【配套K12】[学习]七年级数学上册 第6章 图形的初步知识 6.7 角的和差分层训练 (新版)浙教

七年级数学6章知识点七年级数学的第六章主要涉及到三个部分：平面图形的认识、定理与推论、空间图形的认识。

这些内容都是数学中非常基础的概念，是后续学习的重要基石。

本文将逐一介绍这些知识点，并尽可能用通俗易懂的语言来让学生掌握这些基础知识。

一、平面图形的认识平面图形是指在平面上展开的图形，包括三角形、四边形、多边形等。

其中三角形是最基本的平面图形，是由三条线段连接成的一个三角形；四边形则是由四条线段连接成的四边形。

多边形则是由多条线段连接成的多边形，如五边形、六边形等。

除了基础的三角形、四边形和多边形之外，还有一些特殊的平面图形，如圆形、椭圆形等。

其中圆形是指由一个圆心和圆周上所有点组成的图形，而椭圆则是由两个焦点和其距离之和为常数的所有点组成的图形。

二、定理与推论在平面图形中，有很多定理和推论，用来描述不同图形之间的关系。

其中一些比较重要的定理和推论包括：1.相等定理相等定理主要是用于判断两个图形是否相等。

包括：全等三角形的判定、等腰三角形的判定、等角三角形的判定等。

2.平行定理平行定理是用来判断两条直线是否平行。

其中包括平行线性质、平行四边形性质等。

3.垂直定理垂直定理主要是用来判断两条直线是否垂直。

包括垂线性质、垂直平分线等。

4.中线定理中线定理是用于描述三角形中线特点的。

其中包括中线定理、三角形中位线定理等。

三、空间图形的认识空间图形是指存在于三维空间中的图形，包括球体、长方体、正方体等。

其中球体是最基本的空间图形，是由一个球心和球面上的所有点组成的图形；长方体则是由长方体的六个面所组成的图形；而正方体则是从长方体中特殊的一种，所有的面都是正方形。

四、结语七年级数学的第六章知识点，主要涉及到了平面图形的认识、定理与推论、空间图形的认识等方面。

这些知识点是数学中非常基础的概念，但是也是非常重要的基础。

希望各位同学在学习的过程中认真掌握这些基础知识，以便更好地应对后续的学习和考试。

6.7 角的和差教学目标1、引导学生理解角的和差的概念，学会计算角的和差，学会用量角器作两个角的和差；理解角的平分线的概念，会用量角器画一个角的平分线。

2、使学生学会利用角的和差及角的平分线进行有关的简单计算。

教学重难点角的和差及角的平分线的简单计算教学过程一、复习引入复习角的大小比较，用线段的和差引出角的和差：一般地，如果一个角的度数是另两个角的度数之和，那么这个角叫做另两个角的和；如果一个角的度数是另两个角的度数之差，那么这个角叫做另两个角的差。

二、新知学习1、例1：已知∠1与∠2（如图），用量角器作∠1与∠2的和.（让学生自己利用课本试着做一下）2、下面请大家各自在纸上任意画一个∠BOA，再完成书上的做一做。

你们发现了什么？（∠AOC=∠BOC）像刚才这条折痕，它是由角的顶点出发，把原来的角分成两个相等的角。

那么这条射线叫做这个角的角平分线说明：①板书定义及几何语言描述②强调“射线”问：你们能用量角器画出一个角的角平分线吗？下面请大家完成课本162页的课内练习2（学生板演）3、出示：课本例2的图6-40，（1）根据图形填空：①∠DBA=∠DBC+②∠DBC=∠DBP- =∠DBA-③∠DBP+∠ABC-∠ABD=（2）变式：Ⅰ：如图若∠ABC=90º，∠CBD=30º，你能求出哪些角的度数？Ⅱ：若在Ⅰ的条件下再添上BP平分∠ABD，你还能求出哪些角的度数？4、探究活动：利用一副三角板，你能画出哪些度数的角？说明：学生小组合作学习后，教师再利用多媒体动画逐一演示过程及结论：15 º、30 º、45 º、60 º、75 º、90 º、105 º、135 º、150 º、180 º。

