高三一轮复习测试题(三角函数三角恒等变换)

高三数学复习（第3章三角函数与三角恒等变换）：3.9三角条件等式的证明一、选择题（共3小题，每小题5分，满分10分）1．（5分）已知第二象限角θ满足sinθ﹣12.5cos2θ﹣11.5＝0，则的值是（）A．B．﹣C．±D．±2．（5分）已知的值是（）A．B．2C．1D．3．（5分）（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．即非充分又非必要条件二、填空题（共1小题，每小题4分，满分4分）4．（4分）的值为．三、解答题（共19小题，满分0分）5．求sin220°+cos280°+sin20°cos80°的值．6．已知．7．求证：﹣2cos（α+β）＝．8．已知α、β、γ∈（0，），sinα+sinγ＝sinβ，cosβ+cosγ＝cosα，求β﹣α的值．9．已知：α，β为锐角，且3sin2α+2sin2β＝1，3sin2α﹣2sin2β＝0．求证：．10．已知A、B、C同时满足sin A+sin B+sin C＝0，cos A+cos B+cos C＝0，求证：cos2A+cos2B+cos2C 为定值．11．已知：，cosαcosβ＝cosα+cosβ，求：的值．12．已知：a sin x+b cos x＝0①，A sin2x+B cos2x＝C②，其中a，b不同时为0，求证：2abA+（b2﹣a2）B+（a2+b2）C＝0．13．已知sin A+sin3A+sin5A＝a，cos A+cos3A+cos5A＝b．求证：（1）当b≠0时，tan3A＝．（2）（1+2cos2A）2＝a2+b2．14．已知α、β、γ都是锐角，且cos2α+cos2β+cos2γ＝1，求证：．15．已知（﹣）2＝tan2α﹣tan2β，求证cosθ＝16．已知，α、β为锐角，求证：．17．已知sin2（α+β）＝n sin2y，且sin2y≠0n≠1，求证：．18．设θ和φ是方程a cos x+b sin x＝c的二个根，且θ±φ≠2kπ（k∈Z），a、b、c≠0，求证：．19．已知sinθ+cosθ＝a，sinθ﹣cosθ＝b，求证：a2+b2＝2．20．已知α+β＝，求证：sin（2α+β）tanα+cos（α+2β）cotβ＝0．21．已知，求证：y＝x2﹣4x+5．22．已知．23．已知cot2α＝1+2cot2β，求证：sin2β＝2﹣2cos2α．高三数学复习（第3章三角函数与三角恒等变换）：3.9三角条件等式的证明参考答案与试题解析一、选择题（共3小题，每小题5分，满分10分）1．（5分）已知第二象限角θ满足sinθ﹣12.5cos2θ﹣11.5＝0，则的值是（）A．B．﹣C．±D．±【解答】解：sinθ﹣12.5cos2θ﹣11.5＝sinθ﹣12.5+25sin2θ﹣11.5＝25sin2θ+sinθ﹣24＝0解得sinθ＝或﹣1（排除）∵θ为第二象限角∴cosθ＝﹣＝∵θ为第二象限角∴第一或第三象限角∴＝±＝±故选：D．2．（5分）已知的值是（）A．B．2C．1D．【解答】解：＝＝＝2（4﹣3）＝2故选：B．3．（5分）（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．即非充分又非必要条件【解答】解：∵a cos2θ+b sin2θ＝当时，a cos2θ+b sin2θ＝＝a当a＝b＝0时，a cos2θ+b sin2θ＝a成立，而不成立．故，是a cos2θ+b sin2θ＝a的充分不必要条件故选：C．二、填空题（共1小题，每小题4分，满分4分）4．（4分）的值为．【解答】解：∵sinα+sinβ＝，cosα+cosβ＝，∴①，②，①+②，得2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）＝，即cos（α﹣β）＝，∴＝．故答案为．三、解答题（共19小题，满分0分）5．求sin220°+cos280°+sin20°cos80°的值．【解答】解：原式＝sin220°+sin210°+sin20°cos（60°+20°）＝sin220°+（1﹣cos20°）+sin20°cos20°﹣sin220°，＝（1﹣cos20°）+sin40°﹣＝﹣cos20°+（sin40°+cos40°）＝﹣cos20°+sin70°＝．故答案为．6．已知．【解答】证明：tan2＝＝＝＝•＝原式得证．7．求证：﹣2cos（α+β）＝．【解答】证明：∵sin（2α+β）﹣2cos（α+β）sinα＝sin[（α+β）+α]﹣2cos（α+β）sinα＝sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα﹣2cos（α+β）sinα＝sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα＝sin[（α+β）﹣α]＝sinβ．两边同除以sinα得﹣2cos（α+β）＝．∴原式得证8．已知α、β、γ∈（0，），sinα+sinγ＝sinβ，cosβ+cosγ＝cosα，求β﹣α的值．【解答】解：由已知，得sinγ＝sinβ﹣sinα，cosγ＝cosα﹣cosβ．平方相加得（sinβ﹣sinα）2+（cosα﹣cosβ）2＝1．∴﹣2cos（β﹣α）＝﹣1．∴cos（β﹣α）＝．∴β﹣α＝±．∵sinγ＝sinβ﹣sinα＞0，∴β＞α．∴β﹣α＝．9．已知：α，β为锐角，且3sin2α+2sin2β＝1，3sin2α﹣2sin2β＝0．求证：．【解答】解：由3sin2α+2sin2β＝1，得：3sin2α＝cos2β．．∴sin22β+cos22β＝9sin2αcos2α+9sin4α∴9sin2α＝1．∴sinα＝（α为锐角）∴sin（α+2β）＝sinαcos2β+cosαsin2β＝sinα（3sin2α）+cosα（3sinαcosα）＝3sinα（sin2α+cos2α）＝3sinα＝1∴．10．已知A、B、C同时满足sin A+sin B+sin C＝0，cos A+cos B+cos C＝0，求证：cos2A+cos2B+cos2C 为定值．【解答】证明：先两式变形sinα+sinβ＝﹣sinγ，cosα+cosβ＝﹣cosγ，再平方，（sinα+sinβ）2＝sin2γ，①（cosα+cosβ）2＝cos2γ，②①+②化简得cos（α﹣β）＝﹣，③②﹣①化简得，cos2γ＝cos2α+cos2β+2cos（α+β），④所以cos2α+cos2β+cos2γ＝++＝+，将④代入＝+cos2α+cos2β+cos（α+β）＝+cos[（α+β）+（α﹣β）]+cos[（α+β）﹣（α﹣β）]+cos（α+β）＝+2cos（α+β）cos（α﹣β）+cos（α+β），将③代入＝故cos2A+cos2B+cos2C为定值，值为．11．已知：，cosαcosβ＝cosα+cosβ，求：的值．【解答】解：cosαcosβ＝cosα+cosβ，可得[cos（α+β）+cos（α﹣β）]＝2即：[2cos2﹣1+2cos2﹣1]＝令＝t上式化为：t2﹣﹣＝0t＝．所以＝．12．已知：a sin x+b cos x＝0①，A sin2x+B cos2x＝C②，其中a，b不同时为0，求证：2abA+（b2﹣a2）B+（a2+b2）C＝0．【解答】证明：则①可写成cos y sin x﹣sin y cos x＝0，∴sin（x﹣y）＝0∴x﹣y＝kπ（k为整数），∴x＝y+kπ又sin2x＝sin2（y+kπ）＝sin2y＝2sin y cos y＝cos2x＝cos2y＝cos2y﹣sin2y＝代入②，得，∴2abA+（b2﹣a2）B+（a2+b2）C＝0．13．已知sin A+sin3A+sin5A＝a，cos A+cos3A+cos5A＝b．求证：（1）当b≠0时，tan3A＝．（2）（1+2cos2A）2＝a2+b2．【解答】证明：（1）sin A+sin3A+sin5A＝sin A+sin5A+sin3A＝2sin cos+sin3A＝2sin3A•cos2A+sin3A＝sin3A（1+2cos2A），∴sin3A（1+2cos2A）＝a①同理有cos3A（1+2cos2A）＝b②两式相除，即得tan3A＝（2）∵根据（1）sin3A（1+2cos2A）＝a，①cos3A（1+2cos2A）＝b，②∴①2+②2sin23A（1+2cos2A）2+cos23A（1+2cos2A）2＝a2+b2，∴（1+2cos2A）2（sin23A+cos23A）＝a2+b2，∴（1+2cos2A ）2＝a 2+b 2．14．已知α、β、γ都是锐角，且cos 2α+cos 2β+cos 2γ＝1，求证：．【解答】解：通过观察、联想：在长方体中，a 2+b 2+c 2＝l 2⇒∵α、β、γ是锐角，∴令＝cos α，＝cos β，＝cos γ∴tan α＝，tan β，tan γ，∴tan αtan βtan γ．15．已知（﹣）2＝tan 2α﹣tan 2β，求证cos θ＝【解答】解：因为（﹣）2＝tan 2α﹣tan 2β，所以tan 2α﹣2tan αtan βcos θ+tan 2βcos 2θ＝sin 2θ（tan 2α﹣tan 2β）即：tan 2α﹣2tan αtan βcos θ+tan 2β＝sin 2θtan 2α∴tan 2αcos 2θ﹣2tan αtan βcos θ+tan 2β＝0即（tan αcos θ﹣tan β）2＝0所以cos θ＝16．已知，α、β为锐角，求证：．【解答】证明：∵α、β为锐角，sin β＝，∴cos β＝＝，tan β＝，∴tan2β＝＝，又tan α＝＜1，则tan （α+2β）＝＝＝1，∵α+2β∈（0，），得到α+2β可以为或，根据tan α＝，得到α＜；tan β＝，得到β＜，所以α+2β＝17．已知sin2（α+β）＝n sin2y，且sin2y≠0n≠1，求证：．【解答】解：要证等式成立，只要证＝，只要证（n﹣1）sin（α+β+y）•cos（α+β﹣y）＝（n+1）sin（α+β﹣y）•cos（α+β+y），即证n{sin（α+β+y）•cos（α+β﹣y）﹣sin（α+β﹣y）•cos（α+β+y）}＝即证sin（α+β﹣y）•cos（α+β+y）+sin（α+β+y）•cos（α+β﹣y），即证n sin2y＝sin（2α+2β）＝sin2（α+β）．而n sin2y＝sin2（α+β）为已知条件，故要证的等式成立．18．设θ和φ是方程a cos x+b sin x＝c的二个根，且θ±φ≠2kπ（k∈Z），a、b、c≠0，求证：．【解答】解：∵θ和φ是方程a cos x+b sin x＝c的二个根∴a cosθ+b sinθ＝c①a cosφ+b sinφ＝c②①﹣②得a（cosθ﹣cosφ）+b（sinθ﹣sinφ）＝0∴﹣2a sin sin+2b cos sin＝sin（b cos﹣a sin）＝0∵θ±φ≠2kπ∴sin≠0∴b cos﹣a sin＝0，即＝③同理①+②得（a cos+b sin）cos＝c④把③代入④得＝故．19．已知sinθ+cosθ＝a，sinθ﹣cosθ＝b，求证：a2+b2＝2．【解答】证明：∵sinθ+cosθ＝a，sinθ﹣cosθ＝b，∴a2＝sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ＝1+2sinθcosθ，b2＝sin2θ+cos2θ﹣2sinθcosθ＝1﹣2sinθcosθ，∴a2+b2＝1+2sinθcosθ+1﹣2sinθcosθ＝2；故原式得证．20．已知α+β＝，求证：sin（2α+β）tanα+cos（α+2β）cotβ＝0．【解答】证明：∵sin（2α+β）tanα+cos（α+2β）cotβ＝sin（α+α+β）tanα+cos（α+α+β）cotβ＝cosα﹣sinβ＝sinα﹣cosβ又∵α+β＝∴sinα﹣cosβ＝sinα﹣sin（﹣α）＝sinα﹣sinα＝021．已知，求证：y＝x2﹣4x+5．【解答】证明：由x＝2+tan得x﹣2＝tan＝，故（x﹣2）2＝＝＝＝﹣1又故（x﹣2）2＝y﹣1整理得y＝x2﹣4x+5证毕22．已知．【解答】证明：∵∴∴＝＝＝＝即＝证毕．23．已知cot2α＝1+2cot2β，求证：sin2β＝2﹣2cos2α．【解答】解：cot2α＝1+2cot2β可得就是cos2αsin2β﹣sin2αsin2β＝2cos2βsin2α∴cos2αsin2β﹣sin2αsin2β＝2（1﹣sin2β）sin2αcos2αsin2β+sin2αsin2β＝2sin2α∴sin2β＝2sin2α即：sin2β＝2﹣2cos2α．所以等式成立．第11页（共11页）。

