版高考数学一轮复习第九章解析几何课时跟踪检测53理新人教A版【含答案】

课时跟踪检测(五十四)[高考基础题型得分练]1．已知点P 是直线2x －y ＋3＝0上的一个动点，定点M (－1,2)，Q 是线段PM 延长线上的一点，且|PM |＝|MQ |，则点Q 的轨迹方程是( )A ．2x ＋y ＋1＝0B ．2x －y －5＝0C ．2x －y －1＝0D ．2x －y ＋5＝0答案：D解析：由题意知，M 为PQ 的中点，设Q (x ，y )，则P 的坐标为(－2－x,4－y )，代入2x －y ＋3＝0，得2x －y ＋5＝0.2．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则动点P 的轨迹是( ) A ．直线 B ．圆 C ．椭圆 D ．双曲线 答案：B解析：设P (x ，y )，则x ＋2＋y 2＝2x －2＋y 2，整理得x 2＋y 2－4x ＝0， 又D 2＋E 2－4F ＝16>0， 所以动点P 的轨迹是圆．3．已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过点B 作垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线答案：D解析：由已知，得|MF |＝|MB |.由抛物线定义知，点M 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线．4．已知点F (0,1)，直线l ：y ＝－1，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP →·QF →＝FP →·FQ →，则动点P 的轨迹C 的方程为( )A ．x 2＝4yB ．y 2＝3x C ．x 2＝2y D ．y 2＝4x答案：A解析：设点P (x ，y )，则Q (x ，－1)． 因为QP →·QF →＝FP →·FQ →，所以(0，y＋1)·(－x,2)＝(x，y－1)·(x，－2)，即2(y＋1)＝x2－2(y－1)，整理得x2＝4y.5．设点A为圆(x－1)2＋y2＝1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|＝1，则点P的轨迹方程是( )A．y2＝2x B．(x－1)2＋y2＝4C．y2＝－2x D．(x－1)2＋y2＝2答案：D解析：如图，设P(x，y)，圆心为M(1,0)，连接MA，则MA⊥PA，且|MA|＝1，又∵|PA|＝1，∴|PM|＝|MA|2＋|PA|2＝2，即|PM|2＝2，∴(x－1)2＋y2＝2.6．设圆(x＋1)2＋y2＝25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任一点．线段AQ 的垂直平分线与CQ的连线交于点M，则点M的轨迹方程为( )A.4x221－4y225＝1 B.4x221＋4y225＝1C.4x225－4y221＝1 D.4x225＋4y221＝1答案：D解析：∵M为AQ垂直平分线上一点，则|AM|＝|M Q|，∴|MC |＋|MA |＝|MC |＋|MQ |＝|CQ |＝5， 故点M 的轨迹为椭圆．∴a ＝52，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝214，∴椭圆的标准方程为4x 225＋4y221＝1.7．已知A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )A ．y 2－x 248＝1(y ≤－1)B ．y 2－x 248＝1C ．y 2－x 248＝－1D ．x 2－y 248＝1答案：A解析：由题意，得|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14， 又|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |， ∴|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2.故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线的下支． ∵c ＝7，a ＝1，∴b 2＝48，∴点F 的轨迹方程为y 2－x 248＝1(y ≤－1)．8．直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹是( )A ．直线B ．椭圆C ．圆D ．双曲线答案：A解析：设C (x ，y )，因为OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，所以(x ，y )＝λ1(3,1)＋λ2(－1,3)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2，y ＝λ1＋3λ2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ1＝y ＋3x10，λ2＝3y －x10，又λ1＋λ2＝1， 所以y ＋3x 10＋3y －x10＝1，即x ＋2y ＝5 ，所以点C 的轨迹是直线，故选A.9．动点P (x ，y )到定点A (3,4)的距离比P 到x 轴的距离多一个单位长度，则动点P 的轨迹方程为________．答案：x 2－6x －10y ＋24＝0(y ＞0)解析：由题意知，动点P 满足|PA |＝|y |＋1， 即x －2＋y －2＝|y |＋1，当y ＞0时，整理得x 2－6x －10y ＋24＝0； 当y ≤0时，整理得x 2－6x －6y ＋24＝0， 变形为(x －3)2＋15－6y ＝0，此方程无轨迹．10．在△ABC 中，|BC →|＝4，△ABC 的内切圆切BC 于D 点，且|BD →|－|CD →|＝22，则顶点A 的轨迹方程为________．答案：x 22－y 22＝1(x >2)解析：以BC 的中点为原点，中垂线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，E ，F 分别为两个切点．则|BE |＝|BD |，|CD |＝|CF |，|AE |＝|AF |. ∴|AB |－|AC |＝22＜|BC |＝4，∴点A 的轨迹为以B ，C 的焦点的双曲线的右支(y ≠0)且a ＝2，c ＝2， ∴轨迹方程为x 22－y 22＝1(x >2)．11．设F 1，F 2为椭圆x 24＋y 23＝1的左、右焦点，A 为椭圆上任意一点，过焦点F 1向∠F 1AF 2的外角平分线作垂线，垂足为D ，则点D 的轨迹方程是________．答案：x 2＋y 2＝4解析：由题意，延长F 1D ，F 2A 并交于点B ， 易证Rt △ABD ≌Rt △AF 1D ， ∴|F 1D |＝|BD |，|F 1A |＝|AB |， 又O 为F 1F 2的中点，连接OD ， ∴OD ∥F 2B ，从而可知|DO |＝12|F 2B |＝12(|AF 1|＋|AF 2|)＝2，设点D 的坐标为(x ，y )，则x 2＋y 2＝4.12．设过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，且AB 的中点为M ，则点M 的轨迹方程是________．答案：y 2＝2(x －1)解析：由题意知，F (1,0)，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x ，y )， 则x 1＋x 2＝2x ，y 1＋y 2＝2y ，y 21＝4x 1，y 22＝4x 2， 后两式相减并将前两式代入，得 (y 1－y 2)y ＝2(x 1－x 2)． 当x 1≠x 2时，y 1－y 2x 1－x 2y ＝2， 又A ，B ，M ，F 四点共线， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝yx －1， 代入上式，得y 2＝2(x －1)；当x 1＝x 2时，M (1,0)也满足这个方程，即y 2＝2(x －1)是所求的轨迹方程．[冲刺名校能力提升练]1．[2017·辽宁葫芦岛调研]在△ABC 中，已知A (2,0)，B (－2,0)，G ，M 为平面上的两点且满足GA →＋GB →＋GC →＝0，|MA →|＝|MB →|＝|MC →|，GM →∥AB →，则顶点C 的轨迹为( )A ．焦点在x 轴上的椭圆(长轴端点除外)B ．焦点在y 轴上的椭圆(短轴端点除外)C ．焦点在x 轴上的双曲线(实轴端点除外)D ．焦点在x 轴上的抛物线(顶点除外) 答案：B解析：设C (x ，y )(y ≠0)，则由GA →＋GB →＋GC →＝0，即G 为△ABC 的重心，得G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3，y3. 又|MA →|＝|MB →|＝|MC →|， 即M 为△ABC 的外心， 所以点M 在y 轴上， 又GM →∥AB →，则有M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，y 3.所以x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y 32＝4＋y 29，化简得x 24＋y 212＝1，y ≠0.所以顶点C 的轨迹为焦点在y 轴上的椭圆(除去短轴端点)．2．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)，映射f 将xOy 平面上的点P (x ，y )对应到另一个平面直角坐标系uO ′v 上的点P ′(2xy ，x 2－y 2)，则当点P 沿着折线A －B －C 运动时，在映射f 的作用下，动点P ′的轨迹是( )A BC D答案：D解析：当P 沿AB 运动时，x ＝1，设P ′(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2y ，y ′＝1－y2(0≤y ≤1)，∴y ′＝1－x ′24(0≤x ′≤2,0≤y ′≤1)．当P 沿BC 运动时，y ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝x 2－1(0≤x ≤1)，∴y ′＝x ′24－1(0≤x ′≤2，－1≤y ′≤0)，由此可知P ′的轨迹如D 所示，故选D.3．[2017·浙江杭州模拟]坐标平面上有两个定点A ，B 和动点P ，如果直线PA ，PB 的斜率之积为定值m ，则点P 的轨迹可能是：①椭圆；②双曲线；③抛物线；④圆；⑤直线．试将正确的序号填在横线上：________.答案：①②④⑤解析：设A (a,0)，B (－a,0)，P (x ，y )， 则yx －a ·yx ＋a＝m ，即y 2＝m (x 2－a 2)．①当m ＝－1时，点P 的轨迹为圆； ②当m ＞0时，点P 的轨迹为双曲线； ③当m ＜0且m ≠－1时，点P 的轨迹为椭圆； ④当m ＝0时，点P 的轨迹为直线． 故选①②④⑤.4.△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．答案：x 29－y 216＝1(x ＞3)解析：如图，|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支， 故轨迹方程为x 29－y 216＝1(x ＞3)．5．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点(5，0)，离心率为53.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．解：(1)依题意，得c ＝5，e ＝c a ＝53， 因此a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝4， 故椭圆C 的标准方程是x 29＋y 24＝1.(2)若两切线的斜率均存在，设过点P (x 0，y 0)的切线方程是y ＝k (x －x 0)＋y 0，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －x 0＋y 0，x 29＋y24＝4，得x 29＋[k x －x 0＋y 0]24＝1，即(9k 2＋4)x 2＋18k (y 0－kx 0)x ＋9[(y 0－kx 0)2－4]＝0， Δ＝[18k (y 0－kx 0)]2－36(9k 2＋4)[(y 0－kx 0)2－4]＝0， 整理得(x 20－9)k 2－2x 0y 0k ＋y 20－4＝0. 又所引的两条切线相互垂直， 设两切线的斜率分别为k 1，k 2，于是有k 1k 2＝－1，即y 20－4x 20－9＝－1，即x 20＋y 20＝13(x 0≠±3)． 若两切线中有一条斜率不存在，则易得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3，y 0＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝－2，经检验知均满足x 20＋y 20＝13.因此，动点P (x 0，y 0)的轨迹方程是x 2＋y 2＝13.6．在平面直角坐标系xOy 中，动点P (x ，y )到F (0,1)的距离比到直线y ＝－2的距离小1.(1)求动点P 的轨迹W 的方程；(2)过点E (0，－4)的直线与轨迹W 交于两点A ，B ，点D 是点E 关于x 轴的对称点，点A 关于y 轴的对称点为A 1，证明：A 1，D ，B 三点共线．(1)解：由题意可得，动点P (x ，y )到定点F (0,1)的距离和到定直线y ＝－1的距离相等， 所以动点P 的轨迹是以F (0,1)为焦点，以y ＝－1为准线的抛物线． 所以动点P 的轨迹W 的方程为x 2＝4y .(2)证明：设直线l 的方程为y ＝kx －4，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 1(－x 1，y 1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －4，x 2＝4y 消去y ，整理得x 2－4kx ＋16＝0. 则Δ＝16k 2－64＞0，即|k |＞2.x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝16.直线A 1B ：y －y 2＝y 2－y 1x 2＋x 1(x －x 2)， 所以y ＝y 2－y 1x 2＋x 1(x －x 2)＋y 2， 即y ＝x 22－x 21x 1＋x 2(x －x 2)＋14x 22，整理得y ＝x 2－x 14x －x 22－x 1x 24＋14x 22，即y ＝x 2－x 14x ＋x 1x 24.直线A 1B 的方程为y ＝x 2－x 14x ＋4，显然直线A 1B 过点D (0,4)．所以A1，D，B三点共线．。

