19.1.1 第2课时 利用矩形的性质进行有关的计算与证明

19.1.2 矩形的判定(二)一、教学目标：1．理解并掌握矩形的判定方法．2．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力二、重点、难点1．重点：矩形的判定．2．难点：矩形的判定及性质的综合应用．三、例题的意图分析本节课的三个例题都是补充题，例1在的一组判断题是为了让学生加深理解判定矩形的条件，老师们在教学中还可以适当地再增加一些判断的题目；例2是利用矩形知识进行计算；例3是一道矩形的判定题，三个题目从不同的角度出发，来综合应用矩形定义及判定等知识的．四、课堂引入1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？2．矩形有哪些性质？3．矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？4．事例引入：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？看看谁的方法可行？通过讨论得到矩形的判定方法．矩形判定方法1：对角钱相等的平行四边形是矩形．矩形判定方法2：有三个角是直角的四边形是矩形．（指出：判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了．因为由四边形内角和可知，这时第四个角一定是直角．）五、例习题分析例1（补充）下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（×）（2）有四个角是直角的四边形是矩形；（√）（3）四个角都相等的四边形是矩形；（√）（4）对角线相等的四边形是矩形；（×）（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（×）（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（√）（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（×）（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（√）（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． (√)指出：（l）所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；（2）所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和判定方法证明或举反例，才能下结论．例2 （补充）已知ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积．分析：首先根据△AOB 是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD 是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值．解：∵ 四边形ABCD 是平行四边形，∴ AO=21AC ，BO=21BD ． ∵ AO=BO ，∴ AC=BD ． ∴ ABCD 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）． 在Rt△ABC 中，∵ AB=4cm ，AC=2AO=8cm ， ∴ BC=344822=-（cm ）．例3 （补充） 已知：如图（1），ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点E ，F ，G ，H ．求证：四边形EFGH 是矩形．分析：要证四边形EFGH 是矩形，由于此题目可分解出基本图形，如图（2），因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明．证明：∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ AD ∥BC ．∴ ∠DAB ＋∠ABC=180°．又 AE 平分∠DAB ，BG 平分∠ABC ，∴ ∠EAB ＋∠ABG=21×180°=90°． ∴ ∠AFB=90°．同理可证 ∠AED=∠BGC=∠CHD=90°．∴ 四边形EFGH 是平行四边形（有三个角是直角的四边形是矩形）．六、随堂练习1．（选择）下列说法正确的是（ ）．（A ）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B ）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形 （C ）对角线互相平分的四边形是矩形 （D ）对角互补的平行四边形是矩形2．已知：如图 ，在△ABC 中，∠C ＝90°， CD 为中线，延长CD 到点E ，使得 DE ＝CD ．连结AE ，BE ，则四边形ACBE 为矩形．七、课后练习1．