单位1工程问题

工程问题【含义】工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。

这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时,常常用单位“1”表示工作总量。

【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样,工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几）,进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。

工作量＝工作效率×工作时间工作时间＝工作量÷工作效率工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率)【解题思路和方法】变通后可以利用上述数量关系的公式。

例1 一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成？解题中的“一项工程”是工作总量，由于没有给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看作单位“1"。

由于甲队独做需10天完成，那么每天完成这项工程的1/10；乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15；两队合做，每天可以完成这项工程的（1/10＋1/15）。

由此可以列出算式: 1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）答：两队合做需要6天完成。

例2 一批零件,甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。

现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个?解设总工作量为1,则甲每小时完成1/6,乙每小时完成1/8,甲比乙每小时多完成(1/6－1/8），二人合做时每小时完成（1/6＋1/8）。

因为二人合做需要［1÷（1/6＋1/8)］小时，这个时间内，甲比乙多做24个零件,所以（1)每小时甲比乙多做多少零件？24÷［1÷（1/6＋1/8）］＝7（个）（2）这批零件共有多少个？7÷（1/6－1/8）＝168（个）答:这批零件共有168个。

工程问题数学解题方法分析及例题答案【含义】工程问题主要研究工作量、工作效率和工作时间三者之间的关系。

这类问题在条件中，常常不给出工作量的详细数量，只提出“一项工程”、“一块土地”、“一条水渠”、“一件工作”等，在解题时，常常用单位“1”表示工作总量。

【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这样，工作效率就是工作时间的倒数(它表示单位时间内完成工作总量的几分之几)，进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关系列出算式。

工作量=工作效率×工作时间
工作时间=工作量÷工作效率
工作时间=总工作量÷(甲工作效率+乙工作效率)
【解题思路和方法】变通后可以利用上述数量关系的公式。

例1 一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，需要几天完成?
答：两队合做需要6天完成。

例2 一批零件，甲独做6小时完成，乙独做8小时完成。

现在两人合做，完成任务时甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个?
答：这批零件共有168个。

例3 一件工作，甲独做12小时完成，乙独做10小时完成，丙独做15小时完成。

现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做，还需几小时才能完成?
答：还需要5小时才能完成。

例4 一个水池，底部装有一个常开的排水管，上部装有假设干个同样粗细的进水管。

当翻开4个进水管时，需要5小时才能注满
水池;当翻开2个进水管时，需要15小时才能注满水池;现在要用2小时将水池注满，至少要翻开多少个进水管?
答：至少需要9个进水管。

工程问题【基础知识】工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量之间相互关系的一种应用题，“工程问题”一般是把工作总量作为单位“1”。

因此工作效率就是工作时间的倒数，它们的基本关系式是：工作总量÷工作效率=工作时间工程问题是小学分数应用题中的一个重点，也是一个难点。

下面列举有关练习中常见的几种题型，分别进行思路分析，并给出详细的解答过程，旨在使同学们掌握“工程问题”的解题规律和解题技巧。

有的情况下，工程问题并不表现为两个工程队在“修路筑桥、开挖河渠”，甚至会表现为“行程问题”、“经济价格问题”等等，工程问题不仅指一种题型，更是一种解题方法。

工程问题公式1.一般公式：工作效率×工作时间=工作总量工作总量÷工作时间=工作效率工作总量÷工作效率=工作时间2.用假设工作总量为“1”的方法解工程问题公式：1÷工作时间=单位时间内完成工作总量的几分之几。

1÷单位时间能完成的几分之几=工作时间。

注意：用假设解工程时，可任意假定工作量为2，3，4，5……，特别是假定工作总量为几个工作时间的最小公倍数时，分数工程问题可以转化为比较简单的整数工程问题，计算将变得比较简便。

【经典例题】例题1.加工一批零件,甲单独做要12小时,乙单独做有10小时,丙单独做要15小时.如果要求这批零件在8小时以内做完,应该怎么办?请你设计一个方案,并计算出需要几小时?【思路导航】这是一道开放题，方法有多种，如（1）若由甲、乙合作，完成时间是：1÷(112 + 110 )=6011(时) （2）若由甲、乙、丙合作，完成时间是：1÷(112 + 110 + 115)= 4(时) （3）若由甲先做2小时，再由乙、丙合作，完成时间是：（1- 112 ×2）÷（110 + 115）+2=7(时) 练习11. 修一条水渠,甲工程队单独修20天完成,乙工程队单独修15天完成,丙工程队单独修30天完成。

小学分数应用题中的“ 工程问题”的单位“1”的确定 镇远县都坪镇中心小学：向章程工程问题属于分数应用题。

这类工程问题的特点是工作总量不给出具体的数量，但它们也如整数工程问题一样，反映工作效率，工作时间和工作总量之间的关系，解题时一般是把工作总量看着单位“1”，把工作效率看着是几分之几，利用工作效率和工作量之间的基本数量关系，再根据题意，列式回答。