单元质检卷九解析几何(时间:120分钟满分:150分)一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求.1.已知直线l经过点(1,1),且与直线2xy5=0垂直,则直线l的方程为()A.2x+y1=0B.x2y3=0C.x+2y+1=0D.2xy3=02.若P(0,1)为圆x2+2x+y215=0的弦MN的中点,则直线MN的方程为()A.y=x+1B.y=x+1C.y=2x+1D.y=2x+13.已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F(2,0),且其离心率为,则椭圆C的标准方程为()A.=1B.=1C.=1D.=14.若圆C:(x2)2+(y1)2=4恰好被直线l:ax+by=1(a>0,b>0)平分,则的最小值为()A.8B.6C.8D.65.已知双曲线x2=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且|AF1|=|BF1|,则|AB|=()A.2B.3C.4D.2+16.设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F作倾斜角为60°的直线交抛物线于点A,B(点A位于x轴上方),O是坐标原点,记△AOF和△BOF的面积分别为S1,S2,则=()A.9B.4C.3D.27.已知F1,F2分别是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,以F2为圆心,a为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于A,B两点,若|AB|>,则双曲线的离心率的取值范围是()A. B.,+∞C.(1,)D.1,8.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线与坐标轴交于点M,P是抛物线C上的一点,且∠PFM 为钝角.若|PM|=,|PF|=4,则△PMF的面积是()A. B.3C. D.39.设双曲线C:=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,双曲线C上一点P到x轴的距离为2a,∠F1PF2=120°,则双曲线C的离心率为()A. B.1+C.2+D.410.已知抛物线y2=8x的焦点为F,经过点P(1,1)的直线l与该抛物线交于A,B两点,且点P恰为AB 的中点,则|AF|+|BF|=()A.4B.6C.8D.1211.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F且倾斜角为的直线l与抛物线相交于A,B两点,|AB|=8,过A,B两点分别作抛物线的切线,交于点Q.下列说法正确的是()A.QA⊥QBB.△AOB(O为坐标原点)的面积为4C.=2D.若M(1,1),P是抛物线上一动点,则|PM|+|PF|的最小值为12.已知直线x2y+n=0(n≠0)与双曲线:=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别相交于A,B两点,点P的坐标为(n,0),若|PA|=|PB|,则该双曲线的离心率是()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,点P在抛物线C上,PQ垂直l于点Q,QF与y轴交于点T,O为坐标原点,且|OT|=2,则|PF|= .14.在平面直角坐标系中,直线mx+y2m2=0与圆C:(x1)2+(y4)2=9交于M,N两点,当△MNC的面积最大时,实数m的值为.15.已知O为坐标原点,抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P为C上一点,PF与x轴垂直,Q为x轴上一点,且PQ⊥OP.若|FQ|=6,则C的准线方程为.16.已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C交于A,B两点,满足AF1⊥AF2且|AF2|=2|AF1|,则tan∠BF2F1= .三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,S(t,4)为C上一点,直线l交C于M,N两点(与点S不重合).(1)若l过点F且倾斜角为60°,|FM|=4(M在第一象限),求C的方程.(2)若p=2,直线SM,SN分别与y轴交于A,B两点,且=8,判断直线l是否恒过定点?若是,求出该定点;若不是,请说明理由.18.(12分)已知椭圆C1:=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合,C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A,B两点,交C2于C,D两点,且|CD|=|AB|.(1)求C1的离心率;(2)设M是C1与C2的公共点.若|MF|=5,求C1与C2的标准方程.19.(12分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,其离心率e=,点P是椭圆C上一动点,△PF1F2内切圆面积的最大值为.(1)求椭圆C的标准方程;(2)直线PF1,PF2与椭圆C分别相交于点A,B,求证:为定值.20.(12分)已知抛物线E:y2=4x的焦点为F,准线为l,O为坐标原点,过F的直线m与抛物线E交于A,B两点,点A在第一象限,过F且与直线m垂直的直线n与准线l交于点M.(1)若直线m的斜率为,求的值;(2)设AB的中点为N,若O,M,N,F四点共圆,求直线m的方程.21.(12分)如图,过椭圆E:+y2=1的左、右焦点F1,F2分别作直线l1,l2,交椭圆于A,B两点与C,D两点,且l1∥l2.(1)求证:当直线l1的斜率k1与直线BC的斜率k2都存在时,k1k2为定值;(2)求四边形ABCD面积的最大值.22.(12分)抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上,直线l:x=1交C于P,Q两点,且OP⊥OQ.已知点M(2,0),且☉M与l相切.(1)求C,☉M的方程;(2)设A1,A2,A3是C上的三个点,直线A1A2,A1A3均与☉M相切.判断直线A2A1与☉M的位置关系,并说明理由.答案：单元质检卷九解析几何1.C因为直线l与直线2xy5=0垂直,所以直线l的方程可设为x+2y+m=0,因为直线l经过点(1,1),所以1+2×(1)+m=0,解得m=1,则直线l的方程为x+2y+1=0,故选C.2.A圆x2+2x+y215=0的圆心为C(1,0),则CP⊥MN.因为k CP==1,所以k MN=1,故直线MN的方程为y=x+1.3.A由题意,c=2,又,所以a=4,所以b2=a2c2=12,所以椭圆C的标准方程为=1.故选A.4.C由题意,圆心C(2,1)在直线l上,则有2a+b=1,所以=(2a+b)=+4≥2+4=8,当且仅当,即b=2a=时,取等号,所以的最小值为8.故选C.5.C设双曲线的实半轴长为a,依题意可得a=1,由双曲线的定义可得|AF2||AF1|=2a=2,|BF1||BF2|=2a=2,又|AF1|=|BF1|,故|AF2||BF2|=4,又|AB|=|AF2||BF2|,故|AB|=4.6.C由题意,直线AB的方程为y=x,代入y2=2px,整理得x2px+p2=0.设点A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),因为点A位于x轴上方,解方程得x1=p,x2=p,所以=3.故选C.7.D焦点F2(c,0)到渐近线y=±x的距离为d==b,所以|AB|=2因为|AB|>,即2,所以9(a2b2)>c2,解得e2<又e>1,所以1<e<8.A设P(x0,y0),由抛物线的定义得|PF|=x0+=4,∴x0=4=2p4=8pp2.由|PM|=,M,0,得42+=23,即16+8pp2=23,解得p=1或p=7.又cos∠PFM=<0,∴p=1,S△PMF=p×|y0|=故选A.9.C设P为第一象限内的点,|PF1|=m,|PF2|=n,|F1F2|=2c,可得mn=2a,在△PF1F2中,可得4c2=m2+n22mn cos120°=m2+n2+mn=(mn)2+3mn,即为4c2=4a2+3mn,即mn=(c2a2),又△PF1F2的面积为mn sin120°=(c2a2)2c×2a,化为c2a22ac=0,所以e22e1=0,解得e=2+(负根舍去).10.B抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),准线方程为x=2,过点A,B,P作准线的垂线段,垂足分别为点M,N,R,因为点P恰为AB的中点,所以|PR|是直角梯形AMNB的中位线,故|AM|+|BN|=2|PR|.由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=|AM|+|BN|=2|PR|=2|1(2)|=6.故选B.11.A设A(x1,y1),B(x2,y2),因为直线l过焦点F且倾斜角为,所以由结论|AB|=|AF|+|BF|==4p=8,得p=2,所以y2=4x.不妨设y1>0,当y>0时,y=2,y'=,所以过A的切线斜率为k A=y',同理可得过B的切线斜率为k B=y'=由结论x1x2=,得k A k B===1,所以QA⊥QB,故A正确;S△AOB==2,故B错误;=1,故C错误:设点M到准线的距离为d,M(1,1),则|PM|+|PF|≥d=1+=2,故D错误.故选A.12.C由题意,双曲线的渐近线为y=±x,联立得A,联立得B,所以AB的中点E,k AB=,k PE=,因为|PA|=|PB|,所以k AB·k PE=1,即=2,2a2=3b2,所以e=13.5不妨设点P在第一象限,PQ与y轴交于点M,则易知△MQT∽△OFT,则,又OF=MQ=1,OT=2,所以MT=2.所以点P,Q的纵坐标都为4,代入抛物线方程求得P(4,4),故PF=4+1=5.14.1或由圆C:(x1)2+(y4)2=9,则圆心C(1,4),r=3,点C(1,4)到直线的距离d=,∵直线与圆C相交,∴0<d<r∴0<<3,解得m∈R.则|MN|=2=2,S△MNC=|MN|·d=,设t=d2,则S△MNC=,当t=时,(S△MNC)max=,此时d2=,即,∴7m2+8m+1=0,解得m=1或m=15.x=∵PF⊥x轴,∴x P=x F=,将x P=代入y2=2px,得y=±p.不妨设点P在x轴的上方,则P,p,即|PF|=p.如图,由条件得,△PFO∽△QFP,,即,解得p=3.故C的准线方程为x=16.如图,设|AF2|=2|AF1|=4.又AF1⊥AF2,∴|F1F2|==2设|BF1|=m,|BF2|=n,则有|BF1|+|BF2|=|AF1|+|AF2|=2+4=6,即m+n=6.①又在△BF1F2与Rt△BAF2中,cos B=,∴m2n2+4m+20=0.②由①②解得m=1,n=5,∴cos∠BF2F1=,sin∠BF2F1=,∴tan∠BF2F1=17.解(1)抛物线C的焦点为F,0,因为l过点F且倾斜角为60°,所以l:y=x.由可得12x220px+3p2=0,解得x=p或x=又M在第一象限,设M(x M,y M),所以x M=p.因为|FM|=4,所以p+=4,解得p=2,所以抛物线C的方程为y2=4x.(2)l过定点(4,4).由已知得抛物线C为y2=4x,点S(4,4),设直线l的方程为x=my+n,点M,y1,N,y2, 将直线l的方程与抛物线C:y2=4x联立得y24my4n=0,所以Δ=16m2+16n>0,y1+y2=4m,y1y2=4n.直线SM的方程为y4=(x4),令x=0求得点A的纵坐标为,同理求得点B的纵坐标为由=8,化简得y1y2=4(y1+y2)+16,则4n=16m+16,即n=4m4,所以直线l的方程为x=my4m4,即x+4=m(y4),所以直线l过定点(4,4).18.解(1)由已知可设C2的方程为y2=4cx,其中c=不妨设A,C在第一象限,由题设得A,B的纵坐标分别为,;C,D的纵坐标分别为2c,2c, 故|AB|=,|CD|=4c.由|CD|=|AB|得4c=,即3=222,解得=2(舍去),所以C1的离心率为(2)由(1)知a=2c,b=c,故C1:=1.设M(x0,y0),则=1,=4cx0,故=1.①由于C2的准线为x=c,所以|MF|=x0+c,而|MF|=5,故x0=5c,代入①得=1,即c22c3=0,解得c=1(舍去),c=3.所以C1的标准方程为=1,C2的标准方程为y2=12x.19.(1)解由题意得△PF1F2内切圆半径r的最大值为,椭圆C的标准方程为=1.(2)证明设P(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),①当y0≠0时,设直线PF1,PF2的方程分别是x=m1y1,x=m2y+1,由得(3+4)y26m1y9=0,Δ>0显然成立.∴y0y1=∵x0=m1y01,∴m1=,=,同理,由可得=,=②当y0=0时,直线PF1,PF2与x轴重合,易得=3+综上所述,20.解(1)如图,由抛物线y2=4x,得F(1,0),则直线m的方程为y=(x1),联立得3x210x+3=0,解得x1=,x2=3,∵A在第一象限,∴x A=3,x B=,则|AF|=3+1=4,|BF|=+1=,=3;(2)设直线m的方程为x=ty+1,由题意可得t≠0,否则,N与F重合,不存在O,M,N,F四点共圆.把x=ty+1代入y2=4x,得y24ty4=0,Δ>0显然成立.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=4.x1+x2==4t2+2,∴N(2t2+1,2t).∵直线m的斜率为,∴直线n的斜率为t,则直线n的方程为y=t(x1).由解得M(1,2t).若O,M,N,F四点共圆,再结合FN⊥FM,得OM⊥ON,则=1×(2t2+1)+2t×2t=2t21=0,解得t=±,∴直线m的方程为y=±(x1).21.(1)证明设A(x1,y1),B(x2,y2),根据对称性,有C(x1,y1),因为A(x1,y1),B(x2,y2)都在椭圆E上,所以=1,=1,二式相减,得=0,所以k1k2==为定值.(2)解当l1的倾斜角为0°时,l1与l2重合,舍去.当l1的倾斜角不为0时,由对称性得四边形ABCD为平行四边形,F1(,0), 设直线l1的方程为x=my,代入+y2=1,得(m2+4)y22ym1=0.显然Δ>0,y1+y2=,y1·y2=所以S△OAB=|y1y2|==2设m2+1=t,则m2=t1,t∈[1,+∞).所以当且仅当t=,即m=±时取等号,所以(S△OAB)max=2=1.所以平行四边形面积的最大值为(S▱ABCD)max=4·(S△OAB)=4.22.解(1)由题意设抛物线的标准方程为y2=2px,p>0,当x=1时,y2=2p,y=±∵OP⊥OQ,=1,即2p=1,∴抛物线的标准方程为y2=x,☉M的方程为(x2)2+y2=1.(2)设A1(a2,a),A2(b2,b),A3(c2,c).:ya=(xa2),即x(a+b)y+ab=0,∵直线A1A2与☉M相切,=1.①:ya=(xa2)⇒x(a+c)y+ac=0,∵直线A1A3与☉M相切,=1.②∴b,c是方程=1,即(a21)x2+2axa2+3=0的两根.又:x(b+c)y+bc=0,∴圆心(2,0)到直线的距离d==1.∴d与☉M的半径相等,即直线A2A3与☉M相切.。

课时规范练(A)课时规范练1集合的概念与运算课时规范练3命题及其关系、充要条件课时规范练5函数及其表示课时规范练7函数的奇偶性与周期性课时规范练9指数与指数函数课时规范练11函数的图象课时规范练13函数模型及其应用课时规范练15利用导数研究函数的单调性课时规范练17定积分与微积分基本定理课时规范练19同角三角函数基本关系式及诱导公式课时规范练21简单的三角恒等变换课时规范练23函数y=A sin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用课时规范练25平面向量的概念及线性运算课时规范练27平面向量的数量积及其应用课时规范练29数列的概念课时规范练31等比数列课时规范练33二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课时规范练35合情推理与演绎推理课时规范练37数学归纳法课时规范练39空间几何体的表面积与体积课时规范练41空间直线、平面的平行关系课时规范练43空间向量及其运算课时规范练45直线的倾斜角、斜率与直线的方程课时规范练47圆的方程课时规范练49椭圆课时规范练51抛物线课时规范练53算法初步课时规范练55用样本估计总体课时规范练57分类加法计数原理与分步乘法计数原理课时规范练59二项式定理课时规范练61古典概型与几何概型课时规范练63二项分布与正态分布课时规范练65极坐标方程与参数方程课时规范练67绝对值不等式课时规范练(B)课时规范练2简单不等式的解法课时规范练4简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词课时规范练6函数的单调性与最大(小)值课时规范练8幂函数与二次函数课时规范练10对数与对数函数课时规范练12函数与方程课时规范练14导数的概念及运算课时规范练16利用导数研究函数的极值、最大(小)值课时规范练18任意角、弧度制及任意角的三角函数课时规范练20两角和与差的正弦、余弦与正切公式及二倍角公式课时规范练22三角函数的图象与性质课时规范练24余弦定理、正弦定理及应用举例课时规范练26平面向量基本定理及向量坐标运算课时规范练28复数课时规范练30等差数列课时规范练32数列求和课时规范练34基本不等式及其应用课时规范练36直接证明与间接证明课时规范练38空间几何体的结构及其三视图、直观图课时规范练40空间点、直线、平面之间的位置关系课时规范练42空间直线、平面的垂直关系课时规范练44空间几何中的向量方法课时规范练46点与直线、两条直线的位置关系课时规范练48直线与圆、圆与圆的位置关系课时规范练50双曲线课时规范练52直线与圆锥曲线的位置关系课时规范练54随机抽样课时规范练56变量间的相关关系、统计案例课时规范练58排列与组合课时规范练60随机事件的概率课时规范练62离散型随机变量及其分布列课时规范练64离散型随机变量的均值与方差课时规范练66极坐标方程与参数方程的应用课时规范练68不等式的证明解答题专项解答题专项一函数与导数的综合问题第1课时利用导数证明不等式第2课时利用导数研究不等式恒(能)成立问题第3课时利用导数研究函数的零点解答题专项二三角函数与解三角形解答题专项三数列解答题专项四立体几何中的综合问题解答题专项五直线与圆锥曲线第1课时圆锥曲线中的最值(或范围)问题第2课时圆锥曲线中的定点(或定值)问题第3课时圆锥曲线中的存在性(或证明)问题解答题专项六概率与统计单元质检卷单元质检卷一集合与常用逻辑用语单元质检卷二函数单元质检卷三导数及其应用单元质检卷四三角函数、解三角形单元质检卷五平面向量、数系的扩充与复数的引入单元质检卷六数列单元质检卷七不等式、推理与证明单元质检卷八立体几何单元质检卷九解析几何单元质检卷十算法初步、统计与统计案例单元质检卷十一计数原理单元质检卷十二概率。