4.2三角恒等变换考点三角恒等变换1.(2017课标Ⅲ文,4,5分)已知sinα-cosα=43,则sin2α=()A.-79 B.-29C.29D.79答案A ∵(sinα-cosα)2=169,∴sin2α=-79.解后反思涉及sinα±cosα,sinαcosα的问题,通常利用公式(sinα±cosα)2=1±2sinαcosα进行转换.2.(2017山东文,4,5分)已知cosx=34,则cos2x=()A.-14 B.14C.-18D.18答案D 本题考查二倍角余弦公式.因为cosx=34,所以cos2x=2cos 2-1=18.3.(2016课标Ⅲ文,6,5分)若tanθ=-13,则cos2θ=()A.-45 B.-15C.15D.45答案D 解法一:cos2θ=cos 2θ-sin 2θ=cos 2θ-sin 2θcos 2θ+sin 2θ=1−tan 2θ1+tan 2θ=45.故选D.解法二:由tanθ=-13,可得因而cos2θ=1-2sin 2θ=45.评析本题考查化归与转化的能力.属中档题.4.(2015课标Ⅰ理,2,5分)sin20°cos10°-cos160°sin10°=()C.-12D.12答案D 原式=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin(20°+10°)=sin30°=12,故选D.5.(2015重庆理,9,5分)若tanα=2tan π5,)A.1B.2C.3D.4答案C=sinvos π5+cosLin π5sinvos π5-cosLin π5=tanrtan π5tanttan π5,∵tanα=2tanπ5,∴=3tanπ5tanπ5=3.故选C.6.(2015重庆文,6,5分)若tanα=13,tan(α+β)=12,则tanβ=()A.17B.16C.57D.56答案A tanβ=tan[(α+β)-α]=tan(rp-tan1+tan(rp·tan=12-131+12×13=17,故选A.7.(2013课标Ⅱ文,6,5分)已知sin2α=23,则cos2)A.16B.13C.12D.23答案A cos2=1−sin22,把sin2α=23代入,原式=16.选A.评析本题考查了三角函数的化简求值,考查了降幂公式、诱导公式的应用.8.(2016课标Ⅱ,9,5分)若-α=35,则sin2α=()A.725B.15C.-15D.-725答案D解法一:因为-α=35,所以-2α=cos2-α=2cos-α-1=-725.故选D.解法二-α(cosα+sinα)=35⇒1+sin2α=1825,∴sin2α=-725.故选D. 9.(2021全国乙文,6,5分)cos2π12−cos25π12=()A.12答案D解析解法一:cos2π5π12=π=cos2π12−sin2π12=cosπ6=解法二:cos2π12−cos25π12cos2−cos2=cosπ4π6π4π4π6sinπ4×10.(2021全国甲理,9,5分)若α∈tan2α=cos2−sin,则tanα=()答案A 解题指导:先将切化弦,再将分式化为整式,利用两角差的余弦公式及二倍角公式将异角化为同角,最后利用同角三角函数的基本关系求解.解析∵tan 2α=cos 2−sin ,且α∈0,∴sin2cos2=cos2−sin ,∴2sin 2α=cos αcos 2α+sin αsin 2α,即4sin αcos α=cos (2α-α)=cos α,又cos α≠0,∴4sin α=1,∴sin α=14,∴cos αtan αA .疑难突破将tan 2α转化为sin2cos2是本题的突破口.11.(2021新高考Ⅰ,6,5分)若tan θ=-2,则sino1+sin2psinrcos=()A.-65B.−25C.25D.65答案Csino1+sin2psinrcos=sinosin 2rcos 2r2sinbcospsinrcos=sinosinrcosp 2sinrcos=sin θ(sin θ+cos θ)=sin 2θ+sin θ·cosθ=sin 2rsinbcos sin 2rcos 2=tan 2rtan tan 2r1=(−2)2−2(−2)2+1=25.故选C .12.(2022新高考Ⅱ,6,5分)若sin (α+β)+cos (α+β)=22cos β,则()A.tan (α-β)=1B.tan (α+β)=1C.tan (α-β)=-1D.tan (α+β)=-1答案C 因为sin (α+β)+cos (α+β)=sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β,22cos β=(2cosα-2sin α)sin β=2cos αsin β-2sin αsin β,所以sin αcos β+cos αsin β+cos αcos β-sin αsin β=2cos αsin β-2sin αsin β,即sin αcos β-cos αsin β+cos αcos β+sin αsin β=0,进而得sin (α-β)+cos (α-β)=0,又知cos (α-β)≠0,所以tan (α-β)=-1,故选C .13.(2022浙江,13,6分)若3sin α-sin β=10,α+β=π2,则sin α=,cos 2β=.答案45解析设a =sin α,b =sin β=cos α,则3−=10,21,解得a b∴sin α=a cos 2β=1-2sin 2β=1-2b 2=45.14.(2020课标Ⅱ文,13,5分)若sinx=-23,则cos2x=.答案19解析∵sinx=-23,∴cos2x=1-2sin2x=1-2×=19.15.(2018课标Ⅱ文,15,5分)已知tan t=15,则tanα=.答案32解析本题主要考查两角差的正切公式.tan t=tanttan5π41+tanMan5π4=tant11+tan=15,解得tanα=32.16.(2017课标Ⅰ文,15,5分)已知α∈则cos t=.答案解析因为α∈且tanα=sin cos=2,所以sinα=2cosα,又sin2α+cos2α=1,所以则cos t=cosαcosπ4+sinαsinπ4=易错警示在求三角函数值时,常用到sin2α+cos2α=1和tanα=sin cos,同时要注意角的范围,以确定三角函数值的正负.17.(2017江苏,5,5分)若tan t=16,则tanα=.答案75解析本题考查两角和的正切公式.因为tan=16,所以tanα=tan=16+11−16×1=75.18.(2016浙江,理10,文10,5分)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=.答案2;1解析∵2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=2sin2+1,∴A=2,b=1.评析本题主要考查三角恒等变换,熟练利用两角和的正弦公式及二倍角公式是解题关键. 19.(2016课标Ⅰ文,14,5分)已知θ是第四象限角,且sin=35,则tan t=.答案-43解析解法一:∵sin×(sinθ+cosθ)=35,∴sinθ+cosθ=①,∴2sinθcosθ=-725.∵θ是第四象限角,∴sinθ<0,cosθ>0,∴sinθ-cosθ=-1−2sinvos=-由①②得,∴tanθ=-17,∴tan=tant11+tan=-43.解法二:∵-θ=π2,∴sin=35,又2kπ-π2<θ<2kπ,k∈Z,∴2kπ-π4<θ+π4<2kπ+π4,k∈Z,∴cos=45,∴sin-θ=45,-θ=43,∴tan=-43.评析本题主要考查了三角恒等变换,熟练掌握同角三角函数关系式及诱导公式是解题的关键.20.(2016四川理,11,5分)cos2π8-sin2π8=.答案解析由二倍角公式易得cos2π8-sin2π8=cosπ4=21.(2015江苏,8,5分)已知tanα=-2,tan(α+β)=17,则tanβ的值为.答案3解析tanβ=tan[(α+β)-α]=tan(rp-tan1+tan(rptan=17-(-2)1+17×(−2)=3.22.(2015四川理,12,5分)sin15°+sin75°的值是.答案解析sin15°+sin75°=sin15°+cos15°=2sin(15°+45°)=2sin60°=23.(2014课标Ⅱ理,14,5分)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)的最大值为.答案1解析f(x)=sin[(x+φ)+φ]-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ+cos(x+φ)sinφ-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ-sinφcos(x+φ)=sin(x+φ-φ)=sinx,∴f(x)的最大值为1.24.(2014课标Ⅱ文,14,5分)函数f(x)=sin(x+φ)-2sinφcosx的最大值为.答案1解析f(x)=sin(x+φ)-2sinφcosx=sinxcosφ+cosxsinφ-2sinφcosx=sinxcosφ-cosxsinφ=sin(x-φ)≤1,所以f(x)max=1.25.(2015广东文,16,12分)已知tanα=2.(1)求tan;(2)求sin2sin2α+sinvostcos2t1的值.解析(1)因为tanα=2,所以tan=tanrtanπ41−tan·tanπ4=2+11−2×1=-3.(2)因为tanα=2,所以sin2sin2α+sinvostcos2t1=2sinvossin2α+sinvost(cos2α-sin2α)-(sin2α+cos2α)=2sinvostan2α+tant2=2×222+2−2=1.sin2α+sinvost2cos2α=2tan26.(2014江苏,15,14分)已知,π(1)求α的值;(2)求-2α.解析(1)因为2,π所以cosα=-1−sin2α=-故α=sinπ4cosα+cosπ4sinα×(2)由(1)知-=-45,cos2α=1-2sin2=35,所以-2α=cos5π6cos2α+sin5π6sin2α=×35+12×评析本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和与差的正、余弦公式及二倍角公式,考查运算求解能力.。

考向13 简单的三角恒等变换1．【2022年新高考2卷第6题】角,αβ满足sin()cos()22)sin 4παβαβαβ+++=+，则A ．tan()1αβ+=B ．tan()1αβ+=-C ．tan()1αβ-=D ．tan()1αβ-=-【答案】D【解析】解法一：设0β=则sin cos 0αα+=，取34απ=，排除A ，C ；再取0α=则sin cos 2sin βββ+=，取4πβ=，排除B ；选D ．解法二：由sin()cos()2sin()2sin[()]44ππαβαβαβαβ+++=++=++2sin()cos 2cos()sin 44ππαβαβ=+++，故2sin()cos 2cos()sin 44ππαβαβ+=+， 故sin()cos cos()sin 044ππαβαβ+-+=，即sin()04παβ+-=， 故22sin()sin()cos()0422παβαβαβ-+=-+-=，故sin()cos()αβαβ-=--，故tan()1αβ-=-．故选D. 2.【2022年北京卷第5题】已知函数()cos sin f x x x =-，则 （A ）()f x 在()26ππ--,上单调递减 （B ）()f x 在()412ππ-,上单调递增（C ）()f x 在(0)3π,上单调递减 （D ）()f x 在7()412ππ,上单调递增【答案】C【解析】因为()22cos sin cos2f x x x x =-=.对于A 选项，当26x ππ-<<-时，23x ππ-<<-，则()f x 在,26ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递增，A 错； 对于B 选项，当412x ππ-<<时，226x ππ-<<，则()f x 在,412ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上不单调，B 错； 对于C 选项，当03x π<<时，2023x π<<，则()f x 在0,3π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，C 对；对于D 选项，当7412x ππ<<时，7226x ππ<<，则()f x 在7,412ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，D 错.故选：C.3．【2022年浙江卷第13题】若3sin cos 10,2παβαβ-=+=，则sin α= ，cos 2β= ．【答案】3104,105【解析】由题3sin cos 10,2παβαβ-=+=，所以3sin cos 10αα-=，解得310sin 10α=． 所以24cos 2cos(π2)cos 212cos 5βααα=-=-=-=．1.三角函数公式的应用策略(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反．”(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用． 2.三角函数公式活用技巧①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；②tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用． 3.三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；②注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式． 4.三角公式求值中变角的解题思路①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”． 5.三角函数名的变换技巧明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．1.降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.2.升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.3.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)， 1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 4.辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin (x ＋φ)，其中tan φ＝ba .1.明确二倍角是相对的，如：α2是α4的2倍，3α是3α2的2倍．2.解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．3.运用公式时要注意公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变形．4.在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．特别是在(0，π)内，正弦值对应的角不唯一．1．sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin 2α＝( )A ．－12B ．－32 C.12 D.32 【答案】C2．已知sin α＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( )A ．－211 B.211 C.112 D ．－112A ．－1718B ．1718C ．－89D ．89 ⎝ ⎛⎭π4＋A ．13 B ．23 C ．－23 D ．－13A．2sin 67.5°cos 67.5°B．2cos2π12－1C．1－2sin215°D．2tan 22.5°1－tan222.5°A．∃x∈R，sin2x2＋cos2x2＝12B．∃x，y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin yC．∀x∈[0，π], 1－cos 2x2＝sin xD．sin x＝cos y⇒x＋y＝π28．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________．【答案】－7210【解析】因为α是第三象限角，所以sin α＝－1－cos 2α＝－35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－35×22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×22＝－7210.9.已知α，β都是锐角，cos(α＋β)＝513，sin(α－β)＝35，则cos 2α＝________． 【答案】－1665. 【解析】因为α，β都是锐角，所以0<α＋β<π，－π2<α－β<π2，又因为cos(α＋β)＝513，sin(α－β)＝35，所以sin(α＋β)＝1213，cos(α－β)＝45，则cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝513×45－1213×35＝－1665. 10．已知sin α＝－45，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π，若sin （α＋β）cos β＝2，则tan(α＋β)＝________．【答案】613.【解析】因为sin α＝－45，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，2π，所以cos α＝35. 又因为sin （α＋β）cos β＝2，所以sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]．展开并整理，得65cos(α＋β)＝135sin(α＋β)，所以tan(α＋β)＝613.一、单选题1．（2022·广西桂林·模拟预测（文））若1sin 72πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则3sin 214πα⎛⎫-=⎪⎝⎭（ ） A ．35B ．12-C ．12D ．13【答案】Csin160tan203+=，则实数A．4B．C．23D)()2sin60cos20cos60sin20tan203cos20sin201sin20cos2018020sin402--==-40440=.A.3．（2022·湖北武汉·二模）设sin32k=，则1tan16tan16+=（）A．2kB．1kC．2k D．k4．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知不等式()2sin cos cos02x x x m m-++≥∈R对,43xππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦恒成立，则m的最小值为（）A B．12C．D5．（2022·福建省福州第一中学三模）若3sin 5α=-，且3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1tan21tan2α-=+（ ） A ．12B ．12-C ．2D ．-2在平面直角坐标系内，点(),P m n -为角α终边上任意一点，则()()sin 2g x x α=-的一个对称中心为（ ） A ．5,08⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．3,02π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．(),0π-D ．()0,0120cos 40cos802sin 20cos 20cos 40cos802sin 20=⨯111sin 40cos 40cos80sin80cos802sin 202sin 202⨯︒︒︒=⨯︒︒︒︒111sin160sin 201︒︒当0k =时，函数的一个对称中心是5,08⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：A7．（2021·上海虹口·二模）在平面上，已知定点()2,0A ，动点()sin ,cos P αα.当α在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上变化时，动线段AP 所形成图形的面积为（ ） A ．24π-B ．33π-C ．6πD ．4π 【答案】D【解析】因为22sin cos 1αα+=，所以点()sin ,cos P αα在单位圆221x y +=上，由于sin cos 2παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，cos sin 2παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以，cos ,sin 22P ππαα⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭是其与x 轴正方向的有向角为2AOP πα∠=-，,44ππα⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则3,244πππα⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，记点22,22B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，22,22C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以，点P 的轨迹是劣弧CB ， 所以，动线段AP 所形成图形为阴影部分区域，因为ABC OBC S S =△△，因此，阴影部分区域的面积为211144OBC S S ππ==⨯=扇形.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查动线段运动轨迹图形的面积，解题的关键在于确定动点P 的轨迹图形，数形结合求出图形的面积.．（浙江绍兴模拟预测）已知，设函数1，2，若当12对[,]()∈<x m n m n 恒成立时，n m -的最大值为3π2，则（ ） A ．21a ≥ B ．21a ≤C ．22≥bD ．22≤b 【答案】A二、多选题9．（2022·全国·模拟预测）已知函数()223cos2xf x =-，则下列说法正确的有（ ） A ．函数()f x 的最大值为2B ．函数()f x 在区间2ππ,36⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增C ．函数()f x 图像的一个对称中心为1π,2⎛⎫⎪⎝⎭D ．将函数()f x 的图像向左平移π2个单位长度得到函数()13sin 12y x =+的图像10．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）向量22(sin ,cos ),sin (),cos ,0,242x a x x b ωπωωω⎛⎫==+> ⎪⎝⎭ 函数()f x a b =⋅，则下述结论正确的有（ ）A ．若()f x 的图像关于直线2x π=对称，则ω可能为12B ．周期T π=时，则()f x 的图像关于点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．若()f x 的图像向左平移3π个单位长度后得到一个偶函数，则ω的最小值为34D ．若()f x 在2,56ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦【解析】()sin f x =(1sin x ω⋅+选项，若f 时，1ω=，故三、填空题11．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学二模）已知1cos 63πα⎛⎫ ⎪⎝=⎭+，则5cos 6πα⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为______． 形三个内角都小于23π时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为23π.已知点P 为ABC 的费马点，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 2sin cos 6A C B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，且22()6b a c =-+，则PA PB PB PC PA PC ⋅+⋅+⋅的值为__________.ABCS=PA PB ⋅故答案为：【点睛】三角恒等变换是化简已知条件常用的方法，13．（2022·全国·模拟预测）已知63α<<，sin 4sin cos tan 15315315αα⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭α=______．面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当ABC 的三个内角均小于120︒时，则使得120APB BPC CPA ∠=∠=∠=︒的点P 即为费马点．已知点P 为ABC 的费马点，且AC BC ⊥，若||||||PA PB PC λ+=，则实数λ的最小值为_________． 为ABC 的费马点，ABC 的三个内角均小于120CPA =︒，所以在BCP 和ACP △中，,,3236CBP ACP CAP ACP ππππααα∠=-∠=-∠=-∠=-，且均为锐角，所以,63ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以由正弦定理得：sin sin 3BPPC παα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，sin sin 26PA PCππαα=⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以sin sin 3BP PC απα=⎛⎫- ⎪⎝⎭，sin 2sin 6PA PC παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因为||||||PA PB PC λ+=所以333sin cos sin sin cos 44sin 2233sin sin sin cos sin cos 3644πααααααλππαααααα⎛⎫⎛⎫-- ⎪-- ⎪⎝⎭⎝⎭=+==⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 3341132sin 23sin cos 4ααα=-=---，因为,63ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以22,33ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以(2sin 230,23α⎤-∈-⎦， 所以)31232,2sin 23α⎡-∈++∞⎣- 故实数λ的最小值为232+. 故答案为：232+【点睛】本题考查数学文化背景下的解三角形，三角恒等变换解决三角函数取值范围问题，考查运算求解能力，数学建模能力，化归转化思想，是难题.本题解题的关键在于根据题目背景，通过设PCB α∠=，进而建立解三角形的模型，再根据正弦定理及三角恒等变换化简求最值即可.1．（2021·北京高考真题）若点(cos ,sin )P θθ与点(cos(),sin())66Q ππθθ++关于y 轴对称，写出一个符合题意的θ=___． 【答案】512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可） 【解析】(cos ,sin )P θθ与cos ,sin 66Q ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于y 轴对称， 即,6πθθ+关于y 轴对称， 2,6k k Z πθθππ++=+∈，则5,12k k Z πθπ=+∈， 当0k =时，可取θ的一个值为512π.故答案为：512π（满足5,12k k Z πθπ=+∈即可）. 2．(2021年高考全国甲卷理科)若cos 0,,tan 222sin ααα⎛⎫∈= ⎪-⎝⎭，则tan α= ( ) A ．1515B 5C ．53D ．153【答案】A 【解析】cos tan 22sin ααα=-2sin 22sin cos cos tan 2cos 212sin 2sin αααααααα∴===--，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos 0α∴≠，22sin 112sin 2sin ααα∴=--，解得1sin 4α=，215cos 1sin 4αα∴=-=，sin 15tan cos 15ααα∴==． A ．cos2α>0 B ．cos2α<0 C ．sin2α>0D ．sin2α<0【答案】D【解析】方法一：由α为第四象限角，可得3222,2k k k Z ππαππ+<<+∈， 所以34244,k k k Z ππαππ+<<+∈此时2α的终边落在第三、四象限及y 轴的非正半轴上，所以sin 20α< 故选：D ．4．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知，且，则 ( )A ．3B ．23C ．13D ．9又(0,απ∈故选：A ．5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知2tan θ–tan(θ+4)=7，则tan θ= ( )A ．–2B ．–1C ．1D ．2【答案】D 【解析】2tan θ-tan ,t θ=≠故选：D ．6．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2sin 2cos21αα=+，则sin α= ( )A ．1 B C D7．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)若sin 3α=，则cos2α= ( )A ．8 B ．7 C ．7-D ．8-a A ．πB ．π C ．3π D ．π9．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)若tan 4α=,则2cos 2sin 2αα+= ( )A ．6425B ．4825C ．1D ．162510．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)若π3cos 45α⎛⎫-=⎪⎝⎭，则sin 2α= ( ) A ．725 B ．15 C ．15-D ．725-。

第四章 三角函数、解三角形第二讲 三角恒等变换练好题·考点自测1。

下列说法错误的是( ）A.两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的 B 。

存在实数α,β,使等式sin （α+β)=sin α+sin β成立 C 。

公式tan （α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ可以变形为tan α+tan β=tan （α+β）(1—tan αtan β）,且对任意角α,β都成立 D.存在实数α，使tan 2α=2tan α2。

