新高考数学二轮复习寒假作业二十六小题限时保分练__石家庄一模试题节选注意命题点分布文

河北省石家庄市（新版）2024高考数学人教版摸底(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题A，B，C是直线与函数（，）的图象的三个交点，如图所示．其中，点，B，C两点的横坐标分别为，若，则（）A．B．-1C．D．2第(2)题若函数的图象按向量平移后，得到函数的图象，则向量（）A．B．C．D．第(3)题已知函数，关于的不等式的解集为，则（）A．B．C．0D．1第(4)题已知锐角三角形的内角，，的对边分别为，，.且，则的取值范围为（）A．B．C．D．第(5)题已知，为单位向量，则“，的夹角为”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第(6)题已知函数，如图是直线与曲线的两个交点，，则（）A．0B．C．D．第(7)题将甲、乙等5名同学分配到3个社区进行志愿服务，要求每人只去一个社区，每个社区不能少于1人，且甲、乙在同一社区，则不同的安排方法数为（）A．54B．45C．36D．27第(8)题的展开式中第四项的系数为540，则的值为（）A．B．C．D．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题函数的图象是双曲线，且直线和是它的渐近线．已知函数，则下列说法正确的是（）A．，B．对称轴方程是C．实轴长为D．离心率为第(2)题对于函数，下列结论正确得是（）A．的值域为B．在单调递增C．的图象关于直线对称D ．的最小正周期为第(3)题如图所示的数表中，第1行是从1开始的正奇数，从第2行开始每个数是它肩上两个数之和．则下列说法正确的是（）A．第6行第1个数为192B．第10行的数从左到右构成公差为的等差数列C．第10行前10个数的和为D．数表中第2021行第2021个数为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题设等比数列的前n项和为，公比为q，若，，则________．第(2)题某公益社团有中学生36 人，大学生24 人，研究生16 人，现用分层抽样的方法从中抽取容量为19 的样本，则抽取的中学生的人数是___________ ．第(3)题已知，则________四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知动直线：与轴交于点，过点作直线，交轴于点，点满足，的轨迹为.（1）求的方程；（2）已知点，点，过作斜率为的直线交于，两点，延长，分别交于，两点，记直线的斜率为，求证：为定值.第(2)题已知是正项数列的前项和，满足，.(1)若，求正整数的值；(2)若，在与之间插入中从开始的连续项构成新数列，即为，求的前30项的和.第(3)题如图，底面是等腰梯形，，，点为的中点，以为边作正方形，且平面平面.（1）证明：平面平面.（2）求点到平面的距离.第(4)题中，，．（1）若，，求的长度；（2）若，，求的最大值．第(5)题已知函数.（1）求的极值；（2）若，且，证明：.。

2024年河北省石家庄市高考数学模拟试卷附解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{}2024180,Z A k k αα︒==-︒+⋅∈∣中的最大负角α为（）A ．2024-︒B ．224-︒C ．44-︒D ．24-︒2．已知()41i 1iz +=-，则z 的虚部为（）A ．2iB ．2i-C ．2-D ．23．已知平面内的向量a 在向量b 上的投影向量为12b，且1a b == ，则2a b - 的值为（）AB ．1C ．34D ．324．设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且3a -，2a ，4a 成等差数列，则2024S 与2024a 的关系是（）A ．2024202421S a =-B ．2024202421S a =+C ．2024202443S a =-D ．2024202441S a =+5．已知变量x 和y 的统计数据如表：x 12345y66788根据上表可得回归直线方程0.6y x a =+，据此可以预测当8x =时，y =（）A ．8.5B ．9C ．9.5D ．106．现将四名语文教师，三名心理教师，两名数学教师分配到三所不同学校，每个学校三人，要求每个学校既有心理教师又有语文教师，则不同的安排种数为（）A ．216B ．432C ．864D ．10807．已知椭圆221222:1(0),,x y C a b F F a b+=>>为左､右焦点，P 为椭圆上一点，1260F PF ∠=，直线:l y x t =-+经过点P .若点2F 关于l 的对称点在线段1F P 的延长线上，则C 的离心率是（）A ．13B ．22C ．12D ．238．已知函数()xf x x =，()0,x ∈+∞，则下列命题不正确的是（）A ．()f x 有且只有一个极值点B ．()f x 在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增C ．存在实数()0,a ∈+∞，使得()1ef a =D ．()f x 有最小值1e1e二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法中，正确的是（）A ．一组数据10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第40百分位数为12B ．两组样本数据1x ，2x ，3x ，4x 和1y ，2y ，3y ，4y 的方差分别为21s ，22s ，若已知10i i x y +=（1,2,3,4i =），则2212s s =C ．已知随机变量X 服从正态分布()2,N μσ，若()()261P X P X ≥-+≥=，则2μ=D ．已知一系列样本点(),i i x y （1,2,3,i =⋅⋅⋅）的回归方程为ˆˆ3y x a =+，若样本点(),3m 与()2,n 的残差（残差＝实际值i y －模型预测值ˆy）相等，则310m n +=10．若关于x 的不等式22e 2ln x x ax x x -+-≥在()0+∞，上恒成立，则实数a 的值可以是（）A ．1eB ．12C ．e 3D ．211．已知定义在实数集R 上的函数()f x ，其导函数为()f x '，且满足()()()f x y f x f y xy +=++，()()110,12f f '==，则（）A ．()f x 的图像关于点()1,0成中心对称B ．()322f '=C ．()202410122023f =⨯D ．20241()10122024k f k ='=⨯∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知集合{}{}22230,0,M x x x N x x ax x =--<=-<∈Z ，若集合M N ⋂恰有两个元素，则实数a 的取值范围是.13．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点P ，若213PF PF =，则双曲线的离心率为.14．如图，在梯形ABCD 中，190,22ABC BAD AB BC AD ∠=∠====，将BAC 沿直线AC 翻折至1B AC △的位置，13AM MB =，当三棱锥1B ACD -的体积最大时，过点M 的平面截三棱锥1B ACD -的外接球所得的截面面积的最小值是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知函数()e e axf x x b =--在0x =处的切线为x 轴．(1)求,a b 的值；(2)求()f x 的单调区间．16．如图，三棱锥A BCD -中，,,,AD CD AD CD ADB BDC E ∠∠⊥==为线段AC 的中点.(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设3,2,0AB BD BF FD EF BD ===⋅=，求直线CF 与平面ABC 所成角的正弦值.17．有无穷多个首项均为1的等差数列，记第()*N n n ∈个等差数列的第()N,2m m m ∈≥项为()m a n ，公差为()0n n d d >.(1)若()()22212a a -=，求21d d -的值；(2)若m 为给定的值，且对任意n 有()()12m m a n a n +=，证明：存在实数,λμ，满足1λμ+=，10012d d d λμ=+；(3)若{}n d 为等比数列，证明：()()()()()1122mm m m m a a n n a a a n +⎡⎤⎣⎦+++≤ .18．设椭圆E ：22221x y a b +=()0a b >>经过点()2,1P -，且离心率e =:3m x =垂直x 轴交x 轴于T ，过T 的直线l 1交椭圆E 于()11,A x y ，()22,B x y 两点，连接PA ，PB ，PT ．(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k ．（ⅰ）求12k k +的值；（ⅱ）如图：过P 作x 轴的垂线l ，过A 作PT 的平行线分别交PB ，l 于M ，N ，求||||MN MA 的值．19．在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式00型或∞∞型极限的一种重要方法，其含义为：若函数()f x 和()g x 满足下列条件：①()lim 0x a f x →=且()lim 0x a g x →=（或()lim x a f x →=∞，()lim x ag x →=∞）；②在点a 的附近区域内两者都可导，且()0g x '≠；③()()lim x af x Ag x →'='（A 可为实数，也可为±∞），则()()()()limlimx ax af x f x Ag x g x →→'=='．(1)用洛必达法则求0limsin x xx→；(2)函数()()232112!3!21!n x x x f x x n -=+++++- （2n ≥，*n ∈N ），判断并说明()f x 的零点个数；(3)已知()()2cos g x g x x =⋅，()01g =，ππ,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，求()g x 的解析式．参考公式：()()lim lim x a x af x f x →→=，()()lim lim x a x a kf x k f x →→=．1．C【分析】利用任意角的定义与集合A 所表示的角即可得解.【详解】因为04420211481︒=-︒-⨯︒-，所以集合{}2024180,Z A k k αα︒==-︒+⋅∈∣中的最大负角α为44-︒.故选：C.2．D【分析】利用复数的乘方运算和四则运算法则求出复数z ，继而得z 的虚部.【详解】由()42221i [(1i)](2i)4(1i)2(1i)22i 1i 1i 1i (1i)(1i)z ++-+=====-+=------+，则22i z =-+，z 的虚部为2.故选：D.3．A【分析】先根据条件，确定向量的夹角，再根据向量数量积的性质求模.【详解】因为2·1·2a b b b b = ⇒2·12a b b= ，又1a b == ，所以·12·a b a b =⇒1cos ,2a b = ⇒,60a b =︒ .所以：()2222a b a b-=-= 2214·41411432a ab b -+=-⨯⨯⨯+=，所以2a b -= 故选：A 4．A【分析】先利用等比数列的通项公式列方程求公比，然后求出2024S 和2024a 观察它们之间的关系即可.【详解】设正项等比数列{}n a 的公比为q ，0q >因为3a -，2a ，4a 成等差数列，所以2342a a a =-+，所以232q q q =-+，解得2q =，所以()20241202420241211a q S q-==--，20232023202412a a q==，则2024202421S a =-.故选：A.5．D【分析】根据给定的数表，求出样本的中心点，进而求出a 即可得解.【详解】依题意，1234535x ++++==，6678875y ++++==，即样本的中心点为(3,7)，于是70.63a =⨯+，解得 5.2a =，即0.6 5.2y x =+，当8x =时，预测0.68 5.210y =⨯+=.故选：D 6．B【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合分组分配列式计算得解.【详解】求不同的安排种数需要分成3步，把3名心理教师分配到三所学校，有33A 种方法，再把4名语文教师按2:1:1分成3组，并分配到三所学校，有2343C A 种方法，最后把2名数学教师分配到只有1名语文教师的两所学校，有22A 种方法，由分步乘法计数原理得不同的安排种数为32323432A C A A 432⋅⋅=.