传热学第3章非稳态导热

2 sin 2 n n 2 Fo 2 2 c0 1 2 e J m sin cos n n n n 1 n


3.3 无限大平壁非稳态导热
Q P130 f ( Fo, Bi); Q0 2 c 0图 —3-9 每 m 2 平壁t 0 t Q0


0
n
sin( n r / R ) 2 球体： Cn exp n Fo 0 n 1 nr / R sin n n cos n Cn 2 1 n cot n Bi n sin n cos n


J0、J1分别为0阶和1阶第一类贝塞尔（Bessel）函数。
t∞
( b ) ( c) (a)
t
从曲线上看，物体内部的温 度几乎是均匀的，物体的温 度场仅仅是时间的函数，与 空间坐标无关。这样的非稳 态导热系统可用集中参数法 求解。
x
0
x
1）边界条件对温度分布的影响
曲线（b）表示平板外环境 ( b) ( c) 的换热热阻 1 h 相当于 t∞ 平板内的导热热阻 , ( a) 即 1/h /
x
x
h
x
x
x
x x h Bi
2）毕渥数Bi对温度分布的影响
O ( / Bi , 0)
2）毕渥数Bi对温度分布的影响
§3.2 集中参数法分析导热问题
当物体内部导热热阻远小于其表面的换热热阻， 也就是物体内部温度分布几乎趋于一致，可以近似 认为物体内部在同一瞬间均处于同一温度下。 此时 Bi h 0
3.3 无限大平壁非稳态导热 分析解的简化
2 sin( n ) ( x, ) x 2 cos( n ) exp( Fo n ) 0 n 1 n sin n cos n
若Fo≥0.2时，利用上述公式计算时，采用该级数 的第一项与采用完整的级数计算平板中心的温度 差别小于1%。因而可以简化为：
2 1 Fo
对于平壁中心，
m 2 sin 1 12 Fo e f Bi , Fo 0 1 sin 1 cos 1
上面两式之比：
0 x cos 1 m m 0
x f Bi ,
可见，当Fo 0.2，非稳态导热进入正规状况阶段以 后，虽然与m都随时间变化，但它们的比值与时间无 关，只取决于毕渥数Bi与几何位置x/ 。
0 t
这也是正常的第三类边界条 件
x
x
1）边界条件对温度分布的影响
曲线（c）表示平板外环境 的换热热阻 1 h 远小于 ( c) ( b ) 平板内的导热热阻 , t ∞ 即1 / h /
(a)
t
从曲线上看，物体内部温度 变化比较大，而环境与物体 边界几乎无温差，此时可用 t tw 认为 。那么， 边界条件就变成了第一类边 界条件，即给定物体边界上 的温度。
3.3 无限大平壁非稳态导热
t t 导热微分方程： a 2 x
2
初始条件：
0, t t 0
边界条件： (第三类)
x 0, t x 0
x , - t x h (t t )
3.3 无限大平壁非稳态导热
t ( x , ) t — 过余温度
自然指数曲线，或者无因次温度的对数 与时间的关系是一条负斜率直线。
(V ) a A (V )2 A
Bi Fo

A cV
e
e
其中V/A具有长度的量纲，称为特征长度。
（2）导热量的计算
cV hA 称为系统的时间常数，记为s。
时间常数是反应物体对流体温度变动响应快慢的指标。它 取决于自身的热容量ρcv及表面换热条件hA。热容量越大， 温度变化得越慢；表面换热条件越好单位时间内传递的热 量越多，则越能使物体自身温度迅速接近流体温度。
3.3 无限大平壁非稳态导热
m 0 0 m
(x , ) (x , ) m( ) 0 m( ) 0
( x, ) ( x, ) m ( ) ; 0 m ( ) 0
f ( Bi,
x

) f ( Bi, Fo )
0.95 对于任意形状的物体当Bi<0.1， m
物体内部的过余温度与其表面的过余温度之比为 0.95。其内部热阻就可忽略，从而采用集中参数 法。
3.2 集中参数法分析导热问题 一、集中参数法温度场的分析解
一个集中参数系统，其体积 为V、表面积为A、密度为、 比热为c以及初始温度为t0， 突然放入温度为t、换热系 数为h的环境中。
ΔΕ
ρ , c, V, t0
t t 引入过余温度：
α , t0
A 分离变量积分并代入初始条件得：n 0 cV
d A ; 0, 0 d cV
3.2 集中参数法分析导热问题
＝e 0
e 0

