【满分秘诀】专题03 全等三角形（考点突破）【思维导图】【常见考法】【真题分点透练】【考点1 全等图形定义与性质】1．（2022春•盐湖区期末）下列各组图形中，属于全等图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：根据全等图形的定义可得C是全等图形，故选：C．2．（2021秋•信都区期末）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1与∠2的和为（）A．100°B．90°C．60°D．45°【答案】B【解答】解：在△ABC和△FDE中，，∴△ABC≌△FDE（SAS），∴∠1＝∠EDF，∵∠EDF+∠2＝90°，∴∠1+∠2＝90°，故选：B．【考点2 全等三角形定义及性质】3．（2021秋•高阳县期末）如图，已知△ABC≌△DCB，∠A＝75°，∠DBC＝40°，则∠DCB的度数为（）A．75°B．65°C．40°D．30°【答案】B【解答】解：∵△ABC≌△DCB，∠A＝75°，∴∠D＝∠A＝75°，∵∠DBC＝40°，∴∠DCB＝180°﹣75°﹣40°＝65°，故选：B．4．（2021秋•重庆期末）如图，△ABC≌△AED，点E在线段BC上，∠1＝56°，则∠AED 的大小为（）A．34°B．56°C．62°D．68°【答案】C【解答】解：∵△ABC≌△AED，∴∠BAC＝∠EAD，AB＝AE，∴∠BAE＝∠1＝56°，∴∠B＝∠AEB＝（180°﹣56°）＝62°，∴∠AED＝∠B＝62°，故选：C．5．（2022春•沙坪坝区期末）如图，点B，E，C，F在同一直线上，△ABC≌△DEF，BC ＝8，BF＝11.5，则EC的长为（）A．5B．4.5C．4D．3.5【答案】B【解答】解：∵BC＝8，BF＝11.5，∴CF＝BF﹣BC＝3.5，∵△ABC≌△DEF，BC＝8，∴EF＝BC＝8，∴EC＝EF﹣CF＝8﹣3.5＝4.5，故选：B．6．（2022春•招远市期末）如图所示，△ABC≌△AEF．在下列结论中，不正确的是（）A．∠EAB＝∠F AC B．BC＝EF C．CA平分∠BCF D．∠BAC＝∠CAF 【答案】D【解答】解：∵△ABC≌△AEF，∴∠BAC＝∠EAF，∴∠BAC﹣∠EAE＝∠EAF﹣∠EAC，∴∠EAB＝∠F AC，故A不符合题意；∵△ABC≌△AEF，∴BC＝EF，故B不符合题意；∵△ABC≌△AEF，∴AC＝AF，∠ACB＝∠F，∴∠ACF＝∠F＝∠ACB，∴CA平分∠BCF，故C不符合题意；∵△ABC≌△AEF，∴∠BAC＝∠EAF，∴∠BAC＞∠CAF，故D符合题意，故选：D．7．（2022春•通川区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，若△ABC ≌△A′B′C，且点A′恰好落在AB上，则∠ACA′的度数为（）A．30°B．45°C．50°D．60°【答案】D【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，∴∠A＝90°﹣30°＝60°，∵△ABC≌△A′B′C，∴CA′＝CA，∴△ACA′为等边三角形，∴∠ACA′＝60°，故选：D．8．（2021秋•民权县期末）如图，△ABC≌△ADE，且AE∥BD，∠BAD＝94°，则∠BAC 的度数的值为（）A．84°B．60°C．48°D．43°【答案】D【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC＝∠EAD，AB＝AD，∵∠BAD＝94°，∴∠ADB＝∠ABD＝（180°﹣∠BAD）＝43°，∵AE∥BD，∴∠EAD＝∠ADB＝43°，∴∠BAC＝∠EAD＝43°，故选：D．9．（2021秋•句容市期末）如图，Rt△AOB≌Rt△CDA，且点A、B的坐标分别为（﹣1，0），（0，2），则OD长是（）A．2B．5C．4D．3【答案】D【解答】解：∵点A、B的坐标分别为（﹣1，0），（0，2），∴OB＝2，OA＝1，∵Rt△AOB≌Rt△CDA，∴AD＝OB＝2，∴OD＝OA+AD＝1+2＝3，故选：D．10．（2021秋•温州期末）如图，△ABC≌△DEF，点A，B分别对应点D，E．若∠A＝70°，∠B＝50°，则∠1等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°【答案】B【解答】解：在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝50°，则∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣70°﹣50°＝60°，∵△ABC≌△DEF，∴∠1＝∠C＝60°故选：B．11．（2021秋•巢湖市期末）如图，△ACB≌△A′CB'，∠BCB'＝30°，则∠ACA'的度数为（）A．20°B．30°C．35°D．40°【答案】B【解答】解：∵△ACB≌△A′CB'，∴∠ACB＝∠A′CB'，∴∠ACB﹣∠A′CB＝∠A′CB'﹣∠A′CB，∴∠ACA'＝∠BCB'＝30°，故选：B【考点3全等三角形判定】12．（2021秋•合肥期末）下列三角形与如图全等的三角形是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：180°﹣51°﹣49°＝80°，A．只有两边相等，不符合全等三角形的判定定理，不能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；B．只有两边相等，不符合全等三角形的判定定理，不能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；C．符合全等三角形的判定定理SAS，能推出两三角形全等，故本选项符合题意；D．只有两边相等，不符合全等三角形的判定定理，不能推出两三角形全等，故本选项不符合题意；故选：C．13．（2021秋•大连期末）如图，DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别为E，F，DE＝DF．则△BDE≌△BDF的依据是（）A．SAS B．AAS C．SSS D．HL【答案】D【解答】解：∵DE⊥BA，DF⊥BC，∴∠BED＝∠BFD＝90°，在Rt△BDE和△Rt△BDF中，，∴Rt△BDE≌△Rt△BDF（HL），故选：D．14．（2021秋•汇川区期末）如图，AB∥DE，AB＝DE，添加下列条件，仍不能判断△ABC ≌△DEF的是（）A．AC＝DF B．BF＝CE C．∠A＝∠D D．AC∥DF 【答案】A【解答】解：∵AB＝DE，∵AB∥DE∴∠B＝∠E，当AC＝DF时，不能判定△ABC≌△DEF，当AB＝DE时，且BC＝EF，∠B＝∠E，由“SAS”可证△ABC≌△DEF，当∠A＝∠D时，且BC＝EF，∠B＝∠E，由“AAS”可证△ABC≌△DEF，当AC∥DF时，∠ACB＝∠DFE，∠B＝∠E，由“AAS”可证△ABC≌△DEF，故选：A．15．（2021秋•西宁期末）下列四个三角形中，与图中的△ABC全等的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：△ABC中，∵∠B＝72°，∠C＝58°，∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°，∴根据“SAS”可判断△ABC下面的三角形全等．故选：C．16．（2022春•盐湖区期末）如图，∠1＝∠2，添加下列条件，不能使△ABC≌△BAD的是（）A．∠CAB＝∠DBA B．AC＝BD C．∠C＝∠D D．AD＝BC【答案】B【解答】解：∵∠1＝∠2，AB＝BA，∴当添加∠CAB＝∠DBA时，根据“ASA”可证明△ABC≌△BAD，所以A选项不符合题意；当添加AC＝BD时，不能判断△ABC≌△BAD，所以B选项符合题意；当添加∠C＝∠D时，根据“AAS”可证明△ABC≌△BAD，所以C选项不符合题意；当添加AD＝BC时，根据“SAS”可证明△ABC≌△BAD，所以D选项不符合题意；故选：B．17．（2022图，在∠AOB的两边OA、OB上分别在取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C、D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线，这里构造全等三角形的依据是（）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS【答案】A【解答】解：由题意可得，OC＝OD，MC＝MD，又∵OM＝OM，∴△OMC≌△OMD（SSS），故选：A．