6.2 反比例函数的图象和性质(2) 教案

6.2反比例函数的图像和性质（2）【教学目标】1、巩固反比例函数图像和性质，通过对图像的分析，进一步探究反比例函数的增减性.2、掌握反比例函数的增减性，能运用反比例函数的性质解决一些简单的实际问题.【教学重点、难点】重点：通过对反比例函数图像的分析，探究反比例函数的增减性.难点：由于受小学反比例关系增减性知识的负迁移，又由于反比例函数图像分成两条分支，给研究函数的增减性带来复杂性.【教学过程】一、知识回顾，引入课题1．反比例函数的图象：双曲线2．图像的位置：当k>0时,图象的两个分支分别在第一、三象限内；当k<0时,图象的两个分支分别在第二、四象限内；3．对称性：中心对称4．增减性：二、合作学习巩固训练一一、判断：1）函数 x y 1-= 在每一象限内 ,y 随x 的增大而减小 （ ） 2）函数xy 3= 在每一象限内, y 随x 的增大而增大 （ ） 3) 若反比例函数 x k y =， 在每一象限内,y 随x 的增大而 ，则它的图象经过一、三象限（ ）二、填空：1）反比例函数 x y 25-= ，图像，经过 象限，在每一象限内，y 随x 的增大而 2）反比例函数xk y = ，当x=1时，y ＝2，则k= ， 在每一象限内， y 随x 的减小而 请大家解决下面问题：1）已知反比例函数x y 6=的图像上，有两点（-2，1y ）和（-3，2y ），比较1y 和2y 的大小。

2）已知反比例函数xy 6=的图像上，有两点（1x ，1y ）和（2x ，2y ），若1x >2x >0,比较1y 和2y 的大小。

3）若1x >2x >0改成若1x >2x ，比较1y 和2y 的大小。

巩固训练二1）反比例函数xy 1=的图象上有两点A(1,1y ),B(2,2y ), 则1y －2y 的值是（ ）A 正数B 负数C 非正数D 不能确定2）反比例函数)0(>=k xk y 的图象上有两点A(1x ,1y ),B(2x ,2y ),且 1x <2x ，则1y －2y 的值是（ ）A 正数B 负数C 非正数D 不能确定3）已知反比例函数 xy 5= ． （1）当x ＞5时， 0 y 1；（2）当x ≤5时，则y 1,或y ＜4）已知反比例函数 xy 12-=，当x ＞-3且x ≠0时，y ＞ 或y ＜ . 三、例题教学 学以致用例1 从A 市到B 市列车的行驶里程为120千米.假设火车匀速行驶，记火车行驶的时间为t 小时，速度为v 千米/时,且速度限定为不超过160千米/时。

