2017年高考数学一轮复习 第十二章 统计与概率 第80课 古典概型概率教案

《古典概型复习课》教案一、学情分析（一）知识与技能学生已经掌握了概率的一些相关知识及计算，也了解了古典概型的计算方法，本节课的主要教学目标是帮助学生在此基础上巩固对古典概型的概率的求法。

（二）心理与生理高三学生具有较强的分析问题、解决问题的能力与一定层次上的交流沟通能力并能通过小组讨论解决一些问题。

根据新课程理念，以教材为背景，根据具体学情，制定了本节课的教学目标。

二．教学目标：知识与技能目标：1.理解古典概型及其概率计算公式，2.会用枚举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

过程与方法目标：1.进一步发展学生的类比、归纳等合情推理能力。

2.根据各种不同的实际情况的分析、判断、探索，培养学生的应用意识。

情感、态度与价值目标：1.通过有趣的，贴近学生生活的素材，激发学生学习数学的热情和乐趣，培养学生勇于探索的创新思想。

2.结合问题的现实意义，培养学生的合作精神和应用意识。

三、教法学法分析学生是认知的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，根据这节课的特点和学生的认知水平我设计了如下的教法与学法。

（一）教学方法采用启发引导相结合的教学方法，在教学中通过学生自主的完成学案，培养学生运用科学的思维方法进行自主探索，教师有层次进行引导和启发。

将学生的独立思考、自主探究、交流讨论等活动贯穿于课堂活动的全过程，让学生做课堂的主人。

（二）学法指导学生通过自主学习、小组展示和合作交流掌握古典概型的一些相关知识和计算。

四．重点难点：教学重点：会用枚举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。

教学难点：理解古典概型及其概率计算公式突破难点，突出重点的方法是：抓住学生情感和思维的兴奋点，激发他们的兴趣，鼓励学生积极探索，及时地给以鼓励.五、教学过程创设情景------开放课堂-------自我评价通过以上三个环节，由表及里，层层推进，突破重难点。

【创设情境—激发兴趣】《一个数学家=10个师》在第二次世界大战中，美国曾经宣布：一名优秀的数学家的作用超过10个师的兵力。

古典概型的教案古典概型是概率论中最基础的概念之一，也被称为“等可能概型”。

在数学教育中，教授古典概型是必不可少的一环。

本文将探讨如何编写一份古典概型的教案，以便帮助教师们有效地传授这一知识点。

第一部分：引入在编写关于古典概型的教案时，引入应该重点考虑。

引入应该使学生们对古典概型有初步的了解，并鼓励他们自己思考。

引导学生思考：每次投掷一枚公正的硬币，正面朝上和反面朝上的概率是多少？同时，假设我们将两枚公正的硬币同时投掷，这两枚硬币都会有正反两个面。

请问，两个硬币同时朝上的概率是多少？第二部分：解释古典概型在引入部分中，我们已经激发了学生们的兴趣。

在本节中，我们将确保学生们真正理解古典概型。

学生们应了解以下概念：等可能概型是指概率事件具有相等的可能性。

概率是一种数学方法，用于计算事件发生的可能性。

古典概型也称为等可能概型，用于计算事件发生的可能性，其中每种结果具有相等的可能性。

以两枚硬币为例，我们可以得出以下结论：硬币正面朝上与硬币反面朝上的概率都是50%。

当我们将两枚硬币同时投掷时，首先需要考虑的是：第一枚硬币会落在哪个面上。

这枚硬币可以落在正面或反面，概率都是50%。

接下来，我们需要考虑第二枚硬币会落在哪个面上。

第二枚硬币也可以落在正面或反面，概率同样是50%。

因此，两枚硬币同时朝上的概率是25%。

这一点也可以用古典概型计算得出。

第三部分：练习在学生们理解了古典概型的概念后，我们将在本节中给他们提供一些练习题。

1. 抛一次银币的正面朝上和反面朝上的概率各为多少？2. 抛一个六面体骰子，掷出一个点数大于2的概率是多少？3. 抛两枚银币，两面都朝上的概率是多少？4. 抛一枚金币和一枚银币，一面朝上的是金币，同时另一面朝上的是银币的概率是多少？5. 抛两个六面体骰子，掷出点数和为7的概率是多少？第四部分：拓展在学生们完成古典概型的基础知识后，我们需要拓展他们的知识面，让他们在实际问题中运用所学知识。

举例来说，我们可以用古典概型来解决以下问题：在10名男子和5名女子中，4名男子和3名女子将被选为一个无组织的调查组。

几何概型概率一、教学目标1．了解几何概型的基本概念、特点和意义，了解测度的简单含义；2．了解几何概型的概率计算公式，并能运用其解决一些简单的问题。

二、基础知识回顾与梳理1、一元二次方程022=++a x x ，（1）若{}2,1,0,1,2--∈a ，则方程有解的概率是__________．（2）若[]2,2-∈a ，则方程有解的概率是__________．【教学建议】本题主要是帮助学生正确区分古典概型与几何概型。

教学时，可让学生总结古典概型与几何概型的区别与联系，进而分析本题的两问分别属于哪种类型。

在正确判断的基础上，进一步思考古典概型与几何概型的求解方法，古典概型中的n m ,是多少，几何概型中区域d D ,选什么。

另外本题中还要注意方程有解的条件以及引导学生正确求解区间的长度。

2、某电台整点新闻节目都是播放15分钟，你随机的打开收音机，刚好在播新闻的概率是__________．【教学建议】本题改编自课本习题，目的是复习与长度有关的几何概型。

教学时，引导学生分析打开收音机的时刻是不是随机的？是不是两整点之间的任何时刻都有可能，具不具有等可能性？该选用哪种概型来求解？选什么作为几何度量？3、在一杯10升的清水中，有一条小鱼，现任意取出1升清水，则小鱼被取到的概率是__________．【教学建议】本题主要是复习与体积有关的几何概型。

首先引导学生判断出这是几何概型，再去寻求选什么作为几何度量。

鱼在水中的分布是随机的，与容器的形状无关，只与体积有关。

4、设有一个正方形网格，其中每个最小正方形的边长都为cm 6。

现用直径为cm 2的硬币投掷到此网格上，则硬币落下后与格线有公共点的概率为__________．【教学建议】本题选自课本习题，目的是复习与面积有关的几何概型。

教学时，首先要判断出这是两种概型中的哪种。

硬币落在正方形内的每个地方是不是等可能的？为什么要选择硬币的中心来研究？我们可以选正方形网格上的一个小正方形作为区域D ，那区域d 该怎么选呢？可以让学生拿一个硬币和一张纸出来，通过实验自己总结分析。

12.5 古典概型典例精析题型一 古典概率模型的计算问题【例1】一汽车厂生产A 、B 、C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)， 轿车A 轿车B 轿车C 舒适型100 150 z 标准型 300 450 600现按分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A 类10辆.(1)求z 的值；(2)用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本视为一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2把这8辆车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率.【解析】(1)依题意知，从每层抽取的比率为140，从而轿车的总数为50×40＝2 000辆，所以z ＝2 000－100－150－300－450－600＝400.(2)由(1)知C 类轿车共1 000辆，又样本容量为5，故抽取的比率为1200，即5辆轿车中有2辆舒适型、3辆标准型，任取2辆，一共有n ＝10种不同取法，记事件A ：至少有1辆舒适型轿车，则事件A 表示抽取到2辆标准型轿车，有m′＝3种不同取法，从而事件A 包含：基本事件数为m ＝7种，所以P(A)＝710. (3)样本平均数x ＝18×(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.0，记事件B ：从样本中任取一数，该数与样本平均数的绝对值不超过0.5，则事件B 包含的基本事件有6种，所以P(B)＝68＝34. 【点拨】利用古典概型求事件的概率时，主要弄清基本事件的总数，及所求事件所含的基本事件的个数.【变式训练1】已知△ABC 的三边是10以内(不包含10)的三个连续的正整数，求任取一个△ABC 是锐角三角形的概率.【解析】依题意不妨设a ＝n －1，b ＝n ，c ＝n ＋1(n ＞1，n ∈N)，从而有a ＋b ＞c ，即n ＞2，所以△ABC 的最小边为2，要使△ABC 是锐角三角形，只需△ABC 的最大角C 是锐角，cos C ＝(n －1)2＋n2－(n ＋1)22(n －1)n ＝n －42(n －1)＞0，所以n ＞4， 所以，要使△ABC 是锐角三角形，△ABC 的最小边为4.另一方面，从{2,3,4，…，9}中，“任取三个连续正整数”共有6种基本情况，“△ABC 是锐角三角形”包含4种情况，故所求的概率为46＝23.题型二 有放回抽样与不放回抽样【例2】 现有一批产品共有10件，其中8件为正品，2件为次品.(1)如果从中取出一件，然后放回，再取一件，求连续3次取出的都是正品的概率；(2)如果从中一次取3件，求3件都是正品的概率.【解析】(1)有放回地抽取3次，按抽取顺序(x ，y ，z)记录结果，则x ，y ，z 都有10种可能，所以试验结果有10×10×10＝103种；设事件A 为“连续3次都取正品”，则包含的基本事件共有8×8×8＝83 种，因此，P(A)＝33108＝0.512. (2)方法一：可以看作不放回抽样3次，顺序不同，基本事件不同，按抽取顺序记录(x ，y ，z)，则x 有10种可能，y 有9种可能，z 有8种可能，所以试验的所有结果为10×9×8＝720种.设事件B 为“3件都是正品”，则事件B 包含的基本事件总数为8×7×6＝336， 所以P(B)＝336720≈0.467. 方法二：可以看作不放回3次无顺序抽样，先按抽取顺序(x ，y ，z)记录结果，则x 有10种可能，y 有9种可能，z 有8种可能，但(x ，y ，z)，(x ，z ，y)，(y ，x ，z)，(y ，z ，x)，(z ，x ，y)，(z ，y ，x)是相同的，所以试验的所有结果有10×9×8÷6＝120.按同样的方法，事件B包含的基本事件个数为8×7×6÷6＝56，因此P(B)＝56120≈0.467. 【点拨】关于不放回抽样，计算基本事件个数时，既可以看作是有顺序的，也可以看作是无顺序的，其结果是一样的，但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会导致错误.【变式训练2】有5张卡片，上面分别写有0,1,2,3,4中的1个数.求：(1)从中任取两张卡片，两张卡片上的数字之和等于4的概率；(2)从中任取两次卡片，每次取一张，第一次取出卡片，记下数字后放回，再取第二次，两次取出的卡片上的数字之和恰好等于4的概率.【解析】(1)两张卡片上的数字之和等于4的情形共有4种，任取两张卡片共有10种，所以概率为P ＝410＝25； (2)两张卡片上的数字之和等于4的情形共有5种，任取两张卡片共有25种，所以概率为P ＝525＝15. 题型三 古典概型问题的综合应用【例3】 甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n 个白球.从甲、乙两袋中各任取2个球.(1)若n ＝3，求取到的4个球全是红球的概率；(2)若取到的4个球中至少有2个红球的概率为34，求n. 【解析】(1)记“取到的4个球全是红球”为事件A ，P(A)＝C22C24·C22C25＝16×110＝160. (2)记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B ，“取到的4个球只有1个红球”为事件B1，“取到的4个球全是白球”为事件B2.由题意，得P(B)＝1－34＝14.P(B1)＝C12C12C24·C2n C2n ＋2＋C22C24·C12C1n C2n ＋2＝2n23(n ＋2)(n ＋1)， P(B2)＝C22C24·C2n C2n ＋2＝n(n －1)6(n ＋2)(n ＋1). 所以P(B)＝P(B1)＋P(B2)＝2n23(n ＋2)(n ＋1)＋n(n －1)6(n ＋2)(n ＋1)＝14，化简得7n2－11n －6＝0，解得n ＝2或n ＝－37(舍去)，故n ＝2. 【变式训练3】甲、乙二人参加普法知识竞赛，共有10道不同的题目，其中选择题6道，判断题4道，甲、乙二人一次各抽取一题.(1)甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？(2)甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是多少？【解析】(1)甲从选择题中抽到一题的可能结果有C16个，乙从判断题中抽到一题的的可能结果是C14，故甲抽到选择题，乙抽到判断题的可能结果为C16×C14＝24.又甲、乙二人一次各抽取一题的结果有C110×C19＝90，所以概率为2490＝415. (2)甲、乙二人一次各抽取一题基本事件的总数是10×9＝90.方法一：(分类计数原理)①只有甲抽到了选择题的事件数是：6×4＝24；②只有乙抽到了选择题的事件数是：6×4＝24；③甲、乙同时抽到选择题的事件数是：6×5＝30.故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是24＋24＋3090＝1315. 方法二：(利用对立事件)事件“甲、乙二人至少有一个抽到选择题”与事件“甲、乙两人都未抽到选择题”是对立事件. 事件“甲、乙两人都未抽到选择题”的基本事件个数是4×3＝12.故甲、乙二人至少有一个抽到选择题的概率是1－1290＝1－215＝1315. 总结提高1.对古典概型首先必须使学生明确判断两点：①对于每个随机试验来说，所有可能出现的试验结果数n 必须是有限个；②出现的各个不同的试验结果数m 其可能性大小必须是相同的.只有在同时满足①、②的条件下，运用的古典概型计算公式P(A)＝m n得出的结果才是正确的.使用公式P(A)＝m n计算时，确定m 、n 的数值是关键所在. 2.对于n 个互斥事件A1，A2，…，An ，其加法公式为P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An).3.分类讨论思想是解决互斥事件有一个发生的概率的一个重要的指导思想.4.在应用题背景条件下，能否把一个复杂事件分解为若干个互相排斥或相互独立、既不重复又不遗漏的简单事件是解答这类应用题的关键，也是考查学生分析问题、解决问题的能力的重要环节.。

