析】由二次方程有解的条件，结合辅助角公式和正弦函数的值域可求B ，进而可求a ，然后结合余弦定理可求c ，代入S △ABC 12=ac sin B ，计算可得所求． 【详解】把a 2﹣a （sin B +cos B ）+4＝0看成关于a 的二次方程，则△≥0，即8（sin B +cos B ）2﹣16≥0，即为8（B 4π+））2﹣16≥0， 化为sin 2（B 4π+）≥1，而sin 2（B 4π+）≤1，则sin 2（B 4π+）＝1，由于0＜B ＜π，可得4π＜B 544ππ+＜，可得B 42ππ+=，即B 4π=，代入方程可得，a 2﹣4a +4＝0，∴a ＝2， 由余弦定理可得，cos2444222c c π+-==⨯， 解可得，c ＝∴S △ABC 12=ac sin B 12=⨯2×22=．故答案为： 2． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的根的存在条件及辅助角公式及余弦定理和三角形的面积公式的应用，属于中档题．16．若两曲线21y x =-与ln 1y a x =-存在公切线，则正实数a 的取值范围是__________． 【答案】(0,2]e【解析】设两个切点分别为1122(,),(,)A x y B x y ,两个切线方程分别为2111(1)2()y x x x x --=-,222(ln 1)()ay a x x x x --=-,化简得2112221,ln 1ay x x x y x a x a x =--=+--两条切线为同一条.可得122212{ln a x x a x a x =-=-, ,2224(ln 1)a x x =--,令22()44ln (0)g x x x x x =->，()4(12ln )g x x x =-'，所以g(x)在递增，)+∞递减，max ()2g x g e ==。

龙泉中学、宜昌一中2020届高三年级9月联合考试理科数学试题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．tan165=( )A ．2-B ．2-C ．2D ．22．已知集合1{|0}xA x x-=≥， {|lg(21)}B x y x ==-，则=B A ( ) A ．1(0,)2 B ．1（,1)2 C ．1（,1]2 D ．1[,1]23．命题“对任意2[1,2),0x x a ∈-<”为真命题的一个充分不必要条件可以是( )A ．4a ≥B ．4a >C ．1a ≥D ．1a > 4．函数()sin ln ||f x x x x =+在区间[2,2]ππ-上的大致图象为( )5．已知R 上的单调函数log ,3()7,3a x x f x mx x ≥⎧=⎨+<⎩满足(2)1f =，则实数a 的取值范围是（ ）A ．B ．(0,1)C ．D ． 6．电流强度I (单位：安)随时间t (单位：秒)变化的函数sin()(0,0,0)2I A t A πωϕωϕ=+>><<的图象如图所示，则当0.01t =秒时，电流强度是( )A ．5-安B ．5安C ．安D ．10安 7．围棋棋盘共19行19列，361个格点，每个格点上可能出现“黑”“白”“空”三种情况，因此有3613种不同的情况；而我国北宋学者沈括在他的著作《梦溪笔谈》中，也讨论过这个问题，他分析得出一局围棋不同的变化大约有“连书万字五十二”种，即5210000，下列数据最接近36152310000的是( ) （lg30.477≈） A ．3710- B ．3610- C ．3510- D ．3410-8．如图，四边形OABC 是边长为2的正方形，曲线段DE 所在的曲线方程为1xy =,现向该正方形内抛掷1枚豆子,则该枚豆子落在阴影部分的概率为 ( )A ．32ln 24- B ．12ln 24+ C ． 52ln 24- D ．12ln 24-+ 9．sin 70cos 430-= ( )A ．8B ．8-C．-D．10．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(]2-∞，上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是( ) A ．2()(2)3-∞+∞，， B ．2(2)3， C ．22()33-， D ．22()()33-∞-+∞，，11．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤+-=0,230＞,2ln )(2x x x x x x x x f 的图像上有且仅有四个不同的关于直线1-=y 对称的点在1)(-=kx x g 的图像上，则k 的取值范围是( )A ．)43,31( B ．)43,21( C ．)1,31( D ．)1,21(12．若对任意的[1,5]x ∈，存在实数a ，使226(,0)x x ax b x a R b ≤++≤∈>恒成立，则实数b 的最大值为( )A ．9B ．10C ．11D ．12 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边作角α，角4πα+的终边经过点(2,1)P -.则sin2α= ．14．已知tan()7cos()2ππαα-=+，11cos()14αβ+=-，,(0,)2παβ∈，则β= ___ _． 15．已知函数2()ln f x x ax x =++有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ． 16．已知函数()f x ，对于任意实数[,]x a b ∈，当0a x b ≤≤时，记0|()()|f x f x -的最大值为[,]0()a b D x .①若2()(1)f x x =-，则[0,3](2)D = ；②若22,0,()21,0,x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨-->⎪⎩则[,2](1)a a D +-的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题12分）已知:p 1x 和2x 是方程2:20p x mx --=的两个实根，不等式21253a a x x --≥-对任意的[1,1]m ∈-恒成立，:q 关于x 的方程2210ax x ++=的解集有唯一子集，若p 或q 为真，p 且q 为假，求实数a 的取值范围．18． (本小题12分）已知函数44()2cos sin 1f x x x x ωωω=+-+ (其中01ω<<)，若点(,1)6π-是函数()f x 图象的一个对称中心．(1)求()f x 的解析式，并求()f x 的最小正周期； (2) 将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，用 “五点作图法”作出函数()f x 在区间[,3]ππ-上的图象．19．(本小题12分）自2018年9月6日美拟对华2000亿美元的输美商品加征关税以来，中美贸易战逐步升级，我国某种出口产品的关税税率为t ，市场价格x (单位：千元)与市场供应量p (单位：万件)之间近似满足关系式：2(1)()2kt x b p --=，其中,k b 均为常数．当关税税率75%t =时，若市场价格为5千元，则市场供应量约为1万件；若市场价格为7千元，则市场供应量约为2万件．(1)试确定,k b 的值；(2)市场需求量q (单位：万件)与市场价格x 近似满足关系式：2x q -=，当p q =时，市场价格称为市场平衡价格，当市场平衡价格不超过4千元时，试确定关税税率的最大值． 20．(本小题12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上位于第一象限的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ． (1)若当点A 的横坐标为3，且ADF ∆为等边三角形，求C 的方程；(2)对于(1)中求出的抛物线C ，若点001(,0)()2D x x ≥，记点B 关于x 轴的对称点为E ，AE 交x 轴于点P ，且AP BP ⊥，求证：点P 的坐标为0(,0)x -，并求点P 到直线AB 的距离d 的取值范围．21．(本小题12分）已知函数R a ax ax e x x f x∈+++=,221)1()(2. (1)讨论)(x f 极值点的个数；(2)若)2(00-≠x x 是)(x f 的一个极值点，且-2e >)2(-f ，证明: 1<)(0x f .请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】以平面直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M 的直角坐标为(1,0)，若直线l cos()104πθ+-=，曲线C 的参数方程是244x m y m ⎧=⎨=⎩，（m 为参数）．