角的概念的推广 (1)

第1讲 正弦、余弦、正切、余切知识梳理1.角的概念的推广（1）正角，负角和零角.用旋转的观点定义角，并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和零角，这样角的大小就不再限于00到3600的范围.（2）象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与直角坐标系中的坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角.（3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角叫终边相同的角，所有与角α终边相同的角（包含角α在内）的集合为{}Z k k ∈⋅+=,360 αββ.（4）角α在“0到 360”范围内，指 3600<≤α.2.弧度制：弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做１弧度的角．用“弧度”作为单位来度量 角的单位制称为弧度制．弧度：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小(1) 角度制与弧度制换算关系：180π︒=弧度 ，rad 1801π= ，30.571801≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad3.扇形弧长与面积：记扇形的半径为r ，圆心角为α弧度，弧长为l ，面积为s ，则有 由定义，在弧度制中，半径为r ，弧度数为rad α的弧长r l α=.在角度制中，半径为r 、圆心角为n 的弧长r n r n l 1802360ππ=⋅=. 在弧度制中，半径为r ，弧度数为rad α的扇形面积r l r r S 2121222==⋅=αππα. 在角度制中，半径为r ，圆心角为n 的扇形面积22360360r n r n S ππ=⋅=4.单位圆：单位圆泛指半径为１个单位的圆．本章中，在平面直角坐标系中，特指出以还要熟悉每个象限各个三角函数的符号.第Ⅰ象限：全正；第Ⅱ象限：仅αsin ，αcsc 为正，其余为负；第Ⅲ象限：仅αtan ，αcot 为正，其余为负；第Ⅳ象限：仅αcos ，αsec 为正，其余为负.一、 角概念的推广例题解析例1．（2020·上海市七宝中学高一期中）已知k ∈Z ，下列各组角中，终边相同的是（ ） A ．2k π与k π B ．2k ππ+与4k ππ±C ．6k ππ+与26k ππ±D ．2k π与2k ππ± 例2．（2020·上海市建平中学高一期中）已知α是第二象限角，则2α是（ ） A ．锐角 B ．第一象限角C ．第一、三象限角D ．第二、四象限角例3.（2020·上海市奉贤区奉城高级中学高一期末）下列各组角中，两个角终边不相同的一组是（ ）A ．43-与677B ．900与1260-C ．120-与960D ．150与630例4．（2020·上海浦东新区·华师大二附中高一月考）已知2020θ=︒，则θ的终边在第________象限例5．（2020·上海市莘庄中学高一月考）终边在y 轴负半轴上的角的集合为___________________例6.（2020·上海市金山中学高一期中）2019角是第_______象限角．例7（2020·上海浦东新区·高一期中）与4π角终边重合的角的集合是________ 巩固练习1．（2020·上海浦东新区·高一期中）若α是第一象限的角，则2α是第________象限的角．2．（2020·上海黄浦区·高一期末）大于360-︒且终边与角75︒重合的负角是________.3．（2021·上海市行知中学高一期末）如果α是第三象限角，则3α的终边一定不在第_________象限.4．若3601575,k k Z α=⋅-∈，试判断角α所在象限。

1.角的概念的推广：(1)定义：一条射线OA由原来的位置OA，绕着它的端点O按一定方向（逆时针或顺时针）旋转到另一位置OB形成角α。

其中射线OA叫角α的始边，射线OB叫角α的终边，端点O叫角α的顶点。

(2)正角、零角、负角：由始边的旋转方向而定。

正角：按逆时针方向旋转形成的角任意角负角：按顺时针方向旋转形成的角零角：射线不做旋转时形成的角(3)象限角：由角的终边所在位置确定。

第一象限角的集合；第二象限角的集合第三象限角的集合；第四象限角的集合(4)终边相同的角：一般地，所有与α角终边相同的角，连同α角在内，可以表示为可构成集合S={ β| β=α+k×3600, K∈ Z}(5)特殊角的集合：终边在轴上角的集合,轴线角终边在轴上角的集合,终边在坐标轴上角的集合2.弧度制：(1)定义：用“弧度”做单位来度量角的制度，叫做弧度制。