第1节 直线的方程考试要求 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.知 识 梳 理1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，我们取x 轴作为基准，x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角；(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0； (3)范围：直线的倾斜角α的取值范围是[0，π). 2.直线的斜率(1)定义：当直线l 的倾斜角α≠π2时，其倾斜角α的正切值tan α叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母k 表示，即k ＝tan__α. (2)计算公式：①经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. ②若直线的方向向量为a ＝(x ，y )(x ≠0)，则直线的斜率k ＝y x. 3.直线方程的五种形式名称 几何条件 方程适用条件 斜截式 纵截距、斜率 y ＝kx ＋b 与x 轴不垂直的直线点斜式 过一点、斜率 y －y 0＝k (x －x 0) 两点式过两点y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与两坐标轴均不垂直的直线截距式 纵、横截距x a ＋y b ＝1 不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线 一般式Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)所有直线[常用结论与微点提醒]1.直线的倾斜角α和斜率k 之间的对应关系：α 0 0<α<π2π2 π2<α<π kk >0 不存在k <02.截距和距离的不同之处“截距”是直线与坐标轴交点的坐标值，它可正，可负，也可以是零，而“距离”是一个非负数.诊 断 自 测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)直线的倾斜角越大，其斜率就越大.( ) (2)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.( ) (3)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等.( )(4)经过任意两个不同的点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线都可以用方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)表示.( )解析 (1)当直线的倾斜角α1＝135°，α2＝45°时，α1＞α2，但其对应斜率k 1＝－1，k 2＝1，k 1＜k 2.(2)当直线斜率为tan(－45°)时，其倾斜角为135°. (3)两直线的斜率相等，则其倾斜角一定相等. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.(老教材必修2P89B5改编)若过两点A (－m ，6)，B (1，3m )的直线的斜率为12，则直线的方程为________.解析 由题意得3m －61＋m ＝12，解得m ＝－2，∴A (2，6)，∴直线AB 的方程为y －6＝12(x －2)， 整理得12x －y －18＝0. 答案 12x －y －18＝03.(老教材必修2P101B2改编)若方程Ax ＋By ＋C ＝0表示与两条坐标轴都相交的直线(不与坐标轴重合)，则应满足的条件是________.解析 由题意知，直线斜率存在且斜率不为零，所以A ≠0且B ≠0. 答案 A ≠0且B ≠04.(2020·西安调研)直线x －y ＋1＝0的倾斜角为( ) A.30°B.45°C.120°D.150°解析 由题意得，直线y ＝x ＋1的斜率为1，设其倾斜角为α，则tan α＝1，又0°≤α＜180°，故α＝45°. 答案 B5.(2020·昆明诊断)已知直线l 经过A (2，1)，B (1，m 2)两点(m ∈R )，那么直线l 的倾斜角的取值范围是( ) A.[0，π)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π解析 直线l 的斜率k ＝1－m 22－1＝1－m 2，因为m ∈R ，所以k ∈(－∞，1]，所以直线的倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π.答案 B6.(2020·合肥调研)过点(－3，4)，在x 轴上的截距为负数，且在两坐标轴上的截距之和为12的直线方程为______.解析 由题设知，横、纵截距均不为0，设直线的方程为x a ＋y12－a ＝1，又直线过点(－3，4)，从而－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4或a ＝9(舍).故所求直线的方程为4x －y ＋16＝0.答案 4x －y ＋16＝0考点一 直线的倾斜角与斜率典例迁移【例1】 (一题多解)(经典母题)直线l 过点P (1，0)，且与以A (2，1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________.解析 法一 设PA 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线PA 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP ＝－3，当直线l 由PA 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞).当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－3].故斜率的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞). 法二 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(－3－k )≤0，即(k －1)(k ＋3)≥0，解得k ≥1或k ≤－ 3.即直线l 的斜率k 的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞). 答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞)【迁移1】 若将例1中P (1，0)改为P (－1，0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围. 解 设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0.∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0，即(3k －1)(k －3)≤0，解得13≤k ≤ 3.即直线l 的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3. 【迁移2】 若将例1中的B 点坐标改为B (2，－1)，其他条件不变，求直线l 倾斜角的取值范围.解 由例1知直线l 的方程kx －y －k ＝0，∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1－k )(2k ＋1－k )≤0， 即(k －1)(k ＋1)≤0，解得－1≤k ≤1.即直线l 倾斜角的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.规律方法 1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上并不是单调的.2.过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围时，应注意倾斜角为π2时，直线斜率不存在.【训练1】 如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A.k 1<k 2<k 3B.k 3<k 1<k 2C.k 3<k 2<k 1D.k 1<k 3<k 2解析 直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2. 答案 D考点二 直线方程的求法【例2】 求适合下列条件的直线方程： (1)经过点P (1，2)，倾斜角α的正弦值为45；(2)(一题多解)经过点P (2，3)，并且在两坐标轴上截距相等；(3)经过两条直线l 1：x ＋y ＝2，l 2：2x －y ＝1的交点，且直线的一个方向向量v ＝(－3，2). 解 (1)由题可知sin α＝45，则tan α＝±43，∵直线l 经过点P (1，2)，∴直线l 的方程为y －2＝±43(x －1)，即y ＝±43(x －1)＋2，整理得4x －3y ＋2＝0或4x ＋3y －10＝0.(2)法一 ①当截距为0时，直线l 过点(0，0)，(2，3)， 则直线l 的斜率为k ＝3－02－0＝32，因此，直线l 的方程为y ＝32x ，即3x －2y ＝0.②当截距不为0时，可设直线l 的方程为x a ＋y a＝1. 因为直线l 过点P (2，3)，所以2a ＋3a＝1，所以a ＝5.所以直线l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0. 法二 由题意可知所求直线斜率存在， 则可设y －3＝k (x －2)，且k ≠0.令x ＝0，得y ＝－2k ＋3.令y ＝0，得x ＝－3k＋2.于是－2k ＋3＝－3k ＋2，解得k ＝32或k ＝－1.则直线l 的方程为y －3＝32(x －2)或y －3＝－(x －2)，即直线l 的方程为3x －2y ＝0或x ＋y －5＝0.(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，2x －y ＝1，得x ＝1，y ＝1，∴直线过点(1，1)，∵直线的方向向量v ＝(－3，2)， ∴直线的斜率k ＝－23.则直线的方程为y －1＝－23(x －1)，即2x ＋3y －5＝0.规律方法 1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).【训练2】 (1)求经过点B (3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程； (2)求经过点A (－5，2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程. 解 (1)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3，4)，由点斜式得y －4＝±(x －3). 所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为x 2a ＋y a ＝1，将(－5，2)代入所设方程，解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2，解得k＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0.考点三 直线方程的综合应用 多维探究角度1 直线过定点问题【例3－1】 已知k ∈R ，写出以下动直线所过的定点坐标： (1)若直线方程为y ＝kx ＋3，则直线过定点________； (2)若直线方程为y ＝kx ＋3k ，则直线过定点________； (3)若直线方程为x ＝ky ＋3，则直线过定点________. 解析 (1)当x ＝0时，y ＝3，所以直线过定点(0，3). (2)直线方程可化为y ＝k (x ＋3)，故直线过定点(－3，0). (3)当y ＝0时，x ＝3，所以直线过定点(3，0). 答案 (1)(0，3) (2)(－3，0) (3)(3，0)规律方法 1.直线过定点问题，可以根据方程的结构特征，得出直线过的定点坐标. 2.含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”.角度2 与直线方程有关的多边形面积的最值问题【例3－2】 已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0<a <2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________.解析 由题意知直线l 1，l 2恒过定点P (2，2)，直线l 1的纵截距为2－a ，直线l 2的横截距为a 2＋2，所以四边形的面积S ＝12×2(2－a )＋12×2(a 2＋2)＝a 2－a ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋154，又0<a <2，所以当a ＝12时，面积最小.答案 12规律方法 1.求解与直线方程有关的面积问题，应根据直线方程求解相应坐标或者相关长度，进而求得多边形面积.2.求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解.【训练3】 已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R ). (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程.(1)证明 直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1. ∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2，1).(2)解 由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2k k，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k >0； 当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围是[0，＋∞). (3)解 由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0，1＋2k ).依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k <0，1＋2k >0，解得k >0. ∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·（1＋2k ）2k ＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是k >0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.A 级 基础巩固一、选择题1.(2020·安阳模拟)若平面内三点A (1，－a )，B (2，a 2)，C (3，a 3)共线，则a ＝( ) A.1±2或0 B.2－52或0 C.2±52D.2＋52或0解析 由题意知k AB ＝k AC ，即a 2＋a 2－1＝a 3＋a3－1，即a (a 2－2a －1)＝0，解得a ＝0或a ＝1± 2.答案 A2.(2020·广东七校联考)若过点P (1－a ，1＋a )和Q (3，2a )的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是( ) A.(－2，1) B.(－1，2)C.(－∞，0)D.(－∞，－2)∪(1，＋∞)解析 由题意知2a －1－a 3－1＋a <0，即a －12＋a <0，解得－2<a <1.答案 A3.(2020·福建六校联考)在同一平面直角坐标系中，直线l 1：ax ＋y ＋b ＝0和直线l 2：bx ＋y ＋a ＝0有可能是( )解析 当a >0，b >0时，－a <0，－b <0，结合选项知B 符合，其他均不符合. 答案 B4.