[2020全国卷Ⅲ,9，5分］已知2tan θ-tan(θ+π4)=7，则tan θ=( ）A.-2 B 。

—1 C.1 D 。

23。

［2021大同市调研测试］已知tan α2=3，则sinα1-cosα=( )A 。

3B .13C .-3D 。

−134.[2019全国卷Ⅱ，11,5分][文]已知α∈(0，π2），2sin 2α=cos 2α+1，则sin α= （ )A.15B .√55C 。

√33D.2√555。

［2020全国卷Ⅱ，13,5分][文］若sin x =−23，则cos 2x = 。

6.tan 67。

5°-tan 22。

5°= 。

7。

［2019江苏，13，5分]已知tanαtan (α+π4)=−23,则sin(2α+π4)的值是 .拓展变式1.［2020全国卷Ⅲ，5，5分］[文］已知sin θ+sin （θ+π3）=1，则sin （θ+π6)=（ )A .12B .√33C .23D .√222.1+cos20°2sin20°-sin 10°（1tan5°—tan 5°）= .3.已知α∈(0,π)，化简:(1+sinα+cosα)·(cos α2-sin α2)√2+2cosα= 。

4。

[2021陕西省部分学校摸底检测]数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛,0.618就是黄金分割比m =√5-12的近似值,黄金分割比还可以表示成2sin 18°,则m√4-m 22cos 227°-1= （ )A 。

三角恒等变换一、选择题：1．若函数cos()(0)6y x πωω=->最小正周期为5π，则ω= .2．在△ABC 中，cos cos sin sin A B A B >，则△ABC 为（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．无法判定3．设0sin14cos14a =+，0sin16cos16b =+，c =，则,,a b c 大小关系（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．a c b <<4．函数)cos[2()]y x x ππ-+是（ ）A ．周期为4π的奇函数B ．周期为4π的偶函数 C ．周期为2π的奇函数 D ．周期为2π的偶函数5．已知cos 23θ=44sin cos θθ+的值为（ ）A ．1813 B ．1811 C ．97 D ．1-6．设2132tan131cos50cos6sin 6,,,21tan 13a b c -=-==+则有（ ） A ．a b c >> B ．a b c << C ．a c b << D ．b c a << 7．()2tan cot cos x x x +=( )（Ａ）tan x （Ｂ）sin x （Ｃ）cos x （Ｄ）cot x8．sin163sin 223sin 253sin313+=（ ）A ．12- B ．12 C ． D 9．已知3sin(),45x π-=则sin 2x 的值为（ ）A.1925 B.1625 C.1425 D.72510．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为（ ）A ．4π B ．2πC ．πD ．2π110=（ ）A ．1 B ．2 C D 12．函数))(6cos()3sin(2R x x x y ∈+--=ππ的最小值等于（ ）A ．3-B ．2-C ．1-D ．13．函数2sin cos y x x x =的图象的一个对称中心是（ ）A.2(,32π- B.5(,62π- C.2(,32π- D.(,3π14．0000(1tan 21)(1tan 22)(1tan 23)(1tan 24)++++ 的值是( )A. 16B. 8C. 4D. 215．当04x π<<时,函数22cos ()cos sin sin xf x x x x=-的最小值是（ ） A ．4 B ．12C ．2D ．1416．已知22ππθ-<<,且sin cos (0,1)a θθ+=∈则关于tan θ的值可能正确的是（ ）A.3-B.3或13 C.13- D.3-或13- 17．已知θ为一个三角形的最小内角，1cos 1m m θ-=+,则m 的取值范围是（ ） A ．m≥3 B ．3≤m<7+43 C ．m<-1 D ．3≤m<7+43或m<-118．若△ABC 的内角满足sin cos 0A A +>，tan sin 0A A -<，则角A 的取值范围是（ ）A ．（0，4π） B ．（4π，2π） C ．（2π，43π） D ．（43π，π） 二、填空题：19．求值：0tan 20tan 4020tan 40+=_____________。

第02讲三角恒等变换（和差公式、倍角公式、升降幂公式、辅助角公式）（14类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布2. 命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较中等或偏难，分值为5-11分【备考策略】1.推导两角差余弦公式，理解两角差余弦公式的意义2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式3.能推导二倍角的正弦、余弦、正切公式，能运用公式解决相关的求值与化简问题【命题预测】本节内容是新高考卷的必考内容，一般会考查两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式变形应用和半角公式变形应用，需加强复习备考1.正弦的和差公式()βαsinβααβ=sin++sincoscos ()ββαsinααβ-=sincoscossin-2.余弦的和差公式()βαβαβαsin sin cos cos cos -=+()βαβαβαsin sin cos cos cos +=-3.正切的和差公式()βαβαβαtan tan 1tan tan tan -+=+()βαβαβαtan tan 1tan tan tan +-=-4.正弦的倍角公式⇒=αααcos sin 22sin ααα2sin 21cos sin =5.余弦的倍角公式()()αααααααsin cos sin cos sin cos 2cos 22-+=-=升幂公式：αα2sin 212cos -=，1cos 22cos 2-=αα降幂公式：22cos 1sin 2αα-=，22cos 1cos 2αα+=6.正切的倍角公式ααα2tan 1tan 22tan -=7.半角公式(1)sin α2＝(2)cos α2＝(3)tan α2＝±＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α.以上称之为半角公式，符号由α2所在象限决定．8.万能公式22222tan1tan 2tan222sin cos tan 1tan1tan 1tan 222x x x x x x xxx -===++-9.和差化积与积化和差公式sin sin 2sincos22sin sin 2cos sin22cos cos 2cos cos22cos cos 2sin sin22αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=2sin cos sin()sin()A B A B A B =++-2cos cos cos()cos()A B A B A B =++-2sin sin cos()cos()A B A B A B =--+10.推导公式2)cos (sin )cos (sin 22=-++αααα11.辅助角公式x b x a y cos sin +=，)0(>a )sin(22ϕ++=⇒x b a y ，其中a b =ϕtan ，)2,2(ππϕ-∈1．（福建·高考真题）sin15cos 75cos15sin105°°+°°等于（　）A ．0B ．12C ．1D2．（全国·高考真题）o o o o sin 20cos10cos160sin10-=A．BC ．12-D ．123．（2020·全国·高考真题）已知πsin sin =31q q æö++ç÷èø，则πsin =6q æö+ç÷èø（ ）A ．12BC ．23D4．（2024·全国·高考真题）已知α为第一象限角，β为第三象限角，tan tan 4αβ+=，tan tan 1αβ+，则sin()αβ+=.1．（2024高三·全国·专题练习）sin 435=o ．2．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(P -，则πsin 6αæö-=ç÷èø（ ）A ．12-B ．12C D ．13．（2024高三·全国·专题练习）化简：ππsin cos cos sin 33æöæö+-+=ç÷ç÷èøèøαααα．4．（2024·河南·三模）若1sin()6αβ-=，且tan 2tan αβ=，则sin()αβ+=（ ）A B C ．23D ．125．（2024·云南·模拟预测）若πsin sin 3q q æö++=ç÷èøπsin 6q æö+=ç÷èø（ ）A ．12B C ．13D1．（高考真题）()sin163sin223sin253sin313 °°+°°=A ．12B ．12-C D ．2．（2024·全国·高考真题）已知cos(),tan tan 2m αβαβ+==，则cos()αβ-=（ ）A ．3m-B ．3m-C ．3m D ．3m3．（2023·全国·高考真题）已知()11sin ,cos sin 36αβαβ-==，则()cos 22αβ+=（ ）．A ．79B ．19C ．19-D ．79-1．（2024·山东枣庄·模拟预测）已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点ππcos ,sin 33P æöç÷èø，则πcos 6αæö-=ç÷èø（ ）A ．0B ．12C D 2．（2024·宁夏石嘴山·三模）已知35=cos α，π0,2αæö∈ç÷èø，12sin 13β=，π,π2βæö∈ç÷èø，则()cos αβ-=（ ）A ．3365B ．5665C ．6365D ．1665-3．（2024·四川宜宾·模拟预测）若πcos cos 13ααæö-+=-ç÷èø，则πcos 6αæö-=ç÷èø（ ）A ．BCD ．4．（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）已知()1cos 3αβ+=，1tan tan 4αβ=，则()cos 22αβ-=（ ）A ．3181B ．59C ．3181-D ．59-5．（2024·全国·模拟预测）已知π,02q æö∈-ç÷èø，32tan 25sin2q q =，则πcos 4q æö-=ç÷èø（ ）A B C ．D ．1．（2019·全国·高考真题）tan255°=A ．－2B ．－C ．2D ．2．（重庆·高考真题）若11tan ,tan()32ααβ=+=,则tan =βA ．17B ．16C ．57D ．563．（2024·全国·高考真题）已知cos cos sin ααα=-πtan 4αæö+=ç÷èø（ ）A ．1+B ．1C D ．14．（2020·全国·高考真题）已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ）A ．–2B ．–1C ．1D ．25．（2022·全国·高考真题）若sin()cos()sin 4παβαβαβæö+++=+ç÷èø，则（ ）A ．()tan 1αβ-=B ．()tan 1αβ+=C ．()tan 1αβ-=-D ．()tan 1αβ+=-1．（2024·山西吕梁·二模）已知角α的顶点在原点，始边在x 轴的正半轴上，终边经过点()，则tan π6αæö-=ç÷èø（ ）A ．B ．CD 2．（2024·重庆·三模）已知ππcos 3cos 44ααæöæö-=+ç÷ç÷èøèø，则tan α=（ ）A ．2B ．12C ．3D ．133．（2024·江苏·模拟预测）若3sin 4cos 5αα+=，则πtan 4αæö+=ç÷èø（ ）A ．7-B ．7C ．17D ．17-4．（2024·福建泉州·模拟预测）已知()()()1sin 2cos ,tan 2αβαβαβ-=+-=，则tan tan αβ-=（ ）A ．35B ．53C ．45D ．655．（2024·贵州黔东南·二模）已知0παβ<<<，且()()sin 2cos αβαβ+=+，sin sin 3cos cos 0αβαβ-=，则()tan αβ-=（ ）A ．1-B ．C ．12-D ．121．（2024·四川·模拟预测）已知π,π2αæö∈ç÷èø，π1sin 65αæö+=ç÷èø，则sin α=（ ）A B C D2．（浙江·高考真题）若0＜α＜，﹣＜β＜0，cos （+α）=，cos （﹣）=，则cos （α+）=（ ）A ．B ．﹣C ．D ．﹣3．（23-24高三下·浙江金华·阶段练习）已知()1cos 3αβ-=，1sin sin 12αβ=-，则22cos sin αβ-=（ ）A ．12B ．13C ．16D ．184．（22-23高一下·江西景德镇·期中）已知()0,πα∈，ππ,22βæö∈-ç÷èø满足π1sin 33αæö+=ç÷èø，πcos 6βæö-ç÷èø则()sin 2αβ+=（ ）A B C D ．1．（2024·河北石家庄·三模）已知角,αβ满足()1tan ,2sin cos sin 3αβαβα==+，则tan β=（ ）A ．13B ．16C ．17D ．22．（2024·山西·三模）若()sin 2αβα=-=，且π3π,π,π,42αβéùéù∈∈êúêúëûëû，则()cos αβ+=（ ）A B C D3．（2024·重庆·模拟预测）已知,αβ都是锐角，1cos sin()7ααβ=+cos 2β的值为（ ）A ．12-B ．12C ．D1．（23-24高三上·贵州铜仁·阶段练习）已知sin αβ=α和β均为钝角，则αβ+的值为（ ）A ．π4B ．5π4C ．5π4或7π4D ．7π42．（2024高三·全国·专题练习）已知()1tan 2αβ-=,1tan 7β=-,且α,(0,)βπ∈,则2αβ-=（ ）A ．34π-B ．4πC ．34πD ．4π-3．（22-23高三·全国·期末）已知()()π0,cos 2cos 212cos cos 2αβαβαβαβ<<<++=-++，则（ ）A ．π6αβ+=B ．π3αβ+=C ．π6βα-=D ．π3βα-=1．（2023高三·全国·专题练习）已知cos α=sin β=，且0,2παæö∈ç÷èø，0,2πβæö∈ç÷èø，则αβ+的值是（ ）A ．34πB ．4πC ．74πD ．54π2．（22-23高三上·山东青岛·期中）已知ππ4α££，3ππ2β££，4sin 25α=，()cos αβ+=则βα-=（ ）A ．3π4B ．π4C ．5π4D ．π23．（2024·吉林长春·模拟预测）已知cos 2α=()sin αβ+=π0,2αéù∈êúëû，π,02βéù∈-êúëû，则αβ-=（ ）A ．π4B ．3π4C ．5π4D ．π4或3π41．sin15cos15=o o （ ）A ．14B ．14-C D ．2．（2024·河南·二模）已知1sin cos 3x x +=，则πcos 22x æö-=ç÷èø（ ）A ．35-B ．35C ．89D ．89-3．（2024·四川自贡·三模）已知角α满足1cos 23sin 2αα-=，则sin 2α=（ ）A．BC ．35-D ．351．（2024·山东济南·三模）若sin cos αα-=，则tan α=（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-2．（2024·山东·模拟预测）已知4sin25α=-，则tan2πtan 4αα=æö+ç÷èø（ ）A ．4B ．2C ．2-D ．4-1．（山东·高考真题）已知3cos 4x =，则cos 2x =（ ）A ．14-B ．14C ．18-D ．182．（2022·北京·高考真题）已知函数22()cos sin f x x x =-，则（ ）A ．()f x 在,26ππæö--ç÷èø上单调递减B ．()f x 在,412ππæö-ç÷èø上单调递增C ．()f x 在0,3πæöç÷èø上单调递减D ．()f x 在7,412ππæöç÷èø上单调递增3．（2021·全国·高考真题）22π5πcoscos 1212-=（ ）A ．12BCD4．（全国·高考真题）函数44()cos sin f x x x =-的最小正周期是A ．2πB ．πC ．2πD ．4π1．（2020·全国·高考真题）若2sin 3x =-，则cos 2x =．2．（2024·北京顺义·三模）已知函数()22cossin 22x xf x =-，则（ ）A ．()f x 为偶函数且周期为4πB ．()f x 为奇函数且在ππ,412æö-ç÷èø上有最小值C ．()f x 为偶函数且在π0,3æöç÷èø上单调递减D ．()f x 为奇函数且π,04æöç÷èø为一个对称中心3．（2022·浙江·高考真题）若3sin sin 2παβαβ-=+=，则sin α=，cos 2β=．1．（浙江宁波·期末）12πsin 2=A B C ．34D ．142．（2024·浙江·模拟预测）若8tan 3cos αα=，则cos 2=α ．3．（2024·浙江·三模）已知ππ1cos cos 23264q q æöæö+-=ç÷ç÷èøèø，则πcos 23q æö+=ç÷èø（ ）A ．12-B ．12C ．D4．（2024·全国·模拟预测）已知,αβ为锐角，满足()1sin sin 9αβαβ+=+=-，则sin 2αβ+= ，()cos αβ-=．1．（2024·浙江绍兴·二模）若5π1sin 123αæö+=ç÷èø，则πcos 26αæö-=ç÷èø（ ）A B ．C ．79D ．79-2．（2024·安徽合肥·三模）已知2sin 1αα=+，则πsin 26αæö-=ç÷èø（ ）A ．18-B ．78-C ．34D ．783．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知π1sin 35ααæö+=ç÷èø，则sin 26παæö-=ç÷èø ．4．（2024·黑龙江·三模）已知()11cos ,sin sin 23αβαβ-==，则()cos 22αβ+=.5．（2024·湖南长沙·二模）已知 ππ12cos 2cos cos312124x x x æöæö+--=ç÷ç÷èøèø ，则 πcos 23x æö+=ç÷èø1．（2024高三·全国·专题练习）若1tan(π)2α-=，则tan 2α= ．2．（2024·安徽合肥·三模）已知ππ20,,tan tan 243q q q æöæö∈+=-ç÷ç÷èøèø，则tan 2q = .3．（23-24高三上·广东湛江·阶段练习）已知π(0,)2q ∈，且sin sin 2sin cos qq q q=+，则tan q =（ ）A1B1C1D11．（2024高三·全国·专题练习）2π1tan 8πtan 8-=．2．（2024·辽宁沈阳·二模）已知()0,πa ∈，且1sin cos 5a a +=，则tan2a =（ ）A ．127B ．127-C ．247D ．247-3．（2024·全国·模拟预测）已知π0,2q æö∈ç÷èø，2π1sin 842q æö+=ç÷èøπtan 24q æö-=ç÷èø（ ）A ．113B ．1731C ．3117D ．131．（2023·全国·高考真题）已知α为锐角，cos αsin 2α=（ ）．A B C D 2．（2024·湖南邵阳·二模）已知α为锐角，若1sin 4α=，则2cos2α=（ ）A B C D 3．（2023·浙江·二模）数学里有一种证明方法叫做Proofwithoutwords ，也被称为无字证明，是指仅用图象而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证时被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理.如下图，点C 为半圆O 上一点，CH AB ^，垂足为H ，记COB q Ð=，则由tan BHBCH CHÐ=可以直接证明的三角函数公式是（ ）A ．sin tan 21cos qq q =-B ．sin tan 21cos qq q =+C ．1cos tan2sin qq q-=D ．1cos tan2sin qq q+=1．（2024·全国·模拟预测）已知角α是第二象限角，且终边经过点()3,4-，则tan 2α=（ ）A ．3B ．12C ．2D ．12或22．（2023·全国·模拟预测）已知α是锐角，1cos 3α=，则πcos 26αæö+=ç÷èø（ ）A ．12B ．12C -D 3．若3sin 5q =，5π3π2q <<，则tan cos 22q q+=（ ）A ．3+B ．3C ．3D ．31．（2024·全国·高考真题）函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是 ．2．（2020·北京·高考真题）若函数()sin()cos f x x x ϕ=++的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为 ．3．（全国·高考真题）设当x q =时，函数()sin 2cos f x x x =-取得最大值，则cos q = .4．（2024高三·湖北·二模）在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，1cos 3C =，8c =，则当a b +取得最大值时，sin A = .1．（2024·湖北·二模）函数()3cos 4sin f x x x =-，当()f x 取得最大值时，sin x =（ ）A ．45B ．45-C ．35D ．35-2．（2024·四川南充·二模）已知函数()3sin 4cos f x x x =+．设x q =时，()f x 取得最大值．则πcos 4q æö+=ç÷èø（ ）AB．CD．3．（2024·山东·模拟预测）若函数()()πcos sin 3f x x x ϕæö=-++ç÷èø的最大值为2，则常数ϕ的一个取值为 ．4．（2024·河北保定·三模）已知锐角α，β（αβ¹）满足sin 2cos sin 2cos ααββ+=+，则sin()αβ+的值为（ ）ABC ．35D ．451．（21-22高三上·四川成都·阶段练习）已知α为锐角且tan 23tan 4απα=-æö+ç÷èø，则sin 22παæö+ç÷èø的值是 ．2．（2023·江苏徐州·模拟预测）已知πsin(212α-ππtan()tan()312αα++=．1．（2022·四川眉山·模拟预测）若0,2παæö∈ç÷èø，2sin 2cos αα=，则cos 2α的值为（ ）A ．35-B ．12-C ．0D ．352．（2024高三·全国·专题练习）已知ππsin 2sin 44ααæöæö+=-ç÷ç÷èøèø，则πsin 24αæö-=ç÷èø（ ）A ．BCD ．1．（2024高三·全国·专题练习）已知43cos cos ,sin sin 55αβαβ+=-=-，则()tan αβ-的值为（ ）A ．247-B ．724-C ．724D ．2472．（2024·安徽阜阳·一模）已知()sin sin ,cos cos 0a b ab αβαβ+=+=¹，则()cos αβ-= ，()sin αβ+= .3．（2024·广东·一模）已知()2211cos cos ,sin 124αβαβ-=--=，则()cos 22αβ+=（ ）A ．79-B ．79C ．29-D ．291．（2024·山东·模拟预测）已知1sin cos cos sin 2x y x y +=，1cos 2cos 24x y -=，则()sin x y -=（ ）A ．12B ．14C ．34-D ．14-2．（2024·全国·模拟预测）已知角A ，B ，C 满足πA B C ++=，且cos cos cos 1A B C ++=，则(1cos A -)(1cos B -)(1cos C -)=（ ）A ．0B ．1CD1．（23-24高二上·湖南长沙·期末）函数()(1cos )f x x x =+的最大值为（ ）ABC ．58D ．942．（2024·新疆·一模）已知: ()()()sin 20sin 20sin 400q q q -+++-=o o o，则tan q =（ ）A．B．CD3．（2024·全国·模拟预测）已知角,αβ满足：()sin sin 5sin αβαβ+=-，其中π2πk αβ-¹+，π2πk α¹+，()π2πk k β¹+∈Z ，则tan 2tan2αβ=（ ）A ．1B ．32C ．2D ．524．（2024·辽宁丹东·一模）已知π(0,)2α∈1=，则sin 2α=（ ）ABCD1．（2024·安徽阜阳·一模）已知()sin sin ,cos cos 0a b ab αβαβ+=+=¹，则()cos αβ-= ，()sin αβ+= .2．（2024·重庆·三模）已知函数()f x 满足()1tan sin 2f x x=.若12x x 、是方程2202420240x x +-=的两根，则12()()f x f x += .3．（2024·湖北荆州·三模）设π02αβ<<<，tan tan m αβ=，()3cos 5αβ-=，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =， tan tan αβ=.4．（2024·四川成都·三模）若ABC V 为锐角三角形，当2tan 9tan 17tan A B C ++取最小值时，记其最小值为m ，对应的tan A n =，则mn =.1．（2024·上海·高考真题）下列函数()f x 的最小正周期是2π的是（ ）A ．sin cos x x +B ．sin cos x x C ．22sin cos x x+D ．22sin cos x x-2．（2024·河北保定·二模）若154tan sin αα=，则cos2α=（ ）A ．18B ．18-C ．78D ．78-3．（2024·江苏徐州·模拟预测）已知2πsin2,0,34ααæö=∈ç÷èø，则πsin 4αæö+=ç÷èø（ ）A B ．56C D 4．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知ππsin sin cos sin 63ααααæöæö+=-ç÷ç÷èøèø，则πtan 24αæö+=ç÷èø（ ）A ．2B ．2-C ．2D ．2-+5．（2024·江苏扬州·模拟预测）若ππ44αβ-<<<，且1cos sin 2αβ=，tan 2tan 3αβ=，则()cos αβ-=（ ）A B ．C D ．6．（2024·陕西·模拟预测）已知ππ,24αæö∈--ç÷èø，若3tan 2tan 24πααæö=-+ç÷èø，则2sin 22cos tan ααα+=（ ）A ．185-B ．25-C ．25D ．185二、填空题7．（2024·广东深圳·模拟预测）计算：()cos 72cos 36°-°= .8．（2024·上海·模拟预测）已知7cos 9α=-，3(π,π)2α∈，则cos 2α= ．9．（2024·江苏苏州·三模）函数()|sin |cos f x x x =+的值域是.10．（2024·湖南·模拟预测）已知tan 3α=，tan()5αβ+=-，则tan(2)αβ+=.1．（2024·山东·模拟预测）已知π4cos cos 35ααæö--=ç÷èø，则πsin 26αæö+=ç÷èø（ ）A ．725B ．725-C ．2425D ．2425-2．（2024·河北衡水·三模）已知sin(3)sin()tan(2)tan m n αβαβαβα-=--=，，则m ，n 的关系为（ ）A ．2m n=B ．1m n m+=C ．1m n m =-D ．11m n m +=-3．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知()()()cos 10cos 50cos 50ααα-+°°-°=+，则tan α=（ ）A B ．C D ．4．（2024·湖北襄阳·模拟预测）设,αβ∈R ，则“()()cos 2cos sin 2sin sin cos cos sin 4444ππππαββαββααααæöæöæöæö+++=+--+-ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèø”是“ππ8k α=+，()k ∈Z ”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要5．（2024·福建泉州·二模）若π3,0,,tan tan ,sin()25m αβαβαβæö∈=-=ç÷èø，且α与β存在且唯一，则tan tan m αβ+=（ ）A ．2B ．4C ．12D ．146．（2024·江苏南通·模拟预测）已知π02βα<<<，()4sin 5αβ-=，tan tan 2αβ-=，则sin sin αβ=（ ）A ．12B ．15C ．25D7．（2024·山西吕梁·三模）设函数()sin 1f x x x =++.若存在实数,,a b ϕ使得()()1af x bf x ϕ+-=对任意x ∈R 恒成立，则a b -=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．1±8．（2024·重庆·模拟预测）（多选）在ABC V 中，若22sin sin 1A B +=，则下列说法正确的是（ ）A ．sin cos A B=B ．π2A B +=C ．sin sin A B ×的最大值为12D ．tan tan 1A B ×=9．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知π,(0,)2a β∈，sin(2)2sin αββ+=，2tan 3α=，则tan()αβ+= ．10．（2024·山东泰安·模拟预测）已知()()()cos 20cos 20cos 400q q q °-+°+-°-=，则tan q = .1．（2023·全国·高考真题）过点()0,2-与圆22410x y x +--=相切的两条直线的夹角为α，则sin α=（ ）A ．1BCD2．（2021·北京·高考真题）函数()cos cos 2f x x x =-是A ．奇函数，且最大值为2B ．偶函数，且最大值为2C ．奇函数，且最大值为98D ．偶函数，且最大值为983．（2021·浙江·高考真题）已知,,αβg 是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββg g α三个值中，大于12的个数的最大值是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．34．（2020·全国·高考真题）已知πsin sin =31q q æö++ç÷èø，则πsin =6q æö+ç÷èø（ ）A ．12BC ．23D5．（2020·全国·高考真题）已知2tan θ–tan(θ+π4)=7，则tan θ=（ ）A ．–2B ．–1C ．1D ．26．（2020·浙江·高考真题）已知tan 2q =，则cos 2q =；πtan(4q -= ．7．（2020·江苏·高考真题）已知2sin ()4πα+ =23，则sin 2α的值是 .8．（2020·全国·高考真题）若2sin 3x =-，则cos 2x =．9．（2019·全国·高考真题）已知α ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A ．15BCD10．（2019·江苏·高考真题）已知tan 2π3tan 4αα=-æö+ç÷èø，则πsin 24αæö+ç÷èø的值是 .11．（2019·北京·高考真题）函数f (x )=sin 22x 的最小正周期是．12．（2019·全国·高考真题）函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为 ．13．（2018·全国·高考真题）已知51tan 45παæö-=ç÷èø，则tan α= ．14．（2018·全国·高考真题）已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+ ．15．（2018·全国·高考真题）若1sin 3α=，则cos2α=A ．89B ．79C ．79-D ．89-16．（2018·全国·高考真题）函数()2tan 1tan xf x x=+的最小正周期为A ．4πB ．2πC ．πD ．2π17．（2018·全国·高考真题）已知函数()222cos sin 2f x x x =-+，则A ．()f x 的最小正周期为π，最大值为3B ．()f x 的最小正周期为π，最大值为4C ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为3D ．()f x 的最小正周期为2π，最大值为4。

