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专题5．4 解析几何中的定值与定点问题一．方法综述解析几何中的定值与定点问题近年高考中的热点问题，其解决思路下；（1）定值问题：解决这类问题时，要运用辩证的观点，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性；一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义，方程，几何性质，再用韦达定理，点差法等导出所求定值关系所需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简整理求出结果；另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的。
（2）定点问题：定点问题是动直线（或曲线）恒过某一定点的问题；一般方法是先将动直线（或曲线）用参数表示出来，再分析判断出其所过的定点．定点问题的难点是动直线（或曲线）的表示，一旦表示出来，其所过的定点就一目了然了．所以动直线（或曲线）中，参数的选择就至关重要．解题的关健在于寻找题中用来联系已知量，未知量的垂直关系、中点关系、方程、不等式，然后将已知量，未知量代入上述关系，通过整理，变形转化为过定点的直线系、曲线系来解决。
二．解题策略类型一定值问题【例1】（2020•青浦区一模）过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点作两条相互垂直的弦AB和CD，则+的值为（）A．B．C．2p D．【答案】D【解析】抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点坐标为（），所以设经过焦点直线AB的方程为y＝k（x﹣），所以，整理得，设点A（x1，y1），B（x2，y2），所以，所以，同理设经过焦点直线CD的方程为y＝﹣（x﹣），所以，整理得，所以：|CD|＝p+（p+2k2p），所以，则则+＝．故选：D．【点评】求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.【举一反三】1.（2020•华阴市模拟）已知F是抛物线y2＝4x的焦点，过点F的直线与抛物线交于不同的两点A，D，与圆（x﹣1）2+y2＝1交于不同的两点B，C（如图），则|AB|•|CD|的值是（）A．2B．2C．1D．【答案】C【解析】设A（x1，y1），D（x2，y2），抛物线方程为y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心为F（1，0），圆心与焦点重合，半径为1，又由直线过抛物线的焦点F，则|AB|＝x1+1﹣1＝x1，|CD|＝x2+1﹣1＝x2，即有|AB|•|CD|＝x1x2，设直线方程为x＝my+1，代入抛物线方程y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4＝0，则y1y2＝﹣4，x1x2＝＝1，故选：C．2．（2020温州高三月考）如图，P为椭圆上的一动点，过点P作椭圆的两条切线P A，PB，斜率分别为k1，k2．若k1•k2为定值，则λ＝（）A．B．C．D．【答案】C【解析】取P（a，0），设切线方程为：y＝k（x﹣a），代入椭圆椭圆方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2a3k2x+a4k2﹣a2b2λ＝0，令△＝4a6k4﹣4（b2+a2k2）（a4k2﹣a2b2λ）＝0，化为：（a2﹣a2λ）k2＝b2λ，∴k1•k2＝，取P（0，b），设切线方程为：y＝kx+b，代入椭圆椭圆方程可得：（b2+a2k2）x2﹣2kba2x+a2b2（1﹣λ）＝0，令△＝4k2b2a4﹣4（b2+a2k2）a2b2（1﹣λ）＝0，化为：λa2k2＝b2（1﹣λ），∴k1•k2＝，又k1•k2为定值，∴＝，解得λ＝．故选：C．3．（2020•公安县高三模拟）已知椭圆的离心率为，三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，且三条边所在直线的斜率分别为k1，k2，k3（k1k2k3≠0）．若直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1（O为坐标原点），则＝．【答案】2【解析】∵椭圆的离心率为，∴，则，得．又三角形ABC的三个顶点都在椭圆上，三条边AB、BC、AC的中点分别为D、E、F，三条边所在直线的斜率分别为k1、k2，k3，且k1、k2，k3均不为0．O为坐标原点，直线OD、OE、OF的斜率之和为﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），则，，两式作差得，，则，即，同理可得，．∴＝＝﹣2×（﹣1）＝2．类型二定点问题【例2】（2020•渝中区高三模拟）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A是抛物线C上异于坐标原点的任意一点，过点A的直线l交y轴的正半轴于点B，且A，B同在一个以F为圆心的圆上，另有直线l′∥l，且l′与抛物线C相切于点D，则直线AD经过的定点的坐标是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（1，0）D．（2，0）【答案】A【解析】设A（m，m2），B（0，n），∵抛物线C：x2＝4y的焦点为F（0，1）又A，B同在一个以F为圆心的圆上，∴|BF|＝|AF|∴n﹣1＝＝m2+1∴n＝m2+2∴直线l的斜率k＝＝﹣∵直线l′∥l，∴直线l′的斜率为k，设点D（a，a2），∵y＝x2，∴y′＝x，∴k＝a，∴a＝﹣，∴a＝﹣∴直线AD的斜率为＝＝＝，∴直线AD的方程为y﹣m2＝（x﹣m），整理可得y＝x+1，故直线AD经过的定点的坐标是（0，1），故选：A．【点评】圆锥曲线中定点问题的两种解法(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点．(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 【举一反三】1．（2020·全国高考模拟（理））已知抛物线28x y =，过点(),4P b 作该抛物线的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，若直线AB 恒过定点，则该定点为（ ）A ．()4,0B ．()3,2C ．()0,4-D ．()4,1【答案】C【解析】设A B ，的坐标为()11x y ，，()22x y ，28x y =，4x y '=， PA PB ，的方程为()1114x y y x x -=-，()2224xy y x x -=- 由22118x y =，22228x y =，可得114x y x y =-，224x y x y =-切线PA PB ，都过点()4P b ，1144x b y ∴=⨯-，2244xb y =⨯-， 故可知过A ，B 两点的直线方程为44bx y =-， 当0x =时，4y =∴直线AB 恒过定点()04-，，故选C2．（2020·重庆高考模拟（理））已知圆22:1C x y +=，点P 为直线142x y+=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,,,PA PB A B 为切点，则直线AB 经过定点.（ ）A ．11,24⎛⎫⎪⎝⎭ B ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭ C．⎫⎪⎪⎝⎭D．⎛ ⎝⎭ 【答案】B【解析】设()42,,,P m m PA PB -是圆C 的切线，,,CA PA CB PB AB ∴⊥⊥∴是圆C 与以PC 为直径的两圆的公共弦，可得以PC 为直径的圆的方程为()()22222224m m x m y m ⎛⎫⎡⎤--+-=-+ ⎪⎣⎦⎝⎭， ① 又221x y += ， ②①-②得():221AB m x my -+=， 可得11,42⎛⎫⎪⎝⎭满足上式，即AB 过定点11,42⎛⎫⎪⎝⎭，故选B. 3．（2020大理一模）已知椭圆221164x y +=的左顶点为A ，过A 作两条弦AM 、AN 分别交椭圆于M 、N 两点，直线AM 、AN 的斜率记为12,k k ，满足122k k ⋅=-，则直线MN 经过的定点为___________． 【答案】28,09T ⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】 由()2221211141616414=+4M x y k x k y k x ⎧+=-⎪⇒=⎨+⎪⎩， 同理222122214164641416N k k x k k --==++． 121814M k y k =+，1211616Nk y k -=+, 取11k =，由对称性可知，直线MN 经过x 轴上的定点28,09T ⎛⎫-⎪⎝⎭.【归纳总结】在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆()222210x y a b a b+=>>上一定点A 作两条弦AM 、AN 分别交椭圆于M 、N 两点，直线AM 、AN 的斜率记为12,k k ，当12k k ⋅为非零常数时，直线MN 经过定点.三．强化训练1．（2020·黑龙江高三模拟）直线l 与抛物线x y C 2:2=交于B A ,两点，O 为坐标原点，若直线OB OA ,的斜率1k ，2k 满足3221=k k ，则l 的横截距（ ） A ．为定值3- B ．为定值3 C ．为定值1- D ．不是定值 【答案】A【解析】设直线l 的方程为y kx b =+，由题意得22y kx b y x=+⎧⎨=⎩，则得()222220k x kb x b +-+=； 设A ，B 两点的坐标为()11,A x y ，()22,B x y ，则得12222kb x x k-+=，2122b x x k =； 又因为3221=k k ，即121223y y x x =，所以()2222222121222221222222222223k x x kb x x b kb k b k k b k b k k b k k k k x x b b b b +++--+-=++=+=== ，则得3b k =，直线l 的方程为()33y kx b kx k k x =+=+=+； 当0y =时，3x =-，所以直线l 的横截距为定值3-.故选A.2．（2020·辽宁省朝阳市第二高级中学高二期中（文））如果直线7ax by +=（0a >，0b >） 和函数()1log m f x x =+（0m >，1m ≠）的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆22(1)(1)25x b y a +-++-=的内部或圆上，那么ba的取值范围是（ ）A ．3443⎡⎤⋅⎢⎥⎣⎦B ．30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．4,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．340,,43⎛⎤⎡⎫⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【答案】A【解析】根据指数函数的性质，可得函数()1log ,(0,1)m f x x m m >≠=+，恒过定点(1,1). 将点(1,1)代入7ax by +=，可得7a b +=.由于(1,1)始终落在所给圆的内部或圆上，所以2225a b +.又由227,25,a b a b +=⎧⎨+=⎩解得34a b =⎧⎨=⎩或43a b =⎧⎨=⎩，所以点(,)a b 在以(3,4)和(4,3)为端点的线段上运动， 当取点(3,4)时，43b a =，取点(4,3)时，34b a，所以b a 的取值范围是34,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦.3．