5、随堂演练板书或者课件演示习题三、知识小结通过本节课的学习，你学到了哪些知识？你还有什么疑问？（学生回答）四、课堂作业五、课后作业。

浙教版2019－2020学年度七年级数学上册第6章图形的初步知识6.7 角的和差【知识清单】1.两个角的和：一般地，如果一个角的度数是另两个角的度数的和，那么这个角就叫做另两个角的和；2.两个角的差：一般地，如果一个角的度数是另两个角的度数的差，那么这个角就叫做另两个角的差.3.角的平分线：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.4.角的三等分线：从一个角的顶点出发的两条射线，如果把这个角分成三个相等的角，这两条射线就叫这个角的三等分线.5.角的四等分线：从一个角的顶点引出三两条射线，把这个角分成四个相等的角，这些射线叫做这个角的四等分线.6.同样也可以定义角的五等分线，角的六等分线，角的n等分线.【经典例题】例题1、下列说法中正确的是A．两个锐角相加一定是直角B．比锐角大的角一定钝角C．钝角与锐角的差一定小于直角D．钝角与直角的差一定是锐角【考点】角的和差与角的大小比较．【分析】根据钝角、直角、锐角的定义：锐角是大于0°小于90°的角；钝角是大于90°小于180°的角；直角是等于90°的角；据此解答即可.【解答】A、两个都大于45°的角相加大于直角，故A错；B、比锐角大的角也可能还是锐角，故B错；C、如175°的角与1°的角的差一定大于直角，故C错；D、钝角与直角的差一定小于直角，故D正确.故选D．【点评】此题主要考查钝角、直角和锐角的定义，理解和掌握钝角、直角、锐角的定义是解决此题的关键．例题2、将长方形ABCD沿DE折叠，使点C恰好落在AB边上一点F，若∠ADF=58°，则∠FDE 的度数为．【考点】角的计算；翻折变换(折叠问题)．【分析】先根据四边形ABCD是长方形得出∠ADC=90°，再由∠ADF=58°求出∠FDC的度数，由图形翻折变换的性质即可得出结论．【解答】∵四边形ABCD是长方形，∴∠ADC=90°，∵∠ADF=58°，∴∠FDC=90°－58°=32°，例题2图∵由折叠可知DE 是∠FDC 的平分线， ∴∠FDE =21∠FDC =16°． 故答案是∠FDE =16°．【点评】本题考查的是角的和差以及角的计算，熟知角平分线的定义和图形翻折不变性的性质是解答此题的关键． 【夯实基础】1．如图所示，下列结论错误是是( )A ．∠AOB +∠COB =∠AOD －∠DOC B ．∠DOB +∠AOC =∠DOA +∠COB C ．∠DOB +∠AOC －2∠COB =∠AOD D ．∠AOD －∠DOB =∠AOC －∠COB 2．如图，下列表示不正确的是( )A ．∠B =∠ABD =∠C B A B ．∠C =36° C ．∠ADB +∠ADC =180°D ．∠α+∠β=∠A3．已知∠AOB =56°，从∠AOB 的顶点O 引一条射线OC ，使∠AOC =18°，则∠BOC 的度数 为( )A ．38°B ．74°C ．38°或74°D ．无法确定4．如图所示，点A ，O ，B 在同一直线上，OD 平分∠AOC ，OE 平分∠BOC ，则∠DOE 为( )A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．平角 5．(1)如图，∠BOD =∠COE =Rt ∠，则∠1______∠2(填“>”“<”或“=”) . (2)已知OC 是∠AOB 的三等分线，若∠AOC =32°，则∠AOB 的大小为 .6．(1)如图，已知∠AOC 直角， ∠COB=38°， ，则∠BOD =_______°. (2)如图所示，OC 是∠AOD 的平分线，OB 平分∠AOC ，且∠COB =23°，则∠AOD 的度数为 .第1题图第4题图第2题图第5题图(1)7．如图，已知∠AOD =120°，∠AOC 是直角，OB 为∠AOD 的平分线，根据图形填空：解：(1)∵∠AOD =120°，∠AOC = °， ∴∠DOC =∠AOD － = ∵OB 平分∠AOD ，8．已知∠α，∠β，∠γ，用量角器作一个角∠AOB ，使∠AOB =29．如图∠BOC =4∠AOC ，OD 平分∠AOB ，(1)若∠COD =33°，求∠AOB 的度数．(2)请画出∠BOD 的角平分线OE ，∠DOC 的角平分线OF ， 试猜想∠EOF 与∠AOC 的数量关系，并说明理由．【提优特训】10．如图，∠AOB =3∠BOC ，∠AOD =8∠BOC ，若∠DOC =60°，则∠BOC 的度数为( )A ．10°B ．15°C ．20°D ．25°11.若∠AOB 是平角，射线OC 将∠AOB 分为∠AOC 与∠COB 两个角，若∠∠AOC ，射第12题图 第10题图第7题图第6题图(2)第8题图第9题图线OD 是∠AOC 的平分线，则∠COD 的度数为( ).A ．67.5°B ．72.5°C ．78.75°D ．79.5°12．如图所示，射线OB 、OC 、OD 在∠AOE 的内部，若∠AOE =75°，∠BOD =28° ，则图中所 有角的和为( )A ．300°B ．356°C ．360°D ．无法求出13. 如图所示，OD ，OC 是∠AOB 的任意两条射线，OP 平分∠AOC ，OQ 平分∠BOD ，若∠POQ =α，∠DOC =β，则表示∠AOB 的代数式是( )A ．2α－βB ．α－βC ．α+βD ．以上都不正确14．(1)已知∠AOB =90°，射线OC 平分∠AOB ，射线OD 平分∠BOC ，射线OE 平分∠AOD ，则∠COE 的度数等于 .(2)若∠AOC =∠BOD =90°，∠AOD =130°，则∠BOC 的度数为 .15．(1) 如图，将长方形纸片的角A 、E 分别沿着BC 、BD 折叠，则∠CBD = ． (2) 如图是3×3网格图，每个小正方形的边长为1，则∠1+∠2+∠3+…+∠7+∠8+∠9的和16．射线OE 在∠AOB 的内部，下列四个式子中：① ∠AOE =∠EOB ；②∠AOE +∠EOB =∠AOB ；③∠AOB =2∠BOE ；④∠AOE =12∠AOB ；⑤∠BOE :∠AOB =1:2.能判断OE 是∠AOB 的平分线的是 (填序号). 17．已知∠AOB 是Rt ∠.请回答下列问题：(1) 如图(1)，OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC ，直接写出∠DOE 的度数为 ． (2) 如图(2) OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC ，若∠BOC =40°，猜想∠DOE 的度数为 ．(3)试问在(2)的条件下，如果将题目中∠BOC =40°改成∠BOC =α(锐角)，其他条件不变，你能求出∠DOE 的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．18．如图(1)所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点O 处．(1)①∠AOD 和∠BOC 相等吗？说明理由．②∠AOC 和∠BOD 在数量上有何关系？说明理由．(2)若将三角尺AOB 绕点O 旋转到第13题图第15题图(2)第15题图(1)第17题图(1)第17题图(2)如图(2)的位置．①∠AOD 和∠BOC 相等吗？说明理由．②∠AOC 和∠BOD 的以上关系还成立吗？说明理由．19．已知∠AOB =42°20．已知∠AOB =(n +1)°，在∠AOB 的内部引n 条射线分别为OA 1，OA 2，OA 3，…，OA n －1，OA n ，依据要求回答问题： (1)°. (2)°. (3)°. ……(4) °.【中考链接】21．(2019•模拟) 把一副三角尺按如图2所示拼在一起，则∠ACB 等于( ) A ．70° B ．90° C ．105° D ．120°22．(2019•模拟)如图所示，将长方形ABCD 沿AE 折叠，点D 落在长方形ABCD 的内部点F 处，若∠CEF =76°，则∠AED 的大小是 .第18题图(1)第18题图(2)第20题图第21题图第22题图23．(2019•模拟) 如图，已知∠AOB=m度，OA1平分∠AOB，OA2平分∠AOA1，OA3平分∠AOA2，OA4平分∠AOA3，…，OA n平分∠AOA n－1，则∠AOA n的度数为___度．第23题图参考答案1、C2、D3、C4、B5、(1) = (2) 96°或48°6、(1) 26 (2) 92°10、C 11、C 12、B 13、A 14、(1) 11.25°(2) 50°或130°14、(1) 90°(2) 405°、9×45°15、(1) 不变 (2) < 16、①③④⑤ 21、D 22、52° 23、n 21m 7．如图，已知∠AOD =120°，∠AOC 是直角，OB 为∠AOD 的平分线，根据图形填空：解：(1)∵∠AOD =120°，∠AOC = 90 °， ∴∠DOC =∠AOD －∠∵OB 平分∠AOD ，8．已知∠α，∠β，∠γ，用量角器作一个角∠AOB ，使∠AOB =2作法1：如图(1)①用量角器量得∠α=25°，∠β=40°，∠γ=120°，所以2∠α=50° ②作射线OA .③用量角器作射线OB ，使∠AOB =50°.④用量角器在∠AOB 的外部以射线OC 为边作射线OC ，使∠BOC =20°. ⑤用量角器在∠AOC 的内部以射线OA 为边作射线OD ，使∠AOD =40°.∠DOC =30°23.作法2①用量角器量得∠α=25°=40°，∠γ=120°， 所以. 第8题图(2)第8题图②作射线OA .③用量角器作射线OB ，使∠AOB =30°.∠AOB =30°. 9．如图∠BOC =4∠AOC ，OD 平分∠AOB ，(1)若∠COD =33°，求∠AOB 的度数．(2)请画出∠BOD 的角平分线OE ，∠DOC 的角平分线OF ，试猜想∠EOF 与∠AOC 的数量关系，并说明理由． 解：(1)∵OD 平分∠AOB ，∴∠BOD =∠AOD =∠AOB ， 设∠AOB =x ， 则∠BOD =∠AOD =∠AOB =∵∠BOC =4∠AOC ， ∴∠AOC =∵∠AOD －∠AOC =∠COD =33°. . 解得x =110°，∴∠AOB =110°. (2)结论：∠EOF =2∠AOC . 理由：设∠AOC =y ， 则∠AOB =5y ，∠BOC =∠AOB －∠AOC =4y ， ∵OE 平分∠BOD ， ∴∠EOD =∠BOD . ∵OF 平分∠DOC ， ∴∠DOF =∠DOC . ∴∠EOF =∠EOD +∠DOF =∠BOD +∠DOC ) ∠BOC =2y ∴∠EOF =2∠AOC . 17．解：第9题图第9题图(1)∵OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC ，∠AOB =90°， ∴∠DOC =21∠COB ， ∠COE =21∠COA ， ∴∠DOE =∠DOC +∠COE =21∠BOC +21∠COA =21(∠BOC +∠COA ) =21∠AOB =45°； (2)∵∠AOB =90°，∠BOC =40°，∴∠AOC =∠AOB +∠BOC =90°+40°=130°. ∵OD 平分∠BOC ，OE 平分∠AOC ， ∴∠COD =∠DOB =21∠BOC =20°，∠COE =21∠AOC =65°， ∴∠DOE =∠COE －∠COD =65°－20°=45°. (3)∵∠AOB =90°，∠BOC =α， ∴∠AOC =90°+α，∵OD 、OE 分别是∠BOC 、∠AOC 平分线， ∴∠COD =∠DOB =21∠BOC =2α，∠COE =21∠AOC =45°+2α， ∴∠DOE =∠COE －∠COD =45°+2α－2α=45°. 18．解：(1)①∠AOD =90°+∠AOC∠BOC =90°+∠AOC ， ∴∠AOD 和∠BOC 相等．②∵∠AOC +∠AOB +∠BOD +∠DOC =1个周角， ∴∠AOC +90 +∠BOD +90 =360°. ∴∠AOC +∠BOD =180°； (2)①∵∠AOD =90°－∠BOD ，∠BOC =90°－∠BOD ， ∴∠AOD 和∠BOC 相等． ②成立．第18题图(1)∵∠AOC +∠BOD =∠AOB +∠BOC +∠BOD =∠AOB +∠DOC =90°+90°=180°， ∴∠AOC +∠BOD =180°．19．已知∠AOB =42°解：根据题意可以作出图(1)与图(2)的两种图形. 由图(1)设∠BOC =x °， ∵∠AOB =42°=∠AOC +∠COB ，+x =42， 解得，x =12°.由图(2)设∠BOC =x °，则∠AOC =(x +42) °， ∴x =， 解得，x =28°.∴∠BOC 的度数的为12°或28°.20．已知∠AOB =(n +1)°，在∠AOB 的内部引n 条射线分别为OA 1，OA 2，OA 3，…，OA n －1，OA n ，依据要求回答问题： (1))°. (2))°. (3) 第19题图(2)第19题图(1)第20题图浙教版2019-2020学年七年级数学上册第6章图形的初步知识6.7角的和差学案(有答案） 11 / 11 ……(4)23．(2019•模拟) 如图，已知∠AOB =m 度，OA 1平分∠AOB ，OA 2平分∠AOA 1，OA 3平分∠AOA 2，OA 4平分∠AOA 3，…，OA n 平分∠AOA n －1，则∠AOA n 的度数为 度． 解：∵∠AOB = m ，OA 1平分∠AOB ，∴∠AOA 1=21∠AOB = ∵OA 2平分∠AOA 1，∴∠AOA 2=21∠AOA 1m ，同理∠AOA 3=81m =∠AOA 4……∴∠AOA n第23题图。

