2019届高三数学理一轮复习课时跟踪检测六十三 离散型随机变量的均值与方差、正态分布重点高中 含解析 精品

课时跟踪检测（六十二） 离散型随机变量的分布列、均值与方差1．(2019·嘉兴一中质检)随机变量X 的分布列如下表，且E (X )＝2，则D (2X －3)＝( )A.2 C ．4D ．5解析：选C 因为p ＝1－16－13＝12，所以E (X )＝0×16＋2×12＋a ×13＝2，解得a ＝3，所以D (X )＝(0－2)2×16＋(2－2)2×12＋(3－2)2×13＝1，所以D (2X －3)＝22D (X )＝4，故选C.2．(2019·广雅中学期中)口袋中有5个形状和大小完全相同的小球，编号分别为0,1,2,3,4，从中任取3个球，以X 表示取出球的最小号码，则E (X )＝( )A ．0.45B ．0.5C ．0.55D ．0.6解析：选B 易知随机变量X 的取值为0,1,2，由古典概型的概率计算公式得P (X ＝0)＝6C 35＝0.6，P (X＝1)＝3C 35＝0.3，P (X ＝2)＝1C 35＝0.1.所以E (X )＝0×0.6＋1×0.3＋2×0.1＝0.5，故选B.3．(2019·衡水中学月考)已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E (ξ)＝( )A ．3 B.72 C.185D ．4解析：选B 由题意知，ξ的所有可能取值为2,3,4，其概率分别为P (ξ＝2)＝A 22A 25＝110，P (ξ＝3)＝C 13C 12A 22＋A 33A 35＝310，P (ξ＝4)＝C 23C 12A 33＋C 13C 12A 33A 45＝610，所以E (ξ)＝2×110＋3×310＋4×610＝72.故选B. 4．某学校为了给运动会选拔志愿者，组委会举办了一个趣味答题活动．参选的志愿者回答三个问题，其中两个是判断题，另一个是有三个选项的单项选择题，设ξ为回答正确的题数，则随机变量ξ的数学期望E (ξ)＝( )A ．1B ．43C ．53D ．2解析：选B 由已知得ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝0)＝12×12×23＝16，P (ξ＝1)＝12×12×23＋12×12×23＋12×12×13＝512，P (ξ＝2)＝12×12×23＋12×12×13＋12×12×13＝13，P (ξ＝3)＝12×12×13＝112.∴E (ξ)＝0×16＋1×512＋2×13＋3×112＝43. 5．(2019·天津一中月考)甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为23，乙在每局中获胜的概率为13，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ的期望E (ξ)为( )A.24181 B.26681 C.27481D.670243解析：选B 由已知，ξ的可能取值是2,4,6.设每两局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝59. 若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响．所以P (ξ＝2)＝59，P (ξ＝4)＝59×49＝2081，P (ξ＝6)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫492＝1681，所以E (ξ)＝2×59＋4×2081＋6×1681＝26681.故选B.6．(2019·南安一中期中)设10≤x 1＜x 2＜x 3＜x 4≤104，x 5＝105.随机变量ξ1取值x 1，x 2，x 3，x 4，x 5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值x 1＋x 22，x 2＋x 32，x 3＋x 42，x 4＋x 52，x 5＋x 12的概率也为0.2.若记D (ξ1)，D (ξ2)分别为ξ1，ξ2的方差，则( )A ．D (ξ1)＞D (ξ2)B ．D (ξ1)＝D (ξ2)C ．D (ξ1)＜D (ξ2)D ．D (ξ1)与D (ξ2)的大小关系与x 1，x 2，x 3，x 4的取值有关 解析：选A 由题意可知E (ξ1)＝15(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)，E (ξ2)＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＋x 2＋x 32＋x 3＋x 42＋x 4＋x 52＋x 5＋x 12＝15(x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5)，期望相等，都设为m ，∴D (ξ1)＝15[(x 1－m )2＋…＋(x 5－m )2]，D (ξ2)＝15⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22－m 2＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 5＋x 12－m 2， ∵10≤x 1＜x 2＜x 3＜x 4≤104，x 5＝105， ∴D (ξ1)＞D (ξ2)．故选A.7．(2019·湖南名校联考)体育课的排球发球项目考试的规则：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设某学生一次发球成功的概率为p ，发球次数为X ，若X 的数学期望E (X )＞1.75，则p 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，712 B.⎝⎛⎭⎪⎫712，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：选C 根据题意，发球次数为1即第一次发球成功，故P (X ＝1)＝p ，发球次数为2即第一次发球失败，第二次发球成功，故P (X ＝2)＝p (1－p )，发球次数为3即第一次、第二次发球失败，故P (X ＝3)＝(1－p )2，则E (X )＝p ＋2p (1－p )＋3(1－p )2＝p 2－3p ＋3，依题意有E (X )＞1.75，则p 2－3p ＋3＞1.75，解得p ＞52或p ＜12，结合p 的实际意义，可得0＜p ＜12，即p ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，故选C.8．(2018·浙江高考)设0＜p ＜1，随机变量ξ的分布列是则当p 在(0,1)内增大时，( ) A ．D (ξ)减小 B ．D (ξ)增大 C ．D (ξ)先减小后增大D ．D (ξ)先增大后减小解析：选D 由题意知E (ξ)＝0×1－p 2＋1×12＋2×p 2＝p ＋12，D (ξ)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0－⎝⎛⎭⎪⎫p ＋122×1－p 2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋122×12＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋122×p2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋122×1－p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p －122×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－p 2×p 2＝－p 2＋p ＋14＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫p －122＋12，∴D (ξ)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上递减，即当p 在(0,1)内增大时，D (ξ)先增大后减小． 9．(2019·鄂南高中期中)设随机变量X 的概率分布列为则P (|X －3|＝1)＝________.解析：由13＋m ＋14＋16＝1，解得m ＝14，P (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4)＝14＋16＝512.答案：51210．为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时．(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望E (ξ)，方差D (ξ)．解：(1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，两人都付0元的概率为P 1＝14×16＝124，两人都付40元的概率为P 2＝12×23＝13，两人都付80元的概率为P 3＝⎝⎛⎭⎪⎫1－14－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－16－23＝14×16＝124，故两人所付费用相同的概率为P ＝P 1＋P 2＋P 3＝124＋13＋124＝512.(2)由题设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ可能取值为0,40,80,120,160，则：P (ξ＝0)＝14×16＝124， P (ξ＝40)＝14×23＋12×16＝14， P (ξ＝80)＝14×16＋12×23＋16×14＝512， P (ξ＝120)＝12×16＋14×23＝14， P (ξ＝160)＝14×16＝124.ξ的分布列为：E (ξ)＝0×124＋40×14＋80×512＋120×14＋160×124＝80.D (ξ)＝(0－80)2×124＋(40－80)2×14＋(80－80)2×512＋(120－80)2×14＋(160－80)2×124＝4 0003.11．(2019·大连期中)某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的单价进行试销，得到一组检测数据(x i ，y i )(i ＝1,2，…，6)如表所示.已知变量x ，y 具有线性负相关关系，且∑i ＝16x i ＝39，∑i ＝16y i ＝480，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其回归方程分别为：甲，y ＝4x ＋54；乙，y ＝－4x ＋106；丙，y ＝－4.2x ＋105.其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的．(1)试判断谁的计算结果正确，并求出a ，b 的值；(2)若由线性回归方程得到的估计数据(x i ，y ^i )中的y ^i 与检测数据(x i ，y i )中的y i 差的绝对值不超过1，则称该检测数据是“理想数据”，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据”的个数ξ的分布列和数学期望．解：(1)已知变量x ，y 具有线性负相关关系，故甲的计算结果不对，由题意得，x －＝396＝6.5，y －＝4806＝80，将x －＝6.5，y －＝80分别代入乙、丙的回归方程，经验证知乙的计算结果正确， 故回归方程为y ＝－4x ＋106.由∑i ＝16x i ＝4＋5＋6＋7＋a ＋9＝39，得a ＝8，由∑i ＝16y i ＝b ＋84＋83＋80＋75＋68＝480，得b ＝90.(2)列出估计数据(x i ，y i )与检测数据(x i ，y i )如表.易知有30,1,2,3.P (ξ＝0)＝C 33C 36＝120，P (ξ＝1)＝C 13C 23C36＝920，P (ξ＝2)＝C 13C 23C 36＝920，P (ξ＝3)＝C 33C 36＝120.故ξ的分布列为E (ξ)＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝32.12．甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司，底薪80元，每单送餐员抽成4元；乙公司，无底薪，40单以内(含40单)的部分送餐员每单抽成6元，超出40单的部分送餐员每单抽成7元．假设同一公司的送餐员一天的送餐单数相同，现从这两家公司各随机选取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表(1)现从记录甲公司的50天送餐单数都不小于40的概率．(2)若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为X (单位：元)，求X 的分布列和数学期望E (X )；②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．解：(1)记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件M ， 则P (M ＝C 325C 350＝23196.(2)①设乙公司送餐员的送餐单数为a ， 当a ＝38时，X ＝38×6＝228， 当a ＝39时，X ＝39×6＝234， 当a ＝40时，X ＝40×6＝240， 当a ＝41时，X ＝40×6＋1×7＝247， 当a ＝42时，X ＝40×6＋2×7＝254.所以X 的所有可能取值为228,234,240,247,254. 故X 的分布列为：所以E (X )＝228×110＋234×5＋240×5＋247×5＋254×10＝241.8.②依题意，甲公司送餐员的日平均送餐单数为38×0.2＋39×0.3＋40×0.2＋41×0.2＋42×0.1＝39.7， 所以甲公司送餐员的日平均工资为80＋4×39.7＝238.8元．由①得乙公司送餐员的日平均工资为241.8元．因为238.8＜241.8，所以推荐小王去乙公司应聘.。

