抽象函数定义域的四种类型

抽象函数定义域三种题型及解法抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说有一定难度，特别是其定义域，大多数学生解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的四种题型及求法．一、已知f (x )的定义域，求f [g (x )]的定义域其解法是：若f (x )的定义域为a ≤x ≤b ，则f [g (x )]中a ≤g (x )≤b ，从中解得x 的取值范围即为f [g (x )]的定义域．例1 已知函数f (x )的定义域为[－1，5]，求f (x 2－3x －5)的定义域．分析：这个函数是由u ＝x 2－3x －5和f (u )构成的复合函数，其中x 是自变量，u (或x 2－3x －5)是中间变量，由于f (x )，f (u )是同一个函数，因此这里是已知－1≤u ≤5，即－1≤x 2－3x －5≤5，要求x 的取值范围．解：由－1≤x 2－3x －5≤5，得223100340x x x x ⎧--≤⎪⎨--≥⎪⎩，即254 1x x x -≤≤⎧⎨≥≤-⎩或 ∴－2≤x ≤－1或4≤x ≤5．∴函数f (x 2－3x －5)的定义域是[－2，－1]∪[4，5]．二、已知f [g (x )]的定义域，求f (x )的定义域其解法是：若f [g (x )]的定义域为m ≤x ≤n ，则由m ≤x ≤n 确定g (x )的范围即为f (x )的定义域．例2 已知函数f (x 2－2x ＋2)的定义域是[0，3]，求函数f (x )的定义域．分析：设u ＝x 2－2x ＋2，则f (x 2－2x ＋2)＝f (u ),由于f (u )，f (x )是同一函数，因此这里是已知0≤x ≤3，求x 2－2x ＋2的取值范围.解：由0≤x ≤3，得－1≤x －1≤2，即0≤(x －1)2≤4，1≤(x －1)2＋1≤5即1≤x 2－2x ＋2≤5．设u ＝x 2－2x ＋2，则f (x 2－2x ＋2)＝f (u )，又f (u )与f (x )是同一个函数，1≤u ≤5，即是1≤x ≤5．∴f (x ) 的定义域是[1，5]．三、已知f [g (x )]的定义域，求f [h (x )]的定义域其解法是：可先由f [g (x )]定义域求得f (x )的定义域，再由f (x )的定义域求得f [h (x )]的定义域．例3 若函数f (x +1)的定义域为[－21，2]，求f (x 2)的定义域． 分析：已知f (x +1)的定义域为[－21，2]，x 满足－21≤x ≤2，于是21＜x ＋1＜3，得到f (x )的定义域，然后f (x 2)的定义域由f (x )的定义域可得．解：先求f (x )的定义域： 由题意知－21≤x ≤2，则21＜x ＋1＜3，即f (x )的定义域为[21，3]， 再求f [h (x )] 的定义域：∴ 21＜x 2＜3，解得－3＜x＜－2或2＜x ＜3． ∴f (x 2)的定义域是{x |－3＜x＜－2或2＜x ＜3}． 四、运算型的抽象函数 求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集．例4 若f (x )的定义域为[－3，5]，求ϕ(x )＝f (－x )＋f (x 2)的定义域．解：由f (x )的定义域为[－3，5]，则ϕ(x )必有23535x x -≤-≤⎧⎨-≤≤⎩，即53x x -≤≤⎧⎪⎨≤⎪⎩x所以函数ϕ(x )的定义域为[．。