要求层次 重难点古典概型 古典概型B（1）古典概型① 理解古典概型及其概率计算公式． ② 会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率． （2）随机数与几何概型① 了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率．② 了解几何概型的意义．几何概型 几何概型 B版块一：古典概型1．古典概型：如果一个试验有以下两个特征：⑴有限性：一次试验出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件； ⑵等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的． 称这样的试验为古典概型． 2．概率的古典定义：随机事件A 的概率定义为()P A =A 事件包含的基本事件数试验的基本事件总数．版块二：几何概型事件A 理解为区域Ω的某一子区域A ，A 的概率只与子区域A 的几何度量（长度、面积或体积）成正比，而与A 的位置和形状无关，满足此条件的试验称为几何概型．几何概型中，事件A 的概率定义为()A P A μμΩ=，其中μΩ表示区域Ω的几何度量， A μ表示区域A 的几何度量．题型一 古典概型的基础题型例题精讲知识内容高考要求概率：古典概型与几何概型【例1】 在第136816，，，，路公共汽车都要依靠的一个站（假设这个站只能停靠一辆汽车），有一位乘客等候第6路或第16路汽车．假定当时各路汽车首先到站的可能性都是相等，则首先到站正好是这位乘客所需求的汽车的概率等于____【难度】 ★【解析】 25；【例2】 （2010崇文一模）从52张扑克牌（没有大小王）中随机的抽一张牌，这张牌是J 或Q 或K 的概率为_______．【难度】 ★【解析】 313；J 或Q 或K 的牌一共12张．于是抽到这三张牌的概率为1235213=．【例3】 （2010上海卷高考）从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，，事件A 为“抽得红桃K”，事件B 为“抽得为黑桃”，则概率()P A B =U （结果用最简分数表示）．【难度】 ★★ 【解析】 726;【例4】 （2010湖北高考）投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰于向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是A ．512 B ．12 C ．712 D ．34 【难度】 ★★ 【解析】 C ；【例5】 某学生做两道选择题，已知每道题均有4个选项，其中有且只有一个正确答案，该学生随意填写两个答案，则两个答案都选错的概率为 ． 【难度】 ★★【解析】 设选择题的4个选择项为ABCD ，则基本事件空间为{()()()()()()()()()()()()()()AA AB AC AD BA BB BC BD CA CB CC CD DA DB Ω=，，，，，，，，，，，，，，()()}DC DD ，，基本事件总数是16，满足古典概型．容易数出来两个答案都选错的事件有9种，因此都选错的概率为916．【例6】 现有8名奥运会志愿者，其中志愿者123,,A A A 通晓日语，123,,B B B 通晓俄语，12,C C 通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．⑴求1A 被选中的概率； ⑵求1B 和1C 全被选中的概率．【难度】 ★★★【解析】 ⑴从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，122131()()A B C A B C ，，，，，， 132()A B C ，，，211212221()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，222()A B C ，，， 231()A B C ，，，232()A B C ，，，311312321()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，， 322331332()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}由18个基本事件组成．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M 表示“1A 恰被选中”这一事件，则 M ={111112121()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，，122131132()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}事件M 由6个基本事件组成，因而61()183P M ==． ⑵用N 表示表示“11B C ，全被选中”这一事件，由于N ={111211311()()()A B C A B C A B C ，，，，，，，，}，事件N 有3个基本事件组成，所以31()186P N ==．【例7】 （2009江西10）甲、乙、丙、丁4个足球队参加比赛，假设每场比赛各队取胜的概率相等，现任意将这4个队分成两个组（每组两个队）进行比赛，胜者再赛，则甲、乙相遇的概率为（ ）A ．16B ．14C ．13D ．12【难度】 ★★★★ 【解析】 D ；所有可能的比赛情况共有4312⨯=种，每种情况对应三场比赛，具体如下： （甲乙、丙丁）→甲丙、甲丁、乙丙、乙丁 （甲丙、乙丁）→甲乙、甲丁、丙乙、丙丁 （甲丁、乙丙）→甲乙、甲丙、丁乙、丁丙 甲、乙相遇的情况恰好有6种，所求概率为61122=．题型二 古典概型的常见载体模型扔骰子硬币【例8】 先后抛掷两颗骰子，设出现的点数之和是121110，，的概率依次是123P P P ，，，则（ ） A ．123P P P =< B ．123P P P << C ．123P P P <= D ．123P P P >=【难度】 ★★★【解析】 B ；点数之和是12的事件只有1种(66)，，点数之和是11的事件有2种(56)(65)，，，，点数之和是10的事件有3种(46)(64)(55)，，，，，，因此由古典概型求解公式知321P P P >>．【例9】 （05广东）先后抛掷两枚均匀的正方体骰子（它们的六个面分别标有点数123456，，，，，），骰子朝上的面的点数分别为X Y ，，则2log 1X Y =的概率为（ ）A ．16B ．536C ．112D ．12 【难度】 ★★★【解析】 先后抛掷两枚骰子的基本事件有36个，满足条件2log 1X Y =，即2Y X =的情况包含：12X Y =⎧⎨=⎩，24X Y =⎧⎨=⎩，36X Y =⎧⎨=⎩三个基本事件，故概率为313612=，选C ．【例10】 同时抛掷两枚骰子，⑴求得到的两个点数成两倍关系的概率；⑵求点数之和为8的概率；⑶求至少出现一个5点或6点的概率．【难度】 ★★★★【解析】 同时投掷两枚骰子，可能结果如下表：共有36个不同的结果，每个结果都是一个基本事件，且满足古典概型的条件， ⑴得到的两个点数成两倍关系包含的基本事件有6个， 分别为(12)(21)(24)(42)(36)(63)，，，，，，，，，，，，故概率为61366=； ⑵两次得到的点数之和为8包含的基本事件有5个，分别为(26)(62)(35)(53)(44)，，，，，，，，，，故所求概率为536； ⑶法一：至少有一个5点或6点的结果有20个， 所以至少有一个5点或6点的概率205369P ==． 法二：（利用对立事件求概率）至少有一个5点或6点的对立事件是没有5点或6点，如上表，没有5点或6点的结果共有16个，没有5点或6点的概率为164369P ==． 从而至少有一个5点或6点的概率为45199-=．法三：（利用概率的一般加法公式()()()()P A B P A P B P A B =+-U I 求概率） 记事件A ：含有点数为5的；事件B ：含有点数为6的． 显然A 、B 不是互斥事件，11()36P A =，11()36P B =，2()36P A B =I ， ∴至少有一个5点或6点的概率为：()()()()P A B P A P B P A B =+-U I 111122222053636363636369=+-=-==．摸球【例11】 （2009重庆6）锅中煮有芝麻馅汤圆6个，花生馅汤圆5个，豆沙馅汤圆4个，这三种汤圆的外部特征完全相同．从中任意舀取4个汤圆，则每种汤圆都至少取到1个的概率为（ ）A ．891B ．2591C ．4891D ．6091【难度】 ★★【解析】 C ；所有的可能种数有415C 1365=种， 其中满足条件的种数有211121112654654654C C C C C C C C C 720++=，故概率为72048136591=．【例12】 （2010朝阳一模）袋子中装有编号为,a b 的2个黑球和编号为,,c d e 的3个红球，从中任意摸出2个球．⑴写出所有不同的结果；⑵求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率； ⑶求至少摸出1个黑球的概率．【难度】 ★★★ 【解析】 ⑴,,,,,,,,,.ab ac ad ae bc bd bc cd ce de⑵记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A ，则事件A 对应的基本事件为,,,,,ac ad ae bc be bd ，共6个基本事件，所以6()0.610P A ==答：恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0.6 ⑶记“至少摸出1个黑球”为事件B ，则事件B 包含的基本事件为,,,,,,ab ac ad ae bc bd be ，共7个基本事件，所以7()0.710P B ==答：至少摸出1个黑球的概率为0.7【例13】 有4个红球，3个黄球，3个白球装在袋中，小球的形状、大小相同，从中任取两个小球，求取出两个同色球的概率是多少？ 【难度】 ★★【解析】 从10个小球中取出两个小球的不同取法数为210C ，“从中取出两个红球”的不同取法数为24C ，其概率为24210C C ，“从中取出两个黄球”的不同取法数为23C ，其概率为23210C C ，“从中取出两个白球”的不同取法数为23C ，其概率为23210C C ，∴取出两个同色球的概率为：222334222101010C C C 4C C C 15++=．本题求取出两个同色球的概率，对结果比较容易分类，如果换上“取出3个球，至少两个同颜色”，这样的问题分类相对就比较复杂，但考虑其反面，对立事件为“取出3个球，颜色全不相同”，对立事件的概率比较容易算出．取出3个球，颜色全不相同的所有不同取法数为43336⨯⨯=（种），对立事件的概率为210364C 5=，所以“取出3个球，至少两个同颜色”的概率为：41155-=．【例14】 （2006年浙江卷）甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有2个红球，n 个白球．由甲，乙两袋中各任取2个球．⑴ 若3n =，求取到的4个球全是红球的概率；⑵ 若取到的4个球中至少有2个红球的概率为34，求n ．【难度】 ★★★【解析】 ⑴ 记“取到的4个球全是红球”为事件A ．22222245111()61060C C P A C C =⋅=⋅=．⑵ 记“取到的4个球至多有1个红球”为事件B ，“取到的4个球只有1个红球”为事件1B ，“取到的4个球全是白球”为事件2B ．由题意，得31()144P B =-=．2111122222122224242()n n n n C C C C C C P B C C C C ++⋅⋅=⋅+⋅223(2)(1)n n n =++； 22222242()n n C C P B C C +=⋅(1)6(2)(1)n n n n -=++；所以， 12()()()P B P B P B =+22(1)3(2)(1)6(2)(1)n n n n n n n -=+++++14=，化简，得271160n n --=，解得2n =，或37n =-（舍去），故2n =．【例15】 袋里装有30个球，每个球上都记有1到30的一个号码， 设号码为n 的球的重量为244433n n -+（克）． 这些球以等可能性（不受重量， 号码的影响）从袋里取出．⑴ 如果任意取出1球，求其号码是3的倍数的概率． ⑵ 如果任意取出1球，求重量不大于号其码的概率；⑶ 如果同时任意取出2球， 试求它们重量相同的概率．【难度】 ★★★★【解析】 ⑴ 所以所求概率933010=⑵ 由244433n n n -+≤，可解得411n ≤≤由题意知4n =，5，6，7，8，9，10，11，共8个值， 所以所求概率为843015=； ⑶ 设第m 号和第n 号的两个球的重量相等，其中m n <，当224444443333m n m n -+=-+时， 可以得到12m n +=， 则()()111m n =，，，()210，，…，()57，，共5种情况， 所以所求概率为23051C 87=．数字计算【例16】 用2、3、4组成无重复数字的三位数，这些数被4整除的概率是（ ）A ．12B ．13C ．14D ．15【难度】 ★★【解析】 B ；所有的数可能为234243324342423432，，，，，．能被4整除的数为324432，．于是概率为2163=．【例17】 （2006年北京卷理）在12345，，，，这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（ ）A ．36个B ．24个C ．18个D ．6个【难度】 ★★ 【解析】 B【例18】 （04全国）从数字12345，，，，中，随机抽取3个数字（允许重复），组成一个三位数，其各位数字之和等于9的概率为（ ）A ．13125B ．16125C ．18125D ．19125【难度】 ★★★【解析】 从12345，，，，中随机抽取3个数字（允许重复），可以组成555125⨯⨯=个不同的三位数，其中各位数字之和为9的三位数可分为以下五类： ①由135，，三个数字可以组成6个不同的三位数； ②由144，，三个数字可以组成3个不同的三位数； ③由234，，三个数字可以组成6个不同的三位数； ④由225，，三个数字可以组成3个不同的三位数； ⑤由333，，三个数字可以组成3个不同的三位数；∴满足条件的三位数共有6363119++++=个，故所求的概率为19125，选D ．【例19】 从02468，，，，这五个数字中任取2个偶数，从13579，，，，这五个数字中任取1个奇数，组成没有重复数字的三位数，求其中恰好能被5整除的概率． 【难度】 ★★★★【解析】 所有满足条件的三位数可以用所有的三位数，减去首位0的，共有213112553452C C A C C A 260-=个，要能被5整除，个位必须为5或0，故取出的三个数字中至少有0或5中的一个． 分类进行计算：①若取出的三个数字中有0，没有5，则0在个位，满足条件的三位数共有112442C C A 32⋅⋅=个；②若取出的三个数字中有5，没有0，则5在个位，满足条件的三位数共有212412C C A 12=个；③若取出的三个数字中同时有0与5，则0在个位的有22A 个；5在个位的，0必须在十位，只有一个，故满足条件的三位数有1141C C (21)12⋅+=个；故所求的概率为3212121426065++=．【例20】 在900张奖券（奖券号是100999-）的三位自然数中抽一张奖券，若中奖的号码是仅有两个数字的相同的奖券，求中奖面是多少？ 