2017中考一元一次不等式(组)专题复习

一元一次不等式（组）复习指导●了解知识结构知识框图同学们可根据知识网络结构图，按其中数码顺序，说出各个数码所指内容，以达到梳理知识的目的.●明确课标要求1.掌握不等式及其解（解集）的概念，理解不等式的意义；理解一元一次不等式组、不等式组的解集的概念.2.理解不等式的性质并会用不等式基本性质解简单的不等式.3.会用数轴表示出不等式（组）的解集.4.掌握一元一次不等式（组）的解法.5.体会运用不等式（组）解决简单实际问题的过程，渗透不等式模型思想.●把握重难点重点：一元一次不等式（组）的解法.难点：不等式组解集的几种情况，运用不等式（组）模型解决实际问题.●领悟思想方法1.类比的方法：在学习不等式的基本性质时，应将其与等式的基本性质进行类比，学习一元一次不等式的解法，应将其与一元一次方程的解法进行类比.2.数形结合的思想方法：（1）把不等式或不等式组的解集在数轴上表示出来体现了数形结合的方法；（2）利用函数图象确定不等式的解集也是数形结合思想的重要体现.3.分类讨论的思想方法：在用不等式解决一些方案决策的应用题时要经常分情况讨论.4.转化思想：有的方程组在求所含字母取值范围时，需要转化为不等式（组）进行求解.●精读知识要点一、一元一次不等式1.不等式的概念用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式．如：x－1＜2，3－4≠4－3，a＞0，a2≥0等都是不等式．2.不等式的解集对于一个含有未知数的不等式，任何一个使这个不等式成立的数叫做这个不等式的解．对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集．求不等式的解集的过程，叫做解不等式．3.用数轴表示不等式的方法一元一次不等式的解集用数轴表示有以下四种情况．用数轴表示不等式的解集，应记住下面的规律：大于向右画，小于向左画，有等号（≥ ，≤）画实心点，无等号（>，<）画空心圈．4.不等式的基本性质不等式的性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式的性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．不等式的性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．5.一元一次不等式的概念及解法一般地，只含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式．一元一次不等式的解法：解一元一次不等式的一般步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤将项的系数化为1．注意：解不等式时，上面的五个步骤不一定都能用到，并且不一定按照顺序解，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤．6.一元一次不等式组的概念及解法一元一次不等式组的概念：几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组．几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的一元一次不等式组的解集． 求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组．当任何数都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集．一元一次不等式组的解法：（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集；（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集．求不等式组公共解的一般规律：同大取大，同小取小，一大一小中间找.●掌握基本题型本部分内容的考查形式多样，中考中常常以不等式与方程、函数综合解答题型的命题形式进行考测，有时也出现于填空选择题中，考查对不等式解法的掌握情况，题量为2~3题，分值为5~10分左右.但贴近社会热点的不等式（组）应用题,一般很少以选择题、填空题出现，而以解答题出现，主要考查数形结合以及通过分析数量关系建立不等式（组）模型的解题思想.1.考查不等式的基本性质【例1】如果a ＞b ，那么下列结论中，错误的是 （ ）A 、a-3＞b-3B 、3a ＞3bC 、33b a > D 、－a ＞－b 【分析】不等式的性质是解不等式的关键，只有理解了不等式的性质才能正确求出不等式（组）的解集和解决与不等式有关的一些问题.利用不等式的基本性质（1）可知A 正确；利用基本性质（2）可知B ，C 正确.解：D ．【例2】已知a>b>0，则下列不等式不一定成立的是（ ）.Ａ.ab>b 2 Ｂ.a+c>b+c Ｃ.611<a Ｄ.ac>b 【分析】 ∵ a>b>0，∴ 根据不等式的性质A 项一定成立，B 项一定成立，C 项也成立，而D 项当c>0时才成立. 解：D.【小结】 本题考查了不等式的三个性质，要求我们必须掌握.2.用数轴表示不等式的解集问题【例3】不等式2x+1≥3的解集在数轴上表示正确的是（ ）解： 移项，合并，得2x≥2，将x 的系数化为1，得x≥1.故选D. 3.根据不等式（组）的解集的情况，确定字母的取值【例4】若不等式组的解集是－1＜x ＜1，则（ａ＋ｂ）2008＝___．【分析】本题应先求出不等式组的解集，再与已知解集对照比较，从而确定a 、b 的值． 解：由不等式x －a ＞2得x ＞a ＋2；由不等式b －2x ＞0得 x ＜2b ．对比题目给出的不等式组的解集为－1＜x ＜1，得 a ＋2＜x ＜2b ，所以a ＋2＝－1，2b ＝1，所以a ＝－3，b ＝2. 所以（ａ＋ｂ）2008＝（－1）2008＝1.4.综合应用类 【例5】已知且－1＜x －y ＜0，则k 的取值范围为（ ） Ａ．－1＜k ＜－21 Ｂ．0＜k ＜21 Ｃ．0＜k ＜1 Ｄ．21＜k ＜1 【分析】 解答本题只需要把不等式中的x －y 用含k 的代数式表示即可，可考虑整体思想． 解：把方程组中两方程相减得x －y ＝－2k ＋1，代入－1＜x －y ＜0中有，－1＜－2k ＋1＜0，解得21＜k ＜1，故本题应选D ． 5.考查不等式（组）的解法 【例6】解不等式31 x ≤5-x ，并把解集表示在数轴上. 解：去分母，得 x-1≤3（5-x ）.去括号，移项，得 4x≤16.系数化为1，得 x≤4.解集在数轴上表示如下：【小结】解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤相同，只是在化系数为1这一步要注意系数的正负.【例7】解不等式组并写出不等式组的正整数解.【分析】 先求出不等式组的解集，然后在解集范围内找出所有的正整数，即其正整数解. 解：解不等式①，得 x≤3.解不等式②，得 x>-2.∴ 不等式组的解集为-2<x≤3.∴ 原不等式组的正整数解是：1，2，3.6.生活应用类【例8】双蓉服装店老板到厂家选购A 、B 两种型号的服装，若销售1件A 型服装可获利18元，销售一件B 型服装可获利30元，根据市场需求，服装店老板决定，购进A 型服装的数量要比购进B 型服装数量的2倍还多4件，且A 型服装最多可购进28件，这样服装全部售出后，可使总的获利不少于699元，问有几种进货方案？如何进货？【分析】 本题的题目较长,需要仔细的读题,找到题目中的不等关系,通过设适当的未知数求解. 解：设Ｂ型服装购进ｘ件，则Ａ型服装购进（２ｘ＋４）件，根据题意，得解这个不等式组，得921≤x≤12. 因为ｘ为整数，所以ｘ＝１０，１１，１２.所以２ｘ＋４＝２４，２６，２８．所以有三种进货方案：Ｂ型服装购进１０件，Ａ型服装购进２４件；B 型服装购进１１件，Ａ型服装购进２６件； Ｂ型服装购进１２件，Ａ型服装购进２８件．【例9】王女士看中的商品在甲、乙两商场以相同的价格销售，两商场采用促销方式不同.在甲商场一次性购物超过100元，超过部分八折优惠；在乙商场一次性购物超过50元，超过的部分九折优惠，那么她在甲商场购物超过多少元就比在乙商场购物优惠？【分析】 题目中要求的“多少元”是指商场中商品的标价，而在算甲商场比乙商场优惠时计算的是王女士的实际花费，理清关系可列不等式进行计算.解：设她在甲商场购物x 元（x>100）就比在乙商场购物优惠.根据题意，得 100+0.8（x-100）<50+0.9（x-50），解这个不等式，得x>150.答：她在甲商场购物超过150元就比在乙商场购物优惠.7.学科综合类【例10】某公司以每吨200元的价格购进某种矿石原料300吨，用于生产甲、乙两种产品，生产1吨甲产品或1吨乙产品所需该矿石和煤原料的吨数如下表：煤的价格为400元/吨，生产1吨甲产品除原料费用外，还需其他费用400元，甲产品每吨售价4600元；生产1吨乙产品除原料费用外，还需其他费用500元，乙产品每吨售价5500元，现将该矿石原料全部用完，设生产甲产品x吨，乙产品m吨，公司获得的总利润为y元.（1）写出m与x之间的关系式；（2）写出y与x的函数关系式（不要求写自变量的范围）；（3）若用煤不超过200吨，生产甲产品多少吨时，公司获得的总利润最大？最大利润是多少？【分析】计算公司获得的总利润时先计算生产1吨甲产品和1吨乙产品获得的利润，其中“生产1吨甲产品获得的利润＝甲产品每吨售价－生产1吨甲产品需要的矿石费用－生产1吨甲产品需要的煤的费用－其它费用”.解：（1）根据题意，得10x+4m=300，∴ m=410300x-（x≤30）．（2）生产1吨甲产品获利为：4600-10×200-4×400-400=600；生产1吨乙产品获利为：5500-4×200-8×400-500=1000；∴ y与x的函数关系式为：y=600x+1000×410300x-=-1900x+75000.（3）∵4x+8×410300x-≤200，∴25≤x≤30.∴当生产甲产品25吨时，公司获利最大. y最大=-1900×25+75000=27500（元）．【小结】本题是运用不等式与一次函数关系解应用题，应用函数知识解答的关键是建立函数模型，运用不等式知识求解.●剖析应考策略1.对不等式的性质和解一元一次不等式内容的学习，应复习对比等式的性质和解一元一次方程的内容，以比较异同.2.在不等式两边同乘以（或除以）一个数时，一定要慎重，特别是该数是负数时，一定不要忘记改变不等号的方向，如果不对该数加以限制，可有三种可能.3.不等式的解集x<a与x≤a（x>a与x≥a）用数轴表示时，要注意空心圆圈与实心圆点的区别.4.如果一个一元一次不等式组的各个一元一次不等式的解集没有公共部分，则这个不等式组无解.5.近几年中考注重对“知识联系实际”的考查，实际问题中往往蕴含着方程与不等式，分析问题中的等量关系和不等关系，建立方程（组）模型和不等式（组）模型，从而把实际问题转化为数学模型，然后用数学知识来解决.。

