2009年上海市春季高考数学试卷及答案

2009年上海市普通高等学校春季招生考试综合能力测试试卷本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

全卷共12页。

满分为150分。

考试时间为120分钟。

第Ⅰ卷(共72分)考生注意：1．答第Ⅰ卷前，考生务必在试卷和答题卡上用钢笔或圆珠笔清楚填写姓名、准考证号、校验码，并用铅笔在答题卡上正确涂写准考证号和校验码。

2．第Ⅰ卷(1—24题)为单选题，由机器阅卷，答案必须全部涂写在答题卡上。

考生应将代表正确答案的小方格用铅笔涂黑。

注意试题题号和答题卡编号一一对应，不能错位。

答案需要更改时，必须将原选项用橡皮擦去，重新选择。

答案涂写在试卷上一律不给分。

9．河流径流量的季节变化与流域的气候特征关系密切。

以下河流中，径流量季节变化较小的是( )。

A．黄河B．辽河C．塔里木河D．珠江10．近年来，上海市郊鲜花种植业的规模和品种有了长足的发展，一些外省市甚至国外的花卉也进入了上海。

导致这种局面的主导因素是( )。

A．劳动力素质的提高B．水热条件的改变C．市场需求的增加D．土地价格的上涨12．2008年12月1日，申城夜空金星和木星“亲密约会”，月牙弯弯“相视而笑”，呈现“金木合月”的天象，见右图1。

据右图l、2中的月相判断，该日的农历日期约是( )。

A．十一月初四B．十一月初十C．十一月二十D．十一月二十七13．在绕地球做匀速圆周运动的飞船上，宇航员可以自由“漂浮”。

其原因是宇航员( )。

A．不受地球重力的作用B．受到的地球重力提供向心力C．受到的地球重力和浮力相抵消D．受到的地球重力和月球引力相抵消考生注意：1．第Ⅱ卷从25题到56题。

2．考生应用钢笔或圆珠笔将第Ⅱ卷所有试题的答案直接写在试卷上，用铅笔答题或将答案涂写在答题卡上一律不给分(作图可用铅笔)。

3．第Ⅱ卷中的选择题均为单选题，请将答案直接填写在试题后的圆括号内。

三、(本大题13分)随着社会经济的发展，人们生活越来越好，外出旅游的人越来越多，行程越“游”越远，足迹遍及五大洲。

2009年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷一. 填空题（本大题满分60分）本大题共有11题， 1．函数)1(log 2-=x y 的定义域是 .解：01>-x 显现的知识与方法需求（对数函数的定义）1>x 准备知识需求（不等式性质）∴定义域),1(+∞ 显现的知识与方法需求（区间的表示） 2．计算：=-2)i 1( （i 为虚数单位）.解：2221)1(i i i +-=- 显现的知识与方法需求（复数的乘方） =121--i 显现的知识与方法需求（)12-=i =i 2- 显现的知识与方法需求（复数的加减） 3．函数2cosx y =的最小正周期=T .解：ππ4212==T 显现的知识与方法需求（余弦函数的最小正周期)112ωπ=T4．若集合{}1||>=x x A ，集合{}20<<=x x B ，则=B A .解：∵A=),1()1,(+∞--∞ 准备知识需求（求绝对值不等式的解集） B=（0，2）∴A ∩B=（1，2） 显现知识与方法需求（集合的交集） 5．抛物线x y =2的准线方程是 . 解：x px y ==222∴21=p 潜在的知识与方法需求（抛物线标准方程）∴抛物线准线方程412-=-=p x 显现的知识与方法需求（抛物线标准方程）6．已知2,3==b a. 若3-=⋅b a，则a 与b 夹角的大小为 .解：设α夹角为与b a21233c o s-=⨯-==α 显现的知识与方法需求（向量的夹角及向量夹角的范围）32πα=准备知识需求（特殊角的三角比）∴32π的夹角为与b a7．过点)1,4(-A 和双曲线116922=-yx右焦点的直线方程为 .解：双曲线116922=-yx4,3==b a∴5,25222==+=c b a c 得 潜在的知识与方法需求（双曲线中)222b a c+=∴双曲线的右焦点为)0,5(1F A （4，-1）1540)1(1=---=AF K显现的知识与方法需求（直线的斜率）∴)5(1:-⋅=x y AF 显现的知识与方法需求（直线的点斜式方程） ∴05=--y x 8．在△ABC 中，若60,75,3=∠=∠=ACB ABC AB ，则BC 等于 .解：3△ABC 中∠A=180°-75°-60°=45° 准备知识需求（三角形内角和为180°）CAB ABC sin sin =显现的知识与方法需求（正弦定理）∴︒=︒60sin 345sin BC∴BC=6 能力需求（计算能力）9．已知对于任意实数x ，函数)(x f 满足)()(x f x f =-. 若方程0)(=x f 有2009个实数解， 则这2009个实数解之和为 . 解：设方程0)(=x f 的实数解为200921,,x x x不妨设200921x x x <<< 又)()(x f x f =- ∴如存在0)(00=x f x 使则0)(0=-x f 潜在的知识与方法需求（偶函数定义） ∴020091=+x x 020082=+x x010061004=+x x01005=x 能力需求（观察能力） ∴0200921=+++x x x 准备知识需求（等式的性质）10．一只猴子随机敲击只有26个小写英文字母的练习键盘. 若每敲1次在屏幕上出现一个 字母，它连续敲击10次，屏幕上的10个字母依次排成一行，则出现单词“monkey ”4的概率为 （结果用数值表示）. 解：61510415262626C C P =⨯=6265= 潜在的知识与方法需求（等可能事件的概率）11．以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数 轴上截取与闭区间]1,0[对应的线段，对折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作 （例如在第一次操作完成后，原来的坐标4341、变成21，原来的坐标21变成1，等等）. 那么原闭区间]1,0[上（除两个端点外）的点，在第二次操作完成后，恰好被拉到与 1重合的点所对应的坐标是 ；原闭区间]1,0[上（除两个端点外）的点， 在第n 次操作完成后（1≥n ），恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为 . 解：结论：nnnj 2,,23,21 ，j 为]2,1[n 的所有奇数。

2009年普通高等学校招生全国统一考试上海文 科 数 学（必修+选修Ⅰ）考生注意：答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码。