根据抽象函数定义域的四类分类，给出10个示例。

根据抽象函数定义域的四类分类，给出10个示例抽象函数定义域的分类可以根据不同的特征进行划分。

以下是四类分类的示例：1.数字范围：函数定义域是某个特定的数字范围。

例如，函数$f(x)$在区间$[1.10]$上定义，其中$x$的取值范围是$1$至$10$。

2.离散集合：函数定义域是一个离散的集合，即函数只接受特定的输入值。

例如，函数$g(x)$的定义域是{1.2.3.4.5}，只能接受集合中的元素作为输入。

3.实数集合：函数定义域是实数的全体。

例如，函数$h(x)$的定义域为所有实数，表示$h(x)$可以接受任意实数作为输入。

4.排除特定值：函数定义域包括某些特定的值，但排除了其他某些值。

例如，函数$j(x)$的定义域是所有实数除了$x=0$。

这意味着$j(x)$可以接受任意实数作为输入，除了零。

以下是10个示例：1.$f(x) = 2x + 1$，定义域为整个实数集。

2.$g(x) = \sqrt{x}$，定义域为非负实数。

3.$h(x) = \frac{1}{x}$，定义域为除零外的所有实数。

4.$j(x) = \log(x)$，定义域为正实数。

5.$k(x) = \frac{1}{x-2}$，定义域为除了$x=2$外的所有实数。

6.$m(x) = x^2$，定义域为整个实数集。

7.$n(x) = \frac{1}{x^2+1}$，定义域为整个实数集。

8.$p(x) = \sin(x)$，定义域为整个实数集。

9.$q(x) = \tan(x)$，定义域为所有不是$\frac{\pi}{2}+k\pi$（$k$为整数）的实数。

10.$r(x) = e^x$，定义域为整个实数集。

这些示例展示了在不同定义域分类下的具体函数示例。

抽象函数定义域的类型及求法 抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说有一定难度，特别是其定义域，大多数学生解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的四种题型及求法．一、已知f (x )的定义域，求f [g (x )]的定义域其解法是：若f (x )的定义域为a ≤x ≤b ，则f [g (x )]中a ≤g (x )≤b ，从中解得x 的取值范围即为f [g (x )]的定义域．例1 已知函数f (x )的定义域为[－1，5]，求f (x 2－3x －5)的定义域．分析：这个函数是由u ＝x 2－3x －5和f (u )构成的复合函数，其中x 是自变量，u (或x 2－3x －5)是中间变量，由于f (x )，f (u )是同一个函数，因此这里是已知－1≤u ≤5，即－1≤x 2－3x －5≤5，要求x 的取值范围．解：由－1≤x 2－3x －5≤5，得223100340x x x x ⎧--≤⎪⎨--≥⎪⎩，即254 1x x x -≤≤⎧⎨≥≤-⎩或 ∴－2≤x ≤－1或4≤x ≤5．∴函数f (x 2－3x －5)的定义域是[－2，－1]∪[4，5]． 二、已知f [g (x )]的定义域，求f (x )的定义域其解法是：若f [g (x )]的定义域为m ≤x ≤n ，则由m ≤x ≤n 确定g (x )的范围即为f (x )的定义域．例2 已知函数f (x 2－2x ＋2)的定义域是[0，3]，求函数f (x )的定义域．分析：设u ＝x 2－2x ＋2，则f (x 2－2x ＋2)＝f (u ),由于f (u )，f (x )是同一函数，因此这里是已知0≤x ≤3，求x 2－2x ＋2的取值范围.解：由0≤x ≤3，得－1≤x －1≤2，即0≤(x －1)2≤4，1≤(x －1)2＋1≤5即1≤x 2－2x ＋2≤5．设u ＝x 2－2x ＋2，则f (x 2－2x ＋2)＝f (u )，又f (u )与f (x )是同一个函数，1≤u ≤5，即是1≤x ≤5．∴f (x ) 的定义域是[1，5]．三、已知f [g (x )]的定义域，求f [h (x )]的定义域其解法是：可先由f [g (x )]定义域求得f (x )的定义域，再由f (x )的定义域求得f [h (x )]的定义域．例3 若函数f (x +1)的定义域为[－21，2]，求f (x 2)的定义域． 分析：已知f (x +1)的定义域为[－21，2]，x 满足－21≤x ≤2，于是21≤x ＋1≤3，得到f (x )的定义域，然后f (x 2)的定义域由f (x )的定义域可得．解：先求f (x )的定义域： 由题意知－21≤x ≤2，则21≤x ＋1≤3，即f (x )的定义域为[21，3]， 再求f [h (x )] 的定义域：∴ 21≤x 2≤3，解得－3≤x≤－2或2≤x ≤3． ∴f (x 2)的定义域是{x |－3≤x≤－2或2≤x ≤3}． 四、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集．例4 若f (x )的定义域为[－3，5]，求ϕ(x )＝f (－x )＋f (x 2)的定义域．解：由f (x )的定义域为[－3，5]，则ϕ(x )必有 23535x x -≤-≤⎧⎨-≤≤⎩，即53x x -≤≤⎧⎪⎨≤⎪⎩x所以函数ϕ(x )的定义域为[]．。

