(贵阳专版)2019届中考数学总复习第一部分教材知识梳理第7章圆第2节点、直线与圆的位置关系(精练)试题

第七章 圆第一节 圆的有关概念及性质贵阳中考考情预测贵阳近年真题试做垂径定理1．(2018·贵阳适考)如图，在⊙O 中半径OC 与弦AB 垂直，垂足为点D ，若CD ＝1，OA ＝3，则弦AB 的长为 圆周角定理2．(2014·贵阳适考)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，AC ︵＝BC ︵.动点P 在弦BC 上(端点B ，C 除外)移动，则∠PAB 可能为__30__°(写出一个符合条件的度数即可)．(第2题图)3．(2014·贵阳中考)如图，AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，∠BOD ＝130°，AC ∥OD 交⊙O 于点C ，连接BC ，则∠B＝__40__°.(第3题图)贵阳中考考点清单圆的有关概念续表圆的对称性圆周角中考典题精讲精练垂径定理例1 如图，C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，连接AC ，BC ，分别以AC ，BC 为边向外作正方形ACDE ，BCFG.DE ，FG ，AC ︵，BC ︵的中点分别是M ，N ，P ，Q.若MP ＋NQ ＝14，AC ＋BC ＝18，则AB 的长为( C )A ．9 2B .907C ．13D ．16【解析】连接OP ，OQ ，分别交AC ，BC 于点H ，I.根据DE ，FG ，AC ︵，BC ︵的中点分别是M ，N ，P ，Q ，得到OP⊥AC，OQ ⊥BC ，从而得到H ，I 是AC ，BC 的中点，利用中位线定理得到OH ＋OI ＝12(AC ＋BC)＝9和PH ＋QI ＝18－14＝4，从而利用AB ＝OP ＋OQ ＝OH ＋OI ＋PH ＋QI 求解．1.(2018·安顺中考)已知⊙O 的直径CD ＝10 cm ，AB 是⊙O 的弦，AB ⊥CD ，垂足为M ，且AB ＝8 cm ，则AC 的长为( C )A ．2 5 cmB ．4 5 cmC ．2 5 cm 或4 5 cmD ．2 3 cm 或4 3 cm2．(2018·遵义模拟)如图，AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AB 垂直平分半径OD ，∠ABC ＝75°，BC ＝4 2 cm ，则O C 的长为__4__cm .圆周角定理例2 如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB ＝40°，则∠ADC 的度数是( C )A ．40°B ．30°C ．20°D ．15°【解析】根据同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，并且都等于所对圆心角的一半，可得∠ADC＝12∠AOB＝20°.3．(2018·遵义模拟)如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO＝40°，则∠ACB的大小为( C)A．30°B．40°C．50°D．60°(第3题图)4．(2018·杭州中考)如图，AB是⊙O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连接AF，则∠DFA＝__30°__．(第4题图)。

第二节 点、直线与圆的位置关系贵阳中考考情预测贵阳近年真题试做切线的性质1．(2015·贵阳适考)如图，AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，∠CDB ＝30°，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点E ，则 sin E 的值为( A )A .12B .22 C .32 D .33(第1题图)2．(2015·贵阳中考)小明把半径为1的光盘、直尺和三角尺形状的纸片按如图所示放置于桌面上，此时，光盘与AB ，CD 分别相切于点N ，M.现从如图所示的位置开始，将光盘在直尺边上沿着CD 向右滚动到再次与AB 相切时，光盘的圆心经过的距离是3．(第2题图)切线的判定3．(2014·贵阳适考)如图，AC是⊙O的直径，点B，D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAB＝∠D＝30°.(1)∠C的度数为____；(2)求证：AE是⊙O的切线；(3)当AB＝3时，求图中阴影部分的面积．(结果保留根号和π)(1)解：30°；(2)证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠ABC＝90°.∵∠C＝∠D＝30°，∴∠BAC＝60°.又∵∠EAB＝30°，∴∠EAC＝∠EAB＋∠BAC＝90°.∴CA⊥AE.∴AE是⊙O的切线；(3)解：连接OB.∵∠BAC＝60°，AB＝3，∴△OAB为等边三角形．∴OA＝3，∠AOB＝60°.∴∠BOC＝120°.∴图中阴影部分的面积＝S△AOB＋S扇形BOC＝34×32＋120·π·32360＝934＋3π.贵阳中考考点清单点与圆的位置关系(设r为圆的半径，d为点到圆心的距离)直线与圆的位置关系(设r为圆的半径，d为圆心到直线的距离)切线的性质与判定1．