高中数学1.2.1排列效果分析新人教A版选修2-3

1．2排列与组合1．2.1排列整体设计教材分析分类加法计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类加法计数原理解题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下进行分类．分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事．分步乘法计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的地位是有区别的，分类加法计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步．在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌啰嗦，教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题．只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础．分类加法计数原理和分步乘法计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题．这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终．搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性．排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题．排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关．与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要．排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系．课时分配3课时第一课时教学目标知识与技能了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，并能运用排列数公式进行计算．过程与方法经历排列数公式的推导过程，从中体会“化归”的数学思想．情感、态度与价值观能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅力．重点难点教学重点：排列、排列数的概念．教学难点：排列数公式的推导．教学过程引入新课提出问题1：前面我们学习了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，请同学们回顾两个原理的内容，并回顾两个原理的区别与联系．活动设计：教师提问，学生补充．活动成果：1．分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，每一种方法只属于某一类，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤，只有各个步骤都完成才算做完这件事．应用两种原理解题：①分清要完成的事情是什么；②是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；③有无特殊条件的限制．设计意图：复习两个原理，为新知识的学习奠定基础．提出问题2：研究下面三个问题有什么共同特点？能否对下面的计数问题给出一种简便的计数方法呢？问题一：从5人的数学兴趣小组中选2人分别担任正、副组长，有多少种不同的选法？问题二：用1,2,3,4,5这5个数字组成没有重复数字的两位数，共有多少个？问题三：从a，b，c，d，e这5个字母中，任取两个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？活动设计：先独立思考，后小组交流，请同学发言、补充．活动成果：共同特点：问题三中把字母a，b，c，d，e分别代表人，就是问题一；分别代表数，就是问题二．把上面问题中所取的对象叫做元素，于是问题一、二、三都变成问题：从五个不同的元素中任取两个，然后按顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？我们把这一类问题称为排列问题，这就是我们今天要研究的内容．设计意图：通过三个具体的实例引入新课．探究新知提出问题1：你能把上述三个问题总结一下，概括出排列的定义吗？活动设计：学生举手发言、学生补充，教师总结．活动成果：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．说明：(1)排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；(2)两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同．从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．所以符号A m n只表示排列数，而不表示具体的排列．设计意图：引导学生通过具体实例总结概括出排列和排列数的概念，培养学生的抽象概括能力．提出问题2：从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，这是不是个排列问题，排列数怎么求？活动设计：学生独立思考，举手回答．活动成果：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，是排列问题．解决这一问题可分两个步骤：第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人，有3种方法；第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的2人中去选，于是有2种方法．根据分步乘法计数原理，在3名同学中选出2名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有3×2＝6种，如右图所示．设计意图：分析具体例子，巩固排列的定义，探索求排列数的方法．提出问题3：从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数，是不是排列问题，怎样求排列数？活动设计：学生独立思考，举手回答．活动成果：这显然是个排列问题，解决这个问题分三个步骤：第一步先确定百位上的数，在4个数中任取1个，有4种方法；第二步确定十位上的数，从余下的3个数中取，有3种方法；第三步确定个位上的数，从余下的2个数中取，有2种方法．由分步乘法计数原理共有：4×3×2＝24种不同的方法，用树形图排出，并写出所有的排列．由此可写出所有的排法．显然，从4个数字中，每次取出3个，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，就得到一个三位数．因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数．可以分三个步骤来解决这个问题：第1步，确定百位上的数字，在1,2,3,4这4个数字中任取1个，有4种方法；第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法；第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法．根据分步乘法计数原理，从1,2,3,4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有4×3×2＝24种不同的排法，因而共可得到24个不同的三位数，如图所示．由此可写出所有的三位数：123,124,132,134,142,143，213,214,231,234,241,243，312,314,321,324,341,342，412,413,421,423,431,432.设计意图：分析具体例子，巩固排列的定义，探索求排列数的方法．提出问题4：由以上两个问题我们发现：A 23＝3×2＝6，A 34＝4×3×2＝24，你能否得出A 2n 的意义和A 2n 的值？