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05 多元复合函数与隐函数的求导法则资料

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多元复合函数与隐函数求导

多元复合函数与隐函数求导

2
t cos t
dz , 求全导数 dt
u 2v
解：令 u = sint , v = cost , 则z = e
du dv z z u 2v 2 u 2v = + = 2uve cost + u e ( - sint ) dt dt dt u v
= 2e
=e
sin 2 tcost
sintcos t - e
v = ψ ( x + x , y ) — ψ ( x , y )
在相应点(u,v)处相应于 的全增量 处相应于x的全增量 函数 z = f ( u,v ) 在相应点 处相应于
z = f ( u + u , v + v ) — f ( u , v )
有连续的偏导数， 由于 z = f ( u,v ) 有连续的偏导数，所以
第四节 多元复合函数 与隐函数求导
一、多元复合函数的求导法则 二、隐函数的微分法
一、多元复合函数的求导法则
以二元函数为例，讨论复合函数的求导方法。 以二元函数为例，讨论复合函数的求导方法。 又都是x，y的函数 又都是 的函数 设函数 z = f ( u,v ) ，而u，v又都是 u = ( x , y ), v = ψ ( x , y ), 于是
-
2 )
对于具有三个中间变量的函数 z = f ( u , v , w ), 其中 u，v，w分别是 ，y的函数，有 分别是x， 的函数 的函数， ， ， 分别是
z z u z v z w = + + x u x v x w x z z u z v z w = + + y u y v y w y
z y
当然我们同理也可求 得

第三节 多元复合函数与隐

第三节 多元复合函数与隐

(2e sin t 3sin t )e (e 12e sin t )cos t
t 4 t 2t t 3
例 2 设 z uv sin t ，而 u e t ，v cos t ，
dz 求全导数 . dt
解
dz z du z dv z dt u dt v dt t
u, v为中间变量时，
z z dz du dv u v
三.隐函数求导法
dy 1.F ( x, y ) 0, 求 dx
例 1 ：y xe y x 0, 求y对x的导数
y e 1 y y 解： (1)两边对x求导 : y'e xe y'＋1 0, y' 1 xey
y dy e 1 y y ( 2)全微分 dy e dx xe dy dx 0, dx 1 xey
Fx e y 1 (3)用偏导数求 : Fx Fy y ' 0, y ' Fy 1 xe y
定理 设二元函数F ( x, y )在p0 ( x0 , y0 )的某一邻域内具有 连续的偏导数，且F ( x0 , y0 ) 0, Fy ( x0 , y0 ) 0，则由方程 F ( x, y ) 0在点( x0 , y0 )的某一邻域内能唯一确定一个有 连续导数的函数y f ( x)满足y0 f ( x0 ), 有 Fx dy dx Fy
证 : 两边对t求导有 :
xf1(tx, ty) yf2(tx, ty) kt k 1 f ( x, y)
令t=1
xf x ( x, y) yf y ( x, y) kf ( x, y)
二.一阶全微分形式不变性
u, v为自变量时，

多元复合函数与隐函数的求导

多元复合函数与隐函数的求导

2ulnv
x y2
u2 v
2
2x2 y3
ln 3x
2y
y2
2x2
3x
2y
当然，例1.1也可以用直接求导法，但是用链式法则求 导具有思路清晰、计算简便、不易出错等优点。但是对于下 例，就只能用链式法则来求导了。
例1.2 设 z f x 2y ，ysinx， f 具有一阶连续的偏导数，求
图8-5
注意
在复合函数求导的过程中，如果其中出现某一个中间变量 是一元函数，则涉及它的偏导数记号应改为一元函数的导数记 号。
例1.3 设 z 2yຫໍສະໝຸດ x yx，y 求 。zy
解
设 u x y ，v x y，则 z 2yuv ，其函数结构图为
所以 z z dy z u z v 。 y y dy u y v y
例如 z eu sinv ，而 u 2xy，v x2 y ，如何求 z ? x
1.1 复合函数的求导法则
1. 二元复合函数求导法则
分析
方法一（直接求导法）
z e2xy sin x2 y ，利用求导的乘法公式可得： z 2 ye2xysin x2 y 2xe2xycos x2 y
高等数学
多元复合函数与隐函数的求导
【本节导引】
在一元 函 数 微 分 学 中，我 们 学 习 过 一 元 复 合 函 数
的 求 导 法 则，对 一 元 复 合 函 数 y f g x，如果函数 y f u 对u可导、u g x对x可导，则 dy dy du f ' u g' x
dx du dx ，即函数 y 对自变量 x 的导数等于函数y 对中间变量 u 的导数与中 间变量 u 对自变量 x 的导数的乘积。此一元复合函数的求导思想 能不能应用到多元复合函数的求导上? 若能，如何推广?