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：⑴ 先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB ＝CD ，EF ＝GH ；⑵ 摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学道理是： ；⑶ 将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学道理是：；2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．第十四章整式的乘法与因式分解基础过关满分120分时间100分钟一．选择题（每题3分，共计30分）1．（2019 •郑州期末）下列计算正确的是（）A．a2+a2＝a4B．（2a）3＝6a3C．a9÷a3＝a3D．（﹣2a）2•a3＝4a5【答案】D【解答】A、a2+a2＝2a2，不符合题意；B、（2a）3＝8a3，不符合题意；C、a9÷a3＝a6，不符合题意；D、（﹣2a）2•a3＝4a5，符合题意；故选：D．2．（2020•卫辉市期末）已知3a＝1，3b＝2，则3a+b的值为（）A．1 B．2 C．3 D．27【答案】B【解答】∵3a×3b＝3a+b∴3a+b＝3a×3b＝1×2＝2故选：B．3．（2019 •贵池区期中）计算（）2017×（﹣1.5）2018×（﹣1）2019的结果是（）A． B． C．D．【答案】D【解答】（）2017×（﹣1.5）2018×（﹣1）2019＝（）2017×（）2018×（﹣1）．故选：D．4．计算（x﹣2）x＝1，则x的值是（）A．3 B．1 C．0 D．3或0【答案】D【解答】∵（x﹣2）x＝1，当x﹣2＝1时，得x＝3，原式可以化简为：13＝1，当次数x＝0时，原式可化简为（﹣2）0＝1，当底数为﹣1时，次数为1，得幂为﹣1，故舍去．故选：D．5．（2020•河东区期末）若（x﹣2）（x+3）＝x2+ax+b，则a，b的值分别为（）A．a＝5，b＝﹣6 B．a＝5，b＝6 C．a＝1，b＝6 D．a＝1，b＝﹣6【答案】D【解答】已知等式整理得：x2+x﹣6＝x2+ax+b，则a＝1，b＝﹣6，故选：D．6．（2019•新蔡县期中）如果一个三角形的底边长为2x2y+xy﹣y2，底边上的高为6xy，那么这个三角形的面积为（）A．6x3y2+3x2y2﹣3xy3B．6x2y2+3xy﹣3xy2C．6x2y2+3x2y2﹣y2D．6x2y+3x2y2【答案】A【解答】三角形的面积为：（2x2y+xy﹣y2）×6xy＝6x3y2+3x2y2﹣3xy3．故选：A．7．（2020•广安期末）如果代数式（x﹣2）（x2+mx+1）的展开式不含x2项，那么m的值为（）A．2 B．C．﹣2 D．【答案】A【解答】（x﹣2）（x2+mx+1）＝x3+mx2+x﹣2x2﹣2mx﹣2＝x3+（m﹣2）x2+（1﹣2m）x﹣2，因为不含x2项，所以m﹣2＝0，解得：m＝2，故选：A．8．（2020•息县期末）若x2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，那么m的值为（）A．4或﹣6 B．4 C．6或4 D．﹣6【答案】A【解答】∵x2+2（m+1）x+25是一个完全平方式，∴m+1＝±5，解得：m＝4或m＝﹣6，故选：A．9．（2020•北碚区模拟）已知a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，则△ABC是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形【答案】C【解答】移项得，a2c2﹣b2c2﹣a4+b4＝0，c2（a2﹣b2）﹣（a2+b2）（a2﹣b2）＝0，（a2﹣b2）（c2﹣a2﹣b2）＝0，所以，a2﹣b2＝0或c2﹣a2﹣b2＝0，即a＝b或a2+b2＝c2，因此，△ABC等腰三角形或直角三角形．故选：C．9．（2019•北京期末）10如图，有三种规格的卡片共9张，其中边长为a的正方形卡片4张，边长为b的正方形卡片1张，长，宽分别为a，b的长方形卡片4张．现使用这9张卡片拼成一个大的正方形，则这个大正方形的边长为（）A．2a+b B．4a+b C．a+2b D．a+3b【答案】A【解答】由题可知，9张卡片总面积为4a2+4ab+b2，∵4a2+4ab+b2＝（2a+b）2，∴大正方形边长为2a+b．故选：A．二．填空题（每题3分，共计15分）11．（2020•新乡期末）分解因式（2a﹣1）2+8a＝．【答案】（2a+1）2【解答】原式═4a2+4a+1＝（2a）2+4a+1＝（2a+1）2，故答案为：（2a+1）2．12．（2020•宁都县期末）计算：2020×2018﹣20192＝．【答案】-1【解答】2020×2018﹣20192＝（2019+1）（2019﹣1）﹣20192＝20192﹣12﹣20192＝﹣1故答案为：﹣1．13．（2020•偃师市期末）如果（x﹣2）（x2+3mx﹣m）的乘积中不含x2项，则m为．【答案】【解答】（x﹣2）（x2+3mx﹣m）＝x3+3mx2﹣mx﹣2x2﹣6mx+2m＝x3+（3m﹣2）x2﹣7mx+2m∵乘积中不含x2项，∴3m﹣2＝0，解得m．故答案为：．14．（2020•魏都区期中）甲、乙二人共同计算一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中a的符号，得到的结果为6x2+11x﹣10；由于乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为2x2﹣9x+10，则a＝；b＝．