2 反比例函数的图象与性质 第1课时 反比例函数的图象一、基本目标1．进一步熟悉画函数图象的主要步骤,会画反比例函数的图象． 2．能够利用反比例函数的图象解决一些实际问题． 二、重难点目标 【教学重点】 反比例函数的图象． 【教学难点】 双曲线的特征．环节1 自学提纲、生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P152～P153的内容,完成下面练习． 【3 min 反馈】1．类比一次函数的作图象法,作反比例函数图象的一般步骤：列表、描点、连线. 2．反比例函数的图象是双曲线.3．在反比例函数y ＝kx (k ≠0,k 为常数)中,当k >0时,两支曲线位于第一、三象限内；当k＜0时,两支曲线位于第二、四象限内．4．反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形．对称轴有：直线y ＝x 和y ＝－x ,对称中心是原点.5．写出一个图象在第二、四象限的反比例函数的表达式y ＝－2x (答案不唯一).6．已知反比例函数y ＝m －1x 的图象的一支位于第一象限,则常数m 的取值范围是m ＞1.环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】作出反比例函数y ＝12x的图象,并根据图象解答下列问题： (1)当x ＝4时,求y 的值； (2)当y ＝－2时,求x 的值．【互动探索】(引发学生思考)(1)画函数图象的基本步骤是什么？(2)已知自变量的值(或函数值),将其代入函数表达式,即可求出对应的函数值(或自变量的值)．【解答】列表：x … －6 －4 －3 －2 2 3 4 6 y…－2－3－4－66432描点、连线,如图所示．(1)当x ＝4时,y ＝124＝3.(2)当y ＝－2时,x ＝12－2＝－6.【互动总结】(学生总结,老师点评)画函数图象时,应注意：(1)连线时不能连成折线,应该用光滑的曲线连结各点．(2)所选取的点越多,画的图越准确．(3)画图时注意其对称性及延伸性．活动2 巩固练习(学生独学)1．已知点(1,1)在反比例函数y ＝kx (k 为常数,k ≠0)的图象上,则这个反比例函数的大致图象是( C )2．当x ＞0时,函数y ＝－5x 的图象在( A )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限3．对于反比例函数y ＝3x 图象的对称性,下列叙述错误的是( D )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于直线y ＝－x 对称D ．关于x 轴对称活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】若ab <0,则正比例函数y ＝ax 和反比例函数y ＝bx 在同一坐标系中的大致图象可能是下图中的( )【互动探索】如果只看题干,不看选项,可以得出几种结果？如果只看选项,能否判断a 、b 的正负？【分析】∵ab <0,∴a ,b 为异号．分两种情况：①当a >0,b <0时,正比例函数y ＝ax 的图象过原点、第一、三象限,反比例函数图象在第二、四象限内,无此选项；②当a <0,b >0时,正比例函数的图象过原点、第二、四象限,反比例函数图象在第一、三象限内,选项C 符合．故选C.【答案】C【互动总结】(学生总结,老师点评)这类题既可以用分析法,也可以用排除法．用分析法时,根据题干逐一分析,得出不同条件下的结果,再与选项对比得出答案．用排除法时,每个选项逐一分析,看是否满足题干条件．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)请完成本课时对应训练！第2课时 反比例函数的性质一、基本目标1．掌握反比例函数y ＝kx(k ≠0)随着k 值的不同在不同象限的增减性．2．在探索反比例函数图象性质的过程中,积极展开思考,理解并掌握反比例函数图象的性质．二、重难点目标 【教学重点】 反比例函数的性质． 【教学难点】反比例函数中比例系数的几何意义．环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P154～P155的内容,完成下面练习． 【3 min 反馈】1．当k >0时,函数图象位于第一、三象限内,在每个象限内,y 的值随x 值的增大而减小.当k <0时,反比例函数图象位于第二、四象限内,在每个象限内,y 的值随着x 值的增大而增大.2．在反比例函数y ＝kx (k ≠0)的图象上任取一点,过这一点分别作x 轴、y 轴的平行线,与坐标轴所围成的矩形面积始终等于|k |.3．下列函数：①y ＝1x ；②y ＝3x ；③y ＝12x ；④y ＝7x 中．(1)图象位于第二、四象限的有②④；(2)在每一象限内,y 随x 的增大而增大的有②④； (3)在每一象限内,y 随x 的增大而减小的有①③.4．若点(－1,y 1),(－3,y 2),(2,y 3)在反比例函数y ＝－1x 的图象上,则y 1,y 2,y 3的大小关系怎样？解：由y ＝－1x ,k ＝－1<0知函数的图象在第二、四象限内．在每个象限内,y 随x 的增大而增大,画草图如图所示．∵－3<－1<0,∴y 1>y 2>0.而点(2,y 3)在第四象限内,∴y 3<0,∴y 1>y 2>y 3.环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学)【例1】若点(x 1,y 1),(x 2,y 2),(x 3,y 3)都是反比例函数y ＝－1x 图象上的点,并且y 1＜0＜y 2＜y 3,判断x 1、x 2、x 3的大小关系．【互动探索】(引发学生思考)要根据函数值的大小判断自变量的大小,需考虑函数的增减性．特别要注意的是,只有在同一象限,反比例函数的增减性才适用．【解答】∵反比例函数y ＝－1x中k ＝－1＜0,∴此函数的图象在第二、四象限,且在每一象限内y 随x 的增大而增大． ∵y 1＜0＜y 2＜y 3,∴点(x 1,y 1)在第四象限,(x 2,y 2)、(x 3,y 3)两点均在第二象限, ∴x 2＜x 3＜x 1.【互动总结】(学生总结,老师点评)利用反比例函数的性质比较函数值或自变量的大小：(1)看k 的符号,明确函数的增减情况；(2)看两点是否在同一个象限内；若不在同一个象限内,借助图象即可判断函数值或自变量的大小,若在同一个象限内,则比较两个横(纵)坐标的大小,根据函数的增减情况,得出函数值(自变量)的大小．活动2 巩固练习(学生独学)1．对于反比例函数y ＝2x ,下列说法不正确的是( C )A ．点(－2,－1)在它的图象上B ．当x ＜0时,y 随x 的增大而减小C ．当x >0时,y 随x 的增大而增大D ．它的图象在第一、三象限2．函数y ＝－1x 的图象上有两点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),若0＜x 1＜x 2,则( A )A ．y 1＜y 2B ．y 1＞y 2C ．y 1＝y 2D ．y 1、y 2的大小不确定3．已知反比例函数y ＝1－2mx的图象上两点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2),当x 1＜0＜x 2时,有y 1＜y 2,则m 的取值范围是m ＜12.4．如图,点P 是反比例函数图象上的一点,过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线,若阴影部分面积为3,则这个反比例函数的关系式是y ＝－3x.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】如图,A 、B 两点在双曲线y ＝4x 上,分别经过A 、B 两点向轴作垂线段,已知S阴影＝1,求S 1＋S 2的值．【互动探索】过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段与坐标轴所形成的矩形的面积都等于反比例函数的比例系数的绝对值,阴影部分是两个矩形的重叠部分,所以S 1＋S 2可以转化为两个矩形的面积之和减去阴影部分的面积．【解答】由于点A 、B 是双曲线y ＝4x 上的点,分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段,则根据反比例函数的图象的性质得两个矩形的面积都等于|k |＝4,∴S 1＋S 2＝4＋4－1×2＝6.【互动总结】(学生总结,老师点评)利用反比例函数中比例系数k 的几何意义,可以求得与双曲线有关的矩形的面积或三角形的面积,还可以利用矩形或三角形的面积,求得反比例函数的表达式．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)请完成本课时对应训练！。

