高一数学人教A版必修1单元测试：第一章 集合与函数概念 Word版含解析

第一章集合与函数概念测评单元检测(时间：90分钟，满分：100分)一、选择题1．集合P＝{x∈Z|0≤x<3}，M＝{x∈R|x2≤9}，则P∩M＝()．A．{1,2} B．{0,1,2}C．{x|0≤x<3} D．{x|0≤x≤3}2．下列各图中，可表示函数y＝f(x)的图象的只可能是图中的()．3．下列集合不能用区间形式表示的是()．①A＝{1,2,3,4}②{x|x是三角形}③{x|x>1，且x∈Q}④∅⑤{x|x≤0，或x≥3}⑥{x|2<x≤5，x∈N}A．①②③B．③④⑤C．⑤⑥D．①②③④⑥4．若集合A＝{6,7,8}，则满足A∪B＝A的集合B有________个()．A．6 B．7 C．8 D．95．设集合A、B都是U＝{1,2,3,4}的子集，已知(∁U A)∪(∁U B)＝{2}，(∁U A)∩B＝{1}，则A等于()．A．{1,2} B．{2,3} C．{1,4} D．{3,4}6．函数y＝x2－2x＋3(－1≤x≤2)的值域为()．A．R B．[2,6] C．[3,6] D．[2，＋∞)7．设集合M＝{2,3，a2＋1}，N＝{a2＋a－4,2a＋1，－1}且M∩N＝{2}，则a的取值集合是()．A．{－3} B．{2，－3} C．{－3，12} D．{－3,2，12}8．已知集合M＝{－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4}，若2∈M，则x等于()．A．－3或2 B．2±C．－3或1 D．－2或－39．如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是()．A．增函数，且最小值为－5B．增函数，且最大值为－5C ．减函数，且最小值为－5D ．减函数，且最大值为－510．设f (x )是奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤m (m <0)，则f (x )的值域是( )． A ．[m ，－m ] B ．(－∞，m ]C ．[－m ，＋∞)D ．(－∞，m ]∪[－m ，＋∞) 二、填空题11．若集合A ＝{x |kx 2－4x ＋4＝0}只有一个元素，则集合A ＝________.12．如果奇函数y ＝f (x )(x ≠0)在x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x －1，那么使f (x －1)<0的x 的取值范围是________．13．若函数2()1ax bf x x +=+(x ∈R )的值域为[－1,4]，则a ＝________，b ＝________. 14．张老师给出一个函数y ＝f (x )，让四个学生甲、乙、丙、丁各指出函数的一个性质： 甲：对于x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )； 乙：在(－∞，0)上为增函数； 丙：在(0，＋∞)上为增函数； 丁：f (0)不是函数的最小值．现已知其中的三个说法是正确的，则这个函数可能是________．(只需写出一个适合条件的即可)三、解答题15．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 为偶函数，求实数a 的值．16．设函数3,2020,()(4)1,2020,x x f x f x x -≥⎧=⎨++<⎩求f (2 010)的值．17．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋2m ＋6＝0}，B ＝{x |x <0}，若A ∩B ≠∅，求实数m 的取值范围．18．求函数y ＝3x 2－x ＋2，x ∈[1,3]的值域．答案与解析1.答案：B解析：∵P ＝{x ∈Z |0≤x <3}＝{0,1,2}， M ＝{x ∈R |x 2≤9}＝{x ∈R |－3≤x ≤3}，∴P ∩M ＝{0,1,2}∩{x ∈R |－3≤x ≤3}＝{0,1,2}． 2.答案：A解析：根据函数的概念知，只有“一对一”或“多对一”的对应才能构成函数关系． 3.答案：D解析：根据区间的意义知只有⑤能用区间表示，其余均不能用区间表示． 4.答案：C解析：由A ∪B ＝A 知B ⊆A ，∴集合B 可以是：∅，{6}，{7}，{8}，{6,7}，{6,8}，{7,8}，{6,7,8}． 5.答案：D解析：如图所示：∵(∁U A)∪(∁U B)＝{2}，(∁U A)∩B＝{1}，∴∁U A＝{1,2}，∴A＝{3,4}．6.答案：B解析：画出函数图象，观察函数的图象，可得图象上所有点的纵坐标的取值范围为[2,6]，所以值域为[2,6]．7.答案：C解析：∵M∩N＝{2}，∴有a2＋a－4＝2或2a＋1＝2.(1)当a2＋a－4＝2时，a＝2或a＝－3.若a＝2，则M＝{2,3,5}，N＝{2,5，－1}，与M∩N＝{2}矛盾．若a＝－3，则M＝{2,3,10}，N＝{2，－5，－1}满足M∩N＝{2}．(2)当2a＋1＝2时，1 2a=，此时52,3,4M⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，13,2,14N⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，满足M∩N＝{2}；∴a＝－3或12 a=.8.答案：A解析：当3x2＋3x－4＝2时，3x2＋3x－6＝0，x2＋x－2＝0，x＝－2或x＝1.经检验，x＝－2，x＝1均不合题意．当x2＋x－4＝2时，x2＋x－6＝0，x＝－3或2.经检验，x＝－3或x＝2均合题意．∴x＝－3或x＝2.9.答案：B解析：根据奇函数的性质画出示意图．据图可知f(x)在[－7，－3]上是增函数，且最大值为－5.10.答案：D解析：当x≥0时，f(x)≤m；当x≤0时，－x≥0，f(－x)≤m，∵f(x)是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )≤m . ∴当x ≤0时，f (x )≥－m . 11.答案：{1}或{2}解析：当k ＝0时，原方程变为－4x ＋4＝0，解得x ＝1，此时集合A ＝{1}，当k ≠0时，要使一元二次方程kx 2－4x ＋4＝0有一个实根，需16160k ∆=-=，即k ＝1.此时方程的解为x 1＝x 2＝2，集合A ＝{2}，满足题意． 12.答案：(－∞，0)∪(1,2)解析：∵x >0时，f (x )＝x －1，且f (x )为奇函数， ∴f (x )的图象关于原点(0,0)对称．令F (x )＝f (x －1)， 则F (x )的图象关于点(1,0)对称， 不等式F (x )<0的解为x <0或1<x <2. 13.答案：±4 3 解析：设21ax by x +=+，则yx 2－ax ＋y －b ＝0，y ≠0， 因x ∈R ，所以24()0a y y b ∆=--≥，即2204a y by --≤， 易知－1≤y ≤4是不等式(y ＋1)(y －4)≤0的解， 即y 2－3y －4≤0， 所以a ＝±4，b ＝3. 14.答案：f (x )＝(x －1)2解析：四个条件分别指函数的对称轴、单调性、最值，f (x )＝(x －1)2适合甲、乙、丁三个性质．15.解：∵函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 为偶函数， ∴f (－x )＝f (x )． ∴(－x )2＋a ×(－x )＋b ＝x 2＋ax ＋b . ∴－a ＝a .∴a ＝0.16.解：∵3,2020,()(4)1,2020,x x f x f x x -≥⎧=⎨++<⎩∴f (2 010)＝f (2 010＋4)＋1＝f (2 014)＋1，f (2 014)＝f (2 014＋4)＋1＝f (2 018)＋1， f (2 018)＝f (2 018＋4)＋1＝f (2 022)＋1， f (2 022)＝2 022－3＝2 019， f (2 018)＝2 019＋1＝2 020， f (2 014)＝2 020＋1＝2 021， f (2 010)＝2 021＋1＝2 022.17.解：∵A B ≠∅，∴A ≠∅，∴0∆≥.设全集{}{}2|44(26)0|1U m m m m =∆=-+≥=≤-．若方程x 2－4x ＋2m ＋6＝0的两根x 1、x 2均非负，则12121,40,260,m x x x x m ≤-⎧⎪+=≥⎨⎪=+≥⎩解得－3≤m ≤－1.∵集合{m |－3≤m ≤－1}在U 中的补集为{m |m <－3}． ∴实数m 的取值范围为{m |m <－3}．18.解：(方法一：配方法)∵22123323()612y x x x =-+=-+，f (1)＝4，f (3)＝26， ∴y ＝3x 2－x ＋2在x ∈[1,3]上的值域为[4,26]．(方法二：数形结合法)画出函数图象，f (1)＝4，f (3)＝26. ∴y ＝3x 2－x ＋2在x ∈[1,3]上的值域为[4,26]．(方法三：利用函数的单调性)函数y ＝3x 2－x ＋2在x ∈[1,3]上单调递增， ∴当x ＝1时，原函数有最小值为4；当x ＝3时，原函数有最大值为26. ∴函数y ＝3x 2－x ＋2，x ∈[1,3]的值域为[4,26]。

高中同步创优单元测评A 卷 数 学班级：________ 姓名：________ 得分：________第一章 集合与函数概念(二) (函数的概念与基本性质) 名师原创·基础卷](时间：120分钟 满分：150分) 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．函数f (x )＝12x －3的定义域是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫0，32 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞ C.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32 D.⎝⎛⎭⎪⎫32，＋∞2．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝2的公共点有( ) A ．0个 B ．1个 C ．0个或1个 D ．不能确定 3．函数y ＝x 2－4x ＋1，x ∈2,5]的值域是( ) A ．1,6] B ．－3,1] C ．－3,6] D ．－3，＋∞)4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x ≥0)，x 2 (x <0)，则f (f (－2))的值是( )A ．2B ．－2C ．4D ．－45．已知函数f (x )＝(a －x )|3a －x |，a 是常数且a >0，下列结论正确的是( )A ．当x ＝2a 时，有最小值0B ．当x ＝3a 时，有最大值0C ．无最大值也无最小值D ．有最小值，但无最大值6．定义域为R的函数y＝f(x)的值域为a，b]，则函数y＝f(x＋a)的值域为()A．2a，a＋b] B．a，b]C．0，b－a] D．－a，a＋b]7．已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式是()A．3x＋2 B．3x＋1 C．3x－1 D．3x＋48．设f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0)上为减函数，若x1<0，且x1＋x2>0，则()A．f(x1)>f(x2) B．f(x1)＝f(x2)C．f(x1)<f(x2) D．无法比较f(x1)与f(x2)的大小9．已知反比例函数y＝kx的图象如图所示，则二次函数y＝2kx2－4x＋k2的图象大致为()10．若φ(x)，g(x)都是奇函数，f(x)＝aφ(x)＋bg(x)＋2在(0，＋∞)上有最大值5，则f(x)在(－∞，0)上有()A．最小值－5 B．最大值－5C．最小值－1 D．最大值－311．已知f(x)为奇函数，在区间3,6]上是增函数，且在此区间上的最大值为8，最小值为－1，则2f (－6)＋f (－3)＝( )A ．－15B ．－13C ．－5D ．512．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x<0的解集为( ) A ．(－1,0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0,1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为________．14．已知函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )(x ，y ∈R )，则下列各式恒成立的是________．①f (0)＝0；②f (3)＝3f (1)；③f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12f (1)；④f (－x )·f (x )<0.15．