心流学院(心流数学)—高等数学考研真题训练—一元函数积分学

[考研类试卷]考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编15一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1 (12年)设I k=∫0kπsinxdx(k=1．2，3)，则有（A）I1＜I2＜I3（B）I3＜I2＜I1（C）I2＜I3＜I1（D）I2＜I1＜I32 (13年)设函数f(x)=F(x)=∫0x f(t)dt，则（A）x=π是函数F(x)的跳跃间断点．（B）x=π是函数F(x)的可去间断点．（C）F(x)在x=π处连续但不可导．（D）F(x)在x=π处可导．3 (13年)设函数f(x)=若反常积分∫1+∞f(x)dx收敛，则（A）α＜一2．（B）α＞2．（C）-2＜α＜0．（D）0＜α＜2．4 (15年)下列反常积分中收敛的是5 (16年)已知函数f(x)=，则f(x)的一个原函数是6 (16年)反常积分的敛散性为（A）①收敛，②收敛．（B）①收敛，②发散．（C）①发散，②收敛．（D）①发散，②发散．7 (17年)设二阶可导函数f(x)满足f(1)=f(一1)=1，f(0)=一1，且f"(x)＞0，则（A）∫-11f(x)dx＞0．（B）∫-11f(x)dx＜0．（C）∫-10(f(x)dx＞∫01f(x)dx．（D）∫-10f(x)dx＜∫01f(x)dx．8 (17年)甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处．图中，实线表示甲的速度曲线v=v1(t)(单位：m，／s)，虚线表示乙的速度曲线v=v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3．计时开始后追上甲的时刻记为t0(单位：s)，则（A）t0=10．（B）15＜t0＜20．（C）t0=25．（D）t0＞25．9 (18年)设函数f(x)在[0，1]上二阶可导，且∫01f(x)dx=0，则（A）当f'(x)＜0时，（B）当f"(x)＜0时，（C）当f'(x)＞0时，（D）当f"(x)＞0时，10 (18年)设则（A）M＞N＞K．（B）M＞K＞N．（C）K＞M＞N．（D）K＞N＞M．二、填空题11 (12年)12 (13年)设函数f(x)=则y=f(x)的反函数x=f-1(y)在y=0处的导数13 (13年)设封闭曲线L的极坐标方程为r=cos3θ．则L所围平面图形的面积是________．14 (14年)15 (14年)一根长为1的细棒位于x轴的区间[0,1]上，若其线密度ρ(x)=-x2+2x+1．则该细棒的质心坐标=______．16 (15年)设函数f(x)连续．φ(x)=。

考研数学一（一元函数积分学）历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．[2010年]设m，n均是正整数，则反常积分的收敛性( )．A．仅与m的取值有关B．仅与n的取值有关C．与m，n的取值都有关D．与m，n的取值都无关正确答案：D解析：易看出所给的反常积分有两个瑕点x=0与x=1，因而先将该反常积分分解为两个单一型的反常积分之和，即记．下面讨论I1的敛散性．(1)设n＞1，取，因知，I1收敛；(2)设n=1，m=1，2，则，此时I1已不是反常积分，当然收敛；(3)设n=1，m＞2，取P=1—2／m，则0＜p＜1，且有可知I1也收敛．综上所述，无论m，n取何正整数，I1均收敛．下面讨论I2的敛散性．对任意0＜p ＜1，知，对任意正整数n，m，有可得I2=∫1/21f(x)dx收敛．因此对任意正整数m，n，所给反常积分都收敛．仅D入选．知识模块：一元函数积分学2．[2016年]若反常积分收敛，则( )．A．a＜1且b＞1B．a＞1且b＞1C．a＜1且a+b＞1D．a＞1且a+b＞1正确答案：C解析：因收敛，故上述等式右端的两个反常积分收敛，当a＜1时，收敛．当a+b＞1时，收敛，因而仅C入选．知识模块：一元函数积分学3．[2017年] 甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处，下图中，实线表示甲的速度曲线v=v1(t)(单位：m／s)，虚线表示乙的速度曲线v=v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0(单位：s)，则( )A．t0=10B．15＜t0＜20C．t0=25D．t0＞25正确答案：C解析：从0到t0时刻，甲、乙的位移分别为∫0t0v1(t)dt与∫0t2v2(t)dt，要使乙追上甲，则有[v2(t)-v1(t)]dt=10，由定积分的几何意义可知，∫025[v2(t)-v1(t)]dt=20—10=10 ，可知t0=25．仅C入选．知识模块：一元函数积分学填空题4．[2002年] =______.正确答案：1解析：故知识模块：一元函数积分学5．[2013年]=______.正确答案：ln2解析：知识模块：一元函数积分学6．[2011年] 曲线y=∫0xtantdt 的弧长s=______．正确答案：解析：因y’(x)=tanx，故知识模块：一元函数积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷8(题后含答案及解析)全部题型 3. 解答题解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1．设曲线L的长度为l，且．证明：正确答案：Pdx＋Qdy＝{P，Q).{dx，dy}，因为｜a.b｜≤｜a｜｜b｜，涉及知识点：高等数学部分2．如图1．3—1，设曲线方程为梯形QABC的面积为D，曲边梯形OBC 的面积为D1，点A的坐标为(a，0)，a＞0，证明：正确答案：涉及知识点：一元函数积分学3．设函数f(x)在闭区间[0，1]上连续，在开区间(0，1)内大于零，并且满足又曲线y=f(x)与x=1，y=0所围的图形S的面积值为2．求函数y=f(x)，并问a 为何值时，图形S绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积最小．正确答案：由题设，当x≠0时，据此并由f(x)在点x=0处的连续性，得又由已知条件旋转体的体积为,故当a=-5时，旋转体体积最小。