（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）设直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求11MA MB+．23．（本小题10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数2()4f x x ax =++，()11g x x x =++-．（1）求不等式()3g x ≥的解集；（2）若21[2,2],[2,2]x x ∀∈-∃-，使得不等式12()()f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围．龙泉中学、宜昌一中2020届高三年级9月联合考试理科数学试题（参考答案）B C B B C A B A C D D A 13． 35- 14．3π15． (1,0)- 16． 3； [1,4] 17．【解析】若p 真，因为12,x x 是方程220x mx --=的两个实根，所以12x x m +=,122x x ⋅=-所以12x x -==，所以当[1,1]m ∈-时，12max3x x -=， (3)分所以由不等式21253a a x x --≥-对任意的[1,1]m ∈-恒成立，所以6a ≥或1a ≤- ……5分若q 真，则2210ax x ++=的解集为空集，2240a ∆=-<，………………………7分解得：1a > ………………………8分因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p 与q 一真一假． ……………………9分若p真q假，则有6a ≥或1a ≤-且1a ≤， 得1a ≤- ……………………10分若p假q真，则有16a -<<且1a >， 得16a << …………………11分综上知，实数a的取值范围是(,1](1,6)-∞-． ……………………12分18．【解析】(1) 2222()2(cos sin )(cos sin )1f x x x x x x ωωωωω=+-++2cos 212sin(2)16x x x πωωω=++=++ ………………………1分因为点(,1)6π-是函数()f x 图象的一个对称中心，所以36k ωπππ-+=，k Z ∈，所以132k ω=-+，k Z ∈ (2)分因为01ω<<，所以10,2k ω==， 所以()2sin()16f x x π=++ (4)分最小正周期2T π= ………………………5分(2)由(1)知，()2sin()16f x x π=++，向左平移6π个单位得2sin()13y x π=++，再将所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变1()2sin()123g x x π=++ ………………………7分当[,3]x ππ∈-时，列表如下： ………………………10分则函数()f x 在区间[,3]ππ-上的图象如图所示： ………………………12分19．【解析】（1）由已知22(10.75)(5)(10.75)(7)1222k b k b ----⎧=⎪⎨=⎪⎩得22(10.75)(5)0(10.75)(7)1k b k b ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，解得5,1b k == ………………………6分(2)当p q =时，2(1)(5)22t x x ---=，所以2(1)(5)t x x --=- ，故211125(5)10x t x x x=+=+-+- ………………………9分 而25()f x x x=+在(0,4]上单调递减， 所以当4x =时，()f x 有最小值414此时，112510t x x=++-取得最大值5， ………………………11分 故，当4x =时，关税税率的最大值为500% ………………………12分20．【解析】(1)由题知(,0)2p F ，32p FA =+，则(3,0)D p +，FD 的中点坐标为33(,0)24p+，则33324p+=，解得2p =，故C 的方程为24y x =． …………………………4分 (2)依题可设直线AB 的方程为0(0)x my x m =+≠，1122(,),(,)A x y B x y ，则22(,)E x y -，由204y x x my x ⎧=⎨=+⎩消去x ，得20440y my x --=， (5)分 因为012x ≥，所以2016160m x ∆=+>， 124y y m +=，1204y y x ⋅=-， …………………………6分设P 的坐标为(,0)P x ，则22(,)P PE x x y =--，11(,)P PA x x y =--， 由题知//PE PA ，所以2112()()0P P x x y x x y -⋅+-⋅=，即2221121212211212()()44P y y y y y y y y x y x y y y x +++=+==， …………………………7分显然1240y y m +=≠，所以1204P y y x x ==-，即证00P x x +=， 由题知EPB ∆为等腰直角三角形，所以1AP k =，即12121y y x x +=-，也即12221211()4y y y y +=-， 所以124y y -=，所以21212()416y y y y +-⋅=．即220161616m x +=，201m x =-， 01x <， (10)分又因为012x ≥，所以0112x ≤<，d ===t =∈，202x t =-，22(2)42t d t t t -==-，易知4()2f t t t =-在上是减函数，所以2)d ∈． …………………………12分21．【解析】（1）)(x f 的定义域为R ，()(2)()xf x x e a '=++ ……………………………1分若0a ≥，则0x e a +>，所以当(,2)x ∈-∞-时，()0f x '<；当(2,)x ∈-+∞时，()0f x '>，所以)(x f 在(,2)-∞-上递减，在(2,)-+∞递增所以2x =-为)(x f 唯一的极小值点，无极大值，故此时)(x f 有一个极值点．……………2分若0a <，令()(2)()0xf x x e a '=++=，则12x =-，2ln()x a =-当2a e -<-时，12x x <，则当1(,)x x ∈-∞时，()0f x '>；当12(,)x x x ∈时，()0f x '<；当2(,)x x ∈+∞时，()0f x '>．所以12,x x 分别为)(x f 的极大值点和极小值点，故此时)(x f 有2个极值点．…………………3分当2a e -=-时，12x x =, ()(2)()0xf x x e a '=++≥且恒不为0，此时)(x f 在R 上单调递增，无极值点 ……………………………………………4分当20e a --<<时，12x x >，则当2(,)x x ∈-∞时，()0f x '>；当21(,)x x x ∈时，()0f x '<； 当1(,)x x ∈+∞时，()0f x '>．所以12,x x 分别为)(x f 的极小值点和极大值点，故此时)(x f 有2个极值点．…………………5分综上，当2a e -=-时，)(x f 无极值点；当0a ≥时，)(x f 有1个极值点； 当2a e -<-或20e a --<<时，)(x f 有2个极值点．…………………6分(2)证明：若00(2)x x ≠-是)(x f 的一个极值点，由（1）可知22(,)(,0)a e e --∈-∞--又22(2)2f e a e ---=-->，所以2(,)a e -∈-∞-，且02x ≠-，…………………7分则0ln()x a =-，所以201()(ln())[ln ()2ln()2]2f x f a a a a =-=-+--， 令ln()(2,)t a =-∈-+∞，则t a e =-，所以21()(ln())(22)2t g t f a e t t =-=-+-故1()(4)2t g t t t e '=-+ …………………10分又因为(2,)t ∈-+∞，所以40t +>，令()0g t '=，得0t =．当(2,0)t ∈-时，()0g t '>，()g t 单调递增，当(0,)t ∈+∞时，()0g t '<，()g t 单调递减 所以0t =是()g t 唯一的极大值点，也是最大值点，即()(0)1g t g ≤=， 故(ln())1f a -≤，即0()1f x ≤ …………………12分22．