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________.16．若函数f (x )＝x 2－(2a －1)x ＋a ＋1是(1,2)上的单调函数，则实数a 的取值范围为______________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知二次函数f (x )＝x 2＋2(m －2)x ＋m －m 2.(1)若函数的图象经过原点，且满足f (2)＝0，求实数m 的值； (2)若函数在区间2，＋∞)上为增函数，求m 的取值范围．18．(本小题满分12分) 已知函数f (x )＝1＋x 21－x 2.(1)求f (x )的定义域； (2)判断并证明f (x )的奇偶性；(3)求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )的定义域为(－2,2)，函数g (x )＝f (x －1)＋f (3－2x )． (1)求函数g (x )的定义域；(2)若f (x )是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g (x )≤0的解集．20．(本小题满分12分)已知y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x . (1)当x <0时，求f (x )的解析式；(2)作出函数f (x )的图象，并指出其单调区间．21．(本小题满分12分)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )为增函数，f (x ·y )＝f (x )＋f (y )．(1)求证：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )；(2)若f (3)＝1，且f (a )>f (a －1)＋2，求a 的取值范围．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈1，＋∞)，f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．详解答案第一章 集合与函数概念(二) (函数的概念与基本性质) 名师原创·基础卷]1．D 解析：由2x －3>0得x >32.2．C 解析：如果x ＝2与函数y ＝f (x )有公共点，则只有一个公共点，因为自变量取一个值只对应一个函数值；若无交点，则没有公共点，此时的x ＝2不在y ＝f (x )的定义域内．3．C 解析：函数y ＝(x －2)2－3在2，＋∞)上是增函数，所以最小值为f (2)＝－3，又x ∈2,5]，故最大值为f (5)＝6.4．C 解析：∵x ＝－2<0，∴f (－2)＝(－2)2＝4. 又4>0，∴f (f (－2))＝f (4)＝4.5．C 解析：由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －2a )2－a 2，x ≤3a ，－(x －2a )2＋a 2，x >3a ，可画出简图．分析知C 正确．6．B 解析：y ＝f (x ＋a )可由y ＝f (x )的图象向左或向右平移|a |个单位得到，因此，函数y ＝f (x ＋a )的值域与y ＝f (x )的值域相同．7．C 解析：设x ＋1＝t ，则x ＝t －1，∴f (t )＝3(t －1)＋2＝3t －1， ∴f (x )＝3x －1，故选C.解题技巧：采用换元法求函数解析式是常用方法．换元时，一定注意自变量的取值范围的变化情况．8．C 解析：x 1<0，且x 1＋x 2>0，∴x 1>－x 2. 又f (x )在(－∞，0)上为减函数，∴f (x 1)<f (－x 2)． 又f (x )是偶函数，∴f (x 1)<f (x 2)．9．D 解析：由反比例函数的图象知k <0，∴二次函数开口向下，排除A ，B ，又对称轴为x ＝1k <0，排除C.10．C 解析：由已知对任意x ∈(0，＋∞)，f (x )＝aφ(x )＋bg (x )＋2≤5. 对任意x ∈(－∞，0)，则－x ∈(0，＋∞)，且φ(x )，g (x )都是奇函数，有f (－x )＝aφ(－x )＋bg (－x )＋2≤5.即－aφ(x )－bg (x )＋2≤5， ∴aφ(x )＋bg (x )≥－3.∴f (x )＝aφ(x )＋bg (x )＋2≥－3＋2＝－1.11．A 解析：因为函数在3,6]上是增函数，所以f (6)＝8，f (3)＝－1，又函数f (x )为奇函数，所以2f (－6)＋f (－3)＝－2f (6)－f (3)＝－2×8＋1＝－15，故选A.12．D 解析：∵f (x )为奇函数，∴f (x )＝－f (－x )，∴f (x )－f (－x )x ＝2f (x )x <0，即⎩⎨⎧ f (x )<0，x >0或⎩⎨⎧f (x )>0，x <0.因为f (x )是奇函数且在(0，＋∞)上是增函数，故f (x )在(－∞，0)上是增函数．由f (1)＝0知f (－1)＝0，∴⎩⎨⎧f (x )<0，x >0可化为⎩⎪⎨⎪⎧f (x )<f (－1)，x >0，∴0<x <1；⎩⎨⎧f (x )>0，x <0可化为⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>f (1)，x <0，∴－1<x <0.13.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12 解析：由－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12，故函数f (2x ＋1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12. 解题技巧：已知f (x )的定义域为a ，b ]，求f (g (x ))的定义域，可从a ≤g (x )≤b 中解得x 的取值范围，即为f (g (x ))的定义域．14．①②③ 解析：令x ＝y ＝0，得f (0)＝0；令x ＝2，y ＝1，得f (3)＝f (2)＋f (1)＝3f (1)；令x ＝y ＝12，得f (1)＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12f (1)；令y ＝－x ，得f (0)＝f (x )＋f (－x )，即f (－x )＝－f (x )， ∴f (－x )·f (x )＝－f (x )]2≤0.15．－2x 2＋4 解析：f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2为偶函数，则2a ＋ab ＝0，∴a ＝0或b ＝－2.又f (x )的值域为(－∞，4]，∴a ≠0，b ＝－2，∴2a 2＝4. ∴f (x )＝－2x 2＋4.16．a ≥52或a ≤32 解析：函数f (x )的对称轴为x ＝2a －12＝a －12， ∵函数在(1,2)上单调，∴a －12≥2或a －12≤1，即a ≥52或a ≤32.17．解：(1)∵f (0)＝0，f (2)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－5m ＋4＝0，m －m 2＝0，∴m ＝1. (2)∵y ＝f (x )在2，＋∞)为增函数，∴对称轴x ＝－2(m －2)2≤2， ∴m ≥0.18．(1)解：由1－x 2≠0得x ≠±1， ∴f (x )的定义域为{x |x ≠±1，x ∈R }． (2)解：f (x )是偶函数，证明如下：设x ∈{x |x ≠±1，x ∈R }，则－x ∈{x |x ≠±1，x ∈R }． ∵f (－x )＝1＋(－x )21－(－x )2＝1＋x 21－x 2＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(3)证明：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 21－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＝1＋1x 21－1x 2＝x 2＋1x 2－1＝－1＋x 21－x 2＝ －f (x )，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )成立．19．解：(1)由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－2<x －1<2，－2<3－2x <2，∴⎩⎨⎧－1<x <3，12<x <52.解得12<x <52.故函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，52.(2)由g (x )≤0，得f (x －1)＋f (3－2x )≤0， ∴f (x －1)≤－f (3－2x )．∵f (x )为奇函数，∴f (x －1)≤f (2x －3)． 而f (x )在(－2,2)上单调递减，∴⎩⎨⎧x －1≥2x －3，12<x <52.解得12＜x ≤2.∴g (x )≤0的解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2. 20．解：(1)当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝(－x )2－2(－x )＝x 2＋2x . 又f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (－x )＝f (x )．∴当x <0时，f (x )＝x 2＋2x .(2)由(1)知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x (x ≥0)，x 2＋2x (x <0).作出f (x )的图象如图所示．由图得函数f (x )的递减区间是(－∞，－1]，0,1]． f (x )的递增区间是－1,0]，1，＋∞)．21．(1)证明：∵f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ·y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋f (y )(y ≠0)， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＝f (x )－f (y )． (2)解：∵f (3)＝1，∴f (9)＝f (3·3)＝f (3)＋f (3)＝2.∴f (a )>f (a －1)＋2＝f (a －1)＋f (9)＝f 9(a －1)]． 又f (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a －1>0，a >9(a －1)，∴1<a <98.22．解：(1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，设x 2>x 1>1，则f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋12x 2＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋12x 1＋2 ＝(x 2－x 1)＋x 1－x 22x 1x 2＝(x 2－x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x 1x 2.∵x 2>x 1>1，∴x 2－x 1>0，12x 1x 2<12，1－12x 1x 2>0，∴f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x )在1，＋∞]上单调递增．∴f (x )在区间1，＋∞)上的最小值为f (1)＝72. (2)在区间1，＋∞)上，f (x )＝x 2＋2x ＋ax >0恒成立， 等价于x 2＋2x ＋a >0恒成立． 设y ＝x 2＋2x ＋a ，x ∈1，＋∞)．∵y ＝x 2＋2x ＋a ＝(x ＋1)2＋a －1在1，＋∞)上单调递增， ∴当x ＝1时，y min ＝3＋a .于是，当且仅当y min ＝3＋a >0时，f (x )>0恒成立． ∴a >－3.解题技巧：不等式的恒成立问题常转化为函数的最值问题，分离参数法是求解此类问题的常用方法．高中同步创优单元测评B 卷数学班级：________姓名：________得分：________第一章集合与函数概念(二)(函数的概念与基本性质)名校好题·能力卷](时间：120分钟满分：150分)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列四组函数中，表示同一函数的是()A．y＝x－1与y＝(x－1)2B．y＝x－1与y＝x－1 x－1C．y＝4lg x与y＝2lg x2D．y＝lg x－2与y＝lgx 1002．