函数的基本性质(复习)

函数的性质及其应用教师用函数的基本性质与函数的综合运用是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是高考命题的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数。

函数单调性是函数在定义域内某个区间上的性质，函数奇偶性是函数在整个定义域上的性质。

研究基本性质，不可忽略定义域对函数性质的影响。

函数定义域体现了函数图像左右方向的延伸程度，而值域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度。

对函数单调性要深入复习，深刻理解单调性定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，掌握单调区间的求法，掌握单调性与奇偶性之间的联系。

掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数范围等，掌握抽象函数单调性的判断方法等等。

要充分重视运用方程与函数、等价转换、分类讨论及数形结合等数学思想，运用分离变量方法解决函数相关问题，并围绕函数单调性分析解决函数综合问题。

一、函数与反函数例1．（1）已知A={1，2，3}，B={4，5}，则以A为定义域，B为值域的函数共有 6 个．解：从A到B建立映射共有23=8个，其中由2个映射的像集是{4}和{5}，把这2个映射去掉，其它映射的像集都是{4，5}，函数的本质是一个数集到另一个数集的映射，所以，构成以A为定义域，B为值域的不同的函数共有8﹣2=6个，故答案为6．（2）、（2012•徐汇区一模）已知函数f（x）=x2﹣1的定义域为D，值域为{﹣1，0，1}，试确定这样的集合D最多有9 个．解：∵f（x）=x2﹣1，∴f（0）=﹣1，f（±1）=0，f（±）=1因此，定义域D有：{0，1，}，{0，﹣1，﹣}，{0，﹣1，}，{0，1，﹣}，{0，﹣1，1，}，{0，﹣1，1，﹣}，{0，1，，﹣}，{0，﹣1，，﹣}，{0，﹣1，1，，﹣}共9种情况，故答案为：9（3）（2013•上海）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）={y|y=g（x），x∈I}．已知定义域为[0，3]的函数y=f（x）有反函数y=f﹣1（x），且f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（（2，4]）=[0，1）．若方程f（x）﹣x=0有解x0，则x0= 2 ．解：因为g（I）={y|y=g（x），x∈I}，f﹣1（[0，1））=[1，2），f﹣1（2，4]）=[0，1），所以对于函数f（x），当x∈[0，1）时，f（x）∈（2，4]，所以方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解；当x∈[1，2）时，f（x）∈[0，1），所以方程f（x）﹣x=0即f （x）=x无解；所以当x∈[0，2）时方程f（x）﹣x=0即f（x）=x无解，又因为方程f（x）﹣x=0有解x0，且定义域为[0，3]，故当x∈[2，3]时，f（x）的取值应属于集合（﹣∞，0）∪[1，2]∪（4，+∞），故若f（x0）=x0，只有x0=2，故答案为：2．二、函数值域及最值求法例2、（1）（2011•上海）设g（x）是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g （x）在区间[0，1]上的值域为[﹣2，5]，则f（x）在区间[0，3]上的值域为[﹣2，7] ．解：g（x）为R上周期为1的函数，则g（x）=g（x+1）函数f（x）=x+g（x）在区间[0，1]【正好是一个周期区间长度】的值域是[﹣2，5]，令x+1=t，当x∈[0，1]时，t=x+1∈[1，2]，此时，f（t）=t+g（t）=（x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x）=[x+g（x）]+1 ，所以，在t∈[1，2]时，f（t）∈[﹣1，6] (1)同理，令x+2=t，在当x∈[0，1]时，t=x+2∈[2，3]此时，f（t）=t+g（t）=（x+2）+g（x+2）=（x+2）+g（x） =[x+g（x）]+2所以，当t∈[2，3]时，f（t）∈[0，7] (2)由已知条件及（1）（2）得到，f（x）在区间[0，3]上的值域为[﹣2，7]故答案为：[﹣2，7]．（2）（2013•黄浦区二模）已知，若存在区间[a，b]⊆（0，+∞），使得{y|y=f（x），x∈[a，b]}=[ma，mb]，则实数m的取值范围是（0，4）．解：∵f（x）=4﹣在（0，+∞）是增函数，∴f（x）在x∈[a，b]上值域为[f（a），f（b）]，所以f（a）=ma且f（b）=mb，即4﹣=ma且4﹣=mb，所以ma2﹣4a+1=0且mb2﹣4b+1=0，所以mx2﹣4x+1=0必须有两个不相等的正根，故m≠0，∴，解得0＜m＜4．∴实数m的取值范围是（0，4）．故答案为：（0，4）．（3）．（2012•虹口区一模）已知函数f（x）=2x+a，g（x）=x2﹣6x+1，对于任意的都能找到，使得g（x2）=f（x1），则实数a的取值范围是[﹣2，6] ．解：∵函数f（x）=2x+a，g（x）=x2﹣6x+1，∴x1∈[﹣1，1]时，f（x）的值域就是[a﹣2，a+2]，要使上述范围内总能找到x2满足 g（x2）=f（x1），即g（x）的值域要包含[a﹣2，a+2]，∵g（x）是一个二次函数，在[﹣1，1]上单调递减，∴值域为[﹣4，8]，因此，解得﹣2≤a≤6．故答案为：[﹣2，6]．三、函数单调性与奇偶性例3、（1）（2013•资阳一模）已知函数若f（2m+1）＞f（m2﹣2），则实数m的取值范围是（﹣1，3）．解：∵x≤1时，函数y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+2，在（﹣∞，1]上单调递增；x＞1时，函数y=x3+1在（1，+∞）上单调递增，又x≤1时，﹣x2+2x+1≤2，x＞1时，x3+1＞2，∴函数，∴函数在R上单调增，∴2m+1＞m2﹣2，∴m2﹣2m﹣3＜0，∴﹣1＜m＜3，故答案为：（﹣1，3）（2）已知是R上的增函数，那么a的取值范围是（1，3）．解：∵是R上的增函数，∴∴a∈（1，3）故答案为：（1，3）（3）（2012•上海）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（﹣1）= 3 ．解：由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2∴g（x）+g（﹣x）=f（x）+2+f（﹣x）+2=4，又g（1）=1∴1+g（﹣1）=4，解得g（﹣1）=3，故答案为3（4）f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数且过（﹣1，3），g（x）=f（x﹣1），则f（2012）+f（2013）= ﹣3 ．解：由f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数，得f（﹣x）=f（x），g（﹣x）=﹣g（x），且g（0）=0，由g（x）=f（x﹣1），得f（x）=g（x+1）=﹣g（﹣x﹣1）=﹣f（﹣x﹣2）=﹣f（x+2），即f（x）=﹣f（x+2），所以f（x+4）=﹣f（x+2）=﹣[﹣f（x）]=f（x），故f（x）是周期为4的周期函数，所以f（2012）=f（4×503）=f （0）=g（1）=﹣g（﹣1）=﹣3，f（2013）=f（4×503+1）=f（1）=f（﹣1）=g（0）=0，所以f（2012）+f（2013）=﹣3，故答案为：﹣3．四、函数的周期性例4、（1）已知奇函数满足的值为。

函数的基本性质知识点总结函数的基本性质函数的奇偶性函数的奇偶性是函数的整体性质。

如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=-f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(-x)=f(x)，则称f(x)为偶函数。

如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性。

如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数。

判断函数奇偶性的步骤如下：1.首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称。

2.确定f(-x)与f(x)的关系。

3.若f(-x) =f(x)或f(-x)-f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x) = 0，则f(x)是奇函数。

函数的简单性质包括：1.图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴成轴对称。

2.在公共定义域上，奇+奇=奇，奇×奇=偶，偶+偶=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。

函数的单调性函数的单调性是函数的局部性质。

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1f(x2)），那么就说f(x)在区间D上是增函数（减函数）。

必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2；当x1<x2时，总有f(x1)<f(x2)。

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。

对于复合函数y=f[g(x)]，其中u=g(x)，A是y=f[g(x)]定义域的某个区间，B是映射g:x→u=g(x)的象集。

1.若函数u=g(x)在区间A上单调增（或单调减），且函数y=f(u)在区间B上也单调增（或单调减），则复合函数y=f[g(x)]在区间A上单调增（或单调减）。

《函数的基本性质》知识总结1.单调性函数的单调性是研究函数在定义域内某一范围的图象整体上升或下降的变化趋势，是研究函数图象在定义域内的局部变化性质。

⑴函数单调性的定义一般地，设函数()y f x =的定义域为A ，区间I A ⊆．如果对于区间I 内的______两个值1x ，2x ，当1x <2x 时，都有1()f x _____2()f x ，那么()y f x =在区间I 上是单调增函数，I 称为()y f x =的单调_____区间. 如果对于区间I 内的______两个值1x ，2x ，当1x <2x 时，都有1()f x _____2()f x ，那么()y f x =在区间I 上是单调减函数，I 称为()y f x =的单调_____区间.如果函数()y f x =在区间I 上是单调增函数或单调减函数，那么函数()y f x =在区间I 上具有________.单调性的等价定义：①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时，有0)()(21<-x f x f0)]()([)(2121>-⋅-⇔x f x f x x 00)()(2121>∆∆⇔>--⇔xy x x x f x f ； ②)(x f 在区间M 上是减函数,,21M x x ∈∀⇔当21x x <时，有0)()(21>-x f x f0)]()([)(2121<-⋅-⇔x f x f x x 00)()(2121<∆∆⇔<--⇔xy x x x f x f ； ⑵函数单调性的判定方法①定义法；②图像法；③复合函数法；④导数法；⑤特值法（用于小题），⑥结论法等.注意：①定义法（取值——作差——变形——定号——结论）：设12[]x x a b ∈，，且12x x ≠，那么0)]()([)(2121>-⋅-x f x f x x 0)()(2121>--⇔x x x f x f )(x f ⇔在区间],[b a 上是增函数；0)]()([)(2121<-⋅-x f x f x x 0)()(2121<--⇔x x x f x f )(x f ⇔在区间],[b a 上是减函数。