涉及知识点：一元函数积分学4．设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y’(x)>0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1一S2恒为1，求此曲线y=y(x)的方程．正确答案：曲线y=y(x)上点P(x，y)处的切线方程为Y—y=y’(X—x)．它与x 轴的交点为由于y’(x)＞0，y(0)=1，从而y(x)＞0，于是两边对x求导并化简得yy’’=(y’)2．令P=y’，则上述方程可化为注意到y(0)=1，并由①式得y’(0)=1．由此可得C1=1，C2=0，故所求曲线的方程是y=ex．涉及知识点：一元函数积分学5．设有一正椭圆柱体，其底面的长、短轴分别为2a，2b，用过此柱体底面的短轴且与底面成a的平面截此柱体，得一楔形体(如图1．3—2)，求此楔形体的体积V.正确答案：底面椭圆的方程为以垂直于y轴的平行平面截此楔形体所得的截面为直角三角形，两直角边长分别为楔形体的体积涉及知识点：一元函数积分学6．计算曲线y=ln(1-x2)上相应于的一端弧的长度．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学7．求心形线r=a(1+cosθ)的全长，其中a＞0是常数．正确答案：涉及知识点：一元函数积分学8．求极限正确答案：涉及知识点：一元函数积分学9．设f(x)在(一∞，+∞)内连续，以T为周期，则(1)(2)(3)∫f(x)dx(即f(x)的全体原函数)周期为正确答案：(1)(2)(3) 涉及知识点：一元函数积分学10．正确答案：涉及知识点：高等数学部分11．设收敛，举例说明级数不一定收敛；若是正项收敛级数，证明一定收敛．正确答案：涉及知识点：高等数学部分12．正确答案：涉及知识点：高等数学部分13．若正项级数收敛，证明：收敛．正确答案：涉及知识点：高等数学部分14．正确答案：涉及知识点：高等数学部分15．正确答案：涉及知识点：高等数学部分16．设{nan}收敛，且收敛，证明：级数收敛．正确答案：令Sn＝a1＋a2＋…＋an，Sn＋1’＝(a1一a0)＋2(a2－a1)＋…＋(n ＋1)(an＋1一an)，涉及知识点：高等数学部分17．正确答案：涉及知识点：高等数学部分18．证明：(1)设an＞0，且{nan}有界，则级数收敛；(2)正确答案：(1)(2) 涉及知识点：高等数学部分19．正确答案：涉及知识点：高等数学部分20．设{un}，{cn}为正项数列，证明：正确答案：涉及知识点：高等数学部分21．对常数p，讨论幂级数的收敛区间．正确答案：，得幂级数的收敛半径为R＝1．(1)当p＜0时，记q＝－p，则有，因而当x＝±1时，发散，此时幂级数的收敛区间为(一1，1)；(2)(3) 涉及知识点：高等数学部分22．设f(x)在区间[a，b]上满足a≤f(x)≤b，且有｜f’(x)｜≤q＜1，令un＝f(un－1)(n＝1，2，…)，u0∈[a，b]，证明：级数绝对收敛．正确答案：由｜un＋1一un｜＝｜f(un)一f(un－1)｜＝｜f’(ξ1)｜｜un一un－1｜≤q｜un－un－1｜≤q2｜un－1－un－2｜≤…≤qn｜u1－u0｜涉及知识点：高等数学部分23．设f(x)在(一∞，＋∞)内一阶连续可导，且．证明：收敛，而发散．正确答案：涉及知识点：高等数学部分24．设f(x)在x＝0的某邻域内二阶连续可导，且．