故选：B 7．B【分析】根据题意，得到点M 与点2F 关于PH 对称，从而2120F PM ∠=，在12PF F △中，利用正弦定理得到121212sin15sin105sin PF PF F F F PF +=+∠ ，结合sin 60sin15sin105c e a ==+，即可求解.【详解】由直线:l y x t =-+，且点2F 关于l 的对称点在线段1F P 的延长线上，如图所示，可得点M 与点2F 关于PH 对称，且1260F PF ∠=,故在2PF M 中，则2120F PM ∠= ,故230PF M ∠=又PH 的倾斜角为135 ，则245HF M ∠=，故在12PF F △中，有1260F PF ∠= ，21105PF F ∠=，1215PF F ∠= ，又由1212211212sin sin sin PF PF F F PF F PF F F PF ==∠∠∠，可得121212sin15sin105sin PF PF F F F PF +=+∠，即1222sin15sin105sin a cF PF =+∠ ，又因为1sin15sin(4530)22224=-⨯-⨯=，1sin105sin(6045)2=++ ，所以sin 602sin15sin1052c e a ===+.故选：B.8．C【分析】由条件可得函数ln z x x =可以看作为函数ln z y =与函数x y x =的复合函数，然后求导判断其单调性与极值，即可得到结果.【详解】由x y x =得ln ln y x x =，令ln z x x =，则函数ln z x x =可以看作为函数ln z y =与函数x y x =的复合函数，因为ln z y =为增函数，所以ln z x x =与x y x =单调性、图象变换等基本一致，ln 1z x '=+，由0z '=得1ex =，列表如下：x10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭1e 1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭z '－＋z1e-由表知，ln z x x =在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，在1ex =时，取得极小值（最小值）1e -，所以()xf x x =在1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增，即B 正确；在1e x =时，取得唯一极值（极小值，也是最小值）1e 1e e->，即A 、D 都正确，C 错误.故选：C 9．BC【分析】A 选项，根据百分位数的运算公式得到答案；B 选项，利用平均数定义得到10y x =-，根据方差的计算公式得到()()()()2222123422214s x x x x x x x xs -++-++-++-+==；C 选项，由正态分布的对称性得到C 正确；D 选项，由题意得到()()ˆˆ336m an a -+=-+，得到D 错误.【详解】A 选项，0010404⨯=，故从小到大从第4个和第5个数的平均数作为第40百分位数，即121312.52+=，A 错误；B 选项，12344x x x x x +++=，12344y y y y y +++=，因为10i i x y +=，（1,2,3,4i =），故123410101010104x x x x y x -+-+-+-==-，故()()()()22221423124s x x x x x x x x-+-+--=+，()()()()2222123422*********s y x y x y x y x-++-++-++-+=()()()()2222123410101010101010104x x x x x x x x --++--++--++--+=()()()()222212344x x x x x x x x-++-++-++-+=，故2212s s =，B 正确；C 选项，因为()2,X N μσ ，()()261P X P X ≥-+≥=，2,6X X =-=关于x μ=对称，所以2622μ-+==，C 正确；D 选项，由题意得()()ˆˆ336m an a -+=-+，整理得39m n +=，D 错误.故选：BC 10．AB【分析】根据题意分12a ≤和12a >两种情况讨论，当12a ≤时，有222ln e e 12ln 1ln e 1ln x x x x ax x x x x x x x----+-++-+=+-+≥，通过求导，判断函数的单调性，确定函数的最值得出2ln e 1ln 0x x x x --+-+≥结论验证；当12a >时，令()2ln u x x x =--，求导判断出函数存在零点设为0x ，即可判断020000e 12ln (12)0x ax x a x x -+-+=-<，最后综合得出a 的取值范围.【详解】依题意，2e 12ln 0x ax x x -+-+≥在()0+∞，上恒成立，当12a ≤时，222ln e e 12ln 1ln e 1ln x x x x ax x x x x x x x----+-++-+=+-+≥，令2ln t x x =--，则()e 1t h t t =--，()e 1t h t '=-，故当t (,0)∈-∞时，()0h t '<，当(0,)t ∈+∞时，()0h t '>，故()(0)0h t h >=，故2ln e 1ln 0x x x x --+-+≥，则不等式成立；当12a >时，令()2ln u x x x =--，因为(1)10u =-<，(4)22ln 20u =->，故()x μ在()1,4内必有零点，设为0x ，则002ln x x -=，则020ex x -=，故020000e 12ln (12)0x ax x a x x -+-+=-<，不合题意，舍去；综上所述，12a ≤.故选：AB.【点睛】恒成立问题求参数注意分类讨论；适当的构造函数通过函数的最值分析参数的取值.11．BCD【分析】对A 、B ，利用赋值法进行计算即可得；对C 、D ，利用赋值法后结合数列的性质进行相应的累加及等差数列公式法求和即可得.【详解】对A ：令0x y ==，则有()()()0000f f f =++，即()00f =，令1x y ==，则有()()()2111f f f =++，又()10f =，故()21f =，()f x 不关于()1,0对称，故A 错误；对于B ，令1y =，则有()()()()11f x f x f x f x x +=++=+，两边同时求导，得()()11f x f x +='+'，令1x =，则有()()13211122f f =+=+=''，故B 正确；对C ：令1y =，则有()()()11f x f x f x +=++，即()()1f x f x x +-=，则()()()()()()()2024202420232023202211f f f f f f f =-+-+-+ ()2023120232023202210101220232+⨯=++++==⨯ ，故C 正确；对D ：令1y =，则有()()()11f x f x f x +=++，即()()1f x f x x +=+，则()()11f x f x +='+'，即()()11f x f x +-'='，又()112f '=，故()11122f k k k -'=+=-，则()20241112024202422101220242k f k =⎛⎫+-⨯ ⎪⎝⎭==⨯'∑，故D 正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题C 、D 选项关键在于利用赋值法，结合数列的性质进行相应的累加及等差数列公式法求和.12．(2,)+∞【分析】解二次不等式化简集合M ，再利用二次不等式解的形式与交集的结果即可得解.【详解】因为{}2230{13}M x x x xx =--<=-<<∣，{}20,{()0,}N x x ax x x x x a x =-<∈=-<∈Z Z ∣，又集合M N ⋂恰有两个元素，所以M N ⋂恰有两个元素1和2，所以2a >.故答案为：(2,)+∞.13【分析】设过2F 与双曲线的一条渐近线by x a=平行的直线交双曲线于点P ，运用双曲线的定义和条件可得1||3PF a =，2||PF a =，12||2F F c =，再由渐近线的斜率和余弦定理，结合离心率公式，计算即可得到所求值．【详解】解：设过2F 与双曲线的一条渐近线b y x a=平行的直线交双曲线于点P ，由双曲线的定义可得12||||2PF PF a -=，由12||3||PF PF =，可得1||3PF a =，2||PF a =，12||2F F c =，由12tan b F F P a ∠=可得12cos a F F P c ∠=，在三角形12PF F 中，由余弦定理可得：222121221212||||||2||||cos PF PF F F PF F F F F P =+-∠ ，即有2229422aa a c a c c=+- ，化简可得，223c a =，则双曲线的离心率==c e a【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用双曲线的渐近线方程和定义法，以及余弦定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．14．3π4【分析】当三棱锥1B ACD -的体积最大时，此时1B 到底面ACD 的距离最大，即此时平面1⊥B AC 平面ACD ，取AC 的中点E ，AD 的中点O ，O 是三棱锥1B ACD -的外接球球心，当且仅当过点M 的平面与OM 垂直时，截外接球的截面面积最小，此时，截面的圆心就是点M ，从而求解.【详解】当三棱锥1B ACD -的体积最大时，由于底面ACD 的面积是定值，所以此时1B 到底面ACD 的距离最大，平面1⊥B AC 平面ACD ，且平面1B AC 平面ACD AC =，取AC 的中点E ，则1B E AC ⊥，故1B E ⊥平面ACD ，取AD 的中点O，则OE =1B E =1π2B EO ∠=，则12OB =，又∵2OA OD OC ===，故O 是三棱锥1B ACD -的外接球球心，且该外接球的半径2R =；显然，当且仅当过点M 的平面与OM 垂直时，截外接球的截面面积最小，此时，截面的圆心就是点M ，记其半径为r ，则222R OM r ==+；由于AC CD ⊥，CD ⊂平面ACD ，所以CD ⊥平面1B AC ，而1AB ⊂平面1B AC ，则1CD AB ⊥，则1π2AB D ∠=，在1B AD 中，12,4B A AD ==，故1π3B AD ∠=；又13AM MB = ，故12AM =，又2OA =，故由余弦定理有211π13422cos 4234OM =+-⨯⨯⨯=，∴22234r R OM =-=，故所求面积为3π4.故答案为：3π4【点睛】关键点点睛：取AD 的中点O ，由12OA OD OC OB ====，确定点O O 是三棱锥1B ACD -的外接球球心.15．(1)e a =，1b =(2)单调递减区间为(),0∞-，单调递增区间为()0,∞+【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得()00f =且()00f '=，即可得到方程组，解得即可；（2）求出函数的导函数()f x '，再利用导数说明()f x '的单调性，即可求出()f x 的单调区间.【详解】（1）因为()e e ax f x x b =--，所以()e e ax f x a '=-，依题意()00f =且()00f '=，所以00e 0e e 0b a ⎧-=⎨-=⎩，解得e 1a b =⎧⎨=⎩.（2）由（1）可得()e e e 1x f x x =--函数的定义域为R ，又()()e 1e e e e e 1x xf x +'=-=-，令()()e 1e e xg x f x +'==-，则()e 2e0x g x +'=>，所以()g x （()f x '）在定义域R 上单调递增，又()00f '=，所以当0x <时()0f x '<，当0x >时()0f x ¢>，所以()f x 的单调递减区间为(),0∞-，单调递增区间为()0,∞+.16．(1)证明见解析(2)15【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一及全等三角形的性质，利用线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即可求解；（2）利用线面垂直的判定定理及性质定理，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，分别求出直线CF 的方向向量与平面ABC 的法向量，利用向量的夹角公式，结合向量的夹角与线面角的关系即可求解.