抽象函数定义域三种题型及解法

抽象函数常见题型解法概述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。

本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题例1. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。

解：)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x ,从而函数f （x ）的定义域是［1，4］评析：一般地，已知函数))((x f ϕ的定义域是A ，求f （x ）的定义域问题，相当于已知))((x f ϕ中x 的取值范围为A ，据此求)(x ϕ的值域问题。

例 2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 21x f -的定义域。

解：)(x f 的定义域是]21[，-，意思是凡被f 作用的对象都在]21[，-中，由此可得4111)21(3)21(2)3(log 11221≤≤⇒≤-≤⇒≤-≤--x x x所以函数)]3([log 21x f -的定义域是]4111[，评析：这类问题的一般形式是：已知函数f （x ）的定义域是A ，求函数))((x f ϕ的定义域。

正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。

这类问题实质上相当于已知)(x ϕ的值域B ，且A B ⊆，据此求x 的取值范围。

例2和例1形式上正相反。

二、求值问题例3. 已知定义域为()0,+∞的函数f （x ），同时满足下列条件：①51)6(1)2(==f f ，；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f （3），f （9）的值。

解：取32==y x ，，得)3()2()6(f f f +=因为51)6(1)2(==f f ，，所以54)3(-=f 又取3==y x ,得58)3()3()9(-=+=f f f 评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取32==y x ，，这样便把已知条件51)6(1)2(==f f ，与欲求的f （3）沟通了起来。

抽象函数常见题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。

本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题例1. 已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。

解：)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x从而函数f （x ）的定义域是［1，4］评析：一般地，已知函数))((x f ϕ的定义域是A ，求f （x ）的定义域问题，相当于已知))((x f ϕ中x 的取值范围为A ，据此求)(x ϕ的值域问题。

例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21[，-，求函数)]3([log 21x f -的定义域。

解：)(x f 的定义域是]21[，-，意思是凡被f 作用的对象都在]21[，-中，由此可得4111)21(3)21(2)3(log 11221≤≤⇒≤-≤⇒≤-≤--x x x 所以函数)]3([log 21x f -的定义域是]4111[，评析：这类问题的一般形式是：已知函数f （x ）的定义域是A ，求函数))((x f ϕ的定义域。

正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。

这类问题实质上相当于已知)(x ϕ的值域B ，且A B ⊆，据此求x 的取值范围。

例2和例1形式上正相反。

二、求值问题例3. 已知定义域为+R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①51)6(1)2(==f f ，；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f （3），f （9）的值。

解：取32==y x ，，得)3()2()6(f f f += 因为51)6(1)2(==f f ，，所以54)3(-=f 又取3==y x 得58)3()3()9(-=+=f f f 评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取32==y x ，，这样便把已知条件51)6(1)2(==f f ，与欲求的f （3）沟通了起来。

抽象函数定义域的类型及求法 抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说有一定难度，特别是其定义域，大多数学生解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的四种题型及求法．一、已知f (x )的定义域，求f [g (x )]的定义域其解法是：若f (x )的定义域为a ≤x ≤b ，则f [g (x )]中a ≤g (x )≤b ，从中解得x 的取值范围即为f [g (x )]的定义域．例1 已知函数f (x )的定义域为[－1，5]，求f (x 2－3x －5)的定义域．分析：这个函数是由u ＝x 2－3x －5和f (u )构成的复合函数，其中x 是自变量，u (或x 2－3x －5)是中间变量，由于f (x )，f (u )是同一个函数，因此这里是已知－1≤u ≤5，即－1≤x 2－3x －5≤5，要求x 的取值范围．解：由－1≤x 2－3x －5≤5，得223100340x x x x ⎧--≤⎪⎨--≥⎪⎩，即254 1x x x -≤≤⎧⎨≥≤-⎩或 ∴－2≤x ≤－1或4≤x ≤5．∴函数f (x 2－3x －5)的定义域是[－2，－1]∪[4，5]． 二、已知f [g (x )]的定义域，求f (x )的定义域其解法是：若f [g (x )]的定义域为m ≤x ≤n ，则由m ≤x ≤n 确定g (x )的范围即为f (x )的定义域．例2 已知函数f (x 2－2x ＋2)的定义域是[0，3]，求函数f (x )的定义域．分析：设u ＝x 2－2x ＋2，则f (x 2－2x ＋2)＝f (u ),由于f (u )，f (x )是同一函数，因此这里是已知0≤x ≤3，求x 2－2x ＋2的取值范围.解：由0≤x ≤3，得－1≤x －1≤2，即0≤(x －1)2≤4，1≤(x －1)2＋1≤5即1≤x 2－2x ＋2≤5．设u ＝x 2－2x ＋2，则f (x 2－2x ＋2)＝f (u )，又f (u )与f (x )是同一个函数，1≤u ≤5，即是1≤x ≤5．∴f (x ) 的定义域是[1，5]．三、已知f [g (x )]的定义域，求f [h (x )]的定义域其解法是：可先由f [g (x )]定义域求得f (x )的定义域，再由f (x )的定义域求得f [h (x )]的定义域．例3 若函数f (x +1)的定义域为[－21，2]，求f (x 2)的定义域． 分析：已知f (x +1)的定义域为[－21，2]，x 满足－21≤x ≤2，于是21≤x ＋1≤3，得到f (x )的定义域，然后f (x 2)的定义域由f (x )的定义域可得．解：先求f (x )的定义域： 由题意知－21≤x ≤2，则21≤x ＋1≤3，即f (x )的定义域为[21，3]， 再求f [h (x )] 的定义域：∴ 21≤x 2≤3，解得－3≤x≤－2或2≤x ≤3． ∴f (x 2)的定义域是{x |－3≤x≤－2或2≤x ≤3}． 四、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集．例4 若f (x )的定义域为[－3，5]，求ϕ(x )＝f (－x )＋f (x 2)的定义域．解：由f (x )的定义域为[－3，5]，则ϕ(x )必有 23535x x -≤-≤⎧⎨-≤≤⎩，即53x x -≤≤⎧⎪⎨≤⎪⎩x所以函数ϕ(x )的定义域为[]．。

抽象函数定义域的四种类型
抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说有一定难度，特别是其定义域，大多数学生解答起来总感棘手。

下面结合具体实例介绍一下抽象函数定义域问题的四种类型及求法。

一、已知的定义域，求的定义域，
其解法是：若的定义域为，则中
，从中解得的取值范围即为的定义域。

例1. 设函数的定义域为，则
（1）函数的定义域为________。

（2）函数的定义域为__________。

解：（1）由已知有，解得
故的定义域为
（2）由已知，得，解得故的定义域为
二、已知的定义域，求的定义域。

其解法是：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。

例2. 已知函数的定义域为，则
的定义域为________。

解：由，得
所以，故填
三、已知的定义域，求的定义域。

其解法是：可先由定义域求得的定义域，再由的定义域求得的定义域。

例3. 函数定义域是，则的定义域是（）
A. B. C. D.
解：先求的定义域
的定义域是
，即
的定义域是
再求的定义域
的定义域是，故应选A
四、运算型的抽象函数
求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。

例4. 已知函数的定义域是，求
的定义域。

解：由已知，有
，即
函数的定义域由确定函数的定义域是。

浅议高中数学中抽象函数问题的解法本文从多个方面介绍了数学抽象函数的应用，特别是从平移的角度说明了抽象函数的对称问题，并就典型例题加以分析解答，对学生的常见错误进行了剖析。

抽象函数的有关内容一直是学生学习的一个难点，关于抽象函数题目类型较多，形式灵活多变，考查内容无论从深度和广度，给人耳目一新的感受，现就其中几个主要问题加以分类解析。