本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．函数f(x)=x3+1的反函数f-1(x)=_____________. 2．已知集体A={x|x ≤1},B={x|≥a},且A ∪B=R ， 则实数a 的取值范围是__________________.3. 若行列式417 5 x x 38 9中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是__________________.4.某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是________________.5.如图，若正四棱柱ABCD —A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD 所成角的大小是___________________ (结果用反三角函数值表示).6.若球O1、O2表示面积之比421=S S ，则它们的半径之比21R R =_____________.7.已知实数x 、y 满足223y x y x x ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩ 则目标函数z=x-2y 的最小值是___________.8.若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是9．过点A （1，0）作倾斜角为4π的直线，与抛物线22y x =交于M N 、两点，则M N= 。

10.函数2()2cos sin 2f x x x=+的最小值是 。

11.若某学校要从5名男生和2名女生中选出3人作为上海世博会的志愿者，则选出的志愿者中男女生均不少于1名的概率是 （结果用最简分数表示）。

12.已知12F 、F 是椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的两个焦点，p为椭圆C 上的一点，且12PF PF ⊥。

1．【答案】i【解析】设z ＝a ＋bi ，则（a ＋bi ）(1+i) =1-i ，即a －b ＋（a＋b ）i ＝1－i ，由⎩⎨⎧-=+=-11b a b a ，解得a ＝0，b ＝－1，所以z ＝－i ，z ＝i2．【答案】a ≤1【解析】因为A ∪B=R ，画数轴可知，实数a 必须在点1上或在1的左边，所以，有a ≤1。

3．【答案】83x >【解析】依题意，得： (-1)2×(9x-24)＞0，解得：83x >4．【答案】2,12,1x x y x x ⎧<=⎨->⎩【解析】当x ＞1时，有y ＝x －2，当x ＜1时有y ＝x 2，所以，有分段函数。

5．【答案】【解析】因为AD ∥A 1D 1，异面直线BD 1与AD 所成角就是BD 1与A 1D 1所在角，即∠A 1D 1B ，由勾股定理，得A 1B ＝25，tan ∠A 1D 1B ＝5，所以，∠A 1D 1B＝6．【答案】1【解析】()cos 2sin 21)14f x x x x π=++=++，所以最小值为：17．【答案】47【解析】ξ可取0，1，2，因此P （ξ＝0）＝21102725=C C ， P （ξ＝1）＝2110271215=C CC ， P （ξ＝2）＝2112722=CC ，E ξ＝0×2112211012110⨯+⨯+＝478、= 【解析】2114R S π=，112R S π=，同理：222R S π=332R S π=，即R 1＝π21S ，R 2＝π22S ，R 3＝π23S ，由32132R R R =+=9．【答案】3【解析】依题意，有⎪⎩⎪⎨⎧=+=∙=+2222121214||||18||||2||||cPF PF PF PF aPF PF ，可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，故有b ＝3。

10、【答案】34【解析】化为普通方程，分别为：y ＝0，y ＝3x ，x ＋y ＝1，画出三条直线的图象如右图，可求得A （213-，233-），B （1,0），三角形AOB 的面积为：233121-⨯⨯11、【答案】k ≤1 【解析】作出2sin 1xy π=与kx y =2的图象，要使不等式kx x≥2sinπ成立，由图可知须k ≤1。

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学理（上海卷，含答案）考生注意：1． 答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码 .2． 本试卷共有23道试题，满分150分 .考试时间20分钟 .一．真空题 （本大题满分56分）本大题有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分 .1． 若复数 z 满足z (1+i) =1-i (I 是虚数单位)，则其共轭复数z =__________________ .2． 已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R ⋃=，则实数a 的取值范围是______________________ .3． 若行列式417 5 xx 3 8 9中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是________________________ . 4．某算法的程序框如右图所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是____________________________ .5．如图，若正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面连长为2，高 为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________（结果用反三角函数表示）.6．函数22cos sin 2y x x =+的最小值是_____________________ .7．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望E ξ____________（结果用最简分数表示）. 8.已知三个球的半径1R ，2R ，3R 满足32132R R R =+，则它们的表面积1S ，2S ，3S ，满足的等量关系是___________9.已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF PF ⊥.若21F PF∆的面积为9，则b =____________. 10.在极坐标系中，由三条直线0=θ，3πθ=，1sin cos =+θρθρ围成图形的面积是________.11.当时10≤≤x ，不等式kx x≥2sin π成立，则实数k 的取值范围是_______________.12．已知函数x x x f tan sin )(+=.项数为27的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫⎝⎛-∈22ππ，n a ，且公差0≠d .若0)()()(2721=+⋯++a f a f a f ，则当k =____________是，0)(=k a f .13.某地街道呈现东—西、南—北向的网格状，相邻街距都为1.两街道相交的点称为格点。

幕墙工程铝塑复合板：剥离强度。

寒冷地区用石材：耐冻融性。

石材：弯曲强度。

室内用花岗岩：放射性。

（l）抹灰工程水泥：凝结时间、安全性。

（2）门窗工程人造木板及其制品：甲醛含量。

金属窗、塑料窗：抗风压性能、空气渗透性能和雨水渗透性能。

（3）轻质隔墙人造木板：甲醛含量。

（4）饰面板（砖）工程粘贴用水泥：凝结时间、安全性和抗压强度。

室内用花岗岩：放射性。

外墙用陶瓷面砖：吸水率。

寒冷地区用陶瓷面砖：抗冻性。

（5）幕墙工程铝塑复合板：剥离强度。

寒冷地区用石材：耐冻融性。

石材：弯曲强度。

室内用花岗岩：放射性。

玻璃幕墙专用结构胶：邵氏硬度以及标准条件下拉伸粘结强度、相容性。

石材幕墙用结构胶：粘结强度。

石材密封用结构胶：污染性。

（6）吊顶工程人造木板：甲醛含量。

（7）裱糊与软包工程人造木板：甲醛含量。

（8）细部工程人造木板：甲醛含量。

装饰材料有那些材料要复验？在项目上，施工单位经常与监理方有不同的意见。

在《建设工程施工质量验收统一标准》中规定：“凡涉及安全、功能的有关产品，应按各专业工程质量验收规范规定进行复验，并应经监理工程师（建设单位技术负责人）检查认可”。