高考达标检测(四十九) 离散型随机变量的均值与方差.正态分布一、选择题1.(2017-浙江髙考)已知随机变量备满足P(Q=l)=p if P©=0) = l_p, i=l,2•若0<Pl<P2<|»贝U( )A. E(G<E©),则)5虽)B・ E©)vE@), D©)"©)C. E(£)>E©), D(&)vD@)D・ E©)>%), D©)>D©)解析：选 A 根据题意得，E^i)=p if D©)=pi(l-pd, i=l,2,・・・OVP]VP2<|, ・・・E(&)vg).令f(x)=x(l—x)f则/(x)在(0,舟)上单调递增,所以f(Pi)<f(P2),即D(G)vD©)・2.随机变量X〜N(9, /), P(Xv6)=0.2,则P(9vXvl2)=( )A・0・3 B・0・4C・ 0.498 65 D・ 0.997 3解析：选A 因为P(Xv6)=0・2,所以P(6<X<9)=0.5 - 0.2=0.3,所以P(9vXvl2)=P(6vXv9)=0・3・3.已知离散型随机变量％的概率分布列为则其方差D(X)=()A. 1 B・ 0.6C. 2.44 D・ 2.4解析：选C 因为0・5+加+0・2=1,所以加=0.3,所以E(X)=l X0.5+3X0.3+5X0.2=2.4,D(X) = (1-2.4)2X 0.5+(3—2.4)2X 0.3+(5—2.4)2X 0.2=2.44.4.已知袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上川号的有死个仇=1,2,3,4).现从袋中任取一球，X表示所取球的标号.若"=dX+〃，E®)=1, £)(?/) = 11,则a+b的值是()A・1或2 B. 0或2C・2或3 D・0或3解析：选B 由题意可知，X的所有可能取值为0,1,2,3,4,1 1 13 13E(X)=2^ 0+刃X 1+j^X 2+刃X 3+gX 4=2,皿)=驭(。

2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念．2.借助直观直方图认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．3.会求简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些简单问题.1．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X 的分布列为(1)均值称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差称D (X )＝∑ni ＝1(x i －E (X ))2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，并称其算术平方根DX 为随机变量X 的标准差．2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数) 3．两点分布与二项分布的均值、方差(1)若随机变量X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )． (2)若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )．4．正态分布(1)正态曲线：函数φμ，σ(x )22()2x μσ--，x ∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)．我们称函数φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．(2)正态曲线的特点①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；③曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；④曲线与x轴之间的面积为1；⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．(3)正态分布的定义及表示一般地，如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝ʃb aφμ，σ(x)d x，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2)．正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682_6；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954_4；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997_4.高频考点一离散型随机变量的均值、方差例1、某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和均值．解(1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，则P (A )＝56×45×34＝12.(2)依题意得，X 所有可能的取值是1,2,3. 又P (X ＝1)＝16，P (X ＝2)＝56×15＝16，P (X ＝3)＝56×45×1＝23.所以X 的分布列为X 1 2 3 P161623所以E (X )＝1×16＋2×16＋3×23＝52.【变式探究】设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E (η)＝53，D (η)＝59，求a ∶b ∶c .所以ξ的分布列为ξ2 3 4 5 6 P141351819136(2)由题意知η的分布列为所以E (η)＝a a ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋3c a ＋b ＋c ＝53，D (η)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－532·a a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2－532·b a ＋b ＋c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3－532·c a ＋b ＋c ＝59，化简得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0.解得a ＝3c ，b ＝2c ，故a ∶b ∶c ＝3∶2∶1.【方法技巧】离散型随机变量的均值与方差的常见类型及解题策略(1)求离散型随机变量的均值与方差．可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用均值、方差公式直接求解．(2)由已知均值或方差求参数值．可依据条件利用均值、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值．(3)由已知条件，作出对两种方案的判断．可依据均值、方差的意义，对实际问题作出判断．【变式探究】为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时．(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与均值E (ξ)，方差D (ξ)．(2)设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ的可能取值为0,40,80,120,160，则P (ξ＝0)＝14×16＝124， P (ξ＝40)＝14×23＋12×16＝14， P (ξ＝80)＝14×16＋12×23＋14×16＝512， P (ξ＝120)＝12×16＋14×23＝14， P (ξ＝160)＝14×16＝124.所以ξ的分布列为ξ0 40 80 120 160 P124 14 51214124E (ξ)＝0×124＋40×14＋80×512＋120×14＋160×124＝80.D (ξ)＝(0－80)2×124＋(40－80)2×14＋(80－80)2×512＋(120－80)2×14＋(160－80)2×124＝4 0003.高频考点二 均值与方差在决策中的应用例2、 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站．过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立．(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：年入流量X 40<X <8080≤X ≤120X >120发电机最多可运行台数123若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？解 (1)依题意，得p 1＝P (40<X <80)＝1050＝0.2，p 2＝P (80≤X ≤120)＝3550＝0.7， p 3＝P (X >120)＝550＝0.1.由二项分布可知，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9104＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫9103×110＝0.947 7.Y 4 200 10 000 P0.20.8所以，E (Y )＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840. ③安装3台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5 000－1 600＝3 400，因此P (Y ＝3 400)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2－800＝9 200，因此P (Y ＝9 200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X >120时，三台发电机运行，此时Y ＝5 000×3＝15 000，因此P (Y ＝15 000)＝P (X >120)＝p 3＝0.1，由此得Y 的分布列如下：Y 3 400 9 200 15 000 P0.20.70.1所以，E (Y )＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620. 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．【感悟提升】随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．【变式探究】某投资公司在2018年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择： 项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由． 解 若按“项目一”投资，设获利为X 1万元，则X 1的分布列为X 1 300 －150 P7929∴E (X 1)＝300×79＋(－150)×29＝200.若按“项目二”投资，设获利为X 2万元，则X 2的分布列为X 2 500 －300 0 P3513115高频考点三 正态分布的应用例3、为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的均值；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性； (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9．95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10．26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得x －＝116∑i ＝116x i ＝9.97，s ＝116∑i ＝116x i －x－2＝116∑i ＝116x 2i －16x －2≈0.212，其中x i 为抽取的第i个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x －作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z <μ＋3σ)＝0.997 4,0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.解 (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X ～B (16,0.002 6)．因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8.E (X )＝16×0.002 6＝0.041 6.(ⅱ)由x ＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为μ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02.因此μ的估计值为10.02.∑i ＝116x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134. 剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09.【感悟提升】解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x ＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.【变式探究】从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E(X)．附：150≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.954 4.解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.高频考点四离散型随机变量的均值与方差问题例4、为回馈顾客，某商场拟通过模拟兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及均值；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．解 (1)设顾客所获的奖励额为X . ①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.[2分]②依题意，得X 的所有可能取值为20,60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，故X 的分布列为X 20 60 P1212所以顾客所获的奖励额的均值为E (X )＝20×12＋60×12＝40.(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元， 所以，先寻找均值为60的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案， 因为60元是面值之和的最大值， 所以均值不可能为60元；对于方案1，即方案(10,10,50,50)， 设顾客所获的奖励额为X 1， 则X 1的分布列为X 1 20 60 100 P162316X 1的均值为E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60，X 1的方差为D (X 1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.[9分] 对于方案2，即方案(20,20,40,40)， 设顾客所获的奖励额为X 2， 则X 2的分布列为X 2 40 60 80 P162316X 2的均值为E (X 2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60，X 2的方差为D (X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003. 由于两种方案的奖励额的均值都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2. 【方法技巧】求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤 第一步：确定随机变量的所有可能取值；第二步：求每一个可能取值所对应的概率； 第三步：列出离散型随机变量的分布列； 第四步：求均值和方差；第五步：根据均值、方差进行判断，并得出结论(适用于均值、方差的应用问题)； 第六步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范性．11. （2018年北京卷）电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立． （Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； （Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率； （Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第k 类电影得到人们喜欢，“”表示第k 类电影没有得到人们喜欢（k =1，2，3，4，5，6）．写出方差，，，，，的大小关系．【答案】(1) 概率为0.025 (2) 概率估计为0.35 (3)>>=>>（Ⅱ）设事件A 为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”， 事件B 为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”． 故所求概率为P （）=P （）+P （）=P （A ）（1–P （B ））+（1–P （A ））P （B ）． 由题意知：P （A ）估计为0.25，P （B ）估计为0.2． 故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35．（Ⅲ）>>=>>．1．(2017·浙江)已知随机变量ξi 满足P (ξi ＝1)＝p i ，P (ξi ＝0)＝1－p i ，i ＝1,2.若0＜p 1＜p 2＜12，则( )A ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2)B ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)C ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2) D ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2) 答案 A2．(2017·全国Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D (X )＝________.答案 1.96解析 由题意得X ～B (100,0.02)， ∴D (X )＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.3. (2017·全国Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的均值；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．(ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性； (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9．95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10．26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得x －＝116∑i ＝116x i ＝9.97，s ＝116∑i ＝116x i －x－2＝116∑i ＝116x 2i －16x －2≈0.212，其中x i 为抽取的第i个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x －作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z <μ＋3σ)＝0.997 4,0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.解 (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X ～B (16,0.002 6)．因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8.E (X )＝16×0.002 6＝0.041 6.(ⅱ)由x ＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为μ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02.因此μ的估计值为10.02.∑i ＝116x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134. 剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09.4．(2017·江苏)已知一个口袋有m 个白球，n 个黑球(m ，n ∈N *，n ≥2)，这些球除颜色外完全相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3，…，m ＋n 的抽屉内，其中第k 次取球放入编号为k 的抽屉(k ＝1,2,3，…，m ＋n ).(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；(2)随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E (X )是X 的均值，证明：E (X )<n m ＋nn －.(1)解 编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为 p ＝C n －1m ＋n －1C n m ＋n ＝n m ＋n.(2)证明 随机变量X 的分布列为随机变量X 的均值为E (X )＝∑k ＝nm ＋n 1k ·C n －1k －1C n m ＋n ＝1C n m ＋n ∑k ＝n m ＋n 1k ·k －！n －！k －n ！.3．(2017·天津)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和均值； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 解 (1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎪⎫1－14＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12×⎝⎛⎭⎪⎫1－13×14＝1124，P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12×13×14＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13×14＋12×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14＝14，P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的均值E (X )＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312.。

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第62讲离散型随机变量的均值与方差［解密考纲]离散型随机变量及其分布列、均值与方差在高考中一般与排列、组合及古典概型、几何概型、二项分布及超几何分布相结合,以实际问题为背景呈现在三种题型中,难度中等或较大，正态分布一般以选择题或填空题进行考查．一、选择题1．设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），若P（ξ〉1)＝p,则P（－1<ξ〈0)＝（D）A．错误!＋p B．1－pC．1－2p D．12－p解析由正态分布的概念可知，当P（ξ〉1)＝p时,P（0〈ξ<1）＝错误!－p，而正态分布曲线关于y轴对称，所以P（－1〈ξ<0）＝P(0〈ξ〈1）＝错误!－p，故选D．2．某运动员投篮命中率为0。

6，他重复投篮5次，若他命中一次得10分，没命中不得分；命中次数为X,得分为Y，则E(X）,D（Y）分别为( C）A．0.6,60 B．3,12C．3，120 D．3，1。