七年级上册第6单元知识点七年级上册第6单元主要涉及三角形以及其性质、分类等相关概念。

通过学习这一单元的知识点，我们可以更加深入地了解三角形的结构与性质，在生物学、建筑等领域中也可以掌握一定的应用技能。

以下是七年级上册第6单元的知识点详解：一、基本概念1. 三角形三角形是由三条线段组成的图形，其中三条线段的相交点称为三角形的顶点，连在顶点之间的两条线段称为三角形的边，边所包含的两个角叫做三角形的内角。

2. 内角和三角形内角和指三角形内部三个角的角度之和，严格来讲，任何凸三角形的三个内角的角度之和都是180度。

3. 直角三角形直角三角形是指其中一个角为90度的三角形，直角三角形的两条直角边的平方之和等于斜边的平方。

4. 等边三角形等边三角形是指三条边长度相等的三角形，其中每个内角均为60度。

二、三角形的性质1. 外角和三角形的任意一个外角和他的相邻两个内角之和等于180度。

2. 等角三角形等角三角形是指三个角都相等的三角形，其中任意两个角度之和等于第三个角的度数。

3. 等腰三角形等腰三角形是指至少有两边长度相等的三角形，其中等边对应角度相等。

4. 相似三角形相似三角形是指对应角度相等，对应边的比例相等的三角形。

三、三角形分类1. 根据角度分类：锐角三角形：三个内角均小于90度的三角形。

直角三角形：一个角为90度的三角形。

钝角三角形：一个角大于90度的三角形。

2. 根据边长分类：等边三角形：三边长度均相等的三角形。

等腰三角形：至少两边长度相等的三角形。

普通三角形：没有任何边相等的三角形。

通过对七年级上册第6单元知识点的学习，我们可以深入了解三角形的结构与性质，为深入研究几何学奠定了基础，也可以为日常生活中的应用提供相关技巧。

初一(七年级)上册数学几何图形初步知识点总结(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（初一(七年级)上册数学几何图形初步知识点总结(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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初一(七年级）上册数学几何图形初步知识点总结五、知识点、概念总结1.几何图形：点、线、面、体这些可帮助人们有效的刻画错综复杂的世界,它们都称为几何图形。