多元复合函数与隐函数求导

多元复合函数与隐函数求导
第四节 多元复合函数 与隐函数求导
一、多元复合函数的求导法则
二、隐函数的微分法
一、多元复合函数的求导法则
以二元函数为例，讨论复合函数的求导方法。
设函数 z = f (u,v )，而u，v又都是x，y的函数
u = ( x, y ),v = ( x, y ), 于是
z = f [( x, y ), ( x, y )]
两边对x求导得
∂F ∂x
+
∂F ∂y
dy dx
= 0,即Fx′+ Fy′ddyx
=0
再由已知条件有
dy dx
=
-
Fx′ Fy′
例9 求由方程 e y - xy = 0所确定的隐函数y=f(x)
的导数。
解： 设 F( x, y ) = ey - xy, 则 Fx′= - y, Fy′= ey - x,
= 2 xfu′+ ye xy fv′+ f w′cos( x + y )
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v ∂z ∂w ∂y = ∂u ∂y + ∂v ∂y + ∂w ∂y
= fu′• ( - 2 y ) + fv′• x • exy + fw′• cos( x + y )
= - 2 yfu′+ xe xy fv′+ f w′cos( x + y )
（2）z = f ( u,v ),其中u = ( x ),v = ( x, y ),则
∂z ∂z du ∂z ∂v ∂x = ∂u • dx + ∂v • ∂x ∂z ∂z ∂v ∂y = ∂v • ∂y
例4
设函数
z
=
ln(tan

多元复合函数求导法则和隐函数求导公式

多元复合函数求导法则和隐函数求导公式

z
= e [ y ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
xy
u x yx
v y
∂ z ∂ z ∂u ∂ z ∂v = ⋅ + ⋅ ∂ y ∂u ∂ y ∂v ∂ y = e u sin v ⋅ x + e u cos v ⋅1 = e [ x ⋅ sin( x + y ) + cos( x + y )]
4
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
dz . 例3. 设 z = u v + sin t , u = e , v = cos t , 求全导数 dt d z ∂ z du ∂ z dv ∂ z + = ⋅ + ⋅ 解: z d t ∂u d t ∂v dt ∂t
t
= v e t− u sin t + cos t = e t (cos t − sin t ) + cos t
u
x y z
= 2 x (1 + 2 x sin y ) e
2
x 2 + y 2 + x 4 sin 2 y
∂u ∂ f ∂ f ∂ z + ⋅ = ∂ y ∂ y ∂z ∂ y
x
cos y
y
= 2 ye
x2 + y2 + z 2
+2 z e
x2 + y2 + z 2⋅ x 2
= 2 ( y + x sin y cos y ) e
多元复合函数的求导法则
一元复合函数
y = f (u ), u = ϕ ( x)
dy dy d u 求导法则 = ⋅ dx du dx 微分法则 d y = f ′(u ) d u= f ′(u ) ϕ ′ ( x) d x

多元复合函数求导法和隐函数求导公式

多元复合函数求导法和隐函数求导公式

通过练习和案例分析，提 高解决多元复合函数和隐 函数求导问题的能力。
THANKS
感谢观看
通过对方程两边求导，得到隐函数的导数表 达式。
高阶偏导数的计算方法
利用低阶偏导数的计算结果，逐步推导高阶 偏导数的表达式。
学习建议
熟练掌握多元复合函数的 求导法则，能够灵活运用 链式法则、乘积法则等解 决实际问题。
理解偏导数的概念及其性 质，能够正确计算偏导数 并解释其物理意义。
ABCDBiblioteka 学会利用隐函数求导公式， 解决涉及方程组的导数问 题。
04
多元复合函数和隐函数的实际应用
几何应用
曲线和曲面求导
通过多元复合函数求导法，可以求出曲 线和曲面的导数，进而研究它们的几何 性质，如曲线的斜率、曲面的法线等。
VS
参数方程的应用
在几何中，参数方程常常用来描述曲线和 曲面，通过隐函数求导公式，可以方便地 求出参数方程的导数，进而研究曲线的切 线和曲面的法线。
导数
表示函数在某一点附近的变化率，是函数的局部性质。对于隐函数，其导数表示其在某点处的切线斜率。
一阶隐函数求导公式
求导法则
利用链式法则对隐函数进行求导，即对$y$的求导数等于$frac{partial F}{partial x} cdot frac{dx}{dy}$。
举例
若$F(x, y) = 0$，则$frac{dy}{dx} = -frac{frac{partial F}{partial x}}{frac{partial F}{partial y}}$。
全导数的应用
全导数在研究多元函数的性质、优化问题以及偏微分方程等 领域中都有广泛的应用。通过全导数，我们可以更全面地了 解多元复合函数在不同自变量变化情况下的整体行为。