专题18 三角恒等变换【考点预测】知识点一．两角和与差的正余弦与正切 ①sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±；②cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=；③tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=；知识点二．二倍角公式 ①sin22sin cos ααα=；②2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-；③22tan tan 21tan ααα=-； 知识点三：降次（幂）公式2211cos 21cos 2sin cos sin 2;sin ;cos ;222ααααααα-+===知识点四：半角公式sin22αα== sin 1cos tan.21cos sin aαααα-==+知识点五．辅助角公式)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a （其中abb a a b a b =+=+=ϕϕϕtan cos sin 2222，，）． 【方法技巧与总结】 1．两角和与差正切公式变形)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±； 1)tan(tan tan )tan(tan tan 1tan tan ---=++-=⋅βαβαβαβαβα．2．降幂公式与升幂公式ααααααα2sin 21cos sin 22cos 1cos 22cos 1sin 22=+=-=；；； 2222)cos (sin 2sin 1)cos (sin 2sin 1sin 22cos 1cos 22cos 1αααααααααα-=-+=+=-=+；；；．3．其他常用变式αααααααααααααααααααsin cos 1cos 1sin 2tan tan 1tan 1cos sin sin cos 2cos tan 1tan 2cos sin cos sin 22sin 222222222-=+=+-=+-=+=+=；；．3. 拆分角问题：①=22αα⋅；=(+)ααββ-；②()αββα=--；③1[()()]2ααβαβ=++-； ④1[()()]2βαβαβ=+--；⑤()424πππαα+=--．注意 特殊的角也看成已知角，如()44ππαα=--．【题型归纳目录】题型一：两角和与差公式的证明 题型二：给式求值 题型三：给值求值 题型四：给值求角题型五：正切恒等式及求非特殊角 【典例例题】题型一：两角和与差公式的证明例1．（2022·山西省长治市第二中学校高一期末）(1)试证明差角的余弦公式()C αβ-：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+；(2)利用公式()C αβ-推导：①和角的余弦公式()C αβ+，正弦公式()S αβ+，正切公式()T αβ+； ②倍角公式(2)S α，(2)C α，(2)T α.【答案】（1）证明见解析；（2）①答案见解析；②答案见解析 【解析】 【分析】在单位圆里面证明()C αβ-，然后根据诱导公式即可证明()C αβ+和()S αβ+，利用正弦余弦和正切的关系即可证明()T αβ+；用正弦余弦正切的和角公式即可证明对应的二倍角公式.【详解】(1)不妨令2,k k απβ≠+∈Z . 如图，设单位圆与x 轴的正半轴相交于点1,0A ，以x 轴非负半轴为始边作角,,αβαβ-，它们的终边分别与单位圆相交于点()1cos ,sin P αα，()1cos ,sin A ββ，()()()cos ,sin P αβαβ--.连接11,A P AP .若把扇形OAP 绕着点O 旋转β角，则点,A P 分別与点11,A P 重合.根据圆的旋转对称性可知，AP 与11A P 重合，从而，AP ＝11A P ，∴11AP A P =. 根据两点间的距离公式，得：()()2222[cos 1]sin (cos cos )(sin sin )αβαβαβαβ--+-=-+-，化简得：()cos cos cos sin sin .αβαβαβ-=+ 当()2k k απβ=+∈Z 时，上式仍然成立.∴，对于任意角,αβ有：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+. (2)①公式()C αβ+的推导： ()()cos cos αβαβ⎡⎤+=--⎣⎦()()cos cos sin sin αβαβ=-+-cos cos sin sin αβαβ=-.公式()S αβ+的推导：()sin cos 2παβαβ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭cos 2παβ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦cos cos sin sin 22ππαβαβ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos sin sin cos αβαβ=+正切公式()T αβ+的推导：()()()sin tan cos αβαβαβ++=+sin cos cos sin cos cos sin sin αβαβαβαβ+=-tan tan 1tan tan αβαβ+=-②公式()2S α的推导：由①知，()sin2sin cos sin sin cos 2sin cos ααααααααα=+=+=. 公式()2C α的推导：由①知，()22cos2cos cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=-=-.公式()2T α的推导：由①知，()2tan tan 2tan tan2tan 1tan tan 1tan ααααααααα+=+==-⋅-.例2．（2022·云南·昭通市第一中学高三开学考试（文））已知以下四个式子的值都等于同一个常数 22sin 26cos 343sin 26cos34+-； 22sin 39cos 213sin 39cos 21+-；()()22sin 52cos 1123sin 52cos112-+--；22sin 30cos 303sin 30cos30+-.（1）试从上述四个式子中选择一个，求出这个常数.（2）根据（1）的计算结果，推广为三角恒等式，并证明你的结论. 【答案】（1）选第四个式子，14；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】(1)选第四个式子，由1sin 30,cos302︒=︒=(2)由题意，设一个角为α，另一个角为60α︒-，应用两角差的余弦公式展开三角函数，由同角正余弦的平方和关系化简求值 【详解】（1）由第四个式子：221331sin 30cos 303sin 30cos304444+-=+-= （2）证明：()()22sin cos 603sin cos 60αααα+---2211sin cos cos 22αααααα⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2222133sin cos cos sin cos sin 442αααααααα=++-14=【点睛】本题考查了三角函数，利用特殊角的函数值求三角函数式的值，应用两角差余弦公式展开三角函数式及同角的正余弦平方和关系化简求值，属于简单题例3．（2022·陕西省商丹高新学校模拟预测（理））如图带有坐标系的单位圆O 中，设AOx α∠=，BOx β∠=，AOB αβ∠=-，（1）利用单位圆､向量知识证明：cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+（2）若π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，4cos()5αβ-=-，5tan 12α=-，求cos β的值【答案】（1）证明见解析；（2）6365． 【解析】（1）根据向量的数量积公式即可证明；（2）根据角的范围分别求出正弦和余弦值，利用两角和的余弦公式计算得出答案． 【详解】（1）由题意知：||||1OA OB ==，且OA 与OB 的夹角为αβ-， 所以·11cos()cos()OA OB αβαβ=⨯⨯-=-， 又(cos ,sin )OA αα=，(cos ,sin )OB ββ=， 所以·cos cos sin sin OA OB αβαβ=+， 故cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+．（2）π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且5tan 12α=-，则512sin ,cos 1313αα==-；π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则,02πβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，又π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0,αβπ∴-∈，4cos(),sin()553αβαβ-=--=，()()()1245363cos cos cos cos sin sin 13513565βααβααβααβ⎛⎫=--=-+-=-⨯-+⨯=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭【点睛】本题主要考查平面向量的数量积的定义，考查平面向量数量积的坐标运算，考查两角和与差的余弦公式，属于中档题．例4．（2022·全国·高三专题练习）如图，考虑点(1,0)A ，1(cos ,sin )P αα，2(cos ,sin )P ββ-，(cos(),sin())P αβαβ++，从这个图出发.（1）推导公式：cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-；（2）利用（1）的结果证明：1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-，并计算sin 37.5cos37.5︒︒⋅的值.【答案】（1）推导见解析；（2【解析】 【分析】（1）根据图象可知2212AP PP =，再展开化简，得到两角和的余弦公式；（2）首先令ββ=-，求()cos αβ-，再代入所证明的公式；首先根据二倍角公式和诱导公式化简为11sin 37.5cos37.5sin 75cos1522⋅==，再根据两角差的余弦公式化简. 【详解】（1）因为12(cos ,sin ),(cos ,sin ),(cos(),sin())P P P ααββαβαβ-++， 根据图象，可得2212AP PP =，即2212||AP PP =， 即2222(cos()1)sin ()(cos cos )(sin sin )αβαββαβα+-++=-++. 即cos()cos cos sin sin αββαβα+=-.（2）由（1）可得cos()cos cos sin sin αββαβα+=-， ① cos()cos cos sin sin αββαβα-=+ ②由①+②可得：2cos cos cos()cos()βααβαβ=++- 所以1cos cos [cos()cos()]2βααβαβ=++-，所以()111sin 37.5cos37.5sin 75cos15cos 4530222︒︒︒︒︒︒===-.()1cos 45cos30sin 45sin 302=+1122⎫==⎪⎪⎝⎭【点睛】本题考查两角和差余弦公式的证明，以及利用三角恒等变换求值，重点考查逻辑推理证明，公式的灵活应用，属于基础题型.【方法技巧与总结】推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式，通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系，这就是证明的思路.题型二：给式求值例5．（2022·全国·高三专题练习）已知sin α=()cos αβ-=且304πα<<，304πβ<<，则sin β=（ ）A B C D 【答案】A 【解析】易知()()sin sin βααβ=--，利用角的范围和同角三角函数关系可求得cos α和()sin αβ-，分别在()sin αβ-=和sin β，结合β的范围可确定最终结果.【详解】2sin α=<且304πα<<，04πα∴<<，5cos 7α∴==.又304πβ<<，344ππαβ∴-<-<，()sin αβ∴-==当()sin αβ-=()()()()sin sin sin cos cos sin βααβααβααβ=--=---57==304πβ<<，sin 0β∴>，sin β∴=不合题意，舍去；当()sin αβ-=sin β=.综上所述：sin β=故选：A . 【点睛】易错点睛：本题中求解cos α时，易忽略sin α的值所确定的α的更小的范围，从而误认为cos α的取值也有两种不同的可能性，造成求解错误.例6．（2020·四川·乐山外国语学校高三期中（文））已知sin 15tan 2102α⎛⎫︒-=︒ ⎪⎝⎭，则()sin 60α︒+的值为（ ）A ．13B ．13-C ．23D ．23-【答案】A 【解析】根据题意得到sin 152α⎛⎫︒- ⎪⎝⎭进而得到26cos 1529α⎛⎫︒-= ⎪⎝⎭，()1cos 303α︒-=，从而有()()()sin 60sin 9030cos 30ααα⎡⎤︒+=︒-︒-=︒-⎣⎦.【详解】∵sin 15tan 2102α⎛⎫︒-=︒ ⎪⎝⎭，∴()sin 15tan 210tan 18030tan302α⎛⎫︒-=︒=︒+︒=︒= ⎪⎝⎭则226cos 151sin 15229αα⎛⎫⎛⎫︒-=-︒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()221cos 30cos 15sin 15223ααα⎛⎫⎛⎫︒-=︒--︒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()()sin 60sin 9030αα⎡⎤︒+=︒-︒-⎣⎦ ()1cos 303α=︒-=， 故选A. 【点睛】本题主要考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，诱导公式，属于基础题.例7．（2020·全国·高三专题练习）若7cos(2)38x π-=-，则sin()3x π+的值为（ ）.A ．14B ．78 C ．14±D ．78±【答案】C 【解析】 【分析】利用倍角公式以及诱导公式，结合已知条件，即可求得结果. 【详解】∵27cos(2)cos[2()]2cos ()13668x x x πππ-=-=--=-， ∴1cos()64x π-=±，∵1sin()cos[()]cos()32364x x x ππππ+=-+=-=±，故选：C. 【点睛】本题考查利用三角恒等变换解决给值求值问题，属基础题.（多选题）例8．（2022·全国·高三专题练习）设sin()sin 6πββ++=sin()3πβ-=（ ）AB ．12C ．12-D． 【答案】AC 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简已知条件，结合同角三角函数的基本关系式，求得sin 3πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭.【详解】依题意sin()sin 6πββ++=sin()sin 3233ππππββ⎛⎫-++-+= ⎪⎝⎭1cos()sin )3233πππβββ⎛⎫-+--= ⎪⎝⎭1sin )233ππββ⎛⎫--= ⎪⎝⎭)sin 2cos()133ππββ⎛⎫-+-⎪⎝⎭，)1sin cos()3πβπβ⎛⎫-- ⎪-=22sin cos 133ππββ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，)221sin 1sin 3πβπβ⎛⎫⎡⎤⎢⎥⎛⎫-+= ⎪⎝⎭-- ⎪⎦⎣，化简得(()(28sin 2sin 3033ππββ⎛⎫⎛⎫+----+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2，(24sin 2sin 033ππββ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2sin 12sin 033ππββ⎡⎤⎡⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣， 解得1sin 32πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭或sin 3πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭. 故选：AC例9．（2022·全国·模拟预测（文））已知,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，3cos25β=，()4cos 5αβ+=，则cos α=___________.【解析】 【分析】 由,0,2，()4cos 5αβ+=，即可求得()sin αβ+，用二倍角公式即可求得sin β 和cos β ，用拼凑角思想可表示出()ααββ=+-，用三角恒等变换公式求解即可. 【详解】因为()4cos 5αβ+=，且,0,2，所以()3sin 5αβ+=.又因为23cos 212sin 5ββ=-=，解得sin β=则cos β==故()()()cos cos cos cos sin sin ααββαββαββ=+-=+++⎡⎤⎣⎦4355==. 例10．（2022·上海静安·模拟预测）已知sin 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为_____________．【答案】12##0.5 【解析】 【分析】由倍角公式以及诱导公式求解即可． 【详解】231cos 212sin 124442ππαα⎛⎫⎛⎫+=-+=-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos 2cos 2sin 242ππααα⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1sin 22α∴=故答案为：12例11．（2022·江苏泰州·模拟预测）若0θθ=时，()2sin2cos f θθθ=-取得最大值，则0sin 24πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．【解析】 【分析】首先利用二倍角公式和辅助角公式，化简，再代入求值. 【详解】()()111sin 21cos2sin 2cos2222f θθθθθ=-+=--()112222θθθϕ⎫---⎪⎝⎭（其中cos ϕsin ϕ=， 当()f θ取最大值时，022πθϕ-=，∴022πθϕ=+0sin 2sin cos 2πθϕϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭0cos2cos sin 2πθϕϕ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭∴0sin 24πθ⎛⎛⎫+== ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭【方法技巧与总结】给式求值：给出某些式子的值，求其他式子的值.解此类问题，一般应先将所给式子变形，将其转化成所求函数式能使用的条件，或将所求函数式变形为可使用条件的形式.题型三：给值求值例12．（2022·福建省福州第一中学三模）若3sin 5α=-，且3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则1tan21tan2αα-=+（ ）A ．12 B ．12-C ．2D ．-2【答案】D 【解析】 【分析】由2222sin cos2tan222sin 2sincos22sin cos tan 1222ααααααααα===++，可解得tan 2α，即可求解 【详解】3sin 2sincos225ααα==-，故2222sincos2tan32225sin cos tan 1222αααααα==-++， 可解得1tan23α=-或tan 32α=-，又3ππ,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故tan 32α=-，故1tan 221tan2αα-=-+， 故选：D例13．（2022·湖北武汉·模拟预测）已知1sin 64x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos 23x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．78-B ．78C．D【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得sin 6x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，再根据2cos 212sin 36x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求解即可.【详解】因为sin sin 66x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1sin 64x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，2217cos 2cos 212sin 1236648x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.例14．（2022·湖北·模拟预测）已知,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，且1cos 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则cos2α=（ ）A． B．C ．12D【答案】D【解析】 【分析】由已知α的取值范围，求出4πα-的取值范围，再结合1cos 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭即可解得α的值，cos2α即可求解 【详解】 因为22ππα-<<，所以3444πππα-<-< 又1cos 42πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以43ππα-=-，所以12πα=-所以cos 2cos cos 66ππα⎛⎫=-==⎪⎝⎭故选：D例15．（2022·全国·模拟预测）已知1sin 35πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．2325B ．2325-C D ． 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式化简，然后利用二倍角公式即得. 【详解】因为1sin cos cos 3665πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以22123cos 2cos22cos 121366525πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：B ．例16．（2022·黑龙江·哈师大附中三模（文））已知()3sin 455α︒+=，45135α︒<<︒，则cos2=α（ ）A ．2425B ．2425-C ．725D ．725-【答案】B 【解析】 【分析】首先根据同角三角函数的基本关系求出()cos 45α︒+，再利用二倍角公式及诱导公式计算可得； 【详解】解：因为45135α︒<<︒，所以9045180α︒<+︒<︒，又()3sin 455α︒+=，所以()4cos 455α︒+==-，所以()()()3424sin 2452sin 45cos 4525525ααα⎛⎫︒+=︒+︒+=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭。

