数学-南京市2015届高三9月学情调研卷 数学

江苏省南京市中华中学2015届高三期初调研考试第Ⅰ卷（必做题共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．1．复数11i+的模为．2．已知全集U =R ，函数11y x =+的定义域为集合A ，函数2log (2)y x =+的定义域为集合B ，则集合()UA B =ð．3．22log sinlog cos1212pp+的值为．4．已知命题p ：x $ÎR ，使5sin 2x =；命题q ：x "ÎR ，都有210x x ++>．给出下列命题：（1）命题“p q Ù”是真命题；（2）命题“p q ÙØ”是假命题；（3）命题“p q ØÚ”是真命题；（4）命题“p q ØÚØ”是假命题．其中正确的是（填序号）．5．右图的程序框图输出的结果S 等于．6．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组（每小组4人）人）在期末在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同，则乙组四名同学数学成绩的方差2s =．7．在△ABC 中，60ABC Ð=°，2AB =，6BC =，在BC 上任取一点D ，使△ABD 为钝角三角形的概率为．8．若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p =．9．已知向量a ，b ，c 满足++=0a b c ，且a 与c 的夹角为60°，||3||=b a ，则a 与b 的夹角为．10．已知a ，b ，x 是实数，函数2()21f x x ax =-+与函数()2()g x b a x =-的图像不相交，记参数a ，b 所组成的点()a b ，的集合为A ，则集合为A 表示的平面图形的面积为．11．已知数列{}n a 满足11a =，12nn n a a +×=()n *ÎN ，则2012S =．12．圆心在曲线2(0)y x x =>上，且与直线210x y ++=相切的面积最小的圆的方程为．13．定义在R 上的奇函数()f x 对任意x ÎR 都有()(4)f x f x =+，当(20)x Î-，时，()2x f x =，则(2012)(2011)f f -=．14．定义方程()()f x f x ¢=的实数根0x 叫做函数()f x 的“新驻点”，若函数()2g x x =，()ln h x x =，3()(0)x x x j =¹的“新驻点”分别为a ，b ，c ，则a ，b ，c 的大小关系为的大小关系为 ．二、填空题：本大题共6小题，共计70分．15．（本小题满分14分）分）已知函数()tan 34f x x p æö=+ç÷èø．（1）求9f p æöç÷èø的值；的值；（2）设32p a p æöÎç÷èø，，若234f a p æö+=ç÷èø，求cos 4p a æö-ç÷èø的值．的值．16． （本题满分14分）如图，在四棱锥E ABCD -中，ABD D 为正三角形，,EB ED CB CD ==. （1）求证：EC BD ^；（2）若A B B C ^，,M N 分别为线段,AE AB 的中点，求证：平面//DMN 平面BEC . NMABDCE17．（本小题满分14分）分）给定椭圆C ：22221x ya b +=(0a b >>)．称圆心在原点O ，半径为22a b +的圆是椭圆C的“准圆”．若椭圆C 的一个焦点为(20)F ，，其短轴上的一个端点到点F 的距离为3．（1）求椭圆C 的方程和其“准圆”方程；的方程和其“准圆”方程；（2）点P 是椭圆C 的“准圆”上的一个动点，过动点P 作直线1l ，2l ，使得1l ，2l 与椭圆C 都只有一个交点，试判断1l ，2l 是否垂直，并说明理由．是否垂直，并说明理由．18．（本小题满分16分）分）某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y （单位：万元）的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%．（1）若建立函数()y f x =模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数()f x 模型的基本要求，并分析函数2150xy =+是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明理由；理由；（2）若该公司采用函数模型1032x ay x -=+作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a 的值．值．19．（本小题满分16分）分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足21n n a S -=，n *ÎN ．（1）求数列{}n a 的通项公式；的通项公式；（2）在数列{}n a 的每两项之间都按照如下规则插入一些数后，构成新数列{}n b ；n a 和1n a +两项之间插入n 个数，使这2n +个数构成等差数列，求2012b 的值；的值；（3）对于（2）中的数列{}n b ，若m n b a =，求123m b b b b ++++（用n 表示）．20．（本小题满分16分）分）已知函数325()2f x x x ax b =+++（,a b 为常数），其图象是曲线C ．（1）当2a =-时，求函数()f x 的单调减区间；的单调减区间；（2）设函数()f x 的导函数为()f x ¢，若存在唯一的实数0x ，使得00()f x x =与0()0f x =¢同时成立，求实数b 的取值范围；的取值范围；（3）已知点A 为曲线C 上的动点，在点A 处作曲线C 的切线1l 与曲线C 交于另一点B ，在点B 处作曲线C 的切线2l ，设切线12,l l 的斜率分别为12,k k ．问：是否存在常数l ，使得21k k l =？若存在，求出l 的值；若不存在，请说明理由．的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．2． 2．(21]--，． 3．2-． 4．（2）（3）． 5．20． 6．9．7．12．8．4．9．33-． 10．p ．11．1006323´-．12．22(1)(2)5x y -+-=． 13．12-．14．c b a >>． 15．16.（1）取BD 的中点O ，连结EO ，CO ，∵△ABC 为正三角形，且CD=CB∴CO ⊥BD ，E O ⊥BD ………………………………44分 又0COEO =，∴BD ⊥平面EOC ，∵ÌEC 平面EOC∴BD ⊥EC . ………………………………77分 （2）∵N 是AB 中点，ABD D 为正三角形，∴DN ⊥AB ，ONMABDCE∵BC ⊥AB ，∴DN //BC ，∵BC Ì平面BCE DN Ë平面BCE ，∴BC //平面BCE ， ………………………………1010分 ∵M 为AE 中点，N 为AB 中点，∴MN //BE ，∵MN Ë平面BCE ，BE Ì平面BCE ，∴MN //平面BCE ， ………………………………1212分 ∵MN DN =N ，∴平面MND //平面BCE . ………………………………1414分17．18．19．20．(1)当2a =-时， 2()352(31)(2)f x x x x x ¢=+-=-+. ……………2分令f ¢(x )<0，解得123x -<<，所以f (x )的单调减区间为1(2,)3-． ……………4分(2) 2()35f x x x a ¢=++，由题意知20032000035052x x a x x ax b x ì++=ïí+++=ïî消去a ， 得320005202x x x b ++-=有唯一解．……………………………6分令325()22g x x x x =++，则2()651(21)(31)g x x x x x ¢=++=++，所以()g x 在区间1(,)2-¥-，1(,)3-+¥上是增函数，在11(,)23--上是减函数，……………8分 又11()28g -=-，17()354g -=-，故实数b 的取值范围是71(,)(,)548-¥--+¥． ………………………10分 (3)设0(,())A x f x ，则点A处切线方程为0()()()y f x f x x x ¢-=-，与曲线C ：()y f x =联立方程组，得000()()()()f x f x f x x x ¢-=-，即2005()[(2)]2x x x x -++，所以B 点的横坐标05(2)2B x x =-+． ………………………………………12分由题意知，21()35k f x x x a ¢==++，22000525(2)122024k f x x x a ¢=--=+++，若存在常数l ，使得21k k l =，则220000251220(35)4x x a x x a l +++=++，即存在常数l ，使得20025(4)(35)(1)4x x a l l -+=--，所以40,25(1)0.4a l l -=ìïí--=ïî解得4l =，2512a =． ……………………………15分 故2512a =时，存在常数4l =，使214k k =；2512a ¹时，不存在常数l ，使21k k l =．…16分。

江苏省南京市2014届高三数学9月学情调研考试试题 理 新人教A 版第Ⅰ卷（共70分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 1.已知集合{}2,A x x x R =<∈，集合{}13,B x x x R =<<∈，则A B =I .2.命题“2,220x R x x ∀∈-+>”的否定是 .3.已知复数z 满足1iz i =+（i 为虚数单位），则z = .4.下图是某算法的流程图，其输出值a 是 .5.口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为 .所以事件“取出的两个球的编号大于5”发生的概率2163 P==.考点：古典概型6.若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为.7.已知点(),P x y 在不等式0024x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩表示的平面区域上运动，则z x y =+的最大值是 .考点：线性规划8.曲线sin y x x =+在点()0,0处的切线方程是 .9.在等差数列{}n a 中，487,15a a ==，则数列{}n a 的前n 项和n S = .10.如图，在ABC ∆中，D 、E 分别为边BC 、AC 的中点. F 为边AB 上的点，且3AB AF =u u u r u u u r，若AD x AF y AE =+u u u r u u u r u u u r，,x y R ∈，则x y +的值为 .【答案】52. 【解析】11.设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()21x f x =+.若()3f a =，则实数a 的值为 .12.已知四边形ABCD 是矩形，2AB =，3AD =，E 是线段BC 上的动点，F 是CD 的中点．若 AEF ∠为钝角，则线段BE 长度的取值范围是 .22223110AF AD DF =+=+，由于AEF ∠为钝角，则cos 0AEF ∠<，则有222AE EF AF +- 0<，即()()2224610102640x x x x x ++-+-=-+<，即2320x x -+<，解得12x <<；13.如图，已知过椭圆()222210x y a b a b +=>>的左顶点(),0A a -作直线l 交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若AOP ∆是等腰三角形，且2PQ QA =u u u r u u u r，则椭圆的离心率为 .14.已知函数()32log,031108,3 33xxf xx x x⎧<<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若存在实数a、b、c、d，满足()()()f a f b f c== ()f d=，其中0d c b a>>>>，则abcd的取值范围是 .【答案】()21,24.【解析】试题分析：如下图所示，由图形易知01a<<，13b<<，则()33log logf a a a==-，()3logf b b= 3log b=，()()f a f b=Q，33log loga b∴-=，1ab∴=，令21108033x x-+=，即210240x x-+=，第Ⅱ卷（共90分）二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.在锐角ABC ∆中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知向量1,cos 2m A ⎛⎫= ⎪⎝⎭u r ，3sin ,n A ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭r ，且m n ⊥u r r . （1）求角A 的大小；（2）若7a =，8b =，求ABC ∆的面积．分-的底面为平行四边形，PD⊥平面ABCD，M为PC中点．16.如图，四棱锥P ABCDAP平面MBD；（1）求证：//⊥，求证：BD⊥平面PAD.（2）若AD PB17.如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分），道路的宽度均为2米．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积.【答案】当休闲广场的长为60米，宽为40米时，绿化区域总面积最大值，最大面积为1944平方米. 【解析】18.已知椭圆C 的中心在坐标原点，右准线为32x =，离心率为63．若直线()0y t t =>与椭 圆C 交于不同的两点A 、B ，以线段AB 为直径作圆M . （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若圆M 与x 轴相切，求圆M 被直线310x y -+=截得的线段长.【答案】（1）221124x y +=；（2）22.03311d -⨯+==……………………………………14分故圆M 被直线310x y -+=截得的线段长为()2223122-=…………………………………16分考点：椭圆的方程、点到直线的距离、勾股定理19.