2解析X～B（5,0。

6）,Y＝10X,∴E（X）＝5×0。

6＝3，D(X）＝5×0。

6×0。

4＝1。

2，D（Y）＝100D（X)＝120.3．若离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E(X）＝A．2 B．2或错误!C．错误!D．1解析因为分布列中概率和为1，所以错误!＋错误!＝1，即a2＋a－2＝0，解得a＝－2（舍去）或a＝1，所以E（X)＝错误!.4．(2018·山东潍坊质检）已知随机变量X服从正态分布N（3,σ2)，且P(X〈5)＝0.8，则P(1〈X〈3）＝( C）A．0。

第9讲 离散型随机变量的均值、方差和正态分布板块一 知识梳理·自主学习[必备知识]考点1 离散型随机变量的均值与方差 1．若离散型随机变量X 的分布列为x p(1)均值称E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x i p i ＋…＋x n p n 为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2)方差称D (X )＝∑i ＝1n[x i －E (X )]2p i 为随机变量X 的方差，它刻画了随机变量X 与其均值E (X )的平均偏离程度，其算术平方根D (X )为随机变量X 的标准差．2．均值与方差的性质 (1)E (aX ＋b )＝aE (X )＋b .(2)D (aX ＋b )＝a 2D (X )．(a ，b 为常数) (3)两点分布与二项分布的均值、方差考点2正态分布1．正态曲线的性质(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交；(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；(3)曲线在x＝μ处达到峰值1σ2π；(4)曲线与x轴之间的面积为1；(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示；(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．2．正态分布的三个常用数据(1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826；(2)P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544；(3)P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974.[必会结论]均值与方差的作用均值是随机变量取值的平均值，常用于对随机变量平均水平的估计，方差反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，常用于对随机变量稳定于均值情况的估计．[考点自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．( )(2)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．( )(3)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．( )(4)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．( ) 答案 (1)√ (2)√ (3)√ (4)×2．[2018·九江模拟]已知随机变量X 服从正态分布N (5,4)，且P (ξ>k )＝P (ξ<k －4)，则k 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9答案 B解析 ∵(k －4)＋k 2＝5，∴k ＝7.故选B. 3．马老师从课本上抄录的一个随机变量X 的概率分布列如下表：3 ？且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同，据此，小牛给出了正确答案E (X )＝________.答案 2解析 令“？”为a ，“！”为b ，则2a ＋b ＝1.又E (X )＝a ＋2b ＋3a ＝2(2a ＋b )＝2.4．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为23，则此人得分的数学期望与方差分别为________．答案 20，2003解析 记此人三次射击击中目标X 次，得分为Y 分，则X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，23，Y ＝10X ，∴E (Y )＝10E (X )＝10×3×23＝20，D (Y )＝100D (X )＝100×3×23×13＝2003.5．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为则q ＝答案 12 34解析 由分布列的性质得：⎩⎪⎨⎪⎧0≤q 2≤1，①0≤1－q ≤1，②0≤5q2－1≤1，③q 2＋(1－q )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫5q 2－1＝1，④由①②③，得25≤q ≤45.由④，得q 2＋32q －1＝0，即⎝⎛⎭⎪⎫q －12(q ＋2)＝0，解得q ＝12或q ＝－2(舍去)．故q ＝12.由分布列可知X 的可能取值只有1,2,3，故P (X ≤2)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝q 2＋(1－q )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝34. 板块二 典例探究·考向突破 考向离散型随机变量的均值与方差例 1 [2016·天津高考]某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1)设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．解 (1)由已知，有P (A )＝C 13C 14＋C 23C 210＝13.所以，事件A 发生的概率为13. (2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2.P (X ＝0)＝C 23＋C 23＋C 24C 210＝415， P (X ＝1)＝C 13C 13＋C 13C 14C 210＝715，P (X ＝2)＝C 13C 14C 210＝415.所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝0×415＋1×715＋2×415＝1. 触类旁通求离散型随机变量的均值与方差的方法(1)先求随机变量的分布列，然后利用均值与方差的定义求解；(2)若随机变量X ～B (n ，p )，则可直接使用公式E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )求解．【变式训练1】 设某人有5发子弹，他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为23，若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完．(1)求他前两发子弹只命中一发的概率； (2)求他所耗用的子弹数X 的分布列与期望．解 记“第k 发子弹命中目标”为事件A k ，则A 1，A 2， A 3，A 4，A 5相互独立，且P (A k )＝23，P (A k )＝13，k ＝1,2,3,4,5. (1)解法一：他前两发子弹只命中一发的概率为P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2)＝23×13＋13×23＝49.解法二：由独立重复试验的概率计算公式知，他前两发子弹只命中一发的概率P (1)＝C 12×23×13＝49.(2)X 的所有可能值为2,3,4,5.则P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1 A 2)＝23×23＋13×13＝59；P (X ＝3)＝P (A 1A 2 A 3)＋P (A 1A 2A 3)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝29；P (X ＝4)＝P (A 1A 2A 3A 4)＋P (A 1A 2A 3 A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133×23＝1081；P (X ＝5)＝P (A 1A 2A 3A 4)＋P (A 1A 2A 3A 4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫232×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝881.综上知，X 的分布列为从而有E (X )＝2×59＋3×29＋4×1081＋5×881＝22481.考向均值与方差的实际应用例 2 [2017·北京高考]为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“ *”表示服药者，“＋”表示未服药者．(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；(2)从图中A ，B ，C ，D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)；(3)试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小．(只需写出结论)解 (1)由题图知，在服药的50名患者中，指标y 的值小于60的有15人，所以从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标y 的值小于60的概率为1550＝0.3.(2)由题图可知，A ，B ，C ，D 四人中，指标x 的值大于1.7的有2人：A 和C.所以ξ的所有可能取值为0,1,2.P(ξ＝0)＝C22C24＝16，P(ξ＝1)＝C12C12C24＝23，P(ξ＝2)＝C22C24＝16.所以ξ的分布列为2错故ξ的期望E(ξ)＝0×16＋1×23＋2×16＝1.(3)在这100名患者中，服药者指标y数据的方差大于未服药者指标y数据的方差．触类旁通均值与方差的实际应用(1)D(X)表示随机变量X对E(X)的平均偏离程度，D(X)越大表明平均偏离程度越大，说明X的取值越分散；反之，D(X)越小，X的取值越集中在E(X)附近，统计中常用D(X)来描述X的分散程度．(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．【变式训练2】[2018·福建模拟]为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求：①顾客所获的奖励额为60元的概率；②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望；(2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．解 (1)设顾客所获的奖励额为X .①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12. ②依题意，得X 的所有可能取值为20,60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，即X 的分布列为6错所以顾客所获的奖励额的期望为E (X )＝20×12＋60×12＝40(元)． (2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元．所以，先寻找期望为60元的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50,50,50,10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案，所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10,10,50,50)，设顾客所获的奖励额为X 1，则X 1的分布列为X 1的期望为E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60，X 1的方差为D (X 1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝16003.对于方案2，即方案(20,20,40,40)，设顾客所获的奖励额为X 2，则X 2的分布列为8错X 2的期望为E (X 2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60，X 2的方差为D (X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.考向正态分布例3 (1)[2018·广东佛山模拟]已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (2≤ξ≤4)＝0.6826，则P (ξ>4)＝( )A ．0.1588B ．0.1587C ．0.1586D ．0.1585答案 B解析 由正态曲线性质知，其图象关于直线x ＝3对称，∴P (ξ>4)＝1－P (2≤ξ≤4)2＝0.5－12×0.6826＝0.1587.故选B. (2)[2015·山东高考]已知某批零件的长度误差(单位：毫米)服从正态分布N (0,32)，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)内的概率为( )(附：若随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.44%.)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%答案B解析由正态分布N(0,32)，可知ξ落在(3,6)内的概率为P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)－P(μ－σ<ξ<μ＋σ)2＝95.44%－68.26%2＝13.59%.触类旁通关于正态总体在某个区间内取值的概率求法(1)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值；(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间面积为1.①正态曲线关于直线x＝μ对称，从而在关于x＝μ对称的区间上概率相等；②P(X<a)＝1－P(X≥a)，P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)．【变式训练3】(1)若随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，已知P(ξ<－1.96)＝0.025，则P(|ξ|<1.96)＝()A．0.025 B．0.050C．0.950 D．0.975答案C解析由随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，得P(ξ<1.96)＝1－P(ξ≤－1.96)，所以P(|ξ|<1.96)＝P(－1.96<ξ<1.96)＝P(ξ<1.96)－P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ≤－1.96)＝1－2P(ξ<－1.96)＝1－2×0.025＝0.950.(2)[2018·河南安阳专项训练]已知某次数学考试的成绩服从正态分布N(116,64)，则成绩在140分以上的考生所占的百分比为() A．0.3% B．0.23%C ．1.5%D ．0.15%答案 D 解析 依题意，得μ＝116，σ＝8，所以μ－3σ＝92，μ＋3σ＝140.而服从正态分布的随机变量在(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率约为0.997，所以成绩在区间(92,140)内的考生所占的百分比约为99.7%.从而成绩在140分以上的考生所占的百分比为1－99.7%2＝0.15%.故选D.核心规律均值、方差和正态分布问题的求解方法(1)①若X 服从两点分布，则E (X )＝p ，D (X )＝p (1－p )；②X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )；③若X 服从超几何分布，则E (X )＝n M N .(2)正态总体在某个区间内取值的概率的求法：一要熟记P (μ－σ<X ≤μ＋σ)，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)，P (μ－3σ<X ≤μ＋3σ)的值，二要充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.满分策略均值、方差和正态分布问题求解中注意的事项(1)在记忆D (aX ＋b )＝a 2D (X )时要注意：D (aX ＋b )≠aD (X )＋b ，D (aX ＋b )≠aD (X )．(2)求随机变量ξ的期望与方差时，可首先分析ξ是否服从二项分布，如果服从X ～B (n ，p )，那么用公式E (X )＝np ，D (X )＝np (1－p )求解，可大大减少计算量．(3)在利用对称性转化区间时，要注意正态曲线的对称轴是x ＝μ(μ≠0)，而不是x ＝0.板块三 启智培优·破译高考创新交汇系列10——高考中频出的“冷点”—正态分布[2018·陕西模拟]从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2近似为样本方差s2.①利用该正态分布，求P(187.8<Z<212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数．利用①的结果，求E(X)．附：150≈12.2.若Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<Z<μ＋2σ)＝0.9544.解题视点(1)利用频率分布直方图计算平均数及方差．(2)①利用样本估计总体进行概率计算；②利用二项分布的期望公式代入求解即可．