专题10 一元一次不等式（组）及其应用1．用不等号“＜”“＞”“≤ ”“≥”表示不相等关系的式子叫做不等式。

2．不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

3．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

4．一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。

5．一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

6．不等式的性质：性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变。

性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

7.一元一次不等式的解法的一般步骤：（1）去分母; （2）去括号; （3）移项; （4）合并同类项; （5）系数化为1.8．不等式解集在数轴上的表示方法：含≥或≤，用空心圆圈，含＞或＜用实心圆点。

9．一元一次不等式组的解法（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集（2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。

10．求不等式组解集的规律：不等式组的解集有四种情况:若a>b，（1）当x ax b>⎧⎨>⎩时,•则不等式的公共解集为x>a;（2）x ax b<⎧⎨>⎩时,不等式的公共解集为b<x<a;专题知识回顾（3）x ax b<⎧⎨<⎩时,不等式的公共解集为x<b;（4）当x ax b>⎧⎨<⎩时,不等式组无解.【例题1】（2019江苏镇江）解不等式：14(1)2x x--<【例题2】（2019四川省雅安市）不等式组2442xx->⎧⎪⎨≤⎪⎩的解集为（）A．6≤x＜8 B．6＜x≤8 C．2≤x＜4 D．2＜x≤8【例题3】（2019•山东省德州市）不等式组的所有非负整数解的和是（）A．10 B．7 C．6 D．0【例题4】（2019广西北部湾）解不等式组351342163x xx x-+⎧⎪--⎨⎪⎩＜≤，并利用数轴确定不等式组的解集.【例题5】（2019•江苏无锡）某工厂为了要在规定期限内完成2160个零件的任务，于是安排15名工人每人每天加工a个零件（a为整数），开工若干天后，其中3人外出培训，若剩下的工人每人每天多加工2个零件，则不能按期完成这次任务，由此可知a的值至少为（）A．10 B．9 C．8 D．7一、选择题1.(2019甘肃省陇南市) 不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（）A．x≤3 B．x≤﹣3 C．x≥3D．x≥﹣32.（2019•河北）语句“x的与x的和不超过5”可以表示为（）专题典型题考法及解析专题典型训练题A ．+x ≤5B ．+x ≥5C ．≤5D ．+x ＝53．（2019•浙江宁波）不等式＞x 的解为（ ） A ．x ＜1 B ．x ＜﹣1C ．x ＞1D ．x ＞﹣1 4.（2019广西河池）不等式组23121x x x -⎧⎨>+⎩„的解集是( ) A ．2x … B ．1x < C ．12x <„ D ．12x <„5.(2019黑龙江绥化)不等式组10842x x x -≥⎧⎨+>+⎩的解集在数轴上表示正确的是( )6.（2019湖北仙桃）不等式组{x −1＞0，5−2x ≥1的解集在数轴上表示正确的是（ ）7.（2019吉林长春）不等式-x +2≥0的解集为（ ）A.x ≥-2B.x ≤-2C.x ≥2D.x ≤2.（2019辽宁本溪） 不等式组3280x x -⎧⎨-⎩＞0≤的解集是（ ） A .x ＞3 B.x ≤4 C. x ＜3 D.3＜x ≤49.（2019江苏镇江）下列各数轴上表示的x 的取值范围可以是不等式组2(21)60x a a x +>⎧⎨--<⎩的解集的是( ) A ． B ．C ．D ．10．（2019•绵阳）红星商店计划用不超过4200元的资金，购进甲、乙两种单价分别为60元、100元的商品共50件，据市场行情，销售甲、乙商品各一件分别可获利10元、20元，两种商品均售完．若所获利润大于750元，则该店进货方案有（ ）A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种11．（2019•常德）小明网购了一本《好玩的数学》，同学们想知道书的价格，小明让他们猜．甲说：“至少15元．”乙说：“至多12元．”丙说：“至多10元．”小明说：“你们三个人都说错了”．则这本书的价格x （元）所在的范围为（ ）A ．10＜x ＜12B ．12＜x ＜15C ．10＜x ＜15D ．11＜x ＜1412.（2019•湖南怀化）为了落实精准扶贫政策，某单位针对某山区贫困村的实际情况，特向该村提供优质种羊若干只．在准备配发的过程中发现：公羊刚好每户1只；若每户发放母羊5只，则多出17只母羊，若每户发放母羊7只，则有一户可分得母羊但不足3只．这批种羊共（ ）只．A ．55B ．72C ．83D ．89二、填空题 13.（2019黑龙江哈尔滨）不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-123023x x 的解集是 ．14.（2019山东东营）不等式组()32421152x x x x －－＞，－+≤ìïïïíïïïïî的解集为____________． 15.（2019•河南）不等式组的解集是 ．16.(2019内蒙古包头市)已知不等式组{2x +9＞−6x +1x −k ＞1的解集为x ＞-1，则k 的取值范围是 . 17.(2019黑龙江大庆)已知x ＝4是不等式ax －3a －1<0的解,x ＝2不是不等式ax －3a －1<0的解,则实数a 的取值范围是______.18.（2019•铜仁）如果不等式组的解集是x ＜a ﹣4，则a 的取值范围是 ．19.（2019湖南邵阳）不等式组43113x x +<⎧⎪-⎨⎪⎩„的解集是 ． 20．（2019•大渡口区）商店购进一批文具盒，进价每个4元，零售价每个6元，为促销决定打折销售，但利润率仍然不低于20%，那么该文具盒实际价格最多可打 折销售．三、解答题21.（2019广西省贵港市）解不等式组：622(4)23323x x x x ->-⎧⎪-⎨--⎪⎩…，并在数轴上表示该不等式组的解集．22.（2019北京市）解不等式组：4(1)2,7.3x x x x -<+⎧⎪+⎨>⎪⎩23.（2019•江苏扬州）解不等式组，并写出它的所有负整数解．24.（2019贵州省安顺市）先化简（1+32-x ）÷96122+--x x x ，再从不等式组⎩⎨⎧+<<-42342x x x 的整数解中选一个合适的x 的值代入求值．25．（2019•新疆）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来．26.（2019▪黑龙江哈尔滨）寒梅中学为了丰富学生的课余生活，计划购买围棋和中国象棋供棋类兴趣小组活动使用．若购买3副围棋和5副中国象棋需用98元；若购买8副围棋和3副中国象棋需用158元；（1）求每副围棋和每副中国象棋各多少元；（2）寒梅中学决定购买围棋和中国象棋共40副，总费用不超过550元，那么寒梅中学最多可以购买多少副围棋？27.（2019四川巴中）在“扶贫攻坚”活动中，某单位计划选购甲、乙两种物品慰问贫困户．已知甲物品的单价比乙物品的单价高10元，若用500元单独购买甲物品与450元单独购买乙物品的数量相同．①请问甲、乙两种物品的单价各为多少？②如果该单位计划购买甲、乙两种物品共55件，总费用不少于5000元且不超过5050元，通过计算得出共有几种选购方案？28.（2019▪湖北黄石）若点P的坐标为（，2x﹣9），其中x满足不等式组，求点P 所在的象限．29.（2019•山东省滨州市）有甲、乙两种客车，2辆甲种客车与3辆乙种客车的总载客量为180人，1辆甲种客车与2辆乙种客车的总载客量为105人．（1）请问1辆甲种客车与1辆乙种客车的载客量分别为多少人？（2）某学校组织240名师生集体外出活动，拟租用甲、乙两种客车共6辆，一次将全部师生送到指定地点．若每辆甲种客车的租金为400元，每辆乙种客车的租金为280元，请给出最节省费用的租车方案，并求出最低费用．30．（2019•遵义）某校计划组织240名师生到红色教育基地开展革命传统教育活动．旅游公司有A，B两种客车可供租用，A型客车每辆载客量45人，B型客车每辆载客量30人．若租用4辆A型客车和3辆B型客车共需费用10700元；若租用3辆A型客车和4辆B型客车共需费用10300元．（1）求租用A，B两型客车，每辆费用分别是多少元；（2）为使240名师生有车坐，且租车总费用不超过1万元，你有哪几种租车方案？哪种方案最省钱？。

