第二章 作业答案
2–1 已知描述某LTI 连续系统的微分方程和系统的初始状态如下，试求此系统的零输入响应。
(１))()(2)(2)(3)(t e t e t y t y t y +'=+'+'' 2)0(=-y ，1)0(-='-y
解:
根据微分方程,可知特征方程为:
0)2)(1(0232=++⇒=++λλλλ
所以，其特征根为： 1,
221-=-=λλ
所以,零输入响应可设为:0)(221≥+=--t e C e C t y t
t
zi
又因为 ⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨
⎧-=--='=+=--31
12)0(2)0(2
1
2121C C C C y C C y 所以,03)(2≥-=--t e e t y t
t
zi
(2))(2)()(6)(5)(t e t e t y t y t y -'=+'+'' ﻩ1)0()0(=='--y y 。 解:
根据微分方程，可知特征方程为：
0)3)(2(0652=++⇒=++λλλλ
所以，其特征根为： 3,
221-=-=λλ
所以,零输入响应可设为:0)(3221≥+=--t e C e
C t y t
t
zi
又因为 ⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨
⎧=--='=+=--3
4
132)0(1)0(21
2121C C C C y C C y 所以,034)(32≥-=--t e
e t y t
t zi
2–２ 某L ＴI 连续系统的微分方程为)(3)()(2)(3)(t e t e t y t y t y +'=+'+'' 已知1)0(=-y ,2)0(='-y ,试求： （1） 系统的零输入响应)(t y zi ;
（2） 输入)()(t t e ε=时，系统的零状态响应)(t y zs 和全响应)(t y 。 解：
（1）根据微分方程,可知特征方程为：
0)2)(1(0232=++⇒=++λλλλ
所以，其特征根为: 1,
221-=-=λλ
所以，零输入响应可设为：0)(221≥+=--t e C e C t y t
t
zi
又因为 ⎩⎨⎧=-=⇒⎩⎨
⎧=--='=+=--43
22)0(1)0(2
12121C C C C y C C y
所以,034)(2≥-=--t e e
t y t
t
zi ﻩ
（2) 可设零状态响应为:0)(221>++=--t p
e C e
C t y t x t
x zs
其中p 为特解，由激励信号和系统方程确定。
因为)()(t t e ε= 所以，p 为常数,根据系统方程可知，23=p 。 于是，零状态响应可设为为：02
3)(221>++=--t e C e C t y t x t x zs
将上式代入原方程中,比较方程两边的系数，可得到
⎪⎩⎪⎨⎧-==
2
2121C C 所以,02322
1)(2>+-=
--t e e t y t t
zs
全响应为 )()()(t y t y t y zs zi +=
0)
23221
()34()(22>+-+-=----t e e e e t y t t t t zs
0)
232
5
2()(2>+-=--t e e t y t t zs
２–3 试求下列各ＬＴI 系统的冲激响应和阶跃响应。 （１）)(2)()(3)(4)(t e t e t y t y t y +'=+'+'' 解：
根据 在激励信号为)(t δ的条件下,求解系统的零状态响应可得
()
)(2
1)(3t e e t h t t
ε⋅+=
-- 因为，单位阶跃响应⎰-
⋅=t
d h t g 0)()(ττ
所以，()
⎰
-⋅+=--t
d e e t g 032
1)(τττ
0),1(6
1
)1(216
12
16030>-+-=
--=-----
-
t e e e e t t t t ττ
0,6
121326>--=
--t e e t
t
(２）)(2)(2)()(2)(3)("t e t e t e t y t y t y +'+''=+'+ 解:
可先求系统 )()(2)(3)("t e t y t y t y =+'+ 的冲激励响应)(0t h ，
则，原系统的冲激响应为)(2)(2)()(0'0"0
t h t h t h t h ++=。 因为)()(2)(3)("t e t y t y t y =+'+的特征根为:1,221-=-=λλ 所以,可设冲激响应为:)()()(2210t e C e C t h t t ε⋅+=-- 将)(0t h 代入系统方程,并确定待定系数后,可得:
)()()(20t e e t h t t ε⋅-=--ﻩ
因为，)(2)(2)()(0'
0"0
t h t h t h t h ++= 又因为，)()2()(2'0
t e e t h t t ε⋅-=--,)()4()()(2"0t e e t t h t t εδ⋅--=-- 所
以,[]
)()(2)()2(2)()4()()(222t e e t e e t e e t t h t t t t t t εεεδ⋅-⋅+⋅-⋅+⋅--=------
)()2()(2t e e t t t εδ⋅--=--
因为,单位阶跃响应⎰-
⋅=t
d h t g 0)()(ττ
所以,[]
⎰-
⋅--=--t
t t d t e e t t g 02)()(2)()(τεδ
()
)(212t e e t t ε⋅-+=--
2–4 各信号的波形如题2–4图所示，试计算下列卷积,并画出其波形。 (1）)()(21t f t f *
（2))()(31t f t f *
(3))()(24t f t f *ﻩ（４）)()(34t f t f *
