2018年浙江高考数学二轮复习练习：专题限时集训15 函数与方程

专题限时集训(一) 三角函数问题(对应学生用书第111页) [建议A 、B 组各用时：45分钟][A 组 高考达标]一、选择题1．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A ．－32B ．－12C.12D.32A [函数f (x )＝sin(2x ＋φ)向左平移π6个单位得y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，又其为奇函数，故π3＋φ＝k π，π∈Z ，解得φ＝k π－π3，又|φ|＜π2，令k ＝0，得φ＝－π3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.又∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，23π，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，1，当x ＝0时，f (x )min ＝－32，故选A.] 2．(2016·宁波十校联考)已知函数f (x )＝sin x －cos x ，且f ′(x )＝12f (x )，则tan 2x 的值是( ) A ．－23B ．－43C.43D.34D [因为f ′(x )＝cos x ＋sin x ＝12sin x －12cos x ，所以tan x ＝－3，所以tan 2x ＝2tan x1－tan 2x ＝－61－9＝34，故选D.]3．(2017·杭州第二次质检)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，则下列结论中正确的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2πB ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0对称C ．由函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度可以得到函数y ＝sin 2x 的图象D ．函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，5π8上单调递增C [函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移π8个单位长度得到函数y ＝sin2x －π8＋π4＝sin2x 的图象，故选C.]4．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图1­3所示，则f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π12的值为( )图1­3A ．2－ 3B ．2＋ 3C ．1－32D ．1＋32A [由函数f (x )的图象得函数f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＝π，解得ω＝2，则f (x )＝2sin(2x ＋φ)．又因为函数图象经过点－π12，－2，所以f －π12＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝－2，则2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12＋φ＝－π2＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝－π3＋2k π，k ∈Z .又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π12＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×0－π3＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×17π12－π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＋2sin 5π2＝－3＋2，故选A.]5．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为( ) 【导学号：68334033】 A ．[－1,1] B ．[－1，2] C ．[－2，1]D ．[1，2]A [由sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝1，α，β∈[0，π]，得α－β＝π2，β＝α－π2∈[0，π]⇒α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π，且sin(2α－β)＋sin(α－2β)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin(π－α)＝cos α＋sin α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π⇒α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π4，5π4⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22⇒2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4∈[－1,1]，故选A.]二、填空题6．(2017·浙东北教学联盟高三一模考试)已知sin α＝13，0＜α＜π，则tan α＝________，sin α2＋cos α2＝________.±24 233 [因为0＜α＜π，所以tan α＝sin αcos α＝±sin 2αcos 2α＝±sin 2α1－sin 2α＝±24，又0＜α2＜π2，所以sin α2＞0，cos α2＞0，所以sin α2＋cos α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2＋cos α22＝1＋2sin α2cos α2＝1＋sin α＝233.]7．(2017·温州第二次适应性测试)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的图象如图1­4所示，则ω＝______，φ＝________.图1­42π6 [由图象知函数f (x )的周期为π，所以ω＝2πT＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)．把点(π，1)代入得2sin(2π＋φ)＝1，即sin φ＝12.因为|φ|<π2，所以φ＝π6.]8．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________．π2 [f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ωx ＋π4， 因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，所以ω2＝π4，所以ω＝π2.] 三、解答题9．设函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a (a ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时，f (x )的最大值为2，求a 的值，并求出y ＝f (x )(x ∈R )的对称轴方程．[解] (1)f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1＋a ，则f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π，3分且当2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )单调递增，即k π－38π≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )．所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8(k ∈Z )为f (x )的单调递增区间. 5分 (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6时⇒π4≤2x ＋π4≤7π12， 7分当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝1.所以f (x )max ＝2＋1＋a ＝2⇒a ＝1－ 2.11分由2x ＋π4＝k π＋π2得x ＝k π2＋π8(k ∈Z )，故y ＝f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π8，k ∈Z .10．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)x ∈R ，A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2的部分图象如图1­5所示，P是图象的最高点，Q 为图象与x 轴的交点，O 为坐标原点．若OQ ＝4，OP ＝5，PQ＝13.图1­5(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )的图象向右平移2个单位后得到函数y ＝g (x )的图象，当x ∈(－1,2)时，求函数h (x )＝f (x )·g (x )的值域. 【导学号：68334035】[解] (1)由条件知cos ∠POQ ＝42＋52－1322×4×5＝55. 2分 又cos ∠POQ ＝x P5，∴x P ＝1，∴y P ＝2，∴P (1,2).3分由此可得振幅A ＝2，周期T ＝4×(4－1)＝12，又2πω＝12，则ω＝π6.4分将点P (1,2)代入f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋φ，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋φ＝1.∵0＜φ＜π2，∴φ＝π3，于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3.6分 (2)由题意可得g (x )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －＋π3＝2sin π6x . 7分∴h (x )＝f (x )·g (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x ＋π3·sin π6x＝2sin2π6x ＋23sin π6x ·cos π6x ＝1－cos π3x ＋3sin π3x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6.9分 当x ∈(－1,2)时，π3x －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，11分∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6∈(－1,1)，即1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π6∈(－1,3)，于是函数h (x )的值域为(－1,3).14分[B 组 名校冲刺]一、选择题1．已知函数y ＝log a (x －1)＋3(a ＞0，且a ≠1)的图象恒过定点P ，若角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边经过点P ，则sin 2α－sin 2α的值为( ) A.513 B ．－513C.313D ．－313D [根据已知可得点P 的坐标为(2,3)，根据三角函数定义，可得sin α＝313，cos α＝213，所以sin 2α－sin 2α＝sin 2α－2sin αcos α＝⎝⎛⎭⎪⎫3132－2×313×213＝－313.]2．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象向右平移π12个单位，所得到的图象关于y 轴对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为( )A.32B.12 C ．－12D ．－32D [f (x )＝sin(2x ＋φ)向右平移π12个单位得到函数g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋φ＝sin2x －π6＋φ，此函数图象关于y 轴对称，即函数g (x )为偶函数，则－π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z .又|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3，所以f (x )的最小值为sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，故选D.]3．已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ，b 为常数，a ≠0，x ∈R )在x ＝π4处取得最大值，则函数y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4是( )A ．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称B ．偶函数且它的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0对称C ．奇函数且它的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0对称D ．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称B [由题意可知f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，即a cos π4＋b sin π4＝0，∴a ＋b ＝0，∴f (x )＝a (sin x ＋cos x )＝2a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝2a cos x .易知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4是偶函数且图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π2，0对称，故选B.] 4．(2017·温州第二次检测)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)的部分图象如图1­6所示，且f (α)＝1，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝( )图1­6A ．±223B.223C ．－223D.13C [由题图易得A ＝3，函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12－π3，解得ω＝2，所以f (x )＝3sin(2x ＋φ)．又因为点⎝⎛⎭⎪⎫π3，－3在函数图象上，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝－3，解得2×π3＋φ＝32π＋2k π，k ∈Z ，解得φ＝5π6＋2k π，k ∈Z .又因为0＜φ＜π，所以φ＝5π6，则f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6，当α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3时，2α＋5π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，3π2.又因为f (α)＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝13＞0，所以2α＋5π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，π，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫2α＋5π6＝－223，故选C.] 二、填空题5．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是______.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 [f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ωx ＋π4，令2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋3π2(k∈Z )，解得2k πω＋π4ω≤x ≤2k πω＋5π4ω(k ∈Z )．由题意，函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，故⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π为函数单调递减区间的一个子区间，故有⎩⎪⎨⎪⎧2k πω＋π4ω≤π2，2k πω＋5π4ω≥π，解得4k ＋12≤ω≤2k ＋54(k ∈Z )．由4k ＋12＜2k ＋54，解得k ＜38.由ω＞0，可知k ≥0，因为k ∈Z ，所以k ＝0，故ω的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54.]6．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． π [∵f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上具有单调性， ∴T 2≥π2－π6，∴T ≥2π3.∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3， ∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3，∴14T ＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π.]三、解答题7．某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1) (2)将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值.