【答案】﹣5，﹣2【解答】∵甲抄错了第一个多项式中a的符号∴甲计算的式子是（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+（2b﹣3a）x+ab＝6x2+11x﹣10∴2b﹣3a＝11①∵乙漏抄了第二个多项式中x的系数∴乙计算的式子是（2x+a）（x+b）＝2x2+（2b+a）x+ab＝2x2﹣9x+10∴2b+a＝﹣9②由①②得：a＝﹣5，b＝﹣2故答案为：﹣5，﹣2．15．（2020•伊犁州期末）对于实数a，b，c，d，规定一种运算ad﹣bc，如1×（﹣2）﹣0×2＝﹣2，那么当27时，则x＝22 ．【答案】22【解答】∵27，∴（x+1）（x﹣1）﹣（x+2）（x﹣3）＝27，∴x2﹣1﹣（x2﹣x﹣6）＝27，∴x2﹣1﹣x2+x+6＝27，∴x＝22；故答案为：22．三．解答题（共75分）16．（8分）（2020中原区月考）因式分解：（1）4（a﹣b）2﹣16（a+b）2；（2）（a﹣b）2+3（a﹣b）（a+b）﹣10（a+b）2．解：（1）原式＝4[（a﹣b）2﹣4（a+b）2]＝4[（a﹣b）+2（a+b）][（a﹣b）﹣2（a+b）]＝4（3a+b）（﹣a﹣3b）＝﹣4（3a+b）（a+3b）；（2）原式＝[（a﹣b）﹣2（a+b）][（a﹣b）+5（a+b）]＝（﹣a﹣3b）（6a+4b）＝﹣2（a+3b）（3a+2b）．17．（9分）（2020 •新泰市期中）已知多项式（x2+px+q）（x2﹣3x+2）的结果中不含x3项和x2项，求p和q的值．解：∵（x2+px+q）（x2﹣3x+2）＝x4﹣3x3+2x2+px3﹣3px2+2px+qx2﹣3qx+2q＝x4﹣（3﹣p）x3+（2﹣3p+q）x2+2px﹣3qx+2q由多项式（x2+px+q）（x2﹣3x+2）的结果中不含x3项和x2项，∴3﹣p＝0，2﹣3p+q＝0，解得：p＝3，q＝7．18．（9分）（2019•普兰店区期末）已知：a+b＝5，ab＝4．（1）求a2+b2的值；（2）若a＞b，求a﹣b的值；（3）若a＞b，分别求出a和b的值．解：（1）∵a+b＝5，ab＝4，∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17；（2）∵（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝17﹣8＝9，∴a﹣b＝±3，又∵a＞b，∴a﹣b＝3；（3）由（2）得a﹣b＝3，解方程组，解得．19．（9分）（2020•兰考县期中）有两根同样长的铁丝，一根围成正方形，另一根围成长为2x，宽为2y的长方形．（1）用代数式表示正方形与长方形的面积之差，并化简结果；（2）若x≠y，试说明正方形与长方形面积哪个大．解：（1）长方形的周长为2（2x+2y）＝4（x+y）．∵两根同样长的铁丝，一根围成正方形，另一根围成长为2x，宽为2y的长方形．∴正方形的边长为x+y，∴正方形与长方形的面积之差为（x+y）2﹣4xy＝（x﹣y）2．答：正方形与长方形的面积之差为（x﹣y）2．（2）∵x≠y，∴（x﹣y）2＞0，∴正方形的面积大于长方形面积．20．（9分）（2018•镇平县期中）如图，一块长5厘米、宽2厘米的长方形纸板．一块长4厘米、宽1厘米的长方形纸板，一块正方形以及另两块长方形纸板，恰好拼成一个大正方形．问大正方形的面积是多少？解：设小正方形的边长为x，依题意得1+x+2＝4+5﹣x，解得x＝3，∴大正方形的边长为6厘米，∴大正方形的面积是36平方厘米，答：大正方形的面积是36平方厘米．21．（10分）（2020•兰考县期末）阅读：已知a、b、c为△ABC的三边长，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判断△ABC的形状．解：因为a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，①所以c2（a2﹣b2）＝（a2﹣b2）（a2+b2）．②所以c2＝a2+b2．③所以△ABC是直角三角形．④请据上述解题回答下列问题：（1）上述解题过程，从第步（该步的序号）开始出现错误，错的原因为；（2）请你将正确的解答过程写下来．解：（1）上述解题过程，从第③步开始出现错误，错的原因为：忽略了a2﹣b2＝0的可能；（2）正确的写法为：c2（a2﹣b2）＝（a2+b2）（a2﹣b2），移项得：c2（a2﹣b2）﹣（a2+b2）（a2﹣b2）＝0，因式分解得：（a2﹣b2）[c2﹣（a2+b2）]＝0，则当a2﹣b2＝0时，a＝b；当a2﹣b2≠0时，a2+b2＝c2；所以△ABC是直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．故答案为：③，忽略了a2﹣b2＝0的可能．22．（10分）（2020•连山区期末）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式x2﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m＝（x+3）（x+n）则x2﹣4x+m＝x2+（n+3）x+3n∴．解得：n＝﹣7，m＝﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21问题：仿照以上方法解答下面问题：已知二次三项式2x2+3x﹣k有一个因式是（2x﹣5），求另一个因式以及k的值．