高考数学复习典型题型与知识点专题讲解4 函数的基本性质一、典型例型解题思维（名师点拨）知识点1 ()(0)af x x a x =+>的单调性知识点2 二次函数区间求最值知识点3 已知一半求另一半（奇偶性） 知识点4单调奇偶联袂 二、题型归类练专练一、典型例型解题思维（名师点拨）知识点1 ()(0)af x x a x=+>的单调性例1．（2021·宁夏·平罗中学高一期中）已知4()f x x x=+. （1）判断()f x 的奇偶性；（2）判断函数()f x 在(2,)+∞的单调性并用定义证明. 【答案】（1）函数()f x 为奇函数；（2）()f x 在区间()2,+∞上是增函数；证明见详解. （1）解：由题可知，4()f x x x=+，则函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠ ，关于原点对称，又44()()()f x x x f x x x-=--=-+=-， 所以函数()f x 为奇函数.（2）解：()f x 在区间()2,+∞上是增函数， 证明：12,(2,)x x ∀∈+∞且12x x <， 有12121244()()()()f x f x x x x x -=+-+ 121244()()x x x x =-+-121212(4)x x x x x x -=-， 122x x <<，1212124,40,0x x x x x x >->-<∴,121212(4)0x x x x x x -∴-<，即12()()f x f x <， ∴函数()f x 在区间()2,+∞上是增函数.名师点评：对于函数()(0)af x x a x =+>主要性质如下：①定义域(,0)(0,)-∞+∞； ②奇偶性：奇函数；③单调性：当0x >时；()(0)af x x a x =+>在上单调递减；在)+∞的单调增；④值域与最值：当0x >时；()(0)af x x a x =+>值域为)+∞，当x =小值特别提醒同学们函数()(0)af x x a x =+>我们称为对钩函数（耐克函数），注意需要0a >这个大前提，当0a ≤时都不再是对钩函数，此时不具有对钩函数的性质。

卓越个性化教案【知识点梳理】一、函数的单调性1．单调函数的定义（1）增函数：一般地，设函数()f x 的定义域为I ：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在这个区间上是增函数。

（2）减函数：如果对于属于I 内某个区间上的任意两个自变量的值1x 、2x ,当1x <2x 时都有12()()f x f x >，那么就说()f x 在这个区间上是减函数。

（3）单调性：如果函数()y f x =在某个区间是增函数或减函数。

那么就说函数()y f x =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做()y f x =的单调区间。

2、单调性的判定方法 （1）定义法○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； ○2 作差f (x 1)－f (x 2)； ○3 变形（通常是因式分解和配方）； ○4 定号（即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负）；○5 下结论（即指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性）。

（2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。

（3）复合函数的单调性的判断：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的单调性相反时则复合函数为增减函数。

也就是说：同增异减（类似于“负负得正）（4）在公共定义域内：增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数；减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数；减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数。

二、函数的奇偶性 1．奇偶性的定义：（1）偶函数：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数。

（2）奇函数：一般地，如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数。

题型七函数的基本性质（复习讲义）【考点总结|典例分析】考点01一次函数一、正比例函数的概念一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做正比例系数．二、一次函数1.一次函数的定义一般地，形如y=kx+b(k，b为常数，且k≠0)的函数叫做x的一次函数.特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时，y=kx（k是常数，k≠0）．这时， y叫做x的正比例函数．2.一次函数的一般形式一次函数的一般形式为y=kx+b，其中k，b为常数，k≠0．一次函数的一般形式的结构特征：（1）k≠0，（2）x的次数是1；（3）常数b可以为任意实数.3.注意（1）正比例函数是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数.（2）一般情况下，一次函数的自变量的取值范围是全体实数.（3）判断一个函数是不是一次函数，就是判断它是否能化成y=kx+b（k≠0）的形式.三、一次函数的图象及性质1．正比例函数的图象特征与性质正比例函数y=kx（k≠0）的图象是经过原点（0，0）的一条直线．2.一次函数的图象特征与性质（1）一次函数的图象≠0）的关系在直线y=kx+b（k≠0）中，令y=0，则x=bk，即直线y=kx+b与x轴交于（–bk，0）．①当–bk>0时，即k，b异号时，直线与x轴交于正半轴．②当–bk=0，即b=0时，直线经过原点．③当–bk<0，即k，b同号时，直线与x轴交于负半轴．4.两直线y=k1x+b1（k1≠0）与y=k2x+b2（k2≠0）的位置关系：①当k1=k2，b1≠b2，两直线平行；②当k1=k2，b1=b2，两直线重合；③当k1≠k2，b1=b2，两直线交于y轴上一点；④当k1·k2=–1时，两直线垂直．四、待定系数法1．定义：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而得出函数解析式的方法叫做待定系数法．2．待定系数法求正比例函数解析式的一般步骤（1）设含有待定系数的函数解析式为y=kx（k≠0）．（2）把已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k的一元一次方程．（3）解方程，求出待定系数k．（4）将求得的待定系数k的值代入解析式．3．待定系数法求一次函数解析式的一般步骤（1）设出含有待定系数k、b的函数解析式y=kx+b．（2）把两个已知条件（自变量与函数的对应值）代入解析式，得到关于系数k，b的二元一次方程组．（3）解二元一次方程组，求出k，b．（4）将求得的k，b的值代入解析式．1.已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x+2和直线y＝23x+2分别交x轴于点A和点B．则下列直线中，与x轴的交点不在线段AB上的直线是（）A．y＝x+2 B．y x+2 C．y＝4x+2 D．y＝3x+22.如图，在平面直角坐标系中，直线l 1：y=与x 轴，y 轴分别交于点A 和点B ，直线l 2：y=kx （k ≠0）与直线l 1在第一象限交于点C ．若∠BOC=∠BCO ，则k 的值为（ ）A B C D ．3.如图，在平面直角坐标系中，点A ，C 分别在x 轴、y 轴上，四边形ABCO 是边长为4的正方形，点D 为AB 的中点，点P 为OB 上的一个动点，连接DP ，AP ，当点P 满足DP+AP 的值最小时，直线AP 的解析式为_____．4.如图，在平面直角坐标系中，直线3y x =-+过点(5,)A m 且与y 轴交于点B ，把点A 向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到点C .过点C 且与2y x =平行的直线交y 轴于点D .（1）求直线CD 的解析式；（2）直线AB 与CD 交于点E ，将直线CD 沿EB 方向平移，平移到经过点B 的位置结束，求直线CD 在平移过程中与x 轴交点的横坐标的取值范围.考点02反比例函数 一、反比例函数的概念1．反比例函数的概念：一般地，函数ky x=（k 是常数，k ≠0）叫做反比例函数．反比例函数的解析式也可以写成1y kx -=的形式．自变量x 的取值范围是x ≠0的一切实数，函数的取值范围也是一切非零实数． 2．反比例函数ky x=（k 是常数，k ≠0）中x ，y 的取值范围 自变量x 和函数值y 的取值范围都是不等于0的任意实数． 二、反比例函数的图象和性质 1．反比例函数的图象与性质（1）图象：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限．由于反比例函数中自变量x ≠0，函数y ≠0，所以，它的图象与x 轴、y 轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴．（2）性质：当k>0时，函数图象的两个分支分别在第一、三象限，在每个象限内，y 随x 的增大而减小．当k<0时，函数图象的两个分支分别在第二、四象限，在每个象限内，y 随x 的增大而增大．2．反比例函数图象的对称性反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，其对称轴为直线y=x和y=x，对称中心为原点．3．注意（1）画反比例函数图象应多取一些点，描点越多，图象越准确，连线时，要注意用平滑的曲线连接各点．（2）随着|x|的增大，双曲线逐渐向坐标轴靠近，但永不与坐标轴相交，因为反比例函数kyx=中x≠0且y≠0．（3）反比例函数的图象不是连续的，因此在谈到反比例函数的增减性时，都是在各自象限内的增减情况．当k>0时，在每一象限（第一、三象限）内y随x的增大而减小，但不能笼统地说当k>0时，y随x的增大而减小．同样，当k<0时，也不能笼统地说y随x的增大而增大．三、反比例函数解析式的确定1．待定系数法：确定解析式的方法仍是待定系数法，由于在反比例函数kyx=中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值或图象上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式．2．待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤（1）设反比例函数解析式为kyx=（k≠0）；（2）把已知一对x，y的值代入解析式，得到一个关于待定系数k的方程；（3）解这个方程求出待定系数k；（4）将所求得的待定系数k的值代回所设的函数解析式．四、反比例函数中|k|的几何意义1．反比例函数图象中有关图形的面积2．涉及三角形的面积型当一次函数与反比例函数结合时，可通过面积作和或作差的形式来求解． （1）正比例函数与一次函数所围成的三角形面积.如图①，S △ABC =2S △ACO =|k|；（2）如图②，已知一次函数与反比例函数ky x=交于A 、B 两点，且一次函数与x 轴交于点C ，则S △AOB =S △AOC +S △BOC =1||2A OC y ⋅+1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅+； （3）如图③，已知反比例函数ky x=的图象上的两点，其坐标分别为()A A x y ，，()B B x y ，，C 为AB 延长线与x 轴的交点，则S △AOB =S △AOC –S △BOC =1||2A OC y ⋅–1||2B OC y ⋅=1(||||)2A B OC y y ⋅-．1.反比例函数经过点，则下列说法错误．．的是（ ） A ．B ．函数图象分布在第一、三象限C ．当时，随的增大而增大D ．当时，随的增大而减小2.一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）ky x=(2,1)2k =0x >y x 0x >y x y ax a =-(0)ay a x=≠A ．B ．C ．D ．3.如图，平行四边形的顶点在轴的正半轴上，点在对角线上，反比例函数的图像经过、两点．已知平行四边形的面积是，则点的坐标为（ ）A ．B ．C ．D ． 4.如图，点，点都在反比例函数的图象上，过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为点，．连接，，．若四边形的面积记作，的面积记作，则（ ）A ．B ．C ．D ．5.如图，直线与反比例函数的图象交于A ，B 两点，已知点A 的坐标为，的面积为8．（1）填空：反比例函数的关系式为_________________；（2）求直线的函数关系式；（3）动点P 在y 轴上运动，当线段与之差最大时，求点P 的坐标．OABC A x ()3,2D OB ()0,0k y k x x =>>C D OABC 152B 84,3⎛⎫ ⎪⎝⎭9,32⎛⎫ ⎪⎝⎭105,3⎛⎫⎪⎝⎭2416,55⎛⎫⎪⎝⎭(,1)P m (-2,)Q n 4y x=P x y M N OP OQ PQ OMPN 1S POQ △2S 12:2:3S S =12:1:1S S =12:4:3S S =12:5:3S S =AB (0)k y x x =>()6,1AOB AB PA PB6.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点．（1）求一次函数和反比例函数的表达式；（2）直线交轴于点，点是轴上的点，若的面积是，求点的坐标．考点03二次函数一、二次函数的概念：一般地，形如y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数．二、二次函数解析式的三种形式（1）一般式：y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 为常数，a ≠0）．（2）顶点式：y=a （x –h ）2+k （a ，h ，k 为常数，a ≠0），顶点坐标是（h ，k ）． （3）交点式：y=a （x –x 1）（x –x 2），其中x 1，x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标，a ≠0．三、二次函数的图象及性质 1．二次函数的图象与性质y kx b =+my x=()1,2A (),1B n -AB x C P x ACP △4P开口向上开口向下四、抛物线的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y=a（x–h） 2+k，顶点坐标为（h，k）．2．保持y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（h，k）处，具体平移方法如下：3．注意二次函数平移遵循“上加下减，左加右减”的原则，据此，可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移，可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．五、二次函数与一元二次方程的关系1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），当y=0时，就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有且只有一个交点；（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点．1.如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论：①abc＜0；②3a＜﹣c；③若m为任意实数，则有a﹣bm≤am2+b；④若图象经过点（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的两根为x1，x2（|x1|＜|x2|），则2x1﹣x2＝5．其中正确的结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个2.如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点B（0，﹣2），点A（﹣1，m）在抛物线上，则下列结论中错误的是（）A．ab＜0 B．一元二次方程ax2+bx+c＝0的正实数根在2和3之间C ．a ＝23m + D ．点P 1（t ，y 1），P 2（t+1，y 2）在抛物线上，当实数t ＞13时，y 1＜y 2 3.二次函数y=x 2的图象平移后经过点（2，0），则下列平移方法正确的是（ ）A ．向左平移2个单位，向下平移2个单位B ．向左平移1个单位，向上平移2个单位C ．向右平移1个单位，向下平移1个单位D ．向右平移2个单位，向上平移1个单位4.下列关于二次函数22()1y x m m =--++（m 为常数）的结论，①该函数的图象与函数2y x =-的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点(0,1)；③当0x >时，y 随x 的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数21y x =+的图像上，其中所有正确的结论序号是__________．5.二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象如图所示，下列结论：①ab ＞0；②a+b ﹣1＝0；③a ＞1；④关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c ＝0的一个根为1，另一个根为﹣1a．其中正确结论的序号是_____．6.已知抛物线22232(0)y ax ax a a =--+≠．（1）求这条抛物线的对称轴；（2）若该抛物线的顶点在x 轴上，求其解析式；7.已知抛物线与轴有两个不同的交点.(1)求的取值范围；(2)若抛物线224y x x c =-+x c经过点和点，试比较与的大小，并说明理由.224y x x c =-+()2,A m ()3,B n m n。

