2017-2018学年人教A版高中数学选修2-1习题：第三章3.1-3.1.5空间向量运算的坐标表示 Word版含答案

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单元质量评估（三)第三章（120分钟150分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）1。

（2016·大连高二检测）在长方体ABCD—A1B1C1D1中,AB→+BC→+CC1→—D1C1→等于（）A。

AD1→ B.AC1→ C.AD→D。

AB→【解析】选A.AB→+BC→+CC1→—D1C1→=AB→+BC→+CC1→+C1D1→=AD1→。

2。

（2016·石家庄高二检测）以下四组向量中互相平行的组数为( )①a=（2，2，1），b=（4，-2，-2)；②a=(4，2,-3），b=（-8，—4，6)；③a=（1，0，1)，b=(—2，0，—2)；④a=（-3，-2,-1），b=(6,4，2).A.1 B。

2 C.3 D.4【解析】选C。

根据向量共线的条件知②、③、④三组中的向量互相平行.3.已知A（2，—4,-1)，B(-1,5，1），C(3，-4，1），则CA→+CB→= ( ）A。

(5，—9，2）B。

(-5，9,—2）C.(5，9，—2)D.(5,—9,-2）【解析】选B.由已知得CA →=（—1,0,—2)，CB →=（—4,9，0）,所以CA →+CB →=（-1，0，—2）+ (-4,9，0）=（—5，9，—2).4。

(2016·东营高二检测）已知a =（2,-1，3），b =（—1,4，-2），c =(7，5，λ)，若a ，b ，c 共面，则实数λ的值为 （ ） A 。

627 B.637 C 。

607 D 。

657【解析】选D.由a ,b ，c 共面知存在m ，n ∈R 使c =m a +n b ，即{7=2m −n,5=−m +4n,λ=3m −2n,解得{ m =337,n =177,λ=657. 5。

学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．有下列说法：①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，贴近这些样本点的数学方法；②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；^＝b^x＋a^及其回归系数b^，可以估计和观测变量的取值和变③通过回归方程y化趋势；④因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验．其中正确说法的个数是()A．1B．2C．3 D．4【解析】①反映的是最小二乘法思想，故正确．②反映的是画散点图的作用，也正确．③反映的是回归模型y＝bx＋a＋e，其中e为随机误差，故也正确．④不正确，在求回归方程之前必须进行相关性检验，以体现两变量的关系．【答案】 C2．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵轴上的截距是a，那么必有()A．b与r的符号相同B．a与r的符号相同C．b与r的符号相反D．a与r的符号相反【解析】因为b>0时，两变量正相关，此时r>0；b<0时，两变量负相关，此时r<0.【答案】 A3．对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是()【解析】用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适．带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．【答案】 A4．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如表所示：则y对A.y^＝x－1B.y^＝x＋1C.y^＝88＋12x D.y^＝176【解析】设y对x的线性回归方程为y^＝b^x＋a^，x＝176，y＝176，检验得y＝88＋x2过点(x，y)．【答案】 C5．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系．根据一组样本数据(x i，y i)(i＝1,2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y^＝0.85x －85.71，则下列结论中不正确的是()A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(x，y)C．若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kgD ．若该大学某女生身高为170 cm ，则可断定其体重必为58.79 kg 【解析】 回归方程中x 的系数为0.85>0，因此y 与x 具有正的线性相关关系，A 正确；由回归方程系数的意义可知回归直线过样本点的中心(x ，y )，B 正确；依据回归方程中y ^的含义可知，x 每变化1个单位，y ^相应变化约0.85个单位，C 正确；用回归方程对总体进行估计不能得到肯定的结论，故D 错误．【答案】 D 二、填空题6．甲、乙、丙、丁四位同学各自对A ，B 两变量的线性相关性进行分析，并用回归分析的方法分别求得相关指数R 2与残差平方和Q (a^，b ^)如下表：则能体现A ．【解析】 丁同学所求得的相关指数R 2最大，残差平方和Q (a ^，b ^)最小．此时A ，B 两变量线性相关性更强．【答案】 丁7．若一个样本的总偏差平方和为80，残差平方和为60，则相关指数R 2为________.【导学号：29472084】【解析】 回归平方和＝总偏差平方和－残差平方和＝80－60＝20，故R 2＝2080＝0.25或R 2＝1－6080＝0.25.【答案】 0.258．今年一轮又一轮的寒潮席卷全国．某市场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y (件)与月平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：由表中数据算出线性回归方程y ＝bx ＋a 中的b ＝－2.气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月该品牌羽绒服的销售量的件数约为________．【解析】 由表格得(x ，y )为(10,38)，又(x ，y )在回归直线y ^＝b ^x ＋a ^上，且b ^＝－2，所以38＝－2×10＋a ^，a ^＝58，所以y ^＝－2x ＋58，当x ＝6时，y ^＝－2×6＋58＝46.【答案】 46 三、解答题9．某服装店经营某种服装，在某周内纯获利y (元)与该周每天销售这种服装件数x 之间的一组数据如下表：(1)(2)画出散点图；(3)求纯获利y 与每天销售件数x 之间的回归方程． 【解】 (1)x －＝6，y －≈79.86，样本点的中心为(6,79.86)． (2)散点图如下：(3)因为b^＝∑i ＝17(x i －x －)(y i －y －)∑i ＝17 (x i －x －)2≈4.75，a ^＝y －－b ^x －≈51.36，所以y ^＝4.75x ＋51.36.10．某班5名学生的数学和物理成绩如表：(1)(2)求物理成绩y 对数学成绩x 的回归方程；(3)一名学生的数学成绩是96，试预测他的物理成绩． 【解】 (1)散点图如图．(2)根据表中的数据，可以求得x ＝73.2，y ＝67.8，∑i ＝15x i y i ＝25 054，∑i ＝15x 2i ＝27 174，所以b^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2≈0.625.a ^＝y －b ^x ＝67.8－0.625×73.2＝22.05， 所以y 对x 的回归方程是y ^＝0.625x ＋22.05. (3)y ^＝0.625×96＋22.05≈82， 可以预测他的物理成绩是82分．[能力提升]1. 如图3-1-2,5个(x ，y )数据，去掉D (3,10)后，下列说法错误的是()图3－1－2A ．相关系数r 变大B ．残差平方和变大C ．相关指数R 2变大D ．解释变量x 与预报变量y 的相关性变强【解析】 由散点图知，去掉D 后，x 与y 的相关性变强，且为正相关，所以r 变大，R 2变大，残差平方和变小．【答案】 B2．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x (千元)与居民人均消费水平y (千元)统计调查，y 与x 具有相关关系，回归方程为y ^＝0.66x ＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675(千元)，估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为( )【导学号：29472085】A ．83%B ．72%C ．67%D ．66%【解析】 因为当y ^＝7.675时，x ＝7.675－1.5620.66≈9.262，所以7.6759.262≈0.829≈83%.【答案】 A3．某品牌服装专卖店为了解保暖衬衣的销售量y (件)与平均气温x (℃)之间的关系，随机统计了连续四旬的销售量与当旬平均气温，其数据如表：由表中数据算出线性回归方程y ＝b x ＋a 中的b ＝－2，样本中心点为(10,38)．(1)表中数据m ＝__________.(2)气象部门预测三月中旬的平均气温约为22 ℃，据此估计，该品牌的保暖衬衣在三月中旬的销售量约为__________件．【解析】 (1)由y ＝38，得m ＝40. (2)由a^＝y －b ^ x ，得a ^＝58，^＝－2x＋58，故y^＝14，当x＝22时，y故三月中旬的销售量约为14件．【答案】(1)40(2)144．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费x i和年销售量y i(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．图3-1-3(1)根据散点图判断，y＝a＋bx与y＝c＋d x哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z＝0.2y－x.根据(2)的结果回答下列问题：①年宣传费x＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？②年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(u n，v n)，其回归直线v＝α＋βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑ni ＝1 (u i －u )(v i －v )∑ni ＝1 (u i －u )2，α^＝v －β^ u . 【解】 (1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于d^＝∑i ＝18(w i －w )(y i －y )∑i ＝18(w i －w )2＝108.81.6＝68，c ^＝y －d^ w ＝563－68×6.8＝100.6， 所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ， 因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x . (3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6， 年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32. ②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值 z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12. 所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值． 故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.。