已知f：x→x2是集合A到集合B＝{0,1,4}的一个映射，则集合A中的元素个数最多有()A．3个B．4个C．5个D．6个3．函数f(x)＝x＋1x－1的定义域是()A．－1,1) B．－1,1)∪(1，＋∞) C．－1，＋∞) D．(1，＋∞)4．函数y ＝2－－x 2＋4x 的值域是( ) A ．－2,2] B ．1,2] C ．0,2]D ．－2， 2 ]5．已知f (x )的图象如图，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤1－x －2，1<x ≤2B ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，0≤x ≤1x ＋2，1<x ≤2C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，0≤x ≤1x －2，1<x ≤2D ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，0≤x ≤1－x ＋2，1<x ≤26．定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a b ＝(a －b )2，则函数f (x )＝2⊕x (x2)－2的解析式为( ) A ．f (x )＝4－x 2x ，x ∈－2,0)∪(0,2]B ．f (x )＝x 2－4x ，x ∈(－∞，－2]∪2，＋∞) C ．f (x )＝－x 2－4x ，x ∈(－∞，－2]∪2，＋∞) D ．f (x )＝－4－x 2x ，x ∈－2,0)∪(0,2] 7．函数f (x )＝1x －x 的图象关于( ) A ．坐标原点对称 B ．x 轴对称 C ．y 轴对称D ．直线y ＝x 对称8．设f (x )是定义在－6,6]上的偶函数，且f (4)>f (1)，则下列各式一定成立的是( )A ．f (0)<f (6)B ．f (4)>f (3)C ．f (2)>f (0)D ．f (－1)<f (4)9．若奇函数f (x )在1,3]上为增函数，且有最小值0，则它在－3，－1]上( )A ．是减函数，有最小值0B ．是增函数，有最小值0C ．是减函数，有最大值0D ．是增函数，有最大值010．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x <0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0)，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤0，14 B ．(0,1) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1 D ．(0,3)11．若f (x )是R 上的减函数，且f (x )的图象经过点A (0,4)和点B (3，－2)，则当不等式|f (x ＋t )－1|<3的解集为(－1,2)时，t 的值为( )A ．0B ．－1C ．1D ．212．已知函数y ＝f (x )满足：①y ＝f (x ＋1)是偶函数；②在1，＋∞)上为增函数．若x 1<0，x 2>0，且x 1＋x 2<－2，则f (－x 1)与f (－x 2)的大小关系是( )A ．f (－x 1)>f (－x 2)B ．f (－x 1)<f (－x 2)C ．f (－x 1)＝f (－x 2)D ．无法确定第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．若函数f (x )＝ax 7＋bx －2，且f (2 014)＝10，则f (－2 014)的值为________．14．若函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在x ∈(－2，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________．15．已知函数f (x )＝x ＋3x ＋1，记f (1)＋f (2)＋f (4)＋f (8)＋f (16)＝m ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝n ，则m ＋n ＝________. 16．设a 为常数且a <0，y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝x ＋a 2x －2.若f (x )≥a 2－1对一切x ≥0都成立，则a 的取值范围为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(1)已知f (x －2)＝3x －5，求f (x )；(2)若f(f(f(x)))＝27x＋26，求一次函数f(x)的解析式．18．(本小题满分12分)已知f(x)＝1x－1，x∈2,6]．(1)证明：f(x)是定义域上的减函数；(2)求f(x)的最大值和最小值．19．(本小题满分12分)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R(x)＝⎩⎨⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，其中x 是仪器的月产量．(1)将利润f (x )表示为月产量x 的函数；(2)当月产量x 为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？(总收益＝总成本＋利润)20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋2，x ∈－5,5]． (1)当a ＝－1时，求函数的最大值和最小值；(2)若y ＝f (x )在区间－5,5]上是单调函数，求实数a 的取值范围．21．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ，b ∈R )，若f (1)＝－1且函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．(1)求a ，b 的值；(2)若函数f (x )在k ，k ＋1](k ≥1)上的最大值为8，求实数k 的值．22．(本小题满分12分)已知二次函数f (x )的图象过点(0,4)，对任意x 满足f (3－x )＝f (x )，且有最小值74.(1)求f (x )的解析式；(2)求函数h (x )＝f (x )－(2t －3)x 在区间0,1]上的最小值，其中t ∈R ； (3)在区间－1,3]上，y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象上方，试确定实数m 的范围．详解答案第一章 集合与函数概念(二) (函数的概念与基本性质) 名校好题·能力卷]1．D 解析：∵y ＝x －1与y ＝(x －1)2＝|x －1|的对应关系不同，∴它们不是同一函数；y ＝x －1(x ≥1)与y ＝x －1x －1(x >1)的定义域不同，∴它们不是同一函数；又y ＝4lg x (x >0)与y ＝2lg x 2(x ≠0)的定义域不同，因此它们也不是同一函数，而y ＝lg x －2(x >0)与y ＝lg x 100＝lg x －2(x >0)有相同的定义域、值域与对应关系，因此它们是同一函数．2．C 解析：令x 2＝0,1,4，解得x ＝0，±1，±2.故选C.3．B 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≠0，解得x ≥－1，且x ≠1.4．C 解析：令t ＝－x 2＋4x ，x ∈0,4]，∴t ∈0,4]．又∵y 1＝x ，x ∈0，＋∞)是增函数∴ t ∈0,2]，－t ∈－2,0]，∴y ∈0,2]．故选C.5．C 解析：当0≤x ≤1时，f (x )＝－1；当1<x ≤2时，设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，把点(1，－1)，(2,0)代入f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f (x )＝x －2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，0≤x ≤1，x －2，1<x ≤2.故选C.6．D 解析：f (x )＝2⊕x (x 2)－2＝22－x 2(x －2)2－2＝4－x 2|x －2|－2.由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x －2|－2≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )＝－4－x 2x . 7．A 解析：函数f (x )的定义域关于原点对称，又∵f (－x )＝1－x＋x ＝－⎝⎛⎭⎪⎫1x －x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，其图象关于坐标原点对称．8．D 解析：∵f (x )是定义在－6,6]上的偶函数，∴f (－1)＝f (1)．又f (4)>f (1)，f (4)>f (－1)．9．D 解析：因为奇函数f (x )在1,3]上为增函数，且有最小值0，所以f (x )在－3，－1]上是增函数，且有最大值0.10．A 解析：由于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x <0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0)满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，所以该函数为R 上的减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a －3<0，4a ≤a 0，解得0<a ≤14.解题技巧：本题主要考查了分段函数的单调性，解决本题的关键是利用好该函数为R 上的减函数这一条件．应特别注意隐含条件“a 0≥4a ”．11．C 解析：由不等式|f (x ＋t )－1|<3，得－3＜f (x ＋t )－1＜3，即－2＜f (x ＋t )＜4.又因为f (x )的图象经过点A (0,4)和点B (3，－2)，所以f (0)＝4，f (3)＝－2，所以f (3)＜f (x ＋t )＜f (0)．又f (x )在R 上为减函数，则3＞x ＋t ＞0，即－t ＜x ＜3－t ，解集为(－t,3－t )．∵不等式的解集为(－1,2)，∴－t ＝－1,3－t ＝2，解得t ＝1.故选C.12．A 解析：由y ＝f (x ＋1)是偶函数且把y ＝f (x ＋1)的图象向右平移1个单位可得函数y ＝f (x )的图象，所以函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，即f (2＋x )＝f (－x )．因为x 1<0，x 2>0，且x 1＋x 2<－2，所以2＜2＋x 2＜－x 1.因为函数在1，＋∞)上为增函数，所以f (2＋x 2)＜f (－x 1)，即f (－x 1)>f (－x 2)，故选A.13．－14 解析：设g (x )＝ax 7＋bx ，则g (x )是奇函数，g (－2 014)＝－g (2 014)．∵f (2 014)＝10且f (2 014)＝g (2 014)－2，∴g (2 014)＝12，∴g (－2 014)＝－12，∴f (－2 014)＝g (－2 014)－2，∴f (－2 014)＝－14.14．a <12 解析：f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a ＋1－2a x ＋2.∵y ＝1x ＋2在x ∈(－2，＋∞)上是减函数，∴1－2a >0，∴a <12.15．18 解析：因为函数f (x )＝x ＋3x ＋1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋3x x ＋1. 又因为f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝4(x ＋1)x ＋1＝4， f (1)＋f (2)＋f (4)＋f (8)＋f (16)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116 ＝f (1)＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f (8)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f (16)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f (1)＋4×4＝18，所以m ＋n ＝18.