已知函数()2ln f x ax x =-（a 为常数）． （1）当12a =时，求()f x 的单调递减区间； （2）若0a <，且对任意的[]1,x e ∈，()()2f x a x >-恒成立，求实数a 的取值范围.（2）设()()()()22ln 2F x f x a x ax x a x =--=---，因为对任意的[]1,x e ∈，()()2f x a x ≥-恒成立，所以()0F x ≥恒成立，③当1e a-≥，即10a e-≤<时，因为()1,x e ∈时，()0F x '>， 所以()F x 在()1,e 上单调递增，由于()120F =>，符合题意；………………………………15分 综上所述，实数a 的取值范围是212,0e e e -⎡⎫⎪⎢-⎣⎭…………………………………………………………16分 考点：函数的单调区间与导数、不等式恒成立、分类讨论20.已知无穷数列{}n a 中，1a 、2a 、L 、m a 构成首项为2，公差为－2的等差数列，1m a +、2m a +、L 、2m a ，构成首项为12，公比为12的等比数列，其中3m ≥，m N *∈.（1）当12n m ≤≤，m N *∈，时，求数列{}n a 的通项公式；（2）若对任意的n N *∈，都有2n m n a a +=成立．①当27164a =时，求m 的值； ②记数列{}n a 的前n 项和为n S ．判断是否存在m ，使得432m S +≥成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.24n a n =-+，………………………………………………2分当12m n m +≤≤时，由题意得12n mn a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，……………………………………………………4分故3m =时，2m S 取最大，最大值为78， 从而43m S +的最大值为74，不可能有432m S +≥成立，故不存在满足条件的实数m ……………16分考点：等差数列和等比数列的通项公式及前n 项和、数列的周期性、数列的单调性数学附加题【选做题】在A,B,C,D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指容冬琴申作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 21.A 选修4-1：几何证明选讲如图，OA 、OB 是圆O 的半径，且OA OB ⊥，C 是半径OA 上一点：延长BC 交圆O 于点D ，过D 作圆O 的切线交OA 的延长线于点E .求证：45OBC ADE ∠+∠=o.45OBC ADE OBC ABC ABO ∴∠+∠=∠+∠=∠=o . ……………………………………………10分考点：等腰三角形、弦切角定理21.B.选修4-2：矩阵与变换在平面直角坐标系xOy 中，直线:210l x y ++=在矩阵23a M b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线:m x 20y --=，求实数a 、b 的值．将上述结果代入直线l 的方程得()2321066x ay bx y ab ab ''-+''+++=++，21.C 选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，求圆4sin ρθ=上的点到直线cos 324πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭将直线的极坐标方程cos 324πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭化为直角坐标方程为21.D 选修4-5：不等式选讲 解不等式211x x +--≤.综上所述，不等式211x x +--≤的解集为(],0-∞. …………………………10分 考点：含绝对值不等式的解法、分段函数【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答·解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.22.在底面边长为2，高为1的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为BC 、11C D 的中点． （1）求异面直线1A E 、CF 所成的角；（2）求平面1A EF 与平面11ADD A 所成锐二面角的余弦值．()0,1,1F ，则()()()11,2,02,0,11,2,1A E =-=--u u u r ，()()()0,1,10,2,00,1,1CF =-=-u u u r ，……………1分()0,1,0n =r ， ……………………7分23.将编号为1，2，3，4的四个小球，分别放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子中有且仅有一个小球．若小球的编号与盒子的编号相同，得1分，否则得0分．记ξ为四个小球得分总和．（1）求2ξ=时的概率；（2）求ξ的概率分布及数学期望．。

2014届江苏省南京市高三9月学情调研理科数学试卷一、填空题1．已知集合{}2,A x x x R =<∈，集合{}13,B x x x R =<<∈，则AB = .2．命题“2,220x R x x ∀∈-+>”的否定是 .3．已知复数z 满足1iz i =+（i 为虚数单位），则z = .4．下图是某算法的流程图，其输出值a 是 .5．口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为 .6．若一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则此圆柱的体积为 . 7．已知点(),P x y 在不等式0024x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩表示的平面区域上运动，则z x y =+的最大值是 .8．曲线sin y x x =+在点()0,0处的切线方程是 .9．在等差数列{}n a 中，487,15a a ==，则数列{}n a 的前n 项和n S = .10．如图，在ABC ∆中，D 、E 分别为边BC 、AC 的中点. F 为边AB 上的点，且3AB AF =，若AD xAF yAE =+，,x y R ∈，则x y +的值为 .11．设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()21x f x =+.若()3f a =，则实数a 的值为 .12．已知四边形ABCD 是矩形，2AB =，3AD =，E 是线段BC 上的动点，F是CD 的中点．若AEF ∠为钝角，则线段BE 长度的取值范围是 .13．如图，已知过椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点(),0A a -作直线l 交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若AOP ∆是等腰三角形，且2PQ QA =，则椭圆的离心率为 .14．已知函数()32log ,031108,333x x f x x x x ⎧<<⎪=⎨-+≥⎪⎩，若存在实数a 、b 、c 、d ，满足()()()f a f b f c == ()f d =，其中0d c b a >>>>，则abcd 的取值范围是 .二、解答题15．在锐角ABC ∆中，A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．已知向量1,cos 2m A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，sin ,n A ⎛= ⎝⎭，且m n ⊥. （1）求角A 的大小；（2）若7a =，8b =，求ABC ∆的面积．16．如图，四棱锥P ABCD -的底面为平行四边形，PD ⊥平面ABCD ，M 为PC 中点．（1）求证：//AP 平面MBD ；（2）若AD PB ⊥，求证：BD ⊥平面PAD .17．如图，某小区拟在空地上建一个占地面积为2400平方米的矩形休闲广场，按照设计要求，休闲广场中间有两个完全相同的矩形绿化区域，周边及绿化区域之间是道路（图中阴影部分），道路的宽度均为2米．怎样设计矩形休闲广场的长和宽，才能使绿化区域的总面积最大？并求出其最大面积.18．已知椭圆C 的中心在坐标原点，右准线为32x =6()0y t t =>与椭圆C 交于不同的两点A 、B ，以线段AB 为直径作圆M .（1）求椭圆C 的标准方程； （2）若圆M 与x 轴相切，求圆M 被直线310x y +=截得的线段长.19．已知无穷数列{}n a 中，1a 、2a 、、m a 构成首项为2，公差为－2的等差数列，1m a +、2m a +、、2m a ，构成首项为12，公比为12的等比数列，其中3m ≥，m N *∈. （1）当12n m ≤≤，m N *∈，时，求数列{}n a 的通项公式； （2）若对任意的n N *∈，都有2n m n a a +=成立． ①当27164a =时，求m 的值； ②记数列{}n a 的前n 项和为n S ．判断是否存在m ，使得432m S +≥成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.20．已知函数()2ln f x ax x =-（a 为常数）．（1）当12a =时，求()f x 的单调递减区间； （2）若0a <，且对任意的[]1,x e ∈，()()2f x a x >-恒成立，求实数a 的取值范围.21．如图，OA 、OB 是圆O 的半径，且OA OB ⊥，C 是半径OA 上一点：延长BC 交圆O 于点D ，过D作圆O 的切线交OA 的延长线于点E .求证：45OBC ADE ∠+∠=.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线:210l x y ++=在矩阵23a M b -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线:m x 20y --=，求实数a 、b 的值．23．在极坐标系中，求圆4sin ρθ=上的点到直线cos 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭24．解不等式211x x +--≤. 25．在底面边长为2，高为1的正四棱柱1111ABCD A BC D -中，E 、F 分别为BC 、11C D 的中点．（1）求异面直线1A E 、CF 所成的角； （2）求平面1A EF 与平面11ADD A 所成锐二面角的余弦值．26．将编号为1，2，3，4的四个小球，分别放入编号为1，2，3，4的四个盒子，每个盒子中有且仅有一个小球．若小球的编号与盒子的编号相同，得1分，否则得0分．记ξ为四个小球得分总和．（1）求2ξ=时的概率；（2）求ξ的概率分布及数学期望．2014届江苏省南京市高三9月学情调研理科数学试卷参考答案1．{}12,x x x R <<∈或()1,2 【解析】{}2,A x x x R =<∈，{}13,B x x x R =<<∈，{}12,A B x x x R ∴=<<∈.考点：集合的交集运算2．2,220x R x x ∃∈-+>【解析】由全称命题的否定知，命题“2,220x R x x ∀∈-+>”的否定是“2,220x R x x ∃∈-+>”.考点：命题的否定3【解析】1iz i =+，111i z i i i+∴==-+=-，z ==. 考点：复数的除法运算、复数的模4．31【解析】第一次循环，2113a =⨯+=，330a =>不成立，执行第二次循环；2317a =⨯+=，730a =>不成立，执行第三次循环；第三次循环，27115a =⨯+=，1530a =>不成立，执行第四次循环；第四次循环，215131a =⨯+=，3130a =>成立，跳出循环体，输出的a 值为31.考点：算法与程序框图5．13【解析】利用x 、y 表示第一次和第二次从袋子中抽取的球的编号，用(),x y 表示其中一个基本事件，则事件总体所包含的基本事件有：()1,2，()1,3，()1,4，()2,3，()2,4，()3,4，共6个；事件“取出的两个球的编号大于5”所包含的基本事件有：()2,4，()3,4，共2个，所以事件“取出的两个球的编号大于5”发生的概率2163P ==. 考点：古典概型6．2π【解析】设圆柱的底面半径为r ，高为h ，底面积为S ，体积为V ，则有122r r ππ=⇒=，故底面面积2211S r ππππ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，故圆柱的体积122V Sh ππ==⨯=. 考点：圆柱的体积7．4【解析】如下图所示，不等式组0024x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩所表示的可行域如下图中的阴影部分表示，在直线方程24x y +=，令0y =，解得4x =，得点A 的坐标为()4,0，作直线:l z x y =+，其中z 可视为直线l 在x 轴上的截距，当直线l 经过区域中的点()4,0A 时，直线l 在x 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 404z =+=.考点：线性规划8．2y x =或20x y -=【解析】sin y x x =+,1cos y x '∴=+，当0x =时，1cos02y '=+=，故曲线sin y x x =+在点()0,0处的切线方程是()020y x -=-，即2y x =或20x y -=.考点：利用导数求函数图象的切线方程9．2n【解析】设等差数列{}n a 的首项1a 与公差d 的方程组，则有418137715a a d a a d =+=⎧⎨=+=⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，故()()2111222n n n d n n S na n n --⨯=+=+=.考点：等差数列的前n 项和10．52【解析】D 为BC 的中点，()11112222BD BC AC AB AC AB ∴==-=-，AD AB BD∴=+1111113322222222AB AC AB AB AC AF AE AF AE xAF yAE ⎛⎫=+-=+=⨯+⨯=+=+ ⎪⎝⎭，32x ∴=，1y =，35122x y ∴+=+=.