解(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x和样本方差s2分别为x＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z～N(200,150)，从而P(187.8<Z<212.2)＝P(200－12.2<Z<200＋12.2)＝0.6826.②由①，知一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826，依题意知X～B(100,0.6826)，所以E(X)＝100×0.6826＝68.26.答题启示本题考查正态分布、概率统计问题的综合，是在知识网络的交汇处命制的一道较为新颖的试题.正态分布与统计案例有些知识点是所谓的高考“冷点”，由于考生对这些“冷点”的内容重视不够，复习不全面，一旦这些“冷点”知识出了考题，虽然简单但也做错，甚至根本不会做，因而错误率相当高.此题告诉我们必须全面掌握每一个知识点.跟踪训练[2017·全国卷Ⅰ]为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．①试说明上述监控生产过程方法的合理性；②下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：＝116(∑i ＝116x 2i －16x 2)≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x 作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z <μ＋3σ)＝0.9974,0.997416≈0.9592，0.008≈0.09.解 (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.9974，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.0026，故X ～B (16,0.0026)．因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997416≈0.0408.X 的数学期望E (X )＝16×0.0026＝0.0416.(2)①如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.0026，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.0408，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．②由x ＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为μ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查．剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02.因此μ的估计值为10.02.i ＝116x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1591.134，剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为 115×(1591.134－9.222－15×10.022)≈0.008， 因此σ的估计值为0.008≈0.09.板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中的概率为0.6，现有4发子弹，则命中后尚余子弹数目的均值为( )A ．2.44B ．3.376C ．2.376D ．2.4答案 C解析 X ＝k 表示第(4－k )次命中目标，P (X ＝3)＝0.6，P (X ＝2)＝0.4×0.6，P (X ＝1)＝0.42×0.6，P (X ＝0)＝0.43×(0.6＋0.4)，∴E (X )＝3×0.6＋2×0.4×0.6＋1×0.42×0.6＝2.376.2．[2018·长沙检测]已知随机变量X 服从正态分布N (1，σ2)，若P (ξ>2)＝0.15，则P (0≤ξ≤1)＝( )A ．0.85B ．0.70C ．0.35D ．0.15 答案 C解析 P (0≤ξ≤1)＝P (1≤ξ≤2)＝0.5－P (ξ>2)＝0.35.故选C.3．随机变量X 的分布列如下：1c其中a ，b ，c 成等差数列．若E (X )＝13，则D (X )的值是( )A.49B.59C.23D.95 答案 B解析 a ＋b ＋c ＝1.又∵2b ＝a ＋c ，故b ＝13，a ＋c ＝23.由E (X )＝13，得13＝－a ＋c ，故a ＝16，c ＝12.D (X )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－132×16＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×12＝59.故选B.4．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X 为这3支签的号码之中最大的一个，则X 的数学期望为( )A ．5B ．5.25C ．5.8D ．4.6答案 B解析 由题意可知，X 可以取3,4,5,6， P (X ＝3)＝1C 36＝120，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320， P (X ＝5)＝C 24C 36＝310，P (X ＝6)＝C 25C 36＝12. ∴E (X )＝3×120＋4×320＋5×310＋6×12，得E (X )＝5.25.5．为了了解某地区高三男生的身体发育状况，抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况，抽查结果表明他们的体重X (kg)服从正态分布N (μ，22)，且正态曲线如图所示．若体重大于58.5 kg 小于等于62.5 kg 属于正常情况，则这1000名男生中体重属于正常情况的人数是( )A ．997B ．954C ．819D ．683答案 D解析 由题意，可知μ＝60.5，σ＝2，故P (58.5<X ≤62.5)＝P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.6826，从而体重属于正常情况的人数是1000×0.6826≈683.6．已知随机变量ξ的分布列为P (ξ＝m )＝13，P (ξ＝μ)＝a ，若E (ξ)＝2，则D (ξ)的最小值等于________．答案 0解析 由13＋a ＝1，得a ＝23，又E (ξ)＝2，∴m 3＋2μ3＝2，m ＝6－2μD (ξ)＝13(m －2)2＋23(μ－2)2＝2μ2－8μ＋8＝2(μ－2)2，∴μ＝2时，D (ξ)最小值＝0.7．[2018·南宁模拟]某高校进行自主招生的面试程序如下：共设3道题，每道题答对给10分，答错倒扣5分(每道题都必须答，但相互不影响)，设某学生答对每道题的概率为23，则该学生在面试时得分的期望值为________．答案 15解析 记学生面试的得分为随机变量η，则η的可能取值为－15,0,15,30，则有P (η＝－15)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127，P (η＝0)＝C 13×⎝ ⎛⎭⎪⎫132×23＝627，P (η＝15)＝C 23×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝1227，P (η＝30)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827.所以该学生面试得分的数学期望E (η)＝(－15)×127＋0×627＋15×1227＋30×827＝15.8．某省实验中学高三共有学生600人，一次数学考试的成绩(试卷满分150分)服从正态分布N (100，σ2)，统计结果显示学生考试成绩在80分到100分之间的人数约占总人数的13，则此次考试成绩不低于120分的学生约有________人．答案 100解析 ∵数学考试成绩ξ～N (100，σ2)，作出正态分布图象，可以看出，图象关于直线x ＝100对称．显然P (80≤ξ≤100)＝P (100≤ξ≤120)＝13；∴P (ξ≤80)＝P (ξ≥120)．又∵P (ξ≤80)＋P (ξ≥120)＝1－P (80≤ξ≤100)－P (100≤ξ≤120)＝13，∴P (ξ≥120)＝12×13＝16，∴成绩不低于120分的学生约为600×16＝100(人)．9．[2018·江西师大附中模拟]已知某校的数学专业开设了A ，B ，C ，D 四门选修课，甲、乙、丙3名学生必须且只需选修其中一门．(1)求这3名学生选择的选修课互不相同的概率；(2)若甲和乙要选同一门课，求选修课A 被这3名学生选修的人数X 的分布列和数学期望．解 (1)3名学生选择的选修课所有不同选法有43＝64种；各人互不相同的选法有A 34种，故互不相同的概率P ＝A 3443＝38.(2)选修课A 被这3名学生选修的人数X 的可能取值为0,1,2,3，P(X＝0)＝3242＝916，P(X＝1)＝342＝316，P(X＝2)＝342＝316，P(X＝3)＝142＝116.所以X的分布列为数学期望E(X)＝0×916＋1×316＋2×316＋3×116＝34.10．袋中有1个白球和4个黑球，每次从中任取1个球，每次取出的黑球不再放回，直到取出白球为止．记取球次数为ξ.(1)求ξ的概率分布；(2)求ξ的数学期望及方差．解(1)ξ的所有可能取值为1,2,3,4,5，并且有P(ξ＝1)＝15＝0.2，P(ξ＝2)＝45×14＝0.2，P(ξ＝3)＝45×34×13＝0.2，P(ξ＝4)＝45×34×23×12＝0.2，P(ξ＝5)＝45×34×23×12×11＝0.2.因此ξ的分布列是(2)E(ξ)＝1×0.2＝3，D(ξ)＝(1－3)2×0.2＋(2－3)2×0.2＋(3－3)2×0.2＋(4－3)2×0.2＋(5－3)2×0.2＝2.[B级知能提升]1．甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为X ，则E (X )为( )A ．1B ．1.5C ．2D ．2.5答案 B解析 X 可取0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 36C 36×C 36＝120，P (X ＝1)＝C 16×C 25×C 23C 36×C 36＝920，P (X ＝2)＝C 26×C 14×C 13C 36×C 36＝920，P (X ＝3)＝C 36C 36×C 36＝120，故E (X )＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝1.5.2．[2018·山东聊城联考]已知服从正态分布N (μ，σ2)的随机变量在区间(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)和(μ－3σ，μ＋3σ)内取值的概率分别为68.3%,95.4%和99.7%.某校为高一年级1000名新生每人定制一套校服，经统计，学生的身高(单位：cm)服从正态分布(165,52)，则适合身高在155～175 cm 范围内的校服大约要定制( )A ．683套B ．954套C ．972套D ．997套答案 B解析 P (155<ξ<175)＝P (165－5×2<ξ<165＋5×2)＝P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝95.4%.因此服装大约定制1000×95.4%＝954套．故选B.3．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．设X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则D (X )＝________.答案 1318解析 由题意，知13×(1－p )2＝112，即p ＝12，所以P (X ＝1)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋13×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝13，P (X ＝2)＝23×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＋13×12×12＝512，P (X ＝3)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝16， 所以E (X )＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53，所以D (X )＝112×⎝ ⎛⎭⎪⎫0－532＋13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－532＋512×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－532＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－532＝1318.4．[2018·宁夏模拟]某次数学测验共有10道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确的，评分标准规定：每选对1道题得5分，不选或选错得0分．某考生每道题都选并能确定其中有6道题能选对，其余4道题无法确定正确选项，但这4道题中有2道题能排除两个错误选项，另2道只能排除一个错误选项，于是该生做这4道题时每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响．(1)求该考生本次测验选择题得50分的概率；(2)求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望． 解 (1)设选对一道“能排除2个选项的题目”为事件A ，选对一道“能排除1个选项的题目”为事件B ，则P (A )＝12，P (B )＝13.该考生选择题得50分的概率为P (A )·P (A )·P (B )·P (B )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝136.(2)该考生所得分数X ＝30,35,40,45,50， P (X ＝30)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝⎛⎭⎪⎫1－132＝19，P (X ＝35)＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫122·⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 12·13×23＝13，P (X ＝40)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋C 12·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 12·13×23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝1336，P (X ＝45)＝C 12⎝ ⎛⎭⎪⎫122·⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122·C 12·13×23＝16，P (X ＝50)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122×⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝136.该考生所得分数X 的分布列为所以E (X )＝30×19＋35×13＋40×1336＋45×16＋50×136＝1153分． 5．[2018·湖北武汉模拟]某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100000名男生的身高服从正态分布N (168,16)．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160 cm 和184 cm 之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160,164)，第2组[164,168)，…，第6组[180,184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1)由频率分布直方图估计该校高三年级男生平均身高状况； (2)求这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人数； (3)在这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人中任意抽取2人，将该2人中身高排名(从高到低)在全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望．参考数据：若ξ～N (μ，σ2)，则 P (μ－σ<ξ≤μ＋σ)＝0.6826， P (μ－2σ<ξ≤μ＋2σ)＝0.9544， P (μ－3σ<ξ≤μ＋3σ)＝0.9974.解 (1)由频率分布直方图，经过计算该校高三年级男生平均身高为⎝⎛⎭⎪⎫162×5100＋166×7100＋170×8100＋174×2100＋178×2100＋182×1100×4＝168.72.(2)由频率分布直方图知，后3组频率为(0.02＋0.02＋0.01)×4＝0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在172 cm 以上(含172 cm)的人数为10.(3)∵P (168－3×4<ξ≤168＋3×4)＝0.9974， ∴P (ξ≥180)＝1－0.99742＝0.0013. ∴0.0013×100000＝130.∴全市前130名男生的身高在180 cm 以上，这50人中180 cm 以上的有2人．随机变量ξ可取0,1,2，于是P (ξ＝0)＝C 28C 210＝2845，P (ξ＝1)＝C 18C 12C 210＝1645，P (ξ＝2)＝C 22C 210＝145，∴E (ξ)＝0×2845＋1×1645＋2×145＝25.。