了解各专业验收规范对材料复验的规定，承担施工方的责任和义务，对额外的要求据理力争，最大限度地控制工程成本。

复验时应注意选择有资质的检测机构。

装饰各专业验收规范对材料的复验要求汇总，如下。

新规范材料复验要求一、抹灰工程：水泥凝结时间和安定性二、门窗工程：1.人造板甲醛含量2.外墙金属墙、塑料窗a.抗风压b.空气渗透c.雨水渗透三、吊顶工程：人造板甲醛含量四、轻质隔墙工程：人造板甲醛含量五、饰面板（砖）：1.室内花岗岩放射性2.水泥：凝结时间、安定性、抗压强度3.外墙陶瓷面砖a.吸水率b.抗冻性（寒冷区）六、幕墙工程1.铝塑复合板幕墙：剥离强度2.石材幕墙a.石材弯曲度b.耐冻性c.放射性（室内幕墙）3.玻璃幕墙（略）七、细部工程：人造板甲醛含量八、其他分项工程无要求，但涉及人造板、水泥、花岗岩（参照以上执行）九、室内环境污染控制规范规定1.必须有检测报告a.砂、石、砖、水泥、陶瓷、石膏板：放射性限量b.人造板：甲醛含量和释放量c.水性涂料、防火涂料、胶：TVOC、甲醛释放量d.溶剂型涂料和胶：TVOC、苯2.应对不同产品分别进行复验a.天然花岗岩石材（室内）当面积大于200㎡（放射性）b.人造板（室内）当面积大于500㎡（游离甲醛或甲醛释放量）十、电气工程：1.开关、插座、接线盒及面板等塑料绝缘材料阻燃性能：有异议时，按批外委检测。

[原创]2009年上海市春考数学压轴题（第20题）赏析2009年上海市春考数学压轴题（第20题）赏析撰文/大罕2009年上海市春考第20题如下：20.设函数f n(θ)=sinθ+(-1)n cosθ, 0≤θ≤π/4，其中n为正整数.⑴判断函数f1(θ)、f3(θ)的单调性，并就f1(θ)的情形证明你的结论；⑵证明：2f6(θ)-f4(θ)＝(cos4θ-sin4θ)(cos2θ-sin2θ)；⑶对于任意给定的正整数n，求函数f n(θ)的最大值和最小值.讲评：作为春考的压轴题，第20题设置了三个小题，难度逐渐加大，到了第⑶小题，其难度是够大的。

关于第⑴小题.仅就判断单调性而言，只需计算得f1(0)<f1(π/4) 和f3(0)<f3(π/4)，便知f1(θ)、f3(θ)在[0,π/4]上均为单调递增的函数.就f1(θ)的情形证明它的单调递增，可用两种方法:方法一:f1(θ)=sinθ-cosθ=√2sin(θ-π/4)，由图像可知, f1(θ)在[0,π/4]上单调递增.方法二:任取0≤θ1<θ2≤π/4,注意到sinθ和cosθ在[0,π/4]上分别是增函数和减函数,即sinθ1<sinθ2和cosθ2<cosθ1，∴f1(θ1)-f1(θ2)=(sinθ1-sinθ2)+(cosθ2-cosθ1)<0,于是f1(θ)在[0,π/4]上单调递增.关于第⑵小题.本题即证明如下三角等式：2(sin6θ+cos6θ)-( sin4θ+cos4θ)=(cos4θ-sin4θ)(cos2θ-sin2θ).多次运用公式sin2θ+cos2θ＝1,等式左边＝2(sin2θ+cos2θ) (sin4θ- sin2θcos2θ+cos4θ) -( sin4θ+cos4θ)=1-sin22θ=cos22θ，而等式右边＝(cos2θ- sin2θ)2= cos22θ,∴ 2f6(θ)-f4(θ)＝(cos4θ-sin4θ)(cos2θ-sin2θ).关于第⑶小题.单独看第⑴⑵小题，感觉无甚新意，甚至有点失望，难道这就是压轴题么？其实，这两道小题除了本身具有考查功能以外，同时也是为第⑶小题的急剧爬坡作出铺垫.（注意：这是出题人的“惯用伎俩”,也是善意提醒.）对于任意给定的正整数n，如何求函数f n(θ)的最大值和最小值呢？第⑴小题暗示，解题思路上可以从函数的单调性加以考虑.这是思想方法的提醒.第⑵小题暗示，解题途径上可以仿照这里的模式加以变形.这是解题技巧的提醒.。