考点：平面向量的基底表示 11．1±【解析】当0a ≥时，()213a f a =+=，解得1a =；当0a <时，0a ->，由于函数()f x 是偶函数，()()213a f a f a -∴=-=+=，解得1a =-，综上所述，1a =±.考点：函数的奇偶性12．()1,2【解析】法一：如下图所示，设BE x =，则03x <<，由勾股定理易得AE =3CE x =-，112122CF CD ==⨯=，EF ===AF ==AEF ∠为钝角，则cos 0AEF ∠<，则有222AE EF AF +-0<，即()()2224610102640x x x x x ++-+-=-+<，即2320x x -+<，解得12x <<； FE DCB A法二：如下图所示，设BC x =，则03x <<，以点B 为坐标原点，BC 、BA 所在的直线分别为x 轴、y轴建立平面直角坐标系xBy ，则()0,2A ，(),0E x ，()3,1F ，()()()0,2,0,2EA x x =-=-，EF =()()()3,1,03,1x x -=-，AEF ∴∠是钝角，则0EA EF ⋅<，即()()3210x x -⋅-+⨯<，整理得2320x x -+<，解得12x <<，且A 、E 、F 三点不共线，故有()()321x x -⨯≠-⨯，解得6x ≠.考点：余弦定理、勾股定理、平面向量的数量积13【解析】由于AOP ∆为等腰三角形，且90AOP ∠=，故有AO OP a ==，则点P 的坐标为()0,a ，设点Q 的坐标为(),x y ，()()(),0,,PQ x y a x y a =-=-，()()(),0,,QA a x y a x y =--=---，PQ =2QA ，则有()22x a x y a y ⎧=⋅--⎨-=-⎩，解得233x a a y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即点Q 的坐标为2,33a a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将点Q 的坐标代入椭圆的方程得2222211133a a a b⎛⎫⎛⎫-⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得225a b =，即()2225a a c =-，2245c a ∴=，c e a ∴==.考点：共线向量、椭圆的离心率14．()21,24【解析】如下图所示，由图形易知01a <<，13b <<，则()33log log f a a a ==-，()3log f b b =3log b =，()()f a f b =，33log log a b ∴-=，1ab ∴=，令21108033x x -+=，即210240x x -+=，解得4x =或6x =，而二次函数2110833y x x =-+的图象的对称轴为直线5x =，由图象知，35c <<，5d >，点()(),c f c 和点()(),d f d 均在二次函数2110833y x x =-+的图象上，故有52c d +=，10d c ∴=-，由于()21103338133f =⨯-⨯+=，当13x <<时，()33log log f x x x ==，30log 1x ∴<<，13b <<，()01f b ∴<<，()()f b f c =，()01f c ∴<<，由于函数()f x 在()3,5上单调递减，且()31f =，()40f =，34c ∴<<，()211010abcd cd cd c c c c ∴=⨯==-=-+()2525c =--+，34c <<，()22152524c ∴<--+<，即2124abcd <<.考点：函数的图象、对数函数、二次函数的单调性15．（1）60A =；（2）ABC S ∆=.【解析】（1）先根据平面向量垂直的等价条件得到等式1sin 02A A =，再利用弦化切的思想求出tan A 的值，最终在求出角A 的值；（2）解法一：在角A 的大小确定的前提下，利用正弦定理与同角三角函数之间的关系求出sin B 和cos B ，并利用()sin sin C A B =+结合和角公式求出sin C 的值，最后利用面积公式1sin 2ABC S ab C ∆=求出ABC ∆的面积；解法二：利用余弦定理求出c 的值，并对c 的值进行检验，然后面积公式1sin 2ABC S bc A ∆=求出ABC ∆的面积.（1）因为m n ⊥，所以0m n ⋅=，则1sin 022A A -=， 4分因为090A <<，所以cos 0A ≠，则tan A =60A = 7分（2）解法一：由正弦定理得sin sin a b A B=，又7a =，8b =，60A =， 则84sin sin 607B ==，因为ABC ∆为锐角三角形，所以1cos 7B =， 9分因为()11sin sin sin cos cos sin 72C A B A B A B =+=+=+=， 12分所以1sin 2ABC S ab C ∆==分 解法二：因为7a =，8b =，60A =，所以由余弦定理可知，214964282c c =+-⨯⨯，即28150c c -+=，解得3c =或5c =， 当3c =时，222949640c a b +-=+-<，所以cos 0B <，不合乎题意；当5c =时，2222549640c a b +-=+->，所以cos 0B >，合乎题意；所以1sin 2ABC S bc A ∆== 14分 考点：正弦定理、余弦定理、同角三角函数的关系、两角和的正弦函数、三角形的面积公式16．（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）根据平行四边形对角线互相平分的这个性质先连接AC ，找到AC 与BD 的交点O 为AC 的中点，利用三角形的中位线平行于底边证明//AP OM ，最后利用直线与平面平行的判定定理证明//AP 平面MBD ；（2）先证明AD ⊥平面PBD ，得到AD BD ⊥，再由已知条件证明BD PD ⊥，最终利用直线与平面垂直的判定定理证明BD ⊥平面PAD .试题解析：（1）连接AC 交BD 于点O ，连接OM ，因为底面ABCD 是平行四边形，所以点O 为AC 的中点，又M 为PC 的中点，所以//OM PA ， 4分因为OM ⊂平面MBD ，AP ⊄平面MBD ，所以//AP 平面MBD 6分MODC BA P（2）因为PA ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PD AD ⊥， 8分因为AD PB ⊥，PD PB P =，PD ⊂平面PBD ，PB ⊂平面PBD ，所以AD ⊥平面PBD ，因为BD ⊂平面PBD ，所以AD BD ⊥， 10分因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥， 12分又因为BD AD ⊥，AD PD D =，AD ⊂平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，所以BD ⊥平面PAD 14分考点：直线与平面平行、直线与平面垂直17．当休闲广场的长为60米，宽为40米时，绿化区域总面积最大值，最大面积为1944平方米.【解析】先将休闲广场的长度设为x 米，并将宽度也用x 进行表示，并将绿化区域的面积S 表示成x 的函数表达式，利用基本不等式来求出绿化区域面积的最大值，但是要注意基本不等式适用的三个条件.试题解析：设休闲广场的长为x 米，则宽为2400x米，绿化区域的总面积为S 平方米， ()240064S x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭6分2400242446x x ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭ 360024244x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()6,600x ∈ 8分 因为()6,600x ∈，所以3600120x x +≥， 当且仅当3600x x=，即60x =时取等号 12分 此时S 取得最大值，最大值为1944.答：当休闲广场的长为60米，宽为40米时，绿化区域总面积最大值，最大面积为1944平方米. 14分考点：矩形的面积、基本不等式18．（1）221124x y +=；（2） 【解析】（1）先根据题中的条件确定a 、c的值，然后利用b =b 的值，从而确定椭圆C 的方程；（2）先确定点M 的坐标，求出圆M 的方程，然后利用点（圆心）到直线的距离求出弦心距，最后利用勾股定理求出直线截圆所得的弦长.试题解析：（1）设椭圆的方程为()222210x y a b a b +=>>，由题意知3c a =，2a c =，解得a =，则c =2b =，故椭圆C 的标准方程为221124x y += 5分 （2）由题意可知，点M 为线段AB 的中点，且位于y 轴正半轴，又圆M 与x 轴相切，故点M 的坐标为()0,t ，不妨设点B 位于第一象限，因为MA MB t ==，所以(),B t t ， 7分 代入椭圆的方程，可得221124t t +=，因为0t >，解得t =， 10分所以圆M的圆心为((223x y += 12分 因为圆心M到直线10x +=的距离1d== 14分故圆M 被直线10x +=截得的线段长为=分考点：椭圆的方程、点到直线的距离、勾股定理 19．（1）数列{}n a 的通项公式为24,11,122n m n n n m a m n m --+≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩； （2）①m 的值为7或21；②详见解析.【解析】（1）根据数列的定义求出当12n m ≤≤时数列{}n a 的通项公式，注意根据n 的取值利用分段数列的形式表示数列{}n a 的通项；（2）①先确定164是等差数列部分还是等比数列部分中的项，然后根据相应的通项公式以及数列的周期性求出m 的值；②在（1）的基础上，先将数列{}n a 的前2m 项和求出，然后利用周期性即可求出43m S +，构造()21312mf m m m =-++-，利用定义法求出()f m 的最大值，从而确定2m S 和43m S +的最大值，进而可以确定是否存在m N *∈，使得432m S +≥.试题解析：（1）当1n m ≤≤时，由题意得24n a n =-+， 2分 当12m n m +≤≤时，由题意得12n mn a -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 4分 故数列{}n a 的通项公式为24,11,122n m n n n m a m n m --+≤≤⎧⎪=⎨⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩ 5分（2）①因为12164n -+=无解，所以164必不在等差数列内， 因为611642⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以164必在等比数列内，且等比数列部分至少有6项， 则数列的一个周期至少有12项， 7分所以第27项只可能在数列的第一个周期或第二个周期内， 若1272m ≤≤时，则272711264m a -⎛⎫== ⎪⎝⎭，得21m =， 若21274m m +≤≤，则2732727211264mm a a --⎛⎫=== ⎪⎝⎭，得7m =， 故m 的值为7或21 9分②因为221312m mS m m =-++-，12330a a a S ++==， 所以2432123122312m m m S S a a a m m +⎛⎫=+++=-++- ⎪⎝⎭， 12分 记()21312m f m m m =-++-，则()()()111212m f m f m m ++-=-+， 因为3m ≥，所以()()10f m f m +-<，即()()1f m f m +<， 14分故3m =时，2m S 取最大，最大值为78， 从而43m S +的最大值为74，不可能有432m S +≥成立，故不存在满足条件的实数m 16分 考点：等差数列和等比数列的通项公式及前n 项和、数列的周期性、数列的单调性20．（1）函数()f x 的单调递减区间为()0,1；（2）实数a 的取值范围是212,0e e e -⎡⎫⎪⎢-⎣⎭.【解析】（1）将12a =代入函数解析式并求出相应的导数，利用导数并结合函数的定义域便可求出函数的单调递减区间；（2）构造新函数()()()2F x f x a x =--，将问题转化为“对任意[]1,x e ∈时，()0F x ≥恒成立”，进而转化为()min 0F x ≥，围绕()min 0F x ≥这个核心问题结合分类讨论的思想求出参数a 的取值范围.试题解析：（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()21212ax f x ax x x-'=-=，当12a =时，()21x f x x-'=， 2分由()0f x '<及0x >，解得01x <<，所以函数()f x 的单调递减区间为()0,1 4分（2）设()()()()22ln 2F x f x a x ax x a x =--=---，因为对任意的[]1,x e ∈，()()2f x a x ≥-恒成立，所以()0F x ≥恒成立，()()()()()2221121122ax a x ax x F x ax a x x x---+-'=---==， 因为0a <，令()0F x '=，得11x a =-，2112x =<， 7分①当101a<-≤，即1a ≤-时，因为()1,x e ∈时，()0F x '<，所以()F x 在()1,e 上单调递减，因为对任意的[]1,x e ∈，()0F x ≥恒成立，所以[]1,x e ∈时，()()min 0F x F e =≥，即()2120ae a e ---≥，解得212e a e e -≥-，因为2121ee e ->--。

