2015-2016年福建省莆田六中高二(上)期末数学试卷 (文科班)及答案

莆田六中2015－2016学年高二下6月月考文科数学2016年6月10日满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题有且只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}{}20log 2,32,,xxA xB y y x R =<<==+∈则A B ⋂=（ ） A ．()1,4 B ．()2,4C ．()1,2D ．∅ 2．命题“[1,2]x ∀∈，20x a -≤”为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A ．5a ≥ B ．5a ≤ C ．4a ≥ D ．4a ≤ 3．已知命题:p x R ∀∈,都有20x ≥且220x x -≥，则p ⌝为（ ） A ．x R ∀∈,都有20x ≤或220x x -≤ B ．0x R ∃∈，使得020x ≥或20020x x -≥C ．0x R ∃∈，使得020x ≤且20020x x -≤ D ． 0x R ∃∈，使得020x ≤或20020x x -≤4．函数2(01)xy a a a =+>≠且图象一定过点 ( )A ．(0,1)B ．(1,0)C ． (0,3)D ．(3,0) 5.已知lg 20.3010=，则20002的整数位数是（ ）位。

A.60 B.61 C.602 D.6036．已知命题：设z 是复数，若20z ≥，则z 是实数。

那么它的逆命题、否命题、逆否命题 这三个命题中正确的有（ ）个A ． 0B ．1C ． 2D ．37．已知集合{}0,1,2A =，{},,M x x a b a b A ==+∈A ∈，则集合M 的真子集的个数是（ ）A ．63B ．31C ．15D ．78．实数322()3a =，233()2b =，322log 3c =的大小关系正确的是 ( )A ．c a b <<B ．c b a <<C ．a c b <<D ．a b c <<9．2003年至2015年某城市电影放映场次（单位：万次）的情况如图所示，下列函数模型中，最不适合近似描述这13年间电影放映场次逐年变化规律的是（ ）A. c bx ax x f ++=2)( B. b ae x f x+=)(C. bax e x f +=)( D. b x a x f +=ln )(10.已知函数0()4x e a x f x x x x ⎧+≤⎪=⎨+>⎪⎩，，有最小值，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(4,)+∞ B ．[4,)+∞ C ．(,4)-∞ D ．(,4]-∞ 11.已知A 、B 、C 、D 为函数23()1x f x x -=+图像上的四点，且四边形ABCD 为矩形，则矩形ABCD 的外接圆圆心坐标为（ ）A ．(2,1)-B ．(1,2)-C ．3(,1)2-D ．3(1,)2-12.已知函数,0()1ln ,0kx f x x x x ⎧≤⎪=-⎨⎪>⎩ ，若关于x 的方程(())0f f x =有且只有一个实数解，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(1,0)(0,)-+∞UB ．(,0)(0,1)-∞UC ．(1,0)(0,1)-UD ．(,1)(1,)-∞-+∞U二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设集合{}{}42,311≥=≤-=+x x B x x A ，则=B A Y ____________ 14．若ax x x f 2)(2+-=与1)(+=x ax g 在区间[1,2]上都是减函数，则实数a 的取值范围是 ____ ____ ．15. 已知函数()xf x e ax =-在(3,)+∞单调递增，则实数a 的取值范围是_______________. 16.对任意的正数,,a b c ，不等式222()a b c m ab bc ++≥+都成立，则实数m 的取值范围是 _____ ____ _____。

2015-2016学年福建省莆田六中高二（下）期中考试数学（文）试题一、选择题1．设集合{}1,0,1,2,3A =-，{}220B x x x =->，则A B = （ ）A ．{}2,3B ．(2,3)C ．{}1,3-D ．(1,3)- 【答案】C【解析】试题分析：{}{}220|02B x x x x x x =->=<>或{}1,3A B ∴=-【考点】集合运算2．设集合{}14A x x =<<，集合{}2230B x x x =--≤，则()R A C B = （ ）A ．(1,4)B ．(3,4)C ．(1,3)D ．(1,2)(3,4) 【答案】B 【解析】试题分析：{}{}2230|13B x x x x x =--≤=-≤≤{}()()|343,4R A C B x x ∴=<<=【考点】集合运算3．已知集合{}2A y y x ==，{}lg(1)B x y x ==-，则A B = （ ）A ．[0,1]B ．[0,1)C ．(,1)-∞D ．∅ 【答案】B 【解析】试题分析：{}{}2|0A y y x y y ===≥，{}{}lg(1)|1B x y x x x ==-=<[)0,1A B ∴=【考点】函数定义域值域与集合运算 4．复数21z i=+（i 是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是（ ） A ．(1.1) B ．(1,1)- C ．(1,1)- D ．(1,1)-- 【答案】A【解析】试题分析：()()()21211111i z i z i i i i -===-∴=+++-，对应的点为()1,1 【考点】复数运算5．如图，在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是A 和B ，则21z z =（ ）A ．1255i +B ．2155i +C ．1255i --D ．2155i --【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知()()()2121221122,222555i i z i i z i z i i z i i i -+--=--=∴====-------+ 【考点】复数运算及相关概念6．i为虚数单位，若)(1)i z =，则z =（ ） A ．1 B．2 【答案】A【解析】试题分析：14)(1)4ii i z z i -=∴====-1z ∴=【考点】复数运算及复数的模 7．已知命题1:0,2p x x x∀>+≥，则p ⌝为（ ） A ．10,2x x x ∀>+< B ．10,2x x x ∀≤+<C ．10,2x x x ∃≤+<D ．10,2x x x∃>+<【答案】D【解析】试题分析：全称命题的否定为特称命题，并将结论加以否定，所以p ⌝为10,2x x x∃>+< 【考点】全称命题与特称命题8．“a b >”是“22a b >”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】A【解析】试题分析：由a b >可得到22a b >，反之由22a b >可得到a b >，所以“a b >”是“22a b >”的充分非必要条件 【考点】充分条件与必要条件9．在极坐标系中，与曲线cos ρθ=关于直线6πθ=（R ∈ρ）对称的曲线的极坐标方程是（ ） A ．cos()6πρθ=+ B ．cos()6πρθ=- C ．cos()3πρθ=+ D ．cos()3πρθ=-【答案】D【解析】试题分析：cos ρθ=转化为221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，6πθ=化为y x =，圆关于直线的对称圆为221144x y ⎛⎛⎫-+= ⎪ ⎝⎭⎝⎭，转化为极坐标方程可得cos()3πρθ=-【考点】极坐标方程10．已知命题p ：对于x R ∀∈，恒有222xx-+≥成立，命题q ：奇函数()f x 的图象必过原点．则下列结论正确的是（ ）A ．p q ∧为真B ．()p q ⌝∨为真C ．()p q ∧⌝为真D ．p ⌝为真【答案】C【解析】试题分析：由不等式性质可知命题p 正确；命题q 是假命题，所以()p q ∧⌝为真【考点】复合命题11．设函数()ln(f x x =，则对任意实数a ，b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的（ ）A ．充分必要条件B ．充分而非必要条件C ．必要而非充分条件D ．既非充分也非必要条件 【答案】A【解析】试题分析：()ln(f x x =在定义域内单调递增，())))()1lnlnlnf x x xx f x --====-=- ，函数为奇函数()()()0()()0a b a b f a f b f b f a f b ∴+≥⇔≥-⇔≥-=-⇔+≥【考点】函数单调性与奇偶性12．已知函数2()1f x x x =-+，若存在实数t ，使得对任意实数[1,]x m ∈都有()f x t x +≤成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．6D ．无穷大 【答案】B【解析】试题分析：对任意实数x ∈[l ，m]，都有f （x+t ）≤x 成立，即有()()21x t x t x +-++≤即有()21x t t +-≤-，即为11t x t -≤≤-由题意可得1t m -≥，且11t -，解得-1≤t ≤0，由213124t ⎫-+=+⎪⎭，可得最大值为1+1+1=3，即有m ≤3，可得m 的最大值为3【考点】二次函数的性质二、填空题 13．如果复数3()2biz b R i-=∈+的实部和虚部相等，则||z =___________．【答案】【解析】试题分析：()()()()32363222255bi i bi b b z i i i i ----+===-++-63255b bb -+∴=-∴=【考点】复数运算14．若不等式1x a -<成立的充分条件是04x <<，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】[3,)+∞【解析】试题分析：111x a a x a -<∴-+<<+，由题意可知10314a a a -+≤⎧∴≥⎨+≥⎩，实数a 的取值范围是[3,)+∞ 【考点】充分条件与必要条件15．已知对任意满足2244x y +=的实数,x y ，都有不等式20x y a ++≥成立，则a 的取值范围是______．【答案】)+∞ 【解析】试题分析：22222cos 441sin 4x x x y y y θθ=⎧+=∴+=∴⎨=⎩202x y a a x y ++≥∴≥--()24cos sin x y θθθϕ--=--=+a ∴≥【考点】参数方程求最值所求的线性回归关系预测：要使得利润最大，单价应该定为__________（元）．附：线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中斜率和截距最小二乘估计计算公式： 121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，x b y aˆˆ-=【答案】9【解析】试题分析：由已知得88.28.48.68.898.56x +++++==908483807568806y +++++==代入斜率估计公式可得ˆ20b=-， 将(,)x y 代入得ˆˆ250ay b x =-= 所以回归直线方程为20250y x =-+，当8.3x =时，解得84y =．即单价定为8．3元时的销量为84（百件） 利润( 6.5)( 5.5)(20250)20( 5.5)(12.5)z x y x x x x =-=--+=--- 对称轴为9x =，所以单价应该定为9元．【考点】回归分析的初步应用 【考点】三、解答题17．设函数()2|1||2|f x x x =-++．（Ⅰ）求不等式()4f x ≥的解集；（Ⅱ）若不等式()2f x m <-的解集是非空集合，求实数m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）(]4,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭（Ⅱ）（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）【解析】试题分析：（Ⅰ）化简f （x ）的解析式，结合单调性求出不等式 f （x ）≥4的解集．（Ⅱ） 利用f （x ）的单调性求出 f （x ）≥3，由于不等式f （x ）＜|m ﹣2|的解集是非空的集合，得|m ﹣2|＞3，解绝对值不等式求出实数m 的取值范围．试题解析：（Ⅰ）f （x ）=，令﹣x+4=4 或 3x=4，得x=0，x=， 所以，不等式 f （x ）≥4的解集是；（Ⅱ）由于不等式f （x ）＜|m ﹣2|的解集是非空的集合，所以，min ()f x <|m ﹣2| f （x ）在（﹣∞，1]上递减，[1，+∞）上递增，所以，min ()f x =f （1）=3， 所以23m ->解之，m ＜﹣1或m ＞5，即实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）． 【考点】绝对值不等式的解法18．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为112x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的方程为ρθ=． （Ⅰ）写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若点P 的直角坐标为(1,0)，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值． 【答案】（Ⅰ）0y +=，220x y +-=；（Ⅱ）4【解析】试题分析：（Ⅰ）把直线l 的参数方程消去参数t 可得，它的直角坐标方程；把圆C 的极坐标方程依据互化公式转化为直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l 方程与圆C 的方程联立方程组，求得A 、B 两点的坐标，可得|PA|+|PB|的值 试题解析：（Ⅰ）消去参数得直线l0y +=，由ρθ=得圆C的直角坐标方程220x y +-=． （Ⅱ）由直线l 的参数方程可知直线过点P ，把直线l 的参数方程代入圆C的直角坐标方程220x y +-=，得221(1)32t -+=， 化简得2410t t -+=,120∆=>，故设12,t t 是上述方程的两个实数根，所以12124,1t t t t +==，,A B 两点对应的参数分别为12,t t ，所以1212||||||||4PA PB t t t t +=+=+=．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程19．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,sin cos 1⎩⎨⎧α=α+=y x （其中α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θ=ρsin 4．（Ⅰ）若B A ，为曲线1C ，2C 的公共点，求直线AB 的斜率； （Ⅱ）若B A ，分别为曲线1C ，2C 上的动点，当AB取最大值时，求AOB ∆的面积．【答案】（Ⅰ）21；1+【解析】试题分析：（Ⅰ）消去参数α得曲线1C 的普通方程，将曲线1C 化为直角坐标方程，两式作差得直线AB 的方程，则直线AB 的斜率可求；（Ⅱ）由1C 方程可知曲线是以1C （1，0）为圆心，半径为1的圆，由2C 方程可知曲线是以2C （0，2）为圆心，半径为2的圆，又1122AB AC C C BC ≤++，可知当|AB|取最大值时，圆心12,C C 在直线AB 上，进一步求出直线AB （即直线12C C ）的方程，再求出O 到直线AB 的距离，则△AOB 的面积可求试题解析：（Ⅰ）消去参数α得曲线1C 的普通方程02:221=-+x y x C ．（1） 将曲线θρsin 4:2=C 化为直角坐标方程得04:222=-+y y x C ．（2） 由)2()1(-得024=-x y ，即为直线AB 的方程，故直线AB 的斜率为21． （Ⅱ）由1)1(:221=+-y x C 知曲线1C 是以）（0,11C 为圆心，半径为1的圆； 由4)2(:222=-+y x C知曲线2C 是以）（2,02C 为圆心，半径为2的圆． 因为1122||||||||AB AC C C BC ≤++，所以当AB 取最大值时，圆心21,C C 在直线AB 上， 所以直线AB （即直线21C C ）的方程为：22=+y x ． 