2009年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题4分，满分56分）1．（4分）（2009•上海）若复数z满足z（1+i）=1﹣i（I是虚数单位），则其共轭复数=i．【考点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题．【分析】本题考查的知识点是共轭复数的定义，由复数z满足z（1+i）=1﹣i，我们可能使用待定系数法，设出z，构造方程，求出z值后，再根据共轭复数的定义，计算【解答】解：设z=a+bi，则∵（a+bi）（1+i）=1﹣i，即a﹣b+（a+b）i=1﹣i，由，解得a=0，b=﹣1，所以z=﹣i，=i，故答案为i．【点评】求复数的共轭复数一般步骤是：先利用待定系数法设出未知的向量，根据已知条件构造复数方程，根据复数相等的充要条件，转化为一个实数方程组，进而求出求知的复数，再根据共轭复数的定义，求出其共轭复数．2．（4分）（2009•上海）已知集合A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，则实数a的取值范围是a≤1．【考点】集合关系中的参数取值问题．【专题】集合．【分析】利用数轴，在数轴上画出集合，数形结合求得两集合的并集．【解答】解：∵A={x|x≤1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，如图，故当a≤1时，命题成立．故答案为：a≤1．【点评】本题属于以数轴为工具，求集合的并集的基础题，也是高考常会考的题型．3．（4分）（2009•上海）若行列式中，元素4的代数余子式大于0，则x满足的条件是x＞且x≠4．【考点】三阶矩阵．【专题】计算题．【分析】根据3阶行列式D的元素a ij的余子式M ij附以符号（﹣1）i+j后，叫做元素a ij的代数余子式，所以4的余子式加上（﹣1）1+1即为元素4的代数余子式，让其大于0列出关于x的不等式，求出不等式的解集即可得到x的范围．【解答】解：依题意得，（﹣1）2＞0，即9x﹣24＞0，解得x＞，且x≠4，故答案为：x＞且x≠4【点评】此题考查学生掌握三阶矩阵的代数余子式的定义，是一道基础题．4．（4分）（2009•上海）某算法的程序框如下图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是．【考点】程序框图．【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是根据输入x值的不同，根据不同的式子计算函数值．即求分段函数的函数值．【解答】解：根据流程图所示的顺序，程序的作用是分段函数的函数值．其中输出量y与输入量x满足的关系式是故答案为：【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中既要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．5．（4分）（2009•上海）如图，若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，高为4，则异面直线BD1与AD所成角的大小是arctan（结果用反三角函数值表示）．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题．【分析】先通过平移将两条异面直线平移到同一个起点，得到的锐角或直角就是异面直线所成的角，在直角三角形中求出正切值，再用反三角函数值表示出这个角即可．【解答】解：先画出图形将AD平移到BC，则∠D1BC为异面直线BD1与AD所成角，BC=2，D1C=，tan∠D1BC=，∴∠D1BC=arctan，故答案为arctan．【点评】本题主要考查了异面直线及其所成的角，以及解三角形的应用，属于基础题．6．（4分）（2009•上海）函数y=2cos2x+sin2x的最小值是．【考点】三角函数的最值．【专题】计算题．【分析】先利用三角函数的二倍角公式化简函数，再利用公式化简三角函数，利用三角函数的有界性求出最小值．【解答】解：y=2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=1+=1+当=2k，有最小值1﹣故答案为1﹣【点评】本题考查三角函数的二倍角余弦公式将三角函数降幂、利用公式化简三角函数．7．（4分）（2009•上海）某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望Eξ（结果用最简分数表示）．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【专题】计算题．【分析】用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，ξ可取0，1，2，结合变量对应的事件写出分布列当ξ=0时，表示没有选到女生；当ξ=1时，表示选到一个女生；当ξ=2时，表示选到2个女生，求出期望．【解答】解：用随机变量ξ表示选出的志愿者中女生的人数，ξ可取0，1，2，当ξ=0时，表示没有选到女生；当ξ=1时，表示选到一个女生；当ξ=2时，表示选到2个女生，∴P（ξ=0）==，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，∴Eξ=0×=．故答案为：【点评】本题考查离散型随机变量的分布列和期望，这是近几年经常出现的一个问题，可以作为解答题出现，考查的内容通常是以分布列和期望为载体，有时要考查其他的知识点．8．（4分）（2009•上海）已知三个球的半径R1，R2，R3满足R1+2R2=3R3，则它们的表面积S1，S2，S3，满足的等量关系是．【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题．【分析】表示出三个球的表面积，求出三个半径，利用R1+2R2=3R3，推出结果．【解答】解：因为S1=4πR12，所以，同理：，即R1=，R2=，R3=，由R1+2R2=3R3，得故答案为：【点评】本题考查球的表面积，考查计算能力，是基础题．9．（4分）（2009•上海）已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b=3．【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知得|PF1|+|PF2|=2a，=4c2，，由此能得到b的值．【解答】解：∵F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．∴|PF1|+|PF2|=2a，=4c2，，∴（|PF1|+|PF2|）2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2，∴36=4（a2﹣c2）=4b2，∴b=3．故答案为3．【点评】主要考查椭圆的定义、基本性质和平面向量的知识．10．（4分）（2009•上海）在极坐标系中，由三条直线θ=0，，ρcosθ+ρsinθ=1围成图形的面积等于．【考点】简单曲线的极坐标方程；定积分．【专题】计算题．【分析】三条直线化为直角坐标方程，求出三角形的边长，然后求出图形的面积．【解答】解：三条直线θ=0，，ρcosθ+ρsinθ=1的直角坐标方程分别为：y=0，y=x，x+y=1，所以它们的交点坐标分别为O（0，0），A（1，0），B（，），OB==，由三条直线θ=0，，ρcosθ+ρsinθ=1围成图形的面积S==．故答案为：．【点评】本题考查极坐标与直角坐标的互化，三角形的面积的求法，考查计算能力．11．（4分）（2009•上海）当时，不等式sinπx≥kx恒成立．则实数k的取值范围是k≤2．【考点】函数恒成立问题．【专题】数形结合．【分析】要使不等式sinπx≥kx恒成立，设m=sinπx，n=kx，利用图象得到k的范围即可．【解答】解：设m=sinπx，n=kx，x∈[0，]．根据题意画图得：m≥n恒成立即要m的图象要在n图象的上面，当x=时即πx=时相等，所以此时k==2，所以k≤2故答案为k≤2【点评】考查学生利用数形结合的数学思想解决问题的能力，理解函数恒成立时取条件的能力．