第二十章 光的衍射
1、 某种单色平行光垂直入射在单缝上，单缝宽mm 15.0=a 。缝后放一个焦距
mm 400=f 的凸透镜，在透镜的焦平面上，测得中央明条纹两侧的两个第三级暗条纹
之间的距离为mm 0.8，求入射光的波长。 解：由题意，第三级暗纹到O 点的距离 )mm (42
8
==x 又根据光路图有 f
x =
θtan 且单缝暗纹公式 λλθ3sin ==k a 取3=k 所以 nm 500m m 400
34
15.033tan 3sin =⨯⨯==≈=
f ax a a θθλ
2、波长为nm 600的单色光垂直入射到宽度为mm 10.0=a 的单缝上，观察夫琅和费衍射图样，透镜焦距m 0.1=f ，屏在透镜的焦平面处，求： （1）中央衍射明条纹的宽度0x ∆；
（2）第二级暗条纹离透镜的焦点的距离2x 。 解：（1）关于中心O 对称的两条第一级暗纹之间的距离为中央明纹宽度 第一级暗纹到中心的距离 111tan θθf f x ≈= ① 又由单缝衍射暗纹公式 λθk a =sin
对第一级暗纹丝 1=k 而11sin θθ≈
所以 λθ=1a
②
由②求出1θ代入① f a
x λ
=1
所以中央明纹宽度
)m m (12)m (1010.01
106002223
910=⨯⨯⨯⨯===∆--a f x x λ
（2）由暗纹公式λθk a =sin 取2=k 且22sin θθ≈
所以 a λθ22= )mm (122tan 222==≈=a
f
f f x λθθ
3、在某个单缝衍射实验中，光源发出的光有两种波长1λ和2λ，若1λ的第一级衍射极小与2λ的第二级衍射极小相重合，求： （1）这两种波长之间有何关系？
（2）在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其它极小相重合？ 解：（1）由单缝衍射暗纹公式λθk a =sin
对1λ：取1=k 1sin λθ=a 对2λ：取2=k 22sin λθ='a
由于1λ的第一级衍射极小与2λ的第二级衍射极小重合，所以
θθ'= 则 212λλ=
（2）对1λ：11sin λθk a = 对2λ： 22sin λθk a ='
由于重合，所以θθ'= 即
2211λλk k =
12122122
1k k k k =⇒==λλ 所以有其它极小相重合 当1k 取1、2、3、…、2k 取2、4、6、…、
4、在单缝的夫琅和费衍射实验中，若入射光中有两种波长的光，nm 4001=λ，
nm 7602=λ。已知单缝的宽度m 1000.14-⨯=a 。透镜焦距cm 0.50=f 。求：
（1）这两种光第一级衍射明纹中心之间的距离。
（2）若用光栅常数m 100.15-⨯=+b a 的光栅替换单缝，其他条件和上一问相同，则两种光第一级衍射明纹之间的距离为多少？ 解：（1）由单缝衍射明纹公式2
)
12(sin λ
θ+=k a
考虑第一级明纹有1=k 所以
1123sin λθ=
a 222
3
sin λθ=a 设第二种光第一级衍射明纹中心位置坐标为1x 、2x 则有
a f
f x 1
1123tan λθ≈= )tan (sin 11θθ≈ a
f f x 2
2223tan λθ≈= )tan (sin 22θθ≈
则两种光第一级衍射明纹中心之间的距离
)cm (27.010
0.110)400760(105023234
9
21
212=⨯⨯-⨯⨯⨯=-=
-=∆---a
f x x x λλ （2）由光栅方程 ()λθk b a =+sin 取1=k ()11sin λθ=+b a ()22sin λθ=+b a
()()121212sin sin tan tan θθθθ-≈-=-=∆f f x x x （21θθ、很小）
)cm (8.1100.110)400760(10
505
92
1
2=⨯⨯-⨯⨯=+-=---b
a f
λλ
5、以氢放电管发出的光垂直照射在某光栅上，在衍射角︒=41φ的方向上看到
A =65621λ和
A =41012λ的谱线相重合，求光栅常数的最小值。 解：两谱线重合时有 2211λλk k =
8
51221==λλk k 取最小的1k 、2k 则 51=k ，82=k 由光栅方程 ()λφk b a =+sin
∴ ()μm 541
sin 1065625sin 10
11=⨯⨯==+-
φλk b a
6、用钠光（
A =5893λ）垂直照射到某光栅上，测得第三级光谱的衍射角为︒60。
（1）若换用另一光源测得第二级光谱的衍射角为︒30，求后一光源发光的波长。 （2）若以白光（
A -7600A 4000）照射在光栅上，求第二级光谱的张角。 解：（1）由光栅方程 ()λθk b a =+sin ①
换另一光源 有 ()'sin λθk b a '='+
②
由①②式有
λ
λ
θθ''=
'k k sin sin
A 5.510360
sin 30sin 10589323sin sin 10=⨯⨯⨯='⋅'='⇒-θθλλk k （2）由 ① 式可求得m 100413.260
sin 1058933sin 610
--⨯=⨯⨯==+
θλk b a 而白光照射时 ()λθk b a =+sin
取2=k 当 A 40001=λ 1.2320413
4000
2arcsin 1=⨯=θ
当 A 76002=λ 1.4820413
7600
2arcsin 2=⨯=θ
第二级谱线张角 2512=-=∆θθθ（本题θ很大，不能用θθ≈sin ）
7、波长为nm 600=λ的单色光垂直入射到一光栅上，测得第二级明条纹的衍射角为︒30，第三级是缺级，求： （1）光栅常数b a +为多少？
（2）透光缝的最小宽度a 为多少？
（3）在选定了b a +与a 后，屏幕上可能呈现的明条纹最高级次为多少？ （4）在选定了b a +与a 后，屏幕上最多呈现几条明纹？ 解：（1）()λ230sin =+ b a 得 m 104.24-6⨯==+λb a
（2）对光栅有：()λθk b a =+sin
对单缝有：λθk a '=sin
而第三级缺级：
3='
=+k k
a b a m 1083
104.2376--⨯=⨯=+=b a a
（3）由()λθk b a =+sin 得
4106104.21sin 7
6
=⨯⨯=+<⇒<+=--λλθb a k b a k
因为第三级缺级得 2max =k
（4）只能看到 0=k 、±1、±2 等五条明纹
8、一双缝，缝距mm 40.0=d ，两缝宽度都是mm 080.0=a ，用波长为nm 480=λ的平行光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距为m 0.2=f 的透镜，求： （1）在透镜焦平面处的屏上，双缝干涉条纹的间距x ∆； （2）在单缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉亮纹数目。
解：（1）条纹间距 m 104.210
40.0104800.2339
---⨯=⨯⨯⨯==∆d f x λ
（2）对单缝衍射有：λθ=1sin a