高三一轮复习函数专题1、函数的基本性质复习提问：1、如何判断两个函数是否属于同一个函数。

2、如何求一个函数的定义域（特别是抽象函数的定义域问题）3、如何求一个函数的解析式。

（常见方法有哪些）4、如何求函数的值域。

（常见题型对应的常见方法）5、函数单调性的判断，证明和应用（单调性的应用中参数问题）6、函数的对称性（包括奇偶性）、周期性的应用7、利用函数的图像求函数中参数的范围等其他关于图像问题 知识分类一、函数的概念：函数的定义含有三个要素，即定义域A 、值域C 和对应法则f .当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定.因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数. 1、试判断以下各组函数是否表示同一函数？（1）f （x ）=2x ，g （x ）=33x ； （2）f （x ）=x x ||，g （x ）=⎩⎨⎧<-≥;01,01x x（3）f （x ）=1212++n n x ，g （x ）=（12-n x ）2n －1（n ∈N *）； （4）f （x ）=x1+x ，g （x ）=x x +2；（5）f （x ）=x 2－2x －1，g （t ）=t 2－2t －1.二、函数的定义域（请牢记：凡是说定义域范围是多少，都是指等式中变量x 的范围） 1、求下列函数的定义域：(1)ｙ＝－221x ＋１(2)ｙ＝422--x x (3)x x y +=1 (4)ｙ＝241+-+-x x(5)ｙ＝3142-+-x x (6)ｙ＝)13(113-+--x x x (7)ｙ＝x 11111++(6) (8)ｙ＝3-ax （ａ为常数）2、（1）已知f (x )的定义域为 [ 1，2 ] ，求f (2x -1)的定义域； （2）已知f (2x -1)的定义域为 [ 1，2 ]，求f (x )的定义域；3、若函数)(x f y =的定义域为[ 1，1]，求函数)41(+=x f y )41(-⋅x f 的定义域4、5、已知函数682-+-=k x kx y 的定义域为R ，求实数k 的取值范围。

《函数的基本性质》知识总结大全第一篇：《函数的基本性质》知识总结大全《函数的基本性质》知识总结1.单调性函数的单调性是研究函数在定义域内某一范围的图象整体上升或下降的变化趋势，是研究函数图象在定义域内的局部变化性质。

⑴函数单调性的定义一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区间I⊆A．如果对于区间I 上是单调增函数，I称为内的______两个值x1，x2，当x1x1，x2，当x1∈M,当x1<x2时，有f(x1)-f(x2)<0f(x1)-f(x2)∆y⇔(x1-x2)⋅[f(x1)-f(x2)]>0⇔>0⇔>0； x1-x2∆x②f(x)在区间M上是减函数⇔∀x1,x2∈M,当x1<x2时，有f(x1)-f(x2)>0f(x1)-f(x2)∆y<0⇔<0；⇔(x1-x2)⋅[f(x1)-f(x2)]<0⇔x1-x2∆x①f(x)在区间M上是增函数⇔∀x1,x2⑵函数单调性的判定方法①定义法；②图像法；③复合函数法；④导数法；⑤特值法（用于小题），⑥结论法等.注意：①定义法（取值——作差——变形——定号——结论）：设x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么f(x1)-f(x2)>0⇔f(x)在区间[a,b]上是增函数；x1-x2f(x1)-f(x2)<0⇔f(x)在区间[a,b]上是减函数。

(x1-x2)⋅[f(x1)-f(x2)]<0⇔x1-x2(x1-x2)⋅[f(x1)-f(x2)]>0⇔②导数法（选修）：在反之，f(x)区间(a，b)内处处可导，若总有f'(x)>0（f'(x)<0），则f(x)在区间(a，b)内为增（减）函数；f(x)在区间(a，b)内为增（减）函数，且处处可导，则f'(x)≥0（f'(x)≤0）。

请注意两者之间的区别，可以“数形结合法”研究。

第5节函数的基本性质（本卷满分150分，考试时间120分钟）一、单选题1．若函数2()48,[1,]f x x x x a =-+∈，它的最大值为()f a ，则实数a 的取值范围是（）A ．(1,2]B ．(1,3)C ．(3,)+∞D ．[3,)+∞2．定义在R 上的函数()f x 满足：(2)(2)f x f x +=-，当2x ≥时，0,2()lg(2),2x f x x x =⎧=⎨->⎩，则不等式()0f x >的解集为（）A ．(,1)-∞B ．(,0)(3,)-∞⋃+∞C ．(,1)(3,)-∞+∞ D ．(3,)+∞3．对x R ∀∈，不等式()()222240a x a x -+--<恒成立，则a 的取值范围是（）A ．22a -<≤B ．22a -≤≤C ．2a <-或2a ≥D ．2a ≤-或2a ≥4．定义在R 上的偶函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，且(2)0f =，则不等式()0x f x ⋅>的解集为（）A ．(,2)(2,)-∞-+∞B ．(2,0)(0,2)-C ．(2,0)(2,)-+∞ D ．(,2)(0,2)-∞-⋃5．设定义在R 上的奇函数()y f x =，满足对任意的t R ∈都有()()1f t f t =-，且当10,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()2f x x =-，则()332f f ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值等于（）A ．12-B ．13-C ．14-D ．15-6．已知函数()321132a f x x x x =+++在(),0∞-，()3,+∞上单调递增，在()1,2上单调递减，则实数a 的取值范围为（）A ．105,32⎡⎤--⎢⎥⎣⎦B ．(],2-∞-C ．10,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦D ．105,32⎛⎫-- ⎪⎝⎭7．已知函数()f x ，()g x 都是R 上的奇函数，不等式()0f x >与()0g x >的解集分别为(),m n ，,22m n ⎛⎫⎪⎝⎭02n m ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，则不等式()()0f x g x ⋅>的解集是（）A ．,22m n ⎛⎫⎪⎝⎭B ．(),n m --C ．,,22n n m m ⎛⎫⎛⎫--⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．(),,22m n n m ⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭8．已知函数()f x 满足()()f x f x -=-，且对任意的[)1212,0,,x x x x ∈+∞≠，都有()()2121f x f x x x --()2,12020f >=，则满足不等式()()202021011f x x ->-的x 的取值范围是（）A ．()2021,+∞B ．()2020,+∞C ．()1011,∞+D ．()1010,+∞9．已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（）A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()10f -=C ．()20f =D ．()40f =10．已知定义在R 上的函数()y f x =满足下列三个条件：①当10x -≤≤时，()12e e x xf x x =-+；②()1y f x =+的图象关于y 轴对称；③R x ∀∈，都有()()22f x f x +=-.则23f ⎛⎫⎪⎝⎭、52f ⎛⎫ ⎪⎝⎭、113f ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系是（）A ．2511323f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．2115332f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．5211233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．5112233f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭11．已知函数()e e 2sin x xf x x -=--，则关于x 的不等式()()2320f x f x -+<的解集为（）A ．()3,1-B ．()1,3-C ．()(),31,-∞-⋃+∞D ．[]1,3-12．函数211())1x ax f x a R x ++=∈+，若对于任意的*N x ∈，()3f x ≥恒成立，则a 的取值范围是（）A ．8,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．2,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．[)1,-+∞二、填空题13．若函数f (x )＝(m －1)x 2＋(m －2)x ＋(m 2－7m ＋12)为偶函数，则m 的值是________．14．已知函数()f x 的图象为如图所示的两条线段组成，则下列关于函数()f x的说法：①((1))3f f =；②(2)(0)f f >；③()211,[0,4]f x x x x =--+∈；④0a ∃>，不等式()f x a ≤的解集为123⎡⎤⎢⎥⎣⎦.其中正确的说法有_________.(写出所有正确说法的序号)15．若函数2y x a =+在区间[)3,+∞上是严格增函数，则实数a 的取值范围是_________.16．写出一个同时满足①②的函数()f x =___________.①()f x 是偶函数，②()()2f x f x +=-.三、解答题17．函数()()22R x xf x a a -=⋅-∈是定义域为R 的奇函数.(1)求a 的值，并判断()f x 的单调性（不要求证明）；(2)若关于x 的不等式()22xf x k ≥⋅-有解，求实数k 的取值范围；(3)若()()()()33sin cos cos sin 00,πf f θθθθθ-+->∈，求角θ的取值范围.18．已知()4f x x x=+．（Ⅰ）证明：()f x 在[2,+∞)单调递增；（Ⅱ）解不等式：2(24)(7)f x x f -+≤．19．若函数3()426x x f x +=--（1）求()f x 的最小值及()f x x 值；（2）若对于任意0[0,3]x ∈使0()0f x a -≤恒成立，求实数a 的范围．20．已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足：①()01f =；②()g x 为奇函数；③()0,x ∀∈+∞，()0>g x ；④任意的x ，R y ∈，()()()()()f x y f x f y g x g y -=-.（1）判断并证明函数()f x 的奇偶性；（2）判断并证明函数()f x 在()0,+¥上的单调性.21．对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[,]m n D ⊆，同时满足：①()f x 在[m ，n ]内是单调函数；②当定义域是[m ，n ]时，()f x 的值域也是[m ，]n ；则称[m ，n ]是该函数的“美好区间”.(1)判断函数()13(0)f x x x=->是否存在“美好区间”，若存在，则求出m ，n 的值，若不存在，请说明理由；(2)已知函数()()2246(,0)a a x h x a R a a x+-=∈≠有“美好区间”[m ，n ]，当a 变化时，求出n m -的最大值.22．已知函数()()2f x x x a =+，2()1x ag x x +=+，[]2,2a ∈-.（1）当1a =-时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）若[]11,1x ∀∈-，∃唯一的[]20,2x ∈，使得()()12f x g x =，求实数a 的取值范围.。