12．（4分）（2009•上海）已知函数f（x）=sinx+tanx，项数为27的等差数列{a n}满足a n∈（﹣），且公差d≠0，若f（a1）+f（a2）+…f（a27）=0，则当k=14时，f（a k）=0．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】本题考查的知识点是函数的奇偶性及对称性，由函数f（x）=sin x+tan x，项数为27的等差数列{a n}满足a n∈（﹣），且公差d≠0，若f（a1）+f（a2）+…f（a27）=0，我们易得a1，a2，…，a27前后相应项关于原点对称，则f（a14）=0，易得k值．【解答】解：因为函数f（x）=sinx+tanx是奇函数，所以图象关于原点对称，图象过原点．而等差数列{a n}有27项，a n∈（）．若f（a1）+f（a2）+f（a3）+…+f（a27）=0，则必有f（a14）=0，所以k=14．故答案为：14【点评】代数的核心内容是函数，函数的定义域、值域、性质均为高考热点，所有要求同学们熟练掌握函数特别是基本函数的图象和性质，并能结合平移、对称、伸缩、对折变换的性质，推出基本函数变换得到的函数的性质．13．（4分）（2009•上海）某地街道呈现东﹣西、南﹣北向的网格状，相邻街距都为1．两街道相交的点称为格点．若以互相垂直的两条街道为轴建立直角坐标系，现有下述格点（﹣2，2），（3，1），（3，4），（﹣2，3），（4，5），（6，6）为报刊零售点．请确定一个格点（除零售点外）（3，3）为发行站，使6个零售点沿街道到发行站之间路程的和最短．【考点】两点间距离公式的应用．【专题】直线与圆．【分析】设发行站的位置为（x，y），则可利用两点间的距离公式表示出零售点到发行站的距离，进而求得在（3，3）处z取得最小值．【解答】解：设发行站的位置为（x，y），6个零售点到发行站的距离为Z，则z=|x+2|+|y﹣2|+|x﹣3|+|y﹣1|+|x﹣3|+|y﹣4|+|x+1|+|y﹣3|+|x﹣4|+|y﹣5|+|x﹣6|+|y﹣6|=|x+2|+|x﹣3|+|x﹣3|+|x+1|+|x﹣4|+|x﹣6|+|y﹣2|+|y﹣1|+|y﹣4|+|y﹣3|+|y﹣5|+|y﹣6|x=3，3≤y＜4时，取最小值，∴在（3，3）处z取得最小值．故答案为（3，3）．【点评】本题主要考查了两点间的距离公式的应用．考查了学生创造性思维能力和逻辑思维能力．14．（4分）（2009•上海）将函数（x∈[0，6]）的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ（0≤θ≤α），得到曲线C．若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，则α的最大值为arctan．【考点】旋转变换．【专题】计算题；压轴题．【分析】先画出函数（x∈[0，6]）的图象，然后根据由图可知当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于∠MAB时，曲线C都不是一个函数的图象，求出此角即可．【解答】解：先画出函数（x∈[0，6]）的图象这是一个圆弧，圆心为M（3，﹣2）由图可知当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于∠MAB时，曲线C都不是一个函数的图象∴∠MAB=arctan故答案为：arctan【点评】本题主要考查了旋转变换，同时考查了数形结合的思想和分析问题解决问题的能力，属于基础题．二、选择题（共4小题，每小题4分，满分16分）15．（4分）（2009•上海）“﹣2≤a≤2”是“实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根⇒△=a2﹣4＜0⇒﹣2＜a＜2，由此入手能够作出正确选择．【解答】解：∵实系数一元二次方程x2+ax+1=0有虚根，∴△=a2﹣4＜0，解得﹣2＜a＜2，∴“﹣2≤a≤2”是“﹣2＜a＜2”的必要不充分条件，故选A．【点评】本题考查必要条件、充分条件和充要条件的应用，解题时要认真审题，仔细解答．16．（4分）（2009•上海）若事件E与F相互独立，且P（E）=P（F）=，则P（E∩F）的值等于（）A．0 B．C．D．【考点】相互独立事件的概率乘法公式．【分析】本题考查的知识点是相互独立事件的概率乘法公式，由相互独立事件的概率计算公式，我们易得P（E∩F）=P（E）•P（F），将P（E）=P（F）=代入即可得到答案．【解答】解：P（E∩F）=P（E）•P（F）=×=．故选B．【点评】相互独立事件的概率计算公式：P（E∩F）=P（E）•P（F），P（E∪F）=P（E）+P（F）．17．（4分）（2009•上海）有专业机构认为甲型N1H1流感在一段时间没有发生大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过15人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是（）A．甲地：总体均值为3，中位数为4B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C．丙地：中位数为2，众数为3D．丁地：总体均值为2，总体方差为3【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．【专题】压轴题．【分析】平均数和方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简单的描述，平均数描述集中趋势，方差描述波动大小．【解答】解：假设连续10天，每天新增疑似病例的人数分别为x1，x2，x3，…x10．并设有一天超过15人，不妨设第一天为16人，根据计算方差公式有s2=[（16﹣5）2+（x2﹣5）2+（x3﹣5）2+…+（x10﹣5）2]＞12，说明乙地连续10天，每天新增疑似病例的人数都不超过15人．故选：B．【点评】根据题意可知本题主要考查用数字特征估计总体，属于基础题．18．（4分）（2009•上海）过圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=1的圆心，作直线分别交x、y正半轴于点A、B，△AOB被圆分成四部分（如图），若这四部分图形面积满足S|+S IV=S||+S|||则直线AB有（）A．0条B．1条C．2条D．3条【考点】直线与圆的位置关系．【专题】综合题；压轴题；数形结合．【分析】由圆的方程得到圆心坐标和半径，根据四部分图形面积满足S|+S IV=S||+S|||，得到S IV﹣S II=SⅢ﹣S I，第II，IV部分的面积是定值，所以三角形FCB减去三角形ACE的面积为定值即SⅢ﹣S I为定值，所以得到满足此条件的直线有且仅有一条，得到正确答案．【解答】解：由已知，得：S IV﹣S II=SⅢ﹣S I，由图形可知第II，IV部分的面积分别为S正方形OECF﹣S扇形ECF=1﹣和S扇形ECF=，所以，S IV﹣S II为定值，即SⅢ﹣S I为定值，当直线AB绕着圆心C移动时，只可能有一个位置符合题意，即直线AB只有一条．故选B．【点评】此题考查学生掌握直线与圆的位置关系，会求三角形、正方形及扇形的面积，是一道综合题．三、解答题（共5小题，满分78分）19．（14分）（2009•上海）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=BC=AB=2，AB⊥BC，求二面角B1﹣A1C﹣C1的大小．【考点】向量在几何中的应用；与二面角有关的立体几何综合题．【专题】计算题；向量法．【分析】建立空间直角坐标系，求出2个平面的法向量的坐标，设二面角的大小为θ，显然θ为锐角，设2个法向量的夹角φ，利用2个向量的数量积可求cosφ，则由cosθ=|cosφ|求出二面角的大小θ．【解答】解：如图，建立空间直角坐标系．则A（2，0，0），C（0，2，0），A1（2，0，2），B1（0，0，2），C1（0，2，2），设AC的中点为M，∵BM⊥AC，BM⊥CC1．