[解] (1)根据表中已知数据， 解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：4分 且函数解析式为f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 6分(2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6， 则g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2θ－π6. 7分因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ， 令2x ＋2θ－π6＝k π，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z .8分由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0成中心对称，所以令k π2＋π12－θ＝5π12， 解得θ＝k π2－π3，k ∈Z . 12分 由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.14分8．已知函数f (x )＝23sin x cos x －sin 2x ＋12cos 2x ＋12，x ∈R .(1)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π2上的最值；(2)若将函数f (x )的图象向右平移π4个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g (x )的图象．已知g (α)＝－65，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，11π6，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π6的值．[解] (1)f (x )＝23sin x cos x －sin 2x ＋12cos 2x ＋12＝3sin 2x －1－cos 2x 2＋12cos 2x ＋12＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.2分 ∵－π4≤x ≤π2，∴－π3≤2x ＋π6≤7π6，3分 ∴当2x ＋π6＝－π3，即x ＝－π4时，f (x )的最小值为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－ 3.4分 当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )的最大值为2×1＝2.5分(2)若将函数f (x )的图象向右平移π4个单位，再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3. 7分 由g (α)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－65，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－35.8分∵4π3＜α＜11π6，∴π＜α－π3＜3π2， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－45. 10分 ∵π2＜α2－π6＜3π4，12分∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π6＝－1＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π32＝－1－452＝－1010.14分。

第8讲函数与方程、函数的模型及其应用最新考纲 1.了解函数零点的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法；2.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；3.了解函数模型【如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.知识梳理1.函数的零点【1)函数零点的概念对于函数y＝f【x)，把使f【x)＝0的实数x叫做函数y＝f【x)的零点.【2)函数零点与方程根的关系方程f【x)＝0有实数根⇔函数y＝f【x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f【x)有零点.【3)零点存在性定理如果函数y＝f【x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f【a)·f 【b)<0；则函数y＝f【x)在【a，b)上存在零点，即存在c∈【a，b)，使得f【c)＝0，这个c也就是方程f【x)＝0的根.2.二次函数y＝ax2＋bx＋c【a>0)的图象与零点的关系【1)一次函数模型：y＝kx＋b【k≠0).【2)反比例函数模型：y＝kx【k≠0).【3)二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c 【a ，b ，c 为常数，a ≠0). 【4)指数函数模型：y ＝a ·b x ＋c 【b >0，b ≠1，a ≠0). 【5)对数函数模型：y ＝m log a x ＋n 【a >0，a ≠1，m ≠0). 4.指数、对数、幂函数模型性质比较1.判断正误【在括号内打“√”或“×”) 【1)函数f 【x )＝lg x 的零点是【1，0).【 )【2)图象连续的函数y ＝f 【x )【x ∈D )在区间【a ，b )⊆D 内有零点，则f 【a )·f 【b )<0.【 )【3)若函数f 【x )在【a ，b )上单调且f 【a )·f 【b )<0，则函数f 【x )在[a ，b ]上有且只有一个零点.【 )【4)f 【x )＝x 2，g 【x )＝2x ，h 【x )＝log 2x ，当x ∈【4，＋∞)时，恒有h 【x )<f 【x )<g 【x ).【 ) 解析 【1)f 【x )＝lg x 的零点是1，故【1)错.【2)f 【a )·f 【b )＜0是连续函数y ＝f 【x )在【a ，b )内有零点的充分不必要条件，故【2)错.答案 【1)× 【2)× 【3)√ 【4)√2.【必修1P88例1改编)函数f 【x )＝e x ＋3x 的零点个数是【 ) A.0B.1C.2D.3解析 由已知得f ′【x )＝e x ＋3＞0，所以f 【x )在R 上单调递增，又f 【－1)＝1e －3<0，f 【0)＝1>0，因此函数f 【x )有且只有一个零点. 答案 B3.【2015·安徽卷)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是【 ) A.y ＝cos x B.y ＝sin x C.y ＝ln xD.y ＝x 2＋1解析 由函数是偶函数，排除选项B 、C ，又选项D 中函数没有零点，排除D ，y ＝cos x 为偶函数且有零点. 答案 A4.已知某种动物繁殖量y 【只)与时间x 【年)的关系为y ＝a log 3【x ＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们发展到【 ) A.100只 B.200只 C.300只D.400只解析 由题意知100＝a log 3【2＋1)，∴a ＝100，∴y ＝100log 3【x ＋1)，当x ＝8时，y ＝100log 39＝200. 答案 B5.函数f 【x )＝ax ＋1－2a 在区间【－1，1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是________.解析 因为函数f 【x )＝ax ＋1－2a 在区间【－1，1)上是单调函数，所以若f 【x )在区间【－1，1)上存在一个零点，则满足f 【－1)f 【1)＜0，即【－3a ＋1)·【1－a )<0，解得13<a <1. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，16.【2017·绍兴调研)已知f 【x )＝⎩⎨⎧x 2，x <0，2x －2，x ≥0，则f 【f 【－2))＝________；函数f 【x )的零点的个数为________.解析 根据题意得：f 【－2)＝【－2)2＝4，则f 【f 【－2))＝f 【4)＝24－2＝16－2＝14；令f 【x )＝0，得到2x －2＝0，解得：x ＝1，则函数f 【x )的零点个数为1. 答案 14 1考点一 函数零点所在区间的判断【例1】 【1)若a <b <c ，则函数f 【x )＝【x －a )【x －b )＋【x －b )【x －c )＋【x －c )【x －a )的两个零点分别位于区间【 )A.【a ，b )和【b ，c )内B.【－∞，a )和【a ，b )内C.【b ，c )和【c ，＋∞)内D.【－∞，a )和【c ，＋∞)内【2)设f 【x )＝ln x ＋x －2，则函数f 【x )的零点所在的区间为【 ) A.【0，1)B.【1，2)C.【2，3)D.【3，4)解析 【1)∵a <b <c ，∴f 【a )＝【a －b )【a －c )>0， f 【b )＝【b －c )【b －a )<0，f 【c )＝【c －a )【c －b )>0，由函数零点存在性定理可知：在区间【a ，b )，【b ，c )内分别存在零点，又函数f 【x )是二次函数，最多有两个零点；因此函数f 【x )的两个零点分别位于区间【a ，b )，【b ，c )内，故选A.【2)法一 函数f 【x )的零点所在的区间可转化为函数g 【x )＝ln x ，h 【x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的取值范围.作图如下：可知f 【x )的零点所在的区间为【1，2).法二 易知f 【x )＝ln x ＋x －2在【0，＋∞)上为增函数， 且f 【1)＝1－2＝－1<0，f 【2)＝ln 2>0.所以根据函数零点存在性定理可知在区间【1，2)内函数存在零点. 答案 【1)A 【2)B规律方法 确定函数f 【x )的零点所在区间的常用方法【1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数y ＝f 【x )在区间[a ，b ]上的图象是否连续，再看是否有f 【a )·f 【b )<0.若有，则函数y ＝f 【x )在区间【a ，b )内必有零点.【2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断.【训练1】 已知函数f 【x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的零点为x 0，则x 0所在的区间是【 ) A.【0，1)B.【1，2)C.【2，3)D.【3，4)解析 ∵f 【x )＝ln x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2在【0，＋∞)上是增函数，又f 【1)＝ln 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝ln 1－2<0，f 【2)＝ln 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝ln 2－1<0，f 【3)＝ln 3－12>0.故f 【x )的零点x 0∈【2，3). 答案 C考点二 函数零点个数的判断【例2】 【1)函数f 【x )＝⎩⎨⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________.【2)函数f 【x )＝2x |log 0.5x |－1的零点个数为________. A.1B.2C.3D.4解析 【1)当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2【正根舍).所以在【－∞，0]上有一个零点.当x >0时，f ′【x )＝2＋1x >0恒成立，所以f 【x )在【0，＋∞)上是增函数. 又因为f 【2)＝－2＋ln 2<0，f 【3)＝ln 3>0，所以f 【x )在【0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f 【x )的零点个数为2.【2)令f 【x )＝2x|log 0，5x |－1＝0，得|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.设g 【x )＝|log 0.5x |，h 【x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在同一坐标系下分别画出函数g 【x )，h 【x )的图象【如图).由图象知，两函数的图象有两个交点，因此函数f 【x )有2个零点. 答案 【1)2 【2)B规律方法 函数零点个数的判断方法：【1)直接求零点，令f 【x )＝0，有几个解就有几个零点；【2)零点存在性定理，要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f 【a )·f 【b )<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数；【3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零点个数. 【训练2】 【2015·湖北卷)f 【x )＝2sin x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2－x 2的零点个数为________.解析 f 【x )＝2sin x cos x －x 2＝sin 2x －x 2，则函数的零点即为函数y ＝sin 2x 与函数y ＝x 2图象的交点，如图所示，两图象有2个交点，则函数有2个零点.答案 2考点三 函数零点的应用【例3】 【2017·昆明调研)已知定义在R 上的偶函数f 【x )满足f 【x －4)＝f 【x )，且在区间[0，2]上f 【x )＝x ，若关于x 的方程f 【x )＝log a x 有三个不同的实根，求a 的取值范围.解 由f 【x －4)＝f 【x )知，函数的周期T ＝4. 又f 【x )为偶函数，∴f 【x )＝f 【－x )＝f 【4－x )，因此函数y ＝f 【x )的图象关于x ＝2对称. 又f 【2)＝f 【6)＝f 【10)＝2.要使方程f 【x )＝log a x 有三个不同的实根.由函数的图象【如图)，必须有⎩⎨⎧f （6）<2，f （10）>2，a >1.即⎩⎨⎧log a 6<2，log a 10>2，a >1.解之得6<a <10.故a 的取值范围是【6，10).规律方法 已知函数有零点【方根有根)求参数值常用的方法：【1)直接法，直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； 【2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；【3)数形结合，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解.【训练3】 【1)【2017·东阳一中检测)已知函数f 【x )＝⎩⎨⎧e x＋a ，x ≤0，3x －1，x >0【a ∈R )，若函数f 【x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是【 ) A.【－∞，－1) B.【－∞，0) C.【－1，0)D.[－1，0)【2)【2016·山东卷)已知函数f 【x )＝⎩⎨⎧|x |，x ≤m ，x 2－2mx ＋4m ，x >m ，其中m >0.若存在实数b ，使得关于x 的方程f 【x )＝b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________. 解析 【1)当x >0时，f 【x )＝3x －1有一个零点x ＝13.因此当x ≤0时，f 【x )＝e x ＋a ＝0只有一个实根， ∴a ＝－e x 【x ≤0)，则－1≤a <0.【2)在同一坐标系中，作y ＝f 【x )与y ＝b 的图象.当x >m 时，x 2－2mx ＋4m ＝【x －m )2＋4m －m 2，∴要使方程f 【x )＝b 有三个不同的根，则有4m －m 2<m ， 即m 2－3m >0.又m >0，解得m >3. 答案 【1)D 【2)【3，＋∞)考点四 构建函数模型解决实际问题【易错警示)【例4】 【1)【2016·四川卷)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是【参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)【 ) A.2018年 B.2019年 C.2020年D.2021年【2)【2017·河南省实验中学期中)为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层，体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C 【单位：万元)与隔热层厚度x 【单位：cm)满足关系：C 【x )＝k 3x ＋5【0≤x ≤10，k 为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元，设f 【x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和. ①求k 的值及f 【x )的表达式；②隔热层修建多厚时，总费用f 【x )达到最小？并求最小值.【1)解析 设2015年后的第n 年该公司投入的研发资金为y 万元，则y ＝130【1＋12%)n .依题意130【1＋12%)n >200，得1.12n >2013.两边取对数，得n ·lg1.12>lg 2－lg 1.3∴n >lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n ≥4，∴从2019年开始，该公司投入的研发资金开始超过200万元. 答案 B【2)解 ①当x ＝0时，C ＝8，∴k ＝40， ∴C 【x )＝403x ＋5【0≤x ≤10)， ∴f 【x )＝6x ＋20×403x ＋5＝6x ＋8003x ＋5【0≤x ≤10). ②由①得f 【x )＝2【3x ＋5)＋8003x ＋5－10. 令3x ＋5＝t ，t ∈[5，35]， 则y ＝2t ＋800t －10≥22t ·800t －10＝70，当且仅当2t ＝800t 即t ＝20时“＝”成立，此时由3x ＋5＝20得x ＝5.∴函数y ＝2t ＋800t －10在t ＝20时取得最小值，此时x ＝5， 因此f 【x )的最小值为70.∴隔热层修建5 cm 厚时，总费用f 【x )达到最小，最小值为70万元. 规律方法 【1)构建函数模型解决实际问题的常见类型与求解方法： ①构建二次函数模型，常用配方法、数形结合、分类讨论思想求解. ②构建分段函数模型，应用分段函数分段求解的方法.③构建f 【x )＝x ＋ax 【a >0)模型，常用基本不等式、导数等知识求解. 