2019届浙江新高考版高三数学一轮复习：离散型随机变量的均值与方差讲练测（解析版）讲知识【考纲解读】【知识清单】离散型随机变量的均值与方差 1．均值若离散型随机变量X 的分布列为称1122i i n n E X x p x p x p x p =+++++为随机变量X 的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．．若Y aX b =+，其中,a b 为常数，则Y 也是随机变量，且()()E aX b aE X b +=+.若X 服从两点分布，则()E X p =； 若(),XB n p ，则()E X np =.2.方差若离散型随机变量X 的分布列为则()i x E X -描述了i x (1,2,,i n =)相对于均值()E X 的偏离程度，而()()()21ni i i D X x E X p ==-∑为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X 与其均值()E X 的平均偏离程度．称()D X 为随机变量X X 的标准差． 若Y aX b =+，其中,a b 为常数，则Y 也是随机变量，且()()2D aX b a D X +=． 若X 服从两点分布，则()()1D X p p =-． 若(),XB n p，则()()1D X np p =-．【重点难点突破】考点 离散型随机变量的均值与方差【1-1】【2018年浙江省高考模拟】已知随机变量()1,2i ξ=的分布列如表所示：若12023p p <<<<，则（ ） A ． ()()()()1212,E E D D ξξξξ<< B ． ()()()()1212,E E D D ξξξξ C ． ()()()()1212,E E D D ξξξξ>> D ． ()()()()1212,E E D D ξξξξ>> 【答案】D 【解析】故选D.【1-2】【2018年浙江卷】设0<p<1，随机变量ξ的分布列是则当p在（0，1）内增大时，A. D（ξ）减小B. D（ξ）增大C. D（ξ）先减小后增大D. D（ξ）先增大后减小【答案】D【1-3】【2018届浙江省源清中学高三9月月考】已知一个袋子中装有4个红球和2个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的，若从袋子中摸出3个球，记摸到的白球的个数为ς，则1ς=的概率是_______；随机变量ς期望是_______.【答案】351【1-4】【2018年理北京卷】电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．假设所有电影是否获得好评相互独立．（Ⅰ）从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；（Ⅱ）从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率；（Ⅲ）假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等，用“”表示第k类电影得到人们喜欢，“”表示第k类电影没有得到人们喜欢（k=1，2，3，4，5，6）．写出方差，，，，，的大小关系．【答案】(1) 概率为0.025(2) 概率估计为0.35(3) >>=>>【1-5】【2018年理新课标I卷】某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求; （ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【答案】(1).(2) （i）490.（ii）应该对余下的产品作检验.【解析】（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为.因此.令，得.当时，；当时，.所以的最大值点为.（2）由（1）知，.（i）令表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知，，即.所以.（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于，故应该对余下的产品作检验.【领悟技法】1. 求离散型随机变量均值、方差的基本方法(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解； (2)已知随机变量ξ的均值、方差，求ξ的线性函数a b ηξ=+的均值、方差和标准差，可直接用ξ的均值、方差的性质求解；(3)如能分析所给随机变量是服从常用的分布(如两点分布、二项分布等)，可直接利用它们的均值、方差公式求解．2. 求离散型随机变量均值的步骤(1)理解随机变量X 的意义，写出X 可能取得的全部值； (2)求X 的每个值的概率； (3)写出X 的分布列； (4)由均值定义求出()E X ． 3. 六条性质(1) ()E C C = (C 为常数)(2) ()()E aX b aE X b +=+ (,a b 为常数) (3) ()()()1212E X X E X E X +=+(4)如果12,X X 相互独立，则()()()1212E X X E X E X ⋅=⋅ (5) ()()()()22D X E X E X =-(6) ()()2D aX b a D X +=4. 均值与方差性质的应用若X 是随机变量，则()f X η=一般仍是随机变量，在求η的期望和方差时，熟练应用期望和方差的性质，可以避免再求η的分布列带来的繁琐运算． 【触类旁通】【变式一】【浙江省台州中学2018届高三模拟】已知某个数的期望为，方差为，现又加入一个新数据，此时这个数的期望记为，方差记为，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】分析：首先利用离散型随机变量的期望和方程的计算公式，结合题中所给的条件，列出相应的式子，从而求得的值，进而得到正确的选项.详解：根据题意可知，，，故选B.【变式二】【浙江省杭州市学军中学2018年5月模拟】已知两个不透明盒中各有形状、大小都相同的红球、白球若干个．盒中有个红球与个白球，盒中有个红球与个白球，若从盒中各取一个球，表示所取的个球中红球的个数，则当取到最大值时，的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】所以ξ的分布列为：所以Eξ=1×+2×=1，所以Dξ=+=，并且1≤m≤9，所以当m=5时，Dξ取最大值．故答案为：B【变式三】【2017湖南】2016年8月21日第31届夏季奥运会在巴西里约闭幕，中国以26金18银26铜的成绩名称金牌榜第三、奖牌榜第二，某校体育爱好者协会在高三年级一班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），从被调查的学生中随机抽取了50人，具体的调查结果如下 表：（Ⅰ）在高三年级全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率； （Ⅱ）若从一班至二班的调查对象中随机选取2人进行追踪调查，记选中的4人中对“本届奥运会中国队表现”不满意的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其数学期望． 【答案】（Ⅰ）1825；（Ⅱ）分布列见解析，4538=ξE . （Ⅱ）ξ的所有可能取值为0，1，2，3，()2274225962*********C C P C C ξ==⋅=⨯=，()211127724422225959421614711036103615C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=⨯+⨯=．()1121272344222259594146131210361036180C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=⨯+⨯=．()124222594113103690C C P C C ξ⋅=⨯=＝＝，所以ξ的分布列为：所以ξ的期望值为：7731138012320151809045E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 【易错试题常警惕】易错典例：某超市在节日期间进行有奖促销，凡在该超市购物满400元的顾客，将获得一次摸奖机会，规则如下：奖盒中放有除颜色外完全相同的1个红球，1个黄球，1个白球和1个黑球．顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则停止摸奖，否则就继续摸球．规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励． （1）求1名顾客摸球2次停止摸奖的概率；（2）记X 为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X 的分布律和数学期望． 易错分析：随机变量ξ的取值错误导致出错，计算概率出错．所以，随机变量X 的分布列为:111110102030402046664EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．温馨提醒：(1) 求离散型随机变量的期望关键是写出离散型随机变量的分布列，然后利用公式计算．理解均值()E X 易失误，均值()E X 是一个实数，由X 的分布列唯一确定，即X 作为随机变量是可变的，而()E X 是不变的，它描述X 值的取值平均状态．注意()()E aX b aE X b +=+，()()2D aX b a D X +=易错．【学科素养提升之思想方法篇】对立统一，峰回路转——正难则反正难则反原则是解题学中的一个重要的思维方法，就其意义来说，就是当从问题的正面去思考问题，遇到阻力难于下手时，可通过逆向思维，从问题的反面出发，逆向地应用某些知识去解决问题.说得更具体一些，就是当我们拿到一个题目，经仔细地审题后，如感觉顺推有困难就要尝试去进行逆推，这就俗话所说的“不要一条路跑到黑”，许多事实都说明：对问题正向进行探索使问题陷入困境时，反向思维往往能使人茅塞顿开，获得意想不到效果. 具体在数学解题中，分析法、反证法、逆推法、排除法、同一法、补集法等方法技巧，都是正难则反策略的应用，往往通过逆转结构、逆转运算、逆转主元、逆转角度等，实现化难为易、化繁为简.【典例】【2018届云南省玉溪市玉溪一中高三上第二次月考】现有四枚不同的金属纪念币，投掷时，两枚正面向上的概率均为，另两枚正面向上的概率均为，这四枚纪念币同时投掷一次，设表示出现正面向上的枚数.(1)若出现一正一反与出现两正的概率相等，求的值；(2)求的分布列及数学期望(用字母表示)；(3)若有两枚纪念币出现正面向上的概率最大，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3).【解析】练基础A 基础巩固训练1.已知离散型随机变量的分布列为则的数学期望( )A. B. C. D. 3 【答案】A【解析】 根据数学期望的公式可得，随机变量的期望为，故选A.2.已知随机变量ξ，且ξ服从二项分布()10,0.6B ，则()E ξ和()D ξ的值分别是( ) A. 6和2.4 B. 2和2.4 C. 2和5.6 D. 6和5.6 【答案】A【解析】根据二项分布的特征可得： ()100.66E np ξ==⨯=，()()1100.60.4 2.4D np p ξ=-=⨯⨯=，故选A.3.设随机变量X ， Y 满足： 31Y X =-， ()2,X B p ~，若()519P X ≥=，则()D Y =（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7 【答案】A【解析】由题意可得： ()()()225110119P X P X C p ≥=-==--=， 解得： 13p =，则： ()()()()212412,34339D X np p D Y D X =-=⨯⨯===. 本题选择A 选项.4.随机变量的分布列如下：其中,,a b c 成等差数列，若()3E ξ=，则D ξ 的值是__________． 【答案】59【解析】由题设112{,233a b c b a c b a c ++=⇒=+==+，又()13E a c ξ=-+=，所以2113{ ,1623a c a c a c +=⇒==-+=，故()()()2211156299D E Eξξξ=-=+-=，应填答案59.5.【浙江省金华市浦江县2018年高考适应性考试】袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，去除后不放回，直到渠道有两种不同颜色的球时即终止，用表示终止取球时所需的取球次数，则随机变量的数字期望是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】AB 能力提升训练1. 设X 为随机变量，且1:,3X B n ⎛⎫⎪⎝⎭，若随机变量X 的方差()43D X =，则()2P X == ( )A.4729 B. 16 C. 20243 D. 80243【答案】D2.设非零常数d 是等差数列1239,,,,x x x x 的公差,随机变量ξ等可能地取值1239,,,,x x x x ,则方差D ξ=（ ） A.2103d B. 2203d C. 210d D. 26d 【答案】B【解析】因为等差数列1239,,,,x x x x 的公差是d ，所以111989492x x d x d ⨯⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()()()()()()()()2222222222120D()432023493d d d d d d d d d ξ⎡⎤=-+-+-+-+++++=⎣⎦，故选B ． 3.【浙江省杭州市2018届高三第二次高考科目检测】已知，随机变量 ξ 的分布列如下：当 a 增大时，（）A． E(ξ)增大， D(ξ)增大 B． E(ξ)减小， D(ξ)增大C． E(ξ)增大， D(ξ)减小 D． E(ξ)减小， D(ξ)减小【答案】A【解析】由随机变量的分布列，得，∴当增大时，增大；，∵，∴当增大时，增大，故选A．4.【2017山东模拟】某公司采用招考方式引进人才，规定必须在,,B C D，三个测试点中任意选取两个进行测试，若在这两个测试点都测试合格，则可参加面试,否则不被录用,已知考生在每测试个点测试结果互不影响,若考生小李和小王一起前来参加招考,小李在测试点,,B C D测试合格的概率分别为211,,332,小王在上述三个测试点测试合格的概率都是23.（1）问小李选择哪两个测试点测试才能使得可以参加面试的可能性最大？请说明理由; （2）假设小李选择测试点,B C进行测试，小王选择测试点,B D进行测试,记X为两人在各测试点测试合格的测试点个数之和,求随机变量X的分布列及数学期望EX.（2）记小李在,B C 测试点测试合格记为事件12,X X ,记小王在,B D 测试点测试合格记为事件12,Y Y ,则()()()()112221,33P X P Y P Y P X ====.且X 的所有可能取值为0,1,2,3,4所以()()212121222033381P X P X X YY ⎛⎫===⨯⨯= ⎪⎝⎭; ()()2341212121212121212212131333381P X P X X YY X X YY X X Y Y X X YY ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+++=⨯⨯+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭;()()1212121212121212121212122P X P X X YY X X Y Y X X YY X X YY X X Y Y X X YY ==+++++3321121033333327⎛⎫⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; ()()2341212121212121212212283333381P X P X X Y Y X X YY X X YY X X YY ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+++=⨯⨯+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭; ()()2121212843381P X P X X YY ⎛⎫===⨯= ⎪⎝⎭.