3.1.3　空间向量的数量积运算课时过关·能力提升基础巩固1下列命题正确的是( )A.|a|a=a2B.(a·b)2=a2·b2C.a(a·b)=a2bD.|a·b|≤|a||b|项左侧为向量,右侧为数,不正确.向量数量积不满足结合律,故B,C不正确.2已知a=3p-2q,b=p+q,p和q是相互垂直的单位向量,则a·b=( )A.1B.2C.3D.4p⊥q,且|p|=|q|=1,∴a·b=(3p-2q)·(p+q)=3p2+p·q-2q2=3+0-2=1.3设a,b,c是不共线的非零向量,已知下列命题:①(a·b)c-(c·a)b=0;②|a|-|b|<|a-b|;③(b·a)c-(c·a)b不与a垂直;④(3a+2b)·(3a-2b)=9|a|2-4|b|2.其中正确的有( )A.①②B.②③C.③④D.②④4a,b是非零向量,“a·b=|a||b|”是“a,b共线”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件a·b=|a||b|,知cos<a,b>=1,∴<a,b>=0,∴a与b共线.反之,若a与b共线,则a·b=±|a||b|.5若|a|=1,|b|=2,c=a+b,且c⊥a,则向量a与b的夹角是( )A.30°B.60°C.120°D.150°c ⊥a ,∴c ·a =(a +b )·a =0,可得a ·b =-1,∴cos ￿a ,b ￿==-,a ·b|a ||b |12故向量a 与b 的夹角是120°.6已知|a |=12,|b |=9,a ·b =-54,则<a ,b >= .2cos <a ,b >==-,a ·b|a ||b |=-54222∴<a ,b >=135°.°7若向量a 与b 满足|a |=1,|b |=2,且a 与b的夹角为,则a ·b = .π38已知a ,b 均为单位向量,它们的夹角为60°,那么|3a -b |= .9已知在三棱锥O -ABC 中,M ,N ,P ,Q 分别为BC ,AC ,OA ,OB 的中点,若AB=OC ,求证:PM ⊥QN.=a ,=b ,=c .OA OB OC ∵P ,M 分别为OA ,BC 的中点,∴(b +c )-a =[(b -a )+c ].PM =OM ‒OP =121212同理,(a +c )-bQN =1212=-[(b -a )-c ].12∴=-[|b -a |2-|c |2].PM ·QN 14∵AB=OC ,即|b -a |=|c |.∴=0.PM ·QN ∴,即PM ⊥QN.PM ⊥QN 10如图,已知E 是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱C 1D 1的中点,试求向量夹角的余弦值.A 1C 1与DEm ,=a ,=b ,=c ,AB AD AA 1则|a |=|b |=|c |=m ,a ·b =b ·c =a ·c =0.∵=a +b ,=c +a ,A 1C 1=A 1B 1+A 1D 1=AB +AD DE =DD 1+D 1E =DD 1+12D 1C 112∴=(a +b )·=a ·c +b ·c +a 2+a ·b =a 2=m 2.A 1C 1·DE (c +12a)12121212又||=m ,||=m ,A 1C 12DE 52∴cos <A 1C 1,DE A C DE|A 1C 1||DE |=.12m 252m ·2m =10能力提升1已知a ,b 是异面直线,且a ⊥b ,e 1,e 2分别为取自直线a ,b 上的单位向量,若a =2e 1+3e 2,b =k e 1-4e 2,a ⊥b ,则实数k 的值为( )A.-6B.6C.3D.-3a ⊥b ,∴a ·b =(2e 1+3e 2)·(k e 1-4e 2)=2k|e 1|2+(3k-8)e 1·e 2-12|e 2|2=2k-12=0,∴k=6.2如图,在正四面体ABCD 中,E 是BC 的中点,则( )A.AE ·BC <AE ·CD B.AE ·BC =AE ·CD C.AE ·BC >AE ·CD D.不能比较大小AE ·BC 与AE ·CD3设A ,B ,C ,D 是空间不共面的四点,且满足=0,=0,=0,则△BCD 是( )AB ·AC AC ·AD AB ·AD A.钝角三角形 B.锐角三角形C.直角三角形D.不确定=0,=0,=0.AB ·AC AC ·AD AB ·AD ∴AB ,AC ,AD 两两垂直.∴BC 2=AB 2+AC 2,CD 2=AC 2+AD 2,BD 2=AB 2+AD 2,∴BC 2<CD 2+BD 2,CD 2<BC 2+BD 2,BD 2<BC 2+CD 2.∴△BCD 是锐角三角形.4在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,若AB=1,AD=2,AA 1=3,∠BAD=90°,∠BAA 1=∠DAA 1=60°,则AC 1的长为( )A. B. C. D.13233343,AC 1=AB +AD +AA 1∴||==.AC 1　(AB +AD +AA 1)2　|AB |2+|AD |2+|AA 1|2+2AB ·AD +2AB ·AA 1+2AD ·AA 1∵AB=1,AD=2,AA 1=3,∠BAD=90°,∠BAA 1=∠DAA 1=60°,∴<>=90°,<>=<>=60°.AB ,AD AB ,AA 1AD ,AA 1∴||AC 1=1+4+9+2(1×3×cos60°+2×3×cos60°)=.235若向量a ,b 的夹角为30°,且|a |=3,|b |=4,则(a +2b )·(a -b )= .a +2b )·(a -b )=|a |2-a ·b +2a ·b -2|b |2=|a |2-|a ||b |cos 30°+2|a ||b |cos 30°-2|b |2=9-3×4×+2×3×4×-2×163232=6-23.36-2336已知|a |=3,|b |=4,m =a +b ,n =a +λb ,<a ,b >=135°,m ⊥n ,则λ= .2m ⊥n ,得(a +b )·(a +λb )=0,则a 2+λa ·b +a ·b +λb 2=0,18+3λ×4×cos 135°+3×4×cos 135°+16λ=0,22即4λ+6=0,解得λ=-.32-327已知在空间四边形OABC 中,OA ⊥BC ,OB ⊥AC ,求证:OC ⊥AB.·()=OC OB ‒OA =.OB ·OC ‒OC ·OA ∵,OA ⊥BC ,OB ⊥AC ∴·()OA ·BC =OA OC ‒OB ==0,①OA ·OC ‒OA ·OB ·()OB ·AC =OB OC ‒OA ==0.②OB ·OC ‒OB ·OA ①-②,得=0,OA ·OC ‒OB ·OC ∴=0.∴OC ⊥AB.OC ·BA ★8如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别为正方形ABCD 和AA 1B 1B 的中心.(1)求证:AC 1⊥平面A 1BD ;夹角的余弦值.D 1M 与CNa ,=b ,=c ,则=a +b +c ,=b -a ,=a -c .注意到|a |=|b |=|c |,a ·b =a ·c =b ·c =0,则AD AA 1AC 1BD A 1B 有=(a +b +c )·(b -a )1=a ·b -a 2+b 2-a ·b +b ·c -a ·c=|b |2-|a |2=0.同理=0,AC 1·A 1B ∴,AC 1⊥BD ,AC 1⊥A 1B∴AC 1⊥BD ,AC 1⊥A 1B.又A 1B 与BD 相交,∴AC 1⊥平面A 1BD.a ,则=-c +(a -b ),D 1M =D 1D +DM 12=-b +(c -a ),CN =CB +BN 12∴||2=D 1M [-c +12(a -b )]2=a 2+a 2+a 2=a 2,141432∴||= a.D 1M 62同理||= 62又D 1M ·CN=[-c +12(a -b )]·[-b +12(c -a )]=-|c |2-|a |2+|b |2=-a 2,12141214∴cos <>==-.D 1M ,CN -14a 262a ·62a 16即夹角的余弦值为-.D 1M 与CN 16★9如图所示,正四面体V-ABC 的高VD 的中点为O ,VC 的中点为M.(1)求证:AO ,BO ,CO 两两垂直;(2)求<>.DM ,AO要证AO ,BO ,CO 两两垂直只需证=0.AO ·BO =BO ·CO =CO ·AO (2)由公式cos <>=,DM ,AO DM AO|DM ||AO |可求得<>.DM ,AO=a ,=b ,=c ,且正四面体的棱长为1,VA VB VC 有|a |=|b |=|c |=1,a ·b =b ·c =a ·c .则(a +b +c ),(b +c -5a ),VD =13AO =16(a +c -5b ),(a +b -5c ),BO =16CO =16∴(b +c -5a )·(a +c -5b )AO ·BO =136=(18a ·b -9|a |2)136==0.136(18×1×1×cos π3-9)∴,即AO ⊥BO.AO ⊥BO 同理AO ⊥CO ,BO ⊥CO.∴AO ,BO,CO 两两垂直.=-(a +b +c )+cDM =DV +VM 1312=(-2a -2b +c ),16∴||=,DM |16(-2a -2b +c )|2=12||=,AO |16(b +c -5a )|2=2(-2a -2b +c )·(b +c -5a )DM ·AO =1616=.14∴cos <>=.DM ,AO 1412×22=2∵<>∈[0,π],DM ,AO ∴<>=.DM ,AO π4。

§3.1 空间向量及其运算测试题( 时间 50分钟 总分100分)班级_______________ 姓名______________ 分数_____________一、选择题（每小题6分，共48分）． 1．在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ，A A 1=.则下列向量中与MB 1相等的向量是（ ）A ．++-2121 B ．++2121C ．c b a +-2121D ．c b a +--21212．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是（ ） A ．--=2 B ．OM 213151++=C ．=++MC MB MA 0D ．=+++OC OB OA OM 03．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，'5AA =，090BAD ∠=，''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于 （ ）A ．85BC．D ．504．与向量)2,3,1(-=平行的一个向量的坐标是（ ） A ．（31，1，1） B ．（－1，－3，2）C ．（－21，23，－1）D ．（2，－3，－22）5．已知A （－1,－2,6），B （1,2,－6），O 为坐标原点，则向量与的夹角是（ ）A ．0B ．2πC ．πD ．32π 6．已知空间四边形ABCD 中，，，===，点M 在OA 上，且OM=2MA ，N 为BC 中点，则=（ ） A ．c b a 213221+- B ．c b a 212132++-C ．212121-+D ．213232-+7．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足·，0=·，0=·0=，则∆BCD 是（ ）A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定8．空间四边形OABC 中，OB=OC ，∠AOB=∠AOC=600，则=（）A ．21B ．22 C ．-21 D ．0二、填空题（每小题6分，共24分）．9．若)1,3,2(-=a ，)3,1,2(-=b ，则b a ,为邻边的平行四边形的面积为 ． 10．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且GN MG 2=，现用基组{},,表示向量OG ，有OG =x OC z OB y OA ++，则x 、y 、z 的值分别为 ．11．已知点A(1，-2，11)、B(4，2，3)，C(6，-1，4)，则∆ABC 的形状是 ． 12．已知向量)0,3,2(-=a ，)3,0,(k b =，若b a ,成1200的角，则k= ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共28分)．13．（12分）如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为a ，M 为'BD 的中点，点N在'AC '上，且|'|3|'|A N NC =，试求MN 的长．14．（16分）如图在空间直角坐标系中BC =2，原点O 是BC 的中点，点A 的坐标是（21,23，0），点D 在平面yOz 上，且∠BDC =90°，∠DCB =30° （1）求向量OD 的坐标；（2）设向量AD 和BC 的夹角为θ，求cos θ的值参考答案一、选择题（每小题5分，共40分） 1．A ；解析：)(21111A B B ++=+==+21（－+）=－21+21+．评述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.2．A ；解析：空间的四点P 、A 、B 、C 共面只需满足,OC z OB y OA x OP ++=且1=++z y x 既可．只有选项A ．3．B ；解析：只需将A A C A '++='，运用向量的内即运算即可，||C A ='．4．C ；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即λ=⇔≠//,．5．C ；解析：||||cos b a ⋅=θ1．6．B ；解析：显然OM 32)(21-+=-=． 7．B ；解析：过点A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦定理可得三角形为锐角三角形． 8．D ；解析：建立一组基向量OC OB OA ,,，再来处理BC OA ⋅的值． 二、填空题（每小题6分，共24分） 9．56；解析：72||||,cos -=>=<b a ，得753,sin >=<，可得结果．10．OC OB OA 313161++； 解析：OM ON OA MN OA MG OM OG 313161]21)(21[3221)(32213221++=-++=-+=+=+=11．直角三角形；解析：利用两点间距离公式得：222||||||AC BC AB +=． 12．39-；解析：219132,cos 2-=+=>=<k k b a ，得39±=k ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共28分)13．（12分）解：以D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为a ， 所以B （a ，a ，0），A'（a ，0，a ），'C （0，a ，a ），'D （0，0，a ）． 由于M 为'BD 的中点，取''A C 中点O'，所以M （2a ，2a ，2a），O'（2a ，2a，a ）．因为|'|3|'|A N NC =，所以N 为''A C 的四等分，从而N 为''O C 的中点，故N （4a ，34a ，a ）．根据空间两点距离公式，可得||4MN ==．14．（16分）解：（1）过D 作DE ⊥BC ，垂足为E ，在Rt △BDC 中,由∠BDC =90°, ∠DCB =30°，BC =2，得BD =1，CD =3，∴DE =CD ·sin30°=23. OE =OB －BE =OB －BD ·cos60°=1－2121=. ∴D 点坐标为（0，－23,21），即向量OD 的坐标为{0，－23,21}. （2）依题意：}0,1,0{},0,1,0{},0,21,23{=-==OC OB OA ， 所以}0,2,0{},23,1,23{=-=--=-=OB OC BC OA OD AD . 设向量AD 和BC 的夹角为θ，则cos θ222222020)23()1()23(0232)1(023||||++⋅+-+-⨯+⨯-+⨯-=⋅BC AD BC AD 1051-=.。

章末复习课［整合·网络构建］[警示·易错提醒］1．几种空间向量之间的区别与联系（1）a与其相反向量－a为共线向量（平行向量)．(2）相等向量为共线向量（平行向量),但共线向量(平行向量）不一定为相等向量．（3）若两个非零向量共线，则这两个向量所在的直线可能平行,也可能重合，空间中任意两个向量都是共面的,这些概念一定要准确理解．2．向量的数量积运算与实数的乘法运算的不同点(1)a·b＝0 a＝0或b＝0.（2）a·c＝a·b c＝b.（3）(a·b)c a·（b·c)(4)a·b＝k a＝错误!错误!。

3．向量共线充要条件及注意点(1）对空间任意两个向量a，b(b≠0），a∥b的充要条件是存在实数λ,使a＝λb.（2）注意点：l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线,对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使错误!＝错误!＋ta.（3）坐标表示下的向量平行条件．设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3）,则a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R），这一形式不能等价于错误!＝错误!＝错误!，只有在向量b与三个坐标轴都不平行时才可以这样写．4．向量共面充要条件及注意点（1）若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb。

(2）注意点：①空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对(x，y），使错误!＝x错误!＋y错误!;②空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足向量关系式OP→＝x错误!＋y错误!＋z错误!(其中x＋y＋z＝1)，则点P与点A，B，C共面．5．利用向量法求空间角的注意事项（1)利用向量法求空间角时，要注意空间角的取值范围与向量夹角取值范围的区别．例如，若△ABC的内角∠BAC＝θ，则错误!与错误!夹角为π－θ，而非θ.(2）特别地，二面角的大小等于其法向量的夹角或其补角,到底等于哪一个，要根据题目的具体情况看二面角的大小．（3）对所用的公式要熟练,变形时运用公式要正确并注意符号等细节,避免出错．专题一空间向量及其运算空间向量及其运算的知识与方法与平面向量及其运算类似，是平面向量的拓展,主要考查空间向量的共线与共面以及数量积运算,是用向量法求解立体几何问题的基础．[例1] 沿着正四面体O.ABC的三条棱错误!、错误!、错误!的方向有大小等于1、2和3的三个力f1,f2，f3。