18．（2022春•文登区期末）如图，若∠B＝∠C，下列结论正确的是（）A．△BOE≌△COD B．△ABD≌△ACE C．AE＝AD D．∠AEC＝∠ADB 【答案】D【解答】解：∵∠B＝∠C，∠CAE＝∠BAD，∴∠AEC＝∠ADB，所以D选项符合题意；∵不能确定BE＝CD，AE＝AD，∴不能判断△BOE≌△COD、△ABD≌△ACE，所以A、B、C选项不符合题意．故选：D．19．（2022春•宁德期末）如图，已知AB＝DE，AC＝DF，BE＝CF．则△ABC≌△DEF的理由是（）A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS【答案】C【解答】解：∵BE＝CF，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SSS），故选：C【考点4 全等三角形判定与性质综合应用】20．（2022春•子洲县期末）如图，点E是△ABC的边AC的中点，过点C作CF∥AB，连接FE并延长，交AB于点D，若AB＝9，CF＝6，则BD的长为（）A．2B．2.5C．3D．4.5【答案】C【解答】证明：∵CF∥AB，∴∠ADE＝∠F，∠FCE＝∠A，∵点E为AC的中点，∴AE＝CE，在△ADE和△CFE中，，∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF＝6，∵AB＝9，∴BD＝AB﹣AD＝9﹣6＝3，故选：C．21．（2022春•通川区期末）如图，AD是△ABC的中线，CE∥AB交AD的延长线于点E，AB＝5，AC＝7，则AD的取值可能是（）A．3B．6C．8D．12【答案】A【解答】解：∵AD是△ABC的中线，∴CD＝BD，∵CE∥AB，∴∠DCE＝∠DBA，在△CDE和△BDA中，，∴△CDE≌△BDA（SAS），∴EC＝AB＝5，∵7﹣5＜AE＜7+5，∴2＜2AD＜12，∴1＜AD＜6，故选：A．22．（2022春•兰州期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外一点，连接AD、BD、CD，且BD交AC于点O，在BD上取一点E，使得AE＝AD，∠EAD＝∠BAC，若∠ABC＝62°，则∠BDC的度数为（）A．56°B．60°C．62°D．64°【答案】A【解答】解：∵∠EAD＝∠BAC，∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAD﹣∠EAC，即：∠BAE＝∠CAD；在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD（SAS），∴∠ABD＝∠ACD，∵∠BOC是△ABO和△DCO的外角，∴∠BOC＝∠ABD+∠BAC，∠BOC＝∠ACD+∠BDC，∴∠ABD+∠BAC＝∠ACD+∠BDC，∴∠BAC＝∠BDC，∵∠ABC＝∠ACB＝62°，∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣62°﹣62°＝56°，∴∠BDC＝∠BAC＝56°，故选：A．22．（2022春•温县校级期末）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC与点E，BE 与AD交于点F，若AD＝BD＝5，CD＝3，则AF的长为（）A．3B．3.5C．2.5D．2【答案】D【解答】解：∵BE⊥AC，AD⊥BC，∴∠AEB＝∠ADC＝∠BDF＝90°，∵∠AFE＝∠BFD，∠FBD+∠BDF+∠BFD＝180°，∠AEB+∠AFE+∠DAC＝180°，∴∠DAC＝∠DBF，在△BDF和△ADC中，，∴△BDF≌△ADC（ASA），∴DF＝CD＝3，∵AF+DF＝AD＝5，∴AF＝2，故选：D．23．（2021E是∠AOB平分线上的一点，EC⊥OA于点C，ED⊥OB于点D，连结CD，若∠ECD＝25°，则∠AOB＝（）A．50°B．45°C．40°D．25°【答案】A【解答】解：∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，∴ED＝EC，∴∠EDC＝∠ECD，∵∠ODE＝∠OCE＝90°，∴∠ODC＝∠OCD，∴OC＝OD，∵ED＝EC，∴点O与点E都在CD的垂直平分线上，∴OE是CD的垂直平分线，∴∠AOE+∠OCD＝90°，∠OCD+∠DCE＝90°，∴∠AOE＝∠ECD＝25°，∴∠AOB＝2∠AOE＝50°，故选：A．24．（2021秋•偃师市期末）如图，一块三角形的玻璃打碎成四块，现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，最简单的办法是（）A．只带①去B．带②③去C．带①③去D．只带④去【答案】D【解答】解：第①块和第②③块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第④块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带④去．故选：D．25．（2022春•沙坪坝区校级期末）如图所示，某工程队欲测量山脚两端A、B间的距离，在山旁的开阔地取一点C，连接AC、BC并分别延长至点D，点E，使得CD＝AC，CE ＝BC，测得DE的长，就是AB的长，那么判定△ABC≌△DEC的理由是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】B【解答】证明：在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DCE（SAS），故选：B．26．（2021秋•南宁期末）如图，点B，E，C，F在一条直线上，AC与DE相交于点O，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．（1）求证：AC∥DF；（2）若∠B＝65°，∠F＝35°，求∠EOC的度数．【解答】证明：（1）∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB＝∠F，∴AC∥DF；（2）解：由（1）得∠B＝∠DEF，∠ACB＝∠F，∴∠DEF＝∠B＝65°，∠ACB＝∠F＝35°，在△EOC中，∠DEF+∠ACB+∠EOC＝180°，∴∠EOC＝180°﹣∠DEF﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣35°＝80°．27．（2022春•五华县期末）如图1，∠DAB＝90°，CD⊥AD于点D，点E是线段AD上的一点，若DE＝AB，DC＝AE．（1）判断CE与BE的关系是．（2）如图2，若点E在线段DA的延长线上，过点D在AD的另一侧作CD⊥AD，并保持CD＝AE，DE＝AB，连接CB，CE，BE，试说明（1）中结论是否成立，并说明理由．【解答】解：（1）CE＝BE且CE⊥BE，理由如下：∵CD⊥AD，∴∠CDE＝90°，∵∠DAB＝90°，∴∠CDE＝∠EAB，在△CDE和△EAB中，，∴△CDE≌△EAB（SAS），∴CE＝BE，∠CED＝∠EBA，∵∠EBA+∠BEA＝90°，∴∠CED+∠BEA＝90°，∴∠CEB＝90°，∴CE⊥BE，∴CE＝BE且CE⊥BE．（2）（1）中结论成立，理由如下：∵CD⊥AD，∴∠CDE＝90°，∵∠DAB＝90°，∴∠CDE＝∠EAB，在△CDE和△EAB中，，∴△CDE≌△EAB（SAS），∴CE＝BE，∠CED＝∠EBA，∵∠EBA+∠BEA＝90°，∴∠CED+∠BEA＝90°，∴∠CEB＝90°，∴CE⊥BE，∴CE＝BE且CE⊥BE．28．（2022春•永定区期末）如图，AD、BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°．（1）求证：△ACB≌△BDA；（2）若∠ABC＝31°，求∠CAO的度数．【解答】（1）证明：∵∠D＝∠C＝90°，∴△ABC和△BAD都是直角三角形，在Rt△ABC和Rt△BAD中，，∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）；（2）解：∵Rt△ABC≌Rt△BAD，∴∠ABC＝∠BAD＝31°，∵∠C＝90°，∴∠BAC＝59°，∴∠CAO＝∠CAB﹣∠BAD＝28°．