时间序列数据的平稳性检验-完整版

第五讲时间序列的平稳性检验

16
ARMA( p, q)
ARIMA( p, d , q) :
17
单位根过程
• 随机序列 y t 称为单位根过程，如果，
1
1 1
平稳过程
非平稳过程、非单位根过程
18
单位根检验
20世纪70年代,Dickey和Fuller提出了DF统计量,用于检验序列是否包含单位根过程以及单整的阶数,称为DF检验。
第五节
时间序列的平稳性检验
1
平稳性的检验方法之一:时序图检验方法
• 根据平稳时间序列均值、方差为常数的性质，平稳序列的时序图应该显示出该序列始终在一个常数值附近随机波动，而且波动的范围有界、无明显趋势及无季节性特征
税收收入（亿元）
80.00%
60.00%
40.00%
20.00%
0.00%
第 1季 19 94 度年第 3季 19 95 度年第 1季 19 95 度年第 3季 19 96 度年第 1季 19 96 度年第 3季 19 97 度年第 1季 19 97 度年第 3季 19 98 度年第 1季 19 98 度年第 3季 19 99 度年第 1季 19 99 度年第 3季 20 00 度年第 1季 20 00 度年第 3季 20 01 度年第 1季 20 01 度年第 3季度
21
22
ADF检验
ADF检验中两个重要问题: (1)关于位移项和趋势项的判断:实际中并不知道被检验序列的 DGP 属于哪一种形式，怎样选择单位根检验式呢？先采用有趋势和漂移项的。因为它对应的ADF统计量的检验功效最高。 (2)关于滞后阶数的判断:k尽量小，以保持更大的自由度; k充分大以消除残差内的自相关。

时间序列数据的平稳性检验

（对全部t）
▪ 方差 var( yt ) E( yt )2 2（对全部t）
▪ 协方差 k E[( yt )( ytk )]（对全部t）
▪ 其中 k 即滞后k旳协方差[或自(身)协方差]，yt 是
和 ytk ，也就是相隔k期旳两值之间旳协方差。
6
▪ 三、伪回归现象 ▪ 将一种随机游走变量（即非平稳数据）对另一种
14
▪ I (1)过程在金融、经济时间序列数据中是最普遍旳，而I (0)则表达平稳时间序列。
▪ 从理论与应用旳角度，DF检验旳检验模型有如下
旳三个：
Yt (1 )Yt1 ut 即 Yt Yt1 ut
（5.7）
Yt 1 (1 )Yt1 ut 即 Yt 1 Yt1 ut
（5.8）
随机游走变量进行回归可能造成荒唐旳成果，老式旳明显性检验将告知我们变量之间旳关系是不存在旳。 ▪ 有时候时间序列旳高度有关仅仅是因为两者同步随时间有向上或向下变动旳趋势，并没有真正旳联络。这种情况就称为“伪回归”（Spurious Regression）。
7
第二节平稳性检验旳详细措施
一、单位根检验 ▪ （一）单位根检验旳基本原理 ▪ David Dickey和Wayne Fuller旳单位根检验
34
▪ Johansen协整检验有两个检验统计量：
▪ ①迹检验统计量trace ：
g
▪ trace=-T ln(1-ˆi)，其中r为假设旳协整关系旳 i=r+1 个数，ˆi 为旳第i个特征值旳估计值（下同）。相应旳零假设是：H0：协整关系个数不不小于等
于r；被择Байду номын сангаас设：H1：协整关系个数不小于r。
yt yt-k+1yt-1+2yt-2+...k-1yt-(k-1)+ut （5.12）

时间序列平稳性检验

时间序列平稳性检验分析姓名xxx学院xx学院专业xxxx学号xxxxxxxxxx时间序列平稳性分析检验时间序列是一个计量经济学中的概念，时间序列分析中首先遇到的问题是关于时间序列数据的平稳性问题。

一、时间序列平稳性的定义假定某个时间序列是由某一随机过程(stochasticprocess)生成的，即假定时间序列{Xt}(t=1,2,•)•的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果满足下列条件：1)均值E(Xt)=u是与时间t无关的常数；2)方差Var(Xt)=o2是与时间t无关的常数；3)协方差Cov(Xt,Xt+k尸条是只与时期间隔k有关，与时间t无关的常数。

则称该随机时间序列是平稳的(stationary),而该随机过程是一平稳随机过程(stationary stochasticprocess)。

eg:一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同方差的独立分布序列：Xt=Mt,Mt~N(0,o2)该序列常被称为是一个白噪声。