3.1第3课时 空间向量的数量积运算一、选择题1．已知向量a 、b 是平面α的两个不相等的非零向量，非零向量c 是直线l 的一个方向向量，则c·a ＝0且c·b ＝0是l ⊥α的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C. 充要条件D ．既不充分也不必要条件 [答案] B[解析] 当a 与b 不共线．．．时，由c ·a ＝0，c ·b ＝0，可推出l ⊥α；当a 与b 为共线向量时，由c·a ＝0，c·b ＝0，不能够推出l ⊥α；l ⊥α一定有c ·a ＝0且c ·b ＝0，故选B.2．如图，空间四边形的各边和对角线长均相等，E 是BC 的中点，那么( )A.AE →·BC →<AE →·CD →B.AE →·BC →＝AE →·CD →C.AE →·BC →>AE →·CD →D.AE →·BC →与AE →·CD →不能比较大小 [答案] C[解析] 易知AE ⊥BC ，∴AE →·BC →＝0， AE →·CD →＝(AB →＋BE →)·CD → ＝AB →·(BD →－BC →)＋12BC →·CD →＝|AB →|·|BD →|·cos120°－|AB →|·|BC →|cos60°＋12|BC →|·|CD →|cos120°<0.3．已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |( ) A.7 B.10 C.13 D ．4[答案] C[解析] |a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋6a·b ＋9b 2＝|a |2＋6|a ||b |cos<a ，b >＋9|b |2， ∵|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝60°， ∴|a ＋3b |2＝13， ∴|a ＋3b |＝13.4．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为 a ，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，则〈A ′B →，B ′D ′→〉＝( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°[答案] D[解析] B ′D ′→＝BD →， ∵△A ′BD 为正三角形， ∴〈A ′B →，BD →〉＝120°.5．已知PA ⊥平面ABC ，垂足为A ，∠ABC ＝120°，P A ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( ) A ．62 B ．6 C ．12 D ．144 [答案] C[解析] ∵PC →＝PA →＋AB →＋BC →，∴PC →2＝PA →2＋AB →2＋BC →2＋2AB →·BC →＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144. ∴|PC →|＝12.6．已知a 、b 、c 是两两垂直的单位向量，则|a －2b ＋3c |＝( ) A ．14 B.14 C ．4 D ．2[答案] B[解析] |a －2b ＋3c |2＝|a |2＋4|b |2＋9|c |2－4a ·b ＋6a ·c －12b ·c ＝14，∴选B.7．已知|a |＝2，|b |＝3，〈a ，b 〉＝60°，则|2a －3b |等于( ) A.97 B ．97 C.61D ．61[答案] C[解析] |2a －3b |2＝4a 2＋9b 2－12a·b ＝4×4＋9×9－12×|a ||b |cos60° ＝97－12×2×3×12＝61.8．空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉等于( )A.12B.22C ．－12D ．0[答案] D[解析] cos 〈OA →，BC →〉 ＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝OA →·(OC →－OB →)|OA →||BC →|＝OA →·OC →－OA →·OB →|OA →||BC →|＝|OA →||OC →|cos ∠AOC －|OA →||OB →|cos ∠AOB |OA →||BC →|.因为|OB →|＝|OC →|，∠AOC ＝∠AOB ＝π3，所以cos 〈OA →，BC →〉＝0.9．在空间四边形ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，则下列结论不成立的是( ) A ．|AB →＋AC →＋AD →|＝|AB →＋AC →－AD →| B ．|AB →＋AC →＋AD →|2＝|AB →|2＋|AC →|2＋|AD →|2 C ．(AB →＋AD →＋AC →)·BC →＝0D.AB →·CD →＝AC →·BD →＝AD →·BC → [答案] C[解析] A 中，由|AB →＋AC →＋AD →|＝|AB →＋AC →－AD →|，得(AB →＋AC →＋AD →)2＝(AB →＋AC →－AD →)2，展开得(AB →＋AC →)2＋|AD →|2＋2(AB →＋AC →)·AD →＝(AB →＋AC →)2＋|AD →|2－2(AB →＋AC →)·AD →，整理得(AB →＋AC →)·AD →＝0，因为AB →，AC →，AD →两两垂直，所以(AB →＋AC →)·AD →＝0成立，因此A 正确．易得B 正确．(AB →＋AD →＋AC →)·BC →＝(AB →＋AD →＋AC →)·(AC →－AB →)＝AB →·AC →－|AB →|2＋AD →·AC →－AD →·AB →＋|AC →|2－AC →·AB →＝|AC →|2－|AB →|2，当|AC →|＝|AB →|时，|AC →|2－|AB →|2＝0，否则不成立，因此C 不正确．D 中，AB →·CD →＝AB →·(AD →－AC →)＝AB →·AD →－AB →·AC →＝0，同理AC →·BD →＝0，AD →·BC →＝0，因此D 正确．10．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．不确定 [答案] B[解析] BD →＝AD →－AB →，BC →＝AC →－AB →，BD →·BC →＝(AD →－AB →)·(AC →－AB →)＝AD →·AC →－AD →·AB →－AB →·AC →＋|AB →|2 ＝|AB →|2>0，∴cos ∠CBD ＝cos 〈BC →，BD →〉 ＝BC →·BD →|BC →|·|BD →|>0， ∴∠CBD 为锐角，同理，∠BCD 与∠BDC 均为锐角， ∴△BCD 为锐角三角形． 二、填空题11．已知|a |＝22，|b |＝22，a ·b ＝－2，则〈a ，b 〉＝________.[答案]3π4[解析] cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝－22，∴〈a ，b 〉＝3π4. 12．已知正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的棱长为1，设AB →＝a ，AD →＝b ，AA ′→＝c ，则(1)AC ′→·DB ′→＝________；〈AC ′→，DB ′→〉＝________； (2)BD ′→·AD →＝________. [答案] (1)1，arccos 13(2)1[解析] (1)AC ′→·DB ′→＝(a ＋b ＋c )·(a －b ＋c ) ＝a 2＋c 2＋2a ·c －b 2＝1，|AC ′→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2a ·c ＋2b ·c ＝3，∴|AC ′→|＝3， |DB ′→|2＝(a －b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2－2a ·b ＋2a ·c －2b ·c ＝3，∴|DB ′→|＝3， ∴cos 〈AC ′→，DB ′→〉＝AC ′→·DB ′→|AC ′→|·|DB ′→|＝13，∴〈AC ′→，DB ′→〉＝arccos 13.(2)BD ′→·AD →＝(b ＋c －a )·b ＝|b |2＋b ·c －b ·a ＝1.13．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则A 1B →·B 1C →＝________. [答案] a 2[解析] A 1B →·B 1C →＝A 1B →·A 1D → ＝|A 1B →|·|A 1D →|·cos 〈A 1B →，A 1D →〉 ＝2a ×2a ×cos60°＝a 2.14．已知在空间四边形OABC 中，OA ⊥BC ，OB ⊥AC ，则AB →·OC →＝________. [答案] 0[解析] AB →·OC →＝(OB →－OA →)·(OA →＋AC →)＝OB →·OA →＋OB →·AC →－|OA →|2－OA →·AC → ＝OB →·OA →－|OA →|2－OA →·AC → ＝OA →·AB →－OA →·AC →＝OA →·CB →＝0. 三、解答题15．已知a ＋3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，求〈a ，b 〉． [解析] (a ＋3b )·(7a －5b ) ＝7|a |2－15|b |2＋16a ·b ＝0， (a －4b )(7a －2b )＝7|a |2＋8|b |2－30a ·b ＝0， 解之得，|b |2＝2a ·b ＝|a |2， ∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |＝12，∴〈a ，b 〉＝60°. 16．如图所示，已知空间四边形ABCD ，连AC 、BD ，若AB ＝CD ，AC ＝BD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，试用向量方法证明EF 是AD 与BC 的公垂线．[解析] ∵点F 是BC 的中点， ∴AF →＝12(AB →＋AC →)．∴EF →＝AF →－AE → ＝12(AB →＋AC →)－12AD →. 又|AC →|＝|BD →|＝|AD →－AB →|， ∴AC 2→＝AD →2－2AD →·AB →＋AB →2①同理AB 2→＝CD →2＝AD →2－2AC →·AD →＋AC →2.② 由①代入②可得AB →2＝AD →2－2AC →·AD →＋AD →2－2AB →·AD →＋AB →2， ∴2AD →2－2AD →·(AC →＋AB →)＝0∴AD →·(AC →＋AB →－AD →)＝0.∴AD →·12(AB →＋AC →－AD →)＝0.∴AD →·EF →＝0.∴EF →⊥AD →.同理可得EF →⊥BC →.∴EF 是AD 与BC 的公垂线．17．对于任意空间四边形，试证明它的一组对边中点的连线段与另一组对边可平行于同一平面．[证明] 如图所示，空间四边形ABCD ，E 、F 分别为AB 、CD 的中点，利用多边形加法法则可得，EF →＝EA →＋AD →＋DF →，EF →＝EB →＋BC →＋CF →.① 又E 、F 分别是AB 、CD 的中点，故有 EA →＝－EB →，DF →＝－CF →.②将②代入①后，两式相加得，2EF →＝AD →＋BC →， ∴EF →＝12AD →＋12BC →.即EF →与BC →、AD →共面，∴EF 与AD 、BC 可平行于同一平面．18．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求异面直线A 1B 与AC 1所成的角．[解析] 不妨设正方体的棱长为1, 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝|c |＝1，a·b ＝b·c ＝c·a ＝0，A 1B →＝a －c ，AC 1→＝a ＋b ＋c .∴A 1B →·AC →＝(a －c )·(a ＋b ＋c )＝(a －c )(a ＋c )＋b (a －c )＝0 ∴<A 1B →，AC 1→>＝90°.因此，异面直线A 1B 与AC 所成的角为90°.[说明] 求异面直线所成的角的关键是求异面直线上两向量的数量积，而要求两向量的数量积，必须把所求向量用空间的一组基向量来表示．。