活动设计：学生举手发言、学生补充，教师总结．活动成果：由A 2n 的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n 个元素a 1，a 2，…，a n 中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数A 2n .由分步乘法计数原理知完成上述填空共有n(n －1)种填法，∴A 2n ＝n(n －1)．设计意图：由特殊到一般，引导学生逐步推导出排列数公式．提出问题5：有上述推导方法，你能推导出A 3n ，A m n 吗？活动设计：学生自己推导，学生板演．活动成果：求A 3n 可以按依次填3个空位来考虑，∴A 3n ＝n(n －1)(n －2)，求A m n 可以按依次填m 个空位来考虑：A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)，由此可以得到排列数公式：A m n＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)(m ，n ∈N ，m≤n)． 说明：(1)公式特征：第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n －m ＋1，共有m 个因数；(2)全排列：当n ＝m 时即n 个不同元素全部取出的一个排列．全排列数：A n n ＝n(n －1)(n －2)…2·1＝n ！(叫做n 的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.所以A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)＝n ！（n －m ）！＝A n n A n －m n －m. 设计意图：引导学生逐步利用分步乘法计数原理推导出排列数公式．理解新知分析下列问题，哪些是求排列数问题？(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？(3)用0,1,2,3,4这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(4)用1,2,3,4,5这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(5)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？(6)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？活动设计：学生自己完成，没有把握的问题和同桌讨论．教师巡视，找同学说出答案和理由．活动成果：(1)是 (2)不是 (3)是 (4)是 (5)不是 (6)不是(2)不是从5个不同的元素中选出三个不同的元素，而是从多个可以相同的元素中，选出三个元素排成一列，不符合排列中元素不同的规定．(3)是排列问题，但排列数中有一部分0在百位的不是三位数．(5)中选出的两个元素的和与顺序无关，不符合排列的定义．设计意图：加深对排列和排列数的理解．应用新知例1解方程：3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x .思路分析：利用排列数公式求解即可．解：由排列数公式得：3x(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x(x －1)，∵x≥3，∴3(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)，即3x 2－17x ＋10＝0，解得x ＝5或x ＝23，∵x≥3，且x ∈N ，∴原方程的解为x ＝5. 点评：解含排列数的方程和不等式时要注意排列数A m n 中，m ，n ∈N 且m≤n 这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围．【巩固练习】1．解不等式：A x 9>6A x －29.2．求证：(1)A n n ＝A m n ·A n －m n －m (2)（2n ）！2n ·n ！＝1·3·5…(2n －1)． 解答或证明：1.解：原不等式即9！(9－x)！>6·9！(11－x)！， 也就是1(9－x)！>6(11－x)·(10－x)·(9－x)！，化简得：x 2－21x ＋104>0， 解得x<8或x>13，又∵2<x≤7，且x ∈N ，所以，原不等式的解集为{3,4,5,6,7}．2．证明：(1)A m n ·A n －m n －m ＝n ！(n －m)！(n －m)！＝n ！＝A n n ，∴原式成立． (2)2n ！2n ·n ！＝2n·(2n －1)·(2n －2)…4·3·2·12n ·n ！＝2n n·(n －1)…2·1·(2n －1)(2n －3)…3·12n ·n ！＝n ！·1·3…(2n －3)(2n －1)n ！＝1·3·5…(2n －1)＝右边， ∴原式成立．点评：公式A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n －m ＋1)常用来求值，特别是m ，n 均为已知时；公式A m n ＝n ！(n －m)！常用来证明或化简．【变练演编】化简：(1)12！＋23！＋34！＋…＋n －1n ！；(2)1×1！＋2×2！＋3×3！＋…＋n×n ！. (1)解：原式＝1！－12！＋12！－13！＋13！－14！＋…＋1n －1！－1n ！＝1－1n ！. (2)提示：由(n ＋1)！＝(n ＋1)n ！＝n×n ！＋n ！，得n×n ！＝(n ＋1)！－n ！， 原式＝(n ＋1)！－1.【达标检测】1．计算：(1)A 310；(2)A 812A 712. 2．若A m n ＝17×16×15×…×5×4，则n ＝______，m ＝______.3．若n ∈N *，且55＜n ＜69，则(55－n)(56－n)…(68－n)(69－n)用排列数符号表示为______．答案：1.(1)720 (2)5 2.17 14 3.A 1569－n课堂小结1．知识收获：排列概念、排列数公式．2．方法收获：化归．3．思维收获：分类讨论、化归思想．补充练习【基础练习】1．若x ＝n ！3！，则x ＝( ) A ．A 3n B ．A n －3n C ．A n 3 D ．A 3n －32．与A 310·A 77不等的是( ) A ．A 910B ．81A 88C ．10A 99D ．A 10103．若A 5m ＝2A 3m ，则m 的值为( )A ．5B ．3C ．6D ．74．计算：2A 59＋3A 699！－A 610＝________；(m －1)！A n －1m －1·(m －n)！＝________. 【拓展练习】5．若2<(m ＋1)！A m －1m －1≤42，则m 的解集是________． 6．(1)已知A m 10＝10×9×…×5，那么m ＝__________； (2)已知9！＝362 880，那么A 79＝__________；(3)已知A 2n ＝56，那么n ＝____________；(4)已知A 2n ＝7A 2n －4，那么n ＝____________.答案：1.B 2.B 3.A 4.1 1 5.{2,3,4,5,6}6．(1)6 (2)181 440 (3)8 (4)7设计说明本节课是排列组合的第一课时，本节课的主要内容就是用两个原理推导出排列数公式．本节课的特点是学生自己发现并总结定义，自主探究，自主完成排列数公式的推导．备课资料可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题．在这类问题使用住店处理的策略中，关键是正确判断哪个是底数，哪个是指数．例1 (1)将6个不同的小球放到3个不同的盒子中，有多少种不同的方法？(2)6个人争夺3个项目的冠军，有多少种不同的方法？解析：(1)36；(2)63.例2由1,2,3,4,5,6这6个数字共可以组成多少个不同的7位数？解析：完成此事共分7步，第一步：从6个数字中任取一个数字放在首位，有6种不同的办法，第二步：从6个数字中任取一个数字放在十万位，有6种不同的办法，依次类推，由分步乘法计数原理知共可以组成67个不同的7位数．(设计者：殷贺)。

