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时谐电磁场及其复数表示谭阳红教授1时谐电磁场如果场源以一定的角频率随时间呈时谐（正弦或余弦）变化，则所产生电磁场以同样的角频率随时间呈正弦或余弦变化：场和源的变化规律是相同的这种以一定角频率作正弦或余弦变化的电磁场，称为时谐电磁场或正弦电磁场2 研究时谐电磁场的意义1）在工程上，应用最多的就是时谐电磁场，如广播、电视、雷达、通信载波、激光束等都是时谐电磁场2）任意时变场在一定的条件下可通过傅里叶分析展开为不同频率的时谐场的叠加3 正弦电磁场的复数形式（相量）电路中正弦量有三要素：振幅（有效值）、频率和初相位电路响应的频率和电源频率一致，故只需振幅/有效值和初相位即可欧拉公式振幅初相位有效值相量最大值相量指数形式极坐标形式正弦量表示为复数，可简化计算例如:例如，可将微积分运算简化为代数乘除运算，微分方程变成代数方程正弦电磁场也有三要素：振幅, 频率和相位以电场强度为例：有效值相量场点的频率和场源频率相同最大值相量手写：在直角坐标系中：手写：简化计算)sin()cos(αβωαβω+−++−=x t E x t E z z y y m m e e E 例：将瞬时值形式写为复数形式解：j()j()2m m x xy y z z E e E e βαβαπ−+−−+=+E e e j()j()x x y y z z E e j E e βαβα−−−−=−E e e 采用幅值相量表示比较简单m m cos()(cos )2y y z z E t x E t x πωβαωβα=−++−+−E e e总结：1）瞬时值→复数形式：取瞬时值的有效值（幅值）和初相位，写成极坐标或指数形式或：将瞬时值形式化为指数形式，去掉e jωt幅值相量2）复数形式→瞬时值：将复数形式乘以时间因子e jωt，取实部(虚部)即可或：将相量的有效值和初相位取出，写成正弦或余弦函数说明：1）复数形式只是数学表示方式，不代表真实场，无明确物理意义，但可简化计算2）场量的实数形式代表真实场，具有明确的物理意义谢谢！。
在时谐电磁场中用矢量势A直接表达电场强度E的一个显式第3O卷第2期2011年2月大学物理C0LLEGEPHYSICSV o1.3ONO.2Feb.20ll在时谐电磁场中用矢量势A直接表达电场强度j5『的一个显式李庚伟,景建恩,魏文博(1.中国地质大学材料科学与工程学院,北京100083;2.中国地质大学地下信息探测技术与仪器教育部重点实验,北京100083)摘要:根据麦克斯韦方程组和洛伦兹条件,对时谐变场e导出用矢量势A直接表达电场强度E的一个显式,并对它进行了讨论.关键词:电场强度;矢量势;洛伦兹条件中图分类号:0442文献标识码:A文章编号:1000—0712(2011)02—0016—02许多教材.'.7都曾给出表达式E=一V咖一等,但都没有对它进行进一步的推导,本文对时谐变场e-io~t通过洛伦兹条件把标量势用矢量势A表达出来,进而直接用A表达出E.1推导过程由麦克斯韦方程组VxE+:0(1)VxH一:J(2)V?B=0(3)V?D=p(4)中的式(3)知,矢量B是无源的,因此可将它写成一个任意矢量A的旋度B=VxA(5)将它代入式(1),得V×(+OA)=0(6)上式表明E+是无旋的,故可将它写成任意标量函数咖的梯度:E+:一V咖或E=一v4,一OA(7)函数A和西分别为场的矢量势和标量势.如果媒质是线性,均匀和各向同性的,则可利用方程D:E,日:In和式(5),式(7),把方程(2)/.z和(4)变换成:V×V×AsV:(8)￡v咖+v.:一(9)方程(8)中,可认为矢量l,是由两个原因引起的,一个是外加的电动势,J=o-E,另一个是导电媒质中的电场=.后者可表示为(一V一OA).所以可将方程(8)重写为V×V×A~~-AA+uo-V4,+uOA=(10)利用矢量恒等式V×V×A VV?A—V?A且使A和的选择满足下述洛伦兹条件:V?As+txo-4,=0(11)可将方程(10)化为V AP=.,(12)利用洛伦兹条件后,类似地可把方程(9)变换为W4,-~z占Ot一譬(13)洛伦兹条件的提出,似乎是任意的,实际上它仅是对选择矢量势A和标量势的一种限制,因为这收稿日期:2010—06—04;修回日期:2010—09—15基金项目:国家专项"大陆电磁参数标准网实验研究''(sinoprobe一01—01)资助;国家863项目"坑(井)一地电阻率像技术及系统研制"(3—3—2007—64一A)资助作者简介:李庚伟(1963--),男,辽宁锦州人,中国地质大学(北京)材料科学与工程学院副教授,博士生,主要从事大学物理教学与研究工作.第2期李庚伟,等:在时谐电磁场中用矢量势A直接表达电场强度E的一个显式17样做有一个值得注意的好处是使得标量势和矢量势完全对称,亦即使它们满足同样的波动方程.已知外加的电流密度.,,由式(12)可以解出A:已知外加的电荷密度P,由式(13)可以解出.然后把A和西代入式(7)可求出电场强度E.但这样做需要解两次方程.下面对时谐变场推导只需解方程(12)求出A后即可直接求出层的过程.根据洛伦兹条件式(11),取时谐变场为e,则=.e…,咖.=咖.