空间向量的运算主要包括空间向量的线性运算、数量积运算以及空间向量的坐标运算．空间向量的运算法则、运算律与平面向量基本一致．空间向量的运算是其应用的前提和基础，尤其是两个向量的数量积是应用的重点，空间向量运算的坐标表示是立体几何中的证明、计算转化成代数问题的唯一通道，尤其是立体几何中的开放性问题可转化成代数中的解方程问题，从而得到简单的解答．[典例1]已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，则x＝________，y＝________．从而有x ＝1，y ＝14.答案：1 14[典例2] 如图所示，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简(1)AB ―→＋BC ―→＋CD ―→；(2)AB ―→＋GD ―→＋EC ―→，并标出化简结果的向量．解：(1)(2)∵E ，F ，G 分别为BC ，CD ，DB 的中点．[对点训练]1．已知a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，且|a |＝5，|b |＝6， a ·b ＝30，则a 1＋a 2＋a 3b 1＋b 2＋b 3＝________．解析：因为a ·b ＝|a||b |·cos 〈a ，b 〉，且|a |＝5，|b |＝6，a ·b ＝30，所以cos 〈a ，b 〉＝1，即a 与b 同向共线，故可设a ＝k b (k >0)，即a 1＝kb 1，a 2＝kb 2，a 3＝kb 3，又|a |＝5，|b |＝6，所以k 2(b 21＋b 22＋b 23)＝25，(b 21＋b 22＋b 23)＝36，因此k ＝56，故a 1＋a 2＋a 3b 1＋b 2＋b 3＝k ＝56. 答案：562．已知a ＝(2，－3，5)，b ＝(－3，1，－4)． (1)若c ＝(m ，2，n )且a ∥c ，求c ； (2)若p ＝(1，x ，y )且a ⊥p ，b ⊥p ，求p . 解：(1)∵a ∥c ，∴设c ＝λa . ∴(m ，2，n )＝λ(2，－3，5)，∴m ＝－43，n ＝－103，∴c ＝⎝⎛⎭⎫－43，2，－103. (2)∵a ⊥p ，b ⊥p ， ∴a·p ＝0，b·p ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－3x ＋5y ＝0，－3＋x －4y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1， ∴p ＝(1，－1，－1)．设直线l ，m 的方向向量分别为a ，b ，平面α，β的法向量分别为u ，v ，则(1)线线平行：l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ，k ∈R ； (2)线面平行(l ⊄α)：l ∥α⇔a ⊥u ⇔a·u ＝0； (3)面面平行：α∥β⇔u ∥v ⇔u ＝k v ，k ∈R ； (4)线线垂直：l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0； (5)线面垂直：l ⊥α⇔a ∥u ⇔a ＝k u ，k ∈R ； (6)面面垂直：α⊥β⇔u ⊥v ⇔u·v ＝0.[典例3] 如图，在多面体ABC -A 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是正方形，AB ＝AC ，BC ＝ 2AB ，B 1C 112BC ，二面角A 1­AB ­C 是直二面角．求证：(1)A 1B 1⊥平面AA 1C ； (2)AB 1∥平面A 1C 1C .证明：∵二面角A 1­AB -C 是直二面角， ∴平面A 1ABB 1⊥平面ABC . 又∵AB ＝AC ，BC ＝2AB ， ∴∠CAB ＝90°，即CA ⊥AB . ∴AB ，AC ，AA 1两两互相垂直． 建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝2，则A (0，0，0)，B 1(0，2，2)，A 1(0，0，2)，C (2，0，0)，C 1(1，1，2)．(1)设平面AA 1C 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，即⎩⎪⎨⎪⎧－2z ＝0，2x ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，z ＝0. 取y ＝1，则n ＝(0，1，0)．∴A 1B 1⊥平面AA 1C .(2，0，－2)，设平面A 1C 1C 的一个法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1－2z 1＝0， 令x 1＝1，则y 1＝－1，z 1＝1，即m ＝(1，－1，1)． ∴·m ＝0×1＋2×(－1)＋2×1＝0，∴⊥m .又AB 1⊄平面A 1C 1C ， ∴AB 1∥平面A 1C 1C .[典例4] 如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为AB ，B 1C 的中点．(1)用向量法证明平面A 1BD ∥平面B 1CD 1； (2)用向量法证明MN ⊥平面A 1BD . 证明：(1)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，∴BD ∥B 1D 1.同理可证A 1B ∥D 1C ，又BD ∩A 1B ＝B ，B 1D 1∩D 1C ＝D 1，所以平面A 1BD ∥平面B 1CD 1.＝12(b 2－a 2＋c·b －c·a )． 又∵A 1A ⊥AD ，A 1A ⊥AB ，∴c ·b ＝0，c ·a ＝0. ∵|b|＝|a|，∴b 2＝a 2. ∴b 2－a 2＝0.∴MN ⊥BD .同理可证，MN ⊥A 1B ，又A 1B ∩BD ＝B ， ∴MN ⊥平面A 1BD . [对点训练]3．如图所示，已知P A ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，P A ＝AD ，M ，N 分别为AB ，PC 的中点．求证：(1)MN ∥平面P AD ； (2)平面PMC ⊥平面PDC .证明：如图所示，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A -xyz .设P A ＝AD ＝a ，AB ＝b .则，(1)P (0，0，a )，A (0，0，0)，D (0，a ，0，)，C (b ，a ，0)，B (b ，0，0)． ∵M ，N 分别为AB ，PC 的中点， ∴M ⎝⎛⎭⎫b 2，0，0，N ⎝⎛⎭⎫b 2，a 2，a 2.又∵MN ⊄平面P AD ，∴MN ∥平面P AD .(2)由(1)可知，P (0，0，a )，C (b ，a ，0)，M ⎝⎛⎭⎫b 2，0，0，D (0，a ，0)．设平面PMC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则令z 1＝b ，则n 1＝(2a ，－b ，b )．设平面PDC 的一个法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，则令z 2＝1，则n 2＝(0，1，1)，∵n 1·n 2＝0－b ＋b ＝0， ∴n 1⊥n 2，∴平面PMC ⊥平面PDC .几何法求异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角时，都需要先作出(或证出)所求空间角的平面角．费时费力，难度很大．而利用向量法，只需求出直线的方向向量与平面的法向量，即可求解，体现了向量法极大的优越性．(1)若异面直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，它们所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈v 1，v 2〉|.(2)利用空间向量求直线与平面所成的角，可以有两种方法：一是分别求出斜线和它在平面内的射影所在直线的方向向量，将问题转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；二是通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，则其余角就是斜线和平面所成的角．(3)利用空间向量求二面角也可以有两种方法：一是分别在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小；二是通过平面的法向量来求：设二面角的两个半平面的法向量分别为n 1和n 2，则二面角的大小等于〈n 1，n 2〉(或π－〈n 1，n 2〉)．利用空间向量求二面角时，注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角．[典例5] 如图，四边形ABCD 为菱形，∠ABC ＝120°，E ，F 是平面ABCD 同一侧的两点，BE ⊥平面ABCD ，DF ⊥平面ABCD ，BE ＝2DF ，AE ⊥EC .(1)证明：平面AEC ⊥平面AFC ；(2)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值．解：(1)证明：连接BD ，设BD ∩AC ＝G ，连接EG ，FG ，EF .在菱形ABCD 中，不妨设GB ＝1.由∠ABC ＝120°，可得AG ＝GC ＝ 3. 由BE ⊥平面ABCD ，AB ＝BC ， 可知AE ＝EC .又AE ⊥EC ，所以EG ＝3，且EG ⊥AC . 在Rt △EBG 中，可得BE ＝2，故DF ＝22. 在Rt △FDG 中，可得FG ＝62. 在直角梯形BDFE 中，由BD ＝2，BE ＝2，DF ＝22， 可得EF ＝322.从而EG 2＋FG 2＝EF 2，所以EG ⊥FG . 又AC ∩FG ＝G ，可得EG ⊥平面AFC . 因为EG ⊂平面AEC ， 所以平面AEC ⊥平面AFC . (2)如图，以G 为坐标原点，分别以的方向为x 轴，y 轴正方向，||为单位长，建立空间直角坐标系G -xyz .由(1)可得A (0，－3，0)，E (1，0，2)，F ⎝⎛⎭⎫－1，0，22，C (0，3，0)，所以＝(1，3，2)，＝(－1，－3，22)．所以直线AE与直线CF所成角的余弦值为3 3.[典例6]如图，在四棱锥A-EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC＝4，EF＝2a，∠EBC＝∠FCB＝60°，O为EF的中点．(1)求证：AO⊥BE；(2)求二面角F-AE-B的余弦值；(3)若BE⊥平面AOC，求a的值．解：(1)证明：因为△AEF是等边三角形，O为EF的中点，所以AO⊥EF.又因为平面AEF⊥平面EFCB，AO⊂平面AEF，所以AO⊥平面EFCB.所以AO⊥BE.(2)取BC中点G，连接OG.由题设知EFCB是等腰梯形，所以OG⊥EF.由(1)知AO⊥平面EFCB，又OG⊂平面EFCB，所以OA⊥OG.如图建立空间直角坐标系O-xyz，则E(a，0，0)，A(0，0，3a)，B(2，3(2－a)，0)，＝(－a，0，3a)，＝(a－2，3(a－2)，0)．设平面AEB的法向量为n＝(x，y，z)，令z ＝1，则x ＝3，y ＝－1. 于是n ＝(3，－1，1)．平面AEF 的法向量为p ＝(0，1，0)． 所以cos 〈n ，p 〉＝n·p|n||p|＝－55.由题设知二面角F -AE -B 为钝角，所以它的余弦值为－55. (3)因为BE ⊥平面AOC ，所以BE ⊥OC ，即＝0.因为＝(a －2，3(a －2)，0)，＝(－2，3(2－a )，0)，所以＝－2(a －2)－3(a －2)2. 由＝0及0<a <2，解得a ＝43.[对点训练]4．如图，在三棱锥P -ABC 中，∠APB ＝90°，∠P AB ＝60°，AB ＝BC ＝CA ，平面P AB ⊥平面ABC .(1)求直线PC 与平面ABC 所成角的正弦值； (2)求二面角B -AP -C 的余弦值．解：设AB 的中点为D ，连接CD ，作PO ⊥AB 于点O .因为平面P AB ⊥平面ABC ，平面P AB ∩平面ABC ＝AB ，所以PO ⊥平面ABC .所以PO ⊥CD .由AB ＝BC ＝CA ，知CD ⊥AB . 设E 为AC 中点，连接OE ，则EO ∥CD ，从而OE ⊥PO ，OE ⊥AB .如图，以O 为坐标原点，OB ，OE ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．不妨设P A ＝2，由已知可得AB ＝4，OA ＝OD ＝1，OP ＝3，CD ＝2 3. 所以O (0，0，0)，A (－1，0，0)，C (1，23，0)，P (0，0，3)．(1)易得＝(－1，－23，3)，且＝(0，0，3)为平面ABC的一个法向量．设α为直线PC与平面ABC所成的角，所以直线PC与平面ABC所成角的正弦值为3 4.(2)易得＝(1，0，3)，＝(2，23，0)．设平面APC的法向量为n＝(x1，y1，z1)，取z1＝1，可得n＝(－3，1，1)．设二面角B-AP-C的平面角为β，易知β为锐角．因为平面P AB的一个法向量为m＝(0，1，0)，所以cos β＝|n·m||n||m|＝13＋1＋1×1＝55.所以二面角B-AP-C的余弦值为5 5.解决存在性问题的基本策略是：通常假设题中的数学对象存在(或结论成立)，然后在这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，即存在，并可进一步证明；若推导出与条件或实际情况相矛盾的结论，则说明假设不成立，即不存在．[典例7]如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1)证明：AP⊥BC；(2)在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．解：(1)证明：如图，以O为原点，以射线OP为z轴正半轴，OD为y轴正半轴，建立空间直角坐标系O­xyz.则O (0，0，0)，A (0，－3，0)，B (4，2，0)，C (－4，2，0)，P (0，0，4)，＝(0，3，4)，＝(－8，0，0)，由此可得·＝0，所以⊥，即AP ⊥BC .设平面BMC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面APC 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)．得⎩⎪⎨⎪⎧－4x 1－（2＋3λ）y 1＋（4－4λ）z 1＝0，－8x 1＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，z 1＝2＋3λ4－4λy 1，可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，2＋3λ4－4λ.得⎩⎨⎧x 2＝54y 2，z 2＝－34y 2，可取n 2＝(5，4，－3)．由n 1·n 2＝0，得4－3·2＋3λ4－4λ＝0，解得λ＝25.又||＝32＋42＋02＝5，故AM ＝3.综上所述，存在点M ，且AM ＝3，使得二面角A -MC -B 为直二面角． [对点训练]5.如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD ＝60°，Q 为AD 的中点．(1)若P A ＝PD ，求证：平面PQB ⊥平面P AD ；(2)点M 在线段PC 上，PM ＝tPC ，试确定t 的值，使P A ∥平面MQB ；(3)在(2)的条件下，若平面P AD ⊥平面ABCD ，且P A ＝PD ＝AD ＝2，求二面角M -BQ -C 的大小．解：(1)证明：连接BD ，∵AD ＝AB ，∠BAD ＝60°， ∴△ABD 为正三角形． ∵Q 为AD 的中点， ∴AD ⊥BQ .∵P A ＝PD ，Q 为AD 的中点， ∴AD ⊥PQ .又BQ ∩PQ ＝Q ，∴AD ⊥平面PQB . ∵AD ⊂平面P AD ， ∴平面PQB ⊥平面P AD .(2)连接AC ，交BQ 于N .由AQ ∥BC ，可得△ANQ ∽△CNB ， ∴AQ BC ＝AN NC ＝12. ∵P A ∥平面MQB ，P A ⊂平面P AC ，平面P AC ∩平面MQB ＝MN ，∴P A ∥MN . ∴PM PC ＝AN AC ＝13，即PM ＝13PC ，∴t ＝13. (3)由P A ＝PD ＝AD ＝2，Q 为AD 的中点，则PQ ⊥AD ，又平面P AD ⊥平面ABCD ， ∴PQ ⊥平面ABCD .以Q 为坐标原点，分别以QA 、QB 、QP 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的坐标系，则各点的坐标分别为A (1，0，0)，B (0，3，0)，Q (0，0，0)，P (0，0，3)．设平面MQB 的法向量为n ＝(x ，y ，1)，∵P A ∥MN ，解得n ＝(3，0，1)．取平面ABCD 的法向量m ＝(0，0，1)，cos 〈m ，n 〉＝12，故二面角M -BQ -C 的大小为60°.一、选择题1．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1，0，1)，n ＝(－2，0，0) B ．a ＝(1，3，5)，n ＝(1，0，1) C ．a ＝(0，2，1)，n ＝(－1，0，－1) D ．a ＝(1，－1，3)，n ＝(0，3，1)解析：选D 若l ∥α，则a ·n ＝0，只有选项D 中a ·n ＝0.2．已知向量a ＝(1，1，0)，b ＝(－1，0，－2)，且k a ＋b 与2a －b 互相垂直，则k 的值是( )A ．1 B.15C.35D.75解析：选D 依题意(k a ＋b )·(2a －b )＝0， 所以2k |a |2－k a ·b ＋2a ·b －|b |2＝0， 而|a |2＝2，|b |2＝5，a ·b ＝－1， 所以4k ＋k －2－5＝0，解得k ＝75.3．已知向量i ，j ，k 是一组单位正交向量，m ＝8j ＋3k ，n ＝－i ＋5j －4k ，则m ·n ＝( ) A ．7 B ．－20 C ．28 D ．11解析：选C 因为m ＝(0，8，3)，n ＝(－1，5，－4)，所以m·n ＝0＋40－12＝28. 4．若平面α的法向量为n ，直线l 的方向向量为a ，直线l 与平面α的夹角为θ，则下列关系式成立的是( )A ．cos θ＝n·a |n||a|B ．cos θ＝|n·a||n||a|C ．sin θ＝n·a |n||a|D ．sin θ＝|n·a||n||a|解析：选D 若直线与平面所成的角为θ，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为β，则θ＝β－90°或θ＝90°－β，cos β＝n·a|n||a|，∴sin θ＝|cos β|＝|n·a||n||a|. 5．在以下命题中，不正确的个数为( )①|a|－|b|＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若，则P ，A ，B ，C 四点共面；④若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底； ⑤|(a·b )·c|＝|a|·|b|·|c|. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：选C ①|a|－|b|＝|a ＋b|⇒a 与b 共线，但a 与b 共线时|a |－|b |＝|a ＋b|不一定成立，故不正确；②b 需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确．6．已知空间三点O (0，0，0)，A (－1，1，0)，B (0，1，1)，在直线OA 上有一点H 满足BH ⊥OA ，则点H 的坐标为( )A ．(－2，2，0)B ．(2，－2，0) C.⎝⎛⎭⎫－12，12，0 D.⎝⎛⎭⎫12，－12，0 解析：选C 由＝(－1，1，0)，且点H 在直线OA 上，可设H (－λ，λ，0)，则＝(－λ，λ－1，－1)．又BH ⊥OA ，∴·＝0，即(－λ，λ－1，－1)·(－1，1，0)＝0，即λ＋λ－1＝0，解得λ＝12，∴H ⎝⎛⎭⎫－12，12，0. 7．如图，AB ＝AC ＝BD ＝1，AB ⊂平面α，AC ⊥平面α，BD ⊥AB ，BD 与平面α成30°角，则C 、D 间的距离为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 38．已知向量a ＝(1，2，3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )C ．120°D ．150°解析：选C 设向量a ＋b 与c 的夹角为α，因为a ＋b ＝(－1，－2，－3)，|a ＋b |＝14，cos α＝（a ＋b ）·c |a ＋b||c|＝12，所以α＝60°.因为向量a ＋b 与a 的方向相反，所以a 与c 的夹角为120°. 9．已知A (1，0，0)，B (0，－1，1)，O (0，0，0)，的夹角为120°，则λ的值为( )A ．±66 B.66 C ．－66D ．± 6 解析：选C 因为＝(1，0，0)，＝(0，－1，1)，＝(1，－λ，λ)， 所以()·＝1×0＋(－λ)×(－1)＋1×λ＝2λ，||＝1＋2λ2，||＝2，由题意知cos 120°＝2λ1＋2λ2×2＝－12，解得λ2＝16，又因为2λ2×1＋2λ2<0，所以λ<0，所以λ＝－66. 10．已知＝(1，2，3)，＝(2，1，2)，＝(1，1，2)，点Q 在直线OP 上运动，则当取得最小值时，点Q 的坐标为( )A.⎝⎛⎭⎫12，34，13B.⎝⎛⎭⎫12，32，34C.⎝⎛⎭⎫43，43，83D.⎝⎛⎭⎫43，43，73 解析：选C ∵Q 在OP 上，∴可设Q (x ，x ，2x )，则＝(1－x ，2－x ，3－2x )，＝(2－x ，1－x ，2－2x )．∴＝6x 2－16x ＋10，∴x ＝43时，最小，这时Q ⎝⎛⎭⎫43，43，83.11．如图所示，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1的夹角是( )A ．45°B ．60°12．已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，体积为94，底面是边长为3的正三角形．若P 为底面A 1B 1C 1的中心，则P A 与平面ABC 所成角的大小为( )A.5π12B.π3C.π4D.π6解析：选B 取正三角形ABC 的中心O ，连接OP ，则∠P AO 是P A 与平面ABC 所成的角．因为底面边长为3，所以AD ＝3×32＝32，AO ＝23AD ＝23×32＝1.三棱柱的体积为12×(3)2×32AA 1＝94，解得AA 1＝3，即OP ＝AA 1＝3，所以tan ∠P AO ＝OPOA＝3，即∠P AO ＝π3. 二、填空题13．已知a ＝(x ，2，－4)，b ＝(－1，y ，3)，c ＝(1，－2，z )，且a ，b ，c 两两垂直，则(x ，y ，z )＝________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2y －12＝0，x －4－4z ＝0，－1－2y ＋3z ＝0，解得x ＝－64，y ＝－26，z ＝－17. 答案：(－64，－26，－17)14．已知空间四边形OABC ，如图所示，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且，现用基向量表示向量，并设，则x 、y 、z 的和为________．∴x ＝18，y ＝38，z ＝38.∴x ＋y ＋z ＝78.答案：7815．如图所示，已知正四面体A -BCD 中，AE ＝14AB ，CF ＝14CD ，则直线DE 和BF 所成角的余弦值为________．解析：答案：41316．如图所示，已知二面角α-l -β的平面角为θ⎝⎛⎭⎫θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB在平面β内，BC 在l 上，CD 在平面α内，若AB ＝BC ＝CD ＝1，则AD 的长为________．即AD 的长为3－2cos θ. 答案：3－2cos θ 三、解答题17．已知向量a ＝(1，－3，2)，b ＝(－2，1，1)，点A (－3，－1，4)，B (－2，－2，2)． (1)求|2a ＋b |；(2)在直线AB 上是否存在一点E ，使得⊥b (O 为原点)?解：(1)因为a ＝(1，－3，2)，b ＝(－2，1，1)，所以2a ＋b ＝(0，－5，5)，所以|2a ＋b |＝02＋（－5）2＋52＝5 2.(2)假设存在点E ，其坐标为E (x ，y ，z )，则，即(x ＋3，y ＋1，z －4)＝λ(1，－1，－2)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ－3，y ＝－λ－1，z ＝－2λ＋4，所以E (λ－3，－λ－1，－2λ＋4)， 所以＝(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)．又因为b ＝(－2，1，1)，⊥b ，所以·b ＝－2(λ－3)＋(－λ－1)＋(－2λ＋4)＝－5λ＋9＝0，所以λ＝95，所以E ⎝⎛⎭⎫－65，－145，25， 所以在直线AB 上存在点E ⎝⎛⎭⎫－65，－145，25，使⊥b .18．如图，在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)求DB 与平面DEF 所成角的正弦值．解：(1)证明：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图．设AD ＝a ，则D (0，0，0)，A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，E ⎝⎛⎭⎫a ，a2，0，P (0，0，a )，F ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2.∵·＝⎝⎛⎭⎫－a 2，0，a2·(0，a ，0)＝0. ∴⊥，∴EF ⊥CD .