一、求抽象函数的定义域1. 若已知函数f [g(x)]的定义域为x∈(a，b)，求函数f(x)。

解决这类问题的方法是：利用a例1. 已知函数f(x+1)的定义域是[-2，3]，求y=f(x)的定义域。

解：因为函数f(x+1)的定义域是[-2，3]，所以-2≤x≤3所以-1≤x+1≤4，因此y=f(x)的定义域是[-1，4]2. 若已知函数f(x)的定义域为x∈(a，b)，求f [g(x)]函数的定义域。

解决这类问题的方法是：a例2. 已知函数f(x)的定义域为(0，1]，求函数g(x)=f(x+a)+f(x-a)(-解：因为函数f(x)的定义域为(0，1]所以0由于-所以不等式组(∈)的解为-a即g(x)=f(x+a)+f(x-a)(-二、抽象函数的周期性和奇偶性1. 抽象函数的周期性例3. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)=-f(x+2)，且当x∈(-1，1]时，f(x)=x2+2x，求当x∈(3，5]时，f(x)的解析式。

解：∈f(x+4)=f(x+2+2)=-f(x+2)=f(x)∈f(x)是以4为周期的周期函数设x∈(3，5]时，则-1∈f(x)=f(x-4)=(x+4)2+2(x-4)=x2-6x+8(3评注：若对函数f(x)定义域内的任意，恒有下列条件之一成立(以下式子分母不为零，a≠0)①f(x+a)=-f(x) ②f(x+a)= ③f(x+a)=-④f(x+a)=- ⑤f(x+a)=- ⑥f(x+a)=f(x-a)则函数f(x)是以2a为周期的周期函数①2. 抽象函数的奇偶性奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，有时为了便于判断函数的奇偶性，也往往需要先将函数进行化简，或运用定义的等价形式，但对于抽象函数的奇偶性的判断主要是用赋值法，构造出定义的形式。

抽象函数的一些常见类型与解决方法：1） 求定义域：例1：已知函数(31)f x -的定义域是[2,3]-，求1(3)2f x +的定义域例2：已知函数()x f 的定义域为(-2,2),函数()(1)(32)g x f x f x =-+-，求函数()g x 的定义域2） 求值域：例3：函数)(x f 的值域是[-1，5]，求函数(31)f x -的值域例4：已知()y f x =的值域是[-1，3]，求2[()]3()y f x f x =+的值域3）求函数的表达式，例5：若函数()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1f x g x x +=-，则()f x ＝ ，()g x ＝例6：已知： ()f x 为定义在R 上的奇函数，且对任意x ，满足(2)()f x f x +=-，当[1,1]x ∈-时，有3()f x x =，求[1,5]x ∈时，()f x 的函数的解析式4）解不等式：例7：已知：()y f x =在(1,1)-上是减函数，且2(1)(1)f a f a -<-，求a 的范围例8：定义在] ,[22-上的偶函数g (x), 当x ≥0时g (x) 单调递减, 若)m ( g )m ( g <-1, 则m 的 取值范围是 .例9：定义在R 上的奇函数()f x ，在R 上f （x ）为减函数，若(3)f ＝0，求使()0xf x <的x 的取值范围5）求值：例10：设函数()y f x =，对任意x 满足(3)(3)f x f x +=-，且方程()0f x =有且只有6个不同的根，求这6个根之和6）关于周期：若例11：定义在R 上的奇函数()f x 以5为周期，若(3)f ＝0，则在（0，10）内，()f x ＝0的解的最少个数是例12：已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x ),则,f (6)的值为 ( )7）关于对称：例13：设函数)7()7(),2()2(),()(x f x f x f x f x f +=-+=-+∞-∞上满足在，且在闭区间[0，7]上，只有.0)3()1(==f f（Ⅰ）试判断函数)(x f y =的奇偶性；（Ⅱ）试求方程0)(=x f 在闭区间[－2005，2005]上的根的个数，并证明你的结论.8）求单调区间与证明单调性例14：函数)(x f 在区间]3,2[-是增函数，则)5(+=x f y 的递增区间是 （ ）例15：已知函数f （x ）对一切实数x 、y 满足f （0）≠0，f （x ＋y ）＝f （x ）·f （y ），且当x ＜0时，f （x ）＞1，求证：（1）当x ＞0时，0＜f （x ）＜1；（2）f （x ）在x ∈R 上是减函数.。

抽象函数定义域的类型及求法抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说具有一定难度，特别是求其定义域时，许多同学解答起来总感棘手．下面结合实例具体介绍一下抽象函数定义域问题的几种题型及求法．一、已知()f x 的定义域，求[]()f g x 的定义域其解法是：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．例1 已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．分析：该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围．解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033x ∴≤≤． 故函数(35)f x -的定义域为41033⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 二、已知[]()f g x 的定义域，求()f x 的定义域其解法是：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为()f x 的定义域．例2 已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域． 分析：令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，由于()f u 与()f x 是同一函数，因此u 的取值范围即为()f x 的定义域． 解：由03x ≤≤，得21225x x -+≤≤．令222u x x =-+，则2(22)()f x x f u -+=，15u ≤≤．故()f x 的定义域为[]15，．三、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是：先求出各个函数的定义域，然后再求交集．例３ 若()f x 的定义域为[]35-，，求()()(25)x f x f x ϕ=-++的定义域．解：由()f x 的定义域为[]35-，，则()x ϕ必有353255x x --⎧⎨-+⎩，，≤≤≤≤解得40x -≤≤． 所以函数()x ϕ的定义域为[]40-，．。

抽象函数的定义域1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。

2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。

3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。

4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。

例1已知函数()f x 的定义域为[]15-，，求(35)f x -的定义域．分析：若()f x 的定义域为a x b ≤≤，则在[]()f g x 中，()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为[]()f g x 的定义域．本题该函数是由35u x =-和()f u 构成的复合函数，其中x 是自变量，u 是中间变量，由于()f x 与()f u 是同一个函数，因此这里是已知15u -≤≤，即1355x --≤≤，求x 的取值范围．解：()f x 的定义域为[]15-，，1355x ∴--≤≤，41033x ∴≤≤． 故函数(35)f x -的定义域为41033⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． 例2已知函数2(22)f x x -+的定义域为[]03，，求函数()f x 的定义域． 分析：若[]()f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定的()g x 的范围即为()f x 的定义域．这种情况下，()f x 的定义域即为复合函数[]()f g x 的内函数的值域。

抽象函数定义域的四种类型抽象函数是指没有明确给出具体解析式的函数，其有关问题对同学们来说有一定难度，特别是其定义域，大多数学生解答起来总感棘手。

下面结合具体实例介绍一下抽象函数定义域问题的四种类型及求法。

一、已知的定义域，求’I I的定义域，其解法是：若的定义域为段二匕丄？，则"」I中从中解得•的取值范围即为■-1的定义域。

例1.设函数"■的定义域为，则（1）函数的定义域为_____________ 。

（2）函数八的定义域为_________________ 。

解：（1）由已知有L -■■-■，解得故的定义域为一：’「（2）由已知，得2 2 '--■■，解得1 ' ■- ■'故'I 亠的定义域为二、已知I ■ ■■的定义域，求的定义域。

其解法是：若_|- ■- 1的定义域为V八-\ ,则由--匚、确定:的范围即为的定义域。

例2.已知函数' -的定义域为—I，则一：' 1的定义域为________ 。

解：由H S，得:■ I < . 'I所以二…：二1，故填-■:三、已知. 山勺定义域，求’'烏的定义域。

其解法是：可先由- 1定义域求得的定义域，再由：…的定义域求得「〔叭》的定义域。

例3.函数''■ + '定义域是一二 :则的定义域是（）A. ■B. ' - 1C. ' ：；-D. '「解：先求•二的定义域Tg + D的定义域是[-乙3]..-2 < x< 3：.1<X+1 <4 , 即卩：的定义域是一乙1再求一…：：丨的定义域v-1 < 2x - 1 <40<x<-2/(2x - 1)的定义域是W" 21,故应选A四、运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，其解法是: 先求出各个函数的定义域，再求交集。