4.2 三角恒等变换基础篇 固本夯基考点 三角恒等变换1.(2022届昆明第一中学检测,4)√3sin15°+sin75°=( ) A.1 B.√2 C.√2+√64D.2答案 B2.(2022届湘豫名校联盟11月联考,4)已知sin 4α-cos 4α=13,α∈(0,π2),则cos (2α+π4)=( )A.4+√26B.4−√26C.-4+√26D.-4-√26答案 D3.(2020课标Ⅲ,9,5分)已知2tanθ-tan (α+π4)=7,则tanθ=( ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 答案 D4.(2019课标Ⅱ,10,5分)已知α∈(0,π2),2sin2α=cos2α+1,则sinα=( )A.15 B.√55C.√33D.2√55答案 B5.(2020课标Ⅰ,9,5分)已知α∈(0,π),且3cos2α-8cosα=5,则sinα=( ) A.√53B.23C.13D.√59答案 A6.(2021成都二诊,5)已知sin(α+β)=23,sin(α-β)=13,则tan αtan α的值为( ) A.-13B.13C.-3D.3答案 D7.(2021河南六市二模,7)将射线y=43x(x≥0)按逆时针方向旋转角θ到射线y=-512x(x≤0)的位置,则cosθ=( )A.-1665 B.±1665 C.-5665 D.±56658.(2021江西三校联考一,8)sin (π6+α)=√24,则sin (π6-2α)=( )A.-34B.34C.√74D.√24 答案 B9.(2022届黑龙江龙东四校联考,14)若cos(α-β)=12,cos(α+β)=35,则tanαtanβ= . 答案 -11110.(2022届河南期中联考,15)已知α∈(π,2π),cosα-3sinα=1,则cos α2= . 答案 -√101011.(2020江苏,8,5分)已知sin 2(π4+α)=23,则sin2α的值是 . 答案 1312.(2018课标Ⅱ,15,5分)已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)= . 答案 -12综合篇 知能转换考法 三角函数式的化简、求值1.(2021全国甲,9,5分)若α∈(0,π2),tan2α=cos α2−sin α,则tanα=( ) A.√1515 B.√55 C.√53 D.√153答案 A2.(2022届广西柳州铁一中“韬智杯”大联考,7)已知sin (α+π3)=13,则sin (2α+π6)的值为 ( )A.79 B.13 C.-13 D.-79 答案 D3.(2022届湖南名校10月联考,8)若α∈(π2,π),√2cos2α+sin (2021π4-α)=0,则tan2α=( ) A.3√77B.√74C.±3√77D.±√744.(2020河南名校联盟质检,9)若cos (α+π3)=-13(0<α<π2),则sin (2α+5π12)的值为( ) A.7√2+825B.7√2-818C.-17√250D.7√2-85答案 B5.(2021甘肃永昌一中期末,7)公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图,发现了黄金分割比约为0.618,这一数值也可以表示为m=2sin18°,若m 2+n=4,则α√α2cos 227°−1=( )A.8B.4C.2D.1 答案 C6.(2019江苏,13,5分)已知tan αtan (α+π4)=-23,则sin (2α+π4)的值是 .答案√2107.(2020合肥八校联考一,16)已知角α∈(π,32π),β∈(0,π2),且满足tanα=1+sin αcos α,则β=(用α表示). 答案 2α-52π8.(2018江苏,16,14分)已知α,β为锐角,tanα=43,cos(α+β)=-√55.(1)求cos2α的值; (2)求tan(α-β)的值.解析 (1)因为tanα=43,tanα=sin αcos α,所以sinα=43cosα.因为sin 2α+cos 2α=1,所以cos 2α=925,所以cos2α=2cos 2α-1=-725.(2)因为α,β为锐角,所以α+β∈(0,π).又因为cos(α+β)=-√55,所以sin(α+β)=√1−cos 2(α+β)=2√55,因此tan(α+β)=-2.因为tanα=43,所以tan2α=2tan α1−tan 2α=-247.因此tan(α-β)=tan[2α-(α+β)]=tan2α-tan(α+α)1+tan2αtan (α+α)=-211.9.(2022届黑龙江八校期中,19)已知向量m=(2,sinα),n=(cosα,-1),其中α∈(0,π2),且m⊥n.(1)求sin2α和cos2α的值; (2)若sin(α-β)=√1010,且β∈(0,π2),求β.解析 (1)∵m⊥n,∴2cosα-sinα=0,即sinα=2cosα,代入cos 2α+sin 2α=1,得5cos 2α=1,又α∈0,π2,则cosα=√55,sinα=2√55,则sin2α=2sinαcosα=2×√55×2√55=45,cos2α=2cos 2α-1=2×(√55)2-1=-35.(2)∵α∈(0,π2),β∈(0,π2),∴α-β∈(-π2,π2).又sin(α-β)=√1010,∴cos(α-β)=√1−sin 2(α-β)=3√1010.∴sinβ=sin[α-(α-β)]=sinαcos(α-β)-cosαsin(α-β)=2√55×3√1010-√55×√1010=√22.又β∈(0,π2),∴β=π4.应用篇 知行合一应用 三角函数在实际问题中的应用1.(2020河南、江西、湖南三省部分重点中学4月联考,7数学文化)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有一个“引葭赴岸”问题:“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深、葭长各几何?”其意思为“今有水池1丈见方(即CD=10尺),芦苇生长在水的中央,长出水面的部分为1尺.将芦苇向池岸牵引,恰巧与水岸齐接(如图所示).试问水深、芦苇的长度各是多少?”设θ=∠BAC,现有下述四个结论:①水深为12尺;②芦苇长为15尺; ③tan α2=23;④tan (α+π4)=-177. 其中所有正确结论的编号是( ) A.①③ B.①③④C.①④D.②③④答案 B2.(2021陕西渭南一模,9数学成就)我国古代数学家赵爽利用弦图巧妙地证明了勾股定理,弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).如果内部小正方形的内切圆面积为π4,外部大正方形的外接圆半径为5√22,直角三角形中较大的锐角为α,那么tanα2= ( )A.13B.23C.34D.12答案 D。

