2018版高中数学第三章指数函数和对数函数3.6指数函数幂函数对数函数增长的比较学案北师大版必修1(含解析)

6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较课时跟踪检测一、选择题1．如图是变量所对应的散点图，采用哪一种拟合函数较好( )A．一次函数模型B．指数函数模型C．对数函数模型D．幂函数模型解析：由散点图知，随着x的增大，y的值呈“爆炸式”增长，因此适用于指数函数模型拟合较好．答案：B2．浔阳中心城区现有绿化面积为1 000 hm2，计划每年增长4%，经过x(x∈N＋)年，绿化面积为y hm2，则x，y间的函数关系式为( )A．y＝1 000x4%B．y＝1 000x4%(x∈N＋)C．y＝1 000(1＋4%)xD．y＝1 000(1＋4%)x(x∈N＋)答案：D3.鸡年到了，农民李老汉进城购买年货，如图是李老汉从家里出发进城往返示意图，图中y(单位：千米)表示离家的距离，x(单位：分钟)表示经过的时间，县城可看做一个点，即李老汉在城内所走的路程不计，下列说法正确的是( )①李老汉购买年货往返共用80分钟；②李老汉的家距离县城40千米；③李老汉进城的平均速度要大于回来的平均速度；④李老汉回来的平均速度要大于进城的平均速度．A．①②④B．①④C．①②③D．①②③④答案：C4．某新品牌电视投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好反映销量y 与投放市场的月数x 之间的关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100 C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2x ＋100解析：把x ＝1，2，3，4分别代入计算，x ＝1时，A 为100，B 为100，C 为100，D 为100; x ＝2时，A 为200，B 为200，C 为200，D 为200；x ＝3时，A 为300，B 为400，C 为400，D 为258；x ＝4时，A 为400，B 为700，C 为800，D 为300，比较知只有C 中x ＝4时偏差很小，所以C 较好．答案：C5．面对函数f (x )＝log 12x ，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝x －12在区间(0，＋∞)上的衰减情况说法正确的是( )A ．f (x )衰减速度越来越慢，g (x )衰减速度越来越快，h (x )衰减速度越来越慢B ．f (x )衰减速度越来越快，g (x )衰减速度越来越慢，h (x )衰减速度越来越快C ．f (x )衰减速度越来越慢，g (x )衰减速度越来越慢，h (x )衰减速度越来越慢D ．f (x )衰减速度越来越快，g (x )衰减速度越来越快，h (x )衰减速度越来越快解析：函数f (x )＝log 12x ，g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x与h (x )＝x －12在区间(0，＋∞)上的图像如图所示．观察图像可知，函数f (x )的图像在区间(0，1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢；同样，函数g (x )的图像在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h (x )的图像在区间(0，1)上递减较快，但递减速度变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，故选C ．答案：C6．某工厂2016年生产某产品4万件，计划从2017年开始每年比上一年增产20%，从哪一年开始这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件(已知lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)( )A ．2021年B ．2022年C ．2023年D ．2024年解析：设从第n 年开始这家工厂的年产量超过12万件，则4(1＋20%)n －2016>12，即1.2n－2016＞3.取对数(n －2016)lg1.2＞lg 3， ∴n ＞2016＋lg 3lg1.2.∵lg1.2＝lg 3×410＝lg 3＋2lg 2－1＝0.477 1＋2×0.301 0－1＝0.079 1， ∴lg3lg1.2＝0.477 10.079 1≈6.03， ∴n ＞2022.03.又n ∈N ＋，∴n ＝2023. 答案：C 二、填空题7．若a ＞1，n ＞0，那么当x 足够大时，a x ，x n，log a x 中最大的是________． 答案：a x8．不等式4x ＋log 3x ＋x 2>5的解集为__________．解析：y ＝4x ＋log 3x ＋x 2在(0，＋∞)是递增的，且x ＝1时，y ＝5. ∴当x >1时，y >5. 答案：(1，＋∞)9．函数y ＝x 2与函数y ＝x ln x 在区间(0，＋∞)上增长较快的一个是________． 解析：因为x 比ln x 在(0，＋∞)上增长较快，所以y ＝x 2比y ＝x ln x 在(0，＋∞)上增长较快．答案：y ＝x 210．里氏震级是由两位来自美国加州理工学院的地震学家里克特(C ．F.Richter)和古登堡(B ．Gutenberg)于1935年提出的一种震级标度．里氏震级M 的计算公式是M ＝lg A －lg A 0.其中A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震并引发海啸，造成重大人员伤亡和财产损失．一般里氏6级地震给人的震撼已十分强烈．按照里氏震级M 的计算公式，此次日本东北部大地震的最大振幅是里氏6级地震最大振幅的________倍．解析：设6级地震最大振幅为x ，9级地震最大振幅为y .则⎩⎪⎨⎪⎧lg x －lg A 0＝6，lg y －lg A 0＝9，两式相减得lg y －lg x ＝3，lg y x ＝lg 103，y x ＝103，y ＝1 000x ，即9级地震最大振幅是6级地震最大振幅的1 000倍．答案：1 000 三、解答题11．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式．解：由题意得，当0≤x ≤20时，v (x )＝60； 当20<x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ， 再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003. 则v (x )＝－13x ＋2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，－13x ＋2003， 20<x ≤200.12．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时药物对治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病的有效时间．解：(1)当t ∈[0，1]，函数的解析式为y ＝kt ， 将M (1，4)代入得k ＝4.∴y ＝4t .又当t ∈(1，＋∞)时，函数的解析式为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a，将点(3，1)代入得a ＝3.∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3.综上有：y ＝f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧4t ，0≤t ≤1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t >1.(2)由f (t )≥0.25，解得116≤t ≤5.所以服药一次治疗疾病的有效时间为5－116＝7916个小时．13．已知a 为方程 2x＋x ＝0的根，b 为方程 log 2x ＝2的根，c 为方程log 12x ＝x 的根，试判断a ，b ，c 的大小关系．解：由2x＋x ＝0得2x＝－x ，设y 1＝2x，y 2＝－x ；由log 2x ＝2得x ＝4，即b ＝4；由log 12x ＝x ，设y 3＝log 12x ，y 4＝x ，在同一坐标系中分别作出四个函数的图像，如图所示，则a ，c 分别是y 1＝2x与y 2＝－x ，y 3＝log 12x 与y 4＝x 图像的交点A 、B 的横坐标，显然x A <0，0<x B <1.综上可得a <0，b ＝4，0<c <1，∴a ，b ，c 的大小关系为a <c <b .。

高中数学第三章指数函数和对数函数3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较知识点汇总素材北师大版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章指数函数和对数函数3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较知识点汇总素材北师大版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学第三章指数函数和对数函数3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较知识点汇总素材北师大版必修1的全部内容。

3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较一、知识框图二、目标认知学习目标1。

指数函数(1)通过具体实例,了解指数函数模型的实际背景；（2)理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。

（3)理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。

2。

对数函数（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料,了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；（2）通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3。

反函数知道指数函数与对数函数互为反函数(a＞0，a≠1).4.幂函数（1)了解幂函数的概念;(2）结合函数的图象，了解它们的变化情况。

重点指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.难点指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。

