珠海市第二中学2019－2020学年第二学期开学考试高一年级 数学试题第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、若全集)(),(,x g x f R U =均为二次函数，{}{}0)(,0)(≥=≥=x g x Q x f x P ，则不等式组⎩⎨⎧<<0)(0)(x g x f 的解集可用P 、Q 表示为（ ） A.Q P I B.)(Q P C U I C. )()(Q C P C U U I D. )()(Q C P C U U Y2、如图所示，已知灯塔A在观察站C的北偏东20°，距离为8km，灯塔B在观察站C的南偏东40°，距离为6km ，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A.B.C.D.3、若变量,x y 满足不等式组301010x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-≥⎩，则3z x y =+的最大值为（ ）A.7B. 5C.3D.1 4、设D 为所在平面内一点，3=，则（ ）A. 3431-=B. 3431+-=C. 3134+=D. 3134-=5、若三个正实数,,a b c 满足()(1)0a b c --<，则下列不等式一定成立的是A.ac bc <B. a b c c >C.log log c c a b <D.2c a ba b c -+≥-6、函数)cos()(ϕω+=x x f 的部分图象如图，则)(x f 的递减区间为（A. ))(43,41(Z k k k ∈+-ππ B. ))(432,412(Z k k k ∈+-ππC. ))(432,412(Z k k k ∈+-D. ))(43,41(Z k k k ∈+-7、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：121n n a S +=-，且11a =，则3132log log a a ++L36log a +=A.10B.10-C.15D.15-8、函数2212()2,0f x x x x x x=+++<的最小值为（ ） A.3- B. 2- C .1 D.69、已知数列{}n a 且满足：142n na a +=-，且14a =，则n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2020=S A.2019 B.2021 C.2022 D.2023 10、将函数)42tan(π+=x y 的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的两倍，再向右平移4π，所得的函数是)(x f y =，则（ ）A. )3()2()1(f f f <<B. )3()1()2(f f f <<C. )1()3()2(f f f <<D. )2()3()1(f f f << 11、设函数⎩⎨⎧-<+->+=1),1(cos 1),1(log )(3x x x x x f π，则方程)1()1(--=-x f x f 的解的个数是（ ）A. 6B. 5C. 4D. 312、已知函数],0[),0)(6sin()(πωπω∈>-=x x x f 时的值域为]1,21[-，则ω的取值范围是（ ） A. ]34,1[ B. ]34,32[ C. ]1,32[ D. ]2,34[第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、已知集合{}{}2,1,0,,=c b a ，且下列三个关系：①2≠a ；②2=b ；③0≠c 有且只有一个正确，则c b a ++10100等于 .14、已知,都是非零向量，a b a =⊥-)2(，则,的夹角为 . 15、若函数⎩⎨⎧<+-≥-=λλx x x x x x f ,34,4)(2,若函数)(x f 恰有2个零点,则λ的取值范围是 .16、在ABC ∆中，角A 的平分线交BC 边于D 点，且，又sin 2sin C B =，4AD BD ==，则AC = .三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 17、（本题满分10分）已知)1(tan >=a a θ.（1）求θθπθπ2tan )2sin()4sin(⋅-+的值； （2）若112cos cos 2sin sin 22=++-θθθθ，求a 的值. 18、（本题满分12分）已知函数).()(2m x x x f -=（1）若0=m ，证明：)(3)()()(b a ab b a f b f a f -+-=-；（2）若),1[,21+∞∈x x ,且0))()()((2121>--x f x f x x ，求m 的取值范围； （3）若3=m ,且方程t x f =)(有3个不同的根，求t 的取值范围. 19、（本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos cos c b Ba A-=. （1）求角A ；（2）若2a =，则当ABC ∆的面积最大时，求ABC ∆的内切圆半径. 20、（本题满分12分）如图，点),(),,(2211y x Q y x P 在圆心为原点、半径分别为1和2的圆周上运动，其中P 逆时针，Q 顺时针.角ϕθ,的始边都是x 轴的正半轴、终边分别为OP 和O OQ (为坐标原点），且)0,/2(311≥=+=t s rad t ωπωθ，)0,/2(22≥-==t s rad t ωωϕ.（1）若OP OQ 2=，且)2,0(π∈t ，求t 的值； （2）设=)(t f OQ OP ⋅，且]4,0[π∈t ，求函数)(t f 的值域.21、（本题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且145,,a a a 成等比数列，且7=21S . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和； （3）若11n n n b a a +=，n T 为数列{}n b 的前n 项和.若对于任意的n N *∈，都有n T m ≤恒成立，求m 的取值范围. 22、（本题满分12分）已知函数)(x f 的定义域为R ，满足)(2)1(x f x f =+.（1）若a x f x+=2)(，求a 的值；（2）若]1,0(∈x 时，)1()(x x x f -=. ①求)](1,(*N k k k x ∈+--∈时)(x f 的表达式； ②若对任意],(m x -∞∈，都有98)(≤x f ，求m 的取值范围.珠海市第二中学2019－2020学年第二学期开学考试高一年级 数学答案13、201；14、3π；15、),4(]3,1(+∞Y ；16、32三、解答题17、（本题满分10分）已知)1(tan >=a a θ.（1）求θθπθπ2tan )2sin()4sin(⋅-+的值； （2）若112cos cos 2sin sin 22=++-θθθθ，求a 的值. 