(2)角度与弧度的互化：角度、弧度的换算关系：≈0.01745（rad）, ≈57.30°=57°18ˊ；(2)两个公式：设扇形的弧长为,圆心角为,半径为，α为圆心角弧度数,则有:扇形弧长：扇形面积：1．将化为的形式是（ ）．A． B．C． D．2．若，则角的终边所在的象限为（ ）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．扇形的周长是，圆心角是弧度，则扇形面积是（ ）．A． B． C． D．4．若集合，，则集合为（ ）．A． B． C． D．5．若角与终边相同，则一定有（ ）．A． B．C． D．6．在到之间与终边相同的角是___________．7．如果是第三象限角，那么角的终边的位置如何？是哪个象限的角？8．已知扇形的周长为，当它的半径和圆心角各取何值时，扇形的面积最大？并求出扇形面积的最大值．。

角的概念的推广思政要点
角的概念的推广涉及到数学、物理、地理、文化等多个方面，以下是思政要点:
1. 角的静态定义和动态定义：角的静态定义是指具有公共端的
两条射线组成的图形，而动态定义是指一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。

角的大小与边的长短没有关系，而决定于角的两条边张开的程度。

2. 角的种类：角可以分为锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正角、优角、劣角、0 角等 10 种。

3. 角的符号：角的符号是以角度为单位的，通常用符号“°”
表示，例如 90°表示一个直角。

4. 角的测量：角的测量通常使用角度计或量角器等工具，其中
角度计可以测量任意角度，而量角器只能测量固定角度。

5. 角在物理中的应用：角在物理学中有许多应用，例如在几何
学中，角可以用来描述平面几何中的角度和线段长度之间的关系;在
力学中，角可以用来描述物体的运动轨迹和受力情况。