从实物中抽象出的各种图形统称为几何图形。

有些几何图形的各部分不在同一平面内,叫做立体图形。

有些几何图形的各部分都在同一平面内，叫做平面图形.虽然立体图形与平面图形是两类不同的几何图形，但它们是互相联系的。

2。

几何图形的分类:几何图形一般分为立体图形和平面图形。

3.直线：几何学基本概念，是点在空间内沿相同或相反方向运动的轨迹。

从平面解析几何的角度来看，平面上的直线就是由平面直角坐标系中的一个二元一次方程所表示的图形。

求两条直线的交点,只需把这两个二元一次方程联立求解,当这个联立方程组无解时，二直线平行;有无穷多解时,二直线重合;只有一解时，二直线相交于一点。

常用直线与X轴正向的夹角(叫直线的倾斜角)或该角的正切(称直线的斜率)来表示平面上直线（对于X轴）的倾斜程度。

4。

射线：在欧几里德几何学中,直线上的一点和它一旁的部分所组成的图形称为射线或半直线。

5。

线段:指一个或一个以上不同线素组成一段连续的或不连续的图线,如实线的线段或由“长划、短间隔、点、短间隔、点、短间隔”组成的双点长划线的线段。

6．1几何图形1．数学中的平面是____________的．2．____________、____________、____________、____________称为几何图形．3．若图形所表示的各个部分____________，这样的图形称为立体图形．4．若图形所表示的各个部分都____________，这样的图形称为平面图形．A组基础训练1．下列各组图形中都是平面图形的一组是()A．三角形、圆、球、圆锥B．点、线、面、体C．角、三角形、四边形、圆D．点、相交线、线段、正方体2．按组成面的平或曲划分，与圆锥为同一类型几何体的是()A．正方体B．长方体C．球D．棱柱3．下列图形中，表示立体图形的有()第3题图A．1个B．2个C．3个D．4个4．围成圆锥的面有()A．1个B．2个C．3个D．4个5．一个正方体锯掉一个角后，顶点的个数是()A．7个B．7个或8个C．7个或8个或9个D．7个或8个或9个或10个6．如图所示，第一行的图形绕虚线旋转一周，得到第二行的某个图形．请填出对应的图形(填序号)．第6题图(1)－____________；(2)－____________；(3)－____________；(4)－____________.7．笔尖在纸上快速滑动写出一个汉字，这说明____________；汽车的雨刷在挡风玻璃上画出一个扇面，这说明____________；直角三角形纸片绕它的一条直角边所在直线旋转形成一个圆锥，这说明____________．8．下图中实物的形状对应哪些立体图形？把相应的实物与图形用线连起来．第8题图9．如图．(1)这个图象是平面图形还是立体图形？(2)它有多少个面？多少条棱？多少个顶点？(3)从它的表面看，你观察到哪些平面图形？第9题图10．现有一个长为4cm，宽为3cm的长方形，绕它的一边旋转一周，得到的圆柱体的体积是多少？B组自主提高11．如图是用七巧板拼出的图案，如果整个图案的面积是1，那么图中阴影部分的面积是多少？第11题图12．如图，将两个完全相同的长方体叠放在一起组成一个新长方体．在叠成的新长方体中，表面积最小是多少？第12题图C组综合运用13．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单的多面体模型，解答下列问题：第13题图(1)根据上面的多面体模型，完成表格中的空格：可以发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是____________；(2)若一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是____________；(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处有3条棱．设该多面体外表面三角形的个数为x，八边形的个数为y，则x＋y的值为____________．参考答案 6．1 几何图形【课堂笔记】1．可以无限伸展 2.点 线 面 体 3．不在同一个平面内 4.在同一个平面内 【分层训练】1．C 2.C 3.C 4.B 5.D 6．(1)④ (2)③ (3)② (4)① 7．点动成线 线动成面 面动成体 8．略 9．(1)立体图形 (2)4个面，6条棱，4个顶点． (3)三角形 10．48πcm 3或36πcm 311．由题图可知，最大的等腰直角三角形的面积占七巧板拼出的图案面积的14，所以题图中阴影部分的面积为14. 12．236cm 213．(1)6 6 V ＋F －E ＝2 (2)20 (3)14 【解析】(1)正八面体的顶点数为6，四面体的棱数为6.V ，F ，E 之间存在的关系为V ＋F －E ＝2.(2)由题意可得F ＝V ＋8，即V ＝F －8.由V ＋F －E ＝2可得F －8＋F －30＝2，解得F ＝20.(3)∵V ＝24，且每个顶点处有3条棱，∴E ＝24×3÷2＝36.由V ＋F －E ＝2，得F ＝2＋36－24＝14.∴x ＋y ＝F ＝14.6．2 线段、射线和直线1．线段可以用表示它的两个端点的____________表示，也可以用一个____________来表示．2．直线可以用它上面任意两个点的____________表示，也可以用一个____________表示．3．射线用____________和____________的两个字母表示，表示端点的字母要写在____________．4．经过两点____________一条直线，可以简单地说成：____________一条直线．A 组 基础训练1．数轴是一条( )A ．线段B ．射线C ．直线D ．以上均可2．下列各图中直线的表示方法正确的是()3．根据”反向延长线段MN”这句话，下列选项中，正确的是()4．下列叙述中，正确的是()A．画直线AB，使AB＝2cmB．画直线AB的中点CC．在射线AB上截取AC，使AC＝1cmD．延长射线AB到点C5．下列说法不正确的是()A．射线是直线的一部分B．线段是直线的一部分C．直线的长度大于射线的长度D．直线是可以无限延伸的，射线也是可以无限延伸的6．平面上不重合的两点确定1条直线，不同的三点最多可确定3条直线，若平面上不同的n个点最多可确定10条直线，则n的值为()A．4 B．5 C．6 D．77．笔直的窗帘轨，至少需要____________个钉子才能将它固定，理由是____________．8．如图，图中共有____________条直线，共有____________条射线，共有____________条线段．第8题图9．如图，已知A，B，C，D四个点，请按要求画图：第9题图(1)画线段AC；(2)画射线BD；(3)画直线CD.10．按要求画出图形，并回答问题：(1)画直线l，在直线l上取A，B，C三点，使点C在线段AB上，在直线l外取一点P，画直线BP，射线PC，连结AP；(2)在(1)中所画图中，共有几条直线，几条射线，几条线段？请把所有直线和线段用图中的字母表示出来．11．如图，已知数轴的原点为O，点A所表示的数为3，点B所表示的数为－2.(1)数轴的原点左边的部分(包括原点)是什么图形？怎样表示？(2)射线OA上的点所表示的数是什么数？端点O表示什么数？(3)数轴上表示不小于－2，且不大于3的部分是什么几何图形？怎样表示？第11题图B组自主提高12．A，B两城之间有铁路相通，两城之间有C，D，E，F四个停靠站，则运行于A，B两城之间的列车，共需制作的火车票有()A．5种B．10种C．15种D．30种13．如图，平面内有六条有公共端点的射线OA，OB，OC，OD，OE，OF，从射线OA开始，按逆时针方向依次在各条射线上写上数字1，2，3，4，5，6，7，….第13题图(1)数20在射线________上；(2)请写出六条射线上数字的排列规律；(3)数2017在哪条射线上？14．平面内有若干条直线，探究最多可将平面分成几个部分：若有1条直线，平面被分成2个部分(1＋1＝2)；若有2条直线，平面最多被分成4个部分(1＋1＋2＝4)；若有3条直线，平面最多被分成7个部分(1＋1＋2＋3＝7)；…(1)若有6条直线，平面最多被分成几个部分？(2)若有n条直线(n为正整数)，平面最多被分成几个部分？C组综合运用15．握手是社交常见的礼节，与人初次见面，往往以握手示礼．新学期开学，老师为了让新同学相互认识，要求全班同学互相握手为礼，并同时彼此介绍自己．试解答下列问题：(1)如果全班有40人，那么一共握手多少次？(2)如果全班有n人，那么一共握手多少次？(3)你能不能从(1)(2)两题中得到启示，如果平面上有n个点，且其中任意三点都不在同一直线上，经过其中任意两点画直线，一共可以画多少条直线？参考答案6．2 线段、射线和直线【课堂笔记】1．大写字母 小写字母 2.大写字母 小写字母 3.表示它的端点 射线上另外任意一点 前面 4.有一条而且只有 两点确定【分层训练】1．C 2.C 3.A 4.C 5.C 6.B 7.两 两点确定一条直线 8.1 8 6 9．图略10．(1)如图所示；第10题图(2)2条直线，12条射线，6条线段，直线l ，直线BP ，线段AC ，BC ，AB ，AP ，CP ，BP.11．(1)射线 射线OB (2)非负数 0 (3)线段 线段AB 12．D 13．(1)∵20÷6＝3……2，∴数20在射线OB 上．(2)规律如下：设n 为正整数，则数6n －5在射线OA 上；数6n －4在射线OB 上；数6n －3在射线OC 上；数6n －2在射线OD 上；数6n －1在射线OE 上；数6n 在射线OF 上．(3)∵2017÷6＝336……1，∴数2017在射线OA 上．14．(1)22 (2)n （n ＋1）2＋1 15．(1)780次 (2)n （n －1）2次 (3)n （n －1）2条6.3 线段的长短比较1．一般地，如果两条线段____________，那么我们就说这两条线段相等． 2．在所有连结两点的线中，____________最短，简单地说，____________. 3．____________叫做这两点间的距离．A 组 基础训练1．下列说法正确的是( )A．直线可以比较长短B．直线比射线长C．线段可以比较长短D．线段可能比直线长2．已知线段AB和线段CD，使A与C重合，若点D在AB的延长线上，则() A．AB＞CDB．AB＝CDC．AB＜CDD．无法比较AB与CD的长短3．已知A，B是数轴上的两点，AB＝2，点B表示－1，则点A表示()A．1 B．－3 C．1或－3 D．3或14．A，B两点间的距离是指()A．连结A，B两点间的线段长度B．过A，B两点间的直线C．连结A，B两点间的线段D．直线AB的长5．为了估计池塘两岸A，B间的距离，小明在池塘一侧选取了一点P，测得PA＝16m，PB＝12m，那么A，B间的距离不可能是()A．5m B．15m C．20m D．30m6．如图所示，比较图中AB，AC，BC的长度，可以得出AB____________AC，AC____________BC，AB＋BC____________AC.第6题图7．某工程队在修建高速公路时，将如图的弯曲的道路改直，这样做的理由是____________．第7题图8．用”＞”、”＜”或”＝”填空：(1)如果点C在线段AB上，那么AC____________AB，AB____________BC；(2)如果点D在线段AB的延长线上，那么AD____________AB，BD____________AD；(3)如果点C在线段AB的反向延长线上，则BC____________AC.9．如图，利用圆规比较四边形ABCD中四条边的长短，并用”>”连接．第9题图10．如图，线l表示一条小河，点A，点B表示两个村庄，在何处架桥才能使A村到B 村的路程最短？第10题图11．如图所示，沿大街AB段上有四处居民小区A，B，C，D，且有AC＝CD＝DB.为了改善每个小区的居民的购物环境，想在AB上建一家超市，每个小区的居民各执一词，难以定下具体建设位置，如果由你出任超市负责人．从便民、获利的角度考虑，你将把超市建在哪里？第11题图B组自主提高12．为解决村庄用电问题，政府投资在已建电厂与A，B，C，D这四个村庄之间架设输电线路．现已知这四个村庄及电厂之间的距离(单位：km)如图所示，则把电力输送到这四个村庄的输电线路的总长度最短应是()第12题图A．19.5km B．20.5km C．21.5km D．24.5km13．如图所示，有一正方体纸盒，在点C′处有一只小虫，它要爬到点A吃食物，应该沿着怎样的路线才能使行程最短？你能设计出这条路线吗？第13题图C组综合运用14．如图，一条街道旁有A，B，C，D，E五幢居民楼，其中BC＝DE＝2AB＝2CD.某大桶水经销商统计各居民每周所需大桶水的数量如下表：第14题图他们计划在这五幢楼中租赁一间门市房，设立供水点．若仅考虑这五幢楼内的居民取水所走路程之和最小，你将把门市房选择在哪幢楼中？参考答案6．3线段的长短比较【课堂笔记】1．长度相等 2.线段两点之间线段最短 3.连结两点的线段的长度【分层训练】1．C 2.C 3.C 4.A 5.D6．＜＞＝7.两点之间线段最短8．(1)＜＞(2)＞＜(3)＞9．BC>CD>AD>AB10．连结AB，线段AB与线l的交点P就是架桥之处．第10题图11．超市应建在CD段上12．C13．答案不唯一，如图虚线为一种．第13题图14．设AB＝a，则BC＝2a，CD＝a，DE＝2a.若供水点在A楼，则55a＋50(a＋2a)＋72(a＋2a＋a)＋85(a＋2a＋a＋2a)＝1003a；若供水点在B楼，则38a＋50×2a＋72(2a＋a)＋85(2a＋a＋2a)＝779a；若供水点在C楼，则38(a＋2a)＋55×2a＋72a＋85(a＋2a)＝551a；若供水点在D楼，则38(a＋2a＋a)＋55(2a＋a)＋50a＋85×2a＝537a；若供水点在E楼，则38(a＋2a＋a＋2a)＋55(2a＋a＋2a)＋50(a＋2a)＋72×2a＝797a. ∴桶装水供应点设在D楼时总路程最小．6.4线段的和差1．