初中数学知识点精讲精析 圆的对称性

初三苏科版数学上册圆的对称性知识点
初三苏科版数学上册圆的对称性知识点
理解圆的对称性及相关性质，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法，是本课需要掌握的重点。

查字典数学网为大家编辑了
圆的对称性知识点，希望对大家有用。

知识点
在生成圆算法中计算考虑使用对称性计算开销可以减小到原来的1/8。

对称性质原理：
(1)圆是满足x轴对称的，这样只需要计算原来的1/2点的位置;
(2)圆是满足y轴对称的，这样只需要计算原来的1/2点的位置;
(3)圆是满足y = x or y = -x轴对称的，这样只需要计算原来的1/2点的位置;
通过上面三个性质分析得知，对于元的计算只需要分析其中1/8的点即可。

例如：分析出来目标点(x,y)必然存在
(x,-y),(-x,y),(-x,-y),(y,x),(y,-x),(-y,x),(-y,-x)的另外7个点。

课后练习
1. 下列说法中，不成立的是( )。

北师大版九年级下册数学第 13 讲《圆的对称性》知识点梳理【学习目标】1.理解圆的对称性；并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；2.通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系；3.掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用.【要点梳理】要点一、圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．圆是中心对称图形，对称中心为圆心．要点诠释：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．要点二、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD2. 弧 ∵AB=AO+OB=CO+OD ≥CD(当且仅当 CD 过圆心 O 时，取“=”号) ∴直径 AB 是⊙O 中最长的弦.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以 A 、B 为端点的弧记作 ，读作“圆弧 AB ”或“弧 AB ”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3. 等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.要点三、垂径定理1. 垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2. 推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1) 垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2) 这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.要点四、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）要点五、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角与弧的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．2.圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.3.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1．（2015•巴中模拟）如图，AB 为半圆直径，O 为圆心，C 为半圆上一点，E 是弧AC 的中点，OE 交弦AC 于点D，若AC=8cm，DE=2cm，求OD 的长．【答案与解析】解：∵E 为弧AC 的中点，∴OE⊥AC，∴AD= AC=4cm，∵OD=OE﹣DE=（OE﹣2）cm，OA=OE，∴在Rt△OAD 中，OA2=OD2+AD2 即OA2=（OE﹣2）2+42，又知0A=OE，解得：OE=5，∴OD=OE﹣DE=3cm．【总结升华】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形.举一反三：【变式】如图，⊙O 中，弦AB⊥弦CD 于E，且AE=3cm，BE=5cm，求圆心O 到弦CD 距离。