【解析】（1cos()104πθ+-=，得cos sin 10ρθρθ--=，由cos ,sin x y ρθρθ==，得10x y --=， …………………2分因为244x m y m⎧=⎨=⎩，消去m 得24y x =，所以直线l 的直角坐标方程为10x y --=，曲线C 的普通方程为24y x =． (5)分（2）点M 的直角坐标为(1,0)，点M 在直线l 上，设直线l的参数方程为12x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），代入24y x =，得280t --=， …………………7分设点,A B 对应的参数分别为12,t t，则12t t +=128t t =-， 所以1212111||||t t MA MB t t -+====． …………………10分23．【解析】（1）()3g x …，即|1||1|3x x ++-…， 不等式等价于1(1)(1)3x x x -⎧⎨-+--⎩……或11(1)(1)3x x x -<<⎧⎨+--⎩…或1113x x x ⎧⎨++-⎩……， 解得32x ≤-或32x ≥， …………………4分 所以()3g x ≥的解集为33|22x x x ⎧⎫≤-≥⎨⎬⎩⎭或． …………………5分 （2）因为21[2,2],[2,2]x x ∀∈-∃∈-，使得12()()f x g x ≤成立，所以min min ()()([2,2])f x g x x ≤∈-， …………………6分 又min ()2g x =，所以min ()2([2,2])f x x ≤∈-，当22a -≤-，即4a ≥时，min ()(2)424822f x f a a =-=-+=-≤，解得3a ≥，所以4a ≥； 当22a -≥，即4a ≤-时，min ()(2)424822f x f a a ==++=+≤，解得3a ≤-，所以4a ≤-； 当222a -<-<，即44a -<<时22min ()()42242a a a f x f =-=-+≤，解得a ≥a ≤-，所以4a -<≤-或4a ≤<，综上，实数a 的取值范围为(,[22,)-∞-+∞． …………………10分。

湖北省荆门市龙泉中学2020届高三12月月考数学（理）试题全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必将姓名、考号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{|2,}xA y y x R ==∈，{|}B x y x R ==∈，则A B =A ．{}1B ．(0,)+∞C ．(0,1)D ．(0,1]2．若复数z 满足22zi z i +=-（i 为虚数单位），z 为z 的共轭复数，则1z +=A ．2 C D ．33. 某学校的两个班共有100名学生，一次考试后数学成绩()N ξξ∈服从正态分布()2100,10N ，已知()901000.4P ξ≤≤=，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为A.20B.10C.7D.54．古代数学著作《九章算术》有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，若要使织布的总尺数不少于50尺，则至少需要 A ．7天 B ．8天 C ．9天 D ．10天5．在矩形ABCD 中，6,4AB AD ==，若向该矩形内随机投一点P ，那么使得ABP ∆与ADP ∆的面积都不小于3的概率为 A ．14 B ．13 C ．916 D ．496. 执行如图所示的算法，则输出的结果是 A ．2B ．43C ．54D ．17. 有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1，2，6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4，5，6号选手都不可能获得第一名，比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是 A.甲 B.乙 C.丙D.丁8．一个几何体的三视图如右图所示，该几何体外接球的表面积为A.1723π B. 433π C. 48πD. 56π9. 设O 为坐标原点，点P 为抛物线C ：22(0)y px p =>上异于原点的任意一点，过点P 作斜率为0的直线交y 轴于点M ，点P 是线段MN 的中点，连接ON 并延长交抛物线于点H ，则||||OH ON 的值为 A ．pB ．12C ．2D ．3210. 设函数()f x 为定义域为R 的奇函数，且()(2)f x f x =-，当[0,1]x ∈时，()sin f x x =，则函数()cos()()g x x f x π=-在区间[3,5]-上的所有零点的和为A ．10B ．8C ．16D ．2011. 已知函数()()2sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象过点()0,1B ，且在72,183ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，同时()f x 的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当12195,,126x x ππ⎛⎫∈--⎪⎝⎭，且12x x ≠时，()()12f x f x =，则()12f x x +=A.B.1-C. 1D.2-12. 在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 中点，点P 是正方形11DCC D 内的动点(含边界)，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -A.649B.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a ,b 的夹角为60︒，2a =，1b =，则3a b +=_______ ．14.已知,x y 满足,2,2 2.y x x y x y ≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩则2z x y =+最大值为_________．15.在ABC ∆中，,6B ACD π∠==是AB 边上一点，2,CD ACD =∆的面积为2，ACD ∠为锐角，则BC = ．16.已知实数a ，b ，c 满足2211a a e cb d --==-，其中e 是自然对数的底数，那么()()22a cb d -+-的 最小值为________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17题～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题和第23题为选考题，考生根据要求作答.17. (本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且21n n a S -=.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设21(1)n n n b a n n +=⋅+，求数列{}n b 的前100项和100T .18. (本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面BCP ，//CD 平面ABP ，2BC CP BP ===，2,4CD AB ==（1）证明：平面ABP ⊥平面ADP ；（2）若直线PA 与平面PCD 所成角为α，求sin α的值.19．(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为6，且椭圆C 与圆940)2(:22=+-y x M 的公共弦长为3104． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点P （0，1）作斜率为)0(>k k 的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB △为以AB 为底边的等腰三角形，若存在，求出点D 的横坐标的取值范围；若不存在，请说明理由．20. (本小题满分12分)随着生活节奏的加快以及智能手机的普及，外卖点餐逐渐成为越来越多用户的餐饮消费习惯，由此催生了一批外卖点餐平台。