(2)设平面DEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，即⎩⎨⎧（x ，y ，z ）·⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2＝0，（x ，y ，z ）·⎝⎛⎭⎫a ，a 2，0＝0，即⎩⎨⎧a2（x ＋y ＋z ）＝0，ax ＋a2y ＝0.取x ＝1，则y ＝－2，z ＝1，∴n ＝(1，－2，1)，设DB 与平面DEF 所成角为θ，则sin θ＝36. 19．已知四棱锥P -ABCD 的底面是直角梯形，AB ∥DC ，∠DAB ＝90°，PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝DA ＝CD ＝2AB ＝2，M 点为PC 的中点．(1)求证：BM ∥平面P AD ；(2)在平面P AD 内找一点N ，使MN ⊥平面PBD . 解：(1)证明：∵PD ⊥底面ABCD ，CD ∥AB ，CD ⊥AD .∴以D 为原点，DA ，DC ，DP 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系(如图所示)．由于PD ＝CD ＝DA ＝2AB ＝2，所以D (0，0，0)，A (2，0，0)，B (2，1，0)，C (0，2，0)，P (0，0，2)，M (0，1，1)， ∴＝(－2，0，1)，＝(0，2，0)，∵⊥平面P AD ，∴是平面P AD 的法向量，且·＝0，∴BM ∥平面P AD .(2)设N (x ，0，z )是平面P AD 内一点，∴⎩⎪⎨⎪⎧2（z －1）＝0，2x －1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，z ＝1.∴在平面P AD 内存在点N ⎝⎛⎭⎫12，0，1，使MN ⊥平面PBD .20．如图，三棱锥P -ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC ＝3，∠ACB ＝π2.D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且CD ＝DE ＝2，CE ＝2EB ＝2.(1)证明：DE ⊥平面PCD ； (2)求二面角A -PD -C 的余弦值．解：(1)证明：由PC ⊥平面ABC ，DE ⊂平面ABC ，故PC ⊥DE . 由CE ＝2，CD ＝DE ＝2得△CDE 为等腰直角三角形，故CD ⊥DE . 由PC ∩CD ＝C ，DE 垂直于平面PCD 内两条相交直线，故DE ⊥平面PCD .(2)由(1)可知，△CDE 为等腰直角三角形，∠DCE ＝π4，如图，过D 作DF 垂直CE 于F ，易知DF ＝FC ＝FE ＝1，又已知EB ＝1，故FB ＝2.由∠ACB ＝π2，得DF ∥AC ，DF AC ＝FB BC ＝23，故AC ＝32DF ＝32.以C 为坐标原点，分别以的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，P (0，0，3)，A ⎝⎛⎭⎫32，0，0，E (0，2，0)，D (1，1，0)，＝(1，－1，0)，＝(－1，－1，3)，＝⎝⎛⎭⎫12，－1，0， 设平面P AD 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 由n 1·＝0，n 1·＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧－x 1－y 1＋3z 1＝0，12x 1－y 1＝0，故可取n 1＝(2，1，1)．由(1)可知DE ⊥平面PCD ，故平面PCD 的法向量n 2可取为，即n 2＝(1，－1，0)，从而法向量n 1，n 2的夹角的余弦值为 cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝36，故所求二面角A-PD-C的余弦值为3 6.21．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．(1)证明：A1D⊥平面A1BC；(2)求二面角A1­BD­B1的平面角的余弦值．解：(1)证明：设E为BC的中点，由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.因为AB＝AC，所以AE⊥BC.故AE⊥平面A1BC.由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，从而DE∥A1A且DE＝A1A，所以A1AED为平行四边形．故A1D∥AE.又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.(2)以CB的中点E为原点，分别以射线EA，EB为x轴，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系E-xyz，如图所示．由题意知各点坐标如下：A1(0，0，14)，B(0，2，0)，D(－2，0，14)，B1(－2，2，14)．因此＝(0，2，－14)，＝(－2，－2，14)，＝(0，2，0)．设平面A1BD的法向量为m＝(x1，y1，z1)，平面B1BD的法向量为n＝(x2，y2，z2)．可取n ＝(7，0，1)． 于是|cos 〈m ，n 〉|＝|m ·n ||m |·|n |＝18.由题意可知，所求二面角的平面角是钝角，故二面角A 1­BD ­B 1的平面角的余弦值为－18. 22．如图，已知矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2，O 为CD 的中点，沿AO 将三角形AOD 折起，使DB ＝ 3.(1)求证：平面AOD ⊥平面ABCO ；(2)求直线BC 与平面ABD 所成角的正弦值．解：(1)证明：在矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2，O 为CD 的中点， ∴△AOD ，△BOC 为等腰直角三角形， ∴∠AOB ＝90°， 即OB ⊥OA .在四棱锥D -ABCO 中，取AO 中点H ，连接DH ，BH ， 则OH ＝DH ＝12AO ＝22，在Rt △BOH 中，BH 2＝BO 2＋OH 2＝52，在△BHD 中，DH 2＋BH 2＝⎝⎛⎭⎫222＋52＝3，又DB 2＝3， ∴DH 2＋BH 2＝DB 2， ∴DH ⊥BH .又DH ⊥OA ，OA ∩BH ＝H ， ∴DH ⊥平面ABCO ， 而DH ⊂平面AOD ，∴平面AOD ⊥平面ABCO .(2)分别以OA ，OB 所在直线为x 轴，y 轴，O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B (0，2，0)，A (2，0，0)，D ⎝⎛⎭⎫22，0，22，C ⎝⎛⎭⎫－22，22，0，∴＝(－2，2，0)，＝⎝⎛⎭⎫－22，0，22，＝⎝⎛⎭⎫－22，－22，0. 设平面ABD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，即x ＝y ，x ＝z ，令x ＝1， 则y ＝z ＝1，n ＝(1，1，1)．设α为直线BC 与平面ABD 所成的角，即直线BC 与平面ABD 所成角的正弦值为63.一、选择题1．命题“∃x 0∈R ，2x 0－3>1”的否定是( ) A ．∃x 0∈R ，2x 0－3≤1 B ．∀x ∈R ，2x －3>1 C ．∀x ∈R ，2x －3≤1 D ．∃x 0∈R ，2x 0－3>1解析：选C 由特称命题的否定的定义即知．2．若抛物线的准线方程为x ＝1，焦点坐标为(－1，0)，则抛物线的方程是( ) A ．y 2＝2x B ．y 2＝－2x C ．y 2＝4x D ．y 2＝－4x解析：选D ∵抛物线的准线方程为x ＝1，焦点坐标为(－1，0)，∴抛物线的开口方向向左且顶点在原点，其中p ＝2，∴抛物线的标准方程为y 2＝－4x .3．设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋(a ＋1)y ＋4＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：选A 先求出两条直线平行的充要条件，再判断． 若直线l 1与l 2平行，则a (a ＋1)－2×1＝0， 即a ＝－2或a ＝1，所以a ＝1是直线l 1与直线l 2平行的充分不必要条件．4．已知直线l 1的方向向量a ＝(2，4，x )，直线l 2的方向向量b ＝(2，y ，2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是( )A ．－3或1B ．3或－1C ．－3D ．1解析：选A 由题意，得⎩⎨⎧4＋16＋x 2＝6，4＋4y ＋2x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝1，∴x ＋y ＝1或x ＋y ＝－3. 5．下列说法中正确的是( )A ．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真B ．“a >b ”与“a ＋c >b ＋c ”不等价C ．“a 2＋b 2＝0，则a ，b 全为0”的逆否命题是“若a ，b 全不为0，则a 2＋b 2≠0”D ．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真解析：选D 否命题和逆命题互为逆否命题，有着一致的真假性，故选D.6．以椭圆x 2169＋y 2144＝1的右焦点为圆心，且与双曲线x 29－y 216＝1的渐近线相切的圆的方程是( )A ．x 2＋y 2－10x ＋9＝0B ．x 2＋y 2－10x －9＝0C ．x 2＋y 2＋10x ＋9＝0D ．x 2＋y 2＋10x －9＝0解析：选A 椭圆右焦点F (5，0)，双曲线渐近线方程为y ＝±43x ，则焦点F 到y ＝43x 的距离为4，所以圆的方程为(x －5)2＋y 2＝16，即x 2＋y 2－10x ＋9＝0.7．若命题“∃x 0∈R ，使x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．[1，3] B ．[－1，3] C ．[－3，3] D ．[－1，1] 解析：选B 根据题意可得∀x ∈R ，都有x 2＋(a －1)x ＋1≥0，∴Δ＝(a －1)2－4≤0，∴－1≤a ≤3. 8．下列结论中，正确的为( )①“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的充分不必要条件； ②“p 且q 为假”是“p 或q 为真”的充分不必要条件； ③“p 或q 为真”是“为假”的必要不充分条件；④“为真”是“p 且q 为假”的必要不充分条件．A ．①②B ．①③C ．②④D ．③④ 解析：选B p ∧q 为真⇒p 真q 真⇒p ∨q 为真，故①正确，由为假⇒p 为真⇒p ∨q为真，故③正确．9．双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn ≠0)的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y 2＝4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A.316B.38C.163D.83解析：选A 抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1，0)，故双曲线x 2m －y 2n＝1中，m >0，n >0且m ＋n ＝c 2＝1.① 又双曲线的离心率e ＝c m ＝m ＋nm＝2，② 联立方程①②，解得⎩⎨⎧m ＝14，n ＝34.故mn ＝316.10．若直线y ＝2x 与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(5，＋∞)C ．(1，5]D ．[5，＋∞)解析：选B 双曲线的两条渐近线中斜率为正的渐近线为y ＝b a x .由条件知，应有ba >2，故e ＝ca ＝a 2＋b 2a ＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2> 5.11．如图，将边长为1的正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角，若点P 满足的值为( )A.32 B ．2 C.10－24 D.94＝14＋14＋2－12×1×1×12＋1×2×22－1×2×22＝94. 12．过M (－2，0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1、P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为( )A ．2B ．－2 C.12 D ．－12解析：选D 设直线m ：y ＝k 1(x ＋2)，代入x 22＋y 2＝1，得：x 2＋2k 21(x ＋2)2－2＝0， 整理，得(1＋2k 21)x 2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0， Δ＝(8k 21)2－4(1＋2k 21)(8k 21－2)>0，解得k 21<12. 设P 1P 2的中点P (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22＝－4k 211＋2k 21，y 0＝k 1(x 0＋2)＝2k 11＋2k 21. ∴k 2＝－12k 1.∴k 1k 2＝－12. 二、填空题13．双曲线x 2m 2＋12－y 24－m 2＝1的焦距是________．解析：依题意a 2＝m 2＋12，b 2＝4－m 2，所以c 2＝a 2＋b 2＝16，c ＝4，2c ＝8. 答案：814．命题p ：若a ，b ∈R ，则ab ＝0是a ＝0的充分条件，命题q ：函数y ＝x －3的定义域是[3，＋∞)，则“p ∨q ”、“p ∧q ”、“”中是真命题的有________．解析：依题意可知p 假，q 真，所以“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，“”为真．答案：p ∨q ，15．已知A (0，－4)，B (3，2)，抛物线y 2＝x 上的点到直线AB 的最短距离为________． 解析：直线AB 为2x －y －4＝0，设抛物线y 2＝x 上的点P (t ，t 2)，d ＝|2t －t 2－4|5＝t 2－2t ＋45＝（t －1）2＋35≥35＝355.答案：35516．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F 1(1，0)，离心率为e .设A ，B 为椭圆上关于原点对称的两点，AF 1的中点为M ，BF 1的中点为N ，原点O 在以线段MN 为直径的圆上．设直线AB 的斜率为k ，若0<k ≤3，则e 的取值范围为________．解析：设A (m ，n )，则B (－m ，－n )，k ＝nm ，因为原点O 在以线段MN 为直径的圆上， 所以OM ⊥ON ，又因为M 为AF 1的中点， 所以OM ∥BF 1， 同理ON ∥AF 1，所以OMF 1N 是矩形，即AF 1⊥BF 1，所以(1－m )(1＋m )－n 2＝0， 即m 2＋n 2＝1. 又m 2a 2＋n 2b2＝1， 于是有m 2a 2＋n 2b 2＝m 2＋n 2，从而1a 2－11－1b 2＝n 2m 2＝k 2≤3，即1a 2＋3b 2≥4， 将b 2＝a 2－1代入， 并整理得4a 4－8a 2＋1≤0，解得2－32≤a 2≤2＋32.又a >c ＝1，所以4－23≤1a 2<1，即3－1≤e <1. 答案：[3－1，1) 三、解答题17．已知命题p ：方程x 22－m ＋y 2m －1＝1所表示的图形是焦点在y 轴上的双曲线；命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根，又p ∨q 为真，綈q 为真，求实数m 的取值范围．解：因为方程x 22－m ＋y 2m －1＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，所以⎩⎪⎨⎪⎧2－m <0，m －1>0，即m >2.故命题p ：m >2；因为方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实根， 所以Δ＝[4(m －2)]2－4×4×1<0， 即m 2－4m ＋3<0，所以1<m <3.故命题q ：1<m <3. 因为p ∨q 为真，为真，所以p 真q 假．即⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤1或m ≥3，此时m ≥3. 综上所述，实数m 的取值范围为{m |m ≥3}．18．已知椭圆x 2b 2＋y 2a 2＝1(a >b >0)的离心率为22，且a 2＝2b .(1)求椭圆的方程；(2)若直线l ：x －y ＋m ＝0与椭圆交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝1上，求m 的值．解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝22，a 2＝2b ，b 2＝a 2－c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1，b ＝1，故椭圆的方程为x 2＋y 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)．联立直线与椭圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 22＝1，x －y ＋m ＝0，即3x 2＋2mx ＋m 2－2＝0，Δ＝(2m )2－12(m 2－2)＞0，－3＜m ＜3，所以x 0＝x 1＋x 22＝－m 3，y 0＝x 0＋m ＝2m3，即M ⎝⎛⎭⎫－m 3，2m3，又因为M 点在圆x 2＋y 2＝5上， 所以⎝⎛⎭⎫－m 32＋⎝⎛⎭⎫2m 32＝1，解得m ＝±53. 19．在等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝12BC ，∠ABC ＝60°，N 是BC 的中点．将梯形ABCD 绕AB 旋转90°，得到梯形ABC ′D ′(如图)．(1)求证：AC ⊥平面ABC ′； (2)求证：C ′N ∥平面ADD ′； (3)求二面角A -C ′N -C 的余弦值．解：(1)证明：因为AD ＝12BC ，N 是BC 的中点，所以AD ＝NC ，又AD ∥BC ，所以四边形ANCD 是平行四边形，所以AN ＝DC ，又因为四边形ABCD 是等腰梯形， ∠ABC ＝60°，所以AB ＝BN ＝AN ，所以NC ＝AN ，所以四边形ANCD 是菱形，所以∠ACB ＝12∠DCB＝30°，所以∠BAC ＝90°，即AC ⊥AB .由已知可知平面C ′BA ⊥平面ABC ，因为平面C ′BA ∩平面ABC ＝AB ，所以AC ⊥平面ABC ′.(2)证明：因为AD ∥BC ，AD ′∥BC ′，AD ∩AD ′＝A ， BC ∩BC ′＝B ，所以平面ADD ′∥平面BCC ′， 又因为C ′N ⊂平面BCC ′，所以C ′N ∥平面ADD ′.(3)连接BD 交AN 于点O .由(1)知AC ⊥平面ABC ′，同理，AC ′⊥平面ABC .建立如图所示的空间直角坐标系，设AB ＝1，则B (1，0，0)，C (0，3，0)，C ′(0，0，3)，N ⎝⎛⎭⎫12，32，0，设平面C ′NC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，得平面C ′NC 的一个法向量为n ＝(3，1，1)，因为AC ′⊥平面ABC ，所以平面C ′AN ⊥平面ABC ，又易知BD ⊥AN ，而平面C ′AN ∩平面ABC ＝AN ，所以BD ⊥平面C ′AN . 因为BD 与AN 交于点O ，则O 为AN 的中点，O ⎝⎛⎭⎫14，34，0，所以平面C ′AN 的一个法向量为＝⎝⎛⎭⎫34，－34，0，又由图形知二面角A -C ′N -C 为钝角，所以二面角A -C ′N -C 的余弦值为－55. 20．已知点P 是⊙O ：x 2＋y 2＝9上的任意一点，过P 作PD 垂直x 轴于D ，动点Q 满足(1)求动点Q 的轨迹方程；(2)已知点E (1，1)，在动点Q 的轨迹上是否存在不重合的两点M ，N ，使(O 是坐标原点)，若存在，求出直线MN 的方程，若不存在，请说明理由．解：(1)设P (x 0，y 0)，Q (x ，y )，依题意，得点D 的坐标为D (x 0，0)，＝(x －x 0，y )，＝(0，y 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －x 0＝0，y ＝23y 0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝32y ，∵点P 在⊙O 上，故x 20＋y 20＝9，∴x 29＋y 24＝1，∴动点Q 的轨迹方程为x 29＋y 24＝1.(2)假设椭圆x 29＋y 24＝1上存在不重合的两点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)满足，则E (1，1)是线段MN 的中点，且有⎩⎨⎧x 1＋x22＝1，y 1＋y 22＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝2，又M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)在椭圆x 29＋y 24＝1上，∴⎩⎨⎧x 219＋y 214＝1，x 229＋y 224＝1，两式相减，得（x 1－x 2）（x 1＋x 2）9＋（y 1－y 2）（y 1＋y 2）4＝0，∴k MN ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－49，∴直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0， ∴椭圆上存在点M ，N 满足，此时直线MN 的方程为4x ＋9y －13＝0.21．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ∥MD ，且NB ＝1，MD ＝2.(1)求证：AM ∥平面BCN ；(2)求AN 与平面MNC 所成角的正弦值；(3)E 为直线MN 上一点，且平面ADE ⊥平面MNC ，求MEMN 的值．解：因为NB ∥MD ，MD ⊥平面ABCD ， 所以NB ⊥平面ABCD ， 因为ABCD 为正方形，所以分别以DA ，DC ，DM 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，B (2，2，0)，C (0，2，0)，M (0，0，2)，N (2，2，1)．(2)设平面MNC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，故AN 与平面MNC 所成角的正弦值为255.所以m ＝⎝⎛⎭⎫0，λ－22λ，1，由(2)知，平面MNC 的法向量n ＝(1，－2，－2)， 所以m·n ＝0，所以－2·λ－22λ－2＝0，所以λ＝23， 所以|ME |＝2，|MN |＝3，所以|ME ||MN |＝23.22．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F (－c ，0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433.(1)求直线FM 的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．解：(1)由已知有c 2a 2＝13，又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k >0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝⎛⎭⎫c 22＝⎝⎛⎭⎫b 22，解得k ＝33.(2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c 2＝1，直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )，两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c 或x ＝c .因为点M 在第一象限，可得M 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，233c .由|FM |＝（c ＋c ）2＋⎝⎛⎭⎫233c －02＝433，解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.(3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，得t ＝yx ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)，与椭圆方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t （x ＋1），x 23＋y 22＝1，消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6.又由已知，得t ＝6－2x 23（x ＋1）2>2，解得－32<x <－1，或－1<x <0.设直线OP 的斜率为m ，得m ＝yx ，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理可得m 2＝2x 2－23.①当x ∈⎝⎛⎭⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)＜0， 因此m >0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝⎛⎭⎫23，233.②当x ∈(－1，0)时，有y ＝t (x ＋1)>0，因此m <0， 于是m ＝－2x 2－23，得m ∈⎝⎛⎫－∞，－233. 综上，直线OP 的斜率的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－233∪⎝⎛⎭⎫23，233.。