抽象函数常见题型归纳总结抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。

本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题(一)已知的定义域，求的定义域解法：若的定义域为，则中，从中解得的取值范围即为的定义域。

例题1：设函数的定义域为，则（1）函数的定义域为______；（2）函数的定义域为_______解析：（1）由已知有，解得，故的定义域为（2）由已知，得，解得，故的定义域为(二)已知的定义域，求的定义域。

解法：若的定义域为，则由确定的范围即为的定义域。

例题2：函数的定义域为，则的定义域为_____。

解析：由，得，所以，故填(三)已知的定义域，求的定义域。

解法：先由定义域求定义域，再由定义域求得定义域。

例题3：函数定义域是，则的定义域是_______解析：先求的定义域，的定义域是，，即的定义域是再求的定义域，，的定义域是(四) 运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集。

例题4： 函数的定义域是，求的定义域。

解析：由已知，有，即函数的定义域由确定函数的定义域是【巩固1】 已知函数的定义域是［1，2］，求f (x )的定义域。

解析：的定义域是［1，2］，是指，所以中的满足从而函数f (x )的定义域是［1，4］ 【巩固2】 已知函数的定义域是，求函数的定义域。

解析：的定义域是，意思是凡被f 作用的对象都在中，由此可得所以函数的定义域是【巩固3】f x ()定义域为(0)，1，则y f x a f x a a =++-≤()()(||)12定义域是__。

解析：因为x a +及x a -均相当于f x ()中的x ，所以010111<+<<-<⎧⎨⎩⇒-<<-<<+⎧⎨⎩x a x a a x aa x a (1)当-≤≤120a 时，则x a a ∈-+()，1; (2)当012<≤a 时，则x a a ∈-()，1 一、解析式问题1. 换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力。

抽象函数定义域的求法例题抽象函数的定义域1.已知f(x)的定义域，求复合函数f[g(x)]的定义域为构成复合函数，内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域。

因此，可以求出f[g(x)]中a<g(x)<b的解x的范围，即为f[g(x)]的定义域。

2.已知复合函数f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域若f[g(x)]的定义域为(a,b)，则由a<x<b确定g(x)的范围即为f(x)的定义域。

3.已知复合函数f[g(x)]的定义域，求f[h(x)]的定义域先由f[g(x)]的定义域求得f(x)的定义域，再由f(x)的定义域求得f[h(x)]的定义域。

4.已知f(x)的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。

例1：已知函数f(x)的定义域为[-15,∞)，求f(3x-5)的定义域。

由f(x)的定义域为[-15,∞)，得到-1≤3x-5≤5，解得-4/3≤x≤10/3.因此，函数f(3x-5)的定义域为[-4/3,10/3]。

例2：函数f(x)的定义域是[0,2]，则g(x)=1/f(2-x)的定义域是（）。

先求f(2-x)的定义域为[0,2]，再求1/f(2-x)的定义域为(0,1]。

因此，选项B是正确答案。

例3：若f(x)的定义域为[-3,5]，求ϕ(x)=f(-x)+f(2x+5)的定义域。

由f(x)的定义域为[-3,5]，可得到-3≤-x≤5和-3≤2x+5≤5.解得-4≤x≤3/2.因此，函数ϕ(x)的定义域为[-4,3/2]。

抽象函数的常见题型及解法一、 抽象函数的定义域1. 已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域若已知f(x)的定义域x (a,b)，求f[g(x)]的定义域，其方法是： 由a<g(x)<b,求得x 的范围，即为f[g(x)]的定义域。

即由内层函数的值域，求内层函数的定义域，即为f[g(x)]的定义域。

例1.已知f(x)的定义域为[1，4]，求f()的定义域. 解: 由1≤≤4，得 -1≤≤2 即 -1≤<0 或 0<≤2 解得 X ≤-1 或x ≥∴函数的定义域为:2. 已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域若已知f[g(x)]的定义域x (a,b)，求f(x)的定义域，其方法是： 由a<x<b,求得g(x)的范围，即为f(x)的定义域。

即由内层函数的定义域，求内层函数的值域，即为f(x)的定义域。

例2. 若已知f(x+2)的定义域为[-2，2]，求函数f(x)的定义域. 解：∵f(x+2)的定义域为[-2，2]， ∴-2≤x ≤2， ∴ 0≤x+2≤4 故f(x)的定义域为[0，4]3. 已知f[ (x)]的定义域，求f[g(x)]的定义域先由f[ (x)]的定义域，求f(x)的定义域，再由f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域。

即由第一个函数中内层函数的定义域，求得第一个函数内层函数的值域，第一个函数内层函数的值域就是第二个函数内层函数的值域，由第∈21+x21+x x1x 1x121()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃-∞-,211,∈ϕϕ二个函数内层函数的值域，再求出第二个函数内层函数的定义域。

例3.若已知f(x+1)的定义域为，求函数f ()的定义域. 解：∵f(x+1)的定义域为， ∴-2≤x 3， ∴ -1≤x+1 4 即f(x)的定义域为.∴ -1≤<4，∴ -3≤<2 即 -3≤<0 或 0<<2 解得 X ≤-或 x> ∴函数的定义域为:3. 已知f(x)的定义域，求f[ (x)] + f[g(x)]的定义域若已知f(x)的定义域x (a,b)，求f[g(x)]+f[g(x)]的定义域，其方法是：由,求得x 的范围，即为f[ (x)] + f[g(x)]的定义域。