常见抽象函数类型及解题策略没有给出具体解析式的函数()x f y =，称为抽象函数。

抽象函数问题将函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数、周期性等性质和图象集于一身，所以这类问题可以全面综合考查我们对于函数概念和性质的理解。

常见抽象函数类型 具体函数()()()c y f x f y x f +±=±（c 为常数） b kx y +=()()()y f x f xy f =αx y = ()()()y f x f xy f ±= x y a log =()()()y f x f y x f ⋅=±x a y = ()()n x f x f +=（n 为周期） x y sin =，x y cos =，x y tan =. 常用方法：①特殊值法，如()()()1,1,0-f f f ；②“凑”（转化）的方法；③同时借助于函数的单调性、奇偶性等性质.例题：一，()()()c y f x f y x f +±=±型 （b kx y +=）1，函数()x f 的定义域为R ，R y x ∈∀,，有()()()y f x f y x f +=+；且当0)(0<>x f x 时，，且()21-=f ，求()x f 在区间[]3,3-上的最大值和最小值. 2，函数()x f ，R y x ∈∀,，满足条件()()()y x f y f x f ++=+2；2)(0>>x f x 时，； ()53=f ，求不等式()3222<--a a f 的解.二，()()()y f x f xy f =型 （αx y =）3，函数()x f ，R y x ∈∀,，满足()()()y f x f xy f =，且()00≠f ，试判断()x f 的奇偶性.三，()()()y f x f xy f ±=型 （x y a log =）4，已知()x f 的定义域为R ，R y x ∈∀,，()()()y f x f xy f +=.求证：()x f 是偶函数.5，()x f 是定义在()+∞,0上的单调增函数，满足()()()y f x f xy f +=，()13=f ， ① 求()1f ； ② 若()()28≤-+x f x f ，求x 的取值范围. 四，()()()y f x f y x f ⋅=±型 （x a y =）6，函数()x f ，R y x ∈∀,，满足()0≠x f ，()()()y f x f y x f ⋅=+，且当时，0<x ()1>x f ，求当时，0>x ()x f 的取值范围.五，()()n x f x f += （x y sin =，x y cos =，x y tan =.）7，()x f 是定义在R 上的函数，()()()x f x f x f -+=+112，又()221+=f ，求()2001f . 8，函数()x f ，R y x ∈∀,，满足()()()()y f x f y x f y x f 2=-++，并存在实数c ，使得02=⎪⎭⎫ ⎝⎛c f ，试问()x f 是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由.。