2020届湖北省荆门市龙泉中学高三下学期高考适应性考试（二）数学（理）试题一、单选题1．已知R 为实数集，集合{}02A x x =<<，{}3B x x =<，则()R C A B =（ ）A ．{}23x x << B ．{}23x x ≤<C ．{}023x x x <≤<或 D ．{}023x x x ≤≤<或【答案】D【解析】先求得集合{|0R C A x x =≤或2}x ≥，再结合集合的交集运算，即可求解. 【详解】由题意，集合{}02A x x =<<，{}3B x x =<， 则{|0R C A x x =≤或2}x ≥，所以()R C A B ={0x x ≤或23}x ≤<.故选：D. 【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、并集和补集的概念及运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力.2．若复数1z ，2z 在复平面内对应的点关于原点对称，11z i =+，则12z z ⋅=（ ）A ．2-B ．2i -C ．2D ．2i【答案】A【解析】利用已知求得21z i =--，进而求得21z i =-+，再利用复数的乘法运算计算即可得解． 【详解】11z i =+，复数12,z z 在复平面内的对应点关于原点对称， ∴21z i =--，则21z i =-+，()()12112z i z i ⋅=+-+=-∴.故选：A. 【点睛】本题考查了复数的对称关系，共轭复数以及复数的乘法运算，属于基础题．3．已知x，y满足约束条件40,20,1,x yx yx-+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则3z x y=+的最大值为（）A．6 B．8 C．9 D．12【答案】B【解析】作出可行域，作出目标函数对应的直线3y x z=-+，平移该直线，可知当直线过40x y-+=与1x=的交点时，z最大，即可求出z的最大值.【详解】作出不等式组40201x yx yx-+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的可行域，如图中阴影部分所示，因为3+z x y=，所以3y x z=-+，显然直线过40x y-+=与1x=的交点时，z最大，401x yx-+=⎧⎨=⎩，解得15xy=⎧⎨=⎩，此时3358z x y=+=+=，所以，3z x y=+的最大值为8.故选：B.【点睛】本题考查线性规划求目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，属基础题.求目标图数最值的一般步骤：一画、二移、三求.（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4．已知正项等比数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，32S -成等差数列，则5a =（ ） A ．8 B ．18C ．16D ．116【答案】C【解析】由1S ，2S ，32S -成等差数列可得21322S S S =+-，即232a a =-，然后解出q ，最后计算5a 即可. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为1S ，2S ，32S -成等差数列， 所以21322S S S =+-，所以()12112322a a a a a a +=+++-，所以232a a =-，即22q q =-，解得2q或1q =-，因为0n a >，所以2q ，所以4451216a a q ===.故选：C . 【点睛】本题考查的是等差等比数列的基本运算，考查了学生的计算能力，属于常考题. 5．黄金三角形有两种，其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是顶角为36︒的等腰三角形（另一种是顶角为108︒的等腰三角形）.例如，正五角星由5个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形ABC 中，512BC AC -=，根据这些信息，可得sin 234︒=（ ）A ．125- B ．15+ C ．35+-D ．45+【答案】B【解析】由题意可得1sin184︒=，利用诱导公式和二倍角公式可得2sin 234(12sin 18)︒︒=--，进而可得结果.【详解】由黄金三角形可知：sin18︒=2sin 234sin(27036)cos36(12sin 18)︒︒︒︒︒=-=-=--2[12]=--⋅= 故选：B 【点睛】本题考查了三角函数诱导公式和二倍角公式，考查了运算求解能力和转化的数学思维，属于中档题目.6．“关于x 的方程()212xxa +=有实数解”的一个充分不必要条件是（ ） A ．113a << B ．12a ≥C ．213a << D ．112a ≤< 【答案】C【解析】首先根据题意得到221xxa =+，令2x t =，()111f t t =-+，再根据()f t 的范围结合选项即可得到答案. 【详解】由题知：()212xxa +=，221xxa =+，令21x t =≥，()1111t f t t t ==-++， 因为1t ≥，11012t <≤+，所以()1,12f t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 故关于x 的方程()212xxa +=有实数解”的一个充分不必要条件是213a <<. 故选：C 【点睛】本题主要考查函数的零点问题，同时考查了转化思想，属于中档题.7．已知斐波拉契数列{}n a 满足，121a a ==，21n n n a a a ++=+，用如图所示的程序框图来计算该数列的第2020项，则（1）（2）处可分别填入的是（ ）A ．T S T =-，2019?n ≥B ．T S T =-，2020?n ≥C ．T S =，2019?n ≥D ．T S =，2020?n ≥【答案】A【解析】根据题中条件可知：执行第一次循环，112S =+=，32a S ==，此时（1）出中T 的值应为2a 的值，即1T =，然后逐一对各个选项进行分析利用排除法进行选择即可得解. 【详解】执行第一次循环，112S =+=，32a S ==，此时（1）出中T 的值应为2a 的值，即1T =， 若（1）处所填的算法步骤为T S =，显然12=矛盾，排除C 、D 选项； 第一次循环，经过算法步骤S S T =+后3S a =，112n =+=； 第二次循环，经过算法步骤S S T =+后4S a =，213n =+=；以此类推，最后一次循环，经过算法步骤S S T =+后2020S a =，201812019n =+=，2019n =满足判断条件，应跳出循环体，而20192020n =≥不成立，故排除B 选项.故选：A . 【点睛】本题考查程序框图，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题. 8．函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为π，若其图象向右平移6π个单位后得到函数为奇函数，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 B ．在22ππ⎛⎫⎪⎝⎭-,上单调递增 C ．关于直线3x π=对称D ．在6x π=处取最大值【答案】A【解析】由最小正周期为π得出2ω=，由()f x 的图象向右平移6π个单位后得到函数为奇函数得出3πϕ=，进而得出()2sin(2)3f x x π=+，然后根据正弦型函数的图像与性质逐一对选型进行判断即可得出答案. 【详解】解：函数()f x 的最小正周期为π，可得2ω=， ()f x 向右平移6π个单位后得到的函数为 2sin 2()2sin(2)63y x x ππϕϕ⎡⎤=-+=-+⎢⎥⎣⎦，因为此函数为奇函数，又2πϕ<，所以3πϕ=.故函数()2sin(2)3f x x π=+，对于选项A ：2()sin()0,333f A πππ=+=∴正确； 对于选项B ：当24(),2(,)22333-,x x πππππ∈+∈-， ()f x 不具有单调性，故B 错； 对于选项C ：2,,32x k k Z πππ+=+∈,122k x k Z ππ=+∈，故C 错；对于选项D ：2()2sin63f ππ==，故D 错. 故选：A. 【点睛】本题主要考查正弦型函数的图像与性质，属于中档题.9．《周髀算经》是中国古代重要的数学著作，其记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…．生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”，某老年公寓住有20位老人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中年长者已是奔百之龄（年龄介于90至100），其余19人的年龄依次相差一岁，则年长者的年龄为( ) A ．