高等数学期末复习第八章 向量代数与空间解析几何一、内容要求1、了解空间直角坐标系，会求点在坐标面、坐标轴上的投影点的坐标2、掌握向量与三个坐标面夹角余弦关系3、会运用定义和运算性质求向量数量积4、会运用定义和运算性质求向量的向量积5、掌握向量数积和向量积的定义形式6、掌握向量模的定义与向量数量积关系7、掌握向量的方向余弦概念8、掌握向量的平行概念9、掌握向量的垂直概念10、能识别如下空间曲面图形方程：柱面，球面、锥面，椭球面、抛物面，旋转曲面，双曲面11、掌握空间平面截距式方程概念，会化平面方程为截距式方程和求截距 12、会求过三点的平面方程，先确定平面法向量13、会用点法式求平面方程，通常先确定平面法向量14、会求过一点，方向向量已知的直线对称式方程，通常先确定直线方向向量 15、会用直线与平面平行、垂直的方向向量法向量关系确定方程中的参数 16、掌握直线对称式方程标准形式，能写出直线方向向量二、例题习题1、点)2,4,1(-P 在yoz 面上的投影点为( )； （内容要求1）A. )2,4,1(-QB. )2,0,1(-QC. )0,4,1(-QD. )2,4,0(Q 解：yoz 面不含x ，所以x 分量变为0，故选D2、设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2,,0321πθθθ≤≤），则=++322212cos cos cos θθθ（ ）(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D); 3解：由作图计算可知，222123cos cos cos 2θθθ++=，所以选C 。
（内容要求2）3、设向量a 与三个坐标面zox yoz xoy ,,的夹角分别为321,,θθθ（2,,0321πθθθ≤≤），则=++322212cos cos cos θθθ ;解：222123cos cos cos 2θθθ++=，所以填2。
（内容要求2）4、向量)3,1,1(-=a，)2,1,3(-=b ，则=⋅b a ( )；A. 0B. 1C. 2D. )2,11,5(---解：311(1)232a b ⋅=-⨯+⨯-+⨯=，所以选C 。
（内容要求3） 5、向量32,2,=--=+-a i j k b i j k 则(2)-⋅=a b解：2624i j k -=-++a ，所以(2)61224(1)6-⋅=-⨯+⨯+⨯-=-a b ，所以填6-。
（内容要求3）6、设a =2 i +2j +2k ，b =3j -4k ，则a ·b = 。
解：23202(4)2a b ⋅=⨯+⨯+⨯-=-，所以填-2。
（内容要求3）7、向量}3,0,1{=a，}2,1,1{-=b ，则=⨯b a ( )；A. 6B. 6-C. }1,1,3{-D. }1,1,3{--解：133112ij ka b i j k ⨯==+--，所以选C 。
（内容要求4）8、向量}1,1,1{},2,1,3{-=-=b a,则=⨯b a ；解：3122111ij ka b i j k ⨯=-=---，所以填2i j k --，或填{1,1,2}--。
（内容要求4）9、a 与b 为两个向量，θ为二者的夹角，则a b ⋅=( ).(A) sin ab θ (B) sin a b θ (C) cos ab θ (D) cos a b θ 解：由定义，选D 。
（内容要求5）10、设,a b 为非零向量，则a b ⋅( )a b ⋅. (A) = (B) ≤ (C) ≥ (D) ≠解：因为||||cos θ⋅=⋅a b a b ，所以|||||cos |||||θ⋅=⋅⋅≤⋅a b a b a b ，选B 。
（内容要求5） 11、已知1,a b ==，且a 与b 的夹角为4π，则a b +=( ). (A)(B) 1 (C) 2 (D) 1解：222||||2||||cos 5θ+=++⋅=a b a b a b ，所以，+=a b A 。
（内容要求6） 12、设,a b 为非零向量，且⊥a b ，则必有( ). (A) +=+a b a b (B) -=-a b a b(C) +=-a b a b (D) +=-a b a b解：22222||||2||||cos ||||θ+=++⋅=+a b a b a b a b ，（cos θ=0）22222||||2||||cos ||||θ-=+-⋅=+a b a b a b a b所以选C 。
（内容要求6）13、设向量a与三个坐标轴的正向的夹角分别为γβα,,，则=++γβα222cos cos cos ;解：222cos cos cos 1αβγ++=，所以填1。
（内容要求7） 14、设向量a 与三个坐标轴的正向的夹角分别为γβα,,，已知,4,4πβπα==则γ=解：因为向量a 与三个坐标轴的正向的夹角分别为γβα,,，,4,4πβπα==222cos cos cos 1αβγ++=，所以cos 0γ=，2πγ=，所以填2πγ=。
（内容要求7）15、设{1,2,3},{2,4,}a b λ=-=，且//a b ，则λ=( )；(A)103 (B) 103- (C) 6- (D) 6 解：因为//a b ，所以12324λ-==，所以选C 。
（内容要求8）16、设向量{2,1,10}a =--，{4,2,1}b =-，则向量a 与向量b 的关系是( ). (A) 平行 (B) 斜交(C) 垂直 (D) 不能确定 解：0⋅=a b ，所以选C 。