江苏省包场高级中学2015届高三数学学情调研一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1．已知集合{}12,3,1--=m A ,集合{}2,3mB =,若B B A = ,则实数=m ___▲__.2．函数2()lg(1)f x x =+-的定义域是____▲___. 3．命题“若062≥-+x x ，则2>x ”的否命题为 ▲ 命题（填“真或假”） . 4．已知函数()2(1)ln f x f x x '=-，则()f x 的极大值为 ▲ .5．命题“R x ∈∀，0342>+-b bx x ”是假命题，则b 的取值范围为 ▲ . 6．已知函数[]m x x x x f ,0,4)(∈-=，其中R m ∈且0>m ，若函数)(x f 的值域为[]4,0 则m 的取值范围为 ▲ .7．已知2()23f x x x =-+，()1g x kx =-，则“2k ≤”是“()()f x g x ≥在R 上恒成立”的 ▲ 条件.（填“充分不必要、必要而不充分、充要、既不充分也不必要”之一）. 8．设函数xxx f ln )(=在区间()2,+a a 上单调递增，则a 的取值范围为 ▲ . 9．在平面直角坐标系xOy 中，直线y x b =+是曲线ln y a x =的切线，则当a ＞0时，实数b的最小值是 ▲ ．10．设R x ∈，若函数)(x f 为单调递增函数，且对任意实数x ，都有1])([+=-e e x f f x，则)2(ln f 的值为 ▲ ．11．已知)(x f 是奇函数，当()e x ,0∈时，)21(ln )(>-=a ax x x f ，当()0,e x -∈时，)(x f 的最小值为1，则a 的值为 ▲ .12．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤--=0),1(log 0,2)(212x x x x x x f ，若)(2)(,R a ax x f R x ∈+≤∈∀，则a 的最大值为 ▲ .13．已知函数)(x f 满足)1(2)(x f x f =，当[]3,1∈x 时，x x f ln )(=，若在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡3,31内，函数)0()()(>-=a ax x f x g 恰有三个零点，则实数a 的取值范围为 ▲ .14．已知0>a ，函数ax a x x 2)(+-=在区间[]4,0上的最大值为107，则a 的值为 ▲ .二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）设全集R m m x m x x g x x x f R U ∈+++=++==,)1()(,23)(,22.（1）设集合{}{}0)(|,0)(|====x g x B x f x A 。

实用文档2015届高三年级学情调研文案大全南京市卷数学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应．．．．．位置．．上．1．函数f(x)＝cos2x－sin2x的最小正周期为▲2．已知复数z＝11＋i，其中i是虚数单位，则|z|＝▲3．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：3：3，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为80的样本，则应从高一年级抽取▲名学生．4．从甲、乙、丙、丁4位同学中随机选出2名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是▲5．已知向量a＝(2，1)，b＝(0，－1)．若(a＋λb)⊥a，则实数λ＝▲6．右图是一个算法流程图，则输出S的值是▲7．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的渐近线方程为y＝±3x，则该双曲线的离心率为▲8．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为2的半圆，则这个圆锥的高是▲9．设f(x)＝x2－3x＋a．若函数f(x)在区间(1，3)内有零点，则实数a的取值范围为▲10．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c．已知a＋2c＝2b，sinB ＝2sinC，则cosA＝▲11．若f(x)＝ ax， x≥1，－x＋3a，x＜1是R上的单调函数，则实数a 的取值范围为▲12．记数列{a n}的前n项和为S n．若a1＝1，S n＝2(a1＋a n)(n≥2，n∈N*)，则S n ＝▲13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋y2－6x＋5＝0，点A，B在圆C上，且AB＝23，则|OA→＋OB→|的最大值是▲14．已知函数f(x)＝x－1－(e－1)lnx，其中e为自然对数的底，则满足f(e x)＜0的x的取值范围S←0S←S＋k2开始输出S 结束 Y Nk＞5（第6题图） k←1k←k＋2实用文档文案大全为▲二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(0＜φ＜2π)的图象过点(π2，－2)．（1）求φ的值；（2）若f(α2)＝65，－π2＜α＜0，求sin(2α－π6)的值．16．（本小题满分14分）如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，M，N分别为AB，B1C1的中点．（1）求证：MN∥平面AA1C1C；（2）若CC1＝CB1，CA＝CB，平面CC1B1B⊥平面ABC，求证：AB 平面CMN．17．（本小题满分14分）已知{a n}是等差数列，其前n项的和为S n， {b n}是等比数列，且a1＝b1＝2，a4＋b4＝21，S4＋b4＝30．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；A1ABC B1C1M N（第16题图）实用文档文案大全（2）记c n＝a n b n，n∈N*，求数列{c n}的前n项和．18．（本小题满分16分）给定椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)，称圆C1：x2＋y2＝a2＋b2为椭圆C的“伴随圆”．已知椭圆C的离心率为32，且经过点(0，1)．（1）求实数a，b的值；（2）若过点P(0，m)(m＞0)的直线l与椭圆C有且只有一个公共点，且l被椭圆C 的伴随圆C1所截得的弦长为22，求实数m的值．19．（本小题满分16分）如图（示意），公路AM、AN围成的是一块顶角为α的角形耕地，其中tanα＝－2．在该块土地中P处有一小型建筑，经测量，它到公路AM，AN的距离分别为3km，5km．现要过点P修建一条直线公路BC，将三条公路围成的区域ABC建成一个工业园．为尽量减少耕地占用，问如何确定B．实用文档文案大全点的位置，使得该工业园区的面积最小？并求最小面积．20．（本小题满分16分）已知函数f(x)＝ax3＋|x－a|，a∈R．（1）若a＝－1，求函数y＝f(x) (x∈[0，＋∞))的图象在x＝1处的切线方程；（2）若g(x)＝x4，试讨论方程f(x)＝g(x)的实数解的个数；（3）当a＞0时，若对于任意的x1∈[a，a＋2]，都存在x2∈[a＋2，＋∞)，使得f(x1)f(x2)＝1024，求满足条件的正整数a的取值的集合．南京市2015届高三年级学情调研卷数学附加题2014.09注意事项：·AMNP（第19题图）α CB实用文档文案大全1．附加题供选修物理的考生使用．2．本试卷共40分，考试时间30分钟．3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图，PA是圆O的切线，A为切点，PO与圆O交于点B、C，AQ?OP，垂足为Q．若PA＝4，PC＝2，求AQ的长．B．选修4—2：矩阵与变换已知矩阵A＝????2b13属于特征值?的一个特征向量为α＝???? 1－1（1）求实数b，?的值；（2）若曲线C在矩阵A对应的变换作用下，得到的曲线为C?：x2＋2y2＝2，求曲线C 的方程．C．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为???x＝3＋32t，y＝2＋12t(t为参数 )，圆C的参数方程为???x＝3＋cosθ，y＝sinθ(θ为参数)．若点P是圆C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．D．选修4—5：不等式选讲已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：(ax＋by)(bx＋ay)≥xy．．CAPOQ（第21题A图） B实用文档文案大全【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域．．．．．．．内．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，CC1＝5，E是棱CC1上不同于端点的点，且CE→＝λCC1→．（1）当∠BEA1为钝角时，求实数λ的取值范围；（2）若λ＝25，记二面角B1－A1B－E的的大小为θ，求|cosθ|．23．某商店为了吸引顾客，设计了一个摸球小游戏，顾客从装有1个红球，1个白球，3个黑球的袋中一次随机的摸2个球，设计奖励方式如下表：结果 1红1白 11红1黑 5元2黑 1白1黑不获奖（1）某顾客在一次摸球中获得奖励X元，求X的概率分布表与数学期望；（2）某顾客参与两次摸球，求他能中奖的概率．（第22题图） ABCDEA1B1C1D1实用文档文案大全2015届高三年级学情调研卷数学参考答案及评分标准2014.09说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．π 2223．32 4．12 5．56．35 7．2 8．3 9．(0，94] 102411[12，＋∞) 12．2－2n－1 13．8 14．(0，1)二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）解：（1）因为函数f(x)＝2sin(2x＋φ)(0＜φ＜2π)的图象过点(π2，－2)，所以f(π2)＝2sin(π＋φ)＝－2，即sinφ＝1．................................................... 4分因为0＜φ＜2π，所以φ＝π2． (6)分（2）由（1）得，f(x)＝2cos2x． (8)分因为f(α2)＝65，所以cosα＝35．又因为－π2＜α＜0，所以sinα＝－45． (10)分所以sin2α＝2sinαcosα＝－2425，cos2α＝2cos2α－1＝－725．……………………12分从而sin(2α－π6)＝sin2αcosπ6－cos2αsinπ6＝7－24350．…………………… 14分实用文档文案大全16．（本小题满分14分）证明：（1）取A1C1的中点P，连接AP，NP．因为C1N＝NB1，C1P＝PA1，所以NP∥A1B1，NP＝12A1B1．…………………… 2分在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1∥AB，A1B1＝AB．故NP∥AB，且NP＝12AB．因为M为AB的中点，所以AM＝12AB．所以NP＝AM，且NP∥AM．所以四边形AMNP为平行四边形．所以MN∥AP．……………………………………… 4分因为AP?平面AA1C1C，MN?平面AA1C1C，所以MN∥平面AA1C1C．...................................................... 6分（2）因为CA＝CB，M为AB的中点，所以CM⊥AB． (8)分因为CC1＝CB1，N为B1C1的中点，所以CN⊥B1C1．在三棱柱ABC－A1B1C1中，BC∥B1C1，所以CN?BC．因为平面CC1B1B⊥平面ABC，平面CC1B1B∩平面ABC＝BC．CN?平面CC1B1B，所以CN⊥平面ABC．…………………………………… 10分因为AB?平面ABC，所以CN⊥AB．…………………………………… 12分因为CM?平面CMN，CN?平面CMN，CM∩CN＝C，所以AB⊥平面CMN． (14)分17．（本小题满分14分）解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q．由a1＝b1＝2，得a4＝2＋3d，b4＝2q3，S4＝8＋6d． (3)分由条件a4＋b4＝21，S4＋b4＝30，得方程组???2＋3d＋2q3＝21，8＋6d＋2q3＝30，解得???d＝1，q＝2．所以a n＝n＋1，b n＝2n，n∈N*．．……………………………… 7分（2）由题意知，c n＝(n＋1)×2n．记T n＝c1＋c2＋c3＋…＋c n．则T n＝c1＋c2＋c3＋…＋c n＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋n×2n－1＋(n＋1)×2n，A1AB C B1C1M N（第16题图） P实用文档文案大全2 T n＝ 2×22＋3×23＋...＋(n－1)×2n－1＋n×2n＋ (n＋1)2n＋1，所以－T n＝2×2＋(22＋23＋...＋2n )－(n＋1)×2n＋1， (11)分即T n＝n·2n＋1，n∈N*．．……………………………… 14分18．（本小题满分16分）解：（1）记椭圆C的半焦距为c．由题意，得b＝1，c a＝32，c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1． (4)分（2）由（1）知，椭圆C的方程为x24＋y2＝1，圆C1的方程为x2＋y2＝5．显然直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝kx＋m，即kx－y＋m＝0． (6)分因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，故方程组?????y＝kx＋m，x24＋y2＝1 （*）有且只有一组解．由（*）得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－4＝0．从而△＝(8km)2－4(1＋4k2)( 4m2－4)＝0．化简，得m2＝1＋4k2．① (10)分因为直线l被圆x2＋y2＝5所截得的弦长为22，所以圆心到直线l的距离d＝5－2＝3．即|m|k2＋1＝3．②………………………………………14分由①②，解得k2＝2，m2＝9．因为m＞0，所以m＝3． (16)分19．（本小题满分16分）解：（方法一）如图1，以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系．