1.2.1 排列第三课时教学目标知识与技能利用捆绑法、插空法解决排列问题．过程与方法经历把简单的计数问题化为排列问题解决的过程，从中体会“化归〞的数学思想．情感、态度与价值观能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归〞思想的魅力．重点难点教学重点：利用捆绑法、插空法解决排列问题．教学难点：利用捆绑法、插空法解决排列问题．教学过程复习回顾提出问题：7位同学排队，根据上一节课所学的方法，解决以下排列问题．(1)7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？(2)7位同学站成两排(前3后4)，共有多少种不同的排法？(3)7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？(4)7位同学站成一排，甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(5)7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？活动设计：学生自己做，找学生到黑板上板演．活动成果：解：(1)问题可以看作：7个元素的全排列A77＝5 040.(2)根据分步乘法计数原理：7×6×5×4×3×2×1＝7！＝5 040.(3)问题可以看作：余下的6个元素的全排列A66＝720.(4)根据分步乘法计数原理：第一步甲、乙站在两端有A22种；第二步余下的5名同学进行全排列有A55种，所以，共有A22·A55＝240种排列方法．(5)第一步从(除去甲、乙)其余的5位同学中选2位同学站在排头和排尾有A25种方法；第二步从余下的5位同学中选5位进行排列(全排列)有A55种方法，所以一共有A25A55＝2 400种排列方法．典型例题类型一：捆绑法例17位同学站成一排，(1)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？(2)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种？(3)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？(4)甲、乙、丙三个同学必须站在一起，另外四个人也必须站在一起的排法有多少种？解：(1)先将甲、乙两位同学“捆绑〞在一起看成一个元素，与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有A66种方法；再将甲、乙两个同学“松绑〞进行排列有A22种方法．所以这样的排法一共有A66A22＝1 440种．(2)方法同上，一共有A55A33＝720种．(3)解法一：将甲、乙两同学“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A25种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A44种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑〞进行排列有A22种方法．所以这样的排法一共有A25A44A22＝960种．解法二：将甲、乙两同学“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，假设丙站在排头或排尾有2A55种方法，所以，丙不能站在排头和排尾的排法有(A66－2A55)·A22＝960种．解法三：将甲、乙两同学“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有A14种方法，再将其余的5个元素进行全排列共有A55种方法，最后将甲、乙两同学“松绑〞，所以，这样的排法一共有A14A55A22＝960种．(4)将甲、乙、丙三个同学“捆绑〞在一起看成一个元素，另外四个人“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有2个元素，∴一共有排法种数：A33A44A22＝288种．点评：对于相邻问题，常用“捆绑法〞(先捆后松)．[巩固练习]某商场中有10个展架排成一排，展示10台不同的电视机，其中甲厂5台，乙厂3台，丙厂2台，假设要求同厂的产品分别集中，且甲厂产品不放两端，那么不同的陈列方式有多少种？解：将甲厂5台不同的电视机“捆绑〞在一起看成一个元素，乙厂3台不同的电视机“捆绑〞在一起看成一个元素，丙厂2台不同的电视机“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有3个元素，甲不放两端，甲有1种排法，乙、丙排在两端有A22种排法，共有A55A33A22A22＝2 880种不同的排法．[变练演编]7位同学站成一排，(1)甲、乙两同学之间恰好有一个人的排法共有多少种？(2)甲、乙两同学之间恰好有两个人的排法共有多少种？解：(1)先在甲、乙两同学之间排一个人，有A15种不同的排法，把甲、乙和中间的一人“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有5个元素，共有A15A55A22＝1 200种不同的排法．(2)先在甲、乙两同学之间排两个人，有A25种不同的排法，把甲、乙和中间的两人“捆绑〞在一起看成一个元素，此时一共有4个元素，共有A25A44A22＝960种不同的排法．类型二：插空法例27位同学站成一排，(1)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？(2)甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？解：(1)方法一：(排除法)A77－A66·A22＝3 600；方法二：(插空法)先将其余五个同学排好有A55种方法，此时他们留下六个位置(称为“空〞)，再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有A26种方法，所以一共有A55A26＝3 600种方法．