抽象函数的定义域类型一. 已知函数y =f (x )的定义域是（a ，b ），求f [g (x )]的定义域.1. 已知函数y =f （x ）定义域是[-2，3]，则y =f （2x -1）的定义域是（ ）.A. [0,52]B. [−1,4]C. [−12,2]D. [−5,5]2. 如果函数f(x)的定义域为，那么函数f(2x +3)的定义域为( )A. [−2,0]B. [1,9]C. [−1,3]D. [−2,9]3. 函数f （x ）的定义域为[0，2]，则函数f （x 2）的定义域是 （ ）A. [−2,2]B. [−√2,√2]C. [0,2]D. [0,4]4. 已知函数f （x ）的定义域为（0，2]，函数f （√x +1）的定义域为（ ）A. [−1,+∞)B. (−1,3]C. [√5,3)D. (0,√5)类型二. 已知函数y =f [g (x )]的定义域是（a ，b ），求f(x )的定义域.1.若函数f （2x -1）的定义域为[-3，3]，则函数f （x ）的定义域为______ ．2.已知f (2x ＋5)的定义域为[－1，4]，求函数f (x )的定义域．3.若(2)y f x =+的定义域是(1,3]，求()y f x =的定义域．4.已知的定义域为，则的定义域是 .5.已知函数32f x 的定义域为1,2，求函数f x 的定义域.)2(2-x f []2,3-)(x f类型三、 已知函数y =f (h (x ))的定义域是（a ，b ），求f [g (x )]的定义域.1. 已知函数(21)f x -的定义域为[0,1]，求函数(13)f x -的定义域.2.已知函数(1)y f x =+定义域是[2,3]-，则(21)y f x =-的定义域是（ ）A ．5[0]2， B ．[14]-，C ．[55]-，D ．[37]-，3.已知f （x 2-1）定义域为[0，3]，则f （2x -1）的定义域为（ ）A. (0,92)B. [0,92]C. (−∞,92)D. (−∞,92]4.若函数f （x 2-1）的定义域为[-1，2]，则函数f （x +1）的定义域为______．类型四、运算型的抽象函数1.若函数)(x f y =的定义域为[-1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域2.若函数y =f （x ）的定义域是（0，4]，则函数g （x ）=f （x ）+f （x 2）的定义域是（ ）A. (0,2]B. (0,4]C. (0,16]D. [−16,0)∪(0,16]3.若函数f （x ）的定义域是[0，1]，则函数f （2x ）+f （x +13）的定义域为（ ）A. [−13,23]B. [−13,12]C. [0,12]D. [0,13]4.若函数y=f（x）的定义域[0，3]，则函数g（x）=f(3x)x−1的定义域是______ ．5.若函数y=f（x）的定义域是[0，3]，则函数g（x）=f(x+1)x−2的定义域是（）A. [−1,2)B. [0,2)C. [−1,2]D. [0,2)∪(2,3]6.已知函数y=f（x）的定义域[-8，1]，则函数g（x）=f(2x+1)x+2的定义域是（）A. (−∞,−2)∪(−2,3]B. [−8,−2)∪(−2,1]C. [−92,−2)∪(−2,0] D. [−92,−2]参考答案:类型一答案1.【答案】C【解析】本题考查复合函数定义域的求解,是基础题.根据复合函数定义域之间的关系得-2≤2x-1≤3,计算得结论．【解答】解：因为函数y=f（x）定义域是[-2，3]，所以-2≤2x-1≤3，解得-≤x≤2，因此函数y=f（2x-1）的定义域为[-，2].故选C．2.【答案】A【解析】本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，其中熟练掌握抽象函数定义域求解时“一不变（括号里整体的取值范围不变），应万变”的原则是解答此类问题的关键．根据函数f（x）的定义域为[-1，3]，进而求出函数f（2x+3）的定义域即可．【解答】解：∵-1≤x≤3，∴-1≤2x+3≤3，∴-2≤x≤0，故选：A．3.【答案】B【解析】解：∵f（x）的定义域为[0，2]，∴在f（x2）中0≤x2≤2，∴故选：B．要求函数的定义域，就是求函数式中x的取值范围．本题考查函数的定义域并且是抽象函数的定义域，本题解题的关键是不管所给的是函数是什么形式只要使得括号中的部分范围一致即可．4.【答案】B【解析】定义域是自变量x的取值范围所组成的集合，所以，我们要求出中x的取值范围．首先考虑要满足的条件即x+1≥0．其次x和的范围一致，即，进而求出x 的范围.复合函数的定义域是经常被考查的，所以要理解其解题时要注意的问题． 【解答】解：由函数的定义域得， 又∵要满足x+1≥0 综合得-1＜x≤3 故选B ．类型二答案1.【答案】[-7，5] 【解析】解：∵-3≤x≤3， ∴-7≤2x -1≤5，故答案为：[-7，5]．函数f （2x-1）的定义域为[-3，3]，从而求出2x-1的范围，进而得出答案． 本题考查了函数的定义域问题，是一道基础题．2.解:∵函数f （2x +5）的定义域为[-1，4]， ∴x ∈[-1，4]， ∴2x +5∈[3，13]，故函数f （x ）的定义域为：[3，13]． 【解析】由x ∈[-1，4]，可得2x+5∈[3，13]，可得答案．本题考查了函数的定义域的求法，求复合函数的定义域时，注意自变量的范围的变化，本题属于基础题3.解:(2)y f x =+的定义域是(1,3]，即13x <≤，故325x <+≤，从而()y f x =的定义域为(3,5]．4.解：∵≤≤，∴≤≤，从而≤≤，故的定义域是。