由于Xt具有相同的均值与方差，且协方差为零，由定义，一个白噪声序列是平稳的。

eg:另一个简单的随机时间列序被称为随机游走，该序列由如下随机过程生成：Xt=Xt-1+」t这里，出是一个白噪声。

容易知道该序列有相同的均值：E(Xt)=E(Xt-1)为了检验该序列是否具有相同的方差，可假设Xt的初值为X0,则易知X1=X0+」1X2=X1+」2=X0+J1+J2xt=X0+出+也++M由于X0为常数，%是一个白噪声，因此Var(Xt)=to2即Xt的方差与时间t有关而非常数，它是一非平稳序列二、时间序列平稳性检验的方法对时间序列进行平稳性检验中，实际上假定了时间序列是由具有白噪声随机误差项的一阶自回归过程AR(1)生成的。

但在实际检验中，时间序列可能由更高阶的自回归过程生成的，或者随机误差项并非是白噪声，这样用OLS法进行估计均会表现出随机误差项出现自相关(autocorrelation),导致DF检验无效。

时间序列的平稳性及其检验

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伪回归spurious regression
如果时间序列是有趋势的，那么一定是非平稳的，从而采用OLS估计的t检验和F检验就是无效的。
两个具有相同趋势的时间序列即便毫无关系，在回归时也可能得到很高的显著性和复判定系数
出现伪回归时，一种处理办法是加入趋势变量，另一种办法是把非平稳的序列平稳化
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平稳的概念
假定某个时间序列是由某一随机过程生成的，即假定时间序列{Xt}（t=1, 2, …）的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果满足下列条件： 1）均值E(Xt)=是与时间t 无关的常数； 2）方差Var(Xt)=2是与时间t 无关的常数； 3）协方差Cov(Xt,Xt+k)=k 是只与时期间隔k有关，与时间t 无关的常数；则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而该随机过程是一平稳随机过程（stationary stochastic process）。
1. 序列的时间路径图判断 2. 样本相关函数判断 3. Q 统计量 4. 单位根检验
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一、平稳性的简单图示判断
给出一个随机时间序列，首先可通过该序列的时间路径图来粗略地判断它是否是平稳的。
一个平稳的时间序列在图形上往往表现出一种围绕其均值不断波动的过程。
而非平稳序列则往往表现出在不同的时间段具有不同的均值（如持续上升或持续下降）。
7
随机过程与时间序列的关系
随机过程: {x1, x2, …, xT-1, xT,} 第1次观测：{x11, x21, …, xT-11, xT1} 第2次观测：{x12, x22, …, xT-12, xT2}
第n次观测：{x1n, x2n, …, xT-1n, xTn}

时间序列的平稳性及其检验

或Yt e 0 1t ut
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伪回归spurious regression

如果时间序列是有趋势的，那么一定是非平稳的，从而采用OLS估计的t检验和F检验就是无效的。
两个具有相同趋势的时间序列即便毫无关系，在回归时也可能得到很高的显著性和复判定系数出现伪回归时，一种处理办法是加入趋势变量，另一种办法是把非平稳的序列平稳化

时间序列分析模型：解释时间序列自身的变化规律和相互联系的数学表达式

确定性的时间序列模型随机时间序列模型
3
随机过程与随机序列
设T 为某个时间集，对t T，取xt为随机变量，对于该随机变量的全体 xt , t T 当取T 为连续集，如T (, )或T [0, )
1000.0 900.0 800.0
GDP指数(1978=100)
700.0 600.0 500.0 400.0 300.0 200.0 100.0 0.0
年份
79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 00 01 02 03
8
说明

自然科学领域中的许多时间序列常常是平稳的。如工业生产中对液面、压力、温度的控制过程，某地的气温变化过程，某地100年的水文资料，单位时间内路口通过的车辆数过程等。但经济领域中多数宏观经济时间序列却都是非平稳的。如一个国家的年GDP序列，年投资序列，年进出口序列等。
9
时间序列模型的例子
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时间序列模型不同于经典计量模型的两个特点

⑴ 这种建模方法不以经济理论为依据，而是依据变量自身的变化规律，利用外推机制描述时间序列的变化。 ⑵ 明确考虑时间序列的非平稳性。如果时间序列非平稳，建立模型之前应先通过差分把它变换成平稳的时间序列，再考虑建模问题。

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• 然而，对X取一阶差分（first difference）: Xt=Xt-Xt-1=t
由于t是一个白噪声，则序列{Xt}是平稳的。
后面将会看到:如果一个时间序列是非平稳的，它常常可通过取差分的方法而形成平稳序列。
• 事实上，随机游走过程是下面我们称之为1阶自回归AR(1)过程的特例
Xt=Xt-1+t
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X
X
t
t
t
t
(a)
(b)
图 4.1 平稳时间序列与非平稳时间序列图
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• 进一步的判断: 检验样本自相关函数及其图形
定义随机时间序列的自相关函数（autocorrelation function, ACF）如下：
k=k/0 自相关函数是关于滞后期k的递减函数(Why?)。
实际上,对一个随机过程只有一个实现（样本），因此，可以计算样本自相关函数（Sample autocorrelation function）来判断该随机过程是否平稳。
第四章时间序列模型平稳性检验
一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型二、时间序列数据的平稳性三、平稳性的图示判断四、平稳性的单位根检验五、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程
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一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型
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⒈常见的数据类型
到目前为止，经典计量经济模型常用到的数据有： • 时间序列数据（time-series data)； • 截面数据(cross-sectional data) • 平行/面板数据（panel data/time-series cross-
假定某个时间序列是由某一随机过程（stochastic process）生成的，即假定时间序列 {Xt}（t=1, 2, …）的每一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果满足下列条件：