多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式

8.3 多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式一．多元复合函数的求导法则类似于一元复合函数的定义,我们现在给出二元复合函数的定义。

定义 设函数),(v u f z =，而u 、v 均为x 、y 的函数，即),(y x u u =，),(y x v v =，则函数)],(),,([y x v y x u f z =叫做x 、y 的复合函数。

其中u 、v 叫做中间变量，x 、y 叫做自变量。

现在再将一元函数微分学中的复合函数的求导法则，推广到多元复合函数。

多元复合函数的求导法则在多元函数微分学中也起着重要作用。

定理 如果函数),(y x u u =，),(y x v v =在点（x,y ）处都具有对x 及对y 的偏导数，函数),(v u f z =在对应点（u,v ）处具有连续偏导数，则复合函数)],(),,([y x v y x u f z =在点（x,y ）处存在两个偏导数，且具有下列公式xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ yv v z y u u z y z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 定理中的公式叫做复合函数的偏导数的锁链法则，它可以推广到各种复合关系的复合函数中去。

作为初学者，我们常用图示法表示各变量之间的关系（如图所示）。

u xzv y图中的每一条线表示一个偏导数，如“z —u ”表示u z ∂∂。

现在我们利用图来求xz ∂∂，首先看z 通过中间变量到达x 有两条路径：x u z →→和x v z →→，那么结果就一定是两项之和，又在第一项中有u z →和x u →两个环节，那么这一项一定是两式相乘，即xu u z ∂∂∂∂。

同理第二项为xv v z ∂∂∂∂。

于是 xv v z x u u z x z ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 一般地，无论复合函数的复合关系如何，因变量到达自变量有几条路径，就有几项相加，而一条路径中有几个环节，这项就有几个偏导数相乘。

多元复合函数与隐函数求导法则

第三节
第八章
本节内容: 一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分 三、隐函数求导法则
1
一、多元复合函数求导的链式法则
定理. 若函数
处偏导连续,
则复合函数
z f (u,v)
在点 t 可导,
且有链式法则
d z z d u z dv d t u d t v d t
证: 设 t 取增量△t ,
x f
表示f ( x, v )固定 v 对 x 求导
x
6
例1. 设 z eu sin v , u xy , v x y , 求 z , z .
x y
解: z
z v
x
v x
eu sin v eu cos v 1
z
z
z v
y
v y
eu sin v eu cos v 1
uv x yx y
在
d y Fx dx Fy
的某邻域内 Fy 0
19
例7. 验证方程
可确定一个单值可导隐函数
在点(0,0)某邻域 并求
dy
dx x 0
解: 令 F (x, y) sin y ex xy 1, 则
① Fx e x y, Fy cos y x 连续 ; ②F (0,0) 0;
③ Fy (0,0) 1 0,
f1 f2 f3
2) 中间变量是多元函数的情形.
例如,
z
uvw t tt
z f (u,v) , u (x, y), v (x, y)
z z u z v x u x v x
f11
f 2 1
z
uv
z z u z v y u y v y
f12 f2 2

复合函数与隐函数求导法

2005-3-27 ′′ ′′ ′′ 或wxz = f11 + ( xy + yz ) f 21 + xy 2 zf 22 + yf1′
三、复合函数的高阶偏导数
(3) ∵ wx = f1′ x + f 2′v x = f1′ + yzf 2′ u ∴ wxx = ( wx )′x = ( f1′ + yzf 2′)′x = ( f1′)′x + ( yzf 2′)′x ′ ′ = [( f1′)1 u x + ( f1′)′2 v x ] + yz[( f 2′)1 u x + ( f 2′)′2 v x ] ′′ + yz ( f12 + f 21 ) + y 2 z 2 f 22 = f11 + 2 yzf12 + y 2 z 2 f ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′ = f11
证： 对 x求导，视 y为常数 ∵ ∴由(1)式可得： z x = f u u x + f v v x 同理可得： z y = f u u y + f v v y
2005-3-27
链式求导法续
3. 复合函数求导公式与链图的关系满足下列规律：
z x z y
同链相乘，异链相加。
另3：每一个完整链上的节数=对应项的因子个数。
2 2
二、链式求导法 2. z=f [u(x,y),v(x,y)]型
设z = f (u, v)在(u , v)有连续偏导数，u = u ( x, y ), v = v( x, y )在 ( x, y )有偏导数，则 复合函数z = f [u ( x, y ), v( x, y )]在( x, y ) z ( 2 ) f u f v + , 可偏导，且： = x u x v x z ( 2 ) f u f v = + y u y v y