解：设另一个因式为（x+a），得2x2+3x﹣k＝（2x﹣5）（x+a）则2x2+3x﹣k＝2x2+（2a﹣5）x﹣5a∴解得：a＝4，k＝20故另一个因式为（x+4），k的值为2023．（11分）（2020 •江阴市期中）从边长为a的正方形剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．（1）上述操作能验证的等式是（请选择正确的一个）A．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2B．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）C．a2+ab＝a（a+b）（2）若x2﹣9y2＝12，x+3y＝4，求x﹣3y的值；（3）计算：（1）（1）（1）…（1）（1）解：（1）∵边长为a的正方形面积是a2，边长为b的正方形面积是b2，剩余部分面积为a2﹣b2；图（2）长方形面积为（a+b）（a﹣b）；∴验证的等式是a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）故答案为：B．（2）∵x2﹣9y2＝（x+3y）（x﹣3y）＝12，且x+3y＝4∴x﹣3y＝3（3）（1）（1）（1）…（1）（1）＝（1）（1）（1）（1）…（1）（1）第3课时 分式方程的应用1．能将实际问题中的等量关系用分式方程表示，体会分式方程的模型作用． 2．使学生经历“实际问题—分式方程模型—求解—解释解的合理性”的过程． 3．学会举一反三，进一步提高分析问题与解决问题的能力．重点能将实际问题中的等量关系用分式方程表示． 难点寻求实际问题中的等量关系，寻求不同的解决问题的方法．一、复习导入1．解分式方程有哪些步骤？2．解分式方程： x ＋1x －1－4x 2－1＝1.3．列一元一次方程解应用题的一般步骤有哪些？ 二、探究新知1．课件出示教材第129页“做一做”．处理方式：小组讨论，教师巡回指导，师生共同总结． 解：(1)等量关系：①第二年每间房屋的租金＝第一年每间房屋的租金＋500元． ②第一年租出的房屋间数＝第二年租出的房屋间数．③出租房屋的间数＝所有出租房屋的租金÷每间房屋的租金． (2)①求出租房屋的总间数；②分别求这两年每间房屋的租金． (3)方法一：解：设第一年每间房屋的租金为x 元，第二年每间房屋的租金为(x ＋500)元．第一年出租的房屋为96 000x 间，第二年出租的房屋为102 000x ＋500间，根据题意，得96 000x＝102 000x ＋500.解得x ＝8 000.经检验，x ＝8 000是原分式方程的解，也符合题意． x ＋500＝8 500(元)．所以这两年每间房屋的租金分别为8 000元，8 500元． 方法二：解：设每年各有x 间房屋出租，那么第一年每间房屋的租金为96 000x元，第二年每间房屋的租金为102 000x 元，根据题意，得102 000x ＝96 000x＋500.解这个方程，得x ＝12.经检验，x ＝12是原方程的解，也符合题意． 所以每年各有12间房屋出租．102 000÷12＝8 500(元)，96 000÷12＝8 000(元)． 所以这两年每间房屋的租金分别为8 000元，8 500元． (教师强调：解分式方程应用题时一定要检验．) 三、举例分析例 某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨13.小丽家去年12月的水费是15元，而今年7月的水费则是30元．已知小丽家今年7月的用水量比去年12月的用水量多5立方米，求该市今年居民用水的价格．处理方式：审清题意，找出题中的等量关系．思考：列分式方程解应用题的一般步骤有哪些？处理方式：先引导学生思考这个问题，小组交流，学生回答并相互补充，教师多媒体展示．(1)审：分析题意，找出数量关系和相等关系．(2)设：选择恰当的未知数，注意单位和语言完整．(3)列：根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程．(4)解：认真仔细．(5)验：有两次检验．(6)答：注意单位和语言完整．四、练习巩固1．某化肥厂计划在x天内生产化肥120吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，那么适合x的方程是( )A.120x＋3＝180xB.120x＋3＝180xC.120x＝180x＋3D.120x＝180x＋32.全民健身活动中，组委会组织了长跑队和自行车队进行宣传，全程共10千米，自行车队的速度是长跑队的速度的2.5倍，自行车队出发半小时后，长跑队才出发，结果长跑队比自行车队晚到了2小时，如果设长跑队跑步的速度为x千米/时，那么根据题意可列方程为( )A.10x＋2＝102.5x＋12B.102.5x－10x＝2－0.5C.10x－102.5x＝2－0.5 D.10x－102.5x＝2＋0.5五、课堂小结通过本堂课的学习，你学到了哪些知识？你学会了哪些数学方法？六、课外作业1．教材第129页“随堂练习”．2．教材第130页习题5.9第1、2、3题．本节课教学列分式方程解决实际问题，这个内容是在学生已经认识了解分式方程、列一元一次方程解决实际问题的基础上进行教学的．教学列分式方程解决实际问题，需要引导学生在解决问题的过程中，进一步掌握分式方程的解法，积累分析数量关系以及把实际问题抽象为方程的经验，进而适时地把获得的知识和方法应用于解决其他一些类似的问题．。