(2)先将其余四个同学排好有A44种方法，此时他们留下五个“空〞，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个“空〞有A 35种方法，所以一共有A 44A 35＝1 440种方法．点评：对于不相邻问题，常用“插空法〞(特殊元素后考虑)．[巩固练习]5男5女排成一排，按以下要求各有多少种排法：(1)男女相间；(2)女生按指定顺序排列．解：(1)先将男生排好，有A 55种排法；再将5名女生插在男生之间的6个“空〞(包括两端，但不能同时排在两端)中，有2A 55种排法，故此题的排法有N ＝2A 55·A 55＝28 800种．(2)方法1：N ＝A 1010A 55＝A 510＝30 240； 方法2：设想有10个位置，先将男生排在其中的任意5个位置上，有A 510种排法；余下的5个位置排女生，因为女生的位置已经指定，所以她们只有一种排法．故此题的排法为N ＝A 510×1＝30 240种．[变练演编]5男6女排成一列，问(1)5男排在一起有多少种不同排法？(2)5男不都排在一起有多少种排法？(3)5男每两个不排在一起有多少种排法？(4)男女相互间隔有多少种不同的排法？解：(1)先把5男看成一个整体，得A 77，5男之间排列有顺序问题，得A 55，共A 77A 55种．(2)全排列除去5男排在一起即为所求，得A 1111－A 77A 55.(3)因为男生人数少于女生人数，利用男生插女生空的方法解决问题，得A 66A 57.(4)利用男生插女生空的方法，但要保证两女生不能挨在一起，得A 66A 55.[达标检测]1．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有( )A ．1 440种B ．960种C．720种 D．480种2．把4个不同的黑球，4个不同的红球排成一排，要求黑球、红球分别在一起，不同的排法种数是( )A．A88 B．A44A44C．A44A44A22D．以上都不对3．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为( )A．42 B．96C．48 D．124答案：课堂小结1．知识收获：进一步复习排列的概念和排列数公式．2．方法收获：捆绑法、插空法．3．思维收获：化归思想、分类讨论思想．补充练习[基础练习]1．6人站成一排照相，其中甲、乙、丙三人要站在一起，且要求乙、丙分别站在甲的两边，那么不同的排法种数为( )A．12 B．24C．48 D．1442．由数字0,1,2,3,4,5组成无重复数字的四位数，其中是25的倍数的数共有______个( )A．9 B．12C．24 D．213．用数字0,1,2,3,4能组成没有重复数字的且比20 000大的五位奇数的个数为( ) A．3 B．30C．72 D．184．将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为( )A．540 B．300C．180 D．150答案：[拓展练习]5．有4名男生、5名女生，全体排成一行，问以下情形各有多少种不同的排法？(1)甲不在中间也不在两端；(2)甲、乙两人必须排在两端；(3)男、女生分别排在一起；(4)男女相间；(5)甲、乙、丙三人从左到右顺序保持一定．答案：(1)241 920 (2)10 080 (3)5 760 (4)2 880 (5)60 480设计说明本节课是排列的第三课时，本节课的主要目标是介绍排列中常用的捆绑法和插空法．本节课的特点是教师引导给学生以提示，在从例题中学会了方法后，马上让学生练习巩固方法，在变练演编中，举一反三，反复强化，使学生更好地掌握方法和技巧．备课资料一、相邻问题捆绑法：题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列．例A，B，C，D，E五人并排站成一排，如果A，B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有________．解析：把A，B视为一人，且B固定在A的右边，那么此题相当于4人的全排列，有A44＝24种排法．二、相离问题插空法：元素相离(即不相邻)问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端．例1书架上某层有6本书，新买3本插进去，要保持原有6本书的顺序，有______种不同的插法(具体数字作答)．解析：A17A33＋A27A23＋A37＝504种．例2高三(1)班学生要安排毕业晚会的4个音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，那么不同排法的种数是________．解析：不同排法的种数为A55A26＝3 600.例3某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后才能进行．那么安排这6项工程的不同排法种数是________．解析：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个“空〞中，可得有A25＝20种不同排法．例4某市春节晚会原定10个节目，导演最后决定添加3个与“抗冰救灾〞有关的节目，但是赈灾节目不排在第一个也不排在最后一个，并且已经排好的10个节目的相对顺序不变，那么该晚会的节目单的编排总数为________种．解析：A19A33＋A29A23＋A39＝990种．例53个人坐在一排8个椅子上，假设每个人左右两边都有空位，那么坐法的种数有多少种？解析：解法1：先将3个人(各带一把椅子)进行全排列有A33，○*○*○*○，在四个“空〞中分别放一把椅子，还剩一把椅子再去插空有A14种，所以每个人左右两边都有空位的排法有A14A33＝24种．解法2：先拿出5个椅子排成一排，在5个椅子中间出现4个“空〞，*○*○*○*○*，再让3个人每人带一把椅子去插空，于是有A34＝24种．注：题中*表示元素，○表示空．例6停车场划出一排12个停车位置，今有8辆车需要停放．要求空位置连在一起，不同的停车方法有多少种？解析：先排好8辆车有A88种方法，要求空位置连在一起，那么在每2辆之间及其两端的9个空档中任选一个，将空位置插入有A19种方法，所以共有A19A88种方法．。