(2020·成都诊断)过点(2，1)，且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( ) A.x ＝2 B.y ＝1 C.x ＝1D.y ＝2解析 直线y ＝－x －1的倾斜角为3π4，则所求直线的倾斜角为π2，故所求直线斜率不存在，又直线过点(2，1)，所以所求直线方程为x ＝2. 答案 A5.已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( ) A.y ＝3x ＋2 B.y ＝3x －2 C.y ＝3x ＋12D.y ＝－3x ＋2解析 因为直线x －2y －4＝0的斜率为12，所以直线l 在y 轴上的截距为2，所以直线l 的方程为y ＝3x ＋2.答案 A6.(2020·湖北四地七校联考)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( )A.π4B.π3C.2π3D.3π4解析 由f ⎝⎛⎭⎪⎫π4－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x 知函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，所以a ＝－b ，由直线ax －by ＋c ＝0知其斜率k ＝a b ＝－1，所以直线的倾斜角为3π4，故选D.答案 D7.直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是( ) A.[0，π)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，πC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π2，π解析 设直线的倾斜角为θ，则有tan θ＝－sin α.又sin α∈[－1，1]，θ∈[0，π)，所以0≤θ≤π4或3π4≤θ<π.答案 B8.(2020·东北三省四校调研)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12B.[－1，0]C.[0，1]D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1解析 由题意知，y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)，则在点P 处的切线的斜率k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，则0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12.答案 A 二、填空题9.直线l 的倾斜角为60°，且在x 轴上的截距为－13，则直线l 的方程为________.解析 由题意可知，直线l 的斜率为3，且该直线过⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0，∴直线l 的方程为y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13，即3x －3y ＋1＝0. 答案 3x －3y ＋1＝010.已知三角形的三个顶点A (－5，0)，B (3，－3)，C (0，2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________.解析 BC 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，∴BC 边上中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0.答案 x ＋13y ＋5＝011.设点A (－1，0)，B (1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________. 解析 b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1，0)和点B (1，0)时，b 分别取得最小值和最大值.所以b 的取值范围是[－2，2].答案 [－2，2]12.若经过两点A (4，2y ＋1)，B (2，－3)的直线的倾斜角是直线4x －3y ＋2 020＝0的倾斜角的一半，则y 的值为________.解析 因为直线4x －3y ＋2 020＝0的斜率为43，所以由倾斜角的定义可知直线4x －3y ＋2 020＝0的倾斜角α满足tan α＝43，因为α∈[0，π)，所以α2∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，所以2tanα21－tan 2α2＝43，解得tan α2＝12，由已知及倾斜角与斜率的关系得2y ＋1＋34－2＝12，所以y ＝－32.答案 －32B 级 能力提升13.(2019·湖南长郡中学月考)已知点(－1，2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0(a ≠0)的同侧，则直线l 的倾斜角的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π3B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，πC.⎝ ⎛⎭⎪⎫34π，56πD.⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，34π解析 因为点(－1，2)和⎝ ⎛⎭⎪⎫33，0在直线l ：ax －y ＋1＝0(a ≠0)的同侧，所以(－a －2＋1)·⎝⎛⎭⎪⎫33a －0＋1>0，即(a ＋1)(a ＋3)<0，所以－3<a <－1，又知直线l 的斜率k ＝a ，即－3<k <－1，又因为直线倾斜角的范围是[0，π)，所以直线l 的倾斜角的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫23π，34π，故选D. 答案 D14.(2020·兰州模拟)若直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、二、四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A.ab >0，bc <0 B.ab >0，bc >0 C.ab <0，bc >0D.ab <0，bc <0解析 易知直线的斜率存在，则直线方程可化为y ＝－a b x －cb ，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－ab <0，－cb >0，所以ab >0，bc <0.答案 A15.已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n （n ＋1）(n ∈N *)，其前n 项和S n ＝910，则直线x n ＋1＋y n＝1与坐标轴所围成的三角形的面积为________. 解析 由a n ＝1n （n ＋1）可知a n ＝1n －1n ＋1，所以S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1， 又知S n ＝910，所以1－1n ＋1＝910，所以n ＝9.所以直线方程为x 10＋y9＝1，且与坐标轴的交点为(10，0)和(0，9)，所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12×10×9＝45.答案 4516.(2020·豫北名校调研)直线l 过点P (6，4)，且分别与两坐标轴的正半轴交于A ，B 两点，当△ABO 的面积最小时，直线l 的方程为________.解析 设直线l 的方程为y －4＝k (x －6)(k ≠0)，则A ⎝⎛⎭⎪⎫6－4k，0，B (0，4－6k )，由题意知k <0，则S △ABO ＝12×|OA |·|OB |＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫6－4k ·(4－6k )＝24－18k －8k ，∵k <0，∴－18k >0，－8k >0，∴－18k －8k≥2（－18k ）·⎝ ⎛⎭⎪⎫－8k ＝24，当且仅当－18k ＝－8k ，即k 2＝49，也即k ＝－23时取得等号，所以△ABO 的面积的最小值为48，此时直线l 的方程为y －4＝－23(x －6)，即2x ＋3y －24＝0.答案 2x ＋3y －24＝0C 级 创新猜想17.(多填题)设点A (－2，3)，B (3，2)，已知直线l 的方程为ax ＋y ＋2＝0，则直线l 过定点________，若直线l 与线段AB 没有交点，则实数a 的取值范围是________.解析 直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)，且斜率为－a ，∵k MA ＝3－（－2）－2－0＝－52，k MB ＝2－（－2）3－0＝43，结合题意可知－a >－52，且－a <43，∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52.答案 (0，－2) ⎝⎛⎭⎪⎫－43，52。

课时跟踪检测(五十三)[高考基础题型得分练]1．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝54x 0，则x 0＝( )A ．4B ．2C ．1D ．8答案：C解析：由y 2＝x ，得2p ＝1，即p ＝12，因此焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，准线方程为l ：x ＝－14.设点A 到准线的距离为d ，由抛物线的定义可知d ＝|AF |，从而x 0＋14＝54x 0，解得x 0＝1，故选C.2．[2017·山西运城期末]已知抛物线x 2＝ay 与直线y ＝2x －2相交于M ，N 两点，若MN 中点的横坐标为3，则此抛物线方程为( )A ．x 2＝32yB ．x 2＝6y C ．x 2＝－3y D ．x 2＝3y答案：D解析：设点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，y ＝2x －2消去y ，得x 2－2ax ＋2a ＝0，所以x 1＋x 22＝2a2＝3，即a ＝3，因此所求的抛物线方程是x 2＝3y .3．[2017·吉林长春一模]过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 且倾斜角为120°的直线l 与抛物线在第一、四象限分别交于A ，B 两点，则|AF ||BF |＝( )A.13B.23C.34D.43答案：A解析：记抛物线y 2＝2px 的准线为l ′，如图，作AA 1⊥l ′，BB 1⊥l ′，AC ⊥BB 1， 垂足分别是A 1，B 1，C ，则有cos ∠ABB 1＝|BC ||AB |＝|BB 1|－|AA 1||AF |＋|BF |＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |，即cos 60°＝|BF |－|AF ||AF |＋|BF |＝12，由此得|AF ||BF |＝13.4．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 与双曲线x 24－y 25＝1的右焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且|AK |＝2|AF |，则点A 的横坐标为( )A ．2 2B ．3C ．2 3D ．4答案：B解析：记抛物线的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p2.双曲线的右焦点为(3,0)，所以p2＝3，即p ＝6，即y 2＝12x .过A 作准线的垂线，垂足为M ，则|AK |＝2|AF |＝2|AM |，即|KM |＝|AM |， 设A (x ，y )，则y ＝x ＋3，代入y 2＝12x ，解得x ＝3.5．[2017·北京密云模拟]已知两点A (1,0)，B (b,0)．如果抛物线y 2＝4x 上存在点C ，使得△ABC 为等边三角形，那么实数b ＝________.答案：5或－13解析：依题意，线段AB 的垂直平分线x ＝b ＋12(b >－1)与抛物线y 2＝4x 的交点C ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋12，n 满足|CA |＝|AB |＝|b －1|(其中n 2＝2(b ＋1))，于是有⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋12－12＋n 2＝(b －1)2，即⎝⎛⎭⎪⎫b ＋12－12＋2(b ＋1)＝(b －1)2，化简得3b 2－14b －5＝0，即(3b ＋1)(b －5)＝0， 解得b ＝5或b ＝－13.6．如图是抛物线形拱桥，当水面在l 时，拱桥离水面2 m ，水面宽4 m ，水位下降1 m 后，水面宽________m.答案：2 6解析：建立如图所示的平面直角坐标系，A ，B 是抛物线与水面的交点．由题意，得点A 的坐标为(－2，－2)． 设抛物线的方程为x 2＝ay ， 把A 的坐标代入，得a ＝－2， 即抛物线的方程为x 2＝－2y .当水位下降1(单位：m)时，水面的纵坐标为－3， 把y ＝－3代入抛物线的方程，得x ＝± 6.∴水位下降1 m 后，水面宽为2 6 m.7．已知点M (－3,2)是坐标平面内一定点，若抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，点Q 是该抛物线上的一动点，则|MQ |－|QF |的最小值是________．答案：52解析：抛物线的准线方程为x ＝－12，当MQ ∥x 轴时，|MQ |－|QF |取得最小值，此时点Q 的纵坐标y ＝2，代入抛物线方程y 2＝2x 得Q 的横坐标x ＝2，则|MQ |－|QF |＝|2＋3|－⎪⎪⎪⎪⎪⎪2＋12＝52.8．已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1.(1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA →·FB →＜0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：(1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足x －2＋y 2－x ＝1(x＞0)．化简得y 2＝4x (x ＞0)．(2)设过点M (m,0)(m ＞0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m )＞0，于是⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m .①又FA →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)，FA →·FB →＜0. (x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＜0.②又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214＋y 224＋1＜0，即y 1y 2216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1＜0.③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1＜4t 2.④ 对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1＜0，即3－22＜m ＜3＋2 2.由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有FA →·FB →＜0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．[冲刺名校能力提升练]1．已知抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为( ) A.10 B ．4 C.15 D ．5答案：D解析：由题意知，抛物线的准线方程为y ＝－1，所以由抛物线的定义知，点A 到抛物线焦点的距离为5.2．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →＝4FQ →，则|QF |＝( )A.72B.52 C ．