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人教版高中数学精品资料§1．3．1二项式定理教学目标：知识与技能：进一步掌握二项式定理和二项展开式的通项公式 过程与方法：能解决二项展开式有关的简单问题情感、态度与价值观：教学过程中，要让学生充分体验到归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。
教学重点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 教学难点：二项式定理及通项公式的掌握及运用 授课类型：新授课 课时安排：3课时 内容分析：二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．中学教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．通过二项式定理的学习应该让学生掌握有关知识，同时在求展开式、其通项、证恒等式、近似计算等方面形成技能或技巧；进一步体会过程分析与特殊化方法等等的运用；重视学生正确情感、态度和世界观的培养和形成．二项式定理本身是教学重点，因为它是后面一切结果的基础．通项公式，杨辉三角，特殊化方法等意义重大而深远，所以也应该是重点．二项式定理的证明是一个教学难点．这是因为，证明中符号比较抽象、需要恰当地运用组合数的性质2、需要用到不太熟悉的数学归纳法．在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．教学过程：一、复习引入：⑴22202122222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++；⑵33223031222333333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++⑶4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式， 即展开式应有下面形式的各项：4a ，3a b ，22a b ，3ab ，4b ，展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b 的情况有1种，即04C 种，4a 的系数是04C ；恰有1个取b 的情况有14C 种，3a b 的系数是14C ，恰有2个取b 的情况有24C 种，22a b 的系数是24C ，恰有3个取b 的情况有34C 种，3ab 的系数是34C ，有4都取b 的情况有44C 种，4b 的系数是44C ， ∴4413222334444444()a b C a C a b C a b C a b C b +=++++．二、讲解新课：二项式定理：01()()n n nr n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈⑴()na b +的展开式的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项：n a ，n a b ，…，n r r a b -，…，n b ，⑵展开式各项的系数：每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，n a 的系数是0n C ； 恰有1个取b 的情况有1n C 种，n a b 的系数是1n C ，……， 恰有r 个取b 的情况有r n C 种，n rr ab -的系数是r n C ，……，有n 都取b 的情况有n n C 种，nb 的系数是nn C ，∴01()()n n nr n r r n nn n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()na b +的二项展开式，⑶它有1n +项，各项的系数(0,1,)rn C r n =叫二项式系数，⑷r n rr n C ab -叫二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项1r n r rr nT C a b -+=． ⑸二项式定理中，设1,a b x ==，则1(1)1n r rn n n x C x C x x +=+++++三、讲解范例：例1．展开41(1)x+．解一： 411233444411111(1)1()()()()C C C x x x x x+=++++23446411x x x x =++++．解二：4444413123444111(1)()(1)()1x x C x C x C x x x x⎡⎤+=+=++++⎣⎦ 23446411x x x x=++++．例2．展开6．解：6631(21)x x =-61524332216666631[(2)(2)(2)(2)(2)(2)1]x C x C x C x C x C x x=-+-+-+32236012164192240160x x x x x x =-+-+-+． 例3．