因为O 到直线AB 的距离为55252==d ，又此时12||||123AB C C =++= 所以AOB ∆的面积为1553)53(55221+=+⋅⋅=S ． 【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程20．设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，q ：实数x 满足31x -<．（1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若其中0a >且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）2＜x ＜3（2）423a ≤≤ 【解析】试题分析：（1）若a=1，根据p ∧q 为真，则p ，q 同时为真，即可求实数x 的取值范围；（2）根据￢p 是￢q 的充分不必要条件，建立条件关系即可求实数a 的取值范围．试题解析：（1）由x 2﹣4ax+3a 2＜0得（x ﹣3a ）（x ﹣a ）＜0 当a=1时，1＜x ＜3，即p 为真时实数x 的取值范围是1＜x ＜3． 由|x ﹣3|＜1，得﹣1＜x ﹣3＜1，得2＜x ＜4 即q 为真时实数x 的取值范围是2＜x ＜4， 若p ∧q 为真，则p 真且q 真， ∴实数x 的取值范围是2＜x ＜3．（2）由x 2﹣4ax+3a 2＜0得（x ﹣3a ）（x ﹣a ）＜0，若￢p 是￢q 的充分不必要条件，则￢p ⇒￢q ，且￢q ⇏￢p ， 设A={x|￢p}，B={x|￢q}，则A ⊊B ， 又A={x|￢p}={x|x≤a 或x≥3a}， B={x|￢q}={x|x≥4或x≤2}， 则0＜a≤2，且3a≥4∴实数a 的取值范围是．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假21．为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取50人，从女生中随机抽取70人参加消防知识测试，统计数据得到如下列联表：（1）试判断能否认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关；（2）为了宣传消防知识，从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法，随机选出6人组成宣传小组，现从这6人中随机抽取2人到校外宣传，求到校外宣传的同学中有男同学的概率．【答案】（1）没有把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关（2）35【解析】试题分析：（Ⅰ）根据公式计算2K ，对照数表即可得出概率结论；（Ⅱ）用分层抽样法求出抽取的男、女生数，利用列举法求出基本事件数，计算对应的概率值 试题解析：（1）假设消防知识的测试成绩优秀与否与性别无关因为22120(15403530) 2.0574*******K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，且2.057 2.706< 所以没有把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关．（2）优秀同学中男生与女生人数之比为1：2，又采用分层抽样的方法选6人． 所以其中男生2人，女生4人 记事件M ：“到校外宣传的同学中有男同学” 设男生为,a b ，女生为ABCD则所有基本事件为{},a b ，{},a A ，{},a B ，{},a C ，{},a D ，{},b A ，{},b B ，{},b C ，{},b D ，{},A B ，{},A C ，{},A D ，{},B C ，{},B D ，{},C D ，共15个其中含有男生的基本事件有9个， 所以93()155P M == 【考点】独立性检验与古典概型22．如图，DP⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且|DM|=2|DP|．当点P 在圆221x y +=上运动时．（Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过点T （0，t ）作圆221x y +=的切线交曲线C 于A ，B 两点，求△AOB 面积S 的最大值和相应的点T 的坐标．【答案】（Ⅰ）2214y x +=（Ⅱ）(或(0, 【解析】试题分析：（I ）设出M 的坐标为（x ，y ），点P 的坐标为()00,x y ，由题意DP ⊥x 轴，点M 在DP 的延长线上，且|DM|=2|DP|，找出0x 与x 的关系及0y 与y 的关系，记作①，根据P 在圆上，将P 的坐标代入圆的方程，记作②，将①代入②，即可得到点M 的轨迹方程；（Ⅱ）由过点T （0，t ）作圆221x y +=的切线l 交曲线C 于A ，B 两点，得到|t|大于等于圆的半径1，分两种情况考虑：（i ）当t=1时，确定出切线l 为x=1，将x=1代入M 得轨迹方程中，求出A 和B 的坐标，确定出此时|AB|的长，当t=-1时，同理得到|AB|的长；（ii ）当|t|大于1时，设切线l 方程为y=kx+t ，将切线l 的方程与圆方程联立，消去y 得到关于x 的一元二次方程，设A 和B 的坐标，利用根与系数的关系表示出两点横坐标之和与之积，再由切线l 与圆相切，得到圆心到切线的距离d=r ，利用点到直线的距离公式列出关系式，整理后得到k 与t 的关系式，然后利用两点间的距离公式表示出|AB|，将表示出的两根之和与两根之积，以及k 与t 的关系式代入，得到关于t 的关系，利用基本不等式变形，得到|AB|的最大值，以及此时t 的取值，而三角形AOB 的面积等于AB 与半径r 乘积的一半来求，表示出三角形AOB 的面积，将|AB|的最大值代入求出三角形AOB 面积的最大值，以及此时T 的坐标即可 试题解析：（I ）设点M 的坐标为（x ，y ），点P 的坐标为（x 0，y 0）， 则x=x 0，y=2y 0，所以x 0=x ，y 0=，①因为P （x 0，y 0）在圆x 2+y 2=1上，所以x 02+y 02=1②，将①代入②，得点M 的轨迹方程C 的方程为x 2+=1；（Ⅱ）由题意知，|t|≥1，（i ）当t=1时，切线l 的方程为y=1，点A 、B 的坐标分别为（﹣，1），（，1），此时|AB|=，当t=﹣1时，同理可得|AB|=；（ii ）当|t|＞1时，设切线l 的方程为y=kx+t ，k ∈R ，由，得（4+k 2）x 2+2ktx+t 2﹣4=0③，设A 、B 两点的坐标分别为（x 1，y 1），（x 2，y 2），由③得：x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，又直线l与圆x2+y2=1相切，得=1，即t2=k2+1，∴|AB|===，又|AB|==≤2，且当t=±时，|AB|=2，综上，|AB|的最大值为2，依题意，圆心O到直线AB的距离为圆x2+y2=1的半径，∴△AOB面积S=|AB|×1≤1，当且仅当t=±时，△AOB面积S的最大值为1，相应的T的坐标为（0，﹣）或（0，）．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程；直线与圆相交的性质第 11 页共 11 页。

福建省莆田第六中学2015-2016学年高二下学期期中考试文数试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设集合{}1,0,1,2,3A =-，{}220B x x x =->，则A B =（ ）A ．{}2,3B ．(2,3)C ．{}1,3-D (1,3)-【答案】C 【解析】试题分析：{}{}220|02B x x x x x x =->=<>或{}1,3A B ∴=-考点：集合运算2.设集合{}14A x x =<<，集合{}2230B x x x =--≤，则()R A C B =（ ）A ．(1,4)B ．(3,4)C ．(1,3)D ．(1,2)(3,4)【答案】B 【解析】试题分析：{}{}2230|13B x x x x x =--≤=-≤≤{}()()|343,4R AC B x x ∴=<<=考点：集合运算3.已知集合{}2A y y x ==，{}lg(1)B x y x ==-，则A B =（ ）A ．[0,1]B ．[0,1)C ．(,1)-∞D ．∅ 【答案】B 【解析】试题分析：{}{}2|0A y y xy y ===≥，{}{}lg(1)|1B x y x x x ==-=<[)0,1AB ∴=考点：函数定义域值域与集合运算4.复数21z i=+（i 是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是（ ） A. (1.1) B. (1,1)- C. (1,1)- D. (1,1)-- 【答案】A 【解析】 试题分析：()()()21211111i z i z i i i i -===-∴=+++-，对应的点为()1,1 考点：复数运算5.如图，在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是A 和B，则21z z =( )A ．1255i + B ．2155i + C ．1255i -- D ．2155i -- 【答案】C 【解析】试题分析：由题意可知()()()2121221122,222555i i z i i z i z i i z i i i -+--=--=∴====-------+ 考点：复数运算及相关概念6.i为虚数单位，若)(1)i z +=，则z =( ) A ．1BC D ．2【答案】A 【解析】试题分析：4)(1)4i i z z i -=-∴====-1z ∴=考点：复数运算及复数的模7.已知命题1:0,2p x x x∀>+≥，则p ⌝为（ ） A. 10,2x x x ∀>+< B. 10,2x x x ∀≤+<C. 10,2x x x ∃≤+<D. 10,2x x x∃>+<【答案】D 【解析】试题分析：全称命题的否定为特称命题，并将结论加以否定，所以p ⌝为10,2x x x∃>+< 考点：全称命题与特称命题8.“a b >”是“22a b >”的（ ）A.充分非必要条件．B.必要非充分条件．C.充要条件．D.既非充分又非必要条件． 【答案】A 【解析】试题分析：由a b >可得到22a b >，反之由22a b >可得到a b >，所以“a b >”是“22a b >”的充分非必要条件考点：充分条件与必要条件9.在极坐标系中，与曲线cos ρθ=关于直线6πθ=(R ∈ρ)对称的曲线的极坐标方程是（ ）A. cos()6πρθ=+ B.cos()6πρθ=- C. cos()3πρθ=+ D.cos()3πρθ=- 【答案】D 【解析】试题分析：cos ρθ=转化为221124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，6πθ=化为y x =，圆关于直线的对称圆为221144x y ⎛⎛⎫-+-= ⎪ ⎝⎭⎝，转化为极坐标方程可得cos()3πρθ=- 考点：极坐标方程10.已知命题p ：对于x R ∀∈，恒有222xx-+≥成立，命题q ：奇函数()f x 的图象必过原点．则下列结论正确的是( )A ．p q ∧为真B ．()p q ⌝∨为真C ．()p q ∧⌝为真D ．p ⌝为真【答案】C 【解析】试题分析：由不等式性质可知命题p 正确；命题q 是假命题，所以()p q ∧⌝为真 考点：复合命题11.设函数()ln(f x x =，则对任意实数a ，b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的( )A ．充分必要条件B ．充分而非必要条件C ．必要而非充分条件D ．既非充分也非必要条件 【答案】A考点：函数单调性与奇偶性12.已知函数2()1f x x x =-+，若存在实数t ，使得对任意实数[1,]x m ∈都有()f x t x +≤成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．6D ．无穷大 【答案】B 【解析】试题分析：对任意实数x ∈[l ，m]，都有f （x+t ）≤x 成立，即有()()21x t x t x +-++≤即有()21x t t +-≤-，即为11t x t -≤≤-+1t m -+≥，且11t --≤，解得-1≤t ≤0，由213124t ⎫-+=++⎪⎭，可得最大值为1+1+1=3，即有m ≤3，可得m 的最大值为3考点：二次函数的性质第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.如果复数3()2biz b R i-=∈+的实部和虚部相等，则||z =___________【答案】【解析】试题分析：()()()()32363222255bi i bi b bz i i i i ----+===-++-63255b bb -+∴=-∴= 考点：复数运算14.若不等式1x a -<成立的充分条件是04x <<，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】[3,)+∞ 【解析】试题分析：111x a a x a -<∴-+<<+，由题意可知10314a a a -+≤⎧∴≥⎨+≥⎩，实数a 的取值范围是[3,)+∞考点：充分条件与必要条件15.已知对任意满足2244x y +=的实数,x y ，都有不等式20x y a ++≥成立，则a 的取值范围是______【答案】)+∞ 【解析】试题分析：22222cos 441sin 4x x x y y y θθ=⎧+=∴+=∴⎨=⎩202x y a a x y ++≥∴≥--()24cos sin x y θθθϕ--=--=+a ∴≥考点：参数方程求最值16.某工厂对新研发的一种产品进行试销，得到如下数据表：已知销量y 与单价x 具有线性回归关系，该工厂每件产品的成本为5.5元，请你利用所求的线性回归关系预测：要使得利润最大，单价应该定为__________(元)附：线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中斜率和截距最小二乘估计计算公式： 121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，x b y aˆˆ-= 【答案】9考点：回归分析的初步应用 考点：三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设函数()2|1||2|f x x x =-++． （Ⅰ）求不等式()4f x ≥的解集；（Ⅱ）若不等式()2f x m <-的解集是非空集合，求实数m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）(]4,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭（Ⅱ）（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞） 【解析】试题分析：（Ⅰ）化简f （x ）的解析式，结合单调性求出不等式 f （x ）≥4的解集．（Ⅱ） 利用f （x ）的单调性求出 f （x ）≥3，由于不等式f （x ）＜|m ﹣2|的解集是非空的集合，得|m ﹣2|＞3，解绝对值不等式求出实数m 的取值范围．试题解析：（Ⅰ）f （x ）=，………3分令﹣x+4=4 或 3x=4，得x=0，x=，………4分 所以，不等式 f （x ）≥4的解集是； ………5分（Ⅱ）由于不等式f （x ）＜|m ﹣2|的解集是非空的集合，所以，min ()f x <|m ﹣2|………7分 f （x ）在（﹣∞，1]上递减，[1，+∞）上递增，所以，min ()f x =f （1）=3，………8分 所以23m ->解之，m ＜﹣1或m ＞5，即实数m 的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（5，+∞）．………10分 考点：绝对值不等式的解法18.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为112x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的方程为ρθ=. (Ⅰ)写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若点P 的直角坐标为(1,0)，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值. 【答案】(Ⅰ0y +-=，220x y +-=(Ⅱ)4 【解析】试题分析：（Ⅰ）把直线l 的参数方程消去参数t 可得，它的直角坐标方程；把圆C 的极坐标方程依据互化公式转化为直角坐标方程．