专题11 用一元一次不等式（组）解决生活中的实际问题【专题综述】一元一次不等式组是在学习了一元一次不等式组的概念和解法之后，进一步探索现实世界数量关系的重要内容，是继学习了一元一次方程和二元一次方程组之后，又一次数学建模思想的学习，也是后续学习二元一次方程等内容的重要基础，有着承前启后的作用。

用一元一次不等式（组）解决生活中的实际问题，其主要步骤为：1、审题，设未知数；2、抓关键词，找不等关系；3、构建不等式（组）4 、解不等式（组）；5、根据题意，写出合理答案。

【方法解读】一、打折问题：例1，一双运动鞋的进价是200元，标价400元，商场要获得不低于120元的利润，问：最低可以打几折？【举一反三】(湖南省娄底市)某种商品的进价为1000元，出售时的标价为1500元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，但要保持利润率不低于5%，则最多可打（）．A、6折B、7折C、8折D、9折二、赛球问题：例2，甲、乙两队进行足球对抗赛，规定每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，两队一共比赛了12场，甲队保持不败，总得分超过26分，问：甲队至少胜了多少场？【举一反三】(江西省崇仁一中)在崇仁一中中学生篮球赛中，小方共打了10场球．他在第6，7，8，9场比赛中分别得了22，15，12和19分，他的前9场比赛的平均得分y比前5场比赛的平均得分x要高．如果他所参加的10场比赛的平均得分超过18分（1）用含x的代数式表示y；（2）小方在前5场比赛中，总分可达到的最大值是多少？（3）小方在第10场比赛中，得分可达到的最小值是多少？三、购买问题：例3，某种肥皂零售价每块2元，凡购买2块以上（包括2块），商场推出两种优惠销售办法。

第一种：一块肥皂按原价，其余按原价的七折销售；第二种：全部按原价的八折销售。

在购买的情况下，要使第一种方法比第二种方法得到的优惠多，最少需要买几块肥皂？【举一反三】某商店5月1日举行促销优惠活动，当天到该商店购买商品有两种方案，方案一：用168元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折优惠；方案二：若不购买会员卡，则购买商店内任何商品一律按商品价格的9.5折优惠.（1）若小敏不购买会员卡，所购买商品的价格为120元时，实际应支付多少元？（2）请帮小敏算一算，她购买商品的价格为多少元时，两个方案所付金额相同？（3）购买商品的价格______元时，采用方案一更合算．四、分苹果问题：例4，把44个苹果分给若干名学生，若每人分苹果7个，则最后1名学生分得的苹果不足3个，求学生人数。

第四节 一元一次不等式（组）知识网络一、⎤→→⎥⎦不等式的基本性质一元一次不等式一元一次不等式组不等式（组）的解与解集典型例题一、选择题1.C 不等式组⎩⎨⎧x －2≤0x ＋1＞0的解是( )A 、x ≤2B 、x ≥2C 、－1＜x ≤2D 、x ＞－12. D 如果关于x 的不等式 (a +1) x >a +1的解集为x <1，那么a 的取值范围是A. a >0B. a <0C. a >-1D. a <-13．B 不等式组⎩⎨⎧≤-->75342x x 的解集在数轴上可以表示为（ ）（A ） （B ） （C ） （D ）4.B 不等式组240,10x x -<⎧⎨+⎩≥的解集在数轴上表示正确的是A ．B ．C ．D ．5.C 不等式组2030x x -<⎧⎨-≥⎩的正整数解的个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6.C 不等式2x ≥x ＋2的解集为A ． x ＞2B ． x ＜2C ．x ≥2D ．x ≤27.C 不等式组⎩⎨⎧+>+<+1,159m x x x 的解集是2>x ，则m 的取值范围是(A) m ≤2(B) m ≥2 (C) m ≤1 (D) m>1A ：B ：C ：D ：252－52525 A ． B ． C ． D ． 5－35－35－35－3A.8.C 不等式2x>3－x 的解集是( )A 、x>3B 、x<3C 、x>1D 、x<1 9.A 不等式组2461x x >⎧⎨-≥⎩的解集在数轴上可表示为()10.D 不等式组⎩⎨⎧-≥-≥+1x 2335x 的解集表示在数轴上正确的是B.C.11.D 不等式－3x ≥－12的解集是( )A.x ＞4B.x ≥4C.x ＜4D.x ≤412.C 不等式组()()⎪⎩⎪⎨⎧≤--+<--+-1213128313x x x x 的解集应为（ ）A 、2-<xB 、722≤<-x C 、12≤<-x D 、2-<x 或x ≥1 13.A 已知关于x 的不等式2x+m>-5的解集如图所示，则m 的值为( )A ．1B ．0C ．-1D ．-2 14.B 将不等式组53x x >⎧⎨-<⎩的解集表示在数轴上，正确的是( )二、填空题1.不等式组⎩⎨⎧<+≥+3201x x 的整数解是 －1，0 。