3 D ．2答案：C解析：过点Q 作QQ ′⊥l 交l 于点Q ′，因为FP →＝4FQ →，所以|PQ |∶|PF |＝3∶4，又焦点F 到准线l 的距离为4，所以|QF |＝|QQ ′|＝3.3．设F 为抛物线y 2＝6x 的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点．若FA →＋FB →＋FC →＝0，则|FA→|＋|FB →|＋|FC →|＝( )A ．4B ．6C ．9D ．12答案：C解析：由题意得，抛物线的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，准线方程为x ＝－32. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， ∵FA →＋FB →＋FC →＝0， ∴点F 是△ABC 的重心， ∴x 1＋x 2＋x 3＝92.由抛物线的定义，可得 |FA |＝x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝x 1＋32， |FB |＝x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝x 2＋32， |FC |＝x 3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝x 3＋32， ∴|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝x 1＋32＋x 2＋32＋x 3＋32＝9.4．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点．若|AF |＝3，则△AOB 的面积为________．答案：322解析：由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1＞0，y 2＜0)，如图所示，|AF |＝x 1＋1＝3，∴x 1＝2，y 1＝2 2. 设AB 的方程为x －1＝ty ，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x －1＝ty ，消去x 得y 2－4ty －4＝0. ∴y 1y 2＝－4，∴y 2＝－2，∴S △AOB ＝12×1×|y 1－y 2|＝322.5.双曲线y 2a 2－x 24＝1(a >0)的离心率为5，抛物线C ：x 2＝2py (p >0)的焦点在双曲线的顶点上．(1)求抛物线C 的方程；(2)过M (－1,0)的直线l 与抛物线C 交于E ，F 两点，又过E ，F 作抛物线C 的切线l 1，l 2，当l 1⊥l 2时，求直线l 的方程．解：(1)双曲线的离心率e ＝1＋4a2＝5，又a >0，∴a ＝1，双曲线的顶点为(0,1)， 又p >0，∴抛物线的焦点为(0,1)， ∴抛物线C 的方程为x 2＝4y . (2)由题意知，直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，E (x 1，y 1)，F (x 2，y 2)， ∵y ＝14x 2，∴y ′＝12x ，∴切线l 1，l 2的斜率分别为x 12，x 22，当l 1⊥l 2时，x 12·x 22＝－1，∴x 1x 2＝－4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，x 2＝4y ，得x 2－4kx －4k ＝0，∴Δ＝(－4k )2－4(－4k )>0， ∴k <－1或k >0.①由根与系数的关系，得x 1x 2＝－4k ＝－4，∴k ＝1，满足①，即直线l 的方程为x －y ＋1＝0.6．已知抛物线y 2＝4x ，直线l ：y ＝－12x ＋b 与抛物线交于A ，B 两点．(1)若以AB 为直径的圆与x 轴相切，求该圆的方程；(2)若直线l 与y 轴负半轴相交，求△AOB (O 为坐标原点)面积的最大值． 解：(1)联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋b ，y 2＝4x ，消去x 并化简整理，得y 2＋8y －8b ＝0. 依题意有Δ＝64＋32b ＞0，解得b ＞－2.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－8，y 1y 2＝－8b ， 设圆心Q (x 0，y 0)， 则应有x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22＝－4.因为以AB 为直径的圆与x 轴相切，则圆的半径为r ＝|y 0|＝4， 又|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝＋y 1－y 22＝y 1＋y 22－4y 1y 2]＝＋32b .所以|AB |＝2r ＝＋32b ＝8，解得b ＝－85.所以x 1＋x 2＝2b －2y 1＋2b －2y 2＝4b ＋16＝485，所以圆心为⎝⎛⎭⎪⎫245，－4.故所求圆的方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －2452＋(y ＋4)2＝16.(2)因为直线l 与y 轴负半轴相交，所以b ＜0，又l 与抛物线交于两点，由(1)知b ＞－2，所以－2＜b ＜0，直线l ：y ＝－12x ＋b ，整理得x ＋2y －2b ＝0，点O 到直线l 的距离d ＝|－2b |5＝－2b5，所以S △AOB ＝12|AB |d ＝－4b 2·2＋b＝42·b 3＋2b 2.令g (b )＝b 3＋2b 2，－2＜b ＜0，g ′(b )＝3b 2＋4b ＝3b ⎝⎛⎭⎪⎫b ＋43，当b 变化时，g ′(b )，g (b )的变化情况如下表：由上表可得g (b )的最大值为g ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝3227.故S △AOB ≤42×3227＝3239. 所以当b ＝－43时，△AOB 的面积取得最大值3239.。

第2讲 两条直线的位置关系【2013年高考会这样考】1．考查两直线的平行与垂直．2．考查两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行直线间的距离公式．【复习指导】1．对两条直线的位置关系，求解时要注意斜率不存在的情况，注意平行、垂直时直线方程系数的关系．2．熟记距离公式，如两点之间的距离、点到直线的距离、两条平行线之间的距离．基础梳理1．两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行对于两条不重合的直线l 1、l 2，其斜率分别为k 1、k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，特别地，当直线l 1、l 2的斜率都不存在时，l 1与l 2的关系为平行．(2)两条直线垂直①如果两条直线l 1、l 2的斜率存在，设为k 1、k 2，则l 1⊥l 2⇔k 1k 2＝－1.②如果l 1、l 2中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，l 1与l 2的关系为垂直．2．两直线相交交点：直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的公共点的坐标与方程组⎩⎨⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一一对应． 相交⇔方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解；平行⇔方程组无解；重合⇔方程组有无数个解．3．三种距离公式(1)平面上的两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2. 特别地，原点O (0,0)与任一点P (x ，y )的距离|OP |＝x 2＋y 2.(2)点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2. (3)两条平行线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0间的距离为d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.一条规律与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)平行、垂直的直线方程的设法：一般地，平行的直线方程设为Ax ＋By ＋m ＝0；垂直的直线方程设为Bx －Ay ＋n ＝0.两个防范(1)在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在．两条直线都有斜率，可根据判定定理判断，若直线无斜率时，要单独考虑． (2)在运用两平行直线间的距离公式d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2时，一定要注意将两方程中的x ，y 系数化为分别相等．三种对称(1)点关于点的对称点P (x 0，y 0)关于A (a ，b )的对称点为P ′(2a －x 0,2b －y 0)．(2)点关于直线的对称设点P (x 0，y 0)关于直线y ＝kx ＋b 的对称点P ′(x ′，y ′)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ y ′－y 0x ′－x 0·k ＝－1，y ′＋y 02＝k ·x ′＋x 02＋b ，可求出x ′，y ′.(3)直线关于直线的对称①若已知直线l 1与对称轴l 相交，则交点必在与l 1对称的直线l 2上，然后再求出l 1上任一个已知点P 1关于对称轴l 对称的点P 2，那么经过交点及点P 2的直线就是l 2；②若已知直线l 1与对称轴l 平行，则与l 1对称的直线和l 1分别到直线l 的距离相等，由平行直线系和两条平行线间的距离即可求出l 1的对称直线．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a的值为( )．A ．－3B ．－43C ．2D ．3解析 由⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2×23＝－1，得：a ＝3. 答案 D2．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( )．A ．1 B. 3 C ．2 D. 5解析 d ＝|－5|1＋22＝ 5. 答案 D3．(2012·银川月考)过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0平行的直线方程是( )．A ．x －2y －1＝0B ．x －2y ＋1＝0C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0 解析 ∵所求直线与直线x －2y －2＝0平行，∴所求直线斜率k ＝12，排除C 、D.又直线过点(1,0)，排除B ，故选A.答案 A4．点(a ，b )关于直线x ＋y ＋1＝0的对称点是( )．A ．(－a －1，－b －1)B ．(－b －1，－a －1)C ．(－a ，－b )D ．(－b ，－a )解析 设对称点为(x ′，y ′)，则⎩⎪⎨⎪⎧ y ′－b x ′－a ×(－1)＝－1，x ′＋a 2＋y ′＋b 2＋1＝0，解得：x ′＝－b －1，y ′＝－a －1.答案 B5．平行线l 1：3x －2y －5＝0与l 2：6x －4y ＋3＝0之间的距离为________．解析 直线l 2变为：3x －2y ＋32＝0，由平行线间的距离公式得：d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－5－3232＋22＝132.答案13 2考向一两条直线平行与垂直的判定及应用【例1】►(1)已知两条直线y＝ax－2和y＝(a＋2)x＋1互相垂直，则实数a＝________.(2)“ab＝4”是直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行的()．A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件[审题视点] (1)利用k1·k2＝－1解题．(2)抓住ab＝4能否得到两直线平行，反之两直线平行能否一定得ab＝4.解析(1)由题意知(a＋2)a＝－1，所以a2＋2a＋1＝0，则a＝－1.(2)直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行的充要条件是－2a＝－b2且－1a≠－1，即ab＝4且a≠1，则“ab＝4”是“直线2x＋ay－1＝0与直线bx＋2y－2＝0平行”的必要而不充分条件．答案(1)－1(2)C(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意．(2)①若直线l1和l2有斜截式方程l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，则：直线l1⊥l2的充要条件是k1·k2＝－1.②设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.则：l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.(3)注意转化与化归思想的应用．【训练1】已知直线l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，求m的值，使得：(1)l1与l2相交；(2)l1⊥l2；(3)l1∥l2；(4)l1，l2重合．解(1)由已知1×3≠m(m－2)，即m2－2m－3≠0，解得m≠－1且m≠3.故当m ≠－1且m ≠3时，l 1与l 2相交．(2)当1·(m －2)＋m ·3＝0，即m ＝12时，l 1⊥l 2.(3)当1×3＝m (m －2)且1×2m ≠6×(m －2)或m ×2m ≠3×6，即m ＝－1时，l 1∥l 2.(4)当1×3＝m (m －2)且1×2m ＝6×(m －2)，即m ＝3时，l 1与l 2重合．考向二 两直线的交点【例2】►求经过直线l 1：3x ＋2y －1＝0和l 2：5x ＋2y ＋1＝0的交点，且垂直于直线l 3：3x －5y ＋6＝0的直线l 的方程．[审题视点] 可先求出l 1与l 2的交点，再用点斜式；也可利用直线系方程求解．解 法一 先解方程组⎩⎨⎧3x ＋2y －1＝0，5x ＋2y ＋1＝0， 得l 1、l 2的交点坐标为(－1,2)，再由l 3的斜率35求出l 的斜率为－53，于是由直线的点斜式方程求出l ：y －2＝－53(x ＋1)，即5x ＋3y －1＝0.法二 由于l ⊥l 3，故l 是直线系5x ＋3y ＋C ＝0中的一条，而l 过l 1、l 2的交点(－1,2)，故5×(－1)＋3×2＋C ＝0，由此求出C ＝－1，故l 的方程为5x ＋3y －1＝0.法三 由于l 过l 1、l 2的交点，故l 是直线系3x ＋2y －1＋λ(5x ＋2y ＋1)＝0中的一条，将其整理，得(3＋5λ)x ＋(2＋2λ)y ＋(－1＋λ)＝0.其斜率－3＋5λ2＋2λ＝－53，解得λ＝15， 代入直线系方程即得l 的方程为5x ＋3y －1＝0.运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是：Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )；(2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋m ＝0(m ∈R )；(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.【训练2】 直线l 被两条直线l 1：4x ＋y ＋3＝0和l 2：3x －5y －5＝0截得的线段的中点为P (－1,2)，求直线l 的方程．解 法一 设直线l 与l 1的交点为A (x 0，y 0)，由已知条件，得直线l 与l 2的交点为B (－2－x 0,4－y 0)，并且满足⎩⎨⎧ 4x 0＋y 0＋3＝0，3(－2－x 0)－5(4－y 0)－5＝0， 即⎩⎨⎧ 4x 0＋y 0＋3＝0，3x 0－5y 0＋31＝0，解得⎩⎨⎧ x 0＝－2，y 0＝5，因此直线l 的方程为y －25－2＝x －(－1)－2－(－1)，即3x ＋y ＋1＝0. 