多元复合函数和隐函数的求导法则



f12
f2 2
z
uv x yx y
推广：
u (x, y), v (x, y), w (x, y), z f (u, v, w)
在相似条件下，有
z z u z v z w x u x v x w x
z z u z v z w y u y v y w y
d2y dx2

( Fx ) ( Fx ) d y x Fy y Fy dx
d y Fx d x Fy
xy
x


Fxx
Fy Fyx Fy2
Fx

Fxy Fy Fy y Fx Fy2
(
Fx Fy
)


Fxx Fy 2

2Fxy Fx Fy Fy3

Fy y Fx2
u (t), v (t), w (t)
dz z du z dv z dw d t u d t v dt w dt
f1 f2 f3
z
uvw t tt
2.复合函数的中间变量为多元函数的情形
定理.若(1)函数 u (x, y)及v (x, y) 都在点
,

4.全微分形式的不变性
设函数
都可微,
则复合函数 z f ( (x, y), (x, y))的全微分为
dz z dx z dy x y
( z u z v ) dy u y v y
( u dx u dy ) x y
( v dx v dy ) x y
x y
解: z
z v
x
v x
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f'u
u v u
x y x y
uy + fvv vy 同理 ( f v)y f vu
1 + f vv x f vu v + xf vv f uv f vu + xf vv 综上有 z xy f uu + xf uv + f v + y( f uv + xf vv )
2/29
一、问题的提出 二、多元复合函数的 微分法
2.1、链式法则 2.2、全微分形式不变性
（理解其实质） 多元函数的复合可以是多 种多样的，求导时要注意 区分中间变量和自变量。 3、隐函数的求导法则
三、隐函数求导公式
3.1、方程F(x,y)=0所确定
( 2) F ( x , y , z ) 0
y
dx
F y
F' y
x,y都作自变量来求偏导数后,再求它们商的相反数.
微积分八⑤
2018/11/3
17/29
例6 设y=f(x)是由方程xy+ey=ex所确定的隐函数， 求y' 及y'(0)。 解：令F(x,y)= xy+ey-ex 则Fx=y-ex ， Fy=x+ey
x y - ex Fx e -y y y x+e Fy ey + x
e xy [ y sin(x + y) + cos(x + y)], z z u z v + y u y v y u u e sin v x + e cos v 1 e u ( x sinv + cosv ) xy e [ x sin(x + y) + cos(x + y)]
Fx dy x+ y . dx Fy y- x
微积分八⑤
2018/11/3
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3.2、方程F(x,y,z)=0所确定 设z=z(x,y)是由三元方程F(x,y,z)=0所确定的二元隐函 数, 则有： F [x,y,z(x,y)] ≡ 0 上式两边对x求导, 并利用全导数公式, 得： x、y、 F F dz + 0 当 F 0 时,有： z都作 x z dx z F 为自变 Fx 量来求 z x 或 z x 偏导数 Fz F x 后，再 F z 求它们 F z y y 同理,有： 商的相 或 zy F Fz y 反数。
+ ( x + y) f uv + f v + xyf vv ) f uu
微积分八⑤
2018/11/3
f'v
15/29 2 w w 例5设w=f(x+y+z,xyz),f有二阶连续偏导数,求 和 . xz x 解 令u x + y + z, v xyz; f1 f1 u f1 v 2 + f ( u, v ) f ( u, v ) , z 记f1 , f12 u z v z u uv + xyf12 ; f 11 . , f 22 同理有 f 2, f11 f 2 f 2 u f 2 v w f u f v + + z u z v z x u x v x + xyf 22 ; f1 + yzf 2; f 21 于是 2
将x=0代入原方程得y=0，再代入上式，得：
1- 0 y(0) 1 1+ 0
微积分八⑤
2018/11/3
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例7
dy y 已知ln x + y arctan ，求 . x dx
2 2
2 2
y 解 令 F ( x , y ) ln x + y - arctan , x
y- x x+ y ( x, y ) 2 则 Fx F , ( x, y) 2 , y 2 2 x +y x +y
例3
设z=euv,u=sinx,v=cosx,求
dz z du z dv 解 + dx u dx v dx
v =veuv· cosx+ueuv· (-sinx) =euv(vcosx - usinx) =esinxcosx(cos2x - sin2x) =esin2x/2· cos2x.