【详解】（1）因为DA DC =，E 为线段AC 的中点，所以DE AC⊥因为DA DC =，DB DB =，ADB CDB ∠=∠，所以ADB CDB ≌，故AB CB =．又E 为线段AC 的中点，所以BE AC ⊥．又DE BE E ⋂=，,DE BE ⊂平面BED .所以AC ⊥平面BED又AC ⊂平面ACD ，所以平面BED ⊥平面ACD ．（2）取DA 的中点G ，连接EG ，BG ，因为EG 为中位线，所以//EG CD ，又AD CD ⊥，所以AD EG ⊥．因为AB BD =，G 为DA 的中点，所以AD BG ⊥．又⋂=EG BG G ，,EG BG ⊂平面BEG ，所以AD ⊥平面BEG ，BE ⊂平面BEG ，所以AD BE ⊥，因为BA BC =，E 为AC 的中点，所以AC BE ⊥，又AC AD A = ，,AC AD ⊂平面ACD ，所以BE ⊥平面ACD ．以E 为坐标原点，分别以EA 、EB 、ED 所在的直线为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系E xyz -，如图所示设(),0,0A a ，(),0,0B b ，则()0,0,0E ，()0,0,D a ，()0,,0B b ，20,,33b a F ⎛⎫ ⎪⎝⎭．20,,33b a EF ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0,,BD b a =- ，由22222||92033AB a b b a EF BD ⎧=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，解得a b ⎧⎪⎨=⎪⎩．所以,33CF ⎫=⎪⎪⎭.又平面ABC 的法向量()0,0,1n = ．设直线CF 与平面ABC 所成角为θ，则232153sin cos ,15CF n CF n CF nθ⋅===⋅ ,所以直线CF 与平面ABC.17．(1)212d d -=；(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）代入等差数列的通项公式，即可求解；（2）根据已知条件，代入等差数列的通项公式，得到数列{}n d 的递推公式，再通过构造得到数列{}n d 的通项公式，并根据（1）的结果，证明等式；（3）根据题意，结合等差数列和等比数列的综合应用，首先证明()()()()11m m m m a n i a i a n a +-+≤+，再利用求和，即可证明.【详解】（1）由题意得()()()2221212111a a d d d d -=+-+=-，又()()22212a a -=，所以212d d -=；（2）证明：因为()()12m m a n a n +=，所以()()111211n n m d m d ++-=+-⎡⎤⎣⎦，即1121n n d d m +=+-，所以111211n n d d m m +⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，因此99100111211d d m m ⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭，所以99100111211d d m m ⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭，又21121d d m =+-，即21121d d m =--，因此()()()()99999910012121122222221d d d d d d d d =+---=-+-，所以存在实数999922,21λμ=-=-，满足100121,d d d λμλμ+==+；（3）证明：因为{}n d 为等比数列，所以11n n d d q -=，其中q 为{}n d 的公比，于是()()1111n m a n m d q -=+-，当1i n ≤≤时，()()()()11m m m m a n i a i a n a +-+-+⎡⎤⎣⎦()()11111n i i n m d q q q ---=-+--()()()11111n i i m d q q --=----，因为0,0,10q n i i >-≥-≥，因此()()1110m i i q q ----≥，又()110m d --<，所以()()()()11m m m m a n i a i a n a +-+≤+，因此()()()()111nm m m m m a n i a i n a n a =+-+≤+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦∑，即()()()()()2121m m m m m a a a n n a n a +++≤+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ，所以()()()()()1122mm m m n a a n n a a a n +⎡⎤⎣⎦+++≤ .【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用题意，并能正确表示()m a n 和公差为n d .18．(1)22163x y +=(2)（i ）2；（ii ）1【分析】（1）根据条件，列出关于,,a b c 的方程组，利用待定系数法，即可求解；（2）（ⅰ）首先设直线1l 的方程，并联立椭圆方程，转化为关于斜率的一元二次方程，利用韦达定理，即可求解；（ⅱ）首先设直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ,根据正弦定理利用角表示边长MN ，AN ，再求比值，利用（ⅰ）的结论，即可求解.【详解】（1）由题意知2222241122a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得ab c ==所以椭圆E 的方程为22163x y +=；（2）（ⅰ）易知()3,0T ，1PT k =，11112y k x +=-，22212y k x +=-，设直线1l 的方程为()()211m x n y -++=，由直线1l 过()3,0T 知1m n +=，联立方程()()22163210x y m x n y ⎧+=⎪⎨⎪-++=⎩得()()()()()()()2224144211420n y n m x y m x -++--+++-=，变形得：()()211244414022y y n n m m x x ++⎛⎫-+-++= ⎪--⎝⎭，即()1244144842424242n n n m n k k n n n ----+====---；（ⅱ）设直线,PA PB 的倾斜角分别为,αβ,则1tan k α=，2tan k β=，5π4NMP β∠=-，π2MPN β∠=-,π4PAN α∠=-，π2APN α∠=-，在PMN 中，πsin sin πsin 2sin 4PN PNMN MPN NMP ββ⎛⎫=∠=- ⎪∠⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，在PAN △中，πsin sin πsin 2sin 4PN PN AN APN PAN αα⎛⎫=∠=- ⎪∠⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭，所以()ππsin sin cos sin cos tan 1242ππtan 1sin sin 422MN AN βαβαααββα⎛⎫⎛⎫-⋅--- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭===--⎛⎫⎛⎫-⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由122k k +=知，tan tan 2αβ+=，即tan 11tan 1αβ-=--，故1MNAN =..【点睛】关键点点睛：本题第一问的转化比较巧妙，转化为关于斜率的方程，利用韦达定理即可求解，第二问巧妙设倾斜角，利用三角函数表示MN AN 的值.19．(1)1(2)仅在(),0x ∈-∞时存在1个零点，理由见解析(3)()()()sin ,π,00,π,1,0.x x g x x x ⎧∈-⋃⎪=⎨⎪=⎩【分析】（1）利用洛必达法则求解即可；（2）构造函数()e x f x ，结合()e xf x 的单调性求解即可；（3）利用累乘法求出()2n g x x g ⎛⎫ ⎪⎝⎭的表达式，然后结合()01g =，利用洛必达法则求极限即可.【详解】（1）001lim lim 1sin cos x x x x x →→==（2）()()2321123!21!n x x x f x x n -=+++++- ，()()232212!3!22!n x x x f x x n -'=+++++- ，所以()()()2121!n x f x f x n -'-=--，()()()()21e e e 21!n x x xf x f x f x x n -⎡⎤'-='=-⎢⎥-⎣⎦．当0x >时，()0e x f x ⎡⎤'<⎢⎥⎣⎦，函数()e x f x 在()0,∞+上单调递减，当0x <时，()0e x f x ⎡⎤'>⎢⎥⎣⎦，函数()e x f x 在(),0∞-上单调递增，()lime xx f x →-∞=-∞，()01f =，当0x >时，()0e x f x >，所以仅在(),0x ∈-∞时存在1个零点．（3）()()2cos g x x g x =，所以()cos 22g x x x g =⎛⎫ ⎪⎝⎭，2cos 44x g x x g ⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭，…，12cos 22n n n x g x x g -⎛⎫ ⎪⎝⎭=⎛⎫ ⎪⎝⎭将各式相乘得()cos cos cos 2422n n g x x x x x g =⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭ cos cos cos sin 1sin 24222sin sin 22n n n n nx x xxx x x ⋅⋅⋅⋅=⋅ ，两侧同时运算极限，所以()1sin sin 22lim lim lim sin sin 222n n n n n n n n x x g x x x x x x g →+∞→+∞→+∞⋅==⋅⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()()sin 2lim 0sin 2n n n x g x x xg x →+∞=，令2nx t =，原式可化为()()0sin lim 0sin t g x x t g x t →=，又()01g =，由（1）得0lim1sin t t t →=，故()()sin 0x g x x x=≠，由题意函数()g x 的定义域为()π,π-，综上，()()()sin ,π,00,π,1,0.x x g x x x ⎧∈-⋃⎪=⎨⎪=⎩【点睛】方法点睛：本题考查新定义，注意理解新定义，结合洛必达法则的适用条件，构造函数()2n g x x g ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而利用洛必达法则求极限.。