2.2函数的基本性质考点一函数的单调性及最值1.(2016北京文,4,5分)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是()A.y=11−B.y=cosxC.y=ln(x+1)D.y=2-x答案D选项A中,y=11−=1-(t1)的图象是将y=-1的图象向右平移1个单位得到的,故y=11−在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项B中,y=cosx在(-1,0)上为增函数,在(0,1)上为减函数,不符合题意;选项C 中,y=ln(x+1)的图象是将y=lnx的图象向左平移1个单位得到的,故y=ln(x+1)在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项D符合题意.评析本题考查了基本函数的图象和性质以及图象的变换,属中档题.2.(2015课标Ⅱ文,12,5分)设函数f(x)=ln(1+|x|)-11+2,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是(),1 B.-∞C.-13D.-∞∞答案A当x>0时,f(x)=ln(1+x)-11+2,∴f'(x)=11++2(1+2)2>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,∵f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数,由f(x)>f(2x-1)得f(|x|)>f(|2x-1|),∴|x|>|2x-1|,即3x2-4x+1<0,解得13<x<1,故选A.3.(2016浙江,7,5分)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.()A.若f(a)≤|b|,则a≤bB.若f(a)≤2b,则a≤bC.若f(a)≥|b|,则a≥bD.若f(a)≥2b,则a≥b答案B依题意得f(a)≥2a,若f(a)≤2b,则2a≤f(a)≤2b,∴2a≤2b,又y=2x是R上的增函数,∴a≤b.故选B.4.(2020课标Ⅲ文,12,5分)已知函数f(x)=sinx+1sin,则()A.f(x)的最小值为2B.f(x)的图象关于y轴对称C.f(x)的图象关于直线x=π对称D.f(x)的图象关于直线x=π2对称答案D对于A,令sinx=t,t∈[-1,0)∪(0,1],则g(t)=t+1,当t∈(0,1]时,g(t)=t+1≥2,当且仅当t=1时,取“=”,故g(t)∈[2,+∞),又∵g(t)=-g(-t),∴g(t)为奇函数,∴g(t)的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞),故A错误;对于B,由f(x)≠f(-x),知f(x)不是偶函数,故B错误;对于C,f(2π-x)=sin(2π-x)+1sin(2π-p=-sinx-1sin≠f(x),故C错误;对于D,f(π-x)=sin(π-x)+1sin(π-p=sinx+1sin=f(x),故f(x)的图象关于直线x=π2对称,故D正确.故选D.5.(2021全国甲文,4,5分)下列函数中是增函数的为()A.f(x)=-xB.f(x)3C.f(x)=x2D.f(x)=3答案D解题指导:排除法,利用基本初等函数的性质逐一判断四个选项.解析对于f(x)=-x,由正比例函数的性质可知,f(x)是减函数,故A不符合题意;对于f(x),由指数函数的单调性可知,f(x)是减函数,故B不符合题意;对于f(x)=x2,由二次函数的图象可知,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故C不符合题意;对于f(x)=3=13,由幂函数的性质可知,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,故选D.方法总结:一次函数y=kx+b(k≠0)单调性的判断:若k>0,则函数在R上单调递增;若k<0,则函数在R上单调递减.指数函数y=a x(a>0且a≠1)单调性的判断:若a>1,则函数在R上单调递增;若0<a<1,则函数在R上单调递减.幂函数y=xα单调性的判断:若α>0,则函数在(0,+∞)上单调递增;若α<0,则函数在(0,+∞)上单调递减.6.(2021全国乙文,8,5分)下列函数中最小值为4的是()A.y=x2+2x+4B.y=|sin xC.y=2x+22-xD.y=ln x+4ln答案C解题指导:对于A,利用配方法或二次函数的单调性求最值,对于B,C,D,利用换元法转化为对勾函数进行判断.解析对于A,y=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3,所以它的最小值为3,所以A不符合题意;对于B,设|sin x|=t,则0<t≤1,y=|sin x=+4,t∈(0,1],易知y=t+4在(0,1]上单调递减,故t=1时,y min=1+41=5,所以B不符合题意;对于C,令2x=t(t>0),则y=2x+22-x=t+4,t>0,易知y=t+4在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以当t=2时,y取最小值,y min=2+42=4,故C符合题意;对于D,令ln x=t,t∈R且t≠0,则y=ln x+4ln=+4,显然t<0时,函数值小于0,不符合题意.故选C.7.(2020新高考Ⅰ,8,5分)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是() A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]答案D∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x-1)的图象关于点(1,0)中心对称,又∵f(x)在(-∞,0)上单调递减,∴f(x-1)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上也单调递减,且过(-1,0)和(3,0),f(x-1)的大致图象如图:当-1≤x≤0时,f(x-1)≤0,∴xf(x-1)≥0;当1≤x≤3时,f(x-1)≥0,∴xf(x-1)≥0.综上,满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3].故选D.8.(2016北京文,10,5分)函数f(x)=t1(x≥2)的最大值为.答案2解析解法一:∵f'(x)=-1(t1)2,∴x≥2时,f'(x)<0恒成立,∴f(x)在[2,+∞)上单调递减,∴f(x)在[2,+∞)上的最大值为f(2)=2.解法二:∵f(x)=t1=t1+1t1=1+1t1,∴f(x)的图象是将y=1的图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到的.∵y=1在[2,+∞)上单调递减,∴f(x)在[2,+∞)上单调递减,故f(x)在[2,+∞)上的最大值为f(2)=2.解法三:由题意可得f(x)=1+1t1.∵x≥2,∴x-1≥1,∴0<1t1≤1,∴1<1+1t1≤2,即1<t1≤2.故f(x)在[2,+∞)上的最大值为2.评析本题考查函数的最值,有多种解法,属中档题.9.(2015浙江文,12,6分)已知函数f(x)=2,x≤1,+6-6,x>1,则f(f(-2))=,f(x)的最小值是.答案-12;26-6解析f(-2)=(-2)2=4,f(f(-2))=f(4)=4+64-6=-12.当x≤1时,f(x)=x2≥0,当x>1时,f(x)=x+6-6≥26-6,当且仅当x=6时,等号成立,又26-6<0,所以f(x)min=26-6.考点二函数的奇偶性1.(2015北京文,3,5分)下列函数中为偶函数的是()A.y=x2sinxB.y=x2cosxC.y=|lnx|D.y=2-x答案B A中函数为奇函数,B中函数为偶函数,C与D中函数均为非奇非偶函数,故选B.2.(2014课标Ⅰ,理3,文5,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数答案C由题意可知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于选项A,f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故A项错误;对于选项B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函数,故B 项错误;对于选项C,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故C项正确;对于选项D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函数,故D项错误,选C.评析本题考查函数奇偶性的定义及其应用,考查学生的知识应用能力及逻辑推理论证能力,准确理解函数奇偶性的定义是解决本题的关键.3.(2011课标,理2,文3,5分)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是()A.y=x3B.y=|x|+1C.y=-x2+1D.y=2-|x|答案B y=x3是奇函数,y=-x2+1和y=2-|x|在(0,+∞)上都是减函数,故选B.评析本题考查函数的奇偶性和单调性的判定,属容易题.4.(2021全国乙理,4,5分)设函数f(x)=1−1+,则下列函数中为奇函数的是()A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+1答案B解题指导:思路一:将函数f(x)的解析式分离常数,通过图象变换可得函数图象关于(0,0)对称,此函数即为奇函数;思路二:由函数f(x)的解析式,求出选项中的函数解析式,由函数奇偶性定义来判断.解析解法一:f(x)=-1+2r1,其图象的对称中心为(-1,-1),将y=f(x)的图象沿x轴向右平移1个单位,再沿y 轴向上平移1个单位可得函数f(x-1)+1的图象,关于(0,0)对称,所以函数f(x-1)+1是奇函数,故选B.解法二:选项A,f(x-1)-1=2-2,此函数为非奇非偶函数;选项B,f(x-1)+1=2,此函数为奇函数;选项C,f(x+1)-1=−2K2r2,此函数为非奇非偶函数;选项D,f(x+1)+1=2r2,此函数为非奇非偶函数,故选B.5.(2021全国甲理,12,5分)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则() A.-94 B.−32 C.74 D.52答案D解题指导:利用奇偶性得到f(x+2)=-f(x),将出现的自变量0,3,92对应的函数值转化为[1,2]内自变量对应的函数值,进而得到a,b以及.解析由题知o−+1)=−o+1),o−p=o+4),从而f(x+4)=-f(x+2),即f(x+2)=-f(x), o−+2)=o+2),即o−p=−o+2),所以6=f(0)+f(3)=-f(2)+[-f(1)]=-(4a+b)-(a+b)=-5a-2b,即5a+2b=-6.①又由题知f(x+1)为奇函数,x∈R,所以f(1)=0,即a+b=0.②由①②得=−2,从而f(x)=-2x2+2,x∈[1,2].所以=2=−==−=−(−2)×+2=52.故选D.一题多解因为f(x+1)与f(x+2)分别为奇函数和偶函数,所以函数f(x)的图象关于点(1,0)和直线x=2对称,且f(x)为周期函数,周期T=4,从而f(0)=-f(2),①f(3)=f(1)=0,②==−由①②结合f(0)+f(3)=6,知a=-2,b=2,所以=−(−2)×+2=52.6.(多选)(2022新高考Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x).若2,g(2+x)均为偶函数,则() A.f(0)=0 B.g−C.f(-1)=f(4)D.g(-1)=g(2)答案BC解法一:若设f(x)=1,则g(x)=0,易知所设f(x)符合题意,此时f(0)=1,故选项A错误.设f(x)=sin(πx),则g(x)=f'(x)=πcos(πx),由于2=sin22π=-cos(2πx),g(2+x)=πcos[π(2+x)]=πcos(2π+πx)=πcos(πx),所以2,g(2+x)均为偶函数,则所设f(x)符合题意.于是g(-1)=πcos(-π)=-π≠g(2),故选项D错误.由于22是奇函数,即2是奇函数,则,注意到g(2+x)是偶函数,于是g−=2=−2=-g−32+22=2=2=2=,故选项B正确.由2=2,取x=54,则f(-1)=f(4),故选项C正确.故选BC.解法二:由题意知2=2⇔=⇔f(-x)=f(3+x)①,取x=1,知f(-1)=f(4),C正确.对①两边求导知-f'(-x)=f'(3+x)⇔f'(-x)=-f'(3+x),即g(-x)=-g(3+x)②,取x=-32,知.g(2+x)=g(2-x)⇔g(-x)=g(x+4)③,由②③知g(x+4)=-g(x+3),即g(x+1)=-g(x),所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x).从而g−=2=,B正确.同解法一可判断A,D错误.故选BC.7.(2018课标Ⅲ文,16,5分)已知函数f(x)=ln(1+2-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=.答案-2解析本题考查函数的奇偶性.易知f(x)的定义域为R,令g(x)=ln(1+2-x),则g(x)+g(-x)=0,∴g(x)为奇函数,∴f(a)+f(-a)=2,又f(a)=4,∴f(-a)=-2.解题关键观察出函数g(x)=ln(1+2-x)为奇函数.8.(2017课标Ⅱ文,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=.答案12解析本题主要考查运用函数的奇偶性求函数值.由题意可知f(2)=-f(-2),∵x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,∴f(2)=-f(-2)=-[2×(-8)+4]=-(-12)=12.9.(2016天津,13,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-2),则a的取值范围是.答案解析由题意知函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.因为f(2|a-1|)>f(-2),f(-2)=f(2),所以f(2|a-1|)>f(2),所以2|a-1|<212,解之得12<a<32.10.(2014课标Ⅱ文,15,5分)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=.答案3解析∵函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,∴f(2+x)=f(2-x)对任意x恒成立,令x=1,得f(1)=f(3)=3,∴f(-1)=f(1)=3.11.(2012课标文,16,5分)设函数f(x)=(r1)2+sin2+1的最大值为M,最小值为m,则M+m=.答案2解析f(x)=2+1+2x+sin2+1=1+2rsin2+1,令g(x)=2rsin2+1,则g(x)为奇函数,有g(x)max+g(x)min=0,故M+m=2.12.(2021新高考Ⅰ,13,5分)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=.答案1解题指导:利用偶函数的定义,取定义域内的特殊值即可求出a的值.解析∵f(x)=x3(a·2x-2-x)为偶函数,∴f(1)=f(-1),∴2a-12=−−2,∴a=1.当a=1时,f(x)=x3(2x-2-x),定义域为R,且满足f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数.一题多解y=x3和y=2x-2-x为奇函数,利用结论:奇函数×奇函数=偶函数,可快速判断出a=1.13.(2022全国乙文,16,5分)若f(x)=ln b是奇函数,则a=,b=.答案-12;ln2解析∵f(x)是奇函数,∴f(x)的定义域关于原点对称.由已知得x ≠1,∴x ≠-1,即当x =-1时,,∴a +12=0,∴a =-12,此时f (x )b ,∵f (x )为奇函数且在x =0处有意义,∴f (0)=0,即+=ln 12+b =0,∴b =-ln 12=ln 2.综上可知,a =-12,b =ln 2.考点三函数的周期性1.(2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x 3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>12时,ft 则f(6)=()A.-2B.-1C.0D.2答案D 当x>12时,由ft f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),而f(1)=-f(-1),f(-1)=(-1)3-1=-2,所以f(6)=f(1)=2,故选D.2.(2021全国甲文,12,5分)设f (x )是定义域为R 的奇函数,且f (1+x )=f (-x ).若f −=13,则()A.-53B.−13C.13D.53答案C 解题指导:求出函数f (x )的周期再进行转化,即可求解.解析由f (1+x )=f (-x ),且f (x )是定义在R 上的奇函数,可得f (1+x )=f (-x )=-f (x ),所以f (2+x )=-f (1+x )=f (x ),所以f (x )的周期为2,则=2=−=13,故选C .知识延伸:若函数f (x )为奇函数,且满足f (a +x )=f (-x ),则f (x )图象的对称轴为直线x =2,周期为2a ;若函数f (x )为偶函数,且满足f (a +x )=f (-x ),则f (x )图象的对称轴为直线x =2,周期为a.3.(2022新高考Ⅱ,8,5分)已知函数f (x )的定义域为R,且f (x +y )+f (x -y )=f (x )f (y ),f (1)=1,则∑=221i f (k )=()A.-3B.-2C.0D.1答案A 令y =1,得f (x +1)+f (x -1)=f (x )①,故f (x +2)+f (x )=f (x +1)②.由①②得f (x +2)+f (x -1)=0,故f (x +2)=-f (x -1),所以f (x +3)=-f (x ),所以f (x +6)=-f (x +3)=f (x ),所以函数f (x )的周期为6.令x =1,y =0,得f (1)+f (1)=f (1)·f (0),故f (0)=2,同理,令x =1,y =1,得f (2)=-1;令x =2,y =1,得f (3)=-2;令x =3,y =1,得f (4)=-1;令x =4,y =1,得f (5)=1;令x =5,y =1,得f (6)=2.故f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f (5)+f (6)=0,所以∑=221i f (k )=f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=-3.故选A .4.(2022全国乙理,12,5分)已知函数f (x ),g (x )的定义域均为R,且f (x )+g (2-x )=5,g (x )-f (x -4)=7.若y =g (x )的图象关于直线x =2对称,g (2)=4,则∑=221i f (k )=()A.-21B.-22C.-23D.-24答案D 由y =g (x )的图象关于直线x =2对称,得g (2+x )=g (2-x ),故g (x )=g (4-x ),由g (x )-f (x -4)=7,得g (2+x )-f (x -2)=7①,又f (x )+g (2-x )=5②,所以由②-①,得f (x )+f (x -2)=-2③,则f (x +2)+f (x )=-2④,所以由④-③,得f (x +2)=f (x -2),即f (x +4)=f (x ),所以函数f (x )是以4为周期的周期函数.对于④,分别令x =1,2,得f (1)+f (3)=-2,f (2)+f (4)=-2,则f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=-4.对于①,令x =-1,得g (1)-f (-3)=7,则g (1)-f (1)=7⑦,对于②,令x =1,得f (1)+g (1)=5⑧,由⑦⑧,得f (1)=-1.对于②,令x =0,得f (0)+g (2)=5,又g (2)=4,所以f (0)=1.对于③,令x =2,得f (2)+f (0)=-2,所以f (2)=-3.则∑=221i op =5×(-4)+f (1)+f (2)=-20+(-1)+(-3)=-24.故选D .5.(2016四川,14,5分)已知函数f(x)是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x,则f +f(1)=.答案-2解析∵f(x)是定义在R 上的奇函数,∴f(x)=-f(-x),又∵f(x)的周期为2,∴f(x+2)=f(x),∴f(x+2)=-f(-x),即f(x+2)+f(-x)=0,令x=-1,得f(1)+f(1)=0,∴f(1)=0.又∵f-412=-2.∴f-6.(2017山东文,14,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=.答案6解析本题考查函数的奇偶性与周期性.由f(x+4)=f(x-2)得f(x+6)=f(x),故f(x)是周期为6的函数.所以f(919)=f(6×153+1)=f(1).因为f(x)为R上的偶函数,所以f(1)=f(-1).又x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,所以f(-1)=6-(-1)=6.从而f(1)=6,故f(919)=6.方法小结函数周期性的判断:一般地,若f(x+T)=f(x),则T为函数的一个周期;若f(x+T)=-f(x),则2T为函数的一个周期;若f(x+T)=1op(f(x)≠0),则2T为函数的一个周期.7.(2014安徽文,14,5分)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f(x)=o1-p,0≤x≤1,sinπs1<≤2,则.答案516解析依题意得8=f=-34×14=-316,f8=-sin7π6=sinπ6=12,因此=-316+12=516.。