6. 角在地理中的应用：角在地理学中也有许多应用，例如在地
图上，角可以用来描述两个地点之间的夹角，以及地图上各种线条的夹角。

7. 角的文化意义：角在中国传统文化中具有重要的象征意义，
例如在古代社会中，角被广泛用于装饰和祭祀活动中，代表着权力、荣誉和信仰等意义。

角的概念的推广涉及到多个学科领域，需要从多个角度进行思考和理解，有助于提高人们的综合素质和跨学科思维能力。

1．1．1 角的概念的推广1．角(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)图示，称它形成了一个零角2．象限角:是第几象限的角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角:所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k·360°，k ∈Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．1．与405°角终边相同的角是( )A ．k ·360°－45°，k ∈Z B ．k ·180°－45°，k ∈ZC ．k ·360°＋45°，k ∈ZD ．k ·180°＋45°，k ∈Z2．若α＝45°＋k ·180° (k ∈Z )，则α的终边在( )A ．第一或第三象限 B ．第二或第三象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限3．设A ＝{θ|θ为锐角}，B ＝{θ|θ为小于90°的角}，C ＝{θ|θ为第一象限的角}，D ＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( )A ．A ＝B B ．B ＝C C ．A ＝C D ．A ＝D4．若α是第四象限角，则180°－α是( )A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角 D ．第四象限角5．集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°2±45°，k ∈Z ，P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k ·180°4±90°，k ∈Z ，则M 、P 之间的关系为( ) A ．M ＝P B ．M P C ．M P D ．M ∩P ＝∅6．已知α为第三象限角，则α2所在的象限是( )A ．第一或第二象限 B ．第二或第三象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第四象限7．若角α与β的终边相同，则α－β的终边落在______．8．经过10分钟，分针转了________度．9．如图所示，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是_____________________．10．若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________．11．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′．12．如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．13．如图所示，写出终边落在直线y ＝3x 上的角的集合(用0°到360°间的角表示)．14．设α是第二象限角，问α3是第几象限角？弧度制和弧度制与角度制的换算1．角的单位制(1)角度制：规定周角的1360为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制． (2)弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad ．(3)角的弧度数求法：如果半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么l ，α，r 之间存在的关系是：____________；这里α的正负由角α的终边的旋转方向决定．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0．2．角度制与弧度制的换算31集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z 与集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π±π2，k ∈Z 的关系是()A ．A ＝B B ．A ⊆B C ．B ⊆A D 以上都不2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是( )A ．2 B ．sin 2 C ．2sin 1D ．2sin 1 3．扇形周长为6 cm ，面积为2 cm 2，则其中心角的弧度数是( )A ．1或4B ．1或2C ．2或4D ．1或54．已知集合A ＝{α|2k π≤α≤(2k ＋1)π，k ∈Z }，B ＝{α|－4≤α≤4}，则A ∩B 等于( )A ．∅B ．{α|－4≤α≤π}C ．{α|0≤α≤π}D ．{α|－4≤α≤－π，或0≤α≤π}5．把－114π表示成θ＋2k π(k ∈Z )的形式，使|θ|最小的θ值是( )A ．π4 B ．－π4 C ．34π D ．－34π 6．扇形圆心角为π3，半径长为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1∶3 B ．2∶3 C ．4∶3 D ．4∶97．将－1 485°化为2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式是________．8．若扇形圆心角为216°，弧长为30π，则扇形半径为____．9．若2π<α<4π，且α的终边与－7π6角的终边垂直，则α＝______． 10．若角α的终边与角π6的终边关于直线y ＝x 对称，且α∈(－4π，4π)，则α＝__________． 11．把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角：(1)－1 500° (2)236π (3)－4 12．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？13．已知一圆弧长等于其所在圆的内接正方形的周长，那么其圆心角的弧度数的绝对值为________．14．已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R ．(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积；(2)若扇形的周长是一定值c (c >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？1.2.1 三角函数的定义1．任意角三角函数的定义2．六种三角函数值在各象限的符号3．三角函数的定义域1．若α的终边与y 轴重合，则α的六种三角函数中，函数值不存在的是( )A ．sin α与cos αB ．tan α与cot αC ．tan α与sec αD ．cot α与csc α2．点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则y x 的值为( )A ． 3 B ．－ 3 C ．33 D ．－333．若sin α<0且tan α>0，则α是( )A ．第一象限角 B ．第二象限角C ．第三象限角 D ．第四象限角4．