如果一条线段的____________是另两条线段的____________的____________，那么这条线段就叫做另两条线段的和．2．如果一条线段的____________是另两条线段的____________的____________，那么这条线段叫做另两条线段的差．3．两条线段的和或差仍是一条____________．4．若点C把线段AB分成____________的两条线段AC与BC，则点C叫做线段AB的中点．A组基础训练1．如图，AD＝CB，则AC与BD的长度关系是()A．AC>BD B．AC<BD C．AC＝BD D．不能确定第1题图2．如图，如果点C是线段AB的中点，那么①AB＝2AC；②2BC＝AB；③AC＝BC；④AC＋BC＝AB，上述四个式子中，正确的有()第2题图A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，下列关系式中与图形不符合的是()第3题图A．AD－CD＝AB＋BCB．AC－BC＝AD－BDC．AC－BC＝AC＋BDD．AD－AC＝BD－BC4．如图，有a，b，c三户家用电路接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用电线中()第4题图A ．a 户最长B ．b 户最长C ．c 户最长D ．一样长5．如图，C 是线段AB 上一点，M 是线段AC 的中点，若AB ＝8cm ，BC ＝2cm ，则MC 的长是( )第5题图A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．6cm6．已知线段AB ＝6，C 在线段AB 上，且AC ＝13AB ，点D 是AB 的中点，那么DC等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 7．如图，直线上有四个点A ，B ，C ，D ，看图填空：第7题图(1)AC ＝____________＋BC ； (2)CD ＝AD －____________；(3)AC ＋BD －BC ＝____________.8．如图所示，M，N在线段AB上，且MB＝4cm，NB＝16cm，且点N是AM的中点，则AB＝____________cm.第8题图9．如图所示，M，N把线段AB三等分，C为NB的中点，且CN＝5cm，AB＝____________cm.第9题图10．在一次实践操作中，小张把两根长为23cm的竹竿绑接成一根长40cm的竹竿，则重叠部分的长为____________cm.11．如图，已知线段a，b(a＞b)，画一条线段，使它等于2a－b.第11题图12．先画图，再计算．(1)画线段AB＝2cm，延长线段AB至点C，使AC＝2AB，取线段BC的中点D；(2)求线段BD的长．13．如图，A，B是线段MN上的两点，且MA∶AB∶BN＝2∶3∶4，MN＝36cm，求线段AB和BN的长度．第13题图B组自主提高14．下列说法：①若PA＝PB，则P是线段AB的中点；②到线段两个端点距离相等的点必是线段的中点；③点A，B，C在同一直线上，且AC＝2，BC＝4，点P是AB的中点，则CP＝1.其中不正确的是____________(填序号)．15．已知线段AB＝12cm，点C是直线AB上一点，且AC∶BC＝1∶2，若D是AC 的中点，求线段CD的长．C组综合运用16．(1)如图，点C在线段AB上，AC＝10cm，CB＝8cm，M，N分别是AC，BC的中点，求线段MN的长；第16题图(2)若C为线段AB上任一点，AC＋CB＝x(cm)，(1)中其他条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由．你能用一句简洁的话描述你发现的结论吗？(3)若点C在线段AB的延长线上，AC－BC＝y(cm)，M，N分别为AC，BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，并说明理由；(4)把(1)条件中的”如图”去掉，”点C在线段AB上”改成”点C在直线AB上”，其余条件不变，你能得出线段MN的长度吗？参考答案 6．4 线段的和差【课堂笔记】1．长度 长度 和 2.长度 长度 差 3.线段 4.相等 【分层训练】 1．C 2.D 3.C4．D 【解析】同一条电线中竖着的线段两两相加，可知每户的两条竖线加起来一样长；每户横着的线段也一样长．5．B 6.A 7．(1)AB (2)AC (3)AD 8．28 9.30 10.611．(1)作射线AP.(2)用圆规在射线AP 上截取AB ＝BC ＝a.(3)用圆规在线段BC 的反方向上截取CD ＝b.线段AD 就是所要作的线段，即AD ＝2a －b(见图)．第11题图12．(1)如图：第12题图(2)BD ＝1cm .13．设MA ＝2x ，则AB ＝3x ，BN ＝4x ，∴MN ＝MA ＋AB ＋BN ＝9x ＝36，∴x ＝4，∴AB ＝3x ＝12cm ，BN ＝4x ＝16cm .14．①②③15．根据题意，有两种情况：①当点C 在线段AB 上时，如图1.设AC ＝x ，则BC ＝2x. ∵AB ＝12cm ，∴AB ＝AC ＋BC ＝x ＋2x ＝3x ＝12， ∴x ＝4，∴AC ＝4cm .又∵D 是AC 的中点，∴CD ＝12AC ＝2cm .②当点C 在线段BA 的延长线上时，如图2.第15题图∵AC ＝BC ＝1∶2，∴A 为BC 的中点， ∴AC ＝AB ＝12cm .又∵D 为AC 的中点，∴CD ＝12AC ＝6cm .综上所述，CD 的长为2cm 或6cm .16．(1)MN ＝MC ＋CN ＝12AC ＋12CB ＝5＋4＝9(cm )．(2)MN ＝12x(cm )．理由：MN ＝MC ＋CN ＝12AC ＋12CB ＝12(AC ＋CB)＝12AB ＝12x(cm )．结论：若C 为线段AB 上任一点，M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则线段MN 的长是线段AB 长的一半．(3)MN ＝12y(cm )．理由：如图，MN ＝MC －NC ＝12AC －12BC ＝12(AC －BC)＝12y(cm )．第16题图(4)1cm 或9cm .6.5 角与角的度量1．角是由____________射线所组成的图形，这个公共端点叫做这个角的____________，角也可以看成是由一条射线绕着它的端点____________而成的图形，起始位置的射线叫做角的____________，终止位置的射线叫做角的____________，角用符号____________表示，读做____________．2．一条射线绕着它的顶点旋转，当终边与始边成____________时，所成的角叫做平角．旋转到终边和始边____________时，所成的角叫做周角．3．1°＝____________分，1′＝____________度；1′＝____________秒，1″＝____________分．A组基础训练1．如图，下列表示∠1正确的是()第1题图A．∠OB．∠AOBC．∠AOCD．∠OAC2．下列说法中，正确的是()A．角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形B．角的边越长，角越大C．两条射线组成的图形叫做角D．角的边是两条线段3．下列说法中，错误的个数是()①一条直线是一个平角；②平角是一条直线；③一条射线是一个周角；④周角是一条射线．A．1 B．2 C．3 D．44．下列四个图中，能用∠1，∠O，∠AOB三种方法表示同一个角的是()5．如图，O是直线AE上一点，则图中小于平角的角共有()A．7个B．8个C．9个D．10个第5题图6．如图，有下列说法：①∠ECG和∠C是同一个角；②∠OGF和∠OGB是同一个角；③∠DOF和∠EOG是同一个角；④∠ABC和∠ACB不是同一个角．其中正确的说法有()第6题图A．1个B．2个C．3个D．4个7．用放大倍数为4倍的放大镜看一个10°的角，则观察到的角的度数是____________．8．(1)时钟的分针每分钟转过____________度的角，时钟的时针每分钟转过____________度的角；一只表的分针走了48°的角，则时间过去了____________分钟；一只表的时针走了45°的角，则时间过去了____________分钟；(2)三点半时，钟表的时针和分针所夹锐角是____________度；(3)钟表上12时15分时，时针与分针所夹锐角是____________度．9．把下列角度化成度、分、秒的形式：(1)38.33°；(2)3.76°.10．把下列角度化成度的形式：(1)15°48′36″；(2)22°32′24″.11．用适当的方法表示如图所示图形中所有小于平角的角．第11题图12．计算：(1)53°18′29″＋47°41′31″；(2)108°18′－65°43′；(3)180°－(35°47′＋56.5°)．B组自主提高13．正方形的玻璃被截去一个角后，剩下的角的个数是()A．3 B．3或4 C．4或5 D．3或4或5 14．如图，∠BAC和∠DAE都是70°30′的角(AD在∠BAC内部，AC在∠DAE内部)．第14题图(1)如果∠DAC＝27°30′，那么∠BAE等于多少度？(写出过程)(2)请直接写出图中相等的角；(3)若∠DAC变大，则∠BAD如何变化？C组综合运用15．观察下图，回答下列问题：(1)在图1中有几个角？(2)在图2中有几个角？(3)在图3中有几个角？(4)以此类推，如图4所示，若一个角内有n条射线，此时共有多少个角？第15题图参考答案 6．5 角与角的度量【课堂笔记】1．两条有公共端点的 顶点 旋转 始边 终边 ∠ 角 2.一条直线 再次重合 3.60160 60 160【分层训练】1．C 2.A 3.D 4.D 5.C 6.C 7.10° 8.(1)6 0.5 8 90 (2)75 (3)82.5 9．(1)38.33°＝38°19′48″ (2)3.76°＝3°45′36″ 10．(1)15°48′36″＝15.81° (2)22°32′24″＝22.54°11．∠A ，∠B ，∠ACD ，∠BCD ，∠ACB ，∠ADC ，∠BDC. 12．(1)101° (2)42°35′ (3)87°43′ 13．D 【解析】如图所示．第13题图14．(1)∠BAE ＝(∠BAC －∠DAC)＋∠DAE ＝(70°30′－27°30′)＋70°30′＝113.5°；(2)∠BAC ＝∠DAE ，∠BAD ＝∠CAE ； (3)∵∠BAD ＝∠BAC －∠DAC ，∠BAC ＝70°30′，若∠DAC 变大，则∠BAD 变小．15．(1)1个 (2)3个 (3)6个 (4)（n ＋1）（n ＋2）2个6.6 角的大小比较1．如果两个角的____________，那么我们就说这两个角相等． 2．如果两个角的____________，那么我们就说度数较大的角较大．3．____________的角是直角，____________的角是锐角，____________的角是钝角．A 组 基础训练1．下列各角中，不是钝角的是( )A.13周角B.59平角C.74直角D.25平角 2．两条射线把一个平角分成1∶2∶3三部分，这三部分中，最大的一部分等于( ) A ．80° B ．90° C ．100° D ．120° 3．在∠AOB 的内部任取一点C ，作射线OC ，则一定存在( ) A ．∠AOB>∠AOC B ．∠AOB<∠BOC C ．∠BOC>∠AOC D ．∠AOC>∠BOC4．(连云港中考)已知∠α＝17°18′，∠β＝17.18°，∠γ＝17.3°，下列结论正确的是( ) A ．∠α＝∠β<∠γ B ．∠α＝∠β>∠γ C ．∠α＝∠γ>∠β D ．∠α＝∠γ<∠β5．已知∠ABC 与∠MNP ，若点B 与点N 重合，BC 与MN 重合，且BA 在∠MNP 的内部，则它们的大小关系是( )A ．∠ABC>∠MNPB ．∠ABC<∠MNPC ．∠ABC ＝∠MNPD ．不能确定6．如图，比较下列各角的大小，用”>”或”<”填空：第6题图(1)∠AOC ____________∠AOB ； (2)∠BOD ____________∠COD ；(3)∠AOC____________∠AOD.7．比较角的大小：37°18′____________37.18°.8．(1)如图1所示，若∠AOB＝∠COD，则∠1____________∠2(填”>”、”<”或”＝”)．图1图2第8题图(2)如图2，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠COD＝15°，则图中比∠COD大的角有____________个．9．用量角器画一个角等于已知角(如图)．第9题图10．如图，试找出图中的直角和锐角．第10题图11．如图所示，∠AOC＝90°，∠BOD＝90°，∠BOC＝25°，求出∠COD，∠AOD的度数，并比较∠AOC，∠BOC，∠COD，∠AOD的大小，用”<”连接．第11题图12．把一副三角尺如图所示拼在一起．(1)写出图中∠A，∠B，∠BCD，∠D，∠AED的度数；(2)用”<”将上述各角连接起来；(3)指出上述各角中的锐角、直角和钝角．第12题图B组自主提高13．足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门AB的张角大小时，张角越大，射门越好．如图的正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，球员带球沿CD方向进攻，最好的射点在()第13题图A ．点CB ．点D 或点EC ．线段DE (异于端点)上一点D ．线段CD (异于端点)上一点14．已知∠α，∠β都是钝角，甲、乙、丙、丁四人计算16(∠α＋∠β)的结果依次是28°、48°、60°、88°，其中只有一人计算正确，他是( )A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁15．