∴BM⊥平面A1C1C，即=（1，1，0）是平面A1C1C的一个法向量．设平面A1B1C的一个法向量是n=（x，y，z）．=（﹣2，2，﹣2），=（﹣2，0，0），∴令z=1，解得x=0，y=1．∴n=（0，1，1），设法向量n与的夹角为φ，二面角B1﹣A1C﹣C1的大小为θ，显然θ为锐角．∵cosθ=|cosφ|==，解得：θ=．∴二面角B1﹣A1C﹣C1的大小为．【点评】本题考查利用向量求二面角的大小的方法，设二面角的大小为θ，2个平面法向量的夹角φ，则θ和φ相等或互补，这两个角的余弦值相等或相反．20．（16分）（2009•上海）有时可用函数f（x）=，描述学习某学科知识的掌握程度．其中x表示某学科知识的学习次数（x∈N*），f（x）表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．（1）证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f（x+1）﹣f（x）总是下降；（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121]，（121，127]，（127，133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．【考点】分段函数的应用．【专题】应用题；探究型；数学模型法．【分析】（1）x≥7时，作差求出增长量f（x+1）﹣f（x），研究其单调性知，差是一个减函数，故掌握程度的增长量总是下降、（2）学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，故得方程由此方程解出a的值即可确定相应的学科．【解答】证明：（1）当x≥7时，而当x≥7时，函数y=（x﹣3）（x﹣4）单调递增，且（x﹣3）（x﹣4）＞0故函数f（x+1）﹣f（x）单调递减当x≥7时，掌握程度的增长量f（x+1）﹣f（x）总是下降（2）由题意可知整理得解得（13分）由此可知，该学科是乙学科..（14分）【点评】本题是分段函数在实际问题中的应用，在实际问题中，分段函数是一个很重要的函数模型．21．（16分）（2009•上海）已知双曲线，设直线l过点，（1）当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；（2）证明：当k＞时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）先求出双曲线的渐近线方程，进而可得到直线l的斜率，然后根据直线l过点求出直线l的方程，再由平行线间的距离公式可求直线l的方程及l与m 的距离．（2）设过原点且平行于l的直线方程利用直线与直线的距离求得l与b的距离，当k＞时，可推断出，利用双曲线的渐近线方程可知双曲线C的右支在直线b的右下方，进而推断出双曲线C的右支上的任意点到直线l的距离大于，进而可知故在双曲线C的右支上不存在点Q（x0，y0）到到直线l的距离为．【解答】解：（1）双曲线C的渐近线，即∴直线l的方程∴直线l与m的距离．（2）设过原点且平行于l的直线b：kx﹣y=0，则直线l与b的距离d=，当时，．又双曲线C的渐近线为，∴双曲线C的右支在直线b的右下方，∴双曲线C的右支上的任意点到直线l的距离大于．故在双曲线C的右支上不存在点Q（x0，y0）到到直线l的距离为．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．22．（16分）（2009•上海）已知函数y=f（x）的反函数．定义：若对给定的实数a（a≠0），函数y=f（x+a）与y=f﹣1（x+a）互为反函数，则称y=f（x）满足“a和性质”；若函数y=f（ax）与y=f﹣1（ax）互为反函数，则称y=f（x）满足“a积性质”．（1）判断函数g（x）=x2+1（x＞0）是否满足“1和性质”，并说明理由；（2）求所有满足“2和性质”的一次函数；（3）设函数y=f（x）（x＞0）对任何a＞0，满足“a积性质”．求y=f（x）的表达式．【考点】反函数；函数解析式的求解及常用方法．【专题】压轴题；新定义．【分析】（1）先求出g﹣1（x）的解析式，换元可得g﹣1（x+1）的解析式，将此解析式与g （x+1）的作对比，看是否满足互为反函数．（2）先求出f﹣1（x）的解析式，再求出f﹣1（x+2）的解析式，再由f（x+2）的解析式，求出f﹣1（x+2）的解析式，用两种方法得到的f﹣1（x+2）的解析式应该相同，解方程求得满足条件的一次函数f（x）的解析式．（3）设点（x0，y0）在y=f（ax）图象上，则（y0，x0）在函数y=f﹣1（ax）图象上，可得ay0=f （x0）=af（ax0），，即，即满足条件．【解答】解（1）函数g（x）=x2+1（x＞0）的反函数是，∴，而g（x+1）=（x+1）2+1（x＞﹣1），其反函数为，故函数g（x）=x2+1（x＞0）不满足“1和性质”．（2）设函数f（x）=kx+b（x∈R）满足“2和性质”，k≠0．∴，∴，而f（x+2）=k（x+2）+b（x∈R），得反函数，由“2和性质”定义可知，对（x∈R）恒成立．∴k=﹣1，b∈R，即所求一次函数f（x）=﹣x+b（b∈R）．（3）设a＞0，x0＞0，且点（x0，y0）在y=f（ax）图象上，则（y0，x0）在函数y=f﹣1（ax）图象上，故，可得ay0=f（x0）=af（ax0），令ax0=x，则，∴，即．综上所述，，此时，其反函数是，而，故y=f（ax）与y=f﹣1（ax）互为反函数．【点评】本题考查反函数的求法，函数与反函数的图象间的关系，体现了换元的思想，属于中档题．23．（16分）（2009•上海）已知{a n}是公差为d的等差数列，{b n}是公比为q的等比数列．（1）若a n=3n+1，是否存在m、k∈N*，有a m+a m+1=a k？说明理由；（2）找出所有数列{a n}和{b n}，使对一切n∈N*，，并说明理由；（3）若a1=5，d=4，b1=q=3，试确定所有的p，使数列{a n}中存在某个连续p项的和是数列{b n}中的一项，请证明．【考点】等差数列与等比数列的综合；等差数列的性质；数列递推式．【专题】综合题；压轴题；分类讨论；转化思想．【分析】（1）由a m+a m+1=a k，得6m+5=3k+1，，由m、k∈N*，知k﹣2m为整数，所以不存在m、k∈N*，使等式成立．（2）设a n=nd+c，若，对n∈N×都成立，且{b n}为等比数列，则，对n∈N×都成立，由此入手能够导出有a n=c≠0，b n=1，使对一切n∈N×，．（3）a n=4n+1，b n=3n，n∈N*，设a m+1+a m+2++a m+p=b k=3k，p、k∈N*，m∈N．4m+2p+3+，由p、k∈N*，知p=3s，s∈N．由此入手能导出当且仅当p=3s，s∈N，命题成立．【解答】解：（1）由a m+a m+1=a k，得6m+5=3k+1，整理后，可得，∵m、k∈N*，∴k﹣2m为整数，∴不存在m、k∈N*，使等式成立．（2）设a n=nd+c，若，对n∈N×都成立，且{b n}为等比数列，则，对n∈N×都成立，即a n a n+2=qa n+12，∴（dn+c）（dn+2d+c）=q（dn+d+c）2，对n∈N×都成立，∴d2=qd2（i）若d=0，则a n=c≠0，∴b n=1，n∈N*．（ii）若d≠0，则q=1，∴b n=m（常数），即=m，则d=0，矛盾．综上所述，有a n=c≠0，b n=1，使对一切n∈N×，．（3）a n=4n+1，b n=3n，n∈N*，设a m+1+a m+2++a m+p=b k=3k，p、k∈N*，m∈N．，∴，∵p、k∈N*，∴p=3s，s∈N取k=3s+2，4m=32s+2﹣2×3s﹣3=（4﹣1）2s+2﹣2×（4﹣1）s﹣3≥0，由二项展开式可得整数M1、M2，使得（4﹣1）2s+2=4M1+1，2×（4﹣1）s=8M2+（﹣1）S2∴4m=4（M1﹣2M2）﹣（（﹣1）S+1）2，∴存在整数m满足要求．故当且仅当p=3s，s∈N，命题成立．【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．。