2023年河北省石家庄市高考数学一模试卷1. 设全集，若集合M满足，则( )A. B. C. D.2. 已知复数，则( )A. B. C. D.3. 为实现乡村生态振兴，走乡村绿色发展之路，乡政府采用按比例分层抽样的方式从甲村和乙村抽取部分村民参与环保调研，已知甲村和乙村人数之比是3：1，被抽到的参与环保调研的村民中，甲村的人数比乙村多8人，则参加调研的总人数是( )A. 16B. 24C. 32D. 404. 函数的大致图象为( )A. B. C.D.5. 已知非零向量满足，则在方向上的投影向量为( )A. B. C. D.6. 中国古代许多著名数学家对推导高阶等差数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，所讨论的二阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是后项减前项之差组成的新数列是等差数列．现有一个“堆垛”，共50层，第一层2个小球，第二层5个小球，第三层10个小球，第四层17个小球，…，按此规律，则第50层小球的个数为( )A. 2400B. 2401C. 2500D. 25017. 已知圆台的上、下底面圆的半径之比为，侧面积为，在圆台的内部有一球O，该球与圆台的上、下底面及母线均相切，则球O的表面积为( )A. B. C. D.8. 已知在上有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是( )A. B. C. D.9. 在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则x的值可以是( )A. B. C. 0 D.10. 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数之和是6”，事件“第一次掷出的点数是奇数”，事件“两次掷出的点数相同”，则( )A. A与B互斥B. B与C相互独立C.D.11. 已知抛物线C：的焦点为F，过点分别向抛物线C与圆F：作切线，切点为分别为P，不同于坐标原点，则下列判断正确的是( )A. B. C. P，Q，F三点共线 D.12. 定义：对于定义在区间I上的函数和正数，若存在正数M，使得不等式对任意，恒成立，则称函数在区间I上满足阶李普希兹条件，则下列说法正确的有( )A. 函数在上满足阶李普希兹条件B. 若函数在上满足一阶李普希兹条件，则M的最小值为2C. 若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且方程在区间上有解，则是方程在区间上的唯一解D. 若函数在上满足的一阶李普希兹条件，且，则存在满足条件的函数，存在，，使得13. 某工厂生产的一批电子元件质量指标X服从正态分布，且，若从这批电子原件中随机选取一件产品，则其质量指标小于2的概率为______ .14. 已知，则______ .15.已知椭圆的左、右焦点分别为，，过的直线与C交于P，Q两点，若，且，则椭圆C的离心率为______ .16. 长方体中，，，平面与直线的交点为M，现将绕旋转一周，在旋转过程中，动直线CM与底面内任一直线所成最小角记为，则的最大值是______ .17. 已知等比数列的前n项和为求数列的通项公式；设数列满足，求数列的前n项和18. 已知内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，求B；若为锐角三角形，且，求面积的取值范围.19. 为丰富学生的课外活动，学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛，赛制采取5局3胜制，每局都是单打模式，每队有5名队员，比赛中每个队员至多上场一次且上场顺序是随机的，每局比赛结果互不影响，经过小组赛后，最终甲乙两队进入最后的决赛，根据前期比赛的数据统计，甲队明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为，甲队其余4名队员对乙队每名队员的胜率均为注：比赛结果没有平局求甲队明星队员M在前四局比赛中不出场的前提下，甲乙两队比赛4局，甲队最终获胜的概率；求甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利的概率；若已知甲乙两队比赛3局，甲队获得最终胜利，求甲队明星队员M上场的概率.20. 如图，在▱ABCD中，，，将沿BD折起，使得点A到达点P处，如图若，求证：；若，求平面PDC与平面PBC夹角的余弦值.21. 已知函数当时，求的极小值.若有两个零点，求实数a的取值范围.22. 已知双曲线：，F为双曲线的右焦点，过F作直线交双曲线于A，B 两点，过F点且与直线垂直的直线交直线于P点，直线OP交双曲线于M，N两点.若直线OP的斜率为，求的值；设直线AB，AP，AM，AN的斜率分别为，，，，且，，记，，，试探究v与u，w满足的方程关系，并将v用w，u表示出来.答案和解析1.【答案】C【解析】解：由题意可得：，显然4是M中的元素，故ABD错误，C正确．故选：根据元素与集合的关系及补集运算即可．本题考查元素与集合的关系及补集概念，属基础题．2.【答案】B【解析】解：故选：利用复数乘法的几何意义求复数的模即可．本题考查复数的运算，属基础题．3.【答案】A【解析】解：设被抽取参与调研的乙村村民有x人，则甲村被抽取参与调研的有3x人，所以，即，所以参加调研的总人数为故选：根据分层抽样的要求计算即可．本题考查分层抽样的概念，属基础题．4.【答案】A【解析】解：由，故函数为非奇非偶函数，排除B、C；由，，所以，即可排除故选：应用定义判断函数奇偶性，比较，结合排除法即可得答案．本题考查函数的图象问题，函数的奇偶性，特值点，属中档题．5.【答案】B【解析】解：，，可得，所以在方向上的投影向量为故选：由已知可得，根据投影向量的定义及数量积的运算律求投影向量即可．本题考查向量数量积的运算，向量数量积的性质，投影向量的概念，属基础题．6.【答案】D【解析】解：不妨设第n层小球个数为，由题意，，……，即各层小球之差成以3为首项，2为公差的等差数列，所以，故有，累加可得：，故故选：依据等差数列的定义与求和公式，累加法计算即可．本题考查数列的应用，累加法的应用，属基础题．7.【答案】C【解析】解：设圆台的上底面圆半径为r，则底面圆半径为2r，母线长为l，如图所示，作出圆台与球的轴截面．由于球O与圆台的上下底面及母线均相切，故根据圆台的侧面积公式，可得，所以球的直径为，故半径为，表面积为：故选：由圆台的侧面积公式及球的表面积公式计算即可．本题考查圆台的内切球问题，球的表面积公式的应用，方程思想，属基础题．8.【答案】D【解析】解：，且，，两边取对数可得，根据题意可得与在上有两个交点，设，则，，当时，，单调递增；当时，，单调递减，，且时，；时，，要使与在上有两个交点，则，，故选：根据题意可得，两边取对数可得，从而根据题意可得与在上有两个交点，设，再利用导数研究的单调性及最值，从而建立不等式，即可求解．本题考查方程的解的个数问题，利用导数研究函数的单调性，数形转化思想，属中档题．9.【答案】BC【解析】解：根据三角函数的定义可得：，解得或，故选：根据三角函数的定义，建立方程，即可求解．本题考查三角函数的定义，方程思想，属基础题．10.【答案】BD【解析】解：对于A项，互斥事件指不可能同时发生的两个事件，事件A可以有以下情况：第一次掷出1，第二次掷出5或第一次掷出3，第二次掷出3等，如此与事件B有同时发生的可能，故A错误；对于B项，，，故B正确；对于C项，易知，故C错误；对于D项，点数和为6，且两次点数相同仅有都是3点一种情况，故，故D项正确．故选：对于A、B选项，根据事件的对立与互斥定义即可分辨；对于C、D选项利用概率公式计算即可．本题考查互斥事件与独立事件的概念，古典概型的概率公式的应用，属基础题．11.【答案】ABC【解析】解：由题意可知抛物线的焦点，要求P，Q不同于一点，所以切线MP，MQ的斜率存在，且直线PM的斜率不为0，设抛物线的切线方程为，设，则P在x轴上方，，圆的切线方程为，Q在x轴上方，联立，整理可得，可得，即，则，且，，即；联立，整理可得：，由题意可得，即，且，，，对于A：，，故A正确；对于B：，，故B正确；对于C：，，，，Q，F三点共线，故C正确；对于D：，，，故D不正确．故选：设抛物线的切线方程为，设，则P在x轴上方，，圆的切线方程为，Q在x轴上方，分别与抛物线联立方程组求得点P，Q的坐标，进而结合每个选项的条件进行计算可判断结论．本题考查抛物的性质，考查直线与抛物线位置关系，考查运算求解能力，属中档题．12.【答案】ABC【解析】解：对于A，假设函数在上满足阶李普希兹条件，则，设，则，，又因为，所以存在正数，对，均有成立，故A正确；B选项：不妨设，因为在上单调递增，所以，所以，即为，即对，，恒成立，即在上单调递减，所以对恒成立，所以对恒成立，即，即M的最小值为2，B选项正确；C选项：假设方程在区间上有两个解，t，则，这与矛盾，故只有唯一解，C选项正确；D选项：不妨设，当时，；当时，，故对，，，不存在，使，，D选项错误．故选：根据李普希兹条件的概念直接可以判断AB选项；再利用反证法判断C选项；通过分类讨论可判断D选项．本题属于新概念题，考查了函数恒成立问题、运算能力及逻辑推理能力，理解定义是关键，属于中档题．13.【答案】【解析】解：由题设，故，所以故答案为：由正态分布的性质知，结合即可求概率．本题主要考查了正态分布曲线的对称性，属于基础题．14.【答案】【解析】解：由由，则，故，所以故答案为：利用诱导公式、二倍角正弦公式找到目标式与已知函数的关系，应用同角三角函数关系求得，即可求值．本题主要考查了诱导公式，二倍角公式及同角基本关系的应用，属于中档题．15.【答案】【解析】解：设，则，，，，椭圆的焦距为2c，可得，解得，由，，由勾股定理可得：，可得，得故答案为：由，且，设，由椭圆的定义可得，的表达式，由勾股定理可得m，a的关系，进而可得c，a的关系，求出椭圆的离心率．本题考查椭圆的性质的应用及勾股定理的应用，属中档题．16.【答案】【解析】解：由题意，为动直线CM与底面所成角，只需求旋转过程中直线CM与面所成角的最大角即可，又面面ABCD，只需求直线CM与面ABCD最大夹角正弦值，过C作，交延长线于M，连接，显然，所以，故为平行四边形，则，，，所以为等腰三角形，过M作于H，则H必在线段上，综上，绕旋转过程中，M点轨迹是以H为圆心，MH为半径的圆上，设，则，故，所以，解得，则，，绕旋转过程中，CM是为轴，圆H为底面的圆锥的母线，所以为圆锥轴截面顶角的一半，且恒定不变，又，，而直线与面ABCD夹角为，且，，令，则，而，令，则，而，综上，，故的最大值是故答案为：根据题设，将问题转化为求直线CM与面ABCD夹角最大值，利用平面的基本性质找到M点位置，并确定其轨迹为圆锥底面圆周，进而确定圆锥轴线与面ABCD的夹角、CM与圆锥轴线的夹角，利用和差角正余弦公式求它们的差、和正余弦值，即可确定的最值．本题主要考查了直线与平面所成的角，考查了学生的空间想象能力，属于中档题．17.【答案】解：设的公比为q，由题知，所以，两式相除得，，所以，，；由知，，【解析】由已知结合等比数列的通项公式及求和公式即可求解；先求出，然后利用裂项求和即可求解．本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，还考查了裂项求和方法的应用，属于中档题．18.【答案】解：由余弦定理得，即，所以，又，则法一：为锐角三角形，，则，所以，可得，又，则，故由，即，而，所以，故面积的取值范围为法二：由，画出如图所示三角形，为锐角三角形，点A落在线段端点，除外上，当时，，当时，，【解析】利用余弦定理可得，结合三角形内角性质求角的大小；法一：由已知可得，应用正弦边角关系及三角形面积公式可得，即可得范围；法二：根据三角形为锐角三角形，应用几何法找到边界情况求面积的范围．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．19.【答案】解：设事件“甲乙两队比赛4局甲队最终获胜”，设事件“甲队第j局获胜”，其中，2，3，4，相互独立，又甲队明星队员M前四局不出场，故，又，；设C为甲3局获得最终胜利，D为前3局甲队明星队员M上场比赛，则由全概率公式可知：，每名队员上场顺序随机，，又，，，；根据贝叶斯公式可得：【解析】根据独立事件的积事件的概率乘法公式，互斥事件的并事件的概率加法公式，即可求解；根据条件概率公式，全概率公式，即可求解；根据贝叶斯公式，即可求解．本题考查独立事件的积事件的概率乘法公式，互斥事件的并事件的概率加法公式，条件概率公式，全概率公式，贝叶斯公式，属中档题．20.【答案】解：证明：平行四边形ABCD中，，可得，，，又，，，又，，平面BDC，；方法一：如图，过点D做，且，连接PF，CF，由题意可知，，，，平面PDF，，，，又平面BCFD，平面平面PDF，取DF中点O，连接PO，由，得，平面BCFD，且，过O点作OM垂直于DF，建立如图所示的空间直角坐标系，由题可得，，，，，设平面PBC的法向量为，平面PDC的法向量为，，令，则，故平面PBC的一个法向量为，同理，令，则，故平面PDC的一个法向量为，所以平面PDC与平面PBC夹角的余弦值为方法二：由，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，设其中，，，解得，，，设平面PDC的法向量为，平面PBC的法向量为，，令，则，故平面PDC的一个法向量为；同理，令，则，故平面PBC的一个法向量为，又因为两个平面的夹角范围为：，所以平面PDC与平面PBC夹角的余弦值为，故平面PDC与平面PBC夹角的余弦值为【解析】利用勾股定理可得，继而可得面BDC，如此得证；方法一、建立P点及其在底面BDC的投影连线为z轴，再构建底面的垂直关系，建立空间直角坐标系，利用空间向量求两面的夹角；方法二、直接分别以BD、BC方向为x、y轴，建立空间直角坐标系，利用线段长求得P点坐标，再利用空间向量求两面的夹角．本题考查线面垂直的性质，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．21.【答案】解：的定义域为R，当时，，令，解得当x变化时，，的变化情况如表：x0-0+单调递减单调递增因此，当时有极小值，极小值为，若，则，在单调递减，至多有一个零点；若，令，解得，当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增，所以当时，取得最小值，最小值为，当时，由于，故只有一个零点；当时，由于，即，故没有零点；当时，，即，，即且，故在有一个零点，，且，先证时：设，则，当时，当时，故在上递增，在上递减．当时取到最大值，故时，因此在有一个零点．综上，a的取值范围为【解析】利用导数研究的单调性，进而求其极小值；讨论、，结合的符号研究的单调性，根据零点存在性定理判断各情况下区间零点情况，即可得参数范围．本题主要考查函数零点个数问题及导数与单调性及极值，可以利用导数分段讨论函数的单调性，结合零点存在性定理，借助数形结合思想分析解决问题．22.【答案】解：设，，，由题意知P为，则直线斜率为，所以直线的斜率为，故直线的方程为：；联立直线和曲线：，显然，此方程的两根为，，由韦达定理得：，，所以；设，，，则，因为，故为，代入，得点，所以：，因为点在双曲线上，故，满足双曲线方程，即，所以，所以，，又，联立直线OP与双曲线C：，根据题意易知，此方程的两根即为，，所以，所以，即：，所以：，即：【解析】由已知得P为，设，，由直线垂直关系、点斜式写出直线的方程，联立曲线并应用韦达定理、弦长公式求；设，，，根据已知求得、，进而有、关于所设参数的关系，再求直线OP，联立曲线求得，结合已知确定v与u，w的关系．本题考查直线与椭圆的位置关系，设而不求法与韦达定理的应用，属中档题．。