已知下列三个时刻1∶20，9∶30，11∶40的时针与分针所成的角分别是∠α，∠β，∠γ.试比较这三个角的大小，并说明理由．C 组 综合运用16．如图所示，点P 为直线l 外一点，过点P 画直线PA ，PB ，PC ，…，分别交l 于点A ，B ，C ，…，请你用量角器量出∠1，∠2，∠3的度数，并比较它们的大小，用”<”连接，再用刻度尺量出PA ，PB ，PC 的长度，并比较它们的大小，用”<”连接．观察角度和长度之间的关系，你发现了什么结论？第16题图参考答案6．6角的大小比较【课堂笔记】1．度数相等 2.度数不相等 3.等于90°小于直角大于直角而小于平角【分层训练】1．D 2.B 3.A 4.C 5.B6．(1)>(2)>(3)<7．>8．(1)＝(2)49．画图略10．直角：∠ADB，∠ADC，∠BAC.锐角：∠B，∠C，∠BAD，∠CAD.11．∠COD＝65°，∠AOD＝155°，∠BOC<∠COD<∠AOC<∠AOD.12．(1)∠A＝30°，∠B＝90°，∠BCD＝150°，∠D＝45°，∠AED＝135°.(2)∠A<∠D<∠B<∠AED<∠BCD.(3)∠A与∠D是锐角，∠B是直角，∠AED与∠BCD是钝角．13．C14.B15．∠α＝80°，∠β＝105°，∠γ＝110°，∠α<∠β<∠γ.16．∠1<∠3<∠2，PB<PC<PA，角度越大，线段长度就越短．6.7角的和差1．如果____________的度数是____________的度数的和，那么这个角就叫做另两个角的____________．2．如果____________的度数是____________的度数的____________，那么这个角就叫做另两个角的差．3．从一个角的____________引出的一条射线，把这个角分成两个____________的角，这条射线叫做这个角的角平分线．A 组 基础训练1．将一副直角三角尺按如下不同方式摆放，则图中锐角α与β相等的是( )2．如图，点O 在直线AB 上，射线OC 平分∠DOB.若∠COB ＝35°，则∠AOD 等于( )第2题图A ．35°B ．70°C ．110°D ．145°3．用一副三角板画角时可画出许多不同度数的角，下列哪个度数画不出来( ) A ．15° B ．75° C ．105° D ．65°4．(宁波中考)已知∠AOB ＝60°，在∠AOB 内取一点C ，引射线OC ，若∠AOC 是∠BOC 的23，则∠AOC 为( )A ．20°B ．24°C ．36°D ．40° 5．已知∠AOB ＝60°，∠BOC ＝45°，则∠AOC 为( )A ．105°B ．15°C ．105°或15°D ．75° 6．根据图填空：(1)∠AOC ＝∠AOB ＋∠____________； (2)∠BOD ＝∠COD ＋∠____________； (3)∠AOC ＝∠AOD －∠____________；(4)∠BOC ＝∠____________－∠____________－∠DOC ；(5)∠BOC＝∠AOC＋∠BOD－∠____________.第6题图7．如图，将一副直角三角尺叠放在一起，使直角顶点重合于点C.若∠ACD＝120°，则∠BCE＝____________.第7题图8．(1)如图1，O是AB上一点，OE平分∠BOC，OF平分∠AOC，则∠EOF的度数是____________．图1图2(2)如图2，O是AB上一点，∠BOC＝Rt∠，∠AOD∶∠BOD＝2∶7，则∠COD的度数是____________．图3第8题图(3)如图3，∠AOD＝130°，∠AOC＝88°，OB是∠AOD的平分线，则∠BOC的度数是____________．9．如图，∠AOC和∠BOD都是直角．第9题图(1)若∠DOC＝25°，则∠AOB的度数是____________；(2)若∠AOB＝152°，则∠DOC的度数是____________．10．(1)如图1，将长方形ABCD沿AE折叠，使点D落在点D′的位置．若∠CED′＝60°，则∠AED的度数是____________．图1图2第10题图(2)如图2，将长方形纸片ABCD的∠C沿着GF折叠(点F在BC上，不与点B，C重合)，使点C落在长方形的内部点E处．若FH平分∠BFE，则∠GFH的度数是____________．11．如图，OB是∠AOC内部的一条射线，把三角尺的60°的顶点放在点O处，转动三角尺，当三角尺的OD边平分∠AOB时，三角尺的另一边OE也正好平分∠BOC.求∠AOC 的度数．第11题图12．如图，∠BOC －∠BOA ＝14°，∠BOC ∶∠COD ∶∠AOD ＝2∶3∶4，求∠COD 的度数．第12题图B 组 自主提高13．如图，已知∠BOD ＝2∠AOB ，OC 是∠AOD 的平分线，则下列四个结论：①∠BOC ＝13∠AOB ；②∠COD ＝2∠BOC ；③∠BOC ＝12∠AOB ；④∠COD ＝3∠BOC.其中正确的是( )第13题图A ．①②B ．③④C ．②③D ．①④ 14．已知∠AOB ＝40°，过点O 引射线OC ，若∠AOC ∶∠COB ＝2∶3，且OD 平分∠AOB ，求∠COD 的度数．C 组 综合运用15．如图1是一副三角尺拼成的图案：(所涉及角度均小于或等于180度) (1)∠EBC 的度数为________度；(2)将图1中的三角尺ABC绕点B旋转α度(0°＜α＜90°)能否使∠EBC＝2∠ABD？若能，则求出α的值；若不能，说明理由．(图2、图3供参考)第15题图参考答案 6．7 角的和差【课堂笔记】1．一个角 另两个角 和 2.一个角 另两个角 差 3.顶点 相等 【分层训练】1．B 2.C 3.D 4.B 5.C 6．(1)BOC (2)COB (3)DOC (4)AOD AOB (5)AOD 7．60° 8．(1)90° (2)50° (3)23° 9．(1)155° (2)28° 10．(1)60° (2)90° 11．∠AOC ＝120° 12．∠COD ＝102° 13．B 14．有两种情况：(1)如图1所示，当射线OC 在∠AOB 的内部时，由∠AOC ∶∠COB ＝2∶3，可设∠AOC ＝2x°，则∠COB ＝3x°.∵∠AOB ＝40°，∴∠AOC ＋∠COB ＝40°.∴2x ＋3x ＝40，解得x ＝8.∴∠AOC ＝2x°＝16°.∵OD 平分∠AOB ，∴∠AOD ＝12∠AOB ＝12×40°＝20°.∴∠COD ＝∠AOD －∠AOC ＝20°－16°＝4°.第14题图(2)如图2所示，当射线OC 在∠AOB 的外部时，由∠AOC ∶∠COB ＝2∶3，可设∠AOC ＝2x°，则∠COB ＝3x°.∵∠AOB ＝40°，∴∠COB －∠AOC ＝40°.∴3x －2x ＝40，解得x ＝40.∴∠AOC ＝2x°＝80°.∵OD 平分∠AOB ，∴∠AOD ＝12∠AOB ＝12×40°＝20°.∴∠COD ＝∠AOD ＋∠AOC ＝20°＋80°＝100°.综上所述，∠COD 的度数为4°或100°.15．(1)∵∠EBD ＝90°，∠ABC ＝60°，∴∠EBC ＝∠EBD ＋∠ABC ＝90°＋60°＝150°.故答案为：150.(2)能；①逆时针旋转：90°＋60°－α＝2α，解得：α＝50°；②顺时针旋转：当0°＜α＜30°时，有90°＋60°＋α＝2α，解得：α＝150°，不符题意，舍去；当30°＜α＜90°时，有360°－90°－60°－α＝2α，解得：α＝70°.综上所述，逆时针旋转α＝50°或顺时针旋转α＝70°.6.8 余角和补角1．如果两个锐角的和是一个____________，我们就说这两个角互为余角，简称____________，也可以说其中一个角是另一个角的____________．2．如果两个角的和是一个____________，我们就说这两个角互为补角，简称____________，也可以说其中一个角是另一个角的____________．3．同角或等角的余角____________．4．同角或等角的补角____________．A组基础训练1．(绍兴中考)若∠α＝35°，则∠α的余角是()A．35°B．55°C．65°D．145°2．下列说法正确的是()A．一个角的补角一定大于这个角B．任何一个角都有余角C．一个角的余角小于45°，则这个角大于45°D．若∠1＋∠2＋∠3＝90°，则∠1、∠2、∠3互余3．已知一个角的余角等于40°，则这个角的补角等于()A．140°B．130°C．120°D．50°4．因为∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠3＝180°，所以∠1＝∠2的依据是()A．同角的余角相等B．等角的余角相等C．同角的补角相等D．等角的补角相等5．如图，∠α＝25°，∠AOC＝90°，B，O，D三点在同一直线上，则∠β的度数为()第5题图A．65°B．25°C．115°D．155°6．已知∠1＝20°，∠2＝30°，∠3＝60°，∠4＝150°，则∠2是____________的余角，____________是∠2的补角．7．若一个角的余角为37°26′，则这个角等于____________，这个角的补角等于____________．8．南偏东30°方向与北偏东30°方向所成角的度数为____________．9．已知∠AOB ＝50°，∠BOC 与∠AOB 互为余角，则∠AOC 的度数是____________． 10．(1)一个角的余角是这个角的补角的15，求这个角的度数；(2)一个角比它的余角的4倍多15°，求这个角的余角的度数．11．如图，已知∠AOC ＝15∠AOB ，OD 平分∠BOC ，且∠DOC 与∠AOC 互余，求∠AOB 的度数．第11题图B 组 自主提高12．若∠1与∠2互为补角，且∠1>∠2，那么∠2的余角是( )A.12(∠1＋∠2)B.12∠1C.12∠2D.12(∠1－∠2) 13．(1)已知∠A ＝50°，则∠A 的余角是____________，补角是____________，补角与余角的差是____________．(2)已知一个角是x ，则它的余角是____________，补角是____________，补角与余角的差是____________．14．如图，OA 的方向是北偏东15°，OB 的方向是北偏西40°.第14题图(1)若∠AOC ＝∠AOB ，则OC 的方向是____________；(2)如果OD 是OB 的反向延长线，那么OD 的方向是____________；(3)∠BOD 可看做是OB 绕点O 逆时针方向旋转180°至OD 所成的角，作∠BOD 的平分线OE ，OE 的方向是____________；(4)在(1)(2)(3)的条件下，OF 是OE 的反向延长线，则∠COF ＝____________. 15．(1)如图1，∠AOB ，∠COD 都是直角，试猜想：∠AOD 与∠BOC 在数量上存在什么关系？请说明理由；(2)当∠COD 绕点O 旋转到如图2的位置时，你原来的猜想还成立吗？请说明理由．第15题图C组综合运用16．已知∠AOB是一个直角，作射线OC，再分别作∠AOC和∠BOC的平分线OD，OE.(1)如图1，当∠BOC＝70°时，求∠DOE的度数；(2)如图2，当射线OC在∠AOB内绕点O旋转时，∠DOE的大小是否发生变化？请说明理由；(3)当射线OC在∠AOB外绕点O旋转且∠AOC为钝角时，画出图形，直接写出相应的∠DOE的度数(不必写出过程)．第16题图参考答案 6．8 余角和补角【课堂笔记】1．直角 互余 余角 2.平角 互补 补角 3.相等 4.相等 【分层训练】1．B 2.C 3.B 4.C 5.C 6.∠3 ∠4 7．52°34′ 127°26′ 8.120° 9.90°或10° 10．(1)67.5° (2)15° 11．∠AOB ＝150° 12．D13．(1)40° 130° 90° (2)90°－x 180°－x 90° 14．(1)北偏东70° (2)南偏东40° (3)南偏西50° (4)20° 15．(1)∠AOD 与∠BOC 互补．理由如下：∵∠AOD ＋∠BOC ＝∠AOC ＋∠BOC ＋∠BOD ＋∠BOC ＝∠AOB ＋∠COD ＝90°＋90°＝180°，∴∠AOD 与∠BOC 互补． (2)仍然成立．理由如下：∵∠AOD ＋∠BOC ＝360°－∠AOB －∠COD ＝360°－90°－90°＝180°， ∴∠AOD 与∠BOC 互补．16．(1)∵∠AOB ＝90°，∠BOC ＝70°， ∴∠AOC ＝90°－∠BOC ＝20°.∵OD ，OE 分别平分∠AOC 和∠BOC ， ∴∠COD ＝12∠AOC ＝10°，∠COE ＝12∠BOC ＝35°，∴∠DOE ＝∠COD ＋∠COE ＝45°. (2)∠DOE 的大小不变．理由如下：∵∠DOE ＝∠COD ＋∠COE ＝12∠AOC ＋12∠COB ＝12∠AOB ＝45°，∴∠DOE 的大小不变． (3)∠DOE 的大小有两种：如图1，∠DOE＝45°；如图2，∠DOE＝135°.第16题图6.9直线的相交(第1课时)1．如果两条直线____________，就说这两条直线相交，该公共点叫做这两条直线的____________．2．顶点____________，角的两边____________所组成的角叫对顶角．3．对顶角____________．A组基础训练1．以下四种说法：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③不是对顶角的两个角不相等；④不相等的两个角不是对顶角．其中正确的是()A．1个B．2个C．3个D．4个2．∠1的对顶角是∠2，∠2与∠3互补，若∠3＝45°，则∠1的度数为()A．45°B．135°C．45°或135°D．90°3．平面内三条直线两两相交构成的对顶角共有()A．3对B．6对C．12对D．不能确定4．(宁波中考)如图，直线AB与直线CD相交于点O，E是∠AOD内一点，已知∠AOE ＝90°，∠BOD＝45°，则∠COE的度数是()第4题图A．125°B．135°C．145°D．155°。