因为tanα＝－2，故直线AN的方程是y＝－2x．设点P(x0，y0)．因为点P到AM的距离为3，故y0＝3．由P到直线AN的距离为5，)xNPyOBC（第19题图1）实用文档文案大全得∣2x0＋y0∣5＝5，解得x0＝1或x0＝－4(舍去)，所以点P(1，3)．……………………………… 4分显然直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)．令y＝0得x B＝1－3k．……………………………… 6分由???y－3＝k(x－1)，y＝－2x解得y C＝6－2kk＋2．……………………………… 8分设△ABC的面积为S，则S＝12?x B?y C＝－k2＋6k－9k2＋2k＝－1＋8k－9k2＋2k．…………… 10分由S?＝－2(4k＋3)(k－3)(k2＋2k)2＝0得k＝－34或k＝3．当－2＜k＜－34时，S?＜0，S单调递减；当－34＜k＜0时，S?＞0，S单调递增．…13分所以当k＝－34时，即AB＝5时，S取极小值，也为最小值15．答：当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2． (16)分（方法二）如图1，以A为原点，AB为x轴，建立平面直角坐标系．因为tanα＝－2，故直线AN的方程是y＝－2x．设点P(x0，y0)．因为点P到AM的距离为3，故y0＝3．由P到直线AN的距离为5，得∣2x0＋y0∣5＝5，解得x0＝1或x0＝－4(舍去)，所以点P(1，3)．……………………………… 4分显然直线BC的斜率存在．设直线BC的方程为y－3＝k(x－1)，k∈(－2，0)．令y＝0得x B＝1－3k．……………………………… 6分由???y－3＝k(x－1)，y＝－2x解得y C＝6－2kk＋2．……………………………… 8分设△ABC的面积为S，则S＝12?x B?y C＝－k2＋6k－9k2＋2k＝－1＋8k－9k2＋2k．…………… 10分令8k－9＝t，则t∈(－25，－9)，从而k＝t＋98．因此S＝－1＋t(t＋98)2＋2×t＋98＝－1＋64tt2＋34t＋225＝－1＋6434＋t＋225t．………… 13分实用文档文案大全因为当t∈(－25，－9)时，t＋225t∈(－34，－30]，当且仅当t＝－15时，此时AB＝5，34＋t＋225t的最大值为4．从而S有最小值为15．答：当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2． (16)分（方法三）如图2，过点P作PE⊥AM，PF⊥AN，垂足为E、F，连接PA．设AB＝x，AC＝y．因为P到AM，AN的距离分别为3，5，即PE＝3，PF＝5．由S△ABC＝S△ABP＋S△APC＝12?x?3＋12?y? 5 ＝12(3x＋5y)．① (4)分因为tan?＝－2，所以sin?＝25．所以S△ABC＝12?x?y? 25．② (8)分由①②可得12?x?y? 25＝12(3x＋5y)．即35x＋5y＝2xy．．③………………………………………10分因为35x＋5y≥2155xy，所以 2xy≥2155xy．．解得xy≥155．………………………………………13分当且仅当35x＝5y取“＝”，结合③解得x＝5，y＝35．所以S△ABC＝12?x?y? 25有最小值15．答：当AB＝5km时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km2． (16)分20．（本小题满分16分）解：（1）当a＝－1，x∈[0，＋∞)时，f(x)＝－x3＋x＋1，从而f ′(x)＝－3x2＋1．当x＝1时，f(1)＝1，f ′(1)＝－2，所以函数y＝f(x) (x∈[0，＋∞))的图象在x＝1处的切线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0． (3)分（2）f(x)＝g(x)即为ax3＋|x－a|＝x4．所以x4－ax3＝|x－a|，从而x3(x－a)＝|x－a|．此方程等价于x＝a或???x＞a，x＝1或???x＜a，x＝－1．………………………………………… 6分所以当a≥1时，方程f(x)＝g(x)有两个不同的解a，－1；·A MNP B C（第19题图2） E F实用文档文案大全当－1＜a＜1时，方程f(x)＝g(x)有三个不同的解a，－1，1；当a≤－1时，方程f(x)＝g(x)有两个不同的解a，1．……………………………9分（3）当a＞0，x∈(a，＋∞)时，f(x)＝ax3＋x－a，f ′(x)＝3ax2＋1＞0，所以函数f(x)在(a，＋∞)上是增函数，且f(x)＞f(a)＝a4＞0．所以当x∈[a，a＋2]时，f(x)∈[f(a)，f(a＋2)]，1024f(x)∈[1024f(a ＋2)，1024f(a)]，当x∈[a＋2，＋∞)时，f(x)∈[ f(a＋2)，＋∞)．……………………………………11分因为对任意的x1∈[a，a＋2]，都存在x2∈[a＋2，＋∞)，使得f(x1)f(x2)＝1024，所以[1024f(a＋2)，1024f(a)]?[ f(a＋2)，＋∞)．………………………………………… 13分从而1024f(a＋2)≥f(a＋2)．所以f 2(a＋2)≤1024，即f(a＋2)≤32，也即a(a＋2)3＋2≤32．因为a＞0，显然a＝1满足，而a≥2时，均不满足．所以满足条件的正整数a的取值的集合为{1}．．……………………………………16分实用文档届高三年级学情调研卷文案大全2015数学附加题参考答案及评分标准2014.09说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．A．选修4—1：几何证明选讲证明：连接AO．设圆O的半径为r．因为PA是圆O的切线，PBC是圆O的割线，所以PA2＝PC·PB．……………………………… 3分因为PA＝4，PC＝2，所以42＝2×(2＋2r)，解得r＝3．……………… 5分所以PO＝PC＋CO＝2＋3＝5，AO＝r＝3．由PA是圆O的切线得PA⊥AO，故在Rt△APO中，因为AQ⊥PO，由面积法可知，12×AQ×PO＝12×AP×AO，即AQ＝AP×AO PO＝4×35＝125．…………………… 10分B．选修4—2：矩阵与变换解：（1）因为矩阵A＝????2b13属于特征值?的一个特征向量为α＝???? 1－1，所以????2b13???? 1－1＝????? 1－1，即??????2－b－2＝???????－?．……………………… 3分从而???2－b＝?，－2＝－?．解得b＝0，?＝2．…………………………5分（2）由（1）知，A＝????2013．CAPOQ（第21题A图） B实用文档文案大全设曲线C上任一点M(x，y)在矩阵A对应的变换作用后变为曲线C?上一点P(x0，y0)，则??????x0y0＝????2013??????xy＝??????2xx＋3y，从而???x0＝2x，y0＝x＋3y．……………………………7分因为点P在曲线C?上，所以x02＋2y02＝2，即(2x)2＋2(x＋3y)2＝2，从而3x2＋6xy＋9y2＝1．所以曲线C的方程为3x2＋6xy＋9y2＝1．……………………………… 10分C．选修4—4：坐标系与参数方程解：（方法一）直线l的普通方程为x－3y＋3＝0．……………………………………3分因为点P在圆C上，故设P(3＋cosθ，sinθ)，从而点P到直线l的距离d＝|3＋cosθ－3sinθ＋3|12＋(－3)2＝|23－2sin(θ－π6)|2．…………………… 7分所以d min＝3－1．即点P到直线l的距离的最小值为3－1．………………………………10分(方法二)直线l的普通方程为x－3y＋3＝0． (3)分圆C的圆心坐标为(3，0)，半径为1．从而圆心C到直线l的距离为d＝|3－0＋3|12＋(－3)2＝3．………………………… 6分所以点P到直线l的距离的最小值为3－1．………………………… 10分D．选修4—5：不等式选讲证明：因为a，b是正数，且a＋b＝1，所以(ax＋by)(bx＋ay)＝abx2＋(a2＋b2)xy＋aby2＝ab(x2＋y2)＋(a2＋b2)xy ……………………………≥ab?2xy＋(a2＋b2)xy ……………………………… 8分实用文档文案大全＝(a＋b)2xy ＝xy即(ax＋by)(bx＋ay)≥xy成立． (10)分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题设，知B(2，3，0)，A1(2，0，5)，C(0，3，0)，C1(0，3，5)．因为CE→＝λCC1→，所以E(0，3，5λ)．从而EB→＝(2，0，－5λ)，EA1→＝(2，－3，5－5λ)．…… 2分当∠BEA1为钝角时，cos∠BEA1＜0，所以EB→·EA1→＜0，即2×2－5λ(5－5λ)＜0，解得15＜λ＜45．即实数λ的取值范围是(15，45)． (5)分（2）当λ＝25时，EB→＝(2，0，－2)，EA1→＝(2，－3，3)．设平面BEA1的一个法向量为n1＝(x，y，z)，由?????n1·EB→＝0，n1·EA1→＝0 得???2x－2z＝0，2x－3y＋3z＝0，取x＝1，得y＝53，z＝1，所以平面BEA1的一个法向量为n1＝(1，53，1)． (7)分易知，平面BA1B1的一个法向量为n2＝(1，0，0)．因为cos< n1，n2>＝n1·n2| n1|·| n2|＝1439＝34343，从而|cosθ34343．……………………………………10分23．解：（1）因为P(X＝10)＝1C25＝110，P(X＝5＝C13C25＝310，P(X＝2)＝C23C2＝310，P(X＝0) ＝C13C25＝31，（第22题图） xyz ABCDEA1B1C1D1实用文档文案大全所以X的概率分布表为：X 10 5 2 0 P110 310 310 310…………………………… 4分从而E(X)＝10?110＋5?310＋2?310＋0?310＝3.1元．…………………………… 6分（2）记该顾客一次摸球中奖为事件A，由（1）知，P(A)＝710，从而他两次摸球中至少有一次中奖的概率P＝1－[1－P(A)]2＝91100．答：他两次摸球中至少有一次中奖的概率为 91100． (10)分．。

【高考调研】2015年江苏南京高三数学调研试卷一、填空题（共14小题；共70分）1. 函数的最小正周期为______．2. 已知复数，其中是虚数单位，则 ______．3. 某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为的样本，则应从高一年级抽取______ 名学生．4. 从甲、乙、丙、丁位同学中随机选出名代表参加学校会议，则甲被选中的概率是______．5. 已知向量，．若，则实数 ______．6. 图中是一个算法流程图，则输出的值是______．7. 已知双曲线（，）的渐近线方程为，则该双曲线的离心率为______．8. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的高是______．9. 设，若函数在区间内有零点，则实数的取值范围为______．10. 在中，角，，所对边的长分别为，，．已知，，则 ______．11. 若是上的单调函数，则实数的取值范围为______．12. 数列的前项和为，若，（，），则 ______．13. 在平面直角坐标系中，已知圆，点，在圆上，且，则的最大值是______．14. 已知函数，其中为自然对数的底，则满足的的取值范围为______．二、解答题（共12小题；共156分）15. 已知函数的图象过点．（1）求的值；（2）若，，求的值．16. 如图所示，三棱柱中，，分别为，的中点．（1）求证： 平面；（2）若，，平面平面，求证：平面．17. 已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，且，，．（1）求数列和的通项公式；（2）记，，求数列的前项和．18. 给定椭圆，称圆为椭圆的“伴随圆”．已知椭圆的离心率为，且经过点．（1）求实数，的值；（2）若过点的直线与椭圆有且只有一个公共点，且被椭圆的伴随圆所截得的弦长为，求实数的值．19. 如图（示意），公路，围成的是一块顶角为的角形耕地，其中．在该块土地中处有一小型建筑，经测量，它到公路，的距离分别为，．现要过点修建一条直线公路，将三条公路围成的区域建成一个工业园．为尽量减少耕地占用，问如何确定点的位置，使得该工业园区的面积最小?并求最小面积．20. 已知函数．（1）若，求函数的图象在处的切线方程；（2）若，试讨论方程的实数解的个数；（3）当时，若对于任意的，都存在，使得，求满足条件的正整数的取值的集合．21. 如图，是圆的切线，为切点，与圆交于点，，，垂足为．若，，求的长．22. 已知矩阵属于特征值的一个特征向量为．（1）求实数，的值；（2）若曲线在矩阵对应的变换作用下，得到的曲线为：，求曲线的方程．23. 在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），圆的参数方程为（为参数）．若点是圆上的动点，求点到直线的距离的最小值．24. 已知，是正数，且，求证：．25. 如图，已知长方体中，，，，是棱上不同于端点的点，且．（1）当为钝角时，求实数的取值范围；（2）若，记二面角的的大小为，求．26. 某商店为了吸引顾客，设计了一个摸球小游戏，顾客从装有个红球，个白球，个黑球的袋中一次随机地摸个球，设计奖励方式如下表：结果奖励红白元红黑元黑元白黑不获奖（1）某顾客在一次摸球中获得奖励元，求的概率分布表与数学期望；（2）某顾客参与两次摸球，求他能中奖的概率．答案第一部分1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.14.第二部分15. （1）因为函数的图象过点，所以，即．因为，所以．（2）由（1）得，．因为，所以．又因为，所以．所以，．从而．16. （1）取的中点，连接，．，，所以，．又在三棱柱中，，，所以，且．因为为的中点，所以，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以．因为平面，平面，所以 平面．（2）因为，为的中点，所以．因为，为的中点，所以．在三棱柱中，，所以．因为平面平面，平面平面，平面，所以平面．又因为平面，所以．因为平面，平面，，所以平面．17. （1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．由，得，，．由条件，，得方程组解得所以，，．（2）由题意知．记．则，，所以，即，．