设z=unev,而u=x2+y2,v=xy,
z z u z v u + =2y y y u y v y
v =x 代入公式 y
=nun-1ev· 2y+unev· x =(x2+y2)n-1exy[2ny+x(x2+y2)]
微积分八⑤
2018/11/3
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z f u f + , x u x x
z f u f 类区 + . 似别 y u y y
把
两者的区别
z f ( u, x , y )
把复合函数 z f [f ( x , y ), x , y ] 中的 u 及 y 看作不 中的 y 看作不变而对 x 的偏导数 变而对 x 的偏导数
微积分八⑤
2018/11/3
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由z'x= f'u (x+y,xy)+ y f'v (x+y,xy) 两边对y再求导， )y + fv + y( fv)y z xy ( f u ) y + ( yf v ) y ( f u
uy + f uv vy ( f u )y f uu 1 + f uv x f uu + xf uv f uu
w ( f1 + yzf 2) x z z f1 f 2 + yf 2 + yz ; z z
2w f11 + xyf12 + yf 2+ yz( f 21 + xyf 22 ) x z
+ y( x + z ) f12 + xy2 zf22 + yf2. f11
x
y
微积分八⑤
2018/11/3
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⑸全导数(自变量只有一个,但中间变量多于一个) ①两个中间变量:即z=f(u,v), u=u(x)、v=v(x). u 链式线路图: z x v dz z du z dv + dx u dx v dx ②三个中间变量:即z=f(u,v,w),u=u(t),v=v(t),w=w(t). “链式线路图”:
微积分八两条路径, 表示z对x的偏导数包 括两项; 每条路径由两个箭头组成,表示每 u x 项由两个偏导数相乘而得,其中每个箭头 z 表示一个变量对某变量的偏导数， y v z z u z v + x u x v x 从z 到y 也有两条路径,表示 z对y 的偏导数包括两项;每 条路径由两个箭头组成,表 示每项由两个导数相乘而 得,其中每个箭头表示一个 变量对某变量的偏导数,
微积分八⑤
2018/11/3
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z z 例2 求 及 x y z u x 解： =nun-1ev, v是常量, 对u求导 u z z = unev u是常量, 对v求导 y v v v z z u z v u + =y 代入公式 =2x x x u x v x x =nun-1ev· 2x+unev· y =(x2+y2)n-1exy[2nx+y(x2+y2)]
微积分八⑤
2018/11/3
2
2
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2.1、链式法则(Chain Rule) ⑴定理8.2 若函数 u=u(x,y)及 v=v(x,y)在点(x,y)处的 偏导数u'x、u'y及v'x、v'y都存在,且在对应于(x,y)的点 (u,v)处,z=f(u,v)可微,则复合函数 z=f [u(x,y), v(x,y)] 对x及y的偏导数存在,且 z z u z v z z u z v + + . ， y u y v y x u x v x ⑵函数结构的“链式线路图” ： u x 从z引出两个箭头，表示z是 u、v的函数；同理，u、v又 z 都是x、y的函数。 y v
z
u v
dz z du z dv z dw + + dt u dt v dt w dt 以上公式中的导数 dz 称为全导数. dt
微积分八⑤
2018/11/3
w
t
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⑹混合复合导数(变量x、y既是自变量又是中间变量) 特殊地 z f ( u, x , y ) 其中 u f ( x , y ) 即 z f [f ( x , y ), x , y ],
z z u z v + y u y v y
微积分八⑤
2018/11/3
7/29
⑶链式法则(如图示)
u
z
x
y
v
z z u z v + , x u x v x
z z u z v + . y u y v y
dz . dx z
u
x
例4 设z=f (x+y,xy),其中f 有连续的二阶偏导数 ,求 z'x及z"xy. u x 解 令u=x+y,v=xy,则z= f(u,v) z y v z z u z v · + · =z'u· 1+z'v· y = f'u+ y f'v x u x v x 即z'x= f'u+ y f'v 两边对y再求导，