（Ⅱ）把直线l 方程与圆C 的方程联立方程组，求得A 、B 两点的坐标，可得|PA|+|PB|的值试题解析：（Ⅰ）消去参数得直线l0y +-=， ………2分由ρθ=得圆C的直角坐标方程220x y +-=. ………5分 （Ⅱ）由直线l 的参数方程可知直线过点P ， ……6分把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程220x y +-=，得221(1)32t -+=， …………7分 化简得2410t t -+=,120∆=>，故设12,t t 是上述方程的两个实数根，所以12124,1t t t t +==，……8分,A B 两点对应的参数分别为12,t t ， ………………9分所以1212||||||||4PA PB t t t t +=+=+=. ………………10分 考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程19.在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为,sin cos 1⎩⎨⎧α=α+=y x (其中α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为θ=ρsin 4. (Ⅰ)若B A ，为曲线1C ，2C 的公共点，求直线AB 的斜率；(Ⅱ)若B A ，分别为曲线1C ，2C 上的动点，当AB 取最大值时，求AOB ∆的面积.【答案】(Ⅰ) 21(Ⅱ) 1 【解析】试题分析：（Ⅰ）消去参数α得曲线1C 的普通方程，将曲线1C 化为直角坐标方程，两式作差得直线AB 的方程，则直线AB 的斜率可求；（Ⅱ）由1C 方程可知曲线是以1C （1，0）为圆心，半径为1的圆，由2C 方程可知曲线是以2C （0，2）为圆心，半径为2的圆，又1122AB AC C C BC ≤++，可知当|AB|取最大值时，圆心12,C C 在直线AB 上，进一步求出直线AB （即直线12C C ）的方程，再求出O 到直线AB 的距离，则△AOB 的面积可求试题解析：（Ⅰ）消去参数α得曲线1C 的普通方程02:221=-+x y x C . ……（1） …………2分 将曲线θρsin 4:2=C 化为直角坐标方程得04:222=-+y y x C .……（2）……4分 由)2()1(-得024=-x y ，即为直线AB 的方程，故直线AB 的斜率为21. ………6分 （Ⅱ）由1)1(:221=+-y x C 知曲线1C 是以）（0,11C 为圆心，半径为1的圆；由4)2(:222=-+y x C知曲线2C 是以）（2,02C 为圆心，半径为2的圆. …………7分 因为1122||||||||AB AC C C BC ≤++，所以当AB 取最大值时，圆心21,C C 在直线AB 上，所以直线AB （即直线21C C ）的方程为：22=+y x . ………9分 因为O 到直线AB 的距离为55252==d ， …………10分又此时12||||123AB C C =++=， …………11分 所以AOB ∆的面积为1553)53(55221+=+⋅⋅=S .……12分 考点：简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程20.设p ：实数x 满足22430x ax a -+<，q ：实数x 满足31x -<． （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围；（2）若其中0a >且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）2＜x ＜3（2）423a ≤≤ 【解析】试题分析：（1）若a=1，根据p ∧q 为真，则p ，q 同时为真，即可求实数x 的取值范围；（2）根据￢p 是￢q 的充分不必要条件，建立条件关系即可求实数a 的取值范围．试题解析：（1）由x 2﹣4ax+3a 2＜0得（x ﹣3a ）（x ﹣a ）＜0 …………1分 当a=1时，1＜x ＜3，即p 为真时实数x 的取值范围是1＜x ＜3． …………2分 由|x ﹣3|＜1，得﹣1＜x ﹣3＜1，得2＜x ＜4即q 为真时实数x 的取值范围是2＜x ＜4， …………4分 若p ∧q 为真，则p 真且q 真， …………5分 ∴实数x 的取值范围是2＜x ＜3． …………6分 （2）由x 2﹣4ax+3a 2＜0得（x ﹣3a ）（x ﹣a ）＜0，若￢p 是￢q 的充分不必要条件，则￢p ⇒￢q ，且￢q ⇏￢p ， …………8分设A={x|￢p}，B={x|￢q}，则A⊊B，…………9分又A={x|￢p}={x|x≤a或x≥3a}，…………10分B={x|￢q}={x|x≥4或x≤2}，…………11分则0＜a≤2，且3a≥4∴实数a 的取值范围是．…………12分考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；复合命题的真假21.为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取50人，从女生中随机抽取70人参加消防知识测试，统计数据得到如下列联表：（1）试判断能否认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关；（2）为了宣传消防知识，从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法，随机选出6人组成宣传小组，现从这6人中随机抽取2人到校外宣传，求到校外宣传的同学中有男同学的概率。

2016-2017学年福建省高二（上）期末数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线y=4x2的焦点到准线的距离是（）A．4 B．2 C． D．2．“x＞1”是“”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．若集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|﹣2＜x＜a}，则“A∩B≠∅”的充要条件是（）A．a＞3 B．a＞﹣1 C．a≥﹣1 D．a≥34．将甲，乙两名同学5次物理测验的成绩用茎叶图表示如图，若甲，乙两人成绩的中位数分别是x甲，x乙，下列说法正确的是（）A．x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定B．x甲＞x乙；甲比乙成绩稳定C．x甲＞x乙；乙比甲成绩稳定D．x甲＜x乙；甲比乙成绩稳定5．某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xoy中，以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率为（）A． B． C．D．6．椭圆5x2﹣ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k等于（）A．﹣1 B．1 C．D．7．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=18．设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为，那么|PF|=（）A． B．8 C． D．169．直线y=kx+b与曲线y=x3+ax+1相切于点（2，3），则b的值为（）A．﹣3 B．9 C．﹣15 D．﹣710．已f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则有（）A．b＜0 B．0＜b＜1 C．1＜b＜2 D．b＞211．设奇函数f（x）在R上存在导数f′（x），且在（0，+∞）上f′（x）＜x2，若f（1﹣m）﹣f（m）≥，则实数m的取值范围为（）A．B． C． D．12．定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新不动点”，则下列函数有且只有一个“新不动点”的函数是（）①；②g（x）=﹣e x﹣2x；③g（x）=lnx；④g（x）=sinx+2cosx．A．①② B．②③ C．②④ D．②③④二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率等于．14．某车间加工零件的数量x与加工时间y的统计数据如表：现已求得如表数据的回归方程=x+中的值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为分钟．15．P为抛物线y2=4x上任意一点，P在y轴上的射影为Q，点M（7，8），则|PM|与|PQ|长度之和的最小值为．16．已知函数f（x）=x﹣lnx+k，在区间[，e]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则k的取值范围是．三.解答题：本大题共6小题、共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知函数f（x）=x3+bx2+cx的极值点为x=﹣和x=1（1）求b，c的值与f（x）的单调区间（2）当x∈[﹣1，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．18．已知等轴双曲线的顶点在x轴上，两顶点间的距离是4，右焦点为F．（1）求双曲线的标准方程和渐近线方程；（2）椭圆E的中心在原点O，右顶点与F点重合，上述双曲线中斜率大于0的渐近线交椭圆于A，B两点（A在第一象限），若AB⊥AF，试求椭圆E的离心率．19．某校高中一年级组织学生参加了环保知识竞赛，并抽取了20名学生的成绩进行分析，如图是这20名学生竞赛成绩（单位：分）的频率分布直方图，其分组为[100，110），[110，120），…，[130，140），[140，150]．（Ⅰ）求图中a的值及成绩分别落在[100，110）与[110，120）中的学生人数；（Ⅱ）学校决定从成绩在[100，120）的学生中任选2名进行座谈，求此2人的成绩都在[110，120）中的概率．20．已知动点P到点A（﹣2，0）与点B（2，0）的斜率之积为﹣，点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若点Q为曲线C上的一点，直线AQ，BQ与直线x=4分别交于M、N两点，求线段MN 长度的最小值．21．一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元，设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完，每万件的销售收入为4﹣x万元，且每万件国家给予补助2e﹣﹣万元．（e为自然对数的底数，e是一个常数）（Ⅰ）写出月利润f（x）（万元）关于月产量x（万件）的函数解析式（Ⅱ）当月产量在[1，2e]万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生成量值（万件）．（注：月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本）22．已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）．（Ⅰ）当a=﹣时，函数g（x）=f（x）﹣k在[0，2]内有两个零点，求实数k的取值范围；（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．2016-2017学年福建省莆田一中高二（上）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线y=4x2的焦点到准线的距离是（）A．4 B．2 C．D．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】直接利用抛物线方程求解即可．【解答】解：抛物线y=4x2，即x2=y的焦点到准线的距离为：p=．故选：C．2．“x＞1”是“”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若x＞1，则0＜，则成立，即充分性成立，若当x＜0时，成立，但x＞1不成立，即必要性不成立，即“x＞1”是“”成立的充分不必要条件，故选：A．3．若集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，B={x|﹣2＜x＜a}，则“A∩B≠∅”的充要条件是（）A．a＞3 B．a＞﹣1 C．a≥﹣1 D．a≥3【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】解出关于集合A的不等式，根据A∩B≠∅”求出a的范围即可．【解答】解：A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，B={x|﹣2＜x＜a}，若“A∩B≠∅”，则a＞﹣1，故选：B．4．将甲，乙两名同学5次物理测验的成绩用茎叶图表示如图，若甲，乙两人成绩的中位数分别是x甲，x乙，下列说法正确的是（）A．x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定B．x甲＞x乙；甲比乙成绩稳定C．x甲＞x乙；乙比甲成绩稳定D．x甲＜x乙；甲比乙成绩稳定【考点】BA：茎叶图．【分析】利用茎叶图的性质和中位数定义求解．【解答】解：∵x甲=79，x乙=82，且在茎叶图中，乙的数据更集中，∴x甲＜x乙，乙比甲成绩稳定．故选：A．5．某同学先后投掷一枚骰子两次，第一次向上的点数记为x，第二次向上的点数记为y，在直角坐标系xoy中，以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率为（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有6×6=36种结果，利用列举法求出满足条件的事件包含的基本事件个数，根据古典概型的概率公式得到以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验发生包含的事件是先后掷两次骰子，共有6×6=36种结果，满足条件的事件是（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上，当x=1，y=1，x=2，y=3；x=3，y=5，共有3种结果，∴根据古典概型的概率公式得到以（x，y）为坐标的点落在直线2x﹣y=1上的概率：P=．故选：A．6．椭圆5x2﹣ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k等于（）A．﹣1 B．1 C．D．【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】把椭圆5x2﹣ky2=5化为标准方程x2=1，则c2=﹣﹣1=4，解得k，再进行判定即可．【解答】解：椭圆5x2﹣ky2=5化为标准方程x2=1，则c2=﹣﹣1=4，解得k=﹣1，故选：A．7．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x﹣1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为﹣，则此双曲线的方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【考点】KB：双曲线的标准方程．【分析】先设出双曲线的方程，然后与直线方程联立方程组，经消元得二元一次方程，再根据韦达定理及MN中点的横坐标可得a、b的一个方程，又双曲线中有c2=a2+b2，则另得a、b 的一个方程，最后解a、b的方程组即得双曲线方程．【解答】解：设双曲线方程为﹣=1．将y=x﹣1代入﹣=1，整理得（b2﹣a2）x2+2a2x﹣a2﹣a2b2=0．由韦达定理得x1+x2=，则==﹣．又c2=a2+b2=7，解得a2=2，b2=5，所以双曲线的方程是．故选D．8．设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为，那么|PF|=（）A． B．8 C． D．16【考点】K8：抛物线的简单性质；K6：抛物线的定义．【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，进而根据直线AF的斜率为求出直线AF的方程，然后联立准线和直线AF的方程可得点A的坐标，得到点P的坐标，根据抛物线的性质：抛物线上的点到焦点和准线的距离相等可得到答案．【解答】解：抛物线的焦点F（2，0），准线方程为x=﹣2，直线AF的方程为，所以点、，从而|PF|=6+2=8故选B．9．直线y=kx+b与曲线y=x3+ax+1相切于点（2，3），则b的值为（）A．﹣3 B．9 C．﹣15 D．﹣7【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先根据曲线y=x3+ax+1过点（2，3）求出a的值，然后求出x=2处的导数求出k的值，根据切线过点（2，3）求出b即可．