【课堂新坐标】（教师用书）2013-2014学年高中数学 3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较课时训练北师大版必修1一、选择题1．以下四种说法中，正确的是( )A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快B．对任意的x＞0，x a＞log a xC．对任意的x＞0，a x＞log a xD．一定存在x0，使x＞x0，总有a x＞x n＞log a x【解析】对于A，幂函数的增长速度受幂指数影响，幂指数与一次项系数不确定，增长速度不能比较，而B、C都受a的影响．【答案】 D2．当0＜x＜1时，x2，log2x,2x的大小关系是( )A．2x＞x2＞log2x B．2x＞log2x＞x2C．x2＞2x＞log2x D．x2＞log2x＞2x【解析】当0＜x＜1时，0＜x2＜1,1＜2x＜2，log2x＜0，所以大小关系为2x＞x2＞log2x.【答案】 A3．已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，根据三个函数增长速度比较，下列选项中正确的是( )A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x)C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x)【解析】可用特殊值法，取x＝8，知g(8)>f(8)>h(8)．【答案】 B4．今有一组实验数据如下：( )tA．v＝log2t B．v＝log12C ．v ＝t 2－12D ．v ＝2t －2【解析】 由表中数据可知，当t 增大时，v 也随着增大，所以B 不正确．又当t ＝2时，v ＝1.5，所以A 、D 不正确，C 符合要求．【答案】 C5．下面对函数f (x )＝log 12x ，g (x )＝(12)x与h (x )＝在区间(0，＋∞)上的衰减情况说法正确的是( )A ．f (x )衰减速度越来越慢，g (x )衰减速度越来越快，h (x )衰减速度越来越慢B ．f (x )衰减速度越来越快，g (x )衰减速度越来越慢，h (x )衰减速度越来越快C ．f (x )衰减速度越来越慢，g (x )衰减速度越来越慢，h (x )衰减速度越来越慢D ．f (x )衰减速度越来越快，g (x )衰减速度越来越快，h (x )衰减速度越来越快 【解析】 函数f (x )＝log 12x ，g (x )＝(12)x与h (x )＝在区间(0，＋∞)上的图像如图所示．观察图像可知，函数f (x )的图像在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢．同样，函数g (x )的图像在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢．函数h (x )的图像在区间(0,1)上递减较快，但递减速度变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，故选C.【答案】 C 二、填空题6．池塘浮萍每天生长原来的一倍，15天刚好长满池塘，则________天长满半池塘． 【解析】 设第一天生长a ，则第二天有浮萍2a ，第三天4a ，…第14天213a ，第15天214a .因214a ＝2×213a ， ∴14天长满半池塘． 【答案】 147．已知元素“碳14”每经过5 730年，其质量就变成原来的一半．现有一文物，测得其中“碳14”的残存量为原来的41%，此文物距现在约有________年．(注：精确到百位数，lg 2＝0.301 0，lg 4.1＝0.613)【解析】 设距现在为x 年，则有＝41%，两边取对数，利用计算器可得x ≈7400.【答案】 7 4008．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x －2 x <2，log 3x ＋x ≥2，若它与直线y ＝m 有两个不同的交点，则实数m 的取值范围是__________(用区间形式表示)．【解析】 在同一直角坐标系中作出函数y ＝f (x )和y ＝m 的图像如图所示，易知当m >1时，y ＝f (x )与y ＝m 有两个不同的交点．【答案】 (1，＋∞) 三、解答题9．函数f (x )＝lg x ，g (x )＝0.3x －1的图像如图3－6－4所示．图3－6－4(1)试根据函数的增长差异指出曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f (x )，g (x )的大小进行比较)． 【解】 (1)C 1对应的函数为g (x )＝0.3x －1，C 2对应的函数为f (x )＝lg x .(2)当x <x 1时，g (x )>f (x )； 当x 1<x <x 2时，f (x )>g (x )； 当x >x 2时，g (x )>f (x )．10．现有某种细胞100个，其中占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg 3＝0.477，lg 2＝0.301)【解】 现有细胞100个，先考虑经过1,2,3,4个小时后的细胞总数： 1小时后，细胞总数为 12×100＋12×100×2＝32×100；2小时后，细胞总数为12×32×100＋12×32×100×2＝94×100； 3小时后，细胞总数为12×94×100＋12×94×100×2＝278×100； 4小时后，细胞总数为12×278×100＋12×278×100×2＝8116×100. 可见，细胞总数y (个)与时间x (小时)之间的函数关系为y ＝100×(32)x ，x ∈N ＋.由100×(32)x >1010，得(32)x >108，两边同时取以10为底的对数， 得x lg 32>8，∴x >8lg 3－lg 2.∵8lg 3－lg 2＝80.477－0.301≈45.45，∴x >45.45.故经过46小时，细胞总数超过1010个．11．某民营企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图3－6－5所示，B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图(2)．(注：利润与投资的单位：万元)图3－6－5(1)分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A ，B 两种产品的生产．问：怎样分配这10万元资金，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元．(精确到1万元)【解】 (1)设投资为x 万元，A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元，则f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2，由题图形知f (1)＝14，g (4)＝52，∴k 1＝14，k 2＝54，∴f (x )＝14x (x ≥0)，g (x )＝54(x ≥0)．(2)设投入A 产品x 万元，则投入B 产品(10－x )万元，设企业利润为y 万元，则有y ＝f (x )＋g (10－x ) ＝x 4＋54 (0≤x ≤10)． 令＝t ，则y ＝10－t 24＋54t＝－14(t －52)2＋6516(0≤t ≤10)，当t ＝52时，y max ＝6516≈4，此时x ＝10－254＝3.75，故当投入A 产品3.75万元，投入B 产品6.25万元时，企业获得利润最大且最大利润约为4万元．。

§6指数函数、幂函数、对数函数增长的比较知识点三种函数类型的增长比较[填一填]在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)，y＝x n(n>0)都是增(填“增”或“减”)函数，但它们的增长速度不同，而且在不同的“档次”上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度越来越快，会超过并会远远大于y＝x n(n>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)的增长速度会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有log a x<x n<a x.[答一答]怎样理解指数函数、幂函数、对数函数增长情况具有一定规律性？提示：一般地，对于指数函数y＝a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x的一定变化范围内，a x会小于x n，但由于a x 的增长快于x n的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有a x>x n.同样地，对于对数函数y＝log a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)，在区间(0，＋∞)上，随着x 的增大，log a x增长得越来越慢，图像就像是渐渐地与x轴平行一样．尽管在x的一定变化范围内，log a x可能会大于x n，但由于log a x的增长慢于x n的增长，因此总存在一个x0，当x>x0时，就会有log a x<x n.综上所述，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n>0 )的增长速度，而y＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有log a x<x n<a x.函数模型的选取：(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数模型．(3)幂函数模型y＝x n(n>0)则可以描述增长幅度不同的变化，n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n>1)时，增长较快．类型一函数增长快慢的比较【例1】试利用图像比较y＝x2和y＝2x的增长情况．【思路探究】应首先利用列表描点法画出函数图像，再通过图像比较其增长情况．【解】为观察到y＝x2和y＝2x的图像和全貌，便于比较其增长情况，列如下两表：对应表1的图像如图(1)．对应表2的图像如图(2)．由图(1)可以看到，y＝2x和y＝x2的图像有两个交点(2,4)和(4,16)．结合图像可得：当x ∈(0,2)时，2x>x2；当x∈(2,4)时，2x<x2；当x>4时，2x>x2.再结合图(2)可以发现，当自变量x 越来越大时，y＝2x的图像就像与x轴垂直一样，2x的值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微不足道．规律方法(1)我们常把指数的这种快速剧增形象地称为“指数爆炸”．(2)在计算器或计算机中，1.10×1012常表示成1.10E＋12.(3)在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一“档次”上，随着x增长，y＝a x(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)则增长会越来越慢，因此，总会存在一个x0，当x>x0时，就有log a x<x n<a x.在给出的四个函数y＝3x，y＝x3，y＝3x，y＝log3x中，当x∈(3，＋∞)时，其中增长速度最快的函数是(B)A．y＝3x B．y＝3xC．y＝x3D．y＝log3x解析：随着x的增大，函数y＝a x(a>1)的增速会远远超过y＝x n(n>0)的增速，而函数y ＝log a x(a>1)的增长速度最慢．