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为( )A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．5 5．已知x 为终边不在坐标轴上的角，则函数f (x )＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x的值域是( ) A ．{－3，－1,1,3} B ．{－3，－1}C ．{1,3} D ．{－1,3}6．已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A ．π4 B ．3π4 C ．5π4 D ．7π47．若角α的终边过点P (5，－12)，则sin α＋cos α＝______．8．已知α终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α≤0，则a 的取值范围为________．9．代数式：sin 2cos 3tan 4的符号是________．10．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n ＝________．11．判断下列各式的符号：(1)sin α·cos α(其中α是第二象限角)；(2)sin 285°cos(－105°)；(3)sin 3·cos 4·tan(－23π4)． 12．已知角α终边上一点P (－3，y )，且sin α＝34y ，求cos α和tan α的值．13．若θ为第一象限角，则能确定为正值的是( )A ．sin θ2 B ．cos θ2 C ．tan θ2D ．cos 2θ 14．已知角α的终边上一点P (－15a,8a ) (a ∈R 且a ≠0)，求α的各三角函数值．1.2.22．角α(0<α<2π)的正、余弦线的长度相等，且正、余弦符号相异，那么α的值为( )A ．π4B ．3π4C ．7π4D ．3π4或7π43．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是( )A ．sin α＋cos α>1B ．sin α＋cos α＝1C ．sin α＋cos α<1D ．不能确定4．利用正弦线比较sin 1，sin 1．2，sin 1．5的大小关系是( )A ．sin 1>sin 1．2>sin 1．5B ．sin 1>sin 1．5>sin 1．2C ．sin 1．5>sin 1．2>sin 1D ．sin 1．2>sin 1>sin 1．55若0<α<2π，且sin α<32，cos α>12，则角α的取值范围是( )A ．⎝⎛⎭⎫－π3，π3B ．⎝⎛⎭⎫0，π3C ．⎝⎛⎭⎫5π3，2π D ．⎝⎛⎭⎫0，π3∪⎝⎛⎭⎫5π3，2π 6．如果π4<α<π2，那么下列不等式成立的是( )A ．cos α<sin α<tan α B ．tan α<sin α<cos α C ．sin α<cos α<tan α D ．cos α<tan α<sin α7．在[0,2π]上满足sin x ≥12的x 的取值范围为____________8．集合A ＝[0,2π]，B ＝{α|sin α<cos α}，则A ∩B ＝__ 9．不等式tan α＋33>0的解集是______________．10．求函数f (x )＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________． 11．在单位圆中画出适合下列条件的角α终边的范围，并由此写出角α的集合．(1)sin α≥32； (2)cos α≤－12． 12．设θ是第二象限角，试比较sin θ2，cos θ2，tan θ2的大小． 13．求下列函数的定义域．f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎫sin x －22． 14．如何利用三角函数线证明下面的不等式？当α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，求证：sin α<α<tan α．1．2．1 三角函数的定义1．C 2．B3．C 4．A5．D 6．D 7．－7138．－2<a ≤3 9．负号10．2 11．解 (1sin α·cos α<0．(2)sin 285°·cos(－105°)>0．(3)sin 3·cos 4·tan ⎝⎛⎭⎫－23π4<0． 12．解 sin α＝y 3＋y 2＝34y ．当y ＝0时，sin α＝0，cos α＝－1，tan α＝0． 当y ≠0时，由y 3＋y 2＝3y 4，解得y ＝±213．当y ＝213时，P ⎝⎛⎭⎫－3，213，r ＝433． ∴cos α＝－34，tan α＝－73．当y ＝－213时，P (－3，－213)，r ＝433∴cos α＝－34，tan α＝73． 13．C 14．解 ∵x ＝－15a ，y ＝8a ，∴r ＝(－15a )2＋(8a )2＝17|a | (a ≠0)．(1)若a >0，则r ＝17a ，于是sin α＝817，cos α＝－1517，tan α＝－815． (2)若a <0，则r ＝－17a ，于是sin α＝－817，cos α＝1517，tan α＝－815． 弧度制和弧度制与角度制的换算1．A2．C 3．A 4．C 5．D 6．B 7．－10π＋74π 8．25 9．73π或103π 10．－11π3，－5π3，π3，7π311．解 (1)是第四象限角．2)是第四象限角．(3)第二象限角．12．解 设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则l ＋2r ＝40，∴l ＝40－2r ．∴S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100． ∴当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，此时θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad ． 13．42 设圆半径为r ，圆心角为θ，则内接正方形的边长为2r ，圆弧长为42r ．∴|θ|＝42r r＝42． 14(1)设弧长为l ，弓形面积为S 弓，∵α＝60°＝π3，R ＝10，∴l ＝αR ＝10π3(cm)． S 弓＝S 扇－S △＝12×10π3×10－12×102×sin 60°＝50⎝⎛⎭⎫π3－32 (cm 2)． (2)扇形周长c ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴α＝c －2R R ，∴S 扇＝12αR 2＝12·c －2R R ·R 2＝12(c －2R )R ＝－R 2＋12cR ＝－(R －c 4)2＋c 216．当且仅当R ＝c 4，即α＝2时，扇形面积最大，且最大面积是c 216． 角的概念的推广1．C 2．A 3．D 4．C 5．B 6．D 7．x 轴的正半轴8．－609．{α|k ·360°－45°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z }10．－110°或250°11．(1)是第三象限角．(2)是第四象限角．(3)是第二象限角．12．①{α|k ·360°＋30°≤α<k ·360°＋105°，k ∈Z }．②{α|k ·360°＋210°≤α<k ·360°＋285°，k ∈Z }．∴角α的集合应当是集合①与②的并集：{α|k ·180°＋30°≤α<k ·180°＋105°，k ∈Z }．13．{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z }．14．第一、二、四象限角。