华师大版八下数学19.1.1矩形及其性质说课稿一. 教材分析华师大版八下数学19.1.1矩形及其性质这一节主要介绍了矩形的定义、性质和判定。

教材从生活实例出发，引导学生探究矩形的性质，并通过几何图形和逻辑推理来证明矩形的性质。

教材还提供了丰富的练习题，帮助学生巩固矩形的性质和应用。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了三角形、四边形等基本几何图形，对图形的性质和判定有一定的了解。

但是，学生对矩形的性质和判定可能还比较陌生，需要通过实例和推理来逐步理解和掌握。

此外，学生可能对证明题和应用题的解决方法还不够熟练，需要教师的引导和启发。

三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解矩形的定义，掌握矩形的基本性质和判定方法。

2.过程与方法：学生通过观察、推理和证明，培养空间想象能力和逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：学生培养对数学的兴趣和自信心，培养合作和探究的精神。

四. 说教学重难点1.教学重点：矩形的性质和判定。

2.教学难点：矩形的判定方法，特别是通过几何图形的推理和证明。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、合作探究的教学方法，引导学生主动参与课堂讨论和实践活动。

2.教学手段：利用多媒体课件和几何画板等软件，展示矩形的性质和判定过程，帮助学生直观理解。

六. 说教学过程1.导入：通过生活实例引入矩形的概念，让学生直观感受矩形的存在。

2.新课导入：介绍矩形的定义和性质，引导学生通过观察和推理来发现矩形的性质。

3.合作探究：学生分组讨论，通过实践活动和几何画板软件来探索矩形的判定方法。

4.讲解与证明：教师引导学生进行逻辑推理和证明，解释矩形的性质和判定方法。

5.练习与巩固：学生进行练习题，巩固矩形的性质和应用。

6.总结与拓展：教师引导学生总结矩形的性质和判定方法，并提供一些拓展问题，激发学生的思考。

七. 说板书设计板书设计应包括矩形的定义、性质和判定方法。

可以用简洁的语言和图示来展示矩形的特点和判定规则，方便学生理解和记忆。

19.1.1第2课时矩形性质的应用知识点1利用矩形的性质计算角的度数1.如果矩形的两条对角线所夹锐角为44°,那么对角线与相邻两边所夹的角的度数分别是()A.22°,68°B.44°,66°C.24°,66°D.40°,50°2.在矩形ABCD中,过点D作DE⊥AC于点E.若∠ADE∶∠EDC=3∶2,则∠BDE的度数为()A.36°B.9°C.27°D.18°3.如图在矩形ABCD中,连结AC,延长BC至点E,使BE=AC,连结DE.若∠BAC=40°,则∠E的度数是.知识点2利用矩形的性质计算线段的长度4.[2019·眉山]如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E,交BC于点F,则DE的长是()A.1B.C.2D.5.如果矩形的一个内角的平分线把矩形的一边分成了3 cm和5 cm的两部分,那么矩形的较短边长为()A.3 cmB.5 cmC.3 cm或5 cmD.以上都不对6.[教材例3变式]如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,CE垂直平分DO,AB=1,则BE 的长度为()A.B.C.D.27.如图在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,点M在边CD上.若MA平分∠DMB,则DM的长是.8.如图在矩形ABCD中,AB=6,AD=10.以点B为圆心,线段BA长为半径画弧,交BC于点E;以点D为圆心,线段DA长为半径画弧,交BC于点F.求EF的长.知识点3利用矩形的性质解决与面积有关的问题9.[教材练习第1题变式]如图,四边形ABCD和四边形BDEF均为矩形,点A在EF边上,设矩形ABCD和矩形BDEF的面积分别为S1,S2,则S1与S2的大小关系为()A.S1=S2B.S1>S2C.S1<S2D.3S1=2S210.如图,矩形ABCD的对角线的交点为O,EF过点O且分别交AB,CD于点E,F,则图中阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的()A.B.C.D.11.如图在矩形ABCD中,AD=8,对角线AC与BD交于点O,OE⊥AC交BC于点E,CE=5,则矩形ABCD的面积为.12.如图,在矩形ABCD中,AB=6 cm,BC=3 cm,E是CD的中点,BF=FC,则四边形DBFE的面积为.13.如图,将矩形纸片ABCD沿BD折叠,使点C落在点C'处,BC'交AD于点E.若∠DBC=22.5°,则在不添加任何辅助线的情况下,图中等腰三角形(虚线也视为角的边)共有()A.2个B.3个C.4个D.5个14.如图,在矩形ABCD中,E为AD上一点,EF⊥CE,交AB于点F,DE=2,矩形的周长为16,且CE=EF.求AE的长.15.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,CE,AF分别交BD于G,H两点.求证:(1)四边形AFCE是平行四边形;(2)EG=FH.16.某研究性学习小组在探究矩形时,将一块三角板的直角顶点绕着矩形ABCD(AB<BC)的对角线交点O旋转(如图,图中M,N分别为三角板的直角边与矩形ABCD的边CD,BC的交点.(1)该学习小组中的一名成员意外地发现:在图①(三角板的一直角边与OD重合)中,BN2=CD2+CN2;在图③(三角板的一直角边与OC重合)中,CN2=BN2+CD2.请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由.