【解答】解：∵y=x3+ax+1过点（2，3），∴a=﹣3，∴y'=3x2﹣3，∴k=y'|x=2=3×4﹣3=9，∴b=y﹣kx=3﹣9×2=﹣15，故选C．10．已f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则有（）A．b＜0 B．0＜b＜1 C．1＜b＜2 D．b＞2【考点】3O：函数的图象．【分析】由已知中函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象，根据其与y轴交点的位置，可以判断d的符号，进而根据其单调性和极值点的位置，可以判断出其中导函数图象的开口方向（可判断a的符号）及对应函数两个根的情况，结合韦达定理，可分析出b，c的符号，进而得到答案．【解答】解：∵函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象与y轴交点的纵坐标为负，故d＜0；∵f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象有两个递增区间，有一个递减区间，∴f′（x）=3ax2+2bx+c的图象开口方向朝上，且于x轴有两个交点，故a＞0，又∵f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象的极小值点和极大值点在y轴右侧，∴f′（x）=3ax2+2bx+c=0的两根x1，x2满足，x1+x2＞0，则b＜0，x1•x2＞0，则c＞0，综上a＞0，b＜0，c＞0，d＜0，故选：A．11．设奇函数f（x）在R上存在导数f′（x），且在（0，+∞）上f′（x）＜x2，若f（1﹣m）﹣f（m）≥，则实数m的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】构造辅助函数，由f（x）是奇函数，g（﹣x）+g（x）=0，可知g（x）是奇函数，求导判断g（x）的单调性，，即g（1﹣m）≥g（m），解得m的取值范围．【解答】解：令，∵，∴函数g（x）为奇函数，∵x∈（0，+∞）时，g′（x）=f′（x）﹣x2＜0，函数g（x）在x∈（0，+∞）为减函数，又由题可知，f（0）=0，g（0）=0，所以函数g（x）在R上为减函数，，即g（1﹣m）≥g（m），∴1﹣m≤m，∴．故选B．12．定义方程f（x）=f′（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新不动点”，则下列函数有且只有一个“新不动点”的函数是（）①；②g（x）=﹣e x﹣2x；③g（x）=lnx；④g（x）=sinx+2cosx．A．①② B．②③ C．②④ D．②③④【考点】63：导数的运算；51：函数的零点．【分析】分别求出每个函数的导数，然后解方程f（x）=f′（x），根据方程根的个数即可得到结论．【解答】解：由题意方程f（x）=f'（x）的实数根x0叫做函数f（x）的“新不动点”，①若g（x）=，则g'（x）=x，由=x，解得x=0或x=2．即有两个“新不动点”．②若g（x）=﹣e x﹣2x，则g′（x）=﹣e x﹣2，由﹣e x﹣2x=﹣e x﹣2得2x=2，∴x=1，只有一个“新不动点”，满足条件．③若g（x）=lnx，则g'（x）=，由lnx=，令r（x）=lnx﹣，则r（x）在x＞0上单调递增，可知r（1）＜0，r（2）＞0，只有一个“新不动点”，满足条件．④若g（x）=sinx+2cosx．则g'（x）=cosx﹣2sinx，由sinx+2cosx=cosx﹣2sinx．得3sinx=cosx，即tanx=，∴有无数多个“新不动点”．综上只有②③满足条件．故选B二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．双曲线的渐近线方程为，则此双曲线的离心率等于 3 ．【考点】KC：双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的渐近线方程为，得到=2，再根据离心率公式计算即可．【解答】解：由双曲线的渐近线方程为，∴=2，∵e====3，故答案为：3．14．某车间加工零件的数量x与加工时间y的统计数据如表：现已求得如表数据的回归方程=x+中的值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为102 分钟．【考点】BK：线性回归方程．【分析】求出样本数据的中心坐标（，），代入回归直线方程，求出，得到回归直线方程，然后求解加工100个零件所需要的加工时间．【解答】解：由题意得： =（18+20+22）=20， =（27+30+33）=30，故=﹣=30﹣0.9×20=12，故=0.9x+12，x=100时： =102，故答案为：102．15．P为抛物线y2=4x上任意一点，P在y轴上的射影为Q，点M（7，8），则|PM|与|PQ|长度之和的最小值为9 ．【考点】K8：抛物线的简单性质．【分析】抛物线焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1，于是|PQ|=|PF|﹣1，【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为：直线x=﹣1，∴|PQ|=|PF|﹣1连结MF，则|PM|+|PF|的最小值为|MF|==10．∴|PM|+|PQ|的最小值为10﹣1=9．故答案为：9．16．已知函数f（x）=x﹣lnx+k，在区间[，e]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则k的取值范围是（e﹣3，+∞）．【考点】6D：利用导数研究函数的极值．【分析】任取三个实数a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，不妨设f （a）≤f（b）≤f（c），则等价于f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，可转化为2f（x）min＞f（x）max且f（x）min＞0．令f′（x）=1﹣=，利用导数研究其单调性极值与最值，即可得出．【解答】解：任取三个实数a，b，c均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，不妨设f（a）≤f（b）≤f（c），则等价于f（a）+f（b）＞f（c）恒成立，可转化为2f（x）min＞f（x）max且f（x）min＞0．令f′（x）=1﹣=，可得函数f（x）在区间上单调递减；在区间（1，e]上单调递增．∴函数f（x）在[，e]上的极小值即最小值为f（1）=1+k．最大值f（x）max==f（e）=e﹣1+k．从而可得，解得k＞e﹣3，故答案为：（e﹣3，+∞）．三.解答题：本大题共6小题、共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．已知函数f（x）=x3+bx2+cx的极值点为x=﹣和x=1（1）求b，c的值与f（x）的单调区间（2）当x∈[﹣1，2]时，不等式f（x）＜m恒成立，求实数m的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（1）对函数进行求导，令f'（1）=0，f'（）=0可求出b，c的值，再利用导数求出函数单调区间即可．（2）根据函数的单调性求出f（x）在[﹣1，2]上的最大值，继而求出m的范围【解答】解：（1）∵f（x）=x3+bx2+cx，∴f'（x）=3x2+2bx+c，∵f（x）的极值点为x=﹣和x=1∴f'（1）=3+2b+c=0，f'（）=﹣b+c=0，解得，b=，c=﹣2，∴f'（x）=（3x+2）（x﹣1），当f'（x）＞0时，解得x＜﹣，或x＞1，当f'（x）＜0时，解得﹣＜x＜1，故函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣）和（1，+∞），单调减区间为（﹣，1），（2）有（1）知f（x）=x3﹣x2﹣2x，x∈[﹣1，2]，故函数在[﹣1，﹣）和（1，2]单调递增增，在（﹣，1）单调递减，当x=﹣，函数有极大值，f（）=，f（2）=2，所以函数的最大值为2，所以不等式f（x）＜m在x∈[﹣1，2]时恒成立，故m＞2故实数m的取值范围为（2，+∞）18．已知等轴双曲线的顶点在x轴上，两顶点间的距离是4，右焦点为F．（1）求双曲线的标准方程和渐近线方程；（2）椭圆E的中心在原点O，右顶点与F点重合，上述双曲线中斜率大于0的渐近线交椭圆于A，B两点（A在第一象限），若AB⊥AF，试求椭圆E的离心率．【考点】KC：双曲线的简单性质；K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）设出双曲线方程，由题意可得a=2，即可得到双曲线方程和渐近线方程；（2）设出椭圆方程，由题意可得a═2，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，解方程可得b，由椭圆的a，b，c的关系可得c，再由离心率公式即可得到．【解答】解：（1）设双曲线的方程为=1（a＞0），则2a=4，解得a=2，∴双曲线的方程为=1，渐近线方程为y=±x．（2）设椭圆的标准方程为=1（a＞b＞0），由（1）知F（2，0），于是a=2．设A（x0，y0），则x0=y0．①∵AB⊥AF，且AB的斜率为1，∴AF的斜率为﹣1，故=﹣1．②由①②解得A（，）．代入椭圆方程有=1，解得b2=，∴c2=a2﹣b2=8﹣=，得c=，∴椭圆E的离心率为e==．19．某校高中一年级组织学生参加了环保知识竞赛，并抽取了20名学生的成绩进行分析，如图是这20名学生竞赛成绩（单位：分）的频率分布直方图，其分组为[100，110），[110，120），…，[130，140），[140，150]．（Ⅰ）求图中a的值及成绩分别落在[100，110）与[110，120）中的学生人数；（Ⅱ）学校决定从成绩在[100，120）的学生中任选2名进行座谈，求此2人的成绩都在[110，120）中的概率．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图知组距为10，由频率分布直方图中小矩形面积之和为1，求出a，由此能求出成绩分别落在[100，110）与[110，120）中的学生人数．（Ⅱ）记成绩落在[100，110）中的2人为A1，A2，成绩落在[110，120）中的3人为B1，B2，B3，由此利用列举法能求出此2人的成绩都在[110，120）中的概率．【解答】解：（Ⅰ）根据频率分布直方图知组距为10，由（2a+3a+7a+6a+2a）×10=1，解得；所以成绩落在[100，110）中的人数为2×0.005×10×20=2；成绩落在[110，120）中的人数为3×0.005×10×20=3．（Ⅱ）记成绩落在[100，110）中的2人为A1，A2，成绩落在[110，120）中的3人为B1，B2，B3，则从成绩在[100，120）的学生中任选2人的基本事件共有10个：{A1，A2}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，其中2人的成绩都在[110，120）中的基本事件有3个：{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，所以所求概率为．20．已知动点P到点A（﹣2，0）与点B（2，0）的斜率之积为﹣，点P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）若点Q为曲线C上的一点，直线AQ，BQ与直线x=4分别交于M、N两点，求线段MN 长度的最小值．【考点】J3：轨迹方程．【分析】（I）设P（x，y），由题意知利用斜率计算公式即可得到•=﹣（x≠±2），化简即可求出曲线C的方程．（Ⅱ）满足题意的直线AQ的斜率显然存在且不为零，设其方程为y=k（x+2），由（Ⅰ）知，设直线QB方程为y=﹣（x﹣2），分别求出点M，N的坐标，再利用两点间的距离公式即可得到|MN|，利用基本不等式的性质即可得出线段MN长度的最小值．【解答】解：（Ⅰ）设P（x，y），由题意知k AP•k BP=﹣，即•=﹣（x≠±2），化简得曲线C方程为： =1（x≠±2）．（Ⅱ）满足题意的直线AQ的斜率显然存在且不为零，设其方程为y=k（x+2），由（Ⅰ）知，∴设直线QB的方程为y=﹣，当x=4时，得N（4，﹣），由题意得M（4，6k），∴|MN|=|6k+|=|6k|+≥2=2，当且仅当k=时，线段MN的长度取最小值2．21．一家公司计划生产某种小型产品的月固定成本为1万元，每生产1万件需要再投入2万元，设该公司一个月内生产该小型产品x万件并全部销售完，每万件的销售收入为4﹣x万元，且每万件国家给予补助2e﹣﹣万元．（e为自然对数的底数，e是一个常数）（Ⅰ）写出月利润f（x）（万元）关于月产量x（万件）的函数解析式（Ⅱ）当月产量在[1，2e]万件时，求该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值（万元）及此时的月生成量值（万件）．（注：月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本）【考点】6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）由月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本，即可列出函数关系式；（2）利用导数判断函数的单调性，进而求出函数的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由于：月利润=月销售收入+月国家补助﹣月总成本，可得（Ⅱ）f（x）=﹣x2+2（e+1）x﹣2elnx﹣2的定义域为[1，2e]，且列表如下：由上表得：f（x）=﹣x2+2（e+1）x﹣2elnx﹣2在定义域[1，2e]上的最大值为f（e）．且f（e）=e2﹣2．即：月生产量在[1，2e]万件时，该公司在生产这种小型产品中所获得的月利润最大值为f（e）=e2﹣2，此时的月生产量值为e（万件）．22．已知函数f（x）=ax2+ln（x+1）．（Ⅰ）当a=﹣时，函数g（x）=f（x）﹣k在[0，2]内有两个零点，求实数k的取值范围；（Ⅱ）当x∈[0，+∞）时，不等式f（x）≤x恒成立，求实数a的取值范围．【考点】52：函数零点的判定定理；3H：函数的最值及其几何意义．【分析】（I）判断f（x）在[0，2]上的单调性，求出f（x）在[0，2]内单调区间端点的函数值，根据零点个数得出k的范围；（II）令h（x）=f（x）﹣x，对a进行讨论判断h（x）在[0，+∞）上的单调性，令h min（x）≤0即可．【解答】解：（I）a=﹣时，f（x）=﹣x2+ln（x+1），f（x）的定义域为（﹣1，+∞）．∴f′（x）=﹣x+，令f′（x）=0得x=1或x=﹣2（舍）．∴当﹣1＜x＜1时，f′（x）＞0，当x＞1时，f′（x）＜0，∴f（x）在[0，1）上为增函数，在（1，2]上为减函数，且f（0）=0，f（1）=ln2﹣，f（2）=ln3﹣1＞0．∵函数g（x）=f（x）﹣k在[0，2]内有两个零点，∴方程f（x）=k在[0，2]上有两解，∴ln3﹣1≤k＜ln2﹣．（II）令h（x）=f（x）﹣x=ax2﹣x+ln（x+1），则h（x）≤0在[0，+∞）上恒成立，∴h max（x）≤0．h′（x）=2ax+﹣1，（1）当a≤0时，2ax≤0，≤0，∴h′（x）=≤0，∴h（x）在[0，+∞）上为减函数，∴h max（x）=h（0）=0，符合题意．（2）当a＞0时，令h′（x）=0，即2ax2+（2a﹣1）x=0，解得x=0或x==﹣1．①若≤0，即a≥时，h′（x）≥0在[0，+∞）上恒成立，∴h（x）在[0，+∞]上为增函数，∴当x＞0时，h（x）＞h（0）=0，不符合题意．②若＞0，即0＜a时，则当x∈（0，）时，h′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，h′（x）＞0．∴h（x）在[0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数，且x→+∞时，h（x）→+∞，不符合题意．综上，a的取值范围是（﹣∞，0]．。

