下载文档原格式
《锐角三角函数》讲义一、锐角三角函数的定义在直角三角形中，我们把锐角的对边与斜边的比值叫做正弦（sin），锐角的邻边与斜边的比值叫做余弦（cos），锐角的对边与邻边的比值叫做正切（tan）。
以一个锐角为 A 的直角三角形为例，假设其对边为 a，邻边为 b，斜边为 c。
那么，sin A ＝ a ／ c，cos A ＝ b ／ c，tan A ＝ a ／ b 。
需要注意的是，锐角三角函数的值只与角的大小有关，而与三角形的大小无关。
二、特殊角的三角函数值我们要牢记一些特殊角的三角函数值，这在解题中会经常用到。
30°角：sin 30°＝ 1 ／ 2，cos 30°＝√3 ／ 2，tan 30°＝√3 ／ 3 。
45°角：sin 45°＝√2 ／ 2，cos 45°＝√2 ／ 2，tan 45°＝ 1 。
60°角：sin 60°＝√3 ／ 2，cos 60°＝ 1 ／ 2，tan 60°＝√3 。
三、锐角三角函数的应用锐角三角函数在实际生活中有广泛的应用。
比如，测量物体的高度。
如果我们知道一个物体与我们的水平距离，以及我们观测物体顶部的仰角，就可以通过三角函数来计算物体的高度。
假设我们站在水平地面上，距离一个建筑物为 d 米，观测建筑物顶部的仰角为α，那么建筑物的高度 h 就可以通过tanα ＝ h ／ d 来计算，即 h ＝d × tanα 。
再比如，测量河流的宽度。
我们可以在河的一岸选择一个点，然后测出对岸一个目标点与这个点的连线和河岸的夹角，以及这个点到河岸的垂直距离，从而计算出河流的宽度。
四、锐角三角函数的性质1、取值范围正弦和余弦的值域都在-1, 1之间，而正切的值域是全体实数。
2、增减性在锐角范围内，正弦函数值随着角度的增大而增大，余弦函数值随着角度的增大而减小，正切函数值随着角度的增大而增大。
第二十六章解直角三角形26.1 锐角三角函数第1课时正切学习目标：1.理解并掌握正切的定义，会求一个角的正切值.2.会推导特殊角的正切值并熟记几个特殊角的正切值.学习重点：求一个角的正切值.学习难点：推导特殊角的正切值.一、知识链接1.在直角三角形中,知道一边和一个锐角,你能求出其他的边和角吗?答：__________________________________________________________.二、新知预习2.如图1，在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中，∠C=∠C'=90°，当∠A=∠A'时，''''BC B CAC A C=具有怎样的关系？图1 图2答：__________________________________________________________.3.如图2，已知∠EAF<90°，BC⊥AF，B'C'⊥AF，垂足分别为C，C'.，''''BC B CAC A C=具有怎样的关系？答：__________________________________________________________.在两个直角三角形中，当一对锐角相等时，这两个直角三角形相似，从而两条对应直角边的比相等，即当∠A（小于90°）确定时，以∠A为锐角的Rt△ABC的两条直角边的比BCAC 是确定的.这个比叫做∠A的正切.记作tan A，即4.如图,观察一副三角板，根据所学知识求：(1)tan30°等于多少?(2)tan60°等于多少?(3)tan45°等于多少?三、自学自测如图,△ABC是等腰直角三角形,你能根据图中所给数据求出tan C吗？四、我的疑惑_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________一、要点探究探究点1：正切例1：在Rt△ABC中,∠C=90°, (1)如图(1),AC=3,AB=6,求tanA和tanB;(2)如图(2),BC=3,tanA=512,求AC和AB.【归纳总结】求锐角三角函数时,勾股定理的运用是很重要的.【针对训练】在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，则tan B的值是（）A.34 B.43 C.35 D.45探究点2：特殊角的正切例2：计算：（1）tan 60°·tan30°；（2）2tan45°+3tan 30°-tan60°；【归纳总结】这类问题一般分两步完成，第一步把值准确地代入；第二步就是根据实数的混合运算顺序及法则进行计算.【针对训练】计算：（1tan 45°-12tan30°；（2）2tan30tan45tan30tan60+-.