所以,X 的分布列为:2131028870123481812781813EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.5.【2017四川模拟】某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛，经过初赛，复赛，甲、乙两个代表队，（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分，假设甲队中每人答对的概率均为34，乙队中3人答对的概率分别为432,,543，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示乙队的总得分.（1）求ξ的分布列和数学期望；（2）求甲、乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率.()010203060203056E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=.C 思维扩展训练1.【浙江省上虞市2018届高三第二次(5月)调测】若随机变量满足，，则下列说法正确的是A． B．C． D．【答案】D【解析】2. 【浙江省杭州市第二中学2018届高三仿真考】已知甲盒子中有个红球，个蓝球，乙盒子中有个红球，个蓝球，同时从甲乙两个盒子中取出个球进行交换，（a）交换后，从甲盒子中取1个球是红球的概率记为.（b）交换后，乙盒子中含有红球的个数记为.则（）A． B．C． D．【答案】A【解析】分析：首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数，对应的事件有哪些结果，从而得到对应的概率的大小，再者就是对随机变量的值要分清，对应的概率要算对，利用公式求得其期望.详解：根据题意有，如果交换一个球，有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球，红球的个数就会出现m，m-1，m+1三种情况；如果交换的是两个球，有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝，对应的红球的个数就是m-2，m-1，m，m+1，m+2五种情况，所以分析可以求得，故选A.3.【2017广东模拟】在研究塞卡病毒（Zika virus）某种疫苗的过程中，为了研究小白鼠连续接种该种疫苗后出现Z症状的情况，做接种试验，试验设计每天接种一次，连续接种3天为一个接种周期．已知小白鼠接种后当天出现Z症状的概率为14，假设每次接种后当天是否出现Z症状与上次接种无关．（1）若出现Z症状即停止试验，求试验至多持续一个接种周期的概率；（2）若在一个接种周期内出现2次货3次Z症状，则这个接种周期结束后终止试验，试验至多持续3个周期，设接种试验持续的接种周期数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．所以ξ的分布列为：10分ξ的数学期望51357292617123.1232102410241024Eξ=⨯+⨯+⨯=分4.【2017课标3，理18】某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶）的分布列；（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元）.当六月份这种酸奶一天的进货量n （单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？【答案】(1)分布列略；(2) n=300时，Y 的数学期望达到最大值，最大值为520元. 【解析】（1）由题意知，X 所有的可能取值为200,300,500，由表格数据知()2162000.290P X +===，()363000.490P X ===，()25745000.490P X ++===. 因此X 的分布列为5.【2016高考新课标2理数】某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人的本年度的保费与其上年度的出险次数的关联如下：设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：（Ⅰ）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；（Ⅱ）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率； （Ⅲ）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值． 【答案】（Ⅰ）0.55；（Ⅱ）；（Ⅲ）1.23. 【解析】（Ⅲ）记续保人本年度的保费为X ，则X 的分布列为0.850.301.23EX a a a=⨯+⨯=因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23测试题一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）1.【2017浙江，8】已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）=1—p i ，i=1，2． 若0<p 1<p 2<12， 则（ ）A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξB ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξC ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξD ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ【答案】A2.【浙江省杭州市第二中学2018届高三6月热身考】若随机变量满足，，则下列说法正确的是A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 随机变量满足，，则：， 据此可得：.3．【2018届浙江省台州中学模拟】已知某个数的期望为，方差为，现又加入一个新数据，此时这个数的期望记为，方差记为，则（ ）A. B. C. D.【答案】B【解析】根据题意可知，，，故选B.4.【浙江省金华市浦江县2018年高考适应性考试】袋中装有5个大小相同的球，其中有2个白球，2个黑球，1个红球，现从袋中每次取出1球，去除后不放回，直到渠道有两种不同颜色的球时即终止，用表示终止取球时所需的取球次数，则随机变量的数字期望是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】5.若随机变量X～B(100，p)，X的数学期望EX=24，则p的值是( )(A)(B)(C)(D)【答案】C.【解析】∵X～B(100，p)，∴EX=100p.又∵EX=24，∴24=100p，p==.6. 若ξ～B(n，p)且E(ξ)＝6，D(ξ)＝3，则P(ξ＝1)的值为( )A．3·2－2 B．3·2－10 C．2－4D．2－8【答案】B【解析】E(ξ)＝np＝6，D (ξ)＝np(1－p)＝3⇒p＝12，n＝12，P(ξ＝1)＝C112⎝⎛⎭⎪⎫1212＝3210.7.【浙江省金华十校2018年4月高考模拟】随机变量的分布列如下：其中，，成等差数列，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】A8. 已知X的分布列为设Y＝2X＋3，则E(Y)的值为( )．A.73B．4 C．－1 D．1【答案】A．【解析】E(X)＝－12＋16＝－13，E(Y)＝E(2X＋3)＝2E(X)＋3＝－23＋3＝73.9. 甲乙两人进行乒乓球比赛, 约定每局胜者得1分, 负者得0分, 比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止, 设甲在每局中获胜的概率为23,乙在每局中获胜的概率为13,且各局胜负相互独立, 则比赛停止时已打局数ξ的期望()Eξ为（）A．24181B．26681C．27481D．670243【答案】B10.【浙江省教育绿色评价联盟2018届高三5月适应性考试】已知随机变量满足，，且，．若，则( )A ． ，且B ． ，且C ．，且D ．，且【答案】B 【解析】随机变量满足，，，，，，解得，，，，，，故选B.二、填空题（本大题共7小题，共36分.把答案填在题中的横线上.）11.【2018届江西省赣州厚德外国语学校高三上第一次测试】一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次， X 表示抽到的二等品件数，则DX =____________．【答案】1.96【解析】由题意可得，抽到二等品的件数符合二项分布，即()~100,0.02X B ，由二项分布的期望公式可得()11000.020.98 1.96DX np p =-=⨯⨯=．12. 【浙江省余姚中学2018届高三选考科目模拟卷（二）】若随机变量的分布列如表所示：则______，____．【答案】13.【2016高考江苏卷】已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________________. 【答案】0.1【解析】这组数据的平均数为1(4.7 4.8 5.1 5.4 5.5) 5.15++++=，2222221(4.7 5.1)(4.8 5.1)(5.1 5.1)(5.4 5.1)(5.5 5.1)0.15S ⎡⎤∴=-+-+-+-+-=⎣⎦．故答案应填：0.1，14. 一台机器生产某种产品，如果生产一件甲等品可获得50元，生产一件乙等品可获得30元，生产一件次品，要赔20元，已知这台机器生产出甲等品，乙等品和次品的概率分别为0.7，0.2和0.1，则这台机器每生产一件产品平均预期可获利__________．【答案】39元【解析】∵一台机器生产某种产品，如果生产出一件甲等品可获利50元，生产出一件乙等品可获利30元，生产出一件次品，要赔20元，这台机器生产出甲等品、乙等品和次品的概率分别为0.7，0.2和0.1，∴这台机器每生产一件产品平均预期可获利：⨯+⨯-⨯=，答案为39元.500.7300.2200.13915.一个兴趣学习小组由12男生6女生组成，从中随机选取3人作为领队，记选取的3名领队中男生的人数为X，则X的期望)E= ．(X【答案】2【解析】16.同时抛掷5枚均匀的硬币160次，设5枚硬币正好出现1枚正面向上，4枚反面向上的次数为ξ，则ξ的数学期望是 .【答案】2517.如图, 将一个各面都涂了油漆的正方体, 切割成125个同样大小的小正方体, 经过搅拌后, 从中随机取出一个小正方体, 记它的涂油漆面数为X,则X的均值为()E X=.【答案】6 5三、解答题（本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.【2018届湖南师范大学附属中学高三11月月考】一只袋中放入了大小一样的红色球3个，白色球3个，黑色球2个.（Ⅰ）从袋中随机取出（一次性）2个球，求这2个球为异色球的概率；（Ⅱ）若从袋中随机取出（一次性）3个球，其中红色球、白色、黑色球的个数分别为a、b、c，令随机变量ξ表示a、b、c的最大值，求ξ的分布列和数学期望.【答案】（Ⅰ）34；（Ⅱ）127.【解析】（Ⅰ）设事件A表示“从袋中随机取出（一次性）2个球，求这2个球为异色球”，则()222332383 14C C CP AC=-=. （Ⅱ）ξ的可能取值为1,2,3.()2338213,28C P C ξ=== ()21213526382+92,14C C C C P C ξ=== ()1113323891,28C C C P C ξ=== 则ξ的分布列为于是， 991121232814287E ξ=⨯+⨯+⨯=. 19．【2018届甘肃省张掖市民乐县第一中学高三10月月考】一个不透明的袋子中装有4个形状相同的小球，分别标有不同的数字2,3,4,x ，现从袋中随机摸出2个球，并计算摸出的这2个球上的数字之和，记录后将小球放回袋中搅匀，进行重复试验.记A 事件为“数字之和为7”.试验数据如下表：（1）如果试验继续下去，根据上表数据，出现“数字之和为7”的频率将稳定在它的概率附近.试估计“出现数字之和为7”的概率，并求x 的值；（2）在（1）的条件下，设定一种游戏规则：每次摸2球，若数字和为7，则可获得奖金7元，否则需交5元.某人摸球3次，设其获利金额为随机变量η元，求η的数学期望和方差.【答案】（1）13,5；（2）3-,96.【解析】,则,.20.【四川省成都市2018年高考模拟试卷（一）】如图，某工人的住所在处，上班的企业在处，开车上下班的路线有三条路程几乎相等的线路供选择:环城南路经过医院的路口，环城北路经过学校的路口，中间路线经过商场的路口.如果开车到五个路口因遇到红灯而堵车的概率分别为，再无别的路口红灯.(1)为了减少开车在路口因遇到红灯而堵车的次数，这位工人应该选择哪条行驶路线?(2) 对于(1)所选择的路线，求其堵车次数的方差.【答案】(1) 这位工人应该选择行驶路线（2）【解析】分析：（1）设这位工人选择行驶路线、、的分别堵车、、次，则和的取值都是，的取值为，分别求出相对应的概率，从而得到数学期望，通过比较大小，即可求解结论.（2）由（1）知最小，且，，，由此能求出符合题意的方差.详解：（1）设这位工人选择行驶路线、、的分别堵车、、次，则、1、2；、1、2、3由于，，，则期望值由于，，，则期望值21.【2018届湖南省邵阳市洞口一中、隆回一中、武冈二中高三上第二次月考】某省电视台举行歌唱大赛,大赛依次设初赛,复赛,决赛三个轮次的比赛.已知某歌手通过初赛,复赛,决赛的概率分别为且各轮次通过与否相互独立.记该歌手参赛的轮次为（1）求的分布列和数学期望.（2）记“函数是偶函数”为事件,求发生的概率；【答案】（1）分布列见解析；（2）【解析】（1）的可能取值为的分布列为（2）因为是偶函数,所以或22.【2018届湖北省黄冈中学5月三模】随着电商的快速发展，快递业突飞猛进，到目前，中国拥有世界上最大的快递市场.某快递公司收取快递费的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，在收费10元的基础上，每超过（不足，按计算）需再收5元.该公司将最近承揽的100件包裹的重量统计如下：公司对近60天，每天揽件数量统计如下表：以上数据已做近似处理，并将频率视为概率.（1）计算该公司未来5天内恰有2天揽件数在101~300之间的概率；（2）①估计该公司对每件包裹收取的快递费的平均值；②根据以往的经验，公司将快递费的三分之一作为前台工作人员的工资和公司利润，其余的用作其他费用.目前前台有工作人员3人，每人每天揽件不超过150件，日工资100元.公司正在考虑是否将前台工作人员裁减1人，试计算裁员前后公司每日利润的数学期望，若你是决策者，是否裁减工作人员1人？【答案】（1）（2）①平均值可估计为15元. ②公司不应将前台工作人员裁员1人.【解析】故样本中每件快递收取的费用的平均值为，故该公司对每件快递收取的费用的平均值可估计为15元.②根据题意及（2）①，揽件数每增加1，公司快递收入增加15（元），若不裁员，则每天可揽件的上限为450件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为（元）；若裁员1人，则每天可揽件的上限为300件，公司每日揽件数情况如下：故公司平均每日利润的期望值为（元）因，故公司不应将前台工作人员裁员1人.。