三角函数知识点总结1. 角的概念的推广(1) 终边相同的角：所有与α角终边相同的角(连同α角在内)可以用式子k ⋅360︒+α，k ∈Z 来表示。

与α角终边相同的角的集合可记作：{β|β=k ⋅360︒+α，k ∈Z}或{β|β=2k π+α，k ∈Z}。

※ 角的集合表示形式不是唯一的；终边相同的角不一定相同，相同的角一定终边相同。

(2) 象限角：角的顶点与坐标轴原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几(1) 1弧度的角：等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

(2) 度数与弧度数的换算： ①180︒=π弧度；②1801π=︒弧度； ③1弧度=O⎪⎭⎫⎝⎛π180。

(3) 有关扇形的一些计算公式：①R =α； ②R S 21=；③221R S α=；④C =(α+2)R ；⑤)sin (212αα-=-=∆R S S S 扇形弓。

3. 同角三角函数的基本关系(1) 商数关系：αααtg =cos sin ；(2) 平方关系：sin 2α+cos 2α=1，4. 三角函数的诱导公式：“奇变偶不变(2π的奇数倍还是偶数倍)，符号看象限(原三角函数名)”。

5. 两角和与差的三角函数公式 βαβαβαs i n c o s c o s s i n )s i n (±=±； βαβαβαs i n s i n c o s c o s )c o s ( =±； βαβαβαtg tg tg tg tg 1)(±=± (变形：)1()(βαβαβαtg tg tg tg tg ⋅±=±)。

6. 倍角、半角公式 (1) 二倍角公式：sin2α=2sin αc os α，c os2α=c os 2α-sin 2α=2c os 2α-1=1-2sin 2α，α-α=α2tg 1tg 22tg ；7. 倍角、半角公式的功能(1) 并项功能：1±sin2α=(sin α±c os α)2 (类比：1+c os2α=2c os 2α，1-c os2α=2sin 2α)； (2) 升次功能：c os2α=c os 2α-sin 2α=2c os 2α-1=1-2sin 2α；(3) 降次功能：22cos 1cos 2αα+=，22cos 1sin 2αα-=。

角的概念推广教案【篇一：角的概念的推广教学设计】角的概念的推广－教学设计哈尔滨市交界职业高中杜银霞课题：角的概念推广（第一课时）教学目的：1.掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义。

3.从“射线绕着其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化观点审视事物，从而深刻理解推广后的角的概念。

教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法。

教学难点：终边相同的角的表示。

设计理念：本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法。

树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。

教学方法可以选为讨论法，通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。

通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的。

教学过程：一、复习引入：1．回忆：初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。

如：体操运动员转体，跳水运动员向内、向外转体经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？这些例子不仅不在范围，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，用运动的思想来研究角的概念。

二、讲解新课：1．角的概念的推广⑴“旋转”形成角突出“旋转” 注意：“顶点”“始边”“终边”⑵．“正角”与“负角”“零角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，“正角”与“负角”是由旋转的方向决定的。

特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角．⑶意义用“旋转”定义角之后，角的范围大大地扩大了。

角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．要注意，正角和负角是表示具有相反意义的旋转量。

专题18三角函数（知识梳理）一、知识点(一)角的概念的推广1、角：一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。

其中顶点，始边，终边称为角的三要素。

角可以是任意大小的。

(1)角按其旋转方向可分为：正角，零角，负角。

①正角：习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；②负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角。

(2)在直角坐标系中讨论角：①角的顶点在原点，始边在x 轴的非负半轴上，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。

②若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫轴线角。

(3)终边相同的角的集合：设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为},360|{Z n n S ∈⋅+α=ββ= 。