(2)试探究图②中BN,CN,CM,DM这四条线段之间的关系,写出你的结论,并说明理由.教师详解详析1.A[解析] 根据矩形的对角线相等且互相平分,四个角为直角求解.2.D[解析] 如图,∵∠ADE∶∠EDC=3∶2,∠ADC=90°,∴∠ADE=54°,∠EDC=36°.又∵DE⊥AC,∴∠DCE=90°-36°=54°.∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD=54°,∴∠BDE=∠ODC-∠EDC=54°-36°=18°.故选D.3.65°[解析] 连结BD,与AC交于点O.∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB,∴∠ABD=∠BAC=40°,∴∠DBE=90°-∠ABD=90°-40°=50°.∵AC=BD,AC=BE,∴BD=BE,∴在△BDE中,∠E=(180°-∠DBE)=×(180°-50°)=65°.4.B[解析] 连结CE,如图所示.∵四边形ABCD是矩形,∴∠ADC=90°,CD=AB=6,AD=BC=8,OA=OC.∵EF⊥AC,∴AE=CE.设DE=x,则CE=AE=8-x.在Rt△CDE中,由勾股定理,得x2+62=(8-x)2,解得x=,即DE=.故选B.5.C6.A[解析] ∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OB=OD=OC.∵CE垂直平分OD,∴OC=CD,OE=DE=OD,∴OC=OD=OB=1,则OE=,∴BE=1+=.故选A.7.2-[解析] ∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC=1,CD=AB=2.∵MA平分∠DMB,∴∠AMD=∠AMB.又∵AB∥CD,∴∠AMD=∠MAB,∴∠AMB=∠MAB,∴BM=AB=2.在Rt△BMC中,CM==,∴DM=CD-CM=2-.故答案为2-.8.解:如图,连结DF.∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD=6,AD=BC=10.∵以点B为圆心,线段BA长为半径画弧,交BC于点E,∴BE=6.∵以点D为圆心,线段DA长为半径画弧,交BC于点F,∴DF=10.在Rt△DFC中,CF===8.∵EF=BE+CF-BC,∴EF=6+8-10=4.9.A[解析] ∵S1=2S△ABD,S△ABD=S2,∴S1=S2.故选A.10.B[解析] ∵矩形ABCD的边AB∥CD,∴∠ABO=∠CDO.在矩形ABCD中,OB=OD.在△BOE和△DOF中,∵∠ABO=∠CDO,OB=OD,∠BOE=∠DOF,∴△BOE≌△DOF(A.S.A.),∴S△BOE=S△DOF,∴阴影部分的面积=S△AOB=S矩形ABCD.故选B.11.32[解析] 连结AE.∵四边形ABCD是矩形,∴OA=OC,∠ABC=90°,BC=AD=8,∴BE=BC-CE=3.∵OE⊥AC,∴AE=CE=5,∴AB===4,∴矩形ABCD的面积=AB·BC=8×4=32.故答案为32.12.6 cm2[解析] ∵在矩形ABCD中,AB=6 cm,E是CD的中点,∴∠C=90°,AB=DC=6 cm,DE=CE=3 cm.∵BC=3 cm,BF=FC,∴CF=2 cm,BF=1 cm,∴四边形DBFE的面积=S△BDC-S△CEF=×6×3-×3×2=6(cm2).故答案为6 cm2.13.B[解析] 由矩形的性质,得∠ABC=∠A=∠C=90°,AD∥BC,∴∠BDE=∠DBC=22.5°,由折叠的性质,得∠C'BD=∠DBC=22.5°.∠C'=∠C=90°,∴∠CBC'=45°,∠C'BD=∠BDE,∴∠ABE=45°,∴△ABE,△BDE是等腰三角形,∴∠C'ED=∠AEB=45°,∴△C'DE是等腰直角三角形,∴图中的等腰三角形共有3个.故选B.14.解:∵四边形ABCD为矩形,∴∠A=∠D=90°,∴∠CED+∠DCE=90°.∵EF⊥CE,∴∠CEF=90°,∴∠CED+∠AEF=90°,∴∠DCE=∠AEF.又∵CE=EF,∴△DCE≌△AEF,∴CD=AE.由题意可知2(AE+DE+CD)=16且DE=2,∴2AE=6,∴AE=3.15.[解析] (1)根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可;(2)证明EG和FH所在的△DEG,△BFH全等即可.证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AD=BC,即AE∥CF.∵E,F分别是AD,BC的中点,∴AE=AD,CF=BC,∴AE=CF,∴四边形AFCE是平行四边形.(2)由(1)可知,DE=BF.∵四边形AFCE是平行四边形,∴CE∥AF,∴∠DGE=∠DHA=∠BHF.∵AD∥BC,∴∠EDG=∠FBH.在△DEG和△BFH中,∵∠DGE=∠BHF,∠EDG=∠FBH,DE=BF,∴△DEG≌△BFH,∴EG=FH.16.解:(1)选择不唯一,如选图①.如图①,连结DN.∵四边形ABCD是矩形,∴OB=OD.∵∠DON=90°,∴BN=DN.∵∠BCD=90°,∴DN2=CD2+CN2,∴BN2=CD2+CN2.(2)BN2+DM2=CM2+CN2.理由:如图②,延长NO交AD于点P,连结PM,MN.∵四边形ABCD是矩形,∴OD=OB,AD∥BC,∴∠DPO=∠BNO,∠PDO=∠NBO.在△BON和△DOP中,∵∠NBO=∠PDO,∠BNO=∠DPO,OB=OD,∴△BON≌△DOP(A.A.S.),∴ON=OP,BN=PD.∵∠MON=90°,∴PM=MN.∵∠ADC=∠BCD=90°,∴PM2=PD2+DM2,MN2=CM2+CN2,∴PD2+DM2=CM2+CN2,∴BN2+DM2=CM2+CN2.。