二、课堂小结1.如图,在Rt △ABC 中,锐角A 的对边和邻边同时扩大100倍,tanA 的值（ ）A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变D.不能确定 2.如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＋BC ＝7(AC >BC )，AB ＝5，tan B =______．3.计算：1tan 60tan 452tan 30tan 452tan 60tan 30++-4.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝0.75，△ABC 的周长为24.求△ABC 的面积．当堂检测参考答案： 1.C 2.433.12-4.∵∠C ＝90°，tan A ＝0.75，∴tan A ＝BC AC ＝34.设BC ＝3k ，则AC ＝4k ，∴AB ＝AC 2＋BC 2＝16k 2＋9k 2＝5k . ∵AC ＋BC ＋AB ＝24，∴4k ＋3k ＋5k ＝24，∴k ＝2. ∴AC ＝8，BC ＝6.∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×8×6＝24.26.1 锐角三角函数 第2课时 正弦与余弦学习目标：3.理解并掌握正弦和余弦的定义，会求一个角的正弦值和余弦值.4.会推导特殊角的正切值并熟记几个特殊角的正切值. 学习重点：求一个角的正弦值和余弦值. 学习难点：推导特殊角的正弦值和余弦值.三、知识链接1.为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？四、新知预习2.如图，∠BAC 为任意给定的一个锐角，B 1，B 2为射线AB 上任意两点，过点分别作AC 的垂线B 1C 1，B 2C 2，垂足分别为C 1，C 2试说明1122121212B C B C AC AC AB AB AB AB 与，与分别相等?在Rt △ABC 中，∠C=90°，锐角A 的对边和斜边的比、邻边与斜边的比都是一个定值、∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦记作sin A ，∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cos A. 即三、自学自测如图,△ABC 直角三角形,你能根据图中所给数据求出sin A ，cos A 吗？四、我的疑惑_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________二、要点探究 探究点1：正 弦例1：已知在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝35，则tan B 的值为( )A.43B.45C.54D.34 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝3，c ＝5，求sin A 和tan A 的值．探究点2：余 弦例2：如图所示，∠AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则cos ∠AOB ＝________.如图，已知点P 在第一象限，其坐标是(a ，b )，则cos α等于()A.a bB.b aC.a a 2＋b 2D.b a 2＋b 2 探究点3：特殊角的正弦、余弦值 问题：计算：12sin60°×22cos45°；【归纳总结】这类问题一般分两步完成，第一步把值准确地代入；第二步就是根据实数的混合运算顺序及法则进行计算．【针对训练】 计算：tan 230°＋cos 230°－sin 245°tan45°.1.在Rt △ABC 中，若sin A ＝32，则cos A2＝________． 2.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin(90°－∠A )＝22，则∠A ＝________． 3.在Rt △ABC 中，如果各边长都扩大到原来的2倍，那么锐角A 的正弦值______、余弦值______、正切值______.4.如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，tanA ＝34，求：sinA 、cosB 的值．当堂检测参考答案： 1.322.45°3.