【高中数学教案】人教A版必修5第二章2.5.1《等比数列的前n项和》教案

2.5.1 等比数列的前n项和一、教学内容分析1.教材的地位和作用《等比数列的前n项和》是高中数学人教版第一册（上）第三章《数列》第五节的内容，教学大纲安排本节内容授课时间为两课时，本节课作为第一课时，重在研究等比数列的前n项和公式的推导过程并充分揭示公式的结构特征、内在联系及公式的简单应用．《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容,就知识的应用价值上看，它是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在现实生活中有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等,另外公式推导过程中所渗透的类比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法,都是学生今后学习和工作中必备的数学素养．就内容的人文价值来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、归纳、猜想、证明，这有助于培养学生的创新思维和探索精神,同时也是培养学生应用意识和数学能力的良好载体2．教学的重点等比数列前n项和公式的推导及公式的简单应用．二、学情分析1.学情分析知识基础：前几节课学生已学习了等差数列求和，等比数列的定义及通项公式等内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用.认知水平与能力：高一学生初步具有自主探究的能力，能在教师的引导下独立、合作地解决一些问题，但从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和公式的形成、特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有所不同，这对学生q 这一特殊情况，学生也往往容易忽略，尤的思维是一个突破，另外，对于1其是在后面使用的过程中容易出错．任教班级学生特点：我班学生基础知识较扎实、思维较活跃，能够较好的理解教材上的内容，能较好地在教师的引导下独立、合作地解决一些问题．2.教学难点基于上述分析，确定本节课教学难点：错位相减法的生成和等比数列前n项和公式的运用．三、教学目标的确定课程标准要求“了解几何概型的意义”“注重概念的生成过程”“数学思想和方法蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中”，结合本课教材的特点、学生的认知水平，我从三个方面确定教学目标：①知识与技能目标理解用错位相减法推导等比数列前n项和公式的过程，掌握公式的特点，并在此基础上能初步应用公式解决与之有关的问题．②过程与方法目标通过对公式的研究过程，提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质．③情感、态度与价值目标通过学生自主对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，并从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美.四、教法和学法课程标准明确指出“要注重提高学生的数学思维能力”，即“在学生学习数学运用数学解决问题时，应经历直观感知、观察发现、归纳类比、空间想象、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程”。

课题：2.5 等比数列的前n 项和（第一课时）一 教学目标:1. 知识与技能目标:掌握等比数列求和公式,并能用之解决简单的问题。

通过对公式的推导,对学生渗透方程思想、分类讨论思想以及等价转化思想。

2.过程与方法目标：通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题能力；体会公式探求中从特殊到一般的数学思想，同时渗透如上所说的多种数学思想。

3.情感与态度目标：通过公式的推导与简单应用，激发学生求知欲，鼓励学生大胆尝试，敢于探索、创新的学习品质。

二 教学重点难点重点：等比数列项前n 和公式的推导与简单应用。

难点：等比数列n 项和公式的推导。

三 教学方法：启发引导，探索发现（多媒体辅助教学）。

现代教学理论认为，在教学过程中，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者，教学的一切活动都必须以强调学生的主动性、积极性为出发点。

五 学情分析本节课是在学习了有关数列的知识如等差数列概念及通项公式和等差数列的前n 项和公式以及等比数列的概念，本课是为了进一步学习数列知识并能够解决一类求和问题。

学生具有初步的自主探究能力，思想活跃，敢于猜想，在老师的引导下能够独立的解决问题，但学生缺乏冷静容易片面不严谨，并且在推导过程中学生容易将等比数列前n 项和的推导方法与之进行类比，要将此点突破。

六 教学过程：1．创设情境，导入新课：1）复习旧知，铺垫新知：（1）等比数列定义及通项公式；（2）等比数列的项之间有何特点？说明：如此设计目的是在于引导学生发现等比数列各项特点：从第二项起每一项比前一项多乘以q ，从而为“错位相减法”求等比数列前n 和埋下伏笔。