解题技巧：本题主要考查了学生的观察、归纳、推理的能力，解决本题的关键是挖掘出题目中隐含的规律f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝4. 16．－1≤a <0 解析：当x ＝0时，f (x )＝0，则0≥a 2－1，解得－1≤a ≤1，所以－1≤a <0.当x >0时，－x <0，f (－x )＝－x ＋a 2－x－2，则f (x )＝－f (－x )＝x ＋a 2x ＋2.由对数函数的图象可知，当x ＝a 2＝|a |＝－a 时，有f (x )min ＝－2a ＋2，所以－2a ＋2≥a 2－1，即a 2＋2a －3≤0，解得－3≤a ≤1.又a <0， 所以－3≤a <0.综上所述，－1≤a <0.17．解：(1)令t ＝x －2，则x ＝t ＋2，t ∈R ，由已知有f (t )＝3(t ＋2)－5＝3t ＋1，故f (x )＝3x ＋1.(2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，f (f (x ))＝a 2x ＋ab ＋b ，f (f (f (x )))＝a (a 2x ＋ab ＋b )＋b ＝a 3x ＋a 2b ＋ab ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝27，a 2b ＋ab ＋b ＝26， 解得a ＝3，b ＝2.则f (x )＝3x ＋2.18．(1)证明：设2≤x 1<x 2≤6，则f (x 1)－f (x 2)＝1x 1－1－1x 2－1＝x 2－x 1(x 1－1)(x 2－1)， 因为x 1－1>0，x 2－1>0，x 2－x 1>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)．所以f (x )是定义域上的减函数．(2)由(1)的结论可得，f (x )min ＝f (6)＝15，f (x )max ＝f (2)＝1.19．解：(1)当0≤x ≤400时，f (x )＝400x －12x 2－100x －20 000＝－12x 2＋300x －20 000.当x >400时，f (x )＝80 000－100x －20 000＝60 000－100x ， 所以f (x )＝⎩⎨⎧ －12x 2＋300x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400.(2)当0≤x ≤400时， f (x )＝－12x 2＋300x －20 000＝－12(x －300)2＋25 000；当x ＝300时，f (x )max ＝25 000；当x >400时，f (x )＝60 000－100x <f (400)＝20 000<25 000；所以当x ＝300时，f (x )max ＝25 000.故当月产量x 为300台时，公司获利润最大，最大利润为25 000元．20．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1.又因为x ∈－5,5]．所以函数的最大值为37，最小值为1.(2)若y ＝f (x )在区间－5,5]上是单调函数，则有－a ≤－5或－a ≥5解得a ≤－5或a ≥5.解题技巧：本题主要考查了二次函数在给定区间上的最值与单调性．解决本题的关键是确定对称轴和区间端点的关系．注意分类讨论．21．解：(1)由题意可得f (1)＝a ＋b ＝－1且－b 2a ＝1，解得a ＝1，b ＝－2.(2)f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1.因为k ≥1，所以f (x )在k ，k ＋1]上单调递增，所以f (x )max ＝f (k ＋1)＝(k ＋1)2－2(k ＋1)＝8，解得k ＝±3.又k ≥1，所以k ＝3.22．解：(1)由题知二次函数图象的对称轴为x ＝32，又最小值是74，则可设f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋74(a ≠0)， 又图象过点(0,4)，则a ⎝ ⎛⎭⎪⎫0－322＋74＝4，解得a ＝1. ∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋74＝x 2－3x ＋4. (2)h (x )＝f (x )－(2t －3)x ＝x 2－2tx ＋4＝(x －t )2＋4－t 2，其对称轴x ＝t .①t ≤0时，函数h (x )在0,1]上单调递增，最小值为h (0)＝4； ②当0<t <1时，函数h (x )的最小值为h (t )＝4－t 2；③当t ≥1时，函数h (x )在0,1]上单调递减，最小值为h (1)＝5－2t ，所以h (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4，t ≤0，4－t 2，0<t <1，5－2t ，t ≥1.(3)由已知：f (x )>2x ＋m 对x ∈－1,3]恒成立，∴m <x 2－5x ＋4对x ∈－1,3]恒成立．∴m <(x 2－5x ＋4)min (x ∈－1,3])．∵g (x )＝x 2－5x ＋4在x ∈－1,3]上的最小值为－94， ∴m <－94.。

高一数学人教a版必修一_习题_第一章_集合与函数概念_1.1.2_word版有答案一、选择题(每小题5分，共20分)1．已知集合A＝{x|x＝3k，k∈Z}，B＝{x|x＝6k，k∈Z}，则A与B之间最适合的关系是()A．A⊆B B．A⊇BC．A B D．A B解析：显然B是A的真子集，因为A中元素是3的整数倍，而B的元素是3的偶数倍．答案： D2．已知集合M＝{x|－5<x<3，x∈Z}，则下列集合是集合M的子集的为()A．P＝{－3,0,1} B．Q＝{－1,0,1,2}C．R＝{y|－π<y<－1，y∈Z} D．S＝{x||x|≤3，x∈N}解析：先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M＝{－2，－1,0,1}，集合R＝{－3，－2}，集合S＝{0,1}，不难发现集合P中的元素－3∉M，集合Q中的元素2∉M，集合R中的元素－3∉M，而集合S ＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M中，所以S⊆M，且S M.故选D.答案： D3．已知集合P＝{x|x2＝1}，Q＝{x|ax＝1}，若Q⊆P，则a的值是()A．1 B．－1C．1或－1 D．0,1或－1解析：由题意，当Q为空集时，a＝0；当Q不是空集时，由Q⊆P，a＝1或a＝－1.答案： D4．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为()A．6 B．5C．4 D．3解析：集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．故选A.答案： A二、填空题(每小题5分，共15分)5．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．解析：∵y＝(x－1)2－2≥－2，∴M＝{y|y≥－2}．∴N M.答案：N M6．图中反映的是“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”这四个文学概念之间的关系，请作适当的选择填入下面的空格：A为________；B为________；C为________；D为________．解析：由Venn图可得A B，C D B，A与D之间无包含关系，A与C之间无包含关系．由“文学作品”“散文”“小说”“叙事散文”四个文学概念之间的关系，可得A为小说，B为文学作品，C为叙事散文，D为散文．答案：小说文学作品叙事散文散文7．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋a＝0，a∈R}，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值构成的集合为________．解析：因为集合A有且仅有2个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2＋2x＋a＝0(a∈R)仅有一个根．当a＝0时，方程化为2x＝0，∴x＝0，此时A＝{0}，符合题意．当a≠0时，Δ＝22－4·a·a＝0，即a2＝1，∴a＝±1.此时A＝{－1}，或A＝{1}，符合题意．∴a＝0或a＝±1.答案：{0,1，－1}三、解答题(每小题10分，共20分)8．已知A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|ax－2＝0}，且B⊆A，求实数a组成的集合C.解析：由x2－3x＋2＝0，得x＝1，或x＝2.∴A＝{1,2}．∵B⊆A，∴对B分类讨论如下：(1)若B＝∅，即方程ax－2＝0无解，此时a＝0.(2)若B≠∅，则B＝{1}或B＝{2}．则B＝{1}时，有a－2＝0，即a＝2；当B＝{2}时，有2a－2＝0，即a＝1.综上可知，符合题意的实数a所组成的集合C＝{0,1,2}．9．已知A＝{x|x2＋4x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0}，若B⊆A，求a的取值范围．解析：集合A＝{0，－4}，由于B⊆A，则(1)当B＝A时，即0，－4是方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0的两根，代入解得a＝1.(2)当B A时，①当B＝∅时，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)<0，解得a<－1；②当B＝{0}或B＝{－4}时，方程x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0应有两个相等的实数根0或－4，则Δ＝4(a＋1)2－4(a2－1)＝0，解得a＝－1，此时B＝{0}满足条件．综上可知a＝0或a≤－1.。

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集合与函数概念 测试题（时间：120分钟 满分：150分）学号:______ 班级：______ 姓名：______ 得分：______一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列四个函数：①1y x =+，②21y x =-，③21y x =-，④2y x =，其中定义域与值域相同的是( ） A ．①② B ①②④ C. ②③ D. ①③④2．设全集为A B A B C A U U 则集合若},2{},1{,=⋂=⋂可表示为 ( )A ．｛1｝B ．｛2｝C ．{1，2｝D ．φ3设集合A 和集合B 都是实数集R ，映射B A f →:是把集合A 中的元素x 映射到集合B 中的元素246x x -+,则在映射f 下,B 中的元素2在A 中所对应的元素组成的集合是（ ）A . {2}-B 。

{2}C 。

{2,2}-D . {0} 4。

设全集{},|-24,{|2},U R A x x B x y x ==≤<==+则下图中阴影部分表示的集合为 （ )A. {|2}x x ≤-B. {|2}x x >- C 。

{}|4x x ≥ D 。

{|4}x x ≤5．设函数()23,(2)()f x x g x f x =++=，则()g x =( ）A 21x +B 21x -C 23x -D 27x +6。