抽象函数定义域的类型及求法抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难度，特别是求其定义域时，许多同学解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法．一、已知()f x 的定义域，求[]()f g x 的定义域其解法是：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．例1 已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．分析：该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围．解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033x ∴≤≤． 故函数(35)f x -的定义域为41033⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 二、已知[]()f g x 的定义域，求()f x 的定义域其解法是：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为()f x 的定义域．例2 已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域． 分析：令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，由于()f u 与()f x 是同一函数，因此u 的取值范围即为()f x 的定义域． 解：由03x ≤≤，得21225x x -+≤≤．令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，15u ≤≤．故()f x 的定义域为[]15，．三、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集．例３ 若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域．解：由()f x 的定义域为[]35-，，则()x ϕ必有353255x x --⎧⎨-+⎩，，≤≤≤≤解得40x -≤≤． 所以函数()x ϕ的定义域为[]40-，．。

抽象函数定义域的种类和求解方式抽象函数是数学中的一个重要概念。

它是指能够对给定的输入值产生唯一的对应输出值的一种关系。

抽象函数的定义域是指输入值的集合，决定了函数的有效输入范围。

在数学中，抽象函数的定义域可以分为以下几种类型，并且每种类型有不同的求解方式。

1.实数集：实数集是最常见的抽象函数定义域类型。

在实数集中，函数可以接受任何实数作为输入。

求解实数集作为定义域的抽象函数的方式通常是将输入值代入函数表达式中进行计算。

例如，考虑函数f(x)=√x，实数集作为其定义域。

如果我们想求解f(4)，只需将4代入函数表达式中，得到f(4)=√4=22.自然数集：自然数集是正整数（包括0）的集合。

在抽象函数中使用自然数集作为定义域通常是为了描述一些计数或离散的现象。

求解自然数集作为定义域的抽象函数的方式是将自然数代入函数表达式中进行计算。

例如，考虑函数g(n)=n^2，自然数集作为其定义域。

如果我们想求解g(3)，只需将3代入函数表达式中，得到g(3)=3^2=93.整数集：整数集是包括正整数、负整数和0的集合。

在抽象函数中使用整数集作为定义域通常是为了描述带有正负号的现象。

求解整数集作为定义域的抽象函数的方式和自然数集类似，将整数代入函数表达式中进行计算。

例如，考虑函数h(m)=2m，整数集作为其定义域。

如果我们想求解h(-2)，只需将-2代入函数表达式中，得到h(-2)=2*(-2)=-44.空集：空集是不包含任何元素的集合，因此抽象函数的定义域为空集时，表示函数没有输入值，也就是无效的函数。

求解空集作为定义域的抽象函数没有可行的方式，因为没有输入值可以代入函数表达式进行计算。

总结起来，抽象函数的定义域可以是实数集、自然数集、整数集或空集。

求解求解不同类型定义域的抽象函数的方式取决于具体的函数表达式和输入值的类型，通常是将输入值代入函数表达式中进行计算。

需要注意的是，对于一些定义域为离散集合的抽象函数，也可以通过列出给定输入值的输出值来进行求解。

给出10个根据抽象函数定义域四种类型
分类的例子。

给出10个根据抽象函数定义域的四种类型分类的例子
1. 数值范围：例如，一个函数定义域为所有实数的平方根，即
f(x) = √x，其中x是非负实数。

2. 整数范围：例如，一个函数定义域为整数集合的绝对值函数，即f(x) = |x|，其中x是整数。

3. 实数范围：例如，一个函数定义域为实数集合的正弦函数，
即f(x) = sin(x)，其中x是实数。

4. 集合范围：例如，一个函数定义域为复数集合的共轭函数，
即f(z) = z*，其中z是复数。

5. 时间范围：例如，一个函数定义域为时间集合的温度函数，
即f(t) = 温度，其中t是时间。

6. 人口范围：例如，一个函数定义域为城市人口集合的平均年
龄函数，即f(city) = 平均年龄，其中city是城市。

7. 技能范围：例如，一个函数定义域为员工技能集合的工作满
意度函数，即f(employee) = 满意度，其中employee是员工。

8. 学科范围：例如，一个函数定义域为学生科目集合的成绩函数，即f(student) = 成绩，其中student是学生。

9. 英雄范围：例如，一个函数定义域为英雄角色集合的攻击力
函数，即f(hero) = 攻击力，其中hero是英雄角色。

10. 商品范围：例如，一个函数定义域为商品集合的价格函数，即f(item) = 价格，其中item是商品。

以上是根据四种类型分类的10个例子，用于说明函数定义域
的不同范围。

抽象函数定义域的类型及求法抽象函数是指没有给出具体解析式，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数。