【2)解函数应用题的程序是：①审题；②建模；③解模；④还原. 易错警示 求解过程中不要忽视实际问题是对自变量的限制.【训练4】 【1)【2017·成都调研)某食品的保鲜时间y 【单位：小时)与储藏温度x 【单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b 【e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时.【2)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v 【单位：千米/时)是车流密度x 【单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时.研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数.①当0≤x ≤200时，求函数v 【x )的表达式；②当车流密度x 为多大时，车流量【单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f 【x )＝x ·v 【x )可以达到最大，并求出最大值【精确到1辆/时). 【1)解析 由已知条件，得192＝e b 又48＝e 22k ＋b ＝e b ·【e 11k )2∴e 11k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4819212＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1412＝12，设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时， 则t ＝e33k ＋b＝192 e 33k＝192【e 11k )3＝192×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝24.答案 24【2)解 ①由题意，得当0≤x ≤20时，v 【x )＝60； 当20≤x ≤200时，设v 【x )＝ax ＋b 【a ≠0)， 所以⎩⎨⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故当0≤x ≤200时，函数v 【x )的表达式为 v 【x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x ≤20，13（200－x ），20<x ≤200.②依题意并由【1)可得f 【x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x ≤20，13x （200－x ），20<x ≤200.当0≤x ≤20时，f 【x )为增函数，所以f 【x )在区间[0，20]上的最大值为f 【20)＝60×20＝1 200； 当20<x ≤200时，f 【x )＝13x 【200－x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（200－x ）22＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ， 即x ＝100时，等号成立.所以当x ＝100时，f 【x )在区间【20，200]上取得最大值10 0003. 综上可知，当x ＝100时，f 【x )在区间[0，200]上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时.[思想方法]1.转化思想在函数零点问题中的应用方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题. 2.判断函数零点个数的常用方法 【1)通过解方程来判断.【2)根据零点存在性定理，结合函数性质来判断.【3)将函数y ＝f 【x )－g 【x )的零点个数转化为函数y ＝f 【x )与y ＝g 【x )图象公共点的个数来判断.3.求解函数应用问题的步骤：【1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； 【2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型；【3)解模：求解数学模型，得出数学结论； 【4)还原：将数学问题还原为实际问题. [易错防范]1.函数的零点不是点，是方程f 【x )＝0的实根.2.函数零点的存在性定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分不必要条件.3.函数模型应用不当，是常见的解题错误.所以，要正确理解题意，选择适当的函数模型.并根据实际问题，合理确定函数的定义域.4.注意问题反馈.在解决函数模型后，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.基础巩固题组【建议用时：40分钟)一、选择题1.【2017·赣中南五校联考)函数f 【x )＝3x －x 2的零点所在区间是【 )A.【0，1)B.【1，2)C.【－2，－1)D.【－1，0)解析 由于f 【－1)＝－23<0，f 【0)＝30－0＝1>0，∴f 【－1)·f 【0)<0.则f 【x )在【－1，0)内有零点.答案 D2.已知函数f 【x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f 【x )的零点为【 ) A.12，0 B.－2，0 C.12 D.0解析 当x ≤1时，由f 【x )＝2x －1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f 【x )＝1＋log 2x＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解.综上函数f 【x )的零点只有0.答案 D3.【2017·杭州调研)函数f 【x )＝2x －2x －a 的一个零点在区间【1，2)内，则实数a的取值范围是【 )A.【1，3)B.【1，2)C.【0，3)D.【0，2)解析 因为函数f 【x )＝2x －2x －a 在区间【1，2)上单调递增，又函数f 【x )＝2x－2x －a 的一个零点在区间【1，2)内，则有f 【1)·f 【2)<0，所以【－a )【4－1－a )<0，即a 【a －3)<0，所以0<a <3.答案 C4.【2017·德阳一诊)将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过mmin 甲桶中的水只有a 4 L ，则m 的值为【 )A.5B.8C.9D.10解析 ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y ＝f 【t )＝a e nt 满足f 【5)＝a e 5n ＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f 【t )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 5， 因此，当k min 后甲桶中的水只有a 4 L 时，f 【k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14， ∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5.答案 A5.【2017·湖北七校联考)已知f 【x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f【2x 2＋1)＋f 【λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是【 )A.14B.18C.－78D.－38解析 令y ＝f 【2x 2＋1)＋f 【λ－x )＝0，则f 【2x 2＋1)＝－f 【λ－x )＝f 【x －λ)，因为f 【x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8【1＋λ)＝0，解得λ＝－78.答案 C二、填空题6.【2016·浙江卷)设函数f 【x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f 【x )－f 【a )＝【x －b )【x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝________，b ＝________.解析 ∵f 【x )＝x 3＋3x 2＋1，则f 【a )＝a 3＋3a 2＋1，∴f 【x )－f 【a )＝【x －b )【x －a )2＝【x －b )【x 2－2ax ＋a 2)＝x 3－【2a ＋b )x 2＋【a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2.由此可得⎩⎨⎧2a＋b ＝－3，①a 2＋2ab ＝0，②a 3＋3a 2＝a 2b .③∵a ≠0，∴由②得a ＝－2b ，代入①式得b ＝1，a ＝－2.答案 －2 17.【2017·湖州调研)设在海拔x m 处的大气压强是y Pa ，y 与x 之间的函数关系为y ＝c e kx ，其中c ，k 为常量.已知某天的海平面的大气压为1.01×105 Pa ，1 000 m 高空的大气压为0.90×105Pa ，则c ＝________，k ＝________，600 m 高空的大气压强约为________Pa 【保留3位有效数字).解析 将x ＝0时，y ＝1.01×105 Pa 和x ＝1 000时，y ＝0.90×105Pa 分别代入y＝c e kx ，得⎩⎨⎧1.01×105＝c e 0，0.90×105＝c e1 000k ，所以c ＝1.01×105，所以e 1 000k ＝0.90×1051.01×105＝0.901.01，所以k ＝11 000×ln 0.901.01，用计算器算得k ≈－1.153×10－4，所以y ＝1.01×105×e －1.153×10－4x ，将x ＝600代入上述函数式，得y ≈9.42×104 Pa ，即在600 m 高空的大气压强约为9.42×104 Pa.答案 1.01×105 －1.153×10－4 9.42×1048.【2015·安徽卷)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________.解析 函数y ＝|x －a |－1的图象如图所示，因为直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，故2a ＝－1，解得a ＝－12.答案 －12三、解答题9.已知二次函数f 【x )＝x 2＋【2a －1)x ＋1－2a ，【1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f 【x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；【2)若y ＝f 【x )在区间【－1，0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围. 解 【1)“对于任意的a ∈R ，方程f 【x )＝1必有实数根”是真命题.依题意，f 【x )＝1有实根，即x 2＋【2a －1)x －2a ＝0有实根，因为Δ＝【2a －1)2＋8a ＝【2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋【2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f 【x )＝1必有实根.【2)依题意，要使y ＝f 【x )在区间【－1，0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点， 只需⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （0）<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34. 故实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪12<a <34. 10.【2017·山东实验中学月考)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v 【单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋b log 3Q 10【其中a 、b 是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.【1)求出a 、b 的值；【2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解 【1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故有a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎨⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1.【2)由【1)知，v ＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，即－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位.能力提升题组【建议用时：25分钟)11.已知函数f 【x )＝⎩⎨⎧0，x ≤0，e x ，x >0，则使函数g 【x )＝f 【x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是【 )A.[0，1)B.【－∞，1)C.【－∞，1]∪【2，＋∞)D.【－∞，0]∪【1，＋∞) 解析 函数g 【x )＝f 【x )＋x －m 的零点就是方程f 【x )＋x ＝m 的根，画出h 【x )＝f 【x )＋x ＝⎩⎨⎧x ，x ≤0，e x ＋x ，x >0的大致图象【图略). 观察它与直线y ＝m 的交点，得知当m ≤0或m >1时，有交点，即函数g 【x )＝f【x )＋x －m 有零点.答案 D12.【2017·石家庄质检)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t 【单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c 【a ，b ，c 是常数)，如图3记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为【 )A.3.50分钟B.3.75分钟C.4.00分钟D.4.25分钟解析 根据图表，把【t ，p )的三组数据【3，0.7)，【4，0.8)，【5，0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎨⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎨⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3， 解得⎩⎨⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－152t ＋22516＋4516－2＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1542＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟.答案 B13.【2017·绍兴调研)已知f 【x )＝1x ＋2－m |x |，若f 【x )有两个零点，则实数m 的值为________；若f 【x )有三个零点，则实数m 的取值范围是________.解析 函数f 【x )的零点，即为方程1x ＋2－m |x |＝0即1m ＝|x |【x ＋2)的实数根，令g 【x )＝|x |【x ＋2)＝⎩⎨⎧x 2＋2x ，x >0，－x 2－2x ，x <0，其图象如图所示，当m ＝1时，g 【x )图象与y ＝1m 有2个交点；当0<1m <1，即m >1时，有3个交点.答案 1 【1，＋∞)14.设函数f 【x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x 【x >0). 【1)作出函数f 【x )的图象；【2)当0<a <b ，且f 【a )＝f 【b )时，求1a ＋1b 的值；【3)若方程f 【x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围.解 【1)如图所示.【2)∵f 【x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ∈（0，1]，1－1x ，x ∈（1，＋∞），故f 【x )在【0，1]上是减函数，而在【1，＋∞)上是增函数.由0<a <b 且f 【a )＝f 【b )，得0<a <1<b ，且1a －1＝1－1b ，∴1a ＋1b ＝2.【3)由函数f 【x )的图象可知，当0<m <1时，函数f 【x )的图象与直线y ＝m 有两个不同的交点，即方程f 【x )＝m 有两个不相等的正根.15.已知函数f 【x )＝1|x ＋2|＋kx ＋b ，其中k ，b 为实数且k ≠0. 【1)当k >0时，根据定义证明f 【x )在【－∞，－2)单调递增；【2)求集合M k ＝{b |函数f 【x )有三个不同的零点}.【1)证明 当x ∈【－∞，－2)时，f 【x )＝－1x ＋2＋kx ＋b . 任取x 1，x 2∈【－∞，－2)，设x 2>x 1.f 【x 1)－f 【x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋2＋kx 1＋b －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋2＋kx 2＋b ＝【x 1－x 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1（x 1＋2）（x 2＋2）＋k . 由所设得x 1－x 2<0，1（x 1＋2）（x 2＋2）>0，又k >0， ∴f 【x 1)－f 【x 2)<0，即f 【x 1)<f 【x 2).∴f 【x )在【－∞，－2)单调递增.【2)解 函数f 【x )有三个不同零点，即方程1|x ＋2|＋kx ＋b ＝0有三个不同的实根. 方程化为：⎩⎨⎧x >－2，kx 2＋（b ＋2k ）x ＋（2b ＋1）＝0，与⎩⎨⎧x <－2，kx 2＋（b ＋2k ）x ＋（2b －1）＝0. 记u 【x )＝kx 2＋【b ＋2k )x ＋【2b ＋1)，v 【x )＝kx 2＋【b ＋2k )x ＋【2b －1). ①当k >0时，u 【x )，v 【x )开口均向上.由v 【－2)＝－1<0知v 【x )在【－∞，－2)有唯一零点.为满足f 【x )有三个零点，u 【x )在【－2，＋∞)应有两个不同零点.∴⎩⎪⎨⎪⎧u （－2）>0，（b ＋2k ）2－4k （2b ＋1）>0，－b ＋2k 2k >－2，∴b <2k －2k . ②当k <0时，u 【x )，v 【x )开口均向下.由u 【－2)＝1>0知u 【x )在【－2，＋∞)有唯一零点.为满足f 【x )有三个零点，v【x )在【－∞，－2)应有两个不同零点.∴⎩⎪⎨⎪⎧v （－2）<0，（b ＋2k ）2－4k （2b －1）>0，－b ＋2k 2k <－2.∴b <2k －2－k . 综合①②可得M k ＝{b |b <2k －2|k |}.。