高中人教A版数学必修1单元测试第一章集合与函数概念(一)(集合)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列四个集合中，是空集的是()A．{x|x＋3＝3} B．{(x，y)|y＝－x2，x，y∈R}C．{x|x2≤0} D．{x|x2－x＋1＝0，x∈R}2．已知集合A＝{x∈N|x<6}，则下列关系式错误的是()A．0∈A B．1.5∉A C．－1∉A D．6∈A3．已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则∁U A＝()A．{1,3} B．{3,7,9} C．{3,5,9} D．{3,9}4．设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，C＝{2,3,4}，则(A∩B)∪C＝()A．{1,2,3} B．{1,2,4} C．{2,3,4} D．{1,2,3,4}5．满足条件{1,2}∪A＝{1,2}的所有非空集合A的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个6．若集合A＝{1,4，x}，B＝{1，x2}，A∪B＝{1,4，x}，则满足条件的实数x有()A．1个B．2个C．3个D．4个7．已知集合M＝{y|x＋y＝2}，N＝{(x，y)|x－y＝4}，那么集合M∩N为() A．{x＝3，y＝－1} B．{(x，y)|x＝3或y＝－1}C．∅D．{(3，－1)}8．已知集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,3,4}，则A∩B的子集个数为()A．2 B．3 C．4 D．169．设全集U 是实数集R ，M ＝{x |x >2或x <－2}，N ＝{x |x ≥3或x <1}都是U 的子集，则图中阴影部分所表示的集合是( )A ．{x |－2≤x <1}B ．{x |－2≤x ≤2}C ．{x |1<x ≤2}D ．{x |x <2}10．如果集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0}中只有一个元素，则a 的值是( ) A ．0 B ．0或1 C ．1 D ．不能确定11．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N *⎪⎪⎪12x ∈Z 中含有的元素个数为( )A ．4B ．6C ．8D ．1212．设a ，b 都是非零实数，则y ＝a |a |＋b |b |＋ab|ab |可能取的值组成的集合为( ) A ．{3} B ．{3,2,1} C ．{3，－2,1}D ．{3，－1}第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．若集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x ≤a }，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________．14．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝a ＋16，a ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝b 2－13，b ∈Z ，C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝c 2＋16，c ∈Z ，则A ，B ，C 之间的关系是________．15．若集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且B ⊆A ，则m 的取值集合为________．16．若三个非零且互不相等的实数a ，b ，c ，满足1a ＋1b ＝2c ，则称a ，b ，c 是调和的；若满足a ＋c ＝2b ，则称a ，b ，c 是等差的．若集合P 中元素a ，b ，c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”．若集合M ＝{x ||x |≤2014，x ∈Z }，集合P ＝{a ，b ，c }⊆M ，则“好集”P 的个数为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设全集为R ，A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}． 求：A ∪B ，∁R (A ∩B )，(∁R A )∩B .18．(本小题满分12分)(1)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x |x ＋3≤0}，N ＝{x |x 2＝x ＋12}，求(∁U M )∩N ； (2)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <－1或x >1}，B ＝{x |－1≤x <0}，求A ∪(∁U B )．19．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|－2＜x＜－1或x＞1}，B＝{x|a≤x＜b}，A∪B＝{x|x＞－2}，A∩B＝{x|1＜x＜3}，求实数a，b的值．20．(本小题满分12分)已知集合A＝{x|x≤a＋3}，B＝{x|x<－1或x>5}．(1)若a＝－2，求A∩∁R B；(2)若A⊆B，求a的取值范围．21．(本小题满分12分)设集合A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}． (1)若a ＝15，判断集合A 与B 的关系； (2)若A ∩B ＝B ，求实数a 组成的集合C .22．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0}，B ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}． (1)若A ≠∅，求实数a 的取值范围； (2)若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．详解答案第一章 集合与函数概念(一)(集 合)1．D 解析：选项D 中Δ＝(－1)2－4×1×1＝－3<0，所以方程x 2－x ＋1＝0无实数根．2．D 解析：∵集合A ＝{x ∈N |x <6}＝{0,1,2,3,4,5}，∴6∉A .故选D. 3．D 解析：∵U ＝{1,3,5,7,9}，A ＝{1,5,7}，∴∁U A ＝{3,9}．故选D. 4．D 解析：∵A ∩B ＝{1,2}，C ＝{2,3,4}，∴(A ∩B )∪C ＝{1,2,3,4}． 5．C 解析：∵{1,2}∪A ＝{1,2}∴集合A 可取集合{1,2}的非空子集．∴集合A 有3个．故选C.6．C 解析：∵A ∪B ＝{1,4，x }，∴x 2＝4或x 2＝x .解得x ＝±2或x ＝1或x＝0.检验当x ＝1时，A ＝{1,4,1}不符合集合的性质，∴x ＝2或x ＝－2或x ＝0.故选C.7．C 解析：∵集合M 的代表元素是实数，集合N 的代表元素是点，∴M ∩N ＝∅.故选C.8．C 解析：∵A ∩B ＝{1,3}，∴A ∩B 的子集分别是∅，{1}，{3}，{1,3}．故选C.解题技巧：本题主要考查了列举法表示两个集合的交集，考查了子集的求法，解决本题的关键是确定出A ∩B 所含元素的个数n ，因此所有子集的个数为2n 个．9．A 解析：∵图中阴影部分表示：x ∈N 且x ∉M ，∴x ∈N ∩∁U M .∴∁U M ＝{x |－2≤x ≤2}，∴N ∩∁U M ＝{x |－2≤x <1}．故选A.10．B 解析：∵集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0}中只有一个元素，∴①当a ＝0时，集合A ＝{x |2x ＋1＝0}只有一个元素，符合题意；②当a ≠0时，一元二次方程ax 2＋2x ＋1＝0只有一解，∴Δ＝0，即4－4a ＝0，∴a ＝1.故选B.11．B 解析：∵x ∈N *，12x ∈Z ，∴x ＝1时，12x ＝12∈Z ；x ＝2时，12x ＝6∈Z ；x ＝3时，12x ＝4∈Z ；x ＝4时，12x ＝3∈Z ；x ＝6时，12x ＝2∈Z ；x ＝12时，12x ＝1∈Z .12．D 解析：①当a ＞0，b ＞0时，y ＝3；②当a ＞0，b ＜0时，y ＝－1；③当a ＜0，b ＞0时，y ＝－1；④当a ＜0，b ＜0时，y ＝－1.13．a ≥－1 解析：如图：∵A ∩B ≠∅，且A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x ≤a }，∴a ≥－1. 14．AB ＝C 解析：A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝a ＋16，a ∈Z＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝16(6a ＋1)，a ∈Z ，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝b 2－13，b ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝16(3b －2)，b ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝16[3(b ＋1)－2]，b ∈Z ，C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝c 2＋16，c ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪ x ＝16(3c ＋1)，c ∈Z .∴A B ＝C .15．m ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，－12，13 解析：集合A ＝{2，－3}，又∵B ⊆A ，∴B ＝∅，{－3}，{2}．∴m ＝0或m ＝－12或m ＝13.16．1 006 解析：因为若集合P 中元素a ，b ，c 既是调和的，又是等差的，则1a ＋1b ＝2c 且a ＋c ＝2b ，则a ＝－2b ，c ＝4b ，因此满足条件的“好集”为形如{－2b ，b,4b }(b ≠0)的形式，则－2 014≤4b ≤2 014，解得－503≤b ≤503，且b ≠0，符合条件的b 的值可取1 006个，故“好集”P 的个数为1 006个．解题技巧：本题主要考查了以集合为背景的新概念题，解决本题的关键是弄清楚新概念、新运算、新方法的含义，转化为集合问题求解．17．解：∵全集为R ，A ＝{x |3≤x <7}，B ＝{x |2<x <10}， ∴A ∪B ＝{x |2<x <10}，A ∩B ＝{x |3≤x <7}， ∴∁R (A ∩B )＝{x |x ≥7或x <3}． ∵∁R A ＝{x |x ≥7或x <3}，∴(∁R A )∩B ＝{x |2<x <3或7≤x <10}．18．解：(1)M ＝{x |x ＋3＝0}＝{－3}，N ＝{x |x 2＝x ＋12}＝{－3,4}， ∴(∁U M )∩N ＝{4}．(2)∵A ＝{x |x <－1或x >1}，B ＝{x |－1≤x <0}， ∴∁U B ＝{x |x <－1或x ≥0}． ∴A ∪(∁U B )＝{x |x <－1或x ≥0}．19．解：∵A ∩B ＝{x |1＜x ＜3}，∴b ＝3， 又A ∪B ＝{x |x ＞－2}， ∴－2＜a ≤－1， 又A ∩B ＝{x |1＜x ＜3}， ∴－1≤a ＜1， ∴a ＝－1.20．解：(1)当a ＝－2时，集合A ＝{x |x ≤1}，∁R B ＝{x |－1≤x ≤5}， ∴A ∩∁R B ＝{x |－1≤x ≤1}．(2)∵A ＝{x |x ≤a ＋3}，B ＝{x |x <－1或x >5}，A ⊆B ， ∴a ＋3<－1，∴ a <－4.解题技巧：本题主要考查了描述法表示的集合的运算，集合间的关系，解决本题的关键是借助于数轴求出符合题意的值．在解决(2)时，特别注意参数a 是否取到不等式的端点值．21．解：A ＝{x |x 2－8x ＋15＝0}＝{3,5}． (1)若a ＝15，则B ＝{5}，所以B A . (2)若A ∩B ＝B ，则B ⊆A . 当a ＝0时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当a ≠0时，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a ，因为B ⊆A ，所以1a ＝3或1a ＝5，即a ＝13或a ＝15；综上所述，实数a 组成的集合C 为⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，13，15.22．解：(1)①当a ＝1时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23≠∅；②当a ≠1时，Δ≥0，即a ≥－18且a ≠1，综上，a ≥－18；(2)∵B ＝{1,2}，A ∩B ＝A ，∴A ＝∅或{1}或{2}或{1,2}． ①A ＝∅，Δ<0，即a <－18；②当A ＝{1}或{2}时，Δ＝0，即a ＝0且a ＝－18，不存在这样的实数； ③当A ＝{1,2}，Δ>0，即a >－18且a ≠1，解得a ＝0. 综上，a <－18或a ＝0.第一章集合与函数概念(二)(函数的概念与基本性质)第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列四组函数中，表示同一函数的是()A．y＝x－1与y＝(x－1)2B．y＝x－1与y＝x－1 x－1C．y＝4lg x与y＝2lg x2D．y＝lg x－2与y＝lgx 1002．已知f：x→x2是集合A到集合B＝{0,1,4}的一个映射，则集合A中的元素个数最多有()A．3个B．4个C．5个D．6个3．函数f(x)＝x＋1x－1的定义域是()A．－1,1) B．－1,1)∪(1，＋∞) C．－1，＋∞) D．(1，＋∞)4．函数y＝2－－x2＋4x的值域是()A．－2,2] B．1,2]C．0,2] D．－2， 2 ] 5．