不变 不变 不变4.3tan 4BC A AC ==8AC =338644BC AC ∴==⨯=63sin 105BC A AB ∴===10AB ∴===63cos 105BC B AB ===26.2 锐角三角函数的计算学习目标：5.学会利用计算器求三角函数值并进行相关计算.6.学会利用计算器根据三角函数值求锐角度数并计算. 学习重点：三角函数值并进行相关计算. 学习难点：利用计算器求三角函数值.一、知识链接 那么应沿斜坡方向每隔几米挖坑(已知坡面的倾斜角为16°18′，即图中的∠COD )？你能求出两坑的距离吗？二、新知预习3.求下列各三角函数值：（结果保留两位小数） （1）sin63°；解：对于sin63°，在计算器开机状态下可按照下列程序操作.按键顺序为：显示结果为：_______________________. 即sin63°≈__________. （2）cos50°26' 37''；对于cos50°26' 37'，在计算器开机状态下可按照下列程序操作.按键顺序为：显示结果为：_______________________. 即cos50°26' 37'≈__________. （3）tan55°.对于tan55°，在计算器开机状态下可按照下列程序操作.按键顺序为：显示结果为：_______________________. 即tan55°≈__________.4.用计算器求下列各锐角的度数：（结果精确到1''） （1）已知cos α=0.6258，求锐角α； 解：在计算器开机状态下，按键顺序为：显示结果为：_______________________. 即α≈__________.若将其化为度、分、秒表示，可继续按键：显示结果为_________. 即α≈__________.（2）已知tan β=0.6838，求锐角β； 解：在计算器开机状态下，按键顺序为：显示结果为：_______________________. 即β≈__________.若将其化为度、分、秒表示，可继续按键： 显示结果为_________. 即β≈__________. 三、自学自测四、我的疑惑_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________三、要点探究探究点1：用计算器求三角函数值 问题1： 计算sin20°－cos20°的值约为(保留4个有效数字)( ) A ．－0.5976 B ．0.5976 C ．－0.5977 D ．0.5977【归纳总结】利用计算器求锐角的三角函数值时要注意：(1)参照计算器的说明书，掌握正确的按键顺序；(2)按键时要细心，不能输入错误的数据． 【针对训练】使用计算器求下列三角函数值.（精确到0.0001）sin24゜,cos51゜42′20″,tan70゜21′,cot70゜.问题2：用计算器求下列锐角三角函数值；（1）sin20°=____________，cos70°=____________；（2）sin35°=____________，cos55°=____________；（3）sin15°32 ' =____________，cos74°28 ' =____________.你从中发现什么规律？答：_________________________________________.【针对训练】利用互为余角的两个角的正弦和余弦的关系，试比较下列正弦值和余弦值的大小：sin10°、cos30°、sin50°、cos70°.问题3：比较大小：若α＝45°，则sinα________cosα；若α<45°，则sinα________cosα；若α>45°，则sinα________cosα(填“<”“>”或“＝”)；【归纳总结】正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）.【针对训练】下列各式中一定成立的是（）A.tan75°﹥tan48°﹥tan15°B. tan75°﹤tan48°﹤tan15°C. cos75°﹥cos48°﹥cos15°D. sin75°﹤sin48°<sin15°探究点2：利用计算器求锐角的度数问题：已知sinα＝0.2，cosβ＝0.8，则α＋β≈________．(精确到1′)【针对训练】已知锐角a的三角函数值，使用计算器求锐角a.（精确到1′）（1）sin a=0.2476; （2）cos a=0.4174;（3）tan a=0.1890; （4）cot a=1.3773.二、课堂小结输入度、分、秒表示，可按键：按键顺序：转化为度、分、秒表示，可按键：正弦值随着角度的增大（或减小）而1.