专题3 方程（组）和不等式（组）一、选择题目1. （2017浙江衢州第6题）二元一次方程组的解是A. B. C. D. 2.（2017山东德州第8题）不等式组的解集为（ ）学科网A ．x≥3B ．-3≤x<4 C．-3≤x<2 D．x> 43.（2017山东德州第10题）某美术社团为练习素描，他们第一次用120元买了买了若干本资料，第二次用240元在同一家商店买同一样的资料，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本。

求第一次买了多少本资料？若设第一次买了x 本资料，列方程正确的是（ ）A. B.C. D.4.（2017重庆A 卷第12题）若数a 使关于x 的分式方程2411y ax x ++=--的解为正数，且使关于y的不等式组12()y 2320y a y⎧+->-≤⎪⎨⎪⎩的解集为y ＜﹣2，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．165.（2017甘肃庆阳第9题）如图，某小区计划在一块长为32m ，宽为20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m 2．若设道路的宽为xm ，则下面所列方程正确的是⎩⎨⎧-=-=+236y x y x ⎩⎨⎧==15y x ⎩⎨⎧==24y x ⎩⎨⎧-=-=15y x ⎩⎨⎧-=-=24y x 31+2-132+9x xx ⎧≥>⎪⎨⎪⎩240120-=4-20x x 240120-=4+20x x 120240-=4-20xx 120240-=4+20x x（ ）A ．（32-2x ）（20-x ）=570B ．32x+2×20x=32×20-570C ．（32-x ）（20-x ）=32×20-570D ．32x+2×20x -2x 2=5706.（2017贵州安顺第8题）若关于x 的方程x 2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则m 的值可以是（ ） A ．0B ．﹣1C ．2D ．﹣37.（2017湖南怀化第7题）若12,x x 是一元二次方程2230x x 的两个根，则12x x 的值是( )A.2B.2C.4D.38. （2017江苏无锡第7题）某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（ ） A ．20% B ．25% C ．50% D ．62.5%9.（2017甘肃兰州第6题）如果一元二次方程2230x x m 有两个相等的实数根，那么是实数m 的取值为( ) A.98mB.89mC.98mD.89m10. （2017甘肃兰州第10题）王叔叔从市场上买一块长80cm ，宽70cm 的矩形铁皮，准备制作一个工具箱，如图，他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长cm x 的正方形后，剩余的部分刚好能围成一个底面积为23000cm 的无盖长方形工具箱，根据题意列方程为( )A.80703000x xB.2807043000xC.8027023000x xD.28070470803000x x11.（2017贵州黔东南州第6题）已知一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两根分别为x 1，x 2，则1211x x +的值为（ ） A ．2B ．﹣1C ．-12D ．﹣2 12．（2017贵州黔东南州第7题）分式方程331x (1)1x x =-++的根为（ ）A ．﹣1或3B ．﹣1C ．3D ．1或﹣313.（2017山东烟台第10题）若是方程的两个根，且，则的值为（ ）A ．或2B ．1或 C. D ．114.（2017四川宜宾第4题）一元二次方程4x 2﹣2x+=0的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断15.（2017四川自贡第4题）不等式组23-42+1x x >≤⎧⎨⎩的解集表示在数轴上正确的是（ ）16.（2017新疆建设兵团第7题）已知关于x 的方程x 2+x ﹣a=0的一个根为2，则另一个根是（ ） A ．﹣3 B ．﹣2 C ．3D ．617. （2017新疆建设兵团第8题）某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x 台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）A ．60048040x x =- B ．600480+40x x =C ．600480+40xx =D ．600480-40xx =18. （2017浙江嘉兴第6题）若二元一次方程组3,354x y x y +=⎧⎨-=⎩的解为,,x a y b =⎧⎨=⎩则a b -=（ ）21,x x 01222=--+-m m mx x 21211x x x x -=+m 1-2-2-14A ．1B ．3C ．14-D ．7419.（2017浙江嘉兴第8题）用配方法解方程2210x x +-=时，配方结果正确的是（ ）A ．2(2)2x += B ．2(1)2x += C ．2(2)3x += D ．2(1)3x += 二、填空题目1.（2017山东德州第15题）方程3x(x-1)=2(x-1)的根是2.（2017浙江宁波第14题）分式方程21332x x的解是 ．3.（2017甘肃庆阳第15题）若关于x 的一元二次方程（k-1）x 2+4x+1=0有实数根，则k 的取值范围是 4.（2017江苏盐城第13题）若方程x 2-4x+1=0的两根是x 1，x 2，则x 1（1+x 2）+x 2的值为 5.（2017山东烟台第15题）运行程序如图所示，从“输入实数”到“结果是否”为一次程序操作，若输入后程序操作仅进行了一次就停止，则的取值范围是 .6.（2017四川泸州第15题）若关于x 的分式方程x 2322m mx x ++=--的解为正实数，则实数m 的取值范围是 ．7.（2017四川宜宾第13题）若关于x 、y 的二元一次方程组的解满足x+y ＞0，则m 的取值范围是 ．8．（2017四川宜宾第14题）经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x ，根据题意可列方程是 ．9.（2017四川自贡第15题）我国明代数学家程大位的名著《直接算法统宗》里有一道著名算题： “一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意思是：有100个和尚分100个馒头，正好分完；如果大和尚一人分3个，小和尚3人分一个，试问大、小和尚各几人？设大、小和尚各有x ，y 人，则可以列方程组 ．10. （2017新疆建设兵团第13题）一台空调标价2000元，若按6折销售仍可获利20%，则这台空调的进价是元．x 18<x x 2m 133x y x y ⎧-=+⎨+=⎩三、解答题1.（2017浙江衢州第18题）解下列一元一次不等式组：2.（2017浙江衢州第20题）根据衢州市统计局发布的统计数据显示，衢州市近5年国民生产总值数据如图1所示，2016年国民生产总值中第一产业、第二产业、第三产业所占比例如图2所示。

专题9.3一元一次不等式组、不等式组中含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的不等式组叫一元一次不等式组。

使不等式组中的每个不等式都成立的未知数的值叫不等式组的解，一个不等式组的所有的解组成的集合，叫这个不等式组的解集解(简称不等式组的解)。

不等式组的解集可以在数轴上表示出来。

求不等式组的解集的过程叫解不等式组。

2、、解一元一次不等式组的一般步骤：①求出这个不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，得到这个不等式组的解集。