18. （1）记椭圆的半焦距为．由题意，得，，，解得，．（2）由（1）知，椭圆的方程为，圆的方程为．显然直线的斜率存在．设直线的方程为，即．因为直线与椭圆有且只有一个公共点，故方程组有且只有一组解．由得．从而．化简，得．因为直线被圆所截得的弦长为，所以圆心到直线的距离，即．由，解得， .因为，所以．19. 方法一：如图1，以为原点，为轴，建立平面直角坐标系．，故直线的方程是．设点．因为点到的距离为，故．由到直线的距离为，得，解得或（舍去），所以点．显然直线的斜率存在．设直线的方程为，．令得．由解得．设的面积为，则．由得或．当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以当时，即时，取极小值，也为最小值．答：当时，该工业园区的面积最小，最小面积为．方法二：如图1，以为原点，为轴，建立平面直角坐标系．因为，故直线的方程是．设点．因为点到的距离为，故．由到直线的距离为，得，解得或（舍去），所以点．显然直线的斜率存在．设直线的方程为，．令得．由解得．设的面积为，则．令，则，从而．因此．因为当时，，当且仅当时，此时，的最大值为，从而有最小值为．答：当时，该工业园区的面积最小，最小面积为．方法三：如图2，过点作，，垂足为，，连接．，．因为到，的距离分别为，，即，．由因为，所以．所以由可得．即因为，所以．解得．当且仅当取“”，结合解得，．所以有最小值．答：当时，该工业园区的面积最小，最小面积为．20. （1）当时，，从而．当时，，，所以函数的图象在处的切线方程为，即．（2）即为．所以，从而．此方程等价于或或所以当时，方程有两个不同的解，；当时，方程有三个不同的解，，；当时，方程有两个不同的解，．（3）当时，，，所以函数在上是增函数，且．所以当时，，，当时，因为对任意的，都存在，使得，所以．从而．所以，即，也即．因为，显然满足，而时，均不满足．所以满足条件的正整数的取值的集合为．21. 连接．设圆的半径为．是圆的切线，是圆的割线，所以．因为，，所以，解得．所以，．由是圆的切线得，故在中，因为，由面积法可知，，即．22. （1）因为矩阵属于特征值的一个特征向量为．所以，即．从而解得，．（2）由（）知，．设曲线上任一点在矩阵对应的变换作用后变为曲线上一点，则，从而因为点在曲线上，所以，即，从而．所以曲线的方程为．23. 方法一直线的普通方程为．因为点在圆上，故设，从而点到直线的距离．所以．即点到直线的距离的最小值为．方法二直线的普通方程为．圆的圆心坐标为，半径为．从而圆心到直线的距离为．所以点到直线的距离的最小值为．24. 因为，是正数，且，所以即成立．25. （1）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．，，，．因为，所以．从而，．当为钝角时，，所以，即，解得．即实数的取值范围是．（2）当时，，．设平面的一个法向量为，由得取，得，．所以平面的一个法向量为．易知，平面的一个法向量为．因为，从而．26. （1）因为，，，，所以的概率分布表为：从而元．（2）记该顾客一次摸球中奖为事件，由（1）知，，从而他两次摸球中至少有一次中奖的概率．答：他两次摸球中至少有一次中奖的概率为．第11页（共11 页）。

2015届高三年级学情调研卷数学参考答案及评分标准2014.09说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．π 2．22 3．32 4．125．5 6．35 7．2 8． 3 9．(0，94] 10．2411．[12，＋∞) 12．2－2n －1 13．8 14．(0，1) 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．（本小题满分14分）解：（1）因为函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)(0＜φ＜2π)的图象过点(π2，－2)， 所以f (π2)＝2sin(π＋φ)＝－2， 即sin φ＝1． …………………………………………… 4分因为0＜φ＜2π，所以φ＝π2． …………………………………………… 6分 （2）由（1）得，f (x )＝2cos2x ． ………………………………………… 8分因为f (α2)＝65，所以cos α＝35． 又因为－π2＜α＜0，所以sin α＝－45． …………………………………… 10分 所以sin2α＝2sin αcos α＝－2425，cos2α＝2cos 2α－1＝－725．…………………… 12分 从而sin(2α－π6)＝sin2αcos π6－cos2αsin π6＝7－24350． …………………… 14分16．（本小题满分14分）证明：（1）取A 1C 1的中点P ，连接AP ，NP ．因为C 1N ＝NB 1，C 1P ＝P A 1，所以NP ∥A 1B 1，NP ＝12A 1B 1． …………………… 2分 在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1B 1∥AB ，A 1B 1＝AB ．故NP ∥AB ，且NP ＝12AB ． 因为M 为AB 的中点，所以AM ＝12AB ． 所以NP ＝AM ，且NP ∥AM ．所以四边形AMNP 为平行四边形． 所以MN ∥AP ． ……………………………………… 4分因为AP ⊂平面AA 1C 1C ，MN ⊄平面AA 1C 1C ，所以MN ∥平面AA 1C 1C ． ……………………………………………… 6分（2）因为CA ＝CB ，M 为AB 的中点，所以CM ⊥AB ． …………………………… 8分因为CC 1＝CB 1，N 为B 1C 1的中点，所以CN ⊥B 1C 1．在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，BC ∥B 1C 1，所以CN ⊥BC ．因为平面CC 1B 1B ⊥平面ABC ，平面CC 1B 1B ∩平面ABC ＝BC ．CN ⊂平面CC 1B 1B ， 所以CN ⊥平面ABC ． …………………………………… 10分因为AB ⊂平面ABC ，所以CN ⊥AB ． …………………………………… 12分因为CM ⊂平面CMN ，CN ⊂平面CMN ，CM ∩CN ＝C ，所以AB ⊥平面CMN ． …………………………………… 14分17．（本小题满分14分）解：（1）设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ．由a ＝b ＝2，得a ＝2＋3d ，b ＝2q 3，S ＝8＋6d ．……………………………… 3分A 1 ABC B 1 C 1M N （第16题图）P由条件a 4＋b 4＝21，S 4＋b 4＝30，得方程组⎩⎨⎧2＋3d ＋2q 3＝21，8＋6d ＋2q 3＝30，解得⎩⎨⎧d ＝1，q ＝2．所以a n ＝n ＋1，b n ＝2n ，n ∈N*． ……………………………… 7分（2）由题意知，c n ＝(n ＋1)×2n ．记T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ．则T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝2×2＋3×22＋4×23＋…＋n ×2n －1＋(n ＋1)×2n ， 2 T n ＝ 2×22＋3×23＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ＋ (n ＋1)2n ＋1，所以－T n ＝2×2＋(22＋23＋…＋2n )－(n ＋1)×2n ＋1， …………………………… 11分 即T n ＝n ·2n ＋1，n ∈N*． ……………………………… 14分 18．（本小题满分16分）解：（1）记椭圆C 的半焦距为c ．由题意，得b ＝1，c a ＝32，c 2＝a 2＋b 2， 解得a ＝2，b ＝1． ……………………………………………… 4分（2）由（1）知，椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1，圆C 1的方程为x 2＋y 2＝5． 显然直线l 的斜率存在．设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，即kx －y ＋m ＝0． …………………………………… 6分因为直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点，故方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2＝1 （*） 有且只有一组解． 由（*）得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0．从而△＝(8km )2－4(1＋4k 2)( 4m 2－4)＝0．化简，得m 2＝1＋4k 2．① ………………………………………… 10分因为直线l 被圆x 2＋y 2＝5所截得的弦长为22，所以圆心到直线l 的距离d ＝5－2＝3． 即|m |k 2＋1＝3． ② ………………………………………14分由①②，解得k 2＝2，m 2＝9．因为m ＞0，所以m ＝3． ……………………………………… 16分19．（本小题满分16分）解：（方法一）如图1，以A 为原点，AB 为x因为tan α＝－2，故直线AN 的方程是y ＝－2x ．设点P (x 0，y 0)．因为点P 到AM 的距离为3，故y 0＝3．由P 到直线AN 的距离为5，得∣2x 0＋y 0∣5＝5，解得x 0＝1或x 0＝－4(舍去)， 所以点P (1，3)． ……………………………… 4分 显然直线BC 的斜率存在．设直线BC 的方程为y －3＝k (x －1)，k ∈(－2，0)．令y ＝0得x B ＝1－3k． ……………………………… 6分 由⎩⎨⎧y －3＝k (x －1)，y ＝－2x解得y C ＝6－2k k ＋2． ……………………………… 8分 设△ABC 的面积为S ，则S ＝12⋅x B ⋅y C ＝－k 2＋6k －9k 2＋2k ＝－1＋8k －9k 2＋2k． …………… 10分 由S '＝ －2(4k ＋3)(k －3)(k 2＋2k )2＝0得k ＝－34或k ＝3． 当－2＜k ＜－34时，S '＜0，S 单调递减；当－34＜k ＜0时，S '＞0，S 单调递增．… 13分 所以当k ＝－34时，即AB ＝5时，S 取极小值，也为最小值15． 答：当AB ＝5km 时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km 2．……………… 16分（方法二）如图1，以A 为原点，AB 为x 轴，建立平面直角坐标系．因为tan α＝－2，故直线AN 的方程是y ＝－2x ．设点P (x 0，y 0)．因为点P 到AM 的距离为3，故y 0＝3．由P 到直线AN 的距离为5， 得∣2x 0＋y 0∣5＝5，解得x 0＝1或x 0＝－4(舍去)， 所以点P (1，3)． ……………………………… 4分 显然直线BC 的斜率存在．设直线BC 的方程为y －3＝k (x －1)，k ∈(－2，0)． 令y ＝0得x B ＝1－3k． ……………………………… 6分由⎩⎨⎧y －3＝k (x －1)，y ＝－2x解得y C ＝6－2k k ＋2． ……………………………… 8分设△ABC 的面积为S ，则S ＝12⋅x B ⋅y C ＝－k 2＋6k －9k 2＋2k ＝－1＋8k －9k 2＋2k ． …………… 10分令8k －9＝t ，则t ∈(－25，－9)，从而k ＝t ＋98．因此S ＝－1＋t(t ＋98)2＋2×t ＋98＝－1＋64t t 2＋34t ＋225＝－1＋6434＋t ＋225t ． (13)分因为当t ∈(－25，－9)时，t ＋225t∈(－34，－30]， 当且仅当t ＝－15时，此时AB ＝5，34＋t ＋225t 的最大值为4．从而S 有最小值为15．答：当AB ＝5km 时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km 2．……………… 16分（方法三）如图2，过点P 作PE ⊥AM ，PF ⊥AN ，垂足为E 、F ，连接P A ．设AB ＝x ，AC ＝y ． 因为P 到AM ，AN 的距离分别为3，5， 即PE ＝3，PF ＝5．由S △ABC ＝S △ABP ＋S △APC＝12⋅x ⋅3＋12⋅y ⋅ 5 ＝12(3x ＋5y )． ① …… 4分 因为tan α＝－2，所以sin α＝25． 所以S △ABC ＝12⋅x ⋅y ⋅ 25． ② ……………………………………… 8分由①②可得12⋅x ⋅y ⋅ 25＝12(3x ＋5y )．即35x ＋5y ＝2xy ． ③ ………………………………………10分 因为35x ＋5y ≥2155xy ，所以 2xy ≥2155xy ．·AMNP B C（第19题图2）E F解得xy ≥155． ………………………………………13分 当且仅当35x ＝5y 取“＝”，结合③解得x ＝5，y ＝35． 所以S △ABC ＝12⋅x ⋅y ⋅ 25有最小值15．答：当AB ＝5km 时，该工业园区的面积最小，最小面积为15km 2．……………… 16分20．（本小题满分16分）解：（1）当a ＝－1，x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝－x 3＋x ＋1，从而f ′(x )＝－3x 2＋1．当x ＝1时，f (1)＝1，f ′(1)＝－2，所以函数y ＝f (x ) (x ∈[0，＋∞))的图象在x ＝1处的切线方程为y －1＝－2(x －1)， 即2x ＋y －3＝0． ………………………………………………… 3分 （2）f (x )＝g (x )即为ax 3＋|x －a |＝x 4．所以x 4－ax 3＝|x －a |，从而x 3(x －a )＝|x －a |．此方程等价于x ＝a 或⎩⎨⎧x ＞a ，x ＝1或⎩⎨⎧x ＜a ，x ＝－1． (6)分所以当a ≥1时，方程f (x )＝g (x )有两个不同的解a ，－1； 当－1＜a ＜1时，方程f (x )＝g (x )有三个不同的解a ，－1，1；当a ≤－1时，方程f (x )＝g (x )有两个不同的解a ，1． …………………………… 9分（3）当a ＞0，x ∈(a ，＋∞)时，f (x )＝ax 3＋x －a ，f ′(x )＝3ax 2＋1＞0，所以函数f (x )在(a ，＋∞)上是增函数，且f (x )＞f (a )＝a 4＞0．