故选B.类型二比较大小【思路探究】方法1：数形结合法．方法2：化为同底数的对数函数，利用对数函数的单调性来比较大小，不可化为同底数的，与0比较，或与1比较．【解】规律方法对于对数函数，当真数x>1时，在x轴上方或下方均有“底数越大，图像越偏下”；当真数0<x<1时，在x轴上方或下方均有“底数越大，图像越偏上”．反之由图像的位置也能确定底数的大小关系．四个数2.40.8,3.60.8，log0.34.2，log0.40.5的大小关系为(D)A．3.60.8>log0.40.5>2.40.8>log0.34.2B．3.60.8>2.40.8>log0.34.2>log0.40.5C．log0.40.5>3.60.8>2.40.8>log0.34.2D．3.60.8>2.40.8>log0.40.5>log0.34.2解析：∵y＝x0.8在(0，＋∞)上是增函数，又3.6>2.4>1，∴3.60.8>2.40.8>1.∵log0.34.2<log0.31＝log0.41<log0.40.5<log0.40.4＝1，∴log0.34.2<0<log0.40.5<1，∴3.60.8>2.40.8>log0.40.5>log0.34.2.类型三不同增长的函数模型的实际应用【例3】某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？【思路探究】某个奖励模型符合公司要求，即当x∈[10，1 000]时，能够满足y≤5，且yx≤25%，可以先从函数图像得到初步的结论，再通过具体计算，确认结果．【解】借助计算器或计算机作出函数y＝5，y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x的图像(如图所示)．观察图像发现，在区间[10,1 000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图像始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y ＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1 000]上单调递增，当x∈(20,1 000]时，y>5，因此该模型不符合要求．对于模型y＝1.002x，由函数的图像，并利用计算器计算可知，在区间(805,806)内有一个点x0满足1.002x0＝5，由于它在区间[10,1 000]上单调递增，因此当x>x0时，y>5，因此该模型不符合要求．对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1 000]上单调递增，而且当x＝1 000时，y＝log71 000＋1≈4.55<5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算当x ∈[10,1 000]时，是否有y x ＝log 7x ＋1x≤0.25成立．令f (x )＝log 7x ＋1－0.25x ，x ∈[10,1 000]．利用计算器或计算机作出函数f (x )的图像如图所示，由图像可知它是单调递减的，因此f (x )<f (10)≈－0.316 7<0，即log 7x ＋1<0.25x .所以当x∈[10,1 000]时，log 7x ＋1x<0.25，说明按模型y ＝log 7x ＋1奖励时，奖金不会超过利润的25%. 综上所述，模型y ＝log 7x ＋1符合公司要求．规律方法 从这个例题我们看到，底数大于1的指数函数模型比一次项系数为正数的一次函数模型增长速度要快得多，而后者又比真数大于1的对数函数模型增长速度要快，从这个实例我们可以体会到对数增长，直线上升，指数爆炸等不同函数类型增长的含义．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位为：元/102kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：时间/t50 110 250 种植成本/Q 150 108 150(1)变化关系：Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b x ，Q ＝a ·log a t ；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．解：(1)由提供的数据知道，描述西红柿的种植成本Q 与上市时间t 之间的变化关系的函数不可能是常数函数，从而用函数Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b x ，Q ＝a ·log a t 中任意一个进行描述时都应有a ≠0，而此时上述四个函数中有三个函数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合，所以，选取二次函数Q ＝at 2＋bt ＋c 进行描述．以表格所提供的三组数据分别代入Q ＝at 2＋bt ＋c 得到：⎩⎪⎨⎪⎧ 150＝2 500a ＋50b ＋c ，108＝12 100a ＋110b ＋c ，150＝62 500a ＋250b ＋c ，解上述方程组得a ＝1200，b ＝－32，c ＝4252. 所以，描述西红柿种植成本Q 和上市时间t 变化关系的函数为Q ＝1200t 2－32t ＋4252. (2)由(1)可知当上市t ＝150天时，种植成本为100元/102kg.——如何选择函数模型——指数函数型模型：f (x )＝ab x ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0，b >0，b ≠1)；对数函数型模型：f (x )＝m log a x ＋n (m ，n ，a 为常数，m ≠0，a >0，a ≠1，x >0)；幂函数型模型：f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0，n ≠1)．在解决实际问题时，我们要根据实际情况灵活选取函数的模型．(1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数型模型．(2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长到很大时，常常选用对数函数型模型．(3)幂函数型模型y ＝x α(α>0)可以描述增长幅度不同的变化，α值较小(α≤1)时，增长速度较慢；α值较大(α>1)时，增长速度较快． 【例4】 某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好，款式新颖，前几个月的产品销售情况良好．为了推销员在推销产品时接受订单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人，假如你是厂长，将会采用什么办法估算以后几个月的产量？(注：幂函数型模型：y ＝a x ＋b ，指数函数型模型：y ＝ab x ＋c )【解析】 (幂函数型模型)设y 1＝a x ＋b ，将(1,1)，(2,1.2)两点的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝1，2a ＋b ＝1.2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≈0.48，b ≈0.52，所以y 1＝0.48x ＋0.52.(指数函数型模型)设y 2＝ab x ＋c ，将(1,1)，(2,1.2)，(3,1.3)三点的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧ ab ＋c ＝1，ab 2＋c ＝1.2，ab 3＋c ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4，所以y 2＝－0.8×0.5x ＋1.4.将x ＝4分别代入上述函数关系式，求得第4个月产量：y 1＝1.48，y 2＝1.35.因此选用y ＝－0.8×0.5x ＋1.4估算以后几个月的产量．规律方法 利用函数图像或函数表是求解函数模型的常用方法，尤其在实际问题中，应用得更加广泛．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下： 方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问：你会选择哪种投资方案？解：设第x 天所得回报是y 元，则方案一可用函数f 1(x )＝40(x ∈N ＋)进行描述；方案二可用函数f 2(x )＝10x (x ∈N ＋)进行描述；方案三可用函数f 3(x )＝0.4×2x －1(x ∈N ＋)进行描述．作出以上三个函数在[0，＋∞)上的图像，如图所示．由图像可知，每天所得回报，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一、二同样多；在第5～8天，方案二最多；第9天开始，方案三最多．我们再看累计回报数，列表如下：从上表可知，投资7天以内(不含7天)，应选择第一种投资方案；投资7天，选择第一、二种方案均可；投资8～10天，应选择第二种投资方案；投资11天以上(含11天)，应选择第三种投资方案．一、选择题1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是(A)A．y＝2x B．y＝x10C．y＝lg x D．y＝10x2解析：在指数函数y＝a x(a>1)，对数函数y＝log a x(a>1)和幂函数y＝x n(n>0)中，随着x 的增大，指数函数y＝a x(a>1)的函数值增长速度最快，呈“爆炸式”增长，故选A.2．当2<x<4时，2x，x2，log2x的大小关系是(B)A．2x>x2>log2xB．x2>2x>log2xC．2x>log2x>x2D．x2>log2x>2x解析：解法1：在同一平面直角坐标系中画出函数y＝log2x，y＝x2，y＝2x的图像，因为在区间(2,4)上从上往下依次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图像，所以x2>2x>log2x.(这种方法要求图像要比较精确，最好利用数学软件或图形计算器作图．)解法2：比较三个函数值的大小，作为选择题，可以采用特殊值代入法．易知，当x＝3时，2x＝23＝8，x2＝32＝9，log2x＝log23<log24＝2，故x2>2x>log2x.二、填空题3．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：上述四个变量中仅有一个变量关于x呈指数型函数增长，则该变量是y2.解析：根据表格中数据可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，其中变量y4的值随变量x的增长越来越小，故变量y4不关于x呈指数函数增长，变量y1，y2，y3的值都随变量x的增长越来越大，其中变量y2的值增长速度最快，所以变量y2关于x呈指数型函数增长．4．函数y＝3x与y＝x3的交点个数为2.解析：作出两函数图像知在第一象限有两个交点，但随着x增大，3x的值总大于x3的值，再无交点，∴共有2个．三、解答题5．已知f(x)＝log a(a x－1)(a>0且a≠1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断函数f(x)的单调性并证明．解：(1)由a x－1>0得a x>1，∴当a>1时，函数f(x)的定义域为(0，＋∞)；当0<a<1时，函数f(x)的定义域为(－∞，0)．(2)当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；当0<a<1时，f(x)在(－∞，0)上是增函数．证明如下：。