(,Y,z)(14)A=Ae…,A0=A.(,Y,=)(15)把式(14)代人式(11),有A—ito/ze4,+"o-4,=0所以西:(16)1m8一o把式(15)和式(16)代入式(7),得:一!砌A(17)l∞弘s一弘仃上式就是在时谐电磁场中已知矢量势A,直接求电场强度E的表达式.2讨论1)当频率小于10Hz时,对大地介质有s《∞,即位移电流远小于传导电流.由于这时8∞,略去8,式(17)成为E=iwA+—V(V?A)(18)o-式(I8)即KerryKey论文中的式(4),注意式(18)在那里是在先忽略位移电流条件下推导出来的,但从本文可看出,式(18)可由式(17)直接导出,它只不过是式(17)的一个特例.在电磁勘探中,利用水平和垂直发射器产生的场矢量叠加可以计算任意取向的偶极子产生的场, 文献[9]中正是利用式(17)的特例式(18)来直接计算电场强度.2)当位移电流远大于传导电流,即/.t~to>>/.to.to 这时s∞》盯,略去/.to-,式(17)成为E=i!:2+iAtotxe(19)对于高频无线电波,可见光,x射线等高频电磁波,先求出矢量势A,便可根据式(19)计算出电场强度E.参考文献:[1]郭硕鸿.电动力学[M].北京:高等教育出版社,1979:162.[美]沃德sH.地球物理用电磁理论[M].新疆工学院电磁法科研组,译.北京:地质出版社,1978:1—5.薛琴访.场论[M].北京:地质出版社,1978:283.阚仲元.电动力学教程[M].北京:人民教育出版社,1979:142.梁绍荣,王雪君.电动力学[M].北京:北京师范大学出版社,1986:267.冯慈璋,马西奎.工程电磁场导论[M].北京:高等教育出版社,2000:156.赵凯华,陈熙谋.新概念物理教程:电磁学[M].北京:高等教育出版社,2003:167.米萨克N?纳比吉安.勘查地球物理电磁法,第一卷理论[M].赵经祥,等译.北京:地质出版社,1992:125.KerryKey.1Dinversionofmulticomp0nent,muhifre- quencynlarineCSEMdata:Methodologyandsynthetic studiesforresolvingthinresistivelayers[J].Geophys-ics.2009.74(2):9—20. AnexplicitformulaofelectricfieldintensityEdirectlybyvectorpotentialAintime-harmonicelectromagneticfieldLIGeng.wei,JINGJian—ell,WEIWen—bo(1.SchoolofMaterialsScienceandTechnology,ChinaUniversityofGeoscienees,Beijing10 0083,China;2.Geo—DetectionLaboratoryMinistryofEducationofChina,ChinaUniversityofGeosciences, Beijing100083,China)Abstract:AccordingtotheMaxwellequationsandtheLorentzcondition,anexplicitformula ofelectricfieldintensityEdirectlybyvectorpotentialAfortime～harmonicelectromagneticfieldeisderivedanddiscussed.Keywords:electricfieldintensity;vectorpotential;Lorentzcondition1j]j]J1J23456789r}rlrLrL。
1796-7 时谐场麦克斯韦在空间和时间上是一阶的线性微分方程，在自由空间或线性系统中，有关的构成关系是线性的，即麦克斯韦方程组的解的叠加也是有效解。
因此，首先了解具有单一频率的单色波是很有用的。
这些单一频率的正弦函数解称为时谐场，并且任何其它类型的场可由正弦函数通过傅立叶级数构成。
时谐场是时变电磁场中一种最重要的类型。
在线性系统中，一个正弦变化的源激发的场在空间各点也是正弦地变化。
对于时谐场，其瞬时值的数学表达式通常用余弦函数来表示，即[](,)()cos ()m t t ωϕ=+E r E r r式中E m (r )仅是空间的函数，是电场的振幅；ω为角频率，ω = 2πf = 2π/T ，其中f 为频率，T 为周期；ϕ是电场的初相位，因空间各点的电场初相位不同，因此它也是空间的函数。
我们也可将电场写为：[]()()(,)Re ()Re ()Re ()j t m j j t j tm t e e e e ωϕϕωω+⎡⎤=⎣⎦⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦r r E r E r E r E r (6-7-1)式中Re 表示括号中复数函数的实数部分。