判定切线的方法有三种(1)直线和圆有__唯一__的公共点时，这条直线是圆的切线；(2)到圆心的距离等于__半径__的直线是圆的切线；(3)过半径外端且__垂直__于这条半径的直线是圆的切线．2．切线的五个性质(1)切线与圆只有__一个__公共点；(2)切线到圆心的距离等于圆的__半径__；(3)圆的切线垂直于过切点的__半径__；(4)过圆心垂直于切线的直线必过__切点__；(5)过切点垂直于切线的直线必过__圆心__．3．切线判定中常作的辅助线(1)能确定直线和圆有公共点，作__半径__，证__垂直__；(2)不能确定直线和圆是否有公共点，作__垂直__，证__半径__．切线长定理4．过圆外一点画圆的切线，这点和__切点__之间的线段长，叫做这点到圆的切线长．过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长__相等__，这一点和圆心的连线平分两条切线的__夹角__．三角形的外心和内心5．三角形的外心三角形外接圆的圆心，是三角形__三边垂直平分线__的交点，到三角形三个顶点的距离__相等__．6．三角形的内心三角形内切圆的圆心，是三角形__三条角平分线__的交点，到三角形三边的距离__相等__．方法点拨(1)判断直线与圆相切时：①直线与圆的公共点已知时，连半径证垂直；②直线与圆的公共点未知时，过圆心作直线的垂线证垂线段等于半径．(2)利用切线的性质解决问题，通常连过切点的半径，构造直角三角形来解决．(3)直角三角形的外接圆与内切圆半径的求法：若a ，b 是Rt △ABC 的两条直角边，c 为斜边，直角三角形的外接圆半径R ＝c 2；直角三角形的内切圆半径r ＝a ＋b －c2.中考典题精讲精练点、直线与圆的位置关系例1 如图，在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点)，如果以点A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点A 外恰好有3个在圆内，则r 的取值范围为( B )A ．22＜r ＜17B .17＜r ＜3 2C .17＜r ＜5D ．5＜r ＜29【解析】利用勾股定理求出各格点到点A 的距离，合点与圆的位置关系，即可得出结论．1.Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3 cm ，BC ＝4 cm ，以C 为圆心，r 为半径作圆，若⊙C 与直线AB 相切，则r 的值为( B )A ．2 cmB ．2.4 cmC ．3 cmD ．4 cm2.一个圆的圆心在坐标原点，其半径为7，则下列各点在这个圆的圆外的是( D )A ．(3，4)B ．(4，4)C ．(4，5)D ．(4，6)3．已知⊙O 和三点P ，Q ，R ，⊙O 的半径为3，OP ＝2，OQ ＝3，OR ＝4，经过这三点中的一点任意作直线总是与⊙O 相交，这个点是( A )A ．PB ．QC ．RD ．P 或Q切线的性质与判定例2 如图，已知⊙O 的直径 CD ＝6，A ，B 为圆周上两点，且四边形OABC 是平行四边形，过点A 作直线EF ∥BD ，分别交CD ，CB 的延长线于点E ，F ，AO 与BD 交于点G. (1)求证：EF 是⊙O 的切线； (2)求AE 的长．【解析】(1)已知OA 为⊙O 的半径，由CD 为⊙O 的直径、平行四边形的性质、EF∥BD 可得OA⊥EF.故EF 是⊙O 的切线；(2)连接OB.先证△OBC 为等边三角形，再利用平行线的性质得∠AOE＝∠C ＝60°.在Rt △OAE 中，OA ＝12CD ＝6，利用正切的定义可求出AE 的长．【答案】(1)证明：∵CD 为⊙O 的直径，∴∠DBC ＝90°. ∴BD ⊥BC.∵四边形OABC 是平行四边形， ∴AO ∥BC.∴BD⊥OA. ∵EF ∥BD ，∴OA ⊥EF. ∴EF 是⊙O 的切线； (2)解：连接OB ，如图．∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OA ＝BC ，OA ∥BC.∵OB ＝OC ＝OA ，∴OB ＝OC ＝BC. ∴△OBC 为等边三角形．∴∠C＝60°. ∴∠AOE ＝∠C＝60°. 在Rt △OAE 中，tan ∠AOE ＝AE OA， ∴AE ＝3 tan 60°＝3 3.,4．(2018·包头中考)如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的切线与BA 的延长线交于点D ，点E 在BC ︵上(不与点B ，C 重合)，连接BE ，CE.若∠D＝40°，则∠BEC＝__115__度．5．(2014·贵阳中考)如图，PA ，PB 分别与⊙O 相切于点A ，B ，∠APB ＝60°，连接AO ，BO.(1)AB ︵所对的圆心角∠AOB＝______； (2)求证：PA ＝PB ；(3)若OA ＝3，求阴影部分的面积．(1)解：120°； (2)证明：连接OP.在Rt △OAP 和Rt △OBP 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OB ，OP ＝OP ，∴Rt △OAP ≌Rt △OBP.∴PA ＝PB ； (3)解：∵Rt △OAP ≌Rt △OBP ， ∴∠OPA ＝∠OPB＝12∠APB＝30°.在Rt △OAP 中，OA ＝3，∠OPA ＝30°， ∴AP ＝3 3.∴S △OPA ＝12×3×33＝932.∴S 阴影＝2×932－120·π·32360＝93－3π.。