29．（2022春•通川区期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AC，BE平分∠CBA，连接AE，若AD＝AE，∠DAE＝∠CAB．（1）求证：△ADC≌△AEB；（2）若∠CAB＝36°，求证：CD∥AB．【解答】（1）证明：∵∠DAE＝∠CAB，∴∠DAE﹣∠CAE＝∠CAB﹣∠CAE．∴∠DAC＝∠EAB．在△DAC和△EAB中∵∴△DAC≌△EAB（SAS）（2）证明：∵AB＝AC，∠CAB＝36°，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°−36°）＝72°，∵BE平分∠CAB，∴∠ABE＝∠ABC＝36°．∴∠ABE＝∠BAC＝36°．∵△DAC≌△EAB，∴∠DCA＝∠EBA＝36°．∴∠DCA＝∠BAC＝36°．∴CD∥AB．30．（2022春•泗阳县期末）如图，AB＝AE，AC＝DE，AB∥DE．（1）求证：AD＝BC；（2）若∠DAB＝70°，AE平分∠DAB，求∠B的度数．【解答】（1）证明：如图，∵AB∥DE，∴∠E＝∠CAB．在△ABC与△EAD中．∴△ABC≌△EAD（SAS）．∴AD＝BC．（2）解：∵∠DAB＝70°，AE平分∠DAB，∴∠DAE＝∠BAC＝35°．由（1）知，△ABC≌△EAD，∴∠B＝∠DAE＝35°．31．（2022春•新化县期末）如图，已知∠C＝∠F＝90°，BC＝EF，AE＝DB，BC与EF 交于点O．（1）求证：Rt△ABC≌Rt△DEF；（2）若∠A＝50°，求∠COE的度数．【解答】（1）证明：∵AE＝DB，∴AE+EB＝DB+EB，即AB＝DE，∵∠C＝∠F＝90°，∴△ABC和△DEF是直径三角形，在Rt△ABC和Rt△DEF中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL）；（2）解：∵∠C＝90°，∠A＝50°，∴∠ABC＝∠C﹣∠A＝90°﹣50°＝40°，由（1）知Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠ABC＝∠DEF，∴∠DEF＝40°，∴∠COE＝∠ABC+∠BEF＝40°+40°＝80°．32．（2022春•鲤城区校级期末）如图，已知AB＝AC，点D，E分别是AC，AB的中点，求证：∠B＝∠C．【解答】证明：∵AB＝AC，点D，E分别是AC，AB的中点，∴AE＝AD，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠C．33．（2022春•城阳区期末）已知：点A，D，C，B在同一条直线上，DF∥CE，DF＝CE，AD＝BC．求证：（1）CF＝DE；（2）AF∥EB．【解答】证明：（1）∵DF∥CE，∴∠FDC＝∠ECD，在△FDC和△ECD中，，∴△FDC≌△ECD（SAS），∴CF＝DE；（2）∵△FDC≌△ECD，∴∠FCD＝∠EDC，∵AD＝BC，∴AD+DC＝BC+DC，∴AC＝BD，在△F AC和△EBD中，，∴△F AC≌△EBD（SAS），∴∠A＝∠B，∴AF∥EB．34．（2022春•城阳区期末）已知：OA＝OB，OC＝OD．（1）求证：△OAD≌△OBC；（2）若∠O＝85°，∠C＝25°，求∠BED的度数．【解答】（1）证明：在△OAD和△OBC中，，∴△OAD≌△OBC（SAS）；（2）解：∵∠O＝85°，∠D＝∠C＝25°，∴∠OBC＝180°﹣85°﹣25°＝70°，∴∠BED＝∠OBC﹣∠D＝70°﹣25°＝45°．35．（2022春•兴宁区期末）如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，E，F为直线AD上的点，连接BE，CF，且BE∥CF．（1）求证：△BDE≌△CDF；（2）若AE＝13，AF＝7，试求DE的长．【解答】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD，∵BE∥CF，∴∠DBE＝∠DCF，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（ASA）；（2）解：∵AE＝13，AF＝7，∴EF＝AE﹣AF＝13﹣7＝6，∵△BDE≌△CDF，∴DE＝DF，∵DE+DF＝EF＝6，∴DE＝3．36．（2022春•长沙期末）如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上．（1）若∠ADE＝∠B，求证：①∠BAD＝∠CDE；②BD＝CE；（2）若BD＝CE，∠BAC＝70°，求∠ADE的度数．【解答】（1）证明：①∵在△ABC中，∠BAD+∠B+∠ADB＝180°，∴∠BAD＝180°﹣∠B﹣∠ADB，又∵∠CDE＝180°﹣∠ADE﹣∠ADB，且∠ADE＝∠B，∴∠BAD＝∠CDE；②由①得：∠BAD＝∠CDE，在△ABD与△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（ASA），∴BD＝CE；（2）解：在△ABD与△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（SAS），∴∠BAD＝∠CDE，又∵∠ADE＝180°﹣∠CDE﹣∠ADB，∴∠ADE＝180°﹣∠BAD﹣∠ADB＝∠B，在△ABC中，∠BAC＝70°，∠B＝∠C，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝×110°＝55°，∴∠ADE＝55°【考点5 角平分线性质】37．（2021秋•汇川区期末）如图，BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC于点E，DE＝6，∠A＝30°，则AD的长为（）A．6B．8C．12D．16【答案】C【解答】解：如图所示，过D作DF⊥AB于F，∵BD为∠ABC的角平分线，DE⊥BC，DF⊥AB，∴DE＝DF＝6，∵∠A＝30°，∴AD＝2DF＝12，故选：C．38．（2021秋•威县期末）下列各点中，到∠AOB两边距离相等的是（）A．点P B．点Q C．点M D．点N【答案】B【解答】解：由图形可知，点Q在∠AOB的角平分线上，∴点Q到∠AOB两边距离相等，故选：B．39．（2021秋•木兰县期末）如图，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC于点D，OD＝2，△ABC的周长为28，则△ABC的面积为（）A．28B．14C．21D．7【答案】A【解答】解：连接OA，作OE⊥AB于点E，作OF⊥AC于点F，∵BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝2，∴OD＝OE＝OF＝2，∴S△ABC＝S△OAB+S△OAC+S△OBCAB•OE+AC•OF+BBC•OD＝（AB+AC+BC）•OD＝×28×2＝28，故选：A．40．（2022春•平远县期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB 于点D，如果AC＝7cm，DE＝3cm，那么AE等于（）A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm【答案】C【解答】解：∵BE平分∠ABC，DE⊥AB，∠ACB＝90°，∴ED＝EC，∴AE＝AC﹣EC＝AC﹣ED＝7﹣3＝4（cm），故选：C．41．（2022春•岳麓区校级期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是30cm2，AB＝13cm，AC＝7cm，则DE的长（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【答案】A【解答】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∴S△ABC＝×AB×DE+×AC×DF＝30（cm2），即×13×DE+×7×DF＝30，解得DE＝DF＝3cm，故选：A．42．（2022春•兰州期末）某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（）A．仅有一处B．