如果这些不等式的解集的没有公共部分，则这个不等式组无解 ( 此时也称这个不等式组的解集为空集 )。

3、确定不等式组的解的口诀：大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无处找。

考点1：解一元一次不等式组典例：（2023·天津南开·统考一模）解不等式组()3151,15612x x xx ì-£+ïí-+<ïî①②请按下列步骤完成解答：(1)解不等式①，得__________________；(2)解不等式②，得__________________；(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；(4)原不等式组的解集为__________________．方法或规律点拨本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．巩固练习1．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）不等式组3241091x xx +>ìí-£î的解集在数轴上表示为（　）A ．B ．C ．D ．2．（2023·新疆乌鲁木齐·统考一模）不等式组21120x x ->ìí-³î的解集在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2023春·全国·七年级专题练习）不等式组12x x >-ìí<î的解集在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．4．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，用不等式表示数轴上所示的解集，正确的是（ ）A ．1x <-或3x ³B ．1x £-或3x >C ．13x -£<D ．13x -<£5．（2023年广东省深圳市三十五校中考模拟数学试卷）定义新运算“Ä”，规定：2a b a b Ä=-，若关于x的不等式组30x x a a Ä>ìíÄ>î的解集为6x >，则a 的取值范围是________．6．（2023·湖南长沙·校联考一模）解不等式组：6(2)89 12223x x x x +>+ìïí-++>ïî①②．7．（2022秋·江西新余·八年级统考期中）（1）解方程()3228x y xx y x +=ìí+=+î（2）解不等式组241342163x x x x -<-ìï--í£ïî，并利用数轴确定不等式组的解集．8．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）解不等式组1241233x x x +<ìïí-£ïî，并把解集在数轴上表示出来9．（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市实验学校校考阶段练习）解不等式组，并把解集在数轴上表示．(1)20351x x x ->ìí-<+î；(2)2(1)7122x x x x +>ìïí+-³ïî；10．（2023·湖南长沙·校联考三模）解不等式组()5231172x x x x ì->-ïí-£-ïî，并把解集在数轴上表示出来．11．（2023春·福建福州·九年级福建省福州第十九中学校考阶段练习）解不等式组2111213x xx +³ìï+í>-ïî考点2：求不等式组的整数解典例：（2023·山东济南·统考一模）解不等式组：()2132113x x x x ì-<+ïí+>-ïî①②，并写出它的所有非负整数解．方法或规律点拨本题考查了求一元一次不等式组的整数解，解本题的关键在熟练掌握求解一元一次不等式组的一般步骤．巩固练习1．（2023年湖南省长沙市初中学业水平考试模拟数学试卷）不等式组2122x x x x >-ìïí³-ïî，的所有整数解的和为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．102．（2023春·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考阶段练习）不等式组21113112x x x -+>-ìïí+-³ïî的整数解的个数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．73．（2023春·江苏·七年级专题练习）如图，是一个运算流程，若需要经过两次运算，才能运算出结果，则输入的整数x有（ ）种情况．A ．4B ．3C ．2D ．14．（2023·广东东莞·东莞市东城实验中学校联考一模）不等式组313312x x x x -<+ìïí-<-ïî的整数解为___________．5．（2023·江苏扬州·统考一模）解不等式组：()42122x x x x ì£+ïí+>ïî，并求出不等式组所有非正整数解的和．6．（2023春·七年级单元测试）解不等式组(1)()311132x x x x ì--³-ïí+<ïî（把它的解集表示在数轴上）．(2)()()312121223x x x x ì->-ïí+³ïî（并写出它的整数解）．7．（2023·山东济南·统考一模）解不等式组：250245132x x x -<ìïí---£ïî①②，并写出它的正整数解．8．（2023春·陕西西安·九年级高新一中校考期中）解不等式组：()23422x x x x ì-£-ïí-<ïî在数轴上表示出它的解集，并求出它的整数解9．（2023·山东济南·统考一模）解不等式组：()41232243x x x ì->+ïí-£ïî，并写出它的所有整数解．考点3：确定不等式组中的字母系数取值典例：（1）（2021春·甘肃兰州·八年级校考期中）已知不等式组214x m n x m n ->-ìí-+<î的解集为11x -<<，则2015()m n +的值等于多少？方法或规律点拨本题主要考查解不等式组，根据不等式组的解集得出m n +的值是解题的关键．（2）（2021春·甘肃兰州·八年级兰州市第五十六中学校考期中）已知关于x 的不等式组254x x a >-ìí-£î有四个整数解，求实数a 的取值范围．方法或规律点拨此题考查的是一元一次不等式组的整数解，根据x 的取值范围，得出x 的整数解．解题的关键是不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．巩固练习1．（2023春·安徽滁州·七年级校考期中）关于x 的不等式组0251x a x x ->ìí-<-î有且仅有5个整数解，则a 的取值范围是（ ）A ．54a -<£-B ．54a -£<-C ．43a -<£-D ．43a -£<-2．（2023春·全国·七年级专题练习）若关于x 的不等式组24036x x k +>ìí-<î只有3个正整数解，则整数k 的值不可能是( )A ．3B ．4C ．5D ．63．（2023春·全国·七年级专题练习）不等式组2x x a ³ìí<î无解，则a 的取值范围是（ ）A ．2a <B ．2a >C ．2a £D ．2a ³4．（2023春·安徽亳州·七年级统考阶段练习）已知关于x 的不等式组3015x m x ->ìí-£î有四个整数解，则m 的取值范围是（ ）A ．69£<m B ．69<£m C ．69<<m D ．69££m 5．（2023·江苏南通·南通田家炳中学校考模拟预测）关于x 的不等式组211321x x x a +ì³-ïíï>+î有且只有2个整数解，则符合要求的所有整数a 的和为( )A ．7-B ．3-C ．0D ．76．（2022秋·浙江·八年级阶段练习）若不等式()32121587x x x a x ì-³+ïí+³ïî，有3个整数解，则a 的取值范围是（ ）A ．34a ³B ．1a £C ．34a £<D ．314a £<7．（2023春·浙江宁波·九年级校联考竞赛）若关于x 的不等式组3211x x m -³ìí³+î共有2个整数解，则m 的取值范围是（ ）A ．1m =-B ．21m -<£-C ．21m -££-D ．1m <-8．（2023·辽宁沈阳·模拟预测）已知关于x 的不等式组0321x a x ->ìí-+£î恰有二个整数解，则a 的取值范围为（ ）A ．10a -<£B ．01a £<C ．01a ££D ．01a <£9．（2023春·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考阶段练习）若关于x 的一元一次不等式组()222320x x x m +ì³-ïíï-<î的所有整数解的和是9-，则m 的取值范围是（ ）A ．21m -<£-B ．12m <<C ．21m -<<-或12m <<D ．21m -<£-或12m <£10．（2023春·安徽宿州·八年级统考期中）一元一次不等式组11x x m >ìí>+î的解集是1x >，则m 的取值范围是______．11．（2023春·安徽马鞍山·七年级马鞍山八中校考期中）若关于x 的不等式组()()923213x x x x a ì+>-ïí+<+ïî只有4个整数解，则a 的取值范围是___________．12．（2023春·全国·八年级期中）若关于x 的一元一次不等式组2330x x a -<ìí-<î的解集为3x <，则a 的取值范围是_____．13．（2023春·全国·八年级专题练习）若不等式组>162>0x a x -ìí-î的解集为13x <<，则=a __________．14．（2023春·八年级单元测试）若关于x 的不等式组2500x x a -<ìí->î有且仅有一个整数解2x =，则实数a 的取值范围是______．15．（2023·河南驻马店·一模）已知：不等式组123x a x b -£ìí-³î的解集是52x -££，则a b +=______．16．（2023春·安徽六安·七年级校考阶段练习）已知不等式组123x a x b -<ìí->î，的解集为12x -<<，则()(1)1a b +-=___________．17．（2023春·安徽六安·七年级六安市第九中学校考阶段练习）已知关于x 的不等式组24036x x m +>ìí-<î(1)若该不等式组的解集为23x -<<，求m 的值；(2)若该不等式组只有5个整数解，求整数m 的值．18．（2023·全国·九年级专题练习）若不等式组1357x a x x +<ìí+>-î①②有解，求实数a 的取值范围．19．（2022秋·湖南常德·八年级统考期末）已知1x =是不等式组352,23()4(2)5x x a x a x -ì£-ïíï-<+-î的解，求a 的取值范围．