第08节 函数与方程班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1. 下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是( )【答案】C图像，故选C.2.【2017广东七校联合体联考】若函数()222x f x a x a =+-的零点在区间()0,1上，则a 的取值范围是（ ）A ．(),1-∞C ．()1,+∞ 【答案】C【解析】()x f 单调递增故选C.3.【2017陕西黄陵中学模拟】在下列区间中，函数()f x 存在零点的是（ ）A ．(0,1)B ．(1,2) C. (2,4) D ．(4,)+∞【答案】C ，故零点在区间()2,4. 4.【2017河南郑州质检】已知函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －cos x ，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C5.【2017云南大理州统测】函数()()ln ,02,0x x f x x x x >⎧=⎨-+≤⎩的零点个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】当0>x 时，令()0=x f 可得1=x ，当0≤x 时，令()0=x f 可得()02=+x x ，所以2-=x 或0=x ，函数的零点个数为，故选D.6.已知函数f(x)＝⎩⎨⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x>1，则函数f(x)的零点为( ) A.12，0 B.－2，0C.12D.0【答案】D 【解析】当1x ≤时，由()210x f x ＝－＝，解得x ＝0；当x>1时，由()210f x log x ＝＋＝，解得x ＝12，又因为1x >，所以此时方程无解.综上函数()f x 的零点只有0. 7.【2017河北武邑中学模拟】有两个零点12,x x ，则（ ）A ．121x x <B ．1212x x x x >+C.1212x x x x =+ D ．1212x xx x <+【答案】D8.【2017陕西黄陵中学模拟】已知函数()1x f x e =-，2()43g x x x =-+-，若有()()f a g b =，则的取值范围为（ ）A。

一 一 .一 1 1 已知 m n € (2 , e),且-2— -2 n m…1 rm> 2+ — n2 1 x 2— 26(2 , e))，贝U f' (x )= 一妒+ x = 丁因为x€ (2 , e),所以f' (x) >0,故函数f (x )在(2 , e)上单调递增.因为f (n ) <f (n),所 以nv m 故选A.2 .已知定义在 R 上的可导函数f (x )的导函数为f ' (x)，满足f ' (x) v f (x )，且f (x+ 2)为 偶函数，f (4) = 1,则不等式f (x ) ve x的解集为.解析：因为f (x+ 2)为偶函数，所以f (x+ 2)的图象关于x = 0对称，所以f (x )的图象关于x............ -------------------------------------------- f x f ， x e x— f x e x=2 对称.所以 f (0) = f (4) = 1.设 g (x ) = ------------------------------ x —(x € R),贝U g (x) =x —2 --------------------- =eex — f x 一， , .... .................... .x .又f (x) v f (x )，所以g ( x) v 0( x e R),所以函数 g (x )在TE 义域上单倜递 exf x f 0x —减.因为 f (x ) v e ? ―一 v 1,而 g (0) =—^— = 1,所以 f (x ) v e? g (x) < g (0)，所以 x > 0.答案：(0 , +8)3. (2017 -广东汕头模拟)已知函数f (x ) = x+ x ln x,若m^ Z,且f (x ) — m (x — 1)>0对任意 的x >i 恒成立，则m 的最大值为…一 一，一 ，, 一， ....................... * 一 x + x In x解析：因为f (x) = x + x In x,且f (x) — mx — 1)>0对任怠的x >1恒成立，等价于 m <一了一:— x — I 在(1 , + 8)上恒成立，等价于m < * + 弋 * min (x >1) .x — 1令 g (x ) = x + xl ： X (x >1) 所以 g z (x ) =x_-_.易知 g' (x ) = 0 必有实根，设为 x 0(x 0 x — 1、， x — 1 -2- In x °= 0),且g (x )在(1 , x °)上单调递减，在(x °, + °°)上单调递增，此时 g (x )min = g(x °) 因此 m <x 0,令 h (x ) = x — 2-In x,可得 h (3)<0 , h (4)>0 ,答案：3x4 .已知函数f (x ) = | x e | ,方程 的取值范围为.重难增分训练(一) 函数与导数的综合问题A.B. nx n解析：选A 由不等式可得.一日< Innv In n,即*+ In nv 』+ In m 设 f (x ) = §+ In x (x m f v |n n ，则(C.的大小关系不确定x 。

技法强化训练(一) 函数与方程思想(对应学生用书第159页)题组1 运用函数与方程思想解决数列、不等式等问题1．已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 是其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8的值为( ) A ．16 B ．32 C ．64D ．62C [由题意可知a 22＝a 1a 5，即(1＋d )2＝1³(1＋4d )，解得d ＝2， ∴a n ＝1＋(n －1)³2＝2n －1.∴S 8＝ a 1＋a 8 ³82＝4³(1＋15)＝64.]2．若2x ＋5y ≤2－y ＋5－x，则有( ) A ．x ＋y ≥0 B ．x ＋y ≤0 C ．x －y ≤0D ．x －y ≥0B [原不等式可化为2x－5－x≤2－y－5y，构造函数y ＝2x－5－x，其为R 上的增函数，所以有x ≤－y ，即x ＋y ≤0.]3．若关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1，x 2满足－1≤x 1＜0＜x 2＜2，则k 的取值范围是( ) 【导学号：68334007】A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－34，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34 B [构造函数f (x )＝x 2＋2kx －1，因为关于x 的方程x 2＋2kx －1＝0的两根x 1，x 2满足－1≤x 1＜0＜x 2＜2，所以⎩⎪⎨⎪⎧f －1 ≥0，f 0 ＜0，f 2 ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧－2k ≥0，－1＜0，4k ＋3＞0，所以－34＜k ≤0，所以k 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－34，0.]4．已知数列{a n }满足a 1＝60，a n ＋1－a n ＝2n (n ∈N *)，则a n n的最小值为________．292[由a n ＋1－a n ＝2n ，得 a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2(n －1)＋2(n －2)＋…＋2＋60 ＝n 2－n ＋60.∴a n n ＝n 2－n ＋60n ＝n ＋60n－1.令f (x )＝x ＋60x－1，易知f (x )在(0,215)上单调递减，在(215，＋∞)上单调递增．又n ∈N *，当n ＝7时，a 77＝7＋607－1＝1027，当n ＝8时，a 88＝8＋608－1＝292.又292＜1027，故a n n 的最小值为292.] 5．已知函数f (x )＝x ln x ＋a ，g (x )＝12x 2＋ax ，其中a ≥0.(1)若曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线与曲线y ＝g (x )也相切，求a 的值； (2)证明：x ＞1时，f (x )＋12＜g (x )恒成立．【导学号：68334008】[解] (1)由f (x )＝x ln x ＋a ，得f (1)＝a ，f ′(x )＝ln x ＋1，所以f ′(1)＝1. 1分所以曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线为y ＝x ＋a －1.因为直线y ＝x ＋a －1与曲线y ＝g (x )也相切，所以两方程联立消元得12x 2＋ax ＝a ＋x －1，即12x 2＋(a －1)x ＋1－a ＝0，3分所以Δ＝(a －1)2－4³12³(1－a )＝0，得a 2＝1.因为a ≥0，所以a ＝1.4分(2)证明：x ＞1时，f (x )＋12＜g (x )恒成立，等价于12x 2＋ax －x ln x －a －12＞0恒成立．令h (x )＝12x 2＋ax －x ln x －a －12，则h (1)＝0且h ′(x )＝x ＋a －ln x －1.6分令φ(x )＝x －ln x －1，则φ(1)＝0且φ′(x )＝1－1x ＝x －1x，8分所以x ＞1时，φ′(x )＞0，φ(x )单调递增， 所以φ(x )＞φ(1)＝0.又因为a ≥0，所以h ′(x )＞0，h (x )单调递增，所以h (x )＞h (1)＝0，所以x ＞1时，12x 2＋ax －x ln x －a －12＞0恒成立，11分 即x ＞1时，f (x )＋12＜g (x )恒成立.12分题组2 利用函数与方程思想解决几何问题6．设抛物线C ：y 2＝3px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |＝5，若以MF 为直径的圆过点(0,2)，则C 的方程为( )A ．y 2＝4x 或y 2＝8x B ．y 2＝2x 或y 2＝8x C ．y 2＝4x 或y 2＝16xD ．y 2＝2x 或y 2＝16xC [由抛物线的定义可知MF ＝x M ＋3p 4＝5，∴x M ＝5－3p 4，y 2M ＝15p －9p24，故以MF 为直径的圆的方程为(x －x M )(x －x F )＋(y －y M )(y －y F )＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫0－5＋3p 4⎝ ⎛⎭⎪⎫0－3p 4＋(2－y M )(2－0)＝0.∴y M ＝2＋15p 8－9p 232＝2＋y 2M 8⇒y M ＝4，p ＝43或163.∴C 的方程为y 2＝4x 或y 2＝16x .]7．(2017²宁波市镇海中学高三模拟考试)在直三棱柱A 1B 1C 1­ABC 中，∠BAC ＝π2，AB ＝AC ＝AA 1＝1，已知G 和E 分别为A 1B 1和CC 1的中点，D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点)，若GD ⊥EF ，则线段DF 的长度的取值范围为( )【导学号：68334009】A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫55，1 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤55，1 C.⎝⎛⎭⎪⎫255，1 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫255，1 A [建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，12，G ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1，设F (x,0,0)，D (0，y,0)，则GD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ，－1，EF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，－1，－12，x ，y ∈(0,1)．由于GD ⊥EF ，所以x ＋2y －1＝0，x ＝1－2y ∈(0,1)，解得0＜y ＜12.DF ＝x 2＋y 2＝5y 2－4y ＋1＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫y －252＋15，当且仅当y ＝25时，线段DF 长度的最小值是55，当y ＝0时，线段DF 的最大值是1，由于不包括端点，故y ＝0不能取，所以线段DF 的长度的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫55，1，故选A.] 8．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝32，并且经过定点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，12.(1)求椭圆E 的方程；(2)问：是否存在直线y ＝－x ＋m ，使直线与椭圆交于A ，B 两点，且满足OA →²OB →＝125？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由. 【导学号：68334010】[解] (1)由e ＝c a ＝32且3a 2＋14b2＝1，c 2＝a 2－b 2， 解得a 2＝4，b 2＝1，即椭圆E 的方程为x 24＋y 2＝1.4分(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝－x ＋m⇒x 2＋4(m －x )2－4＝0⇒5x 2－8mx ＋4m 2－4＝0.(*) 所以x 1＋x 2＝8m 5，x 1x 2＝4m 2－45，8分y 1y 2＝(m －x 1)(m －x 2)＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＝m 2－85m 2＋4m 2－45＝m 2－45，由OA →²OB →＝125得(x 1，y 1)²(x 2，y 2)＝125，即x 1x 2＋y 1y 2＝125，4m 2－45＋m 2－45＝125，m ＝±2.又方程(*)要有两个不等实根，所以Δ＝(－8m )2－4³5(4m 2－4)＞0，解得－5＜m ＜5，所以m ＝±2.12分9．如图1，直三棱柱ABC ­A ′B ′C ′中，AC ＝BC ＝5，AA ′＝AB ＝6，D ，E 分别为AB 和BB ′上的点，且AD DB ＝BE EB ′＝λ.图1(1)求证：当λ＝1时，A ′B ⊥CE ；(2)当λ为何值时，三棱锥A ′­CDE 的体积最小，并求出最小体积． [解] (1)证明：∵λ＝1，∴D ，E 分别为AB 和BB ′的中点. 1分又AA ′＝AB ，且三棱柱ABC ­A ′B ′C ′为直三棱柱， ∴平行四边形ABB ′A ′为正方形，∴DE ⊥A ′B . 2分 ∵AC ＝BC ，D 为AB 的中点，∴CD ⊥AB . 3分 ∵三棱柱ABC ­A ′B ′C ′为直三棱柱， ∴CD ⊥平面ABB ′A ′，∴CD ⊥A ′B ， 4分 又CD ∩DE ＝D ，∴A ′B ⊥平面CDE . ∵CE ⊂平面CDE ，∴A ′B ⊥CE .6分(2)设BE ＝x ，则AD ＝x ，DB ＝6－x ，B ′E ＝6－x .由已知可得C 到平面A ′DE 的距离即为△ABC 的边AB 所对应的高h ＝AC 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫AB 22＝4， 8分 ∴V A ′­CDE ＝V C ­A ′DE ＝13(S 四边形ABB ′A －S △AA ′D －S △DBE －S △A ′B ′E )²h＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤36－3x －12 6－x x －3 6－x ²h ＝23(x 2－6x ＋36)＝23[(x －3)2＋27](0＜x ＜6)，14分 ∴当x ＝3，即λ＝1时，V A ′­CDE 有最小值18. 15分技法强化训练(二) 数形结合思想(对应学生用书第160页)题组1 利用数形结合思想解决方程的根或函数零点问题 1．方程|x 2－2x |＝a 2＋1(a ＞0)的解的个数是( )【导学号：68334011】A ．1B ．2C ．3D ．4B [∵a ＞0，∴a 2＋1＞1. 而y ＝|x 2－2x |的图象如图，∴y ＝|x 2－2x |的图象与y ＝a 2＋1的图象总有2个交点．]2．已知函数f (x )＝|log 2|x ||－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则下列结论正确的是( )A ．f (x )有三个零点，且所有零点之积大于－1B ．f (x )有三个零点，且所有零点之积小于－1C ．f (x )有四个零点，且所有零点之积大于1D ．f (x )有四个零点，且所有零点之积小于1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象， A [在同一坐标系中分别作出f 1(x )＝|log 2|x ||与f 2(x )如图所示，由图象知f 1(x )与f 2(x )有三个交点，设三个交点的横坐标从左到右分别是x 1，x 2，x 3，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＞0，所以－12＜x 1＜－14，同理12＜x 2＜1,1＜x 3＜2，即－1＜x 1x 2x 3＜－18，即所有零点之积大于－1.]3．设函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3，则函数g (x )＝|cos(πx )|－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52上的所有零点的和为( )A ．7B ．6C ．3D ．