2）问题情境，引出课题：话说猪八戒自西天取经回到了高老庄，从高员外手里接下了高老庄集团，摇身变成了CEO ．可好景不长，便因资金周转不灵而陷入了窘境，急需大量资金投入，孙悟空很爽快地同意，答应每天给他第一天1万元，，第二天2万元，第三天3万元，连续一个月（30天），但是有一个条件，第一天返还1元，第二天返还2元，第三天返还4元…后一天返还数为前一天的2倍，假如你是八戒养猪集团的总裁秘书，请你帮八戒决策一下！注：师生合作分别给出两个和式：万46530321S 30=++++= ①②①学生会求，对②学生知道是等比数列项前n 和的问题但却感到不会解！问1：能不能用等差数列求和方法去求？（不行）问2：怎么办？（用追问的方式引出课题）希望通过本节课的学习我们能帮八戒算出到底需要还多少钱？到底是它占了大便宜还是悟空更有谋略呢？2．师生互动，新课探究：对于一个一般的等比数列，我们如何求出它的前n 项和呢？()()()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--====-⋅-=--=≠⋅-=--⋅+⋅++⋅+⋅=⋅++⋅+⋅+=++++=--1,1111,S 1111112121S 11111111111211112111321q q q a a q q a q na na S q qq a a q q a S q qa a S q q a q a q a q a qS qq a q a q a a S a a a a n nn n nnn n n n n n n nn 式采用错位相减法推导公时，当时，当分类讨论等式两边同乘公比 告知学生推导公式的方法（错位相减法），需要注意事项3．师生共同解决遗留问题公式推导完后由学生解答刚才遗留问题？如何计算八戒需要还钱数？亿1010737418241-22-122-122221S 3029293230≈≈=⋅=++++= 因此是悟空更有谋略4．例题讲解例一. 课本63页(叫学生上黑板完成)()()0,81,121618*********<==q a a ，，，，项的和求下列数列的前()()[]()-1640313118,30,181,81,1288451=----⨯==-=<⨯===S n q q q a a 由于可得又由可得解：由5．牛刀小试：练习例1教师板演示范，强调解题的规范。

2.5《等比数列的前n项和》教学设计一、教学理念依照数学课程标准的“数学是人类文化的重要组成部分，构成了公民所必须具备的一种基本素质．”即我们不仅要重视数学的应用价值，更要注重其思维价值和人文价值，我们数学教师应该创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，创设教学情境，让学生通过主动参与、积极思考、与人合作交流和创新等过程，获得情感、能力、知识的全面发展．本节课力图打破常规，充分体现以学生为本，全方位培养、提高学生素质，实现课程观念、教学方式、学习方式的转变．二、教材内容分析从高中数学的整体内容来看，《数列》这一章是高中数学的重要内容之一，在整个高中数学领域里占据着重要地位，也起着决定性的作用.首先：数列有着广泛的实际应用.例如产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计算等. 其次：数列有着承前启后的作用.数列是函数的延续，它实质上是一种特殊的函数；学习数列又为进一步学习数列的极限等内容打下基础. 再次：数列也是培养提高学生思维能力的好题材.学习数列要经常观察、分析、猜想，还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题，这些都有利于学生数学能力的提高.本节之前，学生已学习了数列的定义、等比数列、等比数列的通项公式等知识内容,这为过渡到本节的学习起着铺垫作用，而本节内容也为后面学习数列求和打下基础.本节课既是本章的重点，同时也是教材的重点.三、学生学情分析我校在吉林市学生层次较好，我所授课的班级是我校的实验班，学生数学能力较强，基础知识较为扎实。

通过前几节的学习，探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼且奠定了必要的知识和经验基础。

四、教学目标在对教材和教学目标及学情分析后，我确定出本节课的教学目标：知识目标：理解等比数列的前n项和公式及简单应用,掌握等比数列前n项和公式的推导方法。

能力目标：培养学生观察、思考和解决问题的能力；加强特殊到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想的培养。

情感目标：通过对公式推导方法的探索与发现，优化学生的思维品质，渗透事物之间等价转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点；培养学生学习数学的积极性，锻炼学生遇到困难不气馁的坚强意志和勇于创新的精神.教学重点：公式的推导和公式的运用．教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用．公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。

《数列求和》教学设计【课例解析】1、教材的地位和作用本节课是人教A版《数学（必修5）》第2章数列学完基础知识后的一节针对数列求和方法的解题课。

通过本节课的教学让学生感受倒序相加、裂项相消、错位相减等求和法在数列求和中的魅力，并把培养学生的建构意识和合作、探究意识作为教学目标。

2、学情分析在此之前，学生学习了数列的一般概念，又对等差、等比数列从定义、通项、性质、求和等方面进行了深入的研究。

在研究过程中，数列求和问题重点学习了通过转化为等差、等比数列求和的方法，在推导等差、等比数列求和公式时分别用到了倒序相加法、错位相减法，本节课在此基础上进一步对上述数列求和方法做深入的研究、应用。

本节课的内容和方法正处于学生的认知水平和知识结构的最近发展区，学生能较好地完成本节课的教学任务。

【方法阐释】本节课的教学采用“学力课堂”模式，分为“自学、互学、展学、导学、练学”五个教学环节，五个环节并不是简单的顺次递进，而是有机的相互融合。

本节课从学生回顾等差数列、等比数列求和公式推导过程中用到的倒序相加、错位相减求和法引入，从自主探究题组及问题探究入手展开教学，引导学生自主发现几种常见求和法，并很快进入深层次思维状态。