抽象函数常见题型汇编抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题(一)已知()f x 的定义域，求(())f g x 的定义域．解法：若()f x 的定义域为[]a b ，，则(())f g x 中()a g x b ≤≤，从中解得x 的取值范围即为(())f g x 的定义域．例1 设函数()f x 的定义域为[01]，，则(1)函数2()f x 的定义域为 ；(2)函数2)f 的定义域为 ． 解析：(1)由已知有201x ≤≤，解得11x -≤≤，故2()f x 的定义域为[11]-，；(2)由已知，得021≤，解得49x ≤≤，故2)f 的定义域为[49]，． (二)已知(())f g x 的定义域，求()f x 的定义域．解法：若(())f g x 的定义域为m x n ≤≤，则由m x n ≤≤确定()g x 的范围即为()f x 的定义域． 例2 函数[lg(1)]y f x =+的定义域为09x ≤≤，则()y f x =的定义域为 ． 解析：由09x ≤≤，得1110x +≤≤，所以0lg(1)1x +≤≤，故填[01]， (三)已知(())f g x 的定义域，求(())f h x 的定义域．解法：先由(())f g x 定义域求()f x 定义域，再由()f x 定义域求得(())f h x 定义域． 例3 函数(1)y f x =+定义域是[23]-，，则(21)y f x =-的定义域是 ． 解析：先求()f x 的定义域，∵(1)f x +的定义域是[23]-，，∴23x -≤≤ ∴114x +≤≤，即()f x 的定义域是[14]-，再求[()]f h x 的定义域，∵1214x --≤≤，∴502x ≤≤∴(21)f x -的定义域是502⎡⎤⎢⎥⎣⎦，． (四)运算型的抽象函数求由有限个抽象函数经四则运算得到的函数的定义域，解法是：先求出各个函数的定义域，再求交集． 例4 函数()f x 的定义域是(01]，，求()1()()()02g x f x a f x a a =+⋅--<≤的定义域．解析：∵由已知，有0101x a x a <+⎧⎨<-⎩≤，≤，即11a x a a x a -<-⎧⎨<+⎩≤，≤，∴函数的定义域由(1)(1]a a a a --+I ，，确定 ∵102a -<≤∴11a a a a -<+-≤≤∴函数()g x 的定义域是(1]a a -+，．【巩固1】已知函数2()f x 的定义域是12［，］，求()f x 的定义域． 解析：2()f x 的定义域是12［，］，是指12x ≤≤， 所以2()f x 中的2x 满足214x ≤≤ 从而函数()f x 的定义域是[14]，．【巩固2】已知函数()f x 的定义域是[12]-，，求函数()12log (3)f x -的定义域．解析：()f x 的定义域是[12]-，，意思是凡被f 作用的对象都在[12]-，中，由此可得 ()()211211111log (3)231224x x x ---⇒-⇒≤≤≤≤≤≤所以函数()12log (3)f x -的定义域是1114⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【巩固3】()f x 定义域为(01)，，则()1()()||2y f x a f x a a =++-≤定义域是 ．解析：因为x a +及x a -均相当于()f x 中的x ，所以011011x a a x a x a a x a <+<-<<-⎧⎧⇒⎨⎨<-<<<+⎩⎩，，，，(1)当102a -≤≤时，则(1)x a a ∈-+，； (2)当102a <≤时，则(1)x a a ∈-，．二、解析式问题1.换元法：即用中间变量表示原自变量x 的代数式，从而求出()f x ，这也是证某些公式或等式常用的方法，此法解培养学生的灵活性及变形能力． 例5 已知 ()211x fx x =++，求()f x ．解析：设1x u x =+，则1u x u =-∴2()2111u u f u u u -=+=--∴2()1x f x x-=-．2.凑合法：在已知(())()f g x h x =的条件下，把()h x 并凑成以()g u 表示的代数式，再利用代换即可求()f x ．此解法简洁，还能进一步复习代换法． 例6 已知()3311f x x x x +=+，求()f x解析：∵()()()()()()2221111113f x x x x x x xx xx+=+-+=++-又∵11||||1||x x x x +=+≥，∴23()(3)(||)13f x x x x x x =-=-≥，3.待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数． 例7 已知()f x 二次实函数，且2(1)(1)f x f x x ++-=+2x +4，求()f x ． 解析：设()f x =2ax bx c ++，则22(1)(1)(1)(1)(1)(1)f x f x a x b x c a x b x c ++-=+++++-+-+ 22222()24ax bx a c x x =+++=++比较系数得2()4132112222a c a a b c b +=⎧⎪=⇒===⎨⎪=⎩，，，，，∴213()22f x x x =++4.利用函数性质法:主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式． 例8 已知()y f x =为奇函数，当0x >时，()lg(1)f x x =+，求()f x ．解析：∵()f x 为奇函数，∴()f x 的定义域关于原点对称，故先求0x <时的表达式． ∵0x ->，∴()lg(1)lg(1)f x x x -=-+=-， ∵()f x 为奇函数，∴lg(1)()()x f x f x -=-=-∴当0x <时()lg(1)f x x =--∴lg(1)0()lg(1)0x x f x x x +⎧=⎨--<⎩，≥，例9 ()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，且有1()()1f x g x x +=-， 求()f x ，()g x ．解析：∵()f x 为偶函数，()g x 为奇函数，∴()()f x f x -=，()()g x g x -=-， 不妨用x -代换1()()1f x g x x +=- ………①中的x ，∴1()()1f x g x x -+-=--即1()()1f xg x x -=-+……② 显见①+②即可消去()g x ，求出函数21()1f x x =-再代入①求出2()1x g x x =-5.赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出()f x 的表达式例10 设()f x 的定义域为自然数集，且满足条件(1)()()f x f x f y xy +=++，及(1)1f =，求()f x 解析：∵()f x 的定义域为N ，取1y =，则有(1)()1f x f x x +=++ ∵(1)1f =，∴(2)(1)2f f =+，(3)(2)3f f =+……()(1)f n f n n =-+ 以上各式相加，有(1)()1232n n f n n +=++++=L ，∴1()(1)2f x x x x =+∈N ， 【巩固4】设函数()f x 存在反函数，1()()()g x f xh x -=，与()g x 的图象关于直线0x y +=对称，则函数 ()h x =（ ）A ．()f x -B ．()f x --C ．1()f x --D ．1()f x ---解析：要求()y h x =的解析式，实质上就是求()y h x =图象上任一点00()P x y ，的横、纵坐标之间的关系． 点00()P x y ，关于直线y x =-的对称点00()y x --，适合1()y f x -=， 即00()x g y -=-．又1()()g x f x -=，1000000()()()x f y y f x y f x -∴-=-⇒-=-⇒=--，即()()h x f x =--，选B ．【巩固5】设对满足01x x ≠≠，的所有实数x ，函数()f x 满足()1()1x f x f x x -+=+，求()f x 的解析式．解析：在()1()1x f x f x x -+=+（1）中以1x x-代换其中x ，得：()()11211x x f f x x x --+-=-(2)再在(1)中以11x --代换x ，得()12()11x f f x x x --+=--(3)(1)-(2)+(3)化简得：321()2(1)x x f x x x --=- 评析：如果把x 和1x x -分别看作两个变量，怎样实现由两个变量向一个变量的转化是解题关键．通常情况下，给某些变量适当赋值，使之在关系中“消失”，进而保留一个变量，是实现这种转化的重要策略． 三、求值问题这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值．其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化．或紧扣已知条件进行迭代变换，经有限次迭代可直接求出结果，或者在迭代过程中发现函数具有周期性，利用周期性使问题巧妙获解．例11 已知定义域为+R 的函数()f x ，同时满足下列条件：①1(2)1(6)5f f ==，；②()f x y ⋅=()()f x f y +，求(3)(9)f f ，的值．解析：取23x y ==，，得(6)(2)(3)f f f =+ 因为1(2)1(6)5f f ==，，所以4(3)5f =- 又取3x y ==，得8(9)(3)(3)5f f f =+=-例12 定义在R 上的函数()f x 满足：()(4)f x f x =-且(2)(2)0f x f x -+-=，求(2000)f 的值． 解析：由(2)(2)0f x f x -+-=，以2t x =-代入，有()()f t f t -=， ∴()f x 为奇函数且有(0)0f =，又由(4)[4()]f x f x +=--()()f x f x =-=-，∴(8)(4)()f x f x f x +=-+= ()f x 是周期为8的周期函数，∴(2000)(0)0f f ==【巩固6】已知()f x 的定义域为+R ，且()()()f x y f x f y +=+对一切正实数x y ，都成立，若(8)4f =， 则(2)f =_______．解析：在条件()()()f x y f x f y +=+中，令4x y ==，得 (8)(4)(4)2(4)4f f f f =+==，∴(4)2f =又令2x y ==，得(4)(2)(2)2f f f =+=，∴(2)1f =【巩固7】已知()f x 是定义在R 上的函数，且满足：(2)[1()]1()f x f x f x +-=+，(1)1997f =，求(2001)f 的值．解析：紧扣已知条件，并多次使用，发现()f x 是周期函数，显然()1f x ≠，于是 1()(2)1()f x f x f x ++=-，1()11(2)1()1(4)1(2)1()()11()f x f x f x f x f x f x f x f x ++++-+===--++--所以1(8)()(4)f x f x f x +=-=+，故()f x 是以8为周期的周期函数， 从而(2001)(82501)(1)1997f f f =⨯+== 四、值域问题例13 设函数()f x 定义于实数集上，对于任意实数x y ，，()()()f x y f x f y +=总成立，且存在12x x ≠，使得12()()f x f x ≠，求函数()f x 的值域．解析：令0x y ==，得2(0)[(0)]f f =，即有(0)0f =或(0)1f =．若(0)0f =，则()(0)()(0)0f x f x f x f =+==，对任意x ∈R 均成立，这与存在实数12x x ≠，使得12()()f x f x ≠成立矛盾，故(0)0f ≠，必有(0)1f =．由于()()()f x y f x f y +=对任意x y ∈R ，均成立，因此，对任意x ∈R ，有 ()()()()2()022222x x x x x f x f f f f ⎡⎤=+==⎢⎥⎣⎦≥下面来证明，对任意()0x f x ∈≠R ，设存在0x ∈R ，使得0()0f x =，则0000)(0)(()()0f f x x f x f x =-=-= 这与上面已证的(0)0f ≠矛盾，因此，对任意()0x f x ∈≠R ， 所以()0f x >评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段． 【巩固8】已知函数()f x 对任意实数x y ，有()()()f x y f x f y +=+，且当0x >时，()0f x >，(1)2f -=-，求()f x 在[21]-，上的值域．解析：设12x x <，且12x x ∈R ，，则210x x ->， 由条件当0x >时，()0f x > ，21()0f x x ∴->又2211()[()]f x f x x x =-+2111()()()f x x f x f x =-+>，∴()f x 为增函数， 令y x =-，则(0)()()f f x f x =+-又令0x y == ，得(0)0f = ，()()f x f x ∴-=-，故()f x 为奇函数， (1)(1)2f f ∴=-=，(2)2(1)4f f -=-=-所以()f x 在[21]-，上的值域为[42]-， 五、求参数范围或解不等式这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“ f ”符号，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用．