【难度】 【解析】 法一：可以对中奖号码分三类考虑：第一类是第一、二位数字相同，从19-中任选一个放在第一位，再从剩下的9个任选一个放在第三位上，共有9981⨯=种；第二类是第一、三位数字相同，也有81种；第三类是第二、三位数字相同，先选第一位，再选第二位，也有99⨯种； 故中奖面有8181810.27900++=；法二：直接分步考虑：先选第一位，有9种选择，再考虑第二位，若第二位数字与第一位相同，此时第三位有9种选择；若第二位数字与第一位不同，则第二位有九种选择，第三位有两种选择（与第一位或第二位相同），故共有选择9(1992)243⨯⨯+⨯=，从而中奖面有2430.27900=．【例21】 任取一正整数，求该数的平方的末位数是1的概率． 【难度】 ★【解析】 一个正整数的平方的末位数字只取决于该正整数的末位数，它必然是0129L ，，，，中的任意一个，因而基本事件为{0129}Ω=L ，，，，，共10个．正整数的平方的末位数是1的事件{19}A =，，共2个．因为所有这些事件都是等可能基本事件，故由概率的计算公式得21()105P A ==．【例22】 （2010西城一模）一个盒子中装有4张卡片，每张卡片上写有1个数字，数字分别是1、2、3、4．现从盒子中随机抽取卡片．⑴若一次抽取3张卡片，求3张卡片上数字之和大于7的概率； ⑵若第一次抽1张卡片，放回后再抽取1张卡片，求两次抽取中至少一次抽到数字3的概率．【难度】 ★★★ 【解析】 ⑴设A 表示事件“抽取3张卡片上的数字之和大于7”，任取三张卡片，三张卡片上的数字全部可能的结果是(1,2,3)，(1,2,4)，(1,3,4)，(2,3,4)．其中数字之和大于7的是(1,3,4)，(2,3,4)，所以1()2P A =．⑵设B 表示事件“至少一次抽到3”，第一次抽1张，放回后再抽取一张卡片的基本结果有：(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)，共16个基本结果．事件B包含的基本结果有(1,3)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,3)，共7个基本结果．所以所求事件的概率为7()16P B=．题型三古典概型的一些杂题及综合题【例23】已知ABC∆的三边是10以内（不包含10）的三个连续的正整数，求ABC∆是锐角三角形的概率．【难度】★★★【解析】三角形的三边组成的基本事件空间为：{(234)(345)(456)(567)(678)(789)}Ω=，，，，，，其中是锐角三角形的有(456)(567)(678)(789)，，，，故ABC∆是锐角三角形的概率为42 63 =．【例24】考虑一元二次方程20x mx n++=，其中m n，的取值分别等于将一枚骰子连掷两次先后出现的点数，试求方程有实根的概率．【难度】★★【解析】同时投掷两枚骰子，可能结果如下表：共有36个不同的结果，每个结果都是一个基本事件，且满足古典概型的条件，由方程有实根知：24m n≥．由于*n∈N，故26m≤≤．骰子连掷两次并按先后所出现的点数考虑，共有6636⨯=种情形．其中满足条件的有：①2m=，n只能取1，有1种情形；②3m=，n可取1或2，有2种情形；③4m=，n可取1或234，，，有4种情形；④5m=或6，n可取1至6的值，共有2612⨯=种情形．故满足条件的情形共有1241219+++=（种），所求概率为1936．【例25】（07四川）已知一组抛物线2112y ax bx =++，其中a 为2468，，，中任取的一个数，b 为1357，，，中任取的一个数，从这些抛物线中任意抽取两条，它们在与直线1x =交点处的切线相互平行的概率是（ ）A ．112B ．760C ．625D ．516【难度】 ★★★【解析】 这一组抛物线共4416⨯=条，从中任意抽取两条，共有216C 120=种不同的方法．它们在与直线1x =交点处的切线的斜率1'|x k y a b ===+． 若5a b +=，有两种情形，从中取出两条，有22C 种取法；若7a b +=，有三种情形，从中取出两条，有23C 种取法；若9a b +=，有四种情形，从中取出两条，有24C 种取法；若11a b +=，有三种情形，从中取出两条，有23C 种取法；若13a b +=，有两种情形，从中取出两条，有22C 种取法．由分类计数原理知任取两条切线平行的情形共有222222343214C C C C C ++++=种，故所求概率为14712060=，选B ．【例26】 某招呼站，每天均有3辆开往首都北京的分为上、中、下等级的客车．某天小曹准备在该招呼站乘车前往北京办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘上上等车，他将采取如下决策：先放过第一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆． ⑴共有多少个基本事件？⑵小曹能乘上上等车的概率为多少？【难度】 ★★★【解析】 ⑴三类客车分别记为上、中、下．则有如下的基本事件：①上-中-下；②上-下-中；③中-上-下；④中-下-上；⑤下-上-中；⑥下-中-上．因此，基本事件总数为6个．⑵小曹能乘上上等车的事件记为A ，则A 中包含上述事件中的： ③中-上-下；④中-下-上；⑤下-上-中， 故31()62P A ==．【例27】 李明手中有五把钥匙，但忘记了开门的是哪一把，只好逐把试开，⑴李明恰在第三次打开房门的概率是多大？ ⑵李明三次内打开房门的概率是多大？【难度】 ★★★【解析】 记五把钥匙为A B C D E ，，，，，五把钥匙依次排列，每种排列是一个基本事件，且是等可能的，共有基本事件5432120⨯⨯⨯=种，⑴恰在第三次打开房门，说明开门的那把钥匙必定是放在第三个位置上，故此时包含的基本事件为43224⨯⨯=种，故概率为2411205P ==； 也可以考虑：因为钥匙之间没有区别，故每把钥匙放在中间的概率是都相同的，故能打开门的那把钥匙放在中间的概率为15；⑵在三次内打开房门，说明能打开门的那把钥匙放在第一位置、第二个位置或者第三个位置，由⑴知，概率为11135555++=．【例28】 （2010石景山一模）为援助汶川灾后重建，对某项工程进行竞标，共有6家企业参与竞标．其中A 企业来自辽宁省，B 、C 两家企业来自福建省，D 、E 、F 三家企业来自河南省．此项工程需要两家企业联合施工，假设每家企业中标的概率相同． ⑴企业E 中标的概率是多少？⑵在中标的企业中，至少有一家来自河南省的概率是多少？【难度】 ★★★ 【解析】 ⑴从这6家企业中选出2家的选法有(,)A B ，(,)A C ，(,)A D ，(,)A E ，(,)A F ，(,)B C ，(,)B D ，(,)B E ，(,)B F ，(,)C D ，(,)C E ，(,)C F ，(,)D E ，(,)D F ，(,)E F ，共有15种．其中企业E 中标的选法有(,)A E ，(,)B E ，(,)C E ，(,)D E ，(,)E F ，共5种，则企业E 中标的概率为51153=．⑵解法一：在中标的企业中，至少有一家来自河南省选法有(,)A D ，(,)A E ，(,)A F ，(,)B D ，(,)B E ，(,)B F ，(,)C D ，(,)C E ，(,)C F ， (,)D E ，(,)D F ，(,)E F ，共12种．则“在中标的企业中，至少有一家来自河南省”的概率为124155=． 解法二：在中标的企业中，没有来自河南省选法有：(,)A B ，(,)A C ，(,)B C ，共3种．∴“在中标的企业中，没有来自河南省”概率为31155=． ∴“在中标的企业中，至少有一家来自河南省”的概率为14155-=．题型四：一维情形下的几何概型【例29】 在长为18cm 的线段AB 上任取一点M ，并以线段AM 为边作正方形，则这个正方形的面积介于36cm 2与81cm 2之间的概率为（ ）A ．56B ．12C ．13D ．16【难度】 ★【解析】 D ；能在6~9cm 处取，几何概型，所求概率为961186-=．【例30】 两根相距3m 的木杆上系一根拉直的绳子，并在绳子上挂一彩珠，则彩珠与两端距离都大于1m 的概率为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．23【难度】 ★【解析】 B ；只能在绳子的中间那1m 处，因此概率为13．题型五：二维情形下的几何概型【例31】 （2010东城一模）某人向一个半径为6的圆形标靶射击，假设他每次射击必定会中靶，且射中靶内各点是随机的，则此人射击中靶点与靶心的距离小于2的概率为（ ）A ．113B ．19C ．14D ．12【难度】 ★ 【解析】 B ；满足几何概型，概率为面积比22π21π69⋅=⋅．【例32】 （2010丰台二模）一个正三角形的外接圆的半径为1，向该圆内随机投一点P ，点P 恰好落在正三角形外的概率是_________．【难度】 ★★【解析】 12，外接圆的面积为2π1π⋅=，于是点P 恰好落在正三角形外的概率是1【例33】 （2010丰台二模）已知(){},|6,0,0x y x y x y Ω=+≤≥≥，{}(,)4,0,20A x y x y x y =-≤≥≥．若向区域Ω上随机投一点P ，则点P 落入区域A 的概率是_________．【难度】 ★★【解析】 29；如图，区域Ω的面积为166182⨯⨯=，区域A 的面积为14242⨯⨯=，因此点P 落入区域A 的概率是42189=．【例34】 （2010丰台二模）设集合{}1,2,3P =和{}1,1,2,3,4Q =-，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a 和b 组成数对(),a b ，并构成函数()241f x ax bx =-+． ⑴ 写出所有可能的数对(),a b ，并计算2a ≥，且3b ≤的概率； ⑵ 求函数()f x 在区间[)1,+∞上是增函数的概率．【难度】 ★★★★【解析】 ⑴ 所有基本事件如下：()1,1-，()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()2,1-，()2,1，()2,2，()2,3，()2,4，()3,1-，()3,1，()3,2，()3,3，()3,4，共有15个．设事件“2a ≥，且3b ≤”为A ，则事件A 包含的基本事件有8个，所以()815P A =．⑵ 设事件“()241f x ax bx =-+在区间[)1,+∞上为增函数”为B ， 因函数()241f x ax bx =-+的图象的对称轴为2bx a=且0a >， 所以要使事件B 发生，只需21ba≤,即2b a ≤． 由满足题意的数对有()1,1-、()2,1-、()2,1、()3,1-、()3,1，共5个，所以，()51153P B ==．【例35】 （2010宣武二模）口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5．甲先摸出一个球，记下编号为a ，放回袋中后，乙再摸一个球，记下编号为b ． ⑴ 求“6a b +=”的事件发生的概率；⑵ 若点(),a b 落在圆2221x y +=内，则甲赢，否则算乙赢，这个游戏规则公平吗？试说明理由．【难度】 ★★★【解析】 ⑴ 设“6a b +=”为事件A ，其包含的基本事件为：()1,5，()2,4，()3,3，()4,2，()5,1共5个又基本事件空间有5525⨯=个∴()51255P A ==．⑵ 这个游戏规则不公平设甲胜为事件B ，则其所包含的基本事件为：()1,1，()1,2，()1,3，()1,4，()2,1，()2,2，()2,3，()2,4，()3,1，()3,2，()3,3，()4,1，()4,2共13种．∴()131252P B =>，故而对乙不公平．【例36】 把一根长度为6的铁丝截成3段．⑴若三段的长度均为整数，求能构成三角形的概率； ⑵若截成任意长度的三段，求能构成三角形的概率．【难度】 ★★★★★【解析】 ⑴设构成三角形的事件为A ，基本事件数有3种情况：“114，，”；“123，，”；“222，，”，其中能构成三角形的情况只有1种：“222，，”，因此所求的概率是1()3P A =．FEPNM3366y xO⑵设把铁丝分成任意的三段，其中一段为x ，第二段为y ，则第三段为6x y -- 则006x y x y >⎧⎪>⎨⎪+<⎩如果要构成三角形，则必须满足：0000636363x x y y x y x y x y x x y y y y x y x x >>⎧⎧⎪⎪>>⎪⎪⎪⎪+>--⇒+>⎨⎨⎪⎪+--><⎪⎪+--><⎪⎪⎩⎩则所求的概率为1()4MNP OEF S P A S ∆∆==．【例37】 小明的爸爸下班驾车经过小明学校门口，时间是下午6:00到6:30，小明放学后到学校门口的候车点候车，能乘上公交车的时间为5:50到6:10，如果小明的爸爸到学校门口时，小明还没乘上车，就正好坐他爸爸的车回家，问小明能乘到他爸的车的概率．【难度】 ★★★★ 【解析】 在平面直角坐标系中，以x 轴表示小明等到车的时间，以y 轴表示小明的爸爸到达学校门口的时间，因为等到车的时间和小明的父亲到达的时间都是随机的，所以随机试验的所有结果()x y ，是如图的矩形中的等可能的任一点．“小明能乘到他爸的车”包括的点为满足x y ≥的点，即小明乘到车的时间晚于他父亲到达的时间，对应矩形框中直线y x =右下方的点． 这是一个几何概型的问题，其概率为两部分面积之比：1101012203012P ⨯⨯==⨯．（x y ，以分钟为单位即可）题型六：三维情形下的几何概型【例38】 （2010朝阳一模）一只小蜜蜂在一个棱长为30的正方体玻璃容器内随机飞行． 若蜜蜂在飞行过程中与正方体玻璃容器6个表面中至少有一个的距离不大于10，则就有可能撞到玻璃上而不安全；若始终保持与正方体玻璃容器6个表面的距离均大于10，则飞行是安全的，假设蜜蜂在正方体玻璃容器内飞行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飞行是安全的概率是（ ）A ．18B ．116C ．127D ．38【难度】 ★ 【解析】 C ；容易知道，当蜜蜂在边长为10，各棱平行于玻璃容器的棱的正方体内飞行时是安全的．于是安全飞行的概率为331013027=．【例39】 设正四面体ABCD 的体积为V ，P 是正四面体ABCD 的内部的点．①设“14P ABC V V -≥”的事件为X ，求概率()P X ；②设“14P ABC V V -≥且14P BCD V V -≥”的事件为Y ，求概率()P Y ．【难度】 ★★★★【解析】 ①分别取DA DB DC ，，上的点E F G ，，，并使333DE EA DF FB DG GC ===，，，BA连结EF FG GE ，，，则平面EFG ∥平面ABC ．当P 在正四面体DEFG 内部运动时（如图），满足14P ABC V V -≥，故33327()464D EFG D ABC V DE P X V DA --⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． ②在AB 上取点H ，使3AH HB =，在AC 上取点I ，使3AI IC =，在AD 上取点J ，使3AJ JD =，P 在正四面体AHIJ 内部运动时，满足14P BCD V V -≥．BA结合①，当P 在正四面体DEFG 的内部及正四面体AHIJ 的内部运动时，亦即P 在正四面体EMNJ 内部运动时（M 是EG 与IJ 的交点，N 是EF 与HJ 的交点），同时满足14P ABC V V -≥且14P BCD V V -≥，于是338)11(2J EMN D ABC JE DA V P Y V --⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭．。