§4.4三角恒等变换考纲解读分析解读 1.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.2.备考时,应做到灵活掌握各公式的正用、逆用、变形用等.3.三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,可单独考查,也可与三角函数的知识综合考查,分值为5分或12分,为中低档题.五年高考考点一两角和与差的三角函数公式1.(2015课标Ⅰ,2,5分)sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=()A.-B.C.-D.答案 D2.(2014课标Ⅰ,8,5分)设α∈,β∈,且tan α=,则( )A.3α-β=B.3α+β=C.2α-β=D.2α+β=答案 C3.(2017某某,5,5分)若tan=,则tan α=.答案4.(2013课标全国Ⅰ,15,5分)设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则cos θ=.答案-5.(2016某某,15,14分)在△ABC中,AC=6,cos B=,C=.(1)求AB的长;(2)求cos的值.解析(1)因为cos B=,0<B<π,所以sin B===.由正弦定理知=,所以AB===5.(2)在△ABC中,A+B+C=π,所以A=π-(B+C),于是cos A=-cos(B+C)=-cos=-cos Bcos +sin B·sin,又cos B=,sin B=,故cos A=-×+×=-.因为0<A<π,所以sin A==.因此,cos=cos Acos+sin Asin=-×+×=.教师用书专用(6—13)6.(2015某某,9,5分)若tan α=2tan ,则=()A.1B.2C.3D.4答案 C7.(2013某某,9,5分)4cos 50°-tan 40°=()A. B.C. D.2-1答案 C8.(2015某某,8,5分)已知tan α=-2,tan(α+β)=,则tan β的值为.答案 39.(2015某某,12,5分)sin 15°+sin 75°的值是.答案10.(2014课标Ⅱ,14,5分)函数f(x)=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为.答案 111.(2013课标全国Ⅱ,15,5分)设θ为第二象限角,若tan=,则sin θ+cos θ=.答案-12.(2014某某,15,14分)已知α∈,sin α=.(1)求sin的值;(2)求cos的值.解析(1)因为α∈,sin α=,所以cos α=-=-.故sin=sincos α+cossin α=×+×=-.(2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2××=-,cos 2α=1-2sin2α=1-2×=,所以cos=coscos 2α+sinsin 2α=×+×=-.13.(2014某某,16,12分)已知函数f(x)=sin(x+θ)+acos(x+2θ),其中a∈R,θ∈.(1)当a=,θ=时,求f(x)在区间[0,π]上的最大值与最小值;(2)若f=0, f(π)=1,求a,θ的值.解析(1)f(x)=sin+cos=(sin x+cos x)-sin x=cos x-sin x=sin,因为x∈[0,π],从而-x∈.故f(x)在[0,π]上的最大值为,最小值为-1.(2)由得由θ∈知cos θ≠0,解得考点二二倍角公式1.(2016课标全国Ⅱ,9,5分)若cos=,则sin 2α=()A. B. C.- D.-答案 D2.(2016某某,11,5分)cos2-sin2=.答案3.(2016某某,10,6分)已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=.答案;1教师用书专用(4)4.(2013某某,6,5分)已知α∈R,sin α+2cos α=,则tan 2α=()A. B. C.- D.-答案 C三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一两角和与差的三角函数公式1.(2018某某某某模拟,7)下列各式中,值为的是( )A.sin 15°cos 15°B.cos2-sin2C. D.答案 D2.(2017某某冀州第二次阶段考试,8)(1+tan 18°)(1+tan 27°)的值是()C.2D.答案 C3.(2016某某某某重点中学期中,3)已知α∈,β∈,tan α=,则()A.α+β=B.α-β=C.α=2βD.β=2α答案 D考点二二倍角公式4.(2018某某实验中学模拟,6)已知sin 2a=,则cos2=( )A. B. C. D.答案 A5.(2017某某抚州七校高三上学期联考,6)若sin=,则tan=( )A. B.± C. D.±答案 D6.(2018某某某某武进期中,8)已知锐角α的终边上一点P(1+cos 80°,sin 80°),则锐角α=.答案40°7.(2017某某某某一模,15)化简:=.答案2sin αB组2016—2018年模拟·提升题组(满分:45分时间:30分钟)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2018某某某某重点高中联考,9)已知tan(α+β)=2,tan β=3,则sin 2α=()A. B. C.- D.-答案 C2.(2018某某永州祁阳二模)已知tan=,则cos2=( )A. B. C. D.答案 B3.(2018某某八校第一次联考,10)已知3π≤θ≤4π,且+=,则θ=()A.或B.或C.或D.或答案 D4.(2017某某某某二模,8)若cos=,则cos的值为( )C. D.-答案 A5.(2017某某某某二模,9)若tancos=sin-msin,则实数m的值为( )A.2B.C.2D.3答案 A二、填空题(每小题5分,共10分)6.(2018某某五十校教改共同体联考,15)若α∈,且cos 2α=sin,则tan α=.答案7.(2017某某某某中学第三次调研,14)若tan α+=,α∈,则sin+2coscos2α=.答案0三、解答题(共10分)8.(2018某某某某重点高中联考,17)已知f(x)=sin 2x+cos 2x-1.(1)若f(x)=-3,求tan x;(2)若θ∈, f(θ)=,求sin 2θ的值.解析(1)f(x)=2sin-1,当f(x)=-3时,有sin=-1,所以2x+=2kπ-,k∈Z,即x=kπ-,k∈Z.故tan x=-.(2)因为f(θ)=2sin-1=,所以sin=.因为θ∈,所以2θ+∈,所以cos=-,故sin 2θ=sin=sincos-co s·sin=×-×=.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 三角函数的化简与求值问题1.(2017某某新联考四模,6)=( )A. B. C. D.1答案 A2.(2017某某百校联盟4月联考,8)已知α为第二象限角,且tan α+tan=2tan αtan-2,则sin等于( )A.-B.C.-D.答案 C3.(2018某某某某四校协作体联考,14)化简:-=.答案 4方法2 利用辅助角公式解决问题的方式4.(2016东城期中,8)函数y=cos2+sin2-1是( )A.周期为的函数B.周期为的函数C.周期为π的函数D.周期为2π的函数答案 C5.(2018某某某某联合体学校调研测试,8)函数f(x)=sin·sin的最小正周期为.答案2π6.(2017某某冀州第二阶段考试,17)已知函数f(x)=sin2x+2sin xcos x+sinsin.(1)求f(x)的最小正周期和单调增区间;(2)若x=x0为f(x)的一个零点,求cos 2x0的值.解析(1)f(x)=sin2x+2sin xcos x+sin·sin=sin2x+sin 2x+(sin x+cos x)·(sin x-cos x)=+sin 2x-cos 2x=sin 2x-cos 2x+=2sin+,所以f(x)的最小正周期为π,因为2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,所以kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间是,k∈Z.(2)由题意知f(x0)=2sin+=0,∴sin=-.因为0≤x0≤,所以-≤2x0-≤,又sin<0,所以-≤2x0-<0,所以cos=,所以cos 2x0=cos=×+×=.。

高三数学三角恒等变换试题1.已知，则的值为( )A．18B．C．16D．【答案】D【解析】，选D【考点】三角函数恒等变形2.在中，内角A，B，C的对边a，b，c，且，已知，，，求：（1）a和c的值；（2）的值.【答案】（1）a=3，c=2；（2）.【解析】（1）由和，得ac=6.由余弦定理，得.解，即可求出a，c；（2）在中，利用同角基本关系得由正弦定理，得，又因为，所以C为锐角，因此，利用，即可求出结果.（1）由得，，又，所以ac=6.由余弦定理，得.又b=3，所以.解，得a=2，c=3或a=3，c=2.因为a>c,∴ a=3，c=2.（2）在中，由正弦定理，得，又因为，所以C为锐角，因此.于是=.【考点】1.解三角形；2.三角恒等变换.3.已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tanβ＝－，求2α－β的值．【答案】－π【解析】解：∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝>0，∴0<α<．又tan2α＝＝＝>0，∴0<2α<，∴tan(2α－β)＝＝＝1．∵tanβ＝－<0，∴<β<π，∴－π<2α－β<0，∴2α－β＝－π．4.（3分）（2011•重庆）已知sinα=+cosα，且α∈（0，），则的值为．【答案】﹣【解析】由已知的等式变形后，记作①，利用同角三角函数间的基本关系列出关系式，记作②，再根据α为锐角，联立①②求出sinα和cosα的值，进而利用二倍角的余弦函数公式及两角和与差的正弦函数公式分别求出所求式子的分子与分母，代入即可求出所求式子的值．解：由sinα=+cosα，得到sinα﹣cosα=①，又sin2α+cos2α=1②，且α∈（0，），联立①②解得：sinα=，cosα=，∴cos2α=cos2α﹣sin2α=﹣，sin（α﹣）=（sinα﹣cosα）=，则==﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．5.（2013•重庆）4cos50°﹣tan40°=（）A．B．C．D．2﹣1【答案】C【解析】4cos50°﹣tan40°=4sin40°﹣tan40°======．故选C6.已知，且，则= ．【答案】-【解析】tan()=tan= -∴sin2===-cos2===又tan= -cos2==又,所以cos=∴sin=-∴cos(-)=cos+sin=∴==-7.计算1﹣2sin222.5°的结果等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】原式=，故选B．8.已知，则tan为()A．B．C．2D．【答案】A【解析】，所以，即，所以，所以，所以，所以，所以，解得，，所以，选A9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，b sin＝a+c sin，则C= .【答案】【解析】由已知得，所以，由，应用正弦定理，得，.整理得，即，由于，从而，又，故.【考点】1正弦定理；2正弦两角和差公式。

高三数学三角恒等变换试题答案及解析1.已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】将两边平方得，，可得，故选B.【考点】同角基本关系以及二倍角公式.2.已知cos(α－)＋sinα＝，则sin(α＋)的值是()A．－B．C．－D．【答案】C【解析】cos(α－)＋sinα＝⇒sinα＋cosα＝⇒sin(α＋)＝，所以sin(α＋)＝－sin(α＋)＝－．3.已知函数f(x)＝cos2ωx＋sinωxcosωx－(ω>0)的最小正周期为π．(1)求ω值及f(x)的单调递增区间；(2)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a＝1，b＝，f()＝，求角C 的大小．【答案】（1）增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)（2）当B＝时，C＝π－－＝；当B＝时，C＝π－－＝．【解析】解：(1)f(x)＝＋sin2ωx－＝sin(2ωx＋)．∵T＝π，∴ω＝1，∴f(x)＝sin(2x＋)，增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z)．(2)∵f()＝sin(A＋)＝，角A为△ABC的内角且a<b，∴A＝．又a＝1，b＝，∴由正弦定理得＝，也就是sinB＝＝×＝．∵b>a，∴B＝或B＝，当B＝时，C＝π－－＝；当B＝时，C＝π－－＝．4.已知α，β∈(0，)，满足tan(α＋β)＝4tanβ，则tanα的最大值是()A．B．C．D．【答案】B【解析】tanα＝tan[(α＋β)－β]＝＝≤＝，当且仅当tanβ＝时等号成立．5.在中，若分别为的对边，且，则有（）A．a、c、b成等比数列B．a、c、b成等差数列C．a、b、c成等差数列D．a、b、c成等比数列【答案】D【解析】由已知得，，故，又，而，故，所以，故，从而a、b、c成等比数列．【考点】1、两角和与差的余弦公式；2、二倍角公式；3、正弦定理.6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，b sin＝a+c sin，则C= .【答案】【解析】由已知得，所以，由，应用正弦定理，得，.整理得，即，由于，从而，又，故.【考点】1正弦定理；2正弦两角和差公式。

2017高考数学一轮复习 第三章 三角函数、三角恒等变换、解三角形第2讲 同角三角函数的基本关系及诱导公式习题A 组 基础巩固一、选择题1．sin210°cos120°的值为导学号 25400726( ) A ．14 B ．－34C ．－32D ．34[答案] A[解析] sin210°cos120°＝－sin30°(－cos60°)＝12³12＝14.故选A ．2．已知sin(5π2＋α)＝15，那么cos α＝导学号 25400727( )A ．－25B ．－15C ．15D ．25 [答案] C[解析] sin(5π2＋α)＝sin[2π＋(π2＋α)]＝sin(π2＋α)cos α＝15.3．若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)等于导学号 25400728( )A ．－79B ．－13C ．13D ．79 [答案] A[解析] ∵(π3＋α)＋(π6－α)＝π2，∴sin(π6－α)＝sin[π2－(π3＋α)]＝cos(π3＋α)＝13.则cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1＝－79.4．已知sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)，则sin α²cos α等于导学号 25400729( )A ．25B ．－25C ．25或－25D ．－15[答案] B[解析] 由sin(π－α)＝－2sin(π2＋α)得sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，∴sin α²cos α＝sin α²cos αsin 2α＋cos 2α＝tan α1＋tan 2α＝－25，故选B ． 5．已知f (α)＝sin π－α ²cos 2π－α cos －π－α ²tan π－α ，则f (－25π3)的值为导学号 25400730( )A ．12B ．－12C ．32D ．－32[答案] A [解析] ∵f (α)＝sin αcos α－cos α² －tan α＝cos α，∴f (－25π3)＝cos(－25π3)＝cos 25π3＝cos(8π＋π3)＝cos π3＝12.6．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两个根，则m 的值为导学号 25400731( )A ．1＋ 5B ．1－ 5C ．1± 5D ．－1－ 5[答案] B[解析] 由题意得sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ²cos θ＝m4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ²cos θ，所以m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5，又Δ＝4m 2－16m ≥0，解得m ≤0或m ≥4，所以m ＝1－5，故选B ．二、填空题7．已知α∈(π2，π)，sin α＝45，则tan α＝________.导学号 25400732[答案] －43[解析] ∵α∈(π2，π)，∴cos α＝－1－sin 2α＝－35，∴tan α＝sin αcos α＝－43.8．化简：sin π2＋α ²cos π2－α cos π＋α ＋sin π－α ²cos π2＋αsin π＋α ＝________.导学号 25400733[答案] 0[解析] 原式＝cos α²sin α－cos α＋sin α －sin α－sin α＝－sin α＋sin α＝0.9．(2015²绍兴二模)若f (cos x )＝cos2x ，则f (sin15°)＝________.导学号 25400734 [答案] －32[解析] f (sin15°)＝f (cos75°)＝cos150°＝cos(180°－30°)＝－cos30°＝－32. 10．(2015²浙江嘉兴联考)已知α为钝角，sin(π4＋α)＝34，则sin(π4－α)＝________，cos(α－π4)＝________.导学号 25400735[答案] －74，34[解析] sin(π4－α)＝cos[π2－(π4－α)]＝cos(π4＋α)，∵α为钝角，∴34π＜π4＋α＜54π.∴cos(π4＋α)＜0.∴cos(π4＋α)＝－1－ 34 2＝－74.cos(α－π4)＝sin[π2＋(α－π4)]＝sin(π4＋α)＝34.三、解答题11．已知sin(3π＋α)＝2sin(3π2＋α)，求下列各式的值：导学号 25400736(1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin2α. [答案] (1)－16 (2)85[解析] 由已知得sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5³2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85. 12．已知0＜α＜π2，若cos α－sin α＝－55，试求2sin αcos α－cos α＋11－tan α的值.导学号 25400737[答案]55－95[解析] ∵cos α－sin α＝－55，∴1－2sin αcos α＝15. ∴2sin αcos α＝45.∴(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝1＋45＝95.∵0＜α＜π2，∴sin α＋cos α＝35 5.与cos α－sin α＝－55联立，解得 cos α＝55，sin α＝255.∴tan α＝2. ∴2sin αcos α－cos α＋11－tan α＝45－55＋11－2＝55－95.B 组 能力提升1．(2015²福建福州一模)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝导学号 25400738( )A ．43B ．34C ．－34D ．－43[答案] D[解析] 因为α是第二象限角，所以cos α＝15x ＜0，即x ＜0.又cos α＝15x ＝xx 2＋16.解得x ＝－3，所以tan α＝4x ＝－43，故选D ．2．(2015²河南郑州一模)已知θ为第二象限角，sin θ，cos θ是关于x 的方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R )的两根，则sin θ－cos θ等于导学号 25400739( )A ．1－32B ．1＋32C ． 3D ．－ 3[答案] B[解析] ∵sin θ，cos θ是方程2x 2＋(3－1)x ＋m ＝0(m ∈R )的两根， ∴sin θ＋cos θ＝1－32，sin θcos θ＝m2.可得(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，即2－32＝1＋m ，∴m ＝－32. ∵θ为第二象限角，∴sin θ＞0，cos θ＜0，即sin θ－cos θ＞0. ∵(sin θ－cos θ)2＝(sin θ＋cos θ)2－4sin θ²cos θ＝4－234－2m ＝1－32＋3＝2＋32， ∴sin θ－cos θ＝2＋32＝1＋32. [点拨] 利用根与系数的关系表示出sin θ＋cos θ＝1－32，sin θcos θ＝m2，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系整理求出m 的值，再利用完全平方公式求出sin θ－cos θ的值即可．3．(2015²河北石家庄一模)已知α为第二象限角，则cos α²1＋tan 2α＋sin α1＋1tan 2α＝________.导学号 25400740 [答案] 0[解析] 原式＝cos αsin 2α＋cos 2αcos 2α＋sin α²sin 2α＋cos 2αsin 2α＝cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|，因为α是第二象限，所以sin α＞0，cos α＜0，所以cos α1|cos α|＋sin α1|sin α|＝cos α－cos α＋sin αsin α＝－1＋1＝0.4．已知：f (α)＝sin －α cos π＋α cos π2－αcos π－α sin 2π＋α tan π＋α .导学号 25400741(1)化简f (α)；(2)若角α的终边在第二象限，且sin α＝35，求f (α)．[答案] (1)f (x )＝－cos α (2)45[解析] (1)f (α)＝sin －α cos π＋α cos π2－αcos π－α sin 2π＋α tan π＋α＝－sin α －cos α sin α－cos αsin αtan α＝－cos α.(2)由题意，知cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以f (α)＝－cos α＝45.5．已知－π2＜α＜0，且函数f (α)＝cos(3π2＋α)－sin α²1＋cos α1－cos α－1.导学号 25400742(1)化简f (α)；(2)若f (α)＝15，求sin α²c os α和sin α－cos α的值．[答案] (1)f (α)＝sin α＋cos α (2)－1225，－75[解析] (1)f (α)＝sin α－sin α² 1＋cos α 21－cos 2α－1＝sin α＋sin α²1＋cos αsin α－1＝sin α＋cos α.(2)方法一：由f (α)＝sin α＋cos α＝15，平方可得sin 2α＋2sin α²cos α＋cos 2α＝125，即2sin α²cos α＝－2425. ∴sin α²cos α＝－1225.∵(sin α－cos α)2＝1－2sin α²cos α＝4925，又－π2＜α＜0，∴sin α＜0，cos α＞0，∴sin α－cos α＜0，∴sin α－cos α＝－75.方法二：联立方程⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝15，sin 2α＋cos 2α＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝45或⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35.∵－π2＜α＜0，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝－35，cos α＝45.∴sin α²cos α＝－1225，sin α－cos α＝－75.。