有四处C．有七处D．有无数处【答案】A【解答】解：∵这个砂石场到三条公路的距离相等，砂石场在三条公路围成的三角形平地内，∴这个砂石场为三条公路所围成的三角形的内角平分线的交点，∴可供选择的地址仅有一处．故选：A．43．（2022春•港北区期末）如图，已知△ABC的周长是36cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（）A．48cm2B．54cm2C．60cm2D．66cm2【答案】B【解答】解：如图，过点O作OE⊥AC于点E，OF⊥AB于点F，连接OA，∵OB、OC分别平分∠ABC、∠ACB，OD⊥BC，∴OD＝OE＝OF＝3（cm），∴S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC＝×AB×OF+×BC×OD+×AC×OE＝×OD×C△ABC＝×3×36＝54（cm2）．故选：B．44．（2022春•汉寿县期末）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是20cm2，AB＝15cm，AC＝5cm，则DF的长为（）A．10cm B．5cm C．4cm D．2cm【答案】D【解答】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∵△ABC的面积是20cm2，∴•AB•DE+AC•DF＝20，即×15×DF+×5×DF＝20，解得DF＝2．故选：D．45．（2020秋•饶平县校级期末）如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由．【答案】略【解答】解：过点D分别作AE，AF的垂线，交AE于M，交AF于N则∠CMD＝∠BND＝90°，∵AD是∠EAF的平分线，∴DM＝DN，∵∠ACD+∠ABD＝180°，∠ACD+∠MCD＝180°，∴∠MCD＝∠NBD，在△CDM和△BDN中，∠CMD＝∠BND＝90°，∠MCD＝∠NBD，DM＝DN，∴△CDM≌△BDN，∴CD＝DB．46.（2021秋•阳江期末）如图，点P是∠MON中一点，P A⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，连接AB，∠P AB＝∠PBA．求证：OP平分∠MON．【答案】略【解答】证明：∵∠P AB＝∠PBA，∴P A＝PB，∵P A⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，∴P点在∠MON的平分线上，∴OP平分∠MON．47.（2021秋•红桥区期末）在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F．（1）若BE＝CF，求证：AD是△ABC的角平分线．（2）若AD是△ABC的角平分线，求证：BE＝CF．【答案】（1）略（2）略【解答】证明：（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴△BDE△DCF是直角三角形．在Rt△BDE与Rt△DCF中，，∴Rt△BDE≌Rt△DCF（HL），∴DE＝DF，又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD是△ABC的角平分线；（2）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE＝DF，∵AD是BC边的中线，∴BD＝CD，在Rt△BDE和Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），∴BE＝CF【考点6 角平分线的判定与性质综合应用】48.如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．（1）说明BE＝CF的理由；（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．【解答】（1）证明：连接BD，CD，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，∵DG⊥BC且平分BC，∴BD＝CD，在Rt△BED与Rt△CFD中，，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF；（2）解：在△AED和△AFD中，，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，设BE＝x，则CF＝x，∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，∴5﹣x＝3+x，解得：x＝1，∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．49．（2022春•临漳县期末）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝α，∠BCD＝180°﹣α，BD平分∠ABC．（1）如图1，若α＝90°，根据教材中一个重要性质直接可得DA＝CD，这个性质是角平分线上的点到角的两边距离相等（2）问题解决：如图2，求证AD＝CD；（3）问题拓展：如图3，在等腰△ABC中，∠BAC＝100°，BD平分∠ABC，求证：BD+AD ＝BC．【解答】解：（1）∵BD平分∠ABC，∠BAD＝90°，∠BCD＝90°，∴DA＝DC（角平分线上的点到角的两边距离相等），故答案为：角平分线上的点到角的两边距离相等；（2）如图2，作DE⊥BA交BA延长线于E，DF⊥BC于F，∵BD平分∠EBF，DE⊥BE，DF⊥BF，∴DE＝DF，∵∠BAD+∠C＝180°，∠BAD+∠EAD＝180°，∴∠EAD＝∠C，在△DEA和△DFC中，∴△DEA≌△DFC（AAS），∴DA＝DC；（3）如图，在BC时截取BK＝BD，连接DK，∵AB＝AC，∠A＝100°，∴∠ABC＝∠C＝40°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBK＝∠ABC＝20°，∵BD＝BK，∴∠BKD＝∠BDK＝80°，即∠A+∠BKD＝180°，由（2）的结论得AD＝DK，∵∠BKD＝∠C+∠KDC，∴∠KDC＝∠C＝40°，∴DK＝CK，∴AD＝DK＝CK，∴BD+AD＝BK+CK＝BC．。
三角形中线高角平分线的30题(有答案)ok1.在三角形ABC中，角A为30°，角B为70°，CE为角ACB的平分线，CD垂直于AB于点D，DF垂直于CE于点F。
1) 证明角BCD等于角ECD。
2) 找出所有与角B相等的角。
2.在三角形ABC中，AD为中线，BE为三角形ABD的中线。
1) 已知角ABE为15°，角BAD为35°，求角BED的度数。
2) 在三角形BED中，作BD边上的高。
3) 若三角形ABC的面积为60，BD为5，求点E到BC边的距离。
3.在三角形ABC中，AD是BC边上的中线，已知三角形ABD和三角形ADC的周长之差为4（其中AB＞AC），AB与AC的和为14，求AB和AC的长度。
4.在三角形ABC中，角A为20°，CD为角BCA的平分线，DE为CA边上的高，已知角EDA等于角CDB，求角B的度数。
5.在三角形ABC中，AD⊥BC，AE为角BAC的平分线，已知角B为30°，角C为70°。
1) 求角EAD的度数。
2) 若角B小于角C，是否有2倍角EAD等于角C减去角B？请说明理由。
6.在三角形ABC中，AD为高，AE为角平分线，已知角B为20°，角C为60°，求角CAD和角DAE的度数。
7.在三角形ABC中。
1) 若角A为60°，AB和AC边上的高CE和BD交于点O，求角BOC的度数。
2) 若角A为钝角，AB和AC边上的高CE和BD所在直线交于点O，画出图形，并用量角器量一量角BAC加上角BOC的度数，再用已学过的数学知识加以说明。
3) 由(1)和(2)可以得到，无论角A为锐角还是钝角，总有角BAC加上角BOC等于180°。
8.在三角形ABC中，已知角ABC为60°，角ACB为50°，BE为AC上的高，CF为AB上的高，H为BE和CF的交点，求角ABE、角ACF和角BHC的度数。
证明三角形的内角和定理
除了课本上给出的证明方法外还有多种证法,这里再介绍两种证法的思路：
方法1 如图,过顶点A作DE‖BC,
运用平行线的性质,可得∠B＝∠2,
∠C＝∠1,从而证得三角形的内角
和等于平角∠DAE.