已知f(x)的图象如图，则f(x)的解析式为()A ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，0≤x ≤1－x －2，1<x ≤2B ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，0≤x ≤1x ＋2，1<x ≤2C ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，0≤x ≤1x －2，1<x ≤2D ．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，0≤x ≤1－x ＋2，1<x ≤26．定义两种运算：a ⊕b ＝a 2－b 2，a b ＝(a －b )2，则函数f (x )＝2⊕x (x2)－2的解析式为( )A ．f (x )＝4－x 2x ，x ∈－2,0)∪(0,2]B ．f (x )＝x 2－4x ，x ∈(－∞，－2]∪2，＋∞) C ．f (x )＝－x 2－4x ，x ∈(－∞，－2]∪2，＋∞) D ．f (x )＝－4－x 2x ，x ∈－2,0)∪(0,2]7．函数f (x )＝1x －x 的图象关于( ) A ．坐标原点对称 B ．x 轴对称 C ．y 轴对称D ．直线y ＝x 对称8．设f (x )是定义在－6,6]上的偶函数，且f (4)>f (1)，则下列各式一定成立的是( )A ．f (0)<f (6)B ．f (4)>f (3)C ．f (2)>f (0)D ．f (－1)<f (4)9．若奇函数f (x )在1,3]上为增函数，且有最小值0，则它在－3，－1]上( ) A ．是减函数，有最小值0 B ．是增函数，有最小值0 C ．是减函数，有最大值0D ．是增函数，有最大值010．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x <0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0)，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 B ．(0,1) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，1 D ．(0,3)11．若f (x )是R 上的减函数，且f (x )的图象经过点A (0,4)和点B (3，－2)，则当不等式|f (x ＋t )－1|<3的解集为(－1,2)时，t 的值为( )A ．0B ．－1C ．1D ．212．已知函数y ＝f (x )满足：①y ＝f (x ＋1)是偶函数；②在1，＋∞)上为增函数．若x 1<0，x 2>0，且x 1＋x 2<－2，则f (－x 1)与f (－x 2)的大小关系是( )A ．f (－x 1)>f (－x 2)B ．f (－x 1)<f (－x 2)C ．f (－x 1)＝f (－x 2)D ．无法确定第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．若函数f (x )＝ax 7＋bx －2，且f (2 014)＝10，则f (－2 014)的值为________． 14．若函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在x ∈(－2，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________．15．已知函数f (x )＝x ＋3x ＋1，记f (1)＋f (2)＋f (4)＋f (8)＋f (16)＝m ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝n ，则m ＋n ＝________. 16．设a 为常数且a <0，y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝x ＋a 2x －2.若f (x )≥a 2－1对一切x ≥0都成立，则a 的取值范围为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(1)已知f (x －2)＝3x －5，求f (x )；(2)若f (f (f (x )))＝27x ＋26，求一次函数f (x )的解析式．18．(本小题满分12分) 已知f (x )＝1x －1，x ∈2,6]．(1)证明：f (x )是定义域上的减函数； (2)求f (x )的最大值和最小值．19．(本小题满分12分)某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：R (x )＝⎩⎨⎧400x －12x 2，0≤x ≤400，80 000，x >400，其中x 是仪器的月产量．(1)将利润f (x )表示为月产量x 的函数；(2)当月产量x 为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？(总收益＝总成本＋利润)20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈－5,5]．(1)当a＝－1时，求函数的最大值和最小值；(2)若y＝f(x)在区间－5,5]上是单调函数，求实数a的取值范围．21．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b∈R)，若f(1)＝－1且函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(1)求a，b的值；(2)若函数f(x)在k，k＋1](k≥1)上的最大值为8，求实数k的值．22．(本小题满分12分)已知二次函数f(x)的图象过点(0,4)，对任意x满足f(3－x)＝f(x)，且有最小值74.(1)求f(x)的解析式；(2)求函数h(x)＝f(x)－(2t－3)x在区间0,1]上的最小值，其中t∈R；(3)在区间－1,3]上，y＝f(x)的图象恒在函数y＝2x＋m的图象上方，试确定实数m的范围．详解答案第一章集合与函数概念(二)(函数的概念与基本性质)1．D解析：∵y＝x－1与y＝(x－1)2＝|x－1|的对应关系不同，∴它们不是同一函数；y＝x－1(x≥1)与y＝x－1x－1(x>1)的定义域不同，∴它们不是同一函数；又y＝4lg x(x>0)与y＝2lg x2(x≠0)的定义域不同，因此它们也不是同一函数，而y＝lg x－2(x>0)与y＝lg x100＝lg x－2(x>0)有相同的定义域、值域与对应关系，因此它们是同一函数．2．C解析：令x2＝0,1,4，解得x＝0，±1，±2.故选C.3．B 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，x －1≠0，解得x ≥－1，且x ≠1.4．C 解析：令t ＝－x 2＋4x ，x ∈0,4]，∴t ∈0,4]．又∵y 1＝x ，x ∈0，＋∞)是增函数∴ t ∈0,2]，－t ∈－2,0]，∴y ∈0,2]．故选C.5．C 解析：当0≤x ≤1时，f (x )＝－1；当1<x ≤2时，设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，把点(1，－1)，(2,0)代入f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f (x )＝x －2.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，0≤x ≤1，x －2，1<x ≤2.故选C. 6．D 解析：f (x )＝2⊕x (x2)－2＝22－x 2(x －2)2－2＝4－x 2|x －2|－2.由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x －2|－2≠0，得－2≤x ≤2且x ≠0.∴f (x )＝－4－x 2x .7．A 解析：函数f (x )的定义域关于原点对称，又∵f (－x )＝1－x＋x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，其图象关于坐标原点对称．8．D 解析：∵f (x )是定义在－6,6]上的偶函数，∴f (－1)＝f (1)．又f (4)>f (1)，f (4)>f (－1)．9．D 解析：因为奇函数f (x )在1,3]上为增函数，且有最小值0，所以f (x )在－3，－1]上是增函数，且有最大值0.10．A 解析：由于函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x <0)，(a －3)x ＋4a (x ≥0)满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，所以该函数为R 上的减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，a －3<0，4a ≤a 0，解得0<a ≤14.解题技巧：本题主要考查了分段函数的单调性，解决本题的关键是利用好该函数为R 上的减函数这一条件．应特别注意隐含条件“a 0≥4a ”．11．C 解析：由不等式|f (x ＋t )－1|<3，得－3＜f (x ＋t )－1＜3，即－2＜f (x ＋t )＜4.又因为f (x )的图象经过点A (0,4)和点B (3，－2)，所以f (0)＝4，f (3)＝－2，所以f (3)＜f (x ＋t )＜f (0)．又f (x )在R 上为减函数，则3＞x ＋t ＞0，即－t ＜x ＜3－t ，解集为(－t,3－t )．∵不等式的解集为(－1,2)，∴－t ＝－1,3－t ＝2，解得t ＝1.故选C.12．A 解析：由y ＝f (x ＋1)是偶函数且把y ＝f (x ＋1)的图象向右平移1个单位可得函数y ＝f (x )的图象，所以函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，即f (2＋x )＝f (－x )．因为x 1<0，x 2>0，且x 1＋x 2<－2，所以2＜2＋x 2＜－x 1.因为函数在1，＋∞)上为增函数，所以f (2＋x 2)＜f (－x 1)，即f (－x 1)>f (－x 2)，故选A.13．－14 解析：设g (x )＝ax 7＋bx ，则g (x )是奇函数，g (－2 014)＝－g (2 014)．∵f (2 014)＝10且f (2 014)＝g (2 014)－2，∴g (2 014)＝12，∴g (－2 014)＝－12，∴f (－2 014)＝g (－2 014)－2，∴f (－2 014)＝－14.14．a <12 解析：f (x )＝ax ＋1x ＋2＝a ＋1－2a x ＋2.∵y ＝1x ＋2在x ∈(－2，＋∞)上是减函数，∴1－2a >0，∴a <12.15．18 解析：因为函数f (x )＝x ＋3x ＋1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1＋3xx ＋1.又因为f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝4(x ＋1)x ＋1＝4，f (1)＋f (2)＋f (4)＋f (8)＋f (16)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116 ＝f (1)＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋f (8)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫18＋f (16)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫116＝f (1)＋4×4＝18， 所以m ＋n ＝18.解题技巧：本题主要考查了学生的观察、归纳、推理的能力，解决本题的关键是挖掘出题目中隐含的规律f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝4.16．－1≤a <0 解析：当x ＝0时，f (x )＝0，则0≥a 2－1，解得－1≤a ≤1，所以－1≤a <0.当x >0时，－x <0，f (－x )＝－x ＋a 2－x －2，则f (x )＝－f (－x )＝x ＋a 2x ＋2.由对数函数的图象可知，当x ＝a 2＝|a |＝－a 时，有f (x )min ＝－2a ＋2， 所以－2a ＋2≥a 2－1，即a 2＋2a －3≤0，解得－3≤a ≤1.又a <0， 所以－3≤a <0. 综上所述，－1≤a <0.17．解：(1)令t ＝x －2，则x ＝t ＋2，t ∈R ，由已知有f (t )＝3(t ＋2)－5＝3t ＋1，故f (x )＝3x ＋1.(2)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，f (f (x ))＝a 2x ＋ab ＋b ， f (f (f (x )))＝a (a 2x ＋ab ＋b )＋b ＝a 3x ＋a 2b ＋ab ＋b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝27，a 2b ＋ab ＋b ＝26，解得a ＝3，b ＝2.