刚上高中的学生在求抽象函数定义域时，总感棘手。

下面结合实例具体介绍一抽象函数定义域问题的几种题型及求法。

需要指出的是，函数的定义域，均指自变量x 的取值范围。

一、已知()f x 的定义域，求[]()f g x 的定义域其解法是：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．例1 已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．分析：该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围．解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033x ∴≤≤．故函数(35)f x -的定义域为41033⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 二、已知[]()f g x 的定义域，求()f x 的定义域其解法是：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为()f x 的定义域．例2 已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域． 分析：令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，由于()f u 与()f x 是同一函数，因此u 的取值范围即为()f x 的定义域． 解：由03x ≤≤，得21225x x -+≤≤．令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，15u ≤≤．故()f x 的定义域为[]15，．三、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集．例３ 若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域．解：由()f x 的定义域为[]35-，，则()x ϕ必有353255x x --⎧⎨-+⎩，，≤≤≤≤解得40x -≤≤． 所以函数()x ϕ的定义域为[]40-，．有同学反映，昨天上数学课讲解的关于定义域的求法，上课听懂了(其实我认为根本没有真正的懂)，但是不会做题，为此我把本节课的内容换个角度（用换元法）讲解一下，希望你能彻底理解。

抽象函数定义域的四种类型
抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数。

对于同学们来说，抽象函数的定义域问题有一定难度。

下面结合具体实例介绍一下抽象函数定义域问题的四种类型及求法。

一、已知函数的定义域为A，求函数f(x+a)的定义域。

解法：若f(x)的定义域为A，则f(x+a)的定义域为A-a。

二、已知函数f(x)的定义域为A，求函数g(x)=f(ax+b)的定义域。

解法：若f(x)的定义域为A，则g(x)的定义域为(b-A)/a到(b+A)/a之间的实数集。

例2.已知函数f(x)的定义域为[-1,1]，求函数g(x)=f(2x-1)的定义域。

解：由f(x)的定义域得出f(2x-1)的定义域为[0,1]，故g(x)
的定义域为[0,1]。

三、已知函数f(x)的定义域为A，求函数g(x)=f(1/x)的定
义域。

解法：可先由f(x)的定义域求得1/x的定义域为(-
∞,0)U(0,+∞)，再求f(1/x)的定义域为x≠0时的A。

例3.函数f(x)的定义域是(-∞,-1)U(1,+∞)，求函数
g(x)=f(x^2-1)的定义域。

解：先求f(x^2-1)的定义域是x^2-11，即x√2.因此g(x)的
定义域是(-∞,-√2)U(√2,+∞)。

四、求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域。

解法：先求出各个函数的定义域，再求交集。

例4.已知函数f(x)的定义域为[-1,1]，求函数g(x)=f(x^2-1)的定义域。

解：由f(x)的定义域得出x^2-1的定义域为[-1,1]，故g(x)的定义域为[-1,-√2)U(√2,1]。

高考抽象函数知识点在高考数学考试中，抽象函数是一个重要的知识点。

抽象函数是指一种基于已知函数或关系的新函数或关系，通过对已知函数或关系进行适当的变换和组合得到。

了解抽象函数的概念和相关性质，能够帮助我们更好地理解函数的运算规律和求解问题的方法。

本文将介绍高考中常见的抽象函数知识点，以帮助同学们复习和备考。

一、抽象函数的定义及性质抽象函数的定义：已知函数f(x)，通过对其进行变换得到一个新函数g(x)，则我们称g(x)为f的抽象函数。

常见的抽象函数形式包括：f(ax+b)，f(g(x))，f(x)+g(x)，f(x)g(x)等。

其中，a和b是常数，g(x)是另外一个函数。

抽象函数的性质：1. 抽象函数的定义域和值域：对于抽象函数g(x)，如果f(x)的定义域为D，那么g(x)的定义域也是D。

同样地，如果f(x)的值域为R，那么g(x)的值域也是R。

2. 抽象函数的奇偶性：对于抽象函数g(x)，如果f(x)是奇函数，那么g(x)也是奇函数；如果f(x)是偶函数，那么g(x)也是偶函数。

3. 抽象函数的图像变换：对于抽象函数g(x)，如果f(x)的图像关于y轴对称，那么g(x)的图像关于y轴对称；如果f(x)的图像关于x轴对称，那么g(x)的图像关于x轴对称。