高一数学复习考点知识与题型专题讲解专题强化一：函数的基本性质必刷题一、单选题1．若函数()()2211f x x a x =+-+在(],2-∞上是单调递减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭B ．3,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．)5,2⎡-+∞⎢⎣D ．5,2⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦2．已知偶函数f （x ）在区间[0，＋∞）上单调递增，则满足1(21)3f x f ⎛⎫-< ⎪⎝⎭的x 的取值范围是（ ）A ．12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．12,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 3．定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的[)()1212,0,x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，则（ ）A ．()()()202120202019f f f <-<B ．()()()201920202021f f f <-<C ．()()()202020192021f f f -<<D ．()()()202020212019f f f -<<-4．已知函数222,0()0,0,0x x x f x x x mx x ⎧-+>⎪==⎨⎪+<⎩是奇函数．则实数m 的值是（ ）A ．0B ．2C ．4D ．-25．已知()f x 为R 上奇函数，()g x 为R 上偶函数，且(0)(2)(0)(2)4f f g g +-++=，(2)(0)(2)2f g g ++-=-，则()2f 的值为（ ）A ．-3B ．1C ．2D ．36．已知函数()1f x +是偶函数，当121x x <<时，()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦ 恒成立，设1 2a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2b f =，()3c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<7．已知()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 上的奇函数，它们的部分图像如图，则()()⋅f x g x 的图像大致是（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知函数()f x 是定义R 上的减函数，()0,2A ，()2,2B -是其图象上的两点，那么()12f x +<的解集的补集是（ ）A ．(][),11,-∞-+∞B ．()1,1-C ．(][),13,-∞-⋃+∞D ．()1,39．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且当0x ≥时，()2xf x =，若对任意[]0,21x t ∈+，均有()()3f x t f x ≥⎡⎤⎣⎦+，则实数t 的最大值是（ ） A ．49-B ．13-C ．0D ．1610．已知函数()()f x g x 、是定义在R 上的函数，其中()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()22f x g x ax x +=++，若对于任意1212x x <<<，都有()()12122g x g x x x ->--，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1(,][0,)2-∞-⋃+∞B ．(0,)+∞C ．1[,)2-+∞D ．1[,0)2-二、多选题11．有下列几个命题，其中正确的命题是（ ） A ．函数y ＝11x +在(－∞，－1)∪(－1，＋∞)上是减函数； B ．函数y ＝254x x +-的单调区间是[－2，＋∞)；C ．已知f (x )在R 上是增函数，若a ＋b ＞0，则有f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )；D ．已知函数g (x )＝23,0,(),0x x f x x ->⎧⎨<⎩是奇函数，则f (x )＝2x ＋3．12．如果函数()f x 在[],a b 上是增函数，对于任意的[]()1212,,x x a b x x ∈≠，则下列结论中正确的是（ ） A ．()()12120f x f x x x ->-B ．()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦C ．()()()()12f a f x f x f b ≤<≤D ．()()12f x f x >13．已知函数)(21x f x x+=，则下列结论正确的是（ ）A ．)(f x 为奇函数B ．)(f x 为偶函数C ．)(f x 在区间)1,⎡+∞⎣上单调递增D ．)(f x 的值域为](),22,⎡-∞-⋃+∞⎣ 14．已知函数()f x 满足x R ∀∈，()()f x f x -=-，且当0x >时，22()f x x x=-，则（ ）A ．()00f =B ．()11f -=C ．()f x 在[2,0)-单调递减D ．(1,0)x ∃∈-，()2f x >15．关于函数()()1xf x x R x =∈+，下面结论正确的是（ ） A ．函数()f x 是奇函数B ．函数()f x 的值域为(1,1)-C ．函数()f x 在R 上是增函数D ．函数()f x 在R 上是减函数16．已知函数()228,142,1x ax x f x x a x x ⎧-+≤⎪=⎨++>⎪⎩，若()f x 的最小值为()1f ，则实数a 的值可以是（ ）A ．1B ．54C ．2D ．417．若函数()f x 同时满足：①对于定义域上的任意x ，恒有()()0f x f x +-=；②对于定义域上的任意1x ，2x ，当12x x ≠时，恒有1212()[()()]0x x f x f x -⋅-<，则称该函数为“七彩函数”．下列函数中是“七彩函数”的有（ ）A ．222,0()2,0x x f x x x ⎧-≥=⎨<⎩B ．15()f x x =-C ．2()||f x x x =+D ．3()f x x x =--三、填空题18．若函数是奇函数，()()2,,221x af x x b b x +=∈++，则a b +=__________ . 19．已知定义在R 上的奇函数，当0x <时有3()2x f x x =-+，则()f x =__________. 20．已知定义在R 上的奇函数()f x 在(,0]-∞上是减函数，若(1)(32)0f m f m ++-<，则实数m 的取值范围是________．21．已知函数()y f x =，()y g x =的定义域为R ，且()()y f x g x =+为偶函数，()()y f x g x =-为奇函数，若()2f 2=，则(2)g -=__．22．21,1()lg ,1x x f x x x ⎧-<⎪=⎨-⎪⎩…，则不等式(2)()f x f x -<的解集为__.23．若f （x ）为R 上的奇函数，给出下列四个说法： ①f （x ）+f （-x ）=0； ②f （x ）-f （-x ）=2f （x ）； ③f （x ）·f （-x ）<0； ④()()f x f x -=-1. 其中一定正确的为___________.（填序号）四、解答题24．()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()4f x x x =-； （1）求0x <时，()f x 的解析式； （2）求()y f x =的单调减区间.25．已知二次函数2()1()f x x mx m m R =-+-∈. （1）若()f x 是偶函数，求m 的值；（2）函数在区间[]1,1-上的最小值记为()g m ，求()g m 的最大值； （3）若函数|()|y f x =在[]2,4上是单调增函数，求实数m 的取值范围.26．已知函数()f x 对于一切x 、y R ∈，都有()()()f xy f x y f x y =++-． （1）求证：()f x 在R 上是偶函数；（2）若()f x 在区间(,0)-∞上是减函数，且有22(21)(243)f a a f a a ++<-+-，求实数a 的取值范围．27．已知函数2()1ax b f x x +=+是定义在(1,1)-上的奇函数，且3(3)10f =.（1）确定函数()f x 的解析式；（2）当(1,1)x ∈-时判断函数()f x 的单调性，并证明； （3）解不等式1(1)()02f x f x -+<. 28．已知函数()21x bf x ax +=+是定义在[1-，1]上的奇函数，且()112f =．（1）求a ，b 的值；（2）判断()f x 在[1-，1]上的单调性，并用定义证明；（3）设()52g x kx k =+-，若对任意的[]111x ∈-，，总存在[]201x ∈，，使得()()12f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围．29．函数()f x 对任意x ，y R ∈，总有()()()f x y f x f y +=+，当0x <时，()0f x <，且()113f =． （1）证明()f x 是奇函数；（2）证明()f x 在R 上是单调递增函数；（3）若()()31f x f x +-≥-，求实数x 的取值范围．30．若函数()y f x =对定义域内的每一个值1x ，在其定义域内都存在唯一的2x ，使12()()1f x f x ⋅=成立，则称函数()y f x =为“依赖函数”.（1）判断函数()2x f x =是否为“依赖函数”，并说明理由；（2）若函数211()22f x x x =-+在定义域[,](,m n m n N +∈且1)m >上为“依赖函数”，求m n +的值；（3）已知函数24()(),3f x x a a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭在定义域4,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为“依赖函数”.若存在实数4,43x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意的t R ∈，不等式2()8f x t st ≥-++都成立，求实数s 的取值范围.参考答案1．B 【详解】函数()()2211f x x a x =+-+的单调递减区间是21(,]2a --∞-， 依题意得(]21,2(,]2a --∞⊆-∞-，于是得2122a --≥，解得32a ≤-，所以实数a 的取值范围是3(,]2-∞-. 故选：B 2．A 【详解】∵f （x ）为偶函数，∴f （x ）＝f （|x |）.则f （|2x －1|）<13f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又∵f （x ）在[0，＋∞）上单调递增，∴1213x -<，解得1233x <<. 故选：A. 3．A 【详解】因为对任意的[)()1212,0,x x x x ∈+∞≠，有()()21210f x f x x x -<-，所以函数()f x 在[)0,+∞上单调递减，又函数()f x 为偶函数，所以()()20202020f f -=，()()20192019f f -=， 所以()()()202120202019f f f <<即()()()202120202019f f f <-<. 故选：A. 4．B【详解】取0x >，则0x -<，因为函数为奇函数，则()()f x f x -=-，即()()()222x m x x x -+-=--+，整理可得2mx x -=-，即2m =. 故选：B 5．A 【详解】()f x 为R 上的奇函数，∴()00f =，()()f x f x -=-，()g x 是R 上的偶函数，()()g x g x -=，由()()()()()()()020242022f fg g f g g ⎧+-++=⎪⎨++-=-⎪⎩， ()()()()()()20242022f g g f g g ⎧-++=⎪⇒⎨++=-⎪⎩①②，②-①得()2224f =--，()23f =-．故选：A ． 6．A 【详解】当121x x <<时，()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，则()()21f x f x >， 所以，函数()f x 为()1,+∞上的增函数，由于函数()1f x +是偶函数，可得()()11f x f x +=-，1335112222a f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=-=-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，53212>>>，因此，b a c <<. 故选：A. 7．C 【详解】又()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 上的奇函数， ∴ ()()f x f x -=，()()g x g x -=-， ∴()()()()f x g x f x g x -⋅-=-∴ 函数()()⋅f x g x 为奇函数，其图象关于原点对称，A,B 错， 由图可得当0x >时，()0f x >，()0>g x ， ∴ ()()0f x g x ⋅>，D 错， 故选：C. 8．A 【详解】解：不等式()12f x +<可变形为2(1)2f x -<+<，()0,2A ，()2,2B -是函数()f x 图象上的两点，()02f ∴=，()22f =-， 2(1)2f x ∴-<+<等价于不等式()()2(1)0f f x f <+<，又函数()f x 是R 上的减函数，()()2(1)0f f x f ∴<+<等价于012x <+<，解得11x -<<，∴不等式()12f x +<的解集为()1,1-．那么()12f x +<的解集的补集是(][),11,-∞-+∞． 故选：A ．9．A 【详解】易知，函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，∴12102t t +>⇒>-，又∵()()()33f x t f x f x ⎡⎤+≥=⎣⎦，且函数为偶函数，∴|||3|x t x +≥，两边平方化简，则22820x xt t --≤在[0,21]t +恒成立，令()2282g x x xt t =--，则()()002421039g t g t ⎧≤⎪⇒-≤≤-⎨+≤⎪⎩. 综上：t 的最大值为49-. 故选：A. 10．C 【详解】由题得：()f x 是奇函数，所以()()f x f x -=-；()g x 是偶函数，所以()()g x g x -= 将x -代入2()()2f x g x ax x +=++得：2()()2f x g x ax x +=--+联立22()()2()()2f xg x ax x f x g x ax x +=++-+-=+⎧⎪⎨⎪⎩ 解得：()22g x ax =+ 1212()()2g x g x x x ->--，1212x x <<<等价于()1212()()2g x g x x x -<--，即：1122()2()2g x x g x x +<+，令()()2222h x g x x ax x =+=++，则()h x 在()1,2单增①当0a >时，函数的对称轴为2102x a a=-=-<，所以()h x 在()1,2单增 ②当0a <时，函数的对称轴为2102x a a=-=->，若()h x 在()1,2单增，则12a -≥，得：102a -≤< ③当0a =时，()h x 单增，满足题意 综上可得：12a ≥-故选：C 11．