高考数学一轮复习考点题型课下层级训练62离散型随机变量的均值和方差、正态分布（含解析）[A 级 基础强化训练]1．已知X 的分布列X －1 0 1 P121316则在下列式子中①E (X )＝－13；②D (X )＝27；③P (X ＝0)＝3，正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C [由E (X )＝(－1)×12＋0×13＋1×16＝－13，知①正确；由D (X )＝⎝⎛⎭⎪⎫－1＋132×12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0＋132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋132×16＝59，知②不正确；由分布列知③正确．]2．(2018·山东临沂期末)在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<X ≤μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<X ≤μ＋2σ)＝0.954 4． A ．2 386 B ．2 718 C ．3 413D ．4 772【答案】C [由曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线可知题图中阴影部分的面积为P (0<X ≤1)＝12×0.682 6＝0.341 3，又题图中正方形面积为1，故它们的比值为0.341 3，故落入阴影部分的点的个数的估计值为0.341 3×10 000＝3 413.]3．(2018· 全国卷Ⅲ)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立．设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX ＝2.4，P (X ＝4)<P (X ＝6)，则p ＝( )A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.3【答案】B [由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X 服从二项分布，即X ～B (10，p )，所以DX ＝10p (1－p )＝2.4所以p ＝0.4或0.6．又因为P (X ＝4)<P (X ＝6)，所以C 410p 4(1－p )6<C 610p 6(1－p )4，所以p >0.5，所以p ＝0.6.]4．(2019·福建厦门模拟)某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X 依次为1,2，…，8，其中X ≥5为标准A ，X ≥3为标准B ，已知甲厂执行标准A 生产该产品，假定甲厂的产品都符合相应的执行标准．已知甲厂产品的等级系数X 1的概率分布列如下表所示：且X 1的数学期望E (X 1)＝6，则a ．【答案】0．3 0.2 [因为E (X 1)＝6，所以5×0.4＋6a ＋7b ＋8×0.1＝6，即6a ＋7b ＝3.2.又由X 1的概率分布列得0.4＋a ＋b ＋0.1＝1，即a ＋b ＝0.5.由⎩⎪⎨⎪⎧6a ＋7b ＝3.2，a ＋b ＝0.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0.3，b ＝0.2.] 5．(2019·山东济南模拟)在某项测量中，测量结果ζ服从正态分布N (0，σ2)，若ζ在(－∞，－1)内取值的概率为0.1，则ζ在(0,1)内取值的概率为____________．【答案】0．4 [∵ζ服从正态分布N (0，σ2)，∴曲线的对称轴是直线x ＝0.∵P (ζ＜－1)＝0.1，∴P (ζ＞1)＝0.1，∴ζ在(0,1)内取值的概率为0.5－0.1＝0.4.]6．(2019·东北三校联考)一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为ξ，则ξ的数学期望是____________．【答案】45 [根据题意ξ＝0,1,2，而P (ξ＝0)＝C 26C 210＝1545，P (ξ＝1)＝C 16C 14C 210＝2445，P (ξ＝2)＝C 24C 210＝645．所以E (ξ)＝0×1545＋1×2445＋2×645＝3645＝45.]7．从某校的一次学科知识竞赛成绩(百分制)中，随机抽取了50名同学的成绩，统计如下：(1)求这50名同学竞赛成绩的平均数x (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)根据频数分布表可以认为，本次学科知识竞赛的成绩Z 服从正态分布N (μ，196)，其中μ近似为抽取的50名同学竞赛成绩的平均数x －．①利用该正态分布，求P (Z >74)；②某班级共有20名同学参加此次学科知识竞赛，记X 表示这20名同学中成绩超过74分的人数，利用①的结果，求X 的数学期望．【答案】解 (1)这50名同学竞赛成绩的平均数x －＝35×350＋45×1050＋55×1250＋65×1550＋75×650＋85×250＋95×250＝60．(2)①由(1)可知，Z ～N (60,142)，故P (Z >74)＝1－P 60－14<Z <60＋142＝0.158 7．②由①知，某位同学参加此次学科知识竞赛的成绩超过74分的概率为0.158 7，依题意可知，X ～B (20,0.158 7)，所以数学期望E (X )＝20×0.158 7＝3.174．8．(2019·山东青岛模拟)一个袋中装有7个除颜色外完全相同的球，其中红球4个，编号分别为1,2,3,4；蓝球3个，编号分别为2,4,6，现从袋中任取3个球(假设取到任一球的可能性相同)．(1)求取出的3个球中含有编号为2的球的概率；(2)记ξ为取到的球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望． 【答案】解 (1)设A ＝“取出的3个球中含有编号为2的球”， 则P (A )＝C 12C 25＋C 22C 15C 37＝20＋535＝2535＝57． (2)由题意得，ξ可能取的值为0,1,2,3，则 P (ξ＝0)＝C 33C 37＝135，P (ξ＝1)＝C 14·C 23C 37＝1235，P (ξ＝2)＝C 24·C 13C 37＝1835，P (ξ＝3)＝C 34C 37＝435．所以ξ的分布列为ξ 0 1 2 3 P13512351835435所以E (ξ)＝0×135＋1×35＋2×35＋3×35＝7．[B 级 能力提升训练]9．为了确保“两会”期间的安保工作，特举行安保项目的选拔比赛活动，其中A ，B 两个代表队进行对抗赛，每队三名队员，A 队队员是A 1，A 2，A 3，B 队队员是B 1，B 2，B 3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下表，现按表中对阵方式进行三场比赛，每场胜队得1分，负队得0分，设A 队、B 队最后所得总分分别为ξ，η，且ξ＋η＝3.对阵队员A 队队员胜A 队队员负A 1对B 1 23 13 A 2对B 22535(1)求A (2)求ξ的分布列，并用统计学的知识说明哪个队实力较强． 【答案】解 (1)设“A 队最后所得总分为1”为事件A 0， ∴P (A 0)＝23×35×47＋13×25×47＋13×35×37＝41105．(2)ξ的所有可能取值为3,2,1,0，P (ξ＝3)＝23×25×37＝12105＝435， P (ξ＝2)＝23×25×47＋13×25×37＋23×35×37＝40105＝821，P (ξ＝1)＝41105， P (ξ＝0)＝13×35×47＝12105＝435， ∴ξ的分布列为E (ξ)＝0×435＋1×105＋2×21＋3×35＝105． ∵ξ＋η＝3，∴E (η)＝－E (ξ)＋3＝158105．由于E (η)＞E (ξ)，故B 队的实力较强．10．(2019·广东湛江模拟)为了提高城市空气质量，有效地防治大气污染，企业纷纷向“低碳型”经济项目投资．某企业现有100万元资金可用于投资，如果投资“传统型”经济项目，一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为35，15，15；如果投资“低碳型”经济项目，一年后可能获利30%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为a 和b (其中a ＋b ＝1)．(1)如果把100万元投资“传统型”经济项目，用ζ表示投资收益(投资收益＝回收资金－投资资金)，求ζ的概率分布列及数学期望E (ζ)；(2)a 的取值在什么范围之内，才能保证这100万元投资“低碳型”经济项目的投资收益期望值不低于投资“传统型”经济项目的投资收益期望值？【答案】解 (1)根据题意知，随机变量ζ的可能取值为20,0，－10，则ζ的分布列为数学期望为E (ζ)＝20×35＋0×5＋(－10)×5＝10．(2)设η表示把100万元投资“低碳型”经济项目的收益，则η的分布列为数学期望为E (η)＝30a －20b ＝50a －20，依题意，得50a －20≥10，解得35≤a ≤1.所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤35，1． 11．(2018·天津卷)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查．(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查． ①用X 表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X 的分布列与数学期望；②设A 为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A 发生的概率． 【答案】解 (1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．(2)①随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3． P (X ＝k )＝C k4·C 3－k3C 37(k ＝0,1,2,3)． 所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望E (X )＝0×35＋1×35＋2×35＋3×35＝7．②设事件B 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；事件C 为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，则A ＝B ∪C ，且B 与C 互斥．由①知P (B )＝P (X ＝2)，P (C )＝P (X ＝1)， 故P (A )＝P (B ∪C )＝P (X ＝2)＋P (X ＝1)＝67．所以事件A 发生的概率为67．。