九年级数学圆的对称性知识点圆是数学中一个非常重要的几何概念，它具有丰富的对称性质。

在九年级数学中，我们学习了许多有关圆对称性的知识点。

本文将围绕这一主题，探讨圆的对称性在数学中的应用和意义。

1. 点、线和面的对称性在数学中，几何图形可以根据其对称性质进行分类。

点对称性是最基本的对称性质，它是指图形绕着一个固定点旋转180度后能够重合。

线对称性是指图形相对于一条线对称，两侧对应部分完全一致。

面对称性则是指图形相对于一个面对称，两侧对应部分完全一致。

对称性在几何学中具有重要的应用，它能够帮助我们分析和解决许多问题。

2. 圆的旋转对称性圆具有旋转对称性，这是因为任何一个圆可以绕着其圆心旋转一定角度后得到一个与原圆完全一致的新圆。

这个旋转角度称为圆的旋转角，它可以是任意角度。

利用圆的旋转对称性，我们可以解决许多有关圆的问题，比如确定两个圆是否相等、快速计算圆的周长和面积等。

3. 圆的轴对称性除了旋转对称性，圆还具有轴对称性。

轴对称性是指圆相对于一条直线对称，即对于圆上的任意一点P，当P的关于直线L的对称点也在圆上时，称直线L为圆的轴线。

利用圆的轴对称性，我们可以判断一个图形是否关于某条直线对称，从而简化几何证明的过程。

4. 圆的纵轴对称性和横轴对称性圆的轴对称性可以进一步分为纵轴对称性和横轴对称性。

当圆相对于一条垂直于x轴的直线对称时，称这条直线为圆的纵轴线；当圆相对于一条垂直于y轴的直线对称时，称这条直线为圆的横轴线。

纵轴对称性和横轴对称性在解决一些几何问题时非常有用，可以帮助我们找到图形的对称性质，简化问题的分析。

5. 圆的切线与辅助线的对称性在与圆相关的问题中，切线和辅助线的对称性也是常见且有用的。

以圆的切线为例，对于圆上的任意一点P，过点P作一条切线，这条切线与半径的夹角为90度，且在切点处与圆相切。

利用切线的对称性，我们可以解决一些与圆的切线有关的几何问题，比如判断切线与圆的位置关系、计算切线的长度等。

圆形对称图形的知识点总结
1. 圆的对称中心: 圆形是一种高度对称的图形，因此它的对称中心即为圆心。

无论是将圆
形沿着任何轴线进行翻转、旋转或倒影，都将得到一致的图形，因为圆形的每一点到圆心
的距离都相等。

2. 圆的轴对称: 圆形具有无数个轴对称轴线，这是因为圆形的任意一条直径都是它的轴对
称轴线。

将圆形沿着任意直径进行翻转、旋转或倒影，所得到的图形都与原图形完全一致。

3. 圆的中心对称: 圆形具有中心对称性，也就是说如果将圆形沿着圆心进行旋转180度，
那么所得到的图形与原图形将完全一致。

这是因为圆形的每一点到圆心的距离都相等，因
此无论如何旋转，都将得到一致的图形。

4. 圆形的旋转对称: 圆形在任意角度的旋转下都具有对称性，也就是说无论将圆形旋转多
少度，所得到的图形都与原图形完全一致。

这是因为圆形的每一点到圆心的距离都相等，
因此无论如何旋转，都将得到一致的图形。

5. 圆形的对称性质: 圆形的对称性质使得我们能够更好地理解和描述它的特征和性质。

通
过对称性的分析，我们可以得到许多重要的结论，例如圆形的面积公式和周长公式，圆形
的切线性质和弦的性质等等。

总之，圆形对称图形具有高度的对称性，包括轴对称、中心对称和旋转对称等多种对称性质。

这些对称性质使得我们能够更好地理解和描述圆形的特征和性质，为解决各种几何问
题提供了重要的理论基础。

因此，对圆形的对称性进行深入的研究和分析，有助于我们更
好地掌握几何学知识，提高解决问题的能力。

第二节圆的对称性要点精讲一、圆的对称性：1.圆既是中心对称图形，又是轴对称图形.将圆周绕圆心旋转180°能与自身重合，因此它是中心对称图形，它的对称中心是圆心，将圆周绕圆心旋转任意一角度都能与自身重合，这说明圆具有旋转不变性，是旋转对称的特例.经圆心画任意一条直线，并沿此直线将圆对折，直线两旁的部分能够完全重合，所以圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是它的对称轴，所以圆有无数条对称轴.2.在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等.二、垂径定理及推论：（由圆的轴对称性得出的）1.定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的优、劣弧.（常见辅助线，过圆心作弦的垂线）2.推论：平分（非直径的）弦的直径垂直于弦，且平分弦所对的两条弧.3.总结为：一条直线满足：（1）过圆心，（2）垂直于弦，（3）平分弦，（4）平分弦所对的优弧，（5）平分弦所对的劣弧，中的任意两点，则其他三点也成立.（注：①（1）与（3）结合使用时，弦为非直径弦.②（2）与（3）结合可找圆心，即两条弦的垂直平分线的交点.）③利用垂径定理及勾股定理对于（圆半径r、弦长a、弦心距d、弓开的高h中任意已知两个量可求得另两个量.相关链接像窗花一样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，称这两个图形轴对称,这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做对称点.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么称这个图形是轴对称图形，这条直线就是对称轴.典型分析1.如图所示，正方形ABCD内接于⊙O，直径MN∥AD，则阴影部分面积占圆面积（）A.1/2B.1/4C.1/6D.1/8【答案】B【解析】连接AM 、BM.∵MN ∥AD ∥BC ，OM=ON ，∴四边形AOBN 的面积=四边形AOBM的面积.再根据图形的轴对称性，得阴影部分的面积=扇形OAB 的面积=1/4圆面积.