1．三种函数的增长特点(1)当a＞1时，指数函数y＝a x是增函数，并且当a越大时，其函数值的增长就越快．(2)当a＞1时，对数函数y＝log a x是增函数，并且当a越小时，其函数值的增长就越快．(3)当x＞0，n＞1时，幂函数y＝x n显然也是增函数，并且当x＞1时，n越大其函数值的增长就越快．2．三种函数的增长比较在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a＞1)，y＝log a x(a＞1)和y＝x n(n＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，幂函数y＝x n(n＞0)，指数函数y＝a x(a＞1)增长的快慢交替出现，随着x的增大，y＝a x(a＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)的增长速度，而y＝log a x(a＞1)的增长速度则会越来越慢．一般地，若a＞1，n＞0，那么当x足够大时，一定有a x＞x n＞log a x.[小问题·大思维]1．2x＞log2x，x2＞log2x，在(0，＋∞)上一定成立吗？提示：结合图像知一定成立．2．2x＞x2在(0，＋∞)上一定成立吗？提示：不一定，当0＜x＜2和x＞4时成立，而当2＜x＜4时，2x＜x2.[研一题][例1] 四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：x0510********关于x呈指数型函数变化的变量是________．[自主解答] 以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从5开始变化，变量y4越来越小，但是减小的速度很慢，则变量y4关于x不呈指数型函数变化；而变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增大的速度不同，其中变量y2的增长最快，画出图像可知变量y2关于x呈指数型函数变化．[答案] y2[悟一法]解决该类问题的关键是根据所给出的数据或图像的增长的快慢情况，结合指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，从中作出判断．[通一类]1．下面是f(x)随x的增大而得到的函数值列表：试问：(1)随着x的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？(2)各函数增长的快慢有什么不同？解：(1)随x的增大，各函数的函数值都在增大；(2)由图表可以看出，各函数增长的快慢不同，其中f(x)＝2x增长最快，而且越来越快；增长最慢的是f(x)＝log2x，而且增长的幅度越来越小.[研一题][例2] 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？[自主解答] 设第x天所得回报是y元．由题意，方案一：y＝40(x∈N＋)；方案二：y＝10x(x∈N＋)；方案三：y＝0.4×2x－1(x∈N)．＋作出三个函数的图像如图：由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一，二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.天数1234567891011…累积收益方案一4080120160200240280320360400440…二，投资十一天及其以上，应选方案三．[悟一法](1)解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题解决，结合函数图像有助于直观认识函数值在不同范围的大小关系．(2)一般地：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．[通一类]2．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：(1)根据表中数据，从下列函数中选取一个函数，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系；Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本． 解：(1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的，故只能选择Q ＝at 2＋bt ＋c .即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502＋b ×50＋c ，108＝a ×1102＋b ×110＋c ，150＝a ×2502＋b ×250＋c .解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252；(2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100，∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102kg.若x 2＜logm x 在x ∈(0，12)内恒成立，求实数m 的取值范围．[巧思] 将不等式恒成立问题转化为两个函数图像在(0，12)内的上下位置关系，再构建不等式求解．[妙解] 设y 1＝x 2，y 2＝log m x ，作出符合题意的两函数的大致图像(如图)，可知0＜m ＜1.当x ＝12时，y 1＝14，若两函数在x ＝12处相交，则y 2＝14.由14＝log m 12得m ＝116，又x 2＜logm x 在x ∈(0，12)内恒成立，因此，实数m 的取值范围为116≤m ＜1.1．下面对函数f (x )＝log 12x 与g (x )＝(12)x 在区间(0，＋∞)上的增减情况的说法中正确的是( )A ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越快B ．f (x )的增减速度越来越快，g (x )的增减速度越来越慢C ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越慢D．f(x)的增减速度越来越快，g(x)的增减速度越来越快答案：C2．下列所给函数，增长最快的是( )A．y＝5x B．y＝x5C．y＝log5x D．y＝5x 答案：D3．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y关于年数x的函数关系较为近似的是( )A．y＝0.2x B．y＝110(x2＋2x) C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x 答案：C4．已知函数f(x)＝3x，g(x)＝2x，当x∈R时，f(x)与g(x)的大小关系为________．解析：在同一直角坐标系中画出函数f(x)＝3x，g(x)＝2x的图像，如图所示，由于函数f(x)＝3x的图像在函数g(x)＝2x图像的上方，则f(x)＞g(x)．答案：f(x)＞g(x) 5．据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2013年的湖水量为m，从2013年起，过x年后湖水量y与x的函数关系是________．解析：设湖水量每年为上年的q%，则(q%)50＝0.9，∴q%＝0.9150，∴x年后湖水量y＝m·(q%)x＝m·0.9x50.答案：y＝0.9x50·m6．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图像如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．解：(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x；(2)当x＜x1时，g(x)＞f(x)；当x1＜x＜x2时，f(x)＞g(x)；当x＞x2时，g(x)＞f(x)．一、选择题1．当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )A ．y ＝10xB ．y ＝lg xC ．y ＝x 10D ．y ＝10x 答案：D 2．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x 年，绿色植被的面积可增长为原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的大致图像为( )解析：y ＝f (x )＝(1＋10.4%)x ＝1.104x 是指数型函数，定义域为{0，1，2，3，4…}，由单调性，结合图像知选D.答案：D3．函数y ＝2x －x 2的图像大致是( )解析：由图像可知，y ＝2x 与y ＝x 2的交点有3个，说明函数y ＝2x －x 2与x 轴的交点有3个，故排除B 、C 选项，当x <x 0时，有x 2>2x 成立，即y <0，故排除D.答案：A4．当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的大小关系是( ) A ．h (x )＜g (x )＜f (x ) B ．h (x )＜f (x )＜g (x ) C ．g (x )＜h (x )＜f (x )D ．f (x )＜g (x )＜h (x )解析：在同一坐标下作出函数f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的图像，由图像知，D 正确．答案：D二、填空题5．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子没有什么变化，但价格却上涨了，小张在2004年以15万元的价格购得一所新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2014年，这所房子的价格y (万元)与价格年膨胀率x 之间的函数关系式是________． 答案：y ＝15(1＋x )106．在直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点．若函数y ＝f (x )的图像恰好经过k 个格点，则称函数y ＝f (x )为k 阶格点函数，则下列函数中为一阶格点函数的序号是________．①y ＝x 2；②y ＝x －1；③y ＝e x －1；④y ＝log 2x .解析：这是一道新概念题，重点考查函数值的变化情况．显然①④都有无数个格点；②有两个格点(1，1)，(－1，－1)；而③y ＝e x －1除了(0，0)外，其余点的坐标都与e 有关，所以不是整点，故③符合．答案：③7．若a ＝(35)x ，b ＝x 3，c ＝log 35x ，则当x ＞1时，a ，b ，c 的大小关系是________．