浙教版-7年级-上册-数学-第6章《图形的初步知识》分节知识点一、几何图形要点一、几何图形1、定义：对于各种物体，如果不不考虑它们的颜色、材料和质量等，而只关注它们的形状（如方的、圆的等）、大小（如长度、面积、体积等）和它们之间的位置关系（如垂直、平行、相交等），就得到几何图形要点诠释：（1）几何图形是从实物中抽象得到的，只注重物体的形状、大小、位置，而不注重它的其它属性，如重量，颜色等.2、分类：几何图形包括立体图形（几何体）和平面图形（1）立体图形：几何图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，也叫几何体。

如长方体，圆柱，圆锥，球等.（2）平面图形：几何图形的各部分都在同一平面内，这样的图形就是平面图形．如线段、角、三角形、圆等.要点诠释：（2）常见的立体图形有两种分类方法：（2）常见的平面图形有圆和多边形，其中多边形是由线段所围成的封闭图形，生活中常见的多边形有三角形、四边形、五边形、六边形等．（3）立体图形和平面图形是两类不同的几何图形，它们既有区别又有联系．要点二、图形间的联系（1）长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面与面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两种；线与线相交的地方形成点.从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体是几何图形的基本要素.此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体.二、线段、射线、直线要点一、线段、射线、直线的概念及表示1、概念：绷紧的琴弦、黑板的边沿都可以近似地看作线段，如果把“线段”作为最简单、最基本原始概念，则用“线段”定义射线和直线如下：（1）将线段向一个方向无限延长就形成了射线.（2）将线段向两个方向无限延长就形成了直线．要点诠释：（1）线段有两个端点，可以度量，可以比较长短．（2）射线只向一方无限延伸，有一个端点，不能度量，不能比较大小.（3）直线是向两方无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小.（4）线段、射线、直线都没有粗细．2、表示方法：如图1、图2、图3，线段、射线、直线的表示方法都有两种：它们都可以用两个大写字母表示，也可以一个小写字母表示.要点诠释：（1）从表示方法上看，虽然它们都可以用一个小写字母表示，也可以用两个大写字母表示，但直线取的是直线上任意两点的字母，线段用的是两个端点的字母，射线用的是一个端点和任意一点的字母，而直线和线段的两个大写字母没有顺序之分，但射线的两个大写字母有顺序之分，第一个大写字母必须是表示端点.即端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如下图4中射线OA，射线OB是不同的射线；端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如下图5中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线．图4图5（2）表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样．3、线段、射线、直线的区别与联系线段射线直线图示表示方法线段AB 或线段a 射线OA 或射线a 直线AB 或直线a 端点两个一个无长度可度量不可度量不可度量延伸性不向两方延伸向一方无限延伸向两方无限延伸要点二、基本事实1、直线：过两点有且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线．要点诠释：（1）点和直线的位置关系有两种：①点在直线上，或者说直线经过这个点.如图6中，点O 在直线l 上，也可以说成是直线l 经过点O；②点在直线外，或者说直线不经过这个点.如图6中，点P 在直线l 外，也可以说直线l 不经过点P.（2）两条不同直线相交：当两条不同的直线只有一个公共点时，称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点.2、线段：两点之间的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短．如图7所示，在A，B 两点所连的线中，线段AB 的长度是最短的．要点诠释：（1）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．（2）两条线段可能无公共点，可能有一个公共点，也可能有无穷多个公共点.要点三、比较线段的长短1、尺规作图的定义：仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图．要点诠释：（1）只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．（2）直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧.只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上面画刻度．（3）圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度.它只可以拉开成之前构造过的长度．图72、线段的中点：如下图，若点B在线段AC上，且把线段AC分成相等的两条线段AB与BC，这时点B叫做线段AC的中点．要点诠释：（1）若点B是线段AC的中点，则点B一定在线段AC上且，或AC＝2AB＝2BC．（2）类似地，还有线段的三等分点、四等分点等．3、用尺规作线段或比较线段（1）作一条线段等于已知线段：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a．要点诠释：几何中连结两点，即画出以这两点为端点的线段.（2）线段的比较：叠合比较法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短．如下图：要点诠释：（1）线段的比较方法除了叠合比较法外，还可以用度量比较法．三、角要点一、角的概念及表示1、角的定义：（1）定义一：由具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边．如图1所示，角的顶点是点O，边是射线OA、OB．图1图2（2）定义二：如图2所示，把一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置时所成的图形叫做角．射线原来所在的位置OA叫做角的始边，旋转后的位置OB叫做角的终边，角的始边和终边统称为角的边．从始边旋转到终边所扫过的区域叫做角的内部．要点诠释：（1）角的大小与角的两边的长短无关，而由角的大小由角的始边绕顶点旋转至终边时旋转的量的大小决定．（2）平角与周角：当射线绕着端点旋转到与原来的位置在同一直线上但方向相反时，所成的角叫做平角，如下图1所示．当射线绕着端点旋转一周，又重新回到原来的位置时，所成的角叫做周角，如下图2所示．2、角的表示（1）角的几何符号用“∠”表示，角的表示法通常有以下四种：要点诠释：（1）在表示角时，要在靠近角的顶点处加上弧线，且注上阿拉伯数字或字母．要点二、角的比较与运算1、角的画法（1）用三角板可以画出30°、45°、60°、90°等特殊角．（2）用量角器可以画出任意给定度数的角．（3）利用尺规作图可以画一个角等于已知角．（1）用量角器量角或画角的一般步骤：①对中(角的顶点与量角器的中心对齐)；②重合(一边与刻度尺上的零度线重合)；③读数(读出另一边所在线的度数)．2、角的大小比较（1）角的大小比较与线段的大小比较相类似，方法有两种．方法1：度量比较法．先用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小．方法2：叠合比较法．把其中的一个角移到另一个角上作比较．（2）如比较∠AOB和∠A′O′B′的大小：如下图，由图（1）可得∠AOB＜∠A′O′B′；由图(2)可得∠AOB＝∠A′O′B′；由图(3)可得∠AOB＞∠A′O′B′．3、角的和与差（1）如图所示，∠AOB是∠1与∠2的和，记作：∠AOB＝∠1+∠2；∠1是∠AOB与∠2的差，记作：∠1＝∠AOB-∠2．要点诠释：利用三角板除了可以做出30°、45°、60°、90°外，根据角的和、差关系，还可以画出15°，75°，105°，120°，135°，150°，165°的角．4、角平分线（1）以一个角的顶点为端点的一条射线，如果把这个角分成两个相等的角，那么这条射线叫做这个角的平分线．如图所示，OC是∠AOB的角平分线，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=∠AOB。