所以当x ∈[a ，a ＋2]时，f (x )∈[f (a )，f (a ＋2)]，1024f (x )∈[1024f (a ＋2)，1024f (a )]，当x ∈[a ＋2，＋∞)时，f (x )∈[ f (a ＋2)，＋∞)． …………………………………… 11分因为对任意的x 1∈[a ，a ＋2]，都存在x 2∈[a ＋2，＋∞)，使得f (x 1)f (x 2)＝1024， 所以[1024f (a ＋2)，1024f (a )]⊆[ f (a ＋2)，＋∞)． (13)分从而1024f (a ＋2)≥f (a ＋2)．所以f 2(a ＋2)≤1024，即f (a ＋2)≤32，也即a (a ＋2)3＋2≤32．因为a＞0，显然a＝1满足，而a≥2时，均不满足．所以满足条件的正整数a的取值的集合为{1}．……………………………………16分2015届高三年级学情调研卷数学附加题参考答案及评分标准 2014.09说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分． A ．选修4—1：几何证明选讲证明：连接AO ．设圆O 的半径为r ．因为P A 是圆O 的切线，PBC 是圆O 的割线，所以P A 2＝PC ·PB ．……………………………… 3分因为P A ＝4，PC ＝2，所以42＝2×(2＋2r )，解得r ＝3．……………… 5分 所以PO ＝PC ＋CO ＝2＋3＝5，AO ＝r ＝3． 由P A 是圆O 的切线得P A ⊥AO ，故在Rt △APO 中， 因为AQ ⊥PO ，由面积法可知，12×AQ ×PO ＝12×AP ×AO ，即AQ ＝AP ×AO PO ＝4×35＝125． …………………… 10分B ．选修4—2：矩阵与变换 解：（1）因为矩阵A ＝⎣⎡⎦⎤2b 13属于特征值λ的一个特征向量为α＝⎣⎡⎦⎤ 1－1，所以⎣⎡⎦⎤2b 13⎣⎡⎦⎤ 1－1＝λ⎣⎡⎦⎤ 1－1，即⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－b －2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－λ． ……………………… 3分 从而⎩⎨⎧2－b ＝λ，－2＝－λ．解得b ＝0，λ＝2． ………………………… 5分（第21题A 图）（2）由（1）知，A ＝⎣⎡⎦⎤2013．设曲线C 上任一点M (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用后变为曲线C '上一点P (x 0，y 0)， 则⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 0y 0＝⎣⎡⎦⎤2013⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x x ＋3y ， 从而⎩⎨⎧x 0＝2x ，y 0＝x ＋3y ．…………………………… 7分因为点P 在曲线C '上，所以x 02＋2y 02＝2，即(2x )2＋2(x ＋3y )2＝2， 从而3x 2＋6xy ＋9y 2＝1．所以曲线C 的方程为3x 2＋6xy ＋9y 2＝1． ……………………………… 10分 C ．选修4—4：坐标系与参数方程 解：（方法一）直线l 的普通方程为x －3y ＋3＝0． …………………………………… 3分 因为点P 在圆C 上，故设P (3＋cos θ，sin θ)， 从而点P 到直线l 的距离d ＝|3＋cos θ－3sin θ＋3|12＋(－3)2＝|23－2sin(θ－π6)|2． …………………… 7分所以d min ＝3－1．即点P 到直线l 的距离的最小值为3－1． ……………………………… 10分 (方法二)直线l 的普通方程为x －3y ＋3＝0． ……………………………… 3分 圆C 的圆心坐标为(3，0)，半径为1． 从而圆心C 到直线l 的距离为d ＝|3－0＋3|12＋(－3)2＝3． ………………………… 6分所以点P 到直线l 的距离的最小值为3－1． ………………………… 10分 D ．选修4—5：不等式选讲证明：因为a ，b 是正数，且a ＋b ＝1，所以(ax ＋by )(bx ＋ay )＝abx 2＋(a 2＋b 2)xy ＋aby 2＝ab (x 2＋y 2)＋(a 2＋b 2)xy …………………………… 3分 ≥ab ⋅2xy ＋(a 2＋b 2)xy ……………………………… 8分 ＝(a ＋b )2xy ＝xy即(ax ＋by )(bx ＋ay )≥xy 成立． ……………………………… 10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．22．解：（1）以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题设，知B (2，3，0)，A 1(2，0，5)，C (0，3，0)，C 1(0，3因为CE →＝λCC 1→，所以E (0，3，5λ)．从而EB →＝(2，0，－5λ)，EA 1→＝(2，－3，5－5λ)．…… 2分 当∠BEA 1为钝角时，cos ∠BEA 1＜0， 所以EB →·EA 1→＜0，即2×2－5λ(5－5λ)＜0， 解得15＜λ＜45．即实数λ的取值范围是(15，45)． …………………………………… 5分（2）当λ＝25时，EB →＝(2，0，－2)，EA 1→＝(2，－3，3)．设平面BEA 1的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·EB →＝0，n 1·EA 1→＝0 得⎩⎨⎧2x －2z ＝0，2x －3y ＋3z ＝0，取x ＝1，得y ＝53，z ＝1，所以平面BEA 1的一个法向量为n 1＝(1，53，1)． ………………………………… 7分易知，平面BA 1B 1的一个法向量为n 2＝(1，0，0)．因为cos< n 1，n 2>＝n 1·n 2| n 1|·| n 2|＝1439＝34343，从而|cos θ|＝34343． …………………………………… 10分（第22题图）23．解：（1）因为P (X ＝10)＝1C 25＝110，P (X ＝5)＝C 13C 25＝310，P (X ＝2)＝C 23C 25＝310，P (X ＝0) ＝C 13C 25＝310，所以X 的概率分布表为：…………………………… 4分从而E (X )＝10⨯110＋5⨯310＋2⨯310＋0⨯310＝3.1元． …………………………… 6分（2）记该顾客一次摸球中奖为事件A ，由（1）知，P (A )＝710，从而他两次摸球中至少有一次中奖的概率P ＝1－[1－P (A )]2＝91100．答：他两次摸球中至少有一次中奖的概率为 91100． …………………………… 10分．。

江苏省2015年高考一轮复习备考试题函数一、填空题1、（2014年江苏高考）已知函数1)(2-+=mx x x f ，若对于任意]1,[+∈m m x ，都有0)(<x f 成立，则实数m 的取值范围是 ▲ ．2、（2014年江苏高考）已知)(f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当)3,0[x 时，|212|)(2+-=x x x f a x f -=)(y 在区间]4,3[-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 ▲ ． 3、（2013年江苏高考）已知)(x f 是定义在R 上的奇函数。

当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为 。

4、（2012年江苏高考）函数x x f 6log 21)(-=的定义域为 ▲ ．5、（2012年江苏省高考）设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[11]-，上，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，其中a b ∈R ，．若1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3a b +的值为 ▲ ． 6、（2012年江苏省5分）已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ▲ ．7、（2015届江苏南京高三9月调研）设f (x )＝x 2－3x ＋a ．若函数f (x )在区间(1，3)内有零点，则实数a 的取值范围为 ▲8、（2015届江苏南通市直中学高三9月调研）已知函数23 1 ()x a x f x x a x ⎧+>⎪=⎨+⎪⎩≤，，，1，若()f x 在R 上为增函数，则实数a 的取值范围是 ▲9、（2015届江苏苏州高三9月调研）已知函数()2log 1a x f x x-=+为奇函数,则实数a 的值为 ▲ 10、（南京市2014届高三第三次模拟）已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，x 2，x ＜0， ，则关于x 的不等式f (x 2)＞f (3－2x )的解集是 ▲11、（南通市2014届高三第三次调研）已知函数()f x 对任意的x ∈R 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，2()1f x x ax =-+．若()f x 有4个零点，则实数a 的取值范围是 ▲ ．112、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））函数y =A ，函数()lg 2y x =-的定义域为B ，则A I B = ▲13、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））已知奇函数()f x 是R 上的单调函数，若函数2()()y f x f k x =+-只有一个零点，则实数k 的值是 ▲ ．14、（徐州市2014届高三第三次模拟）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≤时，2()3f x x x =--，则不等式(1)4f x x ->-+的解集是 ▲15、（徐州市2014届高三第三次模拟）已知函数1()()e x af x a x=-∈R ．若存在实数m ，n ， 使得()0f x ≥的解集恰为[],m n ，则a 的取值范围是 ▲16、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））函数f (x )＝ln x ＋1－x 的定义域为 ▲ 17、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当0≤x≤1时，f (x )＝x 2，当x ＞0时，f (x ＋1)＝f (x )＋f (1)．若直线y ＝kx 与函数y ＝f (x )的图象恰有5个不同的公共点，则实数k 的值为 ▲ 18、（2014江苏百校联考一）函数1()2sin(),[2,4]1f x x x xπ=-∈--的所有零点之和为 ．19、（南京、盐城市2014高三第一次模拟）若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在区间[0.)+∞上是单调增函数.如果实数t 满足1(ln )(ln )2(1)f t f f t+<时，那么t 的取值范围是 20、（苏锡常镇四市2014届高三3月调研（一））已知函数22(2)e ,0,()43,0,x x x x f x x x x ⎧-=⎨-++>⎩≤()()2g x f x k =+，若函数()g x 恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围为 ▲ 21、（南通市2014届高三上学期期末考试）设函数()y f x =是定义域为R ，周期为2的周期函数，且当[)11x ∈-，时，2()1f x x =-；已知函数lg ||0()10x x g x x ≠⎧⎪=⎨=⎪⎩，，，． 则函数()f x 和()g x 的图象在区间[]510-，内公共点的个数为 ． 22、（苏州市2014届高三1月第一次调研）已知22(0),()(0)x x x f x x x x ⎧+⎪=⎨-+<⎪⎩≥，则不等式2(1)12f x x -+<的解集是 ▲23、（泰州市2014届高三上学期期末考试）设函数()()f x x a x a b =--+（,a b 都是实数）．则下列叙述中，正确的序号是 ▲ ．（请把所有叙述正确的序号都填上） ①对任意实数,a b ，函数()y f x =在R 上是单调函数； ②存在实数,a b ，函数()y f x =在R 上不是单调函数； ③对任意实数,a b ，函数()y f x =的图像都是中心对称图形； ④存在实数,a b ，使得函数()y f x =的图像不是中心对称图形． 24、（江苏省扬州中学2014届高三上学期12月月考）设12()1f x x=+，11()[()]n n f x f f x +=，且(0)1(0)2n n n f a f -=+，则2014a = ▲25、、（江苏省诚贤中学2014届高三12月月考）在用二分法．．．求方程3210x x --=的一个近似解时,现在已经将一根锁定在区间(1,2)，则下一步可断定该根所在的区间为 ▲ . 26、（江苏省东海县第二中学2014届高三第三次学情调研）已知函数ln (),()xf x kxg x x==，如果关于x 的方程()()f x g x =在区间1[,]e e内有两个实数解，那么实数k 的取值范围是 ▲ .27、（江苏省阜宁中学2014届高三第三次调研）已知函数()()2log ,12,01x x f x f x x ⎧⎪=⎨<<⎪⎩≥，则()3212f ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦= ▲28、（无锡市2014届高三上学期期中）定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，2log (1)(01)()|3|1(1)x x f x x x +≤<⎧=⎨--≥⎩，则函数1()()2g x f x =-的所有零点之和为＿＿＿＿＿。