94 B ．95C ．96D ．98【答案】B【解析】设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ，m ∈[90，100]，由题可得n +（n +1）+（n +2）++（n +18）+m ＝19n +171+m ＝1520，解出n 的取值范围，根据年龄为整数可得n 的取值范围，再代入可得m 的值． 【详解】根据题意可知，这20个老人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n ，年纪最大者为m ，m ∈[90,100]， 则有n +（n +1）+（n +2）++（n +18）+m ＝19n +171+m ＝1520，则有19n +m ＝1349，则m ＝1349﹣19n ， 所以90≤1349﹣19n ≤100， 解得14565661919n ≤≤， 因为年龄为整数，所以n ＝66， 则m ＝1349﹣19×66＝95. 故选：B 【点晴】本题考查阅读理解能力，涉及等差数列的性质，属于中档题．10．在长方体1111ABCD A B C D -中，6AB AD ==，12AA =，M 为棱BC 的中点，动点P 在面11DCC D 内，满足APD CPM ∠=∠，则点P 的轨迹与长方体的面11DCC D 的交线长等于（ ）A ．23π B ．πC ．43π D ．【答案】A【解析】先根据题意得2PD PC =，再根据问题在平面内得点P 的轨迹为圆，再根据实际情况求弧长即可得答案. 【详解】 解：如图（1），因为M 为棱BC 的中点，6AB AD ==， 所以3CM =，所以在Rt APD 和Rt PMC ，由于APD CPM ∠=∠所以有63tan tan AD CM APD CPM PD PD PC PC ∠===∠==，即63PD PC=， 所以2PD PC =.所以在矩形11CDD C 中，以CD 中点O 为坐标原点，CD 所在直线为x 轴，线段CD 中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，如图（2） 则设(),P x y ，()3,0D -，()3,0C ， 所以由2PD PC =()()2222323x y x y ++=-+，整理得：221090x y x +-+=，即：()22516x y -+=， 所以点P 的轨迹是以()'5,0O 为圆心，4r =为半径的圆， 设圆'O 与11C D 的交点为E ，过点E 作EK CD ⊥，垂足为K ， 所以EK 即为点P 的轨迹与长方体的面11DCC D 的交线， 所以在'Rt EKO 中，'4,2EO EK ==， 所以'6EO K π∠=，所以根据弧长公式得EK 的长度为：2463ππ⨯=. 故选：A.【点睛】本题考查空间点的轨迹问题，弧长问题，解题的关键在于将问题转化为2PD PC =，进而得到其轨迹是圆的一部分，考查空间思维能力与化归转化思想，是难题.11．过点2,0c A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭作双曲线()2222:10.0x y C a b a b -=>>的一条渐近线的垂线，垂足为P ，点Q 在双曲线C 上，且3AQ QP =，则双曲线C 的离心率是（ ）A 51+ B 51- C 3D 2【答案】D【解析】先求垂线AP 的方程20ax by c +-=，再求点(,)P a b ，接着求点2233(,)44a c Q b a +，将点Q 代入双曲线C 化简整理得到426160c c a a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，最后求出2e =【详解】解：由题意设点2,0c A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭作双曲线的一条渐近线by x a =即0bx ay -=的垂线，则垂线AP 的斜率为：ab -，且过点2,0c A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以垂线AP 的方程为：2()a c y x b a=--，即：20ax by c +-=，联立方程：200bx ay ax by c -=⎧⎨+-=⎩，解得：x ay b =⎧⎨=⎩，则(,)P a b ，设点(,)Q m n ，则2(,)cAQ m n a=-，(,)QP a m b n =--，且3AQ QP =，所以：23333c m a m an b n⎧-=-⎪⎨⎪=-⎩，解得：223434a c m a n b ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则点2233(,)44a c Q b a + 因为点Q 在双曲线C 上，所以22222233441a c b a a b ⎛⎫+⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-=，化简整理得：426160c c a a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得：22c a ⎛⎫= ⎪⎝⎭或28c a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（舍去），所以：ce a== 故选：D. 【点睛】本题考查双曲线的几何性质，求双曲线的离心率，是偏难题.12．已知函数()()1ln f x x x tx =++，方程()f x t =有3个不同的解123,,x x x ，现给出下述结论：①2t ≤-；②1231x x x =；③()f x 的极小值()02f x <-. 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．② B ．③ C ．①③ D ．②③【答案】D【解析】首先对函数求导，进一步求函数的二阶导，对二阶导的符号进行判断，得出一阶导的符号，之后对函数图象的走向以及对应的变化趋势，从而判断出导数的导函数的零点、函数的零点以及函数极小值所满足的特征，从而判断出真命题的个数得到结果. 【详解】 由221111()ln 1,()x f x x t f x x x x x'''-=+++=-=， 所以()'f x 在(0,1)递减，(1,)+∞递增， 当2t =-时，()(1)20f f t x ''≥=+=，此时()f x 为增函数，方程()f x t =不会有三个解，此时不符合题意，即①错误.若2t <-时，(1)0f '<，又0x →时，()f x '→+∞；x →+∞时，()f x '→+∞，所以()'f x 有两个零点,a b ，不妨a b <，则01a b <<<. 当(0,)x a ∈时，()0f x '>； 当(,)x a b ∈时，()0f x '<； 当(,)x b ∈+∞时，()0f x '>.因为0x →时，()f x →-∞；(1)f t =；x →+∞时，()f x →+∞， 所以此时()f x t =有三个零点，即为123,,x x x ， 不妨设123x x x <<，则21x =. 因为3333()(1)ln f x x x tx t =++=，则()3333333331ln 11111ln x x t tx f t t x x x x x x -++⎛⎫⎛⎫=++⨯=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以131x x =，从而1231x x x =，即②正确. 由上面可知0()()(1)2f x f b f t =<=<-，所以③正确. 故选：D . 【点睛】该题考查的是利用导数求解函数中参数的范围、根的分布、极值范围的问题，解题中需要结合所给的三个结论对对题目进行讨论，需要较强的分析和解决问题的能力，属于较难题目.二、填空题13．已知a ，b 是两个非零向量，且||||||a b a b ==-，则a 与2a b -的夹角为________． 【答案】6π【解析】设a 与2a b -的夹角为θ，化简已知得222a b a b ==⋅，再把它们代入向量的夹角公式化简即得解. 【详解】设a 与2a b -的夹角为θ，由||||||a b a b ==-得22222a b a b a b ==+-⋅， ∴222a b a b ==⋅，22(2)3||a b a b a -=-=，∴2(2)23cos 2|||2||||2|a ab a a b a a b a a b θ⋅--⋅===--， ∵[0,]θπ∈，∴6πθ=． 所以a 与2a b -的夹角为6π. 