集合S 的每一个元素都与α的终边相同，当0=k 时，对应元素为α。

2、弧度制和弧度制与角度制的换算(1)角度制：把圆周360等分，其中1份所对的圆心角是1度，用度作单位来度量角的制度叫做角度制。

(2)1弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零。

任一已知角α的弧度数的绝对值rl=α||，这种以“弧度”作为单位来度量角的制度叫做弧度制。

(3)角度制与弧度制的互化：π=2360，π=180；815730.571801'≈≈π= rad ；rad 01745.01801≈π= 。

3、特殊角的三角函数值30 45 60 90 120 135 150 18006π4π3π2π32π43π65ππsin 021222312322210cos 1232221021-22-23-1-tan3313⨯3-1-33-0210 225 240 270 300 315 330 36067π45π34π23π35π47π611ππ24、平面直角坐标系中特殊线表示的角的集合：其中：Z n ∈，Z k ∈；x 轴正半轴 360⋅n πk 2第一象限角平分线36045⋅+n π+πk 24x 轴负半轴360180⋅+n π+πk 2第二象限角平分线 360135⋅+n π+πk 243x 轴 180⋅n πk 第三象限角平分线360225⋅+n π+πk 245y 轴正半轴36090⋅+n π+πk 22第四象限角平分线 360315⋅+n π+πk 247y 轴负半轴 360270⋅+n π+πk 223第一、三象限角平分线18045⋅+n π+πk 4y 轴18090⋅+n π+πk 2第二、四象限角平分线 180135⋅+n π+πk 43坐标轴90⋅n 2πk 象限角平分线9045⋅+n 24π+πk 5、弧长及扇形面积公式：弧长公式：r l ⋅α=||扇形弧长，扇形面积公式：lr r S 21||212=⋅α=扇形，α是圆心角且为弧度制，r 是扇形半径。

《三角函数》专题1-1 角的概念的推广（5套，4页，含答案）知识点：图示典型例题：1.—225°是第象限角？（③）2.与30°终边相同的角是：( ④) A－30°B210°C390°D－360°3.在0°到360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为⑤．4.不相等的角的终边位置（⑥）A.一定不相同B.一定相同C.可能相同D.以上都不对5.已知A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，那么A、B、C关系是（⑦）A．B＝A∩C B．B∪C＝C C．A≠⊂C D．A＝B＝C随堂练习：1.－1120°角所在象限是（⑧）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.与－1050°终边相同的最小正角是⑨.3.写出－720°到720°之间与－1068°终边相同的角的集合____________．（⑩）4.以下列四个命题：①大于90°的角是钝角；②第二象限的角一定是钝角；③第二象限的角必定大于第一象限的角；④负角也可能是第一象限角．其中不正确．．．命题的个数有（11）A．1个B．2个C．3个D．4个《三角函数》专题1-2 角的概念的推广1.与1991°终边相同的最小正角是__，绝对值最小的是，它们是第_ 12象限角．2.下列角中终边与330°相同的角是（13）A．30°B．－30°C．630°D．－630°3.若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°＜θ＜360°，则θ＝____14____.4.A＝{小于90°的角}，B＝{第一象限的角}，则A∩B＝( 15)A. {锐角}B.{小于90°的角}C. {第一象限角}D.以上都不对5.若时针走过2小时40分，则分针转过的角度是____16____．1.在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．17(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.2.求θ，使θ与－900°角的终边相同，且θ∈[－180°，1260°]．（18）3.设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是(19)A．A＝B B．B＝C C．A＝C D．A＝D4.将分针拨快10分钟，则分针所转过的度数为____20____．《三角函数》专题1-4 角的概念的推广1.下列各组角中，终边相同的角是（21）A．280°与580° B．－125°与485° C．－360°与0°D．12°与364°2.已知角α终边上有一点P(0，b)（b＜0），则α是（22）A．第三象限角B．第四象限角C．第三或第四象限角D．以上都不对3.如图所示，写出终边落在直线y＝3x上的－360°到360°之间的角．234.下列四个命题中正确的是（24）A．第一象限的角必是锐角B．锐角必是第一象限的角C．终边相同的角必相等D．第二象限的角必大于第一象限的角5.钟表经过4小时，时针转了度，分针转了25度．1.与－1778°角的终边相同且绝对值最小的角是26．2.给出下列四个命题，其中正确的命题有(27)①－75°是第四象限角②225°是第三象限角③475°是第二象限角④－315°是第一象限角A．1个B．2个C．3个D．4个3.在(－720°，720°)内与100°终边相同的角的集合是___28_____．4.设E＝｛小于900的角｝，F＝｛锐角｝，G＝｛第一象限的角｝，M＝｛小于900但不小于00的角｝，则有（29）A．F⊆G⊆E B.F⊆E⊆G C.M⊆(E∩G) D.(E∩G)∩M＝F5.时钟走过3小时20分，则分针所转过的角度为________，时针所转过的角度为____30___．① 答案：(1)一条射线 端点 旋转 (2)逆时针方向旋转 顺时针方向旋转 没有作任何旋转② 答案：第几象限角③ 答案：2；④ 答案：C ；⑤ 答案：120°与300°；⑥ 答案：C ；⑦ 答案：B ；⑧ 答案：D ；⑨ 答案：30°；⑩ 答案：{}0000708,348,12,372--；11答案：C ；12 答案：191°，－169°，三；13 答案：B ；14 答案：－110°或250°；解析 ∵α＝1 690°＝4×360°＋250°，∴θ＝k ·360°＋250°，k ∈Z .∵－360°＜θ＜360°， ∴k ＝－1或0.∴θ＝－110°或250°.15 答案：D ；16 答案 －960°； 解析 ∵2小时40分＝223小时， ∴－360°×223＝－960°.17 答案：解 (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．18 答案：{}o o o o o 1260,900,540,180,180-；19 答案：D ；[锐角θ满足0°＜θ＜90°；而B 中θ＜90°，可以为负角；C 中θ满足k ·360°＜θ＜k ·360°＋90°，k ∈Z ；D 中满足0°＜θ＜90°，故A ＝D .]20 [答案] －60°；21答案：C ；22 答案：D ；23 答案：240°，60°，－120°，－300°；24 答案：B ；25 答案：－120°，－1440°；26 答案：22°；27 [答案] D ；[解析]由终边相同角的概念知：①②③④都正确，故选D.28答案{－620°，－260°，100°，460°}；解析与100°终边相同的角的集合为{α|α＝k·360°＋100°，k∈Z}令k＝－2，－1，0，1，得α＝－620°，－260°，100°，460°.29答案：D；--；30答案：1200,100。