3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示课时过关·能力提升基础巩固1下列说法正确的是()A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B.空间的基底有且仅有一个C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D.基底{a,b,c}中基向量与基底{e,f,g}中基向量对应相等项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底;B项,空间基底有无数个;D项中因为基底不唯一,所以D错.故选C.2已知点A在基底{a,b,c}下的坐标为(8,6,4),其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,则点A在基底{i,j,k}下的坐标是()A.(12,14,10)B.(10,12,14)C.(14,12,10)D.(4,3,2)=8a+6b+4c=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k.3在空间直角坐标系Oxyz中,下列说法正确的是()⃗⃗⃗⃗⃗ 与点B的坐标相同A.向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与点A的坐标相同B.向量ABC.向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标相同 D.向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标相同4点A (-1,2,1)在x 轴上的投影点和在xOy 平面上的投影点的坐标分别为( ) A.(-1,0,1),(-1,2,0)B.(-1,0,0),(-1,2,0)C.(-1,0,0),(-1,0,0)D.(-1,2,0),(-1,2,0)A 在x 轴投影知y=0,z=0,由点A 在xOy 平面投影知z=0.故选B .5设{i ,j ,k }是空间的一个单位正交基底,a =2i -4j+5k ,b=i+2j-3k ,则向量a ,b 的坐标分别为 , .-4,5) (1,2,-3)6已知{a ,b ,c }是空间的一个基底,下列向量可以与p =2a -b ,q =a +b 构成空间的另一个基底的是 (填序号).①2a ②-b ③c ④a +c7如图,在边长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,取点D 为原点建立空间直角坐标系,已知O ,M 分别是AC ,DD 1的中点,写出下列向量的坐标.AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = ,OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = .-2,0,1) (1,1,2)8如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB=2CD ,点O 为空间任一点,设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则向量OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 用a ,b ,c 表示为 .-12b +c9如图所示,已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,建立适当的空间直角坐标系,求BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标.1⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,A D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为单位正交基底,建立空间直角坐标系,如图所示,则BD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,1).10已知PA 垂直于正方形ABCD 所在的平面,M ,N 分别是AB ,PC 的中点,并且PA=AD=1,如图所示,设DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 3,以{e 1,e 2,e 3}为单位正交基底建立空间直角坐标系Axyz ,求向量MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标.DC⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2. ∵PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2-e 1-e 3, ∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +12PC ⃗⃗⃗⃗⃗=-12e 2+e 3+12(e 2-e 1-e 3)=-12e 1+12e 3.∴MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-12,0,12),DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0). 能力提升1有下列叙述:①在空间直角坐标系中,x 轴上的点的坐标一定是(0,b ,c );②在空间直角坐标系中,在yOz 平面上点的坐标一定可写成(0,b ,c ); ③在空间直角坐标系中,在z 轴上的点的坐标可记作(0,0,c ); ④在空间直角坐标系中,在xOz 平面上点的坐标是(a ,0,c ).其中正确的个数是( ) A.1B.2C.3D.4错,x 轴上的点的坐标应是(a ,0,0).②③④正确.2如图,在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,AC 与BD 的交点为M ,设A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,则下列向量中与B 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是 ( )A.-12a +12b +cB.12a +12b +cC.12a -12b +cD.-12a -12b +c1M =B 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(B 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=c +12(-a +b )=-12a +12b +c .3设p :a ,b ,c 是三个非零向量;q :{a ,b ,c }为空间的一个基底,则p 是q 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件a ,b ,c 不共面时,{a ,b ,c }可以当基底,否则不能当基底.当{a ,b ,c }为基底时,一定有a ,b ,c 为非零向量.4如图,在空间四边形OABC 中,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,点M 在OA 上,且OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,N 是BC 的中点,MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x a +y b +z c ,则x ,y ,z 的值为( ) A.12,-23,12B.-23,12,12C.12,12,-23 D.23,23,-125已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,-3,-1),把AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 按向量(2,1,1)平移后所得向量的坐标是 .-4,-3,-1)6设{i ,j ,k }是空间向量的单位正交基底,a =3i+2j-k ,b=-2i+4j+2k ,则向量a ,b 的关系是 .a ·b =-6i 2+8j 2-2k 2=-6+8-2=0,∴a ⊥b .⊥b7已知在空间四边形ABCD 中,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a-2c ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =5a+6b-8c ,对角线AC ,BD 的中点分别为E ,F ,则EF⃗⃗⃗⃗⃗ = .EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴两式相加,得2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +(BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ).∵E 为AC 的中点,F 为BD 的中点,∴EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.∴2EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a-2c )+(5a+6b-8c )=6a+6b-10c .∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a+3b-5c .a+3b-5c8已知向量p 在基底{a ,b ,c }下的坐标是(2,3,-1),求p 在基底{a ,a +b ,a +b +c }下的坐标.p =2a +3b -c .设p =x a +y (a +b )+z (a +b +c )=(x+y+z )a +(y+z )b +z c ,则有{x +y +z =2,y +z =3,z =-1,解得{x =-1,y =4,z =-1,故p 在基底{a ,a +b ,a +b +c }下的坐标为(-1,4,-1).9已知正方体ABCD-A'B'C'D',点E 是上底面A'B'C'D'的中心,求AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 中x ,y ,z 的值.⃗⃗⃗ =AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A'E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 'C '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12(A 'B '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) =AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 'B '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12A 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗.∵AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +z AA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴x=12,y=12,z=1.★10如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是BB 1,D 1B 1的中点,求证:EF ⊥平面B 1AC.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,把向量EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 1和B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 分别用a ,b ,c 表示出来,证明A F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·B 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0即可.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,有a ·b =0,a ·c =0,b ·c =0. 则EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =12(-a +b +c ),AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b . ∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(-a +b +c )·(a +b ) =12(|b |2-|a |2)=0.∴EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,即EF ⊥AB 1. 同理EF ⊥B 1C.∵AB 1∩B 1C=B 1,∴EF ⊥平面B 1AC.。