方法2 如图,在△ABC的边BC上任取
一点D,过D作DE‖AB,DF‖AC,
分别交AC、AB于E、F,再运用平行
线的性质可证得△ABC的内角和等于
平角∠BDC.
三角形按角分类
根据三角形的内角和定理可知,三角形的任一个内角都小于180°,其内角可能都是锐角,也可能有一个直角或一个钝角.
三角形按角可分类如下：
根据三角形的内角和定理可有如下推论：
推论1 直角三角形的两个锐角互余.
推论2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
推论3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
同时我们还很容易得到如下几条结论：
（1）一个三角形最多有一个直角或钝角.
（2）一个三角形至少有两个内角是锐角.
（3）一个三角形至少有一个角等于或小于60°（否则,若三个内角都大于60°；则这个三角形的内角和大于180°,这与定理矛盾）.
(4) 三角形有六个外角,其中两两是对顶角相等,所以三角形的三个外角和等于360°.。
浙江省宁波市中考数学复习全景指导试卷（五）一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1．（4分）2-的绝对值为( ) A ．12-B ．2C ．12D ．2-2．（4分）下列计算正确的是( ) A ．2242a a a +=B ．5210a a a ⋅=C ．527()a a =D ．523a a a ÷=3．（4分）新型冠状病毒属冠状病毒属，冠状病毒科，体积很小，最大直径不超过140纳米（即0.00000014米）．数0.00000014用科学记数法表示为( ) A ．91.410-⨯ B ．81.410-⨯C ．71.410-⨯D ．61.410-⨯4．（4分）若分式12x -有意义，则x 的取值范围是( ) A ．2x >B ．2x ≠C ．0x ≠D ．2x ≠-5．（4分）下列因式分解正确的是( ) A ．2242(2)a a a a -+=-+ B ．22269(3)x xy y x y -+=- C ．222(2)(2)x y x y x y -=+-D ．222()a b a b +=+6．（4分）一次函数36y x =-+的图象与x 轴的交点坐标是( ) A ．(2,0)B ．(6,0)C ．(3,0)-D ．(0,6)7．（4分）如图，直线12//l l ，线段AB 交1l ，2l 于D ，B 两点，过点A 作AC AB ⊥，交直线1l 于点C ，若115∠=︒，则2(∠= )A ．95︒B ．105︒C ．115︒D ．125︒8．（4分）如图，天封塔是宁波港城的重要建筑物．小王在高台上的点A 处测得塔底点C 的俯角为α，塔顶点D 的仰角为β，已知塔高CD a =，则此时测量点A 与塔的水平距离AB 为( )A ．sin sin a a αβ+B ．tan tan a a αβ+C ．tan tan aαβ+D ．tan tan tan tan a αβαβ+9．（4分）如图，ABC ∆中，90BAC ∠>︒，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，AC 的垂直平分线交AC 于点F ，交BC 于点G ．若以BE ，EG ，GC 为边的三角形的面积为8，则ABC ∆的面积可能是( )A ．12B ．14C ．16D ．1810．（4分）我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了关于一元二次方程的几何解法．以方程25140x x +-=即(5)14x x +=为例：构造图1中四个小矩形的面积各为14，大正方形的面积是2(5)x x ++，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即24145⨯+，可得2x =．那么对于一元二次方程20x ax b ++=可以构造图2来解，已知图2由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么此方程的系数a ，b 分别是( )A ．2a =，3b =-B ．2a =±，3b =-C ．3a =，2b =-D ．3a =±，2b =-二、填空题（每小题5分，共30分）11．（5分）请写出一个大于4的无理数： ．12．（5分）袋中装有除颜色外其余均相同的4个红球和6个白球，从袋中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率为 ．13．（5分）已知2(2)58x y +=，2(2)18x y -=，则xy = ．14．（5分）已知二次函数26(0)y ax ax c a =++≠的图象与x 轴一个交点的横坐标为1-，则与x 轴的另一个交点的横坐标为 ．15．（5分）如图，ABC ∆中，2A B ∠=∠，D ，E 两点分别在AB ，AC 上，CD AB ⊥，AD AE =，92BD CE =，则tan B 的值为 ．16．（5分）如图，反比例函数4(0)y x x=>的图象与矩形ABCO 的边AB 交于点G ，与边BC交于点D ，过点A ，D 作//DE AF ，交直线(0)y kx k =<于点E ，F ，若OE OF =，2BG GA =，则四边形ADEF 的面积为 ．三、解答题（本大题有8小题，共80分） 17．（8分）（1）解方程组3298x y x y +=⎧⎨-=⎩．（2）先化简代数式22213(1)42a a a a -+÷--+，再选择一个你喜欢的数代入求值． 18．（8分）在如图所示的24⨯正方形网格中，ABC ∆为格点三角形． （1）sin ACB ∠的值为 ；（2）分别在图1和图2中，用无刻度的直尺画出一个与ABC ∆成轴对称的格点三角形．19．（8分）养成良好的早锻炼习惯，对学生的学习和生活都非常有益．某中学为了解七年级学生的早锻炼情况，在七年级随机抽取了部分学生，对这些学生通常情况下一天的早锻炼时间x （分钟）进行了调查，并把调查结果分成A ，B ，C ，D 四组，绘制成如下两幅不完整的统计图表．所抽取七年级学生早锻炼时间的频数统计表 组别时间x （分钟）人数A 010x < 10 B1020x < 20C2030x <mD3040x < 40请根据以上信息，解答下列问题：（1）求m 的值和A 组所对应的扇形圆心角的度数；（2）所抽取的七年级学生早锻炼时间的中位数在哪个小组内？（3）已知该校七年级共有900名学生，请你估计这个年级学生中有多少人一天早锻炼的时间不少于20分钟．（早锻炼：指学生在早晨7:00~7:40之间的锻炼）20．（10分）如图，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象与x 轴两个交点的横坐标分别是4-和2，点(,7)A d 和(4,7)B 均在该二次函数的图象上，一次函数(0)y kx e k =+≠的图象经过点A 和(2,0)． （1）求d 的值；（2）求二次函数图象的顶点坐标； （3）请根据图象回答下列问题：①若2ax bx c kx e ++<+，请直接写出x 的取值范围；②若点(,)C m n在该二次函数图象上，C到y轴的距离小于4，求n的取值范围．21．（10分）目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈．某校欲购置规格分别为300ml和500ml的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买2瓶甲和1瓶乙免洗手消毒液需要55元，购买3瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要145元．（1）求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．（2）该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用10ml的免洗手消毒液，若校方采购甲、乙两种免洗手消毒液共花费5000元，则这批消毒液可使用多少天？（3）为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将9.6L的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为300ml和500ml的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗20ml，请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量．22．（10分）如图，四边形ABCD内接于O，对角线AC为O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DF．（1）求证：DF是O的切线；（2）若DB平分ADCAD DE=，写出求DE长的思路．∠，AB a=，:4:123．（12分）将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，其中点E与点B，点G与点D分别是对应点，连接BG．（1）如图，若点A，E，D第一次在同一直线上，BG与CE交于点H，连接BE．①求证：BE平分∠AEC．②取BC的中点P，连接PH，求证：PH∥CG．③若BC＝2AB＝2，求BG的长．（2）若点A，E，D第二次在同一直线上，BC＝2AB＝4，直接写出点D到BG的距离．24．（14分）定义：过三角形的一个顶点作该三角形的高线和角平分线，这两条线段所夹的角称为该三角形的珍珠角．（1）如图1，∠DAE是△ABC的珍珠角，∠B＝α，∠C＝β，α＞β，请用α和β表示∠DAE．（2）如图2，△ABC中，∠BAC＞∠B＞∠C，以AC为直径作⊙O交BC于点D，点F 在上，AF交DC于点E，∠FDC＝∠BAE．求证：∠DAE是△ABC的珍珠角．（3）在（2）的条件下，如图3，连接OD，交AE于点G，OG＝AB．若GF＝m，BD ＝n，求BC的长（用含m，n的式子表示）．2021年浙江省宁波市中考数学复习全景指导试卷（五）参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1．（4分）2-的绝对值为( ) A ．12-B ．2C ．12D ．2-【解答】解：2-的绝对值为2， 故选：B ．2．（4分）下列计算正确的是( ) A ．2242a a a +=B ．5210a a a ⋅=C ．527()a a =D ．523a a a ÷=【解答】解：A ．2222a a a +=，故A 选项不符合题意；B ．527a a a ⋅=，故B 选项不符合题意；C ．5210()a a =，故C 选项不符合题意；D ．523a a a ÷=，故D 选项符合题意；故选：D ．3．（4分）新型冠状病毒属冠状病毒属，冠状病毒科，体积很小，最大直径不超过140纳米（即0.00000014米）．数0.00000014用科学记数法表示为( ) A ．91.410-⨯B ．81.410-⨯C ．71.410-⨯D ．61.410-⨯【解答】解：70.00000014 1.410-=⨯， 故选：C ． 4．（4分）若分式12x -有意义，则x 的取值范围是( ) A ．2x >B ．2x ≠C ．0x ≠D ．2x ≠-【解答】解：依题意得：20x -≠， 解得2x ≠． 故选：B ．5．（4分）下列因式分解正确的是( ) A ．2242(2)a a a a -+=-+ B ．22269(3)x xy y x y -+=- C ．222(2)(2)x y x y x y -=+-D ．222()a b a b +=+【解答】解：由于2242(2)a a a a -+=--，所以选项A 不符合题意； 由于22269(3)x xy y x y -+=-，所以选项B 符合题意； 由于224(2)(2)x y x y x y -=+-，所以选项C 不符合题意； 由于2222()a ab b a b ++=+，所以选项D 不符合题意； 故选：B ．6．（4分）一次函数36y x =-+的图象与x 轴的交点坐标是( ) A ．(2,0)B ．(6,0)C ．(3,0)-D ．(0,6)【解答】解：把0y =代入36y x =-+得，2x =，∴图象与x 轴的交点坐标为(2,0)．故选：A ．7．（4分）如图，直线12//l l ，线段AB 交1l ，2l 于D ，B 两点，过点A 作AC AB ⊥，交直线1l 于点C ，若115∠=︒，则2(∠= )A ．95︒B ．105︒C ．115︒D ．125︒【解答】解：AC AB ⊥，90A ∴∠=︒， 115∠=︒，180901575ADC ∴∠=︒-︒-︒=︒， 12//l l ，375ADC ∴∠=∠=︒， 218075105∴∠=︒-︒=︒，故选：B ．8．（4分）如图，天封塔是宁波港城的重要建筑物．小王在高台上的点A 处测得塔底点C 的俯角为α，塔顶点D 的仰角为β，已知塔高CD a =，则此时测量点A 与塔的水平距离AB 为( )A ．sin sin a a αβ+B ．tan tan a a αβ+C ．tan tan aαβ+D ．tan tan tan tan a αβαβ+【解答】解：设AB x =，在Rt ABD ∆中有，tan tan BD AB x ββ=⋅=⋅， 在Rt ABC ∆中有，tan tan BC AB x αα=⋅=⋅， 又CD a =，tan tan x x a βα∴⋅+⋅=， tan tan ax αβ∴=+，即tan tan aAB αβ=+，故选：C ．9．（4分）如图，ABC ∆中，90BAC ∠>︒，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，AC 的垂直平分线交AC 于点F ，交BC 于点G ．若以BE ，EG ，GC 为边的三角形的面积为8，则ABC ∆的面积可能是( )A ．12B ．14C ．16D ．18【解答】解：连接AE 、AG ， DE 是AB 的垂直平分线，FG 是AC 的垂直平分线，EA EB ∴=，GA GC =，以BE ，EG ，GC 为边的三角形的面积为8，AEG ∴∆的面积为8，AE AG EG +>，BE CG EG ∴+>，AEB ∴∆的面积ACG +∆的面积AEG >∆的面积，ABC ∴∆的面积2AEG >∆的面积16=，故选：D ．10．（4分）我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了关于一元二次方程的几何解法．以方程25140x x +-=即(5)14x x +=为例：构造图1中四个小矩形的面积各为14，大正方形的面积是2(5)x x ++，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即24145⨯+，可得2x =．