CD 【详解】对于A ，函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，＋∞)， 令1t x =+在定义域上递增， 又1y t=在(),0-∞和()0,∞+是减函数， 所以函数y ＝11x +在(－∞，－1)和(－1，＋∞)每个区间上递减，故A 错误；对于B ，由函数y ＝254x x +-，则2540x x +-≥，解得15x -≤≤， 令254t x x =+-在()1,2-上递增，()2,5上递减， 又y t =在定义域内是增函数，所以函数y ＝254x x +-在()1,2-上递增，()2,5上递减，故B 错误；对于C ，因为f (x )在R 上是增函数，若a ＋b ＞0，则a b >-，故()()f a f b >-；b a >-，故()()f b f a >-，所以f (a )＋f (b )＞f (－a )＋f (－b )，故C 正确；对于D ，当0x >时，()23g x x =-， 则当0x <时，0x ->，则()23g x x -=--， 因为()g x 为奇函数，所以()()23g x g x x =--=+， 所以f (x )＝2x ＋3，故D 正确． 故选：CD. 12．AB 【详解】由函数单调性的定义可知，若函数()f x 在给定的区间上是增函数，则12x x -与()()12f x f x -同号，由此可知，选项A ，B 正确； 对于选项C ，D ，因为12,x x 的大小关系无法判断，则()()12,f x f x 的大小关系确定也无法判断，故C ，D 不正确. 故选：AB 13．ACD 【详解】由题意，函数)(21x f x x+=的定义域为)()(,00,-∞⋃+∞，且)()(f x f x -=-，故)(f x 为奇函数， 任取)12,1,x x ⎡∈+∞⎣，且12x x <，则)()(222221121************ x x x x x x x f x f x x x x x ++⋅+-⋅--=-=)()(1221121x x x x x x --=， 因为121xx ≤<，所以210x x ->且121x x >，可得)()(210f x f x ->，所以)(f x 在)1,⎡+∞⎣上单调递增，当0x >时，)(2112x f x x x x+==+≥（当且仅当1x =时，取“＝”）， 又由结合)(f x 为奇函数，可得)(f x 的值域为](),22,⎡-∞-⋃+∞⎣. 故选：ACD 14．ABD 【详解】因为x R ∀∈，()()f x f x -=-，所以函数()f x 为奇函数. 对选项A ，0R ∈，所以()00f =，故A 正确. 对选项B ，()()()21111f f -=-=--=，故B 正确.对选项C ，因为当0x >时，22()f x x x=-为增函数，又因为函数()f x 为奇函数，所以当0x <时，函数()f x 也为增函数，故C 错误.对选项D ，因为11115422244f f ⎛⎫⎛⎫-=-=-+=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：ABD 15．ABC对于A ：因为()()11x xf x f x x x ---===--++，所以()f x 在R 上为奇函数，故A 正确； 对于B ：当0x >时，1()1+11x f x x x ==-+，因为0x >，所以11x +>，1011x <<+， 所以1101x -<-<+，所以10111x <-<+， 又()f x 为奇函数，所以当0x <时，()(1,0)1xf x x=∈--，且(0)0f =， 所以函数()f x 的值域为(1,1)-，故B 正确. 对于C ：当0x >时，1()1+11x f x x x ==-+，所以()f x 在(0,)+∞上为增函数， 又()f x 为奇函数，左右两侧单调性相同，所以函数()f x 在R 上是增函数，故C 正确，D 错误 故选：ABC 16．BCD 【详解】由题意可得二次函数228y x ax =-+的对称轴x a =1≥，且42(1)128x a f a x++≥=-+在(1,)+∞上恒成立，所以494x a x+≥-在(1,)+∞上恒成立，因为4424x x x x+≥⋅=，当且仅当2x =时，等号成立，即4x x +在(1,)+∞上的最小值为4， 所以494a ≥-，解得54a ≥. 故选：BCD 17．ABD 【详解】由①②得：“七彩函数”既是奇函数又是减函数， 对于选项A ：当0x >时，0x -<，()22f x x =-，()22f x x -=，得()()0f x f x +-=； 当0x <时，0x ->，()22f x x =，()22f x x -=-，得()()0f x f x +-=； 所以函数是奇函数，当0x >时，()22f x x =-，所以函数在()0,∞+上单调递减， 故选项A 正确；对于选项B ：()15f x x =-定义域为R ，()()15f x x f x -==-，所以函数()f x 为奇函数，且在R 上单调递减； 故选项B 正确；对于选项C ：()2f x x x =+，定义域为R ，()()2f x x x f x -=+=，则函数函数()f x 为偶函数， 故选项C 不正确；对于选项D ：()1f x x x=-定义域为{}0x x ≠，()()1f x x f x x-=-+=-，则函数()f x 为奇函数，且在定义域上单调递减； 故选项D 正确； 故选：ABD. 18．1- 【详解】根据题意可得20b b ++=，解得1b =-， 又()00f =，代入解得0a =， 当0a =时，()()221xf x f x x --==-+，满足题意， 所以1a b +=-. 故答案为：1-19．332,00,02,0x x x x x x x -⎧+>⎪=⎨⎪-+<⎩【详解】当0x >时，0x -<时，由奇函数性质知，33()()[]22()x x f x f x x x --=--=-=-+-+，又(0)0f =，则332,0()0,02,0x x x x f x x x x -⎧+>⎪==⎨⎪-+<⎩故答案为：332,00,02,0x x x x x x x -⎧+>⎪=⎨⎪-+<⎩20．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【详解】因为()f x 是奇函数，在(],0-∞上是减函数， 所以()f x 在R 上单调递减， 因为(1)(32)0f m f m ++-<， 所以(1)(32)f m f m +<--， 即(1)(23)f m f m +<-， 所以123m m +>-，解得14m >．故答案为：1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．21．2 【详解】解：因为()()y f x g x =+为偶函数，()()y f x g x =-为奇函数， 所以()(2)(2)2f g f -+-=()2g +，()()(2)(2)22f g g f ---=-， 两式相减可得，()2f (2)g =-， 若()2f 2=，则(2)2g -=． 故答案为：2． 22．{|1}<x x【详解】解：由函数的解析式绘制函数图象如图所示， 易知函数为偶函数，且在区间(0,)+∞上单调递减，故题中的不等式等价于：(2)()f x f x -<，则|2|||x x ->，平方可得：2244x x x -+>，解得1x <， 不等式的解集为：{|1}<x x . 23．①② 【详解】∵f （x ）在R 上为奇函数， ∴f （-x ）=-f （x ）.∴f （x ）+f （-x ）=f （x ）-f （x ）=0，故①正确.f （x ）-f （-x ）=f （x ）+f （x ）=2f （x ），故②正确. 当0x =时，f （x ）·f （-x ）=0，故③不正确. 当0x =时，()()f x f x -分母为0，无意义，故④不正确.故答案为：①②24．（1）2()4f x x x =+；（2）(,2)-∞-和(2,)+∞. 【详解】（1）设0x <，则0x ->，2()4f x x x ∴-=--又()y f x =是定义在R 上的奇函数，()22()()44f x f x x x x x ∴=--=---=+所以当0x <时，2()4f x x x =+；（2）当0x ≥时，22()4(2)4f x x x x =-=--+， 当0x <时，22()4(2)4f x x x x =+=+-则当(,2)x ∈-∞-时，函数单调递减；当(2,2)x ∈-时，函数单调递增；当(2,)x ∈+∞时，函数单调递减；所以()y f x =的单调减区间为(,2)-∞-和(2,)+∞. 25．（1）0m =；（2）最大值为0；（3）3m ≤或8m ≥. 【详解】 （1）()f x 是偶函数，()()f x f x ∴=-，(1)(1)f f ∴=-即1111m m m m -+-=++-，解得：0m = （2）2()1f x x mx m =-+-，二次函数对称轴为2mx =，开口向上 ①若12m<-，即2m <-，此时函数()f x 在区间[]1,1-上单调递增，所以最小值()(1)2g m f m =-=.②若112m-≤≤，即22m -≤≤，此时当2m x =时，函数()f x 最小，最小值2()124m m g m f m ⎛⎫==-+- ⎪⎝⎭.③若12m>，即2m >，此时函数()f x 在区间[]1,1-上单调递减，所以最小值()(1)0g m f ==.综上22,2()1,2240,2m m mg m m m m <-⎧⎪⎪=-+--≤≤⎨⎪>⎪⎩，作出分段函数的图像如下，由图可知，()g m 的最大值为0.（3）要使函数|()|y f x =在[]2,4上是单调增函数，则()f x 在[]2,4上单调递增且恒非负，或单调递减且恒非正，22(2)0m f ⎧≤⎪∴⎨⎪≥⎩或42(2)0mf ⎧≥⎪⎨⎪≤⎩，即430m m ≤⎧⎨-≥⎩或830m m ≥⎧⎨-≤⎩，解得3m ≤或8m ≥.所以实数m 的取值范围是：3m ≤或8m ≥. 26．（1）证明：函数()f x 对于一切x 、y R ∈，都有()()()f xy f x y f x y =++-， 令0x =，得(0)()()f f y f y =+-，再令y x =，得(0)()()f f x f x =+-．⋯①令0y =，得(0)()()f f x f x =+．⋯② ①-②得()()0f x f x --=，()()f x f x ∴-=．故()f x 在R 上是偶函数．（2）解：因为()f x 在R 上是偶函数，所以()f x的图象关于y轴对称．又因为()f x在区间(,0)-∞上是减函数，所以()f x在区间(0,)+∞上是增函数．22211117212()12()02161648a a a a a++=++-+=++>，2222432(211)32(1)10a a a a a-+-=--+--=---<，22430a a∴-+>．22(243)(243)f a a f a a-+-=-+．原不等式可化为22(21)(243)f a a f a a++<-+，2221243a a a a∴++<-+．解之得25a<．故实数a的取值范围是25a<．27．（1）2()1xf xx=+；（2）()f x在区间()1,1-上是增函数，证明见解析；（3）20,3⎛⎫⎪⎝⎭. 【详解】（1）∵()()f x f x-=-，∴221()1ax b ax bx x-+--=+-+，即b b-=，∴0b=.∴2()1axf xx=+，又()3310f=，1a=，∴2()1xf xx=+.（2）对区间()1,1-上得任意两个值1x，2x，且12x x<，22121221121212222222121212(1)(1)()(1)()()11(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x xf x f xx x x x x x+-+---=-==++++++，∵1211x x -<<<，∴120x x -<，1210x x ->，2110x +>，2210x +>， ∴12())0(f x f x -<，∴12()()f x f x <， ∴()f x 在区间()1,1-上是增函数. （3）∵1(1)()02f x f x -+<，∴1(1)()2f x f x -<-，1111211211x x x x ⎧-<-<⎪⎪⎪-<-⎨⎪-<<⎪⎪⎩，解得203x <<，∴实数x 得取值范围为20,3⎛⎫⎪⎝⎭.28．（1）1,0a b ==；（2）()f x 在[]1,1-上递增，证明详见解析；（3）92k ≤. 【详解】（1）依题意函数()21x bf x ax +=+是定义在[1-，1]上的奇函数， 所以()00f b ==，()111112f a a ==⇒=+， 所以()21xf x x =+，经检验，该函数为奇函数. （2）()f x 在[]1,1-上递增，证明如下： 任取1211x x -??，()()()()()()221221121222221212111111x x x x x x f x f x x x x x +-+-=-=++++()()22121212221211x x x x x x x x +--=++()()()()()()()()12212112212222121211111x x x x x x x x x x x x x x -----==++++，其中122110,0x x x x -<->，所以()()()()12120f x f x f x f x -<⇒<， 故()f x 在[]1,1-上递增.（3）由于对任意的[]111x ∈-，，总存在[]201x ∈，，使得()()12f x g x ≤成立， 所以()()max max f x g x ≤.()()max 112f x f ==. 当0k ≥时，()52g x kx k =+-在[]0,1上递增，()()max 15g x g k ==-， 所以195022k k ≤-⇒≤≤.当0k <时，()52g x kx k =+-在[]0,1上递减，()()max 052g x g k ==-， 所以15202k k ≤-⇒<.综上所述，92k ≤. 29．（1）令0x y ==，则()()()000f f f =+，解得()00f =，令y x =-，则()()()0f f x f x =+-，即()()0f x f x +-=，即()()f x f x -=-， 易知()f x 的定义域为R ，关于原点对称，所以函数()f x 是奇函数； （2）任取1x ，2x R ∈，且12x x <，则120x x -<， 因为当0x <时，()0f x <，所以()120f x x -<，则()()()()()1212120f x f x f x f x f x x -=+-=-<，即()()12f x f x <，所以函数()f x 是R 上的增函数；（3）由()113f =，得()223f =，()31f =，又由()f x 是奇函数得()31f -=-. 由()()31f x f x +-≥-，得()()233f x f -≥-，因为函数()f x 是R 上的增函数， 所以233x -?，解得0x ≥，故实数x 的取值范围为[)0,+∞． 30．解：()1对于函数()2x f x =的定义域R 内任意的1x ，取21x x =-，则12()()1f x f x ⋅=， 且由()2x f x =是R 上的严格增函数，可知2x 的取值唯一， 故()2x f x =是“依赖函数”.()2因为1m >，()()2112f x x =-在[]m n ，是严格增函数，故()()1f m f n ⋅=，即()()2211114m n --=，由1n m >>，得(1)(1)2m n --=， 又m n N ∈，，所以1112m n -=⎧⎨-=⎩，解得23m n =⎧⎨=⎩故5m n +=()3因43a <，故()()2f x x a =-在443⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增， 从而()4413f f ⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭，即()224413a a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，进而()4413a a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，解得1a =或13(3a =舍)， 从而，存在443x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，使得对任意的R t ∈，有不等式()2218x t s t -≥-+⋅+都成立， 故()22max18x t s t ⎡⎤-≥-+⋅+⎣⎦，即298t s t ≥-+⋅+， 整理，得210t s t +⋅+≥对任意的R t ∈恒成立.由240s ∆=-≤，得22s -≤≤，即实数s 的取值范围是[]22-，.。