《古典概型和概率计算公式》教学设计一、设计理念1.课标解读：《普通高中数学课程标准》（实验）中指出：（1）高中数学课程应倡导自主探索、合作交流、阅读自学等学习数学的方式，以帮助发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程；高中数学课程设立“数学探究”等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣。

（2）高中数学课程应注重提高学生的数学思维能力，在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、符号表示、运算求解、反思与建构等思维过程，提高学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考和做出判断的能力（3）高中数学课程实施应重新审视基础知识、基本技能和能力的内涵，删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容。

（3）高中数学课程提倡实现信息技术与课程内容的有机整合，整合的基本原则是有利于学生认识数学的本质；提倡利用信息技术来呈现以往教学中难以呈现的课程内容，加强数学教学与信息技术的结合。

（4）高中数学课程应建立合理、科学的评价体系；评价既要关注学生数学学习的结果，也要关注数学学习的过程；过程性评价应关注对学生理解数学概念、数学思想等过程的评价，关注对学生在学习过程中表现出来的与人合作的态度、表达与交流的意识的评价。

基于课表理念的指导，本节课教学方法选择以问题探究法为主、以讲授法为辅。

教学活动以小组合作为主，侧重知识的自主建构和应用，重视信息技术在教学中的辅助作用。

2.教材解读：本节课的教学内容是《数学必修3》第三章§2.1“古典概型和概率计算公式”，教学课时为1课时。

随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础。

因此，概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识。

《新课标》要求本节课的教学应让学生通过实例理解古典概型的特征：实验结果的有限性和每一个实验结果出现的等可能性；让学生初步学会把一些实际问题化为古典概型；教学中不要把重点放在“如何计数”上。

[考纲传真] １．了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义及频率与概率的区别.２．了解两个互斥事件的概率加法公式.３．理解古典概型及其概率计算公式.４．会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.５．了解随机数的意义，能运用随机模拟的方法估计概率.6．了解几何概型的意义．１．频率与概率在相同的条件下，大量重复进行同一试验时，随机事件A发生的频率会在某个常数附近摆动，即随机事件A发生的频率具有稳定性．这时，我们把这个常数叫作随机事件A的概率，记作P（A）．２．事件的关系与运算互斥事件：在一个随机试验中，我们把一次试验下不能同时发生的两个事件A与B称作互斥事件．事件A＋B：事件A＋B发生是指事件A和事件B至少有一个发生．对立事件：不会同时发生，并且一定有一个发生的事件是相互对立事件．３．概率的几个基本性质（１）概率的取值范围：0≤P（A）≤１.（２）必然事件的概率P（E）＝１.（３）不可能事件的概率P（F）＝0.（４）互斥事件概率的加法公式１如果事件A与事件B互斥，则P（A＋B）＝P（A）＋P（B）．２若事件A与事件错误!互为对立事件，则P（A）＝１—P（错误!）．４．古典概型与几何概型名称古典概型几何概型相同点基本事件发生的可能性相等不同点基本事件有有限个基本事件有无限个计算公式P（A）＝P（A）＝.如果事件A１，A２，…，A n两两互斥，则称这n个事件互斥，其概率有如下公式：P（A１∪A２∪…∪A n）＝P（A１）＋P（A２）＋…＋P（A n）．[基础自测]１．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）（１）随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．（）（２）在大量的重复实验中，概率是频率的稳定值．（）（３）对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．（）（４）概率为0的事件一定为不可能事件．（）[答案] （１）√（２）√（３）√（４）×２．某射手在同一条件下进行射击，结果如下：射击次数１0２0５0１00２00５00击中靶心次数8１9４４9２１78４５５Ａ．0．80 Ｂ．0．8５Ｃ．0．90 Ｄ．0．99C[由题意，该射手击中靶心的频率大约在0．9附近上下波动，故其概率约为0．90．故选Ｃ．]３．（教材改编）投掷两枚均匀的硬币，则两枚硬币均正面朝上的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!A[P＝错误!×错误!＝错误!，故选Ａ．]４．（教材改编）有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是（）A[P（A）＝错误!，P（B）＝错误!，P（C）＝错误!，P（D）＝错误!，∴P（A）>P（C）＝P（D）>P（B）．]５．对飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一次击中飞机}，D＝{至少有一次击中飞机}，其中彼此互斥的事件是________，互为对立事件的是________．A与B，A与C，B与C，B与D B与D[设I为对飞机连续射击两次所发生的所有情况，因为A∩B ＝∅，A∩C＝∅，B∩C＝∅，B∩D＝∅，故A与B，A与C，B与C，B与D为互斥事件．而B∩D＝∅，B∪D ＝I，故B与D互为对立事件．]随机事件的频率与概率【例１】（２0１7·全国卷Ⅲ）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶４元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶２元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关．如果最高气温不低于２５，需求量为５00瓶；如果最高气温位于区间[２0,２５），需求量为３00瓶；如果最高气温低于２0，需求量为２00瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[１0,１５）[１５,２0）[２0,２５）[２５,３0）[３0,３５）[３５,４0）天数２１6３6２５7４（１）估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过３00瓶的概率；（２）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）．当六月份这种酸奶一天的进货量为４５0瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．[解] （１）这种酸奶一天的需求量不超过３00瓶，当且仅当最高气温低于２５，由表格数据知，最高气温低于２５的频率为错误!＝0．6，所以这种酸奶一天的需求量不超过３00瓶的概率的估计值为0．6．（２）当这种酸奶一天的进货量为４５0瓶时，若最高气温不低于２５，则Y＝6×４５0—４×４５0＝900；若最高气温位于区间[２0,２５），则Y＝6×３00＋２×（４５0—３00）—４×４５0＝３00；若最高气温低于２0，则Y＝6×２00＋２×（４５0—２00）—４×４５0＝—１00．所以，Y的所有可能值为900,３00，—１00．Y大于零当且仅当最高气温不低于２0，由表格数据知，最高气温不低于２0的频率为错误!＝0．8，因此Y大于零的概率的估计值为0．8．[规律方法] （１）概率与频率的关系概率是常数，是频率的稳定值，频率是变量，是概率的近似值．有时也用频率来作为随机事件概率的估计值．（２）随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率，即通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数，这个常数就是概率．易错警示：概率的定义是求一个事件概率的基本方法．利润５0元，若供大于求，剩余商品全部退回，但每件退回商品亏损１0元；若供不应求，则从外部调剂，此时每件调剂商品可获得利润３0元．（１）若商店一天购进该商品１0件，求当天的利润y（单位：元）关于当天的需求量n（单位：件，n∈N*）的函数解析式；（２）商店记录了５0天该商品的日需求量n（单位：件），整理得下表：日需求量n/件89１0１１１２频数9１１１５１0５（ⅱ）若商店一天购进１0件该商品，以５0天记录的各日需求量的频率作为各日需求量的概率，求当天的利润大于５00元的概率．[解] （１）当日需求量n≥１0时，利润y＝５0×１0＋（n—１0）×３0＝３0n＋２00；当日需求量n＜１0时，利润y＝５0×n—（１0—n）×１0＝60n—１00．所以日利润y关于日需求量n的函数解析式为y＝错误!（２）（ⅰ）由（１）及表格可知，这５0天中有9天的日利润为３80元，有１１天的日利润为４４0元，有１５天的日利润为５00元，有１0天的日利润为５３0元，有５天的日利润为５60元，所以这５0天的日利润的平均数为错误!×（３80×9＋４４0×１１＋５00×１５＋５３0×１0＋５60×５）＝４77．２（元）．（ⅱ）若当天的利润大于５00元，则日需求量大于１0件，则当天的利润大于５00元的概率P＝错误!＝错误!.古典概型【例２】（１）（２0１8·全国卷Ⅱ）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于２的偶数可以表示为两个素数的和”，如３0＝7＋２３．在不超过３0的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于３0的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）（２0１7·全国卷Ⅱ）从分别写有１,２,３,４,５的５张卡片中随机抽取１张，放回后再随机抽取１张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（１）C（２）D[（１）不超过３0的素数有２,３,５,7,１１,１３,１7,１9,２３,２9，共１0个，从中随机选取两个不同的数有C错误!种不同的取法，这１0个数中两个不同的数的和等于３0的有３对，所以所求概率P＝错误!＝错误!，故选Ｃ．（２）从５张卡片中随机抽取１张，放回后再随机抽取１张的情况如图：基本事件总数为２５，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为１0，∴所求概率P＝错误!＝错误!.故选Ｄ．][规律方法] １．计算古典概型事件的概率可分三步：（１）计算基本事件总个数n；（２）计算事件A所包含的基本事件的个数m；（３）代入公式求出概率P.２．（１）用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏．（２）利用排列、组合计算基本事件时，一定要分清是否有序，并重视两个计数原理的灵活应用．每个小盒中至少有１个小球，那么甲盒中恰好有３个小球的概率为（）Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）（２0１8·石家庄一模）用１,２,３,４,５组成无重复数字的五位数，若用a１，a２，a３，a４，a分别表示五位数的万位、千位、百位、十位、个位，则出现a１＜a２＜a３＞a４＞a５特征的五位数的概率５为________．（１）C（２）错误![（１）将7个相同的小球投入甲、乙、丙、丁４个不同的小盒中，每个小盒中至少有１个小球有C错误!种放法，甲盒中恰好有３个小球有C错误!种放法，结合古典概型的概率计算公式得所求概率为错误!＝错误!.故选Ｃ．（２）１,２,３,４,５可组成A错误!＝１２0个不同的五位数，其中满足题目条件的五位数中，最大的５必须排在中间，左、右各两个数字只要选出，则排列位置就随之而定，满足条件的五位数有C错误!C 错误!＝6个，故出现a１＜a２＜a３＞a４＞a５特征的五位数的概率为错误!＝错误!.]几何概型【例３】（１）（２0１6·全国卷Ⅰ）某公司的班车在7：３0,8：00,8：３0发车，小明在7：５0至8：３0之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过１0分钟的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）（２0１8·合肥二模）小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午５：00到6：00之间送货上门，已知小李下班到家的时间在下午５：３0到6：00之间．快递员到小李家时，如果小李未到家，则快递员会电话联系小李．若小李能在１0分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则，就将商品存放在快递柜中．则小李需要去快递柜领取商品的概率为（）Ａ．错误!Ｂ．错误!（３）已知在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA＝AB＝２，现在该四棱锥内部或表面任取一点O，则四棱锥O­ABCD的体积不小于错误!的概率为________．（１）B（２）D（３）错误![（１）这是几何概型问题，总的基本事件空间如图所示，共４0分钟，等车时间不超过１0分钟的时间段为：7：５0至8：00和8：２0至8：３0，共２0分钟，故他等车时间不超过１0分钟的概率为错误!＝错误!，故选Ｂ．（２）如图，设快递员和小李分别在下午５点后过了x分钟和y分钟到小李家，则所有结果构成的区域为{（x，y）|0≤x≤60,３0≤y≤60}，这是一个矩形区域，y—x＞１0表示小李比快递员晚到超过１0分钟，事件M表示小李需要去快递柜领取商品，其所构成的区域是如图所示的直角梯形ABCD的内部区域及边界（不包含AB），由错误!可得错误!即A（５0,60），由错误!可得错误!即B（２0,３0），所以由几何概型的概率计算公式可知P（M）＝错误!＝错误!，故选Ｄ．（３）当四棱锥O­ABCD的体积为错误!时，设O到平面ABCD的距离为h，则错误!×２２×h＝错误!，解得h＝错误!.如图所示，在四棱锥P­ABCD内作平面EFGH平行于底面ABCD，且平面EFGH与底面ABCD的距离为错误!.因为PA⊥底面ABCD，且PA＝２，所以错误!＝错误!，所以四棱锥O­ABCD的体积不小于错误!的概率P＝错误!＝错误!３＝错误!３＝错误!.][规律方法] 解答几何概型试题要善于根据题目特点寻找基本事件所在线、面、体，寻找随机事件所在的线、面、体，把几何概型的计算转化为相应的长度、面积和体积的比值的计算．（１）在线段上取点，则点在线段上等可能出现；在角内作射线，则射线在角内的分布等可能．（２）两个变量在某个范围内取值，对应的“区域”是面积．（１）随机地取两个实数x和y，使得x∈[—１,１]，y∈[0,１]，则满足y≥x２的概率是（）Ａ．错误!Ｂ．错误!Ｃ．错误!Ｄ．错误!（２）如图所示，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部任作一条射线CM，与AB交于点M，则AM＜AC的概率为________．（１）B（２）错误![（１）满足x∈[—１,１]，y∈[0,１]的区域为矩形区域（包括边界）（图略），面积为２，满足y≥x２的区域的面积S＝错误!—１（１—x２）dx＝错误!|错误!＝错误!，故所求概率P＝错误!＝错误!.故选Ｂ．（２）在AB上取AC′＝AC（图略），则∠ACC′＝错误!＝67．５°，记A＝{在∠ACB内部任作一射线CM与线段AB交于点M，AM＜AC}，则所有可能结果的区域为∠ACB，事件A构成的区域为∠ACC′.又∠ACB＝90°，∠ACC′＝67．５°，∴P（A）＝错误!＝错误!.]１．（２0１8·全国卷Ⅰ）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AＣ．△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p１，p２，p３，则（）Ａ．p１＝p２Ｂ．p１＝p３Ｃ．p２＝p３Ｄ．p１＝p２＋p３A[设直角三角形ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则区域Ⅰ的面积即△ABC的面积，为S １＝错误!bc ，区域Ⅱ的面积S ２＝错误!π×错误!２＋错误!π×错误!２—错误!＝错误!π（c ２＋b ２—a ２）＋错误!bc ＝错误!bc ，所以S １＝S ２，由几何概型的知识知p １＝p ２，故选Ａ．]２．（２0１7·全国卷Ⅰ）如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）Ａ．错误!Ｂ．错误! Ｃ．错误! Ｄ．错误!B [不妨设正方形ABCD 的边长为２，则正方形内切圆的半径为１，可得S 正方形＝４．由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S 黑＝S 白＝错误!S 圆＝错误!，所以由几何概型知所求概率P ＝错误!＝错误!＝错误!.故选Ｂ．]３．（２0１6·全国卷Ⅱ）从区间[0,１]随机抽取２n 个数x １，x ２，…，x n ，y １，y ２，…，y n ，构成n 个数对（x １，y １），（x ２，y ２），…，（x n ，y n ），其中两数的平方和小于１的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为（ ）Ａ．错误!Ｂ．错误! Ｃ．错误! Ｄ．错误!C [因为x １，x ２，…，x n ，y １，y ２，…，y n 都在区间[0,１]内随机抽取，所以构成的n 个数对（x １，y １），（x ２，y ２），…，（x n ，y n ）都在正方形OABC 内（包括边界），如图所示．若两数的平方和小于１，则对应的数对在扇形OAC 内（不包括扇形圆弧上的点所对应的数对），故在扇形OAC 内的数对有m 个．用随机模拟的方法可得错误!＝错误!，即错误!＝错误!，所以π＝错误!.]４．（２0１４·全国卷Ⅰ）４位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（ ）Ａ．错误!Ｂ．错误! Ｃ．错误! Ｄ．错误!D [４名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动的情况有２４＝１6（种），其中仅在周六（周日）参加的各有１种，∴所求概率为１—错误!＝错误!.]。