故选B.中考案例1.（2012内蒙古呼和浩特）如图所示，四边形ABCD 中，DC ∥AB ，BC=1，AB=AC=AD=2.则BD 的长为（ ）A.B.C.D.【答案】B【解析】以A 为圆心，AB 长为半径作圆，延长BA 交⊙A 于F ，连接DF.根据直径所对圆周角是直角的性质，得∠FDB=90°；根据圆的轴对称性和DC ∥AB ，得四边形FBCD 是等腰梯形.∴DF=CB=1，BF=2+2=4.∴故选B.=针对训练1.以点A（3，0）为圆心，以5为半径画圆，则圆A与x轴交点坐标为（）A.（0，-2），（0，8）B.（-2，0），（8，0）C.（0，-8），（0，2）D.（-8，0），（2，0）2.如图，已知⊙O的弦AB，CD交于点P，且OP⊥CD，若CD=4，则AP•BP的值为（）A.2B.4C.6D.83.若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是（）A.点A在圆外B.点A在圆上C.点A在圆内D.不能确定4.已知矩形ABCD的边AB=6，AD=8.如果以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是（）A.6＜r＜10B.8＜r＜10C.6＜r≤8D.8＜r≤105.下列命题中，正确的是（）①顶点在圆周上的角是圆周角；②圆周角的度数等于圆心角度数的一半；③90°的圆周角所对的弦是直径；④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等.A.①②③B.③④⑤C.①②⑤D.②④⑤6.下列四个命题：①直径所对的圆周角是直角；②圆既是轴对称图形，又是中心对称图形；③在同圆中，相等的圆周角所对的弦相等；④三点确定一个圆.其中正确命题的个数为（）A.1B.2C.3D.47.下列命题正确的是（）A.顶点在圆周上的角叫做圆周角B.圆内接平行四边形一定是矩形C.平分弦的直径一定垂直于弦D.与直径垂直的直线是圆的切线8. 如图所示，A、B、C分别表示三个村庄，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距离相等，则活动中心P的位置应在（）A.AB中点B.BC中点C.AC中点D.∠C的平分线与AB的交点参考答案1.【答案】B【解析】因为圆心在x轴上，与x轴相交两点，∴两点的纵坐标都为0，∵圆的半径是5，∴两点的横坐标为3-5=-2，或3+5=8.即两点的坐标为（-2，0）、（8，0）.故选B.2.【答案】B【解析】由于OP⊥CD，可通过垂径定理得出CP=DP=2，再根据相交弦定理，AP•BP=CP•DP=2•2=4.故选B.3.【答案】C【解析】∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，∴d＜r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，故选：C.4.【答案】A【解析】∵AB=6，AD=8，∴AC=10，∴点C一定在圆外，点B一定在圆内，∴⊙A的半径r 的取值范围是：6＜r＜10.故选A.5.【答案】B【解析】①、圆周角的特征：一是顶点在圆上，二是两边都和圆相交，故错误；②、必须是同弧或等弧所对的圆周角和圆心角，故错误；③、圆周角定理，故正确；④、符合确定圆的条件，故正确；⑤、符合圆周角定理，故正确；所以正确的是③④⑤.故选B.6.【答案】C【解析】A.是圆周角定理的推论，故正确；B.根据轴对称图形和中心对称图形的概念，故正确；C.根据圆周角定理的推论知：同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，再根据等弧对等弦，故正确；D.应是不共线的三个点，故错误.故选C.7.【答案】B【解析】顶点在圆上，且两边都和圆相交的角叫圆周角，故A错误；根据平行四边形的对角相等和圆内接四边形的对角互补，可得圆的内接四边形的两组对角都是直角，故B正确.平分弦（不是直径）的直径一定垂直于弦，故C错误；过直径的一端与直径垂直的直线是圆的切线，故D错误.因此只有B选项是正确的.故选B.8.【答案】A【解析】因为AB=1000米，BC=600米，AC=800米，所以AB2=BC2+AC2，所以△ABC是直角三角形，∠C=90度.因为要求这三个村庄到活动中心的距离相等，所以活动中心P的位置应在△ABC三边垂直平分线的交点处，也就是△ABC外心处，又因为△ABC是直角三角形，所以它的外心在斜边AB的中点处，故选A.扩展知识轴对称及其应用在几何证题、解题时，如果是轴对称图形，则经常要添设对称轴以便充分利用轴对称图形的性质.譬如，等腰三角形经常添设顶角平分线；矩形和等腰梯形问题经常添设对边中点连线和两底中点连线；正方形，菱形问题经常添设对角线等等.另外，如果遇到的图形不是轴对称图形，则常选择某直线为对称轴，补添为轴对称图形，或将轴一侧的图形通过翻折反射到另一侧，以实现条件的相对集中.。

初三下学期数学圆的对称性知识点精讲知识点总结圆的对称性:1、圆是轴对称图形，直径所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴。

2、圆是中心对称图形，对称中心为圆心。

3、定理：在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等、所对的弦心距相等。

推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.圆的对称性圆是中心对称图形，对称中心是圆心；圆也是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线。