必修1 《函数的基本性质》专题复习（一）函数的单调性与最值★知识梳理1.函数的单调性定义：设函数)(x f y =的定义域为A ，区间A I ⊆如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f <，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调增函数，I 称为)(x f y =的单调增区间如果对于区间I 内的任意两个值1x ，2x ，当21x x <时，都有)()(21x f x f >，那么就说)(x f y =在区间I 上是单调减函数，I 称为)(x f y =的单调减区间2.函数的最大（小）值设函数)(x f y =的定义域为A如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≤恒成立，那么称)(0x f 为)(x f y =的最大值；如果存在定值A x ∈0，使得对于任意A x ∈，有)()(0x f x f ≥恒成立，那么称)(0x f 为)(x f y =的最小值。

★热点考点题型探析考点1 函数的单调性 【例】试用函数单调性的定义判断函数2()1f x x =-在区间（1，+∞）上的单调性.【巩固练习】证明：函数2()1x f x x =-在区间（0，1）上的单调递减.考点2 函数的单调区间1.指出下列函数的单调区间：（1）|1|y x =-； （2）22||3y x x =-++.2. 已知二次函数2()22f x x ax =++在区间(-∞，4)上是减函数，求a 的取值范围.【巩固练习】1．函数26y x x =-的减区间是（ ）.A . (,2]-∞ B. [2,)+∞ C. [3,)+∞ D. (,3]-∞2．在区间（0，2）上是增函数的是（ ）.A. y =－x +1B. yC. y = x 2－4x ＋5D. y =2x3. 已知函数f (x )在-1∞（，）上单调递减，在[1+∞，）单调递增，那么f (1)，f (－1)，f 之间的大小关系为 .4.已知函数)(x f 是定义在]1,1[-上的增函数,且)31()1(x f x f -<-,求x 的取值范围.5. 已知二次函数2()22f x ax x =++在区间(-∞，2)上具有单调性，求a 的取值范围.考点3 函数的最值 【例】求函数25332,[,]22y x x x =--∈-的最大值和最小值：【巩固练习】1．函数42y x =-在区间 []3,6上是减函数，则y 的最小值是___________. 2. 23()1,[0,]2f x x x x =++∈已知函数的最大（小）值情况为（ ）. A. 有最大值34，但无最小值 B. 有最小值34，有最大值1 C. 有最小值1，有最大值194D. 无最大值，也无最小值 3. 某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.4. 已知函数322+-=x x y 在区间],0[m 上有最大值3,最小值2,求m 的取值范围.(二)函数的奇偶性★知识梳理1．函数的奇偶性的定义：①对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-〔或0)()(=+-x f x f 〕，则称)(x f 为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。