高中高三数学古典概型教案教学目标：
1. 理解古典概型的基本概念和应用。

2. 解决实际问题中的概率计算。

3. 提高学生的数学思维和应用能力。

教学重点：
1. 古典概型的定义和特点。

2. 古典概型在实际问题中的应用。

3. 概率计算和概率分布。

教学难点：
1. 复杂问题的古典概型解题方法。

2. 概率计算过程中的逻辑性。

教学准备：
1. 教师准备课件和教学素材。

2. 学生准备相关教材和笔记。

教学过程：
一、导入（5分钟）
教师简要介绍古典概型的概念和应用，并提出学习目标。

二、知识讲解（20分钟）
1. 古典概型的定义和特点。

2. 古典概型的应用举例。

3. 概率计算公式和概率分布。

三、示范演练（15分钟）
教师通过几个案例演示古典概型的解题方法和计算过程。

四、分组讨论（15分钟）
学生分组讨论并解决几个古典概型的实际问题。

五、小结（5分钟）
教师复习本节课的重点内容，并总结学习收获。

六、作业布置（5分钟）
布置相关练习和作业，巩固学生对古典概型的理解和运用能力。

教学反思：
本节课通过理论讲解、示范演练和实际问题解决的方式，帮助学生深入理解古典概型的概念和应用，提高了他们的数学思维和实际问题解决能力。

在教学中要注重培养学生的逻辑推理能力和分析问题的能力，引导他们灵活运用数学知识解决实际问题。

第80课 第80课 古 典 概 型1. 理解古典概型及其概率的计算公式.2. 会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.1. 阅读：必修3第100～103页.2. 解悟：①读懂古典概型的定义；②归纳出古典概型的特征；③重解课本例题，体会方法.3. 践习：在教材空白处，完成第103页习题.基础诊断1. 从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为 23.解析：基本事件为(甲、乙)，(甲、丙)，(乙、丙)，共3个，甲被选中共2个，则所求的概率P ＝23.2. 从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选2台，其中两种型号的彩电齐全的概率是 35. 解析：从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任选两台，共有10个基本事件，两种型号的彩电都齐全的基本事件共有3×2＝6(个)，故所求的概率P ＝610＝35.3. 甲、乙两同学每人有两本书，把四本书混放在一起，每人随机拿回两本，则甲同学拿到一本自己的书和一本乙同学的书的概率是 23.解析：记甲同学的两本书为A ，B ，乙同学的两本书为C ，D ，则甲同学取书的情况有(A ，B)，(A ，C)，(A ，D)，(B ，C)，(B ，D)，(C ，D)，共6种，拿到一本自己的书和一本乙同学的书的有(A ，C)，(A ，D)，(B ，C)，(B ，D)，共4种，故所求的概率P ＝23.4. 将甲、乙两球随机放入编号为1，2，3的三个盒子中，每个盒子放球的数量不限，则在1，2号盒子中各有一个球的概率为 29.解析：依题意得甲、乙两球各有3种不同的放法，共9种放法，其中1，2号盒子中各有一个球的放法有2种，故在1，2号盒子中各有一个球的概率为29.范例导航考向❶ 枚举基本事件例1 先后抛掷两枚质地均匀的骰子，求：(1) 向上的点数之和是4的倍数的概率； (2) 向上的点数之和大于5且小于10的概率. 解析：抛掷两枚骰子的基本事件有36个.(1) 记“点数之和是4的倍数”的事件为A ，则事件A 包含的基本事件为(1，3)，(2，2)，(2，6)，(3，1)，(3，5)，(4，4)，(5，3)，(6，2)，(6，6)，共9个，所以P(A)＝936＝14.(2) 记“点数之和大于5且小于10”的事件为B ，则事件B 包含的基本事件为(1，5)，(1，6)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，共20个，所以P(B)＝2036＝59.从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表，甲被选中的概率为 12.解析：从甲、乙、丙、丁四人中任选两名代表的所有可能为：甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁，共6种，满足题意的有：甲乙、甲丙、甲丁，共3种，所以概率为P ＝36＝12.【注】 计算古典概型事件的概率可分三步： (1) 算出基本事件的总个数n ；(2) 求出事件A 所包含的基本事件个数m ； (3) 代入公式求出概率P ＝mn.考向❷ 列表或画树状图法找出基本事件例2 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为1、2、3、4、5的五个球，现从甲、乙两个盒子中各取出一个球，每个小球被取出的可能性相等.(1) 求事件“取出的两个球上的标号为相邻整数”的概率； (2) 求事件“取出的两个球上的标号之和能被3整除”的概率. 解析：(1) 由题意，可列表如下：记“取出两个球上标号为相邻整数”为事件A ，则P(A)＝825.(2) 记“取出两个球上的标号之和能被3整除”为事件B ，则P(B)＝925.甲、乙两人用四张扑克牌(分别是红桃2、3、4，方块4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.设(i ，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲、乙两人抽到牌的所有情况.解析：甲、乙两人抽到牌的所有情况(方块4可用4′表示，其他用相应的数字表示)为(2，3)，(2，4)，(2，4′)，(3，2)，(3，4)，(3，4′)，(4，2)，(4，3)，(4，4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种情况.【注】 列表法或画树状图法在计数时均需要注意基本事件是否“有序”. 考向❸ 有放回与无放回问题例3 盒子中有除颜色外大小形状都相同的三个白球，两个红球.(1) 若从中取出一球，不放回再取一球，求取出两球中恰有一个白球的概率； (2) 若从中取出一球，放回后再取一球，求两球都是白球的概率.解析：(1)从中第一次取有5种结果，第二次取有4种结果，共20种，而其中“恰有一个白球”可能出现的结果有12种，故该事件发生的概率为35.(2) 从中第一次取有5种结果，第二次取仍有5种结果，共25种，而其中“两球都是白球”可能出现的结果有9种，故该事件发生的概率为925.盒子中有大小相同的三个白球，两个红球，若从中一次取出两球，求至少有一个红球的概率.解析：“从五个球中一次取两个球”的所有等可能出现的基本事件共有10个，至少有一个为红球的基本事件有7个，故该事件发生的概率为710.自测反馈1. 一枚骰子连续投2次，点数之和为4的概率 112.故点数之和为4的概率P ＝336＝112. 2. 甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡送给同一人的概率是 12.解析：由题意知基本事件为(甲送丙，乙送丙)，(甲送丁，乙送丁)，(甲送丙，乙送丁)，(甲送丁，乙送丙)，共4个，其中甲、乙将贺卡送给同一人的基本事件有2个，故所求概率P ＝24＝12.3. 用3种不同的颜色(红、黄、蓝)给图中的3个矩形随机涂色，每个矩形只涂1种颜色，则3个矩形中有且仅有2个矩形颜色相同的概率是23. 解析：所有可能的基本事件共有27个，如图所示，有且仅有2个矩形颜色相同的基本事件有18个，故所求概率P ＝1827＝23.4. 若先后抛掷两枚骰子，骰子朝上的点数分别记为x ，y ，则log x y ＝1的概率为536. 解析：由对数的性质知x ＝y 且x ≠1，即求连续掷的点数相同，且不为1的概率，由题所有可能的基本事件有36个，x ＝y 且x ≠1的基本事件有5个，故所求概率P ＝536.1. 基本事件的特点：互斥、概率和为1.2. 古典概型的特点：有限性、等可能性.3. 你还有那些体悟，写下来：。

高中数学古典概率教案
教学目标：
1. 了解什么是古典概率，并能够进行简单计算；
2. 掌握古典概率的基本原理及应用；
3. 能够应用古典概率进行问题解答。

教学重点：
1. 古典概率的基本概念；
2. 古典概率的计算方法；
3. 古典概率的应用。

教学难点：
1. 复杂情况下的概率计算；
2. 古典概率与实际生活的联系。

教学准备：
1. 教师准备PPT课件；
2. 学生准备课本、笔记本和作业本。

教学过程：
一、导入（5分钟）
教师简单介绍概率的概念，引入古典概率的概念，引导学生思考什么是古典概率。

二、讲解古典概率（15分钟）
1. 介绍基本概念：随机试验、样本空间、事件等；
2. 讲解古典概率的计算方法：P(A) = N(A) / N(S)；
3. 举例说明如何计算古典概率。