求12()x a +的展开式中的倒数第4项解：12()x a +的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，9129933939911212220T C x a C x a x a -+===．例4．求（1）6(23)a b +，（2）6(32)b a +的展开式中的第3项．解：（1）24242216(2)(3)2160T C a b a b +==， （2）24242216(3)(2)4860T C b a b a +==．点评：6(23)a b +，6(32)b a +的展开后结果相同，但展开式中的第r 项不相同例5．（1）求9(3x+的展开式常数项； （2）求9(3x +的展开式的中间两项 解：∵399292199()33r r r r r r r x T C C x ---+==⋅， ∴（1）当390,62r r -==时展开式是常数项，即常数项为637932268T C =⋅=； （2）9(3x +的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，489912593423T C xx--=⋅=，15951092693T C x --=⋅=例6．（1）求7(12)x +的展开式的第4项的系数；（2）求91()x x-的展开式中3x 的系数及二项式系数解：7(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==，∴7(12)x +的展开式的第四项的系数是280． （2）∵91()x x-的展开式的通项是9921991()(1)r rr r r r r T C xC x x--+=-=-，∴923r -=，3r =，∴3x 的系数339(1)84C -=-，3x 的二项式系数3984C =．例7．求42)43(-+x x 的展开式中x 的系数分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开解：（法一）42)43(-+x x 42]4)3[(-+=x x02412344(3)(3)4C x x C x x =+-+⋅22224(3)4C x x ++⋅3234444(3)44C x x C -+⋅+⋅，显然，上式中只有第四项中含x 的项，∴展开式中含x 的项的系数是76843334-=⋅⋅-C（法二）：42)43(-+x x 4)]4)(1[(+-=x x 44)4()1(+-=x x)(4434224314404C x C x C x C x C +-+-=0413222334444444(4444)C x C x C x C x C +⋅+⋅+⋅+⋅∴展开式中含x 的项的系数是34C -334444C +768-=．例8．已知()()nm x x x f 4121)(+++= *(,)m n N ∈的展开式中含x 项的系数为36，求展开式中含2x 项的系数最小值分析：展开式中含2x 项的系数是关于n m ,的关系式，由展开式中含x 项的系数为36，可得3642=+n m ，从而转化为关于m 或n 的二次函数求解解：()()1214m nx x +++展开式中含x 的项为1124m n C x C x ⋅+⋅=11(24)m n C C x + ∴11(24)36m n C C +=，即218m n +=，()()1214mnx x +++展开式中含2x 的项的系数为t =222224mn C C +222288m m n n =-+-， ∵218m n +=， ∴182m n =-，∴222(182)2(182)88t n n n n =---+-216148612n n =-+23715316()44n n =-+，∴当378n =时，t 取最小值，但*n N ∈， ∴ 5n =时，t 即2x 项的系数最小，最小值为272，此时5,8n m ==．例9．已知n 的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列，（1）证明展开式中没有常数项；（2）求展开式中所有的有理项 解：由题意：1221121()22n n C C ⋅=+⋅，即0892=+-n n ，∴8(1n n ==舍去）∴818(rrrr T C-+=⋅82481()2r r r r C x x --=-⋅⋅()1638412r rr r C x -=-⋅08r r Z ≤≤⎛⎫⎪∈⎝⎭①若1+r T 是常数项，则04316=-r，即0316=-r ， ∵r Z ∈，这不可能，∴展开式中没有常数项； ②若1+r T 是有理项，当且仅当4316r-为整数， ∴08,r r Z ≤≤∈，∴ 0,4,8r =，即 展开式中有三项有理项，分别是：41x T =，x T 8355=，292561-=x T例10．求60.998的近似值，使误差小于0.001．解：66011666660.998(10.002)(0.002)(0.002)C C C =-=+-++-，展开式中第三项为2260.0020.00006C =，小于0.001，以后各项的绝对值更小，可忽略不计， ∴66011660.998(10.002)(0.002)0.998C C =-≈+-=，一般地当a 较小时(1)1na na +≈+四、课堂练习：1.