离散型随机变量的均值与方差分层训练A 级 基础达标演练 (时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．已知某一随机变量X 的概率分布如下，且E (X )＝6.3，则a 的值为________.X 4 a9P0.50.1b解析 由分布列性质知：0.5∴E (X )＝4×0.5＋a ×0.1＋9×0.4＝6.3.∴a ＝7. 答案 72．(2011·合肥模拟)已知随机变量X 服从二项分布，且E (X )＝2.4，D (X )＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值分别为________．解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧np ＝2.4，np 1－p ＝1.44，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝6，p ＝0.4.答案 6,0.43．已知随机变量X ＋Y ＝8，若X ～B (10，0.6)，则E (Y )，D (Y )分别是________．解析 若两个随机变量Y ，X 满足一次关系式Y ＝aX ＋b (a ，b 为常数)，当已知E (X )、D (X )时，则有E (Y )＝aE (X )＋b ，D (Y )＝a 2D (X )．由已知随机变量X ＋Y ＝8，所以有Y ＝8－X .因此，求得E (Y )＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2，D (Y )＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.答案 2；2.4 4．已知X 的概率分布为X －1 0 1 P121316则在下列式子中：①E (X )＝－3；②D (X )＝27；③P (X ＝0)＝13.正确的序号是________．解析 E (X )＝(－1)×12＋1×16＝－13，故①正确．D (X )＝⎝⎛⎭⎪⎫－1＋132×12＋⎝⎛⎭⎪⎫0＋132×13＋⎝⎛⎭⎪⎫1＋132×16＝59，故②不正确．由分布列知③正确．答案 ①③5．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a ，得2分的概率为b ，不得分的概率为c (a 、b 、c ∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则2a ＋13b的最小值为________．解析 由已知得，3a ＋2b ＋0×c ＝2， 即3a ＋2b ＝2，其中0<a <23，0<b <1.又2a ＋13b ＝3a ＋2b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋13b ＝3＋13＋2b a ＋a 2b ≥103＋ 22b a ·a 2b ＝163， 当且仅当2b a ＝a2b ，即a ＝2b 时取“等号”又3a ＋2b ＝2，即当a ＝12，b ＝14时，2a ＋13b 的最小值为163.答案1636．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X 表示取到次品的次数，则D (X )＝________.解析 ∵X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，14，∴D (X )＝3×14×34＝916. 答案916二、解答题(每小题15分，共30分)7．某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是13.(1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率； (2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率； (3)求这支篮球队在6场比赛中胜场数的均值和方差．解 (1)P ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－132×13＝427.所以这支篮球队首次胜场前已负两场的概率为427；(2)∴P ＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫133⎝ ⎛⎭⎪⎫1－133＝20×127×827＝160729.所以这支篮球队在6场比赛中恰胜3场的概率为160729；(3)由于ξ服从二项分布，即ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，13， ∴E (ξ)＝6×13＝2，D (ξ)＝6×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＝43.所以在6场比赛中这支篮球队胜场的期望为2，方差为43.8．(2012·盐城调研)有一种闯三关游戏的规则规定如下：用抛掷正四面体骰子(各面上分别有1,2,3,4点数的质地均匀的正四面体)决定是否过关，在闯第n (n ＝1,2,3)关时，需要抛掷n 次骰子，当n 次骰子面朝下的点数之和大于n 2时，则算闯此关成功，并且继续闯关，否则停止闯关．每次抛掷骰子相互独立． (1)求仅闯过第一关的概率；(2)记成功闯过的关数为X ，求X 的概率分布和均值． 解 (1)记“仅闯过第一关的概率”这一事件为A ， 则P (A )＝34×616＝932.(2)由题意，得X 的取值有0,1,2,3， 且P (X ＝0)＝14，P (X ＝1)＝932，P (X ＝2)＝34×1016×5464＝4051 024，P (X ＝3)＝34×1016×1064＝751 024，即随机变量的概率分布为所以E (X )＝0×14＋1×32＋2×1 024＋3×1 024＝1 024.分层训练B 级 创新能力提升1．(2010·新课标全国卷改编)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为________．解析 种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为Y ，则Y ～B (1 000,0.1)，∴E (Y )＝1 000×0.1＝100，故需补种的期望为E (X )＝2·E (Y )＝200.答案 2002．(2012·扬州调研)签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X 为这3支签的号码之中最大的一个，则X 的数学期望为________． 解析 由题意可知，X 可以取3,4,5,6， P (X ＝3)＝1C 36＝120，P (X ＝4)＝C 23C 36＝320，P (X ＝5)＝C 24C 36＝310，P (X ＝6)＝C 25C 36＝12.由数学期望的定义可求得E (X )＝5.25. 答案 5.253．(2013·镇江检测)有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若X 表示取到次品的个数，则E (X )＝________. 解析 X 的取值为0,1,2,3，则P (X ＝0)＝C 312C 316＝1128；P (X ＝1)＝C 212C 14C 316＝3370；P (X ＝2)＝C 112C 24C 316＝970；P (X ＝3)＝C 34C 316＝1140.∴E (X )＝0×1128＋1×3370＋2×970＋3×1140＝34.答案 344．(2011·浙江卷)某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历．假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数．若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望E (X )＝________. 解析 由已知条件P (X ＝0)＝112即(1－p )2×13＝112，解得p ＝12，随机变量X 的取值分别为0,1,2,3.P (X ＝0)＝112，P (X ＝1)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋2×13×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝13，P (X ＝2)＝2×23×12×⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝⎛⎭⎪⎫1－23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝512，P (X ＝3)＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝16.因此随机变量X 的分布列为E (X )＝0×112＋1×13＋2×12＋3×6＝3.答案 535．(2012·南通调研)某车站每天上午发出两班客车，第一班客车在8：00,8：20,8：40这三个时刻随机发出，且在8：00发出的概率为14，8：20发出的概率为12，8：40发出的概率为14；第二班客车在9：00,9：20,9：40这三个时刻随机发出，且在9：00发出的概率为14，9：20发出的概率为12，9：40发出的概率为14.两班客车发出时刻是相互独立的，一位旅客预计8：10到站．(1)请预测旅客乘到第一班客车的概率； (2)求旅客候车时间的概率分布； (3)求旅客候车时间的数学期望．解 (1)第一班若在8：20或8：40发出，则旅客能乘到，其概率为P ＝12＋14＝34.(2)旅客候车时间的概率分布为(3)10×12＋30×14＋50×116＋70×18＋90×116＝5＋152＋258＋354＋458＝30(分钟)．故这名旅客候车时间的数学期望是30分钟．6．(2013·泰州调研)现有甲、乙两个项目，对甲项目每投资10万元，一年后利润是1.2万元、1.18万元、1.17万元的概率分别为16、12、13；已知乙项目的利润与产品价格的调整有关，在每次调整中，价格下降的概率都是p (0＜p ＜1)，设乙项目产品价格在一年内进行两次独立的调整．记乙项目产品价格在一年内的下降次数为X ，对乙项目每投资10万元，X 取0、1、2时，一年后相应利润是1.3万元、1.25万元、0.2万元．随机变量X 1、X 2分别表示对甲、乙两项目各投资10万元一年后的利润．(1)求X 1，X 2的概率分布和均值E (X 1)，E (X 2)； (2)当E (X 1)＜E (X 2)时，求p 的取值范围． 解 (1)X 1的概率分布为E (X 1)＝1.2×16＋1.18×12＋1.17×3＝1.18(万元)．由题设得X ～B (2，p )，即X 的概率分布为故X 2的概率分布为所以E (X 2)＝1.3×(1－2p ＋p 2)＋2.5×(p －p 2)＋0.2×p 2＝－p 2－0.1p ＋1.3(万元)．(2)由E (X 1)＜E (X 2)，得－p 2－0.1p ＋1.3＞1.18， 整理得(p ＋0.4)(p －0.3)＜0，解得－0.4＜p ＜0.3. 因为0＜p ＜1，所以当E (X 1)＜E (X 2)时，p 的取值范围是0＜p ＜0.3.。