三、练习与讨论（20分钟）
1. 学生进行练习题；
2. 学生讨论解题思路；
3. 教师进行点评和指导。

四、拓展应用（10分钟）
1. 学生结合实际生活中的问题，运用古典概率解决；
2. 学生分享解题过程；
3. 教师进行点评和总结。

五、作业布置（5分钟）
布置相关练习题，巩固所学内容。

六、课堂小结（5分钟）
总结本节课所学内容，梳理重点，强调思考方法。

教学反思：
通过本节课的教学，学生应该对古典概率的基本概念有了初步了解，并能够应用古典概率解决简单问题。

在以后的教学中，可以通过更多的实例帮助学生理解和掌握古典概率的计算方法，进一步提高学生的概率计算能力。

§12.2古典概型考纲解读考点考纲内容要求浙江省五年高考统计2013 2014 2015 2016 2017古典概型理解古典概型,会计算古典概型中事件的概率.理解19(1),7分12(文),4分9,5分14(文),4分04(2)(自选),5分04(2)(自选),5分分析解读 1.古典概型的概率求法是高考常考内容,是高考的命题热点.2.考查古典概型的概率的计算是本节最为常见的考查内容,往往与排列、组合相结合,并体现对分类讨论思想的考查.3.预计2019年高考试题中,对古典概型的考查可能性很大.五年高考考点古典概型1.(2017课标全国Ⅱ文,11,5分)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张,放回后再随机抽取1张,则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为( )A. B. C. D.答案 D2.(2017天津文,3,5分)有5支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为( )A. B. C. D.答案 C3.(2015广东,4,5分)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球,其中有10个白球,5个红球.从袋中任取2个球,所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为( )A. B. C. D.1答案 B4.(2014陕西,6,5分)从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不小于．．．该正方形边长的概率为( )A. B. C. D.答案 C5.(2014浙江文,14,4分)在3张奖券中有一、二等奖各1张,另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张,两人都中奖的概率是.答案6.(2013浙江文,12,4分)从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等),这2名都是女同学的概率等于.答案7.(2016江苏,7,5分)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和小于10的概率是.答案8.(2014江苏,4,5分)从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是.答案9.(2014广东,11,5分)从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为.答案10.(2014江西,12,5分)10件产品中有7件正品、3件次品,从中任取4件,则恰好取到1件次品的概率是.答案11.(2015浙江自选,“计数原理与概率”模块,04(2),5分)设袋中共有7个球,其中4个红球,3个白球.从袋中随机取出3个球,求取出的白球比红球多的概率.解析从袋中取出3个球,总的取法有=35种;其中白球比红球多的取法有+·=13种.因此取出的白球比红球多的概率为.12.(2017山东文,16,12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1,A2,A3和3个欧洲国家B1,B2,B3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率;(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A1但不包括B1的概率.解析本题考查古典概型.(1)由题意知,从6个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},{B1,B2},{ B1,B3},{B2,B3},共15个.所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有:{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},共3个,则所求事件的概率为:P==.(2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个,其一切可能的结果组成的基本事件有:{A1,B1},{A1,B2},{A1,B3},{A2,B1},{A2,B2},{A2,B3},{A3,B1},{A3,B2},{A3,B3},共9个.包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有:{A1,B2},{A1,B3},共2个,则所求事件的概率为:P=.教师用书专用(13—15)13.(2013江苏,7,5分)现有某类病毒记作X m Y n,其中正整数m,n(m≤7,n≤9)可以任意选取,则m,n都取到奇数的概率为.答案14.(2013课标全国Ⅱ,14,5分)从n个正整数1,2,…,n中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为,则n= .答案815.(2013湖南,18(1))某人在如图所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植经验,一株该种作物的年收获量Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数X之间的关系如下表所示:X 1 2 3 4Y 51 48 45 42这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率.解析所种作物总株数N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数为3,边界上的作物株数为12,从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有=36种.选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有3+3+2=8种.故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率为=.三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点古典概型1.(2017浙江杭州质检,3)有五条长度分别为1,3,5,7,9的线段,若从这五条线段中任取三条,则所取的三条线段能构成三角形的概率为( )A. B. C. D.答案 B2.(2018浙江镇海中学阶段性测试,13)甲、乙等五名工人被随机地分到A,B,C三个不同的岗位工作,每个岗位至少有一名工人,则甲、乙被同时安排在A岗位的概率为.答案3.(2018浙江杭州二中期中,13)袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球,每种颜色的小球各有4个,分别编号为1,2,3,4.现从袋中随机取两个小球.若两个小球颜色不同,则有种不同的取法(用数字回答),在两个球颜色不同的条件下,两球编号之差最大的概率为.答案96;4.(2017浙江衢州质量检测,12)一个袋中装有质地均匀,大小相同的2个黑球和3个白球.从袋中一次任意摸出2个球,则恰有1个是白球的概率为;从袋中一次任意摸出3个球,摸出白球个数ξ的数学期望Eξ是.答案;5.(2017浙江镇海中学阶段测试(二),18)一个口袋中装有n个红球(n≥4且n∈N*)和5个白球,从中摸2个球,2个球颜色相同则为中奖.(1)若一次摸2个球,其中奖的概率为,求n的值;(2)当n=4时,若先摸1个球,记下颜色后,把球放回,然后再摸1个球,并记下颜色,求此时中奖的概率.解析(1)一次从(n+5)个球中摸2个球,有种结果,其中两球不同色有种结果,则一次摸2个球中奖的概率P=1-=.由=,得n=4或n=5.(2)若n=4,则所求概率是×+×=.6.(2016浙江高考冲刺卷(二),“计数原理与概率”模块,1)袋子中放有大小和质地相同的10个小球,其中红球5个,白球3个,黄球2个.若从袋子中随机抽取一个球,取到红球得1分,取到白球得2分,取到黄球得3分.求从袋子中不放回地随机抽取2个球得到4分的概率.解析从袋子中不放回地随机抽取2个球得到4分有以下2种情况:①抽到的2个球都是白球,其概率为P1===,②抽到的2个球中,一个是红球,另一个是黄球,其概率为P2===.所以从袋子中不放回地随机抽取2个球得到4分的概率为P=P1+P2=.7.(2016浙江模拟训练卷(四),“计数原理与概率”模块,1)4名男生3名女生排成一排,求3名女生中有2名站在一起,但3名女生不能全排在一起的概率.解析7人排成一排共有种不同的排法,其中3名女生互不相邻的排法有·种,3名女生排在一起的排法有·种,则3名女生中有2名站在一起,但3名女生不能全排在一起的排法有-·-·种.故3名女生中有2名站在一起,但3名女生不能全排在一起的概率为P==.B组2016—2018年模拟·提升题组一、选择题1.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,4)袋中共有7个球,其中3个红球,2个白球,2个黑球.若从袋中任取3个球,则所取3个球中至多有1个红球的概率为( )A. B. C. D.答案 D2.(2017浙江宁波期末,5)袋中有5个质地和大小完全相同的小球,编号分别为0,1,2,3,4,从中任取3个球,以ξ表示取出球的最小号码,则Eξ=()A.0.45B.0.5C.0.55D.0.6答案 B二、填空题3.(2018浙江名校协作体期初,14)安排甲、乙、丙、丁、戊5名大学生去杭州、宁波、金华三个城市进行暑期社会实践活动,每个城市至少安排一人,则不同的安排方式共有种,学生甲被单独安排去金华的概率是.答案150;4.(2017浙江镇海中学阶段测试(二),15)某校高三有5名同学报名参加甲、乙、丙三所高校的自主招生考试,每人限报一所高校,则这三所高校中每个学校都至少有1名同学报考的概率为.答案5.(2017浙江镇海中学模拟卷(五),14)甲口袋里有大小相同、编号不同的4个黑球和3个白球,乙口袋里有大小相同、编号不同的3个黑球和2个白球,现从甲、乙两个口袋中各摸出2个球,则摸出的4个球全是白球的概率为;摸出的4个球中黑球个数ξ的数学期望是.答案;三、解答题6.(2016浙江高考冲刺卷(一),“计数原理与概率”模块,1)某学校把6件学生作品排成一排进行展览,求A作品排在首位或末位、B和C两件作品必须排在一起的概率.解析6件作品排成一排共有种排法.A作品有排在首位或末位2种情况,B,C两件作品看作整体作为一件作品与其余的三件作品排在一起.故A作品排在首位或末位、B和C两件作品必须排在一起的排法总数为2×2×.故A作品排在首位或末位、B和C两件作品必须排在一起的概率为P==.7.(2016浙江高考调研模拟卷二,“计数原理与概率”模块,2)袋中有6个红球和8个白球,任意取5个放入A 盒中,其余9个球放入B盒中,求A盒中白球个数与B盒中红球个数之和不是质数的概率.解析A盒中白球个数与B盒中红球个数之和不是质数只有两种情形:①A盒中没有白球,B盒中有1个红球,其个数之和不是质数;②A盒中有4个白球,B盒中有5个红球,其个数之和不是质数.故所求概率为P==.C组2016—2018年模拟·方法题组方法古典概型的概率计算的解题策略1.(2017浙江“七彩阳光”新高考研究联盟测试,3)从1,2,3,4,5,6六个数中任取2个数,则取出的两个数不是连续整数的概率是( )A. B. C. D.答案 D2.(2017浙江名校新高考研究联盟测试一,14)设各个数位上不同的数字的个数为ξ(规定:各个数位上不同数字的个数为1),则ξ=4时的概率是,ξ的数学期望是.答案0.504;3.一个口袋里有2个红球和4个黄球,从中随机地连取3个球,每次取一个,记事件A=“恰有一个红球”,事件B=“第3个是红球”.求:(1)每次取后不放回时,事件A,B的概率;(2)每次取后放回时,事件A,B的概率.解析(1)由不放回抽样可知,第一次从6个球中取一个,第二次只能从5个球中取一个,第三次从4个球中取一个,基本事件共有6×5×4=120个,又事件A包含的基本事件共有3×2×4×3=72个(第1个是红球,则第2,3个是黄球,取法有2×4×3种,第2个是红球和第3个是红球与第1个是红球的取法一样多),∴P(A)==.第三次抽取红球对前两次没有什么要求,因为红球数占总球数的,每一次取到红球都是随机的等可能事件,∴P(B)=.(2)由放回抽样知,每次都是从6个球中任取一个,取法有63=216种,事件A包含的基本事件数为3×2×4×4=96种.∴P(A)==.第三次取到红球包括B1={红,黄,红},B2={黄,黄,红},B3={黄,红,红},B4={红,红,红}四种两两互斥的情形,P(B1)==,P(B2)==,P(B3)==,P(B4)==.∴P(B)=P(B1)+P(B2)+P(B3)+P(B4)=+++=.。

课 题：(古典概型)教学目的：2.掌握排列组合的基本公式计算等可能性事件概率的基本方法与求解的一般步骤 教学重点：教学难点：一、复习引入：事件的定义：随机事件： 必然事件： 不可能事件：2．随机事件的概率：一般地，在大量重复进行同一试验时，事件A 发生的频率mn总是接近某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作()P A ．3.概率的确定方法：通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率； 4．概率的性质：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，随机事件的概率为0()1P A ≤≤，必然事件和不可能事件看作随机事件的两个极端情形一次试验连同其中可能出现的每一个结果（事件A 例如：投掷硬币出现2种结果叫2个基本事件，通常试验中的某一事件A 由几个基本事件组成（例如：投掷一枚骰子出现正面是3的倍数这一事件由“正面是3”、“正面是6”这两个基本事件组成）． 6．等可能性事件：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每个基本事件的概率都是1n7．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()mP A n=8．等可能性事件的概率公式及一般求解方法二、讲解范例：例1．在100件产品中，有95件合格品，5件次品，从中任取2件，计算： （1）2件都是合格品的概率；（2）2件是次品的概率； （3）1件是合格品，1解：（1）记事件1A =“任取2件，2件都是合格品”，=∴2件都是合格品的概率为29512100893()990C P A C ==．（2）记事件2A =“任取2件，2件都是次品”， ∴2件都是次品的概率为25321001()495C P A C ==．（3）记事件3A =“任取2件，1件是合格品，1件是次品”∴1件是合格品，1件是次品的概率119553210019 ()198C CP AC⋅==．例2．7名同学站成一排，计算：（1）甲不站正中间的概率；（2）甲、乙两人正好相邻的概率；（3解：（1）甲不站正中间的概率667766 ()7AP AA⋅==；（2）甲、乙两人正好相邻的概率6262772 ()7A AP BA⋅==；（3）甲、乙两人不相邻的概率5256775 ()7A AP CA⋅==．例3．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共设有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，甲、乙二人依次各抽一题，计算：（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率是多少？（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率是多少？解：（1）甲抽到选择题，乙抽到判断题的概率11642104 ()15C CP AA⋅==；（2）甲、乙二人中至少有一人抽到选择题的概率211116644621013 ()15A C C C CP BA+⋅+⋅==三、课堂练习：1．n封信投入m个信箱，其中n封信恰好投入同一个信箱大概率是（C ）()A1nm()B1mn()C11nm-()D11mn-2．有5种不同的作物，从中选出3种分别种在3种不同土纸的试验小区内，其中甲、乙两种作物不宜种在1号小区内的概率为（C ）()A110()B12()C35()D13．4本不同的书分给3个人，每人至少分得1本的概率为4．在一次口试中，要从10道题中随机抽出3道题进行回答，答对了其中2道题就获得及格，某考生会回答10道题中的6道题，那么他（她）获得及格的概率是多少？5．在80件产品中，有50件一等品，20件二等品，10件三等品，从中任取3件，计算：⑴3件都是一等品的概率；⑵2件是一等品、1件是二等品的概率；6.将骰子先后抛掷2次，（1）朝上一面数之和为6的概率是；（2）朝上一面数之和小于5的概率是3、23443/34/9C P=4、12346633101023C C CC C+=5、.⑴3503802451027CC=；⑵21502038012254108C CC=；⑶1115020103801251027C C C C = 6、(1) 536 (2) 16 课 题：教学目的：掌握互斥事件的概念；2．掌握互斥事件概率的求法 教学重点：教学难点：教学过程：一、复习引入：等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()m P A n=二、讲解新课： 1.事件的和的意义对于事件A 和事件B 表示这样一个事件：在同一试验下，A 或B 1、2、3、4、5、6的正方体玩具，如果掷出奇数点，记作事件A ；如果掷出的点数不大于3，记作事件B ，那么事件A+B 就是表示掷出的点数为1、2、3、5事件“12n A A A +++”表示这样一个事件，在同一试验中，12,,,n A A A 中至少有互斥事件的概念从盒中任意摸出一个球，我们把得到红球叫事件Ａ，得到绿球叫事件Ｂ，得到黄球叫事件Ｃ叫做互斥事地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 彼此互斥3．对立事件的概念：事件Ａ和事件B 必有一个发生的互斥事件.从盒中任意摸出一个球，若摸出的球不是红的，即事件Ａ没发生，记作A 和事件A 球，即事件Ａ和事件A 4．互斥事件的概率的求法若 “从盒中任意摸出一个球，摸出的球是红的或是绿的”是一个事件，当摸出的球是红球或绿球时，表示这个事件发生，我们把这个事件记作Ａ＋Ｂ，现在问：事件Ａ＋Ｂ的概率是多少？因为从盒中任摸１个球有１０种可能，而得到红球或绿球的方法有２＋７种，所以得到红球或绿球的概率：P(A+B) =1027+另一方面：P(A)=107，P(B)=102所以P(A+B)=P(A)+P(B) 一般地：如果事件Ａ，Ｂ互斥，那么事件Ａ＋Ｂ发生（即Ａ，Ｂ中有一个发生）的概如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么事件12n A A A +++发生（即12,,,n A A A 中有一个发生）的概率，等于这ｎ个事件分别发生的概率的和，即12()n P A A A +++＝12()()()n P A P A P A +++由对立事件的意义：Ａ＋A 是一个必然事件，它的概率等于１，又由于Ａ与A 互斥，我们得到：P(A)+P(A )＝P(A ＋A )同样 P(A )＝１－P(A) 三、讲解范例：例1、 在20件产品中,有15件一级品，５件二级品，从中任取３件，其中至少有１件为二级品的概率是多少？解法１ 123()P A A A ++＝123()()()P A P A P A ++123()P A A A ++＝123()()()P A P A P A ++ ＝228137320353201152532021515=++CC CC C CC C 解法２: P(A )＝１－P(A)＝１－22813722891=四、课堂练习：1.若A 表示四件产品中至少有一件是废品的事件，B 表示废品不少于两件的事件，试问对立事件A 、B 各表示什么? A 表示四件产品中没有废品的事件；B 表示四件产品中没有废品或只有一件废品的事件.2.一个射手进行一次射击，试判断下面四个事件A 、B 、C 、D 中有哪些是互斥事件? 事件A ：命中的环数大于8；事件B ：命中的环数大于5；事件C ：命中的环数小于4；事件D ：命中的环数小于6. 事件A 与C 、事件A 与D 、事件B 与C 分别为互斥事件3.某市派出甲、乙两支球队参加全省足球冠军赛.甲乙两队夺取冠军的概率分别是73和41.试求该市足球队夺得全省足球冠军的概率.(2819) 五、小结 ：1.互斥事件，对立事件的概念；2. 3.互斥事件有一个发生的和概率公式： 4.对立事件的概率的和等于1， 即：P (A )+P （A ）六、课后作业： 七、板书设计（略）八、课后记：课 题：教学目的：教学重点：教学难点：教学过程： 一、复习引入：1．等可能性事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果都是等可能的，如果事件A 包含m 个结果，那么事件A 的概率()m P A n=2互斥事件的概念:不可能同时发生的个事件叫做互斥事件一般地：如果事件12,,,n A A A 中的任何两个都是互斥的，那么就说事件12,,,n A A A 3．对立事件的概念:事件Ａ和事件B 必有一个发生的互斥事件. 4．互斥事件的概率的求法:如果事件12,,,n A A A 彼此互斥，那么 12()n P A A A +++＝12()()()n P A P A P A +++二、讲解范例：例1．袋中有5个白球，3个黑球，从中任意摸出4个，求下列事件发生的概率： (1)摸出2个或3个白球；(2)至少摸出1个白球；(3)至少摸出1个黑球.解：从8个球中任意摸出4个共有48C 种不同的结果.记从8个球中任取4个，其中恰有1个白球为事件A 1，恰有2个白球为事件A 2，3个白球为事件A 3，4个白球为事件A 4，恰有i 个黑球为事件B ｉ，则(1)摸出2个或3个白球的概率P 1＝Ｐ（A 2＋A 3）＝Ｐ（A 2）＋Ｐ（A 3）=223153534488C C C C 336C C 777=+=+=(2)至少摸出1个白球的概率P 2＝1－Ｐ（B 4）＝1－0＝1(3)至少摸出1个黑球的概率Ｐ3＝1－Ｐ（A 4）＝1－1413C C 4845=例2．从男女学生共有36名的班级中，任意选出2名委员，任何人都有同样的当选机会.如果选得同性委员的概率等于21，求男女生相差几名? 解：设男生有x 名，则女生有36-x 名.选得2名委员都是男性的概率为3536)1(C C 2362⨯-=x x x选得2名委员都是女性的概率为3536)35)(36(C C 236236⨯--=-x x x以上两种选法是互斥的，又选得同性委员的概率等于21，得213536)35)(36(3536)1(=⨯--+⨯-x x x x 解得x =15或x =21即男生有15名，女生有36-15=21名，或男生有21名，女生有36-21=15名. 总之，男女生相差6名三、课堂练习：1.回答下列问题：(1)甲、乙两射手同时射击一目标，甲的命中率为0.65，乙的命中率为0.60，那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0.65＋0.60＝1.25，为什么? (2)一射手命中靶的内圈的概率是0.25，命中靶的其余部分的概率是0.50.那么能否得出结论：目标被命中的概率等于0.2５＋0.５0＝0.7５，为什么?(3)两人各掷一枚硬币，“同时出现正面”的概率可以算得为221.由于“不出现正面”是上述事件的对立事件，所以它的概率等于1-221=43.这样做对吗?说明道理. 2.战士甲射击一次，问：(1)若事件A (中靶)的概率为0.95，A 的概率为多少?(2)若事件B (中靶环数大于5)的概率为0.7，那么事件C (中靶环数小于6)的概率为多少?事件D (中靶环数大于0且小于6)的概率是多少?3.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品.在正常生产情况下出现乙级品和丙级品的概率分别为3%和1%.求抽验一只是正品(甲级)的概率.4.在放有5个红球、4个黑球、3个白球的袋中，任意取出3个球，分别求出3个全是同色球的概率及全是异色球的概率.5.某单位36人的血型类别是：A 型12人，B 型10人，AB 型8人，O 型6人.现从这36人中任选2人，求此2人血型不同的概率.6.在一只袋子中装有7个红玻璃球，3个绿玻璃球.从中无放回地任意抽取两次，每次只取一个.试求：(1)取得两个红球的概率； (2)取得两个绿球的概率；(3)取得两个同颜色的球的概率；(4)至少取得一个红球的概率.7.在房间里有4个人.问至少有两个人的生日是同一个月的概率是多少答案：1. (1)不能.因为甲命中目标与乙命中目标两事件不互斥.(2)能.因为命中靶的内圈和命中靶的其余部分是互斥事件.(3)不对.因为“不出现正面”与“同时出现正面”不是对立事件，故其概率和不为1. 2. (1)0.05 (2)P (C )=0.3 P (D )=0.25 3. 0.964. 全是同色球的概率为443，全是异色球的概率为113 5. 4534 6. (1) 157 （2）151 (3) 158 (4) 1514) 7. 9641四、小结 ：互斥事件概率的求法五、课后作业：。