（2020·全国高三模拟）过x 轴上的点(),0P a 的直线与抛物线28y x =交于,A B 两点，若2211||||AP BP +为定值，则实数a 的值为（ ）A.1B.2 C ．3 D ．4 【答案】D【解析】设直线AB 的方程为x my a =+，代入28y x =，得2880y my a --=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则12128,8y y m y y a +=⋅=-.()()()2222222111111AP x a y my y m y =-+=+=+，同理，()22221BP m y =+，∴()21212222222221212211111111y y y y m y y m y y AP BP+-⎛⎫+=+= ⋅⎪++⎝⎭ ()()22222264284164114m a m am a a m -⨯-+=+⋅=+，∵2211||||AP BP +为定值， 是与m 无关的常数，∴4a =．故选D ．4．（2020•越城区高三期末）已知A 、B 是抛物线y 2＝4x 上异于原点O 的两点，则“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．充要条件C ．必要非充分条件D ．非充分非必要条件【答案】B【解析】根据题意，A 、B 是抛物线y 2＝4x 上异于原点O 的两点，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 若“•＝0”，则设直线AB 方程为x ＝my +b ，将直线AB 方程代入抛物线方程y 2＝4x ，可得y 2﹣4my ﹣4b ＝0，则y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4b ， 若•＝0，则•＝x 1x 2+y 1y 2＝（）+y 1y 2＝+y 1y 2＝b 2﹣4b ＝0，解可得：b ＝4或b ＝0，又由b ≠0，则b ＝4，则直线AB 的方程为x ＝my +4，即my ＝x ﹣4，则直线AB 恒过定点（4，0）， “•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的充分条件；反之：若直线AB 恒过定点（4，0），设直线AB 的方程为x ＝my +4，将直线AB 方程代入抛物线方程y 2＝4x ，可得y 2﹣4my ﹣16＝0，则有y 1y 2＝﹣16， 此时•＝x 1x 2+y 1y 2＝（）+y 1y 2＝+y 1y 2＝0，故“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的必要条件；综合可得：“•＝0”是“直线AB 恒过定点（4，0）”的充要条件；故选：B ．5．（2020·湖北高考模拟）设12(,0),(,0)F c F c -是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，点P 是C 右支上异于顶点的任意一点，PQ 是12F PF ∠的角平分线，过点1F 作PQ 的垂线，垂足为Q ，O 为坐标原点，则||OQ 的长为（ ） A ．定值a B ．定值bC ．定值cD ．不确定，随P 点位置变化而变化【答案】A【解析】依题意如图，延长F 1Q ，交PF 2于点T ， ∵PQ 是∠F 1PF 2的角分线．TF 1是PQ 的垂线， ∴PQ 是TF 1的中垂线，∴|PF 1|＝|PT |，∵P 为双曲线2222x y a b-=1上一点，∴|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ， ∴|TF 2|＝2a ，在三角形F 1F 2T 中，QO 是中位线， ∴|OQ |＝a ． 故选：A ．6．（2020·浙江省杭州第二中学高三）设点(),P x y 是圆22:2210C x y x y ++-+=上任意一点，若212x y x y a -+++--为定值，则a 的值可能为（ ）A ．3-B ．4-C ．5-D ．6-【答案】D【解析】圆C 标准方程为22(1)(1)1x y ++-=，圆心为(1,1)C -，半径为1r =，直线:20l x y a --=2115a---=，35a =-当35a =-+C 在直线l 上方，20x y a --≤，当=--35a C 在直线l 下方，20x y a --≥，若212x y x y a -+++--为定值，则20x y a --≥，因此35a ≤-D 满足． 故选：D.7．（2020·湖北高考模拟（理））已知圆C ： 224x y +=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆C 引两条切线,PA PB ， ,A B 为切点，则直线AB 经过定点（ ）A ．48,99⎛⎫⎪⎝⎭ B ．24,99⎛⎫⎪⎝⎭C ．()2,0D ．()9,0 【答案】A【解析】设()()()112200,,,,,,A x y B x y P x y 则1122:4;:4;PA x x y y PB x x y y +=+= 即101020204;4;x x y y x x y y +=+=因此A 、B 在直线004x x y y +=上，直线AB 方程为004x x y y +=， 又00290x y +-=，所以()()0009242940y x y y y y x x -+=⇒-+-= 即8420,940,99y x x y x -=-=⇒==，直线AB 经过定点48,99⎛⎫⎪⎝⎭，选A. 8．（2020·全国高三期末（理））已知圆O ：2214x y +=，直线l ：y =kx +b (k ≠0)，l 和圆O 交于E ，F 两点，以Ox 为始边，逆时针旋转到OE ，OF 为终边的最小正角分别为α，β，给出如下3个命题： ①当k 为常数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ②当k 为变数，b 为变数时，sin (α＋β)是定值； ③当k 为变数，b 为常数时，sin (α＋β)是定值． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B【解析】设点11()E x y ，，22()F x y ，，由三角函数的定义得111cos 21sin 2x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，221cos 21sin 2x y ββ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，， 将直线EF 的方程与的方程联立2214y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，， 得2221(1)204k x kbx b +++-=， 由韦达定理得122212221141kb x x k b x x k ⎧+=-⎪+⎪⎨-⎪=⎪+⎩，，所以2112sin()sin cos cos sin 44x y x y αβαβαβ+=+=+=222112121222188244()4()84()11k b kb k x kx b x kx b kx x b x x k k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭+++=++==-++，因此，当k 是常数时，sin()αβ+是常数，故选B (特值法可秒杀)9．（2020·浙江高三期末）斜率为k 的直线l 过抛物线22(0)y px p =>焦点F ，交抛物线于,A B 两点，点00(,)P x y 为AB 中点，作OQ AB ⊥，垂足为Q ，则下列结论中不正确的是（ ）A ．0ky 为定值B ．OA OB ⋅为定值C ．点P 的轨迹为圆的一部分D ．点Q 的轨迹是圆的一部分【答案】C【解析】设抛物线22(0)y px p =>上,A B 两点坐标分别为()()1122,,,A x y B x y ，则2211222,2,y px y px ==两式做差得，121212()()2()y y y y p x x +-=-，整理得1201212022,,2.y y p pk ky p x x y y y -=∴=∴=-+为定值，所以A 正确.因为焦点(,0)2p F ，所以直线AB 方程为()2p y k x =-.由2()22p y k x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩得2222244(2)0k x p k x p k -++=，则22121222(2),,4p k p x x x x k ++== 222212121212()()[()]2224p p p p y y k x x k x x x x p =--=-++=-.2121234OA OB x x y y p ∴⋅=+=-为定值.故B 正确. ,OQ AB ⊥∴点Q 的轨迹是以OF 为直径的圆的一部分，故D 正确.本题选择C 选项.10．（2020·安徽高三月考（理））已知抛物线2:8C y x =，圆22:(2)4F x y -+=，直线:(2)(0)l y k x k =-≠自上而下顺次与上述两曲线交于1234,,,M M M M 四点，则下列各式结果为定值的是（ ） A ．1324M M M M ⋅ B ．14FM FM ⋅ C ．1234M M M M ⋅ D ．112FM M M ⋅【答案】C 【解析】由()228y k x y x⎧=-⎨=⎩消去y 整理得2222(48)40(0)k x k x k k -++=≠，设111422(,),(,)M x y M x y ，则21212248,4k x x x x k++==． 过点14,M M 分别作直线:2l x '=-的垂线，垂足分别为,A B ， 则11422,2M F x M F x =+=+．对于A ，13241412(2)(2)(4)(4)M M M M M F M F x x ⋅=++=++12124()16x x x x =+++，不为定值，故A 不正确．对于B ，14121212(2)(2)2()4FM FM x x x x x x ⋅=++=+++，不为定值，故B 不正确． 对于C ，12341412(2)(2)4M M M M M F M F x x ⋅=--==，为定值，故C 正确．对于D ，1121111(2)(2)FM M M M F M F x x ⋅=⋅-=+，不为定值，故D 不正确．选C ．11．（2020·南昌县莲塘第一中学高三月考（理））在平面直角坐标系中，两点()()111222,,,P x y P x y 间的“L -距离”定义为121212|||||.PP x x y y =-+-‖则平面内与x 轴上两个不同的定点12,F F 的“L -距离”之和等于定值（大于12|F F ）的点的轨迹可以是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】设12(,0),(,0)F c F c -，再设动点(,)M x y ，动点到定点12,F F 的“L距离”之和等于(20)m m c >>，由题意可得：x c y x c y m ++-++=，即2x c x c y m -+++=， 当,0x c y <-≥时，方程化为220x y m -+=； 当,0x c y <-<时，方程化为220x y m ++=；当,0c x c y -≤<≥时，方程化为2my c =-； 当,0c x c y -≤<<时，方程化为2my c =-；当,0x c y ≥≥时，方程化为220x y m +-=； 当,0x c y ≥<时，方程化为220x y m --=；结合题目中给出四个选项可知，选项A 中的图象符合要求，故选A ． 12．