在分数工程问题中，单位“1”具有相对性。

即在题中，不一定确实工作总量为单位“1”，如在单位时间内，甲的工作总量与乙的工作总量相比，可确定乙的工作量为单位“1”。

若用乙的工作量与甲的工作量相比，则可确定甲的工作量为单位“1”。

确定不同的单位“1”，从而就得到不同的解题方法。

这样，可以做到一题多解。

在小学高年级，教师应鼓励学生去探索解题的不同途径，并通过比较，得出最合理最简捷的解法，这不但能发展学生的扩散思维，还可以使学生从不同角度来认识同一数量关系，深刻地理解这类应用题，促进知识的融会贯通，现列举数例说明。

例1、一件工作，由一个人单独做，甲要12小时，乙要10小时，丙要15小时可以完成，如果三人合做，多少小时可以完成？解法1：若设工作总量为整体“1”。

根据题意，甲每小时可完成这件工作的121，乙每小时可完成这件工作的101，丙每小时可完成这件工作的151，三人合做，每小时可完成这件工作的121+101+151，故三人合做，完成这件工作所需的时间为1÷（121+101+151）=4（小时）解法2：设甲每小时完成的工作量为“1”，则工作总量为1×12=12，故乙每小时完成的工作量是甲的12÷10，丙每小时完成的工作量是甲的12÷15，三人合做，每小时完成的工作量是甲的（1+65+54），则完成这件工作所需要的时间为：1×12÷（1+65+54）=4（小时）解法3：设乙每小时完成的工作量为“1”则工作总量1×10，甲每小时完成的工作量是乙的10÷12，丙每小时完成的工作量是乙的10÷15，则三人合做，每小时完成的工作量是乙的（1+65+32），故完成这件工作所需要的时间为：1×10÷（1+65+32）=4（小时）解法4：设丙每小时完成的工作量为“1”，则工作总量为1÷15。

工程问题1一、训练目标知识传递：明确单位“1”，及工作时间、工作效率、工作总量的关系。

能力强化：分析能力、综合能力。

思想方法：假设思想、比较思想、对比思想。

二、知识与方法归纳解答工程问题，首先要明确把什么看作单位“1”，再找出完成这个单位“1”的量所需要的时间，从而直接得到“工作效率”。

把“一项工程”、“一段路”、“一批零件”、“一份稿件”、“一个水池”等等这些没有告诉具体数量的工作量看作单位“1”，几天完成，也就是把这个单位“1”平均分成几份，每天完成几分之几，也就是工作效率。

在解答工程问题时，要充分利用“工作效率×工作时间=工作总量”这个关系。

运用常用的数学思想及解题方法，如：假设法、转换法、代换法、列举法等来解答工程问题，只要恰当地选择解题方法，很多问题就迎刃而解了。

三、经典例题例1 .一项工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做15天完成。

①甲队每天完成这项工程的( )( )，乙队每天完成这项工程的( )( )。

②甲、乙两队合做，每天完成这项工程( )( )。

③甲、乙合做，（）天可以完成这项工程。

④甲、乙合做4天后，还剩下全工程的( )( )。

例2.打扫多功能教室，甲组同学13小时可以打扫完，乙组同学14小时可以打扫完，如果甲、乙合做，多少小时能打扫完整个教室？解：答：甲、乙合做，小时能打扫完整个教室。

例3.一批布料，做上衣可以做20件，如果做裤子可以做30条，这批布料可以做多少套衣服？解：答：这批布料可以做套衣服。

例4.打印一份稿件，甲单独打4小时打了这份稿件的13，乙接着又打了2小时，又打了这份稿件的14，剩余的甲乙共同打，还需几小时？解：答：剩余的甲乙共同打，还需 小时。