1.设a 、b 、c 是任意的非零平面向量，且它们相互不共线，下列命题： ①(a ·b )c －(c ·a )b ＝0； ②|a |－|b |<|a －b |；③(b ·a )c －(c ·a )b 不与c 垂直； ④(3a ＋2b )·(3a －2b )＝9|a |2－4|b |2. 其中正确的有( )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④解析：选D.根据数量积的定义及性质可知：①③错误，②④正确．故选D. 2.在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为135°的是( )A.AB →与A ′C ′→B.AB →与C ′A ′→C.AB →与A ′D ′→D.AB →与B ′A ′→解析：选B.〈AB →，A ′C ′→〉＝〈AB →，AC →〉＝45°； 〈AB →，C ′A ′→〉＝180°－〈AB →，AC →〉＝135°； 〈AB →，A ′D ′→〉＝〈AB →，AD →〉＝90°； 〈AB →，B ′A ′→〉＝180°.3.已知i 、j 、k 是两两垂直的单位向量，a ＝2i －j ＋k ，b ＝i ＋j －3k ，则a·b 等于________． 解析：a·b ＝(2i －j ＋k )·(i ＋j －3k )＝2i 2－j 2－3k 2＝－2. 答案：－24.在棱长为1的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AD ′→·BC ′→＝__________．解析：由正方体知BC ′∥AD ′，∴〈AD ′→，BC ′→〉＝0，又|AD ′→|＝|BC ′→|＝2，所以AD ′→·BC ′→＝2·2·1＝2. 答案：2[A 级 基础达标]1.若向量m 垂直于向量a 和b ，向量n ＝λa ＋μb (λ，μ∈R ，且λμ≠0)，则( ) A ．m ∥n B ．m ⊥n C ．m ，n 既不平行也不垂直 D ．以上三种情况都可能解析：选B.因为m ·n ＝m ·(λa ＋μ b )＝λm ·a ＋μ m ·b ＝0，所以m ⊥n . 2.已知向量a 、b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 是直线l 的一个方向向量，则c ·a ＝0且c ·b ＝0是l ⊥α的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.当a 与b 不共线时，由c ·a ＝0，c ·b ＝0，可推出l ⊥α；当a 与b 为共线向量时，由c ·a ＝0，c ·b ＝0，不能够推出l ⊥α；l ⊥α一定有c ·a ＝0且c ·b ＝0，故选B. 3.已知PA ⊥平面ABC ，∠ABC ＝120°，PA ＝AB ＝BC ＝6，则PC 等于( ) A ．6 2 B ．6 C ．12D ．144解析：选C.∵PC →＝PA →＋AB →＋BC →， ∴PC →2＝PA →2＋AB →2＋BC →2＋2 AB →·BC → ＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144. ∴PC ＝12.4.已知|a |＝32，|b |＝4，m ＝a ＋b ，n ＝a ＋λb ，〈a ，b 〉＝135°，且m ⊥n ，则实数λ等于__________．解析：∵m ·n ＝(a ＋b )·(a ＋λb )＝|a |2＋λa ·b ＋a ·b ＋λ|b |2＝18＋λ×32×4×cos135°＋32×4×cos135°＋λ×16＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ， ∴m ·n ＝0＝6＋4λ，∴λ＝－32.答案：－325.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，则A 1B →·B 1C →＝__________．解析：连接向量A 1D →.A 1B →·B 1C →＝A 1B →·A 1D →＝|A 1B →|·|A 1D →|·cos 〈A 1B →，A 1D →〉＝2a ×2a ×cos 60°＝a 2.答案：a 26.如图所示，已知四面体ABCD 的每条棱的长都等于1，点E ，F 分别是棱AB ，AD 的中点，计算： (1)EF →·BA →； (2)EF →·BD →； (3)EF →·DC →.解：(1)EF →·BA →＝12|BD →||BA →|·cos 〈BD →，BA →〉＝12cos π3＝14. (2)EF →·BD →＝12BD →·BD →＝12.(3)EF →·DC →＝12BD →·DC →＝12|BD →||DC →|·cos 〈BD →，DC →〉＝12cos 2π3＝－14. [B 级 能力提升]7.已知a 、b 是异面直线，A 、B ∈a ，C 、D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b ，且AB ＝2，CD ＝1，则a 与b 所成的角是( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．90°解析：选C.AB →＝AC →＋CD →＋DB →，∴AB →·CD →＝(AC →＋CD →＋DB →)·CD →＝AC →·CD →＋CD →2＋DB →·CD →＝0＋12＋0＝1，又|AB →|＝2，|CD →|＝1. ∴cos 〈AB →，CD →〉＝AB →·CD →|AB →||CD →|＝12×1＝12.∴a 与b 所成的角是60°.8.设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．不确定解析：选B.BD →＝AD →－AB →，BC →＝AC →－AB →，BD →·BC →＝(AD →－AB →)·(AC →－AB →)＝AD →·AC →－AD →·AB →－AB →·AC →＋|AB →|2＝|AB →|2>0， ∴cos ∠CBD ＝cos 〈BC →，BD →〉＝BC →·BD →|BC →|·|BD →|>0.∴∠CBD 为锐角，同理，∠BCD 与∠BDC 均为锐角， ∴△BCD 为锐角三角形．9.空间四边形OABC 中，OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值为__________． 解析：cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝OA →·（OC →－OB →）|OA →||BC →|＝|OA →||OC →|cos π3－|OA →||OB →|cosπ3|OA →||BC →|＝0.答案：010.直三棱柱ABC －A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝AA ′，∠ACB ＝90°，D 、E 分别为AB 、BB ′的中点．(1)求证：CE ⊥A ′D ；(2)求异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值． 解：(1)证明：设CA →＝a ，CB →＝b ，CC ′→＝c ， 根据题意，|a |＝|b |＝|c |且a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝0， ∴CE →＝b ＋12，A ′D →＝－c ＋12b －12a .∴CE →·A ′D →＝－12c 2＋12b 2＝0.∴CE →⊥A ′D →，即CE ⊥A ′D .(2)AC ′→＝－a ＋c ，∴|AC ′→|＝2|a |， 又|CE →|＝52|a |，AC ′→·CE →＝(－a ＋c )·⎝⎛⎭⎫b ＋12c ＝12c 2＝12|a |2， ∴cos 〈AC ′→，CE →〉＝12|a |22·52|a |2＝1010. 即异面直线CE 与AC ′所成角的余弦值为1010. 11.(创新题)如图所示，已知空间四边形ABCD 的各边和对角线的长都等于a，点M 、N 分别是AB 、CD 的中点． (1)求证：MN ⊥AB ，MN ⊥CD ； (2)求MN 的长．解：(1)证明：连接AN (图略)．设AB →＝p ，AC →＝q ，AD →＝r .由题意可知，|p |＝|q |＝|r |＝a ，且p 、q 、r 三向量两两夹角均为60°. MN →＝AN →－AM →＝12(AC →＋AD →)－12AB →＝12(q ＋r －p )，∴MN →·AB →＝12(q ＋r －p )·p＝12(q ·p ＋r ·p －p 2) ＝12(a 2cos 60°＋a 2cos 60°－a 2)＝0. ∴MN ⊥AB ，同理可证MN ⊥CD . (2)由(1)可知MN →＝12(q ＋r －p )．∴|MN →|2＝14q ＋r －p )2＝14[q 2＋r 2＋p 2＋2(q ·r －p ·q －r ·p )] ＝14⎣⎡⎦⎤a 2＋a 2＋a 2＋2⎝⎛⎭⎫a 22－a 22－a 22 ＝14×2a 2＝a 22. ∴|MN →|＝22a ，∴MN 的长为22a .。