证明：级数绝对收敛．正确答案：涉及知识点：高等数学部分25．设y＝y(x)满足y’＝x＋y，且满足y(0)＝1，讨论级数的敛散性．正确答案：由y’＝x＋y得y”＝1＋y’，再由y(0)＝1得y’(0)＝1，y”(0)＝2，根据马克劳林公式，有涉及知识点：高等数学部分26．求幂级数的收敛区间．正确答案：涉及知识点：高等数学部分27．求函数f(x)＝In(1一x一2x2)的幂级数，并求出该幂级数的收敛域．正确答案：f(x)＝ln(1一x一2x2)＝ln(x＋1)(1—2x)＝ln(1＋x)＋In(1—2x)，涉及知识点：高等数学部分28．求幂级数的和函数．正确答案：涉及知识点：高等数学部分29．在(a，b)内至少存在一点ξ，使得f’(ξ)=f(ξ)；正确答案：由加强型的积分中值定理知，至少存在一点c∈(a，b)，使得设G(x)=e-xf(x)，则G(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且G(a)=G(b)=G(c)=0，G’(x)=e-xf’(x)一e-xf(x)=e-x[f’(x)一f(x)]．由罗尔定理知，分别存在ξ1∈(a，c)和ξ2∈(c)，b)，使得G’(ξ1)=G’(ξ2)=0，从而f’(ξ1)=f(ξ1)，f’(ξ2)=f(ξ2)．涉及知识点：一元函数积分学30．在(a，b)内至少存在一点η,η≠ξ，使得f’’(η)=f(η)．正确答案：设F(x)=ex[f’(x)－f(x)]，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F(ξ)=F(ξ)=0，则F’(x)=ex[f’’(x)一f’(x)]+ex[f’(x)一f(x)]=ex[f’’(x)一f(x)]．对F(x)在区间[ξ1，ξ2]上应用罗尔定理，即存在η∈(ξ1，ξ2)，使得F’(η)=0，故有f’’(η)=f’’(η)，且η≠ξi(i=1，2)．涉及知识点：一元函数积分学31．正确答案：涉及知识点：高等数学部分设f(x)的一个原函数为F(x)，且F(x)为方程xy’＋y＝ex的满足的解．32．设f(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，且，试证：至少存在一点ξ∈(0，1)，使f’(ξ)=ξf(ξ)．正确答案：令由此可知f(c)≠0，否则f(1)=0，与题设f(0)f(1)＞0矛盾，不妨设f(c)＞0，则f(1)＜0，f(0)＜0．由连续函数的零点定理知存在a∈(0，c)，b∈(c，1)，使f(a)=f(b)=0，即F(a)=F(b)，由罗尔定理可知，存在ξ∈(a，b)，使F’(ξ)=0，即涉及知识点：一元函数积分学33．f(x)在[0，1]上连续，(0，1)内可导，证明：至少存在一点ξ∈(0，1)，使f’(ξ)=(1一ξ1)f(ξ)．正确答案：令F(x)=xe-xf(x)，因F(1)=e-1(1)=ηe-ηf(η)=F(η)，故在[η，1]C[0，1]上，对F(x)运用罗尔定理，可得ξ∈(η，1)c(0，1)，使f’(ξ)=(1一ξ-1)f(ξ)．涉及知识点：一元函数积分学34．将函数展开成x的幂级数．正确答案：涉及知识点：高等数学部分设，且a0＝1，an＋1＝an＋n(n＝0，1，2，…)．35．设，定义令试证正确答案：容易证明：当t∈(0，1]时，(1)当x∈(0，1]时，由①可得(2) 涉及知识点：一元函数积分学。