（内容要求9）17、已知向量}4,1,1{,-=⊥a b a，}1,,2{-=m b ，则=m ( )；A. 1B. 1-C. 2D. 2-解：因为a b ⊥，所以2402a b m m ⋅=--=⇒=-，所以选D 。
（内容要求9）18、在空间直角坐标系中, 方程4922y x z +=表示的曲面是( )； A. 椭圆抛物面 B. 双曲抛物面 C. 椭圆锥面 D. 椭球面解：4922y x z +=为椭圆抛物面，所以选A 。
（内容要求10） 19、在空间直角坐标系中，方程222=+z x y 表示的曲面是 ( ).(A) 双曲抛物面 (B) 旋转抛物面 (C) 椭圆抛物面 (D) 圆锥面 解：222=+z x y 为圆锥面，所以选D 。
（内容要求10）20、空间直角坐标系中，方程222R y x =+表示的图形是( )； A. 圆 B. 球面 C. 椭球面 D. 圆柱面 解：222R y x =+为圆柱面，所以选D 。
（内容要求10）21、空间直角坐标系中，方程22y x z +=表示的图形是( )； A. 球面 B. 圆锥面 C. 圆柱面 D. 旋转抛物面 解：22y x z +=为旋转抛物面，所以选D 。
（内容要求10） 22、空间直角坐标系中，方程224y x +=表示的图形是( )； A. 球面 B. 圆柱面 C. 圆锥面 D. 旋转抛物面 解：224y x +=为圆柱面，所以选B 。
（内容要求10） 23、方程2244y z -=表示( ).(A) 双曲柱面 (B) 双曲线 (C) 单叶双曲面 (D) 双叶双曲面 解：2244y z -=为双曲柱面，所以选A 。
（内容要求10） 24、指出旋转曲面2222z x y =+的一条母线和旋转轴( ).(A) 220z x y ⎧=⎨=⎩，z 轴 (B)220z x y ⎧=⎨=⎩，x 轴 (C) 220z x y ⎧=⎨=⎩，y 轴 (D)220z y x ⎧=⎨=⎩，y 轴 解：2222z x y =+为220z x y ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转的旋转抛物面，所以选A 。
（内容要求10）25、平面212xy z ++=在,,x y z 轴上的截距分别是( ). (A) 1,1,22 (B) 12,1,2(C) 1,2,1 (D) 2,1,2 解：化截距式方程为11212x y z++=在,,x y z 轴上的截距为12,1,2，所以选B 。
（内容要求11）26、过三点(1,1,1)-，(2,2,2)--，(1,1,2)-的平面方程为( ). (A) 320x y z --= (B) 321x y z --= (C) 320x y z +-= (D) 320x y z -+=解：过三点(1,1,1)-，(2,2,2)--，(1,1,2)-的平面法向量1(2)1(2)12333396111(1)12023=------=-=-++------i j k i j kn i j k所以所求平面方程为3(1)9(1)6(1)0320--+-++=⇒--=x y z x y z ，所以选A 。
（内容要求12）27、求过点(1,0,1)-且与直线241131x y z -++==-垂直的平面方程. 解：过点(1,0,1)-且与直线241131x y z -++==-垂直的平面的法向量就是直线 241131x y z -++==-的方向向量{1,3,1}-，所以所求平面方程为 (1)3(1)0320x y z x y z --+++=⇒---=（内容要求13）28、求过点(1,1,1)且与直线24113-+==+-x y z 垂直的平面方程. 解：直线24113-+==+-x y z 的方向向量为{1,3,1}-，所以过点(1,1,1)且与直线24113-+==+-x y z 垂直的平面方程为 1(1)3(1)10330x y z x y z --+-+-=⇒--+=（内容要求13）29、求通过点(2 , 0 , -1)A 且与两直线-1-2111x y z ==和3-12-13x y z +==平行的平面方程.解：所求平面法向量为11143213ij kn i j k ==---，于是所求平面方程为4(2)3(1)043110x y z x y z ---+=⇒---=（内容要求13）30、已知两条直线的方程是 1123:101x y z L ---==-，221:211x y zL +-==，求过1L且平行于2L 的平面方程.解：所求平面法向量为1013211ij kn i j k =-=-+，令1231101x y z ---===-得直线上的点(2,2,2)，于是所求平面方程为23(2)20320x y z x y z ---+-=⇒-++=（内容要求13）31、过点(2,5,3)-且平行于xoz 面的平面方程为解：因为平行于xoz 面的平面为y d =型，所以平面方程应填5y =-。
或者， xoz 面的平面的法向量为{0,1,0}n =，所以平面方程为0(2)1(5)0(3)0x y z ⋅--⋅++⋅-=所以平面方程应填5y =-（内容要求13）32、过点(2,1,3)-且与平面740x y z -+=垂直的直线方程为 解：过点(2,1,3)-且与平面740x y z -+=垂直的直线方向向量就是平面740x y z -+=的法向量{1,7,4}-，所以所填直线方程为213174--+==-x y z 。
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