例4 已知()f x 是定义在(11)-，上的偶函数，且在(01)，上为增函数，满足(2)f a -- 2(4)0f a -<，试确定a 的取值范围．解析：∵()f x 是偶函数，且在(01)，上是增函数，∴()f x 在(10)-，上是减函数， 由2121141a a -<-<⎧⎨-<-<⎩a < (1)当2a =时，2(2)(4)(0)f a f a f -=-=，不等式不成立． (2)2a <<时，2222120(2)(4)(4)140224a f a f a f a a a a a -<-<⎧⎪-<-=-⇔-<-<⇒<<⎨⎪->-⎩(3)当2a <2(2)(4)f a f a -<-222021(4)041224a f a a a a a <-<⎧⎪=-⇔<-<⇒<<⎨⎪-<-⎩综上所述，所求a的取值范围是2)(2U ． 例15 ()f x 是定义在(1]-∞，上的减函数，若22(sin )(1cos )f m x f m x -++≤对x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．解析：：2222sin 31cos 3sin 1cos m x m x m x m x ⎧-⎪++⎨⎪-++⎩Q ≤，≤，≥，对x ∈R 恒成立222sin 3sin 1cos m x m x m x ⎧-⎪⇔⎨-++⎪⎩≤，≥，对x ∈R 恒成立⇔22223sin 151sin cos (sin )24m x m m x x x ⎧-⎪⎨--+=--+⎪⎩≤，≥， 对x ∈R 恒成立， 2231514m m m ⎧-⎪∴⎨--⎪⎩≤，≥，所以m 为所求【巩固9】已知函数()f x 是定义在(1]-∞，上的减函数，且对一切实数x ，不等式(sin )f k x -≥ 22(sin )f k x -恒成立，求k 的值．解析：由单调性，脱去函数记号，得222222221sin 1sin 111(sin )2sin sin 42k x k x k k x k x k x ⎧+⎧-⎪⎪⇔⎨⎨-+---⎪⎪⎩⎩≤，()≤，≥，()≤ 由题意知(1)(2)两式对一切x ∈R 恒成立，则有22min 22max (1sin )11119(sin )424k x k k k x ⎧⎫+=⎪⎪⇒=-⎨⎬-+-=⎪⎪⎩⎭≤≥ 【巩固10】已知函数()f x 对任意x y ∈R ，有()()2()f x f y f x y +=++，当0x >时，()2f x >，(3)5f =，求不等式2(22)3f a a --<的解集．解析：设12x x ∈R ，且12x x <，则210x x ->， 21()2f x x ∴->，即21()20f x x -->22112111()[()]()()2()f x f x x x f x x f x f x ∴=-+=-+->，21()()f x f x ∴>故()f x 为增函数，又(3)(21)(2)(1)23(1)45f f f f f =+=+-=-=，(1)3f ∴=，2(22)3(1)f a a f ∴--<=，即2221a a --<，13a ∴-<<因此不等式2(22)3f a a --<的解集为{}|13a a -<<． 六、单调性问题例16 设()f x 定义于实数集上，当0x >时，()1f x >，且对于任意实数x y ，，有()f x y +=()()f x f y ，求证：()f x 在R 上为增函数．证明：在()()()f x y f x f y +=中取0x y ==，得2(0)[(0)]f f = 若(0)0f =，令00x y >=，，则()0f x =，与()1f x >矛盾 所以(0)0f ≠，即有(0)1f =当0x >时，()10f x >>；当0x <时，0()10x f x ->->>， 而()()(0)1f x f x f ⋅-==，所以1()0()f x f x =>-又当0x =时，(0)10f =>，所以对任意x ∈R ，恒有()0f x > 设12x x <，则21210()1x x f x x ->->，∴21211211()[()]()()()f x f x x x f x f x x f x =+-=->，∴()y f x =在R 上为增函数例17 已知偶函数()f x 在(0)+∞，上是减函数，问()f x 在(0)-∞，上是增函是减函数，并证明你的结论． 证明：如图所示，易知()f x 在(0)-∞，上是增函数，证明如下： 任取121200x x x x <<⇒->->因为()f x 在(0)+∞，上是减函数，所以12()()f x f x -<-． 又()f x 是偶函数，所以1122()()()()f x f x f x f x -=-=，， 从而12()()f x f x <，故()f x 在(0)-∞，上是增函数．【巩固11】如果奇函数()f x 在区间[37]，上是增函数且有最小值为5，那么()f x 在区间[73]--，上是( ) A ．增函数且最小值为5- B ．增函数且最大值为5- C ．减函数且最小值为5-D ．减函数且最大值为5-解析：画出满足题意的示意图1，易知选B ． 七、奇偶性问题例18 已知函数()(0)f x x x ∈≠R ，对任意不等于零的实数12x x ，都有121()()f x x f x ⋅=2()f x +，试判断函数()f x 的奇偶性．解析：取1211x x =-=，得：(1)(1)(1)f f f -=-+，所以(1)0f = 又取121x x ==-得：(1)(1)(1)f f f =-+-，所以(1)0f -= 再取121x x x ==-，，则()(1)()f x f f x -=-+，即()()f x f x -= 因为()f x 为非零函数，所以()f x 为偶函数．【巩固12】若函数()(()0)y f x f x =≠与()y f x =-的图象关于原点对称，求证：函数()y f x =是偶函数． 证明：设()y f x =图象上任意一点为00()P x y ， ()y f x =Q 与()y f x =-的图象关于原点对称，00()P x y ∴，关于原点的对称点00()x y --，在()y f x =-的图象上，00()y f x ∴-=--，00()y f x ∴=-又00()y f x =，00()()f x f x ∴-=即对于函数定义域上的任意x 都有()()f x f x -=，所以()y f x =是偶函数． 八、周期性问题几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：函数()y f x =满足对定义域内任一实数x (其中a 为常数)， 1．()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； 2．()()f x a f x +=-，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数； 3．1()()f x a f x +=±，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数；4．()()f x a f x a +=-，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数； 5．1()()1()f x f x a f x -+=+，则()f x 是以2T a =为周期的周期函数．6．1()()1()f x f x a f x -+=-+，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数．7．1()()1()f x f x a f x ++=-，则()f x 是以4T a =为周期的周期函数．8．函数()y f x =满足()()(0)f x a f a x a +=->，若()f x 为奇函数，则其周期为4T a =，若()f x 为偶函数，则其周期为2T a =．9．函数()()y f x x =∈R 的图象关于直线x a =和()x b a b =<都对称，则函数()f x 是以2()b a -为周期的周期函数；10．函数()()y f x x =∈R 的图象关于两点00()()()A a y B b y a b <，，，都对称，则函数()f x 是以2()b a -为周期的周期函数；11．函数()()y f x x =∈R 的图象关于0()A a y ，和直线()x b a b =<都对称，则函数()f x 是以4()b a -为周期的周期函数；例19 设()f x 定义在R 上且对任意的x 有()(1)(2)f x f x f x =+-+，求证：()f x 是周期函数，并找出它的一个周期．解析：这同样是没有给出函数表达式的抽象函数，其一般解法是根据所给关系式进行递推，若能得出()()f x T f x +=(T 为非零常数)则()f x 为周期函数，且周期为T ．证明：()(1)(2)f x f x f x =+-+Q (1) (1)(2)(3)f x f x f x ∴+=+-+ (2)(1)+(2)得()(3)f x f x =-+(3) 由(3)得(3)(6)f x f x +=-+(4) 由(3)和(4)得()(6)f x f x =+．上式对任意x ∈R 都成立，因此()f x 是周期函数，且周期为6．例20 设函数()f x 的定义域为R ，且对任意的x y ，()()2()()f x y f x y f x f y ++-=⋅，并存在正实数c ，使()02c f =．试问()f x 是否为周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由． 解析：仔细观察分析条件，联想三角公式，就会发现：cos y x =满足题设条件，且cos 02π=，猜测()f x 是以2c 为周期的周期函数．()()()()20222222()()(2)()()c c c c c c f x f x f x f f x c f x f x c f x c f x ⎡⎤⎡⎤++++-=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴+=-∴+=-+=Q 故()f x 是周期函数，2c 是它的一个周期．【巩固13】设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线1x =对称．对任意12x x ∈，102⎡⎤⎢⎥⎣⎦，都有 1212()()()f x x f x f x +=⋅．证明()f x 是周期函数．证明：依题设()y f x =关于直线1x =对称，故()(2)f x f x x =-∈R ， 又由()f x 是偶函数知()()f x f x x -=∈R ，()(2)f x f x x ∴-=-∈R ，，将上式中x -以x 代换，得()(2)f x f x x =+∈R ，这表明()f x 是R 上的周期函数，且2是它的一个周期 ()f x 是偶函数的实质是()f x 的图象关于直线0x =对称又()f x 的图象关于1x =对称，可得()f x 是周期函数，且2是它的一个周期 由此进行一般化推广，我们得到思考一：设()f x 是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线(0)x a a =≠对称，证明()f x 是周期函数，且2a 是它的一个周期．证明：()f x Q 关于直线x a =对称．()(2)f x f a x x ∴=-∈R ， 又由()f x 是偶函数知()()f x f x x -=∈R ，，()(2)f x f a x x ∴-=-∈R ， 将上式中x -以x 代换，得()(2)f x f a x x =+∈R ， ()f x ∴是R 上的周期函数，且2a 是它的一个周期思考二：设()f x 是定义在R 上的函数，其图象关于直线x a =和()x b a b =≠对称．证明()f x 是周期函数，且2()b a -是它的一个周期．证明：()f x Q 关于直线x a =和x b =对称()(2)f x f a x x ∴=-∈R ，，()(2)f x f b x x =-∈R ，，(2)(2)f a x f b x x ∴-=-∈R ， 将上式的x -以x 代换得(2)(2)f a x f b x x +=+∈R ，[2()][(2)2][(2)2]()f x b a f x a b f x a a f x x ∴+-=-+=-+=∈R ， ()f x ∴是R 上的周期函数，且2()b a -是它的一个周期若把这道高考题中的“偶函数”换成“奇函数”，()f x 还是不是周期函数？我们得到思考三：设()f x 是定义在R 上的奇函数，其图象关于直线1x =对称．证明()f x 是周期函数，且4是它的一个周期．，证明：()f x Q 关于1x =对称，()(2)f x f x x ∴=-∈R ，又由()f x 是奇函数知()()f x f x x -=-∈R ，，(2)()f x f x x ∴-=--∈R ， 将上式的x -以x 代换，得(2)()f x f x x +=-∈R ，(4)[2(2)](2)[()]()f x f x f x f x f x x ∴+=++=-+=--=∈R ， ()f x ∴是R 上的周期函数，且4是它的一个周期()f x 是奇函数的实质是()f x 的图象关于原点(00)，中心对称，又()f x 的图象关于直线1x =对称，可得()f x 是周期函数，且4是它的一个周期．