hA cV 物体的温度随时间的变化关系是一条负
x
0
x
1）边界条件对温度分布的影响
这是第三类边界条件下 可能的三种温度分布。 按照传热关系式
( c) t
t∞
(b)
(a)
t tw tw t q 1h
作一个近似的分析。
x
0
x
1）边界条件对温度分布的影响
曲线（a）表示平板外环境 的换热热阻 1/h 远大于平 板内的导热热阻 , 即 1 / h /
P129图3-7
3.3 无限大平壁非稳态导热
定义无量纲的热量
Q Q0
其中Qτ为0时间内传导的热量
Q 0 c 0V 从初始时刻到平板与周围介质处于
热平衡这一过程中所传递的总传热 量（物体内能改变总量） 经过 秒钟、每平方米平壁放出或吸收的热 量： Q c (t0 t )dx c ( 0 )dx
( x, ) 2 sin( 1 ) x 2 cos( 1 ) exp( Fo1 ) 0 1 sin 1 cos 1
所以对于 Fo0.2 时无限大平壁的非稳态导热过 程,温度场可按上式计算。
3.3 无限大平壁非稳态导热
对于圆柱体和球体在第三类边界条件下的一维 非稳态导热问题，也可以求得温度分布的分析解。 r 2 长圆柱： Cn J 0 n exp n Fo 0 n 1 R J1 ( n ) 2 J1 ( n ) Cn Bi 2 2 n n J 0 ( n ) J1 n J ( )
x
0
x
1）边界条件对温度分布的影响
h Bi 1h
毕渥数是导热分析中的一个重要的无因次准则数， 它表征了给定导热系统内的导热热阻与其表面对 流换热热阻的对比关系。
2） 毕渥数Bi对温度分布的影响
h Bi 1 h
平壁非稳态导热第三类边界条件表达式
2 a 2 x
x
3.3 无限大平壁非稳态导热
2 sin( n ) ( x, ) x 2 cos( n ) exp( Fo n ) 0 n 1 n sin n cos n
Fo a 2
Bi h
— 无量纲距离
§3.1 非稳态导热的基本概念

三、边界条件下Bi对温度分布的影响
t
1）边界条件对温度分布的影响
边界条件对系统温度分布 ( b) ( c) 的影响是很显著的 ,这里以一 t∞ 维非稳态导热过程（也就是大 ( a) 平板的加热或冷却过程）为例 来加以说明。 图中表示一个大平板的加 热过程，并画出在某一时刻的 三种不同边界情况的温度分布 曲线（a）、（b）、（c）
A Qc
ΔΕ
ρ , c, V, t0
α , t0
热平衡关系为：内热能随时间的变化率ΔΕ＝通 过表面与外界交换的热流量Qc
3.2 集中参数法分析导热问题
(1)温度场的计算 当物体被冷却时（t>t） dt cV A t t d 初始条件为 ： ＝0，t t 0
A Qc
对于直径为2r的球体
V/A=r/3 则
M = 0.33 M = 0.5
直径为2r的长圆柱体 V/A=r/2 则 对于厚度为2的大平板
V/A=δ
则
M = 1
§3.3 无限大平壁的非稳态导热 （正规状况阶段）
一、无限大平板加热（冷却）过程分析
厚度 2 的无限大平壁， 、 a 为已知常数； =0 时 温度为 t0; 突然把两侧介质温度降低 为 t 并保持不变；壁表 面与介质之间的表面传热 系数为h。 两侧冷却情况相同、温度 分布对称。中心为原点。
0 , t 0 -t 0 x 0, x 0 x , - x h
解的最后形式为：
2 sin( n ) ( x, ) x a 2 cos( n ) exp( 2 n ) 0 n 1 n sin n cos n
3.3 无限大平壁非稳态导热
x ( x, ) ( Bi, ) m ( )
P130图3-8
3.3 无限大平壁非稳态导热
( x, ) ( x, ) m ( ) ; 0 m ( ) 0
f ( Bi, x

) f ( Bi, Fo )
m ( ) (Bi, Fo) 0
一、非稳态导热过程及其特点
导热系统内的温度场随时间变化的导热过程为非稳 态导热。温度随时间变化，热流也随时间变化。
非稳态导热：周期性和非周期性（瞬态导热） 周期性非稳态导热：物体温度随时间而做周期性的变化。 非周期性非稳态导热（瞬态导热）：物体的温度随时间 不断地升高（加热过程）或降低（冷却过程），在经历相当 长时间后，物体温度逐渐趋近于周围介质温度，最终达到热 平衡。