二、抽象函数的应用抽象函数在高考数学中有许多应用，下面列举几个典型例子。

1. 抽象函数与复合函数：已知f(x) = x^2，求g(x) = f(2x+1)的解析式。

根据抽象函数的定义，将f(x) = x^2代入g(x) = f(2x+1)中，得到g(x) = (2x+1)^2。

2. 抽象函数与乘积：已知f(x) = x^2，g(x) = 3x，求h(x) = f(x)g(x)的解析式。

将f(x)和g(x)代入h(x) = f(x)g(x)中，得到h(x) = x^2 * 3x =3x^3。

3. 抽象函数与复合关系式：已知f(x) = x^2，g(x) = 3x，求f(g(2))的值。

f(x)是函数的符号，它代表函数图象上每一个点的纵坐标的数值，因此函数图像上所有点的纵坐标构成一个集合，这个集合就是函数的值域。

x是自变量，它代表着函数图象上每一点的横坐标，所有横坐标的数值构成的集合就是函数的定义域。

f是对应法则的代表，它可以由f(x)的解析式决定。

例如：f(x)=x^2+1,f代表的是把自变量x先平方再加1。

x2+1的取值范围（x2+1≥1）就是f(x)=x2+1的值域。

如果说你弄清了上述问题，仅仅是对函数f(x)有了一个初步的认识，我们还需要对f(x)有更深刻的了解。

我们可以从以下几个方面来认识f(x)。

第一：对代数式的认识。

每一个代数式它的本质就是一个函数。

像x2-1这个代数式，它就是一个函数，其自变量是x，对x的每一个值x2-1都有唯一的值与之对应，所以x2-1的所有值的集合就是这个函数的值域。

第二：对抽象数的认识，对于一个没有具体解析式的抽象函数，由于我们不知道它的具体对应法则也难以知道它的自变、定义域、值域，很难理解它的符号及其意义。

例如：f(x+1)的自变量是什么呢？它的对应法则还是f吗？f(x+1)的自变量是x,它的对应法则不是f。

我们不妨作如下假设，如果f(x)=x2+1,那么f(x+1)=(x+1)2+1,f(x+1)与（x+1)2+1这个代数式相等，即：（x+1)2+1的自变量就是f(x+1)的自变量。

(x+1)2+1的对应法则是先把自变量加1再平方，然后再加上1。

再如，f(x)与f(t)是同一个函数吗？只须列举一个特殊函数说明。

显然，f(x)与f(t)它们的对应法则是相同的，如果x的取值范围与t的取值范围是相同的，则f(x)与f(t)就是相同的函数，否则，它们就是对应法则相同而定义域不同的函数了。

例:设 f(x+ )=x2+ ，求f(x)设x+ =t=>t2—2=x2+ 所以f(t)=t2—2， f(x)=x2—2 而f(x)与f(t)必须x与t的取值范围相同，才是相同的函数，由t=x+ 可知t≥2或t≤—2 所以f(x)=x2—2，（x≥2或x≤2）第三：对函数f(x)定义域的认识如果一个函数是具体的，它的定义域我们不难理解。

抽象函数定义域的类型及求法 抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难度，特别是求其定义域时，许多同学解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法．一、已知()f x 的定义域，求[]()f g x 的定义域其解法是：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．例1 已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域． 分析：该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围．解：()f x Q 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033x ∴≤≤． 故函数(35)f x -的定义域为41033⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 二、已知[]()f g x 的定义域，求()f x 的定义域其解法是：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为()f x 的定义域．例2 已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域． 分析：令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，由于()f u 与()f x 是同一函数，因此u 的取值范围即为()f x 的定义域．解：由03x ≤≤，得21225x x -+≤≤．令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，15u ≤≤．故()f x 的定义域为[]15，．三、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集．例３ 若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域． 解：由()f x 的定义域为[]35-，，则()x ϕ必有353255x x --⎧⎨-+⎩，，≤≤≤≤解得40x -≤≤． 所以函数()x ϕ的定义域为[]40-，．。