法二 设直线l 的方程为y －2＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＋2＝0.由⎩⎨⎧ kx －y ＋k ＋2＝0，4x ＋y ＋3＝0，得x ＝－k －5k ＋4. 由⎩⎨⎧kx －y ＋k ＋2＝0，3x －5y －5＝0，得x ＝－5k －155k －3. 则－k －5k ＋4＋－5k －155k －3＝－2，解得k ＝－3. 因此所求直线方程为y －2＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋1＝0.法三 两直线l 1和l 2的方程为(4x ＋y ＋3)(3x －5y －5)＝0，①将上述方程中(x ，y )换成(－2－x,4－y )，整理可得l 1与l 2关于(－1,2)对称图形的方程：(4x ＋y ＋1)(3x －5y ＋31)＝0.②①－②整理得3x ＋y ＋1＝0.考向三 距离公式的应用【例3】►(2011·北京东城模拟)若O (0,0)，A (4，－1)两点到直线ax ＋a 2y ＋6＝0的距离相等，则实数a ＝________.[审题视点] 由点到直线的距离公式列出等式求a .解析 由题意，得6a 2＋a 4＝|4a －a 2＋6|a 2＋a4，即4a －a 2＋6＝±6，解之得a ＝0或－2或4或6.检验得a ＝0不合题意，所以a ＝－2或4或6.答案 －2或4或6用点到直线的距离公式时，直线方程要化为一般式，还要注意公式中分子含有绝对值的符号，分母含有根式的符号．而求解两平行直线的距离问题也可以在其中一条直线上任取一点，再求这一点到另一直线的距离．【训练3】 已知直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0与l 2：2x ＋my －1＝0互相平行，且l 1，l 2之间的距离为 5，求直线l 1的方程． 解 ∵l 1∥l 2，∴m 2＝8m ≠n －1，∴⎩⎨⎧ m ＝4，n ≠－2或⎩⎨⎧m ＝－4，n ≠2. (1)当m ＝4时，直线l 1的方程为4x ＋8y ＋n ＝0，把l 2的方程写成4x ＋8y －2＝0.∴|n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－22或n ＝18. 所以，所求直线的方程为2x ＋4y －11＝0或2x ＋4y ＋9＝0.(2)当m ＝－4时，直线l 1的方程为4x －8y －n ＝0，l 2的方程为2x －4y －1＝0，∴|－n ＋2|16＋64＝5，解得n ＝－18或n ＝22. 所以，所求直线的方程为2x －4y ＋9＝0或2x －4y －11＝0.考向四 对称问题【例4】►光线从A (－4，－2)点射出，到直线y ＝x 上的B 点后被直线y ＝x 反射到y 轴上C 点，又被y 轴反射，这时反射光线恰好过点D (－1,6)，求BC 所在的直线方程．[审题视点] 设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则直线A ′D ′经过点B 与C .解 作出草图，如图所示．设A 关于直线y ＝x 的对称点为A ′，D 关于y 轴的对称点为D ′，则易得A ′(－2，－4)，D ′(1,6)．由入射角等于反射角可得A ′D ′所在直线经过点B 与C .故BC 所在的直线方程为y －66＋4＝x －11＋2，即10x －3y ＋8＝0.解决这类对称问题要抓住两条：一是已知点与对称点的连线与对称轴垂直；二是以已知点和对称点为端点的线段的中点在对称轴上．【训练4】 已知直线l ：x －y －1＝0，l 1：2x －y －2＝0.若直线l 2与l 1关于l 对称，则l 2的方程是( )．A ．x －2y ＋1＝0B ．x －2y －1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋2y －1＝0解析 l 1与l 2关于l 对称，则l 1上任一点关于l 的对称点都在l 2上，故l 与l 1的交点(1,0)在l 2上．又易知(0，－2)为l 1上一点，设其关于l 的对称点为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋02－y －22－1＝0，y ＋2x ×1＝－1，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－1.即(1,0)、(－1，－1)为l 2上两点，可得l 2方程为x －2y －1＝0. 答案 B难点突破19——两直线平行与垂直问题的求解策略从近两年新课标高考试题可看出高考主要以选择题、填空题的形式考查两直线的平行和垂直问题，往往是直线方程中一般带有参数，问题的难点就是确定这些参数值，方法是根据两直线平行、垂直时所满足的条件列关于参数的方程(组)，通过解方程(组)求出参数值，但要使参数符合题目本身的要求，解题时注意直线方程本身的限制．【示例1】►(2011·浙江)若直线x－2y＋5＝0与直线2x＋my－6＝0互相垂直，则实数m＝________.【示例2】►(2010·上海)已知直线l1：(k－3)x＋(4－k)y＋1＝0与l2：2(k－3)x－2y＋3＝0平行，则k的值是()．A．1或3 B．1或5 C．3或5 D．1或2。

课时跟踪检测(五十)[高考基础题型得分练]1．[2017·浙江温州十校联考]对任意的实数k ，直线y ＝kx －1与圆C ：x 2＋y 2－2x －2＝0的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上三个选项均有可能 答案：C解析：直线y ＝kx －1恒经过点A (0，－1)，圆x 2＋y 2－2x －2＝0的圆心为C (1,0)，半径为3，而|AC |＝2＜3，故直线y ＝kx －1与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相交．2．已知圆x 2＋y 2＋2x －2y ＋a ＝0截直线x ＋y ＋2＝0所得弦的长度为4，则实数a 的值是( )A ．－2B ．－4C ．－6D ．－8答案：B解析：将圆的方程化为标准方程为(x ＋1)2＋(y －1)2＝2－a ，所以圆心为(－1,1)，半径r ＝2－a ，圆心到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝|－1＋1＋2|2＝2，故r 2－d 2＝4，即2－a －2＝4，所以a ＝－4，故选B.3．[2017·辽宁大连期末]圆x 2＋y 2＋2y －3＝0被直线x ＋y －k ＝0分成两段圆弧，且较短弧长与较长弧长之比为1∶3，则k ＝( )A.2－1或－2－1 B ．1或－3 C ．1或－ 2 D. 2答案：B解析：由题意知，圆的标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝4. 较短弧所对圆周角是90°，所以圆心(0，－1)到直线x ＋y －k ＝0的距离为22r ＝ 2. 即|1＋k |2＝2，解得k ＝1或－3. 4．若圆C 1：x 2＋y 2＝1与圆C 2：x 2＋y 2－6x －8y ＋m ＝0外切，则m ＝( ) A ．21B ．19C ．9D ．－11答案：C解析：圆C 1的圆心C 1(0,0)，半径r 1＝1，圆C 2的方程可化为(x －3)2＋(y －4)2＝25－m ， 所以圆心C 2(3,4)，半径r 2＝25－m ， 从而|C 1C 2|＝32＋42＝5.由两圆外切，得|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即1＋25－m ＝5，解得m ＝9，故选C.5．[2017·江西南昌模拟]已知过定点P (2,0)的直线l 与曲线y ＝2－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当S △AOB ＝1时，直线l 的倾斜角为( )A ．150°B ．135°C ．120°D ．不存在答案：A解析：由于S △AOB ＝12×2×2sin ∠AOB ＝1，∴sin ∠AOB ＝1，∴∠AOB ＝π2， ∴点O 到直线l 的距离OM 为1，而OP ＝2，OM ＝1，在直角△OMP 中，∠OPM ＝30°， ∴直线l 的倾斜角为150°，故选A.6．[2017·山东青岛一模]过点P (1，3)作圆O ：x 2＋y 2＝1的两条切线，切点分别为A 和B ，则弦长|AB |＝( )A. 3 B ．2 C. 2 D ．4答案：A解析：如图所示，∵PA ，PB 分别为圆O ：x 2＋y 2＝1的切线，∴AB ⊥OP .∵P (1，3)，O (0,0)， ∴|OP |＝1＋3＝2. 又∵|OA |＝1，在Rt △APO 中，cos ∠AOP ＝12，∴∠AOP ＝60°，∴|AB |＝2|OA |sin ∠AOP ＝ 3.7．若a 2＋b 2＝2c 2(c ≠0)，则直线ax ＋by ＋c ＝0被圆x 2＋y 2＝1所截得的弦长为( ) A.12 B ．1 C.22D. 2答案：D解析：因为圆心(0,0)到直线ax ＋by ＋c ＝0的距离d ＝|c |a 2＋b2＝|c |2|c |＝22， 因此根据直角三角形勾股定理，弦长的一半就等于1－⎝⎛⎭⎪⎫222＝22，所以弦长为 2. 8．直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0(a ＜3)相交于A ，B 两点，若弦AB 的中点为(－2,3)，则直线l 的方程为( )A ．x ＋y －3＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋5＝0D ．x －y －5＝0答案：C解析：设直线的斜率为k ，又弦AB 的中点为(－2,3)， 所以直线l 的方程为kx －y ＋2k ＋3＝0，由x 2＋y 2＋2x －4y ＋a ＝0得圆的圆心坐标为(－1,2)， 所以圆心到直线的距离为2，所以|－k －2＋2k ＋3|k 2＋1＝2，解得k ＝1， 所以直线l 的方程为x －y ＋5＝0.9．[2017·河北唐山模拟]过点A (3,1)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－4y －1＝0相切于点B ，则CA →·CB →＝________.答案：5解析：解法一：由已知得，圆心C (0,2)，半径r ＝5，△ABC 是直角三角形，|AC |＝－2＋－2＝10，|BC |＝5，∴cos ∠ACB ＝BC AC＝510，∴CA →·CB →＝|CA →||CB →|cos ∠ACB ＝5.解法二：CA →·CB →＝(CB →＋BA →)·CB →＝CB →2＋BA →·CB →， 由于|BC |＝5，AB ⊥BC ， 因此CA →·CB →＝5＋0＝5.10．已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________.答案：4±15解析：依题意，圆C 的半径是2，圆心C (1，a )到直线ax ＋y －2＝0的距离等于32×2＝3，于是有|a ＋a －2|a 2＋1＝3，即a 2－8a ＋1＝0，解得a ＝4±15. 11．若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是为________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33 解析：整理曲线C 1的方程得，(x －1)2＋y 2＝1，故曲线C 1为以点C 1(1,0)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2则表示两条直线，即x 轴与直线l ：y ＝m (x ＋1)，显然x 轴与圆C 1有两个交点，依题意知直线l 与圆相交，故有圆心C 1到直线l 的距离d ＝|m＋－0|m 2＋1＜r ＝1，解得m∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33， 又当m ＝0时，直线l 与x 轴重合，此时只有两个交点，应舍去． 故m ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33. 12．过点M (1,2)的直线l 与圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝25交于A ，B 两点，C 为圆心，当∠ACB 最小时，直线l 的方程是________．答案：x ＋y －3＝0解析：依题意得，当∠ACB 最小时，圆心C 到直线l 的距离达到最大，此时直线l 与直线CM 垂直，又直线CM 的斜率为1， 因此所求直线l 的方程是y －2＝－(x －1)，即x ＋y －3＝0.[冲刺名校能力提升练]1．[2017·辽宁沈阳一模]直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切，则a 的值为( ) A ．3 B ．2 2 C ．3或－5 D ．－3或5答案：C解析：解法一：联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋4，x －a 2＋y －2＝8，消去y 可得，2x 2－(2a －2)x ＋a 2－7＝0，则由题意可得Δ＝[－(2a －2)]2－4×2×(a 2－7)＝0， 整理可得a 2＋2a －15＝0，解得a ＝3或－5.解法二：因为(x －a )2＋(y －3)2＝8的圆心为(a,3)，半径为22，所以由直线y ＝x ＋4与圆(x －a )2＋(y －3)2＝8相切知，圆心到直线的距离等于半径，所以|a －3＋4|12＋－2＝22，即|a ＋1|＝4，解得a ＝3或－5.2．[2017·新疆乌鲁木齐一诊]在圆x 2＋y 2＋2x －4y ＝0内，过点(0,1)的最短弦所在直线的倾斜角是( )A.π6 B.π4 C.π3D.3π4答案：B解析：由题意知，圆心为(－1,2)，过点(0,1)的最长弦(直径)斜率为－1，且最长弦与最短弦垂直，∴过点(0,1)的最短弦所在直线的斜率为1，即倾斜角是π4.3．设直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与圆(x －5)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切于点M ，且M 为线段AB 的中点，若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,4)C ．(2,3)D ．(2,4)答案：D解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减，得(y 1＋y 2)·(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，当直线l 的斜率不存在时，符合条件的直线l 必有两条； 当直线l 的斜率k 存在时，如图，x 1≠x 2，则有y 1＋y 22·y 1－y 2x 1－x 2＝2，即y 0·k ＝2， 由CM ⊥AB ，得k ·y 0－0x 0－5＝－1， y 0·k ＝5－x 0,2＝5－x 0，x 0＝3，即M 必在直线x ＝3上，将x ＝3代入y 2＝4x ，得y 2＝12， ∴－23＜y 0＜23， ∵点M 在圆上，∴(x 0－5)2＋y 20＝r 2，r 2＝y 20＋4＜12＋4＝16， 又y 20＋4＞4，∴4＜r 2＜16，∴2＜r ＜4.故选D.4．[2017·云南名校联考]已知圆O ：x 2＋y 2＝1，P 为直线x －2y ＋5＝0上的动点，过点P 作圆O 的一条切线，切点为A ，则|PA |的最小值为________．答案：2解析：过O 作OP 垂直于直线x －2y ＋5＝0， 过P 作圆O 的切线PA ，连接OA ， 易知此时|PA |的值最小． 由点到直线的距离公式，得 |OP |＝|1×0－2×0＋5|1＋22＝ 5. 又|OA |＝1，所以|PA |＝|OP |2－|OA |2＝2.5.如图，已知以点A (－1,2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2,0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .(1)求圆A 的方程；(2)当|MN |＝219时，求直线l 的方程． 解：(1)设圆A 的半径为R .由于圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切， ∴R ＝|－1＋4＋7|5＝2 5.∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)①当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意； ②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)． 即kx －y ＋2k ＝0. 连接AQ ，则AQ ⊥MN .∵|MN |＝219，∴|AQ |＝20－19＝1， 则由|AQ |＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34，∴直线l ：3x －4y ＋6＝0.故直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. 6．已知圆O ：x 2＋y 2＝4和点M (1，a )．(1)若过点M 有且只有一条直线与圆O 相切，求实数a 的值，并求出切线方程；(2)若a ＝2，过点M 作圆O 的两条弦AC ，BD 互相垂直，求|AC |＋|BD |的最大值． 解：(1)由条件知点M 在圆O 上， 所以1＋a 2＝4，则a ＝± 3.当a ＝3时，点M 为(1，3)，k OM ＝3，k 切＝－33， 此时切线方程为y －3＝－33(x －1)， 即x ＋3y －4＝0，当a ＝－3时，点M 为(1，－3)，k OM ＝－3，k 切＝33， 此时切线方程为y ＋3＝33(x －1)， 即x －3y －4＝0.所以所求的切线方程为x ＋3y －4＝0或x －3y －4＝0. (2)设O 到直线AC ，BD 的距离分别为d 1，d 2(d 1，d 2≥0)， 则d 21＋d 22＝OM 2＝3.又有|AC |＝24－d 21，|BD |＝24－d 22， 所以|AC |＋|BD |＝24－d 21＋24－d 22.则(|AC |＋|BD |)2＝4×(4－d 21＋4－d 22＋24－d 21·4－d 22) ＝4×[5＋216－d 21＋d 22＋d 21d 22] ＝4×(5＋24＋d 21d 22)． 因为2d 1d 2≤d 21＋d 22＝3， 所以d 21d 22≤94，当且仅当d 1＝d 2＝62时等号成立， 所以4＋d 21d 22≤52，所以(|AC |＋|BD |)2≤4×⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2×52＝40.所以|AC |＋|BD |≤210， 即|AC |＋|BD |的最大值为210.。