由此进行一般化推广，我们得到思考四：设()f x 是定义在R 上的函数，其图象关于点(0)M a ，中心对称，且其图象关于直线()x b b a =≠对称．证明()f x 是周期函数，且4()b a -是它的一个周期． 证明：()f x Q 关于点(0)M a ，对称，(2)()f a x f x x ∴-=-∈R ， ()f x Q 关于直线x b =对称，()(2)f x f b x x ∴=-∈R ，，(2)(2)f b x f a x x ∴-=--∈R ，将上式中的x -以x 代换，得(2)(2)f b x f a x x +=-+∈R ， [4()][2(24)][2(24)]f x b a f b x b a f a x b a ∴+-=++-=-++-[2(2)][2(2)]()f b x a f a x a f x x =-+-=+-=∈R ， ()f x ∴是R 上的周期函数，且4()b a -是它的一个周期由上我们发现，定义在R 上的函数()f x ，其图象若有两条对称轴或一个对称中心和一条对称轴，则()f x 是R 上的周期函数．进一步我们想到，定义在R 上的函数()f x ，其图象如果有两个对称中心，那么()f x 是否为周期函数呢？经过探索，我们得到思考五：设()f x 是定义在R 上的函数，其图象关于点(0)M a ，和(0)()N b a b ≠，对称．证明()f x 是周期函数，且2()b a -是它的一个周期．证明：()f x Q 关于(0)(0)M a N b ，，，对称 (2)()f a x f x x ∴-=-∈R ， (2)()f b x f x x -=-∈R ， (2)(2)f a x f b x x ∴-=-∈R ，将上式中的x -以x 代换，得 (2)(2)f a x f b x x +=+∈R ，，[2()][2(2)][2(2)]()f x b a f b x a f a x a f x x ∴+-=+-=+-=∈R ， ()f x ∴是周期函数，且2()b a -是它的一个周期九、对称性问题(1)对称性的概念及常见函数的对称性 1．对称性的概念①轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴．②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心．2．常见函数的对称性(所有函数自变量可取有意义的所有值)①常函数；②一次函数；③二次函数；④反比例函数；⑤指数函数；⑥对数函数；⑦幂函数；⑧正弦函数；⑨正弦型函数sin()y A x ωϕ=+既是轴对称又是中心对称；⑩余弦函数；○13正切函数；○12耐克函数；○13三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异；○14绝对值函数：这里主要说的是(||)y f x =和|()|y f x =两类．前者显然是偶函数，它会关于y 轴对称;后者是把x 轴下方的图像对称到x 轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如|ln |y x =就没有对称性，而|sin |y x =却仍然是轴对称．○15形如(0)ax b y c ad bc cx d+=≠≠+，的图像是双曲线，其两渐近线分别直线d x c =-(由分母为零确定)和直线a y c=(由分子、分母中x 的系数确定)，对称中心是点()d a c b -，． (2)抽像函数的对称性1．函数()y f x =图像本身的对称性(自对称问题) (1)轴对称①()y f x =的图像关于直线x a =对称()()()(2)f a x f a x f x f a x ⇔+=-⇔=- ()(2)f x f a x ⇔-=+②()()()f a x f b x y f x +=-⇔=的图像关于直线()()22a xb x a bx ++-+==对称．特别地，函数()y f x =的图像关于y 轴对称的充要条件是()()f x f x =-． (2)中心对称①()y f x =的图像关于点()a b ，对称()()2()(2)2f a x f a x b f x f a x b ⇔++-=⇔+-= ()(2)2f x f a x b ⇔-++=．②()()2()f a x f b x c f x ++-=⇔的图像关于点()2a b c +，对称． 特别地，函数()y f x =的图像关于原点(00)，对称的充要条件是()()0f x f x +-=． (3)对称性与周期性之间的联系①若函数()f x 既关于直线x a =对称，又关于直线()x b a b =≠对称，则函数()f x 关于无数条直线对称，相邻对称轴的距离为||b a -；且函数()f x 为周期函数，周期2||T b a =-；特别地：若()y f x =是偶函数，图像又关于直线x a =对称，则()f x 是周期为2||a 的周期函数； ②若函数()f x 既关于点(0)a ，对称，又关于点(0)b ，对称()a b ≠，则函数()f x 关于无数个点对称，相邻对称中心的距离为||b a -；且函数()f x 为周期函数，周期2||T b a =-；③若函数()f x 既关于直线x a =对称，又关于点(0)b ，对称()a b ≠，则函数()f x 关于无数个点和直线对称，相邻对称轴和中心的距离为||b a -，相邻对称轴或中心的距离为2||b a -；且函数()f x 为周期函数，周期4||T b a =-．特别地：若()y f x =是奇函数，图像又关于直线x a =对称，则()f x 是周期为4||a 的周期函数． 2．两个函数图像的对称性(互对称问题)(1)函数()y f a x =+与()y f a x =-图像关于直线0x =对称． (2)函数()y f x =与(2)y f a x =-图像关于直线x a =对称 (3)函数()y f x =-与(2)y f a x =+图像关于直线a x -=对称(4)函数()y f a x =+与()y f b x =-图像关于直线()()0a x b x +--=对称即直线2b a x -=对称(5)函数()y f x =与()y f x =-图像关于x 轴对称．(6)函数()y f x =与()y f x =-图像关于y 轴对称．(7)函数()y f x =与()a x f a y -=-图像关于直线x y a +=成轴对称． (8)函数()y f x =与()x a f y a -=+图像关于直线x y a -=成轴对称． (9)函数()y f x =与1()y f x -=的图像关于直线y x =对称． (10)函数()y f x =与1()y f x -=--的图像关于直线y x =-对称．(11)函数()y f x =有反函数，则()y f a x =+和1()y f a x -=+的图像关于直线y x a =+对称．(12)函数()y f x =与2(2)y b f a x =--的图像关于点()a b ，成中心对称．特别地，函数()y f x =与()y f x =--图像关于原点对称．例21 函数()y f x =满足()()2002f x f x +-=，求11()(2002)f x f x --+-值． 解析：已知式即在对称关系式()()2f a x f a x b ++-=中取02002a b ==，， 所以函数()y f x =的图象关于点(02002)，对称．根据原函数与其反函数的关系，知函数1()y f x -=的图象关于点(20020)，对称． 所以11(1001)(1001)0f x f x --++-=将上式中的x 用1001x -代换，得11()(2002)0f x f x --+-=评析：这是同一个函数图象关于点成中心对称问题，在解题中使用了下述命题：设a b ，均为常数，函数()y f x =对一切实数x 都满足()()2f a x f a x b ++-=，则函数()y f x =的图象关于点()a b ，成中心对称图形． 十、综合问题 (1)比较函数值大小利用函数的奇偶性、对称性等性质将自变量转化到函数的单调区间内，然后利用其单调性使问题获解． 例22 已知函数()f x 是定义域为R 的偶函数，0x <时，()f x 是增函数，若10x <，20x >，且12||||x x <，则12()()f x f x --，的大小关系是_______．解析：1200x x <>Q ，且12||||x x <，122100x x x x ∴<-<⇒-<< 又0x <时，()f x 是增函数，21()()f x f x ∴-<()f x Q 是偶函数，11()()f x f x ∴-=，故12()()f x f x ->-(2)讨论方程根的问题例23 已知函数()f x 对一切实数x 都满足(1)(1)f x f x +=-，并且()0f x =有三个实根，则这三个实根之和是 ．分析：由(1)(1)f x f x +=-知直线1x =是函数()f x 图象的对称轴．又()0f x =有三个实根，由对称性知11x =必是方程的一个根，其余两根23x x ，关于直线1x =对称， 所以23212x x +=⨯=，故1233x x x ++=． (3)研究函数的图象这类问题只要利用函数图象变换的有关结论，就可获解．例24 若函数(2)y f x =+是偶函数，则()y f x =的图象关于直线 对称.解析：()y f x =的图象22垐垐垐?噲垐垐?左移个单位右移个单位(2)y f x =+的图象，而(2)y f x =+是偶函数，对称轴是0x =，故()y f x =的对称轴是2x =．例25 若函数()f x 的图象过点(01)，，则(4)f x +的反函数图象必过定点 .解析：()f x 的图象过点(01)，，从而(4)f x +的图象过点(41)-，，由原函数与其反函数图象间的关系易知，(4)f x +的反函数的图象必过定点(14)-，．【巩固14】定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数m n ，，总有()()()f m n f m f n +=⋅，且当0x >时，0()1f x <<．(1)判断()f x 的单调性；(2)设22{()|()()(1)}A x y f x f y f =⋅>，，{()|(1}B x y f ax y a =-=∈R ，，，若A B =∅I ，试确定a 的取值范围．解析：(1)在()()()f m n f m f n +=⋅中，令10m n ==，，得(1)(1)(0)f f f =⋅，因为(1)0f ≠，所以(0)1f =．在()()()f m n f m f n +=⋅中，令m x n x ==-，因为当0x >时，0()1f x <<，所以当0x <时00()1x f x -><-<， 而()()(0)1f x f x f ⋅-==，所以1()10()f x f x =>>-又当0x =时，(0)10f =>，所以，综上可知，对于任意x ∈R ，均有()0f x >． 设12x x <，则2121)00(1x x f x x -><-<，所以[]21211211((((()))))f x f x x x f x f x x f x =+-=⋅-<，∴在R 上为减函数． (2)由于函数()y f x =在R 上为减函数，所以2222()())((1)f x f y f x y f ⋅=+>即有221x y +<，又(1(0)f ax y f -==，由单调性，有0ax y -由A B =∅I ，所以直线0ax y -+与圆面221x y +<无公共点．1，解得11a -≤≤．【巩固15】设函数()y f x =定义在R 上，当0x >时，()1f x >，且对任意m n ，，有 ()()()f m n f m f n +=⋅，当m n ≠时()()f m f n ≠．(1)证明(0)1f =；(2)证明：()f x 在R 上是增函数； (3)设22{()|()()(1)}A x y f x f y f =⋅<，，{()|()10}B x y f ax by c a b c a =++=∈≠R ，，，，，，若A B =∅I ，求a b c ，，满足的条件．解析：(1)令0m n ==得(0)(0)(0)f f f =⋅，(0)0f ∴=或(0)1f =．若(0)0f =，当0m ≠时，有(0)()(0)f m f m f +=⋅，与当m n ≠时，()()f m f n ≠矛盾，(0)1f ∴=． (2)设12x x <，则210x x ->，由已知得21()1f x x ->，因为10x ≥，1()1f x >，若10x <时，110()1x f x ->->，，由11(0)()()f f x f x =⋅- 12211111()0()()()()()f x f x f x x f x f x f x ∴=>=-⋅>-，()f x ∴在R 上为增函数.(3)由22()()(1)f x f y f ⋅<得221x y +< (1) 由()1f ax by c ++=得0ax by c ++= (2)从(1)、(2)中消去y 得22222()20a b x acx c b +++-<，因为A B =∅I 22222(2)4()()0ac a b c b ∴∆=-+-<，即222a b c +<．。