则f (x )＝3x ＋2.18．(1)证明：设2≤x 1<x 2≤6，则f (x 1)－f (x 2)＝1x 1－1－1x 2－1＝x 2－x 1(x 1－1)(x 2－1)，因为x 1－1>0，x 2－1>0，x 2－x 1>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0， 即f (x 1)>f (x 2)．所以f (x )是定义域上的减函数．(2)由(1)的结论可得，f (x )min ＝f (6)＝15，f (x )max ＝f (2)＝1. 19．解：(1)当0≤x ≤400时，f (x )＝400x －12x 2－100x －20 000＝－12x 2＋300x －20 000. 当x >400时，f (x )＝80 000－100x －20 000＝60 000－100x ，所以f (x )＝⎩⎨⎧－12x 2＋300x －20 000，0≤x ≤400，60 000－100x ，x >400.(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12x 2＋300x －20 000＝－12(x －300)2＋25 000； 当x ＝300时，f (x )max ＝25 000； 当x >400时，f (x )＝60 000－100x <f (400)＝20 000<25 000； 所以当x ＝300时，f (x )max ＝25 000.故当月产量x 为300台时，公司获利润最大，最大利润为25 000元． 20．解：(1)当a ＝－1时，f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1. 又因为x ∈－5,5]．所以函数的最大值为37，最小值为1. (2)若y ＝f (x )在区间－5,5]上是单调函数， 则有－a ≤－5或－a ≥5解得a ≤－5或a ≥5.解题技巧：本题主要考查了二次函数在给定区间上的最值与单调性．解决本题的关键是确定对称轴和区间端点的关系．注意分类讨论．21．解：(1)由题意可得f (1)＝a ＋b ＝－1且－b2a ＝1， 解得a ＝1，b ＝－2. (2)f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1.因为k ≥1，所以f (x )在k ，k ＋1]上单调递增， 所以f (x )max ＝f (k ＋1)＝(k ＋1)2－2(k ＋1)＝8， 解得k ＝±3. 又k ≥1，所以k ＝3.22．解：(1)由题知二次函数图象的对称轴为x ＝32，又最小值是74，则可设f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋74(a ≠0)， 又图象过点(0,4)，则a ⎝ ⎛⎭⎪⎫0－322＋74＝4，解得a ＝1. ∴f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋74＝x 2－3x ＋4. (2)h (x )＝f (x )－(2t －3)x ＝x 2－2tx ＋4＝(x －t )2＋4－t 2，其对称轴x ＝t . ①t ≤0时，函数h (x )在0,1]上单调递增，最小值为h (0)＝4；②当0<t <1时，函数h (x )的最小值为h (t )＝4－t 2；③当t ≥1时，函数h (x )在0,1]上单调递减，最小值为h (1)＝5－2t ，所以h (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4，t ≤0，4－t 2，0<t <1，5－2t ，t ≥1.(3)由已知：f (x )>2x ＋m 对x ∈－1,3]恒成立，∴m <x 2－5x ＋4对x ∈－1,3]恒成立．∴m <(x 2－5x ＋4)min (x ∈－1,3])．∵g (x )＝x 2－5x ＋4在x ∈－1,3]上的最小值为－94， ∴m <－94.。

本章测试一、选择题1.如图1-1,U是全集,M、P、S是U的3个子集,则阴影部分所表示的集合是( )图1-1A.(M∩P)∩SB.(M∩N)∪SC.(M∩P)∩SD.(M∩N)∪S思路解析:符号语言、图形语言、文字语言三者的转译能力是高考命题的一个侧重点,应力求熟练准确.图中阴影部分的元素x的属性是:x∈M且x∈P,但x∉S.故选C.答案:C2.设f(x)、g(x)都是单调函数,有下列命题:①若f(x)是增函数,g(x)是增函数,则f(x)-g(x)是增函数;②若f(x)是增函数,g(x)是减函数,则f(x)-g(x)是增函数;③若f(x)是减函数,g(x)是增函数,则f(x)-g(x)是减函数;④若f(x)是减函数,g(x)是减函数,则f(x)-g(x)是减函数.其中正确的命题是( )A.①③B.①④C.②③D.②④思路解析:g(x)是单调函数,-g(x)也是单调函数,它与g(x)有相反的增减性.两个增函数的和仍是增函数,两个减函数的和仍是减函数,∴②③对.答案:C3.满足条件{1,2}⊆A{1,2,3,4}的集合A的个数是( )A.1B.2C.3D.4思路解析:∵{1,2}⊆A{1,2,3,4},∴A中至少有1、2两个元素,至多有1、2、3(4)三个元素.∴集合A可能有三种情况:{1,2},{1,2,3},{1,2,4}.∴集合A的个数是3.故选C.答案:C4.同时满足(1)M⊆{1,2,3,4,5},(2)若a∈M,则6-a∈M的非空集合M有( )A.32个B.15个C.7个D.6个思路解析:∵M⊆{1,2,3,4,5},a∈M,则6-a∈M,∴1、5应同属于M,2、4也应同属于M,3可单独出现.∴集合M的情况有七种:{3},{1,5},{2,4},{1,3,5},{2,3,4},{1,2,4,5},{1,2,3,4,5}.故选C.答案:C5.f(x)=x5+ax3+bx-8,f(-2)=10,则f(2)等于( )A.-26B.-18C.-10D.10思路解析:∵f(x)=x5+ax3+bx-8,f(-2)=(x5+ax3+bx)-8=10,则(x5+ax3+bx)=18,f(2)=-(x5+ax3+bx)-8=-26.答案:A6.在一定范围内,某种产品的购买量y 吨与单价x 元之间满足一次函数关系,如果购买1 000吨,每吨为800元;购买2 000吨,每吨为700元.一客户购买400吨单价应该是( )A.820元B.840元C.860元D.880元 思路解析:设y=kx+b,由⎩⎨⎧+=+=,7002000,8001000b k b k ∴⎩⎨⎧=-=.9000,10b k ∴y=-10x+9 000.∴x=109000y -. 当y=400时,x=860元.故选C.答案:C7.设数集M={x|m ≤x ≤m+43},N={x|n-31≤x ≤n},且M 、N 都是集合{x|0≤x ≤1}的子集,如果把b-a 叫做集合{x|a ≤x ≤b}的“长度”,那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是( ) A.31 B. 32 C.121 D.125 思路解析:根据定义,可知集合M 、N 的长度一定,分别为43、31,要使集合M ∩N 的“长度”最小,应取m=0,n=1,得M ∩N={x|32≤x ≤43},其区间长度为43-32=121.故选C. 答案:C8.若f(x)=122+x x ,则f(1)+f(2)+f(21)+f(3)+f(31)+f(4)+f(41)等于( ) A.3 B.27 C.4 D.29 思路解析:f(x)+f(x 1)=122+x x +112+x =1,∴f(2)+f(21)=f(3)+f(31)=f(4)+f(41)=1. 又f(1)= 21,∴原式=27. 答案:B9.设M 、P 是两个非空集合,定义M 与P 的差集为M-P={x|x ∈M 且x ∉P},则M-(M-P)等于( )A.PB.MC.M ∩PD.M ∪P思路解析:这是一道新定义的集合运算,关键是将M-P 用我们熟悉的交、并、补运算来表示.根据定义,“x ∈M 且x ∉P ”等价于“x ∈M ∩(P)”,为此,可设全集为U,则M-P=M ∩(P).于是有M-(M-P)=M-［M ∩(P)］=M ∩(M ∪P)=(M ∩M)∪(M ∩P)= ∅∪(M ∩P)=M ∩P. 答案:C10.定义在R 上的偶函数在［0,7］上是增函数,在［7,+∞］上是减函数,又f(7)=6,则f(x)( )A.在［-7,0］上是增函数,且最大值是6B.在［-7,0］上是减函数,且最大值是6C.在［-7,0］上是增函数,且最小值是6D.在［-7,0］上是减函数,且最小值是6思路解析:f(x)是偶函数,得f(x)关于y 轴对称,如图1-2-,则f(x)在［-7,0］上是减函数,且最大值为6.图1-2答案:B二、填空题11.已知集合A={x|x 2-2x-3=0},集合B={x|ax-1=0}.若B 是A 的真子集,则a 的值为_______. 思路解析:因集合A 是确定的,所以先求出集合A={-1,3}.B 是A 的真子集,需考虑两种情况:(1)B 是空集时,a=0;(2)B 不是空集时,a=-1或a=31. 答案:0或-1或31 12.已知集合A={x|x 2+(m+2)x+1=0},若A ∩R +=∅〔R +=(0,+∞)〕,则实数m 的取值范围为_______________.思路解析:本题综合考查方程的根与系数的关系以及集合的运算,同时此题还需特别注意空集的特殊性.A ∩R +=∅,且方程x 2+(m+2)x+1=0无零根,所以该方程只有两个负根或无实数根,即⎩⎨⎧<+-≥-+=∆0)2(,04)2(2m m 或Δ=(m+2)2-4<0.综上可得m>-4.答案:m>-413.f(x)的定义域为(0,1),则g(x)=f(x+31)+f(x-31)的定义域是__________. 思路解析:由已知得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤-<≤+<.1310,1310x x 解得31<x ≤32. 答案: 31<x ≤32 14.设函数f(x)=x 2+x+21,则在其定义域［n,n+1］,n ∈N 上,函数值域中共有个整数. 思路解析:不难判断函数f(x)=x 2+x+21在［n,n+1］,n ∈N 上是增函数, 即n 2+n+21≤y ≤(n+1)2+(n+1)+ 21=n 2+3n+25成立.又因为n 2+n+21和n 2+3n+25均非整数,而且［n 2+n+21,n 2+3n+25］上有(n 2+3n+25)-(n 2+n+21)=2n+2个整数,所以函数f(x)=x 2+x+21的值域中共有2n+2个整数. 答案:2n+2三、简答题15.设A={x|x 2+4x=0},B={x|x 2+2(a+1)x+a 2-1=0},其中a ∈R ,如果A ∩B=B,求实数a 的取值范围. 思路分析:由题意易知B 有四种情况,再对四种情况讨论转化为一元二次方程根的讨论. 解:化简A={0,-4},∵A ∩B=B,∴B ⊆A.(1)当B=∅时,Δ=4(a+1)2-4(a 2-1)<0,解得a<-1.(2)当B={0}或{4},即BA 时,Δ=4(a+1)2-4(a 2-1)=0,解得a=-1,此时B={0},满足B ⊆A.(3)当B={0,-4}时, ⎪⎩⎪⎨⎧=--=+->--+=∆,01,4)1(2,0)1(4)1(4222a a a a 解得a=1.综上所述,实数a 的取值范围是a=1或a ≤-1.评述:由A ∩B=B 得到B ⊆A,再进行运算时,容易疏漏B=∅的情况.若改为A ∪B=A 同样有B ⊆A.16.已知函数f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,且在［0,1)上是增函数,若f(a-2)-f(4-a 2)<0,求a 的取值范围.解:由函数的定义域知⎩⎨⎧<-<-<-<-,141,1212a a ∴3<a<5.又∵f(x)是定义在(-1,1)上的偶函数,∴f(4-a 2)=f(a 2-4).则f(a-2)-f(4-a 2)<0⇒f(a-2)<f(a 2-4). 结合3<a<5,可知(a-2)与(a 2-4)同号.又∵在［0,1］上f(x)是增函数,∴⎪⎩⎪⎨⎧-<-<<.|4||2|,532a a a 解得a ∈(3,2)∪(2, 5).17.上因特网的费用由两部分组成:电话费和上网费.以前,上海地区通过“上海热线”上因特网的费用为电话费0.12元/3分钟,上网费0.12元/分钟.根据信息产业部调整因特网资费的要求,自1999年3月1日起,上海地区上因特网的费用调整为电话费0.16元/3分钟,上网费每月不超过60小时,以4.00元/小时计算,超过60小时部分,以8.00元/小时计算.(1)根据调整后的规定,将每月上因特网的费用表示为上网时间(小时)的函数.(2)某网民在其家庭经济预算中一直有一笔每月上网60小时的费用支出,因特网费调整后,若要不超过其家庭经济预算中上网费的支出,该网民现在每月可上网约多少小时?