2015-2016学年福建省莆田六中高一（上）期末数学试卷（B卷）一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题5分，共60分）．1．（5.00分）若cosα＞0，且tanα＜0，则α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角2．（5.00分）cos240°的值是（）A．B．C．D．3．（5.00分）已知集合{α|2kπ+≤α≤2kπ+，k∈Z}，则角α的终边落在阴影处（包括边界）的区域是（）A．B．C．D．4．（5.00分）函数y=tan x的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π5．（5.00分）函数f（x）=sinxcosx的最小值是（）A．﹣1 B．﹣ C．D．16．（5.00分）化简﹣+﹣得（）A．B．C．D．7．（5.00分）下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是（）A．=（0，0）=（1，﹣2）B．=（﹣1，2）=（3，7）C．=（3，5）=（6，10）D．=（2，﹣3）=（，﹣）8．（5.00分）若函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象（部分）如图所示，则ω和φ的取值是（）A．ω=1，φ= B．ω=1，φ=﹣C．ω=，φ=D．ω=，φ=﹣9．（5.00分）设非零向量，，满足：||=||=||，+=，则＜，＞=（）A．150°B．120°C．60°D．30°10．（5.00分）若点M是△ABC所在平面内一点，且满足++=，则S△ABM：S△ABC等于（）A．B．C．D．11．（5.00分）如图，圆心角∠AOB=1弧度，AB=2，则∠AOB对的弧长为（）A．B．sin0.5 C．2sin1 D．12．（5.00分）函数的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f（x）的图象（）A．关于点对称B．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5.00分）sin14°cos16°+cos14°sin16°的值等于．14．（5.00分）设与是两个不共线向量，且向量2+k与﹣共线，则k=．15．（5.00分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则λ+μ=．16．（5.00分）如图，在同一地平面上，有一枝竖直地面的竹杆AB和球O，竹杆的长度和球的直径都是3米，一束太阳光照到竹杆AB留下背影AC长为4米，则该太阳光同时照到球O留下背影DE长为米．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或或演算步骤）17．（10.00分）求函数y=2sin2x+2cosx﹣3的最小值、最大值，并写出取最小值、最大值时自变量x的集合．18．（12.00分）已知向量=（sinx，﹣1），=（2cosx，1）．（Ⅰ）若∥，求tanx的值；（Ⅱ）若⊥，又x∈[π，2π]，求sinx+cosx的值．19．（12.00分）已知角α终边上一点P（﹣4，3）．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若β为第三象限角，且tanβ=1，求cos（2α﹣β）的值．20．（12.00分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：xωx+φ0π2πAsin（ωx+φ）020﹣2（Ⅰ）请将上表数据补全，并直接写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．21．（12.00分）已知单位圆O上的两点A，B及单位圆所在平面上的一点P，满足=m+（m为常数）．（Ⅰ）如图，若四边形OABP为平行四边形，求m的值；（Ⅱ）若m=2，求||的取值范围．22．（12.00分）已知向量=（2cos2x，），=（1，sin2x），函数f（x）=•﹣1．（Ⅰ）当x=时，求|a﹣b|的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期以及单调递增区间；（Ⅲ）求方程f（x）=k，（0＜k＜2），在[﹣，]内的所有实数根之和．2015-2016学年福建省莆田六中高一（上）期末数学试卷（B卷）参考答案与试题解析一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确（每小题5分，共60分）．1．（5.00分）若cosα＞0，且tanα＜0，则α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【解答】解：根据题意，对于α有，cosα＞0，且tanα＜0，由四个象限三角函数的符号，可得α是第四象限角，故选：D．2．（5.00分）cos240°的值是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意得，cos240°=cos（180°+60°）=﹣cos60°=﹣，故选：C．3．（5.00分）已知集合{α|2kπ+≤α≤2kπ+，k∈Z}，则角α的终边落在阴影处（包括边界）的区域是（）A．B．C．D．【解答】解：集合{α|2kπ+≤α≤2kπ+，k∈Z}，表示第一象限的角，故选：B．4．（5.00分）函数y=tan x的最小正周期为（）A．B．C．πD．2π【解答】解：y=tan x的周期为T==2π，故选：D．5．（5.00分）函数f（x）=sinxcosx的最小值是（）A．﹣1 B．﹣ C．D．1【解答】解：∵f（x）=sinxcosx=sin2x．∴当x=kπ﹣，k∈Z时，f（x）min=﹣．故选：B．6．（5.00分）化简﹣+﹣得（）A．B．C．D．【解答】解：﹣+﹣=﹣﹣=﹣=故选：D．7．（5.00分）下列向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的一组基底的是（）A．=（0，0）=（1，﹣2）B．=（﹣1，2）=（3，7）C．=（3，5）=（6，10）D．=（2，﹣3）=（，﹣）【解答】解：A：零向量与任一向量都共线，故不可以表示它们所在平面内所有向量的基底；B：﹣1×7﹣2×3≠0，故可以表示它们所在平面内所有向量的基底；C：3×10﹣5×6=0，故不可以表示它们所在平面内所有向量的基底；D：2×（﹣）﹣（﹣3）×=0，故不可以表示它们所在平面内所有向量的基底．故选：B．8．（5.00分）若函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象（部分）如图所示，则ω和φ的取值是（）A．ω=1，φ= B．ω=1，φ=﹣C．ω=，φ=D．ω=，φ=﹣【解答】解：由图象知，T=4（+）=4π=，∴ω=．又当x=时，y=1，∴sin（×+φ）=1，+φ=2kπ+，k∈Z，当k=0时，φ=．故选：C．9．（5.00分）设非零向量，，满足：||=||=||，+=，则＜，＞=（）A．150°B．120°C．60°D．30°【解答】解：设||=||=||=1，∵+=，∴，∴2+2=1，解得=﹣．∴cos＜＞==﹣．∴＜，＞=120°．故选：B ．10．（5.00分）若点M 是△ABC 所在平面内一点，且满足++=，则S △ABM ：S △ABC 等于（ ）A ．B ．C ．D ． 【解答】解：由题意可知：++=，则M 为△ABC 的重心，由重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等， 3S △ABM =S △ABC ， ∴S △ABM ：S △ABC =， 故选：B ．11．（5.00分）如图，圆心角∠AOB=1弧度，AB=2，则∠AOB 对的弧长为（ ）A ．B ．sin0.5C ．2sin1D ．【解答】解：∵圆心角∠AOB=1弧度，AB=2，设半径为r ， ∴在△ABO 中，由余弦定理可得：22=r 2+r 2﹣2r•r•cos1， ∴整理可得：r 2===，∴解得：r=．∴∠AOB 对的弧长l=×1=．故选：A ．12．（5.00分）函数的最小正周期为π，若其图象向左平移个单位后得到的函数为奇函数，则函数f （x ）的图象（ ）A ．关于点对称 B ．关于点对称C．关于直线对称D．关于直线对称【解答】解：由已知，则ω=2f（x）=sin（2x+φ）向左移个单位得为奇函数则有Z），∵|φ|＜∴φ=即．代入选项检验，当x=时，为函数的最大值根据三角函数的性质可知对称轴处将取得函数的最值，C正确．故选：C．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5.00分）sin14°cos16°+cos14°sin16°的值等于．【解答】解：由题意sin14°cos16°+cos14°sin16°=sin30°=故答案为：．14．（5.00分）设与是两个不共线向量，且向量2+k与﹣共线，则k=﹣2．【解答】解：与是两个不共线向量，且向量2+k与﹣共线，可得2+k=m（﹣），解得m=2，k=﹣2．故答案为：﹣2．15．（5.00分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则λ+μ=．【解答】解：以向量，的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系，可得=（﹣1，1），=（6，2），=（﹣1，﹣3）∵，∴，解之得λ=﹣2，μ=﹣∴λ+μ=故答案为：16．（5.00分）如图，在同一地平面上，有一枝竖直地面的竹杆AB和球O，竹杆的长度和球的直径都是3米，一束太阳光照到竹杆AB留下背影AC长为4米，则该太阳光同时照到球O留下背影DE长为米．【解答】解：如图示：，作OM⊥ME，DP⊥ME，OP⊥DN，由题意得：OD=，∠ODP=∠E=∠C，而sinC=，cosC=，∴DP=ODcos∠ODP=，∴DN=DP+PN=，∴DE===，故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或或演算步骤）17．（10.00分）求函数y=2sin2x+2cosx﹣3的最小值、最大值，并写出取最小值、最大值时自变量x的集合．【解答】解：y=2sin2x+2cosx﹣3⇔y=2（1﹣cos2x）+2cosx﹣3⇔y=，∵﹣1≤cosx≤1，∴当时，y取得最大值，即，此时自变量x的集合为{x|，k∈Z}；当cosx=﹣1时，y取得最大值，即y min=﹣5，此时自变量x的集合为{x|x=2kπ，k∈Z}．18．（12.00分）已知向量=（sinx，﹣1），=（2cosx，1）．（Ⅰ）若∥，求tanx的值；（Ⅱ）若⊥，又x∈[π，2π]，求sinx+cosx的值．【解答】解：（I）由a∥b，得sinx•1﹣2cosx•（﹣1）=0，即sinx=﹣2cosx，…（3分）所以tanx=﹣2；…（5分）（II）由a⊥b，得sinx•2cosx+1•（﹣1）=0，即2sinxcosx=1，…（7分）又x∈[π，2π]，所以sinx＜0，cosx＜0，即sinx+cosx＜0…（9分）因为（sinx+cosx）2=sin2x+2sinxcosx+cos2x…（10分）=1+2sinxcosx=2，…（11分）则．…（12分）19．（12.00分）已知角α终边上一点P（﹣4，3）．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若β为第三象限角，且tanβ=1，求cos（2α﹣β）的值．【解答】（本小题满分12分）解：因为P（﹣4，3）为角α终边上一点，所以，．…（2分）（I）==sin2α…（5分）=；…（6分）（II），，…（8分）又因β为第三象限角，且tanβ=1，所以，…（9分）则cos（2α﹣β）=cos2αcosβ+sin2αsinβ…（10分）=×=．…（12分）20．（12.00分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入的部分数据如表：xωx+φ0π2πAsin（ωx+φ）020﹣2（Ⅰ）请将上表数据补全，并直接写出函数f（x）的解析式；（Ⅱ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的值域．【解答】（本小题满分12分）解：（I）将表数据补全如下：xωx+φ0π2πAsin（ωx+φ）020﹣20…（4分）由表中知A=2，由，解得ω=2，，所以；…（8分）（II）因为，所以，则，所以的值域为．…（12分）21．（12.00分）已知单位圆O上的两点A，B及单位圆所在平面上的一点P，满足=m+（m为常数）．（Ⅰ）如图，若四边形OABP为平行四边形，求m的值；（Ⅱ）若m=2，求||的取值范围．【解答】解：（1）由==﹣，由=m+，∴m=﹣1（2）m=2，=2+，∵单位圆O上的两点A，B及单位圆所在平面上的一点P，∴1＜||＜3；22．（12.00分）已知向量=（2cos2x，），=（1，sin2x），函数f（x）=•﹣1．（Ⅰ）当x=时，求|a﹣b|的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期以及单调递增区间；（Ⅲ）求方程f（x）=k，（0＜k＜2），在[﹣，]内的所有实数根之和．【解答】解：（Ⅰ）由向量=（2cos2x，），=（1，sin2x），则：a﹣b=（2cos2x﹣1，sin2x）当x=时，a﹣b=（2cos2﹣1，sin2×）=（0，）那么：|a﹣b|=（Ⅱ）f（x）=a•b﹣1=1×2cos2x+sin2x==1+cos2x+sin2x﹣1=2sin（2x+）∴最小正周期T=由sinx的图象和性质，可知x，（k∈Z）是增区间．∴2x+是增区间，即：，（k∈Z）解得：，（k∈Z）所以，f（x）的单调增区间为：[]，（k∈Z）（Ⅲ）由方程f（x）=k，（0＜k＜2），得．∵的周期T=π，又，∴在内有2个周期．∵，∴方程在内有4个交点，即有4个实根．根据图象的对称性，有，，∴所有实数根之和=x1+x2+x3+x4+x5+x6=．。

莆田六中2015－2016学年高二下期中考试文科数学2016年5月6日满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题有且只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}1,0,1,2,3A =-，{}220B x x x =->，则AB =（ ）A ．{}2,3B ．(2,3)C ．{}1,3-D (1,3)-2.设集合{}14A x x =<<，集合{}2230B x x x =--≤，则()R AC B =（ ）A ．(1,4)B ．(3,4)C ．(1,3)D ．(1,2)(3,4)3.已知集合{}2A y y x ==，{}lg(1)B x y x ==-，则AB =（ ）A ．[0,1]B ．[0,1)C ．(,1)-∞D ．∅ 4. 复数21z i=+（i 是虚数单位）的共轭复数在复平面内对应的点是（ ） A. (1.1) B. (1,1)- C. (1,1)- D. (1,1)-- 5.如图，在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是A 和B ，则21z z =( ) A ．1255i + B ．2155i + C ．1255i -- D ．2155i -- 6．i为虚数单位，若)(1)i z =，则z =( ) A ．1BCD ．27.已知命题1:0,2p x x x∀>+≥，则p ⌝为（ ） A. 10,2x x x ∀>+< B. 10,2x x x∀≤+< C. 10,2x x x ∃≤+< D. 10,2x x x∃>+<C.充要条件．D.既非充分又非必要条件． 9.在极坐标系中，与曲线cos ρθ=关于直线6πθ=(R ∈ρ)对称的曲线的极坐标方程是（ ）A.cos()6πρθ=+ B.cos()6πρθ=- C. cos()3πρθ=+ D.cos()3πρθ=-10.已知命题p ：对于x R ∀∈，恒有222xx-+≥成立，命题q ：奇函数()f x 的图象必过原点．则下列结论正确的是( )A ．p q ∧为真B ．()p q ⌝∨为真C ．()p q ∧⌝为真D ．p ⌝为真11.设函数()ln(f x x =，则对任意实数a ，b ，0a b +≥是()()0f a f b +≥的( )A ．充分必要条件B ．充分而非必要条件C ．必要而非充分条件D ．既非充分也非必要条件12.已知函数2()1f x x x =-+，若存在实数t ，使得对任意实数[1,]x m ∈都有()f x t x +≤成立，则实数m 的最大值为（ ）A ．2B ．3C ．6D ．无穷大二、 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如果复数3()2biz b R i-=∈+的实部和虚部相等，则||z =___________ 14. 若不等式1x a -<成立的充分条件是04x <<，则实数a 的取值范围是 ．15.已知对任意满足2244x y +=的实数,x y ，都有不等式20x y a ++≥成立，则a 的取值范围是______已知销量y 与单价x 具有线性回归关系，该工厂每件产品的成本为5.5元，请你利用所求的线性回归关系预测：要使得利润最大，单价应该定为__________(元)附：线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中斜率和截距最小二乘估计计算公式： 121()()ˆ()niii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，x b y aˆˆ-=三、解答题：本大题共6小题，17题10分，其它每题12分，共70分。