一、单选题二、多选题1. 一个圆柱的侧面展开图是一个边长为2的正方形，则这个圆柱的体积为（ ）A ．B．C．D．2. 下列函数为奇函数的是( ).A．B．C．D．3. 已知，则的最小值是（ ）A ．1B ．4C ．7D．4.函数的图象大致是( )A．B．C．D．5.函数的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．06.在的展开式中的系数为（ ）A．B．C．D．7.已知正项等差数列的前20项的和为100，那么的最大值为A ．25B ．50C ．100D ．不存在8. 设（i 为虚数单位），则（ ）A．B．C．D．9.设向量，的夹角为，且，，，则（ ）A．B．C．D．10. 甲、乙两人6次模拟考试英语成绩（不含听力）的统计折线图如下图所示，下列说法中正确的是（）A ．若甲、乙两组成绩的平均数分别为，则B ．若甲、乙两组成绩的方差分别为，则C ．甲成绩的中位数大于乙成绩的第三四分位数D ．甲成绩的极差大于乙成绩的极差河北省石家庄市2023届高三新高考考前模拟数学试题(1)河北省石家庄市2023届高三新高考考前模拟数学试题(1)三、填空题四、解答题11. 下列说法错误的有（ ）A ．若a ，b ，c 成等差数列，则成等差数列B ．若a ，b ，c 成等差数列，则成等差数列C ．若a ，b ，c 成等差数列，则成等差数列D ．若a ，b ，c 成等差数列，则成等差数列12.已知正方体的棱长为1，下列命题正确的是（ ）A ．平面B．四面体的体积是正方体的体积的三分之一C．与正方体所有棱都相切的球的体积为D ．与平面所成的角等于13.已知角的终边关于直线对称，且，则的一组取值可以是______，______.14.已知双曲线的左､右焦点分别是.点为左支上的一点，过作与轴垂直的直线，若到的距离满足，则的离心率的取值范围为___________.15. 已知，为抛物线上的两点，，若，则直线的方程为______．16. 已知函数.(1)若在单调递增，求a 的取值范围.(2)若，且，求a .17. 黄河鲤是我国华北地区的主要淡水养殖品种之一，其鳞片金黄、体形梭长，尤以色泽鲜丽、肉质细嫩、气味清香而著称．为研究黄河鲤早期生长发育的规律，丰富黄河鲤早期养殖经验，某院校研究小组以当地某水产养殖基地的黄河鲤仔鱼为研究对象，从出卵开始持续观察20天，试验期间，每天固定时段从试验水体中随机取出同批次9尾黄河鲤仔鱼测量体长，取其均值作为第天的观测值（单位：），其中，．根据以往的统计资料，该组数据可以用Logistic 曲线拟合模型或Logistic 非线性回归模型进行统计分析，其中a ，b ，u为参数．基于这两个模型，绘制得到如下的散点图和残差图：(1)你认为哪个模型的拟合效果更好？分别结合散点图和残差图进行说明：(2)假定，且黄河鲤仔鱼的体长与天数具有很强的相关关系．现对数据进行初步处理，得到如下统计量的值：，，，，，，其中，，根据（1）的判断结果及给定数据，求关于的经验回归方程，并预测第22天时仔鱼的体长（结果精确到小数点后2位）．附：对于一组数据，，…，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，；参考数据：．18. 已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求实数、的值；（2）令，函数的极大值与极小值之差等于，求实数的值.19. 已知函数.(1)求函数的最小正周期；(2)求函数的最大值及取得最大值时自变量x的集合.20. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，E为CD的中点，M在AB上，且，(1)求证：平面PAD；(2)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值；(3)点F是线段PD上异于两端点的任意一点，若满足异面直线EF与AC所成角为，求AF的长．21. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，.(1)求证：平面平面；(2)若二面角的大小为，点在棱上，且，求直线与平面所成角的正弦值.。

寒假作业(二十四) 小题限时保分练——昆明一模试题节选(注意命题点分布)(时间：40分钟 满分：80分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数z 满足(1＋i)z ＝|3＋i|，则在复平面内，z 对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限 解析：选A 由题意，得z ＝32＋121＋i＝－＋－＝1－i ，所以z ＝1＋i ，其在复平面内对应的点为(1,1)，位于第一象限．2．设集合A ＝{x |x 2－3x <0}，B ＝{x ||x |>2}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．{x |－2≤x <3} B ．{x |0<x ≤2} C ．{x |－2≤x <0}D ．{x |2≤x <3}解析：选B 因为B ＝{x ||x |>2}＝{x |x >2或x <－2}，所以∁R B ＝{x |－2≤x ≤2}，又A ＝{x |x 2－3x <0}＝{x |0<x <3}，所以A ∩(∁R B )＝{x |0<x ≤2}，故选B.3．函数y ＝sin 2x －3cos 2x 的图象的一条对称轴方程为( ) A ．x ＝π12B ．x ＝－π12C ．x ＝π3D ．x ＝－π6解析：选B 由题意得，函数y ＝sin 2x －3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，由2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z)得，x ＝5π12＋k π2(k ∈Z)，令k ＝－1，得x ＝－π12，所以函数图象的一条对称轴方程为x ＝－π12，故选B.4．在数列{a n }中，若对任意的正整数n 均有a n ＋a n ＋1＋a n ＋2为定值，且a 7＝2，a 9＝3，a 98＝4，则数列{a n }的前100项的和S 100＝( )A ．132B ．299C ．68D ．99解析：选B 设a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＝M ，则a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＝M ，后式减去前式得a n ＋3＝a n ，即数列{a n }是以3为周期的周期数列，a 7＝a 1＝2，a 9＝a 3＝3，a 98＝a 2＝4，所以在一个周期内的三项之和为9，所以S 100＝33×9＋2＝299.5．如图，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A ．8－4π3B ．8－πC ．8－2π3D ．8－π3解析：选D 由三视图知，该几何体是由一个边长为2的正方体挖去一个底面半径为1，高为2的半圆锥而得到的组合体，所以该几何体的体积V ＝23－12×13π×12×2＝8－π3.6．小明从某书店购买5本不同的教辅资料，其中语文2本，数学2本，物理1本．若将这5本书随机并排摆放在书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( )A.15 B.25 C.35D.45解析：选B 语文、数学只有一科的两本书相邻，有2A 22A 22A 23＝48种摆放方法；语文、数学两科的两本书都相邻，有A 22A 22A 33＝24种摆放方法；而五本不同的书排成一排总共有A 55＝120种摆放方法．故所求概率为1－48＋24120＝25.7．执行如图所示的程序框图，若输入的a 的值为2，则输出的b 的值为( )A ．－2B ．1C ．2D ．4解析：选B 第一次循环，a ＝12，b ＝1，i ＝2；第二次循环，a ＝－1，b ＝－2，i ＝3；第三次循环，a ＝2，b ＝4，i ＝4；第四次循环，a ＝12，b ＝1，i ＝5；……；由此可知b 的值以3为周期出现，且当i ＝2 018时退出循环，此时共循环2 017次，又2 017＝3×672＋1，所以输出的b 的值为1.8．过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点，交其准线于点C ，且A ，C 位于x 轴同侧，若|AC |＝2|AF |，则|BF |等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选C 如图，设抛物线的准线与x 轴交于点D ，则由题意，知F (1,0)，D (－1,0)，分别作AA 1，BB 1垂直于抛物线的准线，垂足分别为A 1，B 1，则有|AC ||FC |＝|AA 1||FD |，所以|AA 1|＝43，故|AF |＝43.又|AC ||BC |＝|AA 1||BB 1|，即|AC ||AC |＋|AF |＋|BF |＝|AF ||BF |，亦即2|AF |3|AF |＋|BF |＝|AF ||BF |，解得|BF |＝4.9．已知D ，E 是△ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若AP uuu r ＝x AB uuu r＋y AC uuu r ，则xy 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，49B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤19，14C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤29，12D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤29，14 解析：选 D 由题意，知P ，B ，C 三点共线，则存在实数λ使PB uu u r＝λBC uuu r⎝ ⎛⎭⎪⎫－23≤λ≤－13，所以AB uuu r －AP uuu r ＝λ(AC uuu r －AB uuu r )，所以AP uuu r ＝－λAC uuu r ＋(λ＋1) AB uuu r ，则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－λ，x ＝λ＋1，所以x ＋y ＝1且13≤x ≤23，于是xy ＝x (1－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，所以当x ＝12时，xy 取得最大值14；当x ＝13或x ＝23时，xy 取得最小值29，所以xy 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤29，14.10．空间四边形ABCD 的四个顶点都在同一球面上，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，且EF ⊥AB ，EF ⊥CD .若AB ＝8，CD ＝EF ＝4，则该球的半径等于( )A.65216B.6528C.652D.65解析：选C 如图，连接BF ，AF ，DE ，CE ，因为AE ＝BE ，EF ⊥AB ，所以AF ＝BF .同理可得EC ＝ED .又空间四边形ABCD 的四个顶点都在同一球面上，所以球心O 必在EF 上，连接OA ，OC .设该球的半径为R ，OE ＝x ，则R 2＝AE 2＋OE 2＝16＋x 2，且R 2＝CF 2＋OF 2＝4＋(4－x )2，解得R ＝652. 11．