故答案为：6π. 【点睛】本题主要考查平面向量的数量积计算，考查向量的夹角的计算，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平和计算能力.14．已知函数()22log ,11,1x x f x x x >⎧=⎨-≤⎩，则()()1f x f x <+的解集为______.【答案】1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】分类讨论，求解对数不等式和一元二次不等式即可求得. 【详解】当1x >时，不等式()(1)f x f x <+可化为22log log (1)x x <+，此时不等式恒成立，所以1x >；当1x ≤且11x +>即 01x <≤不等式()(1)f x f x <+可化为221log (1)x x -<+，因为当01x <≤时，2110x -<-≤，22log (1)log 10x +>=，所以当01x <≤时，221log (1)x x -<+恒成立，所以01x <≤；当1x ≤且11x +≤时，0x ≤时，不等式()(1)f x f x <+可转化为221(1)1x x -<+-，化简整理得由210x +>，解得12x >-，所以102x -<≤. 综上所述，不等式()(1)f x f x <+的解集为1(,)2-+∞． 故答案为：1(,)2-+∞. 【点睛】本题考查解分段函数不等式的求解，涉及对数不等式的求解，属基础题.15．过抛物线y 2＝4x 焦点F 的直线交该抛物线于A ,B 两点,且|AB |＝4,若原点O 是△ABC 的垂心,则点C 的坐标为_____． 【答案】()3,0-【解析】由题意设直线AB 的方程,与抛物线联立求出两根之和,由抛物线的性质可得弦长|AB |的表达式,再由题意可得参数的值,进而求出直线的方程,代入抛物线的方程求出A ,B 的坐标,由O 为三角形ABC 的垂心可得C 在x 轴上,设C 的坐标,由OA ⊥BC ,可得数量积为0,求出C 点的坐标． 【详解】解：显然直线AB 的斜率不为0,由题意设直线AB 的方程为：x ＝my +1,设A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2）,联立直线AB 与抛物线的方程214x my y x =+⎧⎨=⎩,整理可得y 2﹣4my ﹣4＝0,y 1+y 2＝4m ,所以x 1+x 2＝4m 2+2, 由抛物线的性质可得|AB |＝x 1+x 2+2＝4m 2+4,由题意可得4m 2+4＝4,所以m ＝0,即直线AB 垂直于x 轴, 所以可得A （1,2）,B （1,﹣2）,因为原点O 是△ABC 的垂心,所以C 在x 轴上,设C （a ,0）,可得AO ⊥BC ,即AO BC ⋅=0 即（1,2）•（1﹣a ,﹣2）＝0,整理可得：1﹣a ﹣4＝0,解得a ＝﹣3, 所以C 的坐标为：()3,0-,故答案为：()3,0-． 【点睛】本题主要考查了联立直线与抛物线的方程求解参数的问题,需要根据题意联立直线与抛物线的方程,根据韦达定理求解参数.同时也考查了垂直的向量用法.属于中档题.三、双空题16．正四棱椎P ABCD -的底面边长为2，侧棱长为22，过点A 作一个与侧棱PC 垂直的平面α，则平面α被此正四棱椎所截的截面面积为______，平面α将此正四棱椎分成的两部分，则较小部分体积与较大部分体积的比值为______. 【答案】43312【解析】由已知得PAC 为等边三角形，取PC 的中点G ，可得AG PC ⊥，且6AG =，然后证明AG EF ⊥，求得AG 和EF 的长度，可求得截面四边形的面积，再求出四棱锥P AEGF -的体积与正四棱锥P ABCD -的体积，则平面α将此四棱锥分成的两部分的体积的比值可求. 【详解】 如下图所示：在正四棱锥P ABCD -中，由于底面边长为2，侧棱长为2222AC = 所以，PAC 是等边三角形，同理可得PBD △也为等边三角形， 取PC 的中点G ，连接AG ，则AG PC ⊥，且sin 606AG AC ==设过AG 且与PC 垂直的平面交PB 于点E ，交PD 于点F ，连接EF ，则EG PC ⊥，FG PC ⊥，可得Rt PGE Rt PGF ≅△△，则GE GF =，PE PF =， 在PAE △和PAF △中，由PA PA =，PE PF =，APE APF ∠=∠， 可得PAE PAF ≅△△，AE AF ∴=，=AE AF ，EG FG =，AG AG =，AEG AFG ∴≅△△，EAG FAG ∴∠=∠，则AG EF ⊥，在等腰PBC 中，由22PB PC ==，2BC =，由余弦定理可得2223cos 24PB PC BC BPC PB PC +-∠==⋅，则在Rt PGE △中，cos 3PG PE BPC ==∠，同理可得3PF =， PE PF PB PD ∴=，//EF BD ∴，EF PE ∴== 四边形AEGF的面积为1122AEGF S AG EF =⨯==四边形，则113339P AEGF AEGF V S PG -=⋅=⨯=四边形，又2112333P ABCD ABCDV S PO -=⋅=⨯=， 因此，平面α将此正四棱椎分成的两部分，较小部分体积与较大部分体积的比值为12=.；12. 【点睛】本题考查截面面积的计算，同时也考查了棱锥体积的计算，考查推理能力与计算能力，属于中等题.四、解答题17．在①sin cos a A a C =-，②()()2sin 2sin 2sin a b A b a B c C -+-=这两个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答． 已知ABC 的角A ，B ，C 对边分别为,,a b c，c =，而且______．（1）求C ∠；（2）求ABC 周长的最大值． 【答案】（1）3C π=；（2）【解析】(1)选①,先利用正弦定理化简可得sin sin sin cos A C A A C =-,进而得cos 1C C -=,结合C 的范围即可求得3C π=;选②,先利用正弦定理可得2(2)(2)2a b a b a b c -+-=,再利用余弦定理可得1cos 2C =,结合C 的范围即可求得3C π=;(2)由余弦定理可得223a b ab +-=,再利用基本不等式可得23a b +,进而求得ABC 周长的最大值.【详解】 (1)选①:因为sin cos a A a C =-,所以sin sin sin cos A C A A C =-,因为sin 0A ≠,cos 1C C -=,即1sin 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,因为0C π<<,所以5666C πππ-<-<,所以66C ππ-=,即3C π=; 选②:因为()()2sin 2sin 2sin a b A b a B c C -+-=, 所以()()2222a b a b a b c -+-=,即222a b c ab +-=,所以222cos 122a b c C ab +-==,因为0C π<<,所以3C π=;(2)由(1)可知:3C π=,在ABC 中,由余弦定理得222cos 3a b ab C +-=,即223a b ab +-=,所以()()223334a b a b ab ++-=≤,所以a b +≤当且仅当a b =时等号成立,所以a b c ++≤即ABC 周长的最大值为【点睛】本题主要考查正､余弦定理在解三角形中的运用,同时还涉及了基本不等式的运用,考查化简计算能力,属于中档题.18．如图在四棱锥P ABCD -中，平面PAB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，60BAD ∠=︒，//AD BC ，44AD BC ==，2PA =6PB =.（1）证明：PC CD ⊥.（2）求平面PCD 与平面PAB 夹角（锐角）的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）10【解析】（1）过P 作PO ⊥AB 与O .连OC ，OD ，根据已知条件计算可得OC CD ⊥，根据平面与平面垂直的性质定理可得PO CD ⊥，再根据直线与平面垂直的判定和性质可证结论（2）以O 为坐标原点.OD ，OB ，OP 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标洗，利用空间向量可求得平面PCD 与平面P AB 夹角（锐角）的余弦值. 【详解】（1）证明：过P 作PO ⊥AB 与O .