莆田六中2015－2016学年高二下期末考文科数学2016年7月11日命题人：高二备课组审核人：吴金炳满分：150分考试时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题有且只有一项是符合题目要求的）1．设θ为第二象限的角，3sin5θ=，则cosθ=（）A.45B.45- C.34- D.342．设集合{|21}A x x=-<，{|230}B x x=-≥，U R=，则UA C B=（）A．∅ B．3(3,)2- C．3(1,)2 D．3(,3)23.已知⎩⎨⎧-=-)1(log2)(22xxfx22xx≤>，则(5)f等于( )A. －1B. 1C. －2D. 24．下列函数)(xf中，满足“对任意的),0(,21+∞∈xx时，均有0)]()()[(2121>--xfxfxx”的是() （A）xxf）（21)(=（B）44)(2+-=xxxf（C）()2f x x=+（D）xxf21log)(=5．设,a b R+∈，则“4ab>”是“4a b+>”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件6．命题“*x n∀∈∃∈，R N，使得2n x≥”的否定形式是（）A．*x n∀∈∃∈，R N，使得2n x<B．*x n∀∈∀∈，R N，都有2n x<C．*x n∃∈∃∈，R N，使得2n x<D．*x n∃∈∀∈，R N，都有2n x<7．已知定义在R上的函数()f x有导函数()f x'，则“()0f x'=”是“x x=为函数()f x极值点”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8.函数2ln||xyx=的图象大致为（）9．函数2()()f x x x c=-在2x=处有极大值，则c=（）A．2 B．. 4 C．6 D．2或610.已知定义在R上的函数()f x和()g x，记()()()x f x g xϕ=+。

数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知直线与直线垂直，则（）1:210l x ay --=2:210l x y ++==a A. B. 1C. 2D. 41-【答案】B 【解析】【分析】利用两直线垂直的条件求解.【详解】因为直线与直线垂直， 1:210l x ay --=2:210l x y ++=所以，即. ()2120a ⨯+-⨯=1a =故选：B2. 等差数列的前n 项和为，且满足，则（） {}n a n S 252,20a S ==4a =A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】D 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式求解.【详解】设等差数列的公差为，则，，解得{}n a d 212a a d =+=5151020S a d =+=，10,2a d ==所以. 40236a =+⨯=故选：D.3. 已知直线l 过点，方向向量为，则原点到的距离为（）(2,0)P ()1,1n =-O lA. 1B.C.D. 3【答案】B 【解析】【分析】求出直线的解析式，即可求出原点到的距离. O l 【详解】由题意，在直线中，方向向量为，l ()1,1n =-∴直线l 的斜率存在，设，则直线l 的斜率为：， :l y kx b =+111k -==-∴，:l y x b =-+∵直线l 过点， (2,0)P ∴，解得：，02b =-+2b =∴，即， :2l y x =-+:20+-=l x y∴原点到的距离为：，O l d 故选：B.4. 已知圆与圆，若与有且仅有2221:290C x y mx m +-+-=222:20C x y y +-=1C 2C 一条公切线，则实数的值为（） mA. B. C. D.1±2±【答案】C 【解析】【分析】根据两圆有且仅有一条公切线，得到两圆内切，从而可求出结果.【详解】圆可化为，圆心为2221:290C x y mx m +-+-=()221:9C x m y -+=，半径为，()1,0C m 13r =圆可化为，圆心为，半径为，222:20C x y y +-=()222:11C x y +-=()20,1C 21r =又与有且仅有一条公切线， 1C 2C 所以两圆内切，因此，即，2112r r C C =-2=解得， m =故选：C5. 在三棱锥中，点M 是中点，若，则A BCD -BC DM x AB y AC z AD =++（）x y z ++=A. 0 B.C. 1D. 212【答案】A 【解析】【分析】表达出和，得出，，的值，即可求出的值.AM DMx y z x y z ++【详解】由题意，在三棱锥中，点M 是中点， A BCD -BC 连接，，AM DM在中， ABC A ，()12AM AB AC =+u u u r u u u r u u u r 在中，AMD A ， DM AM AD =- ∴, ()12DM AM AD AB AC AD =-=+-∴，， 12x y ==1z =-∴， 111022x y z ++=+-=故选：A.6. 已知点P 在双曲线的右支上，直线交曲线C 于点Q （异于222:1(0)y C x b b-=>OP P ），点F 为C 的左焦点，若为锐角，则b 的取值范围为（） ||4,PF PFQ =∠A.B.C.D.(0,2)(2,(2,)+∞【答案】C 【解析】【分析】设双曲线的右焦点，根据双曲线的定义，可求得，根据已知条件2F 22PF =为锐角，可判断为钝角，结合余弦定理即可求得b 的取值范围.PFQ ∠2FPF ∠【详解】如图所示：设双曲线的右焦点为，则，且，则， 2F 22PF PF a -=1a =22PF PF -=又则，又，所以， ||4,PF =22PF =2226FF c PF PF =<+=3c <而，即，解得222c a b =+219b +<0b <<又因为为锐角，且根据双曲线的对称性知，关于原点对称，PFQ ∠,P Q 22FQ F P ==，，22QFF PF F ∠=∠所以为锐角，2222PFQ QFF PFF PFF PF F ∠=∠+∠=∠+∠所以为钝角，则①，且2FPF ∠22222424204cos 024216c c FPF +--∠==<⨯⨯，又②，22041016c --<<221c b =+由①②两式解得 2<<b所以b 的取值范围为. (2,故选：C7. 在平行六面体中，1111ABCD A B C D -，，则直线111,60AB AD AA DAB BAA DAA ==∠=∠=∠=︒11(01)AQ A B λλ=<<与直线所成角的余弦值为（）1AC DQA. 0B.C.D. 112【答案】A 【解析】【分析】设，由向量的运算得出，进而得出直线1,,a AB b AD c AA ===10AC DQ ⋅= 与直线所成角的余弦值.1AC DQ 【详解】设，不妨设，则1,,a AB b AD c AA ===11AB AD AA ===12a b a c b c ⋅=⋅=⋅= ，， 1AC a b c =++ 11A B A A AB a c =+=-1111()(1)DQ DD D A A Q c b a c a b c λλλ=++=-+-=-+- ()2221(1)(1)1AC DQ a a b a c a b b b c a c b c c λλλλλλ⋅=-⋅+-⋅+⋅-+-⋅+⋅-⋅+-1111111111022222222λλλλλλ=-+-+-+-+-+-=即，则直线与直线所成角的余弦值为.1AC DQ ⊥1AC DQ 0故选：A8. 椭圆的左焦点为F ，右顶点为A ，以F 为圆心，为半径2222:1(0)x y E a b a b+=>>||FO 的圆与E 交于点P ，且，则E 的离心率为（） PF PA ⊥A.B.C.D.23【答案】C 【解析】【分析】由已知得，右焦点为，中利用余弦定理列方cos PF cPFA FA a c∠==+F 'PFF 'A 程，由齐次式可求E 的离心率.,a c 【详解】由题意，，，由，， PF c =FA a c =+PF PA ⊥cos PF cPFA FA a c∠==+右焦点为，连接，有，F 'PF '2PF a c '=-中，，PFF 'A ()()222222222cos 24c c a c PF FF PF c PFF PF FF c a c+--''+-'∠==='⋅+化简得，即，222c a =a =则E 的离心率为c e a ==故选：C【点睛】思路点睛：点P 在椭圆上，一是满足椭圆方程，二是到两焦点距离之和等于2a ，求椭圆离心率，结合其它条件构造齐次式即可得解.,a c 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知椭圆与椭圆，则（）221259x y +=221259x y k k+=--A. B. 短轴长相等C. 焦距相等D. 离心率9k <相等 【答案】AC 【解析】【分析】分别对两个椭圆进行分析，得到对应的短轴长，焦距，离心率等，即可得出结论.【详解】由题意，在中，有，，，221259x y +=5a =3b =4c ===∴短半轴为3，长半轴为5，焦距为，离心率， 428⨯=45c e a ==在中，有，221259x y k k+=--a =b =，4c ===，428⨯=，解得：，离心率， 25090k k ->⎧⎨->⎩9k <e =∴AC 正确，BD 错误. 故选：AC.10. 如图，四边形为正方形，，平面，ABCD //EA BF EA ⊥ABCD ，点在棱上，且，则（）22AB AE BF ===M EC EM EC λ=A. 当时，平面 14λ=//DM BFCB. 当时，平面 12λ=MF ⊥EAC C. 当时，点到平面的距离为 12λ=M BCF 1D. 当时，平面与平面的夹角为 14λ=MBD ABCD π4【答案】BC 【解析】【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直A AD AB AE x y z 角坐标系，利用空间向量法逐项判断可得合适的选项.【详解】因为平面，四边形为正方形，以点为坐标原点，EA ⊥ABCD ABCD A 、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，AD AB AE x y z则、、、、、， ()0,0,0A ()0,2,0B ()2,2,0C ()2,0,0D ()0,0,2E ()0,2,1F 对于AD 选项，当时，， 14λ=113,,222M ⎛⎫⎪⎝⎭，易知平面的一个法向量为，313,,222DM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭BFC ()0,1,0m =因为，因此，与平面不平行，A 错，102DM m ⋅=≠ DM BFC 设平面的法向量为，，MBD ()1,,n x y z = ()2,2,0DB =-则，取，可得， 11220313222n DB x y n DM x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩3x =()13,3,2n = 易知平面的一个法向量为，ABCD ()20,0,1n =121212cos,n nn nn n⋅<>===⋅所以，平面与平面的夹角不是，D错；MBD ABCDπ4对于BC选项，当时，，12λ=()1,1,1M，，，()1,1,0FM=-()2,2,0AC=()0,0,2AE=所以，，，所以，，，220FM AC⋅=-=FM AE⋅=FM AC⊥FM AE⊥又因为，、平面，平面，B对，AC AE A⋂=AC AE⊂EAC FM∴⊥EAC点到平面的距离为，C对.M BCF1FM mdm⋅==故选：BC.11. 2022年11月29日23时08分，我国自主研发的神舟十五号载人飞船成功对接于空间站“天和”核心舱前向端口，并实现首次太空会师．我国航天员在实验舱观测到一颗彗星划过美丽的地球，彗星沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于这条抛物线的焦点．当此彗星离地球4千万公里时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为，则彗星与地球的60︒最短距离可能为（单位：千万公里）（）A. B. C. 1 D. 31312【答案】CD【解析】【分析】不妨假设该抛物线开口向右，可设该抛物线的方程为，彗星离地()220y px p=>球4千万公里时假设为A点，作轴于，分在的左侧和右侧进行讨论，即可AB x⊥B B F求出最短距离【详解】不妨假设该抛物线开口向右，如图所示，可设该抛物线的方程为()220y px p=>，地球即焦点坐标为，设彗星的坐标为，,02pF⎛⎫⎪⎝⎭()()000,0x y x≥当彗星离地球4千万公里时，设彗星此时处于A 点，即， 4AF =作轴于，则， AB x ⊥B 60AFB ∠=︒当在的右侧时，B F，所以，2AB =2,2p A ⎛+ ⎝代入抛物线可得，解得 12222p p ⎛⎫= ⎪⎝⎭+2p =则根据抛物线的定义可得彗星到地球的距离为， 00112px x +=+≥则彗星与地球的最短距离可能为1千万公里， 当在的左侧时，B F，所以，2AB =2,2p A ⎛- ⎝代入抛物线可得，解得 12222p p ⎛⎫=-⎪⎝⎭6p =则根据抛物线的定义可得彗星到地球的距离为， 00332px x +=+≥则彗星与地球的最短距离可能为3千万公里， 故选：CD12. 大自然的美丽，总是按照美的密码进行，而数学是美丽的镜子，斐波那契数列，就用量化展示了一些自然界的奥妙．譬如松果、风梨的排列、向日葵花圈数、蜂巢、黄金矩形、黄金分割等都与斐波那契数列有关．在数学上，斐波那契数列可以用递推的方法{}n a 来定义：，则（）()12211,1,N n n n a a a a a n *++===+∈A. 135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=B. 12320202022a a a a a +++⋅⋅⋅+=C.2222123202*********a a a a a a +++⋅⋅⋅+=D. 132420192021202020221220212022111111a a a a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅++=-【答案】ACD 【解析】【分析】用累加法判断选项AB ，对于C ，只需证明即可,22221231n n n a a a a a a +++++= 用数学归纳法证明;对于D ，得到，即可判断2112122111n nn n n n n n n n n a a a a a a a a a a a +++++++-==-【详解】对于A ，由，可得，则，21n n n a a a ++=+12n n n a a a ++=-342a a a =-，，564a a a =-786,,a a a =- 202120222020a a a =-将上式累加得，又，则有223570212022a a a a a a ++⋅⋅=-⋅+121a a ==.故A 正确；1320212022a a a a ++⋅⋅⋅+=对于B ，由，可得，， 21n n n a a a ++=+321a a a =+432,,a a a =+ 202220212020a a a =+将上式累加得，又，则()123202020222a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+21a =，故B 错误；123202020221a a a a a +++⋅⋅⋅=-+对于C ，有成立,用数学归纳法证明如下: 22221231n n n a a a a a a +++++= ①当时,,满足规律,1n =21121a a a ==⋅②假设当时满足成立,n k =22221231k k k a a a a a a +++++= 当时，则1n k =+222222123111k k k k k a a a a a a a a ++++++++=+ ()11k k k a a a ++=+成立，满足规律,12k k a a ++=故，令，则有22221231n n n a a a a a a +++++= 2021n =成立，故C 正确;2222123202*********a a a a a a ++++=对于D ，由可得，21n n n a a a ++=+2221121111n n n nn n n n n n n a a a a a a a a a a a +++++++-==-所以132420192021202020221111a a a a a a a a ++⋅⋅⋅++，故D 正确 223334202120212022122020111111a a a a a a a a a a a a =-+-++- 122021202211a a a a =-故选：ACD【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 写出双曲线的一条渐近线方程__________．