（2020·东北育才学校高三月考（理））有如下3个命题；①双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上任意一点P 到两条渐近线的距离乘积是定值；②双曲线2222222211(0,0)x y x y a b a b b a-=-=>>与的离心率分别是12e e 、，则22122212e e e e +是定值；③过抛物线22(0)x py p =>的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A B 、，则直线AB 过定点；其中正确的命题有（ ） A ．3个 B ．2个C ．1个D ．0个【答案】A【解析】①双曲线22221x y a b-=（a ＞0，b ＞0）上任意一点P ，设为（m ，n ），两条渐近线方程为y=±ba x=222222b m a n a b -+， 由b 2m 2﹣a 2n 2=a 2b 2，可得两个距离乘积是定值2222a b a b+； ②双曲线2222x y a b -=1与22221x y b a -=（a ＞0，b ＞0）的离心率分别是e 1，e 2，即有e 12=222a b a +，e 22=222a b b +，可得22122212e e e e +为定值1；③过抛物线x 2=2py （p ＞0）的顶点任作两条互相垂直的直线与抛物线的交点分别是A ，B ，可设A （s ，22s p），B （t ，22t p ），由OA ⊥OB 可得st+2224s t p=0，即有st=﹣4p 2， k AB =()222t s p t s --=2t s p +，可得直线AB 的方程为y ﹣22s p=2t s p +（x ﹣s ），即为y=2t s p +x+2p ， 则直线AB 过定点（0，2p ）．三个命题都正确．故选A ．13．已知O 为坐标原点，点M 在双曲线22:C x y λ-=（λ为正常数）上，过点M 作双曲线C 的某一条渐近线的垂线，垂足为N ，则ON MN ⋅的值为（ ） A ．2λB ．λC ．2λD ．无法确定【来源】四川省南充市2021届高三第三次模拟考试数学（文）试题 【答案】A【解析】设(,)M m n ，即有22m n λ-=，双曲线的渐近线为y x =±，可得MN =，由勾股定理可得ON ===，可得2222m n ON MN λ-⋅=== ．故选：A ．14．已知1F 、2F 是双曲线C ：2214y x -=的左、右两个焦点，若双曲线在第一象限上存在一点P ，使得22()0OP OF F P +⋅=，O 为坐标原点，且12||||PF PF λ=，则λ的值为（ ）.A ．13B ．12C ．2D ．3【来源】河南省豫南九校2020-2021学年高三上学期期末联考理数试题 【答案】C 【解析】1a =，2b =，∴c =1(F，2F， 设点)P m ，∴2222()(1))1504m OP OFF P m m m +⋅=⋅=+-+=， ∴2165m =，m =，则P ±，14PF ===， ∴2122PF PF a =-=，∴12422PF PF λ===， 故选：C.15．已知1F ，2F 是双曲线221169x y -=的焦点，PQ 是过焦点1F 的弦，且PQ 的倾斜角为60︒，那么22||+-PF QF PQ 的值为A ．16B ．12C ．8D ．随α变化而变化【答案】A【解析】由双曲线方程221169x y -=知，28a =，双曲线的渐近线方程为34y x 直线PQ 的倾斜角为60︒，所以334PQ k =>，又直线PQ 过焦点1F ，如图 所以直线PQ 与双曲线的交点都在左支上.由双曲线的定义得，2128PF PF a -==…………(1)，2128QF QF a -== (2)由(1)+(2)得2211()16PF QF QF PF +-+=，2216PF QF PQ ∴+-=. 故选：A16．已知椭圆()2221024x y b b+=<<，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，()2,1M ，1MF 平分角12PF F ∠，则1MPF 与2MPF 的面积之和为( ) A ．1B ．32C ．2D ．3【来源】中学生标准学术能力诊断性测试2020-2021学年高三上学期1月测试理文数学（一卷）试题 【答案】C【解析】如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，P 为椭圆上一点，作一圆与线段F 1P ，F 1F 2的延长线都相切，并且与线段PF 2也相切，切点分别为D ，A ，B ，1111221122||||||||||||||||||||F D F A PF PD F F F A PF PB F F F A =⇔+=+⇔+=+， 12122212122||||||||||||||||||2||PF PB F B F F F A F B PF PF F F F A ⇔++=++⇔+=+，所以2||F A a c =-(c 为椭圆半焦距)，从而点A 为椭圆长轴端点，即圆心M 的轨迹是直线x =a (除点A 外). 因点M (2,1)在12PF F ∠的平分线上，且椭圆右端点A (2,0)，所以点M 是上述圆心轨迹上的点，即点M 到直线F 1P ，PF 2，F 1F 2的距离都相等，且均为1，1MPF 与2MPF 的面积之和为1212111||1||1(||||)2222PF PF PF PF ⋅⋅+⋅⋅=+=.故选：C17．已知椭圆2214x y +=的上顶点为,A B C 、为椭圆上异于A 的两点，且AB AC ⊥，则直线BC 过定点（ ） A ．(1,0) B ．(3,0)C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】D【解析】设直线BC 的方程为x ky m =+，()()1122,,B x y C x y 、，则由2214x ky m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2224240k y mky m +++-=， 所以212122224,44mk m y y y y k k --+==++， ()22222121212224244m mkx x k y y mk y y m k mk m k k --=+++=++++，因为()0,1A ，()()1122,1,1A x y B C x y A --==,，AB AC ⊥， 所以()()()1212121212111x x y y x x y y y y AB AC +-=-=++⋅-+22222222224242125304444m mk m mk k mk m km m k k k k k ---=+++++=+-=++++解得m k =-或35m k =， 当m k =-时，直线BC 的方程为()1x ky k k y =-=-，直线过()0,1点而()0,1A ，而,A B C 、不在同一直线上，不合题意； 当35m k =时，直线BC 的方程为3355x ky k k y ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，直线过30,5⎛⎫- ⎪⎝⎭，符合题意.故选：D.18．已知椭圆221124y x +=，圆22:4O x y +=，过椭圆上任一与顶点不重合的点G 引圆的两条切线，切点分别为,P Q ，直线PQ 与x 轴，y 轴分别交于点,M N ，则2231OMON+=（ ）A ．54B ．45C ．43D ．34【来源】安徽省宣城市第二中学2020-2021学年高三下学期第一次月考理科数学试题 【答案】D【解析】设112233(,),(,),(,)P x y Q x y G x y ，则切线GP 的方程为114x x y y +=，切线GQ 的方程为224x x y y +=， 因为点G 在切线,GP GQ 上，所以13134x x y y +=，23234x x y y +=，所以直线PQ 的方程为334x x y y +=， 所以3344(,0),(0,)M N x y ， 因为点33(,)G x y 在椭圆221124y x +=上，所以2233312x y +=，所以22223333223311123(3)161616164x y x y OM ON+=+=+==， 故选：D19．已知椭圆22:142x y C +=的左右顶点分别为,A B ，过x 轴上点(4,0)M -作一直线PQ 与椭圆交于,P Q 两点（异于,A B ），若直线AP 和BQ 的交点为N ，记直线MN 和AP 的斜率分别为12,k k ，则12:k k =（ ） A ．13B ．3C ．12D ．2【来源】湖北省“大课改、大数据、大测评”2020-2021学年高三上学期联合测评数学试题 【答案】A【解析】设(),N x y ，()11,P x y ，()22,Q x y ，设直线PQ 的方程：4x my =-由,,P N A 和,,Q N B 三点共线可知11222222y y x x y y x x ⎧=⎪++⎪⎨⎪=⎪--⎩ ， 解得：()()()()()()()()1221122112211221222226222262y x y x y my y my x y x y x y my y my -++-+-==--++--+-1212122623my y y y x y y --∴=-，12121226643my y y y x y y +-+=-，（*）联立224142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得()2228120m y my +-+=，22226448(2)16(6)0,6m m m m ∆=-+=->>，12121212228123,,()222m y y y y my y y y m m +==∴=+++， 代入（*）得121293433y y x y y -+==-，14y k x =+，22y k x =+ ，122211443k x k x x +∴==-=++.故选：A20.（2020·北京市第二中学分校高三（理））抛物线24y x =上两个不同的点A ，B ，满足OA OB ⊥，则直线AB 一定过定点，此定点坐标为__________． 【答案】(4,0).【解析】设直线l 的方程为x ty b =+代入抛物线24y x =，消去x 得2440y ty b --=,设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y b =-，∴()()()221212121212OA OB ty b ty b y y t y y bt y y b y y ⋅=+++=++++222444bt bt b b =-++- 24b b =-=0，∴0b =（舍去）或4b =, 故直线l 过定点()4,0．21．（2020·江苏扬州中学高三月考）已知点(2,0),(4,0)A B -，圆,16)()4(:22=+++b y x C 点P 是圆C 上任意一点，若PAPB为定值，则b =________.【答案】0【解析】设(,)P x y ，PAk PB =k =， 整理得222222(1)(1)(48)4160k x k y k x k -+-+++-=， 又P 是圆C 上的任意一点，故1k ≠，圆C 的一般方程为222820x y x by b ++++=，因此20b =，22222484168,11k k b k k+-==--，解得0b =. 22．（2020·江苏海安高级中学高三）在平面直角坐标系xOy 中，A ，B 为x 轴正半轴上的两个动点，P （异于原点O ）为y 轴上的一个定点．若以AB 为直径的圆与圆x 2＋(y －2)2＝1相外切，且∠APB 的大小恒为定值，则线段OP 的长为_____．【解析】设O 2（a ，0），圆O 2的半径为r （变量），OP=t （常数），则222222221)222tan ,tan ,2tan 141,(4,22tan 3232r a r a rOPA OPB t t a r a rrtt t APB a r t a r t a r a rt tAPB t t r r +-+∠=∠=+--∴∠==-+-++=+∴=-∴∠==-+-+∵∠APB 的大小恒为定值，∴t23．