2014-2015学年度第一学期明德衡民中学9月份考试试题高三数学（文）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前考生将自己的班 级、姓名、准考证号填写在答题卡相应位置.2．答题时，用签字笔把答案写在答题卡对应位置，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答卷交回.第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.(1)若集合{}24A x x =>，B *=N ，则(A R)B = ( )(A){}21012--，，，， (B){}012，， (C){}12，(D){}1 (2)若sin 0α<，且tan 0α>，则α是 ( ) (A)第一象限角 (B)第二象限角 (C)第三象限角(D)第四象限角(3)函数)1ln(x x y -=的定义域为 ( )(A)(01)， (B)[01)， (C)(01]， (D)[01]， (4)在下列区间中，函数21()log f x x x=-的零点所在的区间是 ( ) (A)01)(， (B)12)(， (C)24)(， (D)(4)+∞， (5)若点)9(，a 在函数3xy =的图象上，则sin6a π的值为 ( )(A)12(B)2(D)1(6)下列函数中，既是偶函数又在(0)-∞，上单调递减的是 ( )(A)y x =- (B)2y x =- (C)y x = (D)y x x = (7)已知3e a =，πe b =，π3c =，则a b c ，，的大小关系为 ( ) (A)a b c << (B)c a b << (C)b a c << (D)a c b <<(8)已知函数20()20xx a x f x x -⎧⎪=⎨<⎪⎩，≥，，，若[(1)]1f f -=，则=a ( )(A)14 (B)12(C)1 (D)2 (9)已知函数(x ya c a c =-，为常数，其中0a >且1)a ≠的图象如下图所示，则下列结论成立的是( )(A)11a c >>， (B)1a >，01<c < (C)01<a <，1c > (D)01<a <，01<c <(10)已知)('x f 是函数)(x f 的导数，则“)(x f 在)(b a ，上为减函数”是“0)('<x f 在 )(b a ，内恒成立”的 ( ) (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件(11)命题“200010x x ax ∃∈-+=R ，”是假命题，则实数a 的取值范围是 ( )(A)[22]-， (B)[2+)(2]∞-∞-，， (C)(22)-， (D)(2+)(2)∞-∞-，，(12)已知函数1()3(0x f x aa -=+>，且1)a ≠的图象经过一个定点M ，且点M 在直线10mx ny +-=()00m n >>，上，则14m n+的最小值是 ( ) (A)12(B)13 (C)24(D)25第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答；第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求作答.高三文科数学试卷111第页(共页)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在题中横线上.(13)已知角α的终边经过点(34)-，，则cos α=_______． (14)若曲线ln y x x =上点P 处的切线垂直于直线20x y +=，则点P 的坐标是_______． (15)已知函数)(x f 是偶函数，且当0x <时，有x x x f 2sin 3cos )(+=，则当0>x 时， ()f x = .(16)若函数()f x 满足3()()2f x f x +=-.当[03]x ∈，时，2()21f x x =+，则(2014)f =_______． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. (17)(本小题满分12分)求函数2()(2)f x x x =-的单调区间．(18)(本小题满分12分) 已知函数1()ln 1f x x x=+-，求()f x 在21[e ]e ，上的最大值和最小值．(19)(本小题满分12分)已知函数()1(0)f x ax bx b a 2=++-≠． (I)当1a =，2b =-时，求函数()f x 的零点；(II)若对任意b ∈R ，函数()f x 恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围．(20)(本小题满分12分)设32()1f x x ax bx =+++的导数'()f x 满足'(1)2f a =，'(2)f b =-，其中常数a b ∈R ，．高三文科数学试卷211第页(共页)(I)求曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线方程； (II)设()'()e xg x f x -=，求函数()g x 的极值．(21)(本小题满分12分) 已知函数()e exxf x -=-（x ∈R ），其中e 为自然对数的底数．(I)判断函数()f x 的奇偶性与单调性；(II)是否存在实数t ，使不等式22()()0f x t f x t -+-≥对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．请考生在第(22)、(23)、(24)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号. (22)(本小题满分10分) 若函数21()e 2x f x x ax =--在R 上为增函数，求实数a 的取值范围．(23)(本小题满分10分)若sin cos θθ+= （I ）θθcos 1sin 1+； （II ）θtan ．高三文科数学试卷311第页(共页)(24)(本小题满分10分)若关于x 的不等式1x x t +-<的解集为空集，记t 取值的集合为T . （I ）求集合T ；（II ）若a b T ∈，，求证：1ab a b ++≥.2014-2015学年度第一学期明德衡民中学高三9月份考试数学（文科）答卷时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题 5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在题中横线上.高三文科数学试卷411第页(共页)（13） （14） （15） （16）三、解答题：本大题共8小题，其中第(17)～(21)题各12分，第(22～(24)题 各10 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）( 本小题满分12分)（18）（本小题满分12分）高三文科数学试卷511第页(共页)（19）（本小题满分12分）（20）（本小题满分12分）高三文科数学试卷611第页(共页)（21）（本小题满分12分）请考生在第（22)、（23)、(24)题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号. （本小题满分10分）高三文科数学试卷711第页(共页)2014-2015学年度第一学期明德衡民中学高三9月份考试数学（文科）答案时量：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题 5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在题中横高三文科数学试卷811第页(共页)线上. （13）35（14）(e e)， （15） cos3sin 2x x - （16）3 三、解答题：本大题共8小题，其中第（17）～（21）题各12分，第（22）～（24） 题各10分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）( 本小题满分12分)解： 32()44f x x x x =-+，则2'()384(32)(2)f x x x x x =-+=--. …………4分 当2x >或23x <时，'()0f x >，()f x 为增函数，得增区间为(2)+∞，和2()3-∞，； …………………………8分当223x <<时，'()0f x <，()f x 为减函数，得减区间为2(2)3，. 综上，()f x 的单调递增区间为(2)+∞，和2()3-∞，，单调递减区间为2(2)3，.……12分 （18）（本小题满分12分）解： 由()f x 得22111'()(0)x f x x x x x-=-=>. ………………………2分 当21e x <≤时，'()0f x >，()f x 为增函数， ……………………4分 当11ex <≤时，'()0f x <，()f x 为减函数， ……………………6分 ∴()f x 在1x =处有极小值1(1)ln1101f =+-=. ……………………8分又11()lne 1e 21ee f =+-=-<，222211(e )ln e 111e e f =+-=+>， ……10分 ∴()f x 在21[e ]e ，上的最大值为211e+，最小值为0. …………12分 （19）（本小题满分12分）证明： （I ） 当1a =，2b =-时，2()23f x x x =--. ……………………2分令()0f x =，即2230x x --=，解得3x =，或1x =-，从而()f x 的零点为3和1-. ………………………………………6分（II ）由题意知，关于x 的方程有两个不等实根，所以214(b 1)0b a ∆=-->，即对任意的高三文科数学试卷911第页(共页)b ∈R ，有2440b ab a -+>. …………………………9分设函数2()44g x x ax a =-+，则()g x 的图象恒在x 轴上方，从而在方程()0g x =中，有20∆<，即2(4)440a a --⨯<，得01a <<. ………………………12分（20）（本小题满分12分）解： （I ）由()f x 得2'()32f x x ax b =++， …………………………2分由'(1)2'(2)f a f b =⎧⎨=-⎩，得322124a b a a b b ++=⎧⎨++=-⎩，，解得323.a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩， …………………4分 从而323()312f x x x x =--+，2'()333f x x x =--，则5(1)2f =-，即切点为5(1)2，，由切线的斜率'(1)3k f ==-，知切线方程为53(1)2y x +=--，即6210x y +-=. ……6分 （II ）由题意知2333()ex x x g x --=，则3(3)'()e x x x g x --=. ……………………8分 当03x <≤时，'()0g x >，()g x 为增函数，当3x >或0x <时，'()0g x <，()g x 为减函数， ……………………10分∴()g x 有极大值315(3)e g =，有极小值(0)3g =-. …………………12分 （21）（本小题满分12分）解： (I) 由()f x 得()e e (e e )()x x x x f x f x ---=-=--=-，即()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数. …………………………………………………………3分又由()f x 得1'()e e x xf x =+，当x ∈R 时，'()0f x >，∴()f x 在R 上为增函数， …………………………6分(II)设存在符合题意的实数t ，使22()()0f x t f x t -+-≥对一切x ∈R 都成立，由(I) 知()f x 为奇函数，∴()()f x t f t x -=--，∴22()()f x t f t x --≥. ………8分又()f x 在R 上为增函数，∴22x t t x --≥，即220x x t t +--≥对x ∈R 恒成立，…………………………10分∴2214()0t t ∆=++≤即2(21)0t +≤，得12t =-. 故存在12t =-使22()()0f x t f x t -+-≥对一切x ∈R 都成立. ……………12分 请考生在第（22）、（23）、（24）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，做答时请写清题号.（22）（本小题满分10分）解： (I) 由()f x 得'()e x f x x a =--.∵()f x 在R 上为增函数，∴x ∈R 时，'()0f x ≥，即e 0x x a --≥，得e xa x -≤对x ∈R 恒成立. …………………4分 令()e x g x x =-，则只需min [()]a g x ≤. ……………5分由()g x 得'()e 1xg x =-.当0x >时，'()0g x >，()g x 为增函数；当0x <时，'()0g x <，()g x 为减函数. ∴()g x 有最小值(0)1g =，得1a ≤. ………………………………9分当1a =时，'()e 1x f x x =--.由()e (0)1x g x x g =-=≥知，当且仅当0x =时，'()0f x =，∴1a =符合题意，∴实数a 的取值范围是1a ≤. …………………10分（23）（本小题满分10分）解：由sin cos θθ+=2(sin cos )2θθ+=，即22sin cos 2sin cos 2θθθθ++=. 又22sin cos 1θθ+=，∴1sin cos 2θθ=. …………………3分(I)11sin cos sin cos sin cos θθθθθθ++==- ……………………5分 （II）由sin cos 1sin cos 2θθθθ⎧+=⎪⎨=⎪⎩得sin cos 2θθ==-， ……………8分 ∴sin 1cos θθ=. ……………………………………………………10分 （24）（本小题满分10分）解： (I)∵关于x 的不等式1x x t +-<的解集为空集，且1(1)1x x x x +---=≥，……………………2分∴ 1t ≤，即得{}1T t t =≤. ……………………5分 （II ）∵a b T ∈，，∴11a b ≤，≤， ……………………6分 ∴1()(1)(1)0ab a b a b b +-+=---≥， ……………………9分 ∴1ab a b ++≥，即证. ……………………10分欢迎下载，资料仅供参考!!!高三文科数学试卷1111第页(共页)。