解析：∵x ＞1，∴a ＝(35)x ∈(0，1)，b ＝x 3∈(1，＋∞)，c ＝log 35x ∈(－∞，0)．∴c ＜a ＜b .答案：c ＜a ＜b8．已知a ＞0，a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜12，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＞1时，作出函数y 1＝x 2，y 2＝a x 的图像：要使x ∈(－1，1)时，均有f (x )＜12，只要当x ＝－1时有(－1)2－a －1≤12，解得a ≤2，∴1＜a ≤2.当0＜a ＜1时，同理，只需12－a 1≤12，即a ≥12. ∴12≤a ＜1. 综上所述，a 的取值范围是[12，1)∪(1，2]． 答案：[12，1)∪(1，2]三、解答题9．一个叫迈克的百万富翁碰到一件奇怪的事．一个叫吉米的人对他说：“我想和你订立个合同，在整整一个月中，我每天给你10万元，而你第一天只需要给我1分钱，以后每天给我的钱数是前一天的两倍”．迈克非常高兴，他同意订立这样的合同． 试通过计算说明，谁将在合同中获利？解：在一个月(按31天计算)的时间里，迈克每天得到10万元，增长的方式是直线增长，经过31天后，共得到31×10＝310(万元)．而吉米，第一天得到1分， 第二天得到2分， 第三天得到4分， 第四天得到8分， 第20天得到219分， ……第31天得到230分，使用计算器计算可得1＋2＋4＋8＋16＋…＋230＝2 147 483 647分≈214 7.48(万元)． 所以在这份合同中吉米纯获利2 147.48－310＝1 837.48(万元)．所以吉米将在合同中获利．10．某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，开始按销售利润进行奖励，奖金y (万元)随销售利润x (万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x ，其中哪个模型能符合公司的要求？解：借助计算器或计算机作出函数y ＝5，y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x 的图像(如图)，观察图像发现，在区间[10，1 000]上，模型y ＝0.25x ，y ＝1.002x 的图像都有一部分在直线y ＝5的上方，只有模型y ＝log 7x ＋1的图像始终在y ＝5的下方，这说明只有按模型y ＝log 7x ＋1进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万． 对于模型y ＝0.25x ，它在区间[10，1 000]上单调递增，当x ∈(20，1 000)时，y ＞5，因此该模型不符合要求；对于模型y ＝1.002x ，由函数图像，并利用计算器，可知在区间(805，806)内有一个点x 0满足1.002x 0＝5，由于它在区间[10，1 000]上单调递增，因此当x ＞x 0时，y ＞5，因此该模型也不符合要求；对于模型y ＝log 7x ＋1，它在区间[10，1 000]上单调递增，而且当x ＝1 000时，y ＝log 71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y ＝log 7x ＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x ∈[10，1 000]时，是否有y x＝log 7x ＋1x≤0.25成立．令f (x )＝log 7x ＋1－0.25x ，x ∈[10，1 000]． 利用计算器或计算机作出函数f (x )的图像(如图)，由图像可知它是单调递减的，因此f (x )＜f (10)≈－0.316 7＜0，log 7x ＋1＜0.25x .所以，当x ∈[10，1 000]时，log 7x ＋1x＜0.25.说明按模型y ＝log 7x ＋1奖励，奖金不会超过利润的25%. 综上所述，模型y ＝log 7x ＋1确实能符合公司要求．。

3.6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较[核心必知]1．三种函数的增长特点(1)当a ＞1时，指数函数y ＝a x是增函数，并且当a 越大时，其函数值的增长就越快．(2)当a ＞1时，对数函数y ＝log a x 是增函数，并且当a 越小时，其函数值的增长就越快．(3)当x ＞0，n＞1时，幂函数y ＝x n显然也是增函数，并且当x ＞1时，n 越大其函数值的增长就越快．2．三种函数的增长比较在区间(0，＋∞)上，尽管函数y ＝a x (a ＞1)，y ＝log a x (a ＞1)和y ＝x n(n ＞0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上，幂函数y ＝x n(n ＞0)，指数函数y ＝a x(a ＞1)增长的快慢交替出现，随着x 的增大，y ＝a x (a ＞1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y ＝x n(n ＞0)的增长速度，而y ＝log a x (a ＞1)的增长速度则会越来越慢．一般地，若a ＞1，n ＞0，那么当x 足够大时，一定有a x ＞x n＞log a x .[问题思考]1．2x＞log 2x ，x 2＞log 2x ，在(0，＋∞)上一定成立吗？提示：结合图像知一定成立． 2．2x ＞x 2在(0，＋∞)上一定成立吗？ 提示：不一定，当0＜x ＜2和x ＞4时成立，而当2＜x ＜4时，2x＜x 2.讲一讲1．四个变量y 1，y 2，y 3，y 4随变量x 变化的数据如下表：关于x 呈指数型函数变化的变量是________．[尝试解答] 以爆炸式增长的变量是呈指数型函数变化的．从表格可以看出，四个变量y 1，y 2，y 3，y 4均是从5开始变化，变量y 4越来越小，但是减小的速度很慢，则变量y 4关于x 不呈指数型函数变化；而变量y 1，y 2，y 3都是越来越大，但是增大的速度不同，其中变量y 2的增长最快，画出图像可知变量y 2关于x 呈指数型函数变化．答案：y 2解决该类问题的关键是根据所给出的数据或图像的增长的快慢情况，结合指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，从中作出判断．练一练1．下面是f (x )随x 的增大而得到的函数值列表：试问：(1)随着x 的增大，各函数的函数值有什么共同的变化趋势？(2)各函数增长的快慢有什么不同？ 解：(1)随x 的增大，各函数的函数值都在增大；(2)由图表可以看出，各函数增长的快慢不同，其中f (x )＝2x增长最快，而且越来越快；增长最慢的是f (x )＝log 2x ，而且增长的幅度越来越小．讲一讲2．假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？ [尝试解答] 设第x 天所得回报是y 元． 由题意，方案一：y ＝40(x ∈N ＋)；方案二：y ＝10x (x ∈N ＋)； 方案三：y ＝0.4×2x －1(x ∈N ＋)．作出三个函数的图像如图：由图可以看出，从每天回报看，在第一天到第三天，方案一最多，在第四天，方案一，二一样多，方案三最少，在第五天到第八天，方案二最多，第九天开始，方案三比其他两个方案所得回报多得多，经验证到第三十天，所得回报已超过2亿元，∴若是短期投资可选择方案一或方案二，长期的投资则选择方案三．通过计算器计算列出三种方案的累积收入表.∴投资一天到六天，应选方案一，投资七天方案一，二均可，投资八天到十天应选方案二，投资十一天及其以上，应选方案三．(1)解决应用问题的关键是将应用问题转化成数学问题解决，结合函数图像有助于直观认识函数值在不同范围的大小关系．(2)一般地：指数函数增长模型适合于描述增长速度快的变化规律；对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；而幂函数增长模型介于两者之间，适合于描述增长速度一般的变化规律．练一练 2．某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/102kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：时间t 50 110250 种植成本Q150108150个函数，描述西红柿种植成本Q 与上市时间t 的变化关系；(2)利用你选取的函数，求西红柿种植成本最低时的上市天数及最低种植成本．解：(1)由表中数据知，当时间t 变化时，种植成本并不是单调的，故只能选择Q ＝at 2＋bt ＋c .即⎩⎪⎨⎪⎧150＝a ×502＋b ×50＋c ，108＝a ×1102＋b ×110＋c ，150＝a ×2502＋b ×250＋c .解得Q ＝1200t 2－32t ＋4252.(2)Q ＝1200(t －150)2＋4252－2252＝1200(t －150)2＋100，∴当t ＝150天时，西红柿的种植成本最低，为100元/102kg.若x 2＜log m x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒成立，求实数m 的取值范围．[巧思] 将不等式恒成立问题转化为两个函数图像在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内的上下位置关系，再构建不等式求解．[妙解] 设y 1＝x 2，y 2＝log m x ，作出符合题意的两函数的大致图像(如图)，可知0＜m ＜1.当x ＝12时，y 1＝14，若两函数在x ＝12处相交，则y 2＝14.由14＝log m 12得m ＝116，又x 2＜log m x 在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒成立，因此，实数m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1.1．下面对函数f (x )＝与g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在区间(0，＋∞)上的增减情况的说法中正确的是( )A ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越快B ．f (x )的增减速度越来越快，g (x )的增减速度越来越慢C ．f (x )的增减速度越来越慢，g (x )的增减速度越来越慢D ．f (x )的增减速度越来越快，g (x )的增减速度越来越快解析：选 C 在同一坐标下分别作出函数y ＝和y ＝(12)x的图像，由图像知C正确．2．下列所给函数，增长最快的是( ) A ．y ＝5x B ．y ＝x 5C ．y ＝log 5xD ．y ＝5x 答案：D3．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷，0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y 关于年数x 的函数关系较为近似的是( )A ．y ＝0.2xB ．y ＝110(x 2＋2x )C ．y ＝2x10 D ．y ＝0.2＋log 16x解析：选C 当x ＝1时，否定B ；当x ＝2时，否定D ；当x ＝3时，否定A.4．