第三节 正多边形与圆的有关计算(时间：45分钟)1．(2018·宁波中考)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，AB ＝4，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交边AB 于点D ，则CD ︵的长为( C )A .16πB .13πC .23πD .233π2．(2018·黄石中考)如图，AB 是⊙O 的直径，点D 为⊙O 上一点，且∠ABD＝30°，BO ＝4，则BD ︵的长为( D )A .23πB .43πC ．2πD .83π3．如图，△ABC 内接于⊙O，∠A ＝60°，BC ＝63，则BC ︵的长为( B )A ．2πB ．4πC ．8πD ．12π4．(2018·遵义模拟)如图，在△AB C 中，∠C ＝90°，AC ＞BC ，若以AC 为底面圆半径，BC 为高的圆锥的侧面积为S 1，以BC 为底面圆半径，AC 为高的圆锥的侧面积为S 2，则( B )A ．S 1＝S 2B ．S 1＞S 2C ．S 1＜S 2D ．S 1，S 2的大小关系不确定5．(2018·温州中考)已知扇形的弧长为2π，圆心角为60°，则它的半径为__6__．6．(2018·湖州中考)如图，已知AB 是⊙O 的直径，C ，D 是⊙O 上的点，OC ∥BD ，交AD 于点E ，连接B C . (1)求证：AE ＝ED ；(2)若AB ＝10，∠CBD ＝36°，求AC ︵的长．(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°. ∵OC ∥BD ，∴∠AEO ＝∠ADB＝90°， 即OC⊥AD. ∴AE ＝ED ；(2)解：∵OC⊥AD，∴AC ︵＝CD ︵. ∴∠ABC ＝∠CBD＝36°.∴∠AOC ＝2∠ABC＝2×36°＝72°. ∴AC ︵的长为72π×5180＝2π.7．(2018·湖州中考)尺规作图特有的魅力曾使无数人沉湎其中．传说拿破仑通过下列尺规作图考他的大臣： ①将半径为r 的⊙O 六等分，依次得到A ，B ，C ，D ，E ，F 六个分点； ②分别以点A ，D 为圆心，AC 长为半径画弧，G 是两弧的一个交点； ③连接OG.问：OG 的长是多少？大臣给出的正确答案应是( D )A .3rB .⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22r C .⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32r D .2r8．如图，四边形OABC 为菱形，点B ，C 在以点O 为圆心的EF ︵上，若OA ＝1，∠1＝∠2，则扇形OEF 的面积为( C )A .π6B .π4C .π3D .2π39．如图，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形(阴影部分)外轮廓线的周长是( B )A ．7B ．8C ．9D ．1010．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AB ＝8，BC ＝12，分别以AB ，AC 为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是( D )A ．64π－127B ．16π－32C ．16π－247D ．16π－12711．(2018·毕节模拟)如图，把正六边形各边按同一方向延长，使延长的线段与原正六边形的边长相等，顺次连接这六条线段外端点可以得到一个新的正六边形，重复上述过程，经过10次后，所得到的正六边形是原正六边形边长的__243__倍．12．(2018·株洲中考)如图，正五边形ABCDE 和正三角形AMN 都是⊙O 的内接多边形，则∠BOM＝__48°__．13．(2018·临沂中考)如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝5 cm .能够将△ABC 完全覆盖的最小圆形纸片的直径是3cm .14．(2018·德州中考)如图，AB 是⊙O 的直径，直线CD 与⊙O 相切于点C ，且与AB 的延长线交于点E.点C 是BF ︵的中点．(1)求证：AD⊥CD；(2)若∠CAD＝30°，⊙O 的半径为3，一只蚂蚁从点B 出发，沿着BE －EC －CB ︵爬回至点B ，求蚂蚁爬过的路程(π≈3.14，3≈1.73，结果保留一位小数)．(1)证明：连接OC.∵直线CD 是⊙O 的切线，∴OC⊥CD. ∴∠OCE ＝90°. ∵点C 是BF ︵的中点， ∴∠CAD ＝∠CAB.∵OA ＝OC ，∴∠CAB ＝∠ACO. ∴∠CAD ＝∠ACO.∴AD∥CO. ∴∠ADC ＝∠OCE＝90°.∴AD ⊥CD ； (2)解：∵∠CAD＝30°， ∴∠CAB ＝∠CAD＝30°. ∴∠COE ＝2∠CAB＝60°.∵直线CD 是⊙O 的切线，∴OC ⊥CD.∴∠OCE ＝90°，∴∠E ＝180°－90°－60°＝30°. ∵OC ＝3，∴OE ＝2OC ＝6.∴CE＝3OC ＝3 3. ∴BE ＝OE －OB ＝3. ∴BC ︵的长l ＝60π×3180＝π.∴蚂蚁爬过的路程为3＋33＋π≈11.3.。