2A [函数g (x )＝|cos(πx )|－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52上的零点为函数h (x )＝|cos(πx )|与函数f (x )的交点的横坐标．因为f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，所以函数f (x )为关于x ＝1对称的偶函数，又因为当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 3，则在平面直角坐标系内画出函数h (x )＝|cos(πx )|与函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52内的图象，如图所示，由图易得两函数图象共有7个交点，不妨设从左到右依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，则由图易得x 1＋x 2＝0，x 3＋x 5＝2，x 4＝1，x 6＋x 7＝4，所以x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋x 7＝7，即函数g (x )＝|cos(πx )|－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，52上的零点的和为7，故选A.]4．若函数f (x )＝a ＋sin x 在[π，2π]上有且只有一个零点，则实数a ＝________.【导学号：68334012】1 [函数f (x )＝a ＋sin x 在[π，2π]上有且只有一个零点，即方程a ＋sin x ＝0在[π，2π]上只有一解，即函数y ＝－a 与y ＝sin x ，x∈[π，2π]的图象只有一个交点，由图象可得a ＝1.]5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x ＞a ，若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a 的取值范围是________．(－∞，0)∪(1，＋∞) [函数g (x )有两个零点，即方程f (x )－b ＝0有两个不等实根，则函数y ＝f (x )和y ＝b 的图象有两个公共点．①若a ＜0，则当x ≤a 时，f (x )＝x 3，函数单调递增；当x ＞a 时，f (x )＝x 2，函数先单调递减后单调递增，f (x )的图象如图(1)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点．②若0≤a ≤1，则a 3≤a 2，函数f (x )在R 上单调递增，f (x )的图象如图(2)实线部分所示，其与直线y ＝b 至多有一个公共点．③若a ＞1，则a 3＞a 2，函数f (x )在R 上不单调，f (x )的图象如图(3)实线部分所示，其与直线y ＝b 可能有两个公共点． 综上，a ＜0或a ＞1.]题组2 利用数形结合思想求解不等式或参数范围6．若不等式log a x ＞sin 2x (a ＞0，a ≠1)对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4都成立，则a 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，π4B.⎝⎛⎭⎪⎫π4，1C.⎝⎛⎭⎪⎫π4，π2D ．(0,1)A [记y1＝log a x (a ＞0，a ≠1)，y 2＝sin 2x ，原不等式即为y 1＞y 2，由题意作出两个函数的图象，如图所示，知当y 1＝log a x 的图象过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1时，a ＝π4，所以当π4＜a ＜1时，对任意x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π4都有y 1＞y 2.]7．函数f (x )是定义域为{x |x ≠0}的奇函数，且f (1)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，当x ＞0时，f (x )＋xf ′(x )＞1x，则不等式xf (x )＞1＋ln|x |的解集是( )【导学号：68334013】A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1,1)A [令g (x )＝xf (x )－ln|x |，则g (x )是偶函数， 且当x ＞0时，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )－1x＞0，∴g (x )在(0，＋∞)上单调递增．故不等式xf (x )＞1＋ln|x |⇔g (|x |)＞g (1)， ∴|x |＞1，解得x ＞1或x ＜－1.故选A.]8．若不等式|x －2a |≥12x ＋a －1对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12 [作出y ＝|x －2a |和y ＝12x ＋a －1的简图，依题意知应有2a ≤2－2a ，故a ≤12.]9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0＜x ≤10，－12x ＋6，x ＞10.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是________．(10,12) [作出f (x )的大致图象．由图象知，要使f (a )＝f (b )＝f (c )，不妨设a ＜b ＜c ， 则－lg a ＝lg b ＝－12c ＋6.∴lg a ＋lg b ＝0，∴ab ＝1， ∴abc ＝c .由图知10＜c ＜12，∴abc ∈(10,12)．]10．(2017²杭州市高三年级第二学期教学质量检测)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2cos π2x ，|x |≤1，x 2－1，|x |＞1，若|f (x )＋f (x ＋l )－2|＋|f (x )－f (x ＋l )|≥2(l ＞0)对任意实数x 都成立，则l 的最小值为________. 【导学号：68334014】23 [作出函数f (x )的图象如图，要使原不等式对任意实数x 都成立，由不等式|a |＋|b |≥|a ±b |得|f (x )＋f (x ＋l )－2|＋|f (x )－f (x ＋l )|≥|[f (x )＋f (x ＋l )－2]±[f (x )－f (x ＋l )]|≥2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧|2f x －2|≥2，|2f x ＋l －2|≥2，即⎩⎪⎨⎪⎧f x ≥2，f x ＋l ≥2对任意实数恒成立，当x ＝－3时，f (－3＋l )≥2，l ＞0，则l －3≥3，l ≥23，故l 的最小值是2 3.]题组3 利用数形结合解决解析几何问题11．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1和两点A (－m,0)，B (m,0)(m ＞0)．若圆C 上存在点P ，使得∠APB ＝90°，则m 的最大值为( ) A ．7 B ．6 C ．5D ．4B [根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m ，因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝12|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C 上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC |＝32＋42＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.]12．(2017²杭州高级中学高三最后一模)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的右顶点为A ，O 为坐标原点，以A为圆心的圆与双曲线C 的某一条渐近线交于两点P ，Q ，若∠PAQ ＝π3且OQ →＝5OP →，则双曲线C 的离心率为( )【导学号：68334015】A.213 B ．2C.72D ．3A [由图知△APQ 是等边三角形，设PQ 的中点为H ，圆的半径为r ，则AH ⊥PQ ，AH ＝32r ，PQ ＝r ，由题易知，点P ，Q 在原点O 的同侧，因为OQ →＝5OP →，所以OP ＝14r ，PH ＝12r ，即OH ＝14r ＋12r ＝34r ，所以tan ∠HOA ＝AH OH ＝233，即b a ＝233，b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝43，从而得e ＝c a ＝213，故选A.]13．已知P 是直线l ：3x ＋4y ＋8＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，A ，B 是切点，C 是圆心，则四边形PACB 面积的最小值为________． 22 [从运动的观点看问题，当动点P 沿直线3x ＋4y ＋8＝0向左上方或右下方无穷远处运动时，直角三角形PAC 的面积S Rt △PAC ＝12|PA |²|AC |＝12|PA |越来越大，从而S 四边形PACB 也越来越大；当点P 从左上、右下两个方向向中间运动时，S 四边形PACB变小，显然，当点P 到达一个最特殊的位置，即CP 垂直于直线l 时，S 四边形PACB 应有唯一的最小值， 此时|PC |＝|3³1＋4³1＋8|32＋42＝3， 从而|PA |＝|PC |2－|AC |2＝2 2.所以(S 四边形PACB )min ＝2³12³|PA |³|AC |＝2 2.]14．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B . (1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程；(3)是否存在实数k ，使得直线L ：y ＝k (x －4)与曲线C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由. 【导学号：68334016】[解] (1)圆C 1的方程x 2＋y 2－6x ＋5＝0可化为(x －3)2＋y 2＝4，所以圆心坐标为(3,0). (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(x 1≠x 2)，M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由题意可知直线l 的斜率必存在，设直线l 的方程为y ＝tx . 将上述方程代入圆C 1的方程，化简得(1＋t 2)x 2－6x ＋5＝0.5分由题意，可得Δ＝36－20(1＋t 2)＞0(*)，x 1＋x 2＝61＋t 2，所以x 0＝31＋t 2，代入直线l 的方程，得y 0＝3t1＋t2. 6分因为x 20＋y 20＝9 1＋t 2 2＋9t 2 1＋t 2 2＝9 1＋t 21＋t 2 2＝91＋t 2＝3x 0，所以⎝⎛⎭⎪⎫x 0－322＋y 20＝94. 由(*)解得t 2＜45，又t 2≥0，所以53＜x 0≤3.所以线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94⎝ ⎛⎭⎪⎫53＜x ≤3. 8分图，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，253，(3)由(2)知，曲线C 是在区间⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3上的一段圆弧．如E 53，－253，F (3,0)，直线L 过定点G (4,0).11分 联立直线L 的方程与曲线C 的方程，消去y 整理得(1＋k 2)x 2－(3＋8k 2)x ＋16k 2＝0.令判别式Δ＝0，解得k ＝±34，由求根公式解得交点的横坐标为x H ，I ＝125∈⎝ ⎛⎦⎥⎤53，3.由图可知：要使直线L 与曲线C 只有一个交点，则k ∈[k DG ，k EG ]∪{k GH ，k GI }，即k ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－257，257∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－34，34. 15分技法强化训练(三) 分类讨论思想(对应学生用书第161页)题组1 由概念、法则、公式引起的分类讨论1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝P n－1(P 是常数)，则数列{a n }是( )【导学号：68334017】A ．等差数列B ．等比数列C ．等差数列或等比数列D ．以上都不对D [∵S n ＝P n－1，∴a 1＝P －1，a n ＝S n －S n －1＝(P －1)Pn －1(n ≥2)．当P ≠1且P ≠0时，{a n }是等比数列； 当P ＝1时，{a n }是等差数列；当P ＝0时，a 1＝－1，a n ＝0(n ≥2)，此时{a n }既不是等差数列也不是等比数列．]2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋ax ，x ≤1，2ax －5，x ＞1.若存在x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，使得f (x 1)＝f (x 2)成立，则实数a 的取值范围是( ) 【导学号：68334018】A ．(－∞，2)B ．(－∞，4)C ．[2,4]D ．(2，＋∞)B [当－a－2＜1，即a ＜2时，显然满足条件；当a ≥2时，由－1＋a ＞2a －5得2≤a ＜4， 综上可知a ＜4.]3．已知函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图1所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)＞1的解集为( )图1A ．(－3，－2)∪(2,3)B ．(－2，2)C ．(2,3)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)A [由导函数图象知，当x ＜0时，f ′(x )＞0， 即f (x )在(－∞，0)上为增函数，当x ＞0时，f ′(x )＜0，即f (x )在(0，＋∞)上为减函数，又不等式f (x 2－6)＞1等价于f (x 2－6)＞f (－2)或f (x 2－6)＞f (3)，故－2＜x 2－6≤0或0≤x 2－6＜3，解得x ∈(－3，－2)∪(2,3)．]4．已知实数m 是2,8的等比中项，则曲线x 2－y 2m＝1的离心率为( )A. 2B.32C. 5D.5或32D [由题意可知，m 2＝2³8＝16，∴m ＝±4. (1)当m ＝4时，曲线为双曲线x 2－y 24＝1.此时离心率e ＝ 5.(2)当m ＝－4时，曲线为椭圆x 2＋y 24＝1.此时离心率e ＝32.] 5．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和S n >0(n ＝1,2,3，…)，则q 的取值范围是________. (－1,0)∪(0，＋∞) [因为{a n }是等比数列，S n >0，可得a 1＝S 1>0，q ≠0. 当q ＝1时，S n ＝na 1>0；当q ≠1时，S n ＝a 1 1－q n1－q>0，即1－q n1－q >0(n ∈N *)，则有⎩⎪⎨⎪⎧1－q >0，1－q n>0 ①或⎩⎪⎨⎪⎧1－q <0，1－q n<0，②由①得－1<q <1，由②得q >1.故q 的取值范围是(－1,0)∪(0，＋∞)．]6．若x ＞0且x ≠1，则函数y ＝lg x ＋log x 10的值域为________． (－∞，－2]∪[2，＋∞) [当x ＞1时，y ＝lg x ＋1lg x ≥2lg x ²1lg x＝2，当且仅当lg x ＝1，即x ＝10时等号成立；当0＜x ＜1时，y ＝lg x ＋1lg x ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤ －lg x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－1lg x ≤－2－lg x ²1 －lg x ＝－2，当且仅当lg x ＝1lg x ，即x ＝110时等号成立．∴y ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．]题组2 由参数变化引起的分类讨论7．已知集合A ＝{x |1≤x ＜5}，C ＝{x |－a ＜x ≤a ＋3}．若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－32，－1B.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－32C ．(－∞，－1]D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，＋∞C [因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32；②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a ＜a ＋3，－a ≥1，a ＋3＜5，解得－32＜a ≤－1.由①②得a ≤－1.]8．已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≥－1y ≥0，所表示的平面区域为D ，若直线y ＝kx －3与平面区域D 有公共点，则k 的取值范围为( ) 【导学号：68334020】 A ．[－3,3]B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－13∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞C ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13 C [满足不等式组的平面区域如图中阴影部分所示．∵y ＝kx －3过定点(0，－3)，∴当y ＝kx －3过点C (1,0)时，k ＝3；当y ＝kx －3过点B (－1,0)时，k ＝－3.∴k ≤－3或k ≥3时，直线y ＝kx －3与平面区域D 有公共点，故选C.] 9．