考点4：一元一次不等式组的应用典例：（2023·广西贵港·统考一模）某高科技公式根据市场需求，计划生产A 、B 两种型号的医疗器械，其部分信息如下：信息一：A 、B 两种型号的医疗器械共生产80台；信息二：生产这两种医疗器械的资金超过1800万元，但不足1810万元；信息三：A ，B 两种医疗器械的生产成本和售价如下表：型号A B 成本（万元/台）2025售价（万元/台）2430根据上述信息，解答下列问题：(1)这两种型号的医疗器械各生产多少台？(2)在实际销售时，每台A 型医疗器械的售价提高了%m ，每台B 型医疗器械的售价不变，全部销售这两种医疗器械共获得利润595万元，求m 的值．（利润=售价-成本）方法或规律点拨本题考查了一元一次不等式组及方程的应用，考查学生解决实际问题的能力，解决本题的关键是找到不等关系并列出不等式．巩固练习1．（2023春·黑龙江齐齐哈尔·九年级统考阶段练习）三月植树节期间，某园林公司购买了甲、乙、丙三种树苗进行园林绿化，恰好用去了1500元，已知甲、乙、丙三种树苗的价格分别为50元/棵、30元/棵、10元/棵．该公司要求购买的每种树苗的数量都是10的整数倍且三种树苗都要买，若甲种树苗最多买20棵，则该公司的购买方案共有（ ）A ．3种B ．4种C ．5种D ．6种2．（2023春·全国·七年级专题练习）为有效开展“阳光体育”活动，某校计划购买篮球和足球共50个，购买资金不超过3200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，若每个篮球80元，每个足球50元．求共有几种购买方案？设购买篮球x 个，可列不等式组（ ）A ．()2508050503200x x x x ³-ìí+-<îB ．()()15028050503200x x x x ì³-ïíï+-<îC ．()()15028050503200x x x x ì³-ïíï+-£îD ．()()15025080503200x x x x ì³-ïíï+-<î3．（2023春·全国·八年级期中）把一些笔记本分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本；如果前面的每个学生分5本，那么最后一人能分到笔记本但数量不足4本，则共有学生（ ）人．A ．4人B ．5人C ．6人D ．5人或6人4．（2023春·北京海淀·九年级北京市师达中学校考阶段练习）某工厂生产I 号、II 号两种产品，并将产品按照不同重量进行包装，已知包装产品款式有三种：A 款，B 款，C 款，且三款包装的重量及所含I 号、II 号产品的重量如下表：包装款式包装的重量（吨）含I 号新产品的重量（吨）含II 号产品的重量（吨）A 款633B 款532C 款523现用一辆最大载重量为28吨的货车一次运送5个包装产品，且每种款式至少有1个．（1）若恰好装运28吨包装产品，则装运方案中A 款、B 款、C 款的个数依次为______；（2）若装运的I 号产品不超过13吨．同时装运的II 号产品最多，则装运方案中A 款、B 款、C 款的个数依次为___．（写出一种即可）5．（2023春·重庆合川·九年级重庆市合川中学校考阶段练习）若一个四位正整数的千位上的数的7倍与百位上的数的8倍之和刚好等于十位与个位组成的两位数，则称这个数为“奇巧数”，若一个“奇巧数”M 的千位为a ，百位为b ，十位为c ，个位为(19d a ££，14b ££，19c ££，19d ££且a 、b 、c 、d 为正整数)，c与d 的和能被7整除，求符合条件的“奇巧数”M 最大值为___________．6．（2021春·四川绵阳·七年级校考期中）已知关于,x y 的方程组343x y a x y a +=-ìí-=î，其中21a -££，以下结论：①当2a =-时，方程组的解x 与y 互为相反数；②11x y =ìí=î是方程组的解；③1a =时，方程组的解也是24x y a -=+的解；④若113y x <<£，则．正确的结论有___________________（填序号）7．（2023春·全国·七年级专题练习）张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板作侧面和底面，做成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）．(1)做2个竖式纸盒和1个横式纸盒，需要正方形纸板 张，长方形纸板 张．(2)若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？(3)该厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板152张，长方形纸板a 张，全部加工成上述两种纸盒，且280300a <<，试求在这一天加工两种纸盒时，a 的所有可能值．8．（2023春·全国·七年级专题练习）为了丰富学生的课外活动，学校决定购进5副羽毛球拍和m 只羽毛球，已知一副羽毛球拍的价格是一只羽毛球的价格的15倍，用50元可以买一副羽毛球拍和10只羽毛球：(1)一副羽毛球拍和一只羽毛球的价格各是多少元？(2)甲乙两商店举行促销活动，甲商店给出的优惠是：所有商品打八折：乙商店的优惠是：买一副羽毛球拍送n 只羽毛球，通过调查发现，如果只到一个商店购买5副羽毛球拍和26只羽毛球时，到甲商店更划算：若只购买一副羽毛球拍和n 只羽毛球，则乙商店更划算．求n 的值．(3)在（2）的条件下，当30m =时，学校如何购买羽毛球拍和羽毛球最划算，请说明理由．9．（2023·山东东营·统考一模）党的二十大报告，深刻阐述了推动绿色发展，促进人与自然和谐共生的理念，尊重自然、顺应自然、保护自然，是全面建设社会主义现代化国家的内在要求．为响应党的号召，东营市政府欲购进一批风景树进行绿化，已知购进A 种风景树4万棵，B 种风景树3万棵，共需要380万元；购进A 种风景树8万棵，B 种风景树5万棵，共需要700万元．(1)问A ，B 两种风景树每棵的进价分别是多少元？(2)东营市政府计划用不超过5460万元购进A ，B 两种风景树共100万棵，其中要求A 风景树的数量不多于58万棵，则共有几种购买方案？10．（2023春·陕西西安·八年级高新一中校考期中）水是生命的源泉，是人类赖以生存和发展的不可缺少的重要的物质资源之一，为更好地治理水质，保护环境，市污水处理办公室预购买10台污水处理设备，现有A 、B 两种型号的设备，其中价格及污水处理量如下表：A 型B 型价格（万元）1210处理污水量（吨／月）240200(1)市污水处理办公室为了节约开支，计划购买污水处理设备的资金不超过105万元，你认为有几种购买方案？(2)在（1）的情况下，若每月污水处理量要求不低于2040吨，为节约资金，请你帮市污水处理办公室选取一种最省钱的方案．11．（2023·湖北恩施·统考一模）我县在创建全国文明城市过程中，决定购买A ，B 两种树苗对某路段道路进行绿化改造，已知购买A种树苗8棵，B种树苗3棵，要950元；若购买A种树苗5棵，B种树苗6棵，则需要800元．(1)求购买A，B两种树苗每棵各需多少元？(2)考虑到绿化效果和资金周转，购进A种树苗要多于B种树苗，且用于购买这两种树苗的资金不能超过7650元，若购进这两种树苗共100棵，则有哪几种购买方案？(3)在（2）的条件下，哪种方案最省钱？最少费用是多少？12．（2023·湖北黄冈·校考一模）某出租汽车公司计划购买A型和B型两种节能汽车，若购买A型汽车4辆，B型汽车7辆，共需310万元；若购买A型汽车10辆，B型汽车15辆，共需700万元．(1)A型和B型汽车每辆的价格分别是多少万元?(2)该公司计划购买A型和B型两种汽车共10辆，费用不超过285万元，且A型汽车的数量少于B型汽车的数量，请你给出费用最省的方案，并求出该方案所需费用．13．（2023春·安徽合肥·七年级合肥38中校考期中）“新冠疫情”对全球经济造成了严重冲击，英雄的武汉人民为抗击“疫情”付出了巨大的努力并取得了伟大的胜利．为了加快复工复产，武汉市某企业需要运输一批生产物资．根据调查得知，2辆大货车与3辆小货车一次可以运输600箱生产物资；5辆大货车与6辆小货车一次可以运输1350箱生产物资．(1)求1辆大货车和1辆小货车一次分别可以运输多少箱生产物资？(2)现计划用这样的两种货车共12辆运输这批生产物资，已知每辆大货车一次需要运输费用5000元，每辆小货车一次需要运输费用3000元．若运输物资不少于1500箱，并且运输总费用小于54000元，请你列出所有运输方案，并指出哪种运输方案所需费用最少，最少费用是多少元？14．（2023春·全国·七年级专题练习）某初三某班计划购买定制钢笔和纪念卡册两种毕业纪念礼物，已知购买1支定制钢笔和4本纪念卡册共需130元，购买3支定制钢笔和2本纪念卡册共需140元．(1)求每支定制钢笔和每本纪念卡册的价格分别为多少元？(2)该班计划购买定制钢笔和纪念卡册共60件，总费用不超过1600元，且纪念卡册本数小于定制钢笔数量的3倍，那么有几种购买方案，请写出设计方案？15．（2023春·浙江温州·七年级校考期中）张氏包装厂承接了一批纸盒加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板做侧面和底面，做成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒（加工时接缝材料不计）．(1)做1个竖式纸盒和2个横式纸盒，需要正方形纸板 张，长方形纸板 张．(2)若该厂购进正方形纸板162张，长方形纸板338张，问竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？(3)该厂某一天使用的材料清单上显示，这天一共使用正方形纸板162张，长方形纸板a 张，全部加工成上述两种纸盒，且290300a <<．试求在这一天加工两种纸盒时，a 的所有可能值 ．(直接写出答案)考点5：方程组（组）与不等式组的综合问题典例：（2023春·全国·七年级专题练习）阅读下列材料：问题：已知2x y -=，且1x >，0y <，试确定x y +的取值范围解：2x y -=Q ，2x y \=+，又1x >Q ，21y \+>，1y \>-，又0y <Q ，10y \-<<①，12202y \-+<+<+，即12x <<②，①+②得：1102x y -+<+<+，x y \+的取值范围是02x y <+<．