9.7 抛物线考纲要求1．掌握抛物线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率)．2．理解数形结合的思想．3．了解抛物线的简单应用，了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用．1．抛物线的定义平面内与一个定点F 和一条定直线l (F ∉l )的距离____的点的轨迹叫做抛物线．点F 叫做抛物线的____，直线l 叫做抛物线的____．F ______F ______ F ______(x 0，y 0))21．抛物线y ＝8x 2的准线方程为( )．A ．x ＝－2B ．x ＝－12C ．y ＝－18D ．y ＝－1322．抛物线x 2＝4y 上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为( )． A ．2 B ．3 C ．4 D ．53．已知抛物线y ＝ax 2的准线方程为y ＝1，则a 的值为( )．A ．4B ．－14C ．－4D ．144．若抛物线y 2＝2px 的焦点与双曲线x 26－y 23＝1的右焦点重合，则p 的值为__________．5．已知动点P 到定点(2,0)的距离和它到定直线l ：x ＝－2的距离相等，则点P 的轨迹方程为__________．一、抛物线的定义及其应用【例1－1】 设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A为垂足，如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )．A ．4 3B ．8C ．8 3D ．16【例1－2】 已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的距离为d ，且点P 在y轴上的射影是M ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4，则|PA |＋|PM |的最小值是( )． A ．72 B ．4 C ．92 D ．5 方法提炼利用抛物线的定义可解决的常见问题：(1)轨迹问题：用抛物线的定义可以确定动点与定点、定直线距离有关的轨迹是否为抛物线；(2)距离问题：涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离问题时，注意利用两者之间的转化在解题中的应用．提醒：注意一定要验证定点是否在定直线上． 请做演练巩固提升1,3二、抛物线的标准方程及其几何性质【例2－1】 设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心、|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )．A ．(0,2)B ．[0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)【例2－2】 已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点M (m ，－3)到焦点的距离为5，求m 的值、抛物线方程和准线方程．方法提炼1．求抛物线的标准方程的方法及注意事项(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p ，所以，只需一个条件确定p 值即可；(2)注意事项：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量．2．抛物线的标准方程及其性质的应用由抛物线的方程可求x ，y 的范围，从而确定开口方向；由方程可判断其对称轴，求p 值，确定焦点坐标等．提醒：抛物线方程中的参数p ＞0，其几何意义是焦点到准线的距离． 请做演练巩固提升2,4要注重抛物线定义的运用【典例】 (12分)(2012课标全国高考)设抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，准线为l .A 为C 上一点，已知以F 为圆心，FA 为半径的圆F 交l 于B ，D 两点．(1)若∠BFD ＝90°，△ABD 的面积为42，求p 的值及圆F 的方程；(2)若A ，B ，F 三点在同一直线m 上，直线n 与m 平行，且n 与C 只有一个公共点，求坐标原点到m ，n 距离的比值．规范解答：(1)由已知可得△BFD 为等腰直角三角形，|BD |＝2p ，圆F 的半径|FA |＝2p .(1分)由抛物线定义可知A 到l 的距离d ＝|FA |＝2p .(2分) 因为△ABD 的面积为42，所以12|BD |·d ＝42，即12·2p ·2p ＝42， 解得p ＝－2(舍去)，p ＝2.所以F (0,1)，圆F 的方程为x 2＋(y －1)2＝8.(4分)(2)因为A ，B ，F 三点在同一直线m 上， 所以AB 为圆F 的直径，∠ADB ＝90°.(6分)由抛物线定义知|AD |＝|FA |＝12|AB |，所以∠ABD ＝30°，m 的斜率为33或－33.(7分) 当m 的斜率为33时，由已知可设n ：y ＝33x ＋b ，代入x 2＝2py 得x 2－233px －2pb ＝0. 由于n 与C 只有一个公共点，故Δ＝43p 2＋8pb ＝0.解得b ＝－p6.(9分)因为m 的截距b 1＝p 2，|b 1||b |＝3，所以坐标原点到m ，n 距离的比值为3.当m 的斜率为－33时，由图形对称性可知，坐标原点到m ，n 距离的比值为3.(12分) 答题指导：1.对抛物线的考查多在定义上出题目； 2．解决抛物线问题多考虑开口方向及焦点等问题．1．如图，在正方体ABCD ­A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点．若P 到直线BC 与直线C 1D 1的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是( )．A ．线段B ．圆C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分2．(2012课标全国高考)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )．A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．83．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )．A.34 B ．1 C.54 D.744．已知抛物线y ＝2px 2(p ＞0)的焦点为F ，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14在抛物线上，过P 作PQ 垂直抛物线的准线，垂足为Q ，若抛物线的准线与对称轴相交于点M ，则四边形PQMF 的面积为__________．参考答案基础梳理自测知识梳理1．相等 焦点 准线2．⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2 ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2 1 x ＝－p 2 x ＝p 2 y ＝－p 2 y ＝p 2 基础自测1．D 解析：抛物线的方程可化为x 2＝18y ，即2p ＝18，p ＝116，p 2＝132，所以准线方程为y ＝－132.2．D 解析：点A 到抛物线焦点的距离等于点A 到抛物线准线的距离，即4－(－1)＝5.3．B 解析：由x 2＝1a y ，∴其准线方程为y ＝－14a .∴a ＝－14.4．6 解析：由双曲线x 26－y 23＝1的右焦点F (3,0)是抛物线y 2＝2px 的焦点，得p2＝3，p ＝6.5．y 2＝8x 解析：由条件可知P 点的轨迹为抛物线，其焦点为(2,0)，准线为x ＝－2， 所以p2＝2，p ＝4，轨迹方程为y 2＝2px ＝8x .考点探究突破【例1－1】 B 解析：如图，由k AF ＝－3知∠AFM ＝60°.又AP ∥MF ，所以∠PAF ＝60°. 又|PA |＝|PF |，所以△APF 为等边三角形． 故|PF |＝|AF |＝2|MF |＝2p ＝8.【例1－2】 C 解析：设抛物线y 2＝2x 的焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0.又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫72，4在抛物线的外侧，抛物线的准线方程为x ＝－12，则|PM |＝d －12. 又|PA |＋d ＝|PA |＋|PF |≥|AF |＝5，所以|PA |＋|PM |≥92.【例2－1】 C 解析：易知F (0,2)，准线方程为y ＝－2. 圆心到准线的距离为4，则|FM |＞4，即|FM |＝x 02＋(y 0－2)2＝8y 0＋(y 0－2)2＞4，∴y 02－4y 0＋4＋8y 0＞16，y 02＋4y 0－12＞0，解得y 0＞2或y 0＜－6(舍)． ∴y 0的取值范围是(2，＋∞)．【例2－2】 解法一：设所求抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，则焦点为F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2.∵M (m ，－3)在抛物线上且|MF |＝5，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝6p ，m 2＋⎝⎛⎭⎪⎫－3＋p 22＝5，解得⎩⎨⎧p ＝4，m ＝±2 6.∴抛物线方程为x 2＝－8y ，m ＝±26，准线方程为y ＝2. 解法二：如图所示，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，则焦点F ⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2，准线l ：y ＝p2，作MN ⊥l ，垂足为N ，则|MN |＝|MF |＝5， 而|MN |＝3＋p2，∴3＋p2＝5，p ＝4.∴抛物线方程为x 2＝－8y ，准线方程为y ＝2.由m 2＝－8×(－3)＝24，得m ＝±2 6. 演练巩固提升1．D 解析：连接PC 1，即为P 到直线C 1D 1的距离．根据题意，在平面BB 1C 1C 内点P 到定点C 1的距离等于到定直线BC 的距离，符合抛物线定义，轨迹两个端点分别为B 1及CC 1的中点，∴P 点的轨迹为抛物线的一部分．2．C 解析：设双曲线的方程为x 2a 2－y 2a2＝1，抛物线的准线为x ＝－4，且|AB |＝43，故可得A (－4,23)，B (－4，－23)，将点A 的坐标代入双曲线方程得a ＝4，故a ＝2，故实轴长为4.3．C 解析：如图，由抛物线的定义知，|AM |＋|BN |＝|AF |＋|BF |＝3，|CD |＝32，所以中点C 的横坐标为32－14＝54.4．138 解析：由P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，14在抛物线上得p ＝18， 故抛物线的标准方程为x 2＝4y ，点F 坐标为(0,1)，准线为y ＝－1，∴|FM |＝2，|PQ |＝1＋14＝54，|MQ |＝1，则直角梯形PQMF 的面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫54＋2×1＝138.。

第8讲 曲线与方程配套课时作业1．已知点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，直线l ：x ＝－14，点B 是l 上的动点．若过点B 垂直于y 轴的直线与线段BF 的垂直平分线交于点M ，则点M 的轨迹是( )A ．双曲线B ．椭圆C ．圆D ．抛物线 答案 D解析 由已知知|MF |＝|MB |，根据抛物线的定义知，点M 的轨迹是以点F 为焦点，直线l 为准线的抛物线．2．(2019·某某模拟)如图所示，A 是圆O 内一定点，B 是圆周上一个动点，AB 的中垂线CD 与OB 交于点E ，则点E 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线 答案 B解析 由题意知，|EA |＋|EO |＝|EB |＋|EO |＝r (r 为圆的半径)且r >|OA |，故E 的轨迹为以O ，A 为焦点的椭圆．故选B.3．到点F (0,4)的距离比到直线y ＝－5的距离小1的动点M 的轨迹方程为( ) A ．y ＝16x 2B ．y ＝－16x 2C ．x 2＝16y D ．x 2＝－16y 答案 C解析 由条件知，动点M 到F (0,4)的距离与到直线y ＝－4的距离相等，所以点M 的轨迹是以F (0,4)为焦点，直线y ＝－4为准线的抛物线，其标准方程为x 2＝16y .4．(2019·某某模拟)设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，PA 是圆的切线，且|PA |＝1，则P 点的轨迹方程为( )A ．y 2＝2x B ．(x －1)2＋y 2＝4 C ．y 2＝－2x D ．(x －1)2＋y 2＝2 答案 D解析 如图，设P (x ，y )，圆心为M (1,0)，连接MA ，则MA ⊥PA ，且|MA |＝1.又∵|PA |＝1，∴|PM |＝|MA |2＋|PA |2＝2，即|PM |2＝2，∴(x －1)2＋y 2＝2.5．在△ABC 中，已知A (－1,0)，C (1,0)，且|BC |，|CA |，|AB |成等差数列，则顶点B 的轨迹方程是( )A.x 23＋y 24＝1B.x 23＋y 24＝1(x ≠±3)C.x 24＋y 23＝1 D.x 24＋y 23＝1(x ≠±2) 答案 D解析 因为|BC |，|CA |，|AB |成等差数列，所以|BC |＋|BA |＝2|CA |＝4.所以点B 的轨迹是以A ，C 为焦点，半焦距c ＝1，长轴长2a ＝4的椭圆．又B 是三角形的顶点，A ，B ，C 三点不能共线，故所求的轨迹方程为x 24＋y 23＝1，且x ≠±2.故选D.6．动圆M 经过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点且与直线x ＝2相切，则圆心M 的轨迹方程是( )A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝－4x 答案 B解析 设双曲线x 2－y 23＝1的左焦点为F (－2,0)，因为动圆M 经过F 且与直线x ＝2相切，所以圆心M 到点F 的距离和到直线x ＝2的距离相等，由抛物线的定义知轨迹是抛物线，其方程为y 2＝－8x .7．