(6)14.2时间序列平稳性检验

T −k
ˆ ρk =
t =1
∑ ( yt − y )( yt + k − y )
t =1
( y t − y )2 ∑
T
（14.2.1）
当k逐渐增大时，迅速衰减，则认为该序列是平稳的；如果它衰减非常缓慢，则认为该序列是非平稳的。
迪基—富勒检验三、单位根检验[迪基富勒检验（Dickey-Fuller 单位根检验迪基富勒检验（ —DF检验）] 检验）检验（一）单位根过程单位根过程是较随机游走更为一般的非平稳过程，假定有增长趋势的变量yt的数据生成过程可写成： (1-L) yt = α + ut Lyt = yt-1。由于其特征方程 1-z = 0有一个单位根z = 1，所以称(14.2.2)式为单位根称式为单位根过程。过程 (14.2.2) 其中ut是平稳过程，α可取不同的值，L 是滞后算子
（三）DF检验 (Dickey-Fuller Test) 检验 1. DF检验检验迪基（Dickey）和富勒（Fuller）以蒙特卡罗模拟为基础，编制了式（14.2.12）中tδ统计量的临界值表—DF 分布临界值表，表中所列已非传统的t统计量，他们称之为τ统计量。后来该表由麦金农（Mackinnon）1991 年通过蒙特卡罗模拟法加以扩充，形成了扩充的DF分布临界值表，即ADF分布临界值表，因而形成了扩充的 DF检验—ADF检验。
检验）（二）单位根检验（DF检验）的基本思想单位根检验（检验在（14.2.6）式中，若α = 0，则式（14.2.6）可以写成： yt = ρyt-1 + ut (14.2.7)
式（14.2.7）称为一阶自回归过程，记作AR(1),可以证明当| ρ | <1时是平稳的，否则是非平稳的。 AR(1)过程也可以写成算符形式：（1-ρL）yt = ut (14.2.8)

时间序列的平稳性及其检验

• (2)
•依概率收敛：
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时间序列的平稳性及其检验
•第（1）条是OLS估计的需要
第（2）条是为了满足统计推断中大样本下的“一致性”特性：
•注意：在双变量模型中：
•因此：
•▲如果X是非平稳数据（如表现出向上的趋势），则（2）不成立，回归估计量不满足“一致性”，基于大样本的统计推断也就遇到麻烦。
•
Xt=Xt-1+t
•不难验证:1)||>1时，该随机过程生成的时间序列是发散的，表现为持续上升(>1)或持续下降(<-1)，因此是非平稳的；
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时间序列的平稳性及其检验
• 2)=1时，是一个随机游走过程，也是非平稳的。
第二节中将证明:只有当-1<<1时，该随机过程才是平稳的。
• 1阶自回归过程AR(1)又是如下k阶自回归AR(K)过程的特例：
•
Xt=Xt-1+t
•这里， t是一个白噪声。
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时间序列的平稳性及其检验
• 容易知道该序列有相同的均值：E(Xt)=E(Xt-1)
为了检验该序列是否具有相同的方差，可假设Xt的初值为X0，则易知
X1=X0+1 X2=X1+2=X0+1+2 ……
Xt=X0+1+2+…+t 由于X0为常数，t是一个白噪声，因此Var(Xt)=t2 即Xt的方差与时间t有关而非常数，它是一非平稳序列。
•
k=k/0
•自相关函数是关于滞后期k的递减函数(Why?)。
data) ★时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据。
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计量经济学-第6章⑴时间序列的平稳性及其检验精品文档

0.059 3.679 4.216 6.300 7.297 11.332 12.058 15.646 17.153 18.010 22.414 22.481 24.288 25.162 26.036 26.240 26.381
-0.031 0.157 0.264 -0.191 -0.616 -0.229 -0.385 -0.181 -0.521 -0.364 -0.136 -0.451 -0.828 -0.884 -0.406 -0.162 -0.377 -0.236 0.000
（b）
图形表示出：该序列具有相同的均值，但从样本自相关图看，虽然自相关系数迅速下降到0，但随着时间的推移，则在0附近波动且呈发散趋势。
样本自相关系数显示：r1=0.48，落在了区间[-0.4497, 0.4497]之外，因此在5% 的显著性水平上拒绝1的真值为0的假设。
该随机游走序列是非平稳的。
• 注意:
确定样本自相关函数rk某一数值是否足够接近于0是非常有用的，因为它可检验对应的自相关函数k的真值是否为0的假设。
Bartlett曾证明:如果时间序列由白噪声过程生成，则对所有的k>0，样本自相关系数近似地服从以0 为均值，1/n 为方差的正态分布，其中n为样本数。
也可检验对所有k>0，自相关系数都为0的联合假设，这可通过如下QLB统计量进行：
例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。
在现实经济生活中：
情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的，而且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果关系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。