题型3：复合函数及其定义域的求法一．基本知识(1)函数的概念:设是A,B非空数集,如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f:ATB为集合A到集合B的函数，记作：y=f(x),xeA。

其中x叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y的值叫做函数值.(2)复合函数的定义：一般地：若y=f(u)，又u=g(x)，且g(x)值域与f(u)定义域的交集不空，则函数y=f[g(x)]叫x的复合函数，其中y=f(u)叫外层函数，u=g(x)叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数.例如:f(x)二3x+5,g(x)二x2+1；复合函数f(g(x))即把f(x)里面的x换成g(x)，f(g(x))=3g(x)+5=3(x2+1)+5=3x2+8(3)复合函数的定义域函数f(g(x))的定义域还是指x的取值范围，而不是g(x)的取值范围.①已知f(x)的定义域，求复合函数f[g GM的定义域由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若f(x)的定义域为xe(a,b)，求出f[g(x)]中a<g(x)<b的解x的范围，即为f[g(x)]的定义域。

②已知复合函数f[g6》的定义域，求f(x)的定义域方法是：若f[gQ的定义域为xe(a,b)，则由a<x<b确定g(x)的范围即为f(x)的定义域③已知复合函数f[g(x)]的定义域，求f[h(x)]的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由f[g(x》定义域求得fC)的定义域，再由fG)的定义域求得f[hGR的定义域。