例5 .一件工作，甲单独做要20天完成，乙单独做要12天完成。

这件工作，先由甲做了若干天，然后乙继续做完，从开始到完工共用了14天，问甲乙两人各做了多少天？解： 答：甲做了 天，乙做了 天。

例6 .修一段公路，甲队单独做要用40天，乙队单独做要用24天。

小学奥数─工程问题分类讲解工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。

工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。

在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。

一．工程问题的基本概念定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。

工作总量：一般抽象成单位“1”工作效率：单位时间内完成的工作量三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率；二、为了学好分数、百分数应用题，必须做到以下几方面：①具备整数应用题的解题能力，解决整数应用题的基本知识，如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题；②在理解、掌握分数的意义和性质的前提下灵活运用；③学会画线段示意图．线段示意图能直观地揭示“量”与“百分率”之间的对应关系，发现量与百分率之间的隐蔽条件，可以帮助我们在复杂的条件与问题中理清思路，正确地进行分析、综合、判断和推理；④学会多角度、多侧面思考问题的方法．分数、百分数应用题的条件与问题之间的关系变化多端，单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法．因此，在解题过程中，要善于掌握对应、假设、转化等多种解题方法，不断地开拓解题思路．三、利用常见的数学思想方法：如代换法、比例法、列表法、方程法等抛开“工作总量”和“时间”，抓住题目给出的工作效率之间的数量关系，转化出与所求相关的工作效率，最后再利用先前的假设“把整个工程看成一个单位”，求得问题答案．一般情况下，工程问题求的是时间．熟练掌握工程问题的基本数量关系与一般解法；（1）工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要学会分段处理；（2）根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的统一和转换；（3）工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用．一、 周期性工程问题【例 1】 一件工程，甲单独做要小时，乙单独做要小时，如果接甲、乙、甲、乙．．．顺序交替工作，每次小时，那么需要多长时间完成？【考点】工程问题 【难度】4星 【题型】解答 2305解析】 甲小时完成整个工程的，乙小时完成整个工程的，交替干活时两个小时完成整个工程的，甲、乙各干小时后完成整个工程的，还剩下，甲再干小时完成整个工程的，还剩下，乙花小时即分钟即可完成．所以需要小时分钟来完成整个工程．【答案】小时分钟2305巩固】 一项工程，甲单独完成需l2小时，乙单独完成需15小时。

教学过程一、复习预习今天我们主要讲解分数问题中转化单位”1”的问题，通过学习懂得把不同的数量当做单位”1”，得到的分率可以在一定的条件下转化。

另外我们还要学习工程问题中的一些解题方法。

二、知识讲解理论点1：如果甲是乙的ab，乙是丙的cd，则甲是丙的acbd。

理论点2：工作量=工作效率×工作时间，工作时间=工作量÷工作效率，工作效率=工作量÷工作时间。

三、例题精析【例题1】单独干某项工程，甲队需100天完成，乙队需150天完成。

甲、乙两队合干50天后，剩下的工程乙队干还需多少天？【解析】以全部工程量为单位1。

甲队单独干需100天，甲的工作效【例题2】一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可完成。

如果甲、乙合做，那么多少天可以完成？【答案】1 133天【解析】分析与解：本题没有直接给出工作效率，为了求出甲、乙的工作效率，我们先画出示意图：从上图可直观地看出：甲15天的工作量和乙12天的工作量相等，即甲5天的工作量等于乙4天的工作量。

于是可用“乙工作4天”等量替换题中“甲工作5天”这一条件，通过此替换可知乙单独做这一工程需用20+4=24（天）甲、乙合做这一工程，需用的时间为【例题3】小明看一本故事书，第一天看了全书的121还少5页，第二天看了全书的151还多3页，还剩206页。

这本故事书一共有多少页？【解析】分析：因为第一天、第二天都是与全书比较，所以应以全书的页数为单位【例题4】一本文艺书，小明第一天看来全书的21，第二天看了余下的31，第三天看了再余下的51，还剩下80页。

这本书共有多少页？【解析】本题条件中单位“1”的量在变化，依次是“全书的页数”、“第一天看后余下的页数”、“第二天看后余下的页数”，出现了3个不同的单位“1”。

按照常规思路，需要统一单位“1”，转化分率。

但在本题中，不统一单位“1”反而更方便。

我们先把全书看成“1”，看成“1”，就可以求出第三天看后余下的部分占全书的四、课堂运用【基础】 1. 某项工程，甲单独做需36天完成，乙单独做需45天完成。

1、有一辆自行车，前轮和后轮都是新的，可以互换。

轮胎在前轮位置可以行驶5000千米，在后轮位置可以行驶3000千米。

使用两个新轮胎，这辆自行车最多能行驶（ ）千米？ 分析：
1、本题表面是一道行程问题，有距离5000千米和3000千米，但行程问题主要是三个基本量：时间、速度、路程之间的各种关系运算与转换，但本题只有一个路程，所以无法求解。

2、如果我们把它看成一个工程问题就简单了，工程问题也是三个基本量：工作总量、工作效率、工作时间。

我们可以把一个新轮磨损到报废看成是完成一个任务，这个任务就是单位“1”，那么在前轮位置去完成这个任务每千米的效率是
50001，在后轮位置去完成这个任务的效率是30001。

那我们一共有两个轮子的任务要去完成，这样有了
工作总量：1+1=2 工作效率和：30001
50001
+
我们就可以求出了工作时间，也就是总里程数。

具体解答： 解：由题意可知，前轮位置的工作效率为
50001，后轮位置的工作效率为30001，
可列式为：()()千米3750300015000111=⎪⎭⎫ ⎝⎛+÷+
答：使用两个新轮胎，这辆自行车最多能行驶3750千米。

解题心得：
同学们：能看懂这个题的解答，你就具备了学好工程问题的能力，再对一些解答题进行列式解答时，不要只看题目的表面去判断它是哪种类型，不要使自己的思维僵化，要根据条件去认真分析，很多类型的题是可以相互转化的，往往变化到其他类型后，解答起来更容易。

希望你在学习过程中更多的体会到的是巧妙的解题方法给你带来的乐趣！继续努力吧！！！。