那么对于一元二次方程20x ax b ++=可以构造图2来解，已知图2由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4．那么此方程的系数a ，b 分别是( )A ．2a =，3b =-B ．2a =±，3b =-C ．3a =，2b =-D ．3a =±，2b =-【解答】解：20x ax b ++=，()x x a b ∴+=-，∴四个小矩形的面积各为b -，大正方形的面积是2()x x a ++，其中它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即24()b a ⨯-+，图2由4个面积为3的相同矩形构成，中间围成的正方形面积为4，3b ∴-=，24a =，解得：3b =-，2a =±，故选：B ．二、填空题（每小题5分，共30分）11．（5分）请写出一个大于4【解答】解：4=，∴．12．（5分）袋中装有除颜色外其余均相同的4个红球和6个白球，从袋中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率为 25． 【解答】解：袋中装有除颜色外其余均相同的4个红球和6个白球，共有10个球， ∴从袋中任意摸出一个球，则摸出的球是红球的概率为：42105=． 故答案为：25． 13．（5分）已知2(2)58x y +=，2(2)18x y -=，则xy = 5 ．【解答】解：2(2)58x y +=，2(2)18x y -=，22(2)(2)42x y x y xy ∴+--=⨯，58188xy ∴-=，5xy ∴=．故答案是：5．14．（5分）已知二次函数26(0)y ax ax c a =++≠的图象与x 轴一个交点的横坐标为1-，则与x 轴的另一个交点的横坐标为 5- ．【解答】解：二次函数226(3)6y ax ax c a x a c =++=+-+，∴该函数的对称轴是直线3x =-，二次函数26y ax ax c =++的图象与x 轴的一个交点为(1,0)-，∴它与x 轴的另一个交点的坐标是：(5,0)-，故答案为：5-．15．（5分）如图，ABC ∆中，2A B ∠=∠，D ，E 两点分别在AB ，AC 上，CD AB ⊥，AD AE =，92BD CE =，则tan B 的值为 23．【解答】解：如图，过点C 作CF DC ⊥交DE 的延长线于F ，设B α∠=，则2A α∠=，1802ADE AED α∴∠+∠=︒-，AD AE =，90ADE AED α∴∠=∠=︒-，CD AB ⊥，CF CD ⊥，CDF α∴∠=，90F α∠=︒-，又90AED CEF α∠=∠=︒-，90CEF F α∴∠=∠=︒-，CE CF ∴=，tan tan CF CD CDF ABC CD BD ∠==∠=， 2tan CF CD CF CE B CD BD BD BD∴=⋅==， 92BD CE ≡， ∴22tan 9CE B BD ==，22tan 93B ∴==， 故答案为：23．16．（5分）如图，反比例函数4(0)y x x=>的图象与矩形ABCO 的边AB 交于点G ，与边BC 交于点D ，过点A ，D 作//DE AF ，交直线(0)y kx k =<于点E ，F ，若OE OF =，2BG GA =，则四边形ADEF 的面积为 12 ．【解答】解：延长DE 交x 轴于K ，作DH OA ⊥于H ，设4(,)G a a ，则OA a =，4AG a=， 2BG GA =，8BG a∴=， 12DH AB AG BG a ∴==+=， //DE AF ，EKO FAO ∴∠=∠，在OEK ∆和OFA ∆中，EKO FAO EOK FOA OE OF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()OEK OFA AAS ∴∆≅∆，OK OA a ∴==，2AK a ∴=，111221222KEO ADK ADEF ADEO S S S S AK DH a a∆∆∴=+==⋅=⨯⨯=四边形四边形． 故答案为：12．三、解答题（本大题有8小题，共80分）17．（8分）（1）解方程组3298x y x y +=⎧⎨-=⎩． （2）先化简代数式22213(1)42a a a a -+÷--+，再选择一个你喜欢的数代入求值． 【解答】解：（1）3298x y x y +=⎧⎨-=⎩①②， ①2+⨯②，得525x =，5x ∴=．把5x =代入②，得58y -=，3y ∴=-．∴原方程组的解为53x y =⎧⎨=-⎩． （2）原式2(1)1(2)(2)2a a a a a --=÷+-+ 2(1)2(2)(2)1a a a a a -+=⋅+-- 12a a -=+． 当0a =时， 原式12=-． 18．（8分）在如图所示的24⨯正方形网格中，ABC ∆为格点三角形．（1）sin ACB ∠的值为 ； （2）分别在图1和图2中，用无刻度的直尺画出一个与ABC ∆成轴对称的格点三角形．【解答】解：（1）设小正方形的边长为1，在Rt BAC ∆中，90BAC ∠=︒，2AB =，10BC =， 25sin 510AB ACB BC ∴∠===． （2）如图1，2中，图形如图所示．19．（8分）养成良好的早锻炼习惯，对学生的学习和生活都非常有益．某中学为了解七年级学生的早锻炼情况，在七年级随机抽取了部分学生，对这些学生通常情况下一天的早锻炼时间x （分钟）进行了调查，并把调查结果分成A ，B ，C ，D 四组，绘制成如下两幅不完整的统计图表．所抽取七年级学生早锻炼时间的频数统计表 组别 时间x （分钟） 人数A010x < 10 B1020x < 20 C 2030x < mD 3040x < 40请根据以上信息，解答下列问题：（1）求m 的值和A 组所对应的扇形圆心角的度数；（2）所抽取的七年级学生早锻炼时间的中位数在哪个小组内？（3）已知该校七年级共有900名学生，请你估计这个年级学生中有多少人一天早锻炼的时间不少于20分钟．（早锻炼：指学生在早晨7:00~7:40之间的锻炼）【解答】解：（1）抽样调查的总人数为：2010%200÷=（人)，200102040130m =---=，A 组所对应的扇形圆心角的度数为：1036018200︒⨯=︒；（2）由题意，中位数是按从小到大排列后的第100和101两人的平均数，在C 组；（3）13040900765200+⨯=（人)， 答：这个年级学生中有765人一天早锻炼的时间不少于20分钟．20．（10分）如图，已知二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象与x 轴两个交点的横坐标分别是4-和2，点(,7)A d 和(4,7)B 均在该二次函数的图象上，一次函数(0)y kx e k =+≠的图象经过点A 和(2,0)．（1）求d 的值；（2）求二次函数图象的顶点坐标；（3）请根据图象回答下列问题：①若2ax bx c kx e ++<+，请直接写出x 的取值范围；②若点(,)C m n 在该二次函数图象上，C 到y 轴的距离小于4，求n 的取值范围．【解答】解：（1）根据对称性442d a +=-+，6d ∴=，（2）(4)(2)y a x x ∴=+-，代入(4,7)B ，解得716a =， 2763(1)1616y x ∴=+-， ∴顶点坐标为63(1,)16--； （3）①由图像可知62x -<<，②4m =-时，0n =；4m =，7n =；1m =-，6316n =-， n ∴的取值范围为63716n -<． 