三角函数基础知识复习（一）一、任意角：知识点1、角的概念的推广：1、“旋转”形成角（角包括顶点、始边、终边）；2、角的分类：正角、负角、零角（逆时针、顺时针、没有旋转）。

例1、（1）钟表经过10分钟，分针转了______度；（2）若将钟表拨慢10分钟，则时针转了______度，分针转了______度。

知识点2、象限角和轴线角：1、象限角：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角；2、轴线角：如果角的终边在坐标轴上，则这个角叫轴线角，它不属于任何象限。

如：00，900，1800，2700，3600，-900，-1800，-3600，等等。

例2、（1）3700位于第___象限；（2）-1200位于第___象限；（3）2900位于第___象限；（4）-2600位于第____象限；（5）4弧度的角位于第___象限。

例3、A=｛小于900的角｝，B=｛第一象限的角｝，则A∩B=（）A、｛锐角｝B、｛小于900的角｝C、｛第一象限的角｝D、以上都不对例4、已知集合A=｛α|α=k·900-360，k∈Z｝，B=｛β|-1800<β<1800｝，则A∩B=（）A、｛-360，540｝ B、｛-1260，1440｝ C、｛-1260，-360，540，1440｝ D、｛-1260，540｝知识点3、终边相同的角：所有与α终边相同的角（包括α本身在内）构成一个集合, 这个集合可表示为｛β|β=________________________｝，终边相同的角相差3600的整数倍。

例5、已知角α=450，则在区间[-7200，00]内且与α终边相同的角是____________________。

例6、已知α是第二象限的角，且2α与7α的终边相同，则α=________________________。

例7、用描述法写出下列角的集合：（1）第一象限的角___________________；（2）第二象限的角___________________；（3）第三象限的角___________________；（4）第四象限的角___________________；（5）x轴正半轴上的角________________；（6）x轴负半轴上的角_____________________；（7）x轴上的角_______________；（8） y轴正半轴上的角_________________；（6）y轴负半轴上的角___________________________；（7）y轴上的角________________；（8）坐标轴上的角______________________________。