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22184x y +=上一点A ，点B 是椭圆上任意一点（异于点A ），过点B 作与直线OA 平行的直线l 交椭圆于点C ，当直线AB 、AC 斜率都存在时，AB AC k k +=___________. 【答案】0【解析】取特殊点B ()0,2-，则BC的方程为22y x +=，由22242y x x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得C ()所以202AB AC k k +==. 24．（2020·河北定州一中高三月考）P 为圆()22:15C x y -+=上任意一点，异于点()2,3A 的定点B 满足PBPA为常数，则点B 的坐标为______． 【答案】33,22⎛⎫⎪⎝⎭【解析】设()()00,,,,PA P x y B x y PBλ=，则()2215x y -+=，可得2242x y x +=+，① ()()()()222220023x x y y x y y λ⎡⎤-+-=-+-⎣⎦，②由①②得()2200002224x x y y x y --+++2222617x y λλλ=--+，可得202002220022226417x y x y λλλ⎧-=-⎪-=-⎨⎪++=⎩，解得002323212x y λ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，B ∴点坐标为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，故答案为33,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 25．（2020·上海长岛中学高三）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，M 、N 是双曲线22124x y -=上的两个动点，动点P 满足2OP OM ON =-，直线OM 与直线ON 斜率之积为2，已知平面内存在两定点1F 、2F ，使得12PF PF -为定值，则该定值为________【答案】【解析】设P （x ，y ），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则由2OP OM ON =-，得（x ，y ）=2（x 1，y 1）-（x 2，y 2）， 即x=2x 1-x 2，y=2y 1-y 2，∵点M ，N 在双曲线22124x y -=上，所以2211124x y -=，2222124x y -=，故2x 2-y 2=（8x 12+2x 22-8x 1x 2）-（4y 12+y 22-4y 1y 2）=20-4（2x 1x 2-y 1y 2）， 设k 0M ，k ON 分别为直线OM ，ON 的斜率，根据题意可知k 0M k ON =2， ∴y 1y 2-2 x 1x 2=0， ∴2x 2-y 2=20，所以P 在双曲线2x 2-y 2=20上； 设该双曲线的左，右焦点为F 1，F 2，由双曲线的定义可推断出12PF PF -为定值，该定值为26．（2020·江苏高三月考）椭圆E ：22143x y +=的左顶点为A ，点,B C 是椭圆E 上的两个动点，若直线,AB AC 的斜率乘积为定值14-，则动直线BC 恒过定点的坐标为__________． 【答案】(1,0)【解析】当直线BC 的斜率存在时，设直线BC 的方程为y=kx+m ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得：（3+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0， 设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则x 1+x 2=28km 34k -+，x 1x 2=2241234m k-+， 又A （﹣2，0），由题知k AB •k AC =121222y y x x ++=﹣14， 则（x 1+2）（x 2+2）+4y 1y 2=0，且x 1，x 2≠﹣2， 则x 1•x 2+2（x 1+x 2）+4+4（kx 1+m ）（kx 2+m ） =（1+4k 2）x 1x 2+（2+4km ）（x 1+x 2）+4m2+4=()()2221441234k m k+-++（2+4km ）28km 34k -++4m2+4=0则m 2﹣km ﹣2k 2=0， ∴（m ﹣2k ）（m+k ）=0， ∴m=2k 或m=﹣k ．当m=2k 时，直线BC 的方程为y=kx+2k=k （x+2）． 此时直线BC 过定点（﹣2，0），显然不适合题意．当m=﹣k 时，直线BC 的方程为y=kx ﹣k=k （x ﹣1），此时直线BC 过定点（1，0）． 当直线BC 的斜率不存在时，若直线BC 过定点（1，0），B 、C 点的坐标分别为（1，32），（1，﹣32），满足k AB •k AC =﹣14． 综上，直线BC 过定点（1，0）． 故答案为：（1，0）．27．已知双曲线22:13y C x -=的右焦点为F ，过点F 的直线l 与双曲线相交于P 、Q 两点，若以线段PQ为直径的圆过定点M ，则MF =______．【来源】金科大联考2020届高三5月质量检测数学（理科）试题 【答案】3【解析】点F 的坐标为()2,0，双曲线的方程可化为2233x y -=，①当直线l 的斜率不存在时，点P 、Q 的坐标分别为()2,3、()2,3-， 此时以线段PQ 为直径的圆的方程为()2229x y -+=；②当直线l 的斜率存在时，设点P 、Q 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ， 记双曲线C 的左顶点的坐标为()1,0A -，直线l 的方程为()2y k x =-，联立方程()22332x y y k x ⎧-=⎪⎨=-⎪⎩，消去y 后整理为()()222234340kxk x k -+-+=，2422230164(3)(34)36(1)0k k k k k ⎧-≠⎨∆=+-+=+>⎩,即k ≠ 有2122212243343k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩，()()()22121212122224y y k x x k x x x x =--=-++⎡⎤⎣⎦，222222234894333k k k k k k k ⎛⎫+=-+- ⎪---⎝⎭，()111,AP x y =+，()221,AQ x y =+，()()()1212121212111AP AQ x x y y x x x x y y ⋅=+++=+++⎡⎤⎣⎦ 22222222344931103333k k k k k k k k +-=+-+=+=----． 故以线段PQ 为直径的圆过定点()1,0M -，3MF =．28．双曲线22:143x y C -=的左右顶点为,A B ，以AB 为直径作圆O ，P 为双曲线右支上不同于顶点B 的任一点，连接PA 交圆O 于点Q ，设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若12k k λ=，则λ=_____. 【答案】34-【解析】设()()()00,,2,02,0P x y A B - 2200143x y -=，()222000331444x y x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭2000200032424PA PBy y y x x k k x =⋅=+--= PA 交圆O 于点Q ，所以PA QB ⊥ 易知:33441PA PB PB QBPA QB k k k k k k λ⎧=⎪⇒==-⎨⎪⋅=-⎩即1234k k λ==-. 故答案为：34-29．过双曲线22221x y a b-=的右焦点(,0)F c 的直线交双曲线于M 、N 两点，交y 轴于P 点，若1PM MF λ=，2PN NF λ=，规定12λλ+=PM PN MF NF +，则PM PNMF NF +的定值为222a b .类比双曲线这一结论，在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>中，PM PN MF NF+的定值为________. 【来源】贵州省铜仁市思南中学2020-2021学年高三上学期期末考试数学（理）试题【答案】222a b-【解析】如图，设椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为(),0F c ，过点(),0F c 的直线为()y k x c =-，代入椭圆的方程得：()2222222222220b a kxa k cx a k c ab +-+-=，设()11,M x y ，()22,N x y ，则22122222a k c x x b a k +=-+，2222212222a k c ab x x b a k-⋅=+， 过点,M N 分别作x 轴的垂线，垂足为,D E ，则111x PM x c MF λ==--，222=x PNx c NFλ=--，所以()()()()()1221121212122212121212122x x c x x c x x c x x x x x c x c x x c x x c x x c x x c λλ-+--+⎛⎫+=-+=-=-⎪---++-++⎝⎭将22122222a k c x x b a k +=-+，2222212222a k c ab x x b a k -⋅=+代入化简得：21222a b λλ+=-. 故答案为：222a b-.30．若M ，P 是椭圆2214x y +=两动点，点M 关于x 轴的对称点为N ，若直线PM ，PN 分别与x 轴相交于不同的两点A (m ，0)，B (n ，0)，则mn =_________.【来源】四川省资阳市2020-2021学年高三上学期期末数学文科试题 【答案】4 【解析】设(),M a b ，则(),N a b -，(),P c d ，则2214a b +=，2214c d +=所以PM d bk c a-=- 直线PM 的方程为()d b y b x a c a --=--，令0y =可得ad bcm d b-=- 同理有PM d b k c a+=- 直线PN 的方程为()d b y b x a c a ++=--，令0y =可得ad bcn d b+=+ 则222222ad bc ad bc a d b c mn d b d b d b -+-⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪-+-⎝⎭⎝⎭222222111144111144a c c a c a ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫--- ⎪⎝⎭()2222414a c a c -==- 31．椭圆E ：22143x y +=的左顶点为A ，点,B C 是椭圆E 上的两个动点，若直线,AB AC 的斜率乘积为定值14-，则动直线BC 恒过定点的坐标为__________． 【答案】(1,0)【解析】当直线BC 的斜率存在时，设直线BC 的方程为y=kx+m ，由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得：（3+4k 2）x 2+8kmx+4m 2﹣12=0， 设B （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则x 1+x 2=28km 34k -+，x 1x 2=2241234m k -+， 又A （﹣2，0），由题知k AB •k AC =121222y y x x ++=﹣14， 则（x 1+2）（x 2+2）+4y 1y 2=0，且x 1，x 2≠﹣2， 则x 1•x 2+2（x 1+x 2）+4+4（kx 1+m ）（kx 2+m ） =（1+4k 2）x 1x 2+（2+4km ）（x 1+x 2）+4m2+4=()()2221441234k m k +-++（2+4km ）28km 34k -++4m2+4=0则m 2﹣km ﹣2k 2=0， ∴（m ﹣2k ）（m+k ）=0， ∴m=2k 或m=﹣k ．当m=2k 时，直线BC 的方程为y=kx+2k=k （x+2）． 此时直线BC 过定点（﹣2，0），显然不适合题意．当m=﹣k 时，直线BC 的方程为y=kx ﹣k=k （x ﹣1），此时直线BC 过定点（1，0）． 当直线BC 的斜率不存在时，若直线BC 过定点（1，0），B 、C 点的坐标分别为（1，32），（1，﹣32），满足k AB •k AC =﹣14． 综上，直线BC 过定点（1，0）． 故答案为（1，0）．。