2009年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷考生注意：1.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、高考准考证号填写清楚，并在规定的区域内贴上条形码.2.本试卷共有20道试题，满分150分.考试时间120分钟.一. 填空题（本大题满分60分）本大题共有11题，只要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得5分，否则一律得零分.1．函数)1(log 2-=x y 的定义域是 .2．计算：=-2)i 1( （i 为虚数单位）.3．函数2cos x y =的最小正周期=T .4．若集合{}1||>=x x A ，集合{}20<<=x x B ，则=B A .5．抛物线x y =2的准线方程是 .6．已知2,3==b a . 若3-=⋅b a ，则a 与b 夹角的大小为 . 7．过点)1,4(-A 和双曲线116922=-y x 右焦点的直线方程为 . 8．在△ABC 中，若 60,75,3=∠=∠=ACB ABC AB ，则BC 等于 .9．已知对于任意实数x ，函数)(x f 满足)()(x f x f =-. 若方程0)(=x f 有2009个实数解，则这2009个实数解之和为 .10．一只猴子随机敲击只有26个小写英文字母的练习键盘. 若每敲1次在屏幕上出现一个 字母，它连续敲击10次，屏幕上的10个字母依次排成一行，则出现单词“monkey ”的概率为 （结果用数值表示）.11．以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数 轴上截取与闭区间]1,0[对应的线段，对折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作 （例如在第一次操作完成后，原来的坐标4341、变成21，原来的坐标21变成1，等等）. 那么原闭区间]1,0[上（除两个端点外）的点，在第二次操作完成后，恰好被拉到与 1重合的点所对应的坐标是 ；原闭区间]1,0[上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后（1≥n ），恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为.二．选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得 4分，否则一律得零分.∙ ∙ ∙ 21 0 112．在空间中，“两条直线没有公共点”是“这两条直线平行”的 [答] ( )（A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.（C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.13．过点)1,0(P 与圆03222=--+x y x 相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线 方程是 [答] ( )（A ）0=x . （B ）1=y . （C ）01=-+y x . （D ）01=+-y x .14．已知函数⎩⎨⎧>≤=+.0,log ,0,3)(21x x x x f x 若()30>x f ，则0x 的取值范围是 [答] ( )（A ）80>x . （B ）00<x 或80>x . （C ）800<<x . （D ）00<x 或800<<x .15．函数)01(112≤≤--+=x x y 的反函数图像是 [答] ( )三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤.16. (本题满分12分)如图，在斜三棱柱111C B A ABC -中，=∠AC A 1 2π=∠ACB ，61π=∠C AA ，侧棱1BB 与底面所成的 角为3π，341=AA ，4=BC . 求斜三棱柱-ABC 111C B A C1A 1B 1C的体积V .17. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且3231=++n n S a （n 为正整数）.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记 ++++=n a a a S 21.若对任意正整数n ，n S kS ≤恒成立，求实数k 的最大值.18. (本题满分14分)我国计划发射火星探测器，该探测器的运行轨道是以火星（其半径34=R 百公里）的中心F 为一个焦点的椭圆. 如图，已知探测器的近火星点（轨道上离火星表面最近的点）A 到火星表面的距离为8百公里，远火星点（轨道上离火星表面最远的点）B 到火星表面的距离为800百公里. 假定探测器由近火星点A 第一次逆时针运行到与轨道中心O 的距离为ab 百公里时进行变轨，其中a 、b 分别为椭圆的长半轴、短半轴的长，求此时探测器与火星表面的距离（精确到1百公里）.19. (本题满分16分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分.如图，在直角坐标系xOy 中，有一组对角线长为n a 的正方形n n n n D C B A ),2,1( =n ， 其对角线n n D B 依次放置在x 轴上（相邻顶点重合）. 设{}n a 是首项为a ，公差为)0(>d d 的等差数列，点1B 的坐标为)0,(d .（1）当4,8==d a 时，证明：顶点321A A A 、、不在同一条直线上；（2）在（1）的条件下，证明：所有顶点n A 均落在抛物线x y 22=上；（3）为使所有顶点n A 均落在抛物线)0(22>=p pxy 上，求a 与d 之间所应满足的关系式.20. (本题满分18分)本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分.设函数40,cos )1(sin )(πθθθθ≤≤-+=n n n n f ，其中n 为正整数.（1）判断函数)()(31θθf f 、的单调性，并就)(1θf 的情形证明你的结论；（2）证明：()()θθθθθθ224446sin cos sin cos )()(2--=-f f ； （3）对于任意给定的正整数n ，求函数)(θn f 的最大值和最小值.2009年上海市普通高等学校春季招生考试数 学 试 卷参考答案及评分标准说明1. 本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同,可参照解答中评分标准的精神进行评分.2. 评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅. 当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分.3. 第16题至第20题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题累加分数.4. 给分或扣分均以1分为单位.答案及评分标准一．（第1至11题）每一个空格正确的给5分，否则一律得零分.1.),1(∞+.2. i 2-.3. π4. 4. {}21<<x x .5. 41-=x . 6. π32. 7. -=x y 5. 8. 6. 9. 0. 10. 6265. 11. 43,41；j j n ,2为[]n 2,1中的所有奇数.二．（第12至15题）每一题正确的给4分，否则一律得零分.三．（第16至20题）16. [解] 在Rt △C AA 1中，C AA AA AC 11tan ∠⋅= 43334=⨯=. …… 3分 作⊥H B 1平面ABC ，垂足为H ，则31π=∠BH B ， …… 6分在Rt △BH B 1中，BH B BB H B 111sin ∠⋅= 623343sin 1=⨯=⋅=πAA . …… 9分 48644211=⨯⨯⨯=⋅=∴∆H B S V ABC . …… 12分 17. [解] （1） 3231=++n n S a ， ①∴ 当2≥n 时，3231=+-n n S a . ②由 ① - ②，得02331=+-+n n n a a a .311=∴+n n a a )2(≥n . …… 3分又 11=a ，32312=+a a ，解得 312=a . …… 4分 ∴ 数列{}n a 是首项为1，公比为31=q 的等比数列. 