注意:(1)圆的对称轴有无数条。

(2)圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任何角度后,仍与自身重合。

圆的对称性知识点1.连接圆上任意两点的线段叫弦2.经过圆心的弦叫直经，直径是特殊的弦，也是圆内最长的弦，半径不是弦3.圆上任意两点间的部分叫做弧，大于半圆的弧叫优弧，小于半圆的弧叫劣弧4.弦及所对的弧组成的图形叫弓形，弦的中点和所对弧中点的连线叫弓形的高5.圆心相同，半径不等的两个圆叫同心圆6.能够完全重合的两个圆叫等圆，半径相等的两个圆是等圆7.顶点在圆心的角叫圆心角8.从圆心到弦的距离叫弦心距9.圆是轴对称图形，直接所在的直线是它的对称轴，圆有无数条对称轴10.园是中心对称图形，圆心为对称中心11.垂经定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并l平分弦所对的两条弧12.推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧13.弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧14.平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦15.平行弦夹的弧相等16.根据垂经定理及推论可知对于一个圆和一条直线来说，如果具备:(1)过圆心(2)垂直于弦(3)平分弦(4)平分弦所对的优弧(5) 平分弦所对的劣弧，上述五个论断中的任何两个作为条件都可推出其他三个结论17.定理:在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等18.推论:在同园或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，或两条弦的心距中有一个量相等，那么它们所对的其余各种最都分别相等导学案3.2 圆的对称性主备人：温志鹏审核人：九年级数学集备组授课人：温志鹏【学习目标】课标要求：通过探索理解并掌握:（1）圆的旋转不变性；（2）圆心角、弧、弦之间相等关系定理.目标达成：圆心角、弧、弦之间相等关系定理.学习流程：【课前展示】提问一：我们已经学习过圆，你能说出圆的那些特征？提问二：圆是对称图形吗？（1）圆是轴对称图形吗？你怎么验证圆是轴对称图形，对称轴有无数条（所有经过圆心的直线都是对称轴）验证方法：折叠（2）圆是中心对称图形吗？你怎么验证？【创境激趣】把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定．将上面这个圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗?通过旋转的方法我们知道：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．即圆是中心对称图形.对称中心为圆心．【自学导航】=刚才到的=理由是一种新的证明弧相等的方法——叠合法．我们在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O′A′重合时，由于∠AOB=∠A′O′B′．这样便得到半径OB与O′B′重合．因为点A和点A′重合，点B和点B′重合，所以AB 和A′B′重合，弦AB与弦A′B′重合，即AB＝A′B′．在上述操作过程中，你会得出什么结论?在等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．上面的结论，在同圆中也成立．于是得到下面的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．【展示提升】典例分析知识迁移，BE与CE的大小有什么关系？为什么？与的大小有什么关系？AB与CD的大小有什么关系？为什么？∠AOB与∠COD呢？【归纳总结】通过这一节的学习，在得出本节结论的过程中，回忆一下我们使用了哪些研究图形的方法?(同学们之间相互讨论、归纳) 利用旋转的方法得到了圆的旋转不变性，由圆的旋转不变性，我们探究了圆心角、弧、弦之间相等关系定理【板书设计】3.2 圆的对称性1 2 3【教学反思】、本节课的教学策略是通过教师引导，让学生观察、思考、交流合作活动，让学生亲身经历知识的发生、发展及其探求过程，再通过教师演示动态课件及引导，让学生感受圆的旋转不变性，并能运用圆的对称性研究圆中的圆心角、弧、弦间的关系定理.同时注重培养学生的探索能力和简单的逻辑推理能力.体验数学的生活性、趣味性，激发他们的学习兴趣.（1）情景引入中运用媒体形象直观的展现了圆心角、弧、弦之间的关系，激发学生的学习兴趣，并让学生体会到数学对称之美（2）在探究圆的旋转不变性和探究圆心角、弧、弦之间的关系定理时，教师应用白板的旋转功能让学生观察——猜想——证明——归纳的数学过程，让学生既轻松又形象直观地获得了新知.总的来说，本节课中应充分将课堂还给学生，把数学的课堂变成了数学探讨的课堂，学生探究的课堂，让学生体验到数学的美.图文导学图文来自网络，版权归原作者，如有不妥，告知即删。

圆的对称性一、知识梳理圆是一种“完美”的图形,其完美性不仅体现在它既是轴对称图形又是中心对称图形,而且体现在它的旋转不变性,即一个圆绕着它的圆心旋转任意的角度,都能余自身重合。