22:14y C x -=【答案】（或） 2y x =2y x =-【解析】【分析】由双曲线的性质求解即可.【详解】由题意可得，，则双曲线的渐近线方程为1,2a b ==22:14y C x -=.2by x x a=±=±故答案为：（或）2y x =2y x =-14. 正方体中，E 为线段的中点，则直线与平面所成角1111ABCD A BC D -1BB 1C E11A D B 的正弦值为__________．【解析】【分析】建立空间坐标系，利用法向量求解线面角.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标D 1,,DA DC DD ,,x y z 系，如图，设正方体的棱长为2，则;()()()()()1112,2,0,2,0,2,0,0,2,2,2,1,0,2,2B A D E C ；()()()11112,0,1,0,2,2,2,0,0EC BA D A =-=-=设平面的一个法向量为，则，，11A D B (),,n x y z = 11100n D A n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 20220x z y =⎧⎨-=⎩A 令，则.1y =()0,1,1n =设直线与平面所成角为，则. 1C E 11A D Bθ11sin n EC n EC θ⋅===15. 在平面上给定相异的两点A ，B ，设点P 与A ，B 在同一平面上，满足，当||||PA PB λ=且时，点P 的轨迹是一个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆．在中，0λ>1λ≠PAD A ，边中点为，则的最大值为__________．||||,(3,0)PA PD A =-PD (3,0)B ∠PAB 【答案】 π6【解析】【分析】设，可得，利用可得(),P x y ()6,D x y --||||PA PD =，结合图象即可得到与该圆相切时，最大()()225160x y y -+=≠PA ∠PAB 【详解】设，由边中点为可得，(),P x y PD (3,0)B ()6,D x y --因为，整理可得||||PA PD==，()()225160x y y -+=≠所以的轨迹是圆心为，半径为4的圆上（排除轴上的点）， P ()5,0Qx 则当与该圆相切时，最大，， PA ∠PAB 1tan 2PQ PAB AQ∠==因为所以 π0,2PAB ∠<<π,6PAB ∠=故答案为：π616. 平面上一系列点，其中()()()111222,,,,,,,n n n A x y A x y A x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅11(1,2),0n n A y y +>>，已知在曲线上，圆与y 轴相切，且圆与圆n A 24y x =()()222:n n n n A x x y y r -+-=n A 外切，则的坐标为__________；记，则数列的前6项和为1n A +3A 1n n n b y y +={}n b __________． 【答案】 ①. ②. 12,93⎛⎫⎪⎝⎭247【解析】【分析】由圆与y 轴相切得出圆的半径为，由圆与圆外切，得出n A n A n x n A 1n A +，进而由递推公式结合求解即可.()112n n n n y y y y ++=-12y =【详解】因为圆与y 轴相切，所以圆的半径为， n A n A n x 又圆与圆.n A 1n A +1n n x x +=+两边平方并整理得，结合， ()2114n n n n y y x x ++-=22114444n n n n y y x x ++⋅=⨯⨯，得， 10n n y y +>>()112n n n n y y y y ++=-122nn ny y y +=+即，，以此类推 121212y y y ==+323y =727y =因为，所以，故. 323y =319x =312,93A ⎛⎫⎪⎝⎭数列的前6项和为{}n b ()()()()()()1223344556672y y y y y y y y y y y y -+-+-+-+-+-⎡⎤⎣⎦ ()177224y y ==-故答案为：；. 12,93⎛⎫ ⎪⎝⎭247四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，点xOy OABC ,3COA C π∠=D 为的中点，的外接圆为圆M ．AB OAC A（1）求圆M 的方程；（2）求直线被圆M 所截得的弦长．CD【答案】（1） 224(1)3x y ⎛-+= ⎝（2【解析】【分析】（1）由已知可得为正三角形，可求出圆心坐标和半径得求圆M 的方程； OAC A （2）根据相应点的坐标，得到直线CD 的方程，求圆心到直线距离，利用几何法求弦长. 【小问1详解】（1）因为， ，所以为正三角形， OA OC =π3COA ∠=OAC A由，得， 2OA OC ===(20)A ，所以外接圆圆心为 ，又半径， OAC A M ⎛ ⎝R MO ==所以圆M 的方程为224(1)3x y ⎛-+-= ⎝【小问2详解】由题意得 ， ，B 52D ⎛⎝直线CD 的斜率，52k ==直线CD 方程为即，1)y x =-40x +-=M 到CD 的距离为，1d 所以CD 被圆M 截得的弦长为. ==18. 已知等比数列的各项均为正数，且． {}n a 2123264,9a a a a a +==（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设，求数列的前n 项和． 3log n n n b a a =+{}n b 【答案】（1）13n n a -=（2）()21312nn n +--【解析】【分析】（1）根据条件列方程组，求出首项和公比，利用通项公式可得答案； （2）先求出的通项公式，利用分组求和法可求和. n b 【小问1详解】设正项等比数列的公比为，因为，{}n a q 2123264,9a a a a a +==所以，解得，所以. 1124261149a a q a q a q +=⎧⎨=⎩113a q =⎧⎨=⎩1113n n n a a q --==【小问2详解】 由（1）可得，设数列的前n 项和为，131n n b n -=+-{}n b n S则()()21121333011n n n S b b b n -=+++=++++++++- . ()()21131311322n n n n n n --=+=+---19. 已知点，点B 为直线上的动点，过点B 作直线的垂线l ，且线段(0,1)F 1y =-1y =-的中垂线与l 交于点P ．FB （1）求点P 的轨迹的方程；Γ（2）设与x 轴交于点M ，直线与交于点G （异于P ），求四边形面积的FB PF ΓOMFG 最小值．【答案】（1） 24x y =（2【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义求解轨迹方程；（2）设出直线，联立方程，得出，用表示出四边形的面积，结合基124x x =-1x OMFG 本不等式求解最值. 【小问1详解】由题意点到直线的距离与到点的距离相等，所以点P 的轨迹是以P 1y =-(0,1)F (0,1)F 为焦点，以直线为准线的抛物线， 1y =-所以方程为. 24x y =【小问2详解】设直线的方程为，，则.PG 1y kx =+1122(,),(,)P x y G x y ()1,1B x -如图，设与轴的交点为，则易知为的中位线，所以. 1y =-y N OM FNB A 1,02xM ⎛⎫⎪⎝⎭联立，得，， 214y kx x y=+⎧⎨=⎩A 2440x kx --=12124,4x x k x x +==-不妨设，则， 1>0x 214x x =-四边形面积为OMFG111221111142222222x x x S OF x OF x x ⎛⎫⎛⎫=+=-=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当.1x =OMFG 20. 世界上有许多由旋转或对称构成的物体，呈现出各种美．譬如纸飞机、蝴蝶的翅膀等．在中，．将绕着旋转到的位ABC A2,120AB BC ABC ==∠=︒ABC A BC DBC △置，如图所示．（1）求证：；BC AD ⊥（2）当三棱锥的体积最大时，求平面和平面的夹角的余弦值． D ABC-ABD BDC 【答案】（1）证明见解析 （2 【解析】【分析】（1）做辅助线，先证明线面垂直，利用线面垂直证明线线垂直；（2）根据三棱锥的体积最大，确定平面的垂直关系，利用空间向量求解平面的夹角. 【小问1详解】取的中点，连接，AD E ,CE BE 由题意可知，所以； ,AC DC AB DB ==,CE AD BE AD ⊥⊥因为平面，所以平面； ,,CE BE E CE BE ⋂=⊂BCE AD ⊥BCE 因为平面，所以. BC ⊂BCE BC AD ⊥【小问2详解】由题意可知三棱锥的体积最大时，平面平面； D ABC -DBC ⊥ABC 在平面内作出，且与的延长线交于点，连接； DBC DO BC ⊥CB O OA 因为平面平面，平面平面，， DBC ⊥ABC DBC ABC BC =DO BC ⊥所以平面；根据旋转图形的特点可知，两两垂直， DO ⊥ABC ,,OD OA OC 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， O ,,OA OC OD ,,x y z因为，所以；2,120AB BC ABC ==∠=︒1OA OD OB ===；())(()0,1,0,,,0,3,0B AD C ，)(1,0,0,BA BD =-=-设平面的一个法向量为，则，， ABD (),,n x y z = 00n BA n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩y y -=-=令；y =()n =r易知平面的一个法向量为,BDC )OA =设平面和平面的夹角为，则ABD BDC θcosOA n OA nθ⋅===所以平面和平面. ABD BDC21. 甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额均为1千万元，由于管理经营方式不同，甲超市前n 年的总销售额为千万元，乙超市第n 年的销售额比前一年的销售额212n +多千万元．123n -⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）分别求甲、乙超市第n 年销售额的表达式；（2）若其中一家超市的年销售额不足另一家超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？【答案】（1）甲超市第n 年销售额为，乙超市第n 年销售额为1,1122n n a n n =⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，12323n n b -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭（2）乙超市将被甲超市收购，至少第6年【解析】【分析】（1）设甲、乙超市第年销售额分别为千万元、千万元，利用n n a n b 1n n n a S S =－-即可求出，利用累加法求出即可；n a n b （2）先解释甲超市不可能被乙超市收购，然后利用得到，通12n n b a <2213312nn n c -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过得到，代入具体的值即可 10n n c c +->2n ≥n 【小问1详解】设甲、乙超市第年销售额分别为千万元、千万元，n n a n b 假设甲超市前年总销售额为，则，n n S 212n n S +=当时，， 2n ≥()2211111222n n n n n a S S n --++=-=-=-易得不满足上式，故； 11a =1,1122n n a n n =⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，时，，112b n =≥，1123n n n b b --⎛⎫-= ⎪⎝⎭故()()()211213212221...333n n n n b b b b b b b b --⎛⎫⎛⎫=+-+-+⋯+-=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭213213n⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，12323n -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭显然也适合，故；1n =12323n n b -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭【小问2详解】甲超市不可能被乙超市收购，乙超市将被甲超市收购，理由如下： ①因为，，当时，， 3n b <11a b =2n ≥23122n n a a b ≥=>所以甲超市不可能被乙超市收购；②设即，即， 12n n b a <1221334n n n ---<22130312n n -⎛⎫+> ⎪⎝⎭设，2213312nn n c -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令11221122131120312312633n n nn n n n c c ++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--=-⨯> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即，解得，所以2231n⎛⎫ ⎪≤⎝⎭2n ≥1234c c c c <<>< ， 1104c =-<552132132320,342434243128c ⎛⎫=-=-=-< ⎪⎝⎭，662164164640,31272912729768c ⎛⎫=-=-=-> ⎪⎝⎭77210312c ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭所以，解得，22130312nn n c -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭6n ≥综上，至少第6年时乙超市将被甲超市收购22. 已知椭圆过点．2222:1(0)x y E a b a b +=>>（1）求E 的方程；（2）过作斜率之积为1的两条直线与，设交E 于A ，B 两点，交E 于C ，(1,0)T 1l 2l 1l 2l D 两点，的中点分别为M ，N ．探究：与的面积之比是否为定,AB CD OMN A TMN △值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）22142x y +=（2）为定值，定值为2，理由见解析 【解析】【分析】（1）由题意可得写出关于的等式，即可求出E 的方程； ,,a b c （2）设直线与椭圆进行联立可得，同理可得:1,AB x my =+222,22m M m m -⎛⎫⎪++⎝⎭可得到直线过定点，然后利用2222,.2121m m N m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭()221:2,m MN x y m+=+(2,0)Q 面积公式即可 【小问1详解】由题意可得，解得，22222211a b c aa b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩则E 的方程 22142x y +=【小问2详解】与面积之比为定值，定值为2，理由如下：OMN A TMN △设直线（），:1,AB x my =+0m ≠()()1122,,,,A x y B x y 联立可得，， 221142x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222230m y my ++-=216240m ∆=+>则 12122223,,22m y y y y m m --+==++所以 122222,11,2222M M M y y m m y x my m m m m +--===+=⋅+=+++所以， 222,22m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭设，同理可得 1:1CD x y m =+2222,.2121m m N m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以， ()22222222211212212MN m m m m m m k m m m -+++==-+++所以直线即 ()222212:,22m m MN x y m m m +⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭()2212,m x y m +=+所以恒过定点，MN (2,0)Q 设点到直线的距离分别是,O T MN 12,,d d 则 112212212OMN TMN MN d OQ S d S d TQMN d ⨯====⨯A A 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； 12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.。