用计算器计算cos 44°的结果（精确到0.01）是（）A.0.90B.0.72C.0.69D.0.662.3tan56.≈（结果精确到0.01）3.比较大小：sin 40°·cos50°-12_______0.4.根据条件求锐角α（精确到1''）:（1）若sin α=0.964，则∠α≈___________；（2）若cos α=0.291，则∠α≈___________；（3）若tan α=8.671，则∠α≈___________；3. 求sin63°52′41″的值．(精确到0.0001)当堂检测参考答案：1.B2.10.023.<4.(1) 7434' 46'' (2)73°4' 56'' (3)83°25' 17''5.0.897926.3 解直角三角形学习目标：7.理解直角三角形中的五个元素之间的联系. 2.学会解直角三角形.学习重点：解直角三角形.学习难点：直角三角形中的五个元素之间的联系.一、知识链接1.如图，轮船在A 处时，灯塔B 位于它的北偏东35°的方向上.轮船向东航行5km 到达C 处时，轮船位于灯塔的正南方，此时轮船距离灯塔多少千米？（结果保留两位小数）二、新知预习2.由1中我们可知：在直角三角形中，已知一条直角边和一个锐角，可求出另一条直角边. 在直角三角形中，除直角外，还有三条边和两个锐角共五个元素.那么在直角三角形中已知哪些元素能够求出其他元素？三边之间的关系是：________________. 两锐角之间的关系是：__________________. 边角之间的关系是： sin A=______________. cos A=______________. tan A =_____________.由这五个元素的已知元素求其余未知元素的过程叫做解直角三角形. 三、自学自测在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝23，a ＝3，解这个直角三角形．四、我的疑惑_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________四、要点探究探究点1：解直角三角形问题1：已知Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝3－1，b ＝3－3，解直角三角形． 1.在Rt △ABC 中,∠C=90°,a=35,b=28,则tanA= ,tanB= . 2.在Rt △ABC 中，a 、b 、c 是∠A 、∠B 、∠C 的对边，∠C ＝90°，∠B ＝60°，a ＝4，解这个三角形．问题2：在△ABC 中，∠A ＝55°，b ＝20cm ，c ＝30cm ，求三角形ABC 的面积S △ABC .(精确到0.1cm 2)在Rt △ABC 中,∠C=90°,c=10,b=5,则∠A= ,S △ABC = .二、课堂小结1.如图，已知Rt △ABC 中，斜边BC 上的高AD=4，cosB=45，则AC=____.2.已知在Rt △ABC 中 ，∠C = 90°，sinA =35，则tanB 的值为____. 3.已知在Rt △ABC 中,∠C=90°,a=104,b=20.49,求∠A 和∠B.(可利用计算器进行运算,精确到1°)4.如图,在Rt △ABC 中,BC=7.85,AB=11.40,解这个直角三角形.(边长保留三个有效数字,角度精确到1°)5.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，将此矩形折叠，使C 点和A 点重合，求折痕EF 的长．当堂检测参考答案： 1.5 2.433.∠A=79°,∠B=11°4.AC=8.27,∠A=44°,∠B=46°5.解：如图，连接AC ，则AC ⊥EF ，OA ＝OC ，∴∠AOE ＝90°.又∵AB ＝6，BC ＝8，∴AC ＝AB 2＋BC 2＝62＋82＝10，∴OA ＝5.在Rt △ADC 中，tan ∠DAC ＝DC AD ＝68＝34.在Rt △AOE中，tan ∠EAO ＝OE AO ，∴OE ＝AO ·tan ∠EAO ＝AO ·tan ∠DAC ＝5×34＝154.在△AOE 和△COF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOE ＝∠COF ，OA ＝OC ，∠OAE ＝∠OCF ，∴△AOE ≌△COF ，∴OE ＝OF .∴EF ＝2OE ＝2×154＝152.26.3 解直角三角形学习目标：8.能够解决与仰角、俯角有关的实际问题.9.