已知函数f (x )＝3x，g (x )＝2x ，当x ∈R 时，f (x )与g(x )的大小关系为________．解析：在同一直角坐标系中画出函数f (x )＝3x，g(x )＝2x 的图像，如图所示，由于函数f (x )＝3x的图像在函数g (x )＝2x 图像的上方，则f (x )＞g (x )．答案：f (x )＞g (x )5．据报道，青海湖水在最近50年内减少了10%，如果按此规律，设2016年的湖水量为m ，从2016年起，过x 年后湖水量y 与x 的函数关系是________．解析：设湖水量每年为上年的q %，则(q %)50＝0.9，，∴x 年后湖水量y ＝m ·(q %)x＝答案：y ＝6．函数f (x )＝lg x ，g (x )＝0.3x －1的图像如图所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图像交点为分界点，对f (x )，g (x )的大小进行比较)．解：(1)C 1对应的函数为g (x )＝0.3x －1，C 2对应的函数为f (x )＝lg x ；(2)当x ＜x 1时，g (x )＞f (x )；当x 1＜x ＜x 2时，f (x )＞g (x )；当x ＞x 2时，g (x )＞f (x )．一、选择题1．当x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是 ( )A ．y ＝10xB ．y ＝lg xC ．y ＝x 10D ．y ＝10x解析：选 D 由于指数型函数的增长是爆炸式增长，则当x 越来越大时，函数y ＝10x的增长速度最快．2．某山区为加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x 年，绿色植被的面积可增长为原来的y 倍，则函数y ＝f (x )的大致图像为( )解析：选 D y ＝f (x )＝(1＋10.4%)x＝1.104x是指数型函数，定义域为{0,1,2,3,4…}，由单调性，结合图像知选D.3．函数y ＝2x－x 2的图像大致是( )解析：选A 由图像可知，y ＝2x与y ＝x 2的交点有3个，说明函数y ＝2x －x 2与x 轴的交点有3个，故排除B 、C 选项，当x <x 0时，有x 2>2x成立，即y <0，故排除 D.4．当0＜x ＜1时，f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的大小关系是( )A ．h (x )＜g (x )＜f (x )B ．h (x )＜f (x )＜g (x )C ．g (x )＜h (x )＜f (x )D ．f (x )＜g (x )＜h (x )解析：选D 在同一坐标下作出函数f (x )＝x 2，g (x )＝x 12，h (x )＝x －2的图像，由图像知，D 正确．二、填空题5．近几年由于北京房价的上涨，引起了二手房市场交易的火爆．房子没有什么变化，但价格却上涨了，小张在2005年以15万元的价格购得一所新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2015年，这所房子的价格y (万元)与价格年膨胀率x 之间的函数关系式是________．解析：1年后，y ＝15(1＋x )；2年后，y ＝15(1＋x )2；3年后，y ＝15(1＋x )3，…，10年后，y ＝15(1＋x )10. 答案：y ＝15(1＋x )106．在直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫格点．若函数y ＝f (x )的图像恰好经过k 个格点，则称函数y ＝f (x )为k 阶格点函数，则下列函数中为一阶格点函数的序号是________．①y ＝x 2；②y ＝x －1；③y ＝e x－1；④y ＝log 2x .解析：这是一道新概念题，重点考查函数值的变化情况．显然①④都有无数个格点；②有两个格点(1,1)，(－1，－1)；而③y ＝e x－1除了(0,0)外，其余点的坐标都与e 有关，所以不是整点，故③符合．答案：③7．若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x ，b ＝x 3，c ＝，则当x ＞1时，a ，b ，c 的大小关系是________．解析：∵x ＞1，∴a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35x∈(0,1)，b ＝x 3∈(1，＋∞)，c ＝∈(－∞，0)．∴c ＜a ＜b .答案：c ＜a ＜b8．已知a ＞0，a ≠1，f (x )＝x 2－a x，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )＜12，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ＞1时，作出函数y 1＝x 2，y 2＝a x的图像：要使x ∈(－1,1)时，均有f (x )＜12，只要当x ＝－1时，有(－1)2－a －1≤12，解得a ≤2，∴1＜a ≤2.当0＜a ＜1时，同理，只需12－a 1≤12，即a ≥12.∴12≤a ＜1. 综上所述，a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1,2]．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1,2]三、解答题9．一个叫迈克的百万富翁碰到一件奇怪的事．一个叫吉米的人对他说：“我想和你订立个合同，在整整一个月中，我每天给你10万元，而你第一天只需要给我1分钱，以后每天给我的钱数是前一天的两倍”．迈克非常高兴，他同意订立这样的合同．试通过计算说明，谁将在合同中获利？解：在一个月(按31天计算)的时间里，迈克每天得到10万元，增长的方式是直线增长，经过31天后，共得到31×10＝310(万元)．而吉米，第一天得到1分， 第二天得到2分， 第三天得到4分， 第四天得到8分，第20天得到219分， ……第31天得到230分，使用计算器计算可得1＋2＋4＋8＋16＋…＋230＝2 147 483 647分≈2 147.48(万元)．所以在这份合同中吉米纯获利2 147.48－310＝1 837.48(万元)．所以吉米将在合同中获利．10．某公司为了实现1 000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，开始按销售利润进行奖励，奖金y (万元)随销售利润x (万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？解：借助计算器或计算机作出函数y ＝5，y ＝0.25x ，y ＝log 7x ＋1，y ＝1.002x 的图像(如图)，观察图像发现，在区间[10,1000]上，模型y ＝0.25x ，y ＝1.002x的图像都有一部分在直线y ＝5的上方，只有模型y ＝log 7x ＋1的图像始终在y ＝5的下方，这说明只有按模型y ＝log 7x ＋1进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．对于模型y ＝0.25x ，它在区间[10,1000]上单调递增，当x ∈(20,1000)时，y ＞5，因此该模型不符合要求；对于模型y ＝1.002x，由函数图像，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x 0满足1.002x 0＝5，由于它在区间[10，1000]上单调递增，因此当x ＞x 0时，y ＞5，因此该模型也不符合要求；对于模型y ＝log 7x ＋1，它在区间[10, 1 000]上单调递增，而且当x ＝1000时，y ＝log 71000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．再计算按模型y ＝log 7x ＋1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x ∈[10,1000]时，是否有y x＝log 7x ＋1x≤0.25成立．令f (x )＝log 7x ＋1－0.25x ，x ∈[10, 1 000]．利用计算器或计算机作出函数f (x )的图像(如图)，由图像可知它是单调递减的，因此f (x )＜f (10)≈－0.316 7＜0，log 7x ＋1＜0.25x .所以，当x ∈[10,1000]时，log 7x ＋1x＜0.25.说明按模型y ＝log 7x ＋1奖励，奖金不会超过利润的25%.综上所述，模型y ＝log 7x ＋1确实能符合公司要求．1.指数与指数函数(1)利用分数指数幂进行根式的运算，其顺序是先把根式化为分数指数幂，再根据分数指数幂的运算性质进行计算．(2)指数函数的底数a ＞0且a ≠1，这是隐含条件．(3)指数函数y ＝a x的单调性，与底数a 有关．当底数a 与1的大小不确定时，一般需分类讨论．(4)指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系是：在y 轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；在y 轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小．(5)函数y ＝a x与函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a x 的图像关于y 轴对称．(6)与指数函数有关的函数方程问题的求解，要充分用好指数函数的图像和性质．2．对数与对数函数(1)指数式a b＝N 与对数式log a N ＝b 的关系以及这两种形式的互化是对数运算的关键．(2)在使用运算性质log a M n＝n log a M 时，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M n＝n log a |M |.(3)注意对数恒等式、对数换底公式及等式log am b n＝n m log a b ，log a b ＝1log b a在解题中的灵活运用．(4)对数函数y ＝log a x 与y ＝log 1ax 的图像关于x 轴对称．(5)指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，其图像关于直线y ＝x 对称．(6)与对数函数有关的函数的图像与性质的研究，要充分用好对数函数的图像与性质，及函数图像的平移和对称变换．(7)与对数函数有关的方程，常见有两类：一是通过对数运算性质化为代数方程求解；二是利用数形结合法求解．[典例1] 化简：(1)a 43－8a 13b4b 23＋23ab ＋a 23÷⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2 3b a ×3ab ；(2)(lg 2)3＋3lg 2·lg 5＋(lg 5)3； (3)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋13lg 8.[解](1)原式＝a13a －8b 2b 132＋2a 13b 13＋a 132×a13a 13－2b 13×a 13b 13＝a 13a －8b a －8b ×a 13×a 13b 13＝a 3b .