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data) ★时间序列数据是最常见，也是最常用到的数据。
2021/4/21
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⒉经典回归模型与数据的平稳性
• 经典回归分析暗含着一个重要假设：数据是平稳的。
• 数据非平稳，大样本下的统计推断基础——“一致性”要求——被破怀。
• 经典回归分析的假设之一：解释变量X是非随机变量
• 放宽该假设：X是随机变量，则需进一步要求： (1)X与随机扰动项不相关∶Cov(X,)=0
例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变
化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。
在现实经济生活中：
情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的，而
且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果关系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。
则称该随机时间序列是平稳的（stationary)，而该
随机过程是一平稳随机过程（stationary stochastic
process）。
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例9.1.1．一个最简单的随机时间序列是一具有零均值同方差的独立分布序列：
Xt=t ， t~N(0,2)
该序列常被称为是一个白噪声（white noise）。由于Xt具有相同的均值与方差，且协方差为零,由
n
P lim xi2/n Q
▲如果X是非平稳数据（如表现出向上的趋势），则（2）不成立，回归估计量不满足“一致性”，基于大样本的统计推断也就遇到麻烦。
2021/4/21
6
⒊ 数据非平稳，往往导致出现“虚假回归” 问题
表现在:两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的相关性（有较高的R2)：

时间序列的平稳性及其检验

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2020/11/16
时间序列的平稳性及其检验
§9.1 时间序列的平稳性及其检验
一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型
二、时间序列数据的平稳性三、平稳性的图示判断四、平稳性的单位根检验五、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程
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时间序列的平稳性及其检验
•⒊ 数据非平稳，往往导致出现“虚假回归” 问题
表现在:两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的相关性（有较高的R2)：
例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。
在现实经济生活中：
=Xt-1+ t
(**)
•检验（*）式是否存在单位根=1，也可通过（**）式判断是否有 =0。
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一般地:
• 检验一个时间序列Xt的平稳性，可通过检验带有截距项的一阶自回归模型
Xt=+Xt-1+t
（*）
中的参数是否小于1。
• 或者：检验其等价变形式
•
Xt=+Xt-1+t
•
Xt=Xt-1+t
•这里， t是一个白噪声。
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时间序列的平稳性及其检验
• 容易知道该序列有相同的均值：E(Xt)=E(Xt-1)
为了检验该序列是否具有相同的方差，可假设Xt的初值为X0，则易知
X1=X0+1 X2=X1+2=X0+1+2
……

第12章平稳性检验

从纯随机序列图形看，其样本均值在0附近上下波动，样本自相关系数迅速下降到0，随后在0附近波动且逐渐收敛于0. 从Q统计量来看，滞后17期的计算值为26.381，为超过5% 的显著性水平下的临界值27.58，因此可以接受所有的自相关系数都为0的假设。因此，该随机过程为一平稳过程。
序列Random2 是由随机游走序列生成的一随机游走时间序列样本。从图形中可以看出，该序列具有相同的均值，但从样本自相关图中可以看出，虽然自相关系数迅速下降到0，但随着时间的推移，则在0附近呈发散趋势。观察之后一期的Q值及其相伴概率，发现在5%的显著性水平下拒绝所有自相关系数都为0的假设。因此，随机游走序列是非平稳的。
.6 .4 .2 .0 -.2 -.4 -.6
2 4 6 8 10 12 14 16 18 RAM1
0.4 0.2 0.0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1.0
2 4 6 8 10 12 14 16 18 RAM2
在random1和random2的spreadsheet的菜单中，点击view键，选择 correlogram,得到一对话框，选择level，滞后期设为17期，点击ok,得到 random1的相关图，同理，可得到random2的相关图。
从检验结果中可以看出，ADF=4.1398,分别大于不同检验水平的三个临界值，所以中国支付法GDP是一个非平稳序列。同样从原假设的相伴概率中可以看出，接受原假设，即序列存在一个单位根的相伴概率为99%，因此，也应该接受原假设，序列存在单位根，为非平稳序列。
在此情形下，我们对GDP的差分序列进行单位根检验。
则称该随机时间序列是平稳的，这一随机过程是一平稳随机过程。
平稳性的判断

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