连OC ，OD ，如图：因为底面ABCD 是等腰梯形，60BAD ∠=︒，所以2()3AB CD AD BC ==-=，因为6PA =3PB = ∴222PA PB AB +=，所以PA PB ⊥， 所以PA PB PO AB ⋅=⋅， ∴632PA PB PO AB ⋅⨯=== 所以22321OB PB PO =-=-=，2OA =，所以2212cos60416224232 OD OA AD OA AD=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，2212cos12011211()32OC OB BC OB BC=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯⨯-=，所以222OC CD OD+=，所以OC CD⊥.因为平面PAB⊥底面ABCD，交线为AB，∴PO⊥底面ABCD，所以PO CD⊥.又OC PO O=，,OC OP⊂平面POC，故CD⊥平面POC，所以PC CD⊥；（2）由（1）知AB OD⊥，以O为坐标原点.OD，OB，OP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示则2)P，(23,0,0)D，33,,0)22C，所以(23,0,2)PD =，333(,0)2CD=-，设平面PCD的法向量(,)m x y z=⋅,故m PDm CD⎧⋅=⎨⋅=⎩,即23203332x zx y⎧=-=，令1x=，则3y=6z=(1,3,6)m=，平面P AB的法向量取(1,0,0)n=），所以10cos(,)||||10mm nmnn⋅===故平面PCD与P AB10【点睛】本题考查了平面与平面垂直的性质定理、直线与平面垂直的判定和性质，考查了二面角的向量求法，属于中档题.19．已知函数()ln (1)ln f x mx x m x =-+，0m >.（1）()f x '为函数()f x 的导函数，讨论函数()f x '的单调性； （2）若函数()f x 与3()g x x e=-的图像有两个交点11(,)A x y 、2212(,)()B x y x x <，求证：211x x e e+<+. 【答案】（1）()f x '在(0,)+∞上为单调递增；（2）证明见解析.【解析】（1）首先可以求出()'f x 以及[]()f x ''，再然后根据0m >以及0x >得出10mx m ++>，即可得出结果，（2）本题首先可设()()()F x f x g x =-，然后求出()F x '并令()()x F x ϕ'=，求出()x ϕ'，再然后通过()0x ϕ'>恒成立得出()F x '在(0,)+∞上为增函数，求出()F x 的单调性和极值，最后通过()F x 在区间1,1e ⎛⎫⎪⎝⎭以及(1,)e 内各有一个零点即可证得211x x e e+<+. 【详解】（1）()()1()1ln 0m f x m x x x +'=+->，[]()2211()0m m mx m f x x x x x +++''=+=> 因为0m >，0x >，所以10mx m ++>， 所以[()]0f x ''>，()f x '在(0,)+∞上为单调递增， （2）设()3()()()ln (1)ln 0F x f x g x mx x m x x x e=-=-++->， 则1()ln 1m F x m x m x+'=+-+， 令1()()ln 1m x F x m x m x ϕ+'==+-+，则21()m m x x x ϕ+'=+， 因为0m >，0x >，所以21()0m m x x x ϕ+'=+>恒成立， 故函数()ϕx 即()F x '在(0,)+∞上为增函数且(1)0F '=()F x递减 极小值 递增则33(1)10e F e e-=-=<， 因为1120e e F m e e e --⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，(1)3()(1)0e e F e m e e --=-+> 所以()F x 在区间1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭以及(1,)e 内各有一个零点，即为11,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2(1,)x e ∈， 故211x x e e-<-，即211x x e e +<+.【点睛】本题考查根据导函数判断函数单调性以及二分法判断函数零点所在区间，若函数()f x 的导函数为()f x '，当()0f x '>时，函数()f x 是增函数，当()0f x '<时，函数()f x 是减函数，考查计算能力，是难题.20．已知点()2,1P 在椭圆22:182x y C +=上，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，过点P 的直线1l 与椭圆C 有且只有一个公共点，直线2l 平行于OP （O 为原点），且与椭圆C 交于两点A 、B ，与直线2x =交于点M （M 介于A 、B 两点之间，且点A 在M 左侧）.（1）当PAB △面积最大时，求2l 的方程；（2）求证：PA MB PB MA ⋅=⋅；并判断1l ，2l ，PA ，PB 的斜率是否可以按某种顺序构成等比数列？ 【答案】（1）122y x =（2）证明见解析；1l ，2l ，PA ，PB 的斜率无论怎样排序都不可能构成等比数列.【解析】（1）设出1l 的方程，利用0∆=求出其斜率12k =-，再设2l 的方程，联立椭圆方程，表示出两根之和与两根之积，进一步表示出AB 、P 到直线AB 的距离d ，最后表示出PABS，利用均值定理即可求出PAB △面积最大时2l 的方程；（2）由PA MB PB MA ⋅=⋅，只需证明PM 为APB ∠的角平分线，只需证明0PA PB k k +=，易证；表示出1l ，2l ，PA ，PB 的斜率，对此讨论，得出矛盾的结论即可. 【详解】解：（1）设过P 的切线1l 方程为：()21y k x =-+，与椭圆联立可得()()()2221481241280k xk k x k ++-+--=，由题意可得()()()2222641241441280k k k k ⎡⎤∆=--+--=⎣⎦，解得12k =-，12OP k =. 由题意直线2l 的方程，12y x t =+，设()11,A x y ，()22,B x y ， 联立直线2l 与椭圆的方程，整理可得222240x tx t ++-=，()2244240t t ∆=-->，即24t <，122x x t +=-，21224x x t =-，所以弦长AB ==P 到直线AB的距离为：d ==，所以()2241222PABt t S d AB +-=⋅⋅==≤=△， 当且仅当22t =取等号，M 介于A、B 之间可得t = 这时直线2l的方程为12y x =（2）()()()()122112121211121211222222PA PBx t x x t x y y k k x x x x ⎛⎫⎛⎫+--++-- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+=+=----()()()()()12121224122x x t x x t x x +-+--=--，将122x x t +=-，21224x x t =-，代入可得0PA PB k k +=，所以直线PA ，PB 关于直线2x =对称，即PM 为APB ∠的角平分线， 由角平分线的性质可得PA AM PBBM=，即证得：PA MB PB MA =.故所研究的4条直线1l ，2l ，PA ，PB 的斜率分别为12-，12，PA k ，PA k -， 若按一定顺序成等比数列，其公比记为q ，则必有1q =-，此时必有12PA k =，12PB k =-，那么直线PB 与1l 重合，不合题意，故1l ，2l ，PA ，PB 的斜率无论怎样排序都不可能构成等比数列. 【点睛】以直线和椭圆的位置关系为载体，考查三角形的面积最大时，求直线的方程；以两条直线的斜率之和为零，考查两条直线倾斜角互补，进一步证明三角形内角平分线定理，进一步判断四条直线的斜率能否构成等比数列，难题.21．在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品，保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质量管理，不定时抽查口罩质量，该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分成以下五组：[100，110)，[110，120)，[120，130)，[130，140)，[140，150]，得到如下频率分布直方图.（1）规定：口罩的质量指标值越高，说明该口罩质量越好，其中质量指标值低于130的为二级口罩；质量指标值不低于130的为一级口罩.