19.1.2 矩形的判定(二)一、教学目标：1．理解并掌握矩形的判定方法．2．使学生能应用矩形定义、判定等知识，解决简单的证明题和计算题，进一步培养学生的分析能力二、重点、难点1．重点：矩形的判定．2．难点：矩形的判定及性质的综合应用．三、预习导学1．什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？2．矩形有哪些性质？3．矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？4．事例引入：小华想要做一个矩形像框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有什么办法可以检测他做的是矩形像框吗？看看谁的方法可行？通过自学讨论得到矩形的判定方法．矩形判定方法1：矩形判定方法2：（指出：判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了．因为由四边形内角和可知，这时第四个角一定是直角．）四、例习题分析例1（补充）下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？（1）有一个角是直角的四边形是矩形；（×）（2）有四个角是直角的四边形是矩形；（√）（3）四个角都相等的四边形是矩形；（√）（4）对角线相等的四边形是矩形；（×）（5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；（×）（6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形；（√）（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形；（×）（8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（√）（9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形．(√)指出：（l）所给四边形添加的条件不满足三个的肯定不是矩形；（2）所给四边形添加的条件是三个独立条件，但若与判定方法不同，则需要利用定义和判定方法证明或举反例，才能下结论．例2 （补充）已知ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△AOB是等边三角形，AB=4 cm，求这个平行四边形的面积．分析：首先根据△AOB是等边三角形及平行四边形对角线互相平分的性质判定出ABCD是矩形，再利用勾股定理计算边长，从而得到面积值．解：例3 （补充）已知：如图（1），ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H．求证：四边形EFGH是矩形．分析：要证四边形EFGH是矩形，由于此题目可分解出基本图形，如图（2），因此，可选用“三个角是直角的四边形是矩形”来证明．证明：五、随堂练习1．（选择）下列说法正确的是（）．（A）有一组对角是直角的四边形一定是矩形（B）有一组邻角是直角的四边形一定是矩形（C）对角线互相平分的四边形是矩形（D）对角互补的平行四边形是矩形2．已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°， CD为中线，延长CD到点E，使得DE＝CD．连结AE，BE，则四边形ACBE为矩形．六、课后练习1．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行：⑴先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB＝CD，EF＝GH；⑵摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是形，根据的数学道理是：；⑶将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是形，根据的数学道理是：；2．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度数．七、小结：八、作业：九、反思：。