20XX年中考复习专题：动态几何之定值问题探讨一、线段（和差）为定值问题：典型例题：例1：已知：在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，点P从点B出发，沿射线BC方向以每秒2cm的速度移动，同时，点Q从点D出发，沿线段DA以每秒1cm的速度向点A方向移动（当点Q到达点A时，点P与点Q同时停止移动），PQ交BD于点E．求证：在点P、Q的移动过程中，线段BE的长度保持不变．例2：如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C，顶点坐标为P．（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．练习题：1.如图，Rt△ABC中，∠A=30°，BC=10cm，点Q在线段BC上从B向C运动，点P在线段BA上从B向A 运动．Q、P两点同时出发，运动的速度相同，当点Q到达点C时，两点都停止运动．作PM⊥PQ交CA 于点M，过点P分别作BC、CA的垂线，垂足分别为E、F．（1）求证：△PQE∽△PMF；（2）当点P、Q运动时，请猜想线段PM与MA的大小有怎样的关系？并证明你的猜想；（3）设BP=x，△PEM的面积为y，求y关于x的函数关系式，当x为何值时，y有最大值，并将这个值求出来．2、已知正方形ABCD，点P是对角线AC所在直线上的动点，点E在DC边所在直线上，且随着点P的运动而运动，PE＝PD总成立．(1)如图(1)，当点P在对角线AC上时，请你通过测量、观察，猜想PE与PB有怎样的关系？(直接写出结论不必证明)；(2)如图(2)，当点P运动到CA的延长线上时，(1)中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；(3)如图(3)，当点P运动到CA的反向延长线上时，请你利用图(3)画出满足条件的图形，并判断此时PE与PB有怎样的关系？(直接写出结论不必证明)(1)(2) (3)3、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝20cm，AD＝10cm，现有两个动点P、Q分别从B、D两点同时．．出发，点P以每秒2cm的速度沿BC向终点C移动，点Q以每秒1cm的速度沿DA向终点A移动，线段PQ与BD相交于点E，过E作EF∥BC交CD于点F，射线QF交BC的延长线于点H，设动点P、Q移动的时间为t（单位：秒，0<t<10）．（1）当t为何值时，四边形PCDQ为平行四边形？（2）在P、Q移动的过程中，线段PH的长是否发生改变？如果不变，求出线段PH的长；如果改变，请说明理由．4、已知：A、B、C不在同一直线上.（1）若点A、B、C均在半径为R的⊙O上，i）如图一，当∠A=45°时，R=1，求∠BOC的度数和BC的长度；ii）如图二，当∠A为锐角时，求证sin∠A= BC2R；（2）.若定长线段．．．．BC的两个端点分别在∠MAN的两边AM、AN（B、C均与点A不重合）滑动，如图三，当∠MAN=60°，BC=2时，分别作BP⊥AM，CP⊥AN，交点为点P，试探索：在整个滑动过程中，P、A 两点的距离是否保持不变？请说明理由.二、面积（和差）为定值问题：典型例题：例1：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、DC边的中点，AB=4，∠B=60°，（1）求点E到BC边的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥BC，垂足为M，过点M作MN∥AB交线段AD于点N，连接PN、探究：当点P在线段EF上运动时，△PMN的面积是否发生变化？若不变，请求出△PMN的面积；若变化，请说明理由．例2：如图，在平面直角坐标系x O y中，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0,4），现有两动点P、Q，点P 从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度，匀速向点C运动，点Q从点C 出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点P，Q同时出发，同2.时停止，设运动时间为t秒，当t=2秒时PQ=5（1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围；（2）连接AQ并延长交x轴于点E,把AE沿AD翻折交CD延长线于点F,连接EF，则△AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值.（3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形APQF是梯形？练习题：1．如图1，在△ABC 中，AB=AC=5，BC=6，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 、G 为BC 上的两点，FG=3，线段DG ，EF 的交点为O ，当线段FG 在线段BC 上移动时，三角形FGO 的面积与四边ADOE 的面积之和恒为定值，则这个定值是 ．2．如图2，在矩形ABCD 中，AD=5，AB=4，点E 、G 、H 、F 分别在AB 、BC 、CD 、AD 上，且AF=CG=2，BE=DH=1，点P 是直线EF 、GH 之间任意一点，连接PE 、PF 、PG 、PH ，则△PEF 和△PGH 的面积和等于 _________ ．图1 图23.如图所示，四边形OABC 是矩形．点A 、C 的坐标分别为(30-，)，(0，1)，点D 是线段BC 上的动点(与端点B 、C 不重含)，过点D 作直线12y x b =+交折线OAB 于点E 。
圆中的定值问题(一）探究a b⋅型定值问题定值问题是近年来中考和竞赛中的热点和难点，它要求学生能运用动与静、变与不变的辨证关系进行分析、猜想、论证，从而使问题获得解决.图形背景：如图，在平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上一点，以M为圆心的圆分别交x轴、y轴于A、B、C、D四点.此图虽简单，但内涵极为丰富，它可以与直角三角形、射影定理、垂径定理等有关知识联系，演变成一系列定值问题.例1.如图，圆心M的坐标（3，0），半径为5。
点P是上一动点，连接CP并延长交x轴⋅为定值，并求其于点Q，连接PD交x轴于点H，当点P在上运动时，试探究MQ MH值。
练习1、如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，AC=PC ，∠COB=2∠PCB． （1）求证：PC 是⊙O 的切线； （2）求证：BC=21AB ； （3）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ，若AB=4，求MN•MC 的值．练习2、（2010•深圳）如图1所示，以点M （-1，0）为圆心的圆与y 轴，x 轴分别交于点A ，B ，C ，D ，直线y=-33533 x 与⊙M 相切于点H ，交x 轴于点E ，交y 轴于点F ．（1）请直接写出OE ，⊙M 的半径r ，CH 的长；（2）如图2所示，弦HQ 交x 轴于点P ，且DP ：PH=3：2，求cos∠QHC 的值； （3）如图3所示，点K 为线段EC 上一动点（不与E ，C 重合），连接BK 交⊙M 于点T ，弦AT 交x 轴于点N ．是否存在一个常数a ，始终满足MN•MK=a，如果存在，请求出a 的值；如果不存在，请说明理由．练习3——已知：如图，直线y=kx+3（k＞0）交x轴于B点，交y轴于A点，以A为圆心，AB为半径作⊙A交x轴于另一点D，交y轴于E、F两点，交直线AB 于C点，连接BE、CE，∠CBD的平分线交CE于I点．（1）求证：BE=IE；（2）若AI⊥CE，①求⊙A的半径；②设Q为弧BF上一点，连接DQ交y轴于T，连接BQ并延长交y轴于G 点，求AT•AG的值；4、如图，PA为⊙O的切线，A为切点，连接PO并延长，与圆相交于点B、C，PA=10，PB=5，∠BAC的平分线与BC和⊙O分别相交于点D和E．求：（1）⊙O的半径；（2）sin∠BAP的值；（3）AD•AE的值．圆中的定值问题（二）探究a b 型定值问题定值问题是近年来中考和竞赛中的热点和难点，它要求学生能运用动与静、变与不变的辨证关系进行分析、猜想、论证，从而使问题获得解决.图形背景：如图，在平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上一点，以M为圆心的圆分别交x轴、y轴于A、B、C、D四点.此图虽简单，但内涵极为丰富，它可以与直角三角形、射影定理、垂径定理等有关知识联系，演变成一系列定值问题.例.如图，若以M（1，0）为圆心，2为半径的⊙M分别交坐标轴于A、B、C、D四点，点P 是上一动点，过点D作⊙M的直径DH交AP于F点，连接PH交x轴于点E，当点P在上运动时，试探究ME+MF为定值，并求其值.变式练习.如图，若以M（1，0）为圆心，2为半径的⊙M分别交坐标轴于A、B、C、D四点，若P是上一动点，连接HP交x轴于E，当点P在上运动时，试探究ME-MF为定值，并求其值.例.如图，点P是上一动点，连接PC、PB、PD，当点P在上运动时，探究PC PDPB+为定值，并求其值.练习1、如图，点P是上一动点，连接PC、PB、PD，若点P在上运动时，探究PC PDPB-为定值，并求其值.练习2、如图，E 点为x 轴正半轴上一点，⊙E 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 、D 两点，P 点为劣弧BC 上一个动点，且A （-1，0），E （1，0）． （1）如图1，求点C 的坐标；（2）如图2，连接PA ，PC ．若CQ 平分∠PCD 交PA 于Q 点，当P 点在运动时，线段AQ 的长度是否发生变化；若不变求出其值，若发生变化，求出变化的范围；（3）如图3，连接PD ，当P 点在运动时（不与B 、C 两点重合），给出下列两个结论:①PA PD PC +的值不变，②POPD PC PA ++的值不变，其中有且仅有一个是正确的，请你判断哪一个是正确的，并求其值。
解析几何中的定值问题探究解析几何中的定值问题是高考命题的一个热点，也是解析几何问题中的一个难点，在求解过程中往往伴随复杂的运算。
提高解决此类问题的效率，对学生思维的深度，做题的专注度，以及基本运算能力的培养，都有非常积极的意义。