④已知f(x)的定义域，求四则运算型函数的定义域若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。

抽象函数的常见题型及解法一、 抽象函数的定义域1. 已知f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域若已知f(x)的定义域x (a,b)，求f[g(x)]的定义域，其方法是： 由a<g(x)<b,求得x 的范围，即为f[g(x)]的定义域。

即由内层函数的值域，求内层函数的定义域，即为f[g(x)]的定义域。

例1.已知f(x)的定义域为[1，4]，求f()的定义域. 解: 由1≤≤4，得 -1≤≤2 即 -1≤<0 或 0<≤2 解得 X ≤-1 或x ≥∴函数的定义域为:2. 已知f[g(x)]的定义域，求f(x)的定义域若已知f[g(x)]的定义域x (a,b)，求f(x)的定义域，其方法是： 由a<x<b,求得g(x)的范围，即为f(x)的定义域。

即由内层函数的定义域，求内层函数的值域，即为f(x)的定义域。

例2. 若已知f(x+2)的定义域为[-2，2]，求函数f(x)的定义域. 解：∵f(x+2)的定义域为[-2，2]， ∴-2≤x ≤2， ∴ 0≤x+2≤4 故f(x)的定义域为[0，4]3. 已知f[ (x)]的定义域，求f[g(x)]的定义域先由f[ (x)]的定义域，求f(x)的定义域，再由f(x)的定义域，求f[g(x)]的定义域。

即由第一个函数中内层函数的定义域，求得第一个函数内层函数的值域，第一个函数内层函数的值域就是第二个函数内层函数的值域，由第∈21+x21+x x1x 1x121()⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞⋃-∞-,211,∈ϕϕ二个函数内层函数的值域，再求出第二个函数内层函数的定义域。

例3.若已知f(x+1)的定义域为，求函数f ()的定义域. 解：∵f(x+1)的定义域为， ∴-2≤x 3， ∴ -1≤x+1 4 即f(x)的定义域为.∴ -1≤<4，∴ -3≤<2 即 -3≤<0 或 0<<2 解得 X ≤-或 x> ∴函数的定义域为:3. 已知f(x)的定义域，求f[ (x)] + f[g(x)]的定义域若已知f(x)的定义域x (a,b)，求f[g(x)]+f[g(x)]的定义域，其方法是：由,求得x 的范围，即为f[ (x)] + f[g(x)]的定义域。

高一数学抽象函数常见题型解法综述抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。

由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。

本文就抽象函数常见题型及解法评析如下：一、定义域问题例1.已知函数f(某2)的定义域是［1，2］，求f（某）的定义域。

22解：f(某2)的定义域是［1，2］，是指1某2，所以f(某2)中的某满足1某4从而函数f（某）的定义域是［1，4］评析：一般地，已知函数f((某))的定义域是A，求f（某）的定义域问题，相当于已知f((某))中某的取值范围为A，据此求(某)的值域问题。

，2]，求函数f[log1(3某)]的定义域。

例2.已知函数f(某)的定义域是[12，2]，意思是凡被f作用的对象都在[1，2]中，解：f(某)的定义域是[1由此可得1log1(3某)2()3某()21221211某114所以函数f[log1(3某)]的定义域是[1，211]4评析：这类问题的一般形式是：已知函数f（某）的定义域是A，求函数f((某))的定义域。

正确理解函数符号及其定义域的含义是求解此类问题的关键。

这类问题实质上相当于已知(某)的值域B，且BA，据此求某的取值范围。

例2和例1形式上正相反。

二、求值问题例3.已知定义域为R的函数f（某），同时满足下列条件：①f(2)1，f(6)1；②f(某y)f(某)f(y)，5求f（3），f（9）的值。

解：取某2，y3，得f(6)f(2)f(3)欲求的f（3）沟通了起来。

赋值法是解此类问题的常用技巧。

三、值域问题例4.设函数f（某）定义于实数集上，对于任意实数某、y，f(某y)f(某)f(y)总成立，且存在某1某2，使得f(某1)f(某2)，求函数f(某)的值域。

解：令某y0，得f(0)[f(0)]2，即有f(0)0或f(0)1。

若f(0)0，则f(某)f(某0)f(某)f(0)0，对任意某R均成立，这与存在实数某1某2，使得f(某1)f(某2)成立矛盾，故f(0)0，必有f(0)1。

抽象函数常见题型解法综述一、定义域问题例已知函数)(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。

解：)(2x f 的定义域是［1，2］，是指21≤≤x ，所以)(2x f 中的2x 满足412≤≤x从而函数f （x ）的定义域是［1，4］例若函数)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，求函数)21(+=xf y 的定义域。

解：由)1(+=x f y 的定义域为)3,2[-，知1+x 中的)3,2[-∈x ，从而411<+≤-x ，对函数)21(+=xf y 而言，有1124x-≤+<，解之得：),21(]31,(+∞--∞∈ x 。

所以函数)21(+=x f y 的定义域为),21(]31,(+∞--∞二、求值问题例. 已知定义域为+R 的函数f （x ），同时满足下列条件：①51)6(1)2(==f f ，；②)()()(y f x f y x f +=⋅，求f （3），f （9）的值。

解：取32==y x ，，得)3()2()6(f f f +=因为51)6(1)2(==f f ，，所以54)3(-=f 又取3==y x得58)3()3()9(-=+=f f f 三、值域问题例设函数f （x ）定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。

解：令0==y x ，得2)]0([)0(f f =，即有0)0(=f 或1)0(=f 。

若0)0(=f ，则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ，对任意R x ∈均成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故0)0(≠f ，必有1)0(=f 。

由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立，因此，对任意R x ∈，有0)]2([)2()2()22()(2≥==+=xf x f x f x x f x f下面来证明，对任意0)(≠∈x f R x ，设存在R x ∈0，使得0)(0=x f ，则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f 这与上面已证的0)0(≠f 矛盾，因此，对任意0)(≠∈x f R x ，所以0)(>x f 四、解析式问题例：已知 ()211xf x x =++,求()f x . 解：设1x u x =+,则1u x u =-∴2()2111u uf u u u-=+=--∴2()1xf x x-=- 例：设对满足10≠≠x x ，的所有实数x ，函数)(x f 满足x x x f x f +=-+1)1()(，求f （x ）的解析式。