三角函数与三角恒等变换(A)一、 填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案写在指定位置上) 1. 半径是r ，圆心角是α(弧度)的扇形的面积为________. 2. 若31sin(3)lg10απ+=，则tan(π＋α)＝________.3. 若α是第四象限的角，则π－α是第________象限的角.4. 适合52sin 23m xm-=-的实数m 的取值范围是_________.5. 若tan α＝3，则cos2α＋3sin 2α＝__________. 6. 函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象的一个对称轴方程是___________.(答案不唯一)7. 把函数4cos 13y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ个单位，所得的图象对应的函数为偶函数，则ϕ的最小正值为___________.8. 若方程sin 2x ＋cos x ＋k ＝0有解，则常数k 的取值范围是__________. 9. 1－sin10°·sin 30°·sin 50°·sin 70°＝__________.10. 角α的终边过点(4，3)，角β的终边过点(－7，1)，则si n (α＋β)＝__________.11. 函数2cos 152sin 5x y x ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭的递减区间是___________. 12. 已知函数f (x )是以4为周期的奇函数，且f (－1)＝1，那么sin(5)2f ππ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦__________. 13. 若函数y ＝sin(x ＋ϕ)＋cos(x ＋ϕ)是偶函数，则满足条件的ϕ为_______. 14. tan3、tan4、tan5的大小顺序是________.二、 解答题(本大题共6小题，共90分.解答后写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分14分)已知3tan 4θ=-，求22sin cos cos θθθ+-的值.16. (本小题满分14分)已知函数f (x )＝2si nx (si nx ＋c os x ). (1) 求函数f (x )的最小正周期和最大值；(2) 在给出的直角坐标系中，画出函数y ＝f (x )在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象.17. (本小题满分14分)求函数y ＝4si n 2x ＋6c os x －6(233x ππ-≤≤)的值域.18. (本小题满分16分)已知函数()sin()(0,0)y f x A x ωϕωϕπ==+><<的图象如图所示.(1) 求该函数的解析式； (2) 求该函数的单调递增区间.19. (本小题满分16分)设函数2()4sin sin cos242x f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(x ∈R ).(1) 求函数f (x )的值域； (2) 若对任意x ∈2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，都有|f (x )－m |＜2成立，求实数m 的取值范围.20. (本小题满分16分)已知奇函数f (x )的定义域为实数集，且f (x )在［0，＋∞)上是增函数.当02πθ≤≤时，是否存在这样的实数m ，使2(42cos )(2sin 2)(0)f m m f f θθ--+>对所有的0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦均成立?若存在，求出所有适合条件的实数m ；若不存在，请说明理由.三角函数与三角恒等变换(B)一、 填空题(本大题共14小题，每题5分，共70分.不需写出解答过程，请把答案写在指定位置上) 1.cos 225+tan240+sin(-300)=︒︒︒______. 2.tan 20tan 403tan 20tan 40︒+︒+︒︒=_______.3. 已知tan 2x =-，则2222sin 3cos 3sin cos x xx x+-的值为_________. 4. 已知34παβ+=，则(1tan )(1tan )αβ--=________.5. 将函数y ＝sin2x 的图象向左平移4π个单位， 再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是________. 6. 已知函数(2)(0)y x ϕθπ=+≤≤是R 上的偶函数，则ϕ=__________.7. 函数12log sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间为________.8. 已知函数sin 3cos y x x =+，且,6x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则函数的值域是_________.9. 若3sin cos 0θθ-=，则21cos sin 22θθ+的值是___________.10. 已知,αβ都是锐角，且54sin ,cos()135ααβ=+=-，则sin β的值是_________.11. 给出下列四个命题，其中不正确命题的序号是_______. ① 若cos cos αβ=，则2k αβπ-=，k ∈Z ；② 函数2cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象关于12x π=对称；③ 函数cos(sin )y x = (x ∈R )为偶函数；④ 函数y ＝sin|x |是周期函数，且周期为2π. 12. 已知函数()cos()f x A x ωϕ=+的图象如图所示，223f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则f (0)＝_________.13. 若0,,(0,)4παβπ⎛⎫∈∈ ⎪⎝⎭，且11tan(),tan 27αββ-==-，则2αβ-=______. 14. 已知函数()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(x ∈R ，ω＞0)的最小正周期为π.将y ＝f (x )的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是______.二、 解答题(本大题共6小题，共90分.解答后写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. (本小题满分14分)如图是表示电流强度I 与时间t 的关系s i n ()(0,0I A t ωϕωϕπ=+><<在一个周期内的图象. (1) 写出sin()IA t ωϕ=+的解析式；(2) 指出它的图象是由I ＝si nt 的图象经过怎样的变换而得到的.16. (本小题满分14分)化简sin 6sin 42sin 66sin 78︒︒︒︒.17. (本小题满分14分)已知函数y ＝sin x ·cos x ＋sin x ＋cos x ，求y 的最大值、最小值及取得最大值、最小值时x 的值.18. (本小题满分16分)设02πθ<<，曲线22sin sin 1xy θθ+=和22cos sin 1x y θθ-=有4个不同的交点. (1) 求θ的取值范围；(2) 证明这4个交点共圆，并求圆的半径的取值范围.19. (本小题满分16分)函数f (x )＝1－2a －2a cos x －2sin 2x 的最小值为g (a )，a ∈R . (1) 求g (a )的表达式； (2) 若g (a )＝12，求a 及此时f (x )的最大值.20. (本小题满分16分)已知定义在区间,2ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的函数y ＝f (x )的图象关于直线4x π=对称，当x ≥4π时，函数f (x )＝sin x . (1) 求,24f f ππ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值； (2) 求y ＝f (x )的函数表达式；(3) 如果关于x 的方程f (x )＝a 有解，那么在a 取某一确定值时，将方程所求得的所有解的和记为M a ，求M a 的所有可能取值及相对应的a 的取值范围.三角函数与三角恒等变换（A ）1.212r α 2. ±243. 三4.10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦5.19106. x ＝8π【解析】对称轴方程满足2x ＋4π＝k π＋2π，所以x ＝28k ππ+（k ∈Z ）.7.23π 8.5,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦9.1516【解析】∵ sin10°·sin30°·sin50°·sin70°＝sin 20sin 30sin 50cos 202cos10︒︒︒︒︒ ＝sin 40sin 30cos 40sin 80sin 301,4cos108cos1016︒︒︒︒︒==︒︒ ∴ 原式＝1－115.1616= 10. －1725011.732,2,55k k k ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 12. －1 【解析】f （5）＝－f （－5）＝－f （－1）＝－1，∴ 原式＝sin 2π⎛⎫-⎪⎝⎭＝－1. 13.ϕ＝k π＋4π（k ∈Z ） 14. tan5＜tan3＜tan4 15. 2＋sin θcos θ－cos 2θ＝2＋2222sin cos cos tan 12sin cos tan 1θθθθθθθ--=+++＝312242.925116--+=+16. （1） f （x ）＝2sin 2x ＋2sin xc os x ＝1－c os2x ＋sin2x ＝1＋2(sin2x cos 4π－cos2x sin 4π)＝1＋2sin(2x －4π).所以函数f （x ）的最小正周期为π，最大值为1＋2.（2） 列表.x38π-8π- 8π 38π 58π 24x π-π-2π-0 2π πy112-112+1故函数y ＝f （x ）在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象是17. y ＝4sin 2x ＋6cos x －6＝4（1－cos 2x ）＋6cos x －6 ＝－4cos 2x ＋6cos x －2＝－4231cos .44x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ∵ －3π≤x ≤23π，∴ －12≤cos x ≤1，∴ y ∈16,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦. 18. （1） 由图象可知：T ＝2388ππ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝π⇒ω＝2T π＝2.A ＝2(2)2--＝2，∴ y ＝2sin （2x ＋ϕ）.又∵,28π⎛⎫-⎪⎝⎭为“五点画法”中的第二点，∴ 2×8π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋ϕ＝2π⇒ϕ＝34π.∴ 所求函数的解析式为y ＝2sin 32.4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭（2） ∵ 当2x ＋34π∈2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）时，f （x ）单调递增， ∴ 2x ∈52,244k k ππππ⎡⎤-+-+⇒⎢⎥⎣⎦x ∈5,88k k ππππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎣⎦（k ∈Z ）. 19. （1） f （x ）＝4sin x ·1cos 22x π⎛⎫-+ ⎪⎝⎭＋cos2x ＝2sin x （1＋sin x ）＋1－2sin 2x ＝2sin x ＋1.∵ x ∈R ，∴ sin x ∈［－１，1］，故f （x ）的值域是［－1，3］. （2） 当x ∈2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，sin x ∈1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴ f （x ）∈［2，3］. 由|f （x ）－m |＜2⇒－2＜f （x ）－m ＜2，∴ f （x ）－2＜m ＜f （x ）＋2恒成立. ∴ m ＜［f （x ）＋2］min ＝4，且m ＞［f （x ）－2］max ＝1. 故m 的取值范围是（1，4）.20. 因为f （x ）为奇函数，所以f （－x ）＝－f （x ）（x ∈R ），所以f （0）＝0.所以f （4m －2m cosθ）－f （2sin 2θ＋2）＞0，所以f （4m －2m cos θ）＞f （2sin 2θ＋2）.又因为f （x ）在［０，＋∞）上是增函数，且f （x ）是奇函数， 所以f （x ）是R 上的增函数，所以4m －2m cos θ＞2sin 2θ＋2. 所以cos 2θ－m cos θ＋2m －2＞0. 因为θ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以cos θ∈［０，１］. 令l ＝cos θ(l ∈［０，1］). 满足条件的m 应使不等式l 2－ml ＋2m －2＞0对任意l ∈［0，1］均成立. 设g （l ）＝l 2－ml ＋2m －2＝22m l ⎛⎫- ⎪⎝⎭－24m ＋2m －2.由条件得01,0,1,2220,(0)0,(1)0.2m m m m g g g ⎧≤≤⎧⎧⎪<>⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎛⎫⎪⎪⎪>>>⎩⎩ ⎪⎪⎝⎭⎩或或 解得，m ＞4－22.三角函数与三角恒等变换（B ）1.3322- 2.23.711【解析】原式＝2222tan 3(2)37.3tan 13(2)111x x +-+==--- 4. 2 5. y ＝2c os 2x 6.2π7.,88k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭（k ∈Z ） 【解析】∵ sin 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭＞0，且y ＝12log t 是减函数， ∴ 2k π＜2x ＋4π≤2π＋2k π，（k ∈Z ），∴ x ∈,88k k ππππ⎛⎤-+ ⎥⎝⎦（k ∈Z ）.8.3,2⎡⎤-⎣⎦ 【解析】y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，又2π≤x ＋3π≤4,3π ∴ sin 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭∈3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，∴ y ∈［－3，2］. 9. 65【解析】tan θ＝13，∴ cos 2θ＋12sin2θ＝2222cos sin cos 1tan 6.sin cos tan 15θθθθθθθ++==++ 10.5665【解析】由题意得cos α＝1213，sin （α＋β）＝35.∴ sin β＝sin ［（α＋β）－α］＝sin （α＋β）·cos α－cos （α＋β）·sin α＝5665.11. ①②④ 12. 2313.34π-【解析】tan α＝tan （α－β＋β）＝11127113127-=+⨯，∴ tan （2α－β）＝tan ［（α－β）＋α］＝1123111123+=-⨯.∵ β∈（０，π）,且tan β＝－17∈（－1，0），∴ β∈3,4ππ⎛⎫⎪⎝⎭，∴ 2α－β∈,,4ππ⎛⎫--⎪⎝⎭∴ 2α－β＝－34π.14.8π 【解析】由已知，周期为π＝2πω，∴ ω＝2.则结合平移公式和诱导公式可知平移后是偶函数，sin()24x πϕ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦＝±cos2x ，故ϕmin=8π.15. （1） I ＝300sin 1003t ππ⎛⎫+⎪⎝⎭. (2) I ＝sin t 3π−−−−→向左平移个单位I ＝sin 3t ππ⎛⎫+−−−−−−−−→ ⎪⎝⎭纵坐标不变1横坐标变为原来的倍100 I ＝sin 1003t ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭−−−−−−−→横坐标不变纵坐标变为原来的300倍I ＝300sin 1003t ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭. 16. 原式＝sin6°·c os48°·c os24°·c os12°＝cos 6sin 6cos12cos 24cos 48cos 6︒︒︒︒︒︒＝1sin12cos12cos 24cos 482cos6︒︒︒︒︒＝…=1sin 96116.cos616︒=︒17. 令sin x ＋cos x ＝t .由sin x ＋cos x ＝2sin 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，知t ∈［－2，2］，∴ sin x ·cos x＝212t -，t ∈［－2，2］.所以y ＝212t -＋t ＝12（t ＋1）2－1，t ∈［－2，2］.当t ＝－1，即2sin 4x π⎛⎫+⎪⎝⎭＝－1，x ＝2k π＋π或x ＝2k π＋32π（k ∈Z ）时，y min＝－1；当t＝2，即2sin 4x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝2， x ＝2k π＋4π（k ∈Z ）时，y max ＝122+.18. （1） 解方程组222222sin cos 1,sin cos ,sin cos 1,cos sin .x y x x y y θθθθθθθθ⎧⎧+==+⎪⎪⎨⎨-==-⎪⎪⎩⎩得 故两条已知曲线有四个不同的交点的充要条件为sin cos 0,cos sin 0.θθθθ+>⎧⎨->⎩∵ 0＜θ＜2π，∴ 0＜θ＜4π.（2） 设四个交点的坐标为（x i ，y i ）（i ＝1，2，3，4），则2i x ＋2i y ＝2cos θ∈（2，2）（i ＝1，2，3，4）.故此四个交点共圆，并且这个圆的半径r ＝42cos (2,2)θ∈.19. f （x ）＝1－2a －2a cos x －2sin 2x ＝1－2a －2ac os x －2（1－cos 2x ）＝2cos 2x －2a cos x －1－2a ＝22cos 2a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭－1－2a －22a （a ∈R ）.（1） 函数f （x ）的最小值为g （a ）.① 当2a ＜－1，即a ＜－2时，由cos x ＝－1，得g （a ）＝2212a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭－1－2a －22a ＝1；② 当－1≤2a≤1，即－2≤a ≤2时，由cos x ＝2a，得g （a ）＝－1－2a －22a ；③ 当2a ＞1，即a ＞2时，由cos x ＝1，得g （a ）＝2212a ⎛⎫- ⎪⎝⎭－1－2a －22a ＝1－4a .综上所述，21(2),()12(22),214(2).a a g a a a a a <-⎧⎪⎪=----≤≤⎨⎪->⎪⎩ （2） ∵ g （a ）＝12，∴ －2≤a ≤2，∴ －1－2a －22a ＝12，得a 2＋4a ＋3＝0，∴ a ＝－1或a ＝－3（舍）.将a ＝－1代入f （x ）＝22cos 2a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭－1－2a －22a ，得f （x ）＝221cos 2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋12.∴ 当c os x ＝1，即x ＝2k π（k ∈Z ）时，f （x ）max ＝5.20. （1） f 2π⎛⎫-⎪⎝⎭＝f （π）＝sin π＝0，f 4π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝f 34π⎛⎫⎪⎝⎭＝sin 34π＝22.（2） 当－2π≤x ＜4π时，f （x ）＝f 2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝sin 2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝c os x . ∴ f （x ）＝sin ,,,4cos ,,.24x x x x ππππ⎧⎡⎤∈⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎨⎡⎫⎪∈-⎪⎢⎪⎣⎭⎩（3） 作函数f （x ）的图象（如图），显然，若f （x ）＝a 有解，则a ∈［0，1］.① 当0≤a ＜22时，f （x ）＝a 有两解，且1224x x π+=，∴ x 1＋x 2＝2π，∴ M a ＝2π；② 当a ＝22时，f （x ）＝a 有三解，且x 1＋x 2＋x 3＝2π＋4π＝34π，∴ M a ＝34π；③ 当22＜a ＜1时，f （x ）＝a 有四解，且x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝x 1＋x 4＋x 2＋x 3＝2π＋2π＝π，∴ M a ＝π；④ 当a ＝1时，f （x ）＝a 有两解，且x 1＝0，x 2＝2π，∴ x 1＋x 2＝2π，∴ M a ＝2π.综上所述，M a=2,0,{1},2232,,422,,1.2a a a πππ⎧⎡⎫∈⎪⎪⎢⎪⎪⎣⎭⎪⎧⎫⎪⎪⎪∈⎨⎨⎬⎪⎪⎩⎭⎪⎪⎛⎫⎪∈ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩。