2015年莆田市高中毕业班教学质量检查试卷数学（文科）试题参考答案及评分标准一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，本大题共12小题，每小题5分，满分60分．1．A 2．A 3．B 4．C 5．C 6．D 7．D 8．C 9．B 10．A 11．B 12．C二、填空题：本题考查基础知识和基本运算，本大题共4小题，每小题4分，满分16分．13．{1，2} 14．25 15．4x+y+3=0 16．①③④三、本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．本小题主要考查等差、等比数列、数列求和等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分12分．解：（Ⅰ）因为a 1，a 2，a 4成等比数列，所以a 1a 4=a 22 ．…………………………………1分即a 1(a 1+3d)=(a 1+d)2，解得d=1或d=0（舍去）． …………………………………………2分所以a n =1+(n －1)1=n ，………………………………………………………………………4分(1)2n n n S +=．………………………………………………………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2112()(1)1n b n n n n ==-++，…………………………………………7分 所以1211111122(1)2()2()2(1)223111n n b b b n n n n +++=-+-++-=-=+++．…………9分 解2915n n >+，解得n>9，…………………………………………………………………………11分 所以使不等式成立的最小正整数为10．……………………………………………………12分18．本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数、解三角形等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分12分．解：（Ⅰ）①处应填入6π．…………………1分1cos 21()222x f x x ωω+=-+……………3分12cos 2sin(2)26x x x πωωω=-=-．………………4分 因为T=522()233πππ-=，所以222ππω=，12ω＝，()sin()6f x x π=-．…………5分 令22262k x k πππππ-≤-≤+，Z ∈k ，得22233k x k ππππ-≤≤+， 所以函数)(x f 的单调递增区间为22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦ ()Z ∈k ．……………7分（Ⅱ）因为4()2a c f π+=4sin 3π==…………8分解法一：由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-22()22cos()33a c ac ac a c ac π=+--=+-，得223ac =-，3ac =．…………10分所以 ABC ∆的面积11sin 322S ac B ==⨯=．………12分 解法二：由正弦定理得2sin sin sin a c b A C B===， 所以2sin a A =，2sin c C =，而23A CB ππ+=-=，………8分所以2sin 2sin a c A C +=+212sin()2sin 2(cos sin )2sin 322C C C C C π=-+=++3sin C C =+)3C π=-=………10分 即cos()13C π-=，因为0C π<<，2333C πππ-<-<，所以3C π=．因此 ABC ∆为等边三角形，其面积2S == ……12分 19．本小题主要考查分层抽样、古典概型等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想．满分12分．解（I ）由已知得4115230115345460230n =++++，解得n=22．…………3分 抽取的人中最喜欢“合一斗”有11542230⨯=(人)．……………5分 （II ）从（I ）中抽取的最喜欢“合一斗”和“斗麻利”的人中，最喜欢“合一斗”的有2人，记为A 1、A 2，最喜欢“斗麻利”的有4人，记为B 1、B 2、B 3、B 4．…………………6分从中随机抽取2人，所有的可能结果共有15种，它们是: (A 1， A 2)、(A 1， B 1)、(A 1， B 2)、(A 1， B 3)、(A 1， B 4)、(A 2， B 1)、(A 2， B 2)、(A 2， B 3)、(A 2， B 4)、 (B 1， B 2)、(B 1， B 3)、(B 1， B 4)、(B 2， B 3)、(B 2， B 4)、(B 3， B 4)．…………9分其中，恰有1人最喜欢“合一斗”的可能结果共有8种，它们是：(A 1， B 1)、(A 1， B 2)、(A 1， B 3)、(A 1， B 4)、(A 2， B 1)、(A 2， B 2)、(A 2， B 3)、(A 2， B 4)．故所求的概率P=815．…………12分 20．本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．(Ⅰ)证：正方形ABEF 中，AF ⊥AB ，∵平面ABEF ⊥平面ABCD ，又AF ⊂平面ABEF ， 平面ABEF ⋂平面ABCD=AB ，∴AF ⊥平面ABCD ．又∵BD ⊂平面ABCD ，∴AF ⊥BD ． ……………3分又AD BD ⊥，AF ⋂AD=A ，AF 、AD ⊂平面ADF ，∴⊥BD 平面ADF ．……………5分 (Ⅱ)解：当N 为线段EF 中点时，MN ∥平面ADF ，且MN//平面BDF ． ……………6分证明如下：正方形ABEF 中，NF //21BA ， 平行四边形形ABCD 中，MD //21BA ，∴NF //MD ， ∴四边形NFDM 为平行四边形，∴MN//DF ． ……………7分又DF ⊂平面ADF ，MN ⊄平面ADF ，∴MN//平面ADF ，同理可证MN//平面BDF ． ……………9分过D 作DH ⊥AB 于H ，∵平面ABEF ⊥平面ABCD ，又DH ⊂平面ABCD ，平面ABEF ⋂平面ABCD=AB ，∴DH ⊥平面ABEF ．在Rt∆ABD 中，AB=2，BD=AD ，∴DH=1，……………10分所以111112332N ADF D ANF ANF V V DH S --∆==⋅=⨯⨯⨯⨯=分 21．本小题主要考查平面向量、点到直线的距离、椭圆的定义与性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想、分类与整合思想．满分12分．解法一：（Ⅰ）由已知可得，12c a =，4a=8，所以a=2，c=1．·……………2分又由222b a c =-，解得b = 所以椭圆E 的方程为22143x y +=．……………3分 （Ⅱ）因为2=+PO PQ PR ，所以OR QO =，所以R ，O ，Q 三点共线，且R 在椭圆E 上．……………4分直线PF 2的方程为y=－1)，由221,431),x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得5x 2－8x=0，解得x=85或x=0，……………5分所以P （0，Q （85，），R （85-．·……………6分 所以S △PQR =S △POR +S △POQ =12|PO|·|x Q －x R|=11625=．……………7分 （Ⅲ）存在点M ，N ，当其坐标为（－85，），（85，）时，△PMN 为等边三角形．…8分证明如下：当MN ⊥x 轴时，易得△PMN 不可能为等边三角形．当MN ⊥y 轴时，因为∆PMN 为等边三角形，结合椭圆的对称性，以及（Ⅱ）可得M ，N 的坐标为（－85，5-），（85，5-），符合题意．……………9分 当MN 不与坐标轴垂直时，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），MN 的中点为D （x 0，y 0）， 由221122221,431,43⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y 得12121212()()()()043x x x x y y y y +-+-+=，即012121212033()4()4x y y x x x x y y y -+=-=--+，所以k MN =0034x y -．……………10分 因为△PMN 为等边三角形，所以k MN ·k PD =—1，即0000314x y y x -⋅=-， 解得y 0=-与y 0∈[矛盾，此时不存在M ，N 使△PMN 是等边三角形．·……………11分综上，存在M ，N ，且其坐标为（－85，），（85，）时，△PMN 是等边三角形．……12分解法二：（Ⅰ）同解法一；（Ⅱ）同解法一，可得|QR|=2|QO|==………6分 因为直线QR 的方程为y=x，即， 所以点P （0到直线QR 的距离=． 所以S △PMN =12|QR|·d=12=……………7分 （Ⅲ）存在点M ，N ，当其坐标为（－85，5-），（85，5-）时，△PMN 为等边三角形．…8分证明如下：当MN ⊥x 轴时，易得△PMN 不可能为等边三角形．（1）当MN 垂直于坐标轴时，同解法一．……………9分（2）当MN 不与坐标轴垂直时，设直线MN 的方程为y=kx+m （k≠0），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）． 由221,43,⎧+=⎪⎨⎪=+⎩x y y kx m 得222(34)84120k x kmx m +++-=，所以21212228412,3434--+==++km m x x x x k k ，MN 的中点坐标为2243(,)3434-++km m D k k ．因为△PMN 为等边三角形，所以k MN ·k PD =—1，即22334134+=-+m k k k ，化简得24)=+m k ， （*）又因为222222644(34)(412)48(43)0∆=-+-=+->k m k m k m ，即2234<+m k ，这与（*）式矛盾，满足条件的M ，N 不存在．……………11分 综上，存在M ，N ，当其坐标为（－85，5-），（85，5-）时，△PMN 是等边三角形．……12分22．本小题主要考查函数导数的几何意义、导数的运算及导数的应用，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想．满分14分．解：（Ⅰ）由()ln f x x x =-，11()1x f x x x-'=-=（x>0）．………… 1分 令()0f x '=，得1x =，f(x)，()f x '的变化情况如下表：所以函数f(x)的增区间为（0，1），减区间为（1，+∞）．……………………………… 3分 （Ⅱ）11()(0)ax f x a x x x-'=-=>． （1）当0a ≤时，()0f x '>恒成立，此时函数()f x 在区间（0，+∞）上单调递增，不合题意，舍去．…………………4分（2）当0a >时，令()0f x '=，得1x=，()f x ，()f x '的变化情况如下表： 所以函数()f x 的增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞．……………… 6分要使函数()f x 在区间(,)m +∞上不单调，须且只须1m a >，即10a m<<．所以对任意给定的正数m ，只须取实数1(0,)a m∈，就能使得函数()f x 在区间(,)m +∞上不单调．…………………… 7分 （Ⅲ）假设存在实数1221,(0)x x x x >>，使当12[,]x x x ∈时，函数f(x)的值域为12[1,1]kx kx --．由12120,11,x x kx kx <<⎧⎨-<-⎩得0k >．……………………… 8分令()1g x kx =-．（1）当0a ≤时，(),()f x g x 均在区间（0，+∞）上单调递增，由已知得12,x x 为方程()()f x g x =的两个不等正根． （*）令()()()h x f x g x =-，即()ln ()1h x x a k x =-++．要使（*）成立，须且只须()h x 存在两个零点． ………………………9分 因为1()(0)h x a k x x'=-->． ①当0a k +≤，即k a ≤-时，()h x 在区间（0，+∞）上单调递增，（*）不成立． ②当0a k +>，即k a >-时，令()0h x '=，得1x a k =+，此时()h x 取到最大值． 要使（*）成立，须且只须11()ln()0h a k a k=>++，得1k a <-． 所以当0a ≤时，要使（*）成立，须且只须1a k a -<<-．…………………… 10分（2）当0a >时，由（Ⅱ）知，()f x 在1x a=处取到最大值． 此时要使命题成立，须且只须()h x 有两个零点12,x x ，结合图形可得： ①若121x x a<<，由(),()f x g x 均在区间2(0,)x 上单调递增知，存在12,x x 符合题意； ②若121x x a <<，则取符合11()kx f a -=的解为2x 即可．由①，②，结合（1）得1a k a -<<-． (13)分注意到0k >，所以01a <<，且01k a <<-．综上，当0a ≤时，存在(,1)k a a ∈--符合题意；当01<<a 时，存在(0,1)k a ∈-符合是题意；a 时，满足条件的实数k不存在．…… 14分当1。

莆田六中2015－2016学年高二下期末考文科数学2016年7月11日命题人：高二备课组 审核人：吴金炳 满分：150分 考试时间：120分钟一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

每小题有且只有一项是符合题目要求的）1．设θ为第二象限的角，3sin 5θ=，则cos θ=（ ） A.45 B. 45- C.34- D. 342．设集合{|21}A x x =-< ，{|230}B x x =-≥，U R =，则U AC B =（ ）A ．∅B ．3(3,)2- C ．3(1,)2 D ．3(,3)2 3.已知⎩⎨⎧-=-)1(log 2)(22x x f x 22x x ≤>，则(5)f 等于( )A. －1B. 1C. －2D. 24．下列函数)(x f 中，满足“对任意的),0(,21+∞∈x x 时，均有0)]()()[(2121>--x f x f x x ”的是( )（A ）xx f ）（21)(= （B ）44)(2+-=x x x f （C ）()2f x x =+（D ）x x f 21log )(=5．设,a b R +∈，则“4ab >”是“4a b +>”的（ ）A ．充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．命题“*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x ≥”的否定形式是（ ）A ．*x n ∀∈∃∈，R N ，使得2n x <B ．*x n ∀∈∀∈，R N ，都有2n x <C ．*x n ∃∈∃∈，R N ，使得2n x <D ．*x n ∃∈∀∈，R N ，都有2n x <7．已知定义在R 上的函数()f x 有导函数()f x '，则“0()0f x '=”是“0x x =为函数()f x 极值点”的（ ）A ．充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 8.函数2ln ||xy x =的图象大致为（ ）9．函数2()()f x x x c =-在2x =处有极大值，则c =（ ） A ．2 B ．. 4 C ． 6 D ．2或610. 已知定义在R 上的函数()f x 和()g x ，记()()()x f x g x ϕ=+。