高一函数复习五、函数的单调性【知识点1：函数单调性的定义】设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)< f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是增函数. 区间D 称为y =f (x )的单调增区间.如果对于区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1<x 2 时，都有f (x 1)>f (x 2)，那么就说f (x )在这个区间上是减函数. 区间D 称为y =f (x )的单调减区间.【知识点2：图象的特点】如果函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫f(x )的单调区间. 在单调区间上，增函数的图象从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）. 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.【知识点3：函数单调性的判定方法】(1) 定义法：① 任取x 1，x 2∈D ，且x 1< x 2； ② 作差f (x 1)－f (x 2)；③ 变形（通常是因式分解和配方）； ④ 定号（即判断差f (x 1)－f (x 2)的正负）；⑤ 下结论（指出函数f (x )在给定的区间D 上的单调性）． (2) 图象法(从图象上看升降)(3) 复合函数的单调性——“同增异减”设()[]x g f y =是定义在M 上的函数，若f (x )与g (x )的单调性相反，则()[]x g f y =在M 上是减函数；若f (x )与g (x )的单调性相同，则()[]x g f y =在M 上是增函数。

注意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ，不能把单调性相同的区间合在一起写成其并集. 即函数的单调性是函数的局部性质。

【例1】试用函数单调性的定义判断函数2()1xf x x =-在区间（0，1）上的单调性.【变式练习】判断函数)()(3R x x x f ∈-=的单调性。

函数的基本性质基础知识：1.奇偶性（1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。

如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。

偶函数。

注意：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也 一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。

（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ②确定f (－x )与f (x )的关系；的关系； ③作出相应结论：作出相应结论：若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则，则f (x )是偶函数；是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则，则f (x )是奇函数。

是奇函数。

（3）简单性质：）简单性质：①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点成中心对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴成轴对称；轴成轴对称；②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上：，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇´奇=偶，偶+偶=偶，偶´偶=偶，奇´偶=奇 2.单调性（1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)（f (x 1)>f (x 2)），那么就说f (x )在区间D 上是增函数（减函数）；注意：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； ②必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1<x 2时，总有f (x 1)<f (x 2)。

4知识梳理： 1.单调函数的定义：设函数()f x 的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 上的任意两个自变量的值12,,x x 当12x x <时， ① 若12()()f x f x <，则()f x 在区间D 上是增函数。

② 若12()()f x f x >，则()f x 在区间D 上是减函数。

问：设[]12,,,x x a b ∈那么下列命题是否成立？ ①1212()()0()f x f x f x x x ->⇔-在[],a b 上是增函数； ②1212()()0()f x f x f x x x -<⇔-在[],a b 上是减函数；③ []1212()()()0x x f x f x -->⇔ ()f x 在[],a b 上是增函数； ④ []1212()()()0()x x f x f x f x --<⇔在[],a b 上是减函数。

注意：将概念当作性质实用增函数：x 和对应的f （x ），同大同小。

y 随x 的增大而增大。

不等号方向不变。

图象上升。

减函数：x 和对应的f （x ），大小相反。

y 随x 的增大而减小。

不等号方向改变。

图象下降。

2. 单调区间的定义：若函数()f x在区间D上是增函数或减函数，则称函数()f x 在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫做()f x的单调区间。

特别提醒：一个函数的增区间（或减区间）有多个时，一般不能直接用“ ”将它们连接起来。

3. 函数的最值：（1）一般地，设函数()y f x=的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的,x I∈都有();f x M≤②存在0,x I∈使得0()f x M=.那么，我们称M是函数()y f x=的最大值。

（2）一般地，设函数()y f x=的定义域为I，如果存在实数N满足：①对于任意的,x I∈都有();f x N≥②存在0,x I∈使得0()f x N=.那么，我们称N是函数()y f x=的最小值。