由圆的对称性引出了许多重要定理:垂径定理及推论;在同圆或等圆中,圆心角、圆周角、弦、弦心距、弧之间的关系定理及推论。

这些性质在计算和证明中都有着广泛的应用。

一般是通过做辅助线构造直角三角形,常与勾股定理和解直角三角形相结合。

熟悉一下基本图形、基本结论:二、考点聚焦考点一:垂径定理考点二:圆心角、圆周角、弦、弦心距、弧之间的关系定理。

三、典例精讲例1、(1(2008湖北鄂州已知在⊙O 中,半径5=r ,AB 、CD 是两条平行弦,且AB =8,CD =6,则弦AB 、CD 之间的距离是 ;弦AC 的长为。

(2(2012黑龙江绥化市,3分⊙O 为△ABC 的外接圆,∠BOC =100°,则∠A = 。

例2、已知如图,圆内接四边形ABCD 的两条对角线AC ⊥BD 于M 。

求证:EF ⊥DC ⇔AE =BE 。

例3、已知,如图,圆内接四边形ABCD 的对角线AC ⊥BD 于E 。

求证:AD OM 21=。

例4、如图,直线M N 交⊙O 于C 、D ,AB 是⊙O 的直径,AE ⊥M N 于E ,BF ⊥M N 于F 。

求证:(11tan tan =∠⋅∠BDF ADE(2当AE =a ,EF =b ,BF =c ,EAC ∠tan ,EAD ∠tan 是方程02=+-c bx ax 的根。

变式训练一、填空题。

1. (2006 南京市如图,矩形ABCD 与圆心在AB 上的⊙O 交于G 、B 、F 、E ,cm AG 1=,cm DE 2=,则EF = 。

1题图 2题图3题图2. 已知,如图,AB 是⊙O 的直径,弦CD 交AB 于点E ,且分AB 为2cm 和6两段,∠AEC=30°,则弦CD = 。

3. (2005 连云港如图,已知⊙O 的半径为5,点A 到圆心O 的距离是3,则过点A 的所有弦中,最短弦的长为。

圆的对称知识点总结一、基本概念圆是平面上所有点到一个固定点的距离都相等的集合。

这个固定点叫做圆心，相等的距离叫做半径。

圆通常用一个大写字母表示圆心，用一个小写字母r表示半径。

二、对称性圆具有很强的对称性，主要表现在以下几个方面：1. 中心对称：圆的中心是对称轴，圆上的每一个点关于圆心都有对称点。

2. 旋转对称：以圆心为中心，任意角度旋转圆都不变。

3. 轴对称：圆上的任意一条直径都是圆的轴对称线，即圆上的任意一点与圆心连线的垂直平分线。

三、对称性的运用圆的对称性在数学、几何学和物理学等领域都有着广泛的应用。

在几何学中，圆的对称性在解题过程中经常发挥重要作用，可以帮助我们简化问题、找到解题的突破口。

在建筑设计和艺术创作中，圆的对称性也常被运用，可以创造出和谐美观的作品。

四、圆的对称性性质圆的对称性具有以下性质：1. 对称轴上的任意两点的对称点也在对称轴上。

2. 对称轴上的点到对称轴的距离相等。

3. 对称变换保持了图形的大小和形状不变。

五、圆的对称性的应用圆的对称性在日常生活中也有着广泛的应用。

如镜子、会旋转的木马等等都具有对称性，因此在制作这些用具时，需要考虑图形的对称性，这样会使产品更加美观，使用起来也更加安全。

六、圆的对称图形圆拥有非常丰富的对称图形，例如：1. 圆形2. 半圆形3. 扇形4. 弧形5. 弦形这些对称图形在实际生活中都有着广泛的应用，如构造街道的拱门、钟表的表盘等。

七、圆的对称性的研究圆的对称性不仅仅在几何学中有重要的应用，在现代数学中也有着广泛的研究。

在拓扑学中，圆是一个最基本的几何图形，对称性是研究圆的基本属性的重要内容之一。

在几何结构、代数结构等领域中，圆的对称性也有着深入的研究和运用。

八、总结圆是一个非常特殊的几何图形，具有很强的对称性，对称性在数学、几何学和现实生活中都有着广泛的应用。

圆的对称性性质以及对称图形的研究都是数学领域的重要内容，对于学生来说，深入理解圆的对称性有助于提高他们的数学素养和数学思维能力。