已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋1，试讨论函数f (x )的单调性． [解] 由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，1分 f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x.2分 ①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增. 4分 ②当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减. 6分 ③当－1<a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a ＋12a， 7分则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增， 在⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减.10分综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当－1<a <0时，f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减.题组3 根据图形位置或形状分类讨论10．已知中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线的渐近线方程为y ＝±34x ，则双曲线的离心率为( ) A.54B.53C.54或53D.35或45C [若双曲线的焦点在x 轴上，则b a ＝34，e ＝ca＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝54；若双曲线的焦点在y 轴上，则b a ＝43，e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝53，故选C.] 11．正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为________.【导学号：68334021】43或833[若侧面矩形的长为6，宽为4，则V ＝S 底³h ＝12³2³2³sin 60°³4＝4 3.若侧面矩形的长为4，宽为6，则V ＝S 底³h ＝12³43³43³sin 60°³6＝833.] 12．已知中心在原点O ，左焦点为F 1(－1,0)的椭圆C 的左顶点为A ，上顶点为B ，F 1到直线AB 的距离为77|OB |.图2(1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 1的方程为：x 2m 2＋y 2n 2＝1(m ＞n ＞0)，椭圆C 2的方程为：x 2m 2＋y 2n2＝λ(λ＞0，且λ≠1)，则称椭圆C 2是椭圆C 1的λ倍相似椭圆．如图2，已知C 2是椭圆C 的3倍相似椭圆，若椭圆C 的任意一条切线l 交椭圆C 2于两点M ，N ，试求弦长|MN |的取值范围. 【导学号：68334022】[解] (1)设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∴直线AB 的方程为x －a ＋yb＝1，∴F 1(－1,0)到直线AB 的距离d ＝|b －ab |a 2＋b 2＝77b ，2分a 2＋b 2＝7(a －1)2，又b 2＝a 2－1，解得a ＝2，b ＝3， 3分 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.4分(2)椭圆C 的3倍相似椭圆C 2的方程为x 212＋y 29＝1，5分①若切线l 垂直于x 轴，则其方程为x ＝±2，易求得|MN |＝2 6. 6分②若切线l 不垂直于x 轴，可设其方程y ＝kx ＋b ， 将y ＝kx ＋b 代入椭圆C 的方程， 得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－12＝0，7分∴Δ＝(8kb )2－4(3＋4k 2)(4b 2－12)＝48(4k 2－3－b 2)＝0，即b 2＝4k 2＋3，(*)8分记M ，N 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．将y ＝kx ＋b 代入椭圆C 2的方程，得(3＋4k 2)x 2＋8kbx ＋4b 2－36＝0， 9分 此时x 1＋x 2＝－8kb 3＋4k ，x 1x 2＝4b 2－363＋4k ，|x 1－x 2|＝43 12k 2＋9－b 23＋4k ， 10分∴|MN |＝1＋k 2³43 12k 2＋9－b 23＋4k2＝461＋k23＋4k2＝261＋13＋4k2. ∵3＋4k 2≥3，∴1＜1＋13＋4k 2≤43， 即26＜261＋13＋4k2≤4 2. 综合①②得：弦长|MN |的取值范围为[26，42]. 15分技法强化训练(四) 转化与化归思想(对应学生用书第162页)题组1 正与反的相互转化1．若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为( ) A.15B.35 C.710D.910D [甲或乙被录用的对立面是甲、乙均不被录用，故所求事件的概率为1－110＝910.]2．若二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个值c ，使得f (c )＞0，则实数p 的取值范围为________. 【导学号：68334023】⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32 [如果在[－1,1]内没有值满足f (c )＞0，则⎩⎪⎨⎪⎧f －1 ≤0，f 1 ≤0⇒⎩⎪⎨⎪⎧p ≤－12或p ≥1，p ≤－3或p ≥32⇒p ≤－3或p ≥32，取补集为－3＜p ＜32，即为满足条件的p 的取值范围．故实数p 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫－3，32.]3．若椭圆x 22＋y 2＝a 2(a ＞0)与连接两点A (1,2)，B (3,4)的线段没有公共点，则实数a 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，322∪⎝ ⎛⎭⎪⎫822，＋∞ [易知线段AB 的方程为y ＝x ＋1，x ∈[1,3]，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋1，x 22＋y 2＝a 2，得a 2＝32x 2＋2x ＋1，x ∈[1,3]，∴92≤a 2≤412.又a ＞0， ∴322≤a ≤822. 故当椭圆与线段AB 没有公共点时，实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，322∪⎝ ⎛⎭⎪⎫822，＋∞.]4．已知点A (1,1)是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上一点，F 1，F 2是椭圆的两焦点，且满足|AF 1|＋|AF 2|＝4.(1)求椭圆的两焦点坐标；(2)设点B 是椭圆上任意一点，当|AB |最大时，求证：A ，B 两点关于原点O 不对称．[解] (1)由椭圆定义，知2a ＝4，所以a ＝2.所以x 24＋y 2b＝1.2分 把A (1,1)代入，得14＋1b 2＝1，得b 2＝43，所以椭圆方程为x 24＋y 243＝1.4分所以c 2＝a 2－b 2＝4－43＝83，即c ＝263.故两焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－263，0，⎝ ⎛⎭⎪⎫263，0.6分(2)反证法：假设A ，B 两点关于原点O 对称，则B 点坐标为(－1，－1)，7分此时|AB |＝22，而当点B 取椭圆上一点M (－2,0)时，则|AM |＝10，所以|AM |>|AB |. 从而知|AB |不是最大，这与|AB |最大矛盾，所以命题成立. 15分题组2 主与次的相互转化5．设f (x )是定义在R 上的单调递增函数，若f (1－ax －x 2)≤f (2－a )对任意a ∈[－1,1]恒成立，则x 的取值范围为________. 【导学号：68334024】 (－∞，－1]∪[0，＋∞) [∵f (x )是R 上的增函数， ∴1－ax －x 2≤2－a ，a ∈[－1,1]．①①式可化为(x －1)a ＋x 2＋1≥0，对a ∈[－1,1]恒成立． 令g (a )＝(x －1)a ＋x 2＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧g －1 ＝x 2－x ＋2≥0，g 1 ＝x 2＋x ≥0，解得x ≥0或x ≤－1.即实数x 的取值范围是(－∞，－1]∪[0，＋∞)．]6．已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5，其中f ′(x )是f (x )的导函数．对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )＜0，则实数x 的取值范围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1 [由题意，知g (x )＝3x 2－ax ＋3a －5， 令φ(a )＝(3－x )a ＋3x 2－5，－1≤a ≤1. 对－1≤a ≤1，恒有g (x )＜0，即φ(a )＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ 1 ＜0，φ －1 ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－x －2＜0，3x 2＋x －8＜0，解得－23＜x ＜1.故当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，1时，对满足－1≤a ≤1的一切a 的值，都有g (x )＜0.] 7．对于满足0≤p ≤4的所有实数p ，使不等式x 2＋px ＞4x ＋p －3成立的x 的取值范围是________． (－∞，－1)∪(3，＋∞) [设f (p )＝(x －1)p ＋x 2－4x ＋3， 则当x ＝1时，f (p )＝0，所以x ≠1.f (p )在0≤p ≤4上恒正，等价于⎩⎪⎨⎪⎧f 0 ＞0，f 4 ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －3 x －1 ＞0，x 2－1＞0，解得x ＞3或x ＜－1.]8．已知函数f (x )＝13x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－43x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43－23a x (0＜a ＜1，x ∈R )．若对于任意的三个实数x 1，x 2，x 3∈[1,2]，都有f (x 1)＋f (x 2)＞f (x 3)恒成立，求实数a 的取值范围.【导学号：68334025】[解] 因为f ′(x )＝x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －83x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43－23a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －23(x ＋a －2)，2分 所以令f ′(x )＝0，解得x 1＝23，x 2＝2－a .3分由0＜a ＜1，知1＜2－a ＜2.所以令f ′(x )＞0，得x ＜23或x ＞2－a ；4分令f ′(x )＜0，得23＜x ＜2－a ，所以函数f (x )在(1,2－a )上单调递减，在(2－a,2)上单调递增.5分所以函数f (x )在[1,2]上的最小值为f (2－a )＝a6(2－a )2，最大值为max{f (1)，f (2)}＝max ⎩⎨⎧⎭⎬⎫13－a 6，23a .6分 因为当0＜a ≤25时，13－a 6≥23a ；7分 当25＜a ＜1时，23a ＞13－a6，8分由对任意x 1，x 2，x 3∈[1,2]，都有f (x 1)＋f (x 2)＞f (x 3)恒成立，得2f (x )min ＞f (x )max (x ∈[1,2])． 所以当0＜a ≤25时，必有2³a 6(2－a )2＞13－a 6，12分结合0＜a ≤25可解得1－22＜a ≤25；当25＜a ＜1时，必有2³a 6(2－a )2＞23a ，结合25＜a ＜1可解得25＜a ＜2－ 2.综上，知所求实数a 的取值范围是1－22＜a ＜2－ 2. 15分。

第08节 函数与方程 【考纲解读】【知识清单】 1.函数的零点 (1)函数零点的概念对于函数y ＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x 叫做函数y ＝f(x)的零点. (2)函数零点与方程根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y ＝f(x)的图象与x 轴有交点⇔函数y ＝f(x)有零点.对点练习【2017甘肃天水一中模拟】已知函数恰有两个零点,则实数的取值范围为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】令有两个交点，故选C.2.零点存在性定理如果函数y ＝f(x)满足：①在区间[a ，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)<0；则函数y ＝f(x)在(a ，b)上存在零点，即存在c ∈(a ，b)，使得f(c)＝0，这个c 也就是方程f(x)＝0的根.对点练习【2017，()0x >的根存在的大致区间是（ ）A ．()01，B ．()12， C. ()2e ， D ．()34， 【答案】B【考点深度剖析】函数方程思想是一种重要的数学思想方法，函数问题可以利用方程求解，方程解的情况可借助于函数的图象和性质求解.对于函数与方程，常常以基本初等函数为载体，结合函数的图象，判断方程根的存在性及根的个数．复习中要注意应用数形结合思想，根据具体函数的图象，讨论方程解的情况．【重点难点突破】考点1 方程根所在区间和根的个数问题【1-1 ） (A) 1 (B) 3 (C) 4 (D) 5 【答案】B【解析】本题中方程不可解，但方程解的个数可以借助于函数5log y x =和作出这两个函数的图象，但当2x π>时，5log 1x >，而即原方程有三个解．。

2018年⾼考数学（理）⼆轮检测（浙江）第⼀部分专题⼆函数专题能⼒训练5含答案专题能⼒训练5导数及其应⽤(时间:60分钟满分:100分)⼀、选择题(本⼤题共8⼩题,每⼩题5分,共40分)1.已知曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=()A.-2B.2C.-D.2.已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则()A.f(x)在(0,2)单调递增B.f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称3.已知a≥0,函数f(x)=(x2-2ax)e x.若f(x)在[-1,1]上是单调递减函数,则a的取值范围是()A.0B.C.a≥D.04.已知函数f(x)的定义域为R,f(-1)=2,对任意x∈R,f'(x)>2,则f(x)>2x+4的解集为()A.(-1,1)B.(-1,+∞)C.(-∞,-1)D.(-∞,+∞)5.(2017浙江⾦丽衢⼗⼆校模拟)如图,已知直线y=kx+m与曲线y=f(x)相切于两点,则F(x)=f(x)-kx有()A.1个极⼤值点,2个极⼩值点B.2个极⼤值点,1个极⼩值点C.3个极⼤值点,⽆极⼩值点D.3个极⼩值点,⽆极⼤值点6.将函数y=ln(x+1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针⽅向旋转⾓θ(θ∈(0,α]),得到曲线C,若对于每⼀个旋转⾓,曲线C都仍然是⼀个函数的图象,则α的最⼤值为()A.πB.C.D.7.已知函数f(x)=x+e x-a,g(x)=ln(x+2)-4e a-x,其中e为⾃然对数的底数,若存在实数x0,使f(x0)-g(x0)=3成⽴,则实数a的值为()A.-ln 2-1B.ln 2-1C.-ln 2D.ln 28.若函数f(x)=ln x与函数g(x)=x2+2x+a(x<0)有公切线,则实数a的取值范围是()A. B.(-1,+∞)C.(1,+∞)D.(-ln 2,+∞)⼆、填空题(本⼤题共6⼩题,每⼩题5分,共30分)9.若f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1有极⼤值和极⼩值,则a的取值范围为.10.(2017浙江诸暨肇庆三模)已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9,若x=-3是函数f(x)的⼀个极值点,则实数a= .11.设f'(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数,f(-2)=0,当x>0时,xf'(x)-f(x)>0,则使得f(x)>0成⽴的x的取值范围是.12.已知函数f(x)=x3-2x+e x-,其中e是⾃然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是.13.已知函数f(x)=若对于?t∈R,f(t)≤kt恒成⽴,则实数k的取值范围是.14.设函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)满⾜f(1)+f(3)=2f(2),现给出如下结论:①若f(x)是区间(0,1)上的增函数,则f(x)是区间(3,4)上的增函数;②若a·f(1)≥a·f(3),则f(x)有极值;③对任意实数x0,直线y=(c-12a)(x-x0)+f(x0)与曲线y=f(x)有唯⼀公共点.其中正确的结论为.(填序号)三、解答题(本⼤题共2⼩题,共30分.解答应写出必要的⽂字说明、证明过程或演算步骤)15.(本⼩题满分15分)已知函数f(x)=x3+|x-a|(a∈R).(1)当a=1时,求f(x)在(0,f(0))处的切线⽅程;(2)当a∈(0,1)时,求f(x)在区间[-1,1]上的最⼩值(⽤a表⽰).16.(本⼩题满分15分)已知函数f(x)=ax(ln x-1)(a≠0).(1)求函数y=f(x)的单调递增区间;(2)当a>0时,设函数g(x)=x3-f(x),函数h(x)=g'(x),①若h(x)≥0恒成⽴,求实数a的取值范围;②证明:ln(1×2×3×…×n)2e<12+22+32+…+n2(n∈N*).参考答案专题能⼒训练5导数及其应⽤1.A解析由y'=得曲线y=在点(3,2)处的切线斜率为-,⼜切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=-2.故选A.2.C解析f(x)=ln x+ln(2-x)=ln(-x2+2x),x∈(0,2).当x∈(0,1)时,x增⼤,-x2+2x增⼤,ln(-x2+2x)增⼤,当x∈(1,2)时,x增⼤,-x2+2x减⼩,ln(-x2+2x)减⼩,即f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,2)上单调递减,故排除选项A,B;因为f(2-x)=ln(2-x)+ln[2-(2-x)]=ln(2-x)+ln x=f(x),所以函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称,故排除选项D.故选C.3.C解析f'(x)=e x[x2+2(1-a)x-2a],∵f(x)在[-1,1]上单调递减,∴f'(x)≤0在[-1,1]上恒成⽴.令g(x)=x2+2(1-a)x-2a,则解得a≥.4.B解析由f(x)>2x+4,得f(x)-2x-4>0,设F(x)=f(x)-2x-4,则F'(x)=f'(x)-2,因为f'(x)>2,所以F'(x)>0在R上恒成⽴,所以F(x)在R上单调递增.⽽F(-1)=f(-1)-2×(-1)-4=2+2-4=0,故不等式f(x)-2x-4>0等价于F(x)>F(-1),所以x>-1.故选B.5.A解析F'(x)=f'(x)-k,如下图所⽰,从⽽可知函数y=F'(x)共有三个零点x1,x2,x3,因此函数F(x)在(-∞,x1)上单调递减,在(x1,x2)上单调递增,在(x2,x3)上单调递减,在(x3,+∞)上单调递增,故x1,x3为极⼩值点,x2为极⼤值点,即F(x)有1个极⼤值点,2个极⼩值点,应选A.6.D解析函数y=ln(x+1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针⽅向连续旋转时,当且仅当其任意切线的倾斜⾓⼩于等于90°时,其图象都仍然是⼀个函数的图象,因为x≥0时y'=是减函数,且07.A解析由题意得f(x)-g(x)=x+e x-a-ln(x+2)+4e a-x,令h(x)=x-ln(x+2),x>-2,则h'(x)=1-,∴h(x)在区间(-2,-1)上单调递减,在区间(-1,+∞)上单调递增,∴h(x)min=h(-1)=-1,⼜∵e x-a+4e a-x≥2=4,∴f(x)-g(x)≥3,当且仅当时等号成⽴.。