已知A (－2,0)，B (2,0)，斜率为k 的直线l 上存在不同的两点M ，N 且满足|MA |－|MB |＝23，|NA |－|NB |＝23，且线段MN 的中点为(6,1)，则k 的值为( )A ．－2B ．－12C.12D ．2解析：选D 因为A (－2,0)，B (2,0)，|MA |－|MB |＝23，|NA |－|NB |＝23，由双曲线的定义知，点M ，N 在以A ，B 为焦点的双曲线的右支上，且c ＝2，a ＝3，所以b ＝1，所以该双曲线的方程为x 23－y 2＝1.设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝12，y 1＋y 2＝2.设直线l 的方程为y ＝kx ＋m ，代入双曲线的方程，消去y ，得(1－3k 2)x 2－6mkx －3m 2－3＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝6mk 1－3k 2＝12，y 1＋y 2＝12k ＋2m ＝2，解得k ＝2.12．已知函数f (x )＝e x－ax －1，g (x )＝ln x －ax ＋a ，若存在x 0∈(1,2)，使得f (x 0)g (x 0)<0，则实数a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2，e 2－12B ．(ln 2，e －1)C ．[1，e －1)D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，e 2－12解析：选A 若存在x 0∈(1,2)，使得f (x 0)g (x 0)<0，即[e x 0－(ax 0＋1)][ln x 0－a (x 0－1)]<0.在同一直角坐标系下作出函数y ＝e x，y ＝ax ＋1，y ＝ln x ，y ＝a (x －1)的图象(图略)．当a <0时，f (x 0)>0，g (x 0)>0恒成立，不满足题意；当a ＝1，x >1时，e x>x ＋1，ln x <x －1恒成立；当a >1，x >1时，ln x －a (x －1)<x －1－a (x －1)＝(1－a )(x －1)<0，此时只需存在x 1∈(1,2)，使得e x 1>ax 1＋1，则e 2>2a ＋1，解得a <e 2－12，所以1<a <e 2－12；当0<a <1，x >1时，e x－(ax ＋1)>x ＋1－(ax ＋1)＝(1－a )x >0，此时只需存在x 2∈(1,2)，使得ln x 2<a (x 2－1)，则ln 2<a (2－1)，解得a >ln 2，所以ln 2<a <1.综上所述，实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫ln 2，e 2－12. 二、填空题(本题共4小题，每小题5分)13．(x －2)(x ＋1)5的展开式中，x 3的系数是________．(用数字填写答案)解析：(x －2)(x ＋1)5的展开中含x 3的项为x ·C 35x 2－2C 25x 3＝－C 25x 3，所以x 3的系数为－C 25＝－10.答案：－1014．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x －3y ＋2≤0，y －2≤0，则z ＝－3x ＋4y 的最大值是________．解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由图知，当直线z ＝－3x ＋4y 经过点A (1,2)时，z 取得最大值，即z max ＝5.答案：515．已知函数f (x )的图象关于y 轴对称，且对任意x ∈R 都有f (x ＋3)＝－f (x )，若当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，52时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，则f (2 017)＝________. 解析：因为对任意x ∈R 都有f (x ＋3)＝－f (x )，所以f (x ＋6)＝－f (x ＋3)＝f (x )，函数f (x )是周期为6的周期函数，f (2 017)＝f (336×6＋1)＝f (1)．由f (x ＋3)＝－f (x )可得f (－2＋3)＝－f (－2)＝f (1)，因为函数f (x )的图象关于y 轴对称，所以函数f (x )是偶函数，f (－2)＝f (2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝14，所以f (2 017)＝f (1)＝－f (－2)＝－14.答案：－1416．数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝23，a n ＋1－S n ＝23.用[x ]表示不超过x 的最大整数，如：[－0.4]＝－1，[1.6]＝1.设b n ＝[a n ]，则数列{b n }的前2n 项和为__________．解析：当n ≥2时，由题意，得S n ＝a n ＋1－23，S n －1＝a n －23，两式相减得，a n ＝a n ＋1－a n ，即a n ＋1a n ＝2(n ≥2)，又当n ＝1时，a 1＝23，a 2－a 1＝23，所以a 2＝43，即a 2a 1＝2，所以数列{a n }是首项为23，公比为2的等比数列，所以a n ＝23·2n －1＝13·2n.所以b 1＝0，b 2＝1＝2b 1＋1，b 3＝2＝2b 2，b 4＝5＝2b 3＋1，b 5＝10＝2b 4，b 6＝21＝2b 5＋1，b 7＝42＝2b 6，b 8＝85＝2b 7＋1，…，b 2n －1＝2b 2n －2，b 2n ＝2b 2n －1＋1，所以b 1＋b 2＝21－1，b 3＋b 4＝23－1，b 5＋b 6＝25－1，b 7＋b 8＝27－1，…，b 2n －1＋b 2n ＝22n －1－1，设数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝－4n1－4－n ＝22n ＋13－n －23.答案：22n ＋13－n －23。

石家庄市高中毕业班模拟考试（一）理科数学（A卷）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】故选A.2. 已知为虚数单位，，其中，则（）A. B. C. 2 D. 4【答案】A【解析】，其中，解得，，故选3. 函数，其值域为，在区间上随机取一个数，则的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数的值域为，即，则在区间上随机取一个数的概率．故选B．4. 点是以线段为直径的圆上的一点，其中，则（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】故选5. ，满足约束条件：，则的最大值为（）A. -3B.C. 3D. 4【答案】C【解析】依题意可画出可行域如下：联立，可得交点(2,-1)，如图所示，当经过点(2,-1)时，z最大为3.故选C.点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一、准确无误地作出可行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.6. 程序框图如图所示，该程序运行的结果为，则判断框中可填写的关于的条件是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】第一次运行，第二次运行，第三次运行，第四次运行，第五次运行，此时，输出25，故选C7. 南宋数学家秦九韶早在《数书九章》中就创造了已知三角形三边求其面积的公式：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减之，以四约之，为实，一为从隅，开方得积.”（即：，），并举例“问沙田一段，有三斜（边），其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，欲知为田几何？”则该三角形田面积为（）A. 82平方里B. 83平方里C. 84平方里D. 85平方里【答案】C【解析】由题意可得：代入：则该三角形田面积为平方里故选8. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由图可知，几何体为半圆柱挖去半球体几何体的表面积为故选9. 已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】是定义在上的偶函数，，即，则函数的定义域为函数在上为增函数，故两边同时平方解得，故选10. 在中，，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】有正弦定理可得，故当时，的最大值为.故选D.11. 过抛物线焦点的直线交抛物线于，两点，点在直线上，若为正三角形，则其边长为（）A. 11B. 12C. 13D. 14【答案】B【解析】如图：设，则：，取中点，分别作垂直于直线，连接则有，相减可得：即故设则，解得故，解得故选12. 设，为两个平面直角坐标系，它们具有相同的原点，正方向到正方向的角度为，那么对于任意的点，在下的坐标为，那么它在坐标系下的坐标可以表示为：，.根据以上知识求得椭圆的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】则故可化为方程表示为椭圆化简得：代入方程得：，，，故故选点睛：本题主要考查了三角函数的计算问题，以平面直角坐标系为载体，新定义坐标系，建立两坐标之间的关系，代入化简，由题意中的椭圆求出的值，再次代入求出结果，计算量比较大，有一定的难度。

寒假作业(二十六) 小题限时保分练——石家庄一模试题节选(注意命题点分布)(时间：40分钟 满分：80分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数z ＝3＋i1－i，则|z |＝( )A ．1B ．2C.5D ．5解析：选C 因为z ＝3＋i1－i＝＋＋－＋＝2＋4i2＝1＋2i ，所以z ＝1－2i ，所以|z |＝ 5.2．集合A ＝{y |y ＝x －1}，B ＝{x |x 2－x －2≤0}，则A ∩B ＝( )A ．[2，＋∞)B ．[0,1]C ．[1,2]D ．[0,2]解析：选D 因为A ＝[0，＋∞)，B ＝[－1,2]，所以A ∩B ＝[0,2]．3．已知cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝13，则cos 2α的值等于( )A.79 B ．－79 C.89D ．－89解析：选A 法一：因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝13，所以sin α＝－13，所以cos α＝±223，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫±2232－⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＝79.法二：因为cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＝13，所以sin α＝－13，所以cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×19＝79.4.执行如图所示的程序框图，如果输入n 的值为4，则输出S 的值为( ) A ．15 B ．6C ．－10D ．－21解析：选C 执行程序框图，得当k ＝1，S ＝0时，k 为奇数，所以S ＝1，k ＝2,2<4；k ＝2不是奇数，所以S ＝1－4＝－3，k ＝3,3<4；k ＝3是奇数，所以S ＝－3＋9＝6，k ＝4，4＝4；k ＝4不是奇数，所以S ＝6－16＝－10，k ＝5，5>4，所以输出的S ＝－10.5．某公司为了增加其商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用x 与销售利润y 的统计数据如下表：由表中数据，得线性回归方程l ：y ＝b x ＋a ，其中a ＝y －b ^x ，b ^＝∑i ＝1n－x －y∑i ＝1n－x，则下列结论错误的是( )A.b ^>0B.a ^>0C ．直线l 过点(4,8)D ．直线l 过点(2,5)解析：选D因为x ＝4，y ＝8，所以回归直线l 过样本的中心点(4,8)，所以选项C 正确；由数据得b ^＝1.4>0，a ^＝y －b ^x ＝8－1.4×4＝2.4>0，所以选项A 、B 都是正确的；y ^＝1.4x ＋2.4，因为1.4×2＋2.4＝5.2≠5，所以点(2,5)不在直线l 上，所以选项D 是错误的，故选D.6．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体是( )A ．三棱锥B ．三棱柱C ．四棱锥D ．四棱柱解析：选A 构造棱长为4的正方体，由三视图可知，该几何体为如图所示的三棱锥P ­ABC ，其中点P ，B 分别为相应棱的中点，故选A.。