一.角为定值例1.在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为4)1(22=+-y x ，P 为圆C 上一点．若存在一个定圆M ，过P 作圆M 的两条切线PB PA ,，切点分别为B A ,，当P 在圆C 上运动时，使得APB ∠恒为060，求圆M 的方程．解：设定圆圆心M (),a b ，半径为r ，动点(),P x y ，由题意知2MP r =，即()()2224x a y b r -+-=，由于点P 在圆C ：(x －1)2＋y 2＝4上，所以有()222222430a x by a b r --++-+=对任意,x y 都成立，所以21,0,1a b r ===， 所求圆方程为(x －1)2＋y 2＝1．变式：已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ：的离心率为3,右准线方程为33=x .设直线l 是圆2:22=+y x O 上动点)0)((0000≠y x y x P 处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点B A ,，证明：AOB ∠的大小为定值.证明：由题意：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===3332ca a c e 解得：⎩⎨⎧==31c a所以2222=-=a c b所以双曲线方程为：1222=-y x 点)0)((0000≠y x y x P 在圆2:22=+y x O 上，圆在点)(00y x P 处的切线l 的方程为)(000x x y x y y --=-, 化简得200=+y y x x由⎪⎩⎪⎨⎧=-=+1222200y x y y x x 及22020=+y x ,得0284)43200220=-+--x x x x x （因为切线l 与双曲线C 交于不同的两点B A ,且2020<<x 所以04320≠-x ，且0)28)(43(416202020>---=∆x x x 设B A ,两点的坐标分别为),(),,(2211y x y x 则4328,4342022120021--=-=+x x x x x x x x因为||||cos OB OA AOB ⋅=∠,且)2)(2(120102212121x x x x y x x y y x x --+=+=⋅43824328]43)28(4384[214328])(24[212020202202020202220221202102021=--+--=--+---+--=++--+=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x所以AOB ∠为定值090.二.斜率定值（倾斜角定值）例2. 已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，且过点A (2,1)．若P ，Q 是椭圆C 上的两个动点，且使∠P AQ 的角平分线总垂直于x 轴，试判断直线PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 解：方法一：因为椭圆C 的离心率为23，且过点A(2,1)，所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===+2222223114c b a ac b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==2822b a所以椭圆C 的方程为12822=+y x 因为∠PAQ 的角平分线总垂直于x 轴， 所以PA 与AQ 所在的直线关于直线x ＝2对称． 设直线PA 的斜率为k ，则直线AQ 的斜率为－k. 所以直线PA 的方程为y －1＝k(x －2)， 直线AQ 的方程为y －1＝－k(x －2)．设点),(),,(2211y x Q y x P ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-128)2(122y x x k y 得041616)816()412222=--+--+k k x k k x k （① 因为点A(2,1)在椭圆C 上，所以x ＝2是方程①的一个根，则22141416162k k k x +--=，所以22141288k k k x +--= 同理22241288kk k x +-+= 所以222122141416,4116kk x x k k x x +-=++-=- 又22121418)4(kkx x k y y +-=-+=-， 所以直线PQ 的斜率212121=--=x x y y k PQ ，所以直线PQ 的斜率为定值，该值为21. 方法二 设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b ， 点),(),,(2211y x Q y x P 则b kx y b kx y +=+=2211,， 所以21,212211--=--=x y k x y k QA PA ，因为∠PAQ 的角平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在的直线关于直线x ＝2对称， 所以Q A PA k k -=，即21212211--=--x y x y 化简得04)(2)(21211221=++-+-+y y x x y x y x 所以044))(21(22121=+-+--+b x x k b x kx ①由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12822y x b kx y 得0848)41222=-+++b kbx x k （② 则22212214184,418k b x x k kb x x +-=+-=+，代入①，得04441)21(841)84(2222=+-+---+-b k k b kb k b k 整理得0)12)(12=-+-k b k （ 所以k b k 2121-==或 若k b 21-=，可得方程①的一个根为2，不符合题意． 所以直线PQ 的斜率为定值，该值为21. 变式：过抛物线22y px =（p ＞0）上一定点000(,)(P x y y ＞0），作两条直线分别交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y ，求证：PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，直线AB 的斜率为非零常数．证明：因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补 所以PB PA k k -=由⎪⎩⎪⎨⎧==02012122px y px y 相减得，101010()()2()y y y y p x x -+=- 故1010102PA y y pK x x y y -==-+ 10()x x ≠同理可得，2020202PB y y pK x x y y -==-+ 20()x x ≠所以102022p py y y y =-++所以 1202y y y +=-由⎪⎩⎪⎨⎧==22212122px y px y 相减得，212121()()2()y y y y p x x -+=- ∴ 21211200222AB y y p p pK x x y y y y -====--+-∴直线AB 的斜率为非零常数0y p-． 三.线段长度定值例3.如图，在平面直角坐标系xoy 中，点），（021F ，直线21:-=x l ，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，l PQ PF RQ ⊥⊥,. (1)求动点Q 的轨迹C 的方程；(2)设圆M 过)01(，A ，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长||TS 是否为定值？请说明理由．解 (1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且PF RQ ⊥， ∴RQ 是线段FP 的垂直平分线．∵点Q 在线段FP 的垂直平分线上，∴|PQ|＝|QF|， 又|PQ|是点Q 到直线l 的距离，故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为)0(22>=x x y ． (2)弦长|TS|为定值．理由如下：取曲线C 上点),00y x M （，M 到y 轴的距离为00||x x d ==， 圆的半径2020)1(||y x MA r +-==， 则1222||02022+-=-=x y dr TS ，因为点M 在曲线C 上，所以2200yx =，所以2122||020=+-=x y TS ，是定值．变式1：已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，)02(，P 为定点，若动圆M 过点P ，且圆心M 在抛物线C 上运动。
解析几何中的定值问题探究解析几何中的定值问题是高考命题的一个热点，也是解析几何问题中的一个难点，在求解过程中往往伴随复杂的运算。
提高解决此类问题的效率，对学生思维的深度，做题的专注度，以及基本运算能力的培养，都有非常积极的意义。
一.角为定值例1.在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为4)1(22=+-y x ，P 为圆C 上一点．若存在一个定圆M ，过P 作圆M 的两条切线PB PA ,，切点分别为B A ,，当P 在圆C 上运动时，使得APB ∠恒为060，求圆M 的方程．解：设定圆圆心M (),a b ，半径为r ，动点(),P x y ，由题意知2MP r =，即()()2224x a y b r -+-=，由于点P 在圆C ：(x －1)2＋y 2＝4上，所以有()222222430a x by a b r --++-+=对任意,x y 都成立，所以21,0,1a b r ===， 所求圆方程为(x －1)2＋y 2＝1．变式：已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x C ：的离心率为3,右准线方程为33=x .设直线l 是圆2:22=+y x O 上动点)0)((0000≠y x y x P 处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点B A ,，证明：AOB ∠的大小为定值.证明：由题意：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===3332ca a c e 解得：⎩⎨⎧==31c a所以2222=-=a c b所以双曲线方程为：1222=-y x 点)0)((0000≠y x y x P 在圆2:22=+y x O 上，圆在点)(00y x P 处的切线l 的方程为)(000x x y x y y --=-, 化简得200=+y y x x由⎪⎩⎪⎨⎧=-=+1222200y x y y x x 及22020=+y x ,得0284)43200220=-+--x x x x x （因为切线l 与双曲线C 交于不同的两点B A ,且2020<<x 所以04320≠-x ，且0)28)(43(416202020>---=∆x x x 设B A ,两点的坐标分别为),(),,(2211y x y x 则4328,4342022120021--=-=+x x x x x x x x因为cos AOB =∠,且)2)(2(1201020212121x x x x y x x y y x x OB OA --+=+=⋅43824328]43)28(4384[214328])(24[212020202202020202220221202102021=--+--=--+---+--=++--+=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x所以AOB ∠为定值090.二.斜率定值（倾斜角定值）例2. 已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的离心率为23，且过点A (2,1)．若P ，Q 是椭圆C 上的两个动点，且使∠P AQ 的角平分线总垂直于x 轴，试判断直线PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 解：方法一：因为椭圆C 的离心率为23，且过点A(2,1)，所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===+2222223114c b a a c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==2822b a所以椭圆C 的方程为12822=+y x 因为∠PAQ 的角平分线总垂直于x 轴， 所以PA 与AQ 所在的直线关于直线x ＝2对称． 