接下来的课堂探究题组、课堂练学题组又更进一步加强几种求和法的应用。

【目标定位】1 、知识与技能目标掌握几种解决数列求和问题的基本思路、方法和适用范围。

进一步熟悉数列求和的不同呈现形式及解决策略。

2 、过程与方法目标经历数列几种求和法的探究过程、深化过程和应用过程。

培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力。

体会知识的发生、发展过程，培养学生的学习能力。

3 、情感与价值观目标通过数列几种求和法的归纳应用，使学生认识到在学习过程中的一切发现、发明，一切好的想法和念头都可以发扬光大。

激发学生的学习热情和创新意识，形成锲而不舍的钻研精神和合作交流的科学态度。

感悟数学的简洁美﹑对称美。

【教学重、难点】本节课的教学重点为倒序相加、裂项相消、错位相减求和的方法和形式。

2.5《等比数列的前n 项和》（第二课时）一、能力要求：1、熟练掌握等比数列的前n 项和公式，并能够灵活运用；2、掌握证明一个数列为等比数列的基本思路。

二、教学重点、难点：重点： 熟练应用等比数列的前n 项和公式。

难点：证明一个数列是等比数列；由前n 项和公式求数列的通项公式。

三、新课讲解：前n 项和与项的关系：⎩⎨⎧-=-11n nn S S a a ()()21≥=n n 。

注意：由1--=n n n S S a 推导出的n a 的表达式适合于2≥n 的各种情形，但对于1=n 是否合适，要加以验证。

否则数列{}n a 的通项公式就要写成分段形式。

四、例题讲解：例1、在等比数列{}n a （n ∈N *）中，若11a =，418a =，求该数列的前10项和。

例2、等比数列{}n a 的前3项和为13，前6项和为364，求12S 。

例3、已知数列{}n a 的前n 项和215-=n n S ，求数列{}n a 的通项公式。

{}n a 是否为等比数列？若是请证明。

若不是请说明理由。

变式：若等比数列{}n a 的前n 项和a S n n +=3，则a 等于 （ ）A. 4-B. 2-C. 0D. 1-例4、数列{}n a 满足()2121,111≥+==-n a a a n n 。

（1） 若2-=n n a b ，求证{}n b 为等比数列；（2）求{}n a 的通项公式。

五、小结：通过本节课的学习，应熟练掌握等比数列前n 项和公式的应用，能够用一些较特殊的方法解决等比数列问题。

2.5 等比数列的前n 项和【教学目标】1.知识与技能：探索并掌握等比数列的前n 项和公式，并用公式解决实际问题。

2.过程与方法：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式。

3.情感态度与价值观：从“错位相减法”这种算法中，体会“消除差别”，培养学生的化简能力，在本节课的学习过程中培养合作交流、解决问题能力。

【教学重难点】教学重点：使学生掌握等比数列的前n 项和公式，用等比数列的前n 项和公式解决实际问题。

教学难点：由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前n 项和公式。

【教学过程】（一）新课导入给出数列：n 2,,2,2,232提问学生此数列是否为等比数列，如果是，那它的首项和公比分别是什么？那它的前n 项和又为多少呢？所以这节课就来探究此问题，引出本节课的课题。

（二）新知探究一般地，对于等比数列n a a a ,,21，它的前n 项和可以写n n a a a S +++= 21，由等比数列的通项公式，上式可以替换成1111-+++=n n q a q a a S ①小组合作探究，观察此式子的特征，让学生探讨如何化解此计算式从而得到n S .学生合作探究得出：将①式左右同时乘以q ，得到n n q a q a q a qS 1211+++= ②，①式和②式有1-n 个相同的项，所以通过两式相减就可以得到n n q a a S q 11)1(-=-，进而得 到qq a S n n --=1)1(1，这时1≠q ，当1=q 时，1na S n =. 师：这种两个式子错开一项的方法叫做错位相减法问：得到的两个前n 项和的公式是数学符号的形式，可不可以用文字语言刻画这两个式子呢？生：当公比不等于1时，等比数列的前n 项和为1减公比分之首项乘以1减公比的项数次方，当公比等于1时，等比数列的前n 项和为项数乘以首项通过对等比数列前n 项和公式和通项公式的观察，发现qq a S n n --=1)1(1可以替换为q q a a S n n --=11.由此学生得到等比数列前n 项和的另一个式子qq a a S n n --=11. （三）课堂练习师：通过刚才对等比数列的前n 项和公式的学习，可以解决开头所提到的问题，师生共同解答。