2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科)B 卷 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|05A x x =≤≤,{}*|12B x N x =∈-≤,则A B =( )A ．{}|13x x ≤≤B ．{}|03x x ≤≤C ．{}0,1,2,3D ．{}1,2,32.若z 是复数,121iz i-=+,则z z ⋅=( )A B C ．1 D ．523.下列说法错误的是( ) A ．回归直线过样本点的中心(,)x yB ．两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数的绝对值就越接近于1C ．对分类变量X 与Y ,随机变量2K 的观测值k 越大,则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小D ．在回归直线方程0.20.8y x =+中,当解释变量x 每增加1个单位时,预报变量y 平均增加0.2个单位4.函数()31xf x e x =--(e 为自然对数的底数)的图象大致是( )5.函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >,0ω>)的最小正周期为π,其图象关于直线3x π=对称,则||ϕ的最小值为( ) A ．12π B ．6π C ．56π D ．512π6.已知三个向量a ，b ，c 共面，且均为单位向量，0a b ⋅=，则||a b c +-的取值范围是（ ）A ．1⎤⎦B ．⎡⎣C ．D ．1,1⎤⎦7.某几何体的三视图如图所示（在如图的网格线中，每个小正方形的边长为1），则该几何体的表面积为（ ）A ．48B ．54C ．64D ．608.已知函数()f x 在(1,)-+∞上单调,且函数(2)y f x =-的图象关于1x =对称,若数列{}n a 是公差不为0的等差数列,且5051()()f a f a =,则{}n a 的前100项的和为( )A ．200-B ．100-C ．0D ．50-9.祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图①是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体；图②、图③、图④分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（ ）A ．①②B ．①③C ．②④D ．①④10.已知x ，y 满足约束条件20,220,220,x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩若20x y k ++≥恒成立,则直线20x y k ++=被圆22(1)(2)25x y -+-=截得的弦长的最大值为( )A ．10B．C．D．11.已知过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线与抛物线交于A ,B 两点,且3AF FB =,抛物线的准线l 与x 轴交于点C ,1AA l ⊥于点1A ,若四边形1AA CF的面积为则准线l 的方程为( )A．x =B．x =-C ．2x =-D ．1x =-12.已知函数()ln f x ax e x =+与2()ln x g x x e x=-的图象有三个不同的公共点,其中e 为自然对数的底数,则实数a 的取值范围为( ) A ．a e <-B ．1a >C ．a e >D ．3a <-或1a >第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知命题p :n N ∀∈，22n n <，则p ⌝为 ．14.程序框图如图所示,若输入0s =,10n =,0i =,则输出的s 为 ．15.已知1F 、2F 分别为双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，点P 为双曲线右支上一点，M 为12PF F ∆的内心，满足1212MPF MPF MF F S S S λ∆∆∆=+，若该双曲线的离心率为3，则λ= （注：1MPF S ∆、2MPF S ∆、12MF F S ∆分别为1MPF ∆、2MPF ∆、12MF F ∆的面积）．16.已知数列{}n a 中,1a a =,1386n n a a n +=++,若{}n a 为递增数列,则实数a 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且sin sin sin C a bA B a c+=--. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）点D 满足2BD BC =，且线段3AD =，求2a c +的最大值.18.在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DBA ∠=︒，30SAD ∠=︒，AD SD ==，4BA BS ==.（Ⅰ）证明：BD ⊥平面SAD ； （Ⅱ）求二面角A SB C --的余弦值．19.人耳的听力情况可以用电子测听器检测，正常人听力的等级为0-25db （分贝），并规定测试值在区间(0,5]为非常优秀，测试值在区间(5,10]为优秀．某班50名同学都进行了听力测试，所得测试值制成频率分布直方图：（Ⅰ）现从听力等级为(0,10]的同学中任意抽取出4人，记听力非常优秀的同学人数为X ，求X 的分布列与数学期望；（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽出的4人中任选一人参加一个更高级别的听力测试，测试规则如下：四个音叉的发生情况不同，由强到弱的次序分别为1,2,3,4．测试前将音叉随机排列，被测试的同学依次听完后给四个音叉按发音的强弱标出一组序号1a ，2a ，3a ，4a （其中1a ，2a ，3a ，4a 为1,2,3,4的一个排列）．若Y 为两次排序偏离程度的一种描述，1234|1||2||3||4|Y a a a a =-+-+-+-，求2Y ≤的概率．20.已知椭圆C ：2212x y +=的左顶点为A ，右焦点为F ，O 为原点，M ，N 是y 轴上的两个动点，且MF NF ⊥，直线AM 和AN 分别与椭圆C 交于E ，D 两点．（Ⅰ）求MFN ∆的面积的最小值； （Ⅱ）证明：E ，O ，D 三点共线.21.已知函数2()1ln(1)f x x a x =-+-，a R ∈．（Ⅰ）若函数()f x 为定义域上的单调函数，求实数a 的取值范围； （Ⅱ）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，且12x x <，证明：1221()()f x f x x x >．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系，将曲线1C 上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，1C 的极坐标方程为2ρ=．（Ⅰ）求曲线2C 的参数方程；（Ⅱ）过原点O 且关于y 轴对称的两条直线1l 与2l 分别交曲线2C 于A 、C 和B 、D ，且点A 在第一象限，当四边形ABCD 的周长最大时，求直线1l 的普通方程． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()|24|||f x x x a =++-．（Ⅰ）当2a <-时，()f x 的最小值为1，求实数a 的值； （Ⅱ）当()|4|f x x a =++时，求x 的取值范围．2017届石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数学(理科)B 卷答案一、选择题1-5:DDCDB 6-10:ADBDB 11、12：AB 二、填空题13.0n N ∃∈，0202nn ≥ 14.1024 15.1316.7a >- 三、解答题 17.解：（Ⅰ）∵sin sin sin C a b A B a c +=--，由正弦定理得c a ba b a c+=--， ∴()()()c a c a b a b -=+-， 即222a c b ac +-=，又∵2222cos a c b ac B +-=， ∴1cos 2B =， ∵(0,)B π∈，∴3B π=．（Ⅱ）在ABC ∆中由余弦定理知：222(2)22cos 603c a a c +-⋅⋅⋅︒=， ∴2(2)932a c ac +-=⋅，∵ 222()2a c ac +≤， ∴223(2)9(2)4a c a c +-≤+，即2(2)36a c +≤，当且仅当2a c =，即32a =，3c =时取等号，所以2a c +的最大值为6．18.（Ⅰ）证明：在ABD ∆中，sin sin AB ADADB DBA=∠∠，由已知60DBA ∠=︒，AD =4BA =，解得sin 1ADB ∠=，所以90ADB ∠=︒，即AD BD ⊥，可求得2BD =． 在SBD ∆中，∵SD =4BS =,2BD =, ∴222DB SD BS +=,∴SD BD ⊥, ∵BD ⊄平面SAD ,SDAD D =,∴BD ⊥平面SAD ．（Ⅱ）过D 作直线l 垂直于AD ，以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DB 为y 轴，以l 为z 轴，建立空间直角坐标系．∵由（Ⅰ）可知，平面SAD ⊥平面ABCD ，∴S 在平面ABCD 上的投影一定在AD 上，过S 作SE AD ⊥于E，则DE =3SE =，则(S ，易求A ，(0,2,0)B，(2,0)C -，则(3,2,3)SB =-，(33,0,3)SA =-，(2,3)SC =-，设平面SBC 的法向量1(,,)n x y z=，230,230,y z y z +-=+-=⎪⎩解得1(0,3,2)n =--．同理可求得平面SAB的法向量2(1n =，∴1212cos 91||||13n n n n θ⋅===-⋅.19.解：（Ⅰ）X 的可能取值为：0,1,2,3,4．4641015(0)210C P X C ===，134641080(1)210C C P X C ===，224641090(2)210C C P X C ===，314641024(3)210C C P X C ===， 444101(4)210C P X C ===， X 的分布列为：X 01234P15210 80210 90210 242101210158090241()01234 1.621021**********E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（Ⅱ）序号1a ，2a ，3a ，4a 的排列总数为4424A =种，当0Y =时，11a =，22a =，33a =，44a =．当1234|1||2||3||4|2Y a a a a =-+-+-+-=时，1a ，2a ，3a ，4a 的取值为11a =，22a =，34a =，43a =；11a =，23a =，32a =，44a =；12a =，21a =，33a =，44a =．故41(2)246P Y ≤==． 20.解：（Ⅰ）设(0,)M m ，(0,)N n ，∵MF NF ⊥，可得1mn =-，11||||||22AMFN S AF MN MN ==， ∵222||||||2||||MN MF NF MF NF =+≥⋅，当且仅当||||MF NF =时等号成立． ∴min ||2MN =， ∴min 1()||12MFN S MN ==， ∴四边形AMFN 的面积的最小值为1．（Ⅱ）∵(A ，(0,)M m ，∴直线AM的方程为y x m =+，由22,22,y x m x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩得2222(1)2(1)0m x x m +++-=，由222(1)1E m x m -=+，得E x =，①同理可得221)1D n x n -=+，∵1m n ⋅=-，∵221()11()1D m x m⎤-⎥⎣⎦=+22),1m m -=+② 故由①②可知：E D x x =-，代入椭圆方程可得22E D y y =∵MF NF ⊥，故M ，N 分别在x 轴两侧，E D y y =-， ∴E DE Dy y x x =，∴E ，O ，D 三点共线．21.