2017年高考数学一轮复习第十二章统计与概率第80课古典概型概率教案(1)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017年高考数学一轮复习第十二章统计与概率第80课古典概型概率教案(1)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017年高考数学一轮复习第十二章统计与概率第80课古典概型概率教案(1)的全部内容。

古典概型概率一、教学目标1、理解古典概型及其概率计算公式；2、会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率．二、基础知识回顾及梳理1、判断下列命题是否正确：（1）掷两枚硬币，等可能出现“两个正面"“两个反面”“一正一反”三种结果;（2）某袋中装有大小均匀的三个红球、两个黑球、一个白球，任取一球，那么每种颜色的球被摸到的可能性相同；（3）从4,3,2,1,0,1,2----中任取一个数,取到的数小于0与不小于0的可能性相同；（4）分别从3名男同学、4名女同学中各选一名代表，男、女同学当选的可能性相同；（5）五人抽签，甲先抽签，乙后抽,那么乙与甲抽到某号中奖签的可能性不同．【教学建议】本题主要回顾古典概型的基本特征——有限性与等可能性，以及复习古典概型的概率公式．（1）对于①，应为4种结果，还有一种是“一反一正”，否则满足不了基本事件出现的等可能性；（2）对于②、③、④，主要是帮助学生回顾古典概型的概率公式．例如②中,给6个球依次编号，红1，红2，红3，黑4，黑5，白6，那么“任取一球”这个实验中，等可能出现的结果有6种，而“取红球”等可能出现的结果有3种，所以摸到红球的概率应为12，同理，摸到黑球的概率应为13，摸到白球的概率应为16；（3）对于⑤，尽管抽签有先后，但每人抽到某号的概率是相同的．2、连续掷三枚硬币观察落地后这三枚硬币出现正面还是反面，（1）写出这个实验的基本事件;（2）求这个实验的基本事件总数；（3）“恰有两枚正面朝上”这一事件包含了哪几个基本事件?【教学建议】本题主要帮助学生寻找基本事件数的探求方法。

10.5.1 古典概型考纲传真1.理解古典概型及其概率计算公式．2．会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． 有限性试验中所有可能出现的基本事件只有有限个等可能性每个基本事件出现的可能性相等3．古典概型的概率公式 P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数．1．(人教A 版教材习题改编)甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( ) A.16 B.12 C.13D.23『解析』 甲、乙、丙三名同学站成一排，有6个基本事件，其中甲站在中间的基本事件有2个，故所求概率为P ＝26＝13.『答案』 C2．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )A.13B.12C.23D.34『解析』 甲、乙两位同学参加3个小组的所有可能性有3×3＝9种，其中，甲、乙参加同一小组的情况有3种．故甲、乙参加同一个兴趣小组的概率P ＝39＝13.『答案』 A3．三张卡片上分别写上字母E ，E ，B ，将三张卡片随机地排成一行，恰好排成英文单词BEE 的概率为________．『解析』 三张卡片随机排成一行的基本事件有BEE ，EBE ，EEB ，共3个， 故所求概率为P ＝13.『答案』 134．(2013·徐州调研)从1，2，3，4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________．『解析』 从1，2，3，4中随机取两个数，不同的结果为{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，共有6个基本事件．满足一个数是另一个数两倍的取法有{1，2}，{2，4}共两种，∴所求事件的概率P ＝26＝13.『答案』 135．(2012·浙江高考)从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机(等可能)取两点，则该两点间的距离为22的概率是________． 『解析』 如图，在正方形ABCD 中，O 为中心，∵正方形的边长为1，∴两点距离为22的情况有(O ，A )，(O ，B )，(O ，C )，(O ，D )4种， 故P ＝4C 25＝25.『答案』 25简单古典概型的概率(2012·山东高考)袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率； (2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两种卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．『思路点拨』 依题意，所求事件的概率满足古典概型，分别求基本事件总数与所求事件所包含的基本事件个数m ，进而利用古典概型概率公式计算．『尝试解答』 (1)从5张卡片中任取两张，共有n ＝C 25＝10种方法，记“两张卡片颜色不同且标号之和小于4”为事件A ，则A 包含基本事件m ＝C 12C 12－1＝3个，由古典概型概率公式，P (A )＝m n ＝310.(2)从6张卡片中任取两张，共有n ＝C 26＝15个基本事件，记“两张卡片颜色不同且标号之和小于4”为事件B ，则事件B 包含基本事件总数m ＝C 11(C 12＋C 13)＋(C 12C 12－1)＝8，∴所求事件的概率P (B )＝m n ＝815.,1．有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数．2．(1)用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举．(2)注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，求选出的2名教师性别相同的概率； (2)若从报名的6名教师中任选2名，求选出的2名老师来自同一学校的概率．『解』 (1)从甲、乙两校报名的教师中各选1名，共有n ＝C 13×C 13＝9种选法． 记“2名教师性别相同”为事件A ，则事件A 包含基本事件总数m ＝C 12·1＋C 12·1＝4，∴P (A )＝m n ＝49. (2)从报名的6人中任选2名，有n ＝C 26＝15种选法．记“选出的2名老师来自同一学校”为事件B ，则事件B 包含基本事件总数m ＝2C 23＝6.∴选出2名教师来自同一学校的概率P (B )＝615＝25.复杂古典概型的概率为振兴旅游业，某省2012年“国庆、中秋黄金周”面向国内发行总量为2 000万张的熊猫优惠卡，向省外人士发行的是熊猫金卡(简称金卡)，向省内人士发行的是熊猫银卡(简称银卡)．某旅游公司组织了一个有36名游客的旅游团到该省名胜旅游，其中34是省外游客，其余是省内游客．在省外游客中有13持金卡，在省内游客中有23持银卡．(1)在该团中随机采访2名游客，求恰有1人持银卡的概率；(2)在该团中随机采访2名游客，求其中持金卡与持银卡人数相等的概率．『思路点拨』 首先求出省内、省外游客人数及持金卡、银卡人数，然后求出基本事件总数及所求事件包含的基本事件数，最后代入公式求解．『尝试解答』 (1)由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡．设事件A 为“采访该团2人，恰有1人持银卡”，则P (A )＝C 16C 130C 236＝27，所以“采访该团2人，恰有1人持银卡”的概率是27.(2)设事件B 为“采访该团2人，持金卡人数与持银卡人数相等”．事件B 1“采访该团2人，持金卡的有0人，持银卡的有0人”；事件B 2“采访该团2人，持金卡的有1人，持银卡的有1人”．则事件B 1，B 2互斥，且B ＝B 1＋B 2，∵P (B 1)＝C 221C 236，P (B 2)＝C 19C 16C 236.∴P (B )＝P (B 1)＋P (B 2)＝C 221C 236＋C 19C 16C 236＝44105，所以采访2人中，持金卡与持银卡人数相等的概率是44105.,1．本题属于求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型．必要时将所求事件转化成互斥事件或对立事件的概率． 2．(1)在解决与互斥事件有关问题时，首先分清所求事件是哪些事件组成的，是否具备互斥的条件，一个事件是由几个互斥事件组成的，做到不重、不漏．(2)在求基本事件总数和所求事件包含基本事件的数目时，要保证计数的一致性，用排列时都按排列计数；用组合时，均用组合计数．本例中条件不变，在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率．『解』 由题意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省内游客有9人，其中6人持银卡．设事件C 为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”， 事件C 1为“采访该团3人中 ，1人持金卡，0人持银卡”， 事件C 2为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”．P (C )＝P (C 1)＋P (C 2)＝C 19C 221C 336＋C 19C 16C 121C 336＝934＋27170＝3685. 所以“在该团中随机采访3人，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”的概率是3685.古典概型与统计的综合应用(2013·徐州质检)某日用品按行业质量标准分成五个等级，等级系数X 依次为1，2，3，4，5.现从一批该日用品中随机抽取20件，对其等级系数进行统计分析，得到频率分布表如下：X 1 2 3 4 5 fa0.20.45bc(1)若所抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件，求a ，b ，c 的值；(2)在(1)的条件下，将等级系数为4的3件日用品记为x 1，x 2，x 3，等级系数为5的2件日用品记为y 1，y 2，现从x 1，x 2，x 3，y 1，y 2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同)，写出所有可能的结果，并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率．『思路点拨』 对于第(1)问，由频率分布表可得出a 、b 、c 的关系a ＋0.2＋0.45＋b ＋c ＝1，再根据等级系数为4的恰有3件，等级系数为5的恰有2件的条件分别得出b ，c 的值，从而求出a 的值．对于第(2)问，从日用品x 1，x 2，x 3，y 1，y 2中任取两件结果等可能，为古典概型，利用公式就可求得结果．『尝试解答』(1)抽取的20件日用品中，等级系数为4的恰有3件，所以b＝320＝0.15.等级系数为5的恰有2件，所以c＝220＝0.1.由频率分布表得a＋0.2＋0.45＋b＋c＝1，∴a＝0.35－b－c＝0.1.所以a＝0.1，b＝0.15，c＝0.1.(2)从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，所有可能情况为：{x1，x2}，{x1，x3}，{x1，y1}，{x1，y2}，{x2，x3}，{x2，y1}，{x2，y2}，{x3，y1}，{x3，y2}，{y1，y2}．设事件A表示“从日用品x1，x2，x3，y1，y2中任取两件，其等级系数相等”，则A包含的基本事件为{x1，x2}，{x1，x3}，{x2，x3}，{y1，y2}，共4个．又基本事件的总数为10，故所求的概率P(A)＝410＝0.4.,1．本题综合考查概率与统计的知识，数学应用意识，考查函数与方程思想、分类与整合思想、必然与或然思想．2．(1)此类问题求解的关键是准确提炼数据信息，正确运算，注重思想方法的培养．(2)注重正反两方面的思维训练，提升自己的思维水平．(2012·天津高考)某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目．(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．『解』(1)由分层抽样定义知，从小学中抽取的学校数目为6×2121＋14＋7＝3；从中学中抽取的学校数目为6×1421＋14＋7＝2；从大学中抽取的学校数目为6×721＋14＋7＝1.故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3，2，1.(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3，2所中学分别记为A4，A 5，大学记为A 6，则抽取2所学校的所有等可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 1，A 4}，{A 1，A 5}，{A 1，A 6}，{A 2，A 3}，{A 2，A 4}，{A 2，A 5}，{A 2，A 6}，{A 3，A 4}，{A 3，A 5}，{A 3，A 6}，{A 4，A 5}，{A 4，A 6}，{A 5，A 6}，共15种．②从6所学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B )的所有可能结果为{A 1，A 2}，{A 1，A 3}，{A 2，A 3}，共3种，所以P (B )＝315＝15.一条规律从集合的角度看概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I ，基本事件的个数n 就是集合I 的元素个数，事件A 是集合I 的一个包含m 个元素的子集．故P (A )＝card （A ）card （I ）＝m n. 两种方法1.列举法：适用于较简单的试验．2．树状图法：适用于较为复杂的问题中的基本事件的探求．另外在确定基本事件时，(x ，y )若看成是有序的，则(1，2)与(2，1)不同；{x ，y }若看成无序的，则{1，2}与{2，1}相同．从近两年的高考试题来看，古典概型是高考的热点，可在选择题、填空题中单独考查，也可在解答题中与统计等知识渗透综合考查，但题目一般不超过中等难度，以考查基本概念和基本运算为主，求解的关键在于正确计算随机试验不同的结果及事件A 包含的基本事件数．易错辨析之十八 古典概型的基本事件计算不准致误(2013·成都模拟)在集合{1，2，3，4，5}中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量α＝(a ，b )，从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形(记所有作成的平行四边形的个数为n )，若平行四边形的面积等于2，记为事件A ，则P (A )等于( )A.215B.15C.415D.110『错解』 ∵以原点为起点的向量α＝(a ，b )有(2，1)、(2，3)、(2，5)、(4，1)、(4，3)、(4，5)共6个．从中任取两个为邻边作平行四边形， 则n ＝6×52＝15个．其中由(2，1)与(4，1)，(2，1)与(4，3)确定的平行四边形面积为2， 因此事件A 含有基本事件数m ＝2. 根据古典概型，P (A )＝m n ＝215.『答案』 A错因分析：(1)没能结合图形确定面积为2的平行四边形的个数，遗漏(2，3)与(4，5)导致结果错误．(2)本题还易出现错误地认为是n ＝6×5＝30，错将取两个向量作平行四边形看成是有顺序的，导致错选D.防范措施：(1)准确理解题意，正确确定事件类型．(2)计算基本事件总数时，可画出几何图、树形图，利用枚举法、列表法、坐标网格法是克服此类错误的有效手段．『正解』 以原点为起点的向量α＝(a ，b )有(2，1)、(2，3)、(2，5)、(4，1)、(4，3)、(4，5)共6个．从中任取两个为邻边作平行四边形， 则n ＝6×52＝15个．如图所示，结合图形进行计算，其中由(2，1)与(4，1)，(2，1)与(4，3)，(2，3)与(4，5)确定的平行四边形面积为2.∴面积为2的平行四边形的个数m ＝3.根据古典概型，P (A )＝m n ＝315＝15.『答案』 B1．(2012·广东高考)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )A.49B.13C.29D.19『解析』 依题设，个位数与十位数之和为奇数，则个位数与十位数中必一个奇数一个偶数，所以可以分两类．(1)当个位为奇数时，有5×4＝20(个)符合条件的两位数． (2)当个位为偶数时，有5×5＝25(个)符合条件的两位数．因此共有20＋25＝45(个)符合条件的两位数，其中个位数为0的两位数有5个，所以所求概率为P ＝545＝19.『答案』 D2．(2013·南京调研)为预防H 1N 1病毒爆发，某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效的概率小于90%，则认为测试没有通过)，公司选定2 000个流感样本分成三组，测试结果如下表：分组 A 组 B 组 C 组 疫苗有效 673 a b 疫苗无效7790c已知在全体样本中随机抽取1个，抽取B 组疫苗有效的概率是0.33.(1)现用分层抽样的方法在全体样本中抽取360个测试结果，问应在C 组抽取样本多少个？(2)已知b ≥465，c ≥30，求通过测试的概率． 『解』 (1)∵a2 000＝0.33，∴a ＝660，∴b ＋c ＝2 000－673－77－660－90＝500， ∴应在C 组抽取样本个数是360×5002 000＝90(个)．(2)∵b ＋c ＝500，b ≥465，c ≥30，∴(b ，c )的可能性是(465，35)，(466，34)，(467，33)，(468，32)，(469，31)，(470，30)．若测试没有通过，则77＋90＋c ＞2000×(1－90%)＝200，c ＞33，(b ，c )的可能性是(465，35)，(466，34)．记“疫苗通过测试”为事件A ，∵P (A )＝26＝13，∴疫苗通过测试的概率为P (A )＝1－P (A )＝23.。