考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷6(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设则F(x) ( )A．为正常数B．为负常数C．恒为零D．不为常数正确答案：A解析：因esinxsinx是以2π为周期的周期函数，所以又esinxcos2x≥0，故选A．知识模块：一元函数积分学2．设f(x)是以l为周期的周期函数，则之值( )A．仅与a有关B．仅与a无关C．与a及k都无关D．与a及k都有关正确答案：C解析：因为f(x)是以l为周期的周期函数，所以故此积分与a及k都无关．知识模块：一元函数积分学3．设f(x)是以T为周期的可微函数，则下列函数中以T为周期的函数是( )A．B．C．D．正确答案：D解析：当g(x+T)=g(x)时，因为因为f(x)是以T为周期的函数，所以4个选项中的被积函数都是以T为周期的周期函数，但是仅是以T为周期的函数．知识模块：一元函数积分学4．下列反常积分收敛的是( )A．B．C．D．正确答案：C解析：选项A中，收敛；在选项D中，发散．知识模块：一元函数积分学5．平面π与π1：x一2y＋z一2＝0和π2：x一2y＋z一6＝0的距离之比为1：3，则平面π的方程为( )．A．x一2y＋z＝0B．x一2y＋z一3＝0C．x一2y＋z＝0或x一2y＋z一3＝0D．x一2y＋z—4＝0正确答案：C解析：设所求平面为π：x一2y＋z＋D＝0，在平面π：x一2y＋z＋D＝0上取一点，因为d1：d2＝1：3，所以D＝0或D＝一3，选（C）。