求()623a b +的展开式的第3项. 2.求()632b a +的展开式的第3项. 3.写出n 33)x21x (-的展开式的第r+1项.4.求()732x x+的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.5.用二项式定理展开：（1）5(a +；（2）5(2. 6.化简：（1）55)x 1()x 1(-++；（2）4212142121)x3x 2()x3x 2(----+7．()5lg xx x +展开式中的第3项为610，求x ．8．求nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项答案：1. 262242216(2)(3)2160T C a b a b -+== 2. 262224216(3)(2)4860T C b a a b -+==3.2311(2rn rr n r rr r n n T C C x --+⎛⎫==- ⎪⎝⎭4.展开式的第4项的二项式系数3735C =，第4项的系数3372280C =5. （1）552(510105a a a a a b =++； （2）52315(402328x x x x =+-. 6. （1）552(1(122010x x +=++；（2）1111442222432(23)(23)192x x x x x x--+--=+7. ()5lg xx x +展开式中的第3项为232lg 632lg 551010xx C xx ++=⇒=22lg 3lg 50x x ⇒+-=5lg 1,lg 2x x ⇒==-10,1000x x ⇒==8. nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项为2(1)n nn C -五、小结 ：二项式定理的探索思路:观察——归纳——猜想——证明；二项式定理及通项公式的特点 六、课后作业： P36 习题1.3A 组1. 2. 3.4 七、板书设计（略）八、教学反思：(a+b) ｎ=这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做 (a+b)ｎ的 ，其中rnC （r=0,1,2,……,n ）叫做 ， 叫做二项展开式的通项，它是展开式的第 项，展开式共有 个项.掌握二项式定理和二项展开式的通项公式，并能用它们解决与二项展开式有关的简单问题。
庖丁巧解牛知识·巧学一、二项式定理1.公式(a+b)n =n n n k k n k n n n n n b C b a C b a C a C ++++-- 1110(n ∈N *).对二项式公式，令a=1,b=x ，则得一个比较常用的公式：(1+x)n =1+r r n n n x C x C x C +++ 221+…+x n .（1）(a+b)n 的二项展开式共有ｎ＋1项，其中各项的系数k n C （ｋ∈｛0,1，2,…，ｎ｝）叫做二项式系数；（2）各项的次数都等于二项式的幂指数ｎ.方法归纳 （1）字母ａ的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由ｎ逐次减1直到零，字母ｂ的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到ｎ;（2）由于二项式定理表示的是一个恒等式，在二项展开式中，有关系数的或组合数中一些和的问题，可对照二项展开式，对ａ、ｂ赋以特殊值，是解决这类问题的基本方法;(3)有关三项展开问题，可将三项中某两项看做一项，然后利用二项式定理处理.（4）二项式系数n nn n n C C C C 210,,只与第n 项有关，与a,b 的大小无关. 2.通项公式二项展开式中第ｋ＋1项k k n k n b a C -叫做二项展开式的通项，即T k+1=k nC a n-k b k . （1）通项公式表示的是二项展开式中的任意一项，只要ｎ与ｒ确定，该项也随之确定；对于一个具体的二项式，它的二项展开式中的项依赖于ｒ；（2）通项公式表示的是第ｋ＋1项，而非第ｋ项；（3）公式中的第一个量ａ与第二个量ｂ的位置不能颠倒.疑点突破 利用通项公式可以解决以下问题：（1）求指定项；（2）求特征项；（3）求指定项、特征项的系数.在应用通项公式时要注意以下几点：（1）要能准确地写出通项，特别注意符号问题；（2）要将通项中的系数和字母分离开来，以便解决有关问题；（3）通项公式中含有a,b,n,k,T k+1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求第五个元素，在有关二项式定理的问题中，常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程或方程组，这里必须注意ｎ是正整数，ｒ是非负整数，且ｒ≤ｎ.二、二项式系数及其性质二项展开式中，各项系数r n C (r=0,1,2,…，n)叫做展开式的二项式系数.