1.已知{a ，b ，c }是空间向量的一个基底，则可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( )A ．aB ．bC ．a ＋2bD ．a ＋2c解析：选D.∵a ＋2c ，a ＋b ，a －b 为不共面向量，∴a ＋2c 与p 、q 能构成一个基底．2.空间四边形OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，点M 在OA 上，且OM ＝2MA ，N 为BC中点，则MN →为( )A.12a －23b ＋12c B ．－23a ＋12b ＋12c C.12a ＋12b －23c D.23a ＋23b －12c 解析：选B.MN →＝MA →＋AB →＋BN →＝13OA →＋OB →－OA →＋12(OC →－OB →) ＝－23OA →＋12OB →＋12OC → ＝－23a ＋12b ＋12c .3.在如图所示的正方体中，各棱长为1，写出下列各向量的坐标：(1)OB →＝_______________________________________________________，OB ′→＝________________________________________________________；(2)OA ′→＝_________________________________________________，OC ′→＝_________________________________________________________.答案：(1)(1，1，0) (1，1，1)(2)(1，0，1) (0，1，1)4.已知a ＝e 1＋e 2，b ＝e 2＋e 3，c ＝e 1＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，若e 1，e 2，e 3不共面，且d ＝α a ＋β b ＋γc ，则α＋β＋γ＝__________．解析：由已知d ＝(α＋γ)e 1＋(α＋β)e 2＋(γ＋β)e 3.所以⎩⎪⎨⎪⎧α＋γ＝1，α＋β＝2，γ＋β＝3，故有α＋β＋γ＝3.答案：3[A 级 基础达标]1.下列说法中正确的是( )A ．任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底B ．空间的基底有且仅有一个C ．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底D ．基底{a ，b ，c }中基向量与基底{e ，f ，g }中基向量对应相等解析：选C.A 项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底；B 项中，空间基底有无数个；D 项中因为基底不惟一，所以D 错．故选C.2.O 、A 、B 、C 为空间四点，且向量OA →，OB →、OC →不能构成空间的一个基底，则( )A.OA →、OB →、OC →共线B.OA →、OB →共线C.OB →、OC →共线 D ．O 、A 、B 、C 四点共面解析：选D.由OA →、OB →、OC →不能构成基底知OA →、OB →、OC →三向量共面，所以O 、A 、B 、C四点共面．3.如图所示，已知A ，B ，C 三点不共线，P 为一定点，O 为平面ABC 外任一点，则下列能表示向量OP →的为( )A.OA →＋2AB →＋2AC →B.OA →－3AB →－2AC →C.OA →＋3AB →－5AC →D.OA →＋2AB →－3AC →解析：选C.连接AP (图略)．根据A 、B 、C 、P 四点共面的条件即可求得：AP →＝xAB →＋yAC →.即OP →＝OA →＋xAB →＋yAC →，由图知x ＝3，y ＝－5.4.设a 、b 、c 是三个不共面向量，现从①a ＋b ，②a －b ，③a ＋c ，④b ＋c ，⑤a ＋b －c 中选出一个使其与a 、b 构成空间向量的一个基底，则可以选择的向量为__________．(填写代号) 解析：根据基底的定义，∵a ，b ，c 不共面，∴a ＋c ，b ＋c ，a ＋b －c 都能与a ，b 构成基底．答案：③④⑤5.如图所示，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ⊥AC ，D ，E 分别为AA 1，B 1C的中点，若记AB →＝a ，AC →＝b ，AA 1→＝c ，则DE →＝__________(用a ，b ，c 表示)．解析：连接A 1E 、A 1C (图略)．DE →＝DA 1→＋A 1E →＝12AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1C →) ＝12AA 1→＋12(AB →＋AC →－AA 1→) ＝12c ＋12(a ＋b －c ) ＝12a ＋12b . 答案：12a ＋12b6.已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E ，F 分别为BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出DB 1→，DE →，DF→的坐标．解：设x 、y 、z 轴的单位向量分别为e 1、e 2、e 3，其方向与各轴上的正方向相同，则DB 1→＝DA →＋AB →＋BB 1→＝2e 1＋2e 2＋2e 3，∴DB 1→＝(2，2，2)．∵DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝2e 1＋2e 2＋e 3，∴DE →＝(2，2，1)．∵DF →＝e 2，∴DF →＝(0，1，0)．[B 级 能力提升]7.设命题p ：a 、b 、c 是三个非零向量；命题q ：{a ，b ，c }为空间的一个基底，则命题p 是命题q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.若{a ，b ，c }可以作为空间的一个基底，则a 、b 、c 不共面，所以a 、b 、c 必须均为非零向量，即q ⇒p ，但三个非零向量未必可以构成基底．8.若向量MA →，MB →，MC →的起点M 和终点A ，B ，C 互不重合且无三点共线，则能使向量MA →、MB →、MC →成为空间一组基底的关系是( )A.OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → B.MA →＝MB →＋MC →C.OM →＝OA →＋OB →＋OC →D.MA →＝2MB →－MC →解析：选C.对于选项A ，由结论OM →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ＋y ＋z ＝1)⇔M ，A ，B ，C 四点共面知，MA →，MB →，MC →共面；对于B ，D 选项，易知MA →、MB →、MC →共面，故只有选项C 中MA →、MB →、MC →不共面．9.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，用AC →，AB 1→，AD 1→作为基向量，则AC 1→＝________．解析：AC 1→＝AA 1→＋A 1B 1→＋B 1C 1→＝AA 1→＋AB →＋AD →＝12[(AA 1→＋AB →)＋(AA 1→＋AD →)＋(AB →＋AD →)] ＝12(AB 1→＋AD 1→＋AC →) ＝12AC →＋12AB 1→＋12AD 1→. 答案：12AC →＋12AB 1→＋12AD 1→ 10.如图，正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，点E 是上底面A ′B ′C ′D ′的中心，求下列各式中的x 、y 、z 的值：(1)BD ′→＝x AD →＋y AB →＋z AA ′→；(2)AE →＝x AD →＋y AB →＋z AA ′→.解：(1)∵BD ′→＝BD →＋DD ′→＝BA →＋AD →＋DD ′→＝－AB →＋AD →＋AA ′→，又BD ′→＝x AD →＋y AB →＋z AA ′→，∴x ＝1，y ＝－1，z ＝1.(2)∵AE →＝AA ′→＋A ′E →＝AA ′→＋12A ′C ′→ ＝AA ′→＋12()A ′B ′→＋A ′D ′→ ＝12AD →＋12AB →＋AA ′→， 又AE →＝x AD →＋y AB →＋z AA ′→.∴x ＝12，y ＝12，z ＝1. 11.(创新题)已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，{a ＋b ，a －b ，c }为空间的另一个基底，若向量p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(1，2，3)，试求向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标． 解：设向量p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标为(x ，y ，z )，则p ＝x (a ＋b )＋y (a －b )＋zc ＝(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋zc .又∵p 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(1，2，3)，即p ＝a ＋2b ＋3c ，∴(x ＋y )a ＋(x －y )b ＋zc ＝a ＋2b ＋3c ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝2，z ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝－12.z ＝3.∴p 在基底{a ＋b ，a －b ，c }下的坐标是⎝⎛⎭⎫32，－12，3.。