设直线PA 的斜率为k ，则直线AQ 的斜率为－k. 所以直线PA 的方程为y －1＝k(x －2)， 直线AQ 的方程为y －1＝－k(x －2)．设点),(),,(2211y x Q y x P ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-128)2(122y x x k y 得041616)816()412222=--+--+k k x k k x k （① 因为点A(2,1)在椭圆C 上，所以x ＝2是方程①的一个根，则22141416162k k k x +--=，所以22141288k k k x +--= 同理22241288kk k x +-+= 所以222122141416,4116k k x x k k x x +-=++-=-又22121418)4(kkx x k y y +-=-+=-， 所以直线PQ 的斜率212121=--=x x y y k PQ ，所以直线PQ 的斜率为定值，该值为21. 方法二 设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋b ， 点),(),,(2211y x Q y x P 则b kx y b kx y +=+=2211,， 所以21,212211--=--=x y k x y k QA PA ，因为∠PAQ 的角平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在的直线关于直线x ＝2对称， 所以QA PA k k -=，即21212211--=--x y x y 化简得04)(2)(21211221=++-+-+y y x x y x y x 所以044))(21(22121=+-+--+b x x k b x kx ①由⎪⎩⎪⎨⎧=++=12822yx b kx y 得0848)41222=-+++b kbx x k （② 则22212214184,418k b x x k kb x x +-=+-=+，代入①，得04441)21(841)84(2222=+-+---+-b kk b kb k b k 整理得0)12)(12=-+-k b k （ 所以k b k 2121-==或 若k b 21-=，可得方程①的一个根为2，不符合题意． 所以直线PQ 的斜率为定值，该值为21. 变式：过抛物线22y px =（p ＞0）上一定点000(,)(P x y y ＞0），作两条直线分别交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y ，求证：PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，直线AB 的斜率为非零常数．证明：因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补 所以PB PA k k -=由⎪⎩⎪⎨⎧==02012122px y px y 相减得，101010()()2()y y y y p x x -+=- 故1010102PA y y pK x x y y -==-+ 10()x x ≠同理可得，2020202PB y y pK x x y y -==-+ 20()x x ≠所以102022p py y y y =-++所以 1202y y y +=-由⎪⎩⎪⎨⎧==22212122px y px y 相减得，212121()()2()y y y y p x x -+=- ∴ 21211200222AB y y p p pK x x y y y y -====--+-∴直线AB 的斜率为非零常数0y p-． 三.线段长度定值例3.如图，在平面直角坐标系xoy 中，点），（021F ，直线21:-=x l ，点P 在直线l 上移动，R 是线段PF 与y 轴的交点，l PQ PF RQ ⊥⊥,. (1)求动点Q 的轨迹C 的方程；(2)设圆M 过)01(，A ，且圆心M 在曲线C 上，TS 是圆M 在y 轴上截得的弦，当M 运动时，弦长||TS 是否为定值？请说明理由．解 (1)依题意知，点R 是线段FP 的中点，且PF RQ ⊥， ∴RQ 是线段FP 的垂直平分线．∵点Q 在线段FP 的垂直平分线上，∴|PQ|＝|QF|， 又|PQ|是点Q 到直线l 的距离，故动点Q 的轨迹是以F 为焦点，l 为准线的抛物线，其方程为)0(22>=x x y ． (2)弦长|TS|为定值．理由如下：取曲线C 上点),00y x M （，M 到y 轴的距离为00||x x d ==， 圆的半径2020)1(||y x MA r +-==， 则1222||02022+-=-=x y dr TS ，因为点M 在曲线C 上，所以2200yx =，所以2122||020=+-=x y TS ，是定值．变式1：已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点在x 轴上，)02(，P 为定点，若动圆M 过点P ，且圆心M 在抛物线C 上运动。
解析几何中定值与定点问题【探究问题解决的技巧、方法】(1)定点和定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的．(2)解圆锥曲线中的定点、定值问题也可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究．【实例探究】题型1：定值问题:例1：已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点，离心率等于（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）过椭圆C的右焦点作直线l交椭圆C于A、B两点，交y轴于M点，若为定值.解：（I）设椭圆C的方程为，则由题意知b= 1.∴椭圆C的方程为（II）方法一：设A、B、M点的坐标分别为易知F点的坐标为（2，0）.将A点坐标代入到椭圆方程中，得去分母整理得方法二：设A、B、M点的坐标分别为又易知F点的坐标为（2，0）.显然直线l存在的斜率，设直线l的斜率为k，则直线l的方程是将直线l的方程代入到椭圆C的方程中，消去y并整理得又例2.已知椭圆C经过点A(1,3/2),两个焦点为(-1,0),(1,0).1）求椭圆方程2）E、F是椭圆上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明：直线EF的斜率为定值，并求出这个定值（1）a²-b²=c² =1设椭圆方程为x²/（b²+1）+y²/b²=1将（1，3/2）代入整理得4b^4-9b²-9=0 解得b²=3 （另一值舍）所以椭圆方程为x²/4+y²/3=1（2）设AE斜率为k则AE方程为y-(3/2)=k(x-1)①x ²/4+y ²/3=1 ②①，②联立得出两个解一个是A （1,3/2）另一个是E （x1，y1） ①代入②消去y 得（1/4+k ²/3）x ²-（2k ²/3-k ）x+k ²/3-k-1/4=0 根据韦达定理 x1·1=（k ²/3-k-1/4）/（1/4+k ²/3）③ 将③的结果代入①式得y1=（-k ²/2-k/2+3/8）/(1/4+k ²/3)设AF 斜率为-k ，F （x2，y2） 则AF 方程为y-（3/2）=-k （x-1）④ x ²/4+y ²/3=1 ② ②④联立同样解得x2=（k ²/3+k-1/4）/（1/4+k ²/3） y2=（-k ²/2+k/2+3/8）/（1/4+k ²/3） EF 斜率为（y2-y1）/(x2-x1)=1/2所以直线EF 斜率为定值，这个定值是1/2。
专题:解析几何中五类定点定值问题的研究与拓展【问题提出】1.无论k 取任何实数，直线(1 +4k)x-(2 -3k)y+(2 -14k) =0必经过一个定点，则这个定点的坐标为2.已知直线丨：2ax +by-a +b =0 ；圆C : x 2 + y 2 - 2x-1 = 0 ,则直线I 与圆C 的位置关系为=1(a >■ b A 0)，点A,F 分别是椭圆C 的左顶点和左焦点，点P 是圆PA 若 ——为常数，则椭圆的离心率为PF过点(1, 0).若对任意的实数 m ,定直线 l 被圆C 截得的弦长为定值，则直线 I 的方程为.2x + y — 2= 0【探究拓展】2探究1：已知F 1、F 2分别为椭圆 G ：詁+詁=1(a Ab 》。
)的上、下焦点，其中F 1也是抛物线C 2：x 2=4y 的5焦点，点M是C 1与C 2在第二象限的交点，且阿七.(1) 求椭圆C 1的方程.(2)已知点P(1,3)和圆O ：X 2 +y 2 =b 2,过点P 的动直线I 与圆0相交于不同的两点 A,B ,在线段AB 上取一 点Q ,满足：AP = -A P B ,瓷=Z QB ,( A H 0且A H ±1).求证：点Q 总在某定直线上.4.平面直角坐标系 xOy 中,已知圆C ： x 2+ y 2— (6 — 2m)x — 4my + 5m 2— 6m = 0,直线 I 经 2 2x y3.已知椭圆C : —2 + —2a b2 2 2 O : x + y =b 上的动点,1 4变式1 :在平面直角坐标系 xOy 中，已知定点A( — 4,0)、B(4,0),动点P 与A 、B 两点连线的斜率之积为①求O M 的方程;直线AF i , AF 2分别交椭圆于点 (1 )求证直线BO 平分线段AC ;(2) 设点P (m , n ) ( m , n 为常数)在直线BO 上且在椭圆外，过P 的动直线(1)求点 p 的轨迹方程;(2)设点 P 的轨迹与y 轴负半轴交于点 C.半径为r 的圆M 的圆心M 在线段 AC 的垂直平分线上，且在 y轴右侧，圆 M 被y 轴截得的弦长为a②当r 变化时，是否存在定直线 I 与动圆M 均相切？如果存在，求出定直线I 的方程；如果不存在，说明理由.2 2X y 变式2 :已知椭圆E : —2 + a b= 1(a Ab >0)的离心率为 弓3 ,它的上顶点为A ,左、右焦点分别为F 1,F 2 ,MP N ,在线段MN 上取点Q ,满足—PN=器，试证明点Q 恒在一定直线上.B ,C .I 与椭圆交于两个不同点 M ,P探究2:平面直角坐标系xoy 中，圆G：(x + 3)2+(y -1)2=4和圆C2：(X-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线I过点A(4,0)，且被圆C I截得的弦长为2J3，求直线I的方程;(2)设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线|1和|2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线|1被圆C1截得的弦长与直线12被圆C2截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.-- ----------- ►A H变式1：在直角坐标系xOy中，点M到点F i(-J3,0)，F2(J3,O)的距离之和为4，点M的轨迹是C，与x轴的负半轴交于点A，轨迹C上有不同的两点P和Q，且AP-AQ-O(1)求轨迹C的方程;(2)直线PQ是否过x轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点？若不过定点，请说明理由.变式2:已知圆C:x2+y2=9，点A(—5,0)，直线l :x-2y = 0.(1)求与圆C相切，且与直线I垂直的直线方程;PB (2)在直线OA上(O为坐标原点)，存在定点B (不同于点A),满足：对于圆C上任一点P ,都有——PA 为一常数，试求所有满足条件的点B的坐标.