6.5 角与角的度量学问点一 角的概念角是由两条有公共端点的射线所组成的图形，这个公共端点叫做这个角的________，这两条射线叫做角的________．1．下列说法中，正确的是( )A ．角可以看成是由一条射线围着它的端点旋转而成的图形B ．角的边越长，角越大C ．两条射线组成的图形叫做角D ．角的边是两条线段 学问点二 角的表示方法 角的几种表示方法的联系与区分：2.如图6－5－1①所示，∠1用三个大写英文字母表示为____________．如图②所示，∠α的另一种表示方法是____________．图6－5－1类型一角的概念例 1 教材补充例题如图6－5－2，图中有________个角(小于180°)，分别是________________________．图6－5－2例 2 教材补充例题如图6－5－3，能用∠1，∠ACB，∠C三种方法表示同一个角的是( )图6－5－3【归纳总结】角的表示的留意事项：1．用三个大写的英文字母表示角时，必需把表示角的顶点的字母写在中间．2．当角的顶点处只有一个角时，也可以用一个大写的英文字母表示角．3．用数字或小写的希腊字母表示角时，肯定要在图中该角的位置画出小弧线，并标出数字或小写的希腊字母．类型二角度的单位换算例3 教材例1、例2针对训练(1)用度、分、秒表示25.72°；(2)用度表示45°12′36″.【归纳总结】度、分、秒相互换算的法则：1．度、分、秒的换算是60进制．2．角的度数的换算有两种状况：(1)把度化成度、分、秒的形式，即从高级单位向低级单位转化时，每级改变乘60.(2)把度、分、秒化成度的形式，即从低级单位向高级单位转化时，每级改变除以60. 类型三与角度有关的计算例4 教材例3针对训练计算：180°－(48°39′40″＋67°41′35″)．小结◆◆◆)反思◆◆◆)(1)将31.24°化为用度、分、秒表示的形式；(2)将38°37′12″化成以度为单位的形式．解：(1)31.24°＝31°24′.(2)38°37′12″＝38.3712°.上述解法是否正确？假如不正确，请指出错误之处并改正．详解详析【学学问】学问点一顶点边1．[解析]A(1)角的两个条件：①公共端点；②两条射线．(2)角的大小与边的长短没有关系．(3)角也可以看成是由一条射线围着它的端点旋转而成的图形．学问点二2．[答案]∠AMN∠DAC【筑方法】例1[答案] 4 ∠A，∠B，∠ACB，∠ACD例2[解析]C在选项A，B，D中，假如用∠C表示，简单使人产生歧义，无法让人明确究竟表示哪个角；只有选项C能用∠1，∠ACB，∠C三种方法表示同一个角，不会使人产生歧义．故选C.例3[解析](1)25.72°中含有两部分，即25°和0.72°，只要把0.72°化成分、秒即可．(2)45°12′36″含有三部分，即45°，12′和36″，其中45°已经是度，只要把12′和36″化成度即可．解：(1)0.72°＝0.72×60′＝43.2′.0．2′＝0.2× 60″＝12″，∴25.72°＝25°43′12″.(2)36″＝36×(160)′＝0.6′，12．6′＝12.6×(160)°＝0.21°，∴45°12′36″＝45.21°.例4[解析] 按有理数的运算依次计算，角的加减运算，把度、分、秒分别相加减．解：180°－(48°39′40″＋67°41′35″)＝180°－116°21′15″＝63°38′45″.【勤反思】[反思] 不正确，错在度、分、秒之间的换算是按100进制，而不是60进制．正解：(1)31.24°＝31°＋0.24×60′＝31°14.4′＝31°14′＋0.4×60″＝31°14′24″.(2)38°37′12″＝38°37′＋12÷60′＝38°37.2′＝38°＋37.2÷60°＝38.62°.。