专题限时集训(十五) 函数与方程(对应学生用书第147页) [建议A 、B 组各用时：45分钟][A 组 高考达标]一、选择题1．函数f (x )＝ln x ＋x 3－9的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3)D ．(3,4)C [由于函数f (x )＝ln x ＋x 3－9在(0，＋∞)上是增函数，f (2)＝ln 2－1＜0，f (3)＝ln 3＋18＞0，故函数f (x )＝ln x ＋x 3－9在区间(2,3)上有唯一的零点．] 2．已知函数f (x )＝e x＋x ，g (x )＝ln x ＋x ，h (x )＝x －14x的零点依次为a ，b ，c ，则( )A ．c ＜b ＜aB ．a ＜b ＜cC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜cB [由f (x )＝0得e x＝－x ，由g (x )＝0得ln x ＝－x .由h (x )＝0得x＝1，即c＝1.在坐标系中，分别作出函数y ＝e x，y ＝－x ，y ＝ln x 的图象， 由图象可知a ＜0,0＜b ＜1，所以a ＜b ＜c .]3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，|lg x |，x ＞0，则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4C [g (x )＝f (1－x )－1＝⎩⎪⎨⎪⎧－x2＋－x －1，1－x ≤0，－x－1，1－x ＞0＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋2，x ≥1，－x －1，x ＜1，当x ≥1时，函数g (x )有1个零点；当x ＜1时，函数有2个零点，所以函数的零点个数为3，故选C.]4．(2017·浙江五校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x＋a ，x ≤0，3x －1，x ＞0(a ∈R )，若函数f (x )在R 上有两个零点，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，0)C ．(－1,0)D ．[－1,0)D [当x ＞0时，f (x )＝3x －1有一个零点x ＝13，所以只需要当x ≤0时，e x＋a ＝0有一个根即可，即e x＝－a .当x ≤0时，e x∈(0,1]，所以－a ∈(0,1]，即a ∈[－1,0)，故选D.] 5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞1，9x －x 2，x ≤1.若函数g (x )＝f (x )－k 仅有一个零点，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤43，2B ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，＋∞ C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2 D [函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＞1，9x －x 2，x ≤1，函数g (x )＝f (x )－k 仅有一个零点，即f (x )＝k 只有一个解，在平面直角坐标系中画出y ＝f (x )的图象，结合函数图象可知，方程只有一个解时，k ∈(－∞，0)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫43，2，故选D.]二、填空题6．已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [当x ∈[0,3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2－12，由f (x )是周期为3的函数，作出f (x )在[－3,4]上的图象，如图．由题意知方程a ＝f (x )在[－3,4]上有10个不同的根．由图可知a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.] 7．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|＋2cos πx (－4≤x ≤6)的所有零点之和为________．10 [问题可转化为y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12|x －1|与y ＝－2cos πx 在－4≤x ≤6的交点的横坐标的和，因为两个函数图象均关于x ＝1对称，所以x ＝1两侧的交点对称，那么两对应交点的横坐标的和为2，分别画出两个函数的图象(图略)，易知x ＝1两侧分别有5个交点，所以所求和为5×2＝10.]8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ＞0，－x 2＋bx ＋c ，x ≤0，若f (0)＝－2，f (－1)＝1，则函数g (x )＝f (x )＋x的零点个数为________．3 [依题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝－2，－1－b ＋c ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝－2，令g (x )＝0，得f (x )＋x ＝0，该方程等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－2＋x ＝0，或②⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，－x 2－4x －2＋x ＝0，解①得x ＝2，解②得x ＝－1或x ＝－2，因此，函数g (x )＝f (x )＋x 的零点个数为3.] 三、解答题9．已知f (x )＝|2x －1|＋ax －5(a 是常数，a ∈R )． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；(2)如果函数y ＝f (x )恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．[解] (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －1|＋x －5＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －6，x ≥12，－x －4，x ＜12. 2分由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x －6≥0，解得x ≥2；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＜12，－x －4≥0，解得x ≤－4.所以f (x )≥0的解集为{x |x ≥2或x ≤－4}. 6分(2)由f (x )＝0， 得|2x －1|＝－ax ＋5.作出y ＝|2x －1|和y ＝－ax ＋5的图象， 10分观察可以知道，当－2＜a ＜2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，即函数y ＝f (x )有两个不同的零点．故a 的取值范围是(－2,2).15分10．(2017·浙江省名校新高考研究联盟高三第三次联考)设函数f (x )＝－x 2＋ax ＋ln x (a ∈R )． (1)若a ＝1时，求函数f (x )的单调区间；(2)设函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 有两个零点，求实数a 的取值范围(其中e 是自然对数的底数). [解] (1)定义域x ∈(0，＋∞)， 当a ＝1时，f (x )＝－x 2＋x ＋ln x ，3分令f ′(x )＝－2x ＋1＋1x ＝－2x 2＋x ＋1x＞0，即2x 2－x －1＜0，即0＜x ＜1. ∴f (x )的单调递增区间为(0,1)， 单调递减区间为(1，＋∞).7分(2)f (x )＝－x 2＋ax ＋ln x ＝0，即a ＝x －ln x x，令g (x )＝x －ln x x ，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e ，9分g ′(x )＝1－1x·x －ln x x 2＝x 2＋ln x －1x2＞0，即x ＞1， ∴g (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1，单调递增区间为(1，e]， ∴g (x )min ＝g (1)＝1，13分又g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝e ＋1e ，g (e)＝e －1e ， 因为函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e 有两个零点，所以a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤1，e －1e .15分[B 组 名校冲刺]一、选择题1．若函数f (x )满足f (x )＋1＝1fx ＋，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x .若在区间(－1,1]内，g (x )＝f (x )－mx －2m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．0＜m ＜13B ．0＜m ≤13C.13＜m ＜1D.13＜m ≤1 B [当－1＜x ＜0时，0＜x ＋1＜1， 所以f (x ＋1)＝x ＋1， 从而f (x )＝1fx ＋－1＝1x ＋1－1， 于是f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋1－－1＜x ＜，xx ，f (x )－mx －2m ＝0⇔f (x )＝m (x ＋2)，由图象可知0＜m ≤k AB ＝13.]2．(2017·诸暨期末考试)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (x ＋4)＝16，当x ∈(0,4]时，f (x )＝x 2－2x，则函数f (x )在[－4,2 016]上的零点个数是( ) A ．504 B ．505 C ．1 008D ．1 009B [∵f (x )＋f (x ＋4)＝16，∴f (x ＋4)＋f (x ＋8)＝16，∴f (x )＝f (x ＋8)，∴函数f (x )是R 上周期为8的函数．又f (2)＝f (4)＝0,2 020＝8×252＋4，f (2)＝f (10)＝f (18)＝…＝f (8×251＋2)，f (－4)＝f (4)＝f (8×251＋4)，故函数f (x )在[－4,2 016]上的零点个数是251＋1＋251＋2＝505，故选B.]3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－x ，f x ＋x ＜，若方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0) B ．[0,1) C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)C [函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－x ，f x ＋x ＜的图象如图所示，作出直线l ：y ＝a －x ，向左平移直线l ，观察可得函数y ＝f (x )的图象与直线l ：y ＝－x ＋a 有两个交点，则方程f (x )＝－x ＋a 有且只有两个不相等的实数根时，a ＜1，故选C.]4．(2017·宁波镇海中学模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x >0，－3|x ＋a |＋a ，x <0的图象上恰有三对点关于原点成中心对称，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－178，－2B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－178，－2C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，1716 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1716 D [由题意知当x <0时函数f (x )的图象关于原点的对称图象与当x >0的图象必有三个公共点．当a <0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x >0，3x ＋4a ，x <0，此时当x <0时，函数f (x )的图象关于原点的对称图象与当x >0时的图象只有一个公共点，不满足条件；当a >0时，作出当x <0时，函数f (x )关于原点对称的函数为g (x )＝3|x －a |－a ，如图所示．设与直线y ＝3x 平行且与函数y ＝x 2－2(x >0)相切的直线的切点坐标为(x 0，y 0)，则由y ′＝2x 得2x 0＝3，即x 0＝32，切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，14，切线方程为y －14＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，即y ＝3x －174，则由图象可知要使g (x )＝3|x －a |－a 与函数y ＝x 2－2(x >0)的图象有三个公共点，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2>－a ，3a －174<－a ，a >0，解得1<a <1716，故选D.]二、填空题5．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 13x ＋，x ∈[0，，1－|x －4|， x ∈[2，＋，则关于x的函数F (x )＝f (x )－a (0＜a ＜1)的所有零点之和为________． 1－3a[函数f (x )和y ＝a 的图象如图所示，由图可知，f (x )的图象与直线y ＝a 有5个交点，所以函数F (x )＝f (x )－a 有5个零点．从小到大依次设为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5， 则x 1＋x 2＝－8，x 4＋x 5＝8.当－2≤x ＜0时，0＜－x ≤2，所以f (－x )＝log 13(－x ＋1)＝－log 3(1－x )，即f (x )＝log 3(1－x )，－2≤x ＜0，由f (x )＝log 3(1－x )＝a ，解得x ＝1－3a ，即x 3＝1－3a，所以函数F (x )＝f (x )－a (0＜a ＜1)的所有零点之和为x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝1－3a.]6．已知函数y ＝|x 2－1|的图象与函数y ＝kx 2－(k ＋2)x ＋2的图象恰有两个不同的公共点，则实数k 的取值范围为________.k ≥4或k ≤0或k ＝1 [由题意知|x 2－1|＝kx 2－(k ＋2)x ＋2＝(kx －2)(x －1)有两个不同的根，所以x ＝1是其中的一个根，当x ＝－1时，k ＝－2，符合题意；当|x |>1时，x ＋1＝kx －2，即(k －1)x ＝3，当|x |<1时，－x －1＝kx －2，即(k ＋1)x ＝1，此时当k ＝1时，两解为x ＝12，x ＝1符合题意，当k ＝－1时，两解为x ＝－32，x ＝1符合题意，当k ≠±1时，只需(k －1)x ＝3在|x |>1上有解，(k ＋1)x ＝1在|x |<1上无解或(k －1)x ＝3在|x |>1上无解，(k ＋1)x ＝1在|x |<1上有解，即⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k －1>1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k ＋1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k －1≤1，⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k ＋1<1，解得k ≥4或－1<k ≤0或－2<k <－1或k <－2，综上所述，k ≥4或k ≤0或k ＝1.]三、解答题7．已知函数f (x )＝log 4(4x＋1)＋kx (k ∈R )是偶函数． (1)求k 的值；(2)设g (x )＝log 4⎝⎛⎭⎪⎫a ·2x －43a ，若方程f (x )＝g (x )有且仅有一解，求实数a 的取值范围．