第四章 三角函数、解三角形第三节 简单的三角恒等变换第一课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式A 级·基础过关 |固根基|1.(2019届贵阳模拟)设tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝14，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－4D ．4解析：选C 因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝14， 所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝－4.故选C ．2．(2020届贵阳摸底)在△ABC 中，sin A ＝513，cos B ＝35，则cos C ＝( )A ．5665 B ．－3365C ．5665或－1665D ．－1665解析：选D 因为cos B ＝35，所以sin B ＝45.因为sin A ＝513，所以cos A ＝±1213.因为sin B ＝45>sinA ＝513，所以B>A ，所以角A 为锐角，所以cos A ＝1213.则cos C ＝cos [π－(A ＋B)]＝－cos(A ＋B)＝sin Asin B －cos Acos B ＝513×45－1213×35＝－1665.故选D ．3．(2019届山东三校联考)已知sin 2α＝13，则cos 2α－π4＝( )A ．13 B ．16 C ．23D ．89解析：选C sin 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝23，即cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝23.故选C ． 4．(2019届福建五校第二次联考)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，则sin 2α＝( )A ．15B ．－15C ．725D ．－725解析：选C 解法一：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，所以sin 2α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.故选C ．解法二：令π4－α＝θ，则α＝π4－θ，因为cos θ＝45，所以sin 2α＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2θ＝cos 2θ＝2cos 2θ－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝725.故选C ．解法三：因为cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝45，所以22(cos α＋sin α)＝45，所以cos α＋sin α＝425，平方得1＋sin 2α＝3225，即sin 2α＝725.故选C ．5．(2019届河北六校联考)已知α∈(0，π)，且tan α＝2，则cos 2α＋cos α＝( ) A ．25－35B ．5－35C ．5＋35D ．25＋35解析：选B ∵α∈(0，π)，tan α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，∴α在第一象限，且cos α＝15.∴cos 2α＋cos α＝2cos 2α－1＋cos α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫152－1＋15＝－35＋15＝5－35，故选B ．6．(2019届佛山模拟)已知tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两根，若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β等于( )A ．π3B ．π3或－23πC ．－π3或23πD ．－23π解析：选D 由题意得，tan α＋tan β＝－33，tan αtan β＝4，所以tan α<0，tan β<0.又α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，故α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， 所以－π<α＋β<0.又tan (α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－331－4＝3，所以α＋β＝－2π3.7．(2019届牛栏山中学模拟)已知cos 2α－cos 2β＝a ，那么sin (α＋β)sin (α－β)等于( ) A ．－a 2B ．a 2C ．－aD ．a解析：选C sin (α＋β)sin (α－β)＝(sin αcos β＋cos α·sin β)(sin αcos β－cos αsin β)＝sin 2αcos 2β－cos 2αsin 2β＝(1－cos 2α)cos 2β－cos 2α(1－cos 2β)＝cos 2β－cos 2α＝－a.故选C ．8．(2019年全国卷Ⅱ)已知α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，2sin 2α＝cos 2α＋1，则sin α＝( )A ．15 B ．55C ．33D ．255解析：选B 由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝2cos 2α.因为α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α>0，cos α>0，所以2sin α＝cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝55(负值舍去)．故选B ． 9．(2020届大同调研)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝12，且θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝________． 解析：因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以θ－π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝12，得θ－π6＝π6，所以θ＝π3，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π3＝1. 答案：110．已知tan (α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，则2α－β＝________．解析：易知tan (2α－β)＝tan [2(α－β)＋β]． 因为tan (α－β)＝12，所以tan 2(α－β)＝2tan （α－β）1－tan 2（α－β）＝43， 故tan (2α－β)＝tan 2（α－β）＋tan β1－tan 2（α－β）tan β＝1.由tan β＝－17∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0，知5π6<β<π，由tan α＝tan [(α－β)＋β]＝13∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33，知0<α<π6，所以2α－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π，－π2，故2α－β＝－3π4.答案：－3π411．(2019届宜昌联考)已知函数f(x)＝Asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，x∈R，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝32.(1)求A 的值；(2)若f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ的值．解：(1)由f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝Asin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋π4＝Asin 2π3＝32A ＝32，可得A ＝ 3.(2)因为f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＝32，即⎝⎛⎭⎪⎫22sin θ＋22cos θ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos θ－22sin θ＝32，所以cos θ＝64. 因为θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝104，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4－θ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－θ＋π4＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝304. 12．(2018年江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos (α＋β)＝－55.(1)求cos 2α的值； (2)求tan (α－β)的值．解：(1)因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，所以cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)． 又因为cos (α＋β)＝－55， 所以sin (α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255，所以tan (α＋β)＝－2. 因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247. 所以tan (α－β)＝tan [2α－(α＋β)] ＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－211.B 级·素养提升 |练能力|13.在斜△ABC 中，sin A ＝－2cos Bcos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的大小为( ) A ．π4B ．π3C ．π2D ．3π4解析：选A ∵在斜△ABC 中，sin A ＝sin(B ＋C)＝sin Bcos C ＋cos Bsin C ＝－2cos Bcos C ，两边同时除以cos Bcos C ，可得tan B ＋tan C ＝－ 2.又∵tan Btan C ＝1－2，∴tan(B ＋C)＝tan B ＋tan C1－tan Btan C ＝－1.又∵B＋C∈(0，π)， ∴B ＋C ＝34π，∴A ＝π4.14.(2019届湖北武汉模拟)《周髀算经》中给出了弦图，所谓弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大的正方形，若图中直角三角形两锐角分别为α，β，且小正方形与大正方形面积之比为4∶9，则cos (α－β)的值为( )A ．59B ．49C ．23D ．0解析：选A 由题可设大、小正方形边长分别为3，2， 可得cos α－sin α＝23，① sin β－cos β＝23，②由图可得cos α＝sin β，sin α＝cos β，①×②可得，49＝cos αsin β＋sin αcos β－cos αcos β－sin αsin β＝sin 2β＋cos 2β－cos (α－β)＝1－cos (α－β)，解得cos (α－β)＝59.故选A ．15．(2019届唐山市高三摸底考试)已知函数f(x)＝sin x －sin 3x ，x ∈[0，2π]，则f(x)的所有零点之和等于( )A ．5πB ．6πC ．7πD ．8π解析：选C f(x)＝sin x －sin 3x ＝sin(2x －x)－sin(2x ＋x)＝－2cos 2xsin x ，令f(x)＝0，可得cos 2x ＝0或sin x ＝0，∵x∈[0，2π]，∴2x∈[0，4π]，由cos 2x ＝0可得，2x ＝π2或2x ＝3π2或2x＝5π2或2x ＝7π2，∴x＝π4或x ＝3π4或x ＝5π4或x ＝7π4，由sin x ＝0，得x ＝0或x ＝π或x ＝2π，∴π4＋3π4＋5π4＋7π4＋0＋π＋2π＝7π，∴f(x)的所有零点之和等于7π，故选C ． 16．(2019届广东六校第一次联考)已知A 是函数f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x －π3的最大值，若存在实数x 1，x 2，使得对任意实数x ，总有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则A|x 1－x 2|的最小值为( )A ．π2 018 B ．π1 009 C ．2π1 009D ．π4 026解析：选B f(x)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 018x －π3＝32sin 2 018x ＋12cos 2 018x ＋12cos 2 018x ＋32sin 2 018x ＝3sin 2 018x ＋cos 2 018x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2 018x ＋π6，故A ＝f(x)max ＝2，f(x)的最小正周期T ＝2π2 018＝π1 009.又存在实数x 1，x 2，使得对任意实数x ，总有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，所以f(x 2)＝f(x)max ，f(x 1)＝f(x)min ，故A|x 1－x 2|的最小值为A×12T ＝π1 009，故选B ．17．(2019届湖南重点高中联考)已知向量a ＝(2，sin θ)，b ＝(cos θ，－1)，若a⊥b，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝________.解析：由已知得a·b＝2cos θ－sin θ＝0，所以tan θ＝2，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2θ＋π2＝12cos 2θ＝12(cos 2 θ－sin 2θ)＝12×cos 2θ－sin 2θsin 2θ＋cos 2θ＝12×1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－310. 答案：－310第四章 三角函数、解三角形第三节 简单的三角恒等变换 第二课时 简单的三角恒等变换A 级·基础过关 |固根基|1.2sin 235°－1cos 10°－3sin 10°的值为( )A ．1B ．－1C ．12D ．－12解析：选D 原式＝2sin 235°－12⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°＝－cos 70°2sin 20°＝－12.2．(2019届成都模拟)已知tan α＝m 3，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2m ，则m ＝( )A ．－6或1B ．－1或6C ．6D ．1解析：选A 由题意知，tan α＝m 3，tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝2m ，则m3＋11－m 3＝2m ，∴m＝－6或1，故选A ．3．已知2tan αsin α＝3，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6的值是( ) A ．0 B ．22C ．1D ．12解析：选A 由2tan αsin α＝3，得2sin 2αcos α＝3，即2cos 2α＋3cos α－2＝0，∴cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．∵－π2<α<0，∴α＝－π3，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝0. 4．已知锐角α，β满足sin α＝55，cos β＝31010，则α＋β等于( )A ．3π4B ．π4或3π4C ．π4D ．2k π＋π4(k∈Z)解析：选C 由sin α＝55，cos β＝31010，且α，β为锐角，可知cos α＝255，sin β＝1010， 故cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝255×31010－55×1010＝22.又0<α＋β<π，故α＋β＝π4.5．(2019届福州市高三期末)若2sin x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1，则cos 2x ＝( ) A ．－89B ．－79C ．79D ．－725解析：选C 因为2sin x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1， 所以3sin x ＝1，所以sin x ＝13，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝79.故选C ．6．若α是第二象限角，且sin α＝35，则1－2sin π＋α2·sin π－α2＝( )A ．－65B ．－45C ．45D ．65解析：选C 因为1－2sin π＋α2sin π－α2＝1－2cos 2α2＝－cos α，又sin α＝35，且α是第二象限角，所以cos α＝－45，所以1－2sin π＋α2sin π－α2＝45.故选C ．7．(2019届兰州模拟)计算tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1解析：选D tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos 2α2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α·cos 2α2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos 2α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α ＝cos 2αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1.8．设sin α2＝45，且α是第二象限角，则tan α2的值为________．解析：因为α是第二象限角，所以α2是第一或第三象限角．①当α2是第一象限角时，有cos α2＝1－sin 2α2＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35， 所以tan α2＝sinα2cosα2＝43；②当α2是第三象限角时，与sin α2＝45矛盾，舍去．综上，tan α2＝43.答案：439．(2019届三湘名校联考)函数f(x)＝sin 2x ＋2cos x 在区间[0，π]上的值域为____________．解析：f′(x)＝2cos 2x －2sin x ＝－2(2sin 2x ＋sin x －1)＝－2(2sin x －1)(sin x ＋1)，当x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π6∪⎝⎛⎭⎪⎫5π6，π时，f′(x)>0；当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6时，f′(x)<0，∴x ＝π6是f(x)的极大值点，x ＝5π6是f(x)的极小值点．又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝332，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＝－332，f(0)＝2，f(π)＝－2，∴f(x)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332 10．(2019届四省八校联考)f(x)＝sin 2x 1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4×(1＋3tan x)的最小正周期为________． 解析：f(x)＝sin 2x 1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π4×(1＋3tan x)＝sin 2x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3×sin x cos x ＝2sin xcos x sin x ×cos x ＋3sin x cos x ＝2(cos x ＋3sin x)＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，则f(x)的最小正周期T ＝2π. 答案：2π11．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P(－3，3)．(1)求sin 2α－tan α的值；(2)若函数f(x)＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α，求函数g(x)＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域． 解：(1)∵角α的终边经过点P(－3，3)，∴sin α＝12，cos α＝－32，tan α＝－33. ∴sin 2α－tan α＝2sin αcos α－tan α＝－32＋33＝－36. (2)∵f(x)＝cos(x －α)cos α－sin(x －α)sin α＝cos x ，∴g(x)＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2cos 2x ＝3sin 2x －1－cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6－1. ∵0≤x ≤2π3， ∴－π6≤2x －π6≤7π6. ∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1， ∴－2≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1， 故函数g(x)＝3f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x －2f 2(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上的值域是[－2，1]． 12．(2019届河南省实验中学模拟)已知函数f(x)＝43cos 2ωx ＋2sin 2ωx －3(ω>0)的部分图象如图所示，H 为图象的最高点，E ，F 是图象与直线y ＝3的交点，且EH →·EF →＝EH →2.(1)求ω的值及函数的值域；(2)若f(x 0)＝335，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，－23，求f(x 0＋2)－3的值．解：(1)函数化简得f(x)＝23cos 2ωx ＋2sin 2ωx ＋3＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋ 3.由题意可知|EF|＝T2.因为EH →·EF →＝EH →2，所以EH →·(EH →＋HF →)＝EH →2，所以EH →·HF →＝0，所以HF⊥HE，所以△EFH 是等腰直角三角形．又因为点H 到直线EF 的距离为4，所以|EF|＝8，所以函数f(x)的周期T ＝16.所以2ω＝2π16，即ω＝π16，函数f(x)的值域是[－4＋3，4＋ 3 ]．(2)由(1)，知f(x)＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋π3＋3，因为f(x 0)＝335，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3＝－310. 因为x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，－23，所以π8x 0＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π4，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3＝9710，所以f(x 0＋2)－3＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π4＋π3＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3＋π4＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3cos π4＋4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x 0＋π3sin π4＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－310×22＋4×9710×22＝194－65.B 级·素养提升|练能力|13.(2019届长春市高三第一次质量监测)函数f(x)＝3sin x ＋3cos x 的最大值为() A ． 3 B ．2C ．2 3D ．4解析：选C 由题意，可知f(x)＝3sin x ＋3cos x ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，所以函数的最大值为23，故选C ．14．函数f(x)＝12(1＋cos 2x)sin 2x (x∈R)是( ) A ．最小正周期为π的奇函数B ．最小正周期为π2的奇函数 C ．最小正周期为π的偶函数D ．最小正周期为π2的偶函数 解析：选 D ∵f(x)＝14(1＋cos 2x)(1－cos 2x)＝14(1－cos 22x)＝14sin 22x ＝18(1－cos 4x)，∴f(－x)＝18[1－cos (－4x)]＝18(1－cos 4x)＝f(x)，因此函数f(x)是最小正周期为π2的偶函数，故选D ． 15．已知tan 2α＝34，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，函数f(x)＝sin(x ＋α)－sin(x －α)－2sin α，且对任意的实数x ，不等式f(x)≥0恒成立，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4的值为( ) A ．－255B ．－55C ．－235D ．－35解析：选A 由tan 2α＝34，即2tan α1－tan 2α＝34，得tan α＝13或tan α＝－3.又f(x)＝sin(x ＋α)－sin(x －α)－2sin α＝2cos xsin α－2sin α≥0恒成立，所以sin α≤0，∴tan α＝－3，∴sin α＝－310，cos α＝110，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝sin αcos π4－cos αsin π4＝－255，故选A ． 16．设向量a ＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，若a⊥b，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝________． 解析：∵a＝(cos α，－1)，b ＝(2，sin α)，a⊥b，∴2cos α－sin α＝0，∴tan α＝2，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－tan π41＋tan αtan π4＝2－11＋2×1＝13. 答案：13。

1．两角和与差的三角函数βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±；βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±； tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=。

2．二倍角公式αααcos sin 22sin =；ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=；22tan tan 21tan ααα=-。

3．三角函数式的化简常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。

（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数。

（1）降幂公式ααα2sin 21cos sin =；22cos 1sin 2αα-=；22cos 1cos2αα+=。

（2）辅助角公式()sin cos sin a x bx x ϕ+=+，sin cos ϕϕ==其中4．三角函数的求值类型有三类（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

5．三角等式的证明（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。