解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(,1)-∞，由题意222'()2,111a x x af x x x x x -+-=-=<--， 224(2)()48a a ∆=---=-．①若480a ∆=-≤，即12a ≥，则2220x x a -+-≤恒成立， 则()f x 在(,1)-∞上为单调减函数；②若480a ∆=->，即12a <，方程2220x x a -+-=的两根为1x =，2x =，当1(,)x x ∈-∞时，'()0f x <，所以函数()f x 单调递减，当11(,)2x x ∈时，'()0f x >，所以函数()f x 单调递增，不符合题意．综上，若函数()f x 为定义域上的单调函数，则实数a 的取值范围为1(,)2+∞． （Ⅱ）因为函数()f x 有两个极值点，所以'()0f x =在1x <上有两个不等的实根， 即2220x x a -+-=在1x <有两个不等的实根1x ，2x ，于是102a <<，12121,,2x x a x x +=⎧⎪⎨=⎪⎩且满足11(0,)2x ∈，21(,1)2x ∈， 211111*********()1ln(1)(1)(1)2ln(1)(1)2ln(1)f x x a x x x x x x x x x x x x -+--++-===-++-，同理可得22221()(1)2ln(1)f x x x x x =-++-． 122111222222221()()2ln(1)2ln(1)212(1)ln 2ln(1)f x f x x x x x x x x x x x x x x -=-+---=-+---，令()212(1)ln 2ln(1)g x x x x x x =-+---，1(,1)2x ∈．[]22'()2ln (1)1x g x x x x x =--++-，1(,1)2x ∈， ∵1(1)4x x -<，∴[]2ln (1)0x x -->， 又1(,1)2x ∈时，201x x x 2+>-，∴'()0g x >，则()g x 在1(,1)2x ∈上单调递增，所以1()()02g x g >=，即1221()()0f x f x x x ->，得证． 22.解：（Ⅰ）2214x y +=，2cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）． （Ⅱ）设四边形ABCD 的周长为l ，设点(2cos ,sin )A q q ，8cos 4sin l θθ=+))θθθϕ==+，且cos ϕ=，sin ϕ=， 所以，当22k πθϕπ+=+（k Z ∈）时，l 取最大值，此时22k πθπϕ=+-，所以，2cos 2sin θϕ==sin cos θϕ==此时，A ，1l 的普通方程为14y x =．23.解：（Ⅰ）当2a <-时，函数34,,()|24|||4,2,34, 2.x a x a f x x x a x a a x x a x -+-<⎧⎪=++-=---≤≤-⎨⎪-+>-⎩可知，当2x =-时，()f x 的最小值为(2)21f a -=--=，解得3a =-． （Ⅱ）因为()|24||||(24)()||4|f x x x a x x a x a =++-≥+--=++， 当且仅当(24)()0x x a +-≤时，()|4|f x x a =++成立， 所以，当2a <-时，x 的取值范围是{}|2x a x ≤≤-； 当2a =-时，x 的取值范围是{}2-；当2a >-时，x 的取值范围是{}|2x x a -≤≤．。

2023-2024学年河北高考考前冲刺数学模拟试题（一模）一、单选题1．设集合U =R ，集合{|24}A x x =-<<，集合{}2|7100B x x x =-+<，则U A B =I ð（）A ．{|22}x x -<<B ．{|22}x x -<≤C ．{|25}x x <<D ．{|25}x x <≤【正确答案】B【分析】化简集合B ，根据集合的补集和交集的运算性质求U A B ð即可.【详解】不等式27100x x -+<的解集为{|25}x x <<，所以{|25}B x x =<<，故{|2U B x x =≤ð或5}x ³，又{|24}A x x =-<<，所以{|22}U A B x x =-<≤ ð，故选：B ．2．已知复数z 满足12i 1z=-，则z 的共轭复数z 对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【正确答案】D【分析】根据复数运算即可求得复数z ，再得共轭复数z ，根据复数的几何意义即可得答案.【详解】111i 2i 2z -==- ，11i 2z ∴=+，11i 2z ∴=-，故z 在复平面内对应的点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第四象限.故选：D ．3．若函数()af x x x=+()R a ∈在点(2,(2))f 处的切线为直线1:2l y x b =+，若直线l 与圆222:(0)C x y r r +=>相切，则r 的值为（）A B C D ．3【正确答案】A【分析】结合导数的几何意义列方程求a ，由切点坐标与切线的关系求b ，根据直线与圆的位置关系列方程求r .【详解】函数()af x x x =+的导函数2()1a f x x'=-，因为函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线为直线1:2l y x b =+，所以1(2)142a f '=-=，解得2a =，2()f x x x∴=+，故(2)3f =，切点(2,3)在直线l 上，1322b ∴=⨯+，解得2b =，直线1:22l y x =+与圆222:(0)C x y r r +=>相切，∴圆心(0,0)到直线lr =，故选：A ．4．已知向量(2,6)a = ，(1,)b λ=- ．若//a b r r，则λ=（）A ．3B ．3-C ．13D ．13-【正确答案】B【分析】根据向量平行的坐标表示，列式即可求得答案.【详解】因为向量(2,6)a = ，(1,)b λ=- ，//a b r r，所以26λ=-，解得3λ=-，故选：B ．5．已知数列{}n a 的首项11a =，0n a >，前n 项和n S 满足2211120n n n n n n S S S S S S ----+--=，则数列{}n a 的前n 项和n S 为（）A ．(1)2n n +B ．12n -C ．221n -D ．21n -【正确答案】A【分析】由题可得22n n n S a a =+，进而可得2211n n n n a a a a ++-=+，然后可得11n n a a +-=，利用等差数列的定义及求和公式即得.【详解】由2211120n n n n n n S S S S S S ----+--=得2211122n n n n n n n S S S S S S S ---=-++-，即()()2112n n n n n S S S S S --=-+-，所以22n n n S a a =+，所以21112n n n S a a +++=+，两式作差，得()221112n n n n n a a a a a +++=+-+，即2211n n n n a a a a ++-=+，所以()()1110n n n n a a a a ++--+=，所以11n n a a +-=或10n n a a ++=，又0n a >，故11n n a a +-=，所以数列{}n a 是以1为首项，1为公差的等差数列，所以数列{}n a 的前n 项和(1)(1)22n n n n n S n -+=+=.故选：A.6．如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，棱1AA ，1BB ，的夹角为3π，2AB =，则棱1AA ，1CC 的夹角为（）A ．3πB ．4πC ．23πD ．2π【正确答案】D【分析】由棱台的定义可知，分别延长1AA ，1BB ，1CC ，1DD 交于点P ，连接AC ，从而可得2PA PC ==，从而可求出答案.【详解】由棱台的定义可知，分别延长1AA ，1BB ，1CC ，1DD 交于点P ，连接AC ，如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，棱1AA ，1BB 的夹角为3π，2AB =，所以△PAB 是边长为2的等边三角形，所以2PA PC ==.又在正方形ABCD 中，2AB =,则AC =所以222AC PA PC =+，所以PA PC ⊥，所以棱1AA ，1CC 的夹角为2π，7．已知定点(3,0)B ，点A 在圆22(1)4x y ++=上运动，则线段AB 的中点M 的轨迹方程是（）A ．22(1)1x y ++=B ．22(2)4x y -+=C ．22(1)1x y -+=D ．22(2)4x y ++=【正确答案】C【分析】设(,)M x y 再表达出A 的坐标代入圆方程22(1)4x y ++=化简即可.【详解】设(,)M x y ，则(),A A A x y 满足3,(,)22A A x y x y +⎛⎫= ⎪⎝⎭.故232A Ax x y y =-⎧⎨=⎩.故23(2),A x y -.又点A 在圆22(1)4x y ++=上.故2222(231)(2)4(1)1x y x y -++=⇒-+=.故选:C本题主要考查了轨迹方程的求法，属于基础题型.8．设甲乘汽车､动车前往某目的地的概率分别为0.40.6､，汽车和动车正点到达目的地的概率分别为0.70.9､，则甲正点到达目的地的概率为（）A ．0.78B ．0.8C ．0.82D ．0.84【正确答案】C【分析】设事件A 表示甲正点到达目的地，事件B 表示甲乘火车到达目的地，事件C 表示甲乘汽车到达目的地，由全概率公式求解即可.【详解】设事件A 表示甲正点到达目的地，事件B 表示甲乘动车到达目的地，事件C 表示甲乘汽车到达目的地，由题意知()0.6,()0.4,(|)0.9,(|)0.7P B P C P A B P A C ====.由全概率公式得()()(|)()(|)0.60.90.40.7P A P B P A B P C P A C =+=⨯+⨯0.280.540.82=+=。

试卷类型：A2022年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷数 学理科说明：1．本试卷共4页，包括三道大题．22道小题，共150分．其中第一道大题为选择题． 2．所有答案请在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效．答题前请仔细阅读答题 卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题．3．做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选答案擦干净，再选涂其他答案． 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么342x 4x 22a 232a 9102a )()(x g x f 313131313131312222321053103043772π是BC 的中点，3π212173535222a x 22b y 12π4π222236362223i i ++130652≥--x x 3π2π从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经 过其它兰个顶点后回到出发点，则动点M 经过的最短距离为三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文宇说明，证明过程或演算步骤r 17．本小题满分0分如图，已知平面四边形ABCD 中，BCD 为正三角形，AB ＝AD=1，∠BAD=，记四边 形ABCD 的面积为SI 将S 表示为的函数；Ⅱ求S 的最大值及此时的大小． 18．《本小题满分12分已知公比q 为正数的等比数列{}的前n 项和为，且4245s s =． I 求q 的值；Ⅱ若()*-∈≥+=N n n S q b n n ,2,1且数列{}也为等比数列，求数列{2n 一1}的前n 项和．19本小题满分2分为提高某篮球运动员的投篮水平，教练对其平时训练的表现作以详细的数据记录：每 次投中记分，投不中记一1分，统计平时的数据得如图所示频率分布条形图．若在某场训练中，该运动员前n 次投篮所得总分司为，且每次投篮是否命中相互之间没有影响．I 若设3S =ξ，求的分布列及数学期望； Ⅱ求出现28=S 且()3,2,10=≥i S i 的概率。

20．本小题满分12分如图，平行六面体ABCD —1111D C B A 中，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=3π 其中AC 与BD 交于点G ，点在面ABCD 上的射影0恰好为线段AD 的中点。