[解] (1)由函数f (x )是偶函数可知，f (x )＝f (－x )，所以log 4(4x＋1)＋kx ＝ log 4(4－x＋1)－kx ，所以log 44x＋14－x ＋1＝－2kx ，即x ＝－2kx 对一切x ∈R 恒成立，所以k ＝－12.4分(2)由已知f (x )＝g (x )，有且仅有一解，即方程log 4(4x ＋1)－12x ＝log 4(a ·2x－43a )有且只有一个实根，即方程2x ＋12x ＝a ·2x－43a 有且只有一个实根．令t ＝2x ＞0，则方程(a －1)t 2－43at －1＝0有且只有一个正根.8分①当a ＝1时，则t ＝－34不合题意；②当a ≠1时，Δ＝0，解得a ＝34或－3.若a ＝34，则t ＝－2，不合题意；若a ＝－3，则t ＝12；③若方程有一个正根与一个负根，即－1a －1＜0，解得a ＞1. 综上所述，实数a 的取值范围是{－3}∪(1，＋∞). 15分 8．已知f (x )＝x 2－a |x －b |，其中a >0，b >0. (1)若a ＝b ＝1，求f (x )的单调区间；(2)若函数f (x )恰有三个不同的零点，且这些零点之和为－2，求a ，b 的值；(3)若函数f (x )在[－2,2]上有四个不同零点x 1，x 2，x 3，x 4，求|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|的最大值．[解] (1)f (x )＝x 2－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，x ≥1，x 2＋x －1，x <1，2分由函数f (x )的图象知单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12.(2)原函数有三个零点等价于x 2＝a |x －b |有三个不等实根． 分析函数y ＝x 2，y ＝a |x －b |.由⎩⎪⎨⎪⎧x <b ，y ＝x 2，y＝－a x －b得x 2＋ax －ab ＝0，∴Δ>0，∴x 1＋x 2＝－a . 8分由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥b ，y ＝x 2，y ＝a x －b得x 2－ax ＋ab ＝0，∴Δ＝0，∴b ＝a 4，x 3＝a2. ∵x 1＋x 2＋x 3＝－2，∴a ＝4，b ＝1. 9分(3)不妨设x 1<x 2<x 3<x 4，原命题等价于x 2－ax ＋ab ＝0有两根x 3，x 4，满足x 3，x 4∈(0,2]，则x 3＋x 4＝a ， x 2＋ax －ab ＝0有两根x 1，x 2，满足x 1，x 2∈[－2,2]，则x 1＋x 2＝－a ，x 1x 2＝－ab ，得x 2－x 1＝a 2＋4ab ，∴|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＝－x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝a ＋a 2＋4ab ，(*)11分由图象得⎩⎪⎨⎪⎧0<a2<2， ①a 2－4ab >0， ②4－2a ＋ab ≥0， ③4－2a －ab ≥0， ④12分由③④可得2a －4≤ab ≤4－2a ，解得a ≤2， 代入(*)得a ＋a 2＋4ab ≤a ＋a 2＋－8a ＝a ＋|a －4|＝4. 14分当ab ＝4－2a 时取等号，取a ＝74，b ＝27即可满足所有要求．∴|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|的最大值为4. 15分。

第8讲 函数与方程、函数的模型及其应用基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2017·赣中南五校联考)函数f (x )＝3x－x 2的零点所在区间是( ) A.(0，1)B.(1，2)C.(－2，－1)D.(－1，0)解析 由于f (－1)＝－23<0，f (0)＝30－0＝1>0，∴f (－1)·f (0)<0.则f (x )在(－1，0)内有零点. 答案 D2.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B.－2，0C.12D.0解析 当x ≤1时，由f (x )＝2x－1＝0，解得x ＝0；当x >1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x >1，所以此时方程无解.综上函数f (x )的零点只有0.答案 D3.(2017·杭州调研)函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1，2)内，则实数a 的取值范围是( ) A.(1，3)B.(1，2)C.(0，3)D.(0，2)解析 因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1，2)上单调递增，又函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1，2)内，则有f (1)·f (2)<0，所以(－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，所以0<a <3. 答案 C4.(2017·德阳一诊)将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt.假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4 L ，则m 的值为( ) A.5B.8C.9D.10解析 ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等， ∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f (t )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t5，因此，当k min 后甲桶中的水只有a4L 时，f (k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k5＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k5＝14，∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5. 答案 A5.(2017·湖北七校联考)已知f (x )是奇函数且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( ) A.14B.18C.－78D.－38解析 令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，则f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)，因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ，只有一个实根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个实根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.答案 C 二、填空题6.(2016·浙江卷)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝________，b ＝________.解析 ∵f (x )＝x 3＋3x 2＋1，则f (a )＝a 3＋3a 2＋1， ∴f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2＝(x －b )(x 2－2ax ＋a 2) ＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2. 由此可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝－3，①a 2＋2ab ＝0，②a 3＋3a 2＝a 2b .③∵a ≠0，∴由②得a ＝－2b ，代入①式得b ＝1，a ＝－2. 答案 －2 17.(2017·湖州调研)设在海拔x m 处的大气压强是y Pa ，y 与x 之间的函数关系为y ＝c e kx，其中c ，k 为常量.已知某天的海平面的大气压为 1.01×105Pa ，1 000 m 高空的大气压为0.90×105Pa ，则c ＝________，k ＝________，600 m 高空的大气压强约为________Pa(保留3位有效数字).解析 将x ＝0时，y ＝1.01×105Pa 和x ＝1 000时，y ＝0.90×105Pa 分别代入y ＝c e kx，得⎩⎪⎨⎪⎧1.01×105＝c e 0，0.90×105＝c e 1 000k ，所以c ＝1.01×105，所以e1 000k＝0.90×1051.01×105＝0.901.01，所以k ＝11 000×ln 0.901.01，用计算器算得k ≈－1.153×10－4，所以y ＝1.01×105×e－1.153×10－4x，将x ＝600代入上述函数式，得y ≈9.42×104Pa ，即在600 m 高空的大气压强约为9.42×104Pa.答案 1.01×105－1.153×10－49.42×1048.(2015·安徽卷)在平面直角坐标系xOy 中，若直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，则a 的值为________.解析 函数y ＝|x －a |－1的图象如图所示，因为直线y ＝2a 与函数y ＝|x －a |－1的图象只有一个交点，故2a ＝－1，解得a ＝－12.答案 －12三、解答题9.已知二次函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x ＋1－2a ，(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；(2)若y ＝f (x )在区间(－1，0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围. 解 (1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题. 依题意，f (x )＝1有实根，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0有实根，因为Δ＝(2a －1)2＋8a ＝(2a ＋1)2≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根.(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1，0)及⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个零点，只需⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （0）<0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12>0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－4a >0，1－2a <0，34－a >0，解得12<a <34.故实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪12<a <34.10.(2017·山东实验中学月考)候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋b log 3Q10(其中a 、b 是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s. (1)求出a 、b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？ 解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故有a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，即－1＋log 3Q10≥2，即log 3Q10≥3，解得Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤0，e x ，x >0，则使函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点的实数m 的取值范围是( ) A.[0，1)B.(－∞，1)C.(－∞，1]∪(2，＋∞)D.(－∞，0]∪(1，＋∞)解析 函数g (x )＝f (x )＋x －m 的零点就是方程f (x )＋x ＝m 的根，画出h (x )＝f (x )＋x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≤0，e x ＋x ，x >0的大致图象(图略). 观察它与直线y ＝m 的交点，得知当m ≤0或m >1时，有交点，即函数g (x )＝f (x )＋x －m 有零点. 答案 D12.(2017·石家庄质检)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下，可食用率p 与加工时间t (单位：分钟)满足函数关系p ＝at 2＋bt ＋c (a ，b ，c 是常数)，如图3记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为( ) A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟D.4.25分钟解析 根据图表，把(t ，p )的三组数据(3，0.7)，(4，0.8)，(5，0.5)分别代入函数关系式，联立方程组得⎩⎪⎨⎪⎧0.7＝9a ＋3b ＋c ，0.8＝16a ＋4b ＋c ，0.5＝25a ＋5b ＋c ，消去c 化简得⎩⎪⎨⎪⎧7a ＋b ＝0.1，9a ＋b ＝－0.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.2，b ＝1.5，c ＝－2.所以p ＝－0.2t 2＋1.5t －2＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－152t ＋22516＋4516－2＝－15⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1542＋1316，所以当t ＝154＝3.75时，p 取得最大值，即最佳加工时间为3.75分钟. 答案 B13.(2017·绍兴调研)已知f (x )＝1x ＋2－m |x |，若f (x )有两个零点，则实数m 的值为________；若f (x )有三个零点，则实数m 的取值范围是________.解析 函数f (x )的零点，即为方程1x ＋2－m |x |＝0即1m＝|x |(x ＋2)的实数根，令g (x )＝|x |(x ＋2)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x >0，－x 2－2x ，x <0，其图象如图所示，当m ＝1时，g (x )图象与y ＝1m 有2个交点；当0<1m<1，即m >1时，有3个交点.答案 1 (1，＋∞)14.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x (x >0).(1)作出函数f (x )的图象；(2)当0<a <b ，且f (a )＝f (b )时，求1a ＋1b的值；(3)若方程f (x )＝m 有两个不相等的正根，求m 的取值范围. 解 (1)如图所示.(2)∵f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x －1，x ∈（0，1]，1－1x ，x ∈（1，＋∞），故f (x )在(0，1]上是减函数，而在(1，＋∞)上是增函数. 由0<a <b 且f (a )＝f (b )，得0<a <1<b ，且1a －1＝1－1b ，∴1a ＋1b＝2.(3)由函数f (x )的图象可知，当0<m <1时，函数f (x )的图象与直线y ＝m 有两个不同的交点，即方程f (x )＝m 有两个不相等的正根. 15.已知函数f (x )＝1|x ＋2|＋kx ＋b ，其中k ，b 为实数且k ≠0. (1)当k >0时，根据定义证明f (x )在(－∞，－2)单调递增； (2)求集合M k ＝{b |函数f (x )有三个不同的零点}. (1)证明 当x ∈(－∞，－2)时，f (x )＝－1x ＋2＋kx ＋b . 任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，设x 2>x 1.f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 1＋2＋kx 1＋b －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋2＋kx 2＋b ＝(x 1－x 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤1（x 1＋2）（x 2＋2）＋k . 由所设得x 1－x 2<0，1（x 1＋2）（x 2＋2）>0，又k >0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2). ∴f (x )在(－∞，－2)单调递增.(2)解 函数f (x )有三个不同零点，即方程1|x ＋2|＋kx ＋b ＝0有三个不同的实根. 方程化为：⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，kx 2＋（b ＋2k ）x ＋（2b ＋1）＝0，与⎩⎪⎨⎪⎧x <－2，kx 2＋（b ＋2k ）x ＋（2b －1）＝0. 记u (x )＝kx 2＋(b ＋2k )x ＋(2b ＋1)，v (x )＝kx 2＋(b ＋2k )x ＋(2b －1). ①当k >0时，u (x )，v (x )开口均向上.由v (－2)＝－1<0知v (x )在(－∞，－2)有唯一零点.为满足f (x )有三个零点，u (x )在(－2，＋∞)应有两个不同零点.∴⎩⎪⎨⎪⎧u （－2）>0，（b ＋2k ）2－4k （2b ＋1）>0，－b ＋2k 2k >－2，∴b <2k －2k .②当k <0时，u (x )，v (x )开口均向下.由u (－2)＝1>0知u (x )在(－2，＋∞)有唯一零点.为满足f (x )有三个零点，v (x )在(－∞，－2)应有两个不同零点.∴⎩⎪⎨⎪⎧v （－2）<0，（b ＋2k ）2－4k （2b －1）>0，－b ＋2k 2k <－2.∴b <2k －2－k .综合①②可得M k＝{b|b<2k－2|k|}.。