数学北师大版九年级上册《6.2 反比例函数的图象与性质》第2课时教案第六章反比例函数6.2 反比例函数的图象与性质第2课时一、教学目标1．复习巩固反比例函数图象与性质．2．理解和掌握反比例函数图象的增减性．二、教学重点及难点重点：反比例函数图象的增减性．难点：运用反比例函数图象的增减性．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板．四、相关资源动画，知识卡片.五、教学过程【复习导入】1．一般地，反比例函数的图象是双曲线，它具有以下性质：（1）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限；（2）当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限．2．反比例函数的图象是轴对称图形，对称轴是直线y=x或y=-x；反比例函数的图象也是中心对称图形，对称中心是坐标原点．设计意图：通过对反比例函数图象与性质的复习，为接下来学习反比例函数图象的增减性做好铺垫．【探究新知】议一议1．观察反比例函数，，的图象（如下图所示），你能发现它们的共同特征吗？（1）函数图象分别位于哪几个象限内？（2）在每一个象限内。

随着x值的增大，y的值是怎样变化的？能说明这是为什么吗？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，师生共同得出答案．答：（1）函数图象均位于第一、三象限内．（2）在每一象限内，随着x值的增大，y的值减小；理由：在每一象限的图象上任意取两点A（x1，y1），B（x2，y2），当k＞0，x2＞x1时，y2-y1=＜0，即y2＜y1．因此，在每一象限内，随着x值的增大，y的值减小．2．观察当k=-2，-4，-6时，反比例函数的图象（如下图所示），它们有哪些共同特征？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，师生共同得出答案．答：它们的图象均位于第二、四象限；在每一象限内，随着x值的增大，y的值增大；它们的图象都不与x轴、y轴相交．教师总结：反比例函数的图象，当k＞0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而减小；当k＜0时，在每一象限内，y的值随x值的增大而增大．想一想在一个反比例函数图象上任取两点P，Q．过点P分别作x 轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1；过点Q分别作x 轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S2．S1与S2有什么关系？为什么？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师引导，师生共同得出答案．答：S1=S2；由：在反比例函数(k≠0)的图象上任意取一点，过这个点分别作x轴、y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积总等于常数．设计意图：引导学生根据一定的分类标准研究反比例函数的性质，同时鼓励学生用自己的语言进行表述，从而提高学生的语言表达能力与数学语言的组织能力．【典例精析】例1 已知反比例函数的图象经过点A（2，6）．（1）这个函数的图象位于哪些象限？y随x的增大如何变化？（2）点B（3，4），，D（2，5）是否在这个函数的图象上？师生活动：师生共同分析，教师引导并提出下列问题：（1）点A（2，6）在图象上的含义是什么？（2）图象的位置由哪个量确定？我们如何求出这个量？（3）反比例函数y随x的变化情况与哪个量有关？y随x的变化情况有没有限制条件？（4）某点不在图象上的含义是什么？学生解答，在小组里讨论，互相检查，小组代表展示解答过程．解：（1）因为点A（2，6）在第一象限，所以这个函数的图象位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小．（2）设这个反比例函数的解析式为．因为点A（2，6）在这个函数的图象上，所以点A的坐标满足，即．解得k=12．所以这个反比例函数的解析式为．把点B，C，D的坐标代入，可知点B，点C的坐标满足函数关系式，点D的坐标不满足函数关系式，所以点B，点C在函数的图象上，点D不在这个函数的图象上．设计意图：从学生已有的数学知识出发，理解点在图象上的含义，运用待定系数法求函数解析式．通过解析式分析图象及性质，让学生感悟由“数”到“形”的过程，初步体会数形结合的数学思想．例2 如图，点P是反比例函数图象上一点，作PM⊥y轴于点M，若图中阴影部分的面积为3，则该反比例函数的解析式为．(xyPOM)师生活动：教师出示问题，学生思考，教师请学生代表回答，讲解出现的问题．解析：设点P的坐标为（x，y）．⊥S⊥POM=3，S⊥POM=PM·OM，⊥PM·OM=6，即．设该反比例函数的解析式为，⊥xy=k．⊥k＜0，⊥k=-6．⊥．设计意图：让学生理解k的几何意义．