请按照上述方法，完成下列问题：(1)已知5x y -=，且2x >-，0y <，①试确定y 的取值范围；②试确定x y +的取值范围；(2)已知1x y a -=+，且x b <-，2y b >，若根据上述做法得到35x y -的取值范围是103526x y -<-<，请直接写出a 、b 的值．方法或规律点拨本题考查了一元一次不等式组的运用、一元一次不等式的解法，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的解法，并能进行推理论证．巩固练习1．（2023·山东滨州·模拟预测）关于x ，y 的方程组33331x y k x y k -=-ìí-=-î的解，满足4x y -<，则k 的取值范围是( )A ．5k >B ．5k ³C ．5k <D ．5k £2．（2023春·七年级单元测试）若整数 a 使关于 x 的方程412422x a x +-=-的解为非负数，且使关于 y 的不等式组21133204y y a y -ì<-+ïïí-ï³ïî的解集为2y <-，则符合条件的所有整数 a 的和为（ ）A ．20B ．21C ．27D ．283．（2023春·安徽合肥·七年级合肥市庐阳中学校考期中）已知方程组324232x y k x y k +=-ìí+=+î中的x ，y 满足0x y -³， 则k 的取值范围是（ ）A ．1k £-B ．1k ³-C ．1k £D ．1k ³4．（2023·浙江舟山·校联考一模）已知关于x ，y 的二元一次方程组2332x y a x y a +=-ìí-=î，有下列说法：①当2a =时，方程的两根互为相反数；②不存在自然数a ，使得x ，y 均为正整数；③x ，y 满足关系式56x y -=；④当且仅当5a =-时，解得x 为y 的2倍．其中正确的是( )A ．①②③④B ．①③④C ．②③D ．①②④5．（2023春·七年级课时练习）已知关于x ，y 的方程组543x y a x y a +=-ìí-=î，给出下列结论，其中错误的个数是（ ）①当a ＝1时，方程组的解也是方程x +y ＝4﹣a 的解②当a ＝﹣2时，x 、y 的值互为相反数；③不论a 取什么数，2x +7y 的值始终不变；④若x ≤1，则y ≥47；A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6．（2023春·七年级单元测试）对x 、y 定义一种新运算T ，规定：T （x ，y ）2ax by x y +=+（其中a 、b 均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：T （0，1）01201a b ´+´==´+b ，已知T （1，－1）＝－2，T （4，2）＝1，若关于m 的不等式组254432T m m T m m P -£ìí-î（，）（，）＞恰好有3个整数解，则实数P 的取值范围是_____．7．（2023春·全国·七年级专题练习）若关于x ，y 的二元一次方程组 3133x y a x y +=+ìí+=î的解满足x +y ＜2，求整数a 的最大值．8．（2023春·全国·七年级专题练习）（1）解二元一次方程组2125x y x y +=ìí+=î；（2）已知（1）中的解满足036ax y <+<，求正整数a 的值．9．（2023春·全国·八年级专题练习）已知方程组137x y a x y a -=+ìí+=--î中x 为非正数，y 为负数．(1)求a 的取值范围；(2)当a 为何整数时，不等式221ax x a +>+的解集为1x <．10．（2023春·全国·八年级专题练习）已知关于x y 、的方程组21258x y x y a -=-ìí+=-î的解都为非负数．(1)用含有字母a 的代数式表示x 和y ；(2)求a 的取值范围；(3)已知21a b -=，求a b +的取值范围．11．（2022春·天津滨海新·七年级校考期末）若点(,)M x y 的坐标满足方程组2525x y k x y k +=+ìí-=-î．(1)求点M 的坐标（用含k 的式子表示x ，y ）；(2)若点M 在第二象限，求k 的取值范围；(3)若点A 在第一象限，且()217k +<，则满足条件的整数k 有几个？12．（2023春·七年级课时练习）已知关于x ，y 的二元一次方程组21222x y m x y m +=+ìí+=-î的解满足不等式组81x y x y -<ìí+>î．(1)试求出m 的取值范围；(2)在m 的取值范围内，当m 为何整数时，不等式2x ﹣mx ＜2﹣m 的解集为x ＞1．13．（2023春·重庆北碚·七年级西南大学附中校考期中）关于x ，y 的方程组2421x y a x y a -=-ìí+=+î的解满足x 为非正数，y 为正数．(1)求a 的取值范围；(2)已知不等式1ax x a +>+的解集为1x >，请求出所有满足条件的整数a 的值．一、单选题（每题3分）1．（2022·重庆璧山·统考一模）不等式组2028x x +<ìí-£î的解集在数轴上可表示为（ ）A ．B ．C ．D ．2．（2023·全国·九年级专题练习）如图为小丽和小欧依序进入电梯时，电梯因超重而警示音响起的过程，且过程中没有其他人进出．该电梯乘载的重量超过480公斤时警示音响起．已知小丽为45公斤、小欧为65公斤，若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为x 公斤，则所有满足题意的x 可用下列哪一个不等式表示（ ）A ．370415x £＜B ．370435x £＜C ．370480x £＜D ．415435x £＜3．（2022秋·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）课堂上，老师组织大家用小棒摆三角形.已知三条线段的长分别是44m ，，，若它们能构成三角形，则整数m 的最大值是（ ）A ．10B ．8C ．7D ．44．（2021春·重庆南岸·八年级重庆市第十一中学校校考期中）文德中学初二年级为了奖励在英语演讲比赛中胜出的学生，年级购买了若干本课外读物准备送给他们．如果每人送4本，则还余9本；如果每人送5本，则最后一人能得到课外读物但不足2本．设初二年级有x 名学生获奖．则下列不等式组表示正确的是（ ）．能力提升A ．()()4951049512x x x x ì+-->ïí+--<ïîB ．()()4951049512x x x x ì--->ïí---<ïîC ．()()4951049512x x x x ì+-->ïí+--£ïîD ．()()4951049512x x x x ì--->ïí---£ïî5．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期中）方程组2123x y k x y +=+ìí+=î的解满足01x y <+<，则k 的取值范围是（ ）A ．40k -<<B ．10k -<<C ．41k -<<-D ．4k >-6．（2022秋·浙江绍兴·八年级校联考期中）对于三个数a 、b 、c 的最小的数可以给出符号来表示，我们规定{min a ，b ，}c 表示a 、b 、c 这三个数中最小的数，例如：{0min ，2-，3}2=-，{1min ，2-，2}2-=-．若{34min x +，2，42}2x -=，则x 的取值范围是（ ）A ．213x -<<B ．213x -££C ．11x -££D ．12x <<二、填空题（每题3分）7．（2022春·上海闵行·六年级校考期末）不等式组2450x x >-ìí-<î的自然数解是______．8．（2022·宁夏银川·校考一模）若关于x 的不等式组221x m x m ->ìí-<-î无解，则m 的取值范围___________9．（2022秋·浙江宁波·八年级统考期中）如图，()090BOC q q Ð=°<<°，现用若干根等长的小棒从点A 开始向右依次摆放，使小棒的两端恰好分别落在射线OB 、OC 上，其中1AA 为第1根小棒，且1OA AA =． 若恰好能摆放4根小棒，则θ 的取值范围是_________．10．（2022秋·八年级单元测试）已知关于x y 、的二元一次方程组325x y a x y a-=+ìí+=î的解满足x y >，且关于x 的不等式组212213147x a x +<ìï-í³ïî无解，那么所有符合条件的整数a 的个数为________．11．（2023·全国·九年级专题练习）为了美化校园，学校决定利用现有的2660盆甲种花卉和3000盆乙种花卉搭配A 、B 两种园艺造型共50个摆放在校园内，已知搭配一个A 种造型需甲种花卉70盆，乙种花卉30盆，搭配一个B 种造型需甲种花卉40盆，乙种花卉80盆，则符合要求的搭配方案有____种．12．（2022春·四川成都·八年级校考期末）若关于x 的不等式3020x k x ->ìí-£î有且只有四个整数解，且一次函数()y k x k =+++46的图象不经过第三象限，则符合题意的整数k 的值为______．三、解答题（13题5分，14题6分，15题7分）13．（2022秋·浙江·八年级期末）解不等式组2532(1)13x x +³ìï-í<ïî并把它的解集在数轴上表示出来．14．（2022秋·广东湛江·八年级校考阶段练习）如图，甲长方形的两边长分别为1,7m m ++；乙长方形的两边长分别为2,4m m ++．（其中m 为正整数）(1)图中的甲长方形的面积1S ，乙长方形的面积2S ，比较：1S 2S （填“<”、“=”或“>”）；(2)现有一正方形，其周长与图中的甲长方形周长相等，试探究：该正方形面积S 与图中的甲长方形面积1S 的差（即1S S -）是一个常数，求出这个常数；(3)在（1）的条件下，若某个图形的面积介于1S 、2S 之间（不包括1S 、2S ）并且面积为整数，这样的整数值有且只有16个，求m 的值．15．（2021秋·浙江温州·七年级统考期末）某工厂一共有16名工人，每人每天可以生产3个桌面或20个桌腿，已知1个桌面配4个桌腿．(1)如何分配生产桌面和桌腿的工人，才能使每天生产出来的桌面和桌腿刚好配套？(2)由于订单激增，工厂需要招聘一批新工人，且从原有16名工人中提拔一名老工人负责招聘及管理新工人．已知新工人每人每天可以生产1个桌面或12个桌腿，工厂决定派一部分老工人带领一部分新工人一起生产桌面，其余工人全部生产桌腿．①若工厂安排所有剩余老工人按4:1的人数比例分别生产桌面和桌腿，新工人按2:3的人数比例分别生产桌面和桌腿，则需招聘多少名新工人就能使每天生产出来的桌面和桌腿刚好配套？②若生产桌面的新工人人数是生产桌面的老工人人数的14，设招聘了m 名新工人，为了使每天生产出来的桌面和桌腿刚好配套，请直接写出m的值．。