因此，在线性系统中，我们完全可以将时谐场量用复数形式表达，例如：(,)()j t t e ω=E r E r (6-7-2a) (,)()j t t e ω=B r B r (6-7-2b) (,)()j t t e ω=J r J r (6-7-2c)(,)()j t t e ωρρ=r r (6-7-2d)而实际场量的测量值是复数形式的实数部分。
由此，麦克斯韦方程组(6-4-1)形式并没有变化，但方程组中的场量是复数。
将式(6-8-2)带入(6-5-1)，对于时谐场，麦克斯韦方程组的复数形式为：j ω∇⨯=-E B (6-7-3a)000j μμεω∇⨯=+B J E (6-7-3b)ρε∇=E (6-7-3c) 0∇=B (6-7-3d)上面的运算表明，对时间的求导，产生一个因子jω。
时谐电磁场哈灵顿1. 介绍时谐电磁场是电磁学中一个重要的概念，它描述了电磁场在时间上的周期性变化。
哈灵顿是电磁学中的一种解析方法，用于求解时谐电磁场的分布和性质。
本文将介绍时谐电磁场的基本概念和哈灵顿方法的原理，以及它们在电磁学研究和工程应用中的重要性。
2. 时谐电磁场时谐电磁场是指电磁场的振幅和相位随时间按照一定的周期性变化。
在时谐电磁场中，电场和磁场的分布可以用复数形式表示：E(r,t)=E0(r)e jωtH(r,t)=H0(r)e jωt其中，E0(r)和H0(r)分别表示电场和磁场的复振幅，j为虚数单位，ω为角频率，t 为时间，r为空间位置。
时谐电磁场满足麦克斯韦方程组，即：∇×E=−jωμH∇×H=jωϵE∇⋅E=0∇⋅H=0其中，μ为磁导率，ϵ为介电常数。
3. 哈灵顿方法哈灵顿方法是一种求解时谐电磁场分布和性质的解析方法。
它基于麦克斯韦方程组的时谐形式，通过引入矢量标量势和矢量势的关系，将麦克斯韦方程组转化为亥姆霍兹方程。
亥姆霍兹方程描述了时谐电磁场的传播和衰减规律：∇2A+k2A=0其中，A为矢量标量势，k为波数，定义为k=ω√μϵ。
哈灵顿方法的关键是找到合适的矢量标量势，使得亥姆霍兹方程成为一个可解的数学问题。
常用的矢量标量势有电磁矢量势A和电磁标量势Φ。
通过合适的选择矢量标量势，可以得到电场和磁场的分布：E=−jωμ∇×AH=1μ∇×∇×A哈灵顿方法在求解时谐电磁场问题时具有以下优点：•可以得到解析解，方便分析电磁场的性质。
•可以求解复杂的边界条件和介质分布下的电磁场问题。
•可以求解具有任意形状的散射体和辐射体的电磁场分布。
4. 应用时谐电磁场和哈灵顿方法在电磁学研究和工程应用中具有广泛的应用。
4.1 无线通信时谐电磁场和哈灵顿方法可以用于分析和设计无线通信系统中的天线、传输线和辐射场。
通过求解时谐电磁场分布，可以优化天线的辐射特性和工作频率，提高通信系统的性能。
4.4惟一性定理 4.5时谐电磁场 1、理解惟一性定理及其重要意义；2、掌握电磁场的复数表示方法及其意义、复数形式的麦克斯韦方程和波动方程；3、掌握有耗媒质特性参数的描述，掌握平均坡印廷矢量。
重点：1）电磁场复数表示方法及其意义； 2）复数形式麦克斯韦方程和波动方程 难点：1）惟一性定理的证明； 2）平均坡印廷矢量。
讲授、练习 2学时4.4惟一性定理分析有界区域的时变电磁场问题，即在给定初始条件和边界条件下求解麦克斯韦 方程。
那么在什么样的条件下，有界区域麦克斯韦方程的解才是惟一的？惟一性定理：在以闭合面S 为边界的有界区域V 内，如果给定0t =时刻的电场强 度E 和磁场强度H 的初始值，并且在0t ≥时，给定边界S 上E 和H的切向分量，那 么，在0t >时，区域V 内的电磁场由麦克斯韦方程惟一确定。
证明：用反证法如果有两个不同的解()11,E H 、()22,E H同时满足麦克斯韦方程和相应的初始条件和边界条件。
设012E E E =- 、012H H H =-,显然，它们满足方程：000E H E t σε∂∇⨯=+∂ 00H E tμ∂∇⨯=-∂ ， 00H ∇⋅= , 00E ∇⋅=及齐次初始条件：000S SE H ==和齐次边界条件：000t t S S E H ==。
因此，00,E H对应的体系是无源的、无初始扰动、边界上值恒为零的体系。
因此 根据坡印廷定理，应有：()2220000011ˆ22n S V V d E H e dS H E dV E dV d t μεσ⎛⎫-⨯⋅=++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰ 根据边界条件，上式右端的被积函数为： ()()()000000ˆˆˆ0n n n SSSE H ee E H H e E ⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅=所以有：22200011022V V d H E dV E dV d t μεσ⎛⎫++= ⎪⎝⎭⎰⎰ 对时间积分，并考虑到000SSE H ==，得：()222000011022t V VH E dV E dV dt μεσ⎛⎫++= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰式中被积函数均为非负的，要使积分为零，必有：000,0E H == 即12E E = , 12H H =惟一性定理指出了电磁场具有惟一解的条件，为电磁问题的求解提供了理论依 据，具有非常重要的意义和广泛的应用价值。