【解】（1）aa-=-⋅+=⋅-+12tan 1tan 2cos cos sin 222tan )2sin()4sin(2θθθθθθθπθπ；（2）132cos 3cos sin 2sin 12cos cos 2sin sin 22222=-=-=++-aa θθθθθθθθ，所以3=a 或1-（舍）.18、（本题满分12分）已知函数).()(2m x x x f -=（1）若0=m ，证明：)(3)()()(b a ab b a f b f a f -+-=-； （2）若存在),1[,21+∞∈x x ,且0))()()((2121>--x f x f x x ，求m 的取值范围； （3）若3=m ,且方程t x f =)(有3个不同的根，求t 的取值范围. 【解】(1)略（2）不妨设21x x <，则0))()()((2121>--x f x f x x 就是)()(21x f x f <， 因为))(()()(2221212121m x x x x x x x f x f -++-=-， 所以0222121<-++m x x x x ，即222121x x x x m ++<，因为1,1,1222121>>≥x x x x ，3222121>++x x x x ，所以3≤m .（3）当3=m ，由（2）知)(x f 在)1,0(单调递减，在),1(+∞单调递增，所以，当),0[+∞∈x 时2)1()(-=≥f x f ，又)(x f 为奇函数，所以当]0,(-∞∈x 时2)1()(=-≤f x f ，所以.22<<-m 19、（本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且2cos cos c b Ba A-=. （1）求角A ；（2）若2a =，则当ABC ∆的面积最大时，求ABC ∆的内切圆半径.【解】 （1）由2cos cos c b Ba A-=得，2cos cos cos c A b A a B =+， 由正弦定理得,2sin cos sin cos sin cos C A B A A B =+，所以2sin cos sin()sin C A A B C =+=， 又0C π<<，sin 0C ≠，所以1cos 2A =， 又0A π<<，所以3A π=.（2）由余弦定理得22222cos3b c bc π=+-，整理得2242bc b c bc +=+≥，所以4bc ≤，当且仅当2b c ==时取等号.所以，13sin 324ABC S bc A bc ∆==≤， 所以当且仅当2b c ==时，ABC ∆时的面积的最大值为3.则ABC ∆的内切圆半径为22332223ABC S r a b c ∆===≤++++.20、（本题满分12分）如图，点),(),,(2211y x Q y x P 在圆心为原点、分别半径为1和2的圆周上运动，其中P 逆时针，Q 顺时针.角ϕθ,的始边都是x 轴的正半轴、终边分别为OP 和O OQ (为坐标原点），且)0,/2(311≥=+=t s rad t ωπωθ，)0,/2(22≥-==t s rad t ωϖϕ.（1）若OP OQ 2=，且)2,0(π∈t ，求t 的值； （2）设=)(t f OQ OP ⋅，且]4,0[π∈t ，求函数)(t f 的值域.【解】 （1）由OP OQ 2=有πϕθk 2+=，即)(2232Z k k t t ∈+-=+ππ，所以122ππ-=k t ，因为π20<<t ，所以61461+<<k ，3,2,1=k ， 故.1217,1211,125πππ=t（2）由题设)32sin(),32(cos(ππ++=t t OP ，))2sin(2),2cos(2(t t OQ --=，所以)34cos(2π+=⋅t OQ OP ，即)34cos(2)(π+=t t f ，因为40π≤≤t ，所以3343ππππ+≤+≤t ，从而6(21)34cos(1ππ=≤+≤-t t 和0时取等）， 故)(t f 的值域是].1,2[- 21、（本题满分12分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且145,,a a a 成等比数列，且7=21S . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和；（3）若11n n n b a a +=，n T 为数列{}n b 的前n 项和.若对于任意的n N *∈，都有n T m ≤恒成立，求m 的取值范围.【解】（1）令等差数列{}n a 的公差为d .由于145,,a a a 成等比数列，所以1112(3)(4)a d a a d +=++， 又71=72121S a d +=，所以192a d ==-，，所以1(1)112n a a n d n =+-=-. （2）记数列{}n a 的前n 项和为n X ，令1120n a n =->，得112n <， 当5n ≤时，2121210n n n n X a a a a a a S n n =+++=+++==-+L L ，当6n ≥时，1256125621251252()()21050n n n n n X a a a a a a a a a a a a a a a a S S n n =++++++=+++---=+++-+++=-=-+L L L L L L所以2210,5,1050, 6.n n n n X n n n ⎧-+≤=⎨-+≥⎩（3）由于111111=()(211)(29)221129n n n b a a n n n n +==-----， 所以1111111111=[()()()()]=)29775211292929n T n n n ---+---+------L （，由于对于任意的n N *∈，都有9n T m ≤恒成立，所以()max n T m ≤，当4n ≤时,111=)2929n T n ---（单调递增，所以当4n =时，449n T T ≤=，当5n ≥时,1029n >-，所以111=)02929n T n --<-（， 所以()max 49n m T ≥=，所以m 的取值范围为4[,)9+∞.22、（本题满分12分）已知函数)(x f 的定义域为R ，满足)(2)1(x f x f =+. （1）若a x f x+=2)(，求a 的值；（2）若]1,0(∈x 时，)1()(x x x f -=，求)](1,(*N k k k x ∈+--∈时)(x f 的表达式； （3）若对任意],(m x -∞∈，都有98)(≤x f ，求m 的取值范围. 【解】（1）0=a ；（2）①由)(2)1(x f x f =+得)(2)1(2)(x f k x f k x f k=-+=+，当)](1,(*N k k k x ∈+--∈时，]1,0(∈+k x ，所以)1)(()(k x k x k x f --+=+， 故kk k x k x k x f x f 2)1)(()(21)(--+=+=. ②由①)](1,(+∈+--∈N k k k x 时，221)(+≤k x f ，所以]1,(-∞∈x 时41)21()(=≤f x f ， 易知)],1,()(1)((2)(*N k k k x k x k x x f k∈+∈----=，2max 2)(-=k x f 随k 的增大而增大，由98)3)(2(22=---x x 得，37=x 或38， 所以]37,(-∞∈x 时98)(≤x f ，故.37≥m。