矩形的性质与计算矩形是一种常见的几何形状，它具有独特的性质和计算方法。

本文将介绍矩形的性质、计算公式和实际应用，帮助读者了解并掌握这一几何形状的特点。

一、矩形的定义和性质矩形是一个四边形，其四个内角都是直角(90度)，且相对边长相等。

以下是一些矩形的性质：1. 对角线的关系：矩形的对角线相等且互相平分。

证明：设矩形的长度为a，宽度为b。

连接矩形的相对顶点，得到两条对角线。

根据勾股定理，对角线的长度为√(a²+b²)。

由于相对边长相等，所以a=b。

因此，对角线长度相等。

2. 内角关系：矩形的内角都是直角(90度)。

证明：对于一个矩形，每个内角是直角(90度)。

可以通过叠加两个直角三角形的方法进行证明。

3. 边长关系：矩形的相对边长相等。

证明：设矩形的长度为a，宽度为b。

根据定义，矩形的边长为a和b。

由于矩形的内角都是直角，所以相对边的长度相等，即a=b。

二、矩形的计算方法1. 矩形的周长：矩形的周长等于两条长度相等的边长之和的两倍。

公式：周长 = 2 × (长度 + 宽度)2. 矩形的面积：矩形的面积等于长度乘以宽度。

公式：面积 = 长度 ×宽度3. 对角线的长度：矩形的对角线长度可以通过勾股定理计算。

公式：对角线长度= √(长度² + 宽度²)三、矩形的实际应用由于矩形在几何形状中的特殊性质，它被广泛应用于各个领域。

1. 建筑设计：矩形是建筑设计中常见的形状，例如建筑物的房间、窗户和门等往往采用矩形的设计。

2. 地板铺装：在地板铺装中，矩形的地砖是最常见的选择之一。

通过矩形地砖的拼接，可以创造出各种美观的图案。

3. 测量和制图：矩形的性质和计算公式在测量和制图中非常有用。

例如，在室内设计中，通过准确测量房间的矩形形状，可以为家具和装饰物的摆放提供参考。

4. 计算机图形学：在计算机图形学中，矩形是最基本的几何形状之一。

通过矩形的性质和计算公式，可以实现矩形的绘制、变换和碰撞检测等操作。