能够解决与坡度、坡角有关的实际问题.学习重点：解直角三角形.学习难点：运用解直角三角形解决实际问题.二、知识链接1.（本章引例）如图，小明在距旗杆4.5m的点D处，仰视旗杆顶端A，仰角（∠AOC）为50°；俯视旗杆顶部B，俯角（∠BOC）为18°.旗杆的高约为多少米？二、新知预习2.由1中的解题方法试着解下面这道题目：如图所示，一艘渔船以30海里/时的速度由西向东航行.在A出看见小岛C在船北偏东60°的方向上.40min后，渔船航行到B处，此时小岛C在船北偏东30°的方向上.已知以小岛C 为中心，10海里为半径的范围内是暗礁最多的危险区.如果这艘渔船继续向东航行，有没有进入危险区的可能？解：过点C作CD⊥AB，∠AB的延长线于点D，则∠CBD=_____.在Rt△BCD中，tan∠CBD=_________.若设CD=x，则BD=_______.在Rt△ACD中，∠CAD=30°，所以tan∠CAD=_______.即AD=_______.因为AD -BD=AB，AB=______.所以得到关于x的方程：________________.解得x=________.因为________10海里，所以，这艘渔船继续向东航行，______危险区.如图，在筑坝、开渠、挖河和修路时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.我们通常把坡面的垂直高度h和水平宽度l的比值叫做坡面的坡度（或坡比），坡面与水平面的夹角α叫做坡角，显然tan α=_______.3.如图，某水库大坝的横断面是四边形ABCD，CD∥AB，大坝顶宽CD=3m，斜坡AD=16m，大坝高为8m，斜坡BC的坡度为13.求斜坡的坡角α和大坝底的宽AB（结果精确到0.01m）.三、自学自测1.如图，飞机A在目标B正上方1000m处，飞行员测得地面目标C的俯角为30°，则地面目标B，C之间的距离是________．四、我的疑惑_____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________五、要点探究探究点1：利用仰角、俯角解决实际问题问题1：如图所示，为了测量山的高度AC ，在水平面B 处测得山顶A 的仰角为30°，AC ⊥BC ，自B 沿着BC 方向向前走1000m ，到达D 处，又测得山顶A 的仰角为45°，求山高．(结果保留根号)问题2：如图，某人站在楼顶观测对面笔直的旗杆AB ，已知观察点C 到旗杆的距离(CE的长度)为8m ，测得旗杆顶的仰角∠ECA 为30°，旗杆底边的俯角∠ECB 为45°，那么，旗杆AB 的高度是( )A ．(82＋83)mB ．(8＋83)mC ．(82＋833)m D ．(8＋833)m 【归纳总结】解此类问题，要作好辅助线，将问题分为仰角和俯角两个问题来解直角三角形．【针对训练】1.如图,某飞机在空中A 处探测到地面的目标B,此时从飞机上看目标B 的俯角为α,若测得飞机与目标B 之间的距离AB 大约为2400米,且sinα=0.52,求飞机的飞行高度.2.如图,一学生要测量校园内一棵水杉树的高度.他站在距离水杉树8 m 的E 处,测得树顶的仰角∠ACD=52°.已知测角器的架高CE=1.6 m,问树高AB 为多少米?(精确到0.1 m)探究点2：利用坡度、坡角解决实际问题问题1：水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m ，坝高23m ，斜坡AB 的坡度i=1∶3 ，斜坡CD 的坡度i=1∶2.5 ， 则斜坡CD 的坡面角α ， 坝底宽AD 和斜坡AB 的长应设计为多少？【归纳总结】根据坡度的定义i ＝hl ，解题时需先求得水平距离l 和铅直高度h .【针对训练】1.(1)一斜坡的坡角为30°,则它的坡度为 ;(2)坡度通常写成1∶ 的形式.如果一个坡度为1∶2.5,则这个坡角为 ; (3)等腰梯形的较小底长为3,腰长为5,高为4,则另一个底长为 ,坡度为 ;(4)堤坝横断面是等腰梯形,(如图所示)若AB=10,CD=4,高h=4,则坡度i= ,AD= ; 若AB=10,CD=4,i=,则h= .2如图所示，在平面上种植树木时，要求株距(相邻两树间的水平距离)为4m ，如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m ，那么相邻两树间的坡面距离为()A ．5mB ．6mC ．7mD ．8m二、课堂小结1.如图，沿倾斜角为30︒的山坡植树，要求相邻两棵树的水平距离AC 为2m ，那么相邻两棵树的斜坡距离AB 为 m 。