课 题： 等比数列的前n 项和（一）教学目的：1．掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路．2．会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列的一些简单问题 教学重点：等比数列的前n 项和公式推导教学难点：灵活应用公式解决有关问题授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教材分析：本节是对公式的教学，要充分揭示公式之间的内在联系，掌握与理解公式的来龙去脉，掌握公式的导出方法，理解公式的成立条件．也就是让学生对本课要学习的新知识有一个清晰的、完整的认识、忽视公式的推导和条件，直接记忆公式的结论是降低教学要求，违背教学规律的做法教学过程：一，情景引入话说唐僧师徒四人西天取得真经，修成正果之后，猪八戒回到他朝思暮想的高老庄，大力发展畜牧养殖业，从给高老爷做工的农民工，逐步发展成为一个规模不小的养殖场的老板。

可是上网和同门师兄一沟通，各个资产过亿，于是他也想扩大生产规模，办一个集养殖、加工为一体的高科技生产企业-----高老庄集团，可是资金不够，于是他想到了在海南搞房地产的大师兄。

猪八戒：猴哥,能不能帮帮我…… 孙悟空：No problem ！我每天给你投资100万元， 连续一个月(30天)，但有一个条件：第一天返还1元，第二天返还2元，第三天返还4元…… 后一天返还数为前一天的2倍．30天之后互不相欠。

猪八戒：第一天出１元入100万；第二天出2元入100万;第三天出4元入100万元；……哇，发了……（想：这猴子是不是又在耍我） 我们现在再来算一下八戒需还的钱数 282964124822S =+++++即求以1为首项，2为公比的等比数列的前29项的和，可表示为： 282964124822S =+++++ ①22930642481622S =+++++ ② 由②—①可得：306421S =-这种求和方法称为“错位相减法” “错位相减法”，是研究数二，新课讲解：1. 公式推导：一般地，设等比数列 n a a a a ,,321+它的前n 项和是=n S n a a a a +++321由⎩⎨⎧=+++=-11321n nn n q a a a a a a S 得⎪⎩⎪⎨⎧++++=++++=---n n n n n n qa q a q a q a q a qS q a q a q a q a a S 1113121111212111 n n q a a S q 11)1(-=-∴ ∴当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 ① 或qq a a S n n --=11 ②当q=1时，1na S n =“方程”在代数课程里占有重要的地位，方程思想是应用十分广泛的一种数学思想，利用方程思想，在已知量和未知量之间搭起桥梁，2.公式辨析 判断正误：1. 2.反思总结:用公式前，先弄清楚数列的首项 ,公比 ,项数n3.例题讲解例1 求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和.解：由2 2,121===q a a 得1521)21(144=--⨯=∴S ， 102321)21(11010=--⨯=S 从第5项到第10项的和为10S -4S =1008例2 一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？11(12)1248(2)12n n -⨯--+-++-=-231(12)1222212n n ⨯-+++++=-解：根据题意可知，获知此信息的人数成首项2,11==q a 的等比数列 则：一天内获知此信息的人数为：12212124244-=--=S q=1时，n S =n 1a ；当1≠q 时，qq a a S n n --=11 或q q a S n n --=1)1(1 （含字母已知数的等比数列求和题目，学生常忽略q=1情况，要引起足够重视，以培养学生思维的严密性）4.练习：{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项和，数列k k k kk S S S S S 232,,--（+∈N k ）是否仍成等比数列？ 解：设{},n a 首项是1a ，公比为q,①当q =－1且k 为偶数时，k k k k k S S S S S 232,,--不是等比数列.∵此时，k k k k k S S S S S 232-=-= =0.例如：数列1,－1,1,－1,…是公比为－1的等比数列，46242S S S S S -=-=S 2=0,②当q ≠－1或k 为奇数时，k S ＝k a a a a +++3210≠k k S S -2＝)(321k k a a a a q +++0≠k k S S 23-＝)(3212k k a a a a q +++0≠⇒k k k k k S S S S S 232,,--（+∈N k ）成等比数列评述：应注意等比数列中的公比q 的各种取值情况的讨论，还易忽视等比数列的各项应全不为0的前提条件.5、小结1. 等比数列求和公式：当q=1时，1na S n =当1≠q 时，qq a a S n n --=11 或q q a S n n --=1)1(1 ； 2．这节课我们从已有的知识出发，用多种方法（迭加法、运用等比性质、错位相减法、方程法）推导出了等比数列的前n 项和公式，并在应用中加深了对公式的认识．6.课后作业：已知数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，求证7S ,14S －7S ,21S －14S 成等比数列.7.板书设计。