变式3 :在平面直角坐标系xOy中，已知直线1: 2岳—y+ 3+ 8返=0和圆C1: x2+ y2+ 8x + F= 0.若直线I被圆C i截得的弦长为2j3 .设圆C i和x轴相交于A, B两点，点P为圆C i上不同于A, B的任意一点，直线FA, PB交y轴于M, N两点.当点P变化时，以MN为直径的圆C?是否经过圆C1内一定点?请证明你的结论;变式4:如图，椭圆的中心为原点 O ,离心率e =¥，—条准线的方程为x = 2{2.(1)求该椭圆的标准方程; (2)设动点P 满足：O P = OM + 2ON ，其中M , N 是椭圆上的点，直线 0M 与ON 的斜率之积为一2,问: 是否存在两个定点 F i , F 2，使得|PFJ +|PF 2I 为定值？若存在，求出 F i , F 2的坐标；若不存在，说明理由.5:已知左焦点为F(— 1 , 0)的椭圆过点E(1 , 亜).过点P(1 , 1)分别作斜率为k i , k 2的椭圆的动弦 3 CD ，设M , N 分别为线段AB , CD 的中点. 求椭圆的标准方程； 若P 为线段AB 的中点，求k i ；若k i + k 2=1，求证直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.变式 AB ,2 2 X y探究 3 :已知椭圆p +笃=1（a；＞bA0）的左顶点为a b+ y2+ J3x -3y -6 = 0过A, F2两点求椭圆标准的方程; A，左、右焦点分别为F1,F2，且圆X2(2) 设直线PF2的倾斜角为a,直线PF1的倾斜角为3,当a,3- a= I n时证明：点P在一定圆上;3变式设椭圆的上顶点为Q,在满足条件（2）的情形下证明: PQ = PF i + PF2 .1:在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（X—1）2+ y2= 4, P为圆C上一点•若存在一个定圆过P作圆M的两条切线PA, PB,切点分别为A, B，当P在圆C上运动时，使得/ APB恒为60。
解析几何中定点定值问题例1 已知椭圆)1(1222>=+a y ax 的上顶点为M 〔0,1〕,过M 的两条动弦MA 、MB 满足MA ⊥MB.对于给定的实数)1(>a a ,证明：直线AB 过定点.解：由0MA MB ⋅=知MA MB ⊥,从而直线MA 与坐标轴不垂直, 故可设直线MA 的方程为1y kx =+,直线MB 的方程为11y x k=-+ 将1y kx =+代入椭圆C 的方程,整理得 2222(1)20a k x a kx ++=解得0x =或22221a k x a k -=+,故点A 的坐标为222222221(,)11a k a k a k a k --++ 同理,点B 的坐标为22222222(,)a k k a k a k a-++ 知直线l 的斜率为2222222222222211221k a a k k a a k a k a k k a a k ---++--++=221(1)k a k-+ 直线l 的方程为22222222212()(1)k a k k a y x a k k a k a --=-++++,即222211(1)1k a y x a k a --=-++∴直线l 过定点2210,1a a ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭例3 已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x 轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点,OB OA +与)1,3(-=a 共线. 〔1〕求椭圆的离心率；〔2〕设M 为椭圆上任意一点,且),(R OB OA OM ∈+=μλλλ,证明22μλ+为定值.〔I 〕解：设椭圆方程为),0,(),0(12222c F b a by a x >>=+则直线AB 的方程为1,2222=+-=by a x c x y 代入化简得02)(22222222=-+-+b a c a cx a x b a .令),,(),,(2211y x B y x A则 .,22222222122221ba b a c a x x b a c a x x +-=+=+ ),,(2121y y x x OB OA ++=+由a OB OA a 与+-=),1,3(共线,得〔II 〕证明：由〔I 〕知223b a =,所以椭圆12222=+by a x 可化为22233b y x =+.),(y x M 在椭圆上,即 .3)3(2)3()3(221212222221212b y y x x y x y x =+++++λμμλ①由〔I 〕知.21,23,23222221c b c a c x x ===+ 又222222212133,33b y x b y x =+=+又,代入①得 .122=+μλ 故22μλ+为定值,定值为1.例4 设21,F F 是椭圆134:22=+y x C 的左右焦点,B A ,分别为左顶点和上顶点,过右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于N M ,两点,直线AN AM ,分别与已知直线4=x 交于点Q P ,,试探究以PQ 为直径的圆与直线l 的位置关系.高二数学作业〔13〕1.过双曲线22143x y -=左焦点1F 的直线交曲线的左支于M N ，两点,2F 为其右焦点,则22MF NF MN +-的值为______．82.AB 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中不平行于对称轴的一条弦,M 是AB 的中点,O 是椭圆的中心,OM AB k k ⋅=______22ab -3.在椭圆2212x y +=上,对不同于顶点的任意三个点,,M A B ,存在锐角θ,使OB OA OM θθsin cos +=．则直线OA 与OB 的斜率之积为. 12-4.如图,AB 是平面α的斜线段．．．,A 为斜足,若点P 在平面α内运动,使得ABP △的面积为定值,则动点P 的轨迹是椭圆5.在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线12:221=-y x C .椭圆14:222=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、A B P α2C 上的动点,且OM ⊥ON ,求证：O 到直线MN 的距离是定值.解：当直线ON 垂直于x 轴时,|ON|=1,|OM|=22,则O 到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时,设直线ON 的方程为kx y =〔显然22||>k 〕,则直线OM 的方程为x y k1-=.由⎩⎨⎧=+=1422y x kxy ,得⎪⎩⎪⎨⎧==++22242412k k k y x ,所以22412||k kON ++=.同理121222||-+=k k OM .设O 到直线MN 的距离为d,因为22222||||)|||(|ON OM d ON OM =+,所以3133||1||1122222==+=++k k ON OM d ,即d=33.综上,O 到直线MN 的距离是定值.6.如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆E ：22143x y +=若点A ,B 分别是椭圆E 的左、右顶点,直线l 经过点B 且垂直于x 轴,点P 是椭圆上异于A ,B 的任意一点,直线AP 交l 于点.M 设过点M 垂直于PB 的直线为m .求证：直线m 过定点,并求出定点的坐标.证明：直线BP 的斜率为1212y k x =-,直线m 的斜率为112m x k y -=,则直线m 的方程为1012(2)x y y x y --=-, 2211111122(4)4(2)x x y x y x y --+=++2211111122(4)123(2)x x xx y x y --+-=++=111122x x x y y --+=112(1)x x y -+, 所以直线m 过定点(1,0)-．7.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为22,且过点)21,22(P ,记椭圆的左顶点为.A 〔1〕求椭圆的方程；〔2〕设垂直于y 轴的直线l 交椭圆于B ,C 两点,试求ABC ∆面积的最大值；〔3〕过点A 作两条斜率分别为1k ,2k 的直线交椭圆于D ,E 两点,且221=k k ,求证：直线DE 恒过一个定点.高二数学教学案〔13〕例1 已知椭圆)1(1222>=+a y ax 的上顶点为M 〔0,1〕,过M 的两条动弦MA 、MB 满足MA ⊥MB.对于给定的实数)1(>a a ,证明：直线AB 过定点.例2一束光线从点1(1,0)F -出发,经直线l :230x y -+=上一点P 反射后,恰好穿过点2(1,0)F ． 〔1〕求P 点的坐标；〔2〕求以1F 、2F 为焦点且过点P 的椭圆C 的方程；〔3〕设点Q 是椭圆C 上除长轴两端点外的任意一点,试问在x 轴上是否存在两定点A 、B ,使得直线QA 、QB 的斜率之积为定值？若存在,请求出定值,并求出所有满足条件的定点A 、B 的坐标；若不存在,请说明理由．例3 已知椭圆的中心为坐标原点O,焦点在x 轴上,斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B两点,OB OA +与)1,3(-=a 共线. 〔1〕求椭圆的离心率；〔2〕设M 为椭圆上任意一点,且),(R OB OA OM ∈+=μλλλ,证明22μλ+为定值.例4 设21,F F 是椭圆134:22=+y x C 的左右焦点,B A ,分别为左顶点和上顶点,过右焦点2F 的直线l 交椭圆C 于N M ,两点,直线AN AM ,分别与已知直线4=x 交于点Q P ,,试探究以PQ 为直径的圆与直线l 的位置关系.高二数学作业〔13〕1.过双曲线22143x y -=左焦点1F 的直线交曲线的左支于M N ，两点,2F 为其右焦点,则22MF NF MN +-的值为______．2.AB 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>中不平行于对称轴的一条弦,M 是AB 的中点,O 是椭圆的中心,OM AB k k ⋅=______3.在椭圆2212x y +=上,对不同于顶点的任意三个点,,M A B ,存在锐角θ,使OB OA OM θθsin cos +=．则直线OA 与OB 的斜率之积为.4.如图,AB 是平面α的斜线段．．．,A 为斜足,若点P 在平面α内运动,使得ABP △的面积为定值,则动点P 的轨迹是5.在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线12:221=-y x C .椭圆14:222=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点,且OM ⊥ON ,求证：O 到直线MN 的距离是定值.A B P α 〔第4题〕6.如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆E ：22143x y +=若点A ,B 分别是椭圆E 的左、右顶点,直线l 经过点B 且垂直于x 轴,点P 是椭圆上异于A ,B 的任意一点,直线AP 交l 于点.M 设过点M 垂直于PB 的直线为m .求证：直线m 过定点,并求出定点的坐标.7.已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为22,且过点)21,22(P ,记椭圆的左顶点为.A 〔1〕求椭圆的方程；〔2〕设垂直于y 轴的直线l 交椭圆于B ,C 两点,试求ABC ∆面积的最大值；〔3〕过点A 作两条斜率分别为1k ,2k 的直线交椭圆于D ,E 两点,且221=k k ,求证：直线DE 恒过一个定点.。