它们是一组仅与二项式的幂指数ｎ有关的ｎ＋1个组合数，与a,b 无关.其性质如下：（1）对称性：在二项展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可以由m n n m n C C -=得到.（2）增减性与最大值：如果二项式的幂指数ｎ是偶数，那么其展开式中间一项，即12+n T 的二项式系数最大；如果ｎ是奇数，那么其展开式中间两项21+n T 与121++n T 的二项式系数相等且最大.（3）各二项式系数的和：n nn n n C C C C ++++ 210=2n ，且奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即531420nn n n n n C C C C C C ++=+++ +…=2n-1. 方法点拨 对形如(ax+b)n ,(a 2+bx+c)m 的式子求其展开式的各项系数之和，只需令ｘ=1即可，对形如(ax+by)n 的式子求其展开式各项系数之和，只需令ｘ=ｙ=1即可.辨析比较 二项式系数与项的系数是不同的概念.如(a-b)n 的二项展开式的通项公式只需把-ｂ看成ｂ代入原来的二项式定理可得：T r+1=(-1)r r n C a n-r b r ，则第ｒ＋1项的二项式系数为r nC ，而第ｒ＋1项的系数是(-1)r r n C . 知识拓展 如求（a+bx ）n 展开式中系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式中各项系数分别为A 1,A 2,…，A n+1，设第ｒ＋1项系数最大，应有⎩⎨⎧≥≥+++.,211r r r r A A A A 从而解出ｒ的值即可.问题·探究问题1什么叫做二项式系数？什么叫做二项式项的系数？它们本质相同吗？有什么区别？思路:(a+b)n 的二项展开式共有ｎ＋1项，其中各项的系数k n C (k ∈{0,1,2,…，n})叫做二项式系数.而二项式项的系数是在二项式系数的前面加相应符号.二者是有区别的，如(a+bx)n 的展开式中，第ｒ＋1项的二项式系数为r n C ，而第ｒ＋1项的系数为r n C a n-r b r探究:在有关二项展开式问题中，要注意二项式系数与总分项的系数的区别和联系，同时注意“取特殊值法”在求系数和中的作用.如在（1+2x ）7的展开式中，第四项是T 4=37C ·17-3·（2x ）3，其二项式系数是37C ，则第4项的系数是37C ·23=280，它们既有区别，又有联系.求二项式系数的和是2n ，求二项展开式各项的系数和一般用赋值法解决.问题2在数的整除问题中，我们经常会遇到这样的问题：今天是星期天，220天后是星期几？11827的末位数字是几？34n+2+5m+1能被14整除吗？等等.你能对此类问题提供一种较好的解决方法吗？试说明之. 并由此谈谈你对二项式定理的理解.思路:对类似的整除问题，可以借助于二项式定理来解决.把一个数的指数幂的底数分解为两个数的和或差，利用二项式定理展开，对展开项的数字特征进行分析.对二项式定理的理解应注意它是一个恒等式，左边是二项式幂的形式.表示简单，右边是二项式的展开式，表示虽然复杂，但很有规律，规律特点为：①它有ｎ＋1项，是和的形式；②各项的次数都等于二项式的幂的次数ｎ；③字母ａ按降幂排列，次数由ｎ减到0，字母ｂ按升幂排列，次数由0增到ｎ.④各项的二项式系数依次为：nn n n C C C ,,10 ，利用展开式解决问题时可以根据需要而选择.探究:上题中的“11827的末位数字是几”这一问题，可以利用二项式定理看做（10+1）827，由二项式展开，得82782682723282721827082711011011010∙∙+∙∙+∙∙+∙C C C C容易发现，其个位数字即为1.二项式定理中，ａ、ｂ是任意的，于是我们可以根据需要对其赋值，利用二项式定理来解决一些实际问题.如令ａ=1，ｂ=ｘ，则（1+x ）n =1+n n n r n n n xC xr C x C x C +++++ 2221这也为我们解决问题提供了“取特例”的思想方法.如上式中再令ｘ=-1，或令ａ、ｂ取一些特殊的值还可以得到许多有用的结果.典题·热题例1(2005全国高考)(2x-x 1)9的展开式中，常数项为______________.（用数字作答）.思路分析:二项展开式的通项为T r+1=r C 9(2x)9-r (-x 1)r =(-1)r 29-r r C 929rr x --. 令9-r-2r =0，得ｒ=6.故常数项为T 7=(-1)6×2369C =672. 答案:672方法归纳 凡涉及到展开式的项及其系数等问题时，常是先写出其通项公式T r+1=r n C a n-r b r ，然后再根据题意进行求解，往往是结合方程思想加以解决.拓展延伸 (2005山东高考)如果(3x 321x -)n 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中31x 的系数是（ ） A.7 B.-7 C.21 D.