11131--⎪⎭⎫ ⎝⎛==∴n n n q a a （n 为正整数）. …… 6分 （2）由（1）知，23311111=-=-=q a S ， …… 8分 ()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--=n n n n q q a S 31123311311111. …… 10分 由题意可知，对于任意的正整数n ，恒有⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤n k 3112323，解得 n k ⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤311. 数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 311单调递增，∴ 当1=n 时，数列中的最小项为32， A∴ 必有32≤k ，即实数k 的最大值为32. …… 14分 18. [解] 设所求轨道方程为)0(12222>>=+b a by a x ，22b a c -=. 348,34800+=-+=+c a c a ，396,438==∴c a . …… 4分 于是 35028222=-=c a b .∴ 所求轨道方程为 13502819184422=+y x . …… 6分 设变轨时，探测器位于),(00y x P ，则1.819752020==+ab y x ，1350281918442020=+y x ， 解得 7.2390=x ，7.1560=y （由题意）. …… 10分∴ 探测器在变轨时与火星表面的距离为3.187)(2020≈-+-R y c x . …… 13分 答：探测器在变轨时与火星表面的距离约为187百公里. …… 14分19. [证明]（1）由题意可知，()()()8,32,6,18,4,8321A A A ， 71183268,51818463221=--==--=∴A A A A k k . …… 3分 3221A A A A k k ≠ ， ∴ 顶点321,,A A A 不在同一条直线上. …… 4分（2）由题意可知，顶点n A 的横坐标n n n a a a a d x 21121+++++=- 2)1(2+=n ， 顶点n A 的纵坐标)1(221+==n a y n n . …… 7分 对任意正整数n ，点n A ()n n y x ,的坐标满足方程x y 22=，∴ 所有顶点n A 均落在抛物线x y 22=上. …… 9分（3）[解法一] 由题意可知，顶点n A 的横、纵坐标分别是[]d n a y d n a n a d x n n )1(21,)1(21)1(212-+=-+-++= 消去1-n ，可得 da d a d y d x n n 2)(22-++=. …… 12分 为使得所有顶点n A 均落在抛物线)0(22>=p px y 上，则有⎪⎩⎪⎨⎧=-+=.02)(,22d a d a d p d 解之，得 p a p d 8,4==. …… 14分 ∴ d a 、所应满足的关系式是：d a 2=. …… 16分[解法二] 点()111,y x A 的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧=+=.21,2111a y a d x 点()111,y x A 在抛物线px y 22=上，∴ )2(422121a d a x y p +==. …… 11分 又点()222,y x A 的坐标为⎪⎩⎪⎨⎧+=+=).(21,232322d a y d a x 且点()222,y x A 也在抛物线上， 0,0>>d a ，把点()222,y x A 代入抛物线方程，解得 d a 2=. …… 13分因此，4d p =，∴ 抛物线方程为x d y 22=. 又 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-+=+=-+-++=.21])1([21,2)1()1(21)1(2122d n d n a y d n d n a n a d x n n ∴ 所有顶点()n n n y x A ,落在抛物线x d y 22=上. …… 15分 ∴ d a 、所应满足的关系式是：d a 2=. …… 16分20. [解] （1）)()(31θθf f 、在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上均为单调递增的函数. …… 2分 对于函数θθθcos sin )(1-=f ，设 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈<4,0,2121πθθθθ、，则 )()(2111θθf f -()()1221c o s c o s s i n s i nθθθθ-+-=，1221c o s c o s ,s i n s i n θθθθ<<， ()()∴<∴,2111θθf f 函数)(1θf 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上单调递增. …… 4分 （2） 原式左边()()θθθθ4466c o s s i n c o s s i n2+-+= ()()()θθθθθθθθ44422422c o s s i n c o s c o s s i n s i n c o s s i n 2+-+⋅-+= θθ2c o s 2s i n122=-=. …… 6分 又 原式右边()θθθ2cos sin cos 2222=-=.∴ ()()θθθθθθ224446sin cos sin cos )()(2--=-f f . …… 8分（3）当1=n 时，函数)(1θf 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上单调递增， ∴ )(1θf 的最大值为041=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，最小值为()101-=f . 当2=n 时，()12=θf ，∴ 函数)(2θf 的最大、最小值均为1.当3=n 时，函数)(3θf 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上为单调递增. ∴ )(3θf 的最大值为043=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，最小值为()103-=f . 当4=n 时，函数θθ2sin 211)(24-=f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上单调递减， ∴ )(4θf 的最大值为()104=f ，最小值为2144=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf . …… 11分 下面讨论正整数5≥n 的情形：当n 为奇数时，对任意⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈4,021πθθ、且,21θθ<()()122121cos cos sin sin )()(θθθθθθn n n n n n f f -+-=-，以及 1cos cos 0,1sin sin 01221≤<<<<≤θθθθ，∴ 1221cos cos ,sin sin θθθθn n n n <<，从而 )()(21θθn n f f <. ∴ )(θn f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡4,0π上为单调递增，则 )(θn f 的最大值为04=⎪⎭⎫ ⎝⎛πn f ，最小值为()104-=f . …… 14分 当n 为偶数时，一方面有 )0(1cos sin cos sin )(22n n n n f f ==+≤+=θθθθθ.另一方面，由于对任意正整数2≥l ，有()()0s i n c o s s i n c o s )()(2222222222≥--=----θθθθθθl l l l f f ， ⎪⎭⎫ ⎝⎛==≥≥≥∴---421)(21)(21)(122122πθθθn n n n n f f f f . ∴ 函数)(θn f 的最大值为1)0(=n f ，最小值为n n f ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛2124π. 综上所述，当n 为奇数时，函数)(θn f 的最大值为0，最小值为1-.当n 为偶数时，函数)(θn f 的最大值为1，最小值为n⎪⎭⎫ ⎝⎛212. …… 18分卖炭翁白居易(唐) 字乐天号香山居士卖炭翁，伐薪烧炭南山中。