知识模块：高等数学部分6．设则有( )．A．L1∥L3B．L1∥L2C．L2⊥L3D．L1⊥L2正确答案：D解析：三条直线的方向向量为s1＝{一2，一5，3)，s2＝{3，3，7}，s3＝{1，3，一1}×{2，1，一1}＝{一2，一1，一5}，因为s1.s2＝0，所以L1⊥L2，选(D)．知识模块：高等数学部分7．抛物线y2=2x与直线y=x一4所围成的图形的面积为( ).A．B．18C．D．8正确答案：B解析：选积分变量为y(如图1．3—2)，两条曲线的交点知识模块：一元函数积分学8．曲线上相应于x从3到8的一段弧的长度为( ).A．B．C．9D．6正确答案：A解析：知识模块：一元函数积分学填空题9．设z＝f(x，y)二阶可偏导，＝2，且f(x，0)＝1，fy’(x，0)＝x，则f(x，y)＝__________．正确答案：y2＋xy＋1解析：由得，因为fy’(x，0)＝x,所以φ(x)＝x，即＝2y＋x，z＝y2＋xy＋C，因为f(x，0)＝1，所以C＝1，于是z＝y2＋xy＋1．知识模块：高等数学部分10．设(ay一Zxy2)dx＋(bx2y＋4x＋3)dy为某个二元函数的全微分，则a ＝_________，b＝___________。