《排列与组合》教材分析一、教材地位《排列与组合》内容作为高中数学教学内容的一部分，在整个高中数学中占有重要地位，以计数问题为主要内容的排列与组合，是组合数学的最初步知识，它是学习二项式定理的重要基础,更是学习概率初步所必需具备的基础知识。

通过学习排列组合可以大大提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力，也是培养学生思维能力的不可多得的好素材，而且与后面概率中的二项分布有着密切联系二、教材内容的处理目标分类上，体现“情感、态度与价值观”领域的目标；目标总量是不断增加的；目标层次的平均要求提高了；（2）从排列组合的课程内容来看，素材选取的数量和内容的丰富程度呈现递增的趋势；（3）从排列组合的课程难度上看，现行教材中排列组合内容的课程难度较大。

（4）从排列组合的编写体例上看，引例插图体现时代精神；框架结构逐渐完整、清晰、逻辑严密。

（5）从排列组合的例题和习题上看，例题和习题总量大体上是增加的趋势，习题类型多样；在习题的综合难度上，习题在“背景”、“探究”、“运算”和“推理”上的难度逐渐提高；在“知识含量”因素上，难度变化不大，一直处于比较平稳的状态。

三、课程教材内容的整合在学习了分类加法与分步乘法计数原理的基础上，研究排列与组合，运用归纳法导出排列数公式，然后结合排列数与组合数的联系，推导出组合数公式，并总结出组合数的两个性质，以简化组合数的计算，并为推导二项式定理作好铺垫。

排列、组合与必修三所学的概率有密切的内在联系，通过本节内容与概率知识的学习，为第二章《离散型随机变量的分布列》的学习奠定基础。

四、教学的重点、难点教学重点：1、理解排列、组合的概念，排列问题和组合问题的区别；2、排列数、组合数公式的推导及应用；3、排列与组合的性质及其应用；教学难点：1、排列数、组合数公式的推导及应用2、排列组合的综合应用五、课时安排本节教学约需5课时，具体分配如下：第一课时排列的概念，排列数公式的推导第二课时排列数公式的应用第三课时组合的概念，组合数公式的推导第四课时组合数公式的应用第五课时排列与组合的综合应用。