古典概型的教案一、教学目标1、知识与技能目标理解古典概型的概念及其特征。

掌握古典概型的概率计算公式。

能够运用古典概型的概率公式解决简单的实际问题。

2、过程与方法目标通过对实际问题的分析，经历从具体到抽象、从特殊到一般的思维过程，培养学生的归纳、概括能力。

通过古典概型的概率计算，提高学生的逻辑推理能力和运算能力。

3、情感态度与价值观目标让学生感受数学与实际生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。

培养学生勇于探索、敢于创新的精神。

二、教学重难点1、教学重点古典概型的概念及特征。

古典概型概率计算公式的应用。

2、教学难点如何判断一个试验是否为古典概型。

对古典概型概率计算公式的理解和应用。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、导入新课通过展示一些生活中的随机现象，如掷骰子、抛硬币等，引导学生思考这些现象中蕴含的概率问题，从而引出本节课的主题——古典概型。

2、讲解古典概型的概念（1）列举一些简单的试验，如掷一枚质地均匀的硬币，观察其正反面；掷一枚质地均匀的骰子，观察其出现的点数。

（2）引导学生分析这些试验的共同特点：试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等。

（3）给出古典概型的定义：如果一个随机试验具有上述两个特点，我们就称这样的随机试验为古典概型。

3、讲解古典概型的概率计算公式（1）以掷一枚质地均匀的骰子为例，分析其出现的点数为 1、2、3、4、5、6 这 6 个基本事件，且每个基本事件出现的可能性相等，均为1/6。

（2）设试验的基本事件总数为n，事件A 包含的基本事件数为m，则事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ n 。

（3）强调公式的适用条件：试验为古典概型。

4、例题讲解例 1：一个口袋内装有大小相同的 5 个球，其中 3 个白球，2 个黑球，从中一次摸出 2 个球，求摸出的 2 个球都是白球的概率。

解：设 3 个白球分别为 A、B、C，2 个黑球分别为 D、E。

12.2古典概型考情分析1．考查古典概型概率公式的应用，尤其是古典概型与互斥、对立事件的综合问题更是高考的热点．2．在解答题中古典概型常与统计相结合进行综合考查，考查学生分析和解决问题的能力，难度以中档题为主． 基础知识1．基本事件的特点(1)任何两个基本事件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型． (1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个． (2)每个基本事件出现的可能性相等． 3．古典概型的概率公式P (A )＝A 包含的基本事件的个数基本事件的总数.注意事项1.从集合的角度去看待概率，在一次试验中，等可能出现的全部结果组成一个集合I ，基本事件的个数n 就是集合I 的元素个数，事件A 是集合I 的一个包含m 个元素的子集．故P (A )＝card A card I ＝m n. 2. (1)列举法：适合于较简单的试验．(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．另外在确定基本事件时，(x ，y )可以看成是有序的，如(1,2)与(2,1)不同；有时也可以看成是无序的，如(1,2)与(2,1)相同．题型一 基本事件数的探求【例1】做抛掷两颗骰子的试验：用(x ，y )表示结果，其中x 表示第一颗骰子出现的点数，y 表示第二颗骰子出现的点数，写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“出现点数之和大于8”； (3)事件“出现点数相等”； (4)事件“出现点数之和大于10”． 解 (1)这个试验的基本事件为：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)(4, 1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)(2)事件“出现点数之和大于8”包含以下10个基本事件(3,6)，(4,5)，(4,6)(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)．(3)事件“出现点数相等”包含以下6个基本事件(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)．(4)事件“出现点数之和大于10”包含以下3个基本事件(5,6)，(6,5)，(6,6)．【变式1】用红、黄、蓝三种不同颜色给图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，写出：(1)试验的基本事件；(2)事件“3个矩形颜色都相同”；(3)事件“3个矩形颜色都不同”．解(1)所有可能的基本事件共27个．(2)由图可知，事件“3个矩形都涂同一颜色”包含以下3个基本事件：红红红，黄黄黄，蓝蓝蓝．(3)由图可知，事件“3个矩形颜色都不同”包含以下6个基本事件：红黄蓝，红蓝黄，黄红蓝，黄蓝红，蓝红黄，蓝黄红．题型二古典概型【例2】现有8名2012年伦敦奥运会志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓日语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓日语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．(1)求A1被选中的概率；(2)求B1和C1不全被选中的概率．解(1)从8人中选出日语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件共有C13C13C12＝18个．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．用M 表示“A 1恰被选中”这一事件， 事件M 由C 13C 12＝6， 因而P (M )＝618＝13.(2)用N 表示“B 1、C 1不全被选中”这一事件，则其对立事件N 表示“B 1、C 1全被选中”这一事件，由于N 包含(A 1，B 1，C 1)，(A 2，B 1，C 1)，(A 3，B 1，C 1)3个结果，事件N 有3个基本事件组成，所以P (N )＝318＝16，由对立事件的概率公式得 P (N )＝1－P (N )＝1－16＝56.【变式2】有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为( )． A.13 B.12 C.23 D.34解析 甲、乙两人都有3种选择，共有3×3＝9(种)情况，甲、乙两人参加同一兴趣小组共有3种情况．∴甲、乙两人参加同一兴趣小组的概率P ＝39＝13.答案 A题型三 古典概型的综合应用【例3】在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用x n 表示编号为n (n ＝1,2，…，6)的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：(1)求第66(2)从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率． 解 (1)∵这6位同学的平均成绩为75分， ∴16(70＋76＋72＋70＋72＋x 6)＝75，解得x 6＝90， 这6位同学成绩的方差s 2＝16×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴标准差s ＝7.(2)从前5位同学中，随机地选出2位同学的成绩有：(70,76)，(70,72)，(70,70)，(70,72)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，(72,70)，(72,72)，(70,72)，共10种，恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4种，所求的概率为410＝0.4，即恰有1位同学成绩在区间(68,75)中的概率为0.4.【变式3】 一汽车厂生产A ，B ，C 三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：类轿车10辆． (1)求z 的值；(2)用分层抽样的方法在C 类轿车中抽取一个容量为5的样本．将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B 类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9．4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率． 解 (1)设该厂这个月共生产轿车n 辆， 由题意得50n ＝10100＋300，所以n ＝2 000，则z ＝2 000－100－300－150－450－600＝400. (2)设所抽样本中有a 辆舒适型轿车， 由题意得4001 000＝a5，则a ＝2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，共10个． 事件E 包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，共7个． 故P (E )＝710，即所求概率为710.(3)样本平均数x ＝18(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D 表示事件“从样本中任取一个数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包含的基本事件有：9.4,8.6,9.2,8.7,9.3,9.0，共6个，所以P (D )＝68＝34，即所求概率为34.重难点突破【例4】甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女． (1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任取2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．解析 (1)甲校两男教师分别用A 、B 表示，女教师用C 表示；乙校男教师用D 表示，两女教师分别用E 、F 表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为：(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共9种，从中选出2名教师性别相同的结果有：(A ，D )，(B ，D )，(C ，E )，(C ，F )，共4种，选出的2名教师性别相同的概率为P ＝49.(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．从中选出2名教师来自同一学校的结果有：(A ，B )，(A ，C )，(B ，C )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共6种， 选出的2名教师来自同一学校的概率为P ＝615＝25.巩固提高1．甲：A 1、A 2是互斥事件；乙：A 1、A 2是对立事件．那么( )A ．甲是乙的充分但不必要条件B ．甲是乙的必要但不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件 解析：由互斥、对立事件的含义知选B 答案：B2．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm 的概率为0.2，该同学的身高在[160,175]的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm 的概率为( )A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.8解析：因为必然事件发生的概率是1，所以该同学的身高超过175 cm 的概率为1－0.2－0.5＝0.3.答案：B3．某种饮料每箱装6听，其中有4听合格，2听不合格，现质检人员从中随机抽取2听进行检测，则检测出至少有一听不合格饮料的概率是( )A.115B.35C.815D.1415解析： 记4听合格的饮料分别为A 1、A 2、A 3、A 4,2听不合格的饮料分别为B 1、B 2，则从中随机抽取2听有(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 1，A 4)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，A 3)，(A 2，A 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，A 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共15种不同取法，而至少有一听不合格饮料有(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(B 1，B 2)，共9种，故所求概率为P ＝915＝35.答案：B4．先后两次抛掷一枚骰子，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为( )A.16 B.15 C.13D.25解析：由题意可知，在得到点数之和不大于6的条件下，先后出现的点数中有3的概率为55＋4＋3＋2＋1＝13.答案：C5．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，A ＝30°，若将一枚质地均匀的正方体骰子先后抛掷两次，所得的点数分别为a 、b ，则满足条件的三角形有两个解的概率是( )A.16 B.13 C.12D.34解析：要使△ABC有两个解，需满足的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＞b sin A ，b ＞a因为A ＝30°，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＜2a ，b ＞a 满足此条件的a ，b 的值有b ＝3，a ＝2；b ＝4，a ＝3；b ＝5，a ＝3；b ＝5，a ＝4；b ＝6，a ＝4；b ＝6，a ＝5，共6种情况，所以满足条件的三角形有两个解的概率是636＝16.答案：A。

古典概型教案7篇古典概型教案篇1一、教学目标:1、知识与技能:(1)正确理解古典概型的两大特点:1)试验中全部可能涌现的基本领件只有有限个;2)每个基本领件涌现的可能性相等;(2)掌控古典概型的概率计算公式:p(a)=2、过程与方法:(1)通过对现实生活中详细的概率问题的探究,感知应用数学解决问题的方法,体会数学知识与现实世界的联系,培育规律推理技能;(2)通过模拟试验,感知应用数字解决问题的方法,自觉养成动手、动脑的良好习惯。

3、情感立场与价值观:通过数学与探究活动,体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点.二、重点与难点:重点是掌控古典概型的概念及利用古典概型求解随机事项的概率;难点是如何判断一个试验是否是古典概型,分清一个古典概型中某随机事项包含的基本领件的个数和试验中基本领件的总数。

三、教法与学法指导:依据本节课的特点,可以采纳问题探究式学案导学教学法,通过问题导入、问题探究、问题解决和问题评价等教学过程,与同学共同探讨、合作争论;应用所学数学知识解决现实问题。

四、教学过程:1、创设情境:(1)掷一枚质地匀称的硬币的试验;(2)掷一枚质地匀称的骰子的试验。

师生共同探讨:依据上述状况,你能发觉它们有什么共同特点?同学分组争论试验,每人写出试验结果。

依据结果探究这种试验所求概率的特点,尝试归纳古典概型的定义。

在试验(1)中结果只有2个,即正面朝上或反面朝上,它们都是随机事项。

在试验(2)中,全部可能的试验结果只有6个,即涌现1点2点3点4点5点和6点,它们也都是随机事项。

2、基本概念:(看书130页至132页)(1)基本领件、古典概率模型。

(2)古典概型的概率计算公式:p(a)= .3、例题分析:(呈现例题,深刻体会古典概型的两个特征依据每个例题的不同条件,让每个同学找出并回答每个试验中的基本领件数和基本领件总数,分析是否满意古典概型的特征,然后利用古典概型的`计算方法求得概率。

) 例1 从字母a,b,c,d中任意取出两个不同的试验中,有哪些基本领件?分析:为了得到基本领件,我们可以根据某种顺次,把全部可能的结果都列出来。