21．（10分）目前，新型冠状病毒在我国虽可控可防，但不可松懈．某校欲购置规格分别为300ml 和500ml 的甲、乙两种免洗手消毒液若干瓶，已知购买2瓶甲和1瓶乙免洗手消毒液需要55元，购买3瓶甲和4瓶乙免洗手消毒液需要145元．（1）求甲、乙两种免洗手消毒液的单价．（2）该校在校师生共1000人，平均每人每天都需使用10ml 的免洗手消毒液，若校方采购甲、乙两种免洗手消毒液共花费5000元，则这批消毒液可使用多少天？（3）为节约成本，该校购买散装免洗手消毒液进行分装，现需将9.6L 的免洗手消毒液全部装入最大容量分别为300ml 和500ml 的两种空瓶中（每瓶均装满），若分装时平均每瓶需损耗20ml ，请问如何分装能使总损耗最小，求出此时需要的两种空瓶的数量．【解答】解：（1）设甲种免洗手消毒液的单价为x 元，乙种免洗手消毒液的单价为y 元，依题意，得：25534145x y x y +=⎧⎨+=⎩， 解得：1525x y =⎧⎨=⎩． 答：甲种免洗手消毒液的单价为15元，乙种免洗手消毒液的单价为25元．（2）设购进甲种免洗手消毒液a 瓶，乙种免洗手消毒液b 瓶，依题意，得：15255000a b +=， ∴30050020(1525)20500010100010100010100010a b a b ++⨯===⨯⨯⨯． 答：这批消毒液可使用10天．（3）设分装300ml 的免洗手消毒液m 瓶，500ml 的免洗手消毒液n 瓶， 依题意，得：30050020()9600m n m n +++=，13308m n ∴=-． m ，n 均为正整数，∴178m n =⎧⎨=⎩和416m n =⎧⎨=⎩． 要使分装时总损耗20()m n +最小，∴416m n =⎧⎨=⎩， 即分装时需300ml 的空瓶4瓶，500ml 的空瓶16瓶，才能使总损耗最小．22．（10分）如图，四边形ABCD 内接于O ，对角线AC 为O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，点F 为CE 的中点，连接DB ，DF ．（1）求证：DF 是O 的切线；（2）若DB 平分ADC ∠，AB a =，:4:1AD DE =，写出求DE 长的思路．【解答】解：（1）证明：连接OD ．OD CD =，ODC OCD ∴∠=∠． AC 为O 的直径，90ADC EDC ∴∠=∠=︒．点F 为CE 的中点，DF CF ∴=．FDC FCD ∴∠=∠．FDO FCO ∴∠=∠．又AC CE ⊥，90FDO FCO ∴∠=∠=︒．DF ∴是O 的切线；（2）①由DB 平分ADC ∠，AC 为O 的直径，证明ABC ∆是等腰直角三角形； ②由AB a =，求出AC 2a ；③由90ACE ADC ∠=∠=︒，CAE ∠是公共角，证明ACD AEC ∆∆∽，得到2AC AD AE =； ④设DE 为x ，由:4:1AD DE =，求出10DE =． 解：DB 平分ADC ∠，ADB CDB ∴∠=∠，BAC BCA ∴∠=∠，AB BC ∴=， AC 为O 的直径，90ABC ∴∠=︒，ABC ∴∆是等腰直角三角形，AB a =， 2AC a ∴=，90ACE ADC ∠=∠=︒，CAE ∠是公共角，ACD AEC ∴∆∆∽，::AC AE AD AC ∴=，2AC AD AE ∴=，设DE 为x ，:4:1AD DE =，4AD x ∴=，22(2)20a x ∴=，解得1010x a =． 即1010DE a =．23．（12分）将矩形ABCD 绕着点C 按顺时针方向旋转得到矩形FECG ，其中点E 与点B ，点G 与点D 分别是对应点，连接BG ．（1）如图，若点A ，E ，D 第一次在同一直线上，BG 与CE 交于点H ，连接BE ． ①求证：BE 平分∠AEC ．②取BC 的中点P ，连接PH ，求证：PH ∥CG ．③若BC ＝2AB ＝2，求BG 的长．（2）若点A ，E ，D 第二次在同一直线上，BC ＝2AB ＝4，直接写出点D 到BG 的距离．【解答】（1）①证明：∵矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，∴CB＝CE，∴∠EBC＝∠BEC，又∵AD∥BC，∴∠EBC＝∠BEA，∴∠BEA＝∠BEC，∴BE平分∠AEC；②证明：如图1，过点B作CE的垂线BQ，∵BE平分∠AEC，BA⊥AE，BQ⊥CE，∴AB＝BQ，∴CG＝BQ，∵∠BQH＝∠GCH＝90°，BQ＝AB＝CG，∠BHQ＝∠GHC，∴△BHQ≌△GHC（AAS），∴BH＝GH，即点H是BG中点，又∵点P是BC中点，∴PH∥CG；③解：如图2，过点G作BC的垂线GM，∵BC＝2AB＝2，∴BQ＝1，∴∠BCQ＝30°，∵∠ECG＝90°，∴∠GCM＝60°，∵CG＝AB＝CD＝1，∴GM＝，CM＝，∴BG＝＝＝；（2）解：如图3，连接DB，DG，过G作GP⊥BC交BC的延长线于P，GN⊥DC交DC 的延长线于N，∵BC＝2AB＝4，∴AB＝2，∵将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，∴CE＝BC＝4，CD＝AB＝2，∵点A，E，D第二次在同一直线上，∴∠CDE＝90°，∴CD＝CE，∴∠DEC＝30°，∴∠DCE＝60°，∴∠NCG＝30°，CG＝2，∴NG＝1，PG＝，∴S△DBG＝S△DBC+S△DCG+S△BCG＝5+2，BG＝＝2，∴DM＝＝+．24．（14分）定义：过三角形的一个顶点作该三角形的高线和角平分线，这两条线段所夹的角称为该三角形的珍珠角．（1）如图1，∠DAE是△ABC的珍珠角，∠B＝α，∠C＝β，α＞β，请用α和β表示∠DAE．（2）如图2，△ABC中，∠BAC＞∠B＞∠C，以AC为直径作⊙O交BC于点D，点F 在上，AF交DC于点E，∠FDC＝∠BAE．求证：∠DAE是△ABC的珍珠角．（3）在（2）的条件下，如图3，连接OD，交AE于点G，OG＝AB．若GF＝m，BD ＝n，求BC的长（用含m，n的式子表示）．【解答】（1）解：∵AE是△ABC的角平分线，∴∠BAE＝∠CAE，即∠BAD+∠DAE＝∠DAC﹣∠DAE，∴2∠DAE＝∠DAC﹣∠BAD，∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，∴∠DAC＝90°﹣∠C，∠BAD＝90°﹣∠B，∴2∠DAE＝∠B﹣∠C，∵∠B＝α，∠C＝β，∴2∠DAE＝α﹣β，∴∠DAE＝；（2）证明：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴AD是△ABC的高，∵∠FDC＝∠BAE，∠FDC＝∠EAC，∴∠BAE＝∠EAC，∴AE是△ABC的角平分线，∴∠DAE是△ABC的珍珠角；（3）解：在DC上取DH＝DB，连接AH，OF，在△ADB和△ADH中，，∴△ADB≌△ADH（SAS），∴AB＝AH，∠B＝∠AHB，又∵OG＝，∴OG＝，∠HAC＝∠AHB﹣∠C＝∠B﹣∠C，∵∠DAE＝，∴∠HAC＝2∠DAE，∵∠GOF＝2∠DAE，∴∠GOF＝∠HAC，∵OG＝，OF＝，∴，∴△OGF∽△AHC，∴，∵GF＝m，∴HC＝2m，∵BD＝DH＝n，∴BC＝2m+2n．。