-21思路分析:分清某一项的系数与它的二项式系数是否相同，常规解法是利用通项公式T r+1=r n C a n-r b r ，先确定ｒ，再求其系数.令ｘ=1，即(3-1)n =128，得ｎ=7.由通项公式，得T r+1=rC 7(3x)7-r (321x -)r =(-1)r ·37-r ·r C 7·357r x -，由7-35r =-3.解得r=6.故31x的系数是(-1)6·3·67C =21. 答案:C深化升华 在求二项式中参数的值及特定项的系数等问题时，通常是利用展开式的通项与题目提供的信息及各量之间的制约关系，巧妙构造方程，利用方程的思想求解.例2（1+2x ）n 的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项.思路分析:根据已知条件可求出ｎ，再根据ｎ的奇偶性，确定出二项式系数最大的项.解:T 6=5n C (2x)5,T 7=6n C (2x)6，依题意有5n C ·25=6n C ·26，解得n=8.所以(1+2x)n 的展开式中，二项式系数最大的项为T 5=48C ·（2x ）4=1 120x 4.设第ｒ＋1项系数最大，则有⎪⎩⎪⎨⎧∙≥∙∙≥∙++--,22,2211881188r r r r r r r r C C C C .解得5≤r≤6. 由于r ∈{0，1，2，…，8}，所以ｒ=5或ｒ=6.则系数最大的项为T 6=1 792x 5,T 7=1 792x 6.方法归纳 二项式系数最大项的问题，可直接根据二项式系数的性质求解.ｎ为奇数时，中间两项的二项式系数最大;ｎ为偶数时，中间一项的二项式系数最大.误区警示 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，要根据各项系数的正、负变化情况，采用列不等式，解不等式的方法求.例3求(1+2x-3x 2)6展开式中含x 5的项.思路分析:幂函数6是个不大的数目，显然可以按多项式乘法法则把(1+2x-3x 2)6乘开为多项式，再从中取出含x 5的项，但是计算量较大.如果把1+2x-3x 2中的两项结合起来，则可看成二项式，从而可利用二项式定理，展开后，再把结合为一组的两项展开，就能得到含x 5的系数.解:原式=［1+(2x-3x 2)］6=1+16C (2x-3x 2)+26C (2x-3x 2)2+36C (2x-3x 2)3+…+66C (2x-3x 2)6.可以看出，继续将右端展开后，在36C (2x-3x 2)3,46C (x-3x 2)4,56C (2x-3x 2)5这三部分的展开式中都含有x 5的项，它们分别是：36C 23C ×2×(-3)2x 5,46C 14C ×23×(-3)x 5,56C 05C 25x 5.把这三项合并后，就得到(1+2x-3x 2)6展开式中含的项是-168x 5.方法归纳 用结合的方法，把三项式做为二项式处理，这是一种较为普遍的转化方法.通过转化.可以把较生疏的问题转化为较熟悉的问题，把较困难的问题转化为较容易的问题. 例4求0.9986的近似值，使误差小于0.001.思路分析:因为直接对0.9986进行求值难度较大，而0.9986=(1-0.002)6，故可用二项式定理展开计算.解:0.9986=(1-0.002)6=1+6×（-0.002）1+15×(-0.002)2+…+（-0.002）6.因为T 3=26C ·（-0.002）2=15×(-0.002)2=0.000 06<0.001，且第三项以后的绝对值都小于0.001，所以从第三项起，以后的项可以忽略不计.则0.9986=(1-0.002)6≈1+6×(-0.002)=1-0.012=0.988.深化升华 由(1+x)n =1+1n C x+2n C x 2+…+n n C x n ，当ｘ的绝对值与1相比很小且ｎ很大时，x 2,x 3,…，x n 等项的绝对值都很小，因此在精确度允许的范围内可以忽略不计，因此，可用近似计算公式：(1+x)n ≈1+nx.在使用这个公式时，要注意按问题对精确度的要求，来确定对展开式中各项的取舍.若精确度要求较高，则可使用较为精确的公式：(1+x)n ≈1+nx+2)1(-n n x 2. 例5求证：对任何非负整数ｎ，33n -26n-1可被676整除.思路分析:当ｎ=0或1时，所给式子为具体数，可以验证.当ｎ≥2时，由于注意到676等于262，而33n =27n =(26-1)n .可以用二项式展开，看各项中是否均能含有262.解:当ｎ=0时，原式等于0，可被676整除.当ｎ=1时，原式=0，也可被676整除.当ｎ≥2时，原式=27n -26n-1=(26+1)n -26n-1=(26n +1n C 26n-1+…+2-n n C 262+1-n n C 26+1)-26n-1=26n +1n C 26n-1+…+2-n n C 262.每一项都含有262这个因数，故可被262=676整除.综上所述，对一切非负整数ｎ，33n -26n-1可被676整除.方法归纳 此类问题可以用二项式定理证明，证明此类问题的关键在于将被除式进行恰当的变形.使其能写成二项式的形式，展开后的每一项中都含有除式这个因式，就可证得整除.。