【课堂练习】1．对于反比例函数y=，下列说法不正确的是（）．A．点（-2，-1）在它的图象上B．它的图象在第一、第三象限C．当x＞0时，y随x的增大而增大D．当x＜0时，y随x的增大而减小2．如图，函数y1=x-1和函数y2=的图象相交于点M(2，m)，N(-1，n)，若y1＞y2，则x的取值范围是（）．A．x＜-1或0＜x＜2 B．x＜-1或x＞2C．-1＜x＜0或0＜x＜2 D．-1＜x＜0或x＞2 3．下列函数中，其图象位于第一、三象限的有______________；在其图象所在象限内，y的值随x值的增大而增大的有_____________．（1）；（2）；（3）；（4）．4．已知反比例函数，当m_____________时，其图象的两个分支在第一、三象限内；当m_____________时，其图象在每个象限内y随x 的增大而增大．5．在函数的图象上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），已知x1＜x2＜0＜x3，则y1，y2，y3由小到大的顺序是___________．师生活动：教师找几名学生代表回答，讲解出现的问题．6．反比例函数y=(k＞0)在第一象限的图象如下图所示，点M是图象上一点，MP垂直x轴于点P．如果⊥MOP的面积为1，那么k的值是_______．7．设函数，当m取何值时，它是反比例函数？它的图象位于哪个象限？参考答案1．C．2．D．3．（1）（2）（3）；（4）．4．，．5．y2＜y1＜y3．6．2．7．解：由题意，得解得m=3．所以当m=3时，函数是反比例函数．当m=3时，代入可得．因为k=1＞0，所以它的图象位于第一、第三象限．设计意图：进一步巩固所学知识，加深对所学知识的理解．六、课堂小结1．一般地，反比例函数的图象是双曲线，它具有以下性质：（1）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．2．反比例函数(k为常数，k≠0)中k的几何意义如图．（1）过反比例函数图象上的任意一点P作x轴、y轴的垂线，两条垂线与x轴、y轴围成的长方形的面积等于．（2）若点A是反比例函数图象上任意一点，过点A作x轴（或y轴）的垂线，则所作垂线、x轴（或y轴）与线段OA围成的三角形的面积等于．注意：因为反比例函数(k为常数，k≠0)中的k有正负之分，所以在利用解析式表示长方形或三角形的面积时，都应加上绝对值符号．师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系．七、板书设计6.2 反比例函数的图形与性质（2）1．反比例函数图象的增减性2．反比例函数中k的几何意义。

初中数学《反比例函数的图象和性质》教学设计一. 教材分析《反比例函数的图象和性质》是初中数学的重要内容，主要让学生了解反比例函数的图象和性质，理解反比例函数在实际生活中的应用。

通过学习，学生能够掌握反比例函数的定义，了解反比例函数的图象特点，理解反比例函数的性质，并能运用反比例函数解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习《反比例函数的图象和性质》之前，已经学习了函数的概念，比例函数和一次函数的图象和性质。

但学生在学习过程中可能对反比例函数的概念和性质理解不深，对反比例函数的图象特点把握不准。

因此，在教学过程中，教师要注重引导学生理解反比例函数的概念，通过实际例子让学生感受反比例函数的图象和性质。

三. 教学目标1.了解反比例函数的定义，理解反比例函数的图象和性质。

2.能够运用反比例函数解决实际问题。

3.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.反比例函数的定义2.反比例函数的图象和性质3.反比例函数在实际生活中的应用五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法、小组合作学习法等，引导学生通过自主学习、合作探讨，理解反比例函数的图象和性质，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。

六. 教学准备1.PPT课件2.教学案例和实际问题3.反比例函数的图象和性质的相关资料七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入反比例函数的概念，如“一辆汽车以60km/h的速度行驶，行驶1小时，行驶的路程是多少？”让学生思考并回答问题，引导学生认识到反比例函数在实际生活中的应用。

2.呈现（15分钟）利用PPT课件，展示反比例函数的图象和性质，让学生直观地感受反比例函数的特点。

同时，教师讲解反比例函数的定义，解释反比例函数的图象和性质。

3.操练（15分钟）让学生通过自主学习，理解并掌握反比例函数的定义，然后进行一些相关的练习题，让学生在实际操作中加深对反比例函数的理解。

4.巩固（10分钟）通过一些实际问题，让学生运用反比例函数解决问题，巩固学生对反比例函数的理解。