(2)原式＝(lg 2＋lg 5)[(lg 2)2－lg 2·lg 5＋(lg 5)2]＋3lg 2·lg 5＝(lg 2)2＋2lg 2·lg 5＋(lg 5)2＝(lg 2＋lg 5)2＝1.(3)原式＝lg 4＋lg 31＋lg 0.36＋lg 38＝lg 121＋lg 0.6＋lg 2＝lg 12lg 12＝1.[借题发挥] 指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化为正指数，根式化为指数运算，其次若出现分式则要注意分子、分母因式分解以达到约分的目的．对数运算首先注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价．熟练地运用对数的三个运算性质并结合对数恒等式、换底公式是对数计算、化简、证明常用的技巧．[对点训练]1．若2.5x ＝1 000,0.25y＝1 000，则1x－1y＝________.解析：由已知得：x ＝log 2.51 000，y ＝log 0.251 000，∴1x －1y＝1log 2.51 000－1log 0.251 000＝lg 2.5lg 103－lg 0.25lg 103 ＝13(lg 2.5－lg 0.25)＝13lg 2.50.25＝13lg 10＝13.答案：132．已知log a x ＝4，log a y ＝5，试求A ＝⎝⎛⎭⎪⎫x 31xy 212的值． 解：log a A ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤log a x ＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫－12log a x －2log a y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫56log a x －23log a y ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫56×4－23×5＝0.∴A ＝1.[典例2](1)已知函数f (x )＝log a (2x＋b －1)(a ＞0，a ≠1)的图像如右图所示，则a ，b 满足的关系是 ( )A ．0＜a －1＜b ＜1 B ．0＜b ＜a －1＜1C ．0＜b －1＜a ＜1 D ．0＜a －1＜b －1＜1(2)已知函数y ＝ax 2－3x ＋3，当x ∈[1,3]时有最小值18，求a 的值．[解] (1)由图像，知该函数为增函数． ∴a ＞1.又当x ＝0时，－1＜f (0)＜0， 即－1＜log a b ＜0，即log a 1a＜log a b ＜log a 1.∴1a＜b ＜1.结合a ＞1，知0＜a －1＜b ＜1.(2)令t ＝x 2－3x ＋3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋34，当x ∈[1,3]时，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，3，①若a ＞1，则y min ＝a 34＝18，解得a ＝116，与a ＞1矛盾．②若0＜a ＜1，则y min ＝a 3＝18，解得a ＝12，满足题意． 综合①，②知a ＝12.[答案] (1)A[借题发挥] 指数函数、对数函数是中学数学中重要的基本初等函数．它们的图像与性质始终是高考考查的重点．由于指数函数y ＝a x，对数函数y ＝log a x (a ＞0，a ≠1)的图像与性质都与a 的取值有密切的联系，a 变化时，函数的图像与性质也随之改变，因此，在a 的值不确定时，要对它们进行分类讨论．[对点训练]3．函数f (x )＝ax －b的图像如图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a ＞1，b ＜0B ．a ＞1，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞0D ．0＜a ＜1，b ＜0解析：选D 由f (x )＝a x －b的图像可以观察出，函数f (x )＝a x －b在定义域上单调递减，所以0＜a ＜1；函数f (x )＝ax －b的图像是在f (x )＝a x的基础上向左平移得到的，所以b ＜0.4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x －4x ≤1，x 2－4x ＋3x ＞1的图像和函数g (x )＝log 2x 的图像的交点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选B 作出函数f (x )与g (x )的图像(图略)，由图像可知：两函数图像的交点有3个．5.定义在[－1,1]上的偶函数f (x )，已知当x ∈[－1,0]时的解析式f (x )＝14x －a2x (a ∈R )．(1)写出f(x)在[0,1]上的解析式；(2)求f(x)在[0,1]上的最大值．解：(1)设x∈[0,1]，则－x∈[－1,0]．∴f(－x)＝14－x－a2－x＝4x－a ·2x.∵函数f(x)是偶函数，∴f(x)＝f(－x)＝4x－a·2x，x∈[0,1]．(2)当x∈[0,1]时，f(x)＝4x－a·2x，令t＝2x，则t∈[1,2]．∴g(t)＝t2－at＝⎝⎛⎭⎪⎫t－a22－a24.当a2≤1，即a≤2时，g(t)max＝g(2)＝4－2a；当1＜a2≤32，即2＜a≤3时，g(t)max＝g(2)＝4－2a；当32＜a2≤2，即3＜a≤4时，g(t)max＝g(1)＝1－a；当a2＞2，即a＞4时，g(t)max＝g(1)＝1－a.综上知，当a≤3时，f(x)的最大值是4－2a；当a＞3时，f(x)的最大值是1－a.[典例3] 比较下列各组数的大小．(1)log323与log565；(2)log1.10.7与log1.20.7；(3)已知，比较2b,2a,2c的大小关系．[解] (1)∵log323＜log31＝0，而log565＞log51＝0，∴log323＜log565.(2)∵0＜0.7＜1,1.1＜1.2，∴0＞log0.71.1＞log0.71.2，∴1log0.71.1＜1log0.71.2，即由换底公式可得log1.10.7＜log1.20.7.(3)∵y＝为减函数，且∴b＞a＞c，而y＝2x是增函数，∴2b＞2a＞2c.[借题发挥]比较几个数大小的常用方法有：单调性法、图像法、搭桥法、特殊值法、作差法、作商法等．其中第(2)小题可以运用图像法解．提示：作出函数y＝log1.1x与y＝log1.2x的图像，如图所示，两图像与x＝0.7相交，可知log1.10.7＜log1.20.7.[对点训练]6．三个数60.7、0.76、log0.76的大小顺序为( )A．0.76＜log0.76＜60.7B．0.76＜60.7＜log0.76C．log0.76＜60.7＜0.76D．log0.76＜0.76＜60.7解析：选 D ∵0＜0.7＜1,6＞1，∴log0.76＜0，而0＜0.76＜1,60.7＞1，故log0.76＜0.76＜60.7.7．若x ∈(1,10)，则(lg x )2，lg x 2，lg(lg x )的大小顺序是 ( )A ．(lg x )2＜lg x 2＜lg(lg x ) B ．lg(lg x )＜lg x 2＜(lg x )2C ．lg x 2＜lg(lg x )＜(lg x )2D ．lg(lg x )＜(lg x )2＜lg x 2解析：选D ∵x ∈(1,10)，∴不妨令x ＝10，则lg(lg x )＝lg(lg 10)＜0，(lg x )2＝(lg 10)2＝14，lg x 2＝lg(10)2＝1， ∴lg(lg x )＜(lg x )2＜lg x 2.[典例4] 已知函数f (x )＝log 2(2x＋1)．(1)求证：函数f (x )在(－∞，＋∞)内是增加的；(2)若关于x 的方程log 2(2x－1)＝m ＋f (x )在[1,2]上有解，求m 的取值范围．[解] (1)证明：任取x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝＝∵x 1＜x 2，∴f (x 1)＜f (x 2)，即函数f (x )在(－∞，＋∞)内是增加的． (2)法一：∵m ＝log 2(2x－1)－log 2(2x＋1)＝log 22x－12x ＋1＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22x ＋1.当1≤x ≤2时，25≤22x ＋1≤23，∴13≤1－22x ＋1≤35. ∴m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 213，log 235.法二：解方程log 2(2x－1)＝m ＋log 2(2x＋1)，得x ＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2m＋11－2m ，∵1≤x ≤2，∴1≤log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2m＋11－2m ≤2， 解得log 213≤m ≤log 235.∴m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 213，log 235.[借题发挥] 若本例中函数不变，如何解不等式f (4x)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3？[对点训练]8．函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为( )A ．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C ．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 解析：选A ∵3x＋1＞1，∴log 2(3x＋1)＞0.9．已知函数f (x )＝log 4(4x＋1)＋kx (x ∈R )是偶函数，求k 的值．解：∵函数f (x )是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即log 4(4－x＋1)－kx ＝log 4(4x＋1)＋kx .∴2kx ＝log 4(4－x＋1)－log 4(4x＋1)＝log 44－x＋14x ＋1＝log 44x＋14x 4x ＋1＝log 414x ＝－x .∴2k ＝－1. ∴k ＝－12.（时间：90分钟 满分120分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)的图像如右图所示，函数y ＝g (x )的图像与y ＝f (x )的图像关于直线y ＝x 对称，则函数y ＝g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝2xB ．g (x )＝C ．g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．g (x )＝log 2x解析：选C 由点(2，－1)在y ＝log a x 的图像上， 得log a 2＝－1，∴a ＝12.