考研数学一（一元函数积分学）-试卷3(总分66, 做题时间90分钟)1. 选择题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1.设函数f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0．则方程在(a，b)内的根有( )SSS_SINGLE_SELA 0个B 1个C 2个D 无穷多个该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B解析：令则F(x)在[a，b]上连续，而且故F(x)在(a，b)内有根．又，所以F(x)单调增加，它在(a，b)内最多只有一个根．应选B．2.设f(x)连续，f(0)=1，f"(0)=2．下列曲线与曲线y=f(x)必有公共切线的是( )SSS_SINGLE_SELABCD该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：曲线y=f(x)在横坐标x=0对应的点(0，1)处切线为y=1+2x．选项D中函数记为y=F(x)．由F(0)=1，F"(0)=2f(0)=2，知曲线y=F(x)在横坐标x=0对应点处切线方程也为y=1+2x．故应选D．3.设φ(x)在[a，b]上连续，且φ(x)＞0，则函数的图形( )SSS_SINGLE_SELA 在(a，b)内为凸B 在(a，b)内为凹C 在(a，b)内有拐点D 在(a，b)内有间断点该题您未回答:х该问题分值: 2答案:B解析：先将φ(x)利用｜x一t｜的分段性分解变形，有因为φ(t)在[a，b]上连续，所以φ(x)可导，因而答案不可能是D．为讨论其余三个选项，只需求出φ""(x)，讨论φ""(x)在(a，b)内的符号即可．因故y=φ(x)的图形为凹．应选B．4.则 ( )SSS_SINGLE_SELA F(x)为f(x)的一个原函数B F(x)在(一∞，+∞)上可微，但不是f(x)的原函数C F(x)在(一∞，+∞)上不连续D F(x)在(一∞，+∞)上连续，但不是f(x)的原函数该题您未回答:х该问题分值: 2答案:D解析：请看通常的解法：求积分并用连续性确定积分常数，可得但是所以F"+(0)≠F"-(0)．根据原函数定义，F(x)不是f(x)在(一∞，+∞)上的原函数．请考生看看，我们还有更好的方法解决这个问题吗?事实上，由于f(x)有第一类间断点，所以F(x)必然不是其原函数，而变限积分存在就必连续，所以答案自然选择D．5.则在(一∞，+∞)内，下列正确的是 ( )SSS_SINGLE_SELA f(x)不连续且不可微，F(x)可微，且为f(x)的原函数B f(x)不连续，不存在原函数，因而F(x)不是f(x)的原函数C f(x)和F(x)均为可微函数，且F(x)为f(x)的一个原函数D f(x)连续，且F"(x)=f(x)该题您未回答:х该问题分值: 2答案:A解析：可以验证x=0为f(x)的第二类间断点，因为：故x=0为f(x)的第二类振荡间断点，可能存在原函数．通过计算故F(x)可微，即F"(x)=f(x)，故A正确．同样请考生自己得出此题的简捷做法．2. 填空题1.已知函数F(x)的导数为则F(x)=_________．SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：解析：由题意2.SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：，其中C为任意常数解析：3.积分SSS_FILL该题您未回答:х该问题分值: 2答案:正确答案：其中C为任意常数解析：4.设z＝xf(x＋y)＋g(x y，x 2＋y 2 )，其中f，g分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则＝___________。

考研数学二（一元函数积分学）-试卷2(总分：66.00，做题时间：90分钟)一、选择题(总题数：5，分数：10.00)1.选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

（分数：2.00）__________________________________________________________________________________________ 解析：2.由曲线y=x(0≤x≤π)与x轴围成的图形绕x轴旋转所成旋转体的体积为（分数：2.00）A.B.C. √D.3.抛物线y 2 =2x与直线y=x一4所围成的图形的面积为（分数：2.00）A.B. √C.D.解析：解析：选积分变量为y(如图1．3—2)4.曲线x从3到8的一段弧的长度为 ( )（分数：2.00）√C.9D.65.曲线y=ln x与x轴及直线x=，x=e所围成的图形的面积是（分数：2.00）A.B. √C.D.二、填空题(总题数：10，分数：20.00)6.定积分中值定理的条件是f(x)在[a，b]上连续，结论是 1。

（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：在[a，b]上至少存在一点ξ，使∫ a b f(x)dx=f(ξ)(b 一a)，a≤ξ≤b）解析：7.曲线y=x 2与直线y=x+2所围成的平面图形的面积为 1。

（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：4.5）解析：解析：平面图形面积S=∫ 一12 (x+2一x 2．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1）．（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）10.。

（分数：2.00）填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）11.。

《高等数学》一元函数积分学练习题参考答案一元函数积分学 练习题参考答案1. C解析：A. )(0)()(x f x F k x F =='⇒=，正确； B. C C x F x F =+⇒=)(0)(，正确；C. ⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0001cos 1sin 2)(x x xx x x f 在)1,1(-内不连续，但它存在原函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001sin )(2x x xx x F ；D. 根据原函数的定义有：)()(x f x F ='。