第8讲一元一次不等式(组)一、知识清单梳理知识点一：不等式及其基本性质关键点拨及对应举例1.不等式的相关概念（1）不等式：用不等号(＞，≥，＜，≤或≠)表示不等关系的式子.（2）不等式的解：使不等式成立的未知数的值.（3）不等式的解集：使不等式成立的未知数的取值范围.例：“a与b的差不大于1”用不等式表示为a－b≤1.2.不等式的基本性质性质1：若a＞b,则 a±c>b±c；性质2：若a＞b,c>0，则ac>bc，ac>bc；性质3：若a＞b,c<0，则ac<bc，ac<bc.牢记不等式性质3，注意变号.如：在不等式－2x＞4中，若将不等式两边同时除以－2，可得x＜2.知识点二：一元一次不等式3.定义用不等号连接，含有一个未知数，并且含有未知数项的次数都是1的，左右两边为整式的式子叫做一元一次不等式.例：若230mmx++>是关于x的一元一次不等式，则m的值为-1.4.解法（1）步骤：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1. 失分点警示系数化为1时，注意系数的正负性，若系数是负数，则不等式改变方向.（2）解集在数轴上表示:x≥a x＞a x≤a x＜a知识点三：一元一次不等式组的定义及其解法5.定义由几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组．（1）在表示解集时“≥”，“≤”表示含有，要用实心圆点表示；“＜”，“＞”表示不包含要用空心圆6.解法先分别求出各个不等式的解集，再求出各个解集的公共部分7.不等式假设ab 解集数轴表示口诀组解集的类型x ax b≥⎧⎨≥⎩x≥b大大取大点表示．（2）已知不等式（组）的解集情况，求字母系数时，一般先视字母系数为常数，再逆用不等式（组）解集的定义，反推出含字母的方程，最后求出字母的值.如：已知不等式（a-1）x＜1-a的解集是x＞-1，则a的取值范围是a＜1. x ax b≤⎧⎨≤⎩x≤a小小取小x ax b≥⎧⎨≤⎩a≤x≤b大小，小大中间找x ax b≤⎧⎨≥⎩无解大大，小小取不了知识点四：列不等式解决简单的实际问题8.列不等式解应用题（1）一般步骤：审题；设未知数；找出不等式关系；列不等式；不等式；验检是否有意义.（2）应用不等式解决问题的情况：a.关键词：含有“至少（≥）”、“最多（≤）”、“不低于（≥）”、“不高于（≤）”、“不大（小）于”、“超过（＞）”、“不足（＜）”等；b.隐含不等关系：如“更省钱”、“更划算”等方案决策问题，一般还需根据整数解，得出最佳方案注意：列不等式解决实际问题中，设未知数时，不应带“至少”、“最多”等字眼，与方程中设未知数一致.【素材积累】1、走近一看，我立刻被这美丽的荷花吸引住了，一片片绿油油的荷叶层层叠叠地挤摘水面上，是我不由得想杨万里接天莲叶无穷碧这一句诗。

一元一次不等式（组）复习一.知识梳理1.知识结构图(二).知识点回顾1．不等式用不等号连接起来的式子叫做不等式．常见的不等号有五种： “≠”、 “>” 、 “<” 、 “≥”、 “≤”． 2．不等式的解与解集不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集． 不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点。

解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左。

说明：不等式的解与一元一次方程的解是有区别的，不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值． 3．不等式的基本性质（重点）(1)不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式．不等号的方向不变．如果a b >，那么__a c b c ±±(2)不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．如果,0a b c >>，那么__ac bc （或___a b c c） （3)不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．如果a b >,0c <那么__ac bc （或___a b c c） 说明：常见不等式所表示的基本语言与含义还有：①若a －b ＞0，则a 大于b ；②若a －b ＜0，则a 小于b ；③若a －b ≥0，则a 不小于b ；④若a －b ≤0，则a 不大于b ；⑤若ab ＞0或0a b >，则a 、b 同号；⑥若ab ＜0或0ab<，则a 、b 异号。

任意两个实数a 、b 的大小关系：①a -b>O ⇔a>b ；②a -b=O ⇔a=b ；③a-b<O ⇔a<b ． 不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a ＜b 可转换为b ＞a ，c ≥d 可转换为d ≤c 。