(精确到0.01小时)(3)从涨价和降价的角度分析该地区调整前、后上因特网的费用情况.思路分析:理解题意,把实际问题转化为数学问题去处理.解:(1)由题意知,y=.60,600,2402.11,2.7>≤≤⎩⎨⎧-x x x x (2)调整前上网的费用与上网时间的函数关系为y 1=0.12×20x+0.12×60x=9.6x,当x=60时,y 1=576(元).由7.2×60=432<576,∴调整后该用户上网时间超过60小时.由11.2x-240=576,∴x ≈72.86(小时).答:该用户可上网约72.86小时.(3)调整前每小时平均费用9.6元.调整后,若x ∈［0,60］时每小时平均费用为7.2元;若x>60时,每小时平均费用为(11.2-x 240)元.由11.2-x240≥9.6,则x ≥150.所以当用户上网时间小于150小时时上网费用是降低了, 而当上网时间大于150小时,上网费用是涨价了,但不会高于每小时11.2元. 18.设集合A={x|2x 2+3px+2=0},B={x|2x 2+x+q=0},其中p 、q 、x ∈R ,当A ∩B={21}时,求p 的值和A ∪B.思路分析:∵A ∩B={21},∴21∈A,且21∈B. ∴21既是方程2x 2+3px+2=0的根,又是方程2x 2+x+q=0的根. 代入易求得p 、q 的值,从而得集合A 、B,求得A ∪B.解:∵A ∩B={21},∴21∈A.∴2(21)2+3p(21)+2=0.∴p=-35.∴A={21,2}. 又∵A ∩B={21},∴21∈B.∴2(21)2+21+q=0.∴q=-1. ∴B={21,-1}.∴A ∪B={-1, 21,2}. 评述:本题考查了元素与集合的关系,应让学生深刻理解.会进行交集和并集的运算.19.设S 为满足下列两个条件的实数所构成的集合,①S 内不含1;②若a ∈S,则a-11∈S. 解答下列问题:(1)若2∈S,则S 中必有其他两个数,求出这两个数;(2)求证:若a ∈S,则1-a1∈S; (3)在集合S 中元素的个数能否只有一个？请说明理由.思路分析:理解集合中元素的属性是解决问题的突破口,由(1)、(2)知S 中不能只有一个元素,对问题(3),若从正面考虑有困难,可逆向思考,即正难则反.(1)解:∵2∈S,∴211-∈S,即-1∈S ∴)1(11--∈S,即21∈S.(2)证明:∵a ∈S,∴a -11∈S.∴a --1111=1-a1∈S. (3)解:(用反证法)假设S 中只有一个元素,则有a=1-a1,即a 2-a+1=0,方程无实数解, ∴集合S 中不能只有一个元素.评述:元素是否属于某个集合,关键是看它是否适合集合的公共属性.反证法是证明问题的一种重要方法,应让学生逐步掌握.20.已知函数f(x)对任意x 、y ∈R 都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0时,f(x)<0,f(1)=-2.(1)判断函数f(x)的奇偶性.(2)当x ∈［-3,3］时,函数f(x)是否有最值？如果有,求出最值;如果没有,请说明理由. 解:(1)∵f(x+y)=f(x)+f(y),∴f(0)=f(0)+f(0) ⇒f(0)=0.而0=x-x,因此0=f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(x)+f(-x)=0⇒f(-x)=-f(x).∴函数f(x)为奇函数.(2)设x 1<x 2,由f(x+y)=f(x)+f(y)知f(x 2-x 1)=f(x 2)+f(-x 1)=f(x 2)-f(x 1)〔f(x)为奇函数〕,∵(x 2-x 1)>0,且x>0时f(x)<0,∴f(x 2-x 1)=f(x 2)-f(x 1)<0,即f(x 2)<f(x 1).函数f(x)是定义域上的减函数,当x ∈［-3,3］时,函数f(x)有最值.当x=-3时,函数有最大值f(-3);当x=3时,函数有最小值f(3).f(3)=f(1+2)=f(1)+f(2)=f(1)+f(1+1)=f(1)+f(1)+f(1)=3f(1)=-6,f(-3)=-f(3)=6.∴当x=-3时,函数有最大值6;当x=3时,函数有最小值-6.。

单元测评 （90分钟，100分）一、选择题（每小题4分，共40分）1.设A={x|x=15+k ,k ∈N},B={x|x ≤6,x ∈Q},则A ∩B 等于（ ）A.{1,4}B.{1,6}C.{4,6}D.{1,4,6}解析：A={1，11，16，21，26，31，36，…，15+k ，…}， B={x|x ≤6,x ∈Q},∴A ∩B={1,4,6}.答案：D2.设集合A={3的倍数}，B={2的倍数}，则A ∪B 等于（ ）A.{偶数}B.{被2或3整除的数}C.{6的倍数}D.{2和3的公倍数}解析：由并集的定义易知选B.答案：B3.(经典回放)设A 、B 、I 均为非空集合，且满足A ⊆B ⊆I,则下列各式中错误的是（ ）A.（A ）∪B=IB.(A)∪(B)=IC.A ∩(B)=∅D.(A)∩(B)= B解析：由韦恩图可知应选B.答案：B4.下列函数中，在(-∞,0)上是减函数的是（ ） A.y=11-x B.y=1-x 2 C.y=x 2+x D.y=11+x 解析：可以用特值验证法，易知选A.答案：A5.下列函数中，为偶函数的是（ ）A.f(x)=x 2+21x B.f(x)=|x+1| C.f(x)=x 2+x -2 D.f(x)=x 2+|x|,-2≤x<2 解析：A 、D 中定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，B 中f(-x)≠f(x),故应选C. 答案：C6.已知函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图，则y=f(x)·g(x)的大致图象为( )解析：由y=f(x)和y=g(x)图象可知y=f(x)为偶函数，y=g(x)为奇函数，∴y=f(x)·g(x)为奇函数，于是可排除A 、C ，又当x 取小于1的正值x 0,f(x 0)>0,g(x 0)<0，故f(x 0)·g(x 0)<0,故应排除D ，∴应选B.答案：B7.定义两种运算：a ⊕b=ab,a ⊗b=a 2+b 2，则函数f(x)=)2(2⊗⊕x x 为（ ） A.奇函数 B.偶函数C.奇函数且为偶函数D.非奇函数且非偶函数解析：由题意得f(x)=2422-+x x =222+x x ,f(x)的定义域为R ，且f(-x)=2)(22+--x x =222+x x =-f(x),故f(x)为奇函数，选A.答案：A8.已知函数f(x)=2mx+4,若在［-2，1］上存在x 0,使f(x 0)=0,则实数m 的取值范围是（ ）A.［-25，4］ B.（-∞,-2）∪［1,+∞］ C.［-1,2］ D.［-2,1］ 解析：∵f(x)=2mx+4 在［-2，1］上存在x 0，使得f(x 0)=0,即f(-2)·f(1)≤0，即(-4m+4)(2m+4)≤0,解得：m ≤-2或m ≥1，故选B.答案：B9.函数f(x)=2x 2-mx+3,当x ∈［-2,+∞)时为增函数，当x ∈(-∞,-2］时是减函数，则f(1)等于（ ）A.1B.9C.-3D.13 解析：∵4m =-2,∴m=-8, ∴f(1)=2×12+8×1+3=13,故选D.答案：D10.若函数y=x 2-3x-4的定义域为［0,m ］，值域为［-425,-4］，则m 的取值范围是（ ） A.(0,4) B.［23,4］ C.［23,3］ D.［23,+∞］ 解析：∵y=x 2-3x-4在［0,m ］上的值域为［-425，-4］，说明函数对称轴x=23∈［0,m ］，即m ≥23且y max =f(0)=-4,说明m ≤3,故选C.答案：C二、填空题（每小题4分，共16分）11.函数y=1+x +x-21的定义域为___________________. 答案：{x|x ≥-1且x ≠2}12.若f(2x-1)=4x 2+4x+2,则f(x)=____________________.解析：令2x-1=t,则x=21+t ,则f(t)=t 2+4t+5,∴f(x)=x 2+4x+5,(x ∈R). 答案：x 2+4x+5 13.若f(x)=⎩⎨⎧>-≤+.0,2,0,12x x x x 如果f(x)=10,则x=________________. 解析：若x 2+1=10,则x=±3(舍去“+3”)若-2x=10,则x=-5(舍去),故x=-3.答案：-314.如果函数y=⎩⎨⎧<>-0),(,0,32x x f x x 是奇函数，则f(x)=________________.解析：设x<0,则-x>0,f(-x)=2(-x)-3，∵f(-x)=-f(x),∴-f(x)=-(2x+3),∴f(x)=2x+3.答案：2x+3三、解答题（共44分）15.（10分）已知集合A={x|(x+1)(2-x)<0},B={x|px+4<0},若B ⊆A ，求实数p 的值. 解析：A={x|x>2,或x<-1}，当P>0时B={x|x<-4p },∵B ⊆A ， ∴-p4≤-1，即P ≤4. 当p<0时，B={x|x>-p 4},∵B ⊆A ， ∴-p4≥2，即p ≥-2. 答案：-2≤p ≤4 16.(10分)已知函数f(x)=112+-x x ,x ∈［3,5］. (1)判断f(x)在区间［3,5］上的单调性并证明；(2)求f(x)的最大值和最小值.解析：(1)f(x)在(3,5)上单调递增.证明如下：设任意的x 1,x 2∈［3,5］,且x 1<x 2,则f(x 1)-f(x 2)=(2-131+x )-(2-132+x )=132+x -131+x =3·)1)(1(2121++-x x x x , ∵x ∈［3,5］,∴x 1+1>0,x 2+1>0,即(x 1+1)(x 2+1)>0.∵x 1-x 2<0,∴f(x 1)<f(x 2).∴y=112++x x 在［3,5］上单调递增. （2）y min =f(3)=13132+-⨯=45; f(x)max =f(5)=15152+-⨯=23. 17.(12分)小王买了一部手机想入网，中国联通130网的收费标准是：月租费30元，每月来电显示费6元，本地电话每分钟0.4元；中国移动储值卡收费标准是：本地电话每分钟0.6元，月租费、来电显示费全免了.小王的亲戚朋友都在本地，他想拥有来电显示服务，请问小王选择哪家更为节省？解析：设入130网需的费用为y 1元，入中国移动网的费用为y 2元，通话时间为x 分钟. 则y 1=30+6+0.4,y 2=0.6x.若y 1<y 2,即36+0.4x<0.6x,x>180(分钟)，即当通话时间大于180分钟应选择联通130网. 若y 1=y 2,即36+0.4x=0.6x,x=180(分钟)，即当通话时间等于180分钟选择哪一家都可以. 若y 1>y 2,即36+0.4x>0.6x,x<180分钟，即当通话时间不到180分钟，应选择中国移动网.18.(12分)已知函数f(x)为定义在R 上的偶函数，且在(-∞,0］上为减函数，(1)证明函数f(x)在［0,+∞)上为增函数;(2)若f(a-1)>f(1),试求实数a 的取值范围.（1）证明：设任意x 1、x 2∈［0,+∞)且x 1<x 2,则0>-x 1>-x 2,∵f(x)在［-∞,0］上为减函数，∴f(-x 1)<f(-x 2),∵f(x)为偶函数，∴f(x 1)<f(x 2),∴f(x)在［0,+∞］上为增函数.(2)解析：当a>1时,⎩⎨⎧>->-11,01a a ∴a>2.当a-1<0,即a<1时，⎩⎨⎧-<-<-.11,01a a 解得a<0. 综上所述：a<2或a<0.。

高中同步创优单元测评卷数学班级：姓名：得分：第一章集合与函数概念(一)(集合)名师原创·基础卷](时间：分钟满分：分)第Ⅰ卷(选择题共分)一、选择题(本大题共个小题，每小题分，共分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．如果＝{>－}，那么( )．⊆．{}∈．∅∈．{}⊆．满足条件{}∪＝{}的所有集合的个数是( )．．．．．设＝{<<}，＝{<}，若⊆，则实数的取值范围是( )．{≥} ．{≤}．{≥} ．{≤}．已知集合＝{，，－＋}，且∈，则实数的值为( )．．．或．或或．已知＝{∈＝}，＝{∈＝}，则下列关系中正确的是( )．．＝．≠．．如图所示，是全集，，是的子集，则阴影部分所表示的集合是()．∩．∪．∩∁．∩∁．设集合＝{}，＝{}，＝{}，则∩(∁)等于( )．{} ．{} ．{} ．{}．集合＝{，}，＝{，}．若∪＝{}，则的值为( )．．．．．设集合＝{>或<－}，＝{<<＋}，∪＝，则的取值范围是( )．－<<－．－≤≤－．≤－或≥－．<－或>－．定义集合运算：*＝{＝，∈，∈}．设＝{}，＝{}，则集合*的所有元素之和为( )．．．．．已知集合＝，＝，∈，则与的关系是( )．∈．∉．∈或∉．不能确定．已知集合＝{－≤≤＋}，＝{＜＜}，则能使⊇成立的实数的取值范围是( )．{＜≤} ．{≤≤}．{＜＜} ．∅第Ⅱ卷(非选择题共分)二、填空题(本大题共个小题，每小题分，共分，请把正确答案填在题中横线上)。