显然正确。

2. D解析：由于)()(x f x F ='，故)(x F 在I 上必连续，但未必有界，例如：x1在)1,0(上的原函数是x ln ，而x ln 在)1,0(上就无界。

故选 D3. C解析：只有奇函数的原函数一定是偶函数，偶函数的原函数可能是奇函数，也可能不是。

)(cos x f ，)]()([x f x f x --都是偶函数，故A.，B.，D 不正确。

而)(2x f 的一个原函数为dt t f x F x⎰=2)()(，)()()()(0202x F du u f dt t f x F xtu x-=-−−→−=-⎰⎰-=-，故)(x F 是奇函数，C 正确。

4. C解析：)()(x f x F ='，)(x F 必连续，故)(x F 必存在原函数，C 正确。

5. D解析：1)(lim 0=-→x f x ，41)(lim 0π+=+→x f x ，故0=x 为第一类间断点，A 不正确当)(x f 有第一类间断点),(0b a x ∈，但在),(0x a ，),(0b x 内必连续时，可以证明： dt t f x F xa⎰=)()(，),(b a x ∈，必为],[b a 上的连续函数。

对于本题，不妨有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>++≤++=0344sin 03431)(3x x x x x x x F π，显然 )(x F 是连续的，所以答案C 错误，但4134)344(sin lim )0()(lim )0(00ππ+=-++=-=++→→+x x x x F x F F x x ， 134)3431(lim )0()(lim )0(300=-++=-=--→→-xx x x F x F F x x ， )0()0(-+≠F F ，故)(x F 在0=x 处不可导。

考研数学二（一元函数积分学）历年真题试卷汇编14(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．(05年)设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，“MN”表示“M的充分必要条件是N”，则必有A．F(x)是偶函数f(x)是奇函数．B．F(x)是奇函数f(x)是偶函数．C．F(x)是周期函数f(x)是周期函数．D．F(x)是单调函数f(x)是单调函数．正确答案：A解析：令f(x)=cosx．F(x)=sinx+1．显然f(x)是偶函数，但F(x)不是奇函数．所以(B)不正确；令F(x)=sinx+x，f(x)=cosx+1．显然f(x)是周期函数，但F(x)不是周期函数，故(C)不正确；令F(x)=x2，f(x)=2x．显然f(x)是单调函数，但F(x)不是单调函数．则(D)不正确，故应选(A)．知识模块：一元函数积分学2．(06年)设f(x)是奇函数，除x=0外处处连续，x=0是其第一类间断点，则∫0xf(t)dt是A．连续的奇函数．B．连续的偶函数．C．在x=0间断的奇函数．D．在x=0间断的偶函数．正确答案：B解析：由于f(x)是奇函数，则∫0xf(t)dt是偶函数．又由于f(x)除x=0外处处连续，且x=0是其第一类间断点，则f(x)在任何一个有限区间上可积，从而∫0xf(t)dt为连续函数．故应选(B)．知识模块：一元函数积分学3．(07年)如图，连续函数y=f(x)在区间[一3，一2],[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[一2，0]，[0，2]上的图形分别是直径为2的下、上半圆周．设F(x)=∫0xf(t)dt，则下列结论正确的是A．B．C．D．正确答案：C解析：根据定积分的几何意义知，也可用排除法：由定积分的几何意义知F(一2)=也可利用f(x)是奇函数,则F(x)=∫0xf(t)dt为偶函数．从而F(3)=F(一3)=[]F(2)=F(一2)=故(A)(B)(D)均不正确．故应选(C)．知识模块：一元函数积分学4．(08年)如图，曲线段的方程为y=f(x)，函数f(x)在区间[0，a]上有连续的导数，则定积分∫0axf’(x)dx等于A．曲边梯形ABOD的面积．B．梯形ABOD的面积．C．曲边三角形ACD的面积．D．三角形ACD面积．正确答案：C解析：∫0axf’(x)dx=∫0axdf(x)=xf(x)|0a—∫0af(x)dx =af(a)一∫0af(x)dx 其中af(a)应等于矩形ABOC的面积，∫0af(x)dx应等于曲边梯形ABOD的面积，则∫0axf’(x)dx应等于曲边三角形ACD的面积．知识模块：一元函数积分学5．(09年)设函数y=f(x)在区间[一1，3]上的图形为则函数F(x)=∫03f(t)dt 的图形为A．B．C．D．正确答案：D解析：由题设知，当x∈(一1，0)时F’(x)=f(x)，而当x∈(一1，0)时f(x)≡1＞0，即F’(x)＞0，从而F(x)单调增．显然(A)选项是错误的，因为(A)选项中F(x)在(一1，0)中单调减．由于F(x)=∫0xf(t)dt，则F(0)=0，显然(C)选项错误．由于当x∈(2，3]时f(x)≡0，则当x∈(2，3]时F(x)=∫0xf(t)dt=∫02f(t)dt+∫2xf(t)dt=∫02f(t)dt+∫2x0dt=F(2)则(B)是错误的，(D)是正确的．知识模块：一元函数积分学6．(10年)设m,n均是正整数，则反常积分的收敛性A．仅与m的取值有关．B．仅与n的取值有关．C．与m，n的取值都有关．D．与m,n的取值都无关．正确答案：D解析：反常积分有两个元界点，x=0和x=1．先考察x=0，当x→0时则反常积分同敛散．再讨论x=1．令0＜p＜1故原反常积分的敛散性与m和n的取值无关．知识模块：一元函数积分学7．(11年)设则，I,J，K的大小关系为A．I＜J＜K．B．I＜K＜J．C．J＜I＜K．D．K＜J＜I．正确答案：B解析：当x∈时．sinx＜cosx＜1＜cotx，而lnx为单调增的函数，则故应选(B)．知识模块：一元函数积分学填空题8．(11年)设函数,则∫-∞+∞xf(x)dx=______．正确答案：解析：∫-∞+∞xf(x)dx=λ∫0+∞xe-λxdx=一∫0+∞xde-λx=-xe-λx|0+∞+∫0+∞eλxdx= 知识模块：一元函数积分学9．(05年)正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学10．(06年)设函数f(x)=在x=0处连续，则a=_______．正确答案：解析：由于f(x)在x=0处连续，则，而知识模块：一元函数积分学11．(06年)广义积分正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学12．(09年)正确答案：0解析：知识模块：一元函数积分学13．(09年)已知∫-∞+∞ek+xdx=1，则k=______．正确答案：一2．解析：1=∫-∞+∞ek+xdx=2∫0+∞ekxdx=，k=一2．知识模块：一元函数积分学14．(10年)当0≤θ≤π时，对数螺线r=eθ的弧长为_______．正确答案：解析：所求弧长为知识模块：一元函数积分学15．(11年)曲线y=∫0xtantdt的弧长s=________．正确答案：解析：知识模块：一元函数积分学解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学一（一元函数积分学）模拟试卷3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m ×n矩阵，下列选项正确的是A．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs。