(2019·某某某某检测)已知F 1，F 2是双曲线的两个焦点，Q 是双曲线上任意一点，从焦点F 1引∠F 1QF 2的平分线的垂线，垂足为P ，则点P 的轨迹为( )A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．双曲线 答案 B解析 不妨设点Q 在双曲线的右支上，延长F 1P 交直线QF 2于点S ，∵QP 是∠F 1QF 2的平分线，且QP ⊥F 1S ，∴P 是F 1S 的中点．∵O 是F 1F 2的中点，∴PO 是△F 1SF 2的中位线，∴|PO |＝12|F 2S |＝12(|QS |－|QF 2|)＝12(|QF 1|－|QF 2|)＝a (定值)，∴点P 的轨迹为圆． 8．设线段AB 的两个端点A ，B 分别在x 轴、y 轴上滑动，且|AB |＝5，OM →＝35OA →＋25OB →，则点M 的轨迹方程为( )A.x 29＋y 24＝1B.y 29＋x 24＝1C.x 225＋y 29＝1 D.y 225＋x 29＝1 答案 A解析 设M (x ，y )，A (x 0,0)，B (0，y 0)，由OM →＝35OA →＋25OB →，得(x ，y )＝35(x 0,0)＋25(0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝35x 0，y ＝25y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝53x ，y 0＝52y ，由|AB |＝5，得⎝ ⎛⎭⎪⎫53x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52y 2＝25，化简得x 29＋y 24＝1.9．已知A ，B 为平面内两定点，过该平面内动点M 作直线AB 的垂线，垂足为N .若MN →2＝λAN →·NB →，其中λ为常数，则动点M 的轨迹不可能是( )A ．圆B ．椭圆C ．抛物线D ．双曲线 答案 C解析 以AB 所在直线为x 轴，AB 的中垂线为y 轴，建立坐标系，设M (x ，y )，A (－a,0)，B (a,0)，则N (x,0)．因为MN →2＝λAN →·NB →，所以y 2＝λ(x ＋a )(a －x )，即λx 2＋y 2＝λa 2，当λ＝1时，轨迹是圆；当λ>0且λ≠1时，轨迹是椭圆；当λ<0时，轨迹是双曲线；当λ＝0时，轨迹是直线．综上，动点M 的轨迹不可能是抛物线．10．已知A (0,7)，B (0，－7)，C (12,2)，以C 为一个焦点作过A ，B 的椭圆，椭圆的另一个焦点F 的轨迹方程是( )A ．y 2－x 248＝1(y ≤－1) B ．y 2－x 248＝1C ．y 2－x 248＝－1 D ．x 2－y 248＝1 答案 A解析 由题意，得|AC |＝13，|BC |＝15，|AB |＝14，又|AF |＋|AC |＝|BF |＋|BC |，∴|AF |－|BF |＝|BC |－|AC |＝2.故点F 的轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为2的双曲线的下支．∵双曲线中c ＝7，a ＝1，∴b 2＝48，∴焦点F 的轨迹方程为y 2－x 248＝1(y ≤－1)．11．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点M 在AB 上，且AM ＝13，点P 在平面ABCD内，且动点P 到直线A 1D 1的距离与动点P 到点M 的距离的平方差为1，则动点P 的轨迹是( )A ．直线B ．圆C ．双曲线D ．抛物线 答案 D解析 在平面ABCD 内过点P 作PF ⊥AD ，垂足为F ，过点F 在平面AA 1D 1D 内作FE ⊥A 1D 1，垂足为E ，连接PE ，则有PE ⊥A 1D 1，即PE 为点P 到A 1D 1的距离．由题意知|PE |2－|PM |2＝1，又因为|PE |2＝|PF |2＋|EF |2，所以|PF |2＋|EF |2－|PM |2＝1，即|PF |2＝|PM |2，即|PF |＝|PM |，所以点P 满足到点M 的距离等于点P 到直线AD 的距离．由抛物线的定义知点P 的轨迹是以点M 为焦点，AD 为准线的抛物线，所以点P 的轨迹为抛物线．12．(2019·某某质量检查)已知A (－2,0)，B (2,0)，斜率为k 的直线l 上存在不同的两点M ，N 满足|MA |－|MB |＝23，|NA |－|NB |＝23，且线段MN 的中点为(6,1)，则k 的值为( )A ．－2B ．－12 C.12 D ．2答案 D解析 因为|MA |－|MB |＝23，|NA |－|NB |＝23，由双曲线的定义知，点M ，N 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上，且c ＝2，a ＝3，所以b ＝1，所以该双曲线的方程为x 23－y 2＝1.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，y 1＋y 2＝2.设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，代入双曲线的方程，消去y ，得(1－3k 2)x 2－6mkx －3m 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝6mk 1－3k 2＝12①，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝12k ＋2m ＝2②，由①②解得k ＝2，故选D.13．由动点P 向圆x 2＋y 2＝1引两条切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，∠APB ＝60°，则动点P 的轨迹方程为________．答案 x 2＋y 2＝4解析 设P (x ，y )，x 2＋y 2＝1的圆心为O ，因为∠APB ＝60°，OP 平分∠APB ，所以∠OPB ＝30°，因为|OB |＝1，∠OBP 为直角，所以|OP |＝2，所以x 2＋y 2＝4.14．(2019·某某模拟)△ABC 的顶点A (－5,0)，B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方程是________．答案x 29－y 216＝1(x >3)解析 如图，令内切圆与三边的切点分别为D ，E ，F ，可知|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |，所以|CA |－|CB |＝|AE |－|BE |＝8－2＝6<|AB |＝10.根据双曲线定义，所求轨迹是以A ，B 为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，其方程为x 29－y 216＝1(x >3)．15．已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C ，则曲线C 的方程为________．答案x 24＋y 23＝1(x ≠－2) 解析 设圆M 的半径为r 1，圆N 的半径为r 2，圆P 的半径为R .因为圆P 与圆M 外切并且与圆N 内切，所以|PM |＋|PN |＝(R ＋r 1)＋(r 2－R )＝r 1＋r 2＝4.由椭圆的定义可知，曲线C 是以M ，N 为左、右焦点，长半轴长为2，短半轴长为3的椭圆(左顶点除外)，其方程为x 24＋y 23＝1(x ≠－2)．16．若过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线与其交于M ，N 两点，作平行四边形MONP ，则点P的轨迹方程为________．答案 y 2＝4(x －2)解析 (1)当直线斜率k 存在时，设直线方程为y ＝k (x －1)，点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x ，y )，由OM →＝NP →，得(x 1，y 1)＝(x －x 2，y －y 2)．得x 1＋x 2＝x ，y 1＋y 2＝y .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1，y 2＝4x ，联立得x ＝x 1＋x 2＝2k 2＋4k2.y ＝y 1＋y 2＝4kk 2，消去参数k ，得y 2＝4(x －2)．(2)当直线斜率k 不存在时，直线方程为x ＝1，由O P →＝2O F →得P (2,0)，适合y 2＝4(x －2)．综合(1)(2)，点P 的轨迹方程为y 2＝4(x －2)．17．(2019·某某质检)如图所示，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 2,1<t <3，与椭圆C 2：x 29＋y 2＝1相交于A ，B ，C ，D 四点，点A 1，A 2分别为C 2的左、右顶点．(1)当t 为何值时，矩形ABCD 的面积取得最大值？并求出其最大面积； (2)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程． 解 (1)设A (x 0，y 0)，则S 矩形ABCD ＝4|x 0y 0|， 由x 209＋y 20＝1，得y 20＝1－x 209， 从而x 20y 2＝x 20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 209＝－19⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20－922＋94.当x 20＝92，y 20＝12时，S max ＝6.从而t 2＝x 20＋y 20＝5，t ＝5，所以当t ＝5时，矩形ABCD 的面积取到最大值6. (2)由椭圆C 2：x 29＋y 2＝1，知A 1(－3,0)，A 2(3,0)，由曲线的对称性及A (x 0，y 0)，得B (x 0，－y 0)， 设点M 的坐标为(x ，y )， 直线AA 1的方程为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)，①直线A 2B 的方程为y ＝－y 0x 0－3(x －3)，② 由①②得y 2＝－y 20x 20－9(x 2－9)．③又点A (x 0，y 0)在椭圆C 2上，故y 20＝1－x 209.④将④代入③，得x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．因此点M 的轨迹方程为x 29－y 2＝1(x <－3，y <0)．18．(2019·某某某某模拟)已知动点M (x ，y )满足：x ＋12＋y 2＋x －12＋y 2＝2 2.(1)求动点M 的轨迹E 的方程；(2)设过点N (－1,0)的直线l 与曲线E 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为C (点C 与点B 不重合)．证明：直线BC 恒过定点，并求该定点的坐标．解 (1)由已知，动点M 到点P (－1,0)，Q (1,0)的距离之和为22，且 |PQ |<22，所以动点M 的轨迹为椭圆，且a ＝2，c ＝1，所以b ＝1，所以动点M 的轨迹E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (x 1，－y 1)， 由已知得直线l 的斜率存在，设斜率为k ， 则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋1，x 22＋y 2＝1得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2.又直线BC 的方程为y －y 2＝y 2＋y 1x 2－x 1(x －x 2)， 即y ＝y 2＋y 1x 2－x 1x －x 1y 2＋x 2y 1x 2－x 1， 令y ＝0，得x ＝x 1y 2＋x 2y 1y 2＋y 1＝2kx 1x 2＋k x 1＋x 2k x 1＋x 2＋2k＝2x 1x 2＋x 1＋x 2x 1＋x 2＋2＝4k 2－41＋2k 2－4k21＋2k 2－4k 21＋2k 2＋2＝－2， 所以直线BC 恒过定点D (－2,0)．19．(2016·全国卷Ⅲ)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明：AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．解 由题意知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0. 设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 22，a ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b 22，b ，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，a ，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ， R ⎝ ⎛ －12，⎭⎪⎫a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0. (1)证明：由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0. 记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a ＝－aba＝－b ＝k 2.所以AR ∥FQ .(2)设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a |·|FD |＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12，S △PQF ＝|a －b |2. 由题设可得2×12|b －a |⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2， 所以x 1＝0(舍去)或x 1＝1.设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )． 当AB 与x 轴不垂直时， 由k AB ＝k DE 可得2a ＋b ＝yx －1(x ≠1)． 而a ＋b2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合．所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.20．(2019·某某模拟)已知椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O 为坐标原点．(1)求椭圆Γ的方程；(2)设点A 在椭圆Γ上，点B 在直线y ＝2上，且OA ⊥OB ，求证：1|OA |2＋1|OB |2为定值；(3)设点C 在椭圆Γ上运动，OC ⊥OD ，且点O 到直线CD 的距离为常数3，求动点D 的轨迹方程．解 (1)∵椭圆Γ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O 为坐标原点，∴b ＝c ＝2，∴a ＝2＋2＝2，∴椭圆Γ的方程为x 24＋y 22＝1.(2)证明：设A (x 0，y 0)，则OB 的方程为x 0x ＋y 0y ＝0，由y ＝2，得B ⎝⎛⎭⎪⎫－2y 0x 0，2，∴1|OA |2＋1|OB |2＝1x 20＋y 20＋14＋4y 20x 2＝4＋x 24x 20＋y 2＝4＋x 24⎝⎛⎭⎪⎫x 20＋2－x 22＝12， ∴1|OA |2＋1|OB |2为定值12. (3)设C (x 1，y 1)，D (x ，y )，由OC ⊥OD ，得x 1x ＋y 1y ＝0，①由点C 在椭圆上，得x 214＋y 212＝1，②联立①②，得x 21＝4y 22x 2＋y 2，y 21＝4x 22x 2＋y2.③由OC ⊥OD ，点O 到CD 的距离为3，得|OC |·|OD |＝3|CD |， ∴|OC |2·|OD |2＝3(|OC |2＋|OD |2)．将③代入得 1|OC |2＋1|OD |2＝1x 21＋y 21＋1x 2＋y2 ＝14y 22x 2＋y 2＋4x 22x 2＋y2＋1x 2＋y 2＝2x 2＋y 2＋44x 2＋y 2＝13， 化简，得点D 的轨迹方程为y 212－x 26＝1.。