∴f (x )＝，从而g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.2.12log 612－log 62等于( ) A ．6 2 B ．12 2 C.12D ．3解析：选C 原式＝log 612－log 62＝log 66＝12.3．若集合A ＝，则∁R A ＝( )A ．(－∞，0]∪⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞ B.⎝⎛⎭⎪⎫22，＋∞ C ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞4．(重庆高考)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＝b <cB ．a ＝b >cC ．a <b <cD ．a >b >c解析：选B a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝32log 23>1，c ＝log 32<log 33＝1，故a ＝b >c . 5．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( ) A ．a ＜c ＜b B ．b ＜c ＜a C ．a ＜b ＜c D ．b ＜a ＜c解析：选D a ＝log 54＜1，log 53＜log 54＜1，b ＝(log 53)2＜log 53，c ＝log 45＞1，故b ＜a ＜c .6．函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x －1的图像关于( )A ．y 轴对称B ．x 轴对称C ．原点对称D ．直线y ＝x 对称解析：选C f (x )＝lg 1＋x1－x ，则f (x )的定义域为(－1,1)，又∵f (－x )＝lg 1－x 1＋x ＝lg 11＋x1－x ＝－lg 1＋x 1－x＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，∴该函数的图像关于原点对称．7．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100解析：选A 由2a＝5b＝m ，得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10.∵1a ＋1b＝2.∴log m 10＝2. ∴m 2＝10，∵m >0，∴m ＝10.8．函数y ＝ax 2＋bx 与y ＝log|b a|x (ab ≠0，|a |≠|b |)在同一直角坐标系中的图像可能是( )解析：选D 函数y ＝ax 2＋bx 的两个零点是0，－b a. 对于A 、B ，由抛物线的图像知，－b a∈(0,1)， ∴b a∈(0,1)．∴函数y ＝log|b a|x 不是增函数，错误； 对于C ，由抛物线的图像知a ＜0且－b a＜－1， ∴b ＜0且b a＞1. ∴b a＞1.∴函数y ＝log|b a|x 应为增函数，错误；对于D ，由抛物线的图像知a ＞0，－b a∈(－1,0)， ∴|b a |∈(0,1)．满足y ＝log|b a|x 为减函数． 9．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x －1x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1x ＜2，若f (x 0)＞1，则x 0的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(2，＋∞)B ．(0,2)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－1,3)解析：选C 当x 0≥2时，∵f (x 0)＞1， ∴log 2(x 0－1)＞1，即x 0＞3；当x 0＜2时，由f (x 0)＞1得⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0－1＞1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1，∴x 0＜－1. ∴x 0∈(－∞，－1)∪(3，＋∞)．10．用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选C 由题意知，函数f (x )是三个函数y 1＝2x，y 2＝x ＋2，y 3＝10－x 中的较小者，作出三个函数在同一个平面直角坐标系的图像(如图实线部分为f (x )的图像)可知A (4,6)为函数f (x )图像的最高点， ∴f (x )max ＝6.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分．把答案填写在题中的横线上)11．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 14－lg 25÷＝________.解析：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 1100÷10－1＝－2×10＝－20.答案：－2012．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x)(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________． 解析：因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )， 即－x (e －x＋a e x )＝x (e x ＋a e －x)， 化简得x (e －x ＋e x)(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1. 答案：－113．方程⎝ ⎛⎭⎪⎫13x＝|log 3x |的解的个数是________．解析：如图，画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x与y ＝|log 3x |的图像，两图像的交点个数为2.答案：214．已知定义域为R 的偶函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，则不等式f (log 4x )＞0的解集是________．解析：∵f (x )是偶函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0， 又∵f (x )在[0，＋∞)上是增函数， ∴f (x )在(－∞，0]上是减函数， ∴f (log 4x )＞0⇒log 4x ＞12或log 4x ＜－12，∴x ＞2或0＜x ＜12.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) 三、解答题(本大题共4小题，满分50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)(1)解方程：lg(x ＋1)＋lg(x －2)＝lg 4； (2)求不等式21－2x＞18的解集． 解：(1)原方程可化为lg(x ＋1)(x －2)＝ lg 4，∴(x ＋1)(x －2)＝4，解得x ＝－2或3，又⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x －2＞0⇒x ＞2,∴方程的根为3. (2)原不等式可变为：21－2x＞2－3，又y ＝2x为R 上的增函数， ∴1－2x ＞－3，解得：x ＜2. 所以解集为{x |x ＜2}．16．(本小题满分12分)某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测，服药后每毫升血液中的含药量y (毫克)与时间t (小时)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y 与t 之间的函数关系式y ＝f (t )；(2)进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时药物对治疗疾病有效．求服药一次治疗疾病的有效时间．解：(1)当t ∈[0,1]时，函数的解析式为y ＝kt ， 将M (1,4)代入得k ＝4，∴y ＝4t .又当t ∈(1，＋∞)时，函数的解析式为y ＝(12)t －a，将点(3,1)代入得a ＝3. ∴y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3. 综上有y ＝f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4t 0≤t ≤1，12t －3 t >1. (2)由f (t )≥0.25，解得116≤t ≤5. 所以服药一次治疗疾病的有效时间为5－116＝7916个小时． 17．(本小题满分12分)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ，x ≤1，log 3x 3·log 3x 9，x ＞1.(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫log 232的值； (2)求f (x )的最小值．解：(1)∵log 232＜log 22＝1， ∴f (⎝⎛⎭⎪⎫log 232＝2－log 232＝2log 223＝23， 即f ⎝⎛⎭⎪⎫log 232＝23. (2)当x ∈(－∞，1]时，f (x )＝2－x ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≥12， 即f (x )min ＝12. 当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＝(log 3x －1)(log 3x －2)， 令log 3x ＝t ，则t ＞0，∴y ＝(t －1)(t －2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －322－14. ∵t ＞0，∴当t ＝32时，y min ＝－14＜12. ∴f (x )的最小值是－14. 18．(本小题满分14分)已知函数f (x )＝2x －12|x |. (1)若f (x )＝2，求x 的值；(2)若2tf (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1,2]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)当x ≤0时，f (x )＝0；当x >0时，f (x )＝2x －12x ，由条件可知2x －12x ＝2，即22x －2×2x－1＝0.解得2x ＝1＋2或2x ＝1－2(舍去)．∴x ＝log 2(1＋2)．(2)当t ∈[1,2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t －122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0.即m (22t －1)≥－(24t －1)，∵22t －1＞0，∴m ≥－(22t ＋1)．∵t ∈[1,2]，∴－(22t ＋1)∈[－17，－5]．故m 的取值范围是[－5，＋∞)。