线性相关．B．若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．C．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．D．若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．正确答案：A 涉及知识点：一元函数积分学2．设向量组α1，α2，α3线性无关，则下列向量组线性相关的是A．α1-α2，α2-α3,α3-α1．B．α1+α2，α2+α3,α3+α1．C．α1-2α2，α2-2α3,α3-2α1．D．α1+2α2，α2+2α3,α3+2α1．正确答案：A 涉及知识点：一元函数积分学3．设A为n阶实矩阵，AT 是A的转置矩阵，则对于线性方程组(I)：AX=0和(Ⅱ)：AT AX=0，必有A．(Ⅱ)的解是(I)的解，(I)的解也是(Ⅱ)的解．B．(Ⅱ)的解是(I)的解，但(I)的解不是(Ⅱ)的解．C．(I)的解不是(Ⅱ)的解，(Ⅱ)的解也不是(I)的解．D．(I)的解是(Ⅱ)的解，但(Ⅱ)的解不是(I)的解．正确答案：A 涉及知识点：一元函数积分学4．设有齐次线性方程组Ax=0和Bx=0，其中A，B均为m×n矩阵，现有4个命题：①若Ax=0的解均是Bx=0的解，则秩(A)≥秩(B)；②若秩(A)≥秩(B)，则Ax=0的解均是Bx=0的解；③若Ax=0与Bx=0同解，则秩(A)=秩(B)；④若秩(A)=秩(B)，则Ax=0与Bx=0同解．以上命题中正确的是A．①②．B．①③．C．②④．D．③④．正确答案：B 涉及知识点：一元函数积分学5．设A是m×n矩阵，Ax=0是非齐次线性方程组Ax=b所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是A．若Ax=0仅有零解，则Ax=b有唯一解．B．若Ax=0有非零解，则Ax=b有无穷多个解．C．若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0仅有零解．D．若Ax=b有无穷多个解，则Ax=0有非零解．正确答案：B 涉及知识点：一元函数积分学6．非齐次线性方程组Ax=b中未知量个数为n，方程个数为m，系数矩阵A的秩为r，则A．r=m时，方程组Ax=西有解．B．r=n时，方程组Ax=b有唯一解．C．m=n时，方程组Ax=b有唯一解．D．r<n时，方程组Ax=b有无穷多解．正确答案：A 涉及知识点：一元函数积分学7．当x→0时，（1-cosx）ln（1+x2）是比xsinxn高阶的无穷小，而xsinxn 是比ex2-1高阶的无穷小，则正整数n=________.A．1B．2C．3D．4正确答案：B 涉及知识点：一元函数积分学8．当x→0时，f(x)=x-sinax与g(x)=x2ln(1-bx)是等价无穷小，则A．a=1,b=-1/6B．a=1,b=1/6C．a=-1,b=-1/6D．a=-1,b=1/6正确答案：A 涉及知识点：一元函数积分学9．设f(x)和φ(x)在(-∞，+∞)上有定义，f(x)为连续函数，且，(φ)≠0，f(x)有间断点，则A．φ[f(x)]必有间断点B．[φ(x)]2必有间断点C．f[φ(x)]必有间断点D．φ(x)/f(x)必有间断点正确答案：D 涉及知识点：一元函数积分学10．微分方程y”+y=x2+1+sinx的特解形式可设为A．y* =ax2+bx+c+x(Asinx+Bcosx)．B．y* =x(ax2+bx+c+Asinx+Bcosx)．C．y*=ax2+bx+c+Asinx．D．y* =ax2+bx+c+Acosx．正确答案：A 涉及知识点：一元函数积分学11．设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的原函数，则A．当f(x)是奇函数时，F(x)必是偶函数．B．当f(x)是偶函数时，F(x)必是奇函数．C．当f(x)是周期函数时，F(x)必是周期函数．D．当f(x)是单调增函数时，F(x)必是单调增函数．正确答案：B 涉及知识点：一元函数积分学12．已知y=x/lnx是微分方程y’=y/x+φ(x/y)的解，则φ(x/y)的表达式为A．-y2/x2B．y2/x2C．-x2/y2D．x2/y2正确答案：A 涉及知识点：一元函数积分学13．设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y.+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μy2是该方程的解，λy1-μy2是该方程对应的齐次方程的解，则A．λ=1/2,μ=1/2B．λ=-1/2,μ=-1/2C．λ=2/3,μ=1/3D．λ=2/3,μ=2/3正确答案：A 涉及知识点：一元函数积分学14．若f(x)不变号，且曲线y=f(x)在点(1，1)处的曲率圆为x2+y2=2，则函数f(x)在区间(1，2)内A．有极值点，无零点．B．无极值点，有零点．C．有极值点，有零点．D．无极值点，无零点．正确答案：B 涉及知识点：一元函数积分学15．设an＞0(n=l，2，…)，Sn=a1+a2+…+an，则数列{Sn}有界是数列{an}收敛的A．充分必要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分也非必要条件正确答案：B解析：解决数列极限问题的基本方法是：求数列极限转化为求函数极限;利用适当放大缩小法(夹逼定理);利用定积分定义求某些和式的极限. 知识模块：一元函数积分学填空题16．当x→0时，(1-ax2)1/4-1与xsinx是等价无穷小，则z=_________.正确答案：-4 涉及知识点：一元函数积分学17．当x→0时，kx2与[*]是等阶无穷小，则k=___________.正确答案：3/4 涉及知识点：一元函数积分学18．设a=(1，0，-1)T，矩阵A=aaT，n为正整数，则｜aE-An｜=___________．正确答案：a2(a-2n) 涉及知识点：一元函数积分学19．设u=e-x sinx/y,则э2 u/эxэy 在点（2,1/π）处的值________。