现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取8个口罩，再从中抽取3个，记其中一级口罩的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望；（2）在2020年“五一”劳动节前，甲、乙两人计划同时在该型口罩的某网络购物平台上分别参加A 、B 两店各一个订单“秒杀”抢购，其中每个订单由()2,n n n N ≥∈个该型号口罩构成.假定甲、乙两人在A 、B 两店订单“秒杀”成功的概率分别为22cos ,n nnππ，记甲、乙两人抢购成功的订单总数量、口罩总数量分别为X ，Y .（ⅰ）求X 的数学期望()E X ；（ⅱ）求当Y 的数学期望()E Y 取最大值时正整数n 的值.【答案】（1）分布列见解析；期望为34；（2）（ⅰ）22cos n n nππ+；（ⅱ）6n =. 【解析】（1）根据分层抽样抽取8个口罩，可得二级、一级口罩个数分别为6和2，所以ξ可能的取值为0，1，2，再求出ξ的各个取值的概率，可得ξ的分布列和数学期望； （2）（ⅰ）X 可能的取值为0，1，2，求出X 的各个取值的概率，根据期望公式可得X 的数学期望；（ⅱ）根据Y nX =得()()X 2cosE Y nE nnππ==+，令110,2t n ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，设()2cos f t t t ππ=+，则()()E Y f t =，再利用导数可求得结果.【详解】（1）按分层抽样抽取8个口罩，则其中二级、一级口罩个数分别为0.0050.040.031086++⨯⨯=（），0.020.0051082+⨯⨯=（），故ξ可能的取值为0，1，2，()3062385014C C P C ξ===，()21623815128C C P C ξ===，()1262383228C C P C ξ===， ξ的分布列为()515330121428284E ξ=⨯+⨯+⨯=. （2）（ⅰ）由题知，X 可能的取值为0，1，2()2232cos 2cos 2cos 0111n n n P X n n n n n ππππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫==--=--+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭； ()22232cos 2cos 2cos 4cos 111n n n n P X n n n n n n n ππππππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫==-+-⋅=+- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭；()32cos 2n P x n ππ==，所以()2323322cos 2cos 2cos 4cos 2cos 2cos 0112n n n nn n E x nn n nn n n n n ππππππππππππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=⨯--++⨯+-+⨯=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ⅱ）因为Y nX =，所以()()22cos X 2cos n E Y nE n nn n n ππππ⎛⎫ ⎪==+=+ ⎪⎪⎝⎭令110,2t n ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，设()2cos f t t t ππ=+，则()()E Y f t =， 因为()12sin 2sin 2f t t t πππππ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭， 所以当10,6t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f t '>；当11,62t ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()0f t '<；所以()f t 在10,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在11,62⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，故当16t =，即6n =时，()f t 取最大值，所以()max 166f t f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()E Y 取最大值时，正整数6n =.【点睛】本题考查了频率分布直方图，考查了分层抽样，考查了离散型随机变量的分布列和数学期望，考查了利用导数求函数的最大值，属于中档题. 22．在平面直角坐标系中，直线m 的参数方程为 cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0≤α＜π）．以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线E 的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ﹣3＝0，直线m 与曲线E 交于A ，C 两点． （1）求曲线E 的直角坐标方程和直线m 的极坐标方程；（2）过原点且与直线m 垂直的直线n ，交曲线E 于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的最大值．【答案】（1）()2214x y ++=，()R θαρ=∈；（2）7【解析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． （2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果． 【详解】（1）曲线E 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=，所以曲线E 的直角坐标方程为()2214x y ++=， 因为直线m 的参数方程为 cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<）所以tan y x α=⋅，所以直线m 的极坐标方程为()R θαρ=∈ ． （2）设点,A C 的极坐标分别为()()12,,,ραρα．由22cos 30θαρρθ=⎧⎨+-=⎩ 可得22cos 30ρρα+-=， 12122cos ,3ρραρρ∴+=-=-，12AC ρρ∴-＝＝；同理得BD = 设四边形ABCD 面积为S ，221cos 3sin 372S AC BD αα=⋅=≤+++=， 当且仅当22cos 3sin 3αα+=+，即4πα=或34π时，等号成立，∴四边形ABCD 面积的最大值为7． 【点睛】本题主要考查了参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，三角函数关系式的恒等变换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23． 已知正实数a ，b ，c .（1）若1a b +=，求22a b +的最小值； （2）证明：32++≥+++a b c b c a c a b . 【答案】（1）12；（2）证明见解析. 【解析】（1）由二维形式的柯西不等式，可求出结果. （2）+++++a b c b c a c a b ()()()111132b c a c a b b c a c a b ⎛⎫⎡⎤=+++++++- ⎪⎣⎦+++⎝⎭，利用三维形式的柯西不等式即可证明. 【详解】 （1）()()()222111a ba b ++≥+=，所以2212a b +≥， 当且仅当12a b ==取等号. （2）111a b c a b c a b c a b c b c a c a b b c a c a b ++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()111132b c a c a b b c a c a b ⎛⎫⎡⎤=+++++++- ⎪⎣⎦+++⎝⎭2132≥- 21333=22=⨯-. 当且仅当13a b c ===取等号. 【点睛】本题考查了柯西不等式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题目.。